Daniel ALIBERT Étude locale des fonctions dérivables. ?· Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés…

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    14-Sep-2018

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  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 1

    Daniel ALIBERT

    tude locale des fonctions drivables. Dveloppements limits

    Objectifs : Savoir chercher si une fonction d'une variable relle est drivable en un point. Calculer sa drive, et dans certains cas ses drives d'ordre suprieur. Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions drives, dveloppement limit. Savoir interprter graphiquement les premiers termes d'un dveloppement limit. Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs prcdents.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 2

    Organisation, mode d'emploi

    Cet ouvrage, comme tous ceux de la srie, a t conu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigs, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune faon un cours de mathmatiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider l'assimilation du cours. Ce livre a t crit pour des tudiants de premire et seconde annes des Licences de sciences, dans les parcours o les mathmatiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses annes d'enseignement auprs de ces tudiants, et de l'observation des difficults qu'ils rencontrent dans l'abord des mathmatiques au niveau du premier cycle des universits : - difficult valoriser les nombreuses connaissances mathmatiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lyce, - difficult pour comprendre un nonc, une dfinition, ds lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature mme des mathmatiques de le faire, - difficult de conception et de rdaction de raisonnements mme simples, - manque de mthodes de base de rsolution des problmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer la rsolution de ces difficults aux cts des enseignants. Ce livre comporte quatre parties.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 3

    La premire, intitule "A Savoir", rassemble les dfinitions et rsultats qui sont utiliss dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni dmonstration, ni exemple. La seconde est intitule "Pour Voir" : son rle est de prsenter des exemples de toutes les dfinitions, et de tous les rsultats de la partie prcdente, en ne faisant rfrence qu'aux connaissances qu'un tudiant abordant le chapitre considr a ncessairement dj rencontr (souvent des objets et rsultats abords avant le baccalaurat). La moiti environ de ces exemples sont dvelopps compltement, pour clairer la dfinition ou l'nonc correspondant. L'autre moiti est forme d'noncs intituls "exemple traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de rflchir de manire active d'autres exemples trs proches des prcdents. Ils sont suivis immdiatement d'explications dtailles. La troisime partie est intitule "Pour Comprendre et Utiliser" : des noncs d'exercices y sont rassembls, en rfrence des objectifs. Ces noncs comportent des renvois de trois sortes : () pour obtenir des indications pour rsoudre la question, () lorsqu'une mthode plus gnrale est dcrite, () renvoie une entre du lexique. Tous les exercices sont corrigs de manire trs dtaille dans la partie 3 - 2. Au cours de la rdaction, on a souvent propos au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou largir, sa rflexion, des questions complmentaires (QC), galement corriges de faon dtaille. La quatrime partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les mthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilgiant un aspect "entranement" dans le travail de l'tudiant

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 4

    en mathmatiques. Ce n'est pas le choix qui a t fait ici : les exemples traiter, les exercices et les questions complmentaires proposs abordent des aspects varis d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'clairer de diverses manires et ainsi aider sa comprhension.

    Le lecteur est invit, propos de chacun d'entre eux, s'interroger sur ce qu'il a de gnral (on l'y aide par quelques commentaires

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 5

    Table des matires

    1 A Savoir ........................................................................... 7 1-1 Drivation des fonctions d'une variable relle 7 1-2 Drivations successives des fonctions ........... 10 1-3 Dveloppements limits ................................ 12 1-4 Dveloppements asymptotiques .................... 15 1-5 tude locale des fonctions ............................. 16

    2 Pour Voir ....................................................................... 20 2-1 Drivation des fonctions d'une variable relle20 2-2 Drivations successives des fonctions ........... 28 2-3 Dveloppements limits ................................ 31 2-4 Dveloppements asymptotiques .................... 40 2-5 tude locale des fonctions ............................. 43

    3 Pour Comprendre et Utiliser .......................................... 57 3-1 noncs des exercices ................................... 57 3-2 Corrigs des exercices ................................... 72 3-3 Corrigs des questions complmentaires .... 121

    4 Pour Chercher .............................................................. 129 4-1 Indications pour les exercices ..................... 129 4-2 Mthodes ..................................................... 136 4-3 Lexique ........................................................ 139

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  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 7

    1 A Savoir

    Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales dfinitions et les principaux noncs utiliss. Vous devrez vous rfrer votre cours pour les dmonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

    1-1 Drivation des fonctions d'une variable relle

    Dfinition

    Soit x0 un rel, et f une application dfinie sur un intervalle ouvert centr en x0, valeurs dans R.

    On dit que f est drivable en x0 si le quotient : f(x) f(x0 )

    x x0

    admet une limite lorsque x tend vers x0, en restant diffrent de x0.

    Cette limite est la drive de f en x0, note f'(x0).

    Une autre notation usuelle pour la drive de f en x0 est df

    dxx0( ).

    Une formulation quivalente est la suivante : il existe un rel a, et une application dfinie sur un intervalle ouvert centr en 0, tendant vers 0 en 0, note , telles que l'galit suivante soit vrifie, pour |x x0| assez petit :

    f(x) = f(x0) + (x x0) a + (x x0) (x x0). Le rel a est la drive de f en x0.

    On dit souvent, par abus, que "l'expression f(x)" est drivable.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 8

    Si f est dfinie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est

    drivable gauche en x0, si le quotient f(x) f(x0 )

    x x0 admet une limite

    lorsque x tend vers x0, avec x < x0.

    Cette limite est la drive gauche de f en x0, note fg' (x0 ).

    On dfinit de manire analogue la drive droite. Si f est drivable pour tout x d'un ensemble I, on dit que f est drivable sur I. L'application qui x de I associe f'(x) est l'application drive de f, ou la drive de f.

    Proposition

    Si f est drivable en x0, alors f est continue en x0.

    Proposition

    Soient f et g des fonctions drivables en x0.

    1) Pour tout couple de rels (, ), la combinaison linaire .f + .g est drivable en x0, et :

    (.f + .g)'(x0) = .f'(x0) + .g'(x0). 2) Le produit f.g est drivable en x0, et :

    (f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0).

    Proposition

    Soit f une application dfinie au voisinage de x0.

    Soit g une application dfinie au voisinage de f(x0), composable avec f.

    Si f est drivable en x0, et g drivable en f(x0), alors l'application compose g o f est drivable en x0, et :

    (g o f)'(x0) = g'(f(x0))f'(x0).

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 9

    Proposition

    Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue bijective. On note f 1 l'application rciproque, de J dans I.

    Si f est drivable en x0, lment de I, et si f'(x0) est diffrent de 0, alors f 1 est drivable en f(x0), et sa drive en f(x0) est :

    f 1( )' f x0( )( )= 1f' x0( ). Les drives des fonctions usuelles sont connatre, ainsi que leur domaine de dfinition :

    fonction drive domaine

    x xn, n Z x n.xn-1 si n < 0, x 0 si n 0, R

    x log(x) (logarithme naturel)

    x 1

    x

    x > 0 x ex x ex R

    x sin(x) x cos(x) R En application de ce tableau et des rsultats prcdents (drivation d'une fonction compose), on obtient un autre tableau de formules de drivation connatre :

    forme des fonctions drive u

    v

    u' v uv'v2

    log(u) u'

    u eu

    u' eu

    ax , a > 0 log(a)ax

    x x, R x .x1, x > 0 si N

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 10

    1-2 Drivations successives des fonctions

    Dfinition

    Soit f une fonction dfinie et drivable sur un intervalle ouvert I. Soit f' sa fonction drive, galement dfinie sur I. Soit a un point de I. Si f' est drivable en a, on dit que f est deux fois drivable en a, et la drive de f' en a est la drive seconde de f en a, note f"(a). On dfinit ainsi de proche en proche la drive n-ime de f au point a par :

    f (n)(a) = f (n 1)( )' (a). Autre notation :

    dnf

    dxnx0( ).

    Noter que l'existence de la drive n-ime en a suppose l'existence des drives d'ordre infrieur sur un intervalle ouvert centr en a, et pas seulement en a. Si la drive n-ime d'une application existe sur un intervalle ouvert I, on dit que f est n fois drivable sur I. Si de plus la drive n-ime est continue sur I, on dit que f est n fois continment drivable sur I, ou de classe Cn sur I. On crira souvent f Cn(I). Si la fonction f est n fois drivable sur I, quel que soit n, on dit qu'elle est indfiniment drivable, ou encore de classe C. La drive n-ime d'une somme de fonctions est la somme des drives n-imes de chacune.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 11

    Proposition

    Formule de Leibniz. Soient f et g des fonctions n fois drivables en x0. Le produit fg est drivable n fois galement et :

    fg( )(n) x0( )= Cnk f (k) x0( )g (n k ) x0( )k=0

    k =n .

    Dans cette formule, on convient que f(0) dsigne f.

    Rappel. Le symbole Cnk dsigne le coefficient du binme :

    Cnk = k!(n k)!

    n!.

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    1-3 Dveloppements limits

    Thorme

    Formule de Taylor-Young. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un lment de I. On suppose que la drive n-ime en x0 existe.

    Il existe une fonction h (h), dfinie sur un intervalle ouvert centr en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'galit suivante soit vraie, pour x appartenant un intervalle ouvert centr en x0 contenu dans I :

    f(x) = f x0( )+x x0( )k

    k!f (k) x0( )

    k=1

    n + x x0( )n x x0( ).

    Dfinition

    Soit I un intervalle ouvert, et x0 un lment de l'adhrence de I, c'est--dire un point de I ou une de ses extrmits. Soit f : I R, une fonction. On dit que la fonction polynme de x :

    P(x x0) = a0 + a1(x x0) + + an(x x0)n

    est un dveloppement limit l'ordre n de f en x0 si l'expression f(x) P(x x0) est de la forme (x x0)n(x x0), la fonction h (h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.

    P est la partie rgulire du dveloppement, et (x x0)n(x x0) en est le reste, ou terme complmentaire. La formule de Taylor-Young fournit un dveloppement limit pour les fonctions qui en vrifient les hypothses.

    Proposition

    Si P existe, il est unique.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 13

    Proposition

    Si f et g admettent des dveloppements limits l'ordre n en x0, de parties rgulires P et Q, alors : 1) Pour tout couple de rels, (, ), la combinaison linaire .f + .g admet un dveloppement limit l'ordre n en x0, dont la partie rgulire est la combinaison linaire .P + .Q des parties rgulires des dveloppements de f et de g. 2) Le produit fg admet un dveloppement limit l'ordre n en x0, dont la partie rgulire s'obtient en tronquant au degr n le produit PQ. (C'est--dire en ne conservant que les monmes en (x x0)k, k n).

    Proposition

    Si f admet un dveloppement limit en x0, de partie rgulire P, et

    y0 = lim(f(x)) en x0, et si g est une fonction composable avec f qui admet un dveloppement limit en y0, de partie rgulire Q, alors on obtient un dveloppement limit de gof en x0 en substituant P(x x0) y dans Q(y y0), et en tronquant le polynme obtenu au degr convenable (c'est--dire significatif compte tenu des termes complmentaires)

    Proposition

    Soit f : [a , b] R, continue.

    On suppose que f admet en x0 [a , b] un dveloppement limit l'ordre n, de partie rgulire P(x x0).

    Soit F : [a , b] R une primitive de f. Alors F admet un dveloppement limit l'ordre n + 1 en x0, dont la partie rgulire est obtenue en calculant la primitive de P(x x0) gale F(x0) en x0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 14

    formulaire

    Les dveloppements suivants en 0 sont connatre parfaitement.

    On figure ci-dessous la partie rgulire de chaque dveloppement limit.

    fonctions dveloppements ordre

    x (1 + x) (ci-dessous deux cas

    particuliers)

    1 +xk

    k!( 1)( k + 1)

    k =1

    n

    n

    x a1

    1+ x 1 x + x2 ++ (1)n xn

    n

    x a 1 + x 1 + 12

    x 18

    x2 + 116

    x3 5128

    x4

    4

    x sin(x)

    x x3

    3!+

    x5

    5!+ + (1)p

    x2p+1

    (2p + 1)! 2p + 2

    x cos(x) cos(x) =1 x

    2

    2!+ x

    4

    4!+ +( 1) p x

    2p

    (2p)!

    2p + 1

    x ex 1 + x +

    x2

    2!+ +

    xn

    n!

    n

    x log(1 + x) x

    x2

    2+ + 1( )n+1 x

    n

    n

    n

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 15

    1-4 Dveloppements asymptotiques

    Il s'agit de gnraliser l'criture de dveloppements limits diffrents cas : Fonction non borne au voisinage de x0.

    Dveloppement au voisinage de l'infini.

    Dfinition

    Soit x0 un rel et f une fonction dfinie sur un voisinage point () de ce point, non ncessairement borne sur ce voisinage point. On appelle dveloppement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x0

    une fonction rationnelle de la forme ai x x0( )ii =p

    i =n , o p et n sont des

    entiers relatifs (p n), vrifiant :

    x >x0lim f(x) ai x x0( )i

    i=p

    i=n

    x x0( )n

    = 0.

    Dfinition

    Soit f une fonction dfinie sur un intervalle non born. On appelle dveloppement asymptotique d'ordre n de f l'infini une

    fonction rationnelle de la forme aix i

    i =p

    i =n , o p et n sont des entiers relatifs

    (p n), vrifiant (cas de +) :

    x >+lim f(x) aix

    i

    i=p

    i=n

    xn

    = 0.

  • Daniel Alibert Cours et Exercices corrigs Volume 4 16

    1-5 tude locale des fonctions

    La drive permet dans certains cas de rsoudre des problmes de limites (on en a vu un exemple dans le volume 3, propos de la recherche d'quivalents).

    Proposition

    Rgle de l'Hpital Soit a un rel, et soient f et g des fonctions dfinies sur un intervalle ouvert centr en a, continues en a. On suppose f et g drivables sur un voisinage point () de a, g non nulle sur un voisinage point de a, enfin :

    f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport :

    f' (x)

    g' (x)

    a une limite finie en a, le rapport : f(x)

    g(x)

    a galement une limite finie, et :

    x >ax a

    limf( x)g(x)

    =

    x>axa

    limf' (x)g' (x)

    .

    Corollaire

    Si f est...

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