d'entreprise/Cours... · actifs d’exploitation dans la méthode de l’actif net comptable corrigé. L'hypothèse de continuité de l'exploitation étant retenue, il n'y pas lieu

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Évaluation des projets d’investissement - 1 -

Évaluation des projets d’investissement L'analyse prévisionnelle ne serait pas complète si elle se limitait à l'élaboration du plan de financement. Pour la majori-té des projets, le calcul de la rentabilité des investissements et du coût des sources de financement est mené parallè-lement, en utilisant pour l'essentiel les mêmes données prévisionnelles. Nous n'envisagerons dans ce cours que les investissements productifs (de renouvellement, de modernisation, d'ex-pansion) demandant à être rentabilisés. Les investissements non productifs (de prestige, de sécurité, sociaux) ne ré-pondant pas à des critères prioritaires financiers de choix ne font pas l'objet d'une évaluation quantitative. Ce choix n'est jamais définitif. Un investissement de sécurité, type lutte contre la pollution, qui a pu être réalisé à une époque pour améliorer l'image de l'entreprise ou les conditions de travail, peut, compte tenu de l'évolution de la législation devenir un investissement productif par le biais des économies de dépenses liées par exemple à l'instauration de taxes sur les rejets.

Démarche prévisionnelle Objectif

Plan de financement Trésorerie prévisionnelle équilibrée

Evaluation des projets d'investissement

Rentabilité économique suffisante (rentabilité des fonds investis)

Evaluation des projets de financement

Coût minimum des sources de financement

Evaluation globale des projets d'investissement et de

financement

Rentabilité financière suffisante (rentabilité des fonds propres)

1- La démarche : séparation des flux de trésorerie La recherche d'un financement optimal est une étape indépendante du choix des investissements. La démarche consiste à rattacher les flux de trésorerie aux cycles auxquels ils se rapportent. Selon les préoccupations du décideur, on s'attachera à analyser tout ou partie des flux de trésorerie.

Flux de trésorerie des opérations d'exploitation A

Flux de trésorerie des opérations d'investissement B

Flux économiques A + B Mesure de la rentabilité économique

Flux de trésorerie des opérations de financement provenant des tiers C Calcul du coût des sources de

financement

Solde des flux de trésorerie prévisionnels A + B + C Mesure de la rentabilité financière

2- Présentation du tableau de flux de trésorerie prévisionnels La séparation des flux de trésorerie prévisionnels par opérations conduit à présenter un tableau proche du plan de financement, basé sur le tableau de flux de trésorerie de l'OEC. Il s'en distingue cependant sur quelques points.

Plan de financement

présenté selon le

tableau de flux de trésorerie

de l'OEC

Tableau de flux de trésorerie des projets

d'investissement et de financement

Classification différente de certains postes :charges d'intérêt, impôt sur les bénéfices

Suppression de postes : prix de cession de l'immobilisation remplacée, modificationet rémunération des fonds propres

Prise en compte de la valeur terminale du projet

Investissements non productifs : de pres-

tige, de sécurité, sociaux

Investissements productifs de renou-vellement, de mo-

dernisation, d’expansion

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21- Classification différente de certains postes 211- Charges d'intérêt Elles sont obligatoirement rattachées au cycle de financement pour permettre le calcul du coût du financement. 212- Impôt sur les bénéfices Il est ventilé dans chacun des cycles : - cycle d'exploitation : impôt sur le résultat d’exploitation, - cycle d'investissement : impôt sur éventuelles plus ou moins-values de cession, - cycle de financement : économies d'impôts sur charges de financement. 22- Disparition de postes 221- Prix de cession de l’immobilisation remplacée Si l’étude porte sur le remplacement d’une immobilisation, le prix de cession net d’impôt de l’immobilisation remplacée est ignoré. L’étude d‘un nouvel investissement (entrée dans le cycle d’investissement) retient, lors du calcul de sa rentabilité, la valeur future de sortie du cycle d’investissement à travers la notion de valeur terminale. Il convient donc de ne pas la retenir deux fois : une fois lors du calcul de sa rentabilité prévisionnelle et une nouvelle lors de l’étude de la rentabilité prévisionnelle de l’immobilisation future qui viendra la remplacer. 222- Flux de financement provenant des actionnaires Seuls les financements provenant des tiers sont évalués dans le cycle de financement. La rentabilité des fonds propres est prise en compte par le biais du taux d’actualisation Ne sont donc pas retenus dans le cycle de financement : augmentation et réduction de capital, distribution de dividen-des. 23- Prise en compte de la valeur terminale du projet Les flux de trésorerie prévisionnels d'un projet d'investissement peuvent être évalués avec une certaine fiabilité sur un horizon de 3 à 10 ans. Cela n'induit pas obligatoirement un arrêt d'activité après cette échéance. Au-delà de la période de prévision, l'investissement pourra parfois encore être exploité mais la prévision précise des flux économi-ques de trésorerie devient trop aléatoire. On estime alors globalement les flux ultérieurs par une valeur terminale. Diverses méthodes sont alors possibles. 231- Évaluation patrimoniale des actifs C’est la méthode généralement retenue. La valeur terminale correspond à la valeur résiduelle des immobilisations et au besoin en fonds de roulement d’exploitation. - la valeur résiduelle des immobilisations est normalement leur valeur de marché comme lors de l’évaluation des

actifs d’exploitation dans la méthode de l’actif net comptable corrigé. L'hypothèse de continuité de l'exploitation étant retenue, il n'y pas lieu d'imposer une éventuelle plus-value de cession. Par simplification, on retient parfois la valeur nette comptable.

- la valeur terminale des opérations d’exploitation correspond à la récupération du besoin en fonds de roulement d’exploitation.

232- Évaluation par les flux Pour les investissements à long délai de vie ou lors de l’évaluation d’une entreprise, la valeur terminale est déterminée en actualisant, sur un nombre déterminé d’années ou à l’infini, un flux de trésorerie, supposé constant (ou croissant). Ce flux de trésorerie sera, par exemple, le dernier flux économique prévu dans le tableau des flux de trésorerie.

EXEMPLE Les flux de trésorerie économiques (exploitation et investissement) d’un projet d’investissement sont les suivants :

Début N N N+1 N+2 N+3 N+4Flux économiques -540 000 133 333 166 667 210 000 210 000 210 000 Sachant que le coût moyen pondéré du capital est de 15%, calculons la valeur terminale en (N+4) du projet sur la base du dernier flux économique : - actualisé sur 10 ans ; - actualisé à l’infini : on parle dans ce cas de capitalisation. Actualisation sur 10 ans du dernier flux :

94105311501511

00021010

=−

×−

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Capitalisation du dernier flux :

0004001150000210

1501511

000210 ==−

×−∞

,,,

24- Synthèse des correctifs Par exemple le plan de financement définitif d’un projet doit être modifié ainsi :

Plan de financement Flux de trésorerie liés à l'activitéRésultat brut d'exploitation ou EBE (1) 3 700 000 3 700 000 3 700 000Variation du BFRE (2) 2 000 000

= Flux net de trésorerie d'exploitation (3)=(1)-(2) (2 000 000) 3 700 000 3 700 000 3 700 000Charges d' intérêt (262 500) (175 000) (87 500) A reclasserImpôts sur les bénéfices (745 833) (775 000) (804 167) A ventiler

= Flux net de trésorerie généré par l'activité (A) (2 000 000) 2 691 667 2 750 000 2 808 333

Flux de trésorerie liés à l'investissementAcquisitions d'immobilisations (6 000 000)Cessions d'immobilisations 250 000 A supprimer

= Flux net de trésorerie lié à l'investissement (B) (5 750 000) 0 0 0Valeur terminale du projet d'investissement XXXX A ajouterFlux de trésorerie liés au financementDividendes versés (65 000) (65 000) A supprimerAugmentation de capital en numéraire 2 000 000 A supprimerEmission d'emprunts 5 250 000Remboursement d'emprunts (1 750 000) (1 750 000) (1 750 000)= Flux net de trésorerie lié au financement (C) 7 250 000 (1 750 000) (1 815 000) (1 815 000)Variation de trésorerie (A) + (B) + (C) (500 000) 941 667 935 000 993 333

EXEMPLE : Désirant assurer la croissance de sa production et s’étendre sur de nouveaux marchés, l’entreprise MARCHAL envi-sage le lancement d’un nouveau produit pour le début de l’année N. Une étude de marché a permis d’obtenir les prévisions suivantes pour les années N à N+4.

Année N N+1 N+2 N+3 N+4Quantités vendues 8 000 10 000 12 000 12 000 12 000

Pour réaliser ce programme, l’entreprise devrait acquérir, début N, de nouveaux équipements dont le coût total s’élèverait à 500 000 euros, durée d’utilisation prévue sur 5 ans, amortissement linéaire. Conditions d’exploitation Prix de vente d’un produit : 50 euros Coût variable unitaire décaissable (hors coût de financement) : 25 euros Charges fixes décaissables annuelles : 35 000 euros Le besoin en fonds de roulement d’exploitation de ce nouveau produit est évalué à 36 jours de chiffre d’affaires HT. Hypothèse de stabilité des prix. Modalités de financement - un emprunt au taux annuel de 5% financera 70% du montant des équipements. Cet emprunt disponible début N

sera remboursable sur 5 ans par amortissements constants, le première annuité venant à échéance dans un an. - le solde par autofinancement. Informations diverses Par simplification, les recettes et dépenses sont supposées se réaliser à la fin de chaque période y compris l’impôt sur les bénéfices qui est rattaché à l’exercice lui ayant donné naissance.

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La rentabilité exigée par les actionnaires, compte tenu du risque économique et du niveau d’endettement de l’entreprise est de 12%. Le taux d’impôt sur les bénéfices retenu pour l’étude prévisionnelle est de 33 1/3%. La valeur terminale sera estimée par la valeur vénale de l’immobilisation estimée à 20 000 € et la récupération du besoin en fonds de roulement d’exploitation. Présentons les flux de liquidités de ce projet. Travaux préparatoires

N N+1 N+2 N+3 N+4Quantités vendues 8 000 10 000 12 000 12 000 12 000 Chiffre d'affaires HT 400 000 500 000 600 000 600 000 600 000

Charges variables décaissables -200 000 -250 000 -300 000 -300 000 -300 000 Charges fixes décaissables -35 000 -35 000 -35 000 -35 000 -35 000 EBE 165 000 215 000 265 000 265 000 265 000 BFRE nouvelle activité 40 000 50 000 60 000 60 000 60 000 Variation BFRE 40 000 10 000 10 000 0 0

Calcul de l’impôt sur les bénéfices attaché aux cycles d’exploitation et d’investissement du projet.

Cycle d'exploitation N N+1 N+2 N+3 N+4EBE 165 000 215 000 265 000 265 000 265 000 Dotations / amortissements -100 000 -100 000 -100 000 -100 000 -100 000 Bénéfice avant impôt 65 000 115 000 165 000 165 000 165 000 Impôt sur les bénéfices sur opérations d'exploitation 21 667 38 333 55 000 55 000 55 000

Tableau d’amortissement de l’emprunt et conséquences fiscalesN N+1 N+2 N+3 N+4

Capital dû début de période 350 000 280 000 210 000 140 000 70 000 Charge d'intérêt 17 500 14 000 10 500 7 000 3 500 Amortissement 70 000 70 000 70 000 70 000 70 000 Annuité 87 500 84 000 80 500 77 000 73 500 Restant dû fin période 280 000 210 000 140 000 70 000 0 Economie d'impôt sur charges d'intérêt 5 833 4 667 3 500 2 333 1 167

Le raisonnement se fait en termes de produits et de charges et non d’encaissements et de décaissements.

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Synthèse des flux de liquidités du projet

Début N N N+1 N+2 N+3 N+4Flux d'exploitation

EBE (1) 165 000 215 000 265 000 265 000 265 000 ( ψ∃BFRE (2) -40 000 -10 000 -10 000 Impôt sur les bénéfices des opérations d'exploitation (3) -21 667 -38 333 -55 000 -55 000 -55 000 Flux net de trésorerie d'exploitation (A) = (1 + 2 + 3) -40 000 133 333 166 667 210 000 210 000 210 000

Flux d'investissementAcquisition du matériel -500 000 Flux net de trésorerie d'investissement (B) -500 000 0 0 0 0 0 Flux économiques (A + B) -540 000 133 333 166 667 210 000 210 000 210 000

Valeur terminaleInvestissement 20 000 Récupération du BFRE 60 000 Valeur terminale (C) 80 000 Flux économiques corrigés (A + B + C) -540 000 133 333 166 667 210 000 210 000 290 000

Flux de financement provenant des tiers

Emprunt 350 000 Amortissement de l'emprunt -70 000 -70 000 -70 000 -70 000 -70 000 Charges d'intérêt -17 500 -14 000 -10 500 -7 000 -3 500 Economie d'impôt sur charge d'intérêt 5 833 4 667 3 500 2 333 1 167 Flux net de trésorerie de financement (D) 350 000 -81 667 -79 333 -77 000 -74 667 -72 333 Flux net de trésorerie global (A +B + C + D) -190 000 51 666 87 334 133 000 135 333 217 667

Remarque : nous utiliserons souvent par la suite la notion de capacité d’autofinancement (CAF) d’exploitation corres-pondant à l’EBE corrigé de l’impôt sur les bénéfices des opérations d’exploitation.

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3- La mesure de la rentabilité économique 31- Prise de décision en avenir certain 311- Méthodes sans actualisation A- Taux de rendement comptable Cette méthode est la seule qui considère les bénéfices et non les flux de trésorerie.

Taux de rendement comptable = Bénéfice annuel moyen Investissement initial en immobilisations

L’entreprise se fixe arbitrairement un taux limite et élimine les projets pour lesquels le taux de rendement est inférieur à cette limite. Cette méthode simple est actuellement dépassée.

EXEMPLE Des immobilisations, dont le prix d'acquisition est 200 000 euros, procureront les bénéfices annuels suivants pour chacune des cinq années à venir : 30 000 , 35 000 , 40 000 , 45 000 , 50 000 Bénéfice annuel moyen = 40 000 Taux de rendement comptable = 40 000 / 200 000 = 20%.

B-Le délai de récupération du capital investi Principe de la méthode Le délai de récupération correspond au nombre de périodes nécessaires pour récupérer le montant de l'investissement ou, en raisonnant sur la somme des flux d'investissement et d'exploitation pour que la somme des flux de trésorerie soit nulle.

EXEMPLE Les flux de trésorerie prévisionnels des opérations d'investissement et d'exploitation de deux projets d'investissement exclusifs sont les suivants :

Périodes 0 1 2 3 4Flux de trésorerie -1000 500 400 300 50Flux cumulés -1000 -500 -100 200 250Flux de trésorerie -1000 300 400 400 500Flux cumulés -1000 -700 -300 100 600

Projet A

Projet B

-1000

-500

0

500

1000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Périodes

Flux

éco

nom

ique

s cu

mul

és

Projet AProjet B

2 ans 4 mois

2 ans 9 mois

Si l'on fait l'hypothèse de linéarité des flux au cours d'une période, les délais de récupération sont : - pour le projet A de : 2 ans + 1 an x 100 /200 = 2 ans 4 mois - pour le projet B de : 2 ans + 1 an x 300 / 400 = 2 ans 9 mois

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L'utilisation du critère du délai de récupération conduit à privilégier le projet A bien que les recettes totales dégagées par le projet B soient supérieures.

Appréciation de la méthode

Calculs simples et rapides : tout projet dont le délai de récupération est inférieur à la norme préalablement définie par l'entreprise peut être retenu. Basée sur le concept de trésorerie, la méthode favorise la liquidité des actifs et prend naturellement en compte le risque d'illiquidité. La récupération rapide des flux engagés permet de saisir de nouvelles opportu-nités et de s'adapter aux modifications de l'environnement. La méthode ne prend en compte ni le montant initial de l'investissement, ni les flux générés au-delà du délai de récupération. Par souci de liquidité, le critère de rentabilité est complètement délaissé. La méthode pénalise les investissements à long délai de récupération, caractéris-tique des investissements de croissance.

Cette méthode simple est utilisée comme complément à d'autres méthodes plus élaborées. 312- Méthodes fondées sur l’actualisation L'actualisation tient compte : - de l'échelonnement des flux de trésorerie dans le temps, - du risque lié à l'incertitude du futur. A- Méthode de la valeur actuelle nette (VAN) Les flux économiques sont actualisés au taux défini par l'entreprise. Si la valeur actuelle nette est positive, le projet est accepté.

EXEMPLE Dans l'exemple précédent, le taux de rentabilité économique requis est de 10%. Calculons la valeur actuelle nette des deux projets.

34,2451,15001,14001,14001,13001000)B(VAN

67,441,1501,13001,14001,15001000)A(VAN4321

4321

=×+×+×+×+−=

=×+×+×+×+−=−−−−

−−−−

Les deux projets ont une rentabilité économique supérieure au taux requis (VAN > 0) mais étant exclusifs l'un de l'au-tre, il convient de retenir le projet B qui offre la plus forte valeur actuelle nette.

B- Signification de l’actualisation Le taux d’actualisation joue un double rôle selon que la trésorerie dégagée par le projet d’investissement est néga-tive ou positive.

Signification du taux d’actualisation

négatifs Recherche de financements

Taux de rémunération exigé par les apporteurs de capitaux

positifs Excédent de trésorerie

à réinvestir Taux de placement

des excédents de trésorerie

EXEMPLE Soit un investissement C de 1 000 générant deux flux économiques de 550. Ce projet est financé par un emprunt au taux de 5% remboursable in fine capital et intérêts soit : 1 000 x 1,052 = 1 102,50. Calculons la valeur actuelle nette (VAN) des flux économiques à 5%.

Périodes 0 1 2Flux économiques (1) (1 000,00) 550,00 550,00

VAN flux économiques : - 1000 + 550 x (1,05)-1 + 550 x (1,05)-2 = 22,68

Points forts

Points faibles

Flux économiques

dégagés

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Ce qui équivaut à calculer la VAN des flux nets à 5%. Périodes 0 1 2

Flux de financement (2) 1 000,00 0,00 (1 102,50)Flux nets de trésorerie (1) + (2) 0,00 550,00 (552,50)

VAN flux nets : 550 x 1,05-1 – 552,50 x 1,05-2 = 22,68 22,68 correspond à l’accroissement de valeur de l’entreprise après rémunération des sources de financement à 5%. Une VAN négative signifie que les flux économiques ne sont pas suffisants pour rémunérer les sources de finan-cement. Calculons maintenant la valeur nette future (VNF), c’est-à-dire la somme des flux économiques actualisés en période 2, soit : VNF = VAN x (1+i) n = 22,68 x 1,052 = 25 VNF = - 1000 x 1,052 + 550 x 1,051 + 550 = 25

-1000 x (1,05)2 = - 1 102,50 correspond au montant de l’emprunt à rembourser en période 2 550 x 1,051 signifie que le flux économique positif de la première année a été réinvesti au taux

d’actualisation de 5%.

C- Méthode du taux interne de rentabilité (TIR) ou taux de rendement interne (TRI) C’est le taux tel que la valeur actuelle nette des flux économiques soit égale à zéro. Le taux interne de rentabi-lité économique correspond à la rémunération maximale qui peut être accordée aux ressources engagées dans le projet. Comme la VAN, il correspond également au taux de réinvestissement des flux économiques positifs ; ce qui est peu réaliste si le TIR calculé est élevé.

EXEMPLE Reprenons les projets A et B Projet A : ( ) ( ) ( ) ( ) %65,12tt150t1300t1400t150010000 4321 ==>+×++×++×++×+−= −−−−

Projet B : ( ) ( ) ( ) ( ) %02,20tt1500t1400t1400t130010000 4321 ==>+×++×++×++×+−= −−−−

D- Comparaison entre VAN et TIR Si la méthode du taux interne de rentabilité présente l'avantage de ne pas avoir à choisir de taux puisque c'est la va-riable du problème, des difficultés peuvent surgir lors de son calcul. a- Classements discordants Lors de l'étude de projets exclusifs, valeur actuelle nette et taux interne de rentabilité peuvent donner des classements discordants.

EXEMPLE Soient deux projets exclusifs D et E. Calculons la valeur actuelle nette des deux projets en faisant varier le taux d'ac-tualisation entre 6 % et 21%.

Flux économiques (investissement + exploitation) Périodes 0 1 2 3 TIR

Projet D Flux de la période -1000 300 500 600 16,79%Projet E Flux de la période -1000 500 600 250 18,46%

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Taux VAN projet D

VAN projet E

6% 232 2167% 207 1968% 183 1769% 159 157

10% 137 13811% 115 12012% 94 10313% 73 8614% 53 6915% 33 5316% 15 3717% -4 2218% -21 719% -39 -820% -56 -2221% -72 -36

-100

0

100

200

300

6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22%

Taux d'actualisationVa

leur

act

uelle

net

te

Projet D Projet E

9,63%

16,79%

18,46%

On appelle taux d'indifférence le taux pour lequel la valeur actuelle nette des deux projets est égale. Calculons le taux d'indifférence. VAN (D) = VAN(E) => VAN(D) – (VAN(E) = 0 -200.(1+i)-1 –100.(1+i)-2 + 350.(1+i)-3 = 0 en multipliant les 2 membres par (1+i)3

-200.(1+i)2 –100.(1+i)1 + 350 = 0 => i = 9,6291% On peut vérifier que lorsque le taux d'actualisation est inférieur au taux d'indifférence, le classement des projets devient discordant. Le TIR nous fait retenir le projet : E la VAN le projet : D

Dans cette situation, la méthode de la valeur actuelle nette doit être privilégiée, le taux d'actualisation corres-pondant au coût effectif des ressources. b- Taux interne de rentabilité inexistant Dans certains cas le TIR n'est pas défini alors que le calcul de la VAN reste possible.

EXEMPLE Soient les flux économiques d'un projet F. Calculer le taux interne de rentabilité économique.

Périodes 0 1 2 VANFlux économiques -1000 2000 -1100Flux actualisés à 10% -1000 1818 -909 -91

- 1 000 + 2 000 x (1 + t)-1 – 1 100 x (1+t)-2 = 0 Multiplions les 2 membres par (1 + t )2 / 1 000 - (1 + t)2 + 2 x (1 + t) – 1,1 = 0 Posons z = (1 + t) - z2 + 2.z – 1,1 = 0 ∆ = -0,4 < 0 => Pas de racines réelles

c- Existence de plusieurs taux internes de rentabilité Le solde annuel de trésorerie résultant des flux d'exploitation et d'investissement peut changer plusieurs fois de signe au cours de la durée de vie de l'investissement. Ce cas se rencontre fréquemment à la fin de l'exploitation lorsqu'une nouvelle dépense d'investissement doit être engagée pour remettre en état les lieux : talutage d'une gravière, reboise-ment d'une carrière, réhabilitation d'une friche industrielle. D'une manière générale il peut y avoir autant de TIR qu'il y a de changements de signes dans la succession des flux nets (équation de degré n : n racines). Dans cette situation, il est nécessaire de privilégier la valeur actuelle nette.

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EXEMPLE Soit un projet G caractérisé par deux flux économiques négatifs. (Calcul sous Excel : voir feuille masquée)

Périodes 0 1 2 3 4 5 6Flux d'investissement -1000 -1500Recettes nettes d'exploitation 700 600 500 400 100 100Flux économiques -1000 700 600 500 400 100 -1400

-120-100

-80-60-40-20

020406080

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45%

Taux d'actualisation

Vale

ur a

ctue

lle n

ette

4,63% 29,71%

Le calcul du TIR nous donne deux solutions 4,63 % et 29,71%. Aucune des deux solutions ne se justifie plus que l'au-tre. Si les sources de financement exigent un taux de rémunération de 10%, la VAN est de 53.

Dans cette situation, seule la VAN donne un résultat significatif. E-Choix entre des projets mutuellement exclusifs Il s’agit de choisir entre des projets qu’il n’est pas possible de réaliser ensemble (par exemple : construire une usine à Vatry ou une usine en Irlande). Le classement des projets selon le critère de la VAN ou du TRI n’est pas toujours aisé. a- Projets de durée de vie différentes

EXEMPLE Soient les flux économiques de deux projets exclusifs H et I. Calculons la valeur actuelle nette au coût du capital de 10%.

Périodes 0 1 2 3 4 5 6Projet H -1500 500 500 500 500 500 500Projet I -1500 800 800 800

VAN(H) = 677,63 VAN(I) = 489,48

Sur le critère de la VAN H semble préférable à I. C’est oublier qu’après 3 ans un nouveau projet peut être envisagé après le projet I. Trois solutions sont possibles.

Renouvellement à l’identique du projet le plus court

Renouvelons I à l’identique après 3 ans

Projets I + I 0 1 2 3 4 5 6Flux d'investissement -1500 -1500Recettes nettes d'exploitation 800 800 800 800 800 800Flux économiques -1500 800 800 -700 800 800 800

VAN (I + I) = 857,27 Conclusion : I + I préférable à H

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Cette méthode simpliste n’est applicable que dans le cas particulier où la durée du projet le plus long est un multiple de la durée du projet le plus court.

Calcul sur la durée la plus courte Raisonnons sur 3 ans. La valeur vénale de l’investissement H après 3 ans est de 600.

Projet H 0 1 2 3Flux d'investissement -1500 600Recettes nettes d'exploitation 500 500 500Flux économiques -1500 500 500 1100

VAN (H) = 194,21 Conclusion : I avec une VAN = 489,48 est préférable à H dont la VAN est de 194,21

Calcul de la rente annuelle : méthode de l’annuité équivalente Cette méthode, préférable aux 2 précédentes consiste à calculer l’annuité constante au coût du capital correspondant à la création annuelle moyenne de valeur sur la durée de vie du projet. Annuité équivalente du projet H

677,63 = a . a = 155,590,1

a a a

1 - 1,1-6

a

3 4 5 60 1 2

677,63 a a

Annuité équivalente du projet I

489,48 = b . b = 196,83

0 1 2

489,48 b b

3

0,1

b

1 - 1,1-3

Conclusion : Projet I préférable au projet H

b- Projets de montants différents Si le critère du taux interne de rentabilité semble judicieux pour comparer des investissements de montant différent, il y a lieu de raisonner sur les flux de trésorerie différentiels pour porter un jugement correct. Le critère de la VAN est cependant préférable.

EXEMPLES Soient les flux économiques de deux projets exclusifs J et K. Calculons le TIR et la valeur actuelle nette au coût du capital de 15%.

Périodes 0 1 2 3 4 5 TIR VAN à 15%Projet J -400 130 130 130 130 130 18,72% 36Projet K -300 100 100 100 100 100 19,86% 35Projet différentiel J-K -100 30 30 30 30 30 15,24% 1

Conclusion TIRE de K > TIRE de J et VAN de J > VAN de K Il faut retenir le projet J qui crée le plus de valeur (36). Cependant on pourra lui préférer le projet K à condition de pouvoir investir le complément de 100 (400 – 300) à un TIR supérieur à 15,24% (ou avec une VAN >1).

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Soient les flux économiques de deux projets exclusifs L et M. Calculons la valeur actuelle nette au coût du capital de 15%.

Périodes 0 1 2 3 4 5 TIR VAN à 15%Projet L -400 125 125 125 125 125 16,99% 19Projet M -300 100 100 100 100 100 19,86% 35Projet différentiel L-M -100 25 25 25 25 25 7,93% -16

Conclusion TIRE de M > TIRE de L et VAN de M > VAN de L Il faut retenir le projet M. Choisir L serait une aberration car l’investissement différentiel de 100 détruit de la valeur (VAN = -16).

F-Choix entre des projets non exclusifs en cas de rationnement du capital Si les projets étudiés ne sont pas exclusifs l'un de l'autre, tous les projets dont la VAN est positive pourraient être ac-ceptés si l'entreprise disposait du capital suffisant pour les financer en même temps. On est cependant parfois limité par l'insuffisance du capital. Remarque : le rationnement du capital est une anomalie en économie de marché. En théorie, l’entreprise devrait pouvoir se procurer tout le capital nécessaire à condition d'en payer le coût. Le rationnement peut cependant se rencontrer dans la réalité :

- au niveau des divisions d'entreprise, la direction générale limite les budgets d'investissement dont disposent les direc-teurs de divisions,

- au niveau de l'entreprise, les banques peuvent refuser de nouveaux emprunts car elles estiment que le taux d'endet-tement est trop élevé ou, encore, les actionnaires dirigeants sont hostiles à une augmentation de capital qui leur ferait perdre la majorité.

a- Indice de rentabilité (ou indice de profitabilité) Indice de rentabilité = Σ des recettes nettes d’exploitation actualisées = 1 + Valeur actuelle nette Σ des dépenses nettes d’investissement actualisées Investissements actualisés On classe les projets par ordre décroissant de leur indice de rentabilité et l'on retient les meilleurs jusqu'à ce que la totalité du capital disponible soit employée.

EXEMPLE Considérons une entreprise (ou une division d'entreprise) qui étudie de nombreux projets A, B, C, D, dont les caracté-ristiques sont les suivantes :

Projet Montant initial de l'investissement

Valeur actuelle nette des flux économiques

A 90 000 3 600 1 + 3 600 / 90 000 1,040B 50 000 1 750 1 + 1 750 / 50 000 1,035C 30 000 1 500 1 + 1 500 / 30 000 1,050D 20 000 400 1 + 400 / 20 000 1,020

Indice de rentabilité

Le capital dont dispose l'entreprise (ou la division) est limité à 150 000. Le classement des projets est le suivant :

Projet Indice de rentabilité

Capital nécessaire

Cumul du capital Accepté VAN VAN cumlulée

C 1,050 30 000 30 000 O 1 500 1 500A 1,040 90 000 120 000 O 3 600 5 100B 1,035 50 000 ND 1,020 20 000 N

La méthode de l'indice de rentabilité permet d'approcher la solution mais ne garantit pas une solution optimale. On de manière empirique améliorer la solution.

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Projet Indice de rentabilité

Capital nécessaire

Cumul du capital Accepté VAN VAN cumlulée

C 1,050 30 000 30 000 O 1 500 1 500

A 1,040 90 000 120 000 O 3 600 5 100

B 1,035 50 000 N

D 1,020 20 000 140 000 O 400 5 500 b- Programmation linéaire Le problème peut être formalisé par un programme linéaire. La programmation linéaire classique, avec des variables continues, suppose que les projets puissent être fractionnés Sinon, il faudrait recourir à la programmation linéaire en nombres entiers.

EXEMPLE Désignons par les variables XA, XB, XC, XD les programmes A, B, C, D. Ces variables prennent la valeur 1 quand le programme est réalisé et la valeur 0 quand il est refusé. L’objectif est de maximiser la somme des VAN. Le programme linéaire est le suivant : Maximiser Z = 3 600 XA + 1 750 XB + 1 500 XC + 400 XD Contraintes générales XA, XB, XC, XD ≥ 0 Contraintes de réalisation des projets XA ≤ 1 XB ≤ 1 XC ≤ 1 XD ≤ 1 Contrainte de ressources 90 000.XA + 50 000.XB + 30 000.XC + 20 000.XD ≤ 150 000 La solution optimale du système est: XA=1, XB=1, XC=1/3, XD=0 Les projets A et B et 1/3 du projet C sont retenus. Les VAN des projets retenus totalisent 5 850. G- VAN et TIR intégrés ou globaux Il est possible d’éviter que le taux d’actualisation soit à la fois le taux de rémunération des ressources et de placement des excédents de trésorerie en définissant un taux de réinvestissement des flux économiques positifs différent du taux d’actualisation de la VAN ou du TIR. Cette méthode est surtout intéressante lorsque le taux interne de rentabilité est élevé, l’hypothèse de réinvestissement des flux positifs à ce taux étant peu vraisemblable ou en cas de TIR multiples.

EXEMPLE Reprenons le projet G. Les excédents de trésorerie dégagés sont réinvestis à 5%. Le coût des sources de financement est de 10%. Capitalisons les recettes nettes d’exploitation (RNE) en période 6 au taux de 5%. Calcul excel ci-dessous.

Périodes 0 1 2 3 4 5 6 TotalInvestissement -1 000,00 -1 500,00RNE 700,00 600,00 500,00 400,00 100,00 100,00RNE capitalisées à 5% 893,40 729,30 578,81 441,00 105,00 100,00 2 847,51Flux nets -1 000,00 1 347,51

La VAN est calculée en actualisant à 10% les flux d’investissement et le total des recettes d’exploitation capitalisées. VAN intégrée ou globale : - 1 000 + [ 2 847,51 – 1 500 ] x 1,1-6 = -239,27 Le TIR intégré ou global (TIRG) est le taux tel que la VAN des flux d’investissement et des recettes d’exploitation capi-talisées est nul. - 1 000 + [ 2 847,51 – 1 500 ] x (1+TIRG)-6 = 0 => TIRG = 5,10% La VAN globale est négative et le taux interne de rentabilité global est inférieur au coût des ressources de 10%. Le projet G n’est pas rentable.

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32- Prise de décision en avenir aléatoire ou incertain Nous avons précédemment considéré implicitement que les recettes et dépenses futures étaient certaines. La VAN, calculée en fonction des flux de trésorerie était donc certaine, elle aussi. En réalité, les événements futurs sont aléatoires (ou probabilisables, c'est-à-dire qu'on peut leur affecter des probabili-tés) ou même, incertains (c'est-à-dire que leurs probabilités sont inconnues). Les projets présentent donc un risque. 321- Marge de sécurité d’un projet Rappelons que le risque d'exploitation peut être caractérisé par la différence entre le chiffre d'affaires et le seuil de rentabilité, dite marge de sécurité. Cette approche est applicable au risque d'un projet d'investissement. Le seuil de rentabilité, deuxième terme de cette différence, est défini soit, de façon traditionnelle (seuil de rentabilité comptable), soit par référence à la VAN (seuil de rentabilité financier). A- Seuil de rentabilité comptable Le seuil de rentabilité traditionnel (dit seuil de rentabilité comptable) est le niveau du chiffre d'affaires qui annule le résultat comptable prévisionnel du projet.

EXEMPLE Un investissement de 400 000 devrait permettre de réaliser un chiffre d'affaires annuel de 500 000 pendant cinq ans. Les charges fixes d'exploitation annuelles s'élèveraient à 150 000 (dont 80 000 d'amortissement de l'investissement). Le taux de marge sur coût variable serait de 35 %. Le taux de l'impôt sur les sociétés est 33 1/3%. Le coût des capitaux est de 10 %. Seuil de rentabilité comptable : (SR x 0,35 - 150 000) = 0 => SR = 150 000 / 0,35 = 428 571 Marge de sécurité: CA - SR = 500 000 – 428 571 = 71 429 Remarque : le seuil de rentabilité comptable est indépendant du taux de l'impôt et du coût des capitaux.

B- Seuil de rentabilité financier La notion traditionnelle du seuil de rentabilité comptable est discutable car le coût du capital investi n'intervient pas dans la définition de ce seuil. En effet, il ne suffit pas que l'entreprise ait un résultat simplement équilibré pour qu'elle soit rentable. Il faut que le bénéfice soit suffisant pour assurer la rémunération requise aux apporteurs des capitaux. Il est possible de définir un seuil de rentabilité au sens strict. C'est le chiffre d'affaires pour lequel la VAN de l'investis-sement est égale à zéro.

EXEMPLE Reprenons l'exemple précédent. Désignons par CA le chiffre d'affaires. Le résultat d’exploitation annuel avant impôt est de : 0,35 . CA – 150 000 L’impôt d’exploitation annuel est de : (0,35 . CA – 150 000) / 3 = 0,1167 . CA – 50 000 Le flux net annuel de trésorerie d’exploitation est égal à l’EBE moins l’impôt d’exploitation :

0,35 . CA - 70 000 – (0,1167 . CA - 50 000) = 0,2333 . CA – 20 000 La VAN de l'investissement est de :

- 400 000 + (0,2333 . CA – 20 000) . 1 – 1,1-5 = 0,8844 . CA – 475 816 0,1 La VAN s'annule pour CA ≅ 538 000 € Remarquons que le seuil de rentabilité financier est plus élevé que le seuil de rentabilité comptable. Marge de sécurité : aucune, le chiffre d’affaires prévu est inférieur au seuil de rentabilité financier. Le chiffre d’affaires prévu est insuffisant pour assurer une rémunération des res-sources à 10%.

322- Décision d'investissement en avenir aléatoire A- Méthodes empiriques de prise en considération du risque Les procédés empiriques suivants permettent traditionnellement la prise en compte du risque dans le calcul de la VAN.

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a- Diminution de la durée du projet. Cette méthode consiste à actualiser les flux de trésorerie générés par le projet sur une durée inférieure à la durée de vie du projet. Plus le projet est risqué, plus le nombre d'années négligées dans les calculs est grand. b Abattements sur les recettes prévues : méthode de l'équivalent certain. Cette méthode consiste à remplacer, dans les calculs, les recettes risquées par des recettes fictives certaines. Ces recettes certaines sont inférieures aux recettes risquées. Elles sont supposées équivalentes aux recettes risquées du point de vue du décideur.

Équivalent certain = recette risquée x coefficient Le coefficient est toujours inférieur à un. Il est plus faible pour un décideur prudent que pour un décideur audacieux. c- Adjonction d'une prime de risque au taux d'actualisation. Le taux d'actualisation doit rémunérer le temps et le risque.

Taux d'actualisation = Taux sans risque + prime de risque (voir coût des fonds propres) B- Méthode probabiliste d'analyse a- Appréciation du seul critère de l’espérance mathématique La valeur actuelle nette (VAN), calculée en fonction de flux aléatoires, est elle-même une variable aléatoire caractéri-sée par son espérance mathématique et sa variance (ou son écart-type). Le choix d’un investissement sur le critère de l’espérance mathématique de la VAN conduit à ne prendre en compte le facteur risque que de manière imparfaite par le biais du taux d’actualisation.

EXEMPLE Organisez un jeu dans la classe dont 3 actions vous sont proposées. Vous devez impérativement retenir l’une de ces 3 actions : Action 1 : mise de 100 euros, gain (somme reçue) de 3 000 euros avec une probabilité de 0,10 Action 2 : mise de zéro, gain certain (probabilité 1) de 100 euros Action 3 : mise de 5 000 euros, gain de 20 000 euros avec une probabilité de 0,50 Indiquez votre choix : …………Choix personnel : action 2 Calculer les espérances mathématiques de résultat des 3 actions : E(Ra1) = (- 100 x 1) + (3 000 x 0,1 + 0 x 0,9) = + 200 E(Ra2) = (0 x 1) + (100 x 1) = + 100 E(Ra3) = (-5 000 x 1) + ( 20 000 x 0,5 + 0 x 0,5) = + 5 000 Le seul critère de l’espérance mathématique conduit à retenir : ………..l’action 3 Conclusion : Le choix ne se fait exclusivement sur l’espérance mathématique de résultat. La prise en compte du risque intervient : risque de ruine pour certains, impossi-bilité de mettre la mise pour d’autres.

b - Arbitrage entre espérance mathématique et variance Le décideur cherche à maximiser l'espérance mathématique de la VAN (mesure de la rentabilité) et à minimiser la variance de la VAN (mesure du risque).

EXEMPLE Considérons les projets suivants dont on connaît l’espérance mathématique et la variance de la valeur actuelle nette (VAN).

Projet E(VAN) V(VAN) P1 12 000 9 000 000 P2 15 000 7 840 000 P3 17 000 8 410 000

Classer ces projets sur le double critère rentabilité risque. P2 domine P1 rentabilité plus forte et risque plus faible P3 domine P1 rentabilité plus forte et risque plus faible Reste à classer P2 et P3 : sur la rentabilité P3 préférable à P2

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sur le risque P2 préférable à P3 Comment arbitrer ?

c- Calcul de l’Espérance mathématique et de la variance de la VAN

EXEMPLE Un investissement de 80 MEUR est supposé procurer les CAF d'exploitation suivantes (en MEUR).

Probabilités Année 1 Année 2 Année 3 Hypothèse pessimiste H1 0,30 20 25 30 Hypothèse la plus probable H2 0,40 30 40 50 Hypothèse optimiste H3 0,30 40 50 60

Le coût du capital est de 10% Cas 1 : Si une hypothèse se réalise une année donnée, rien ne présage qu’elle se réalisera les années suivantes : les flux de trésorerie d’une année sont indépendants des flux de trésorerie des autres années.

pi R1 pi. Ri pi.Ri2 R2 pi. Ri pi.Ri2 R3 pi. Ri pi.Ri2

H1 0,30 20,00 6,00 120,00 25,00 7,50 187,50 30,00 9,00 270,00H2 0,40 30,00 12,00 360,00 40,00 16,00 640,00 50,00 20,00 1 000,00H3 0,30 40,00 12,00 480,00 50,00 15,00 750,00 60,00 18,00 1 080,00Σ 1,00 30,00 960,00 38,50 1 577,50 47,00 2 350,00

E(R1) = 30 E(R2) = 38,5 E(R3) = 47 V(R1) = 960 – 302 = 60 V(R2) = 1 577,50 – 38,502 = 95,25 V(R3) = 2 350 – 472 = 141 E(VAN) = -80 + 30 x 1,1-1 + 38,5 x 1,1-2 + 47 x 1,1-3 = 14,40 V(VAN) = 60 x 1,1-2 + 95,25 x 1,1-4 + 141 x 1,1-6 = 194,23 σ(VAN) = 13,94 Cas 2 : Si une hypothèse se réalise une année donnée, elle se réalisera les années suivantes : les flux de trésorerie d’une année sont parfaitement corrélés avec ceux des autres années.

pi R1 R1.(1+i)-1 R2 R2.(1+i)-2 R3 R3.(1+i)-3 Si pi.Si pi.Si2

(a) (b) (c) (a)+(b)+(c)H1 0,30 20,00 18,18 25,00 20,66 30,00 22,54 61,38 18,41 1 130,34H2 0,40 30,00 27,27 40,00 33,06 50,00 37,57 97,90 39,16 3 833,48H3 0,30 40,00 36,36 50,00 41,32 60,00 45,08 122,76 36,83 4 521,36Σ 1,00 94,40 9 485,18

E(VAN des flux positifs) = 94,40 E(VAN des flux nets) = - 80 + 94,40 = 14,40 V(VAN des flux nets) = 9 485,18 – 94,402 = 573,82 σ(VAN) = 23,95

C- Décisions séquentielles et arbres de décision a- Définitions Lorsque le projet implique plusieurs décisions d'investissement qui se succèdent dans le temps, on représente l'en-semble des décisions et des événements par un arbre de décision. Une décision est un choix effectué librement par le décideur. Un événement est imposé de l'extérieur au décideur. Il est affecté d'une probabilité.

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b- Structure des arbres de décision L'arbre de décision est un graphe orienté qui représente la succession des décisions et des événements. Parmi les sommets du graphe (ou nœuds), on distingue des nœuds de décisions et des nœuds d'événements.

Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix entre plusieurs décisions. Il est figuré par un carré. Chaque décision conduit à un nœud d'événements (voir ci-après). La racine de l'arbre de décision est tou-jours un nœud de décisions.

Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une alternative entre plusieurs événements. Il est figu-ré par un cercle. À chaque événement sont attachées une VAN et une probabilité. La somme des probabilités af-fectées aux événements d'un nœud égale 1. Pour chaque nœud, on calcule l'espérance mathématique de la VAN (et, éventuellement, la variance).

c- Procédure À chaque nœud de décisions, la décision qui a la préférence est celle qui conduit au nœud d'événements pour lequel E(VAN) est maximale. Le calcul s'effectue en remontant le temps de la fin vers le début. L’arbre est progressivement modifié en éliminant, à chaque nœud de décisions, les branches des décisions dominées.

EXEMPLE La capacité de production de la société Sambeau est saturée à la suite du succès rencontré par le lancement récent d'un de ses nouveaux produits. Le flux de trésorerie annuel dégagé est de 200K€. Cette société anticipe la poursuite de la croissance des ventes de ce produit, mais l'intensité de la croissance dépend de la conjoncture économique. Compte tenu de cette incertitude, la société a le choix entre trois politiques :

ne pas faire d'investissement. Dans ce cas le flux de trésorerie annuel obtenu sera de 200K€. construire une usine moyenne. Le montant de l'investissement est alors de 500K€. Cet investissement lui permet-

trait de faire face à l'évolution de la demande en cas de conjoncture modérée. Le flux de trésorerie annuel obtenu serait de 300K€. Par ailleurs, et si nécessaire, la société pourrait mettre en place une année plus tard une exten-sion pour un montant de 400K€. Cette extension ne pourra être réalisée que la première année pour des raisons de contrainte financière. Le flux de trésorerie dégagé après mise en service de l'extension serait de 700K€, en cas de conjoncture favorable.

construire une usine de taille importante d'un montant de 1 000K€. Les flux attendus sont de 700K€ par an si la conjoncture est favorable.

L'horizon considéré est de cinq ans. Le taux d'actualisation est de 10%. La première année, il y a 40% de chances que la conjoncture soit favorable. Dans ce dernier cas, il y a 60% de chan-ces qu'elle le reste pour les années suivantes. A contrario, si la conjoncture est défavorable (c'est-à-dire si la conjoncture est modérée) en première année (probabili-té de 60%), il y a une probabilité de 90% qu'elle le reste pendant les quatre autres années. Calculer l'espérance mathématique des valeurs actuelles nettes des différentes politiques d'investissement.

Événement 3 : probabilité p3



Décision 1

Décision 2

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Conjoncture des4 années suivantes

Favorable : p = 0,6 (1) 1 426E(VAN) = 965

Extension

Conjoncture Défavorable:p = 0,4 (2) 2741ère annéep = 0,4Favorable

Pas d'extension (3) 637E(VAN) = 767 VAN = 637Usine moyenne Favorable : p = 0,1 (4) 1 426

E(VAN) = 389Extension

Défavorable Défavorable:p = 0,9 (5) 274p = 0,6

Pas d'extension (6) 637VAN = 637

F + F : p = 0,24 (7) 1 654

F + D : p = 0,16 (8) 501Grande usine

E(VAN) = 629 D + F : p = 0,06 (9) 1 290

D + D : p = 0,54 (10) 137

Pas d'investissement (11) 758VAN = 758

VAN

D1

E1

D2

E2

D3

E3

E4

(1) -500 - 400 x 1,1-1 + 300 x 1,1-1 + [700.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1 = 1 426 (2) -500 - 400 x 1,1-1 + 300.(1 - 1,1-5) / 0,1 = 274 (3) -500 + 300.(1 - 1,1-5) / 0,1 = 637 (4) = (1) = 1 426 (5) = (2) = 274 (6) = (3) = 637 (7) -1 000 + 700.(1 - 1,1-5) / 0,1 = 1 654 (8) -1 000 + 700 x 1,1-1 + [300.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1 = 501 (9) -1 000 + 300 x 1,1-1 + [700.(1 - 1,1-4) / 0,1] x 1,1-1 = 1 290 (10) -1 000 + 300.(1 - 1,1-5) / 0,1 = 137 (11) 200.(1 - 1,1-5) / 0,1 = 758 Conclusions Décision 1 : Au départ, faire une usine moyenne Si la première année la conjoncture est favorable Décision 2 : Faire l’extension Sinon Décision 3 : Ne pas faire l’extension L’espérance mathématique de la valeur actuelle nette est de 767 K€.

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323- Décision d'investissement en avenir incertain En avenir incertain, le centre de décision pour valoriser le résultat des actions n'a pas la possibilité : - de tenir compte de l'expérience tirée du passé (extrapolation impossible), - de procéder à une expérimentation (marché test), - d'affecter une probabilité aux différents résultats possibles. Les critères de choix sont subjectifs et fonction du degré d'optimiste qui guide le comportement du décideur. Prenons un exemple pour mieux appréhender ces critères de décision.

EXEMPLE Soit la matrice donnant les valeurs actuelles nettes de 4 stratégies possibles selon 4 états de la nature susceptibles de survenir.

États de la nature N1 N2 N3 N4 Stratégies

S1 5 000 4 000 2 500 6 000 S2 3 000 5 500 2 000 3 500 S3 6 000 3 500 4 000 4 500 S4 5 500 4 500 2 000 1 500

a- Critères extrêmes a1- Critère optimiste : MAXIMAX (maximum des maximums) Le principe de ce critère est de choisir la stratégie susceptible de rapporter le gain maximum. Ce critère néglige tota-lement le risque, pour ne retenir que l'aptitude d'une stratégie à réaliser un gain élevé. Il correspond à un comporte-ment offensif, optimiste et risqué.

EXEMPLE :

États de la nature Maximum Maximax Choix Stratégies

S1 6 000 6000 S1 S2 5 500 ou S3 6 000 6 000 S3 S4 5 500

a2- Critère pessimiste de Wald : MAXIMIN (maximum des minimums) On considère l'environnement systématiquement hostile (réaction de la concurrence). On cherche à assurer un résultat minimum en évitant les risques les plus importants. Pour chaque décision, on retient le résultat le plus faible. La stratégie sélectionnée est celle qui fournit le résultat le plus élevé parmi ces minimums.

EXEMPLE :

États de la nature Minimum Maximin Choix Stratégies

S1 2 500 S2 2 000 S3 3 500 3 500 S3 S4 1 500

b- Critères Intermédiaires b1- Critère de LAPLACE-BAYES - PrIncipe de la raison insuffisante S'il n'y a aucune raison de croire que tel état de la nature a plus de chance de se réaliser que tel autre, alors les évènements peuvent être jugés équiprobables. On calcule la moyenne arithmétique simple de chaque décision pour retenir la stratégie correspondant au résultat le plus élevé. Ce critère de décision ne prend pas en compte le risque (même résultat que si l'on calcule l'espé-rance mathématique).

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EXEMPLE :

États de la nature Moyenne Maximum Choix Stratégies

S1 4 375 S2 3 500 S3 4 500 4 500 S3 S4 3 375

b2- CrItère de HURWICZ - Utilisation d’un Indice d’optimisme Ce critère est intermédiaire entre le Maximax et le Maximin. Chaque décision est repérée par son meilleur résultat « M » et son plus mauvais « m ». On calcule alors : H = a .M + (1-a) . m avec « a » compris entre 0 et 1. Cet indice est fonction du degré d'optimisme du décideur. Pour l'ensemble des actions, on sélectionne alors celle qui engendre la plus grande valeur. Ce critère est souvent contesté. Le choix de "a" est arbitraire. De plus, seules les valeurs extrêmes sont prises en compte. Ne sont-elles pas les plus improbables ?

EXEMPLE : avec a = 0,7 États de la nature Minimum Maximum 0,7 x M Maximum Choix

Stratégies m M + 0,3 x m S1 2 500 6 000 4 950 S2 2 000 5 500 4 450 S3 3 500 6 000 5 250 5 250 S3 S4 1 500 5 500 4 300

Que devient la méthode si : - a =1 ? Maximax - a = 0 ? Maximin

b3- Critère de SAVAGE : critère des regrets Ce critère privilégie la prudence. Si l'on disposait d'une connaissance parfaite de l'état de la nature qui va se réaliser, on retiendrait alors la stratégie donnant le résultat le plus élevé. On calcule le manque à gagner entre cette valeur et la valeur correspondant à la stratégie choisie si cet état de la nature survient. Une matrice des manques à gagner est réalisée. La décision à retenir est celle pour laquelle le regret maximal est le plus faible. Il s'agit du minimax des regrets.

EXEMPLE

États de la nature N1 N2 N3 N4 Stratégie optimale S3 S2 S3 S1 Résultat maximum 6 000 5 500 4 000 6 000

Matrice des manques à gagner

États de la nature N1 N2 N3 N4 Maximum

Stratégies Minimax Choix

S1 1 000 1 500 1 500 0 1 500 1 500 S1 S2 3 000 0 2 000 2 500 3 000 S3 0 2 000 0 1 500 2 000 S4 500 1 000 2 000 4 500 4 500

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Évaluation des projets d’investissement 21

4- Le coût des sources de financement Le financement d'un investissement est réalisé par des ressources propres d'origine interne (autofinancement) ou externe (augmentation de capital) ou par des dettes financières. Ces ressources doivent être rémunérées. Le calcul du coût du financement est classique pour les emprunts, il est plus délicat pour le crédit-bail et les fonds propres. Le financement d'un projet est la plupart du temps réalisé par combinaison de plusieurs ressources. Le coût du financement global repose sur la notion de coût moyen pondéré du capital. 41- Coût moyen pondéré du capital (CMP) Lorsque l’entreprise a recours à plusieurs sources de financement, le coût moyen du financement dépend du coût de chacune des ressources.

CPDDCd

CPDCPCfpCMP

+×+

+×=

Cfp Coût des fonds propres ou taux de rentabilité requis par les actionnaires Cd Coût de la dette financière après impôt D Valeur de marché des dettes financières CP Valeur de marché (boursière par exemple) des fonds propres Le CMP doit être calculé à partir des valeurs de marché qui représentent le capital investi à un instant donné et non à partir des valeurs comptables. Le CMP n’est valide qu’à la condition que la structure de financement soit stable.

EXEMPLE Les ressources d’une société sont constituées de 1 000 000 actions cotées 650 euros et de 200 000 obligations remboursables à 1 000 euros, cotées 1 100 euros (Taux d’intérêt orientés à la baisse). Le coût des fonds propres est de 15% et le coût de la dette après impôt de 5%. Valeur de marché des capitaux propres : 650 millions d’euros. Valeur de marché de la dette : 220 millions d’euros. CMP : 15% x 650/(650+220) + 5% x 220/(650+220) = 12,47%

42- Coût des dettes financières Le coût d’une dette financière correspond au taux de revient après impôt de cette ressource. Le taux de revient est le taux qui égalise la somme prêtée à la valeur actuelle des paiements ou, en raisonnant sur les flux nets de trésorerie, le taux tel que la valeur actuelle des flux de trésorerie soit nulle. 421- Coût des emprunts Pour un emprunt à taux fixe, ne comportant d’autre charge que l’intérêt, l’intérêt étant versé à terme échu, le coût de l’emprunt correspond au taux d’intérêt après impôt soit :

Coût de l’emprunt = taux d’intérêt x (1 - taux d’impôt sur les bénéfices) Dans les cas plus complexes, le calcul du taux de revient passe par la détermination des flux prévisionnels de trésorerie.

EXEMPLE Une société émet début (n) un emprunt obligataire au taux de 5% composé de 10 000 obligations de nominal 1 000 euros. Ces obligations sont émises au pair et remboursables in fine à 1 010 euros fin (n+4). Les frais d'émission de l’emprunt de 100 000 euros constituent des charges de l’exercice (n). Les frais annuels de service de la dette s’élèvent à 10.000 euros. Le taux d'impôt retenu est de 33 1/3% et l’entreprise est bénéficiaire. Calculer le coût de cet emprunt. Calculons l’influence de l’impôt sur les bénéfices sur ce financement.

Calcul des économies d'impôt sur charges

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Périodes (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)Charges financières (1) 500 000 500 000 500 000 500 000 500 000Frais d'émission 100 000Frais annuels de gestion 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000Amortissement des primes de remboursement (2) 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000Total des charges fiscales (a) 630 000 530 000 530 000 530 000 530 000Economies d'impôt (a) x 33 1/3% 210 000 176 667 176 667 176 667 176 667(1) 10 000 x 1 000 x 5% = 500 000(2) amortissement de la prime au prorata des intérêts courus ou linéairement sur 5 ans

Les flux prévisionnels de trésorerie sont les suivants :

Tableau des flux de financement Périodes Début (n) (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)

Emprunt (1) 10 000 000Remboursement d'emprunt (2) -10 100 000Coupon annuel -500 000 -500 000 -500 000 -500 000 -500 000Frais d'émission (3) -100 000Frais de gestion -10 000 -10 000 -10 000 -10 000 -10 000Economies d'impôts 210 000 176 667 176 667 176 667 176 667Flux nets de trésorerie 9 900 000 -300 000 -333 333 -333 333 -333 333 -10 433 333(1) Emission au pair, c'est-à-dire à la valeur nominale(2) Remboursement au prix de remboursement(3) Les frais d'émission sont décaissés début (n), le gain d'impôt n'intervient que fin (n).

Le coût de l’emprunt est donné par l’équation : 9 900 000 – 300 000 x (1+t)-1 – 333 333 x (1+t)-2 – 333 333 x (1+t)-3 – 333 333 x (1+t)-4 – 10 433 333 x (1+t)-5 = 0 d’où t = 3,6702%

422- Coût du crédit-bail La difficulté de calcul du coût d’un financement par crédit-bail provient de la nécessité de ne retenir que les flux de financement. Or, dans un contrat de crédit-bail, les flux d’investissement et de financement ne sont pas dis-tincts. La société de crédit-bail met directement l’immobilisation à disposition de l’entreprise sans provoquer de mouvements de trésorerie (encaissement du financement, paiement de l’immobilisation) comme pour un emprunt par exemple. Pour assurer la comparabilité des différentes sources de financement, le crédit-bail est analysé, comme lors du diagnostic financier, en une acquisition d’immobilisation doublée d’un emprunt, l’option d’achat étant levée. Appelons P montant du projet d'investissement financé par crédit-bail, L montant du loyer, t taux anticipé d'impôt sur les bénéfices, A amortissement économique pratiqué en cas d'acquisition. Le montant du projet (- P) est rattaché aux opérations d'investissement et son financement (+ P) est ratta-ché au cycle de financement permettant la prise de décision séparée ; le décaissement total (- P + P) reste nul. Le loyer est assimilé à une annuité de remboursement d'emprunt : amortissement du capital emprunté et charge financière. L'économie d'impôt sur le loyer est retraitée en économie d'impôt sur amortissement rattachée au cycle d'investissement et en économie d'impôt sur charge d'intérêt rattachée au cycle de financement.

Opérations d'investissement Quelle que soit- P Acquisition de l'immobilisation la modalité+ A . t Economie d'impôt sur amortissement de financement

Rentabilité économique

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Opérations de financement+ P Financement par un emprunt à 100%- L Loyer assimilé à une annuité d'emprunt

(remboursement du capital + intérêt

+ L . t Economie d'impôt sur loyer + L . t - A . t =- A . t Perte d'économie d'impôt sur

amortissement(L - A) . t soit économie d'impôt sur charge d'intérêt

EXEMPLE Soit un contrat de crédit-bail portant sur un matériel, valeur à neuf 100 000 HT, amortissable en linéaire sur 5 ans. Ce contrat est conclu début (n) pour 3 ans moyennant le versement de 3 loyers annuels payables d'avance de 35 000 chacun. Un dépôt initial de garantie de 5 000 couvrant l'option d'achat est demandé. Ce matériel devant être utilisé durant 2 années supplémentaires, l'option d'achat sera levée. Au terme des 5 ans, la valeur de revente sera d'environ 3 000. Le taux d'impôt retenu est de 33 1/3 % et l'entreprise est bénéficiaire. Le dépôt de garantie est enregistré par l'entreprise au compte « 275 Dépôts et cautionnements » c'est -à-dire en compte d'immobilisation et non en compte de charge.

Périodes (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)Amortissements économiques (1) 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000Amortissements pratiqués (2) 2 500 2 500Perte d'amortissement (3) = (1) - (2) 20 000 20 000 20 000 17 500 17 500Perte d'économie d'impôt (4)=(3) x 33 1/3% 6 667 6 667 6 667 5 833 5 833

Périodes Début (n) (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)Dépôt de garantie -5 000 5 000Valeur de rachat du contrat -5 000Loyers -35 000 -35 000 -35 000Economie d'impôt sur loyer 11 667 11 667 11 667Economie d'impôt sur amortissement 833 833Flux nets de trésorerie -40 000 -23 333 -23 333 11 667 833 833

Périodes Début (n) (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)Acquisition du matériel -100 000Economie d'impôt sur amort. (*) 6 667 6 667 6 667 6 667 6 667Flux économiques (A) -100 000 6 667 6 667 6 667 6 667 6 667(*) Elément de la CAF d'exploitation

Périodes Début (n) (n) (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)Mise à disposition du matériel 100 000Dépôt de garantie -5 000 5 000Valeur de rachat du contrat -5 000Loyers -35 000 -35 000 -35 000Economie d'impôt sur loyer 11 667 11 667 11 667Perte d'économie d'impôt / amortissements -6 667 -6 667 -6 667 -5 833 -5 833Flux de financement (B) 60 000 -30 000 -30 000 5 000 -5 833 -5 833

Flux totaux (1) + (2) (A)+(B) -40 000 -23 333 -23 333 11 667 834 834Contrôle

Calcul des pertes d'économie d'impôts sur amortissements

Flux de trésorerie réels du contrat de crédit-bail

Séparation des flux en flux économiques et flux de financementFlux économiques (pour mémoire)

Flux de financement

Coût du crédit-bail

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Le coût du crédit-bail est donné par l'équation : 60 000 – 30 000 x (1+r)-1 – 30 000 x (1+r)-2 + 5 000 x (1+r)-3 – 5 833 x (1+r)-4

– 5 833 x (1+r)-5 = 0 d’où r = 5,7902% Sachant que l’entreprise peut également se financer par un emprunt dont le coût a été calculé précédemment, calculer la valeur actuelle nette du crédit-bail à ce taux et conclure. Soit t le taux de l’emprunt de 3,6702% La VAN du crédit bail est de : 60 000 – 30 000 x (1+t)-1 – 30 000 x (1+t)-2 + 5 000 x (1+t)-3 – 5 833 x (1+t)-4

– 5 833 x (1+t)-5 = - 2 285 La VAN est négative ; le coût de l’emprunt est inférieur au coût du crédit-bail.

43- Coût des fonds propres Les actionnaires recherchent une rémunération, soit sous forme de dividendes, soit sous forme d’augmentation de la valeur de leurs titres. 431- Modèles d’évaluation basés sur les dividendes A- Modèle d’évaluation à dividendes constants L’entreprise qui procède à une augmentation de capital s’engage à fournir à ses actionnaires une rémunération sous forme de dividendes et ce jusqu’à sa disparition. Supposons une stabilité du dividende dans le temps. Soient V, la valeur de l’entreprise, estimée par son cours boursier par exemple, D, les dividendes distribués. V correspond à la valeur actuelle des dividendes actualisés au taux de rémunération i exigé des actionnaires.

Nous pouvons écrire : ( )i

i11DVn−+−

×= Si +∞→n , alors ( ) 0i1 n →+ − et iDV →

Le coût des fonds propres est donc égal à VDi =

EXEMPLE : Le cours moyen de bourse des derniers mois d’une société est de 550 euros, le dividende du dernier exercice de 30 euros. Coût des fonds propres : 30 / 550 = 5,45%.

B- Modèle de Gordon Shapiro à dividendes croissants Supposons une croissance régulière du dividende au taux g, g étant inférieur au coût des fonds propres i. Nous avons : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n1n3221 i1g1D...i1g1Di1g1Di1DV −−−−− +×+×+++×+×++×+×++×=

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )ig

1g1i1D1g1i11g1i1i1DV

nn

1

nn1

−−+×+

×=−+×+

−+×+×+×=

−

−

−−

Si +∞→n , avec ig < ,gi

DV−

→

Le coût des fonds propres est donc égal à gVDi +=

EXEMPLE : Le cours moyen de bourse d’une société est de 700 euros, le futur dividende de 30 euros, le taux de croissance espéré des dividendes de 2%. Coût des fonds propres : 30 / 700 + 2% = 6,29%.

Le taux de croissance des dividendes g est fonction du taux de rétention des bénéfices b et du taux de rentabilité des capitaux propres investis r : Taux de rétention b = mise en réserves / bénéfices = 1 – (dividendes / bénéfices) Taux de rentabilité des capitaux propres investis r = bénéfices / capitaux propres investis Le taux de croissance annuel de l’entreprise et donc des dividendes est de : g = r . b = B/CP x (1- D)/B = (1-D)/CP = Mise en réserves */ CP = Investissement */CP * les réserves sont supposées réinvesties

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EXEMPLE : Une entreprise dispose d’un bénéfice B0 de 100 pour des capitaux propres investis CP0 de 1 000. Le dividende versé en période 1 correspond à 60% du bénéfice B0. Calculer r et b. Taux de rentabilité des capitaux investis r = 100 / 1 000 = 10% Taux de rétention des bénéfices b = 1 – 60% = 40% Calculer le taux de croissance des dividendes. g = r . b = 10% . 40% = 4% Vérification : CP1 = CP0 + mise en réserves = 1 000 + 40%.100 = 1 040 Si le taux de rentabilité des capitaux investis r est de 10% => B1 = 1 040 . 10% = 104 Le dividende sera D1 = 104 . 60% = 62,40 Le taux de croissance des dividendes g est bien de : (62,40 – 60) / 60 = 4%. En déduire le taux de rentabilité requis par les actionnaires sachant que la valeur boursière de cette en-treprise est de 1 500. Coût des fonds propres : i = 60/ 1 500 + 4% = 8%

432- Bénéfice par action et taux de capitalisation des capitaux propres Sur les marchés financiers, on utilise souvent le Price Earning Ratio (PER) pour juger de l'évaluation d'un titre :

PER = Cours du titre / Bénéfice par action L'inverse de ce ratio est appelé Earning Price Ratio ou coefficient de capitalisation des bénéfices (CCB)

CCB = Bénéfice par action / Cours du titre Ce modèle ne permet en réalité qu'exceptionnellement de définir le coût des fonds propres. Ce modèle retient les hypothèses suivantes : - le bénéfice est entièrement distribué, c'est-à-dire une croissance zéro par autofinancement, - le bénéfice B0 est constant dans le temps.

Nous obtenons : ( ) t

1t

00 'i1BP −∞

=

+×=∑ d’où 0

000

PB'iet

'iBP ==

avec B0 Bénéfice par action i’ Coefficient de capitalisation des bénéfices P0 Valeur du titre Sous cette condition de distribution de la totalité du bénéfice, nous pouvons écrire :

'iioù'dPDor'i

Bi

DP 0000

0 ====

Rejetons maintenant cette hypothèse peu vraisemblable de distribution totale du bénéfice et raisonnons à partir d'un exemple. Soient 3 entreprises A, B, C ayant même activité, même endettement et donc même classe de risque. A priori, le taux de capita-lisation des revenus, significatif du taux de rentabilité requis est le même i =15%. Les 3 entreprises ont le même bénéfice B0. = 100 mais des opportunités anticipées de croissance très différentes. Entreprise A L'entreprise A distribue 100% de son bénéfice. Elle ne connaît aucune croissance autofinancée. Sa valeur de marché est de : P0 = D0/i = 100 / 0,15 = 666,67 Or B0 = D0 ce qui permet de calculer le taux de capitalisation des bénéfices i’ : P0 = B0 / i' => i' = B0 / P0 = 100 / 666,67 = 15% Conclusion : le modèle de capitalisation des bénéfices donne le même résultat que le modèle de capitalisation des dividendes. Entreprise B Des opportunités exceptionnelles de croissances sont envisagées. Le taux de rétention des bénéfices est de : b = 50%. Le taux de rentabilité des capitaux propres réinvestis est de r = 20%. Son taux de croissance des dividendes est de : g = r . b = 20% . 50% = 10% En utilisant le modèle de Gordon Shapiro, nous obtenons : P0 = D0 / (i - g) = 50 / (0,15 - 0,10) = 1 000 Supposons que cette valeur soit bien observée sur le marché. L'application du modèle de capitalisation des bénéfices donne un taux de capitalisation : i’= B0 / P0 = 100 / 1 000 = 10% Ce taux observé ne correspond pas au taux de rentabilité requis par les actionnaires de B : i = 15%. Il faut tenir compte des opportunités de croissance. Vérifions. Année 1 : l'entreprise investit 50 avec un taux de rentabilité de 20%

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La valeur actuelle nette de cet investissement au taux requis de 15% est égale à : VAN1 = - 50 + 10/0,15 = 16,67 Le bénéfice de l'année 1 est égal à B1 = B0 + 10 = 110. Année 2 : l'entreprise investit 50% du bénéfice soit 55. Selon le même principe, elle obtient un valeur actuelle nette de : VAN2 = - 55 + 20%.55 / 0,15 = -55 + 73,33 = 18,33 On peut vérifier que : VAN2 = VAN1 . (1 + r . b) = VAN1 . (1 + g) = 16,67 . (1,10) = 18,33 En généralisant, la somme des VAN des projets anticipés actualisées donne la valeur actuelle des opportunités de croissance notée VAOC : VAOC = VAN1 . (1 + i)-1 + VAN2 . (1 + i)-2 + VAN3 . (1 + i)-3 +… VAOC = VAN1 . (1 + i) -1 + VAN1 . (1 + g) . (1 +i)-2 + VAN1 . (1 + g)2. (1 + i)-3 +… Si g < i, nous obtenons : VAOC = VAN1 / (i - g) = 16,67 / (0,15 - 0,10) = 333,33 La valeur du titre B est égale à : P0 = B0 / i + VAOC = 100 / 0,15 + 333,33 = 1 000 En supposant que l'action cote effectivement P0, comment retrouver i, le taux de rentabilité requis par le marché à partir de i’, taux de capitalisation des bénéfices observé ?

VAOCPP'i

VAOCPP

PB

VAOCPBiVAOCP

iB

0

0

0

0

0

0

0

00

0

−×=

−×=

−=⇒−=

Vérifions sur notre exemple : i = 10%. 1 000 / 666, 67 = 15% Entreprise C Cette entreprise réinvestit 50% de ses bénéfices à un taux r = 15%. Nous avons g = r . b = 15% . 50% = 7,5% VAN1 = - 50 + 15% . 50 / 0,15 = 0 d'où VAOC = 0 La valeur du titre C est égale à : P0 = B0 / i + VAOC = 100 / 0,15 + 0 = 666,67 i= i’ Conclusion : la valeur des capitaux propres est différente de la valeur de capitalisation des bénéfices si le bénéfice non distribué est réinvesti à un taux différent du taux de rentabilité requis par le marché. P0 > B0 / i si r > i VAOC > 0 P0 < B0 / i si r < i VAOC < 0 433- Les apports de la théorie des marchés financiers Le calcul du coût des fonds propres fait référence à la notion de valeur de l’entreprise. Pour établir cette rela-tion, appelons : • Vn = CPn, la valeur d’une entreprise non endettée, limitée à la valeur de ses capitaux propres, • Ve = CPe + De, la valeur d’une entreprise endettée constituée de la somme de la valeur de ses fonds pro-

pres et de ses dettes. On démontre que la valeur de l’entreprise endettée Ve peut s’exprimer en fonction de la valeur de l’entreprise non endettée Vn ayant la même structure d’actifs : Ve = Vn + De x t avec t : taux d’impôt sur les bénéfices Vérifions cette relation par l’exemple. Deux entreprises, N non endettée et E endettée sécrètent un flux économique annuel avant impôt constant et perpétuel de FT = 1 000. Le taux d’impôt sur les bénéfices est de t = 33 1/3%. L’entreprise E a contracté un emprunt perpétuel de 4 000 au taux i = 4%. Calculons la rémunération annuelle des apporteurs de ressources et de l’Etat.

RémunérationActionnaires FT x (1 - t) (FT - i x De) x (1 - t)

1 000 x 2/3 = 667 (1 000 - 0,04 x 4 000) x 2/3 = 560Prêteurs 0 i x De = 0,04 x 4 000 = 160Rémunération totale des ressources FT x (1 - t) = 667 FT x (1 - t) + i x De x t = 720 i x De x t = 53Etat FT x t = 333 (FT - i x De) x t = 280 - i x De x t = -53

N E E - N

L’entreprise E rémunère mieux ses sources de financement en bénéficiant d’une minoration d’impôt. Actualisons ce gain annuel (i x De x t), supposé se reproduire à l’infini au taux sans risque i :

Chr

isti

an Z

AM

BO

TT

O

ww

w.d

ecf-

fin

ance

.fr.

st


( ) txDei

txDexii

i11tDei ==+−

×××−∞

ce qui correspond au gain de valeur de l’entreprise E par rapport à

l’entreprise N : Ve – Vn = De x t. La valeur des capitaux propres CPn et CPe des entreprises N et E s’obtient en actualisant à l’infini la rémunéra-tion annuelle des actionnaires au coût des fonds propres Cfpn et Cfpe.

( )Cfpn

t1FTCPn −×= et ( )

Cfpet1De)i-(FTCPe −××

=

Le coût des fonds propres est donc égal à :

( ) ( )Vn

t1FTCPn

t1FTCfpn −×=

−×= et ( )

CPet1De)i-(FTCfpe −××

=

Exprimons le coût des fonds propres de l’entreprise endettée E en fonction du coût des fonds propres de l’entreprise non endettée N.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CPe

t1DeiCPeVnCfpn

CPet1Dei

CPeVn

Vnt1FT

CPet1Dei

VnVn

CPet1FT

CPet1De)i-(FTCfpe

−××−×=

−××−×

−×=

−××−×

−×=

−××=

Or : Ve = Vn + De x t

et Ve = CPe + De d’où Vn = CPe + De x (1 - t) En remplaçant Vn dans Cfpe :

( ) ( )CPe

t1DeiCPe

t1DeCPeCfpnCfpe −××−

−×+×=

Après simplification : ( ) ( )CPeDet1i-CfpnCfpnCfpe ×−×+=

Le coût des fonds propres de l’entreprise endettée s’accroît avec l’endettement ; une prime de risque est demandée par les actionnaires. On en déduit une relation entre le CMP de l’entreprise endettée et celui de l’entreprise non endettée.

( )

( ) ( ) ( )CPeDe

Det1iCPeDe

CPeCPeDet1iCpfnCfpn

CPeDeDet1i

CPeDeCPeCfpeCMPe

+×−×+

+×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×−×−+=

+×−×+

+×=

Or CMPn = Cfpn, après simplification, on obtient : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+×−×=

CPeDeDet1CMPnCMPe

Le coût moyen pondéré du capital de l’entreprise endettée baisse avec le niveau d’endettement. L’économie enregistrée liée à la déductibilité des intérêts fait plus que compenser le supplément de rentabilité requis par les actionnaires de l’entreprise endettée. L’utilisation de l’équation du modèle d’équilibre financier (MEDAF) permet de reformuler le coût des capitaux propres. Le coût des fonds propres d’une entreprise cotée s’exprime en fonction de la rentabilité de l’actif sans risque (obligation d’Etat par exemple), de la rentabilité du marché et du coefficient de sensibilité de la rentabilité de l’action à la rentabilité du marché. E(Rj) = Rf +βj x [E(Rm) – Rf) avec E(Rj) Espérance de rentabilité du titre j ou coût des fonds propres de l’entreprise j E(Rm) Espérance de rentabilité du marché Rf Coût de l’actif sans risque βj = Covariance (Rj,Rm) / Variance(Rm) Coefficient de sensibilité du rendement du titre j à la varia-tion de la rentabilité du marché Posons cette équation pour nos entreprises N et E. Entreprise N non endettée E(Rn) = Rf +βn x [E(Rm) – Rf] Entreprise E endettée E(Re) = Rf +βe x [E(Rm) – Rf] E(Rn) correspond à Cfpn et E(Re) à Cfpe.

Dans l’équation ( ) ( )CPeDet1i-CfpnCfpnCfpe ×−×+= , remplaçons Cfpn par son expression E(Rn) tirée du

MEDAF.

( ) ( )( ) ( )CPeDet1i-RfE(Rm)nRfRfE(Rm)nRfCfpe ×−×−×++−×+= ββ

Posons coût de la dette i = taux sans risque Rf . Nous obtenons :

Chr

isti

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AM

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ecf-

fin

ance

.fr.

st


( ) ( ) ( )CPeDet1RfE(Rm)nRfE(Rm)nRfE(Re) ×−×−×+−×+= ββ

Taux sans risque + prime de risque économique + prime de risque financier Le coût des fonds propres d’une entreprise endettée correspondant au coût de l’actif sans risque aug-menté d’une prime de risque économique correspondant à la classe de risque de l’entreprise ou de l’investissement envisagé et d’une prime de risque financier liée au niveau d’endettement.

Des équations et , on déduit : ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×−+×= ββCPeDet11ne

EXEMPLE Deux entreprises, N non endettée et E endettée, dont les actifs économiques sont identiques sécrètent un flux de trésorerie économique annuel avant impôt constant et perpétuel de FT= 700. Le risque systématique de l’entreprise non endettée est βn = 1,25. Le taux de rentabilité du marché est de 12%, le coût de l’actif sans risque 4% et le taux d’impôt sur les bénéfices de 33 1/3%. Le coût des fonds propres de N, égal à son CMP, est de : E(Rn)= Rf + βn x [E(Rm) - Rf] = 4% + 1,25 x (12% - 4%) = 14% La valeur de l’entreprise non endettée est égale à la valeur actuelle des flux économiques au taux de 14%, le nombre de termes étant infini : Vn = CPn = FT x (1 - t) / E(Rn) = 700 x 2/3 / 0,14 = 3 333 L’entreprise E a eu recours à un emprunt perpétuel de 1 000 au taux sans risque. La valeur de l’entreprise E est égale à : Ve = Vn + t x De = 3 333 + 1/3 x 1 000 = 3 666 = CPe + De => CPe = 2 666 Le taux de rentabilité requis par les actionnaires de E est de : E(Re) = Rf + βn x [E(Rm) - Rf] + βn x [E(Rm) - Rf] x (1 - t) x De/CPe E(Re) = 4% + 1,25 x (12% - 4%) + 1,25 x (12% - 4%) x 2/3 x 1 000/2 666 = 16,50% Ou en calculant βe = βn x [1 + (1 - t) x De/Cpe] = 1,25 x (1 + 2/3 x 1 000/2 666 = 1,5625 E(Re) = Rf + βe x [E(Rm) - Rf] = 4% + 1,5625 x (12% - 4%) = 16,50% Vérifions la valeur des capitaux propres de E en actualisant le flux annuel revenant aux actionnaires au taux de 16,50%, le nombre de termes étant infini : CPe = (FT – Rf x De) x (1-t) / E(Re) = (700 – 4% x 1 000) x 2/3 / 0,165 = 2 666 Le coût moyen pondéré des sources de financement de E est égal à : CMPe = E(Re) x CPe / (CPe + De) + Rf x (1 - t) x De / (CPe + De) = 16.50% x 2 666 / 3 666 + 4% x 2/3 x 1 000 / 3 666 = 12,727% ou en fonction de CMPn : CMPe = CMPn x [1 - t x De / (De + CPe)] = 14% x (1 – 1/3 x 1 000 / 3 666) =12,727%

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5- Synthèse des décisions d’investissement et de financement La finalité de tout investissement productif est de maximiser la valeur de l’entreprise, c’est-à-dire la ren-tabilité des fonds propres. 51- La démarche Plusieurs méthodes, résumées ci-dessous, permettent d’évaluer la rentabilité globale d’un projet.

Séparation des flux de trésorerie du projet en : - flux économiques (flux d’investissement + flux d’exploitation) FE - flux de financement étranger (emprunt, crédit-bail) FF

Calcul du coût des fonds propres compte tenu du seul risque économique du projet

(coût des fonds propres en l’absence d’endettement) Cfpn 52- Mise en œuvre des diverses méthodes Raisonnons à partir d’un exemple. La société GRILLET projette un investissement d’un montant de 1000 et d’une durée de vie économique de 5 ans. Les flux économiques après impôt du projet sont les suivants :

Flux économiques -1 000 220 250 250 280 300TIRE 8,95%

Le taux d’impôt sur les bénéfices retenu est de 33 1/3%. Trois solutions de financemement sont étudiées : Solution 1 : financement à 100% par fonds propres. Compte tenu du risque économique du projet, les actionnaires exigent une rémunération de 9%. Solution 2 : financement à 70% par fonds propres et 30% par un emprunt remboursable dans 5 ans in fine au taux de 6% avant impôt. Ce taux correspond au coût normal de la dette de l’entreprise. Les flux de trésorerie attachés à l’emprunt sont les suivants :

Calcul du coût des sources de financement étranger CSF (FF)

Calcul du coût moyen pondéré du capital CMP(Cfpe, CSF)

Flux nets totaux FN= FE + FF

Valeur actuelle nette de base des flux économiques actualisés au coût des fonds propres compte tenu du seul

risque économique : VAN de base (FE, Cfpn)

Valeur actuelle nette des flux de financement étranger au coût normal de

la dette : VAN (FF)

Ajustement du coût des fonds propres : prise en compte de la prime de risque financier Cfpe

Valeur actuelle nette des flux économiques actualisés au

CMP VAN(FE,CMP)

Taux interne de rentabilité économique

TIRE(FE)

Valeur actuelle nette des flux

nets actualisés au coût des

fonds propres VAN(FN, Cfpe)

Taux de

rentabilité financière

TRF(FN)

VAN ajustée = VAN de base +

VAN du financement

Le projet d’investissement et son financement sont acceptables si :

VAN(FE,CMP)>0

TIRE(FE) > CMP

Les flux économiques permettent de rémunérer les sources

de financement

VAN(FN,Cfpe)>0

TRF(FN) >Cfpe

Les flux nets permettent de rémunérer les

fonds propres

VAN ajustée > 0

Le projet accroît la valeur de l’entreprise

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Périodes 0 1 2 3 4 5Flux de capital 300 -300Intérêts nets d'impôt -12 -12 -12 -12 -12Flux de financement 300 -12 -12 -12 -12 -312Taux de revient 4,00%

Solution 3 : financement par crédit-bail Les flux de financement attachés au contrat de crédit-bail sont les suivants :

Périodes 0 1 2 3 4 5Matériel 1 000Loyers de crédit-bail -260 -260 -260 -260Levée option d'achat -100Incidence de l'impôt 20 20 20 20 -33Flux de financement 740 -240 -240 -240 -80 -33Taux de revient 5,33%

Le montant de l’investissement est de 1 000. Le crédit-bail finance 740 ; le solde de 260 est financé par fonds propres. Remarque : il n’est pas possible de comparer directement les solutions 2 et 3 sur le seul critère du taux de revient. L’emprunt est certe moins coûteux, mais il ne finance que 30% de l’investissement contrairement au crédit-bail qui finance 74%. Si le bras de levier (Cfpn –i) joue à l’avantage du crédit le moins coûteux, le bras de levier (De/CPe) joue à l’avantage du crédit-bail. Les méthodes que nous allons mettre en œuvre doivent permettre de lever ce dilemme. 521- Méthodes basées sur les flux économiques 5211- Ajustement du coût des propres au niveau de l’endettement Le coût des fonds propres est majoré de la prime de risque financier liée au niveau d’’endettement.

( ) ( )CPeDet1i-CfpnCfpnCfpe ×−×+= avec :

Cfpn = 9% coût des fonds propres compte tenu du seul risque économique i = 6% taux sans risque estimé par le coût normal de la dette De et CPe valeurs de marché de la dette et des capitaux propres. Par simplification, retenons les valeurs comptables initiales pour De et CPe. Le coût des fonds propres est donc égal à : Solution Dette D Capitaux propres CP Coût des fonds propres

1 0 1 000 Cfpn = 9%2 300 700 Cfpe = 9% + (9% - 6%) x 2/3 x 300 / 700 = 9,86%3 740 260 Cfpe = 9% + (9% - 6%) x 2/3 x 740 / 260 = 14,69%

5212- Calcul du CMP et de la VAN des flux économiques Le coût moyen pondéré se déduit du coût des sources de financement et permet de calculer la valeur actuelle nette des flux économiques actualisés à ce taux. Solution Coût moyen pondéré du capital VAN(FE,CMP)

1 9,00% -1 2 9,86% x 700 / 1 000 + 4% x 300 / 1 000 = 8,10% 24 3 14,69% x 260 / 1 000 + 5,33% x 740 / 1 000 = 7,76% 33

5213- Prise de décision

Sur le critère de la VAN des flux économiques - le financement à 100% par fonds propres doit être rejeté : VAN < 0, - le financement par crédit-bail maximise la valeur créée : VAN = 33

Sur le critère du taux interne de rentabilité économique Comparons le TIRE de 8,95% au CMP. Les conclusions sont identiques : - le financement à 100% par fonds propres doit être rejeté : TIRE < CMP, - le CMP le plus faible est celui faisant intervenir le financement par crédit-bail.

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En conclusion, le projet doit être adopté et financé par crédit-bail. 522- Méthodes basées sur les flux nets 5221- Calcul des flux nets de trésorerie et des taux de rentabilité financière Les flux nets de trésorerie correspondent à la somme des flux économiques et des flux de financement. Solution 1

Périodes 0 1 2 3 4 5Flux économiques -1 000 220 250 250 280 300Flux nets -1 000 220 250 250 280 300TRF * 8,95%

* Le taux de rentabilité financière (TRF) est le taux tel que la valeur actuelle des flux nets revenant aux actionnai-res est nulle. Dans la solution 1, le taux est identique au taux interne de rentabilité économique, l’investissement étant financé à 100% par fonds propres. Solution 2

Périodes 0 1 2 3 4 5Flux économiques -1 000 220 250 250 280 300Flux de financement 300 -12 -12 -12 -12 -312Flux nets -700 208 238 238 268 -12TRF 12,55%

Solution 3

Périodes 0 1 2 3 4 5Flux économiques -1 000 220 250 250 280 300Flux de financement 740 -240 -240 -240 -80 -33Flux nets -260 -20 10 10 200 267TRF 13,43%

5222- Calcul de la VAN des flux nets La VAN est la somme des flux nets actualisés au coût des fonds propres.

Solution Coût des fonds propres

VAN des flux nets Taux de rentabilité financière

1 9,00% -1 8,95% 2 9,86% 43 12,55% 3 14,69% -13 13,43%

5223- Prise de décision

Sur le critère de la VAN des flux nets - les financements à 100% par fonds propres et par crédit-bail doivent être rejetés : VAN < 0, - le financement par emprunt maximise la valeur créée : VAN = 43.

Sur le critère du taux de rentabilité financière Comparons le taux de rentabilité financière au coût des fonds propres : - les financements à 100% par fonds propres et par crédit-bail doivent être rejetés : taux de rentabilité financière < coût des fonds propres - le taux de rentabilité financière en cas d’emprunt est largement supérieur au coût des fonds propres. En conclusion, le projet doit être adopté et financé par emprunt. Ce classement, discordant par rapport aux méthodes basées sur les flux économiques, provient de la surestimation de la prime de risque financier exigée par les actionnaires en cas de financement par crédit-bail.

Dans la relation ( ) ( )CPeDet1i-CfpnCfpnCfpe ×−×+= :

- le raisonnement en valeurs comptables sous-estime le poids des capitaux propres, - la structure de financement De/CPe a été considérée comme stable, alors que dans le financement par crédit-bail De/CPe baisse au cours du temps. Le calcul de valeur actuelle nette ajustée permet d’éviter ces biais.

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523- Méthode de la valeur actuelle nette ajustée Cette méthode, simple à mettre en œuvre, permet de mieux comprendre les deux sources de création de valeur : gains liés aux flux économiques et gains liés à l’endettement qui permet d’abaisser le CMP.

VAN ajustée = VAN de base + VAN du financement

La VAN de base représente la valeur créée par le projet si ce dernier est financé entièrement par capitaux propres. Elle s’obtient en actualisant les flux économiques au taux requis par les actionnaires, compte tenu du seul risque économique du projet. La VAN du financement mesure la valeur créée par la décision de financement. Elle prend en compte principalement le gain lié à la déductibilité des intérêts, les éventuelles bonifications d’intérêt. Elle consiste à actualiser les flux de financement au coût normal de la dette de l’entreprise. Reprenons l’exemple précédent. La VAN de base est de –1 Calculons la VAN du financement en actualisant les flux de financement au coût normal de la dette de 6%. Solution 2 : financement par emprunt

Périodes 0 1 2 3 4 5Flux de financement 300 -12 -12 -12 -12 -312VAN à 6% 25

On peut vérifier que dans ce cas précis, la valeur créée correspond à la valeur actuelle des économies d’impôt liées à la déductibilité des charges d’intérêt :

2506,006,11%3/133%6300

5=

−×××

−

Solution 3 : financement par crédit-bail

Périodes 0 1 2 3 4 5Flux de financement 740 -240 -240 -240 -80 -33VAN à 6% 10

Calculons la VAN ajustée des trois solutions de financement :

VAN de base VAN du financement VAN ajustée

Financement intégral par fonds propres -1 0 -1 Financement par emprunt -1 25 24 Financement par crédit-bail -1 10 9

Le calcul de la VAN ajustée montre que le financement intégral par fonds propres n’est pas envisageable. C’est l’effet de levier créé par l’endettement ou le crédit-bail qui permet de satisfaire aux conditions de rentabilité du projet, l’emprunt étant la meilleure solution.

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d'entreprise/Cours... · actifs d’exploitation dans la méthode de l’actif net comptable corrigé. L'hypothèse de continuité de l'exploitation étant retenue, il n'y pas lieu