Diapo sup

Ce que je raconte n’est pas écrit… pour que vous vous y retrouviez, je procède à quelques ajouts.Si le sujet est la méthode d’Euler, j’effleure un historique (il y est plus questions d’histoires que d’histoire!) qui montre que le calcul infinitésimal qui deviendra l’analyse en mathématique n’est pas né d’hier.

Les grecs, et leurs suivants seront obnubilés par la démonstration GEOMETRIQUE. Par exemple, la parabole (jeté de cailloux ou de javelo), ne sera validée que par sa ressemblance avec l’intersection d’un tronc de cône par un plan (Menechme de Proconnèse -375 à –325).[L’école normale de l’an III, comme les années 70 (1970) essayeront de se dissocier d’une vue géométrique de l’enseignement pour démarrer sur l’analyse mathématique ou sur « les maths modernes »… je pourrais développer!!!]J’essaye de montrer que des grecs au XVIe siècle, le problème vient d’une vue érronée, transmise par la religion, empêchant les calculs astronomiques de prendre l’ampleur qu’ils devraient.ET SURTOUT : qu’une équation différentielle n’a que rarement une solution analytique (exacte). Il faut passer par une méthode d’approximation. Nous n’en prévenons pas suffisamment les élèves.

Le calcul infinitésimal, vers la méthode d’Euler.

Depuis ArchimEde jusqu’A Euler, en passant par Newton,

LE CALCUL INFINITESIMAL..

Quelques définitions :

•Calcul infinitésimal : Ensemble de notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations fondée sur l'étude des infiniment petits et des limites, tel qu’il a été mis au point aux XVIIe et XVIIIe siècles.

•Calcul différentiel : Partie des mathématiques qui traite des propriétés locales des fonctions, de leur comportement, pour des variations infiniment petites de la variable.

•Calcul intégral : Ensemble des méthodes et algorithmes relatifs au calcul des primitives, des intégrales et à la résolution des équations différentielles.

•Variations : Pour une fonction f d’une variable x, façon dont les valeurs

des images des éléments du domaine de définition de f se situent les unes par rapport aux autres.

Archimède et l’approximation de PI.

c’est le nombre de PI thagore !

Méthode : le principe d’exhaustion que l’on appelle aussi l’axiome d’Archimède. « Si à deux quantités on soustrait à la plus grande plus de sa moitié, et du reste (qui veut dire de nouveau à la plus grande de ce qui reste) plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra (en reitérant le procédé un nombre fini de fois !) une grandeur moindre que la plus petite.

Vrai ?

Nous verrons plus loin pourquoi « plus de la moitié » (pb de la dichotomie).

Un exemple vers le calcul infinitésimal :

Pour un disque de rayon r = 1, son aire, sa surface vaut puisque… !).

Ce disque contient un polygone régulier (l’aire du disque est supérieure à celle du polygone inscrit). Il (le disque) est lui même inscrit dans un polygone régulier du même nombre de côtés (l’aire du disque est inférieure à celle du polygone circonscrit). Plus on augmente le nombre de côtés et plus les aires des deux polygones se rapprochent. Comme elles encadrent l’aire du disque, le résultat obtenu est une approximation de .

2A r

Remarques :

•·         la méthode est rigoureuse (l’aire du disque est coincée entre deux valeurs qui vont se rejoindre de plus en plus, et ce, d’autant que l’on veut).

•·         Archimède double le nombre de côtés à chaque nouveau calcul..

Premier essai : encadrement par deux triangles équilatéraux

Les différentes inclusions (qui contient qui) sont évidentes.

le rayon OA se trouve être sur la bissectrice, hauteur, médiane, médiatrice issue de A. AH est médiane. Les médianes se coupent au tiers de chacune d’elles (depuis la base).

Donc, d’où . 21

3OA AH

3

2AH

AH étant hauteur d’un triangle équilatéral de côté a, nous avons

(ce résultat vous est offert par Pythagore). Nous avons

et donc .

3

2AH a

3 3

2 2a

33

3a

aire du triangle intérieur : . .3

33 22 2i

base hauteurA

3

3 31,299

4iA

Extérieurement :

AD médiane d’où .

AD hauteur du triangle équilatéral, donc

d’où .

1

3OA AD 3AD

33

2

a

23 2 3

3a

Aire du triangle extérieur :

 Nous pouvons écrire : .

3

3 2 33 3 5,196

2eA

1,299 5,196

Exercice pour la prochaine fois : calculer l’approximation obtenue avec l'ennéagone régulier.

Deuxième essai, l’hexagone mathématique (*)

intérieurement :

  avec a=1 d’où et

 

extérieurement : 

OA hauteur donc et

3

2OH a 3

2OH

6

31 3 326 2,5982 2iA

31

2OA a

2 2 3

33a

6

32 136 2 3 3,4642eA

Nous pouvons écrire : .2,598 3,464

(*) il semble que le nombre d’angles de l’hexagone géographique soit différent du nombre d’angles de l’hexagone mathématique… ils disent à la télé : « aux quatre coins de l’exagone »

Archimède continue cette méthode purement géométrique en doublant chaque fois le nombre de côtés des polygones réguliers utilisés (6, 12, 24, 48, jusqu’à 96 côtés). Il démontre la double inégalité suivante :

(soit ).

Cet encadrement donne les deux premières décimales de .

10 1 223 + < <3 + =

71 7 7

3,1408... 3,1428...

D’autres amateurs ont essayé d’approcher par cette méthode. Le record en la matière appartient à Ludolph van Ceulen (XVIe siècle). Il consacra sa vie à ce calcul et parvint à trouver 35 décimales, à l'aide de polygones ayant 262 cotés (4 611 686 018 427 387 904 côtés !).

Méthode d’exhaustion (suite), le tronc de cône :

Archimède commence par calculer le volume de la pyramide.

Puis il applique « sa » méthode : le disque de base est remplacé par un polygone dont il augmente le nombre de côté de façon infinie (en réalité il s’arrête à ce qu’il peut calculer raisonnablement). Il faut remarquer que la méthode d’exhaustion utilisée par Archimède, lui permit d’établir de nombreuses formules relatives aux aires (y compris celle située sous un arc de parabole), aux surfaces (sphère par exemple), aux volumes (celui de la sphère en calcul exact).

Nous allons voir bientôt d’autres méthodes de calcul du volume de la sphère.

Petit calcul infinitésimal?

Pour joindre deux côtés opposés en diagonale, on parcourt une certaine distance à l’horizontale, puis la même distance à la verticale et ainsi de suite pour retomber sur le coin opposé. À chaque nouveau parcours la distance parcourue pour chacun des segments horizontaux puis verticaux est divisées par deux.

L’image ci-contre donne une idée du problème posé. En supposant que les côtés du carré mesurent 1 mètre, que chaque petit segment

mesure 1 micromètre (10-6 m soit 0,00 000 1 m) que penser de la distance parcourue?

Personnellement je verrais bien du Thalès…

Vous préférez Pythagore, à tort! Chaque segment est parallèle à l’horizontale ou à la verticale… le total sera toujours 1+1=2. Attention à la limite en géométrie !

Vous pouvez ajouter…

L’objectif de la vue précédente était de montrer le problème du passage à la limite en géométrie.

Vous pouvez ajouter un exercice que je pose TOUS LES ANS en seconde : (après calculs proposer une histoire de limite pour les 1ères et Tales!

Monsieur et madame Puce ont décidé de passer quelques vacances sur la côte d'Azor (un chien). La trajectoire du saut d'une puce peut être assimilée à un demi-cercle.

Il faut deux bonds à madame Puce pour arriver au même point que monsieur puce en un seul saut.

Sachant que AB=10 cm, que monsieur et madame Puce doivent parcourir 5 m au total, quelle est au millimètre près la différence des distances totales (sommes des arcs de cercles) parcourues par monsieur et madame Puce ?

Historiquement :

Avant les Grecs, nous ne savons pas grand chose sur leurs capacités mathématiques. Ils ne nous ont pas gravé un CD avec images, textes musiques et chansons… 

Dans la période helléniste, environ 500 avant JC, jusqu’à (toujours environ) 400 après JC, les philosophes taillent et découpent le sens des mots, observent et décrivent la nature, construisent les bases d’un savoir mathématique de grande qualité. Il est à noter que pour les grecs tout est géométrie. Platon écrit à la porte de son école « que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Ce développement de la géométrie nous est connu par nos études. Euclide, Pythagore, Thalès, Ératosthène (crible pour les nombres premiers) sont les premiers noms que nous découvrons dans les programmes de mathématique.

Petite galerie de portraits : (les dates sont approximatives !).

THALES de Milet (Grec) 624 à 548 avant JC.

PYTHAGORE de Samos (Grec) de 570 à 500 avant JC.

Commentaire sup :

Thalès : pour lui la terre est sphérique. Il arrive à trouver qu’elle est inclinée par rapport à l’écliptique. Il n’affirme pas que la terre tourne autour du soleil mais presque.

Pythagore : LE GRAND PYTHAGORE, il poursuit les idées de Thalès, et trouve que la terre tourne autour du soleil. C’est LE GRAND PYTHAGORE qui le dit…

ZENON d’Élée (Grec) 490 à 430 avant JC.

Zénon a une vision atomiste de l'espace et du temps. Le découpage à l’infini ne lui plait pas (la dichotomie, découpage en deux parties pour n’en garder qu’une, celle qui nous intéresse, où se trouve par exemple la solution du problème cherché). Le découpage d’une surface par des lignes ne sera possible que jusqu’à ce que cette ligne garde encore une épaisseur (après, pour lui, il n’y a rien). C’est la méthode d’exhaustion qui sera utilisée par et Archimède.

Paradoxe de la flèche : Une flèche occupant à chaque instant un espace égal à son volume, elle ne peut se mouvoir ni dans l'espace où elle se trouve, encore moins dans celui où elle ne se trouve pas. Son mouvement est donc impossible.

Aux partisans de la divisibilité à l'infini de l'espace et du temps, Zénon rétorque par la dichotomie : si on intercale des couples "espace-temps" supplémentaires, le problème est alors récurrent : l'espace doit être divisé à l'infini et la flèche devra d'abord parcourir la moitié de la distance qui la sépare de sa cible, puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite indéfiniment car la moitié d'une distance non nulle ne sera jamais nulle. Ainsi, dans les deux hypothèses, la flèche n'atteindra pas la cible : le mouvement est impossible !

Paradoxe d'Achille et la tortue : Achille voit une tortue en avant sur son chemin. Il se met à courir pour la rattraper mais malgré sa grande vélocité, il ne pourra y arriver : les raisons sont sensiblement les mêmes que ci-dessus : car lorsque Achille atteint la place qu'occupait la tortue, cette dernière a avancé; il doit donc atteindre maintenant la place qu'elle occupe alors, et ainsi de suite... : Achille ne rattrapera donc jamais la tortue.

DEMOCRITE (Grec) 460 à 370 avant JC : On lui doit la première théorie atomiste héritée de ses maîtres Anaxagore et Leucippe : outre le vide, la matière est constituée de particules indivisibles dont les multiples combinaisons engendrent tant les âmes que les corps. Il effectue les premiers calculs sur le volume du cône et de la pyramide par des méthodes reprises par Eudoxe puis Archimède (méthode d’exhaustion).

PLATON (Grec) 428 à 348 avant JC. Philosophe, poète, dramaturge et politicien. Sur le fronton de l’école qu’il créa il écrivit : « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ».

EUDOXE de Cnide (Grec) 408 à 355 avant JC (pas d’image). Il énonce sa théorie des sphères homocentriques, héritée de Parménide (philosophe, école d'Élée, vers - 500) qui sera confortée par Aristote et Ptolémée : géocentrisme.

Eudoxe est aussi l'initiateur de la méthode d'exhaustion qui lui permettra, par des quadratures proches de celles de Riemann, le calcul d'aires et de volumes complexes, que reprendra et affinera Archimède.

Commentaire sup :

Platon n’est signalé que pour sa devise, même si l’on peut ajouter quelques bricoles…

Pour Eudoxe, patatras, c’est le début de la vision géocentrique. Pourtant, le grand Pythagore…

ARISTOTE (Grec) 384 à 322 avant JC. Sa vision cosmologique géocentrique (la Terre est centre du Monde), confortant celle d'Eudoxe, reprise par Saint Thomas d'Aquin (philosophe et religieux italien du 13e siècle), et érigée en dogme, entrava le développement de la science, sinon celle de l'astronomie, jusqu'au 17è siècle.

MENECHME de Proconnèse (Grec) 375 à 325 avant JC. Pas d’image

Pas d’image ARISTARQUE de Samos (Grec) 310 à 230 avant JC.

Pas d’image EUCLIDE d’Alexandrie (Grec) vers 285 avant JC.

Commentaire sup :

Aristote OK

Ménechme : pour parabole.

Aristarque : il ose penser que la terre tourne autour du soleil… ce sera mal vu!

Euclide : rien à voir avec le sujet mais il est important dans le monde des mathématiques.

ARCHIMEDE de Syracuse (Grec) 287 à 212 avant JC. Nous avons vu un tout petit bout de ces recherches et résultats (PI, calcul de surfaces et de volumes).

Archimède apparaît comme un génial précurseur du calcul infinitésimal.

ERATOSTHENE de Cyrène (Grec) 276 à 196 avant JC. :

En astronomie, il se distingua par son remarquable calcul de la longueur du méridien terrestre qu'il évalue à environ 40000 km

Commentaire sup :

Pas grand chose à rajouter…

Archimède est un peu détaillé dans ce qui précède pour sa méthode d’exhaustion,

Ératosthène est signalé pour son calcul (à 3%) du rayon de la terre, sinon, rien à voir avec le sujet!

PTOLEMEE Claudius (Grec) de 90 à 168 (APRES JC) :

Illustre astronome et géographe à Alexandrie. Son œuvre, le Megiste Syntaxis (le très grand traité), inspirée des travaux d'Hipparque, dénommé l'Almageste par les Arabes (de al = le et megistos = très grand), décrit un géocentrisme harmonieux cher à Aristote : la Terre, immobile, est le centre du monde autour de laquelle tournent circulairement et à des vitesses uniformes les autres objets célestes.

THÉON d'Alexandrie, grec, 4è siècle & sa fille Hypatia , 370 à 415

Théon d'Alexandrie, astronome et mathématicien, vécut au 4è siècle. Ses travaux sont indissociables de ceux de sa fille Hypatia (Hypatie). On dit d'elle qu'elle fut belle et fort intelligente. Élevée, de par son père, dans la philosophie et les sciences, elle étudia à Athènes et créa à Alexandrie une école philosophico-mathématique où elle enseigna Platon et Aristote. Son succès déplut et engendra méfiance auprès des autorités chrétiennes.

Pas d’image

Commentaire sup

Ptolémée signe le chaos… il en sera fait référence par le christianisme, et deviendra une contrariété dans tous les calculs astronomiques, qui après le XVIe initieront le calcul infinitésimal et le développement de l’analyse.

Le suivant est indiqué parce que sa fille (c’est pas commun les femmes dans l’histoire des maths, elles sont oubliées) aura une grande réputation.

D’ORESME Nicole (France) 1325 à 1382. Prêtre, philosophe, écrivain, astronome. Il envisagea la rotation de la terre… et écrivit un traité sur la sphère. Ses recherches le conduisent aux premières notions de représentation graphique de fonction (lien entre distance, temps et vitesse) et d’extrema (recherche d’un maximum ou minimum).

Pas d’image

Al-KASHI ou Al-KASHANI Gamshid ibn Messaoud dit Ghyath ad-din (auxiliaire de la foi) perse, 1350?-1439?

C'est par la méthode des périmètres qu'il calcula le nombre pi, en base 60, avec 9 positions, soit, par conversion qu'il exprime, l'équivalent de 16 décimales (Traité sur le cercle, 1424), excellente approximation alors jamais atteinte :

2pi = 6,283 185 307 179 586 5...

La plus précise connue alors était celle du mathématicien chinois Tsu Chung Chi (vers l'an 450) qui, par la méthode des périmètres, avait obtenu l'encadrement :

3,1415926 < pi < 3,1415927

Pas d’image

Commentaire sup

Ici un petit commentaire sur l’obscurantisme et la faible activité mathématique apparente…

Les mathématiques Arabes concerne une sphère Grecque! Si on y aperçoit un début d’algorithmique et de l’algèbre, c’est en Europe que ça reprendra bien plus tard, en considérant que l’algèbre sera une « théorisation » de la géométrie (Descartes).

NEPER (ou NAPIER) John (écossais) 1550 à 1617 : Neper s'attacha tout d'abord à définir le logarithme d'un sinus (nombre compris entre 0 et 1) en s'appuyant sur de complexes considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique .

On remarquera que si une suite (un) de nombres est géométrique de

la forme un = a.un-1, a constant, a > 0, a1 (a est la raison de la suite),

alors le "logarithme" dans la base a de un est une suite arithmétique (vn) de raison 1 :

par passage au logarithme, les multiplications deviennent des additions.

Les logarithmes peuvent être ainsi définis, comme le fit Euler :

si y = ax , alors logay = x (logarithme de base a, a > 0, a 1)

Le logarithme dit népérien, ou encore naturel, voire hyperbolique depuis Euler, autrefois noté Log et noté aujourd'hui ln, vérifie pour tout x > 0 :

Ainsi relié au calcul intégral, il est étudié en classes Terminales des lycées.

1

1ln

x

dtt

x

Petit intermède : de la physique et des maths

Pour décrire un phénomène physique (pas forcément de la physique!), essayer d’en prévoir l’évolution, d’établir une loi décrivant ce qui apparaît, on procède par expérimentation, modélisation, confrontation au modèle des résultats d’autres apparitions du même phénomène.

Méthode : partant d’un relevé de valeurs (régulièrement relevées c’est plus facile), on place les points (temps, valeur observée) dans le plan. L’aspect de la courbe obtenue invite (en général) à choisir un modèle plutôt qu’un autre.

Pour une ressemblance avec les courbes ci-contre, on pense à un Phénomène exponentiel. QU’IL FAUT VERIFIER !

SI les valeurs (ordonnées) forment une suite géométrique (*), Alors le phénomène est déclaré exponentiel.

(*) on vérifie si le rapport des termes consécutif est constant (environ, car tout relevé est entaché d’une certaine erreur d’incertitude).

Des suites géométriques vers l’exponentielle :

L’expression d’un pourcentage se fait à partir d’un coefficient multiplicateur (par

exemple pour trouver le prix TTC d’une marchandise)

19,60(1 ) (1,196)

100TTC HT HTP P P

Un objet à 3,50 € (ce pourrait être un pack de cola, simple fiction) augmente de 1 % tous les mois. Le prix, un mois plus tard se formulera . Le mois suivant,

. Et pour le nième mois d’après,

. Belle expression, de la forme f(x)=a.bx

1 3,50 1,01P 2

2 3,50 (1,01)P

3,50 (1,01)nnP

Je peux remarquer une augmentation de plus en plus rapide (la valeur double pour 70 mois, elle redouble pour 70 mois plus tard, DONC elle a augmenté de 3,50 € en 6 ans puis de 7 € les 6 années suivantes !).

La courbe ‘monte de plus en plus’  (en réalité ce ne sont que des points NON reliés car phénomène discret ou ponctuel).

Dans le tableau je lis 5 € au bout de 36 mois, 7 € au 70ième (donc le double) et 14,67 € pour 12 ans (144 mois).

diminution perpétuelle : une tour, qui n’a pas été bâtie à Pise, toise 10 m le jour de son inauguration. Or ses fondations reposent sur un sous sol sableux… Elle s’enfonce de 2 % par mois de la hauteur restant visible. Calculs… et formule

De la forme f(x)=a.bx

10 0,98nny

Courbe ci-contre, et tableau de valeurs (en mois !), avec pour étapes principales : en 1 an elle perd 2 m !, au 35ième mois (3 ans) elle e fait plus que la moitié d’elle même (tient donc résoudre h=h/2…) et si je continue, au 80ième plus que 2 petits mètres, dans sa 10ième année elle passe en dessous du mètre, et si j’attends encore un peu, près de 17 ans plus tard, elle sert de marche d’une hauteur idéale de 17 cm (il paraît que c’est la meilleure hauteur pour construire les marches).

Commentaire sup

Ce » qui précède ramène l’introduction de la fonction exponentielle (phénomène continu) aux suites géométriques (phénomène discret, ponctuel).

Un détail : le prêt était simple du temps des Grecs et suivants… tu empruntes 100 unités, tu rembourseras 200 unités…

Ce n’est que plus tard que les taux deviennent plus difficiles à calculer et demandent le passage aux logarithmes comme une bénédiction (multiplication ardue remplacée par addition).

Le condensateur :

Étude de la décharge d’un condensateur. On relève (toutes les unités de temps) la valeur de la tension aux bornes d’un condensateur préalablement chargé relié à une résistance de décharge. Le tracé ressemble à l’un de ceux que nous avons vu juste avant. Est-ce vraiment un phénomène exponentiel?

L1 contient les unités de temps, L2 les valeurs mesurées, et L3 le rapport Un+1/Un.Certes, ce rapport n’est pas constant. Nous dirons qu’aux écarts d’incertitudes sur la mesure, les valeurs sont suffisamment semblables. C’est un phénomène exponentiel.

Tentative d’explication par le calcul infinitésimal : au départ charge Q, tension U telle que Q=CU (formule générale). Plus tard, à l’instant t, q=Cu. À t+dt, (dt tellement petit que u ne s’en aperçoit même pas), des charges se déplacent (dq) et créent un courant i.

dq=-i dt or u=Ri (loi d’Ohm) donc i=u/R et q=Cu donc u=q/C. On remplace,

dq/dt=-i=-u/R=-q/CR soit dq/dt= -q/CR de la forme dy/dx=a y+b (a0). (équation différentielle dont la solution est une exponentielle).

Provisoirement sur la fonction exponentielle :

Dans ce qui précède, nous apercevons une certaine fonction exponentielle, mais nous ne la connaissons pas pour autant.

Toute équation différentielle liant directement une fonction et sa fonction dérivée (forme précédente du condensateur) trouve sa solution dans la fonction exponentielle.

Toute calculatrice graphique nous offre sa courbe. Ce qui est indicatif mais loin d’être suffisant.

Nous avons vu (Neper) que l’introduction des logarithmes se traduit par un passage aux exponentielles (Euler).

La méthode d’Euler, avec peu de moyens, permet une approche de la fonction exponentielle INCONNUE très simplement.

Que disait l’étude du condensateur ?dq/dt= -q/CR de la forme dy/dx=a y+b ou autre notation, y’=a y+b (a0)Regardons parmi cette famille (obtenue par les variations de a et b) celle qui sera déclarée la plus simple… a=1 et b=0. Il faut une information supplémentaire, qui est que pour x0=0 (ou t0=0) y(x0)=y0=1.

La méthode d’EULER :

0lim ( ) 0h

h

Description de la méthode :

L’une des définitions du nombre dérivé s’écrit : pour F définie sur I, pour tout h tel que x0+h appartienne à I, avec .

(On posera pour la suite ).

Euler se dit que si le dernier terme ‘est nul’ (car h et le sont pratiquement, donc leur produit l’est encore plus), il peut écrire , qu’il considère comme une formule de récurrence, , où h est le pas choisi, le point de départ M0 (x0 ; y0) sur la courbe cherchée étant donné. Il définit alors une

suite de points M1, M2, …, Mn par application de cette formule de récurrence

généralisée, .

0 0 0( ) ( ) '( ) ( )F x h F x h F x h h '( ) ( )F x f x

( )h0 0 0( ) ( ) ( )F x h F x h f x

1 0 0( )y y h f x

1 ( )n n ny y h f x D’une fonction (inconnue) solution d’une équation différentielle (que nous ne savons pas résoudre, ça arrive souvent!) nous ne connaissons QUE la condition initiale M0 (x0 ; y0).

À partir de « finalement nous ne savons rien », nous sommes capables de tracer une approximation « honnête » de la courbe solution, appelée courbe intégrale (sur l’intervalle…).

Application à la fonction exponentielle :

Posons le problème : soit à chercher la courbe intégrale (une approximation) solution de l’équation différentielle

sur l’intervalle I=[1 ; 2].Remarque : autant F que f sont inconnues ! Pourtant…, comme y’=y, l’approximation de y donne celle de y’.

0 0 0

'( ) ( )

( ) 1 0

y t y t

y t y pour t

Les formules : A2 : =E1 ; B2 : =E2 ;A3 : =A2+E$3 ; B3 : =B2+B2*E$3Recopier ces formules vers le bas. Passer à la représentation graphique.

Deuxième version, même intervalle, pas h=0,05.

Reprenons le cours de l’histoire :

GALILEE Galileo (Italien) 1564 à 1642 :Il confirmera les idées héliocentriques de Copernic, déclarées hérétiques par le pape Paul V en 1616, et sera condamné par l'inquisition. Il devra abjurer en 1633, tout en énonçant tout bas -dit la légende- cette phrase célèbre : E pur, si muove! (et pourtant, elle tourne!)

MERSENNE Marin (Français), 1588 à 1648Abbé, philosophe et physicien, il se passionna pour les mathématiques de son époque. Il établit une correspondance avec les plus grands physiciens et mathématiciens comme Huygens, Roberval, Torricelli, Pascal, Fermat et, tout particulièrement, Descartes qui permet d'établir une sorte de journal de la recherche scientifique de son époque.

CAVALIERI Francesco Bonaventura (Italien) , 1598-1647Astronome et prêtre, le révérend père n'en épouse pas moins les théories "hérétiques" de son maître Galilée. Précurseur, avec Torricelli et Roberval, de la géométrie différentielle (infinitésimale) et du calcul intégral avec la méthode des indivisibles

Basée sur l'idée que les surfaces et les volumes sont respectivement constitués d'agrégats de lignes et de feuillets parallèles indivisibles, la méthode des indivisibles évite les passages à la limite liés à la sommation d'une infinité de termes par un usage savant de rapports d'aires. Certains paradoxes résulteront de cette vision "stratifiée" des surfaces et des volumes : là encore, en ce domaine, la difficulté est, comme dans l'Antiquité avec la méthode d'exhaustion d'Eudoxe et d'Archimède, le statut approximatif d'un continu intuitif face au dénombrable.

Fermat Pierre (Français) 1601-1665: c’est une curiosité… en effet, il n’a que rarement publié ses travaux et découvertes ! il ne travaillait les mathématiques que pour son plaisir personnel, aussi, ses plus grands travaux apparaissent sous forme de commentaires dans la marge des traités, revues, ouvrages qu’il lisait. On suppose que malheureusement, un grand nombre de ses travaux a disparu. Il correspond avec tous les scientifiques de son époque. Sa renommée, sa réputation et ses compétences sont reconnues par tous.

TORICELLI Evengelista (Italien) 1608 à 1647 :Disciple de Galilée. En mathématiques, il améliorera sensiblement la méthode ardue, voire embrouillée, des indivisibles de Cavalieri, première approche du calcul intégral "moderne".

Il est considéré comme le plus grand mathématicien français de tout le XVIIe siècle.Sa méthode des maxima et minima (extremum, obtenu par limite du taux de variation), ou de la détermination des tangentes, ses démonstrations en intégration (méthode des indivisibles de Cavallieri) en font une pierre angulaire du calcul

Infinitésimal. De la formule seule la puissance 4 était démontrée. Lui la démontre pour tous les entiers et exposants fractionnaires positifs.

1

0 1

nan a

nx dx

WALLIS John (anglais), 1616-1703Ses travaux portent sur la géométrie analytique (coniques en particulier) et l'analyse "infinie" (calcul infinitésimal, rectification et quadratures) où, passant à la limite sans trop de précautions, il put cependant avancer des résultats exacts : Arithmétique des infinis (1655) traitant de la convergence de ce que nous appelons aujourd'hui les suites et les séries numériques. Se dégageant de l'aspect géométrique des quadratures de Cavalieri (méthode des indivisibles), il annonce, avec Fermat et Pascal le calcul intégral "moderne" de Newton et Leibniz. On doit à Wallis, dans ce traité, la notation pour désigner l'infini. Il est aussi à l'origine des exposants fractionnaires; il utilisa aussi des exposants négatifs. Rappelons que c'est à Descartes que l'on doit cette notation en exposant des puissances d'un nombre x : xn. Newton en assoira définitivement l'usage.

PASCAL Blaise (français)1623 1662

C'est dans son traité sur le triangle arithmétique que Pascal énonce pour la première fois le principe du raisonnement par récurrence, forme de raisonnement inductif prôné par Poincaré et les intuitionnistes (cas particulier cas général, effet cause) par opposition au raisonnement déductif (cas général cas particulier, cause effet) : syllogisme cher à Aristote : Soit Pn une propriété dépendant de l'entier n. Si Pk est vraie pour l'entier k et si pour tout n>k, la validité (véracité) de Pn implique celle de Pn+1 (hérédité), alors Pn est vraie pour tout n>k.

Par son usage de la méthode des indivisibles, introduite au début du siècle par Cavalieri, où il introduit, comme Wallis en Angleterre, l'usage des suites et des séries numériques au détriment de l'aspect géométrique, Pascal annonce le calcul infinitésimal, aussi appelé différentiel et intégral.

C'est ainsi qu'il étudia la roulette, appelée aujourd'hui cycloïde dont il précisa les tangentes. Christopher Wren en calculera la longueur.

SLUSE René François Walter (flamand), 1623 à 1685Prêtre, il fut chanoine de la cathédrale de Liège, mais aussi un savant respecté dans les trois domaines fondamentaux que sont les mathématiques, la physique, l'astronomie. En mathématiques, de Sluse s'intéressa tout particulièrement aux courbes planes : c'est l'époque de Pascal et de Cavalieri avec lesquels il correspondit; des premières ébauches du calcul différentiel, de la fameuse cycloïde et de l'introduction du concept de tangente à une courbe.

BARROW Isaac (anglais), 1630 à 1677Ce théologien fut aussi un brillant mathématicien en la célèbre université de Cambridge. Professeur de Newton qui l'assista dans ses travaux et qui lui succédera en 1669, il avança, dans son principal traité intitulé Lectiones Geometricae (1674) les principes naissants du calcul différentiel et intégral par l'étude géométrique des tangentes à une courbe au moyen de ce qu'il nomma le triangle différentiel.

Le même procédé fut auparavant utilisé par Pascal dans son Traité des sinus du quart de cercle (1658) afin de calculer l'aire sous une arche de cycloïde.

NEWTON Isaac (anglais), 1642 à 1727 Illustre physicien, philosophe et, on l'oublie parfois, mathématicien renommé. Il étudia au Trinity College de Cambridge (Angleterre) où Barrow fut son professeur. La fin du 17e siècle marque la fin de l'inquisition et il sut allier les progrès de la science aux idées théologiques de

son temps. En mathématiques, il étudia les travaux de Wallis et, poursuivant les travaux de Barrow, Newton peut être considéré, avec Leibniz, comme le père du calcul différentiel et intégral qu'il appela "Méthode des fluxions".

Cependant, les notions de "limite" et de "dérivée" ne sont pas encore explicitées. Par le biais de la mécanique, on s'intéresse au comportement local des courbes planes par l'étude de leurs tangentes et de leur pente : fluxion. C'est une approche mécanique et géométrique, non analytique.Concernant les exposants, Newton à la suite des premiers usages commis par Wallis et Descartes propose (1676) l'usage définitif des notations an , a-n (pour 1/an) , a1/2 pour racine carrée de a, a1/3 pour la racine cubique. Cette notation moderne de la racine cubique semble due à Thomas Fantet de Lagny (1660-1734).

LEIBNIZ (Leibnitz) Gottfried Wilhelm (allemand), 1646 à 1716Philosophe, savant, juriste et diplomate à l'époque de Louis XIV. Encouragé par Huygens à étudier les mathématiques, il cherche à améliorer la théorie des indivisibles de Cavalieri et sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral. Il se consacrera également au développement en série des fonctions.

Différentielle et équation différentielle : Leibniz a utilisé dans ses écrits des notations nouvelles, plus "fonctionnelles" : il précise le concept de fonction (le terme est de lui, 1692 : en latin functio = accomplissement, exécution) et de fonction dérivée, à travers celui de différentielle, que Newton appela fluxion. Les notations fx puis f(x) seront dues à Euler et Clairaut.

On lui doit aussi : les Dy, D2y, Dny pour les dérivées successives utilisés conjointement par Johann BernoulliC'est à Lagrange que l'on devra le terme de dérivée et la notation f '(x), le dy (pour la différentielle de y, fonction de x) le signe

pour l'intégrale (c'est un s pour sommation du latin summa ).Il manipule des "infiniment petits" : on ne passe pas encore à la limite. On ne parle pas non plus de fonction continue. La notion de courbe est rattachée à une vision cinématique comme chez Neper, Descartes et Newton : la continuité reste implicite. Pour ces concepts, indissociables d'une construction préalable des nombres réels, il faudra attendre d'Alembert, Lagrange, Euler et, pour une plus grande rigueur, Cauchy, Riemann , Weierstrass.Leibniz énonça le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral liant l'aire sous la courbe aux primitives de la fonction et en considérant le processus de "sommation" comme réciproque de la "différentiation".

On lui doit la formulation "moderne" du calcul d'un volume de révolution :

utilisée implicitement par ses illustres prédécesseurs Archimède (méthode d'exhaustion) et Cavalieri (méthode des indivisibles).

max

min

2x

xy dxV

Principe : découper des tranches. Comme pour le jambon, plus elles sont fines et meilleur sera le résultat !Supposons que dans la demi sphère nous découpions 100 tranches. Elles ont toutes la même épaisseur .

Premier calcul, nous choisissons R=1. Nous assimilons chaque tranche à un petit cylindre. C’est une erreur, mais si nous sommes capables de procéder par « encadrement », notre erreur sera connue (inférieure à la différence des deux résultats) et couper avec des tranches de plus en plus fines (aller vers la limite) fait tendre (devenir) cette différence vers 0.

Encore le volume de la sphère : une autre idée du calcul infinitésimal.

100

Rh

Quand nous sommes à la distance la valeur du rayon du cylindre (par Pythagore) est . Il suffit d’additionner le volume des 100 tranches (et de multiplier par 2 car ce n’est que la demi sphère).

La sommation,

x k h 2 2( )r R k h

var

var

varfin iable

début iable

quantité fonction de iable

Symbole de Euler, se trouve sur ma calculatrice.

me donne les résultats ci-dessous :

99 992 2 2 2

0 0

2 ( ( ( ) ) 2 ( ( ) )k k

h R h k h R h k

Rayon : Valeur Somme : Rapport au premier résultat :

1 4,220 XXXXXXXXXXXX

2 33,760  8 (c’est 23)

3 113,94 27 (c’est 33)

4 270,086 64 (c’est 43)

On peut alors en déduire 34

3V R

Les Bernoulli

Ses travaux porteront principalement sur l'analyse fonctionnelle, le calcul différentiel, le calcul intégral (le terme est de lui, en 1690, mais revendiqué aussi par Johann, et sera retenu au détriment du calcul sommatoire de Leibniz, lequel peut être considéré cependant comme le fondateur dudit calcul).

Le qualificatif intégral provient du latin médiéval integralis, dérivant du latin integer = entier, (comme en anglais) pour signifier entièrement, totalement : intégralement : D'une somme d'infiniment petits, on obtient le tout.

BERNOULLI (Jacques) suisse, 1654-1705

La famille Bernoulli a constitué, dès le XVIIe siècle, une véritable dynastie de mathématiciens originaires d'Anvers qui émigra à Bâle, en Suisse. Son frère Johann (Jean), mathématicien et physicien sera Johann 1er et les fils de ce dernier Daniel 1er, Johann II, Nicolas III...

Il sera aussi, avec son frère Johann (Jean), un des grands artisans du développement en série des fonctions entamé par Mercator, Gregory et Leibniz.

Vous êtes autorisés à rechercher ce que toute cette famille à pu apporter aux mathématiques!

Jakob Bernoulli mit en place :

· les fonctions exponentielles, et que l'on peut ainsi définir : fonctions f numériques, non constantes, différentiables (dérivables) et vérifiant, pour tout couple (x,y) de réels, la relation f(x + y) = f(x).f(y) dont la plus célèbre est celle dont la fonction dérivée coïncide avec elle même : f(x) = ex où e est le non moins célèbre nombre de Neper.

· les premières méthodes de résolutions d' équations différentielles et le calcul des probabilités (Ars conjectandi, 1713, édité par son neveu Nicolas).

Euler EULER Léonard (Suisse), 1707-1783Élève de Jean Bernoulli. Sans doute un des plus grands mathématiciens de tous les temps.(bac à 15 ans…, premier mémoire à 18). Son œuvre est considérable. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques

(champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), et les mathématiques, dans toutes ses branches, de l'arithmétique à la géométrie différentielle en passant par l'analyse numérique et fonctionnelle, le calcul des variations, les courbes et les surfaces algébriques, le calcul des probabilités et les

premiers aspects de la théorie des graphes et de la topologie.Fondateur de ce qu'on appelle aujourd'hui l'analyse fonctionnelle, il publiera de nombreux traités, précisera la notion de fonction et adoptera la notation f(x), également utilisée par Clairaut, pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, plus adaptée que celle de Jean Bernoulli qui utilisait la notation fx.

Prolongeant les travaux des Bernoulli, il affine la notion de fonction dérivée, crée la notion d'équation aux dérivées partielles (1734) et le calcul des variations (1744) : recherche d'extremums sur les surfaces, une des branches les plus fécondes de l'analyse.

Et… la méthode d’Euler, qui n’est qu’anecdotique dans l’étendue des maths, mais un bon point de départ pour la résolution par

approximation des équations différentielles. [il est fréquent de devoir résoudre par approximations les équations différentielles]C’est une bonne raison pour passer à la programmation, et d’utiliser l’outil informatique.

La fonction logarithme : Neper en avait écrit des tables (20 années de travail) sans connaître la fonction. Newton, Leibniz, Bernoulli et surtout Euler ont remarqué le lien entre dérivée et primitive (intégrale). Ils avaient trouvé que (c’est leur écriture) avec un problème pour n=-1.

Euler se servait de la règle . Problème, comment tracer la courbe de la fonction logarithme ? Nous ne connaissons que : ln(1)=0 et ln’(x)=1/x.

1

1

nn x

nx dx

lndx

xx

Commentaire sup

La méthode d’Euler permet l’introduction (par questionnement!) de fonctions qui sont « aperçues » par leur courbes et quelques propriétés, alors qu ’elles sont totalement inconnues mathématiquement…

On fera un parallèle avec la physique. Ils étudient un phénomène, essayent de le décrire, d’en arriver à prévoir comment cela se passe, avec une loi physique, issue des fonctions mathématiques.

Pour eux, le phénomène est comme ça! Ils n’ont pas à le justifier.

Pour les matheux, il faut absolument que ce soit défini, que l’existence soit démontrée, et tout ce que vous voudrez. Pourtant… c’est comme ça que ça se passe sur l’intervalle où ils l’étudient.

Aux matheux de regarder les choses un peu autrement. La fonction exponentielle sera « le bon modèle » dès lors que :

• une suite géométrique se met en évidence (condensateur…),

• un modèle statistique prévoit l’évolution du phénomène (radioactivité…)

La fonction logarithme par la méthode d’Euler :

Utilisation d’un tableur (petite programmation).

Choix d’un pas de 0,4 qui donne déjà un résultat intéressant.Les formules :A2 : =E1 B2 : =E2 A3 : =A2+E$3 B3 : =B2+E$3*1/A2 C3 : = LN(A3)

Visualisation, c’est plutôt bien (pour un pas aussi grand).

Avec un pas plus petit (0,2 qui n’est pas si petit que ça!), c’est vraiment très ressemblant. La méthode est donc intéressante pour obtenir rapidement une approximation de la solution d’un équation différentielle.

La méthode d’Euler à ses limites… qu’il faut apprendre à connaître.

Petite comparaison Euler Newton :

Newton Euler

Commentaire sup

La comparaison Newton-Euler est biaisée…

Newton ne marche QUE (c’est déjà beaucoup!) dans le cas de la mécanique classique. Pas pour le reste. Il faudrait passer par Lagrange, c’est pas simple, et de toute façon, le résultat n’est pas forcément « exact » (obtenir une équation différentielle au résultat analytique (donc en solution exacte) c’est rare. On tombera souvent sur une inconnue, donc sur une méthode d’approximation.

Pour Euler, sa méthode, considérée comme « un détail » du côté des maths, est quand même la base de bien d’autres méthodes! C’est justement un bon point mathématique (complément d’étude proposé aux élèves) que de passer à rechercher ces autres méthodes.

Ce qui coince dans l’étude précédente (terre qui tourne autour de la terre), c’est que le calcul de la force (et son application!) se fait vis à vis du point précédent (donc selon une direction qui n’est pas la bonne). En dehors de cet exemple, elle marche plutôt bien. (voir quelques contre exemples sur mon texte sur Euler)

ROLLE Michel (français), 1652-1719Il s'opposa au calcul différentiel dont VARIGNON Pierre 1654-1722 était, à Paris, l'ardent défenseur.

Un dernier bout d’histoire

LAGRANGE Joseph Louis, Comte français, 1736-1813Né à Turin (Italie), il y enseigna les mathématiques dès l'âge de 19 ans à l'École d'artillerie. Il connut Euler et d'Alembert, s'installa à Berlin (où il présida l'Académie des sciences, à la suite de Euler) et revint à Paris en 1787 à l'invitation de Louis XVI. Il fut anobli par Napoléon. Encouragé dans ses débuts par d'Alembert, sa contribution est essentielle en Arithmétique, Algèbre : équations algébriques et résolution approchée; Équations différentielles et aux dérivées partielles; Intégrales elliptiques; calcul des variations, mécanique céleste. Théorie des fonctions réelles et complexes;

CAUCHY baron Augustin-Louis français, 1789-1857Souvent considéré comme un des plus grands mathématiciens après Euler, ami de ses aînés Lagrange, Legendre et Laplace, il fut polytechnicien à 16 ans. Ingénieur des ponts et chaussées, il commença sa carrière en dirigeant les travaux de la construction du port de Cherbourg mais il préférera, l'année de son élection à l'Académie des sciences (1816), enseigner au Collège de France (physique mathématique), à l'École Polytechnique (mécanique) et à la Sorbonne (mathématiques).

Le couronnement des travaux de Cauchy réside sans conteste dans la création (totalement nouvelle) de la théorie des fonctions d'une variable complexe (étude des fonctions holomorphes) et de la théorie des résidus (1825) ramenant le calcul d'une intégrale (dans le cas réel ou complexe) à un simple calcul de coefficients.

La ville d’Ajaccio pour le prêt de la salle des congrès, le lycée Fesch, le CCSTI (Centre de Culture Scientifique Technique et Industriel de Corse) et sa coordinatrice dynamique Mme M.J. Milleliri, M. Caron inspecteur d’académie, inspecteur de mathématique, M. Delfini directeur de l’IREM (Institut de Recherche en Éducation des Mathématiques) de Corse, Mme Belair du Lycée Giocanti, et la société Texas Instrument pour les moyens offerts.

Une adresse pas mal, mais en Anglais :http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html

Quelques remerciements…