1

RÉGIME SINUSOÏDAL - QUADRIPÔLES - corrigé des exercices A. Exercices de base I. Impédance itérative 1. • Pour que le courant débité par le générateur soit le même que sʼil était branché sur R, il faut et il

suffit que la résistance équivalente de lʼensemble soit R : r1 +

!

Rr2R+ r2

= R et donc : R =

!

r121+ 1+

4r2r1

"

# $ $

%

& ' ' .

• Dans ces conditions : U1 = R I1 et U0 = R I0 ; par suite :

!

P1P0

=

!

U1U0

"

# $

%

& '

2

=

!

R" r1R

#

$ %

&

' ( 2=

!

r2R+ r2

"

# $

%

& '

2

.

2. • Le raisonnement précédent peut sʼappliquer par récurrence, et il suffit de considérer un seul élément “LC” du type indiqué. Le calcul est analogue en remplaçant r1 par Z1 =

!

1jC"

et r2 par Z2 = r + jLω ; on

obtient ainsi : Z =

!

12jC"

1± 1# 4LC"2 + 4jrC"$ % & '

( ) .

• En constatant alors que le cas indiqué correspond à 4LCω2 = 1, on obtient après simplification :

Z =

!

1± 1+ j( ) 2rC"2jC"

. On constate alors quʼil y a deux solutions complexes, mais une seule a un argument

dans [-

!

"2

;

!

"2

], cʼest-à-dire une partie réelle positive (réalisable à partir de résistances, dʼinductances et de

capacités) : Z =

!

1+ 1+ j( ) 2rC"2jC"

=

!

r2C"

- j

!

1+ 2rC"2C"

.

• Si on réalise cette impédance par un circuit r0C0 en série, dʼimpédance : Z = r0 +

!

1jC0"

, cela cor-

respond à : r0 =

!

r2C"

= 35,4 Ω et C0 =

!

2Cr0r + r0

= 11,7 µF.

II. Adaptation d'impédances 1. • L'impédance complexe Z de l'assemblage en parallèle de Rʼ et C est telle que :

!

1Z

=

!

1" R + jCω

c'est-à-dire : Z =

!

" R 1+ j " R C#

. L'impédance totale de l'assemblage de R, L et Z en série est alors : Zʼ =

= R + jLω + Z. • Le courant débité par le générateur est par suite : I =

!

E" Z et la tension aux bornes de Z (tension

commune à Rʼ et C) est : U = Z I = E

!

Z" Z = E

!

" R R + " R . 1#LC$2( ) + j$. L + R " R C( )

.

• Compte tenu de U = RʼIʼ, la puissance (moyenne) dissipée dans Rʼ est alors :

P = RʼIʼ2 =

!

U2

" R =

!

U 2

" R =

!

E2 " R

R + " R . 1#LC$2( )( )2+$2. L + R " R C( )2

.

• La différentielle de P, pour R et Rʼ fixées, peut s'écrire sous la forme : dP =

!

"P"L

dL +

!

"P"C

dC ; la

valeur maximum est obtenue quand la différentielle est nulle, c'est-à-dire quand

!

"P"L

= 0 et

!

"P"C

= 0. Ces

conditions correspondent à : L - Rʼ2C.(1 - LCω2) = 0 et R2C - L.(1 - LCω2) = 0.

2

• En régime sinusoïdal (ω ≠ 0) et pour Rʼ ≥ R (l'égalité est acceptable) on obtient alors :

C =

!

" R #RR" R $

et L =

!

" R #R( )R$

.

◊ remarque : en régime continu (ω = 0) il semble que la solution soit : Rʼ = R =

!

LC

, mais elle ne

décrit pas correctement le problème (en courant continu, L et C sont sans effet ; la condition Rʼ = R est correcte, mais obtenue ici par hasard puisqu'elle ne peut découler logiquement que de la différentielle dP exprimée en fonction de dR et/ou dRʼ). 2. • L'impédance complexe Z de l'assemblage en parallèle de C et de l'ensemble RʼL est telle que :

!

1Z

=

=

!

1" R + jL#

+ jCω c'est-à-dire : Z =

!

" R + jL#1$LC#2( ) + j " R C#

. L'impédance totale de l'assemblage de R et Z en

série est alors : Zʼ = R + Z. • Le courant débité par le générateur est par suite : I =

!

E" Z et la tension aux bornes de Z (tension

commune à C et à l'ensemble RʼL) est : U = Z I = E

!

Z" Z = E

!

" R + jL#" R + R. 1$LC#2( ) + j L + R " R C( )#

.

• Le courant circulant dans Rʼ (et L) est alors : Iʼ =

!

U" R + jL#

et la tension aux bornes du résistor est :

Uʼ = RʼIʼ = E

!

" R " R + R. 1#LC$2( ) + j L + R " R C( )$

. La puissance (moyenne) dissipée dans Rʼ est par suite :

P = RʼIʼ2 =

!

" U 2

" R =

!

" U 2

" R =

!

E2 " R

" R + R. 1#LC$2( )( )2+ L + R " R C( )2$2

.

• Le calcul analogue à celui de la question (1) conduit aux conditions : L - R2C.(1 - LCω2) = 0 et Rʼ2C - L.(1 - LCω2) = 0. • En régime sinusoïdal (ω ≠ 0) et pour Rʼ ≤ R (l'égalité est acceptable) on obtient alors :

C =

!

R" # R # R

R$ e t L =

!

R" # R ( ) # R $

.

◊ remarque : en régime continu, il semble ici encore que la solution soit : Rʼ = R =

!

LC

, mais ici

encore elle ne décrit pas correctement le problème (il faut écrire dès le départ les équations avec ω = 0). • L'intérêt d'utiliser des éléments "réactifs" est quʼils peuvent adapter la phase de Z alors que les résistances ne peuvent adapter que le module Z. Lʼavantage de n'utiliser que des éléments "réactifs" est qu'ils ne consomment pas d'énergie par eux mêmes (ils la stockent et la restituent alternativement) ; par contre, ils conduisent tout de même à des pertes d'énergie par effet Joule dans R. III. Fonction de transfert 1. • Puisque is = 0, c'est le même courant qui circule dans R, r et C : ie =

!

ueR+ r +

1jC"

. La tension de

sortie, aux bornes de r et C, est alors : us = (r +

!

1jC"

) ie et la fonction de transfert (gain en tension) est donc

H =

!

usue

=

!

r +1jC"

R+ r +1jC"

.

3

2. • Pour exprimer H en fonction de ω0 =

!

1rC

, x =

!

""0

et α =

!

rr +R

on peut écrire : H =

!

1+ jx

1+ j x"

ce

qui peut aussi se mettre sous la forme : H =

!

" + x2 + j "#1( )x

". 1+x"

$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) )

.

3. • Ainsi : H(ω) = |H| =

!

1+ x2

1+x"

#

$ %

&

' ( 2 et φ = arg(H) = arctan

!

"#1( )x" + x2

$

% &

'

( ) .

• Le diagramme de Bode pour H(ω) est le suivant (en prenant par exemple α = 0,3) :

◊ remarque : ce diagramme de Bode présente un point d'inflexion : H(ω) =

!

" pour x =

!

" ; par ailleurs, la fréquence de coupure à -3 dB correspond à : xc =

!

"

1# 2"2 (inférieure à ω0 pour α = 0,3) et

n'existe que si α <

!

12

(H → α quand ω → ∞).

• Le diagramme de Bode pour φ(ω) est le suivant (en prenant par exemple α = 0,3) :

xm = 0,548-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00

x

! (")

4

• La fonction “arctan” étant strictement monotone, dans l'intervalle de valeurs considéré, l'extremum de φ(ω) (qui est un minimum) correspond à l'extremum de

!

x" + x2

. On obtient alors xm =

!

" , d'où on déduit :

φm = arctan

!

"#12 "

$

% & &

'

( ) ) .

IV. Combinaison de fonctions de transfert 1. • Puisque is = 0, c'est le même courant qui circule dans R, r et C : ie =

!

ueR+ r +

1jC"

. La tension de

sortie, aux bornes de r et C, est alors : us = (r +

!

1jC"

) ie et la fonction de transfert (gain en tension) est donc

H =

!

usue

=

!

r +1jC"

R+ r +1jC"

.

2. • On peut écrire H =

!

1+ jrC"1+ j r +R( )C"

=

!

H1H2

avec H1 = 1 + j

!

""1

et H2 = 1 + j

!

""2

.

3.a. • Pour simplifier on peut poser x =

!

""i

et Hi = 1 + jx ; les deux cas sont alors analogues.

• Ainsi : Hi(ω) =

!

Hi "( ) =

!

1+ x2 . Pour x ≈ 0 le montage est suiveur : Hi ≈ 1 et HidB ≈ 0 ; pour x ≈ ∞ le montage est dérivateur : Hi ≈ x et HidB ≈ 20 log(x). Les deux asymptotes se coupent pour x = 1.

3.b. • Par ailleurs : φi(ω) = arg(Hi(ω)) = arctan(x). Pour x ≈ 0 le montage est suiveur : φi ≈ 0 ; pour x ≈ ∞

le montage est dérivateur : φi ≈

!

"2

.

• Pour x ≈ 1, le développement limité : φi ≈ arctan(1 + ε) ≈ arctan(1) +

!

12

ε =

!

"4

+

!

12

ε correspon-

drait, en échelle linéaire, à une droite coupant les asymptotes pour ε = ±

!

"2

donc x = 1 ±

!

"2

. Toutefois,

puisqu'on représente les fréquences en échelle logarithmique, il faut considérer ici une droite coupant les asymptotes pour log(x) = ±

!

"2

log(e).

5

4.a. • On peut écrire : H(ω) =

!

H1H2

donc : HdB = 20 log(H1) - 20 log(H2) = H1dB - H2dB.

• Pour ω < ω2 on obtient H1dB ≈ H2dB ≈ 0 donc HdB ≈ 0 (dans l'approximation asymptotique).

• Pour ω2 < ω < ω1 on obtient H1dB ≈ 0 et H2dB ≈ 20 log(x2) avec x2 =

!

x1"

; ceci donne donc :

HdB ≈ 20 log(α) - 20 log(x1). • Pour ω1 < ω on obtient H1dB ≈ 20 log(x1) et H2dB ≈ 20 log(x2) donc : HdB ≈ 20 log(α). • Le diagramme de Bode simplifié pour H(ω) est donc le suivant :

◊ remarque : ce diagramme de Bode présente un point d'inflexion : H(ω) =

!

" pour x1 =

!

" ; par contre, l'approximation au niveau de ce point d'inflexion est assez médiocre si α est trop proche de 1, car la zone correspondante n'est pas dans les portions bien représentées par les asymptotes. 4.b. • De façon analogue φ = arg(H) = arg(H1) - arg(H2) = φ1 - φ2. • Pour log(x2) < -

!

"2

log(e) c'est-à-dire log(x1) < log(α) -

!

"2

log(e) on obtient φ1 ≈ φ2 ≈ 0 donc φ ≈ 0

(dans l'approximation asymptotique).

6

• Pour -

!

"2

log(e) < log(x1) < log(α) +

!

"2

log(e) les variations affines analogues de φ1 et φ2 donnent une

différence constante : φ ≈

!

12

ln(10) log(α) ≈ -0,60 rad.

• Pour

!

"2

log(e) < log(x1) on obtient φ1 ≈ φ2 ≈

!

"2

donc : φ ≈ 0.

• Dans les deux zones intermédiaires, le raccordement se fait de façon affine. • Le diagramme de Bode simplifié pour φ(ω) est donc le suivant :

4.c. • La courbe réelle présente des “arrondis” au niveau des raccordements du diagramme simplifié. L'extremum de φ(ω) (qui est un minimum) correspond par symétrie au milieu de l'intervalle “minimum” repré-senté ici : log(xm) =

!

12

[log(α) + log(1)] donc xm =

!

" .

• D'après ce qui précède, le minimum est : φm ≈

!

12

ln(α) = ln(xm) ; compte tenu des approximations,

ce n'est a priori qu'un ordre de grandeur. V. Circuit “RLC” et fonction de transfert 1. • Puisque is = 0, c'est le même courant qui circule dans R, L et C : ie =

!

ue

R+ j L"# 1C"

$

% &

'

( )

. La tension

de sortie, aux bornes de R, est alors : us = Rie et la fonction de transfert (gain en tension) est par consé-

quent : H =

!

usue

=

!

R

R+ j L"# 1C"

$

% &

'

( )

.

2. • En exprimant H en fonction de ω0 =

!

1LC

, x =

!

""0

et Q =

!

L"0R

=

!

1RC"0

on obtient :

H =

!

1

1+ jQ x " 1x# $ %

& ' (

.

• On en déduit : H(ω) = │H│ =

!

1

1+Q 2 x " 1x# $ %

& ' ( 2

et φ = arg(H) = -arctan

!

Q x " 1x

# $ %

& ' (

#

$ %

&

' ( .

7

• Le diagramme de Bode pour H(ω) est le suivant pour Q = 10 (résonance aiguë) :

• Le diagramme est le suivant pour Q = 0,5 (résonance large) :

• On peut écrire : GdB = 20

!

log H "( )H "0( )

#

$ %

&

' ( , et en particulier : GdB ≈ 20 log(

!

xQ ) pour ω ≪ ω0 ; GdB ≈

≈ 20 log(

!

1Q x

) pour ω ≫ ω0.

• La bande passante à -3 dB en puissance est limitée par ω tel que H(ω) =

!

H "0( )2

=

!

12

, c'est-à-dire

ω2 ±

!

"0Q - ω0

2 = 0. Les solutions positives sont :

ω1 =

!

"02Q

!

1+ 4Q 2 "1# $

% & et ω2 =

!

"02Q

!

1+ 4Q 2 +1" #

$ % ;

la bande passante est donc : Δω = ω2 - ω1 =

!

"0Q .

8

• Le diagramme de Bode pour φ(ω) est le suivant (en prenant pour exemples Q = 10 et Q = 0,5) :

VI. Fonctions de transfert 1. • Lʼimpédance complexe équivalente à l'ensemble de C et Rc peut sʼécrire :

Z1 =

!

1

jC" +1Rc

=

!

Rc1+ jRcC"

.

• D'après le principe du pont diviseur de tension :

Hu =

!

usue

=

!

Z1R + Z1

=

!

Rc

R. 1+ jRcC"( ) +Rc.

2. • D'après le principe du pont diviseur de courant :

Hi =

!

isie

=

!

GcY1

=

!

Z1Rc

=

!

11+ jRcC"

.

3. • Le gain en puissance moyenne peut s'écrire :

HP =

!

PsPe

=

!

UsIs cos "s( )UeIe cos "e( ) = Hu Hi

!

cos "s( )cos "e( ) .

• Par ailleurs :

Hu =

!

Hu =

!

Rc

R +Rc( )2 + RRcC"( )2 ; Hi =

!

Hi =

!

1

1+ RcC"( )2 ;

us = Rc is ; cos(ϕs) = cos(arg(Rc)) = 1 ;

ue = (R + Z1) ie ; ϕe = arg(R + Z1) = arg

!

R. 1+ jRcC"( ) +Rc. 1# jRcC"( )1+ RcC"( )2

$

% & &

'

( ) )

;

cos(ϕs) = cos(arg

!

R +Rc + jRcC". R #Rc( )( )) =

!

R +Rc

R +Rc( )2 + RcC"( )2. R #Rc( )2.

• Finalement : HP =

!

RcR +Rc

R +Rc( )2 + RcC"( )2. R #Rc( )2

R +Rc( )2 + RRcC"( )2 1+ RcC"( )2.

9

VII. Filtre et fonction de transfert 1. • Lʼimpédance complexe équivalente peut sʼécrire :

Ze = jLω +

!

1

jC"+1

Zc + jL"

= jLω +

!

Zc + jL"1+ jC". Zc + jL"( )

.

2. • La condition : Zi = jLω +

!

1

jC"+1

Zi + jL"

correspond à : Zi2 =

!

2LC

- L2ω2 (valeur réelle).

• On constate que Zi2 = 0 pour ω = ω1 =

!

2LC

. De plus, on obtient ainsi : Zi2 > 0 pour ω < ω1, ce

qui correspond à une impédance Zi réelle (purement résistive) ; on obtient de même : Zi2 < 0 pour ω > ω1,

ce qui correspond à une impédance Zi imaginaire (purement réactive).

◊ remarque : on peut écrire ainsi : Zi = L

!

"12 #"2 .

3. • La loi des mailles donne : (jLω + Zc) is =

!

ie " isjC#

dʼoù on tire : ie = is.[1 + jCω.(jLω + Zc)]. La fonction

de transfert est : H(ω) =

!

usue

=

!

ZcisZeie

=

!

ZcZc. 1"LC#

2( ) + jL#. 2 "LC#2( ).

4. • Si on ajuste Zc = Zi(ω) = L

!

"12 #"2 = Ze on obtient : H(ω) =

!

1

1"LC#2 + jLC# #12 "#2

.

• En particulier, pour ω < ω1, on obtient :

H(ω) =

!

1

1"LC#2( )2 +L2C2#2. #12 "#2( )

= 1 ;

φ(ω) = - arctan

!

" "12 #"2

"02 #"2

$

%

& &

'

(

) ) avec ω0 =

!

1LC

.

• De même, pour ω > ω1 : H(ω) =

!

"1

1"LC#2 "LC# #2 "#12

et φ(ω) = π (H(ω) réel mais négatif).

• Ceci peut être résumé par les représentations graphiques suivantes :

10

B. Exercice d'approfondissement VIII. Diode tunnel ; auto-oscillation et amplification 1. • Dʼaprès le schéma indiqué, la tension aux bornes de la diode peut sʼécrire : UAB = E - R I ; le “point de fonctionnement” sur le graphique correspond donc à lʼintersection de la courbe caractéristique avec la droite dʼéquation : I =

!

E"UR

.

• Le graphique montre ainsi que le point de fonctionnement est au voisinage du point indiqué sur la caractéristique : U1 = 200 mV et I1 = 0,5 mA ; compte tenu de la pente indiquée sur le graphique, on peut alors obtenir le résultat par un calcul algébrique, en assimilant la portion “centrale” de la caractéristique avec la droite dʼéquation : UAB = U1 - ρ.(I - I1) où la résistance ρ =150 Ω est l'inverse de la pente (conductance) On obtient ainsi le point dʼintersection pour : U0 = U1 = 200 mV et I0 = I1 = 0,5 A. 2. • Soumis à une f.e.m. E = E0+e ≈ E0 le circuit est parcouru par un courant I = I0+i ≈ I0 et la tension aux bornes de la diode est donc : U = E - RI = U0 + (e - Ri) ≈ U0. Or, au voisinage de ce point de fonction-nement, la caractéristique peut être assimilée à la droite dʼéquation : U = U0 - ρ.(I - I0) où ρ =150 Ω ; la tension variable ajoutée de ce fait à U0 est donc : U - U0 = -ρ i, ce qui est caractéristique dʼune résistance négative -ρ. ◊ remarque : il est clair ici que le signe négatif ne provient pas dʼun choix arbitraire du sens de mesure de la tension (elle est mesurée dans le même sens que celui qui donnerait une résistance positive pour un résistor) ; le signe négatif est associé à la pente négative de la caractéristique (sur la portion considérée). 3. • Le montage peut ainsi être représenté (pour le régime variable) par le schéma suivant :

• On obtient dans ces conditions : u = R i et e = (R-ρ) i donc : A =

!

ue

=

!

RR" #

.

• Si la résistance R est donnée, la seule façon de modifier A est de changer ρ. Si la diode tunnel est donnée, on peut modifier ρ en utilisant un autre point de fonctionnement sur la caractéristique, cʼest-à-dire en imposant E0 différent (et donc U0 et Ι0 différents) pour se placer en un point de la caractéristique dont la pente est différente.

11

4. • On obtient dans ces conditions : u = R i et e = [R + jLω -

!

"1# j"C$

] i et par conséquent :

A =

!

ue

=

!

R

R+ jL"# $1# j$C"

=

!

R. 1" j#C$( )R " #. 1"LC$2( ) + j$. L " #RC( )

.

• Lʼargument de A correspond au déphasage de u par rapport à e : A = A eiφ =

!

u.ej " #

e.ej " " # correspond à

φ = φʼ - φ”. 5. • Le module A(ω) est infini si et seulement si le dénominateur est nul, cʼest-à-dire : R - ρ(1 - LCω2) = 0 et L - ρRC = 0. Ceci donne : Rc =

!

L"C

et ωc =

!

"02 # $2 avec ω0 =

!

1LC

(pulsation propre du circuit

LC) et α = -

!

1"C

(inverse de la constante de temps caractéristique de “lʼamortissement” par le circuit ρC,

dʼailleurs identique, au signe près,dans ces conditions, à la constante de temps du circuit RcL). ◊ remarque : ceci suppose |α| < ω0 (amortissement relativement faible). • En fait, dans ces conditions, le circuit ρC ne réalise par un “amortissement” mais une amplification, et le gain obtenu est infini car lʼamortissement causé par RcL est exactement compensé par lʼamplification causée par ρC. Par suite, le circuit total reçoit de lʼénergie (fournie par le générateur) qui nʼest pas dissipée, et lʼaccumulation de cette énergie fait tendre lʼamplitude du signal vers lʼinfini. Dans la mesure où les calculs précédents ne considèrent que le régime sinusoïdal asymptotique (après “amortissement” du régime transi-toire), ce régime asymptotique correspond forcément à une amplitude infinie. ◊ remarque : si on changeait R pour lui donner la valeur Rc il faudrait aussi changer E0 si on voulait conserver le même point de fonctionnement (dʼoù découle ρ).

6. • On peut écrire : A2 =

!

R2. 1+ "C#( )2( )R $ ". 1$LC#2( )( )2 +#2. L $ "RC( )2

.

• Pour ω → 0 on peut considérer ω ≪ │α│ =

!

1"C

= 1,33.109 s-1 ce qui impose ω ≪ ω0 =

!

1LC

=

= 1,83.1010 s-1 ; on peut donc écrire : A2 ≈

!

R2

R " #( )2 +$2. L " #RC( )2.

• En particulier, tant que ω nʼest pas trop grand, on obtient : │A│ ≈ │A(0)│ =

!

RR " #

= 29 > 1 ; cette

valeur est dʼailleurs la valeur maximum │A│max. ◊ remarque : il est normal de retrouver ici lʼexpression obtenue en négligeant L et C, puisquʼà faible fréquence lʼimpédance de L est négligeable, et que celle de C est quasi-infinie (imposant ainsi le passage du courant dans -ρ). • Compte tenu du domaine de validité de lʼapproximation précédente (indiquée en pointillés sur le graphique ci-après), la bande passante peut être calculée avec lʼexpression simplifiée. • La limite (supérieure) de la bande passante correspond à : (R - ρ)2 + ω1

2.(L - ρRC)2 = 2(R - ρ)2

cʼest-à-dire : Δω = ω1 =

!

R " #

L "#RC = 46,2.106 rad.s-1.

12