Cyril Charignon 10 novembre 2018 arXiv:0903.0502v1 [math.GR] … · 2019. 4. 22. · arXiv:0903.0502v1 [math.GR] 3 Mar 2009 Compactiﬁcations polygonales d’un immeuble a ﬃne

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iv:0

903.

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3 M

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009

Compactifications polygonales d’un immeuble affine

Cyril Charignon

10 novembre 2018

Résuḿe

A partir d’une décomposition en cônes de l’espace directeur d’un appartement d’un immeuble affine localementfini, on définit une compactification de l’immeuble semblable à la compactification de Satake d’un espace symétrique.Comme cas particuliers de cette construction, on retrouve la compactification polygonale classique telle que décritedans [Lan96] ou ses généralisation décrites dans [Wer07]. Un intérêt de la construction présentée ici est qu’elle esttotalement géométrique : elle est indépendante de l’existence d’un groupe agissant sur l’immeuble. On prouve au pas-sage plusieurs résultats permettant d’identifier certaines parties de l’immeuble qui sont incluses dans un appartement,par exemple on prouve que deux facettes de quartier sont, quittes à être réduites, incluses dans un même appartement.

Abstract

We define a compactification of an affine buildingI indexed by a family of partitions of the director space~Aof one of its appartmentsA. This compactification is similar to Satake’s compatification of a symetric space, and itgeneralizes the quite well known polygonal compactification of an affine building in the sense that it is independant ofthe action of a group on the building, and that it allows some variations depending on the choice of the partition of~A.The different choices will mainly lead to different subgroups of the Weyl group acting on the border ofA. Along theproofs, we get some results to help one find subsets of the building wich are included in an apartment, for exemple weprove that two sector facets can always be reduced so that they fit in one apartment.

Table des matìeres

1 Introduction 3

2 La donnée initiale 32.1 Conventions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Cônes convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 52.3 Décomposition d’un appartement en cônes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Conséquences directes des hypothèses surF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6

2.5.1 Décompositions en cônes obtenues à partir d’une partie deS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 Comparaison avec [Wer07] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 82.5.3 Dessins, autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9

3 Compactification deA0 103.1 L’ensembleA0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Topologie surA0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 113.2.2 Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 123.2.3 L’inclusion canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133.2.4 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13

1

http://arxiv.org/abs/0903.0502v1

3.3 Structure du bord dēA0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.1 Prolongement des automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Coeurs de cônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 153.3.3 Structure de complexe de Coxeter vectoriel sur une fac¸ade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.4 Structure de complexe de Coxeter affine sur une façade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Compactification de chaque appartement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Quelques ŕesultats ǵenéraux sur les immeubles 204.1 Parties closes dans un appartement . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 224.1.2 Les parties closes sont des complexes de chambre . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.3 Intersection de deux appartements . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.4 Isomorphisme entre deux appartements . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Cheminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 254.3 Inclusion d’une partie d’appartement et d’une chambre dans un appartement . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Rétractions par rapport à deux chambres adjacentes . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Inclusion de deux galeries tendues dans un appartement .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5.1 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 314.5.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 33

4.6 Systèmes d’appartements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 344.7 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

5 Construction deI 385.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 385.2 Cônes dans l’immeuble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 395.3 Coeur d’un cône d’immeuble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Équivalence de cônes, l’ensembleI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Injections canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Topologie surI 436.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 436.2 Lien avec la topologie dēA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 I est séparé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 466.4 I est à base dénombrable d’ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 466.5 Injections canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5.1 L’injectionιI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5.2 Les injectionsιA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.6 Rétractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 476.7 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 49

7 Unicité de la construction 52

8 Description deI 558.1 I est une réunion d’immeubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 558.2 Bord d’une façade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 58

8.2.1 Compactification deIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2.2 ÎF comme réunion de façades deI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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1 Introduction

Le but de cet article est de présenter une construction purement géométrique de la compactification polygonaled’un immeuble affine localement fini, comme celle décrite par Landvogt [Lan96]. On s’affranchit totalement de l’usaged’un groupe agissant sur l’immeuble, ce qui permet de définir une compactification pour les quelques immeubles quipourraient ne pas être associés à un groupe muni d’une BN-paire.On propose également une généralisation : on définit toute une famille de compactifications, indexée par l’ensembledes partitions de l’espace directeur d’un appartement en cônes assujettis à certaines conditions. Parmi elles se trouventla compactification polygonale classique définie dans [Lan96] ou [GR06] ainsi que celles décrites par Annette Wernerdans [Wer07].

Décrivons rapidement l’espace obtenu. L’adhérence de chaque appartement sera l’espace compact obtenu en ra-joutant à l’infini un polygone, dont chaque face sera un complexe de Coxeter avec comme groupe un sous-groupe dugroupe de Weyl de l’immeuble. On peut choisir n’importe quelpolygone stable par le groupe de Weyl vectoriel, maispour un choix quelconque, la structure de complexe de Coxeter sera triviale sur de nombreuses faces. La compactifi-cation de l’immeuble est obtenue en étendant la compactification d’un appartement de référence, d’une manière qu’onprouvera être unique dans la majorité des cas. Le bord ainsi rajouté à l’immeuble est en fait une réunion d’immeublesaffines, dont les groupes de Coxeter sont des sous-groupes du groupe de Coxeter de l’immeuble de départ. Le choixde la décomposition en cônes au départ détermine lesquels de ces sous-groupes interviennent.

Par ailleurs, quelques résultats intermédiaires peuvent avoir leur intérêt propre, certains sont valides dans lecadred’un immeuble quelconque. Il s’agit principalement des résultats de la partie 4, qui donnent des critères pour s’as-surer qu’une partie d’un immeuble est incluse dans un seul appartement. On prouve notamment que deux galeriestendues sont, quitte à être réduites, incluse dans un même appartement (du système complet d’appartements), puison généralise au cas d’une galerie tendue et d’une cheminée. Ceci prouve par exemple que deux facettes de quartiersquelconques contiennent des sous-facettes incluses dans un même appartement, généralisant le résultat similaire déjàconnu pour les quartiers (voir par exemple la proposition (9.5) de [Ron89]). Quelques résultats classiques sur l’enclosd’une partie sont également prouvés, dans le cas d’une partie ne coupant aucune chambre.

Dans la partie, 2, on énonce et on analyse brièvement les conditions requises sur une décomposition en cônes del’espace directeur d’un appartement pour définir une compactification de l’immeuble. Dans la partie suivante, on définitla compactification d’un appartement. L’interlude de la partie 4 permet d’énoncer les quelques résultats nécessaires àla suite qui peuvent avoir un intérêt propre. La partie 5 définit l’ensemble qui sera l’immeuble compactifié, la partie6 définit la topologie sur cet ensemble et prouve les propriétés attendues, en particulier la compacité. Dans la partie7, on vérifie que la compactification de l’immeuble ainsi définie est unique lorsqu’une compactification d’un apparte-ment est fixée et que l’immeuble provient d’un groupe muni d’une donnée radicielle. Cela fournit un moyen simplede comparer cette compactification avec d’autres, comme celles définies dans [Lan96],[GR06] et [Wer07]. Enfin, lapartie 8 décrit le bord qu’on vient de rajouter à l’immeuble : il s’agit d’une réunion d’immeubles affines de dimensionsinférieures.

2 La donnée initiale

2.1 Conventions, notations

Un immeubleI sera vu a priori comme un complexe simplicial vérifiant les axiomes classique ([Bro89], [Tit74]),ou comme un complexe polysimplicial comme dans [BT72]. Chaque appartementA est un complexe de Coxeter, donton noteW(A) le groupe de Coxeter. Ce groupe est indépendant deA à isomorphisme près. Lorsqu’on choisit unechambrec de A, les réflexions par rapport aux cloisons dec forment une partieS(c) deW(A) telle que (W(A),S(c))est un système de Coxeter. La classe d’isomorphisme deW(A) est caractérisée par un diagramme appelé diagrammede Coxeter. Son ensemble de sommets est en bijection avecS(c), et les sommets correspondant aux réflexionss et t

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sont reliés siset t ne commutent pas. On précise alors sur l’arête l’ordre dest. Ce diagramme ne dépend pas du choixdeA ni dec.On définit sur l’ensemble des facettes le type, c’est une fonction à valeur dansP(S(c)) qui permet de caractériserles orbites des facettes d’un appartement sous l’action du groupe de Weyl. Les isomorphismes entre appartementspréservent le type, par définition.L’ensemble des chambres deI est muni d’une distance à valeur dansW(A), appeléeW-distance. En fait,I est tota-lement déterminé par l’ensemble de ses chambres muni de saW-distance, c’est d’ailleurs le point de vue adopté dans[Ron89].

Nous nous intéressons principalement aux immeubles affines. Dans ce cas, on identifieI à sa réalisation géométriqueaffine, qui est un espace métrique complet dans laquelle les appartements sont des espaces affines euclidiens, lesgroupes de Coxeter des groupes de transformations orthogonales affines, et les isomorphismes entre appartements desisométries. Voir [Bro89], chapitre VI, [BT72], [Tit86], [Par00],[Rou08]. C’est cet espace qu’on se propose de compac-tifier. Si A est un appartement, le groupeW(A) est engendré par les réflexions orthogonales par rapportà des hyperplansappelés murs ([Bou68]). Les murs définissent une partition deA dont les parties sont identifiées aux facettes deA, leschambres étant les facettes de dimension maximale.

On note~A l’espace directeur deA, c’est lui aussi un complexe de Coxeter dont le groupeW(~A) est l’ensemble desparties vectorielles des éléments deW(A). Il est engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux murs de~A,qui sont les espaces directeurs des murs deA. Les murs de~A définissent une partition de~A en cônes convexes appelésfacettes de Weyl ou facettes vectorielles. Ces parties sontidentifiées aux simplexes du complexe de Coxeter~A.Il existe un système de racineφ ⊂ ~A∗ tel que les murs de~A sont les noyaux des racines et dontW(A) est le groupe deCoxeter affine associé, au sens de [Bou68], 2.5.Si on fixe une chambre de WeylC ⊂ ~A, on note, pours ∈ S(C) αs la racine correspondante (donc ker(αs) = Fix(s)).Alors {αs}s∈S(C) est une base deφ etC = {x ∈ ~A | ∀s ∈ S(C), αs(x) > 0}. De plus, dans le diagramme de Coxeter de~A,deux sommetss et t sont reliés si et seulement siαs n’est pas orthogonale àαt. En considérant ce diagramme commeun simple graphe, on définit les notions de connexité habituelles.

Lorsqu’on passe du point de vue complexe simplicial au pointde vue géométrique d’un immeuble affine, le voca-bulaire change un peu :Un complexe simplicial est en particulier un ensemble muni d’une relation d’ordre. On notera généralement⊏ cetterelation, et on dira quec est inclus dansd lorsquec ⊏ d. Mais lorsquec ⊏ d dans un immeuble affine, alors dans laréalisation géométriquec est inclus dans l’adhérence ded, avecc ⊂ d si et seulement sic = d. En général,c ⊂ ∂d.De plus, dans un complexe simplicial, la facette maximale inférieure àc et àd, notéec ∧ d est appelée l’intersec-tion dec etd. Dans la réalisation géométrique, l’adhérence dec∧ d est égale à l’intersection des adhérences dec etd,maisc∧d ne s’exprime pas de manière directe en fonction dec etd (en fait,c∧d est l’intérieur de ¯c∩d̄ dans Vect(¯c∩d̄)).

Si M est un mur etc une chambre dans un système de CoxeterA, on noteraD(M, c) le demi-appartement fermédélimité parM et contenantc. Sauf précision, un demi-appartement signifiera un demi-appartement fermé. Un demi-appartement peut aussi être défini à l’aide de deux chambres adjacentesc et d, ou d’une racineα (on voit a priori lesracines comme des formes affines sur un appartement) et d’un entierk : on noteraD(c, d) la réunion des chambresfermées plus proches dec que ded, etD(α, k) = {x|α(x) + k ≥ 0}.SoientD+ et D− les deux demi-appartements définis par un murM dans un appartementA. On dira que deux par-tiesα et β de A sont séparées parM si α ⊂ D+ et β ⊂ D−, ou l’inverse. On notera alorsα|Mβ (Donc par exemple,α ⊂ M ⇒ α|Mβ quel que soitβ). On dira que ces parties sont séparées strictement parM si en outreα 1 M etβ 1 M.

L’enclos d’une partieE dans un appartementA est l’intersection de tous les demi-appartements fermés deA conte-nantE. On la note ClA(E).

LorsqueA et B sont deux appartements ayant au moins une chambre en commun,on peut naturellement identifier~A avec~B. Lorsque la dimension deA∩Best moindre, on ne peut qu’identifier un sous-espace de~A avec un sous-espace

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de ~B, voici comment on procède :Les sous-espaces Vect{ ~xy ∈ ~A | x, y ∈ A∩ B} ⊂ ~A et Vect{ ~xy ∈ ~B | x, y ∈ A∩ B} ⊂ ~B sont canoniquement isomorphes.On identifie alors ces deux sous-espaces, et on note l’espaceobtenu~A∩ ~B. Cet espace vérifie la propriété suivante : siE est un troisième appartement, siφ : A

∼−→ E etψ : B

∼−→ E sont deux isomorphismes qui coı̈ncident sur un ensemble

b ⊂ A∩ B, alors l’espace directeur~b de Aff(b) est inclus dans~A∩ ~B, et pour tout~v ∈ ~b, on a~φ(~v) = ~ψ(~v).Cette ”intersection des espaces directeurs” ne vérifie pasl’associativité, en fait l’écriture (~A∩ ~B)∩ ~C n’a même aucunsens, car~A ∩ ~B n’est pas uniquement défini au moyen de la structure vectorielle de~A et ~B, mais bien de la structured’espaces affines deA et B. (Une notation commeA~∩B serait sans doute plus appropriée.)Remarque:Dans la suite,~b ne signifiera pas en général l’espace directeur de Aff(b).

2.2 Cônes convexes

Dans cet article, tous les cônes seront supposé convexes apriori. Un cône vectoriel convexe dans unR-espacevectoriel ~E est un sous-ensemble de~E stable par addition et multiplication par un scalaire strictement positif. Toutcône vectoriel contient 0 dans son adhérence. SiE est un espace affine dirigé par~E, un cône convexe affine deE estun sous-ensemble deE de la formef = s+ ~f où s ∈ E et ~f est un cône convexe de~E.Lorsque ~f est un cône de~E ne contenant pas de droite (on dit aussi ”cône pointu”), alors l’écriture f = s+ ~f estunique, ce qui permet de définirscomme étant lesommetde f , notés( f ).Le cône vectoriel~f est quand à lui toujours bien déterminé, on l’appelle ladirectionde f . Deux cônes ayant la mêmedirection sont ditparallèles. Sig est un cône parallèle àf etg ⊂ f , alorsg est un sous-cône parallèle def , et on abrège”sous-cône parallèle” en ”scp”.

Remarque:Dans [BT72], deux parties d’un appartement égales à translation près sont appelées équipollentes aulieu de parallèles.

2.3 Décomposition d’un appartement en ĉones

On fixe désormais un appartementA0. On noteraW = W(A0) son groupe de Coxeter, etWv = W(−→A0) son groupe

de Coxeter vectoriel. On choisit un ensembleF de parties non vides de−→A0 vérifiant les propriétés suivantes :

(H1)−→A0 =

⊔~f∈F

~f . (Le symbole⊔ signifie ”réunion disjointe”.)

(H2)F est fini.

(H3) {0} ∈ F .

(H4) Chaque élément deF est décrit par un système d’équations et d’inéquationslinéaires : pour tout~f ∈ F , il

existen ∈ N, α1, ..., αn ∈−→A0∗, r ∈ N tels que~f = {x ∈

−→A0|αi(x) = 0, ∀i ∈ ~1, r, etα j(x) > 0, ∀i ∈ ~r + 1, n}. En

particulier, chaque élément deF est un cône convexe, ouvert dans son support.

(H5) Le bord d’un cône~f deF est une réunion d’autre cônes deF , qu’on appelle les faces de~f .

(H6) Si ~f , ~g ∈ F et si ~f est une face de~g, alors ~f = Vect( ~f ) ∩ ~g.

Lorsqu’on parle du bord d’un cône, on sous-entend ici le bord dans l’espace vectoriel qu’il engendre. Pour un cône~f vérifiant (H4), qui est donc ouvert dans Vect(~f ), on a∂ ~f = ~f \ ~f .A partir de ces données, on va définir une compactification de A0. Dès qu’on voudra l’étendre en une compactification

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deI, il faudra en outre supposer :

(H7)F est stable par le groupe de Weyl vectorielWv.

2.4 Conśequences directes des hypothèses surF

Chaque élément deF est un cône convexe, ouvert dans l’espace vectoriel qu’il engendre. De plus,{0} est le seulcône à contenir 0, donc aucun élément deF ne contient de droite, ce qui permet de définir les sommets des cônesaffines de direction un élément deF .

Remarque:La condition (H3) a en fait pour unique but de permettre de définir le sommet d’un cône pour faciliterles raisonnements dans la suite, mais elle semble superflue.Étudions brièvement le cas général. Soitf ∈ F le cônecontenant 0. Commef est un cône ouvert dans Vect(f ), on a f = Vect(f ), c’est-à-dire quef est un espace vectoriel.Comme l’adhérence de tout cône vectoriel contient 0, par (H5) on voit quef est dans le bord de chaque élément deF . On vérifie alors que chacun de ces éléments est stable paraddition parf , on peut donc tout quotienter parf pourobtenir un espace vectoriel muni d’une décomposition en cˆones vérifiant cette fois toutes les hypothèses (H1) - (H6).Si ∂(A0/ f ) est le bord qu’on va définir dans la section 3, alors la mêmeprocédure appliquée àA0 etF conduirait àrajouter exactement le même bord. En fait, la condition (H3) impose de rajouter àA0 un bord de codimension 1 et nonsupérieure.

Lorsque (αi)i∈I⊔J est une famille de formes linéaires définissant~f comme dans la quatrième hypothèse surF , onnotera juste

~f = {αi > 0, α j = 0, i ∈ I , j ∈ J}

La famille (αi)i∈I⊔J est nécessairement génératrice de−→A0∗ sans quoi~f ou une de ses faces contiendrait un sous-espace

vectoriel de−→A0 non réduit à{0}.

Lorsque~g est une face de~f , alors il existe une famille (αi)i∈I⊔J⊔K telle que :~f = {αi > 0, α j = 0, i ∈ I ⊔ J, j ∈ K}

~g = {αi > 0, α j = 0, i ∈ I , j ∈ J ⊔ K}

2.5 Exemples

Un premier exemple de telle décomposition de−→A0 en cônes est la décomposition en facettes de Weyl, notéeF ∅.

Les cônes affines dont les directions sont dansF ∅ sont les facettes de quartier, et la compactification qu’on obtiendraalors est la compactification polygonale classique, décrite dans [Lan96].Un exemple un peu plus général est celui considéré par Annette Werner dans [Wer07], où il s’agit grosso modo d’en-lever à la décomposition en facettes de Weyl les cloisons d’un certain type. C’est cet exemple que je développe ici.

2.5.1 D́ecompositions en ĉones obtenues̀a partir d’une partie de S

On fixe une chambre de WeylC0 ⊂−→A0, soitS l’ensemble des réflexions par rapport aux cloisons deC0, de sorte

que les facettes de−→A0 sont typées par les parties deS. Soit J une partie deS, l’idée est de rassembler les chambres

séparées par une cloison de type{ j} avec j ∈ J. Pour assurer la convexité, il faut penser à rajouter alors les facettesde dimension plus petite qui se trouvent entre plusieurs chambres rassemblées. Pour s’assurer que (H5) et (H6) serontvérifiées, il faut aussi rassembler les facettes bordant plusieurs chambres rassemblées, lorsqu’elles engendrentle mêmeespace vectoriel. On arrive à la définition suivante :

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Définition 2.5.1 Si f une facette de Weyl de−→A0 de type I⊂ S , on notef̄ J la réunion de f et des facettes de son bord

de type inclus dans I∪ (J ∩ I⊥).

Si h et f sont deux facettes d’une même chambre fermée, avech de typeI ′ et f de typeI , alorsh est incluse dansf̄ J si et seulement siI ′ est la réunion deI et d’une partie deJ disconnectée deI . Donc une facetteh n’est incluse dansaucun f̄ J, avec f , h si et seulement si son type ne contient aucune composante connexe incluse dansJ. Une tellefacette sera diteadmissible. On dira également que son type est admissible, de sorte qu’une facette est admissible ssison type est admissible.

Définition 2.5.2 Si f est une facette admissible deC0, on pose J. f =WvJ∩I⊥ . f̄J.

On pose ensuiteF J =Wv.{J. f | f facette admissible de C0}.

Remarque:Conformément à la notation déjà introduite, l’ensemble des facettes de Weyl estF ∅.

Proposition 2.5.3 L’ensembleF J est un ensemble de cônes, qui vérifie les hypothèses (H1)-(H2) et (H4-H7). Chaquefacette de Weyl f est incluse dans un unique cône deF J, qu’on notera J. f . Lorsque J ne contient aucune composanteconnexe de S , alorsF J vérifie également (H3).

Démonstration:Les points (H2), et (H7) sont évidents, (H3) est vrai si et seulement si{0} est une facette admissible, ce qui équivautbien au fait queJ ne contient aucune composante connexe deS. Il est également clair que~A =

⋃f∈F J f , et pour

prouver (H4) et (H5), il suffit de considérer des éléments deF J du typeJ. f , avecf une facette admissible deC0.

On commence par (H4). Soient{αi}i∈S l’ensemble des racines délimitantC0. Soit I ⊂ S et f la facette deC0 detype I , alors

f = {αi = 0, α j > 0, i ∈ I , j ∈ S \ I },

etf̄ J = {αi = 0, αk > 0, αl ≥ 0, i ∈ I , l ∈ J ∩ I⊥, k ∈ S \ (I ∪ (J ∩ I⊥))}.

NotonsL = J ∩ I⊥ et K = S \ (I ∪ (J ∩ I⊥)). Montrons queJ. f = {αi = 0, w(αk) > 0, i ∈ I , k ∈ K, w ∈ WvJ∩I⊥ }. Enattendant, notonsE ce dernier ensemble. C’est un ensemble délimité par des murs, donc une réunion de facettes. Deplus, pour toutw ∈WvJ∩I⊥ et touti ∈ I , w(αi) = αi , on voit donc queE est stable parW

vJ∩I⊥ .

Pour montrer queJ. f ⊂ E, il suffit donc de montrer quēf J ⊂ E. Soitx ∈ f̄ J, il vérifie déjà les conditionsαi(x) = 0,

i ∈ I . Soitk ∈ K et w ∈ WvJ∩I⊥ . On sait que{αs}s∈S est une base du système de racines de−→A0. Or, w ∈ WJ∩I⊥ = WL, et

L ∩ K = ∅. Doncw(αk) = αk +∑

l∈L nlαl , avecnl ∈ N. Il apparaı̂t ainsi quew(αk)(x) > 0. Doncx ∈ E.Montrons l’inclusion inverse. Soitx ∈ E, il existew ∈ WL tel que∀l ∈ L, αl(w.x) ≥ 0. CommeE est stable parw,w.x ∈ E, et ainsiw.x vérifie toutes les inégalités prouvant qu’il appartientà f̄ J. Doncx ∈WL. f̄ J = J. f .

A présent, prouvons que chaque facette de Weyl est incluse dans un unique cône deF J. Ceci impliquera directe-ment (H1) car les éléments deF J sont des réunions de facettes de Weyl.Soit f ∈ F ∅ une facette de Weyl, incluse dans deux éléments deF J, disonsw1.J.g1 et w2.J.g2. En translatant tout parun élément deWv, on peut supposerf ⊂ C̄0. Soit I1 le type deg1 et I2 celui deg2. Il existev1 ∈ WvJ∩I⊥1

et v2 ∈ WJ∩I⊥2tels quef ⊂ w1v1ḡJ1 et f ⊂ w2v2ḡ

J2. Commef , g1 et g2 sont des facettes dēC0, ceci implique en faitf ⊂ ḡ

J1 ∩ ḡ

J2. Le

type de f s’écrit doncI ′ = I1 ⊔ J1 = I2 ⊔ J2 où J1 et J2 sont des parties deJ disconnectées respectivement deI1 etde I2. Soit K une composante connexe du type def , elle est incluse soit dansI1 soit dansJ1. De deux choses l’une :soit K ⊂ J et alorsK ne peut être incluse dansI1 carg1 est admissible, soitK 1 J et alors elle ne peut être inclusedansJ1. On voit donc queJ1 est la réunion des composantes connexes deI ′ incluses dansJ, I1 est la réunion des

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autres composantes connexes. Le même raisonnement est valable pourI2 et J2, ce qui prouveI1 = I2 et J1 = J2. D’oùg1 = g2 et J.g1 = J.g2. Il reste à regarderw1 et w2. On sait quew1v1 ∈ Fix( f ) = WI ′ , et I ′ = I1 ∪ J1 ⊂ I ∪ (J ∩ I⊥).D’où w1v1 ∈WvI∪(J∩I⊥), d’où w1J.g1 = J.g1. De même,w2J.g2 = J.g2 = J.g1 = w1J.g1. Ce qui prouve quef est incluse

dans un unique cône deF J.

Prouvons (H5). Soitf ∈ F ∅ une facette de Weyl admissible qu’on peut supposer incluse dansC0, soit I son type.CommeJ. f est une union de facettes de Weyl, son bord l’est aussi. Soitg une facette de Weyl bordantJ. f . Quitte àtranslaterg par un élément deWvJ∩I⊥ qui stabiliseJ. f , on peut supposerg ⊂ C̄0, et doncg ⊂ f̄ . CommeJ. f est ouvertdans Vect(J. f ), on a mêmeg ⊂ f̄ \ f̄ J. NotonsJ.g le cône deF J contenantg, il s’agit de prouver queJ.g ⊂ ∂J. f . SoitI ′ le sous ensemble deS obtenu en retirant au type deg toutes ses composantes connexes incluses dansJ. Soit h lafacette deC̄0 de typeI ′, alorsh est admissible etg ⊂ h̄J ⊂ J.h, doncJ.g = J.h. Si J1 est une composante connexe detype(g) incluse dansJ alorsJ1 ∩ I est une réunion de composantes connexes deI incluses dansJ, d’où J1 ∩ I = ∅ carI est admissible. Ceci prouve queI ⊂ I ′, et donch ⊂ f̄ . Ensuite,J.h = WvJ∩I ′⊥ .h̄

J ⊂ J. f carWvJ∩I ′⊥ ⊂ WvJ∩I⊥ et h̄

J ⊂ f̄ .Et commeJ.h , J. f carg ⊂ J.h, on aJ.h∩ J. f = ∅ d’où J.h ⊂ ∂J. f .

Il ne reste plus qu’à prouver (H6). SoitJ.h une face d’un côneJ. f . Comme dans le paragraphe précédent, on peutsupposer queh et f sont des facettes admissibles deC̄0. Soit I le type def et I ′ le type deh. Nous procédons parrécurrence sur Card(I ′ \ I ), en commençant par montrer l’hérédité.

On suppose donc Card(I ′ \ I ) ≥ 2. Commeh 1 f̄ J, il existe l ∈ I ′ \ (I ∪ (J ∩ I⊥). Soitg la facette deC̄0 de typeI ∪ {l}, elle est admissible. Par récurrence on aJ.g = J. f ∩ Vect(J.g). De plus,J.h est une face deJ.g, différente deJ.gcarh est admissible et ne peut donc être incluse dans ¯gJ. Donc par récurrence,J.h = J.g∩ Vect(J.h). La combinaisondes deux égalités donne bienJ.h = J. f ∩ Vect(J.h).

Traitons maintenant le cas Card(I ′ \ I ) = 1. Dans l’égalitéJ.h = Vect(J.h) ∩ J. f , l’inclusion ” ⊂ ” est évidente.Soit x ∈ Vect(J.h) ∩ J. f , cela signifie, d’après la description deJ. f obtenue pour prouver (H4) :

– pour touti ∈ I ′, αi(x) = 0– pour toutw ∈WvJ∩I⊥ et k ∈ S \ (I ∪ (J ∩ I

⊥)), w.αk(x) ≥ 0.Et le but est de prouver :– pour touti ∈ I ′, αi(x) = 0– pour toutw ∈WvJ∩I ′⊥ et k ∈ S \ (I

′ ∪ (J ∩ I ′⊥)), w.αk(x) ≥ 0.Parmi ces inégalités, celles qui ne sont pas directement dans la liste des hypothèses sont lesw.αk(x) ≥ 0 lorsque :

k ∈ (S\(I ′∪(J∩ I ′⊥))) \ (S\(I∪(J∩ I⊥))) = (I∪(J∩ I⊥))\(I ′∪(J∩ I ′⊥)) = (J∩ I⊥)\(I ′∪(J∩ I ′⊥)) = (J∩ I⊥)\(I ′∪ I ′⊥)

et lorsquew ∈WvJ∩I ′⊥ .

Soit k un tel indice etw ∈ WvJ∩I ′⊥ . En particulier,k ∈ WvJ∩I⊥ . Soit l tel queI

′ \ I = {l}. CommeI ′ est admissible,l < J ∩ I⊥.

Alors wk ∈WvJ∩I⊥ , et l ∈ S \ (I ∪ (J ∩ I⊥)) d’où d’après les hypothèseswk.αl(x) ≥ 0. Mais :

wk.αl(x) = αl(kw−1x) = αl(w−1x− 2αk(w−1x).α∨k ) = αl(w−1x) − 2wαk(x).〈αk|αl〉

Commel ∈ I ′ et w−1x ∈ Vect(J.h), on aαl(w−1x) = 0. Il reste donc−2wαk(x).〈αk|αl〉 ≥ 0.Mais k , l car l ∈ I ′ et k < I ′. De plus, sik était orthogonal àl, il serait orthogonal àI ′, ce qui est exclus. Ainsi,〈αk|αl〉 < 0, ce qui entraı̂newαk(x) ≥ 0. �

2.5.2 Comparaison avec [Wer07]

On peut dès à présent vérifier de façon élémentaire que les partitions de−→A0 en parties convexes définies dans

[Wer07] sont précisément du type précédent. Ces parties sont définies, pour l’immeuble de Bruhat-Tits d’un groupe

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G(K) avecK un corps local, à partir d’une représentation linéaireρ fidèle et de dimension finie deG(K), mais nedépendent en fait que de la facette de Weyl deA∗0 dans laquelle se trouve le plus haut poidsλ0(∆) deρ une fois fixéeune base∆ du système de racine ([Wer07] théorème 4.5). SoitJ le type de cette facette (il est indépendant de∆).Commeρ est fidèle,J ne contient pas de composante connexe deS. Pour∆ la base du système de racines correspon-

dant à la chambreC0, on aJ = {s ∈ S | 〈αs|λ0(∆)〉 = 0}. Nous allons vérifier que la partitionΣ(ρ) de−→A0 définie dans

[Wer07] estF J.Soit∆ une base du système de racines etY ⊂ ∆. Il est immédiat d’après la définition donnée dans [Wer07] (définition1.1) queY y est dit admissible si et seulement si il existeI ⊂ S admissible (au sens défini plus haut) tel queY = {αi}i∈I .

Les parties définies dans [Wer07] sont notéesF∆Y pour∆ une base du système de racines etY ⊂ ∆ une partie ad-missible. Ce sont des réunions de facettes de Weyl ([Wer07], proposition 4.4), ouvertes dans leur support, qui réalisent

une partition de−→A0 stable par le groupe de WeylWv. Soit∆ la base correspondant àC0, etY ⊂ ∆ une partie admissible.

Soit f la facette deC0 de typeI , avecY = {αi}i∈I , nous allons voir queF∆Y = J. f . Pour commencer, la proposition[Wer07] 4.4 montre queF∆Y ∩C0 = f̄

J= J. f ∩C0.

Montrons queF∆Y est stable parWJ∩I⊥ . Soit s ∈ J ∩ I⊥, alors la facette deC0 de typeI ∪ {s} est incluse dansC0 ∩ F∆Y.

Or F∆Y est ouverte dans son support, qui est⋂

i∈I ker(αi) et donc qui est stable pars. Alors F∆

Y doit contenir la facettes. f . D’où F∆Y ∩ s.F

∆

Y , ∅, d’où s stabiliseF∆

Y. On déduit de ceci queJ. f ⊂ F∆

Y.Pour l’autre inclusion, soitx ∈ F∆Y. En choisissanty ∈ f de manière générique, on peut s’assurer que [x, y] ne rencontreque des facettes de dimension dim(f )−1. Soitg la première facette différente def rencontrée par ce segment en partantdey. Comme [x, y] ⊂ F∆Y, par convexité deF

∆

Y, on obtient queg ⊂ f̄ ∩ F∆

Y = f̄J. Commeg est de codimension 1 dans

f , le type deg estI ∪ {s}, avecs ∈ J∩ I⊥. Alors la facettes f est incluse dansJ. f , et elle contient ”la suite” du segment[x, y], c’est à dire un intervalle ouvert ]u, v[ tel que ]u, v[∪([x, y] ∩ g) ∪ ([x, y] ∩ f ) est connexe. On aJ. f = J.(s f),et Fs∆sY = s.F

∆

Y = F∆

Y (car ces deux cônes contiennent la facettes f). On peut appliquer la proposition [Wer07] 4.4,dans la chambres.C0, on obtient queF∆Y ∩ sC̄0 = J. f ∩ sC̄0 est la réunion des facettes des. f de type inclus dansI ∪ (J∩ I⊥). Alors la prochaine facette rencontrée par le segment [x, y] est de typeI ∪ {t}, avect ∈ J∩ I⊥, elle est bienincluse dansJ. f , la facette de dimension maximale suivante estst. f qui est aussi dansJ. f car st ∈ WJ∩I⊥ . Ainsi desuite, on vérifie que tout le segment [x, y] est inclus dansJ. f (puisque [x, y] ne rencontre qu’un nombre fini de facettes).

2.5.3 Dessins, autres exemples

Voici les dessins de quelques décompositions en cônes de l’appartement vectoriel de typeA2. On notes et t lesréflexions par rapport aux cloisons de la chambre de base.

Fig. 1 – Décomposition en facettes de Weyl. Je la laisse en arri`ere-plan dans les exemples suivants.

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Fig. 2 – Décomposition de typeF {s} : on retire les cloisons de types.

Fig. 3 – Un autre exemple de décomposition vérifiant (H1)-(H7).

3 Compactification deA0

3.1 L’ensembleA0Définitions 3.1.1 – UnF -cône affine dans A0 est un cône dont la direction est dansF . On noteFA0 l’ensemble

desF -cônes affines de A0.– DeuxF -cônes affines sont équivalents lorsqu’ils sont parallèles et que leur intersection est non vide. L’inter-

section contient alors un autreF -cône affine, parallèle aux deux premiers. On note f∼A0 g, ou juste f∼ glorsqu’il n’y a pas d’ambiguı̈té.

Proposition 3.1.2 La relation ”être équivalent” est une relation d’équivalence surFA0.

Remarquons également que les relations ”être un sous-cône” et ”être un sous-cône parallèle” sont des relations d’ordre.

Définition 3.1.3 On poseĀ0 = FA0/ ∼A0. Pour f ∈ FA0, on note[ f ]A0, ou juste[ f ] lorsqu’aucune confusion n’estpossible, la classe de f . Et si x= [u+ ~f ]A0 avec u∈ A0, ~f ∈ F , on appelle~f le cône directeur ou la direction de x (ilest uniquement déterminé).Pour ~f ∈ F , on note A0~f l’ensemble des points deA0 de cône directeur

~f , c’est la ”façade” de type~f de l’appartement

A0. La projection A0→ A0~f est notée pA0, ~f ou juste p~f . Lorsqu’un cône f de direction~f est fixé, on pourra noter pour

simplifier Af = A~f .

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Proposition 3.1.4 Soit ~f ∈ FA0. La façade A0~f est un espace affine isomorphe à A0/Vect(~f ), et son espace vectoriel

directeur est−−→A0~f ≃

−→A0/Vect~f .

Lorsqu’un cône vectoriel~f ∈ F s’écrit ~f = {αi > 0, α j = 0, i ∈ I , j ∈ J} avec (αi)i∈I⊔J une famille de formes

linéaires, alors lesα j , j ∈ J s’identifient à des formes linéaires sur−−→A0~f , elles forment même une famille génératrice de

−−→A0~f

∗. Quand auxαi , i ∈ I , on sait qu’elles envoient tout représentant de tout pointdeA0~f sur un voisinage de+∞ dansR, on dira donc qu’elles prennent la valeur+∞ surA0~f .

3.2 Topologie surA03.2.1 D́efinitions

Définition 3.2.1 SoitU l’ensemble des voisinages de0 dans−→A0 stables par le groupe de Weyl Wv. Pour U un tel

voisinage, et g∈ FA0, on pose :VA0(g,U) = {x ∈ Ā0 | ∃h ∈ x tq h⊂ g+ U}

C’est l’ensemble des points dēA0 ayant un représentant inclus dans g+ U.Lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguı̈té, je noterai justeV(g,U).

Remarque:Comme le produit scalaire de−→A0 estWv-invariant, les boules de centre 0 sont des exemples d’éléments

deU.

Proposition 3.2.2 Il existe une unique topologie sur̄A0 telle que pour tout x∈ Ā0, l’ensemble desVA0(g,U) pourU ∈ UA0 et g∈ x soit une base de voisinage de x.

Démonstration:Il suffit de vérifier que pour toutx ∈ Ā0, U,V ∈ UA0, g, g

′ ∈ x, il existeW ∈ UA0 et h ∈ x tels queVA0(h,W) ⊂VA0(g,V) ∩ VA0(g

′,U). Mais commeg ∼A0 g′, g ∩ g′ contient un autre représentanth de x. Soit W = U ∩ V, alors

h+W ⊂ g+ U ∩ g′ + V, d’oùVA0(h,W) ⊂ VA0(g,V) ∩VA0(g′,U). �

Remarque:La fonctionVA0 ainsi définie est croissante en les deux variables : siU ⊂ V et f ⊂ g alorsV( f ,U) ⊂V( f ,V) etV( f ,U) ⊂ V(g,U).

On remarque aussi qu’on peut remplacerU par n’importe quelle base de voisinages de 0 dans−→A0, on obtiendra alors

encore une base de la même topologie surA0. On peut notamment choisir une base dénombrable de voisinages de0, ensuite si on se limite par exemple aux cônes dont les coordonnées du sommet sont rationnelles, on obtient unebase dénombrable de la topologie deA0 : A0 est à base dénombrable d’ouverts, les caractérisationspar des suites sontpossibles.

Afin de pouvoir raisonner à l’aide de suites dans la suite, onva donner une caractérisation des suites convergentes.Commençons par le lemme suivant :

Lemme 3.2.3 Soit ~f ∈ F et soit{αi = 0, α j > 0, i ∈ I , j ∈ J} un système d’équations et d’inéquations déterminant~f .Soit U ∈ U. Soit(xn)n une suite dans A0 telle queαi(xn)→n→∞ 0 pour i ∈ I, et limn→∞ α j(xn) = +∞ pour j ∈ J.Alors à partir d’un certain rang, les xn sont dans U+ ~f .

Preuve du lemme:La seule difficulté provient du fait que{αi}i∈I∪J est une famille génératrice mais pas forcément libre deA∗0. Soit I

′ ⊂ Imaximal tel que{αi}i∈I ′ soit libre. Soit ensuiteJ′ ⊂ J tel que {αi}i∈I ′∪J′ soit une base deA∗O. Il existe ǫ tel queU′ := {x| |αi(x)| < ǫ ∀i ∈ I ′ ∪ J′} ⊂ U.Pourn assez grand, on a|αi(xn)| < ǫ pour i ∈ I ′. Soit alorsyn ∈ A0 tel queαi(yn) = αi(xn) pour i ∈ I ′ et α j(yn) = 0

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pour j ∈ J′. Le pointyn est alors dansU, et il suffit de vérifier quexn − yn ∈ ~f .Or pour touti ∈ I ′, αi(xn − yn) = 0. Comme toutαi , i ∈ I est combinaison linéaire desα j , j ∈ I ′, on obtient queαi(xn − yn) = 0 pour touti ∈ I . Enfin,U ′ est borné, donc pour toutj ∈ J, α j(yn) aussi. Commeα j(xn) tend vers∞, onvérifie bien queα j(xn) − α j(yn) est positif dès quen est assez grand. �

Il est maintenant facile de prouver la caractérisation dessuites convergentes suivante :

Proposition 3.2.4 Soit(xn)n∈N une suite deA0 dont tous les éléments ont la même direction~f . Soit l= [a+ ~g] ∈ A0.Alors (xn)n converge vers l si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :

– ~f est une face de~g.– Pour toute famille{αi}i∈I⊔J⊔K ⊂ A∗0 de formes linéaires telle que~g = {x|αi(x) = 0, α j(x) > 0 , i ∈ I , j ∈ J ⊔ K} et~f = {x|αi(x) = 0, α j(x) > 0 , i ∈ I ⊔ J, j ∈ K} on a limn→∞ αi(xn) = αi(a) pour i ∈ I et limn→∞ α j(xn) = ∞ pourj ∈ J. (Il existe une telle famille{αi} car ~f est une face de~g).

Démonstration:On commence par supposer que (xn) tend versl. Si ~f n’est pas une face de~g, alors il existe une forme linéaireα tellequeα( ~f ) ⊂ R+ etα(~g) ⊂ R−, et un vecteur~v ∈ ~f tel queα(~v) > 0. Doncα( ~f ) contient un voisinage de l’infini (dansR ∪ {±∞}), et il en va de même de tous lesα(h) pourh un représentant d’unxn. Il est donc impossible qu’un telh soitinclus dans un ensemble de la formeU +a+~g dès queU est borné, il est alors impossible quexn soit dans le voisinageV(a+ ~g,U) de l correspondant. EtU contient bien des éléments bornés, prendre par exemple des boules.Soit ensuite un ensemble de formes linéaires{αi}i∈I⊔J⊔K ⊂ A∗0 tel que~g = {x|αi(x) = 0, α j(x) > 0 , i ∈ I , j ∈ J ⊔ K}

et ~f = {x|αi(x) = 0, α j(x) > 0 , i ∈ I ⊔ J, j ∈ K}. Soit i ∈ I , montrons queαi(xn) tend versαi(a). Soit ǫ > 0, il existeU ∈ U tel queαi(U) ⊂]− ǫ, ǫ[. Et pourn assez grand,xn ∈ V(a+~g,U) doncxn a un représentant inclus dansU+a+~g.Maisαi(U + a+ ~g) ⊂]αi(a)− ǫ, αi(a)+ ǫ[, carαi(~g) = {0}. On en déduit que|αi(a)− αi(xn)| < ǫ. On a ainsi prouvé quelimn→∞ αi(xn) = αi(a)Soit j ∈ J, vérifions queα j(xn) tend vers l’infini. Soitm ∈ R. Commeα j(~g) est un voisinage de l’infini, il existe~v ∈ ~gtel queα j(a+~v) > m+ 1. SoitU ∈ U tel queα j(U) ⊂] − 1, 1[. Commea+~v+ ~g est un autre représentant del, à partird’un certain rang,xn doit être dansV(a+ ~v+ ~g,U). Et cela impliqueα j(xn) > m.

A présent, supposons que les deux conditions sont vérifiées par la suite (xn) et montrons qu’elle converge alorsversl.Commeαk( ~f ) contient un voisinage de∞ pour toutk ∈ K, on peut choisiryn un point d’un représentant dexn pourtout n, de sorte que les suitesαk(yn) tendent vers∞. Les suitesαi(yn) pour i ∈ I et α j(yn) pour j ∈ J tendent quandà elle obligatoirement vers lesαi(a) et∞, respectivement. SoitU ∈ U, qu’on peut supposer ouvert, et soita′ + ~g unreprésentant del, on peut supposera′ ∈ a + ~g. On a pour touti ∈ I , αi(a) = αi(a′) cara et a′ diffèrent d’un élémentde~g. Alors le lemme indique queyn est dansU + a′ + ~g à partir d’un certain rang. Mais commeyn est un point d’unreprésentant dexn, yn + ~f est un représentant dexn. Et yn ∈ U + a′ + ~g, avecU + a′ + ~g un ouvert, et~f ⊂ ~g impliquequeyn + ~f ⊂ U + a′ + ~g. D’où xn ∈ V(a′ + ~g,U).Ceci étant vrai pour toutU ∈ U ouvert, et pour touta′ ∈ a+ ~g, cela prouve la proposition. �

3.2.2 Śeparation

Proposition 3.2.5 L’espace topologiquēA0 est séparé.

Démonstration:Soientx et y dansĀ0, x , y, et soientf ∈ x, g ∈ y des représentants. Il faut trouverU,V ∈ UA0, f

′ ∼A0 f et g′ ∼A0 g

tels queVA0( f′,U) ∩VA0(g

′,V) = ∅. D’après la définition deVA0, il suffit de s’assurer quef′+ U ∩ g′ + V = ∅.

12

Pour commencer, supposons que~f = ~g, c’est-à-dire quef et g sont parallèles. Alorsf ∩ g = ∅ car sinon on auraitf ∼A0 g puisx = y. Soient{αi}i∈I et {β j} j∈J des formes linéaires surA0 telles que~f = {z|∀i, αi(z) = 0 et∀ j, β j(z) > 0}.Soitǫ > 0 tel que∃i ∈ I , |αi(x)−αi(y)| > 2ǫ, soitB une boule centrée en 0 telle queαi(B) ⊂] − ǫ, ǫ[. Alors U = V = B,f ′ = f et g′ = g conviennent.

Étudions maintenant le cas où~f , ~g. Alors ~f ∩ ~g = ∅. Les adhérences de ces deux cônes ne sont pas égales,supposons par exemple~f 1 ~̄g, soit~u ∈ ~f − ~̄g. Pour toutλ > 0, f + λ~u ⊂ f . Soitα une forme linéaire séparant~f et~g :supposons par exempleα( ~f ) ⊂ R− etα(~g) ⊂ R+. Alorsα(~u) < 0, et pourλ assez grand,f + λ~u etg sont séparés par unhyperplanα−1(k), k ∈ R. Quitte à choisirλ encore un peu plus grand, on peut supposer que∀z ∈ f +λ~u, α(z) ≤ k−1 et∀z ∈ g, α(z) ≥ k. Soit alorsU ∈ UA0 tel queα(U) ⊂]−1/2, 1/2[, on a f +λ~u+U∩g+U = ∅, ce qui achève la preuve.�

3.2.3 L’inclusion canonique

Définition 3.2.6 Soit i:A0 → Ā0

x 7→ [{x}]A0. Cette fonction est bien définie car{0} ∈ F . Il est immédiat qu’elle est

injective. On l’appelle l’injection canonique de A0 dansĀ0.

Proposition 3.2.7 L’injection canonique est continue, ouverte, d’image dense dansĀ0. De plus, pour U∈ U, etf ∈ FA0, i

−1(V( f ,U)) = f + U.

Démonstration:L’assertioni−1(V( f ,U)) = f + U découle directement des définitions. On voit alors que siU est ouvert,i−1(V( f ,U))est ouvert. Comme une base de la topologie deA0 est constituée desV( f ,U) pourU ∈ U ouvert, ceci prouve queiest continue.L’image est dense : sif ∈ FA0, U ∈ U alors pour toutx ∈ f + U, {x} ∈ i(A0) ∩V( f ,U)Enfin i est ouverte car les ensembles de la formex+ U, x ∈ A0, U ∈ U forment une base de voisinages deA0 et ontpour image lesV({x},U). �

On identifie donc au moyen dei A0 à un ouvert dense dēA0. Une fois cette identification faite, on peut remarquerl’égalité suivante :∀U ∈ U, f ∈ FA0,

VA0( f ,U) = f + U

3.2.4 Compacit́e

Proposition 3.2.8 L’espace topologiqueA0 est compact.

Démonstration:Il reste à montrer que toute suite admet une valeur d’adhérence. Soit donc (xn)n∈N une suite dansA0. CommeF est

fini, on peut supposer que tous lesxn ont une même direction~f . Fixons une origine 0∈ A0 et identifions−→A0 et A0.

Alors chaquexn a un représentant inclus dans un cône deF . CommeF est fini, on peut supposer qu’il existeF ∈ Ftel que chaquexn a un représentant dansF. On a forcément~f ⊂ F̄.

Choisissons un système d’inéquations pourF :

F = {x ∈ A0 |αi(x) > 0∀i ∈ I , αi(x) = 0∀i ∈ J}

les{αi}i∈I∪J étant une famille génératrice deA∗0. Un système d’inéquations de~f est alors de la forme :

~f = {x ∈ A0 |αi(x) > 0∀i ∈ I1, αi(x) = 0∀i ∈ J ∪ I2}

où I = I1⊔ I2 est une partition deI . Pouri ∈ J, on aαi(xn) = 0 pour toutn puisque lesxn ont un représentant inclusdansF. Et pouri ∈ I1, on aαi(xn) = ∞.

13

Quitte à extraire une sous-suite de (xn), on peut supposer que pour touti ∈ I2, soitαi(xn) converge vers une limiteλi ,soitαi(xn) tend vers∞. SoitC = {i ∈ I2| limn∞ αi(xn) = λi} et N = {i ∈ I2| limn∞ αi(xn) = ∞} (C pour ”convergent” etN pour ”non convergent”).

Posons~g = {x ∈ A0 |αi(x) > 0∀i ∈ I1 ⊔ N, αi(x) = 0∀i ∈ J ⊔C}.

Nous allons maintenant montrer qu’il existeu ∈ A0 tel que∀i ∈ C, αi(u) = λi , puis queg := u+~g ∈ FA0 puis enfin quela suite{xn} converge vers [g]A0. Nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 3.2.9 Soit E un espace vectoriel de dimension finie,(αi)i∈I⊔J une famille génératrice finie dans E∗, (xn)n unesuite dans E vérifiant∀i ∈ I, (αi(xn))n est bornée, et∀ j ∈ J, α j(xn) tend vers∞. Alors il existe z∈ E tel que∀i ∈ I,αi(z) = 0 et∀ j ∈ J,α j(z) > 0.

Preuve du lemme:On montre le lemme par récurrence sur|J| le cardinal deJ. On peut supposer que les coordonnées desxn selonJ sonttoujours non nulles.Si |J| = 0 alorsz= 0 convient.Si |J| = 1, soit j l’élément deJ. Soitzn =

xnα j (xn)

. Alors pouri ∈ I , αi(zn)→ 0, etα j(zn) = 1 pour toutn. Tous lesαi(zn)convergent donc, et comme la famille desαi est génératrice deE∗, la suitezn admet une limite dansE. Et cette limitevérifie clairement les conditions requises.Supposons maintenant|J| = k > 1. Quitte à prendre une sous suite de (xn)n, il existe une énumérationJ = {α j1 , ..., α jk}telle que :

– ∀n ∈ N, α j1(xn) ≤ ... ≤ α jk(xn).

– ∀u ∈ ~1, k, la suite (α ju (xn)α jk (xn)

)n converge.

On pose alorszn =xn

α jk (xn), la suite (zn) converge vers une limitez∞ ∈ E. Cette limite vérifieαi(z∞) = 0 pour touti ∈ I ,

et elle a au moins une coordonnée (α jk) strictement positive. SoitJ1 = { j ∈ J|α j(z∞) > 0}.En retirant auxxn un multiple convenable dez∞, et en prenant éventuellement encore une sous suite, on peut rendrebornées un ensemble non vide{α j} j∈K de nouvelles coordonnées, avecK ⊂ J1, sans changer lesαi(xn), i ∈ I , et ens’assurant que lesα j , j ∈ J1−K qui ne sont pas devenue bornées tendent toujours vers l’infini. Alors par hypothèse derécurrence, il existez1 ∈ E qui annule lesαi , i ∈ I ⊔ K et tel queα j(z1) > 0 pour j ∈ J− K. Alors z= z1+ z∞ convient,ce qui prouve le lemme. �

montrons l’existence d’un tel u:

Posonsλi = 0 pouri ∈ J. Si la famille{αi}i∈J⊔C est libre, l’existence deu ne pose aucun problème. SoitK ⊂ J ⊔Ctel que{αi}i∈K soit une sous famille libre maximale de{αi}i∈J⊔C. On peut alors trouveru tel queαi(u) = λi pouri ∈ K.Si i ∈ (J ⊔C) \ K alorsαi est combinaison linéaire desα j , j ∈ K. Disonsαi =

∑j∈K a jα j . En appliquant cette égalité

aux xn et en passant à la limite, on obtientλi =∑

j∈K a jλ j . Doncαi(u) =∑

j∈K a jα j(u) =∑

j∈K a jλ j = λi . Ainsi, uconvient bien.

montrons que g∈ F :

Pour montrer queg = u+ ~g ∈ FA0, il faut montrer que~g ∈ F . On a~g ⊂ F̄, et~g est l’intérieur de Vect(~g) ∩ F. Donc~g est une des faces deF, d’après les hypothèses faites surF . En fait, la seule difficulté est de montrer que~g , ∅. Onva pour ce faire construire directement un point de~g à partir de la suite (xn).Pour toutn ∈ N, on peut choisirtn ∈ A0 un point d’un représentant dexn de sorte quetn ∈ F etαi(tn) →n→∞ ∞ pourtout i ∈ I1. On a alorsαi(tn) → ∞ pour i dansI1 ⊔ N, αi(tn) → λi pour i ∈ C etαi(tn) = 0 pouri ∈ J. Alors le lemmeprouve l’existence d’un point de~g.

14

Montrons que la suite(xn)n converge vers[u+ ~g]A0 :

Résumons : on dispose d’une famille génératrice (αi) deA∗0, indexée parI1 ⊔C ⊔ N ⊔ J, avec :

– αi(xn) = 0 pouri ∈ J.– αi(xn) tend versλi pouri ∈ C.– αi(xn) = ∞ pouri ∈ I1.– αi(xn) tend vers∞ pouri ∈ N.

De plus~g = {x|αi(x) > 0, α j(x) = 0∀i ∈ I1 ⊔ N, j ∈ J ⊔C} et ~f = {x|αi(x) > 0, α j(x) = 0 ,∀i ∈ I1, j ∈ j ⊔ N ⊔C}, et

donc ~f ⊂ ~g.Nous sommes donc exactement dans la situation de la proposition 3.2.4, et la suite (xn)n∈N tend vers [u+ ~g]A0. �

3.3 Structure du bord de Ā03.3.1 Prolongement des automorphismes

Pour que les automorphismes deA0 se prolongent en des homéomorphismes deA0, il est nécessaire de supposer queF est stable par le groupe de Weyl vectorielWv (hypothèse (H7)), ce que nous ferons dorénavant. Un tel prolongementest forcément unique puisqueA0 est dense dansA0.

Proposition 3.3.1 Soit w∈W, et soit w̃:A0 → A0[

f]A0 7→ [w( f )]A0

. Alorsw̃ est un homéomorphisme bien défini deA0

qui prolonge w, c’est donc l’unique prolongement continu dew à A0.

Démonstration:Si f = x+ ~f ∈ FA0, alorsw( f ) = w(x) + ~w( ~f ) ∈ FA0 car~w ∈W

v préserveF . DoncW préserveFA0. On voit égalementqueW préserve la relation d’équivalence∼A0 doncw̃ est bien défini. Comme de plusw est bijectif surFA0, on obtientquew̃ est bijectif.Soit x = [ f ]A0 ∈ A0, etV( f ,U) un voisinage dex, montrons que ˜w

−1(V( f ,U)) contient un voisinage de ˜w−1(x) =[w−1( f )]. On calcule :w̃−1(V( f ,U)) = {[w−1(g)]|g ⊂ f + U} = {[g]|w(g) ⊂ f + U} = {[g]|g ⊂ w−1( f + U)}. Maisw−1( f + U) = w−1( f ) + U doncw̃−1(V( f ,U)) = V(w−1( f ),U}, qui est un voisinage de ˜w−1(x). Doncw̃ est continue.CommeA0 est compact (donc en particulier séparé), ˜w est automatiquement fermée, c’est donc un homéomorphisme.�

Bien entendu, l’action deWv sur−→A0 s’étend elle aussi de la même manière en une action par homéomorphismes

sur⊔

~f∈F

−−→A0, ~f . L’action affine et l’action vectorielle sont compatibles au sens suivant: si w ∈W envoieA0~f surA0~g, si

~w ∈Wv est sa partie vectorielle, alors~w envoie−−→A0~f sur

−−→A0~g et ~w|−−→A0~f

est bien la partie vectorielle dew|A0~f .

3.3.2 Coeurs de ĉones

Pour faire le lien entre les cônes deF et les facettes de Weyl vectorielles, la notion du coeur d’uncône développéedans ce paragraphe est utile. Il s’agit d’attacher à un cône deF une facette vectorielle, ou une partie de facette vecto-rielle, qui le caractérise.

rappel : Dans un complexe de Coxeter abstrait, sif est une facette, alorsf ∗ est le complexe de Coxeter formé detoutes les facettesg supérieures àf , c’est-à-dire telles quef ⊏ g.Pour définir la notion similaire dans le cadre de la réalisation géométrique d’un immeuble abstrait, nous prenons lesconventions suivante : si~δ ⊂ ~A est un cône inclus dans une facette de Weyl, on appelleétoilede~δ dansA et~δ∗A (parfoisjuste~δ∗) l’union de toutes les chambres fermées contenant~δ. C’est un cône convexe fermé d’intérieur non vide. L’étoile

15

de~δ a la propriété que tout mur coupant son intérieur doit contenir~δ. De plus, siφ : A→ B est un isomorphisme alors~φ(~δ)∗B = ~φ(~δ

∗A).

Si f = x+ ~f avec~f un cône inclus dans une facette de Weyl, on posef ∗A = x+ ~f∗A.

Définition 3.3.2 Soit ~f ∈ F , soit Wv~f= StabWv( ~f ) le stabilisateur de~f . On poseδ( ~f ) := ~f

Wv~f = {x ∈ ~f | ∀w ∈

Wv~f, w(x) = x} = ~f ∩ FixA0(W

v~f), c’est le coeur de~f .

Voici quelques propriétés simples du coeur d’un cône. Remarquons qu’on obtient des informations non trivialessur les cônes deF , en particulier sur leurs stabilisateurs dansWv.

Proposition 3.3.3 Soit ~f ∈ F . Alors :

1. ∀w ∈Wv, δ(w. ~f ) = w.δ( ~f ).

2. δ( ~f ) est un cône vectoriel convexe non vide.

3. Si ~f , ~g ∈ F , alorsδ( ~f ) ∩ δ(~g) = ∅.

4. δ( ~f ) est inclus dans l’intersection des murs coupant~f , et Wv~f

contient les réflexions par rapport à ces murs.

5. Wv~f= FixWv(δ( ~f )), c’est à dire qu’un élément de Wv stabilise~f ssi il fixeδ( ~f ).

6. δ( ~f ) est inclus dans une facette de Weyl.

7. ~f ⊂ δ( ~f )∗.

8. (amélioration de 4.)δ( ~f ) est égal à l’intersection de~f et des murs coupant~f , et Wv~f

est le sous groupe de

Coxeter engendré par les réflexions selon ces murs.

9. Si~g ∈ F et si ~f ⊂ ~g, alors il existe une facette de Weyl~h telle queδ( ~f ) ∪ δ(~g) ⊂ ~h.

Démonstration:

1. CommeWvw~f= wWv

~fw−1, les points fixes deWv

w. ~fsontw.FixA0(W

v~f). D’où δ(w. ~f ) = w. ~f ∩ w.FixA0(W

v~f) =

w.( ~f ∩ FixA0(Wv~f) = w.δ( ~f ).

2. L’ensemble des point fixes d’une application linéaire est un cône vectoriel convexe. Et~f aussi. Doncδ( ~f ) estune intersection de cônes vectoriels convexe, c’en est donc un aussi. Soitz ∈ ~f . CommeWv

~fest fini, on peut

définirg comme le barycentre de{w(z)|w ∈Wv~f}. Par convexité de~f , g ∈ ~f , et c’est un point fixe pourWv

~f. Donc

δ( ~f ) , ∅.

3. Ceci est clair carδ( ~f ) ⊂ ~f .

4. Soit ~M un mur coupant~f , soitσ la réflexion selon~M. CommeF est stable parWv, σ( ~f ) ∈ F . Maisσ fixe aumoins un point de~f , donc ~f ∩ σ( ~f ) , ∅, doncσ( ~f ) = ~f etσ ∈Wv

~f. Alors δ( ~f ) ⊂ Fix ~f (σ) = ~M ∩

~f .

5. Soitw ∈ Wv. Si w ∈ Wv~f

alorsw fixe δ( ~f ) par définition. Réciproquement, siw fixe δ( ~f ), alorsw fixe au moins

un point de~f , doncw( ~f ) = ~f (on a déjà fait ce raisonnement).

6. Il s’agit d’abord de prouver que pour tout mur vectoriel~M, δ( ~f ) est soit inclus dans~M, soit inclus dans un desdeux demi-appartements ouverts délimités par~M. Mais c’est une conséquence de la convexité deδ( ~f ) et duquatrième point. Ensuite, d’après le point précédent,il suffit de vérifier que FixWv(δ( ~f )) = FixWv(~g), où~g est lafacette de Weyl contenantδ( ~f ). Ceci découle du fait queWv préserve l’ensemble des facettes de Weyl, et que siw ∈Wv stabilise une facette, alors il la fixe.

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7. SoitC une chambre fermée coupant~f . Montrons queC contientδ( ~f ). Supposons par l’absurde qu’il existey ∈ δ( ~f ) \C. Soit x ∈ C ∩ ~f , alors [x, y] ⊂ ~f . Soitz tel queC ∩ [x, y] = [x, z]. On az , y cary < C. Alors z estdans un mur~M qui bordeC et qui ne contient par [x, y]. Mais z ∈ ~f , donc ~M coupe~f , donc d’après le quatrièmepoint,δ( ~f ) ⊂ ~M. En particulier,y ∈ ~M, d’où [x, y] ∈ ~M, ce qui est une contradiction.

8. Notons~g la facette de Weyl contenantδ( ~f ). Alors Wv~f= FixWv(~g), c’est un sous groupe de Coxeter deWv,

engendré par les réflexions selon les murs contenant~g. Mais ces murs sont justement les murs coupant~f (utiliser4.), d’où la seconde partie de 8. On sait alors de plus que~g est l’ensemble des points fixes deWv

~f, et aussi

l’intersection des murs contenant~g. On obtient alors queδ( ~f ) = ~g∩ ~f puis queδ( ~f ) et l’intersection de~f et desmurs coupant~f .

9. Si ~f ⊂ ~g, alorsδ( ~f ) ⊂ ~g ⊂ δ(~g)∗, d’où le résultat. �

Lorsque~f ∈ F , ~f n’est pas forcement inclus dans une facette de Weyl. On peut néanmoins poser~f ∗ = δ( f )∗. Cecicontient~f , par le point 7. de la proposition. On notera alors, sif ∈ FA0, f

∗= s( f ) + ~f ∗.

Exemples– Dans le cas oùF = F ∅ est l’ensemble des facettes de Weyl de~A0, on aδ( ~f ) = ~f , pour tout~f ∈ F .

– Dans le cas oùF = F J comme dans 2.5, si~f est une facette admissible de~C0 de typeI , alors par définition,WvJ∩I⊥ ⊂ Stab(J.

~f ). D’autre part, il est clair queWvI = Stab(~f ) ⊂ StabJ. ~f . Il est facile de vérifier qu’en fait

Stab(J. ~f ) =WvI∪(J∩I⊥ . Dès lors, le coeur deJ.~f est la facette de~C0 de typeI ∪ (J∩ I⊥). De manière plus générale,

si ~f est une facette admissible, alorsδ(J. ~f ) est la sous-facette de Weyl de~f de typeI ∪ (J ∩ I⊥).

– La figure 4 représente les coeurs des cônes de la décomposition du troisième exemple de 2.5.3. Les coeurs dedimension 2 sont hachurés, ceux de dimension 1 sont en pointillé. Pour faciliter la lecture, la figure de gaucherappelle cette décomposition en cônes.

Fig. 4 – Les coeurs d’un autre exemple de décomposition en cônes.

Pour finir, définissons le coeur d’un cône affine :

Définition 3.3.4 Soit f = x+ ~f un cône affine. On définit alorsδ( f ) = x+ δ( ~f ), c’est le coeur de f .

Le coeur d’un cône affine est toujours caractéristique du cône :

Proposition 3.3.5 L’ensemble des coeurs de cône affine possibles est{x + ~δ | x ∈ A0, ~δ ∈ δ(F )}. Et chacun de cescoeurs est le coeur d’exactement un cône affine.

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Démonstration:Il est évident que chacun desx + ~δ, pour x ∈ A0 et ~δ le coeur d’un cône vectoriel est le coeur d’uncône affine.Étudions l’unicité. Supposonsδ( f ) = δ(g) avec f , g ∈ FA0. Commeδ( f ) et δ(g) sont des sous-cônes defet g, ils ne contiennent pas de sous-espace vectoriel non trivial et ont donc chacun un unique sommet, tout commefet g. On peut alors conclure, d’après la définition du coeur d’un cône, que le sommet def est aussi celui deδ( f ), demême pourg. Commeδ( f ) = δ(g), on obtient que tous ces sommets sont égaux. D’oùδ( ~f ) = δ(~g), puis ~f = ~g d’aprèsl’étude du cas vectoriel, d’où enfinf = g. �

Définition 3.3.6 Soit δ ∈ δ(FA0) un coeur de cône dans A0. On appelle cône affine de A0 engendré parδ l’uniquef ∈ FA0 tel queδ( f ) = δ.

Voici quelques propriétés immédiates du coeur d’un cône affine :

Proposition 3.3.7 Soit f ∈ FA0. Alors :

– Siδ est un coeur tel que~δ ⊂ δ( ~f ) et δ ⊂ f , alors le cône engendré parδ est inclus dans f . Si~δ ⊂ δ( ~f ) et δ ⊂ f̄ ,alors le cône engendré parδ est inclus dans̄f .

– Pour tout w∈W, w( f ) = f si et seulement si w fixeδ( f ).

3.3.3 Structure de complexe de Coxeter vectoriel sur une fac¸ade

Fixons un cône~f ∈ F . Dans ce paragraphe, on noteraF := A0~f la façade deA0 de typef . C’est un espace affine

dont l’espace directeur est~F =−→A0/Vect(~f ). On munit ~F du produit scalaire obtenu en l’identifiant avec (~f )⊥. Nous

commençons par étudier la structure de~F. Notonsp = pA0, ~f la projection surF, et ~p :−→A0→ ~F sa partie vectorielle.

SoitMv l’ensemble (fini) des murs vectoriels contenant~f . Si ~M ∈ Mv, alorsp( ~M) est un hyperplan de~F. Nous

dirons que lesp( ~M), pour ~M ∈ Mv sont lesmursde ~F. La fonction pMv:Mv → {murs de~F}~M 7→ p( ~M)

est injective, nous

permettant d’identifierMv à l’ensemble des murs de~F. Cet ensemble de murs fait de~F un complexe de chambres,nous voulons prouver qu’il s’agit en fait d’un complexe de Coxeter. Il nous reste donc à trouver un groupe de Coxeteragissant simplement transitivement sur l’ensemble des chambres de~F.

Rappelons que le groupeWv agit sur∪ ~f∈F ~A0~f et que le stabilisateur de~f estWv

~f= {w ∈ Wv|w( ~f ) = ~f }. Pour

w ∈ Wv~f, on notep(w) l’application induite sur~F. Le groupep(Wv

~f) préserveMv et le produit scalaire de~F, c’est le

candidat naturel comme groupe de Coxeter de~F. Montrons que c’est effectivement un groupe de Coxeter et qu’il agitsimplement transitivement sur l’ensemble des chambres de~F. On observe la suite exacte courte :

0→ FixWv~f( ~f⊥)→Wv

~f

p→ p(Wv

~f) → 0

D’après le paragraphe précédent,Wv~f

est le fixateur dansWv deδ( ~f ), ou encore le fixateur de la facette de Weyl

contenantδ( ~f ). Choisissons une chambreC contenantδ( ~f ) dans son adhérence, soitS le système générateur deWv

formé des réflexions par rapport aux murs deC. Alors il existe I ⊂ S tel queWv~f= WI =< s|s ∈ I >. De plus,

I = {s ∈ S|s(δ( ~f )) = δ( ~f )}.

CommeWv préserve le produit scalaire sur−→A0, les éléments deWv~f

stabilisent Vect(~f ) et (~f )⊥. Dans une base

adaptée, leurs matrices sont du typeMat(w) =

[ψ(w) 0

0 φ(w)

], oùψ(w) est la matrice dew restreint à Vect(~f ) et φ(w)

est la matrice dew restreint à (~f )⊥, c’est aussi la matrice dep(w).Soit s ∈ I , s est diagonalisable et préserve les espaces Vect(~f ) et (~f )⊥. On peut donc choisir une base adaptée comme

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précédemment en imposant en plus queψ(s) etφ(s) soient diagonales. Le spectre desest composé d’un seul−1 et lesautres valeurs propres sont 1, donc soitψ(s) est une réflexion etφ(s) = id, soitφ(s) est une réflexion etψ(s) = id.NotonsI1 l’ensemble des réflexions deI se trouvant dans le premier cas, c’est-à-dire qui agissentsur ~f et fixent ~f⊥.NotonsI2 l’ensemble des réflexions se trouvant dans le second cas, qui fixent ~f et donnent une réflexion sur~f⊥.Alors WI2 ⊂ FixWv( ~f ), WI1 ∩WI2 = {id}, et p|WI2 est injective. De plus, tout élément deWI1 commute avec tout élémentdeWI2 et W

v~f=WI =WI1⊔I2 est engendré parWI1 et WI2.

Par conséquent,Wv~f≃WI1 ×WI2, avecWI2 ≃ FixWv( ~f ) ≃ p(W

v~f) (I1 et I2 sont deux parties disjointes du diagramme de

Coxeter de~A0). En particulier,p(Wv~f) est un groupe de Coxeter.

A présent, on vérifie que le complexe de chambres défini parMv sur ~F est isomorphe au complexe de CoxeterWI2 .C. On dispose d’une fonctionWI2-équivariante deWI2 .C dans les chambres de~F : il s’agit de la fonctionpC qui aune chambreD dansWI2 .C associe la chambre de~F contenantp(D).Cette fonction est injective car les murs deWI2 .C contiennent tous les points fixes deWI2 donc en particulier~f , doncce sont tous des éléments deM. Deux chambres distinctes dansWI2 .C sont donc séparées par un mur deM

v, ellesdonnent donc deux chambres distinctes dans~F.Enfin vérifions quepC est surjective. Toutes les réflexions par rapport à un mur deMv sont des éléments deWI2.Comme ces dernières agissent transitivement sur les chambre de~F et commepC estWI2-invariante, on obtient bien lasurjectivité.

Résumons :

Proposition 3.3.8 Soit ~f ∈ F , alors l’espace vectoriel directeur de la façade A0~f est muni d’une structure de complexede Coxeter où :

– les murs sont les hyperplans du type p( ~M) où ~M est un mur de~A0 contenant~f .– le groupe de Coxeter est p(Wv

~f) ≃ FixWv( ~f ) (isomorphe à WI2 avec les notations précédentes).

Si C est une chambre fermée contenantδ( ~f ), alors ce complexe de Coxeter est isomorphe àFixWv( ~f ).C, via l’applica-tion pC : w.C 7→la chambre de~F contenant p(w.C).

Remarque:Ce complexe de Coxeter n’est pas forcément essentiel. Le cas extrême est atteint lorsque~f est unedroite, incluse dans une chambre. AlorsI = ∅, doncA0~f est trivial comme complexe de Coxeter, et pourtant il est dedimension dim(I) − 1.En fait,A0~f est essentiel⇔ FixA0(WI2) = Vect(

~f ) ⇔ Vect(~f ) = Vect(Cl(~f )).

En particulier,A0~f est essentiel si~f est une réunion de facettes de Weyl.

Dans la décompositionWv~f≃ WI1 ×WI2, le premier facteur est donc le groupe de Coxeter de~F. Concernant le

deuxième facteur, on montre facilement le résultat suivant :

Proposition 3.3.9 Soit ~E le supplémentaire orthogonal deVect(δ( ~f )) dansVect(~f ), de sorte qu’en identifiant~F avec~f⊥, on a ~A0 = Vect(δ( ~f )) ⊕ ~E ⊕ ~F, et la somme est orthogonale.Alors les murs de~A0 contenantδ( ~f ) contiennent soit~E, soit ~F. On sait déjà que les premiers induisent les murs de~F,les second définissent un complexe de Coxeter sur~E, dont le groupe de Coxeter est WI1. Ce complexe de Coxeter estessentiel.

En terme de diagrammes de Dynkin, disons que siD est le diagramme deA0, I (qu’on identifie à un sous-diagramme deD) est obtenu en enlevant les noeuds deD correspondant au type de la facette de Weyl contenantδ( ~f ). Le diagramme obtenu est séparé en deux parties non reli´ees, le digrammeI1 de ~E et le diagrammeI2 de ~F.Notons que si le diagramme deA

δ( ~f ) est connexe, alors~E ou ~F doit être trivial, c’est-à-dire sans mur, ce qui correspond

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aux situations suivantes :

– ~E trivial ⇔ I1 = ∅ ⇔ StabWv( ~f ) = StabWv(δ( ~f )) ⇔ ~f ⊂ Cl(δ( ~f )). Commeδ( ~f ) = Cl(δ( ~f )) ∩ ~f , ceci équivauten fait à ~f = δ( f ) donc à~E = {0}.

– ~F trivial ⇔ I2 = ∅ ⇔ FixWv( ~f ) = {e} ⇔ Cl( ~f ) contient une chambre.

3.3.4 Structure de complexe de Coxeter affine sur une façade

A présent, soitM = {M mur deA0 | ~M ∈ Mv}. AlorsM est un ensemble discret d’hyperplans.Le sous-groupe deW qui stabilise la façadeF = A0~f estW~f = {w ∈ W|~w ∈ W

v~f} = {w ∈ W|~w( ~f ) = ~f }. Ce sous-

groupe contient les symétries par rapports aux murs deM, il préserve la structure euclidienne deF et cet ensembled’hyperplans. En notantp(w) l’élément deIsom(F) induit parw, on voit donc quep(W~f ) agit surF en préservantM,et qu’il contient les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans deM.Ceci suffit à prouver queM définit un complexe de Coxeter affine surF, et quep(W~f ) contient le groupe de Coxetercorrespondant.

Définition 3.3.10 L’ensemble des facettes deĀ0 est la réunion des ensembles de facettes de chacune de ses façades.

3.4 Compactification de chaque appartement

Soit A un appartement deI soitφ : A0→ A un isomorphisme et~φ :−→A0→ ~A sa partie linéaire.

On notera encoreF l’ensemble des~φ( ~f ), ~f ∈ F . Comme deux isomorphismes entreA0 et A diffèrent d’un élémentdu groupe de WeylW, le choix deφ n’intervient pas dans cette définition. De la même manière, on notera encoreUl’ensemble des~φ(U), U ∈ U, ou si l’on préfère, l’ensemble des voisinage de 0 dans~A stables parW(~A).Comme dans la partie précédente, on définitFA l’ensemble des cônes affines deA, Ā le compactifié deA, {A~f |

~f ∈ F }

l’ensemble des façades deĀ,VA la fonction qui à un cône deFA et un élément deU associe un voisinage dansĀ, lecoeur d’un cône, etc...

Un isomorphismeψ : A∼−→ B entre deux appartements induit un isomorphisme entre chacun de ces objets pour

A et l’objet correspondant pourB. Il s’étend notamment en un unique homéomorphisme deĀ sur B̄, noté encoreψ.Explicitement, on aφ([ f ]A0) = [φ( f )]A.Pour toute façadeA~f deA, ψ induit une isométrie entreA~f et B~ψ( ~f ), cet homéomorphisme induit une bijection entre lesmurs deA~f et ceux deB~ψ( ~f ), c’est donc un isomorphisme de complexes de Coxeter.Dans la suite, on appellera isomorphismes d’appartements compactifiés les applications tellesφ qui sont des homéomorphismesentre deux appartements compactifiés qui induisent sur chaque façade un isomorphisme de complexe de Coxeter.

4 Quelques ŕesultats ǵenéraux sur les immeubles

Le but principal de cette section est de donner des critèrespermettant de s’assurer qu’une partie deI est inclusedans un appartement. Les résultats de 4.1 sont vrais dans unimmeuble quelconque, nous cesserons donc pour cettepartie de supposerI affine.A défaut d’une réalisation affine, il sera toujours possible d’utiliser la réalisation comme cône de Tits d’un complexede CoxeterΣ quelconque. Il s’agit d’un cône convexeC dans un espace vectoriel de dimension finieV dont le sommetest 0. Les murs deΣ correspondent à des hyperplans vectoriels deV (qui rencontrent l’intérieur deC), les facettes sontdes cônes convexes de sommet 0, les facettes de dimensioni sont des cônes ouverts dans un sous-espace vectoriel dedimensioni (voir [Bou68] 4.6).

La notation〈 f 〉 pour une facettef dans un complexe de CoxeterΣ représentera l’intersection des murs deΣ quicontiennentf . Si Σ est un complexe de Coxeter affine, identifié à sa représentation affine, alors〈 f 〉 = Aff( f ), et siΣ

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est un complexe de Coxeter quelconque identifié à son cônede Tits, alors〈 f 〉 = Vect(f ).

On rappelle d’abord quelques résultats classiques, sur lesquels s’appuie toute la suite :

Proposition 4.0.1 SoitI un immeuble, de système de Coxeter(W,S). Son système complet d’appartement est l’en-semble des parties deI isomorphes au complexe de Coxeter de(W,S).

A partir de cette proposition, on montre le résultat fondamental suivant (voir [Ron89], théorème 3.6 page 31) :

Théorème 4.0.2Soit Z un ensemble de chambre deI, isométrique pour la W-distance deI à une partie deΣ(W,S).Alors il existe un appartement du système complet d’appartements deI contenant Z.

On note immédiatement deux conditions équivalentes à celle donnée par le théorème :

Corollaire 4.0.3 Soit Z un ensemble de chambres dansI. Les conditions suivantes sont équivalentes :

– Pour tout c, d, e∈ Z, δ(c, e) = δ(c, d)δ(d, e), oùδ est la W-distance deI.– Trois chambres quelconques de Z sont incluses dans un mêmeappartement.– Il existe un appartement contenant Z.

Voici deux situations particulières où s’applique ce th´eorème :

Corollaire 4.0.4 – Si Z est une galerie tendue (pas forcément finie), alors Z est contenu dans un appartement dusystème complet d’appartements deI.

– Si D est un demi-appartement délimité par un mur M, et si c est une chambre deI dont une cloison est inclusedans M, alors D∪ c est inclus dans un appartement du système complet d’appartements deI.

Enfin, voici une version assez générale du résultat parfois appelé« lemme fondamental des immeubles» :

Lemme 4.0.5 SoientΣ etΣ′ des complexes de chambres. On suppose que dansΣ′, toute cloison est dans au plus deuxchambres. Soit c une chambre deΣ et d une chambre deΣ′. Alors il existe au plus un morphisme de complexes dechambres injectif deΣ dansΣ′ qui envoie c sur d.En particulier, siΣ ⊂ Σ′ et c= d, un tel morphisme est forcément l’inclusion.

4.1 Parties closes dans un appartement

Voici quelques rappels sur la notion de partie close, principalement issus de [BT72] pour le cas affine. Pour le casgénéral considéré ici, on peut se reporter à [Ré02] 5.4.3. On donne une preuve de deux résultats classiques, à savoir laclôture de l’intersection de deux appartements et l’existence d’un isomorphisme entre deux appartements fixant leurintersection dans le cas général où l’intersection des appartements ne contient pas forcément de chambre.

Définition 4.1.1 (rappel) Une partie Z dans un appartement A est dite close si c’est une intersection de demi-appartements de A. Si Z est une partie quelconque de A, on noteClA(Z) (ou juste Cl(Z)) et on appelle enclos deZ la plus petite partie close contenant Z. C’est aussi l’intersection de tous les demi-appartements de A contenant Z.

Proposition 4.1.2 Si Z est la fermeture d’un ensemble E de chambres, alors Z est clos si et seulement si E contienttoutes les galeries minimales entre deux éléments de E.

Démonstration:Le sens⇒ est clair. Pour l’autre sens, il s’agit de montrer que sic est une chambre deA qui n’est pas dansE, alors ilexiste un mur séparantc de toutes les chambres deE.Soit d1, ..., dk, c une galerie minimale deE à c. Alors d1 ∈ E et d2 < E. Soit M le mur entred1 et d2. Soite ∈ E, si Mséparaitd1 et e alors il existerait une galerie minimale entree et d1 passant pard2, ce qui impliquerait qued2 ∈ E, ce

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qui est impossible. DoncM séparec et E. �

Cette proposition permet une définition de la clôture dansI, pour des ensembles de chambres, cohérente avec laprécédente :

Définition 4.1.3 Un ensemble de chambres deI est dit clos s’il contient toutes les galeries minimales entre deux deses chambres. L’enclos d’un ensemble de chambres est le pluspetit ensemble de chambres clos le contenant.

La proposition précédente prouve que siZ est un ensemble de chambres inclus dans un appartementA, alorsZ est clos(au sens 4.1.3) si et seulement siZ̄ est clos dansA (au sens 4.1.1).

L’enclos d’une partie, même convexe, d’un appartement n’est pas toujours évidente. Par exemple dans un appar-tement de typẽB2 on trouve facilement des parties convexes de toute dimension non nulle, dont l’enclos contient deschambres qui n’ont aucun point en commun avec la partie de départ.

4.1.1 Projection

Pour étudier la clôture d’ensembles de facettes qui ne sont pas forcement l’adhérence d’un ensemble de chambre,la notion de projection est très utile. Rappelons-en les principales propriétés.

Définition 4.1.4 SoitΣ un complexe de chambres, soient c et d deux simplexes deΣ. On appelle projection de d sur cet on note projc(d) l’intersection des chambres finales de toutes les galeries minimales de d à c.

Proposition 4.1.5 SoitΣ un complexe de Coxeter, et c, d deux simplexes deΣ. Alors :– projc(d) ⊂ Cl(c∪ d)– Soit g la chambre terminale d’une galerie minimale de d à c,et soitM l’ensemble des murs contenant c et d.

Alors projc(d) est l’intersection de g et des murs deM.– L’étoile de projc(d) est formée des chambres terminales des galeries tendues ded à c et des intersections de ces

chambres. Son groupe de Coxeter, c’est-à-direFixW(Σ)(projc(d)) est le groupe engendré par les réflexions selonles murs deM.

– dim(pro jc(d)) ≥ dim(d) avec égalité si et seulement si c⊂ 〈d〉Σ.

Remarque:La dimension d’une facettef dans un complexe de CoxeterΣ est son nombre de sommet. Ceci coı̈ncideavec la dimension de Vect(f ) dans le cône de Tits, et avec la dimension de Aff( f ) plus 1 dans une réalisation affine siΣest de type affine et irréductible. Dans le cas non irréductible, la repr´esentation affine deΣ contient des polysimplexesqui engendrent un espace de dimension moindre que leur nombre de sommets moins 1.Cependant, la proposition est encore vraie dans ces cas si onremplace la dimension d’une facette par la dimension del’espace affine qu’elle engendre.

Démonstration:Pour le premier point, soitM+ un demi-appartement délimité par le murM et contenantc et d. Soit Γ une galerieminimale ded àc, siΓ n’est pas incluse dansM+, alors en la pliant le long deM on obtient une autre galerie minimaleded à c qui elle est incluse dansM+. La chambre finale de cette galerie contient projc(d), d’où projc(d) ⊂ M

+. Ceciprouve que projc(d) ⊂ Cl(c∪ d).

Passons au second point. SoitΓ = g0, ..., gk une galerie tendue ded àc avecgk = g etk = d(c, d). Soit M ∈ M, no-tonsσM la réflexion selonM. AlorsσM(Γ) est aussi une galerie minimale ded àc, donc projc(d) ⊂ g∧σM(g) = g∧M.Nous prouvons ainsi que projc(d) ⊂ g∧

∧M∈M M.

Pour montrer l’inclusion réciproque, il s’agit de prouverque toute galerie tendue ded à c se termine par une chambrecontenantg ∧

∧M∈M M. SoitΘ = h0, ..., hk une telle galerie. Il suffit de prouver que les murs séparantg de hk sont

dansM. Si N est un tel mur, il contientg∧ hk donc en particulierc. De plus, il ne peut couper niΓ ni Θ sans quoi onpourrait réduire ces galeries par un pli le long deN. DoncN sépareg0 deh0, donc contientg0∧ h0, et en particulierd.

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Ceci prouve queN ∈ M, et conclut la démonstration du second point.

NotonsT l’ensemble des chambres terminales de galeries tendues ded à c. Notons aussiW′ le groupe engendrépar les réflexions selon un mur deM. Nous venons de voir que tout mur séparant deux chambres deT est dansM.Nous avons vu juste avant queW′ stabiliseT . Ceci entraı̂ne queT = W′.g, et queT contient toutes les galeries ten-dues entre deux de ses éléments. De plus, l’action deW′ surT est simplement transitive puisque celle deW(Σ) sur leschambres deΣ l’est. SoitS′ l’ensemble des réflexions selon les murs deM bordantT . Si w ∈ W′, soitΛ une galerietendue deg àwg, elle est incluse dansT . Le premier mur qu’elle rencontre correspond à une réflexion s ∈ S′, et alorsl(sw) < l(w). On prouve ainsi par récurrence queW′ est engendré parS′, c’est donc le sous-groupe parabolique deW(Σ) correspondant à la chambreg et aux réflexionsS′. C’est donc le fixateur de la facette deg fixée parS′. MaisFixΣ(S′) = FixΣ(W′) =

⋂w∈W′ wg, c’est l’intersection des chambres deT , et par définition, c’est projc(d). Au final,

W′ = FixW(Σ)(projc(d)), etT =W′.g est l’ensemble des chambres de (projc(d))

∗. Ceci prouve le troisième point.

Pour le dernier point, on considère la réalisation géom´etriqueC ⊂ V deΣ comme cône de Tits.SoitMg l’ensemble des murs deM qui bordentg, ils correspondent à une famille d’hyperplans linéairement indépendants(au sens où les formes linéaires les définissant sont ind´ependantes). Nous avons vu que projc(d) est l’intersection deget des murs deMg, d’où Codim(projc(d)) = Card(Mg) = Codim(

⋂M∈Mg M). Comme tous ces murs contiennentd, on

a d ⊂⋂

M∈Mg M, d’où dimd ≤ dim(⋂

M∈Mg M) = dim(projc(d).Le cas d’égalité est atteint lorsque tous les murs contenantd contiennent également projc(d). On a alorsc ⊏ projc(d) ⊂〈d〉Σ. Réciproquement, sic ⊂ 〈d〉Σ, alors tous les murs contenantd contiennent aussic et donc sont dansM.Au vu du point précédent,M est l’ensemble des murs contenant projc(d). On a donc〈d〉Σ = 〈projc(d)〉Σ d’oùdimd = dim(projc(d)). �

4.1.2 Les parties closes sont des complexes de chambre

Proposition 4.1.6 Une partie close dans un complexe de Coxeter est un complexe de chambre.

Démonstration:Soit E une partie close dans un complexe de CoxeterΣ.Soit c un simplexe deE, choisissonsd un simplexe de dimension maximale dansE. La proposition 4.1.5 montre queprojc(d) est inclus dansE et est de dimension supérieure à celle ded. Commed est de dimension maximale, les di-mensions sont en fait égale, ceci prouve quec est inclus dans un simplexe de dimension maximale.

Il reste à prouver qu’entre deux simplexes deE de dimension maximale existe une galerie dansE. Soientc et ddeux tels simplexes, on procède par récurrence sur la distance, dansΣ, entrec et d.Si d(c, d) = 0, cela signifie quec etd sont inclus dans une même chambreC deΣ. Soit alorsc∨d la plus petite facettedeC contenantc et d, elle est incluse dans Cl(c, d) donc dansE. Commec et d sont de dimension maximales dansE,on a dim(c∨ d) = dim(c) = dim(d), d’où c = c∨ d = d. La galerie de longueur 0 formée uniquement de la chambrecreliec à d.Si d(c, d) > 0, soitΓ = g0...gk, k ≥ 1, une galerie tendue dansΣ ded à c. Commec a gk−1, le simplexeσ := c∧ gk−1est de codimension 1 dansc (c’est une cloison deE). Maintenant projσ(d) est une chambre deE adjacente àc etstrictement plus proche dansΣ ded quec. Ce qui conclut la récurrence. �

Le cas particulier d’une intersection de murs est intéressant, puisqu’on prouve alors qu’il s’agit d’un complexe dechambre ”au plus mince” :

Lemme 4.1.7 Une intersection de murs dans un complexe de Coxeter est un complexe de chambres dans lequel unecloison est incluse dans au plus deux chambres.

Démonstration:SoitM un ensemble de murs dans un complexe de CoxeterΣ, et E leur intersection. En particulier, c’est une partieclose deΣ donc un complexe de chambres.

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Soitσ une cloison deE. On considère la réalisation géométriqueC comme cône de Tits du complexe de Coxeterσ∗

formé des simplexes deΣ contenantσ. La facette minimale deσ∗ estσ, elle correspond à{0} dans le cône de Tits. Leschambres deE contenantσ correspondent à des demi-droites issues de 0. Nous voulonsmontrer qu’il ne peut y avoirqu’au plus deux telles demi-droites.Les demi-appartements deΣ contenantE soit contiennentσ∗ soit contiennentσ dans le mur qui les bordent et in-duisent alors un demi-appartement deσ∗. Ceci prouve queE∩σ∗ est égale à l’intersection des demi-appartements deσ∗ induits par les demi-appartements deΣ contenantE ∩ σ∗ et dont le bord contientσ. DoncE ∩ σ∗ est une partieclose deσ∗. DansV, c’est l’intersection deC avec des demi-espaces, c’est donc un convexe. Donc sid est une chambrede E contenantσ, alorsE ∩ σ∗ ⊂ Vect(d), en identifiantE ∩ σ∗ et d à leurs images dansV. Ainsi les chambres deE contenantσ sont, dansV, des demi-droites issues de 0 incluse dans la droite Vect(d) : il n’y en a que deux possibles.�

Ce dernier résultat permet de prouver la caractérisationgéométrique des parties closes suivante :

Proposition 4.1.8 SoitΣ un complexe de Coxeter,C ⊂ V sa réalisation comme cône de Tits dans l’espace vectorielV. Soit E un ensemble de facettes dont l’image dansC est fermée et convexe. Alors E est une partie close.

Remarque:– Réciproquement, une partie close deΣ est clairement convexe et fermée dansC, et égale à une union de facettes.– Ce résultat est encore vrai dans le cadre d’un complexe de Coxeter affine en remplaçant la réalisation comme

cône de Tits par la réalisation comme espace affine (et en remplaçant dans la preuve Vect(f ) par Aff( f ) ).

Preuve du lemme:On identifieE à son image dansC. Soit f ⊂ E une facette de dimension maximale. Soitx ∈ f . Pour touty ∈ E, lesegment [x, y] est contenu dansE. Commef est une facette maximale deE, ce segment doit rester, au voisinage dex,dansf . Donc [x, y] ⊂ Vect(f ). Ceci prouve queE ⊂ Vect(f ).A présent, soitg ⊂ Vect(f ) une facette qui n’est pas incluse dansE, montrons qu’il existe un murM tel queE|Mg.Soit x ∈ f , y ∈ g. CommeE est fermée, il existez ∈ [x, y] tel que [x, y] ∩ E = [x, z]. Quitte à déplacer le pointxdansf , on peut supposer quez est dans une facetteh ⊂ Vect(f ) de dimension dim(f ) − 1. Il existe un murM tel queh = M ∩ Vect(f ), vérifions queM convient. S’il existait un pointa ∈ E tel quex|Ma, alors le segment [a, z] seraitinclus dansE. Mais il existe au plus deux facettes de dimension dim(f ) incluses dans Vect(f ) et contenantzdans leuradhérence, par le lemme 4.1.7. Or [x, z] et [a, z] coupent deux telles facettes distinctes. Ceci prouve qu’il y en a deux,et qu’elles sont dansE. Mais ceci contredit la définition dez car l’adhérence de leur réunion contient un voisinage dezdans Vect(f ) inclus dansE. �

4.1.3 Intersection de deux appartements

Proposition 4.1.9 L’intersection de deux appartements A et B est une partie close de A et de B.

Démonstration:Soit f une facette maximale dansA ∩ B, c’est à dire une facette qui n’est incluse dans l’adhérence d’aucune autrefacette incluse dansA∩ B. Montrons queA∩ B ⊂ 〈 f 〉A.Soit g une facette dansA ∩ B. SoientΓA = a1, ..., ak et ΓB = b1, ..., bk deux galeries minimales def à g, l’une dansA l’autre dansB (deux galeries minimales entre deux facettes ont forcément la même longueur). Soit∆ = (a1 =d1, ..., dl = b1) une galerie minimale dea1 à b1 et Z un appartement la contenant. On aa1 ∧ b1 = f puisquef est unefacette maximale dansA∩ B, et toutes les chambres de∆ contiennentf .Soit ρ = ρA,a1, ρ(ΓB) est une galerie minimale entref et g dansA. Si φ est l’isomorphisme deZ sur A fixant a1, lesmurs séparanta1 et ρ(b1) son

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