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UniversitĂ© Claude Bernard-Lyon 1 Semestre dâautomne 2016-2017 Fondamentaux des mathĂ©matiques 1
Feuille 7 Fonctions usuelles
Exercice 1.
Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par : đ(đ„) = 2 sin(đ„) + sin(2đ„). 1. DĂ©terminer l'ensemble de dĂ©finition de đ, sa pĂ©riode et sa paritĂ©. En dĂ©duire un ensemble d'Ă©tude. 2. Calculer la dĂ©rivĂ©e de đ et dĂ©terminer son signe. 3. Dresser le tableau de variation. 4. Tracer la courbe reprĂ©sentative de đ.
Exercice 2.
Soit đ la fonction dĂ©finie sur đŒ = â par :
đ(đ„) = sin2(đ„) +12
cos(đ„)
1. Etudier la paritĂ© de đ et sa pĂ©riodicitĂ©, en dĂ©duire un intervalle dâĂ©tude.
2. Montrer quâil existe un unique đ„0 â [đ3
, đ2
] tel que cos(đ„0) = 14
3. Etudier les variations de đ sur [0, đ]. 4. Dresser le tableau de variation de đ et tracer le graphe de đ.
Exercice 3.
On note đ la fonction dĂ©finie sur [0,1[ par đ(đ„) = (1 â đ„) ln(1 â đ„) + đ„ et đ la fonction dĂ©finie sur ]0,1[
par đ(đ„) = â ln(1âđ„)đ„
. 1. Etudier les variations de đ sur [0,1[ et en dĂ©duire que đ est Ă valeurs positives. 2. Etudier les variations de đ sur ]0,1[. 3. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ(đ„) pour đ„ tendant vers 0 et pour đ„ tendant vers 1.
Exercice 4.
Soit đ la fonction dĂ©finie sur ââ par đ(đ„) = đ1đ„.
1. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles Ă gauche et Ă droite de đ(đ„) en 0. La fonction đ est-elle prolongeable en une fonction continue dĂ©finie sur â ?
2. Pour đ„ dans ââ, calculer đâČ(đ„), puis dĂ©terminer la limite Ă gauche Ă©ventuelle de đâČ(đ„) en 0. 3. Dresser le tableau de variations de đ, puis tracer sommairement le graphe de đ.
Exercice 5.
Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = đ„ â ln(đ„)đ„
. 1. Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = đ„2 â 1 + ln(đ„). Dresser le tableau de variations de
cette fonction, et en dĂ©duire quâil existe un et un seul rĂ©el đ„0 tel que đ(đ„0) = 0, dĂ©teminer đ„0. 2. En dĂ©duire les variations de đ. 3. DĂ©terminer les limites de đ aux bornes de son ensemble de dĂ©finition. 4. DĂ©terminer les asymptotes au graphe de đ. 5. Tracer ce graphe et son asymptote en faisant figurer les tangentes remarquables.
2
Exercice 6. Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = (đ„ + 12) đâđ„2.
1. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ en ââ et en +â. 2. Etudier les variations de đ. 3. Tracer sommairement la courbe reprĂ©sentative de đ.
Exercice 7. Montrer que pour tous đ„ et đŠ rĂ©els distincts :
đđ„+đŠ
2 <đđ„ + đđŠ
2
Exercice 8. Discuter en fonction de la valeur du rĂ©el đ„ de lâexistence de la valeur Ă©ventuelle de la limite de
đ„đ quand đ tend vers +â.
Exercice 9. Etablir la formule suivante :
tan(đ„ â đŠ) + tan(đŠ â đ§) + tan(đ§ â đ„) = tan(đ„ â đŠ) tan(đŠ â đ§) tan(đ§ â đ„) OĂč đ„, đŠ, đ§ sont trois rĂ©els pour lesquels les trois tangentes apparaissant dans la formule sont dĂ©finies. Indication : on pourra appliquer judicieusement la formule
tan(đ + đ) =tan(đ) + tan(đ)
1 â tan(đ) tan(đ)
Exercice 10.
đą et đŁ Ă©tant deux rĂ©els, Ă©tablir les formules suivantes : ch2(đą) + sh2(đŁ) = sh2(đą) + ch2(đŁ) = ch(đą + đŁ) ch(đą â đŁ) ch2(đą) â ch2(đŁ) = sh2(đą) â sh2(đŁ) = sh(đą + đŁ) sh(đą â đŁ)
Exercice 11. Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par
đ(đą) =4 â 5 ch(đą)
sh(đą)
1. Montrer que đ est bien dĂ©finie, continue et dĂ©rivable sur ââ. Est-elle paire, impaire ? 2. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ en +â et en 0+. 3. Etudier les variations de đ sur ââ. On veillera Ă donner une expression trĂšs simple les points oĂč đâČ
sâannule. 4. Dresser le tableau de variation de đ et tracer sommairement son graphe.
Exercice 12.
Calculer les limites suivantes : lim
đ„â+âđâđ„(ch3(đ„) â sh3(đ„)
limđ„â+â
(đ„ â ln(ch(đ„)))
Exercice 13.
RĂ©soudre dans â : 3 ch(đ„) â sh(đ„) â 3 = 0 Exercice 14.
1. Calculer
ch (12
ln(3)) et sh (12
ln(3))
2. A lâaide de la formule ch(đ + đ) = ch(đ) ch(đ) + sh(đ) sh(đ)
3
DĂ©terminer les solutions de lâĂ©quation : 2 ch(đ„) + sh(đ„) = â3 ch(5đ„)
Exercice 15.
Soit đ la fonction dĂ©finie par :
đ(đ„) =8 ch(đ„)4đđ„ â 3
1. DĂ©terminer lâensemble de dĂ©finition de đ. 2. Calculer les limites de đ au bord de lâensemble de dĂ©finition. 3. Etudier les variations de đ. 4. Dresser le tableau de variation de đ. 5. Tracer le graphe de đ.
Exercice 16. Soit đ la fonction dâune variable rĂ©elle dĂ©finie par :
đ(đą) =3 + 4 sh(đą)
ch(đą)
1. PrĂ©ciser son domaine de dĂ©finition. 2. PrĂ©ciser ses limites quand đą tend vers +â et ââ. 3. Etudier les variations de đ. On veillera Ă fournir une expression trĂšs simple de la valeur đą0 pour laquelle
đâČ(đą0) = 0 (lâexpression attendue nâutilise pas de fonctions hyperboliques rĂ©ciproque (Hors programme)).
4. Tracer le graphe de đ.
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UniversitĂ© Claude Bernard-Lyon 1 Semestre dâautomne 2016-2017 Fondamentaux des mathĂ©matiques 1
Feuille 7 Fonctions usuelles
Exercice 1.
Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par : đ(đ„) = 2 sin(đ„) + sin(2đ„). 1. DĂ©terminer l'ensemble de dĂ©finition de đ, sa pĂ©riode et sa paritĂ©. En dĂ©duire un ensemble d'Ă©tude. 2. Calculer la dĂ©rivĂ©e de đ et dĂ©terminer son signe. 3. Dresser le tableau de variation. 4. Tracer la courbe reprĂ©sentative de đ.
Correction exercice 1.
1. đ est dĂ©finie (continue et dĂ©rivable) sur â, 2đ pĂ©riodique et impaire (ce sont des Ă©vidences quâil nâest pas nĂ©cessaire de dĂ©velopper), on Ă©tudiera đ sur lâintervalle [0, đ], par paritĂ© on connaitra les variation de đ sur [0,2đ], puis par pĂ©riodicitĂ© sur â.
2. đâČ(đ„) = 2 cos(đ„) + 2 cos(2đ„) = 2(cos(x)+2 cos2(đ„) â 1) = 2(2 cos2(đ„) + cos(đ„) â 1)
Le polynĂŽme 2đ2 + đ â 1 admet đ1 = â1 et đ2 =12 comme racine donc
2đ2 + đ â 1 = 2(đ + 1)(đ â 12), on en dĂ©duit que đâČ(đ„) = 4(cos(đ„) + 1)(cos(đ„) â 1
2)
Dressons un tableau de signe : đ„ 0 đ
3 đ
cos(đ„) + 1 + + 0
cos(đ„) + 12 + 0 â
đâČ(đ„) + 0 â 0 đ est croissante sur [0, đ
3] et dĂ©croissante sur [đ
3, đ].
3. On en dĂ©duit le tableau de variation de đ.
đ (đ3) = 2 sin (
đ3) + sin (
2đ3) = 2
â32+â32=3â32
đ„ 0 đ
3 đ
đâČ(đ„) + 0 â 0 đ(đ„) 3â3
2
0 0 4.
2
Exercice 2.
Soit đ la fonction dĂ©finie sur đŒ = â par :
đ(đ„) = sin2(đ„) +12cos(đ„)
1. Etudier la paritĂ© de đ et sa pĂ©riodicitĂ©, en dĂ©duire un intervalle dâĂ©tude.
2. Montrer quâil existe un unique đ„0 â [đ3, đ2] tel que cos(đ„0) =
14
3. Etudier les variations de đ sur [0, đ]. 4. Dresser le tableau de variation de đ et tracer le graphe de đ.
Correction exercice 2.
1. đ est paire et 2đ pĂ©riodique, on Ă©tudie đ sur [0, đ]
2. đâČ(đ„) = 2 cos(đ„) sin(đ„) â 12sin(đ„) = 2 sin(đ„) (cos(đ„) â 1
4)
âđ„ â [0, đ], đâČ(đ„) = 0 â {sin(đ„) = 0
cos(đ„) =14
Il y a deux valeurs qui annulent sin(đ„) dans [0, đ], ce sont 0 et đ. Pour đ„ â [0, đ], la fonction cos: [0, đ] ⊠[â1,1] Ă©tant strictement dĂ©croissante, il sâagit dâune bijection, 14 admet un unique antĂ©cĂ©dent đ„0, sur le signe de cos(đ„) â 1
4 est positif sur [0, đ„0] et nĂ©gatif sur [đ„0, đ].
đ„ 0 đ„0 đ sin(đ„) 0 + + 0 cos(đ„) â 1
4 + 0 â
đâČ(đ„) 0 + 0 â 0 đ est croissante sur [0, đ„0] đ est dĂ©croissante sur [đ„0, đ]
3.
đ(0) =12
đ(đ„0) = sin2(đ„0) +12cos(đ„0) = 1 â cos2(đ„0) +
12Ă14= 1 â
116+18=16 â 1 + 2
16=1716
đ(đ) = â12
đ„ 0 đ„0 đ đâČ(đ„) 0 + 0 â 0 đ(đ„) 17
16
12 â1
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8đ/3 đ
đŠ
đ„
3â32
3
Exercice 3.
On note đ la fonction dĂ©finie sur [0,1[ par đ(đ„) = (1 â đ„) ln(1 â đ„) + đ„ et đ la fonction dĂ©finie sur ]0,1[
par đ(đ„) = â ln(1âđ„)đ„
. 1. Etudier les variations de đ sur [0,1[ et en dĂ©duire que đ est Ă valeurs positives. 2. Etudier les variations de đ sur ]0,1[. 3. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ(đ„) pour đ„ tendant vers 0 et pour đ„ tendant vers 1.
Correction exercice 3.
1. 0 †đ„ < 1 â â1 < âđ„ †0 â 0 < 1 â đ„ †1 Ce qui montre que đ est dĂ©finie, continue et dĂ©rivable sur [0,1[
âđ„ â [0,1[, đâČ(đ„) = â ln(1 â đ„) + (1 â đ„) Ăâ11 â đ„
+ 1 = â ln(1 â đ„)
Ce qui montre que đâČ(đ„) est strictement nĂ©gative pour 0 < đ„ < 1 et nulle pour đ„ = 0 et donc que đ est strictement croissante. Comme đ(0) = (1 â 0) ln(1 â 0) + 0 = ln(1) = 0, pour tout đ„ > 0 (et đ„ < 1, bien sĂ»r)
đ(đ„) > đ(0) = 0 2. Pour tout đ„ â ]0,1[
đâČ(đ„) = ââ11 â đ„ Ă đ„ â 1 Ă ln(1 â đ„)
đ„2= â
âđ„ â (1 â đ„) ln(1 â đ„)(1 â đ„)đ„2
=đ„ + (1 â đ„) ln(1 â đ„)
(1 â đ„)đ„2
=đ(đ„)
(1 â đ„)đ„2
Le dĂ©nominateur est strictement positif et đ(đ„) aussi donc pour tout đ„ > 0 et đ„ < 1, đâČ(đ„) > 0 sur lâintervalle ]0,1[ donc đ est strictement croissante sur cet intervalle.
3. En 1, il sâagit dâune limite indĂ©terminĂ©e, on pose đ = 1 â đ„đ„â1â 0
đ(đ„) = đ ln(đ) + 1 â đđâ0â 0
Car đ ln(đ) â 0 lorsque đ â 0 est une limite indĂ©terminĂ©e connue En 0, on rappelle que
limđ„â0
ln(1 + â)â
= 1
On pose â = âđ„, alors
limđ„â0
ln(1 â đ„)âđ„
= 1 â limđ„â0
đ(đ„) = 1
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-15 -10 -5 0 5 10 15
4
Exercice 4.
Soit đ la fonction dĂ©finie sur ââ par đ(đ„) = đ1đ„.
1. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles Ă gauche et Ă droite de đ(đ„) en 0. La fonction đ est-elle prolongeable en une fonction continue dĂ©finie sur â ?
2. Pour đ„ dans ââ, calculer đâČ(đ„), puis dĂ©terminer la limite Ă gauche Ă©ventuelle de đâČ(đ„) en 0. 3. Dresser le tableau de variations de đ, puis tracer sommairement le graphe de đ.
Correction exercice 4.
1.
limđ„â0â
1đ„= ââ â lim
đ„â0âđ1đ„ = 0 et lim
đ„â0+1đ„= +â â +â
Donc đ nâest pas prolongeable en 0 par une fonction continue en 0, elle est simplement prolongeable Ă gauche en 0 par une fonction continue Ă gauche en 0, par đ(0) = 0.
2. Pour tout đ„ â 0
đâČ(đ„) =â1đ„2đ1đ„
Lorsqueđ„ â 0â, on pose đ = 1đ„ đ„â0ââ â â
đâČ(đ„) = âđ2đđâââ 0
Car il sâagit dâune limite indĂ©terminĂ©e donc le rĂ©sultat est connue en ââ. 3.
limđ„âââ
đ(đ„) = 1; limđ„â0â
đ(đ„) = 0; limđ„â0+
đ(đ„) = +â; limđ„â+â
đ(đ„) = 1
đ„ ââ 0 +â đâČ(đ„) â 0 â đâČ(đ„) 1 +â
0 1
Exercice 5.
Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = đ„ â ln(đ„)đ„
.
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-15 -10 -5 0 5 10 15
5
1. Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = đ„2 â 1 + ln(đ„). Dresser le tableau de variations de cette fonction, et en dĂ©duire quâil existe un et un seul rĂ©el đ„0 tel que đ(đ„0) = 0, dĂ©teminer đ„0.
2. En dĂ©duire les variations de đ. 3. DĂ©terminer les limites de đ aux bornes de son ensemble de dĂ©finition. 4. DĂ©terminer les asymptotes au graphe de đ. 5. Tracer ce graphe et son asymptote en faisant figurer les tangentes remarquables.
Correction exercice 5.
1. đ est dĂ©finie, continue et dĂ©rivable sur ]0, +â[.
đâČ(đ„) = 2đ„ +1đ„> 0carđ„ > 0
limđ„â0+
đ(đ„) = ââet limđ„â+â
đ(đ„) = +â
đ„ 0 +â đâČ(đ„) + đ(đ„) +â
ââ On en dĂ©duit que đ est une bijection de ]0, +â[ sur â, donc 0 admet un unique antĂ©cĂ©dent đ„0, comme đ„0 = 1 convient, câest le seul.
2. đ est dĂ©finie, continue et dĂ©rivable sur ]0, +â[
đâČ(đ„) = 1 â1đ„ Ă đ„ â 1 Ă ln(đ„)
đ„2= 1 â
1 â ln(đ„)đ„2
=đ„2 â (1 â ln(đ„))
đ„2=đ(đ„)đ„2
limđ„â0+
đ(đ„) = ââet limđ„â+â
đ(đ„) = +â
Car
limđ„â0+
đ(đ„) = limđ„â0+
ln(đ„)đ„
= ââ
Nâest pas une forme indĂ©terminĂ©e.
đ(1) = 1 âln(1)1
= 1
đ„ 0 1 +â đâČ(đ„) â 0 + đ(đ„) ââ +â
1 3. Voir 2. 4. Comme
limđ„â+â
ln(đ„)đ„
= 0
limđ„â+â
(đ(đ„) â đ„) = 0
Ce qui montre que la droite dâĂ©quation đŠ = đ„ est asymptote au graphe de đ en +â. 5.
6
Et mĂȘme si ce nâest pas clair sur le graphe, il y a un point dâinflexion pour đ„ > 1, point qui annule la dĂ©rivĂ©e seconde.
Exercice 6. Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par đ(đ„) = (đ„ + 1
2) đâđ„2.
1. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ en ââet en +â. 2. Etudier les variations de đ. 3. Tracer sommairement la courbe reprĂ©sentative de đ.
Correction exercice 6.
1. Si đ„ < 0 on pose đ„2 = đ â đ„ = ââđ, donc đ(đ„) = (ââđ + 12)đâđ
đâ+ââ 0
limđ„âââ
đ(đ„) = 0
Si đ„ > 0 on pose đ„2 = đ â đ„ = âđ, donc đ(đ„) = (âđ + 12)đâđ
đâ+ââ 0
limđ„â+â
đ(đ„) = 0
Ceci dit dans ce cas les limites sont presque Ă©videntes. 2. đâČ(đ„) = đâđ„2 + (đ„ + 1
2) (â2đ„)đâđ„2 = (â2đ„2 â đ„ + 1)đâđ„2
Le polynĂŽme â2đ2 â đ + 1 admet đ1 = â1 et đ2 =12 comme racines donc
â2đ2 â đ + 1 = â2(đ + 1)(đ â 12)
Donc đâČ(đ„) = â2(đ„ + 1)(đ„ â 12)đâđ„2
On en dĂ©duit le tableau de variation de đ
đ„ ââ â1 12 +â
đâČ(đ„) â 0 + 0 â đ(đ„) 0 đâ
14
â1
2đ 0
3. â12đâ â0,2 en gros et đâ
14 â 0,8 en gros.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6
7
Exercice 7.
Montrer que pour tous đ„ et đŠ rĂ©els distincts :
đđ„+đŠ2 <
đđ„ + đđŠ
2
Correction exercice 7.
Pour tous đ„ et đŠ rĂ©els distincts
đđ„ + đđŠ
2â đ
đ„+đŠ2 =
đđ„ â 2đđ„+đŠ2 + đđŠ
2=(đđ„2)2â 2đ
đ„2đđŠ2 + (đ
đŠ2)2
2=(đđ„2 â đ
đŠ2)2
2> 0
Car đ„ â đŠ On a bien
đđ„+đŠ2 <
đđ„ + đđŠ
2
Exercice 8.
Discuter en fonction de la valeur du rĂ©el đ„ de lâexistence de la valeur Ă©ventuelle de la limite de đ„đ quand đ tend vers +â.
Correction exercice 8.
Si đ„ < â1 alors đ„đ nâa pas de limite mais limđâ+â|đ„|đ = +â Si đ„ = â1 alors đ„đ = (â1)đ nâa pas de limite. Si |đ„| < 1 â â1 < đ„ < 1 alors limđâ+â đ„đ = 0 Si đ„ = 1 alors đ„đ = 1 donc limđâ+â đ„đ = 1 Si đ„ > 1 alors limđâ+â đ„đ = +â Etablir la formule suivante :
tan(đ„ â đŠ) + tan(đŠ â đ§) + tan(đ§ â đ„) = tan(đ„ â đŠ) tan(đŠ â đ§) tan(đ§ â đ„) OĂč đ„, đŠ, đ§ sont trois rĂ©els pour lesquels les trois tangentes apparaissant dans la formule sont dĂ©finies.
Indication : on pourra appliquer judicieusement la formule tan(đ + đ) = tan(đ)+tan(đ)1âtan(đ) tan(đ)
Correction exercice 9.
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
đâ1/4
1/2đ
đ„
0.5
đŠ
8
tan(đ§ â đ„) = tan((đ§ â đŠ) + (đŠ â đ„)) =tan(đ§ â đŠ) + tan(đŠ â đ„)1 â tan(đ§ â đŠ) tan(đŠ â đ„)
â tan(đ§ â đ„) (1 â tan(đ§ â đŠ) tan(đŠ â đ„)) = tan(đ§ â đŠ) + tan(đŠ â đ„)â tan(đ§ â đ„) (1 â (â tan(âđ§ + đŠ))(â tan(âđŠ + đ„))) = â tan(âđ§ + đŠ) â tan(âđŠ + đ„)â tan(đ§ â đ„) (1 â tan(đŠ â đ§) tan(đ„ â đŠ)) = â tan(đŠ â đ§) â tan(đ„ â đŠ)â tan(đ§ â đ„) â tan(đ§ â đ„) tan(đŠ â đ§) tan(đ„ â đŠ) = â tan(đŠ â đ§) â tan(đ„ â đŠ)â tan(đ§ â đ„) + tan(đŠ â đ§) + tan(đ„ â đŠ) = tan(đ§ â đ„) tan(đŠ â đ§) tan(đ„ â đŠ)
Exercice 9. đą et đŁ Ă©tant deux rĂ©els, Ă©tablir les formules suivantes :
ch2(đą) + sh2(đŁ) = sh2(đą) + ch2(đŁ) = ch(đą + đŁ) ch(đą â đŁ) ch2(đą) â ch2(đŁ) = sh2(đą) â sh2(đŁ) = sh(đą + đŁ) sh(đą â đŁ)
Correction exercice 10. Pour tout đą et đŁ deux rĂ©els.
ch2(đą) + sh2(đŁ) = (đđą + đâđą
2)2
+ (đđŁ â đâđŁ
2)2
=đ2đą + 2 + đâ2đą + đ2đŁ â 2 + đâ2đŁ
4
=đ2đą + đâ2đą + đ2đŁ + đâ2đŁ
4
sh2(đą) + ch2(đŁ) = (đđą â đâđą
2)2
+ (đđŁ + đâđŁ
2)2
=đ2đą â 2 + đâ2đą + đ2đŁ + 2 + đâ2đŁ
4
=đ2đą + đâ2đą + đ2đŁ + đâ2đŁ
4
ch(đą + đŁ) ch(đą â đŁ) =đđą+đŁ + đâđąâđŁ
2ĂđđąâđŁ â đâđą+đŁ
2
=đđą+đŁ+đąâđŁ â đđą+đŁâđą+đŁ + đâđąâđŁ+đąâđŁ â đâđąâđŁâđą+đŁ
4=đ2đą + đâ2đą + đ2đŁ + đâ2đŁ
4
On a bien ch2(đą) + sh2(đŁ) = sh2(đą) + ch2(đŁ) = ch(đą + đŁ) ch(đą â đŁ)
ch2(đą) â ch2(đŁ) = (đđą + đâđą
2)2
â (đđŁ + đâđŁ
2)2
=đ2đą + 2 + đâ2đą â (đ2đŁ + 2 + đâ2đŁ)
4
=đ2đą + đâ2đą â đ2đŁ â đâ2đŁ
4
sh2(đą) â sh2(đŁ) = (đđą â đâđą
2)2
â (đđŁ â đâđŁ
2)2
=đ2đą â 2 + đâ2đą â (đ2đŁ â 2 + đâ2đŁ)
4
=đ2đą + đâ2đą â đ2đŁ â đâ2đŁ
4
sh(đą + đŁ) sh(đą â đŁ) =đđą+đŁ â đâđąâđŁ
2ĂđđąâđŁ + đâđą+đŁ
2
=đđą+đŁ+đąâđŁ + đđą+đŁâđą+đŁ â đâđąâđŁ+đąâđŁ â đâđąâđŁâđą+đŁ
4=đ2đą + đâ2đą â đ2đŁ â đâ2đŁ
4
On a bien ch2(đą) â ch2(đŁ) = sh2(đą) â sh2(đŁ) = sh(đą + đŁ) sh(đą â đŁ)
Exercice 10.
Soit đ la fonction numĂ©rique dĂ©finie par
đ(đą) =4 â 5 ch(đą)sh(đą)
1. Montrer que đ est bien dĂ©finie, continue et dĂ©rivable sur ââ. Est-elle paire, impaire ?
9
2. DĂ©terminer les limites Ă©ventuelles de đ en +â et en 0+. 3. Etudier les variations de đ sur ââ. On veillera Ă donner une expression trĂšs simple les points oĂč đâČ
sâannule. 4. Dresser le tableau de variation de đ et tracer sommairement son graphe.
Correction exercice 11.
1. đ est dĂ©finie, continue et dĂ©rivable si et seulement si sh(đą) â 0, donc sur ââ.
đ(âđą) =4 â 5 ch(âđą)sh(âđą)
=4 â 5 ch(đą)â sh(đą)
= âđ(đą)
De plus lâensemble de dĂ©finition est symĂ©trique par rapport Ă 0 donc đ est impaire. 2.
{limđąâ0+
(4 â 5 ch(đą)) = â1
limđąâ0+
sh(đą) = 0+ â limđąâ0+
đ(đą) = ââ
Limite en +â PremiĂšre mĂ©thode, on pose đ = đđą
đ(đą) =4 â 5đ
đą + đâđą2
đđą â đâđą2
=8 â 5(đđą + 1
đđą)
đđą â 1đđą
=8 â 5đ â 5đđ â 1đ
=8đ â 5đ2 â 5đ2 â 1
=â5đ2 + 8đ â 5
đ2 â 1
limđąâ+â
đ(đą) = limđâ+â
â5đ2 + 8đ â 5đ2 â 1
= â5
DeuxiÚme méthode
đ(đą) =4
sh(đą)â 5
ch(đą)sh(đą)
=4
sh(đą)â 5
1th(đą)
{limđąâ+â
4sh(đą)
= 0
limđąâ+â
th(đą) = 1â lim
đąâ+âđ(đą) = â5
3. Pour tout đą > 0.
đâČ(đą) =â5 sh(đą) Ă sh(đą) â (4 â 5 ch(đą)) Ă ch(đą)
sh2(đą)=â5 sh2(đą) â 4 ch(đą) + 5 ch2(đą)
sh2(đą)
=5(ch2(đą) â sh2(đą)) â 4 ch(đą)
sh2(đą)=5 â 4 ch(đą)sh2(đą)
On cherche la ou les valeur(s) de đą > 0 qui annule đâČ(đą) et on pose đ = đđą
5 â 4 ch(đą) = 0 â 5 â 4đđą + đâđą
2= 0 â 5â 2đ â
2đ= 0 â â2đ2 + 5đ â 2 = 0
Le discriminant vaut Î = 25 â 4(â2)(â2) = 9
Il y a donc deux solutions
đ1 =â5 â 3â4
= 2etđ1 =â5 + 3â4
=12
On revient en « đą »
đą1 = ln(2) > 0etđą2 = ln (12) = â ln(2) < 0
Ensuite comme đą â 4 â 5 ch(đą) est dĂ©croissante sur â+ 0 < đą < ln(2) â 4 â 5 ch(đą) > 4 â 5 ch(đđ(2)) = 0 â đâČ(đą) > 0 ln(2) < đą â 4 â 5 ch(ln(2)) < 4 â 5 ch(đą) = 0 â đâČ(đą) < 0
4. đą 0 ln(2) +â
10
đâČ(đą) + 0 â đ(đą) đ(ln(2))
ââ â5 Avec
đ(ln(2)) =4 â 5 ch(ln(2))sh(ln(2))
ch(ln(2)) =54
sh(ln(2)) =đln(2) â đâln(2)
2=2 â 122
=34
Par conséquent
đ(ln(2)) =4 â 5 Ă 54
34
= â93= â3
Exercice 11.
Calculer les limites suivantes : limđ„â+â
đâđ„(ch3(đ„) â sh3(đ„)
limđ„â+â
(đ„ â ln(ch(đ„)))
Correction exercice 12.
đâđ„(ch3(đ„) â sh3(đ„)) = đâđ„ ((đđ„ + đâđ„
2)3
â (đđ„ â đâđ„
2)3
)
=đâđ„
8(đ3đ„ + 3đđ„ + 3đâđ„ + đâ3đ„ â (đ3đ„ â 3đđ„ + 3đâđ„ â đâ3đ„))
=đâđ„
8(6đđ„ + 2đâ3đ„) =
34+14đâ4đ„
Donc
limđ„â+â
đâđ„(ch3(đ„)) â sh3(đ„)) =34
đ„ â ln(ch(đ„)) = đ„ â ln (đđ„ + đâđ„
2) = đ„ â ln(đđ„
1 + đâ2đ„
2) = đ„ â ln(đđ„) â ln (
1 + đâ2đ„
2)
= â ln (1 + đâ2đ„
2)
limđ„â+â
1 + đâ2đ„
2=12
Donc
-15
-10
-5
0
5
10
15
-6 -4 -2 0 2 4 6
11
limđ„â+â
(đ„ â ln(ch(đ„))) = â ln (12) = ln(2)
Exercice 12.
RĂ©soudre dans â 3 ch(đ„) â sh(đ„) â 3 = 0
Correction exercice 13.
On pose đ = đđ„
3 ch(đ„) â sh(đ„) â 3 = 0 â 3đ + 1đ2
âđ â 1đ2
â 3 = 0 â 3(đ2 + 1) â (đ2 â 1) â 6đ = 0
â 2đ2 â 6đ + 4 = 0 â đ2 â 3đ + 2 = 0 â đ = 1ouđ = 2 â đ„ = 0ouđ„ = ln(2) Exercice 13.
1. Calculer
ch (12ln(3)) et sh (
12ln(3))
2. A lâaide de la formule ch(đ + đ) = ch(đ) ch(đ) + sh(đ) sh(đ)
DĂ©terminer les solutions de lâĂ©quation : 2 ch(đ„) + sh(đ„) = â3 ch(5đ„)
Correction exercice 14.
1.
ch (12ln(3)) =
đ12 ln(3) + đâ
12 ln(3)
2=đâ3 + đââ3
2=â3 + 1
â32
=3 + 12â3
=2â3=2â33
sh (12ln(3)) =
đ12 ln(3) â đâ
12 ln(3)
2=đâ3 â đââ3
2=â3 â 1
â32
=3 â 12â3
=1â3=â33
2.
2 ch(đ„) + sh(đ„) = â3 ch(5đ„) â2â33ch(đ„) +
â33sh(đ„) =
â33Ă â3 ch(5đ„)
â ch (12ln(3)) ch(đ„) + sh(
12ln(3)) sh(đ„) = ch(5đ„) â ch (
12ln(3) + đ„) = ch(5đ„)
â {
12ln(3) + đ„ = 5đ„
12ln(3) + đ„ = â5đ„
â {4đ„ =
12ln(3)
6đ„ = â12ln(3)
đ = {18ln(3) , â
112ln(3)}
Exercice 14. Soit đ la fonction dĂ©finie par :
đ(đ„) =8 ch(đ„)4đđ„ â 3
1. DĂ©terminer lâensemble de dĂ©finition de đ. 2. Calculer les limites de đ au bord de lâensemble de dĂ©finition. 3. Etudier les variations de đ.
12
4. Dresser le tableau de variation de đ. 5. Tracer le graphe de đ.
Correction exercice 15.
1. đ est dĂ©finie, continue et dĂ©rivable si et seulement si 4đđ„ â 3 â 0 â đđ„ â 34â đ„ â ln (3
4)
đ·đ = â â {ln (34)}
2. En ââ,
limđ„âââ
(4đđ„ â 3) = â3
limđ„âââ
ch(đ„) = +â
Donc
limđ„âââ
8 ch(đ„)4đđ„ â 3
= ââ
En +â On pose đ = đđ„
đ(đ„) =8ch(đ„)4đđ„ â 3
=8đ + 1đ2
4đ â 3=8(đ2 + 1)2đ(4đ â 3)
=8đ2 + 88đ2 â 6đ
limđ„â+â
đ = +â
Donc
limđ„â+â
đ(đ„) = limđâ+â
8đ2 + 88đ2 â 6đ
= limđâ+â
8đ2
8đ2= 1
limđ„â+â
đ = +â
En ln (34)â
, ch (ln (34)) > 1 > 0
limđ„âln(34)
â(4đđ„ â 3) = 0â
limđ„âln(34)
â
ch(đ„)4đđ„ â 3
= ââ
En ln (34)+
, ch (ln (34)) > 1 > 0
limđ„âln(34)
+(4đđ„ â 3) = 0+
limđ„âln(34)
+
ch(đ„)4đđ„ â 3
= +â
3.
đâČ(đ„) = 8sh(đ„) (4đđ„ â 3) â 4 ch(đ„) đđ„
(4đđ„ â 3)2= 8
4đđ„(sh(đ„) â ch(đ„)) â 3 sh(đ„)(4đđ„ â 3)2
On pose đ = đđ„
13
đâČ(đ„) = 0 â 4đđ„(sh(đ„) â ch(đ„)) â 3 sh(đ„) = 0 â 4đ(đ â 1đ2
âđ + 1đ2) â 3
đ â 1đ2
= 0
â 4đ((đ2 â 1) â (đ2 + 1)) â 3(đ2 â 1) = 0 â 8đ(â2) â 3đ2 + 3 = 0â â3đ2 â 8đ + 3 = 0
Le discriminant de cette Ă©quation est : Î = (â8)2 + 4 Ă 3 Ă 3 = 64 + 36 = 100
Les racines sont
đ1 =8 â 10â6
=13
Et
đ2 =8 + 10â6
= â3
Or đ = đđ„ > 0 donc đâČ(đ„) = 0 nâa quâune solution đđ„ = 13â đ„ = ln (1
3) = â ln(3)
Il reste Ă dĂ©terminer le signe de 4đđ„(sh(đ„) â ch(đ„)) â 3 sh(đ„), cette fonction est continue et ne sâannule quâen â ln(3), on prends une valeur simple 0, 4đ0(sh(0) â ch(0)) â 3 sh(0) = â4 < 0 Donc pour tout đ„ < âln(3) 4đđ„(sh(đ„) â ch(đ„)) â 3 sh(đ„) < 0 et pour tout đ„ > âln(3), 4đđ„(sh(đ„) â ch(đ„)) â 3 sh(đ„) > 0, il faut quand mĂȘme faire attention au fait que đ nâest pas dĂ©finie
en ln (34)
Comme 13< 34 alors ln (1
3) < ln (3
4), on déduit de tout cela que :
Pour tout đ„ â] â â, ln (13) [, đ est dĂ©croissante.
Pour tout đ„ â] ln (13) , ln (3
4) [, đ est croissante.
Pour tout đ„ â] ln (34) ,+â[, đ est croissante.
4. đ„ ââ ln (1
3) ln (3
4) +â
đâČ(đ„) + 0 â â đ(đ„) â8 +â
ââ ââ 1 Car
đ (ln (13)) =
8 ch (13)
4đln(13) â 3
= 4đln(
13) + đâln(
13)
43 â 3
= 413 + 3
â53=40â5
= â8
5.
14
Exercice 15. Soit đ la fonction dâune variable rĂ©elle dĂ©finie par :
đ(đą) =3 + 4 sh(đą)ch(đą)
1. PrĂ©ciser son domaine de dĂ©finition. 2. PrĂ©ciser ses limites quand đą tend vers +â et ââ. 3. Etudier les variations de đ. On veillera Ă fournir une expression trĂšs simple de la valeur đą0 pour laquelle đâČ(đą0) = 0 (lâexpression attendue nâutilise pas de fonctions hyperboliques rĂ©ciproque (Hors programme)).
4. Tracer le graphe de đ.
Correction exercice 16.
1. đą â 3 + 4 sh(đą) est dĂ©finie sur â. ch(đą) â 0 pour tout đą â â et ch est dĂ©finie sur â donc đ est dĂ©finie sur â.
2. PremiÚre méthode
đ(đą) =3 + 4 sh(đą)ch(đą)
=3
ch(đą)+ 4 th(đą)
limđąâ+â ch(đą) = +â donc limđąâ+â3
ch(đą)= 0 et limđąâ+â th(đą) = 1 donc limđąâ+â đ(đą) = 4
limđąâââ ch(đą) = +â donc limđąâââ3
ch(đą)= 0 et limđąâââ th(đą) = â1 donc limđąâ+â đ(đą) = â4
DeuxiÚme méthode
đ(đą) =3 + 4 sh(đą)ch(đą)
=3 + 4đ
đą â đâđą2
đđą + đâđą2
=6 + 4(đđą â đâđą)
đđą + đâđą=6đđą + 4(đ2đą â 1)
đ2đą + 1
En multipliant le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur par 2, puis par đđą. On pose đ = đđą,
đ(đą) =6đ + 4(đ2 â 1)
đ2 + 1=4đ2 + 6đ â 4đ2 + 1
si đą â +â alors đ â +â
limđąâ+â
đ(đą) = limđâ+â
4đ2 + 6đ â 4đ2 + 1
= limđâ+â
4đ2
đ2= 4
đ„
đŠ
âln 3
ln 3/4 1
â8
15
si đą â ââ alors đ â 0
limđąâââ
đ(đą) = limđâ0
4đ2 + 6đ â 4đ2 + 1
= â4
3. PremiÚre méthode
đâČ(đą) =4 ch(đą) ch(đą) â (3 + 4 sh(đą)) sh(đą)
ch2(đą)=4 ch2(đą) â 3 sh(đą) â 4 sh2(đą)
ch2(đą)
=4(ch2(đą) â sh2(đą)) â 3 sh(đą)
ch2(đą)=4 â 3 sh(đą)ch2(đą)
đâČ(đą0) = 0 â 4 â 3 sh(đą0) = 0 â sh(đą0) =43â đą0 = argsh (
43) = ln(
43+ â(
43)2
+ 1)
= ln(43+ â
169+ 1) = ln(
43+ â
259) = ln (
43+53) = ln(3)
DeuxiÚme méthode
sh(đą0) =43âđđą0 â đâđą0
2=43
On pose đ0 = đđą0
sh(đą0) =43âđ0 â
1đ0
2=43â đ0 â
1đ0=83â đ02 â 1 =
83đ0 â đ02 â
83đ0 â 1 = 0
Le discriminant vaut
Î =649+ 4 =
1009= (103)2
đ0,1 =83 â
103
2= â
13< 0
đ0,2 =83 +
103
2= 3
Donc đđą0 = 3 â đą0 = ln(3)
đą ââ ln(3) +â đâČ(đą) + 0 â đ(đą) 5
â4 4
ch(ln(3)) =đln(3) + đâln(3)
2=3 + 132
=53
đ(ln(3)) =3 + 4 Ă 43
53
= 5
4. Graphe de đŁ = đ(đą)
16
-5-4-3-2-10123456
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
đą
đŁ
ln(3)