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8/17/2019 Des Exercices

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Exercices

Température et thermomètresExercice 1. Conception d’un thermomètre àliquide

Vous voulez construire un thermomètre donnant des températures comprise entre 0°C et

200°C. Vous disposez d’un tube capillaire cylindrique en verre qui pour une longueur de tige

utile de 0cm contient un volume de 2!mm. Ce capillaire est relié " un réservoir de verre.

Calculez #

$. %e volume du réservoir.

2. %a masse de mercure " utiliser.

. %a sensibilité de l’appareil en mm par °C.

!. &uelle pourrait 'tre la résolution de l’appareil ( Cela induirait)il une graduation

aisée ( &ue proposeriez)vous comme graduation (

Données : densité du mercure " 0°C # d Hg * $+, - coeicient de dilatation apparente du

mercure dans le verre # α *$/,!00 - la distance entre deu graduations ne peut 'tre inérieure "

0+1 mm.

Exercice 2. Correction de la colonne émergented’un thermomètre

n thermomètre " mercure plonge partiellement dans un bain dont on veut déterminer la

température θ . &uand on l’enonce 3usqu’" la division n * $0 de la tige+ il indique θ * 41+00

°C+ et quand on l’enonce 3usqu’" la division n’ * ,0+ il indique θ ’ * 41+21°C.

$. &uel type d’erreur commet)on si l’on néglige le phénomène ( 5st)ce une erreur par déaut ou par ecès (

2. 6éduire de l’epérience la température θ du bain dans l’échelle de ce thermomètre

" mercure. %a température ambiant vaut # θ a * $1°C. 7n supposera que la colonne

émergente est " la température ambiante.

Exercice 3. Formule empirique de correction dela colonne émergente d’un thermomètre.


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%orsque pour un relevé de température " l’aide d’un thermomètre " liquide+ l’émergence est

importante+ la température lue doit 'tre corrigée " l’aide de la ormule suivante #

θc * θl 8 n α 9θl ) θe:

avec # θc # température corrigée. θl # température lue.

n # nombre de graduation émergentes.

α # coeicient de dilatation apparente du liquide thermométrique dans le verre. α *

$/,!00

€€€€€€€ θe # température moyenne de la colonne émergente+ estimée " la valeur

approchée suivante #

o; θa est la température ambiante.

6ans un laboratoire la température est de 20°C. 7n y mesure la température de deu mélanges

réactionnels avec des thermomètres " mercure identiques.


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$. 6éinir l’échelle aine centésimale associée en eprimant t en onction de a+ b+ c et θ .

2. 5primer l’écart ∆ * θ )t entre la température Celsius θ et la température t repérée sur le

thermomètre.

. @achant que θ * t " $10°C+ déterminer les températures t 1 et t 2 pour lesquelles ∆ passe par

un etremum.

Exercice 6. Thermomètre à résistance de platine

%’équation thermométrique d’un thermomètre " résistance de platine est+ entre 0°C et ,0°C+

de la orme

o; R désigne la résistance du il de platine " la température Celsius θ

7n donne a *2 Ω - b * >+$2.$0) Ω.°C)$ - c * )$+2.$0), Ω.°C)2

$. 5primer l’écart ∆ * θ )t entre la température centésimale linéaire t déinie par ce

thermomètre et la température légale Celsius θ + en onction de θ . ?pplication numérique

pour θ * >0°C.

2. 6éterminer " quelle température θ1 l’écart ∆ passe par une valeur maimale. 5n déduire

l’écart maimal.

Exercice 7. Comparaison de deux thermomètresà résistance de platine

7n considère deu ils de platine dont les résistances peuvent s’eprimer en onction de la

température θ , eprimée en degrés Celsius+ par les relations #

avec a * 2 Ω

b * >+$2.$0) Ω.°C)$

c * )$+2.$0), Ω.°C)2

et avec a’ * $1 Ω

b’ * 4+1.$0)2 Ω.°C)$

c’ * )+1.$0)1 Ω.°C)2


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En utilisant comme grandeur thermométrique la résistance du filde platine, on peut définir une échelle thermométrique linéairecentésimale t ou t’ !.Calculer, pour chaque thermomètre, l’écart t " θ! en fonction

de θ. #our quel température cet écart est"il maximal $En déduire l’écart t % t’ ! entre les températures affichées par cesdeux thermomètres à &'(C. Conclusion.

Exercice 8. Thermomètre à thermocouple.

$. %a .é.m. du couple plomb ) cobalt+ lorsqu’une des soudures est " 0°C+ vaut $+$$! mV "

10°C+ +=02 mV " $10°C et 4+!, mV " 210°C. Vériier que+ dans le domaine étudié 90°C+

210°C: cette .é.m. peut se mettre sous la orme #

et déterminer les coefficients a et b.

). *i le thermocouple n’a+ait été étalonné qu’à )&'(C, et enadmettant pour E une loi de +ariation linéaire en fonction de latempérature θ, à quelle température l’écart par rapport à la loiréelle serait"il maximal $ n pourra tracer les deux cour-es.

. /uelle serait alors l’erreur s0stématique commise sur lamesure de cette température $

Exercice 9. 1tude graphique d’un thermocouple

7n maintient " 0°C l’une des deu soudures d’un thermocouple+ et on porte l’autre soudure "

diérentes températures. 7n mesure la orce électromotrice E du thermocouple #

θ 9°C: 0 10 $00 200 !00 100

E 9mV: 0 !+1 > $2 > 0

$. Aracer la courbe E * ƒ9θ : et montrer que E est de la orme #

2. 7n veut utiliser cette .é.m. E pour déinir une échelle linéaire centésimale t .Aracer E * ƒ9t : sur le m'me graphe que E * ƒ9θ:.


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. 5primer t en onction de θ et tracer t * ƒ9θ:

!. 5primer l’écart 9t ) θ: en onction de θ et tracer la courbe correspondante. Conclusion (

Exercice 10.

Thermomètre à thermistance$. %a résistance d’une thermistance vaut +> B Ω " 24 + +$, B Ω " et 0+==! B Ω "

4 . Dontrer que l’on peut relier la résistance R " la température absolue T par la

ormule #

6éterminer les coeicients A et B.

2. 7n veut utiliser cette thermistance " 00 pour mesurer de très petites variations de

température. &uelle est la plus petite variation de température que l’on puisse mettre en

évidence+ sachant que l’on peut mesurer une variation relative de résistance de $0 )! (

Corrigé

Corrigé des exercices


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Exercice 2. Conception d’un thermomètre !i"uide

1 La grandeur thermométrique est le volume.

À θ0 = 0°C, le mercure occupe le volume V 0 qui n’est autre que levolume du réservoir.

À θ0 = 200°C, il occupe le volume V 0 3V o! 3V représente levolume de la colonne utile du capillaire "3V = 2# mm$ %.

&i est l’e'pression du volume en (onction de la

température, nous pouvons identi)er * ⇒

⇒ ⇒

+ * V 0 = -/ mm$

2 asse de mercure utiliser * m = ρ V = 10,## g

$ La sensiilité est dé)nie comme la variation de la grandeurthermométrique pour une variation de température

donnée *

3n utilisant l’une ou l’autre de ses relations, nous otenons * s =0,12 mm$4°C

# La section du capillaire vaut *

5our une élévation de température de 1°C, l’accroissement de

volume est ∆V 1 = 0,12 mm$ et le niveau augment d’une hauteur *

*i l’4il est capa-le de séparer deux graduations distantes de ',&

mm, cela correspond alors à une élé+ation de température de 25


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(C6 ce qui n’est pas très pratique ou usuel. n préférera graduerde ',&(C en ',&(C 7 la distance qui séparera deux graduationssera donc de ',8& mm.

Exercice 2. Correction de la colonne émergente d’un thermomètre

1 6out le thermom7tre n’est pas la température du ain. Le liquide en contactavec l’air amiant, plus (roid que le ain, est moins dilaté. 8e ce (ait, le niveaudans le thermom7tre est plus as que si la totalité du thermom7tre étaitimmergé. 9l s’agit donc d’une erreur systématique par défaut.

2 &oit N et N’ les graduations lues. 8ressons un taleau des deu' situations *

*ituation

omre de graduations immergées la température θ n = 10 n’ = 60

omre de graduations qui dépassent la

température θambiante N – n = 65N’ – n’ =

15,2

9nal0sons la première situation en détail. #our :& graduations à la

température θ , la dilatation aurait du;tre < :& × α × θ En fait elle n’est quede :& × α × θambiante=l 0 a donc une différence de dilatationde < :& × α × θ " θambiante!>a température corrigée doit donc s’exprimer par la somme de latempérature lue et de la correction à apporter <

"1%

3n raisonnant de la m:me (a;on pour la seconde situation, nous otenons *

"2%


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Comme le coe,$$°C

Exercice 3. Formule empirique de correction de la colonne émergente d’unthermomètre.

9l s’agit simplement de calculs numériques.5our la température lue de 10>°C, la valeur corrigée sera de 10>,##°C soit unecorrection de 0,##°C.5our la température lue de 2?/°C, la valeur corrigée sera de $0$,?1°C soit unecorrection de >,?1°C.Conclusion * l’erreur sstématique due la colonne émergente est d’autant plusimportante que le ain est température élevée.

Exercice 4. Résidus de dilatation

Les 100 °C correspondent désormais 10#°C. Chaque graduation corresponddésormais 1,0#°C "si l’on consid7re le phénom7ne comme linéaire%.5our une lecture de 2? graduations, la température correspondante sera donc de

θ = 2? × 1,0# = $0,1 °C

Exercice 5. Thermomètre à mercure

2" #ar définition d’une échelle centésimale

affine <

Comme, on peut

détailler <

et


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Cela permet d’o-tenir une expression

de t <

8’o!

2@ 9l e'iste donc une diAérence ∆ entre la température B vraie θ et la

température mesuréet

*

$@ 9l a un e'tremum si

3n se rappelant que * d"uv % = u dv v du , la dérivation aoutit *

d’o!

soit (a)

5our θ =1>0°C, ∆ = 0 * d’o! b = 2>0 c


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3n rempla;ant dans l’équation (a), on otient *

Cette équation a deu' racines * θ1 = 12-,#$ °C et θ 2 = $?,2# °C

Exercice 6. Thermomètre à résistance de platine

2" >’écart ∆?θ # t doit ;tre défini. #ar définition de l’échelle

centésimale affine < en prenant .

9+ec a ? $0, la résistance à '(C et

>a température θ de l’échelle centésimale s’exprime donc

par <

n peut dès lors

exprimer ∆ <

soit

5our t = /0°C, on trouve ∆ = 0,2#°C

2@ Decherche de l’écart ma'imal.ous recherchons quelle condition ⇒ 2ct @ 100c =

0 dEo! t max = >0°C

L’écart ma'imal est donc * ∆ma' = 0,$/°CConclusion, il ne (aut pas attendre d’un tel thermom7tre une grandesensiilité. L’e'ercice suivant montre que la sensiilité augmente

quand R0 est grand.


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Exercice 7. Comparaison de deux thermomètres à résistance de platine

Fen oui a rien G Ha (alloir chercher tout seul G

Exercice 8. Thermomètre à thermocouple.

1@ 8e l’e'pression on peut tirer .

À >0°C *

À 1>0°C *

&i l’on multiplie la premi7re relation par trois et que l’on soustrait les deu'

relations, nous otenons * d’o! a = 2,0#1×10@

2 mH4°CLa premi7re relation permet d’otenir b par sustitution * b = $,-22×10@> mH4°CI

Jn otient une relation de la (orme * E = 2,0#1×10@2 t $,-$$×10@> t².À 2>0°C, elle (ournit E250 = -,#$ mH comme indiqué dans l’énoncé. Larelation est donc valale.F * ous aurions pu eAectuer la régression linéaire avec t et E/t commevarialesK ce qui est srement plus rapide.

2@ 8ans ce cas, nous sommes amener poser E = a’ θ avec a’ = 2,?-#×10@2mH4°C

Jn pose

L’écart est ma'imal quand la dérivée de ∆ par rapport t est nulle *


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⇒ ⇒ +

*t =12>°C

L’écart ma'imal vaut alors ∆ = @1?,°C.

Exercice 9. 1tude graphique d’un thermocouple

5as de corrigé ici non plus

Exercice 10. Thermomètre à thermistance

1@ Comme dans l’e'ercice /, il convient de linéariser pour rechercher lescoe?1 M et A = ,>>-×10@> Ω soit

2@ La variation relative de résistance se note si l’on assimile la

petite variation ∆D la diAérentielle dR.


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Jr ⇒

5our T 0 = $00 M N nous otenons *

L’instrument utilisé autour de cette température sera tr7s sensile puisquecapale de distinguer des écarts de température de l’ordre du milli7me deOelvin.

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