8192019 Deacuteveloppement limiteacute

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Deacuteveloppement limiteacute

En physique et en matheacutematiques un deacuteveloppement li-

miteacute (noteacute DL) dune fonction f en un point est une

approximation polynomiale de cette fonction au voisinage

de ce point cest-agrave-dire leacutecriture de cette fonction sous

la forme de la somme

bull dune fonction polynocircme dont le degreacute est appeleacute

lordre du deacuteveloppement

bull et dun reste qui peut ecirctre neacutegligeacute lorsque la variable

est suffisamment proche du point consideacutereacute

En physique il est freacutequent de confondre la fonction avec

son deacuteveloppement limiteacute agrave condition que lerreur (crsquoest-

agrave-dire le reste) ainsi faite soit infeacuterieure agrave lerreur autori-

seacutee Si lon se contente dun deacuteveloppement dordre un

on parle dapproximation lineacuteaire ou dapproximation

affine

En matheacutematiques les deacuteveloppements limiteacutes per-

mettent de trouver plus simplement des limites de fonc-

tions de calculer des deacuteriveacutees de prouver quune fonction

est inteacutegrable ou non ou encore deacutetudier des positions de

courbes par rapport agrave des tangentes

1 Deacutefinitions

Soit f une fonction agrave valeurs reacuteelles[1] deacutefinie sur un in-

tervalle I et x0 isin I On dit que f admet un deacutevelop-

pement limiteacute dordre n[2] (abreacutegeacute par DL) en x0 srsquoil

existe n+1 reacuteels a0 a1an et une fonctionR I rarr R

tels que forallx isin I

f (x) = a0 + a1(x minus x0) + a2(x minus x0)2

+ + an(x minusx0)n + R(xn) =

sumn

i=0 ai(x minus x0)i + R(xn)

avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0 et ce

laquo plus rapidement raquo que le dernier terme de la somme

cest-agrave-dire que

limxrarrx0R(x)

(xminusx0)n = 0

Les fonctions R veacuterifiant ceci sont noteacutees o((x minus x0)n)(voir larticle Comparaison asymptotique et plus preacuteciseacute-

ment la famille des notations de Landau) On eacutecrit donc

f (x) =sumn

i=0 ai(x minus x0)i + o((x minus x0)n)

Il est freacutequent deacutecrire un deacuteveloppement limiteacute en posant

x = x0 + h

f (x0 + h) =sumn

i=0 aihi + o(hn)

Conseacutequences immeacutediates

Si une fonction admet un DL au voisinage de

x0 alors ce deacuteveloppement est unique et a0 =

f (x0)

Deacutemonstration

Soit f I rarr R une fonction admettant un DL dordre

n en x0 On suppose quil existe deux suites de reacuteels

(a0 a1an) et (b0 b1bn) telles que

f (x0 + h) =

n991761i=0

ai middothi + o1(hn) =

n991761i=0

bi middothi + o2(hn)

On a alors

a0 = f (x0) = b0 pour h = 0

a1 = limhrarr0f (x0+h)minusa0

h = b1

a2 = limhrarr0f (x0+h)minusa0minusa1middoth

h2 = b2

an = limhrarr0f (x0+h)minus

sumnminus1j=0

ajmiddothj

hn = bn

Et donc

ai = bi foralli isin 1n

Dougrave il y a uniciteacute dun tel deacuteveloppement limiteacute

2 Opeacuterations sur les deacuteveloppe-

ments limiteacutes

Dans cette section on identifie parfois par abus de

langage[2] le DLn avec le polynocircme (appeleacute aussi la par-tie reacuteguliegravere du deacuteveloppement limiteacute) dont luniciteacute a eacuteteacute

deacutemontreacutee dans la section preacuteceacutedente

1

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2 3 DEacuteVELOPPEMENT LIMITEacute ET FONCTIONS DEacuteRIVABLES

Somme Si f et g admettent deux DLn alors f + g ad-

met un DLn qui srsquoobtient en effectuant la somme

des deux polynocircmes

Multiplication par un scalaire si f admet un DLnalors λ f aussi obtenu en multipliant le DLn de f par

λ

Produit Soient f et g deux applications admettant en 0

des DLn de parties reacuteguliegraveres respectives P et Q

Alors fg admet en 0 un DLn dont la partie reacuteguliegravere est

le reste de la division euclidienne de PQ par X n+1

Deacutemonstration

On suppose f(x)=P(x)+xnε1(x) ougrave PisinR[X] et

limₓrarr₀ ε1

(x)=0

et g(x)=Q(x)+xnε2(x) ougrave QisinR[X] et limₓrarr₀

ε2(x)=0

Alors (fg)(x)=P(x)Q(x)+ xnP(x)ε2(x) +

xnQ(x)ε1(x)+x2nε1(x)ε2(x)

Effectuons la division euclidienne de PQ par

Xn+1 Notons T le quotient et R le reste Alors

PQ=R+Xn+1T

donc (fg)(x)=R(x)+xn[xT(x)+P(x)ε2(x)+Q(x)ε1(x)+xnε1(x)ε2(x)]

Notons ε=[xT(x)+P(x)ε2(x)+Q(x)ε1(x)+xnε1(x)ε2(x)]

Alors limₓrarr₀ε(x)=0

Or RisinR[X]

On a donc bien obtenu le DL de fg en 0

Inverse Si u( x 0) = 0 et si u admet un DLn en x 0 alors1

1minusu admet un DLn Ce deacuteveloppement limiteacute se

trouve en cherchant un DLn desumn

k=0 uk

Quotient On peut combiner le produit et linverse ou

faire une division suivant les puissances croissantes

de la partie reacuteguliegravere du numeacuterateur par celle du deacute-

nominateur

Composition si u admet un DLn en x 0 et si v admet un

DLn en u( x 0) alors v ∘ u possegravede un DLn en x 0 qui

srsquoobtient en cherchant un DL de Qn ∘ Pn ougrave Pn et

Qn sont les DLn de u et v

Exemple DL2 en 0 de e1

1minusx

DL2 en 1 de e x

ex = e middot983080

1 + (x minus 1) + (xminus1)2

2 + o((x minus 1)2)983081

(ce DL se trouve en remarquant que

ex

= e middot exminus1

et en utilisant le DLde eh en 0)

DL2 en 0 de 11minusx

11minusx

= 1 + x + x2 + o(x2)

DL2 en 0 de e1

1minusx

e1

1minusx = e

middot 10486161 + (x + x2) + (x + x2)2

2

+ o(x2)1048617= e middot

10486161 + x +

3

2x2 + o(x2)

1048617

Inteacutegration (cf le lemme dans la deacutemonstration de la

formule de Taylor-Young)Si f admet un DLn en x 0 alors toute primitive F de

f admet un DLn ₊ ₁ en x 0 qui est

F (x) = F (x0) + sumn

i=0aii+1

(x minus x0)i+1 + o((x minusx0)n+1)

Deacuterivation Il nexiste pas de theacuteoregraveme geacuteneacuteral sur

lexistence dun DLn pour la deacuteriveacutee dune fonction

admettant un DLn ₊ ₁ en x 0

Par exemple la fonction deacutefinie par

f (x) = x3 sin 1x2

pour tout x non nul

et f (0) = 0

admet un DL2 en 0 (il srsquoagit de 0 + o( x 2)) mais sa deacuteri-

veacutee non continue nadmet pas de DL1

Par contre comme deacutejagrave dit si F admet un DLn en x 0

alors la partie reacuteguliegravere de ce DL est la deacuteriveacutee de la

partie reacuteguliegravere du DLn ₊ ₁ de F en x 0

3 Deacuteveloppement limiteacute et fonc-

tions deacuterivables

Article deacutetailleacute Formule de Taylor-Young

La formule de Taylor-Young assure quune fonction f deacute-

rivable n fois au point x 0 admet un DLn en ce point

f (x) = f (x0)+f prime(x0)(xminusx0)+f primeprime(x0)

2 (xminusx0)2++

f (n)(x0)

n (xminusx0)

soit en eacutecriture abreacutegeacutee

f (x) =n991761i=0

f (i)(x0)

i (x minus x0)i + o((x minus x0)n)

On le deacutemontre par reacutecurrence sur n gracircce au fait que si

la deacuteriveacutee de f admet un DLn ndash ₁ en x 0 alors f admet un

DLn en x 0 et la partie reacuteguliegravere du DLn ndash ₁ de f est la

deacuteriveacutee de la partie reacuteguliegravere du DLn

de f

En revanche le fait quune fonction admette un DLn en

x 0 nassure pas que la fonction soit n fois deacuterivable en x 0

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51 Formulaire 3

(par exemple x ↦ x 3sin(1 x ) ndash prolongeacutee par continuiteacute

en 0 ndash admet en 0 un DL2 mais pas de deacuteriveacutee seconde)

On peut juste deacuteduire de lexistence dun DL0 en x 0 la

continuiteacute en x 0 et de lexistence dun DL1 en x 0 la deacute-

rivabiliteacute en x 0

4 Quelques utilisations

Le deacuteveloppement dordre 0 revient agrave eacutecrire que ƒ est

continue en x 0

f (x) = f (x0) + ε(x)

Le deacuteveloppement limiteacute dordre un revient agrave ap-

procher une courbe par sa tangente on parle aussi

dapproximation affine

f (x) = f (x0) + f prime(x0) middot (x minus x0) + o(x minus x0)

Son existence eacutequivaut agrave la deacuterivabiliteacute de la fonction en

x 0

Le deacuteveloppement limiteacute dordre 2 revient agrave approcher

une courbe par une parabole ou loi quadratique Il per-

met de preacuteciser la position de la courbe par rapport agrave sa

tangente au voisinage du point de contact pourvu que le

coefficient du terme de degreacute 2 soit non nul le signe de ce

coefficient donne en effet cette position (voir eacutegalementlarticle fonction convexe)

Le changement de variable h = 1x

permet agrave laide dun

DL0 au voisinage de 0 de chercher une limite agrave linfini

et agrave partir dun DL1 au voisinage de 0 de deacuteterminer

leacutequation dune asymptote (comme pour la tangente le

DL2 permet de preacuteciser la position de la courbe par rap-

port agrave lasymptote)

5 Quelques exemples

Fonction cosinus et son deacuteveloppement limiteacute dordre 4 au voisi-nage de 0

Les fonctions suivantes possegravedent des DL au voisinage

de 0 pour tout entier n

bull 11minusx

=sumn

i=0 xi + xn+1

1minusx =sumn

i=0 xi + o(xn) (une

conseacutequence en est la somme de la seacuterie geacuteomeacute-

trique)

bull ln(1 + x) = summ

k=1(minus1)kminus1

k xk + o(xm) par inteacute-

gration de la formule preacuteceacutedente pour n = m ndash 1

changement de x en ndashx et changement dindice k = i + 1

bull ex =sumn

i=01i

xi + o(xn) (en utilisant la formule de

Taylor)

bull sin(x) =sumn

i=0(minus1)i

(2i+1)x2i+1 + o(x2n+2) agrave lordre

2n + 2 La partie principale du DL agrave lordre 2n + 1

est la mecircme car le terme en x2n+2 est nul (comme

tous les termes de puissance paire) et o(x2n+2) =o(x2n+1)

bull cos(x) = sumn

i=0(minus1)i

(2i) x2i + o(x2n+1) agrave lordre 2n

+ 1 La partie principale du DL agrave lordre 2n est la

mecircme car le terme en x2n+1 est nul (comme tous

les termes de puissance impaire) et o(x2n+1) =o(x2n)

bull (1+x)a = 1+sumn

i=11i

852008iminus1prodj=0

(a minus j)

852009xi+o(xn)

Ces exemples sont en outre deacuteveloppables en seacuteries en-

tiegraveres

51 Formulaire

Deacuteveloppement limiteacute au voisinage de 0 de fonctionsusuelles

bull (1 + x)a = 1 + ax + a(aminus1)2

x2 + a(aminus1)(aminus2)3

x3 +

middot middot middot + a(aminus1)(aminus2)(aminus(nminus1))n

xn + o(xn)

bull 11minusx = 1 + x + x2 + x3 + middot middot middot + xn + o(xn)

bull 11+x

= 1 minus x + x2 minus x3 + middot middot middot + (minus1)nxn + o(xn)

bull ln(1 minus x) = minusx minus x2

2 minus x3

3 minus middot middot middot minus xn

n + o(xn)

bull ln(1 + x) = x minus x2

2 + x3

3 minus middot middot middot + (minus1)(nminus1) xn

n +

o(xn)

bull ex = 1 + x + x2

2 + x3

3 + middot middot middot + xn

n + o(xn)

bull cos(x) = 1minusx2

2 + x4

4 minusmiddot middot middot+(minus1)n x

2n

(2n)+o(x2n+1)

bull sin(x) = x minus x3

3 + x5

5 minus middot middot middot + (minus1)n x2n+1

(2n+1) +

o(x2n+2)

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4 7 ARTICLES CONNEXES

bull tan(x) = x + x3

3 + 2x5

15 + 17x7

315 + middot middot middot +

B2n(minus4)n(1minus4n)(2n)

x2nminus1 + o(x2n) ougrave les Bn sont

les nombres de Bernoulli

bull ch(x) = 1 + x2

2 + x4

4 + middot middot middot + x2n

(2n) + o(x2n+1)

bull sh(x) = x + x3

3 + x5

5 + middot middot middot + x2n+1

(2n+1) + o(x2n+2)

bull th(x) = x minus x3

3 + 2x5

15 + o(x5)

bull Arcsin(x) = x + x3

2middot3 + 1middot3middotx5

2middot4middot5 + middot middot middot +

1middot3middot5middotmiddotmiddot(2nminus1)x2n+1

2middot4middot6middotmiddotmiddot(2n)middot(2n+1) + o(x2n+2)

bull Arccos(x) = π2 minus x minus x3

2middot3 minus 1middot3middotx5

2middot4middot5 minus middotmiddot middot minus

1middot3middot5middotmiddotmiddot(2nminus1)x2n+1

2middot4middot6middotmiddotmiddot(2n)middot(2n+1) + o(x2n+2)

bull Argsh(x) = x minus x3

2middot3 minus middot middot middot +

(minus1)n 1middot3middot5middotmiddotmiddot(2nminus1)x2n+1

2middot4middot6middotmiddotmiddot(2n)middot(2n+1) + o(x2n+2)

bull Arctan(x) = x minus x3

3 + x5

5 minus middot middot middot + (minus1)n x2n+1

2n+1 +

o(x2n+2)

bull Argth(x) = x + x3

3 + middot middot middot + x2n+1

2n+1 + o(x2n+2)

52 Approximations affines deacuteveloppe-

ments limiteacutes dordre 1

Article deacutetailleacute Approximation affine

On utilise freacutequemment des deacuteveloppements limiteacutes

dordre 1 (encore appeleacutes laquo approximations affines raquo ou

laquo approximations affines tangentes raquo) qui permettent de

faciliter les calculs lorsquon nexige pas une trop grande

preacutecision ils sont donneacutes au voisinage de a par

f (x) = f (a) + (x minus a)f prime(a) + o(x minus a)

(on retrouve ainsi leacutequation de la tangente au graphe de

f )

En particulier on a au voisinage de 0

bull (1 + x)α = 1 + α x + o(x) et donc

bull 11+x

= 1 minus x + o(x) et

bull radic 1 + x = 1 + 1

2x + o(x)

bull ln(1 + x) = x + o(x)

bull ex = 1 + x + o(x)

53 Deacuteveloppements usuels en 0 de

fonctions trigonomeacutetriques

bull agrave lordre 2

bull sin x = x + o(x2) Arcsin x = x + o(x2)

bull tan x = x + o(x2) Arctan x = x + o(x2)

ces formules eacutetant souvent connues sous le nom

drsquoapproximations des petits angles et

bull agrave lordre 3

cos x = 1 minus x2

2 + o(x3)

6 Notes et reacutefeacuterences

[1] La notion de deacuteveloppement limiteacute peut se geacuteneacuterali-

ser au cas ougrave la fonction f est agrave valeurs complexes ou

vectorielles mais ce cas nest pas abordeacute dans cet article

pour dautres geacuteneacuteralisations voir larticle deacuteveloppement

asymptotique

[2] J Lelong-Ferrand J M Arnaudiegraves Cours de matheacutema-tiques tome II Analyse 4egraveme eacuted 1977 p 148 deacutefinition

IV72 le polynocircme lui-mecircme (qui est unique srsquoil existe)

est appeleacute par eux deacuteveloppeacute limiteacute de f et noteacute DLn( f )ou si la preacutecision est neacutecessaire DLn( f x 0)

7 Articles connexes

bull Continuiteacute

bull Deacuterivation iteacutereacutee

bull Seacuterie de Taylor

bull Theacuteoregraveme de Taylor

bull Seacuterie entiegravere

bull Approximation affine

bull Interpolation polynomiale

bull Deacuteveloppement asymptotique

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