Devoir de type bac - Mathématiques Tale S2

Mercredi 22 mai 2013

Durée : 4 h

Les calculatrices sont autorisées. Le barème prend en compte la rédaction, la qualité de l’expression et la

présentation de la copie. Le barème est donné à titre indicatif.

Exercice 1 (commun à tous) (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives :

A (–1 ; 2 ; 1), B (1 ; –6 ; –1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b) Montrer que le vecteur 1;1; 3n est un vecteur normal au plan (ABC).

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d’équation : 4 0x y z .

a) Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b) Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de

la droite D.

3. On considère la sphère S de centre (3 ; 1 ; 3) et de rayon 3.

Soit I le point de coordonnées (2 ; –1 ; 1).

On admet que la droite D a pour représentation paramétrique

1

3 2 ,

x t

y t t

z t

.

a) Montrer que le point I appartient à la droite D.

b) Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non

fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droite D coupe la sphère S en un deuxième point.

Exercice 2 (commun à tous) (5 points)

Partie A : restitution organisée de connaissances

On suppose connues les définitions suivantes :

si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre , où est un réel strictement positif,

- La densité de probabilité de la loi de X est définie sur 0; par ( ) tf t e .

- L’espérance de X est définie comme la limite lorsque b tend vers de 0

( )b

t f t dt

1. Montrer que la fonction G définie par 1

( ) tG t t e

est une primitive sur 0; de la

fonction g définie par ( ) ( )g t t f t .

2. En utilisant le résultat de la question 1. , montrer que

0

1( ) 1

bb bt f t dt be e

.

3. En déduire la valeur de ( )E X .

Partie B:

Dans une fabrique de boissons, une machine remplit automatiquement des bouteilles de soda.

Le temps de fonctionnement sans panne, en jours, de cette machine est une variable aléatoire X qui suit

la loi exponentielle de paramètre . Les résultats seront arrondis au millième le plus proche.

1. On sait que ( 30) 0,44P X . En déduire la valeur de .

2. Pour cette question, on prend 0,02 .

Calculer la probabilité pour que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours.

3. Déterminer le temps moyen de fonctionnement sans panne de la machine.

Partie C:

Les bouteilles de soda que remplit la machine ont une contenance de 51 centilitres. Pour pouvoir être

commercialisée, une bouteille doit contenir au moins 48 centilitres de soda.

La quantité de soda en centilitres fournie par la machine peut-être modélisée par une variable aléatoire Y

suivant une loi normale de moyenne et d’écart-type 1,2 .

1. La machine est réglée sur 50 . Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

a) Déterminer la probabilité qu’une bouteille puisse être commercialisée.

b) Calculer ( 51)P Y . Interpréter ce résultat.

2. Le directeur de la fabrique accepte qu’il y ait moins de 10 % des bouteilles qui débordent.

Quelle doit être la valeur de arrondie au centième le plus proche.

Exercice 3 Pour les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (5 points)

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct ; ,O u v .

On considère le point A d’affixe 1Az et le point B d’affixe Bz i .

À tout point M d’affixe Mz x iy avec x et y deux réels tels que 0y , on associe le point M d’affixe

M Mz i z .

On considère I le milieu du segment [AM].

L’objectif de l’exercice est de démontrer que :

pour tout point M n’appartenant pas à la droite (OA), la médiane (OI ) du triangle OAM est aussi

une hauteur du triangle OBM (propriété 1)

BM = 2OI (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 32i

Mz e

.

a) Ecrire Mz sous forme algébrique.

b) Montrer que 3Mz i . Déterminer le module et un argument de Mz .

c) Placer les points A, B, M, M et I dans le repère ; ,O u v en prenant 2 cm pour unité graphique.

Tracer la droite (OI ) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.

2. On revient au cas général en prenant Mz x iy avec 0y .

a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

b) Déterminer l’affixe du point M en fonction de x et y.

c) Écrire les coordonnées des points I, B et M .

d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM . e) Montrer que BM = 2OI .

Exercice 4 (commun à tous) (6 points)

Partie A

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0; [ par ( ) 5ln( 3)f x x x .

1. A) On appelle 'f la fonction dérivée de la fonction f sur [0; [ .

Calculer '( )f x et étudier son signe sur [0; [ .

B) Donner dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle [0; [ .

C) Montrer que, pour tout x strictement positif on a ln 3

( ) 5 1 5ln 1x

f x xx x

D) En déduire la limite de f en .

E) Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle [0; [ .

2. A) Montrer que l’équation ( ) 0f x admet une unique solution dans l’intervalle [0; [ . On notera

cette solution.

B) Après avoir vérifié que appartient à l’intervalle [14;15] , donner une valeur approchée de à

210 près.

C) En déduire le signe de f sur l’intervalle [0; [ .

Partie B

Soit ( )nu la suite définie par 0 4u et 1 5ln( 3)n nu u pour tout entier naturel 0n

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0; [ par ( ) 5ln( 3)g x x .

En annexe on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y x et la courbe C , courbe

représentative de la fonction g .

1. A) Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes 0 1 2, ,u u u de la suite ( )nu en utilisant la

droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.

B) Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite ( )nu .

2. A) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [0; [ .

B) Vérifier que ( )g où est défini dans la partie A question 2. A.

C) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a 0 nu .

D) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. B. de la partie B.

E) En utilisant la question 2. A. de la partie A, justifier que lim nn

u

3. On considère l’algorithme suivant :

A) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse,

sera prise en compte dans l’évaluation.

Justifier que cet algorithme se termine.

B) Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).

u prend la valeur 4

Tant que u −14,2 < 0

u prend la valeur de 5ln(u +3)

Fin du Tant que

Afficher u

Exercice 3 : Uniquement pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

A rédiger sur une copie séparée. On étudie l'évolution dans le temps du nombre d'animaux jeunes et du nombre d’animaux adultes dans

une certaine population d'un parc

On note na le nombre d'animaux adultes et nb le nombre d'animaux jeunes après n années d'observation

pour n .

On donne 0 0500 200a et b , nombre d'animaux respectivement adultes et jeunes au début de la

première année

On admet que pour tout entier naturel n : 1

1

0.125 0.525

0.625 0.625

n n n

n n n

b b a

a b a

On pose n

nn

bU

a pour tout entier naturel n

1. a) Déterminer la matrice carrée A d'ordre 2 telle que pour tout entier naturel n , on a

1n nU AU

b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après

deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer nU en fonction de nA et de 0U .

2. On introduit les matrices suivantes Q = 0.25 07 3

5 5 0 1et D

a) On admet que la matrice Q est inversible et que 10.1 0.06

0.1 0.14Q .

Montrer que 1

Q D Q A

b) Exprimer nA en fonction de Q et de

nD .

c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminernD en fonction de n.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul,

0.3 0.7 ( 0.25) 0.42 0.42 ( 0.25)

0.5 0.5 ( 0.25) 0.7 0.3 ( 0.25)

n n

nn nA

a) En déduire les expressions de n nb et a en fonction de n et déterminer les limites de ces deux

suites.

b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

ATTENTION : Les copies d’écran ci-dessous ne sont pas un modèle de présentation à retenir. Elles sont

intéressantes dans la mesure où les réponses données sont justes. Je ne valide pas toutes les justifications,

la rédaction. Le document final va arriver rapidement.

Exercice 1

b. 3 2 0 3 2 3 2

( , , ) ...4 0 2 4 6 0 2 3

x y z x y z x y zM x y z D

x y z y z y z

11

2 3 ;2 3

x tx z

y t ty z

z t

Remarque : On pouvait aussi montrer que D n’était pas tangente à la sphère (seul cas possible où la droite

n’aurait qu’un seul point d’intersection avec la sphère). Ce qui se vérifie en montrant que ( )OI et D ne

sont pas perpendiculaires et donc que OI et (1;2;1)u (un vecteur directeur de D ) ne sont pas

orthogonaux.

Exercice 2

Partie A

1. G est dérivable sur 0; comme produit de fonctions dérivables.

Pour tout 0;t , 1

'( ) 1 1 1 ( )t t t tG x e t e t e t e t f t

Donc G est bien une primitive de g

2. Pour tout b :

0

0 0

1 1 1 1( ) '( ) ( ) (0) 0

b bb bt f t dt G t dt G b G b e e b e

Or 1 1 1 1 1

1b b b b bbe e be e b e

donc

0

1( ) 1

bb bt f t dt be e

3. 0

1( ) lim ( ) lim 1

b

b b

b bE X tf t dt be e

Or lim 0b

bbe

puisque 0b ;

1lim 0b

be

et

1 1lim

b donc

1( )E X

Partie B

1. 30 30 ln 0,56( 30) 0,44 1 0,44 0,56 30 ln 0,56

30p X e e

D’où 0,019

2. La probabilité pour que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours est ( 60)p X

Or 60( 60) 0,301p X e

3. le temps moyen de fonctionnement sans panne de la machine est 1

( ) 50E X

jours.

Partie C

1. A) Une bouteille est commercialisée lorsque 48Y d’après l’énoncé.

Or ( 48) (48 50) 0,5p Y p Y puisque Y suit une loi normale de moyenne 50. A la

calculatrice on trouve : ( 48) 0,952p Y en utilisant 50 et 1,2

B) ( 51) 0,5 (50 51) 0,202p Y p Y . On peut en déduire qu’avec ce réglage de à 50, 20%

environ des bouteilles vont déborder.

2. Pour que moins de 10% des bouteilles ne débordent, il faut trouver le réglage, c'est-à-dire une valeur

de telle que ( 51) 0,1p Y qui est équivalent à1 ( 51) 0,1p Y ou encore ( 51) 0,9p Y .

On cherche donc la valeur de ( 51)p Y avec des valeurs de inférieures à 50 et 1,2 .

Avec 49 , ( 51) 0,952p Y et avec 50 , ( 51) 0,7977p Y

Avec 49,4 , ( 51) 0,9088p Y et avec 49,5 , ( 51) 0,8944p Y

Avec 49,46 , ( 51) 0,9003p Y et avec 49,47 , ( 51) 0,8988p Y

Il suffit donc de régler à 49,46 pour que moins de 10% des bouteilles ne débordent.

Autre solution : ( 51) 0,1 1 ( 51) 0,1 ( 51) 0,9 ( 51 ) 0,9p Y p Y p Y p Y

51 51( ) 0,9 0,9Y

p p X

où X suit une loi normale.

Avec la calculatrice, on trouve que 51

0,9p X

lorsque

511,2816

c'est-à-dire lorsque

51 1,2816 1,2 49.46

Exercice 3

On observe que les 2 propriétés sont vérifiées.

Attention de bien lire l’énoncé. Dans la question suivante, M est un point quelconque !

Corrigé (Autre exercice 5)

Remarque : Ne vous arrêtez pas au calcul de 5

'( ) 13

f xx

. Cette expression non factorisée ne permet

pas de justifier le signe de '( )f x or c’est une obligation pour le tableau de variation.

Lisez bien les questions ! Certains cherchent les limites alors qu’elles ne sont pas demandées. Ici en ,

il y a vraie difficulté, d’où les questions c) et d) qui suivent.

Quand on demande explicitement de construire le tableau de variation, on le fait complet. Ce n’était pas le

cas ici.

Remarque : Soignez votre calcul : Il ne faut pas commencer par écrire la conclusion et écrire dès la

première ligne que ln 3

( ) 5 1 5ln 1 ...x

f x xx x

Il est préférable de commencer le calcul par

l’un des deux membres de l’égalité comme c’est fait ci-dessus ou en commençant par :

ln 3 ln 3

5 1 5ln 1 5 1 5ln 1 ... ( )x x

x x x f xx x x x

d. On a d’une part : ln

lim 0 ' .x

xd après th

x donc

lnlim 5 1 1x

x

x

et limx

x

d’autre part.

Donc ln

lim 5 1x

xx

x

par produit.

1

3lim 1 1 3

lim ln 1 0

limln 0

x

x

X

xxX

et donc 3

lim 5ln 1 0x x

par produit.

Conclusion : lim ( )x

f x

par somme.

Remarque : En 0, il n’y a pas de limite à calculer. La fonction est définie sur donc en 0 en

particulier. Donc on se contente de calculer (0)f et on trouve 5ln3

Remarque : La question doit vous donner la piste ! On ne vous demande pas de résoudre une équation

(que vous ne pourriez pas résoudre de toute façon). On vous demande de justifier l’existence d’une

solution … donc th des VI. Problème, f n’est pas strictement monotone sur , elle est croissante puis

décroissante. Il faut donc traiter séparément les deux intervalles.

Sur l’intervalle [0;2[ , f est croissante et (0) 5ln3f qui est strictement positif donc ( ) 0f x

sur [0;2[ et donc l’équation n’a pas de solution sur [0;2[

Sur [2; [ : f est continue, strictement décroissante de (2)f vers . Puisque (2) 0f , 0 est

compris entre (2)f et , l’équation ( ) 0f x admet donc une unique solution dans [2; [ .

Puis (14,23) 0f et (14,24) 0f donc 14,23 14,24 . Toute valeur approchée comprise

entre 14,23 et 14,24 convient donc.

En toute rigueur, une fois de plus lisez bien les questions, on demande ici une valeur approchée et non un

intervalle, ni un encadrement.

Attention : Dans cette question, nombreux sont ceux qui écrive que ( ) 0f x sur [0;14,23[ puis ( ) 0f x

sur [14,23; [ , partant du principe que 14,23 .

Mais c’est faux, comme 14,23 , entre 14,23 et , la fonction est positive, cf copie d’écran ci-dessous.

On demande de placer 0 1, ,...u u sur l’axe des ABSCISSES, et pas sur l’axe des ordonnées, ou sur la

courbe, ou … d’autre part on doit pouvoir visualiser comment vous les « construisez », donc laissez vos

pointillés, on ne doit pas imaginer que vous avez calculé des valeurs approchées puis placé les points.

Attention, erreur classique ici : On demande de montrer que ( )g et pas que

(14,23) 14,23g !!! On ne peut donc pas faire autrement que ce qui est au dessus.

Remarque : On pouvait aussi calculer 1n nu u et en déduire son signe.

Impossible de dire que la limite est à cet instant

Puisque ( )nu converge vers l , et que g est continue sur , lim ( ) ( )n

nu l

g u g l

et donc 1lim ( )n

nu l

u g l

.

D’autre part, ( )nu converge vers l implique que 1( )nu converge aussi vers l et donc 1lim

nn

u lu l

On en déduit que l vérifie ( )g l l et donc que l est une solution de l’équation ( )g x x ou encore

5ln( 3)x x ou encore 5ln( 3) 0x x ou encore ( ) 0f x .

D’après la question 2.a de la partie A, cette équation ( ) 0f x n’admet qu’une seule solution dans ,

c’est , donc l .

Remarque : Dans cette question e . la continuité de g doit être rappelée, puisque cela permet de dire que

lim ( ) ( )n

nu l

g u g l