NOMBRES AU C3

Entiers, décimaux, fractions…

SUR LES ENJEUX D’APPRENTISSAGE

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme)

L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme)

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

DEUX PRÉCISIONS DE VOCABULAIRE

Lu dans un manuel : 2 , 65

partie entière partie décimale

La virgule sépare la partie entière de la partie décimale

Formulation correcte :partie entière : 2partie décimale : 0,65 ou encore 65 centièmes2,65 est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

Un nombre décimal est un nombre écrit avec une virgule.

32 2/5 14/10 0,15 3,14 sont des nombres décimaux

2/3 0,6666… π ne sont pas des nombres décimaux

Formulation correcte : Un nombre décimal est un nombre qui peut être

écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule

Rola

nd C

harn

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01

2

LES LIMITES DE L’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES

Enseigner des règles ou aider à comprendre ?

L’exemple de la multiplication par 10, 100…

MULTIPLIER PAR 100

Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite

24 x 100 = 2 400

Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite

2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la

virgule)

4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et apparition de 0 !)

Rola

nd C

harn

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01

2

RÉSULTATS ET DIFFICULTÉS

2,3 x 10 (évaluation 6e) 23 64 % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 %

La virgule "frontière" et "écrire un 0" 230 5 %

La virgule "absente" et "écrire un 0"

35,2 x 100 (évaluation 6e) 3 520 47 % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 %

La virgule "frontière" 352 15 %

Que faire quand la virgule "disparaît" ?

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

COMMENT JUSTIFIER QUE 20,45 X 10 = 204,5 ?OU COMMENT TROUVER LA RÉPONSE SANS CONNAÎTRE DE

RÈGLE ?

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes

Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient :

20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes

Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…

Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)

Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION)

pour 20,45 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

2

0

0

4

4

5

5 Rola

nd C

harn

ay - 2

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2

,

La virgule n’a pas changé de place !

EN REALITE…

Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande"

Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche)

C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux !

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION)

pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

3

2

0

3

7

0

0

4

7

0

0

4

4

5

4

5 Rola

nd C

harn

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01

2

,

AVEC D’AUTRES SYSTÈMES DE NUMÉRATION

Romain

Multiplier XXXVII par X (37 par 10)

CCCLXX (370)

Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur dix fois supérieure.

Rola

nd C

harn

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01

2

AVEC DU MATÉRIELEXEMPLE DE 0,12 X 10

Rola

nd C

harn

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01

2

1

0,12

1,2

TACHES, TECHNIQUES ET JUSTIFICATIONS

Enseignement centré sur…

Rola

nd C

harn

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01

2

MECANISME

COMPREHENSION

Roland Charnay - 2012

DES DIFFICULTÉS QUI PERSISTENT !DES DIFFICULTÉS QUI PERSISTENT !(EXTRAIT DE LA THÈSE DE JEANNE BOLON, 1996)

Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche :

6,9 ou 7,08

CM1 CM2 6e 5e

22 % 30 % 27 % 29 %

Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes c'est moins que 1 dixième !

Roland Charnay - 2012

QUELQUES DIFFICULTÉS POUR LES NOMBRES QUELQUES DIFFICULTÉS POUR LES NOMBRES DÉCIMAUXDÉCIMAUX

Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6

Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième…

Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes

Calcul 2,3 + 0,8 = 2,11 (2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11)

2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24)

Sens de certaines opérations Prix de 0,85 kg de gruyère à 17 € le kg division

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2Interprétation des erreurs et origine possibleInterprétation des erreurs et origine possible

La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants"

Signification "spatiale" et non "conceptuelle"

234,567

dizaine dixième

Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers)

Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes

Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c

Confusion fractions / décimaux– 96 + 2/100 = 96,200 pour 21 % des élèves (2005)– 80,4 = 80/4 pour 17 % des élèves (2005)

LA NUMERATION DES ENTIERS ET DES DECIMAUX

Quelques repères pour la mise en place

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

1ÈRE CONNAISSANCE FONDAMENTALELa valeur des chiffres par rapport à l’unité

Valeur de chaque chiffre par rapport à l’unité, en fonction du rang qu’il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : 100 fois l’unité Centième : 100 fois moins que l'unité

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

35,436

3 fois« dix

unités »

3 fois« la part de

l’unité partagée en cent »

35 436

3 fois« dix mille unités »

3 fois« dix

unités »

2E CONNAISSANCE FONDAMENTALELa relation de valeur entre rangs voisins

1 centaine = 10 dizaines 1 dizaine = 1 centaine divisée par

10 1 dixième = 10 centièmes 1 centième = 1 dixième divisé par

10

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

235,436

5 fois« une

dizaine partagée en 10 »

3 fois« dix

centièmes »

Partage en 10

Groupement

par 10

35 436

5 fois« une

dizaine de milliers

partagée en 10 »

3 fois« dix

unités »

Partage en 10

Groupement par 10

3E CONNAISSANCE FONDAMENTALELa relation de valeur entre rangs non voisins

1 millier = 100 dizaines 1 dizaine = 1 millier divisé par 100 1 dizaine = 100 dixièmes 1 dixième = 1 dizaine divisée par

100

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

35,436

Partage en 100

Groupement par 1 000

Ces connaissances sont évocables dans trois registres de langage à mettre en

relation

Registre verbal

Registre symbolique : virgule, fraction

Registre des représentations matérielles (longueurs, aires…)

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

1

174 cent soixante-quatorze

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

1,74Un, sept dixièmes et quatre centièmes

Un et soixante-quatorze centièmes

1

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

DES ENTIERS AUX DÉCIMAUX…

Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux fonctionne comme le système d’écriture des nombres entiers Le rang détermine la valeur Les rapports de valeur entre rangs sont identiques

(fondés sur des groupements par dix ou des partages en dix) La virgule sert à indiquer le rang de l’unité

Mais certaines propriétés sont différentes En particulier, l’intercalation toujours possible pour les

nombres décimaux.

Conclusion Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux

ne peut être compris que si celui des entiers l’est en profondeur.

Rola

nd C

harn

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2

COMPRENDRE LES GRANDS NOMBRES

Base dix et sur-base mille 24 568 405 012 1 milliard = 1 000 millions 1 million = 1 000 milliers

Cette structure détermine la lecture24 568 405 012

milliards millions mille

Avoir des ordres de grandeur Lille-Marseille Populations : française, chinoise,

mondiale

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

Les fractions à l’école primaire…

… pour aider à comprendre

les nombres décimaux

Rola

nd C

harn

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01

2

Fractions de l’école au Fractions de l’école au collègecollège

Exprimer des mesures, à partir du partage de l'unité– 5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité

École primaire

Cette signification correspond à la lecture cinq quarts

1 ou l’unité

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

Fractions de l’école au Fractions de l’école au collègecollège

Expression du partage d'une grandeur– 5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par

4)

Solution de 4x = 5

Expression de rapports

5 pour 4

20 pour 100

Collège

TROIS MOMENTS CLÉS POUR L’APPRENTISSAGE DES FRACTIONS

SENS ET NÉCESSITÉ DES FRACTIONS

D'APRÈS CAP MATHS CM1

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

A : 1u + ½ u

B : 1u + 1/4 u

C : ½ u

D : 2 u

E : ¼ u

F : 3/4 u

SynthèsePour mesurer, il faut parfois utiliser des parts de

l'unité

½ u, c’est une part de l’unité partagée en 2

¾ u, c’est 3 parts de l’unité partagée en 4

Comparaison des fractions : égalité, inégalité

2u + 1/2 u 1u + 3/2 u 5/2 u 7/4 uR

ola

nd C

harn

ay - 2

01

2

1u + 3/2 u, c’est donc : 2 demi-unités plus 3

demi-unités, c’est 5 demi-unités, donc 5/2 u

Appui sur le langage verbal Appui sur le « matériel »

1 unité, c’est 2 demi-unités

1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ?Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement…

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

Placer 11/2 :

- Impossible de compter 11 demis à partir de 0

- Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis

- Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi après 5

Décimaux Décimaux à l’école primaireà l’école primaire

Quelques moments clés pour

l’apprentissage

D'ABORD LES FRACTIONS DÉCIMALES

Des fractions comme les autres… qui utilisent les "bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100…

Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des millièmes)

Deux points importants : Egalités, comme 7/10 = 70/100 Décomposition

234/10 = 23 + 4/10 (partie entière) 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des

chiffres) 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem)

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

LES NOMBRES DÉCIMAUX une autre écriture des fractions décimales

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2

une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmesune signification : image mentale

1

Roland Charnay - 2012

RAISONNER POUR COMPARER

Matériel disponible- des unités- des dixièmes- des centièmes

Roland Charnay - 2012

COMPARAISON DE 2,12 ET 2,7COMPARAISON DE 2,12 ET 2,7

Trois phases

Réponse individuelle, avec explication

Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2

Confrontation de 2 groupes de 2

Débat collectif

Rola

nd C

harn

ay - 2

01

2Exemples d'arguments

2,12 > 2,7 parce que 12 > 7

2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas !)

2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes)

2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième

2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100

2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c’est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c’est seulement 12 centièmes

2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de plus que dans 2,12

FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES

NOMBRES ENTIERS REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES

Pourquoi 2 560 > 987 ? Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités

En effet 2 milliers = 2 000 unités

Pourquoi 856 > 839 ? Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités

En effet 5 dizaines = 50 unités

Pourquoi 7,8 > 7,56 ? Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56

centièmes En effet 8 dixièmes = 80 centièmes

Roland Charnay - 2012

D’OÙ UNE MÊME RÈGLE POSSIBLE POUR COMPARER

DES NOMBRES ENTIERS OU DÉCIMAUX ! Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre,

on parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès qu’on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure.

78 758 9 896 987 658 983 899 5,7 5,368 25,3 8,9856

Roland Charnay - 2012

Roland Charnay - 2012

INTERCALATION… À L'INFINIINTERCALATION… À L'INFINIRemettre en cause l'idée de "nombre suivant"Remettre en cause l'idée de "nombre suivant"

NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCULA penser dans l’articulation avec le

collège

Sixième 4 opérations (toutes reprises en Sixième !) Multiplier par 0,1 ; 0,01… (hors socle en

Sixième !) Division décimale limitée à celle d’un décimal

par un entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après la virgule)

En calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.

Cinquième Division de deux nombres décimaux

Rola

nd C

harn

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01

2

Multiplier et diviser par 10, 100… en relation avec la numération décimale

Résultats mémorisés Sommes et différences de dixièmes (0,5 + 0,7…)

Compléments à 1 et à l’unité supérieure (pour des nombres avec des dixièmes)

Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5

Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾)

Rola

nd C

harn

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2

NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCULPoints clés en calcul automatisé

Calcul posé Addition, soustraction, en lien avec la numération

décimale

Multiplication d’un décimal par un entier

5,86 586 centièmes ou 586 : 100 x 307

179902 centièmes ou 179902 : 100 1799,02

Division d’un entier ou d’un décimal par un entier, en lien avec la numération décimale

Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur les entiers et calcul sur les décimaux.

Rola

nd C

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01

2NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL

Points clés en calcul automatisé

Le cas de la multiplication de deux décimaux Rupture de sens

45 x 13 13 fois 45 (addition itérée) 45,35 x 13 13 fois 45,34 (addition itérée) 45,35 x 2,7 sens à donner à 2,7 fois 45,35 ? 45,35 x 0,7 sens à donner à 0,7 fois 45,35 ?

Nécessité d’une référence Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7 2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35 Soit à l’aire d’un rectangle : pour 45,35 x 0,7 rectangle de 45,35 cm sur 0,7 cm

Continuité pour la technique 45,35 4 535 : 100x 2,7 27 : 10

122 445 à diviser par 1 000

Rola

nd C

harn

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2

NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCULPoints clés en calcul réfléchi

Doubles de nombres comme 4,5 17,5 0,75

Moitiés de nombres comme 7 0,7 1,2 Sommes ou différences comme 13,5 + 6,5 13 – 6,5Produits comme 2,5 x 4 6,2 x 5

Rola

nd C

harn

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01

2