D. GÉNÉRALISATION DU CALCUL DE LA PRIME PUREUn père de famille , âgé de 40 ans, contracte une assurance qui lui demande de verser une prime annuelle pendant 10 ans pour que son

D. GÉNÉRALISATION DU CALCUL DE LA PRIME PURE

Partie 1: Actuariat VieChapitre 2. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque

Partie 1: Actuariat VieChapitre 2. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque Généralisation du calcul de la prime pure

Temporaire décès en progression arithmétique croissante de raison 1

1- Capital versé au moment du décès / PU

Cx + Cx+1 + Cx+2+…+ Cx+n-1

DxnAx=

__ __ __ __

Rappelons que pour une temporaire décès constante, la formule de la prime unique s’écrit comme suit:

Donc, pour un capital progressif de 1, 2, 3…

Démonstration de commutations?

Partie 1: Actuariat VieChapitre . Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque Généralisation du calcul de la prime pure

Application PU/PA

Temporaire décès en progression arithmétique croissante de raison 1

1- Capital versé au moment du décès

Une femme de 30 ans contracte une police d’assurance d’une durée de 20 ans, qui permettrait à son fils, désigné comme bénéficiaire, d’avoir un capital au moment de son décès. Selon les termes du contrat, le fils aura droit à un capital de 50.000 dh si elle décède la première année, puis croît arithmétiquement de 50.000 annuelle sur la durée du contrat.

• Calculer la prime unique?• La femme souhaite payer sa prime sur 5 ans, quelle est le montant de la prime nivelée?

Taux d’intérêt technique =3,25% Table réglementaire


Temporaire décès en progression arithmétique décroissante de raison 1

1- Capital versé au moment du décès / PU

Rappelons que pour une temporaire décès constante, la formule de la prime annuelle s’écrit comme suit:

Donc, pour un capital dégressif de n, n-1, n-2……1

n.Mx - Rx+1

Dx nDAx=

__ __ __

+ Rx+n+1

Démonstration de commutations?


1- Capital versé au moment du décès: Application

Temporaire décès en progression arithmétique décroissante de raison 1

Calculer la prime pure pour le contrat « assurance solde restant dû » décrit comme suit:Un client contracte un prêt immobilier auprès de sa banque. Afin de lui accorder ce prêt, cettedernière lui demande de souscrire une assurance décès pour la durée de son contrat prêt et ladésigner en tant que bénéficiaire.Au cas du décès du client avant le terme du contrat, la banque recevra un versementcorrespondant au capital restant dû de l’emprunt associé, à la date du décès de l’assuréSachant que :le client est âgé de 30 ansLa durée du contrat est sur 20 ansLe montant du prêt est de 2.000.000 avec un amortissement constant.

• Calculer la prime unique?• Etant donnée le montant élevé de la prime, l’assuré préfère la payer sur 10 ans, payable

annuellement, calculer le montant de la prime nivelée?


Prime Pure en cas d’assurance mixte

Partie 1: Actuariat VieChapitre 2. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque Prime Pure en cas d’assurance mixte

Assurance mixte

L’assureur s’engage auprès d’un assuré âgé de x:• Versement d’un capital au moment du décès, si l’assuré décède avant le terme

du contrat• Versement d’un capital au terme du contrat, si l’assuré est en vie

Le versement est donc certain mais le nombre d’années après lesquelles il estfait est une variable aléatoire.

La table de mortalité, généralement retenue, est la table décès (TD 88-90), carelle est la plus chère, partant du principe de prudence dans la tarification.

Le contrat est donc la combinaison d’un capital différé et d’une temporairedécès.


Assurance mixte

Illustration

La table de mortalité, généralement retenue, est la table décès (TD 88-90), carelle est la plus chère, partant du principe de prudence dans la tarification.


Assurance mixte pure

• Une assurance mixte pure est une assurance mixte dans laquelle le capitalassuré en cas de vie est le même en cas de décès.

• Pour un assuré d’âge x, une durée de contrat n et un capital assuré de 1 unité.

o La prime nivelée sur m années,

o La prime pure unique est alors égale:

0 1 2

PU Capital différé à n

n

1

i

1

Temporaire décès à n


Assurance mixte combinée

• Une assurance mixte combinée est une assurance mixte dans laquelle le capitalassuré en cas de vie est différent du capital en cas de décès.

• L’assureur passe à une tarification sur la base de la table de mortalité vie si letarif est plus cher que celui calculé sur la base de la table de mortalité décès.

• Pour un assuré d’âge x et une durée de contrat de n, capital décès assuré de 1et capital vie assuré de K.

o Prime pure unique:

o Prime nivelée


Cas particulier :Assurance terme fixe

• Une assurance mixte terme fixe est une assurance qui donne droit à l’assuréd’âge x, à un versement au terme du contrat n, qu’il soit en vie ou non.

• Le montant et la date du versement sont certains. L’aléa viager est absent.• La prime pure est une actualisation simple du capital assuré

PU=

• La prime annuelle, ou nivelée de manière générale, dépend, elle, de la survie del’assuré


Assurance mixte :capital différé avec remboursement des primes

• L’assureur s’engage auprès de l’assuré d’âge x:- Versement d’un capital 1 unité au terme du contrat, si l’assuré est en vie.- Versement de la totalité des primes payées par l’assuré, à la fin de l’année dudécès, si l’assuré décède avant le terme du contrat.

• Ce contrat correspond à une assurance mixte combinée avec le capital en casde décès qui est égal à la prime


Assurance mixte :capital différé avec remboursement des primes

1. En cas de versement d’une prime annuelle, P, au lieu d’une prime unique,les versements de l’assureur peuvent être schématisés comme suit:


Application

Un individu d’âge 35 ans, souhaite contracter une assurance mixte qui lui permettra d’avoir 1.000.000 dhune fois qu’il aura atteint 60 ans, mais il n’a pas encore décidé du capital décès. Cela dépendra dumontant de la prime.

Il demande alors une simulation pour les cas suivants:-Un capital décès de 1.000.000 DH-Un capital décès de 600.000 DH-Un capital décès qui correspond au total des primes payéesTaux d’intérêt technique : 3,25%Tables de mortalités réglementaires marocaines

Sachant qu’il opte pour une prime unique, quelle est la prime correspondante à chaque situation?

Et s’il opte pour une assurance terme fixe payée annuellement? Quel sera le montant de cette dernière?


Prime Pure en cas d’assurance sur deux têtes

Partie 1: Actuariat VieChapitre 2. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque Prime Pure en cas d’assurance sur deux têtes

On parle d’assurance sur deux têtes quand la prestation dépend de l’état de vie de deux individus:

Exemple 1: Contrat Epargne éducation:

Un père de famille , âgé de 40 ans, contracte une assurance qui lui demande de verser une prime annuelle pendant 10 ans pour que son fils, âgé de 8 ans, obtienne un capital de 600.000 dh à ses 18 ans pour financer ses études universitaires.

• Le capital est versé si l’enfant survit jusqu’à 18 ans, dépend de la survie de l’enfant.• La prime est payée par le père, dépend de sa survie.• Si l’enfant décède avant l’âge de 18 ans ? Si le père décède avant l’âge de 50 ans ?


Exemple 2: assurance vie/décès entre conjoints

Une femme d’âge 40 ans contracte une assurance qui lui permet d’avoir un capital de 500.000 dh si elle atteint l’âge 70 ans, sinon la moitié de la somme sera versée à son époux, âgé de 40 ans également s’il est en vie.• L’assureur verse 100% du capital si la femme atteint 70 ans• L’assureur verse 50% du capital si la femme décède avant 70 ans et si son conjoint

est encore en vie.

Exemple 3: assurance vie entre conjoints

Deux conjoints s’assurent pour avoir un versement d’un capital dans 10 ans, si les deux sont en vie.


Assurance sur deux têtes :capital différé

• 2 assurés, âge x et âge y • n: Durée du contrat• L’assureur s’engage à verser un capital 1 unité au terme du contrat si les deux

assurés sont en vie• 0, si l’un ou les deux assurés décède avant n


Assurance sur deux têtes :capital différé

Application:

• Calculer la prime unique pour un capital différé sur deux têtes âgées de 20 anset 25 ans pour un contrat d’une durée de 30 ans et un capital assuré de1.000.000dh.taux technique: 3,25%tables de mortalités réglementaires marocaines

• Si le couple opte pour une prime annuelle, cette dernière dépendra de l’état devie duquel des deux assurés?


Assurance sur deux têtes :rente viagère

• 2 assurés, âge x et âge y • n: Durée du contrat• L’assureur s’engage à verser une rente de 1 unité, anticipative ou à terme échu,

tant que les deux assurés sont en vie.• 0, si l’un ou les deux assurés décède

Le capital constitutif d’une rente anticipative :

Le capital constitutif d’une rente échue:


Assurance sur deux têtes :rente viagère temporaire

• 2 assurés, âge x et âge y • n: Durée du contrat• L’assureur s’engage à verser une rente de 1 unité pendant n années, anticipative

ou à terme échu, tant que les deux assurés sont en vie.• 0, si l’un ou les deux assurés décède

Le capital constitutif d’une rente temporaire anticipative :

Le capital constitutif d’une rente temporaire échue


Assurance sur deux têtes :rente viagère

Application:

• Rente de 100.000 dh par an• Deux têtes âgées de 60 ans et 65 ans• Taux technique: 3,25%• Tables de mortalités réglementaires marocaines

Calculer le capital constitutif de cette rente si elle est :Viagère anticipative?Viagère à terme échu?Viagère temporaire anticipative sur 15 ans?Viagère temporaire à terme échu sur 15 ans?

Documents

D. GÉNÉRALISATION DU CALCUL DE LA PRIME PUREUn père de famille , âgé de 40 ans, contracte une assurance qui lui demande de verser une prime annuelle pendant 10 ans pour que son