DES FRACTIONS AUX DÉCIMAUX

Animation pédagogique

Circonscription de Valenciennes –Bruay

LES ENJEUX DIDACTIQUES

LA TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE CONSTITUE-T-ELLE LA BASE DE TOUTES LES DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES?

Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusqu’à la 5e :

Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? *

* Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de l’éducation

Classe CM1 CM2 6e 5e

Réussite 22% 30% 27% 29%

Classe CM1 CM2 6e 5e

Réussite 22% 30% 27% 29%

Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1.

Classe CM1 CM2 6e 5e

Réussite 22% 30% 27% 29%

Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1.

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent.

Classe CM1 CM2 6e 5e

Réussite 22% 30% 27% 29%

Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1.

2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent.

L’enjeu des pratiques pédagogiques des maîtres de CM1 concernant les décimaux est

donc crucial !

DONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES

Proposer des activités qui permettent de prendre conscience que:

- les fractions et les nombres décimaux permettent de pallier à l’insuffisance des nombres entiers (pour la résolution de problèmes de mesures ou de partage).

- certains raisonnements ou certaines procédures correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus l’être avec les nombres décimaux et les fractions.

- l’ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de celui des fractions (ensemble des fractions décimales).

UN APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS…

- Il n’existe aucun nombre entre 0 et 1.

- Plus l’écriture d’un nombre est grande, plus sa valeur est grande.

- Un nombre décimal, c’est un couple de deux entiers, séparés par une virgule.

- Le produit de deux nombres est toujours supérieur à chaque facteur du produit.

- Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, c’est écrire 0, 00, 000 à droite du nombre.

… OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES

- La façon courante de lire les nombres décimaux: 7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-

cinq ».

- Le fait d’assimiler « fraction » et « quantité inférieure à l’unité »

- Le fait que l’idée de fractionnement disparaisse derrière des mesures entières:

7,35€ compris comme 7 euros 35 centimes.

- Certains moyens mnémotechniques employés par les enseignants.

LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE

On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien avec les mesures de grandeurs:

- Les prix- Les distances- Les masses- Les contenances

Communication massive de données (intéressantes d’un point de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux….

MAIS…

… des changements majeurs interviennent depuis le début du XXe siècle:

- Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe)

- Relégation des fractions usuelles au domaine de l’oral (demi, tiers, quart).

QUELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT D’ABORDER LES FRACTIONS

Compétences de fin de CE1:« Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 »

« Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 »

Compétences de CE2:« Connaître et utiliser des expressions telles que double,

moitié, triple, quart d’un nombre entier »

« Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres d’usage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… »

Ces compétences sont indispensables. Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.

LES FRACTIONS

PETITS RAPPELS Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire d’un

nombre rationnel.

Le nombre rationnel est l’unique solution de l’équation:

x x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul)

Le nombre rationnel peut être considéré comme le quotient des deux nombres entiers a et b .

a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les sépare est le trait de fraction.

Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10.

Les nombres rationnels qui possèdent une écriture fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.

Passage des nombres entiers aux fractions = saut conceptuel.

Nécessite d’y consacrer du temps.

Conséquence sur les programmations:

Les apprentissages sur les fractions doivent commencer très tôt dans l’année

de CM1.

LES PROGRAMMESCE2 CM1 CM2

Nombres et calcul

Les nombres entiers jusqu’au millionConnaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million.Comparer, ranger, encadrer ces nombres.Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d’unnombre entier.Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant :entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60.

Les nombres entiers jusqu’au milliardConnaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard.Comparer, ranger, encadrer ces nombres.La notion de multiple : reconnaître les multiples desnombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50.

Les nombres entiers

FractionsNommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

FractionsEncadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

L’INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM1

Elles sont introduites le plus tôt possible pour pallier l’insuffisance des nombres entiers dans des cas

- de partages - de codage de mesures de

grandeurs

L’approche des fractions est liée à des situations de référence concrètes.

INTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES

Il s’agit ici d’un partage équitable, chaque part a la même valeur.

L’écriture fractionnaire apparaît ici comme un codage de ces partages.

Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.

2 procédures possibles

Partage de la totalité des trois tartelettes entre les deux personnes:

On obtient une tartelette et demie.

1T + 1/2T

Partage de chaque tartelette en 2:

On obtient trois demi-tartelettes.

1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T

3 x 1/2T

Soit 1T + 1/2TNotion de moitié

appliquée à chaque objet

Notion de moitié appliquée à la totalité

de l’ensemble des objets.

INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE CODAGE DE MESURES

unité

……

……

……

INTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE CODAGE DE MESURES

unité

……

……

……

A

B

C

A = 1/2uC = 1/4uB = 1u + 1/2u 1u + 1/4u + 1/4u…

VARIABLES DIDACTIQUES Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela

oblige à explorer d’autres stratégies (le guide-âne, la commensuration).

Varier les approches en s’appuyant sur des formes et des grandeurs différentes: segments, aires de rectangles, de disques…

Travailler sur la droite graduée - pour donner à la fraction son statut de

nombre - pour visualiser le rangement et la

comparaison.

Les allers et retours entre bande de papier et segments de droite aident à la compréhension qu’une fraction peut désigner une mesure de longueur ou indiquer une graduation.

La variété de représentation des fractions courantes viendra enrichir les traces écrites qui vont constituer des référents individuels ou collectifs: droite graduées, fiches outils…

QUELQUES OUTILS

L’usage des droites graduées doit être poursuivi tout au long de la scolarité primaire.

Les « fiches- nombres », à insérer dans les cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de référence)

0,1 C’est un dixième. C’est la moitié de 1.

0,5

0,500

1:10

+

Indique une fraction que l’on peut écrire en face de graduation en gras.

U

Unité

…… …………

Ecris une fraction qui correspond à la mesure de la zone verte.

LES FRACTIONS DÉCIMALES

Le dénominateur d’une fraction décimale est égal à

10, 100, 1000.

LES NOMBRES DÉCIMAUX

D’UN POINT DE VUE HISTORIQUE Premières évocation au Xe siècle dans un traité de

mathématique arabe.

En Europe, apparition des nombres décimaux au XVIe siècle, dans l’ouvrage La Disme (Simon Stévin) : notation destinée à faciliter les procédures de calcul en les ramenant à celles utilisées pour les entiers.

L’invention du système métrique au XVIIIe siècle contribuera à la diffusion des nombres décimaux et leur écriture décimale par le fait que les rapport entre les unités de mesure d’une même grandeur repose sur le fractionnement décimal.

L’usage du système métrique est rendu obligatoire en 1837. Les conversions d’unités utiliseront désormais le fractionnement décimal.

PETITS RAPPELS 3,54 est l’écriture décimale du nombre 354/100.

354/100 = 177/50 donc 3,54 est l’écriture décimale du nombre 177/50.

3 est la partie entière , 54 la partie décimale.

Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est finie.

1/2 est un nombre décimal car : = 5/10 (fraction décimale) = 0,5 (écriture décimale finie)

22/7 n’est pas un nombre rationnel décimal car :il ne possède pas d’écriture fractionnaire décimaleson écriture à virgule à une partie décimale infinie 3,1428571428571428…

Les nombres entiers naturels sont des nombres décimaux.

Entre deux nombres décimaux, il est toujours possible d’intercaler un autre nombre décimal.

Les nombres décimaux permettent d’approcher d’aussi près que l’on veut un nombre réel quelconque.

CE QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES L’oralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie

décimale. « zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers

D’où : erreurs de calcul, de classement…

Les critères de comparaison valables pour les nombres entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux.

L’intercalation toujours possible d’un troisième nombre décimal entre deux autres.

Les notions de nombres consécutifs, successeur, prédécesseur n’existent que pour les entiers.

Pour dépasser ces obstacles: - Oralisation correcte- Passage par les écritures fractionnaires- Recours à la droite graduée.

La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2 stratégies différentes.

- Partie entière : comparaison des nombres entiers.- Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la

virgule (cf procédé lexicographique des dictionnaires)

Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers: 3,7 > 3,54 car

3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354

Le recours à la droite graduée permet de visualiser le positionnement de l’un par rapport à l’autre.

ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur l’expression en centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque de renforcer les confusions de l’oralisation abusive (prendre la partie décimale comme des nombres entiers).

LES PROGRAMMES

CM1 CM2

Nombres

et calcu

l

Fractions Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire :demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de gradeurs.

Fractions Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème). Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée,. les comparer, les ranger,. les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,. passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.

Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème). Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,. les comparer, les ranger,. produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001... Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

LES PROGRAMMES

CM1 CM2

Nombres

et calcu

l

CalculCalculer mentalement

Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat.

Effectuer un calcul posé Addition et soustraction de deux nombres décimaux. Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier. Division euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux entiers. Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs.

Problèmes Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes.

CalculCalculer mentalement

Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000.

Effectuer un calcul posé Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. Division d’un nombre décimal par un nombre entier. Utiliser sa calculatrice à bon escient.

Problèmes Résoudre des problèmes de plusen plus complexes.

Les compétences sont nombreuses dès le CM1.

Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire concernant les fractions courantes et décimales.

On n’est pas obligé d’attendre une totale maîtrise des fractions pour aborder les nombres décimaux.

Le calcul mental constitue un enjeu important.

Cette partie du programme doit faire l’objet d’un travail croisé avec les autres champs mathématiques (grandeurs et mesures, organisation et gestion de données) mais aussi avec les sciences, l’histoire, la géographie, l’EPS…Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux

calculs qui s’y rapportent.

INTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX

Pour introduire les nombres décimaux, l’écriture fractionnaire est à privilégier car elle présente le nombre décimal comme un nombre.

L’écriture décimale introduite par les mesures pourrait apparaître comme le résultat d’un recodage dû à un changement d’unité:

234c = 2,34€

En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b peut être vu comme « abe », on va utiliser la décomposition canonique et le tableau de numération pour comprendre le nouveau codage.

6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/100 + 7/1000

u 1/10 1/100 1/1000

6 5 3 7

La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale pour obtenir l’écriture 6,537.

L’utilisation du tableau va permettre de faire apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001

qui seront utilisés dans les décompositions.

Unités Dixièmes Centièmes Millièmes

1 1/10 1/100 1/1000

0 1

0 0 1

0 0 0 1

,,,,

6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000) 6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001)

,

Les décompositions additives usuelles sont à systématiser.

IMPORTANCE DU CALCUL MENTAL Revisiter les tables de multiplication avec les

nombres décimaux, avec une oralisation explicite pour aider à la compréhension et au renforcement du sens:

0,5 x 7 c’est « cinq dixièmes multiplié par sept »

Le résultat est « trente-cinq dixièmes ». C’est donc « trois unités et cinq dixièmes »

que l’on écrit 3,5. Recherche des compléments à l’unité qui

renvoie à des pratiques sociales telles que rendre la monnaie…

MULTIPLICATION ET DIVISION PAR UNE PUISSANCE DE DIX

La pratique courante veut que l’on décale la virgule vers la droite ou vers la gauche.

La compréhension du mécanisme s’acquiert en passant par les fractions décimales.

La justification utilise l’aspect « abe » de la notation fractionnaire et le tableau de numération.

100 000 10 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1000

Centaines de milliers

Dizainesde milliers

Unitésde milliers

Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes

1 3 4 6 5

1 3 4 6 5

1 3 4 6 5 0

1 3 4 6 5

,

134,65 = 134 + 6/10 + 5/100 ; c’est 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes.

Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes soit 5 unités car 100 centièmes = 1 donc le nombre 13 465 Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche.

( La virgule ne s’est pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !)

Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers)

Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes.

Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.

ADDITION ET SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX

Les techniques opératoires peuvent dans un premier temps prendre appui sur le tableau de numération.

100 000 10 000 1 000 100 10 1 1/10 1/100 1/1000

Centaines de milliers

Dizainesde milliers

Unitésde milliers

Centaines

1

Dizaines

1

Unités

1

Dixièmes Centièmes Millièmes

2 4 6 5 6

5 7 8

3 0 4 3 6

,

On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes et « 13 dixièmes, c’est 1 unité et 3 dixièmes ».

MULTIPLICATIONUn nombre décimal par un nombre entier

Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier:

2,75 x 31 revient à faire 275 x 31

puis à diviser par 100 le résultat final

pour compenser la multiplication par 100

qui a transformé 2,75 en 275.

MULTIPLICATIONUn nombre décimal par un nombre décimal

On va utiliser les équivalences d’écriture.

2,5 x 3,4 c’est (25 x 1/10) x (34 x 1/10)

25 x 1/10 x 34 x 1/10

25 x 34 x 1/10 x 1/10

(25 x 34) x (1/10 x 1/10)

850 x 1/100

8,50

147,28 14 728 x 1/100

X 3,5 35 x 1/10

14 728 x 35 x 1/1000 on divise un entier par 1 000,

il y aura donc 3 chiffres

derrière la virgule.

LA DIVISION

Division à quotient décimal de 2 nombres entiers

La technique opératoire de la division peut prendre appui sur le tableau de numération.

22 : 7100 10 1 1/10 1/100 1/1000

22

21

1 07

32

08

2

, 7

3,14