D]~LAIS D'ATTENTE DES APPELS TI~L~PHONIqUES TRAITI~S AU HASAItD

par Emile VAULOT lng6nieur en Chef des P. T. T. en re t ra i te

Maitre de Conf6rences "~ l'l~cole Poly technique

SO~MAmE. - - Dans l'~tude ci-aprSs, l'auteur gtablit les dquations dont ddpendent les durges d'attente des appels tglg- phoniques traitds au hasard. La probabilitg pour qu'un appel air une durge d'attente supdrieure a t est exprim('e d'abord par une s&ie entik.re dont les premiers termes sont calculds expIicitement, ensuite par une intdgrale ddfinie.

L'auteur indique une /ao,,n de calculer pratiquement la valeur de cette intdgrale et [ait des applications numd- riques. II /ait ressortir la dif[&ence entre les r~sultats obtenus et ceux que l'on obtiendrait si les appels dtaient traitgs dans l'orcb'e de leur arr&ir

Consid6rons un groupe de x lignes recevant ensem- ble en moyenne y appels pendant la dur6e moyenne d'une communication prise pour unit6 de temps.

Par hypoth6se e - t e s t la probabilit6 pour qu'une communication ait une dur6e sup6rieure ~ t.

On suppose : q u e y e s t < x , que les appels se pr6sentent au hasard et qu'il

est r6pondu imm6diatement h tousles appels qui se produisent ~ un instant oft il existe au moins une ligne libre,

que les appels non servis imm6diatement restent en at tente jusqu'h ce qu'ils t rouvent une ligne libre.

Nous d6signerons par II~. (] entier > /0 ) la proba- bilit6 d'occupation des x lignes avec ] appels en at tente. Ces probabilit6s sont ind6pendantes de l 'ordre dans lequel les appels sont trait6s. Elles ont pour valeurs :

1I~ = (ylx)~ (y~lx !A) off n o u s a v o n s p o s 6 :

A = I + g Y~" y~-I y~ x + ~.' + " '" + (x-~)-----q + x'x------~"

On en d6duit facilement ]es probabilit6s pour qu 'un appei ait une dur6e d 'a t ten te sup6rieure ~ t, si l 'on suppose les appels trait6s dans l'ordre oft ils .~e pr6sentent.

Or, dans la pratique t616phonique, les appels sont trait6s, non pas dans l'ordre oft ils se pr6sentent, mais au hasard. En adoptant cette derni6re hypo- th6se, d6signons par F~(t) Ia probabilit6 pour qu 'un appel doive at tendre encore pendant tree dur6e sup6rieure h t, saehant qu'h l ' instant consid6r6 il est en at tentc en m~mc temps que n autres appcls.

On a F n / 0 ) = I pour n = 0,1, . . . En comparant l ' instant oft, pour un appel donn6,

la dur6e d 'a t ten te qui reste h courir est sup6rieure h t, et l ' instant suivant oft cette dur6e scra sup6- rieure ~ t - - d t , on a la re la t ion:

F,ilt) ~_ ( l - - x d t - - y 't) F,,(t--dt) +

[,q(n + J)] x . . t F , _ , (t) + y ~:t F . + , (t).

On obtient ainsi des 6quations diff6renticlles en nombre infini auxque!les satisfont les fonctions F .

(~) (x+y)F,~+ F'~= [nl(n+ l)]xF,_~ +yF,+~.

La probabilit6 pour qu 'un appel a t tende pendant une dur6e sup6rieure h t h partir du moment off il se produit sera

A(t) --- (y~lx!A) ~ (ylx)~ Fn(t).

En d6erivant les 6quations (1), on peut ealculer les co(ffi-ients suecessifs des d6veloppements en s6ries de Mac-Lxunx~ des fonctions Fn.

On a par exemple :

?x ~- Y t ~ Fo(t) = l - - x t + x .--=z-- . . .

ts

x y t ~" G(t) = i - ~ t + ~ ~ . . . .

x y t ~" Fdt ) = 1 - - ~ t + 2--6 =~ . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . , o

On en d6duit le d6veloppement de A(t). Les premiers termes sont :

yz x tx~" L~2 + (?) A(t)=x.-~A x - - y y

t ' z - ' -~i2--x--YL"xX-y2 y �9 -- " ' ) ] "

Les lignes qui pr6c6dent sont la reproduetion presque textuelle de notre note parue en 1946 aux Comptes R-ndus de l'AcadSraie des Sciences [1]. Nous nous proposons de donner ci-apr6s des m6thodes pour effectuer prat iquement le calcul num6rique de A(t).

Consid6rons la fonction :

(2) ~ ( s , t ) = F 0 + s F , + s ~ ~ F 3 + . . . =

/o + t/~ + t~ b + "--

Les F sont des fonctions de t, et on a :

(~) L = I + ~ + ~ " - + . . . . ll(t-s).

l~crivons la formule ([) sous la Forme :

(:') (n+ t ) ( x + y ) F n + ( n + ~)F~= n F ~ + (n + 1) yFo+,

[ ] Pour tout ren,r entre crochets, se repor ter in fine h la bibliographie.

- - 9 - -

Multipliant ehacune des 6quations (1') par s '~ et a joutant tous ces produits membre h membre, on obtient pour ~ l '6quation aux d6riv6es partielles :

asat .= ou, toutes r6ductions faites

�9 + + + (5) ~ s ~ t (x + y - - s~) ~ -- 0.

On remarque qu'on pent satisfaire ~ eette 6qua- tion en prenant pour ~ une fonetion de la forme Se x~, X ~tant une constante queleonque, et S 6tant une fonction de X donn6e par la r6solution d 'une 6quation diffgrentielle dont les coefficients d6pendent de )..

Ces remarques sugg~rent de t rouver pour 9 une expression de la forme :

(6) T(s, t) = j l(s, )~) e),t dX,

et de retenir ]a valeur de cette fonction pour |a valeur y l x de s.

La solution (6) de (5) devra d'ailleurs satisfaire aux conditions initiales suivantes qui r6sultent de (2), (3) et (4) :

(7) r c?(0, t ) = e -~.

L'6quation (5) avee les conditions initiales (7)[peut s'int6grer en utilisant la transformation de LAPLAC~ h une dimension appliqu6e h la variable t.

Nous nous bornerons h reproduire la solution donn6e par M. POLL~.CZV.K [2].

(8) ~(z, t) = adO, or

a = e[(,+,~l~--~v'~-~o~Oln ( ~ / ~ e-,O -- s~(too~gO-t~l ~ • (Vyl--x elO -- s)(t~ot~O +,)I ~-

(t - - @ elO'( le~ . 2 + o ~ " (I ~ V~x e--10; t'e~ i

Cette expression devant 6tre 6videmment r6elle, nous allons en faire disparaitre le symbole i des quantit6s complexes.

Consid6rons le cercle de rayon unit6 et prenons

~(,r

~,(~--40)

Fro. t . - Images des points e i0, o --~0 ~ / , ~ et Vx~/~ par rappo,'t au eercle de rayon unit6.

sur une mgme demi-droite (D) issue du centre O les points A, A', S dont les distances h O sont respec-

t ivement ~ V ~ , V ~ , ~V'gIx (fig. i).

E. V X I ; L O T

Par cons6quent l 'expression ( i l ) peut s'6crire :

e~tcot~0 (ti3

( l + ul~--2 ~/y-~ eos 0~ ~12 - eC~ot~O

[(~ + y ) l x - 2~/y~ eotg O] st," u~lz~/:~.

[ANNALE$ DE~ T~LI~COMMUN|CA'I~ONS

Soient M e t M' les points du cercle ayant respecti- vement pour affixes e x0 et e -10. Ces points sont 6videmment sym6triques par rapport ~ (D).

La fonction G de l '6quation (8) peut s'6crire

(9) e--[(~+'~lz-ev/~-ze~ ~t (e-10 - - s V~tl~~ •

$r sin 0 ( V r ~ - - e 'O)( leotgO--a) t z x x l + (y/x~__ e_,0)(leot,0 +all ~ .2 .~ e~e~ 0

Consid6rons la premi6re fraction de rexpres- sion (9):

(e- ,0 - s ~/~--~!(,r (t0) ( e~O -- s x/-~fy )('~otsO + ~)t 2

En d6signant par 6 l'angle OMS, on a

Lo~_ (e tO -- s xV~) = Log SM -- I(~ + 0),

Log (e - '0 -- s V ~ ) = Log SM + 1(6 + 0).

Le logarithme de 1'expression (10) est par suite 6gal h :

[ ( i c o t g 0 - - I ) I 2] [ L o g SM - - i ( . + 0)] - -

[(l cotg 0 + 1)12] [Log SM + i(6 + 0)] = -- Log SM + (6 + 0) cotg 0.

Par cons6quent, l 'expression (10) peut s'6crire :

e(~+ 0)cotg0 eHeotgO off 00') SM Vt + o'

O\ . = = + 0 (se b+ltg /-/ ~ - - Arc tg \ s ~/x-~-- 1. - /

Consid6rons de mgme la deuxibme fraction de l 'expression (9):

( t i ) (V~-~- - e-X0jc~oo~0 +3)t2

Remarquons que les triangles OMA et OA'M sont

semblables, et d6signons par e les angles 6gaux OMA

et OA'M. On a

Log (~/x-~-- el0) = Log A'M -- i ~,

Log ( V ~ - - e--tO) .= Log A'M + I at.

Le logarithme de l 'expression ( t l ) est par suite 6gal h :

[(| eotg 0 - - 3)12] (Log A M - - i r -- [(i cotg -4- 3)12] (Log A'M + i~) =

-- 3 Log A'M + ~ eotg 0

i 0 m

t . 9, n ~ 1, 1954]

Portant les expressions (10't et (1l') dans remarquant qu'on a

[r I ] 2 ~ = 7 : - - 0 - - 2 A r c t g [ v , x + ~ / y t g ~ / 2 ) '

2:~+ 0 = r : - - 2 A r e t g [V~+ ~/y t~, ~ l z ) =

[ r r 0] ( x + x ) c o s O - 2 r :2 A r c t g [ V x _ _ v y t g ~ =Arecos

x + y - - 2 ~/~ycos 0

et donnant h s ]a valeur de y]x, on obtient pour V(ytx, t)

(12) ~ . . . . . eceotg~ ~ p / u , t \ /~r:'e--Bzt 2 sin 0 d0 .)t o B~ l+e~cotg 0 , oh

B = (x + y ) l x - - 2 ~/y~ cos 0,

C = 2 Arc tg , ~--~-~y t~, /

On peut simplifier un peu cette expression en faisant un changement de variables.

Commen~ons par poser, ~ 6tant un angle fixe qui d6cro~t de :r[4 h 0 quand !1 crolt de 0 "h x,

t~ (~.l~- ~) = r ,.~ ,~ = ( r 1 6 2 + r

cos 2 ~ - - (l - t ~ l~)l(~ + tg~ ~) = 2 r + y), sin 2 S = 2 tg ~/(l -- tg 2 ~) = ( x - - y)](x + y).

Avec ces notat ions les expressions B e t C figurant dans la formule (12) deviennent :

(12') B ' = '1 o tg (7~ ) co~ 2 (7~1~- ~) - y - ~3. ~o~ O,

C' = 2 Arctg //t~ (012)'~. ' tg~ j

Faisons ensuite ]e ehangement de variable :

sin ~ 2 ~3 0 to l - - c o s 2 ~ c o s 0 = l +cos '2~ costo' t g ~ = t g ~ t g

cos 0 cos 2 ~ + cos 6) cos 0-- cos 2 COS to

+ cos 2 ~ cos to' I + cos 2 ~ cos 0"

sin 2 ~ d to sin 0 = sin 2 ~ sin to d 0 = 1 + cos 2 ~ cos to' ~ + cos 2 ~ cos to'

t g 0 = sin 2 ~ sin to cos 2 ~ + cos 6)

On obtient ainsi les nouvelles expressions

(12")

( ~ ) S ~: e " I ( l + s i n 2 ~ ) ~ ' s i n o ) d r ' t = e--V~ - - ' . I + e roe '2 sin ~ 2

(1 + sin 2 ~)2 / ~ e~o~ - - 2, s i - ~ f f l ~ . / o e - - D ~ t l + e r:--------~sintod~~

D = 2sin 22~ t E = C ~ 1 7 6 1 7 6 l + s i n ' Z ~ I +cos2~cos to ' sin2~sin6)

oil encore

2x 2 ~o~e_M~ eo,V

M = (x--Y)~ t x x + y + 2 ~/~cos~o'

= 2 V ~ + (x + u) eo~ to (z -- y) sin

DI~I, AIS D ' A T T E N T E DES A P P E L S T I 2 L E P H O N I Q U E $ 3[6 (8), On peut tirer de ces solutions des relations remar-

quables. En premier lieu, A(t) 6tant la probabilit6 pour

qu 'un appel ait une dur6e d 'a t tente sup6rieure h t, on salt que la dur6e moyenne d 'a t tente est :

/ ' ~ dA(t)_ / ' ~ t , ,A= ! t --~t" d t = ] A(t) dt.

, J O JO

Or cette dur6e moyenne d 'a t tente est 6videmment ind6pendante de l'ordre dans lequel les appels sont trait6s. En 6galant les valeurs de cette dur6e moyenne d 'a t tente dans le cas off les appels sont trait6s au hasard et dans le cas o6 ils sont trait6s dans l 'ordre off ils se produisent, on obtient les rela-

i-

tions suivantes loft C et N ont les m~mes signifi- L

cations que pr6c6demment, h savoir :

/ r o \ , r (z+~)co , to] C = . A r e t ~ ~ t g ~ , N = " ~ S_y) ~ ~- ] :

\ V x - - V y " /

y~ I f r ~ l �9 !A ~.1o [(x+y)lx._2r ~ x

2 sin 0 ~ �9 - - - - e ~'c~ ] + e~e~

yZ 2 x ~" X

x !A ( x - y ) 2

X 7~

( x - - ~ f ~ + 2 , ~ s i n o d o ) =

yX x x! A ( x - - y ) :~

d'ofi en simplifiant :

f t. 1 '2 sin 0 e cc~ dO = [(x + y ) l x - 2 ~/y~ cos 0J "~ "] + er:c~

) ~ s i n o d t o = \ - - ~ )

En second lieu, les formules (12), (12') et (12") permettent de d6velopper O(y x, t) suivant les puis- sances positives de t, les coefficients 6tant des int6- grales d6finies. D'autre par t , la formule (2) montre que r t) est 6gal au d6veloppement suivant :

//Y t ) = \ z '

x tx2 Log x t2x~( X y y Log~XX y ) x - ~ - 7 x _ +-y-~ 2 . . .

Par identification, on en conclut les relations suivantes : pour le terme ind6pendant de t :

~ o 1 2 sin 0 eccota 0 [ (x+y) lx- -2~/~[~eosO] z I +~"~176 dO=

X

x - - y

S ~ e ~ x - - y

t + e ~iv sin to d e = 2----~ ;

- - t l - -

pour le terme en t :

~ o ~ 2 sin 0 - , _ _ ~ O cc~ ( , 0 (x + y)lx--2 Vylx cos () 1~- e r~c~

_ZLog ~ ', y ~ - - y

t e ~ s in to

+ )lz + 2 i + e~N X

~-- Log - - ; yz. x - - y

pour le terme en t ~ :

2 sir 0 : eC~otg 0 dO f o : ~ l + erceotg0

= 2 - - x ; Y Log~--y ,

f ~ 1 er .

[(x + y/x) + 2 ~ / ~ cos r 1 + e =~ san ~ d~ =

-- , Log kX-- y~ \ ,:y --

et ainsi de suite.

C A L C U L N U M I ~ . R I Q U E

E T R E P B ~ . S E N T A T I O N S G R A P H I Q U E S

La fonction A(t) d6pend des 3 param~tres x, y, t. Or on peut la met t re sous la forme du produit de deux facteurs d6pendant chacun de deux para- m6tres. On a par exemple :

,)]. Le premier facteur :

(g, lx ! A) [xl(z-- y)]

est la proportion d'appels qui n e sont pas servis imm6diatement. Il en existe dcs tables [3] (*).

Le second facteur :

X ~ y x t~ /

l - - i x Y L~g X X + x - - y - -y

t " x ' [ 2 2 x - - y x (X~yyy)' Log~ xx y I . . . .

ne d'6pend que de y]x et xt. Pour y]x donn6 el 6gal h ~, la eourbe repr6sentacive de + a la furme indi qu6e par la figure 2.

Fro. 2. - - Repr6sentat ion graqhique de la fontion r ( y , t )

pour une valeur donn6e de ~.

Elle part du point d 'ordonn6e I, la sous tang6nte OT en ee point ayant pour valeur :

elle est asymptote h l 'axe des xt.

E, VAULOT [A~NALES DES TI~.I~CO~MUNICATIONS

Voici les valeurs de la sous-tangente au point de d6part pour les diff6rentes valeurs de ~ :

SOUS-TANGENTES

I 1 ,05~85 1,120223 1,201557 1,305065 1 ,~2689

0,6 0,7 0,8 0,9

,95

SoUS-TANGENTES

1,637036 1,938022 2,685336 3,908643 6,342361

co

Pour ~ = 0, on a exactement la courbe ~ = e - z t . M. John PtIORDAN [4] a indiqu6 une m6thode et

dress6 des graphiques donnant les valeurs de ~. Nous allons n6anmoins indiquer une m6thode de caleul diff6rente.

La m6thode g6n6rale est la suivante : Soit h calculer l 'int6grale :

(t3) f L r U du

off U est une fonction de u devenant maxi mum pour u = m et 6gale h U~, p3ar cette valeur. Si pour u -~- m la fonction log U a p3ar d&iv& succesives.

0: a2 , o ~ a4~

on aura

(14) / L udu=

Voir par exemple PEARSON [5]. Pour mettre l 'int6grale (12) sous la forme (13),

nous ferons le changement de variable

tg(OI ~ )=e" , t : O ' = - - l / t h u , s i n O = l l c h u , cos 0 = - - t]'. u, d 0 = d Rich u, d u = d 0/An 0.

Oil obtient ainsi

' * + y) l , + 2 Cy-l, t,. u] x e--2shuArctg(eUltg~}

~ X d u cJ, ~ tt J + e ~ s h =

=2xTuf_ e--(~+v)te--2v~tthu

e--2 shu arc t~(eu/tr d u.

I + e - ~ s h "

Nous avons h consid6rer la fonction de u

f15) U = -- (x + y)t--2 ~/-~y t t l=u--2 sk u Aretg (e=/tg ~3)-

Nous allons faire une application de la formule (I4) au cas particulier suivaut

x = 1 0 , y = 9 , t==14.

{*) Cf. [5], table I I I , pp. 78-85.

t. 9, n a 1, 19e~j

Pour appliquer la formule (14), nou~ pourrions consid6rer les d6riv6es successives de U. Il nous parMt pr6f6rable de calculer les valeurs de U pour diff6rentes valeurs de u avoisinant celles qui rendent U maximum. Nous prenons les valeurs

u = - - 3 ; - -2 ,9; --2,8 ; - -2,7 ; - -2 ,6; -- 2,5 ; -- 2,4 ; - - 2,3,

Dans ce qui suit, nous introduirons la quantit6 r telle que

th ~' = 2 + ~),

~/~d+3 e "~ (~ ~ +3 ) ~ = 19 + 6 ~/{-6 = 37,973 666,

t.~ ~ r

d'ofi

DI~LAI$ D'ATTENTE DBS &PPBLS TI~LEPHONIQUES

La eolonne III donne les

- -2 sh ~Arc tg (e~/tg [3) +

La colonne IV donne les

--2Log(X+xYchu+24!sh 2

= 3,636 892 982.

Dans l'expression (15) la quantit6

L o g (1 + e -.~shtt)

p e u t g t r e r e m p l a e 6 e s a n s e r r e u r s e n s i b l e p a r ~ ~ s h u, en sorte que l'ensemble des deux termes

2 sh u Arc tg (e~itg ~) -- Log (1 + e - ~ u )

peut ~tre remplac~ par

[ ~ - - 2 Are tg (e~lt~ [3)] sh u = (:~--2 Arc tg e ~§ sh tt.

Nous donnons ci-apr~s la liste des valeurs de

7:-- 2 Arc tg (eUltg ~)

pour les diff6rentes valeurs de u.

i I

TC,~ 2 Arc t g (eU/tg [~)

0,9730510 ',9 0,8927608 ,~ 0,8173452 ,7 0,7469103

U

- - 2,6 - - 2 , 5 - - 2 , / ~

- - 2,~

2 Arc tg (eU]tg ~)

0,68165~2 0,6208825 0,5650402 0,5137169

Dans le tableau ei-apr~s, nous donnons les r6sultats des op6rations successives servant h calcu- let U.

' I i, 3 - - 1,68229

- - 2 , 9 ---1,97225 - - 2 , 8 2, '2595

2,7 2,757~8 2,6 - - 2,2833[~

- - 2,5 3,92t~34 - - 2/~ 4,70514 --- 2,3 5,65570

! I I

- - 9,74789 - - 8,08802 - - 6,69562

5,53181 4,56215 3,756117 3,08866 2,53620

IV

6,22422 [1,10518 3,97392 3,8" 201 3%68085 3,o2175 3,35587 3,18:125

V

- - 7,20586 - - 5,95509 - - 5,04765 - - 4,65718 - - 4,16~6t~ - - 6,15906 - - 6,43,91 - - 5,00765

L a c o l o n n e l d o n n e les valeurs de u. L a colonne II donne les valeurs de

-- (x + y) t - - 2 ~/Yy t tb u = -- (x -- V) t [ch (u + v)lch u].

valeurs de

5/o

Log (i + e -=sh~)

valeurs de

] L a colonne V donne les valeurs de log U. L'examen de la eolonne u de (16) montre par

formation des diff6renees suecessives que U est maximum pour u voisin d e - 2,55, et que, pour cette valeur, on a approximativement

U m = - - 4,126 ; a2 = ~ 28,5 ; a4 = - - 87.

E n r6duisant la formule (14) h son terme prin-

cipal U~ V'2~ . J ( - - a2 ) , o n obtient pour + la valeur approch6e

o , 2 . e - , . ~ o v~-~!_,-~,5 = ~/ lo =15 700 e - 4 . 1 2 ( I ---- 0,00154.

Le terme suivant du d6veloppement (i4) serait n6gatif et son rapport au terme principal sorait a~]8~], c'est-h-dire approximativement

- - 8718.2--K,,52 = - - 02134 .

Ce r6sultat num6rique coincide avee celui qui a fit6 obtenu par RIcE en partant des mgmes d6riv6es, et qui est mentionn6 h la suite du travail de J. RIOllDAN pr6cit6 [4] (*),

II est 6vident que l'on aurait pu faire le calcul num6rique ci-dessus en formant la d6riv6e U' et U et en cherchant par approximation la valeur de u qui annule U'. La m6thode qur nous av0ns suivie pr6sente toutefois des avantages. En premier lieu la consid6ration des diff6rences permet de d6celer les erreurs les plus graves. En second lieu, les chiffres du tableau (16) peuvr scrvir en grande pattie pour plusieurs valeurs de t. Supposons par exemple que nous d6sirions la valeur de + pour x = 10, y ---- 9, t = 28 ; le tableau 16 sera remplac6 par un autre dans lequel les chiffres de la colonne II seront doubl6s, alors que ceux des colonnes III et IV seront inchang6s, On aura alers tr~s facilement le tableau suivant :

iJ ,I - - 3,94450

2,8 I 4,65190 2,7 i 5,51476 2,6 I 6,56668 2,5 t 7,8~868 2,~] 9,~1028 2,3 11,31140

III

--9,74789;i - -8 ,o8~02 - -6 ,69562 - -5 ,56181 - -4 ,56215 - -3 ,75647 - -3 ,0886~ - -2 ,53620

,v I 4,22632 4,10518 / 3,97392 3,83201: 3,68085 3,52175 3,35587 3,18425

V

- - 8,88815 7,92734 7,373.60 7.,21t~56 7,a4799 8,08340 9,14305

- - t0,66335

L'examen de la colonne V de ce tableau montre, par formation des diff6rences successives, que U est

(*} Cf. [4], additif .

6 / 6

maximum pour u voisin de ~ 2,71 et que pour cette valeur on a approximativement

U~,----- 7,205 ; a~ = - -3 9 ,2 ; a, = - - t t6.

En r~dnisant la for/mule ~14) h son terme principal

U~ ~/2~,](-- ag.), orrobtient pour ~]a valeur approch6e

0,2 .e--7.~o~ v~-~139,2 -- ~/i(m]7 840 e -~.~0~ == 0,000 059 5.

Le terme suivant du d6veloppement (t4) serait n6gatif et son rapport au pr6c6dent serait a~8a~, c'est~h-dire approximativement

1t6 11 600 ~ 1 600 8 • 59,2" - 8 • 153 664 - i 229 312 - 0,009 44.

Cette m6thode se prgte tr~s bien h l '6tablissement de tables num6riques.

Remarques.

I. Pour les calculs ci-dessus, nous avons utilis6 les tables de logarithmes h huit d6cimales de l 'Insti- tu t G6ographique National [6]. Pour les logarithmes des fonctions hyperboliques, nous avons utilis6 pour les arguments compris entre 0 et 2 les tables de PEnNOT et WooDs [7], et pour les arguments sup6- rieurs h 2 les .tables de GUDERMANN [8].

II. Rappelons que si les appels 6taient trait6s duns l 'ordre off ils se l~r6sentent, ]a fonction d/ ci- dessus devrait gtre remplac6e par e -(~--~ et on aurait

pour x=~10, y : 9 , t-----t4:

e -(z---~)t = e -14 = 0,000 000 83, au lieu de t~ = 0,0015

pour x = 1 0 , y = 9 , t = 2 8 :

e-Cz---v~ t = e -28 = 0 , 0 0 0 000 000 000 6 9 ,

au lieu de ~ = 0,000 059.

lII . La fonction qui multiplie dO sous lc signc d'int6gration duns (:[2) est le produit d$ trois facteurs :

quantit6 ind6pendan te de 0,

sin 0 e cc~

[(x + y)lx-- 2 V ~ cos 0] z I + e=r176176 quantit6 inddpendante de t

Nous rappelons que

~ tg5 .

En cons6quence, on pourrait calculer m6cani-

E. V A U L O T [ANNALES DES T]~L~-COMMUNICATIONS

quement rint6grale (12) en utilisant des appareils tels que ceux qui sont d6crits dans les ouvrages de GRAY [9], HALEN et HEDEMAN [10], WALLMAN [11],

[12] et GO.LD [13].

Manuscrit re fule 20 octobre i953.

BIBLIOGRAPHIE

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