Cycle Préparatoire Semestre S2 ModuleOptiqueaamouche.e-monsite.com/medias/files/optique2019chap2se-ance2.p… · II. Rayons lumineux, Chemin optique et Principe de Fermat Principe

CyclePréparatoireSemestreS2Module OptiquePr.AAMOUCHEAhmedUniversitéCadiAyyadENSAMarrakech2018-2019

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I.L’approximationdel’optiquegéométrique

II.Rayonslumineux, CheminoptiqueetPrincipe deFermatPrincipe de FermatLimite devalidation del’optique géométriqueProduction d’unpinceau de lumière

III.Loisderéflexion etderéfractionAffirmation d’Ibn AlhaythamConstruction géométriqueMilieux inhomogènes etphénomènes naturellesLafibre optique

IV:SystèmeOptique,Stigmatisme, Approximation deGauss:

Objet-Image, Foyers etStigmatisme1ereExemple: Miroir plan2emeExemple:Dioptre plan

Condition deGauss etStigmatisme approché3emeExemple: 2Dioptres plans (Lameàfacesparallèles LFP)4emeExemple: 2Dioptres obliques (Prisme)5emeExemple:Miroir sphérique

Approximation deGauss pour toutsystème optique6emeExemple:Dioptre sphérique

Lestigmatismerigoureux dudioptre sphérique

Types d’aberrations optiquesV.Autres systèmescentrésdansl'approximation deGaussVI.Lentilles dansl'approximation deGauss

VII.InstrumentsOptiques

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ChapitreII Optiquegéométrique

I.L’approximationdel’optiquegéométrique

Ils'agitd'uneapproximationdelanatureondulatoiredelalumièrelorsquelescaractéristiquesdesmilieuxtraversésvarientpeuàl'échelledelalongueurd'onde,c'estàdiresilaconditiona>>λ estréalisée,oùa estladistancecaractéristiquedesvariationsspatialesdel'indicen.Cetteconditionn'estpasdifficileàsatisfaireenoptiquepuisqueλ estdel'ordred'unefractiondemicromètre.

Onétudieradanscechapitrelesphénomènesderéflexionetderéfractiondelalumièreàtraversl’interfaceséparantdeuxmilieuxdifférents.OnutiliseradesméthodessimplessansseréféreràlanaturedelumièreouauxéquationsdeMaxwell.

Chapitre2:Optiquegéométrique

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Exempled’effetsoptiquesnégligésenoptiquegéométrique:Imaged’unelamederasoiréclairéeparunelumièremonochromatiquefaitapparaitredesfrangesdediffractioninexplicabledanslecadredel’optiquegéométrique


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II.Rayonslumineux,CheminoptiqueetPrincipedeFermat

L'ombreportéesurl'écranparledisqueopaqueesthomothétiquedel'objetquellequesoitladistanceàlaquelleilsetrouvedel'écran.Celasuggèrequelefaisceaulumineuxsoitcomposéderayonslumineuxrectilignes.


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Soit un rayon R lumineux se propageant d’un point M à un point M’ et soit ds un élément de ce rayon. Σ1 et Σ2 sont les surfaces d’ondes orthogonales au rayon passant par M et M’.La différence de phases entre M et M’ est :

sontcolinéaires

Laquantité estappeléeCheminOptiqueentreMetM’


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M

M’

ds

Σ1

Σ2

ϕ ϕ’

Rϕ − ϕ' = dϕ

R∫ =

k. ds

= k. ds R∫

R∫

sdetk !!

2 . ' dsdskRR∫∫ ==−

λπ

ϕϕ

= 2 πλ0

R∫ nds = 2 π

λ0

ndsR∫ )(

∫= RndsL

Silemilieuesthomogène n estuneconstanteet(L)=nMM’=(MM’)

MM’ représentelalongueurgéométriquedurayonlumineuxentrelespointsMetM’.

Onmontrequedϕ =k0(dL)Soitdt letempsmisparlalumièrepourparcourirladistanceds :ds =Vdt

CecimontrequelecheminoptiquereprésenteladistancequeparcouraitlalumièredanslevidependantletempstMM’


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(L) = nds R∫ =

cV R∫ Vdt = cdt

M

M '∫ = ct MM '

Sériedemilieuxhomogènesd’indices n1,n2 etn3 :Trajet(chemin)optique:LAB =(AB)=n1AI+n2 IJ+n3 JB


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CalculdelavariationdL du trajetoptique:

Soientdeuxpoints A etA’situésdansdeuxmilieuxdifférents

isotropes,d’indicesn etn’,séparésparunesurfaceS etIun

pointdecontactsurS.LadifférencedL entreleschemins

optiquesvoisins(AIA’)et(AI’A’) vaut,si et sontles

vecteursunitairesdeet.

L = (AIA’) = nAI + n’IA’dL= nd(AI) + n’d(IA’)


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u u 'AI

IA '

d(AI ) = d((AI

.AI

)1/2 )

= 12

2 AI

AI. dAI

= u. dAI

Demême

DonclecalculdelavariationdL donnelerésultatsuivant


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u. dAI

= u. (AI '

− AI

) = u. II '

d(IA ') = u '.dIA '

=u '.I ' I

' ) ' ' ( IIunundL !!−=

AI

AI’

dAI

Principedetempsminimal(oudeFermat,1657):

C’estlepostulatmathématiquequiapugénérerlespremièresloisd’optiquegéométriquegouvernantlapropagationdelalumière.

Ilstipulequepourallerd’unpointA àunpoint B lerayonlumineuxsuitletrajetpourlequellecheminoptiqueL=eststationnaire(correspondantàuncheminoptique extrémalparrapportaux

cheminsvoisins).

DanscesconditionsletrajetsuivicorrespondàdL=0etleprincipedeFermatsetraduitpar:


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ndsA

B

∫

dL = (nu − n ' u ') II ' = 0

ils’agitdedeuxmilieuxsuccessifs

1ere Conséquence:Propagationrectiligne

Silalumièresepropagedansunmilieutransparent,isotropeethomogène,alorsl'indiceestconstantetletempsdeparcoursestminimal.Ilcorrespondalorsàune trajectoirerectiligne.

LeprincipedeFermatpermetdoncdemontrerquelapropagationrectiligneestvalabletantquelephénomènedediffractionestnégligeable.

2eme Conséquence:Principeduretourinverse

Touttrajetsuiviparlalumièredansunsenspeutl'êtreensensopposé.Onpeutdoncchangerlesensdesrayonslumineuxpourreprésenterlapropagationdelalumièreensensinversedanstoutsystèmeoptique.Lapropagationdelumièrenedépendpasdusensdelatrajectoire.


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3eme Conséquence:Principed’indépendanceUnfaisceaulumineuxestconstituéd'unensemblederayonsquel'onpeutsupposerindépendantslesunsdesautres.Lesrayonsnesesuperposentpas,secoupentetcontinuentleurcheminens'ignorantmutuellement.

Endiminuantl'ouverturedudiaphragme,onpeutsupprimerlerayonSM1.Engénéral,onneconstateaucunemodificationenM0 cequimontreque,danscecas,SM0 estindépendantdeSM1.


13écrandiaphragme

SSource

ponctuelle

M0

M1

Productiond’unpinceaudelumière

Unpinceaudelumièrepeutêtreproduitdetroisfaçonsdifférentes.

• Méthode1:

Unpinceaudelumièreestproduit

lorsquel'onplacedevantunesource

deuxobstaclesopaquesayant

chacununpetittrou.Lestrous

doiventpourtantêtrebienalignés.

Lepremierobstacleproduitunfaisceau,simulantunesourceponctuelle.Lesecondnelaissepasserquelalumièreparallèle,produisantainsilepinceau.


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• Méthode2:

Uneautreméthodeutiliséepourproduire

unpinceaudelumièreestdeplacerune

lentilleconvergenteentrelasourceetun

obstacletroué(Lapositiondelalentilleparrapportàlasourceesticidéterminante).

• Méthode3:Enfin,commeappareilplussophistiqué,ilexistelelaser.Celui-ciproduitunpinceaupresqueparfait,ilpeutdoncsepropagersurdegrandedistance.


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Limitedevalidationdel’optiquegéométrique

• Limitedelanotiondurayonlumineux(Diffraction)

Endiaphragmantunfaisceaudelumière cylindriqueàtraversplusieursécranssuccessifs,

onobtientunfinpinceau

Lumineux.

Quandletrouesttroppetit.Lataches'élargitaufuretàmesurequel'on

diminuel'ouverturedudiaphragme:

c’estlephénomènedediffraction.Onnepeutdoncpasisolerausens

strictunrayonlumineux.


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pinceaulumineux

faisceaudelumière

PartieàtraiterenOptiqueOndulatoire

Lephénomènedediffractionlimitelapetitessedespinceauxquel'onpeutobtenirlorsquelesdimensionsd'undiaphragmedeviennentcomparablesàlalongueurd'onde:l'approximationdel'optiquegéométriquepeutêtremiseendéfautsilesvariationsspatialesdesmilieuxtraversésontdeslongueurscaractéristiquescomparablesàlalongueurd'ondeλ.

Ilestalorsdanscecas,nécessairedetenircompteducaractèreondulatoire delalumièrepourdécrirecorrectementlephénomène.

L'angle d'ouvertureducône delumièrediffractéeestdel'ordredegrandeurdeθ = λ/a


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L'angle d'ouvertureθ = λ/a oùa estunelongueurcaractéristiquedudiaphragme(commelediamètre d'untroucirculaire)etλ lalongueurd'onde.Celaconfirmequel'optiquegéométriquen'estvalablequesi a>>λ .Unrayonlumineux estuncasidéal,nonréellementphysiquemaisquiestadoptécommemodèle (Onnepeutainsiconsidérerqueseulementunlaserpeutémettreunrayonlumineux).

• Limitedel’indépendancedesrayonslumineux(lesinterférences)

Enpratique,desrayonslumineuxprovenantdesourcescohérentespeuventsesuperposer.C’estlephénomèned'interférences


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Enéclairantunensembledepetitstrousprochesl'undel'autre(trousd'Young)parunfaisceaulumineux,onobservesurunécranéloignédesfrangesd'interférencesquicorrespondentàunesuperpositionconstructivedescônesdediffractiondechacundestrous.

Les rayonsne peuvent donc plus être

considérés comme indépendants les uns

des autres. Le phénomène d'interférence

ne peut pas s'expliquer par l’optique

géométrique et relève donc de la

deuxième partie de cemodule l'optique

physique.


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Trou

Source

Ecran

III.Loisderéflexionetderéfraction

Soituneondeplanequiarriveàl’interfaceS (surfacedeséparation)séparantdeuxmilieuxhomogènesd’indicederéfractionn1 etn2.D’unefaçongénéraleunepartie

delumièreincidenteestréfléchie

etrestedanslemilieuincidentet

portelenomd’onderéfléchie,tandisqueleresteestréfractéet

sepropagedanslemilieude

transmissionetportelenom

d’onderéfractée outransmise.


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Lepland'incidenceestleplan

forméparlerayonincident

etlanormaleNaupoint

d’incidenceIàlasurfaceS

deséparationdesdeux

milieux(dioptre).

Laloidelaréfractiontraduit

lechangementdelavitesse

delalumièrelorsquelerayon

changedemilieudepropagation.


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Normale

Dioptre

n1 n2

ApplicationduprincipedeFermat :Enoncé :« Pourallerd’unpointàunautre,lalumièreparcourtlechemindemoindretemps. »Loideréflexion :QuelestlepluscourtcheminpourallerdeAàBaprèsréflexion ?B’estlepointsymétriquedeBparrapportàlasurface.DoncCommentallerdeAàB’enprenantlechemindemoindredistance ?C’estladroiteAB’

D’oùlesanglesietrsontégaux(envaleurabsolue) :r=-i1

EnaccordaveclesobservationsdeHérond’Alexandrie(150av-250ap JC)etlesaffirmationsd’IbnAlHaytham (965)

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i1

Affirmationd’IbnAlhaytham (Alhazen):IbnAl-haytham estnéen965àBassoraenIrakmaisviva àAlexandrieenEgypte.Al-Haytham clôtledébatentreatomistesetpythagoriciens enapportantdespreuvesexpérimentalesenfaveurdel'émissiondelalumièreparlesobjets.Voiciquelquesunesdesesdéductionsoriginales,personneavantluinelesavaientformulées.Ilaffirmaquelalumièreest:

• unechoseémiseparlessourceslumineuses;• qu'ellesepropageàpartirdepointsdanstouteslesdirections;• etqu'ellevoyageenlignedroite.Lorsquelalumièrefrappeunobjet,celui-cidevientunesourceaccidentellequirenvoieplusfaiblementlalumièredelasourceprimaire.Nousluidevonségalementnotrefaçonderésoudregraphiquementdesproblèmesd'optiqueentraçantdeslignesdroitespourillustrerlatrajectoiredelalumière.

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Conclusion:loideréflexion

Lerayonréfléchiestlesymétrique

durayonincidentparrapportàla

normaleàl'interfaceenI :• Lerayonréfléchiappartientaupland'incidence

• L'anglederéflexionestégalàl'angle

d'incidence :i1 = r (envaleuralgébriquei1 = -r )

Lesprincipalesapplicationsdelaréflexion serontrencontréesenparticulierdansl'étudedesmiroirs etdesfibresoptiquesàsautd'indice.

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Loideréfraction :

Cheminoptique :« C’estlalongueurL=(AB)queparcourtlalumièredanslevidependantletempst »

lecheminoptiqueest

LePrincipedeFermatsetraduit

pardL=0avecAetBfixes ;

x1+x2=cte,y1=cte et y2=cte Soitdx1+dx2=0, dy1=0et dy2=0L=(AB)=n1l1+n2l2 ;dL=0 è n1dl1+n2dl2=0

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n1dl1+n2dl2=0

l12=x12+y12,l22=x22+y22

donc 2l1dl1=2x1dx1et2l2dl2=2x2dx2

D’où

n1.(x1/l1).dx1+n2.(x2/l2).dx2=0

è [n1(x1/l1)- n2(x2/l2)].dx1=0

Sachantquedx1≠0,sini1=x1/l1 etsini2=x2/l2è n1 sini1=n2 sini2

C’estlaloideréfraction

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LoisderéflexionetderéfractionditedeSnell-Descartes :

• Lerayonréfléchiestdanslepland’incidenceetlesanglesd’incidencei1 etderéflexionr sonttelsque :

r=-i1

• Lerayonréfractéestdanslepland’incidence

etlesanglesd’incidence

i1 etderéfractioni2 sonttelsque :

n1 sini1=n2 sini227


Pourunfaisceaulumineux:

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Constructiongéométrique:

Milieu2(verre/eau)plusréfringentquele

milieu1(air/vide),donclerayonréfracté

plusprochedelanormale.

i1àIàKàK’ài2

Milieu2moinsréfringentquelemilieu1,

donc:lerayonréfractéplusécartédela

normale.29


i1

Dioptre

i2

IH

K

K’

n1

n2

i1

Dioptre

i2

IH

K’

K

n2

n1

12 nn 〉

12 nn 〈

Réflexiontotale :

En augmentant progressivement l’angle d’incidence, dans le casoù , le rayon réfracté s’écarte de plus en plus de la normalejusqu’à atteindre la valeur maximale de 90° après laquelle il n’ya plus de réfraction : on parle de réflexion totale. La valeur de i1correspondant à i2,max=90° est donnée par : sin i1,lim= n2/n1.

Réfractionlimite :

Inversement, dans le cas où , la valeur de l’angle de réfractioncorrespondant à la valeur maximale de i1,max=90° (incidencerasante) est telle que : sin i2,max= n1/n2. Le rayon réfracté estdonc contenu dans un cône, appelé cône de réfraction, desommet I et de demi- angle i2,max correspondant à une limite audelà du quelle il n’y a pas de réfraction.

12 nn 〉

12 nn 〈

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Sionchangel’angled’incidence….

Appletjava:http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=49.0

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• Exemplesd’incidence

• Dioptreentren1=4/3(eau) etn2=3/2(verre)

n1sini1=n2sini2 à sini2=(n1/n2) sini1àsini2=(8/9) sini1

àAN:

àLavaleurmaximalequepeutatteindrel’anglederéfractionest62,7°:c’estlavaleurdelalimitederéfractionau-delàduquelleiln’yaplusderéfraction.

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i1 10° 30° 45° 60° 75° 90°

i2 8,9° 26,4° 38,9° 50,3° 59,2° 62,7°


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