Embed Size (px)
Citation preview
DÉCOLLEMENT EN ÉCOULEMENT TRIDIMENSIONNEL :POINTS SINGULIERS, LIGNES SÉPARATRICES
ET TOURBILLONS
Jean DéleryConseiller émérite à l’[email protected] Edition 2009
H. Werlé. Document Onera
Décollement en écoulement tridimensionnel stationnaire
1 - La théorie des points singuliers et le décollement tridimensionnel.
2 - Les éléments constitutifs de base : lignes séparatrices de décollement et d'attachement, surfaces séparatrices de décollement et d'attachement, structures tourbillonnaires.
3 - Topologie d’écoulements tridimensionnels remarquables :
formation tourbillonnaire sur une aile deltatourbillons sur un corps élancésillage tourbillonnaire d'une aile classique décollement induit par un obstacle et une protubérancearrière-corps avec et sans jet propulsifformation des tourbillons sur une automobile trois corps
4 - Le décollement bidimensionnel revisité avec les concepts du tridimensionnel ou un cas simple en apparence !
Décollement en écoulement tridimensionnel stationnaire
Partie 1 : LA THÉORIE DES POINTS SINGULIERS
ET LE DÉCOLLEMENT TRIDIMENSIONNEL.
Vers une définition du décollement tridimensionnel
Henri WerléRobert Legendre
La théorie des points singuliers et le décollement tridimensionnel
Henri Poincaré, 1854 - 1912
Définitions. De quoi allons nous parler ?
Les écoulements décollés tridimensionnels sont caractérisés par la présence de structures tourbillonnaires définies comme des concentrations spatiales de vorticité résultant du décollement de la couche limite.
Une fois que le décollement a eu lieu, la vorticité tend à se concentrer auvoisinage de surfaces - ou nappes - dont l'enroulement forme les tourbillons.
Dans la réalité, de telles surfaces - ou nappes - définies comme support dediscontinuités (ou singularités) n'existent pas. Ces concepts appartiennentaux modèles de fluide parfait. Dans le monde réel, la vorticité est répartie dans l'espace et occupe un certain volume dans le voisinage de ce que l'on appelle une surface de séparation on encore de décollement.
Structure d'une couche limite tridimensionnelle
ligne de courant externe
vitesse extérieure
profil transversal
YZ
profil longitudinal
ligne de frottementvecteur frottement pariétal
XZ
τXτZ
Ve
Conceptions simples et naïves du décollement
évacuation latérale
écoulement bidimensionnel écoulement tridimensionnel
En tridimensionnel, la vitesse développe une composante transversaledonnant à l’écoulement la possibilité de s’échapper latéralement.
Le fluide dit décollé n’est plus emprisonné dans un bulbe de recirculationmais peut s’évacuer sur les côtés.
Notions de base et définitions (1)
En tridimensionnel le frottement est un vecteur.
On appellera ligne de frottement une ligne tangente au vecteurfrottement local en chacun de ses points.
On utilise parfois le concept de ligne de courant limite : c'est la position limite d'une ligne de courant quand la distance y à la paroi tend vers zéro.
On démontre aisément que la direction limite de la vitesse quand ytend vers zéro est colinéaire au vecteur frottement (au moins si le fluide est newtonien).
Lignes de frottement et lignes de courant limite sont donc confondues.
Notions de base et définitions (2)
Nous utiliserons ici le concept physique de ligne de frottement de préférence à la notion de ligne de courant limite qui résulte d'un passage à la limite.
L'emploi de la notion de ligne de courant pariétale est encore pire : sur une paroi il n'y a plus de courant !
Les lignes de frottement sont visualisées par l'emploi d'enduits pariétaux adéquats.
Leur ensemble sera appelé spectre des lignes de frottement ou plus simplement spectre pariétal (par analogie avec le vocabulaire de l'électromagnétisme).
Visualisation des lignes de frottement sur un corps arrondi
Soufflerie S2Ch. Document Onera
Visualisation des lignes de frottement sur un corps arrondi
Soufflerie S2Ch. Document Onera
L’écoulement est supposé stationnaire (non essentiel).
On considère l'espace à deux dimensions constitué par lasurface d'un corps à trois dimensions.
On introduit le champ formé par les vecteurs frottementà la paroi du corps.
(1))z,x(
dz)z,x(
dxzx τ
=τ
On définit les lignes de force ou trajectoires de ce champ courbes solutions du système différentiel :
La théorie des points singuliers ou critiques (1)(Poincaré, 1882 ; Legendre, 1956 ; Lighthill, 1963)
La théorie des points singuliers (2)
En général, par un point sur le corps ne passe qu'une seuletrajectoire appelée ligne de courant pariétale ou ligne defrottement.
Ceci n'est pas vrai en un point P0 où le vecteur frottementpariétal est nul.
Un tel point est appelé singulier, ou critique, la levée del'indétermination du système (1) en un point singulierconduit à un problème aux valeurs propres.
Au voisinage d'un point singulier, le comportement destrajectoires dépend de la nature (réelle ou complexe) etdu signe des valeurs propres.
La théorie des points singuliers (3)
La solution au voisinage de P0 est déterminée au moyen d'undéveloppement de Taylor limité ici au premier ordre :
( ) ( )0P
x0
P
xx zz
zxx
x)z,x(
00
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
=τ
( ) ( )0P
z0
P
zz zz
zxx
x)z,x(
00
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
=τ
0)z,x(,0)z,x( zx =τ=τ
Au point singulier P0 on a simultanément :
L’origine du système d'axes est placée en P0 et l’indice 0 omis.
zz
xx
dz
zz
xx
dxzzxx
∂τ∂+
∂τ∂
=
∂τ∂+
∂τ∂
=
∂τ∂+
∂τ∂
=
∂τ∂+
∂τ∂ z
zx
x
dz
zz
xx
dxzzxx
Les dérivées du frottement pariétal ne sont pas toutes nulles.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂μ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂λ
μ+λ=
zz
xx
zz
xx
dzdxzzxx
(2)
La théorie des points singuliers (4)
Solution recherchée en mettant (2) sous la forme logarithmique :
( )( )zxS
zxd
zz
xx
zz
xx
dzdxzzxx μ+λ
μ+λ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂μ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂λ
μ+λ
La solution est de la forme :
( )( ) )tS(expAfdt
fSdf
zxSzxd
−=→−==μ+λμ+λ
[ ]tSexpAzx −=μ+λ
problème trouver λ et μ
t variable d'intégration
La théorie des points singuliers (5)
La forme ci-dessus est possible si les conditions suivantes sont satisfaites :
0x
Sx
zx =μ∂τ∂
+λ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∂τ∂
0Szz
zx =μ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∂τ∂
+λ∂τ∂
xSxx
xx
zx λ=∂τ∂
μ+∂τ∂
λ
zSzz
zz
zx μ=∂τ∂
μ+∂τ∂
λ
système algébrique homogène pour λ et μ
La théorie des points singuliers (6)
0S
zz
xS
xzx
zx
=−
∂τ∂
∂τ∂
∂τ∂
−∂τ∂
Solution non triviale déterminant égal à zéro
équation du second degré pour S
0et0: =μ=λSolution triviale
02 =∂τ∂
∂τ∂
−∂τ∂
∂τ∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
+∂τ∂
−xzzxzx
SS zxzxzx
La théorie des points singuliers (7)
La théorie des points singuliers (8)
Matrice Jacobienne
zx
zxFzz
xx
∂τ∂
∂τ∂
∂τ∂
∂τ∂
=
p = - trace de F et q = déterminant de F
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
+∂τ∂
−=zx
p zx
p et q ne dépendent que des dérivées du frottement au point singulier
0qSpS 2 =++équation aux valeurs propres
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
∂τ∂
−∂τ∂
∂τ∂
=zxzx
q xzzx
La théorie des points singuliers (9)
2q4ppS
2
2,1−±−
=
Les solutions (valeurs propres de la matrice F) s’écrivent :
q4pD 2 −=
La nature - réelle ou complexe - de ces valeurs propres dépenddu signe du discriminant :
La théorie des points singuliers (10)
)1(proprevecteur,Sproprevaleur 111 μλ→
)2(proprevecteur,Sproprevaleur 222 μλ→
x,
z,
z,
xdedépendent,,, zzxx
2211 ∂τ∂
∂τ∂
∂τ∂
∂τ∂
μλμλ
les conditions de raccordavec le champ voisin
21 A,A déterminées par[ ]tSexpAzx 1111 −=μ+λ
[ ]tSexpAzx 2222 −=μ+λ
0P
z1 x ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
−=λ 1P
x1 S
x0
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
=μ
2P
z2 S
z0
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
=λ0P
x2 z ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂τ∂
−=μ
Valeurs de λ et μ
La théorie des points singuliers (11)
( ) ( )1221
212121 tSexpAtSexpA)t(xμλ−μλ
−μ−−μ=
( ) ( )1221
212121 tSexpAtSexpA)t(zμλ−μλ
−λ−−λ−=
La solution au voisinage d'un point singulier est de la forme :
La théorie des points singuliers (12)
Différents types de point singulier
S1, S2 réelles et de même signe nœud
S1, S2 réelles et telles que S1 = S2 nœud isotrope
S1, S2 réelles de signes contraires col (ou point selle)
S1, S2 complexes conjuguées foyer
Point singulier du type nœud
0,100 21 =λ=λ0,1 21 =λ−=λ
4S,1S 21 ==
Point singulier du type nœud isotrope
21 SS =
Point singulier du type col
1S,1S 21 =−=
100,0 21 −=λ=λ1,1 21 −=λ=λ
Point singulier du type foyer
4i1S 2,1 ×±= 4iS 2,1 ×±=
centre
Les différents points singuliers
nœud d'attachement nœud de décollement nœud d'attachement isotrope
col ou point selle foyer centre
Les principaux points singuliers
Le sens de parcours des trajectoires donne un sens physiqueaux comportements au voisinage des points singuliers
Classification des points singuliers dans le plan [p,q]
centre
foyerfoyer
nœud isotropenœud isotrope
nœud d’attachement
nœud dedécollement
col col
q
p0
col
q4pD 2 −=
4pq
2
=
Soufflerie S2Ch. Document Onera
Nœud d’attachement à l’avant d’un corps arrondi
Soufflerie S2Ch. Document Onera
Nœud d’attachement à l’avant d’un corps arrondi
Col ou point selle
East & Hoxey
Décollement devant un obstacle
ligne de séparation
Foyers spectaculaires
Hugo Mitch
Bonnie Luis
Cyclones
Points singuliers pour le rotationnel à la paroi
Sur une surface, le vecteur rotationnel est tangent à la-dite surface.
En un point d'une surface, les vecteurs frottement et rotationnel sont orthogonaux.
Lignes de frottement et trajectoires du rotationnel forment deux familles de courbes orthogonales.
Les points singuliers du champ de frottement sont aussi des pointssinguliers pour le rotationnel.
Résultats généraux bien connus :
Ωr
Ωr
τr
centre centre isotrope
col foyer
rotationnelfrottement
Points singuliers pour le rotationnel à la paroi
Foyer et nœud tridimensionnels
surface de l'obstacle surface de l'obstacle
ligne de frottement pariétalefoyer nœud
Tourbillon avalé par une prise d’air
H. Werlé. Document Onera
L’effet d’aspiration de la prise d’air provoque le formation d’un tourbillons’appuyant sur le sol. Ce tourbillon est ici avalé par la prise d’air
Foyer et nœud tridimensionnels
point d'attachement point de décollement
Au nœud sur la surface est associé un col dans l’écoulement contigu
Foyer et nœud tridimensionnels
Nœud d'attachement à l’avant d’un train à grande vitesse
H. Werlé. Document Onera
