Dérivées et Primitives de fonctions usuelles

7/31/2019 Drives et Primitives de fonctions usuelles

1/15

Drives de fonctions usuelles

nx x( ) avec : si , fest drivable et la drive est nulle. Si et ,

alors

n ] 0n = 0n > 0t

( ) ( ) ( )n n

f x t f x x t x

t t

+ + = . Par la formule du binme on obtient :

1

110 0

0

( )

n nk n k n k n k

n n nk n kk k

k

n nx t x x t

nk kx t xx t

kt t t

= =

=

+ = = =

et donc,

11 1

0 00

( ) ( )( ) lim lim

1

nk n k n n

t tk

n nf x t f x 1f x x tk nt

x n x

=

+ = = =

= .

Si alors pour0n < 0x , 1( ) nf xx

= et par la drive d'un quotient on a

11

2( )

nn

n

n xf x n x

x

= = . On tudiera plus tard le cas n \ .

x( ) sin( )x : Par dfinition2 1

0

sin( ) ( 1)(2 1)!

kk

k

xx

k

++

=

= +

et le rayon de convergence de

cette srie est . Ainsi+2

0

, ( ) ( 1) cos( )2 !

kk

k

xx f x x

k

+

=

= =

\ .

x( ) cos( )x : Par dfinition2

0

cos( ) ( 1)2 !

kk

k

xx

k

+

=

=

et comme avant on a2 1

1

, ( ) ( 1)(2 1)!

kk

k

xx f x

k

+

=

=

\ en faisant le changement de variable on trouve1j k= 2 1

1

0

( ) ( 1) sin( )(2 1)!

jj

j

xf x x

j

+++

=

= = +

.

( ) tan( )x x :

sin( )

tan( ) cos( )

x

x x=

et (drive d'un quotient)2 2

2

cos ( ) sin ( ) 1tan ( )

cos ( ) cos ( )

x xx

2x x

+ = = . Ou bien,

2 2 22

2 2

cos ( ) sin ( ) sin ( )tan ( ) 1 1 tan ( )

cos ( ) cos ( )

x x xx x

x x

+ = = + = + .


2/15

( ) cot( )x x : Par dfinition,1

( ),cot( )tan( )

x k k xx

=] et donc (drive d'un

quotient) :2

2

2 2

1 tan ( ) 1cot ( ) 1 (cot ( ) 1)

tan ( ) tan ( )

xx x

x x

+ = = = + . Ou bien

2 2 2 2

2 2 2 21 tan ( ) 1 cos ( ) cos ( ) sin ( ) 1cot ( ) 1 1

tan ( ) tan ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )

x x x xx2x x x x

+ + = = = = = x

.

( ) arcsin( )x x : (drive des fonctions rciproques)

1] 1,1[,arcsin ( )

cos(arcsin( ))x x

x = . Or

2 2 21 cos (arcsin( )) sin (arcsin( )) cos (arcsin( )) 2x x x= + = + x

2

.

Donc, 2cos (arcsin( )) 1x x= . Etant donn que arcsin( )) [ , ]2 2

x

et que la fonction

est positive sur cet intervalle on trouvecos 2cos(arcsin( )) 1x x= . Enfin,

2

1] 1,1[,arcsin ( )

1x x

x =

.

( ) arccos( )x x : (drive des fonctions rciproques)

1] 1,1[,arccos ( )

sin(arccos( ))x x

x = et par le mme calcul que ci-dessus on trouve

2

1] 1,1[,arccos ( )

1x x

x =

.

( ) arctan( )x x : (drive des fonctions rciproques)

2 2

1 1,arctan ( )

1 tan (arctan( )) 1x x

x x = =

+ +\ .

( ) arccot( )x x : (drive des fonctions rciproques)

2 2

1 1, arccot ( )

1 cot (arccot( )) 1x x

x x = =

+ +\ .

x( ) exp( )x : On rappelle que l'exponentielle est dfinie par la srie0

exp( )!

k

k

xxk

+

=

= qui

converge sur . En drivant terme terme il vient,\1 1

0 1

, ( ) exp( )! ( 1)!

k k

k k

x xx f x k x

k k

+ +

= =

= = =

\ . Ainsi l'exponentielle est sa propre drive.

x( ) ln( )x : Ln tant la fonction rciproque de exp on a (drive des fonctions

rciproques) :1 1

0,ln ( )exp(ln( ))

x xx x

> = = .


3/15

( ) px x avec et : On a (proprit du logarithme),p \ 0x > 0,ln( ) ln( )px x p > = x et

donc exp( ln( ))px p x= . Ainsi (drive des fonctions composes)

11 10, ( ) exp( ln( ))p p

x f x p x p p x p xx x

> = = = .

( ) sinh( )x x : Par dfinition ( )1

sinh( ) exp( ) exp( )2

x x x= . Donc

( )1

sinh ( ) exp( ) exp( ) cosh( )2

x x x = + = x .

( ) cosh( )x x : Par dfinition ( )1

cosh( ) exp( ) exp( )2

x x x= + . Donc

( )1

cosh ( ) exp( ) exp( ) sinh( )2

x x x = = x .

( ) tanh( )x x : Par dfinitionsinh( )

tanh( )cosh( )

xx

x= . Donc

2 2

2 2

cosh ( ) sinh ( ) 1tanh ( )

cosh ( ) cosh ( )

x xx

x x

= = . Ou bien

2 2 22

2 2

cosh ( ) sinh ( ) sinh ( )tanh ( ) 1 1 tanh ( )

cosh ( ) cosh ( )

x x xx x

x x

= = = .

( ) coth( )x x : Par dfinition1

0,coth( )tanh( )

x xx

= et donc

22

2 2

1 tanh ( ) 1coth ( ) 1 1 coth ( )

tanh ( ) tanh ( )

xx x

x x

= = = .

( ) arcsinh( )x x : (drive des fonctions rciproques)1

arcsinh ( )cosh(arcsinh( ))

xx

= . Or

2 2 21 cosh (arcsinh( )) sinh (arcsinh( )) cosh (arcsinh( )) 2x x x= = x et2 21 cosh (arcsinh( ))x x+ = . Etant donn que ne prend que des valeurs positives on acosh

2

cosh(arcsinh( )) 1x x= + . Donc 21

arcsinh ( ) 1x x = + .

( ) arccosh( )x x : (drive des fonctions rciproques)

11,arccosh ( )

sinh(arccosh( ))x x

x > = . Or

2 2 2 21 cosh (arccosh( )) sinh (arccosh( )) sinh (arccosh( ))x x x x= = et2 21 sinh (arccosh( ))x x + = . Etant donn que arc ne prend que des valeurs positives on

a

cosh

2sinh(arccosh( )) 1x x= . Donc2

11,arccosh ( )

1

x x

x

> =

.


4/15

( ) arctanh( )x x : (drive des fonctions rciproques)

2 2

1 1] 1,1[,arctanh ( )

1 tanh (arctanh( )) 1x x

x x = =

.

( ) arccoth( )x x : (drive des fonctions rciproques)

2 2

1 1si 1,arccoth ( )

1 coth (arccoth( )) 1x x

x x> = =

.

( ) xx a : avec : . Donc (drive d'une fonction

compose),

0a > exp(ln( )) exp( ln( ))x xa a x= = a

( ) exp( ln( )) ln( ) ln( )xf x x a a a = = a .

( ) log ( )af x x o : (drive des fonctions rciproques)0a >

log ( )

1 10,log ( )

ln( )ln( )

a xax x

x aa a

> = =

.

Primitives de fonctions usuelles

Nous laissons au lecteur le soin de vrifier le domaine de dfinition des primitives donnes

lorsque celui-ci n'est pas donn.

Dans ce qui va suivre Fdsignera une primitive de f.

( ) px x o :\ { 1}p \1

( )1

px

F xp

+

=+

(c.f table des drives).

1( )f x

x: ( ) lnF x x= (c.f table des drives).

( ) sin( )x x : ( ) cos( )F x x= (c.f table des drives).

( ) cos( )x x : ( ) sin( )F x x= (c.f table des drives).

( ) tan( )x x :sin( )

tan( )cos( )

xx dx dx

x= . On utilise le changement de variable

etcos( ), sin( )u x du x= = dxsin( ) 1

ln ln cos( )cos( )

xdx du u x

x u= = = . Donc

( ) ln cos( )F x x= .

( ) cot( )x x :cos( )

cot( )sin( )

xx dx dx


etsin( ), cos( )u x du x= = dx cos( ) 1 ln ln sin( )sin( )x dx du u xx u= = = . Donc ( ) ln sin( )F x x= .


5/15

( ) arcsin( )x x : On intgre par parties2

1 arcsin( ) arcsin( )1

xx dx x x dx

x =

. Si on

pose , ( ) on obtient2

1u x= 2du xdx= 22

11

21

xdx du u x

ux

= = =

. Donc

2( ) arcsin( ) 1F x x x x= + .

( ) arccos( )x x : On intgre par parties2

1 arccos( ) arccos( )1

xx dx x x dx

x = +

. Si

on pose , ( ) on obtient2

1u x= 2du xdx= 22

11

21

xdx du u x

ux= = =

.

Donc 2( ) arccos( ) 1F x x x x= .

( ) arctan( )x x : On intgre par parties2

1 arctan( ) arctan( )1

xx dx x x dx

x =

+ . Si on

pose , ( ) on obtient2

1u x= + 2du xdx= 22

1 1 1ln ln(1 )

2 2 21

xdx du u x

ux= = = +

+ . Donc

21( ) arctan( ) ln(1 )2

F x x x x= + .

( ) arccot( )x x : On intgre par parties2

1 arccot( ) arccot( )1

xx dx x x dx

x = +

+ . Si on

pose , ( ) on obtient21u x= + 2du xdx= 22 1 1 1ln ln(1 )2 2 21x dx du u x

ux = = = ++ . Donc

21( ) arctan( ) ln(1 )2

F x x x x= + + .

( ) exp( )x x : ( ) exp( )F x x= (c.f table des drives).

( ) exp( )x x ax avec : Une intgration par parties nous donne,\ {0}a \

2 2

1 1exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )

x xx ax dx ax ax dx ax ax ax x

a a a aa a

= = =

1 1.

Donc2

1 1( ) exp( )F x ax x

a a =

.

( ) ln( )x x : ln( ) 1 ln( )x dx x dx= en intgrant par parties on trouve1

1 ln( ) ln( ) ln( ) (ln( ) 1)x dx x x x dx x x x x xx

= = = . Donc .( ) (ln( ) 1)F x x x=

( ) ln( )x x ax avec : Une intgration par parties nous donne,\ {0}a \

2 2 21 1 1 1ln( ) ln( ) ln( )2 2 2 4

21x ax dx x ax x dx x ax xx

= =

. Donc 2 2

1 1( ) ln( )

2 4F x x ax= x .


6/15

( ) xx a ( ) :0, 1a a> ( )ln( )

xa

F xa

= (c.f table des drives).

( ) log ( )af x x ( ) : Sachant que0, 1a a> ln( )

log ( )

ln( )

a

xx

a

= on a ( ) (ln( ) 1)

ln( )

xF x x

a

=

(c.f primitive de ln( )x ).

( ) sinh( )x x : (c.f table des drives).( ) cosh( )F x x=

( ) cosh( )x x : (c.f table des drives).( ) sinh( )F x x=

( ) tanh( )x x :sinh( )

tanh( )cosh( )

xx dx dx


etcosh( ), sinh( )u x du x d = =

x

sinh( ) 1

ln ln(cosh( ))cosh( )

x

dx du u xx u= = =

. Donc.( ) ln(cosh( ))F x x=

( ) coth( )x x :cosh( )

coth( )sinh( )

xx dx dx


etsinh( ), cosh( )u x du x d = = xcosh( ) 1

ln ln sinh( )sinh( )

xdx du u x

x u= = = . Donc

( ) ln sinh( )F x x= .

( ) arcsinh( )x x : On intgre par parties2

1 arcsinh( ) arcsinh( )1

xx dx x x dxx

= +

. Si


1u x= + 2du xdx= 22

11

21

xdx du u x

ux= = = +

+ . Donc

2( ) arcsinh( ) 1F x x x x= + .

( ) arccosh( )x x : On intgre par parties2

1 arccosh( ) arccosh( )1

xx dx x x dx

x =

.

Si on pose , ( ) on obtient2 1u x= 2du xdx= 22 1 121x dx du u x

ux= = =

. Donc

2( ) arccosh( ) 1F x x x x= .

( ) arctanh( )x x : On intgre par parties2

1 arctanh( ) arctanh( )1

xx dx x x dx

x =

. Si


1u x= 2du xdx= 22

1 1 1ln ln 1

2 2 21

xdx du u x

ux= = =

.

Donc 21

( ) arctanh( ) ln(1 )

2

F x x x x= + .


7/15

( ) arccoth( )x x : On intgre par parties2

1 arccoth( ) arccoth( )1

xx dx x x dx

x =

. Si


1u x= 2du xdx= 22

1 1 1ln ln 1

2 2 21

xdx du u x

ux= = =

.

Donc21

( ) arccoth( ) ln( 1)2F x x x x= + .

( ) sinnx x avec : Dans ce cas nous avons la formule de rcurrence2n

( 21sin ( 1) sin cos sinn n )1nxdx n xdx x xn

= que l'on dmontre comme suit : Posons

sinnnI x dx= . Une intgration par partie donne1 1 2sin sin cos sin ( 1) cos sin

n n nn

2I x x dx x x n x x = = + dx en remplaant

2cos x

par2

1 sin x dans la dernire intgrale, nous obtenons,

(1 2cos sin ( 1)n

n n )n ( )1 21 cos sin ( 1)nn nI x x n In

= + I x x n I I

= + et donc .

( ) cosnx x avec : Dans ce cas nous avons la formule de rcurrence2n

( 21cos ( 1) cos sin cosn n )1nxdx n xdx x xn

= + qui se dmontre de la mme faon que ci-

dessus.

2( ) sinx x : (1

( ) cos sin2

)F x x x= x (voir ci-dessus).

2( ) cosx x : (1

( ) cos sin2

)F x x x= + x (voir ci-dessus).

2( ) tanx x : Sachant que2

tan 1 tanx x = + , on a ( )2tan tan 1 tanx dx x dx x x = = .Donc .( ) tanF x x x=

2( ) cot ( )x x : Sachant que

2cot 1 cotx x = , on a

( )2cot cot 1 cotx dx x dx x x = = . Donc ( ) cotF x x x= .

2

1( )

sinf x

x: ( )

2 22

2 2

1 sin cos1 cot cot

sin sin

x xdx dx x dx x

x x

+= = + = (cf. primitive de

). Donc .2

cot ( ) cotF x x=

2

1( )

cosf x

x: ( )

2 22

2 2

1 sin cos1 tan tan

cos cos

x xdx dx x dx x

x x

+= = + = (cf. primitive de

). Donc .2

tan ( ) tanF x x=


8/15

1( )

sinf x

x: On fait la substitution 2arctanx t= ( tan

2

xt = ). Sachant que

2

2tan2sin

1 tan 2

x

xx

=

+

(cf. trigonomtrie) nous obtenons2

2sin

1

tx

t=

+.

2

2

1dx dt

t=

+(cf. drive

de arctan x ). Donc1 1

ln ln tansin 2

xdx dt t

x t= = = et ( ) ln tan 2

xF x = .

1( )

cosf x

x: Sachant que cos sin( )

2x x

= + on a1 1

cossin( )

2

dx dxx

x

=+

. On fait le

changement de variable2

x u

+ =

( ).du dx= 1 1 1 ln tan ln tancos sin 2 2 4

sin( )2

u xdx dx dux u

x

= = = = +

+ (cf. primitive

de 1/ ). Doncsinx ( ) ln tan2 4

xF x

= +

.

1

1=

+( )

cosf x : On fait la substitution 2arctanx t= ( tan

2

xt = ). Sachant que

2

2

1 tan2

cos1 tan

2

x

x x

= +(cf. trigonomtrie) nous obtenons

2

2

1

cos 1

t

x t

= + . 22

1dx dt t= + (cf. drive

de arctan x ). Donc1

1 ta1 cos 2

nx

dx dt t x

= = =+

et ( ) tan2

xF x = .

1

1( )

cosf x

x=

: On fait la substitution 2arctanx t= (cf. ci-dessus). On trouve

2

1 1 1cot

1 cos 2= = =

x

dx dt x tt

et ( ) cot2

= x

F x .

1

1( )

sinf x

x=

+: Sachant que sin cos( )

2

= x x on a1 1

1 sin1 cos( )

2

=+ +

dx dxxx

. En

faisant le changement de variable2

= u x ( =du dx ) on obtient,

1 1tan tan

1 sin 1 cos( ) 2 2 4

= = = + +

u x

dx dux u

(cf. primitive de

1

1 cos+ x). D'o

( ) tan2 4

=

xF x .


9/15

1

1( )

sinf x

x=

: Par le mme raisonnement que prcdemment nous obtenons

( ) cot2 4

xF x

=

.

( ) sinhnx x avec : Dans ce cas nous avons la formule de rcurrence2n

( 11sin cosh sinh ( 1) sinhn n )2nxdx x x n xdxn

=

que l'on dmontre comme suit : Posons

sinhn

nI x dx= 2

. Une intgration par partie donne

1 1 2sinh sinh cosh sinh ( 1) cosh sinhn n n

nI x x dx x x n x x = = dx en remplaant

2cosh x par

21 sinh x+ dans la dernire intgrale, nous obtenons,

(1 2cosh sinh ( 1)n

n n )n ( )1 21

cosh sinh ( 1)n

n nI x x n In

= I x x n I I

= + et donc .

( ) coshnx x avec : Dans ce cas nous avons la formule de rcurrence2n

( )21cosh ( 1) cosh sinh coshn n 1nxdx n xdx x xn

= + qui se dmontre de la mme faon

que ci-dessus.

2( ) sinhx x : (1

( ) cosh sinh2

)F x x x= x (voir ci-dessus).

2

( ) coshx x : (1

( ) sinh cosh2 )F x x x= + x (voir ci-dessus).

2( ) tanhx x : Sachant que2

tanh 1 tanhx x = , on a

( )2tanh 1 tanh tanhx dx x dx x x = = . Donc ( ) tanhF x x x= .

2( ) coth ( )x x : Sachant que2

coth 1 cothx x = , on a

( )2coth 1 coth cothx dx x dx x x = = . Donc ( ) cothF x x x= .

21( )

sinhf x

x: ( )

2 22

2 21 cosh sinh coth 1 coth

sinh sinhx xdx dx x dx x

x x= = = (cf.

primitive de ). Donc .2

coth ( ) cothF x x=

2

1( )

coshf x : ( )

2 22

2 2

1 cosh sinh1 tanh tanh

cosh cosh

x xdx dx x dx x

x x

= = = (cf.

primitive de ). Donc .2

tanh ( ) tanhF x x=


10/15

1( )

sinhf x

x: On fait la substitution exp( )t x= (

dtdx

t= ). Nous obtenons,

2

1 2 2 22arctanh( ) 2arctanh(exp( ))

1sinh exp( ) exp( ) 1dx dx dt dt t x

x x x tt t

t

= = = = =

(cf. drive de arctanh(x)) et .( ) 2arctanh(exp( ))F x x=

1( )

coshf x


dtdx


2

1 2 2 22arctan( ) 2arctan(exp( ))

1cosh exp( ) exp( ) 1dx dx dt dt t x

x x x tt t

t

= = = = =+ ++

(

cf. drive de arctan(x)) et .( ) 2arctan(exp( ))F x x=

11

=+

( )cosh

f xx

: On fait la substitution exp( )t x= ( dtdxt

= ). Nous obtenons,

2

1 2 2

1 cosh 1 1 exp( )(1 )dx dt

2

x t xt= = =

+ ++ +. En ajoutant un nous obtenons la

primitive,2 exp( ) 1

( ) 1 tanh1 exp( ) exp( ) 1 2

x xF x

x x

= + = = + +

.

1

1=

( )

coshf x


dtdx


21 2 21 cosh 1 exp( ) 1( 1)dx dt

x tt= = = 2x . En ajoutant un nous obtenons la primitive,

2 exp( ) 1( ) 1 coth

exp( ) 1 exp( ) 1 2

x xF x

x x

+ = + = =

.

1

1=

+( )

sinhf x


dtdx


2

1 2

1 sinh 2 exp( ) exp( ) 2 1dx dx dt

x x x t t= =

+ + + 2

. Or

22 2 1 12 1 ( 1 2)( 1 2) 2 ( 1 2) ( 1 2)t t t t t t

= = + + + + + + +

1 . D'o,

( )22 1 1 1 1 1

ln 1 2 ln 1 22 1 2 ( 1 2) 2 ( 1 2) 2

dt dt dt t t t t t t

= = + + + + +

+ +

1 2 exp( ) 1 21 1ln ln

2 21 2 exp( ) 1 2

t x

t x

+ + = =

+ + + +. Donc

exp( ) 1 21( ) ln

2 exp( ) 1 2

xF x

x

+ =

+ +.


11/15

1

1=

( )

sinhf x


dtdx


2

1 2

1 sinh 2 exp( ) exp( ) 2 1dx dx dt

x x x t t= =

+ + 2

. Or

22 2 1 1

2 1 ( 1 2)( 1 2) 2 ( 1 2) ( 1 2)t t t t t t = =

+ + + 1 . D'o,

( )22 1 1 1 1 1

ln 1 2 ln 1 22 1 2 ( 1 2) 2 ( 1 2) 2

dt dt dt t t t t t t

= + = + + +

1 2 exp( ) 1 21 1ln ln

2 21 2 exp( ) 1 2

t x

t x

+ += =

. Donc

exp( ) 1 21( ) ln

2 exp( ) 1 2

xF x

x

+=

.

= ( ) exp( ) sin( )x ax bx 0avec : Une premire intgration par parties

donne

2 2, ,a b a b + \

1exp( )sin( ) exp( )sin( ) exp( )cos( )bax bx dx ax bx ax bx dxa a= . Une deuxime

intgration par parties donne,

1 1exp( )sin( ) exp( )sin( ) exp( )cos( ) exp( )sin( )

b bax bx dx ax bx ax bx ax bx dx

a a a a

= +

d'o

l'galit :2

2 2

1exp( )sin( ) exp( )sin( ) exp( )cos( ) exp( )sin( )

b bax bx dx ax bx ax bx ax bx dx

a a a= . Ainsi

( )2 2exp( )

( ) exp( )sin( ) sin( ) cos( )ax

F x ax bx dx a bx ba b

= = +

bx .

= ( ) exp( ) cos( )x ax bx 0avec : Un raisonnement analogue celui

d'avant montre que

2 2, ,a b a b + \

( )2 2exp( )

( ) cos( ) sin( )ax

F x a bx ba b

= ++

bx .

=( ) sin( )x x ax avec : Une intgration par parties nous donne,\ {0}a \

2

1 1 1 1( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) sin( )F x x ax dx x ax ax dx x ax ax

a a a a= = + = + .

=( ) cos( )x x ax avec : Une intgration par parties nous donne,\ {0}a \

2

1 1 1 1( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( )F x x ax dx x ax ax dx x ax ax

a a a a= = = + .

1=

( )

( )(f x

x a x b)avec a : On a la relation suivante,b

1 1 1 1

( )( ) ( ) ( )x a x b a b x a x b

=

. Par suite,

1 1 1 1 1 1 1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx dx dx dx

x a x b a b x a x b a b x a a b x b

= =


12/15

1 1 1ln ln ln

x ax a x b

a b a b a b x b

= =

. Ainsi

1( ) ln

x aF x

a b x b

=

.

2

1=

( )f x

a x

2avec :0a

2 2

1 1 1 1 1ln ln

( )( ) ( )( ) 2 2

x a xdx dx dx

a x a x x a x a a x a a x aa x

a += = = =

+ + + (cf.

primitive de1

( )( )x a x b ). Donc

1( ) ln

2

x aF x

a x a

+=

.

2

1=

+( )f x

a x2avec : En faisant le changement de variable0a x au= ( ) nous

obtenons,

dx a du=

2 2 2

1 1 1 1 1( ) arctan( ) arctan( )

1

xF x dx du u

a a aa x u= = = =

a+ + (cf. drive de

arctan( )x ).

( )21

1

=

( )n

f x

x

avec : Dans ce cas, nous avons la formule de rcurrence

suivante :

entier 1n

1 2

1(2 1)

2 (1 )n nn

xI n I

n x+

= +

2

1

(1 )n n

I dxx

=

o . En effet, on a

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n n n n

In

x x xn

I dx dx dx dxx x x x x

+ + + +

= = + = +

+

or cette dernire intgrale se rsout par parties,2

2 1 2 1 2 2 2

1 1

2(1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )nn n n n n

x x xdx x dx x I

nx x n x n x n x+ +

= = =

1

Donc I Ix

n x nI n I

x

xn In n n n n n n+ += +

=

+ 1 2 1 22 1

1

22

12 1

( ) ( )( ) .

( )21

1

=+

( )n

f x

x

avec : Dans ce cas, nous avons la formule de rcurrence

suivante :

entier 1n

1 2

1(2 1)

2 (1 )n nn

xI n I

n x+

= +

+ 2

1

(1 )n n

I dxx

=+

o . En effet, on a

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n n n n

In

x x xn

I dx dx dx dxx x x x x

+ + + +

+= = =

+ + + + +

+

or cette dernire intgrale se rsout par parties,2

2 1 2 1 2 2 2

1 1

2(1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )nn n n n n

x x xdx x dx x I

nx x n x n x n x+ +

= = + = ++ + + + +

1

1 12 21Donc 2 (2 1)

22 (1 ) (1 )n n n nn n

x x nI I I n Inn x x

+ += + = + + +

n I .


13/15

( )2

2

1

1

=

( )f x

x

: On a2 2 2

1 1 1( ) ln

2 2(1 ) 1

x xF x dx

xx x

1

1

+= = +

(cf. primitives de

2

1

(1 )nx et 21

1 x ).

( )2

2

1

1

=+

( )f x

x

: On a2 2 2

1 1( ) arctan( )

2(1 ) 1

xF x dx x

x x

= = +

+ + (cf. primitives de

2

1

(1 )n

x+et

2

1

1 x+).

2= ( ) 2x x a avec : Nous pouvons sans perte de gnralit supposer .

Remarquons que le domaine de dfinition de fest

\ {0}a \ 0a >

] , ] [ ,a a [ + . Dans un premier tempsnous allons dterminer une primitive de fsur l'intervalle [ , [a + . Faisons le changement de

variable (coshx a t= 1

arccosh , sinh( )t x dx a t dt a

= =

) o nous considrons la fonction

avec pour rciproque la fonctioncosh : [1, [+ +\ arccosh : [1, [ ++ \ donne par

( )2arccosh( ) ln 1y y y= + (cette formule s'obtient simplement en se rappelant queexp( ) exp( )

cosh( )2

x xy x

+ = = c'est--dire 2exp( ) 2 exp( ) 1 0x y x + = en rsolvant ce

polynme du deuxime degr en exp( )x puis en prenant le logarithme nous obtenons la

formule mentionne.) Nous obtenons, ( )2

2 2 2 2sinh cosh sinh2

ax a dx a t dt t t t = = (cf.

primitive de2

sinh x )2

1 1sinh arccosh arccosh

2

a 1x x x

a a

=

aor

2 2

2

1 1 1x sinh arccosh cosh arccosh 1 1x x

a a a

= =

2 2sinh cosh 1u u= car et

est positif. Donc,arccosh

( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 11 ln 1 ln ln

2 2

a ax a dx x x x x x x a x x a a

a aa a a

= + = + +

tant donn que les primitives sont donnes une constant prs, nous pouvons crire,

( )2

2 2 2 2( ) ln2 2

x aF x x a x x a= + pour x a . est donc une primitive deF 2 2x a

sur [ , . Posons[a + ( )2

2 2 2 2( ) : ( ) ln2 2

x aH x F x x a x x a= = + + . Hest dfinie sur

et on a,] , a ] 2( ) ( ) 2H x F x x a = = . Ainsi, Hest une primitive de 2 2x a sur

. La fonction] , a ] ( ) si( ) si

F x x axH x x a

6 est donc une primitive de 2 2x a sur


14/15

] , ] [ ,a a +[ . Mais nous pouvons dterminer une primitive qui s'exprime plus

simplement, en effet

2 22 2 2 2

22 2

1( ) ln ln

2 2 2 2

2 2x a x a x

H x x a x aax x a

+ = = +

x a. La

fonction ( )2

2 2 2 2( ) ln2 2

x aG x x a x x a= est donc une autre primitive de 2 2x a

sur .] , a ]

Par suite, la fonction ( )2

2 2 2 2( ) si ln( ) si 2 2

F x x a x ax x a x x a

G x x a

= +

6 est une

primitive de 2 2x a sur .] , ] [ ,a a +[

2= ( ) 2x a x avec : Nous pouvons sans perte de gnralit supposer .

Remarquons que le domaine de dfinition de fest [ ,

\ {0}a \ 0a >

]a a . On fait la substitution sin( )x a t= ,

( ) nous considrons la fonctioncos( )dx a t dt = sin :[ , ] [ 1,1]2 2

avec pour rciproque la

fonction arcsin :[ 1,1] [ , ]2 2

. Nous obtenons,

( )2

2 2 2 2 2 21 sin cos cos sin cos2

aa x dx a t t dt a t dt t t t = = = + 2

arcsin cos(arcsin )2

a x x

a a a

= +

x (cf. primitive de ). Or pour

2cos [ ,

2 2y ]

on a

2 2cos(arcsin ) 1 sin (arcsin ) 1y y= = y . Donc,2 2 2 2

2 2 2 2

2arcsin cos(arcsin ) arcsin 1 arcsin

2 2 2

a x x x a x x x a x xa x dx a x

a a a a a aa

= + = + = + 2

et2

2 2( ) arcsin

2 2

a x xF x a x

a= + .

2= +( ) 2x x a avec : Nous pouvons sans perte de gnralit supposer .

Faisons le changement de variable

\ {0}a \ 0a >

sinhx a t= (1

arcsinh , cosh( )t x dx a t dt a

= =

). On

obtient, (2

2 2 2 2cosh sinh cosh2

a)x a dx a tdt t t t+ = = + (cf. primitive de ). Ainsi

2cosh

( )2 2

2 2 sinh cosh arcsinh cosh(arcsinh )2 2

a a x xx a dx t t t

a a a

+ = + = +

x. Mais

( )2 2 2 21arcsinh ln ln ln( )x x x a x x aa a a

= + + = + +

a et


15/15

22 2

2

1cosh(arcsinh ) 1 sinh arcsinh 1

x x xa x

a a a

= + = + = +

2

a. Donc

( )2

2 2 2( ) ln2 2

a xF x x x a a x= + + + + 2 .

2

1=

( )f x

2aavec : On procde de la mme manire que pour la primitive dea \

2 2x a . On obtient, 2 2( ) lnF x x x a= + .

2

1=

( )f x

a x2

]

avec : Nous pouvons sans perte de gnralit supposer .

Remarquons que le domaine de dfinition de fest [ ,

\ {0}a \ 0a >

a a . On fait la substitution sin( )x a t= ,

( ) nous considrons la fonctioncos( )dx a t dt = sin :[ , ] [ 1,1]2 2

avec pour rciproque la

fonction arcsin :[ 1,1] [ , ]2 2

. Nous obtenons,

2 2

1( ) 1 arcsin

xF x dx dt t

aa x= = = =

.

2

1=

+( )f x

a x2avec : Nous pouvons sans perte de gnralit supposer .

Faisons le changement de variable

\ {0}a \ 0a >

sinhx a t= ( 1arcsinh , cosh( )t x dx a t dt a

= =

). On

obtient,2 2

11 arcsinh

xdx dt t

ax a= = =

+ . Sachant que

2arcsinh( ) ln( 1)y y y= + + on

obtient une autre primitive, 2 2( ) ln( )F x x x a= + + .

Documents

Dérivées et Primitives de fonctions usuelles