Dterminants

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Bachelor 1 2iE 2009-2010 Algbre linaire

B- Dterminants

Dfinition

Un dterminant dordre n est un nombre associ une matrice carre A = (aij) 1 i ,j n et not Det A. Det A est calcul de la faon suivante en fonction de la valeur de n.

1- Dterminant dordre 2 Det A =

Exemple 1 4 32 5 4 5 2 3 20 6 14

2- Dterminant dordre 3 Un dterminant dordre 3 peut tre dfini par :

On dit que lon dveloppe Det A par rapport la premire colonne de A : cest la mthode des cofacteurs.

Les 3 dterminants dordre 2 sont appels les mineurs relatifs a11, a21 et a31 respectivement. Le mineur de aij est not ij, il est obtenu par suppression de la ime ligne et de la jme colonne de A.

On appelle cofacteur Aij,le nombre (-1)i+j ij.

Remarque : Lorsquon utilise la mthode des cofacteurs, Det A peut tre dvelopp par rapport nimporte quelle ligne ou nimporte quelle colonne de la matrice A. La valeur de Det A reste constante quelque soit la ligne ou la colonne choisie.

Exemple 2 Dveloppement de Det A par rapport la dernire ligne de A

1 1 12 1 11 0 1 1 11 1 0 1 12 1 1 1 12 1 1

3- Dterminant dordre n

a aa a aa a a a n 2 (n= 1, Det A =a11)

Dveloppement par rapport la jme colonne

1 !!"# ! 1 !!! 1 !!! % 1" !"!"!

Dterminants

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Dveloppement par rapport la ime ligne

1 !!"!# ! 1 1 % 1 """ ij,, le mineur de aij, est le dterminant dordre (n-1) obtenu en supprimant la ligne i et la

colonne j de A Aij = (-1)i+j ij. est le cofacteur de aij

II- Proprits

Thorme 1 (a) Si on permute 2 lignes (ou 2 colonnes), la valeur du dterminant est multiplie par -1.

(b) La multiplication dune ligne (resp. dune colonne) par un scalaire k, multiplie le dterminant par k. De plus, pour une matrice carre A dordre n, Det (kA) = kn Det(A).

(c) Lorsquon ajoute la combinaison linaires dautres lignes (resp. dautres colonnes) une ligne (resp. une colonne), la valeur du dterminant reste inchange.

(d) Si 2 ou plusieurs lignes (resp. colonnes) sont lies, Det A = 0. En particulier, La prsence dune ligne ou dune colonne de zro rend la valeur du dterminant nulle.

Thorme 2 La transposition naltre pas la valeur dun dterminant : Det A = Det tA Le dterminant du produit est gal au produit des dterminants : Det (AB) = Det A. Det B

Remarques :

1 Le dterminant dune matrice triangulaire ou diagonale est gal au produit des lments diagonaux (Det A = i aii = a11a22 .ann )

2 Le dterminant dune matrice orthogonale A (tA = A-1) vaut 1 ou -1.

III. Matrice inversible

Thorme 3 A est inversible ssi Det A 0. et on a : Det A-1 = 1/ Det A En particulier, pour toute matrice carre A dordre n, rang A =n ssi Det A

1 Dtermination du rang matrice (m,n) et rang dune famille de vecteurs

Dterminants

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Thorme 4 Soit A matrice de format quelconque (m,n). Alors rang A = r si et seulement si il existe une matrice Ar dordre r extraite de A telle que Det Ar 0, et pour toute matrice Br+1 dordre r+1 extraite de A, on a Det Br+1 = 0.

2 calcul dinverse par la mthode des dterminants

Thorme 4

Soit A matrice dordre n inversible. Alors & '()* +A AA A AA A A A-

)

+ A AA A AA A A A-) est la transpose de la matrice des cofacteurs Aij (Aij = (-1)i+j ij)

En particulier, A = . / 0 & '()* . / 122133&123132 . /

Exemple 5 A = .3 12 4/ 0 & 4 . 4 12 3 /

Exercice

En utilisant la mthode des cofacteurs vrifiez que linverse de la matrice 3x3 51 1 23 1 11 3 46 est & 4 5 7 2 313 2 78 2 26 . Prsentez tous vos calculs.