Définition : Une action mécanique est « invisiblestarpsi.free.fr/Documents/Mecanique/action_mecanique...T.CHIRLE - 2008 Les Actions Mécaniques Définition : Une action mécanique

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Les Actions Mécaniques

Définition : Une action mécanique est « invisible »

Il est peu commode de donner une définition non abstraite d'une action mécanique.Contrairement à d'autres grandeurs mécaniques, une action mécanique se définit par ses effets :

Maintenir un équilibre

Naissance d'un mouvement

Modification du mouvement

Déformation d'un système (gaz, solide déformable,...)

Echauffement

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Modélisations :

Une action mécanique peut être défini de différente manières:

Modèle locale : on associe un champ de forces linéique, surfacique, ou volumique

Densité surfacique de force=

Pression de contact P(M)

Densité volumique de force=

ρ.gρ masse volumique

ACTION de CONTACT ACTION à DISTANCE


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Modélisations :

Une action mécanique peut être défini de différente manières:

Modèle globale : on associe un torseur

Résultante des actions de pression au centre

de la surface de contact

ACTION de CONTACT ACTION à DISTANCE

F

Mo O

Résultante des actions de pesanteur au centre

de gravité

G


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Modélisations

Si le modèle locale est adapté à la mécanique des milieux déformables, ce n'est pas le cas du torseur qu'il faut réserver à la mécanique des solides.

Même Torseur mais pourtant des effets différents suivant l'endroit où s'applique l'action


Le glisseur pour une action mécanique: c'est la représentation d'une FORCE.

=→→=→ 0)cordeskiper,A(M

)cordeskiper(RA

)cordeskiper(T

)cordeskiper(R

→

La force a pour support l'axe centrale du glisseur.La force ne crée aucun moment sur l'axe centrale. Par contre elle crée un moment non nul en dehors de l'axe centrale.

A


Axe centrale du glisseur

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Le glisseur pour une action mécanique: c'est la représentation d'une FORCE.

)cordeskiper(R

→

La notion de point d'application n'a pas de sens pour un torseur, en effet une force aura le même effet en mécanique du solide en tout point de son support.

A


Axe centrale du glisseur

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A'

A''Ces trois actions mécaniques sont identiques


Le glisseur : ressentir le moment d'une FORCE.


Pas de torsion ressentie dans le poignet

On ressent une torsion dans le poignet

Ce sont les mêmes actions mécaniques

G

Action de la main sur la barre

Action de la barre sur la main

POIDS

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Moment d'une force:

AB

H

Winch

RZ

R est le bras de levier de la force F en B.

C'est la distancedu point B au support

de la force

La force F crée un moment en B que l'on calcul

FF

M(B)

z.RFABF)B(MF

B0F

AT cordeskiper

=∧==

=→


Corde

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Moment d'une force autour d'un axe:Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet

1

3 2 6 4 5

O

u

d D Toutes les forces ont même

intensité sauf 6

Axe de rotationde la porte

P4 point du support de la force 4


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1

3 2 6 4 5

O

u

d D




Les force 1, 2 et 3sont innopérantes pourouvrir la porte

M1 ou M2

M3

Explication: Le momentcréé par ces forces en un pointde l'axe est perpendiculaireà l'axe. Ce sont les charnièresqui supportent ces moments.

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1

3 2 6 4 5

O

u

d D




Les force 4, 5 et 6sont plus ou moins efficaces.La 5 est la plus efficace.

La 6 à une intensité plus grandemais mais n'est pas plus efficaceque la 5.

Explication: Le momentcréé par ces forces estsuivant l'axe de rotation.Le bras de levier de 4 estplus petit que celui de 6 quiest lui même plus petit que celui de 5.

M5 ou M6 M4

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Retenons:


( ) ( ) u.FOPu.FOP)F,P(Mu).F,O(M ∧=∧+=

Par définition le moment d’une force autour d’un axe est la projection suivant la direction de l’axe du moment de la force en un point de l’axe

Propriétés :

Ce moment est nul si le support de la force est // à l’axe ou coupe l’axe

Ce moment ne dépend pas du point O choisi sur l’axe

Il n'y a que la composante orthoradialequi créé un moment selon l'axe

O

u

d

Fu

Fv

Fw

F

wP

d.Fvu).F,O(M =


Retenons:


Dans le cas d’un problème plan, ce moment autour de l’axe (O,u) peut aussi s’écrire :

où d(O,(P,F)) désigne la distancedu support de la force à l’axe (O,u).C’est le fameux BRAS DE LEVIER

Le signe est donné par l’orientation du vecteur u.

+ Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens positif - Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens négatif

( ) ( )),(,..).,( FPOdFuFOPuFOM

±=∧=

O

u

d

F

P

+

-


Le bras de levier permet la multiplication de l'effort


Effort de l'utilisateur Effort de serrage

du = Bras de levier de l'utilisateur

ds = Bras de levier de l'effort de serrage

Fs

Fs

Fu

Fu

dsdu

FuFs =


Le bras de levier permet la multiplication de l'effort


Effort de l'utilisateur

Effort de la corde

AB

H

Winch Fc

Corde

Fu

Rc

Ru

RcRu

FuFc =


Exemples de glisseurs ou forcesAction de pesanteur : glisseur passant par G et de résultante verticale descendante

Action d'un fluide sur une coque de bateau : glisseur passant par le centre de poussée de résultante verticale ascendante égale au poids du volume d'eau déplacé (principe d'archimède)

Action d'un cable tendu : glisseur d'axe centrale le cable

Action dans un contact ponctuel avec frottement : glisseur passant par le point de contact

Action d'un ressort de traction : glisseur d'axe centrale l'axe du ressort

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Le couple pour une action mécanique: c'est la représentation d'un COUPLE.

Considérons l'action mécanique créée par deux forces antagonistes de supports différents. Si l'on somme ces actions mécaniques (principe d'additivité des actions mécaniques), on trouve une résultante nulle.

L'action équivalente est un couple C.

F

F

AB O


C


Le torseur couple

F

F

AB O

x

y

RC

=∧===

==

z.RFOAy.F)O(My.FF

O0y.FF

AT

AA

=∧−=−=−=

−=−=

z.RFOBy.F)O(My.FF

O0y.FF

BT

BB

==+ zRF2C0

OTT BA


Principe d'additivité des actions mécaniques


Exemples de couples

Action du stator d'un moteur sur son rotor : couple dirigé selon l'axe du moteur

Action exercée sur le manche d'un tourne vis : couple dirigé selon l'axe du tourne vis

Action d'un ressort de torsion : couple dirigé selon l'axe du ressort (ressort en spirale, barre de torsion...)

Action de frottement : couple transmis par un embrayage


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Cas généraleUne action mécanique quelconque peut être représenté par un torseur


( )( )T S S

A

R R S SM M S SA A

( )1 21 2

1 2

→ == →= →

Résultante des actions mécaniques de S

1 sur S

2

Moment résultant des actions mécaniques de S

1 sur S

2

Vecteur ne dépendant pas du point

Vecteur dépendant du point

( ) ( ) ( ) M S S M S S BA R S SB A1 2 1 2 1 2→ = → + ∧ →On a la propriété du champ des moments d'un torseur :


Champ des moments d'une force


Une action mécanique quelconque peut être décomposé en:

une force de support (∆)

un couple de direction (∆)

C'est une action mécanique de « VISSAGE ».


Passage du modèle locale au modèle globale


Considérons une force élémentaire dF(1->2) qui s'exerce de 1 sur 2 au point Qà travers une surface élémentaire ds .

Cette force crée en O un moment élémentaire :

dF(1->2)

dS

Q

)21(FdOQ))21(Fd,Q(Md))21(Fd,O(Md →∧+→=→

Car l'action élémentaire est uneforce passant par Q


Expression du torseur résultant


Par additivité des actions mécanique, l'action résultante de 1 sur 2 est la somme des actions de contact élémentaires,

dF(1->2)

dS

Q

→→

=∫ ∫

∫ ∫→

))21(Fd,O(Md)21(Fd

0T 21

→∧→

=∫ ∫

∫ ∫→

)21(FdOQ)21(Fd

0T 21

Ou encore


Densité de force


L' actions de contact élémentaires dF, s'exprime en fonction d'une densité linéique, surfacique ou volumique de force.EXEMPLES:

dF(Q,1->2) = µ(x).dx

dSµ(x)

dx

Q

µ(x) =Densité linéique de force

Q

p(x)

dF(Q,1->2) = p(x).dS

P(x) =Densité surfacique de force


Exemple de calcul dimensionnement d'un coussinet de guidage à la pression


Pression uniforme P

Hypothèses : on suppose une pression de contact uniforme s'exerçant sur un demi cylindre


Paramétrage cylindrique


x

y

u

Q

R

x

z

Q

Z

u.dz.d.R.pu.dS.p)21,Q(Fd θ==→

12

dFθ

Ecriture de l'action élementaire en Q


Écriture du torseur des actions mécaniques de 1->2


x

y

u

Q

R

x

z

Q

Z

12

dFθ

( )

−∧+=→∧−=→

=∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

→dS.u.pzZuR)21(FdOQ

dS.u.p)21(Fd

0T 21

O O


Calcul de la résultante des actions mécaniques de 1->2


x

y

u

Q

R

x

z

Q

Z

12

dFθ

∫ ∫∫ ∫−

− −

−=−=→

2/

2/

2/L

2/L

ddZupRdZRdup)21(Rπ

π

θθ Intégration à θ constant

L

O O


Calcul de la résultante des actions mécaniques de 1->2


x

y

u

Q

R

x

z

Q

Z

12

dFθ

( ) ( )∫∫−

−

−

−

+−=−=→2/

2/

2/

2/

dy.sinx.cospRLdupRL)21(Rπ

π

π

π

θθθθ

Attention, le vecteur u dépend du paramètre angulaire

Q'


Calcul de la résultante de 1->2


x

y

u

Q

R

1

2

dFθ

( ) ( )∫∫−

−

−

−

+−=−=→2/

2/

2/

2/

dy.sinx.cospRLdupRL)21(Rπ

π

π

π

θθθθ

Q'

O

Par symétrie , on voit que les composantes sur y se compensent. Le calcul est inutile.

[ ] xS.pxLR2.pxpRL)21(R p2/

2/sin ==−=→ − −θ π

π

2RL

Surface projetée


Remarque : ce résultat est valable pour tout champ de pression uniforme


Les forces se compensent sur une partie de la surface projetée

Sxp

x

Fx=p.Sxp

P

Résultante des forces de pressiondans la direction x


Calcul du moment résultant des actions mécaniques de 1->2


x

y

u

Q

R

x

z

Q

Z

12

dFθ

O O

Il est claire que ce champ de pression ne tend pas à « faire tourner » autour de O.Les moments élémentaire se compensent par symétrie.Le calcul donnerait donc M(O,1->2)=0


Conclusion


=→ 0

x.S.p0

T p21

Pression uniforme P

L'action de 1->2 est une force de supportla droite (O,x)

O

F

Il est maintenant possible de relier la charge radiale F supportée par le coussinet à la pression p


Passage du modèle globale au modèle locale


x

yQ

R

1

2

Cette repartition de pression correspond au même torseur que celui calculé précédement. Il n'est pas possible de déterminer de manière unique la densité surfacique de force connaissant le torseur résultant.

P=Po.cos θ

θ


Actions mécaniques de contact avec frottement


évolution du facteur de freinage μ en fonction du glissement relatif

Bogie de TGV

N

T

µ=|T|/|N|

=Roue bloquée


Modélisation des actions de frottement


Bogie de TGVµ=|T|/|N| sans dimension

Vitesse de glissement

Coefficient d'adhérence

Coefficient de frottement

Modélisation des actions de frottementLOIS de COULOMB


Il n'y a pas de mouvement relatif Il y a mouvement relatif

µo coefficient d'adhérence µ coefficient de frottement

µo µ

Animation mécamédia

ou de frottementCône d'adhérence ou de frottement

L'action tangentielle s'oppose au mouvement

≥


Modélisation des actions de frottement – Modèle locale


n

dF(1->2)

M

V(M,2/1)

dN(1->2)

dT(1->2)1

2

Cône de frottement

µ = tan ϕS'il y a mouvement relatif :

V(M,2/1) ≠ 0

dT(1->2).V(M,2/1) < 0l'action tangentielleest opposé à la vitessede glissementet

|dT|=µ.|dN|


Modélisation des actions de frottement – Modèle locale


n

dF(1->2)

M

dN(1->2)

dT(1->2)1

2

S'il n'y a mouvement relatif :

V(M,2/1) = 0

pas d'information sur la direction et le sens de l'action tangentielle

mais

|dT|≤µο.|dN|

Cône d'adhérence

µο = tan ϕ

ο


Quelques valeurs de coefficient de frottement de adhérence


Le coefficient de frottement dépend de certains paramètres : nature des matériaux en contact rugosité des surfaces lubrification (ou non ) des surfaces

Par contre, il est dans une grande mesure indépendant de la forme des surfaces, de la vitesse de glissement ou de la valeur de l’effort normal au contact.


Modélisation des actions de contact sans frottement


n

dF(1->2)

M1

2

Si l'on peut négliger les frottements, l'action tangentielle est nulle

dT=0

l'action élémentaire dF est normalea la surface de contact


torseur transmissibles dans une liaison parfaite


Intuitivement, quand il y a une translation relative possible d'un solide par rapport à l'autre, on ne peut pas transmettre de force dans la direction de la translation.

Inversement si une translation est bloquée, on peut transmettre une force.

X

Translationpossible

Translationbloquée

Pas de forcetransmissibleX

forcetransmissible

Liaison pivot glissant




De même, quand il y a une rotation relative possible d'un solide par rapport à l'autre, on ne peut pas transmettre de couple autour de l'axe de rotation.

Inversement si une rotation est bloquée, on peut transmettre un couple.

X

Rotationpossible

Rotationbloquée

Pas de coupletransmissible

Coupletransmissible

Liaison pivot glissantX




Attention à bien croiser! (rotation<->couple) (translation<->force)

Liaison pivot glissant

Ax

y

( )z,y,x00

V00

A)1/2(V yy

Ω=

( )z,y,xMyFy

00MxFx

A)21(T

=→

Cela revient à dire que la liaison ne dissipe pas d'énergie (liaison parfaite),voir complément à la fin de ce document.




On pourrait retrouver ce résultat à partir de la particularité de la densité surfacique de force en l'absence de frottement:

dF

A y

dF perpendiculaire à y

dF ne crée pas de moment selon l'axe (O,y)

( )z,y,xMzFz

00MxFx

A)21(FdAQ)21(Fd

AT 21

=

→∧→

=∫ ∫

∫ ∫→


Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées


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Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées

Complément : puissance dissipée dans une liaison


Q

1 2

dF(1->2)

V(Q,2/

1)

Exprimons la puissance développéepar les actions mécaniques de contact.

Ce sera la puissance dissipée dans la liaison 1-2.



Q

1 2

dF(1->2)

V(Q,2/

1)la puissance élementaire en Q s'écrit

)1/2,Q(V).21(Fd)1/21dP(Q,

→=→

Sommons sur la surface de contact S:





Q

1 2

dF(1->2)

V(Q,2/

1)

A

( )∫ ∫ ∧Ω+→=→S

AQ)1/2()1/2,A(V).21(Fd)1/21P(Q,

Grace au champ des vitesses, on fait apparaîtreun point A de 2

( )∫ ∫∫ ∫ ∧Ω→+→=SS

AQ)1/2().21(Fd)1/2,A(V).21(Fd

( )∫ ∫∫ ∫ →∧Ω+→=SS

)21(FdAQ).1/2()21(Fd).1/2,A(V

Moment dutorseur cinématique

Moment dutorseur d'AM

Résultante dutorseur d'AM

Résultante dutorseur

cinématique


Résultat : Puissance dissipée dans une liaison


Q

1 2

dF(1->2)

V(Q,2/

1)

A

Grace au champ des vitesses, on fait apparaîtreun point A de 2

)21,(OM).1/2()21(R).1/2,A(V)1/21(P →Ω+→=→

Ω⊗

→→=⊗=→ →

)1/2,A(V)1/2(

A)21,A(M)21(R

AVT)1/21(P 1/221

C'est ce que l'on appelle le commoment de deux torseurs


Résultat : Pour une liaison parfaite la puissance dissipée doit être nulle d'où


( ) ( )z,y,xMzFz

MyFyMxFx

Az,y,xVVV

A)21(T)1/2(V

zz

yy

xx

⊗

ΩΩΩ

=→⊗

0Mz.My.Mx.Fz.VFy.VFx.V zyxzyx =Ω+Ω+Ω+++=

Cette propriété est vérifiée pour toutes les liaisons normalisées
