Mercredi 29 mai Durée 3h

Devoir surveillé n◦9Étude d’un dispositif ETM ; modèle de Rydberg ; chutes d’arbre

Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sacopie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérifier que l’erreur ne vient pas de lui.

Les CALCULATRICES sont autorisées

Le sujet comporte 3 exercices indépendants.

MPSI Devoir surveillé 9 - Thermodynamique ; théorème du moment cinétique 2018-2019

1 Jules Verne et l’énergie des mers : énergie thermique des mers (∼1h)

(d’après CAPES 2018)

Dans le roman « 20 000 lieues sous les mers », Jules Verne, par l’intermédiaire du capitaine Nemo,suggère qu’il est possible de produire de l’électricité à partir de la différence de températures des eauxdes mers ... c’était en 1863 :

« J’aurais pu, en effet, en établissant un circuit entre des fils plongés à différentes profondeurs,obtenir l’électricité par la diversité de températures qu’ils éprouvaient [...] ».

Différents projets de récupération d’Énergie Thermique des Mers -ETM- sont actuellement en voie deconcrétisation pour produire de l’électricité (document 1.1). Le principe consiste à utiliser la différencede température de 20◦C , existant naturellement dans les mers tropicales, entre la température de l’eaude surface, environ 25◦C , et celle de l’eau profonde, environ 5◦C à 1000m de profondeur. La ressourcemondiale théorique basée sur un gradient de température de 20◦C au moins permettrait de produireenviron 80000TW·an−1 dans les zones intertropicales (source IFREMER).

1.1 Une installation thermique des mers est une machine thermique cyclique ditherme. Identifier lasource froide et la source chaude. Le fluide qui circule dans la machine est de l’ammoniac, quelest son rôle ?

1.2 Écrire les expressions des bilans énergétique et entropique pour un fluide auquel on fait subir destransformations cycliques entre deux sources thermiques, une chaude de température TC , et unefroide de température TF . En déduire l’expression du rendement d’un moteur fonctionnant selonun cycle de Carnot, cycle idéal réversible, entre les températures TC et TF .

Étude simplifiée d’un dispositif ETM à partir des données destinées au dimensionnement d’une cen-trale située sur l’île de la Réunion (document 1.2).Le « fluide de travail » utilisé est l’ammoniac ; le cycle de transformations subies par ce fluide correspondà un cycle de Rankine.

1.3 Quel est le rendement d’un cycle de Carnot correspondant aux données fournies dans le tableaudu document 1.2.

On suppose que le cycle décrit par l’ammoniac est le cycle représenté dans le document 1.3, com-posé de deux transformations isobares, une transformation isentropique réversible et une transforma-tion isenthalpique. Pour ce cycle et par unité de masse d’ammoniac, w est le travail mécanique fourniau turbo-alternateur et qc le transfert thermique apporté par la source chaude.

1.4 Compléter le tableau de donnée du document 1.2.1.5 En notant h l’enthalpie massique du fluide, le bilan enthalpique pour un fluide en écoulement

stationnaire au travers d’un dispositif du type pompe, turbine, évaporateur ou condenseur s’écrit

∆h = wutile +q,

si l’on néglige les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle, avec wutile le travail mas-sique reçu par le fluide par l’intermédiaire de pièces mobiles et q le transfert thermique massiquereçu. On précise que q et w utile sont des grandeurs algébriques.

Soit η= −w

qc, que représente ce rapport ? Estimer sa valeur. Commenter.

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1.6 Quel est l’intérêt du dispositif ETM ?1.7 Évaluer le débit massique d’ammoniac nécessaire pour que la puissance électrique globalement

produite par la centrale ETM soit de 10MW.

Document 1.1 : schéma d’une unité de production d’énergie électrique ETM (site de la so-ciété akuoenergy : http ://www.akuoenergy.com/nemo)

Le cycle thermodynamique, appelé cycle de Rankine, représente l’évolution de l’état del’ammoniac, fluide de travail qui circule dans la machine. Il permet la production d’énergiegrâce à la différence de température entre une source chaude et une source froide.

Document 1.2 : tableau de dimensionnement d’une centrale ETM de La Réunion (Thèse F.Sinama) (0◦C = 273,15K)

Paramètres ValeursTempérature d’eau d’entrée de l’évaporateur TA = 28◦CTempérature d’eau de sortie de l’évaporateur TB = 25,3◦CTempérature d’eau d’entrée du condenseur TC = 5◦CTempérature d’eau de sortie du condenseur TD = 8,7◦C

Pression de vaporisation de l’ammoniac p ′1 = 9,2bar

Pression de condensation de l’ammoniac p4 =?Température d’entrée de l’ammoniac dans l’évaporateur T ′

1 =?Température de vaporisation de l’ammoniac T2 = T3 =?

Température de condensation de l’ammoniac T1 = T4 = 10,9◦CTitre en vapeur de l’ammoniac en entrée de condenseur x4 =?

Puissance de la pompe à eau chaude 1912kWPuissance de la pompe à eau froide 3723kWPuissance de la pompe à ammoniac 262kW

Rendement du turbo-alternateur 83%

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2 Étude des atomes de Rydberg circulaires (∼ 30 min)

(d’après Centrale MP 2019)

Données et formulaire• Masse de l’électron : me = 9,11·10−31 kg ;• Charge élémentaire : e = 1,60·10−19 C ;• Permittivité diélectrique du vide : ε0 = 8,85·10−12 F ·m−1 ;• Constante de Planck : h = 6,63·10−34 J ·s, ~= 1,05·10−34 J ·s ·rad−1 ;• Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00·108 m.s−1.

Les atomes utilisés dans l’expérience sont des atomes de Rubidium dont l’électron situé sur la coucheélectronique la plus énergétique est excité dans un état de nombre quantique principal n très élevé. Desatomes ainsi excités sont appelés atomes de Rydberg. Si de plus le nombre quantique secondaire ` del’électron excité est maximum, alors on parle d’atomes de Rydberg circulaires.

2.1 Préliminaires

2.1 Donner la structure électronique du Rubidium (Z = 37) dans son état fondamental. Entourer leou les électron(s) de valence. À quelle famille cet élément appartient-il ?

Considérons un atome polyélectronique contenant Z électrons. Le noyau sera considéré commeponctuel et fixe en O. On s’intéresse à l’électron de la couche électronique la plus énergétique quel’on repère en coordonnées sphériques. L’énergie potentielle électrostatique de cet électron est dela forme

U (r ) =−Z (r )q

r

où l’on a posé q = e2

4πε0avec ε0 la permittivité diélectrique du vide. La fonction Z (r ) est positive

et vérifie Z (r → 0) = Z et Z (r →+∞) = 1.2.2 Justifier le signe de U (r ).2.3 Interpréter physiquement les valeurs limites de la fonction Z (r ) en r → 0 et r →+∞.2.4 On cherche un ordre de grandeur de la taille typique a0 de l’atome. On estime que a0 est de la

forme a0 = ~αqβmγe où me est la masse de l’électron. Établir soigneusement que α= 2, β =−1 et

γ=−1. La grandeur a0 est appelée rayon de l’atome de Bohr, calculer sa valeur numérique.

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2.2 Atomes de Rydberg, modèle classique

L’électron le plus énergétique de l’atome précédent est excité dans un niveau de nombre quantiquen À 1 (typiquement n ≈ 50), le reste de l’atome étant inchangé. On étudie par la suite le comportementde cet électron dont la masse est toujours notée me . L’atome est isolé de son environnement extérieur.

2.5 Justifier que l’énergie potentielle de l’électron est alors : U (r ) =−q

r.

2.6 Démontrer que le moment cinétique ~L de cet électron est constant et en déduire que le mouve-ment de l’électron est plan. On introduit le repère sphérique (r,θ,ϕ) tel que ~L =L ~uz avec L > 0.Le noyau est toujours à l’origine du repère. Montrer que le mouvement de l’électron est alors situédans le plan Ox y et donner l’expression de la constante L en fonction de me , r et ϕ.Quelle est le nom de la mathématicienne et physicienne théorique allemande en couverture, dontles théorèmes éponymes expliquent le lien fondamental entre les symétries et invariances d’unesituation physique et les lois de conservation (énergie, moment cinétique...).

2.7 Que peut-on dire de l’énergie mécanique Em de l’électron ? Montrer que l’on peut mettre cetteénergie mécanique sous la forme

Em = 1

2mr 2 +Ep,e f f (r )

où l’on exprimera Ep,e f f (r ) en fonction de q , r , me et L .2.8 Justifier que, pour une trajectoire circulaire, Ep,e f f (r ) est minimale. En déduire la valeur du rayon

rC de l’électron lorsqu’il est sur une trajectoire circulaire. On exprimera rC en fonction de L , me

et q , puis on vérifiera que rC = L 2

~2a0.

3 Chute d’arbres (∼ 1h30)

d’après Mines-Ponts 2019

Données numériques• intensité de la pesanteur : g = 1·101 m.s−2 ;• masse volumique de l’eau : ρe = 1·103 kg·m−3 ;• pression atmosphérique au niveau du sol : p0 = 1·105 Pa ;• viscosité dynamique de l’eau : ηe = 1·10−3 kg·m−1s−1 ;• masse volumique de l’air : ρa = 1kg·m−3

• viscosité dynamique de l’air : ηa = 2·10−5 kg·m−1s−1.

Lois de Coulomb : Un solide en contact quasi-ponctuel sur un support subit de la part du supportdes actions de contact équivalentes à une force ~F que l’on peut décomposer en une composante nor-

male−→N et une composante tangentielle

−→T .

En l’absence de glissement, on a ‖−→T ‖ < f ‖−→N ‖ où f est le coefficient de frottement.

En présence de glissement, la composante tangentielle−→T est dirigée dans la direction opposée à celle

du vecteur-vitesse de glissement et on a ‖−→T ‖ = f ‖−→N ‖.

3.1 Chute d’un arbre mort

Un bûcheron assimilé à un point matériel B de masse m souhaite abattre un arbre mort assimilé àun cylindre homogène de masse M avec M > m, de hauteur H et de section droite carrée de côté 2areprésenté sur la figure 4(a).

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Il tire pour cela sur un câble fixé en C à l’arbre, de longueur BC = ` et de masse négligeable, afin defaire tourner l’arbre autour de l’axe (O, ~uy ) dirigé par le vecteur ~uy = ~uz ∧ ~ux .

L’arbre étant mort, on néglige l’action de ses racines, de telle sorte qu’au moment où l’arbre com-

mence à tourner, les actions de contact qu’il subit se limitent à une force−→R 1 = T1~ux +N1~uz appliquée

au point O et satisfaisant aux lois de coulomb avec un coefficient de frottement f . De même les actions

du sol sur le bûcheron sont décrites par une force−→R 2 = T2~ux +N2~uz appliquée au point B et satisfaisant

aux lois de coulomb avec le même coefficient de frottement f . Les composantes T1, N1, T2 et N2 ont desvaleurs algébriques. Le câble est supposé tendu. On note ~F la force exercée par le câble sur l’arbre aupoint C , supposée parallèle au câble et F sa norme. Les angles sont orientés positivement dans le sens

trigonométrique autour de (O, ~uy ) et on note α l’angle (positif) entre−−→BO et

−→BC .

3.1 Le bûcheron est supposé ne pas glisser dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). ExprimerN2 et T2 en fonction de F , α, m et g . En déduire l’expression de la valeur maximale Fmax de F enfonction de f , m, g et α.

3.2 L’arbre est supposé au repos dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). Exprimer N1 et T1

en fonction de F , α, M et g . En déduire que pour 0 ≤ F ≤ Fmax le glissement n’est pas possibleen O.

3.3 Exprimer le moment Γg du poids de l’arbre par rapport à l’axe (O, ~uy ) dans la situation initialedécrite par la figure 4(a).

3.4 Soit ΓB le moment par rapport à l’axe (O, ~uy ) exercé par le bûcheron sur l’arbre via le câble. Quelleest la valeur minimale de ΓB permettant à l’arbre de pivoter autour de l’axe (O, ~uy ) ?

3.5 En supposant F constant, justifier (avec ou sans calculs, mais rigoureusement) qu’il existe unevaleur optimale αm de l’angle α.

On suppose que, quelque soit l’angle α, l’action du bûcheron est telle que l’on est à la limite duglissement : F prend la valeur Fmax.

3.6 Montrer que le moment ΓB par rapport à l’axe (O, ~uy ) exercé par le bûcheron via le câble s’écrit

ΓB = mg`

φ(α)avec φ(α) = 1

f sinα+ 1

cosα. En déduire l’expression de αm en fonction de f . Vérifier

que αm = π4 pour f = 1.

3.7 On donne M = 103 kg, H = 20m, a = 0,5m, m = 102 kg et f = 1. Calculer la force Fmax et la longueurde corde ` nécessaires pour initier la rotation de l’arbre. Commenter.

On suppose que l’arbre a commencé sa rotation autour de l’axe (O, ~uy ), repérée par l’angle θ que

fait−−→OC avec (O, ~uz).

3.8 Après avoir fait une figure représentant la situation et faisant apparaître les différents paramètres,exprimer l’énergie potentielle de pesanteur Ep de l’arbre en fonction de M , g , H , a et θ. Le

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bûcheron opère de manière quasi-statique c’est-à-dire sans communiquer d’énergie cinétique àl’arbre. À partir de quel angle θs peut-il lâcher le câble ?

3.2 Chute d’un arbre vivant sous l’effet du vent

Dans cette partie, on s’intéresse à la chute d’un arbre vivant, de hauteur H , sous l’effet d’un coup devent violent. On néglige le rôle du poids de l’arbre : son mouvement résulte uniquement d’une com-pétition entre l’action du sol via les racines et l’action du vent.

3.9 Proposer un ordre de grandeur de la vitesse U pour un vent violent.

L’action d’un vent soufflant dans la direction ~ux sur une tranche d’arbre (supposé vertical à cestade) comprise entre z et z +d z, figure 4(b) est décrite par une force élémentaire de la formed~F = 2aCxρaU 2d z~ux où ρa est la masse volumique de l’air et Cx un coefficient aérodynamique.

3.10 L’arbre étant vertical, exprimer le moment total Γv des actions du vent par rapport à l’axe ~uy enfonction de Cx , ρa , a, H et U .

Dans toute la suite, on omet la dépendance de Γv en θ car celui-ci reste inférieur à 10◦.

L’action du sol sur l’arbre est décrite par un mo-ment résistant Γr par rapport à l’axe (O, ~uy ), qui met enjeu des phénomènes complexes comme l’élasticité desracines, un déracinement partiel, l’entraînement de laterre, etc. Des essais de traction via un câble commedans la partie II.A ont permis de relever les variationsde Γr (en 103 N·m) en fonction de θ (en degrés) de lafigure 5 dans le domaine θ > 0 auquel on se limite.Cette figure fait notamment apparaître une variationbrutale au voisinage de θ = 0 que l’on modélise parune discontinuité telle que Γr (0) = 0 et Γr (0+) = Γ0. Parailleurs, au-delà d’un certain angle θc , l’arbre est totale-ment déraciné, de telle sorte que Γr = 0. Dans le do-maine 0 < θ ≤ θc , on modélise les mesures expérimen-tales de Γr par un polynôme du deuxième degré de laforme :

Γr = Γ0

(β+4

θ

θc−5

θ2

θ2c

)avec Γ0 < 0 (1)

3.11 Quelles valeurs doit-on donner aux paramètres θc et β afin qu’il rende compte des mesures dela figure 5. Exprimer l’angle θm pour lequel Γr atteint sa valeur minimale et la valeur Γm de ceminimum. Vérifier la cohérence entre les résultats expérimentaux et les valeurs de θm/θc et Γm/Γ0

issues du modèle.

Du point de vue de sa dynamique, l’arbre est désormais assimilé à une barre mince en rotationautour de l’axe (O, ~uy ) avec un moment d’inertie J , soumis au moment constant Γv et au momentΓr (θ) décrit par le modèle de l’équation (2). Initialement l’arbre est au repos en θ = 0 en présenced’un vent de vitesse U indépendante du temps et on s’interroge sur son évolution. On définit leparamètre p = Γv /|Γ0|.

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3.12 Discuter graphiquement selon la valeur de p la possibilité pour l’arbre de rester en équilibre enθ = 0. Cet équilibre est-il stable ? Discuter graphiquement selon la valeur de p l’existence et lastabilité de positions d’équilibre en θe 6= 0. Dans le cas où il existe une position d’équilibre stableinférieure à θc , expliquer sans calculs pourquoi on ne peut néanmoins pas être certain que l’arbrerésiste au vent.

On se propose de trancher cette question. Les conditions initiales restent θ = 0 et θ = 0.3.13 Montrer que la vitesse angulaire de l’arbre se met sous la forme 1

2 J θ2 = |Γ0|θP (u) où P (u) est untrinôme du second degré pour la variable réduite u = θ/θc que l’on explicitera en fonction del’unique paramètre p = Γv /|Γ0|. En déduire, en précisant soigneusement le raisonnement adopté,la valeur minimale pc de p permettant au vent de déraciner l’arbre. Calculer la vitesse minimaleUc du vent permettant de déraciner l’arbre correspondant au graphe de la figure 5 sachant queH = 20m et a = 0,5m. On prendra C = 0,5.

On se place désormais dans le cas p = 43 .

3.14 Déterminer les bornes du mouvement de l’arbre. En réalité l’arbre finit par atteindre une positionθ∞ où il reste immobile. Interpréter qualitativement ce résultat.

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