1 Cours de Mathmatiques Financires 2 Objectif du cours Ce cours vise prsenter les diffrents lments du calcul financier et dexpliquer la notion de la valeur temporelle de largent. Il fait apparatre principalement cinq proccupations : La diffrence entre les diffrents types dintrts (intrt simple, intrt compos). La diffrence entre les situations dactualisation et de capitalisation. La mthode de calcul de la valeur future et la valeur prsente dune somme ou dune suite dannuits. Les grands domaines dapplication du calcul financier. Les tableaux damortissement des emprunts. 3 Contenu du cours Pour atteindre les objectifs dapprentissage, le contenu du cours est structur en cinq chapitres : Chapitre 1 : Intrt, Capitalisation et Actualisation. Chapitre 2 : Les annuits. Chapitre 3 : Les emprunts indivis Chapitre 4 : Les emprunts obligataires Chapitre 5 : Les crdits de Court Terme. Chacun des chapitres comporte des applications permettant ltudiant de bien assimiler le contenu du cours. Des exercices et des problmes la fin de chaque chapitre permettront ltudiant de tester ses connaissances.4 Rfrence bibliographique ANSION G. et HOUBEN T., Mathmatiques financires, Armand Colin, 1989. BOISSONADE M., Mathmatiques financires, Armand Colin, 1998. BONNEAU P. et WISZNIAK M., Mathmatiques financires approfondies, Dunod, 1998. CHOYAKH M., Mathmatiques financires, CLE, 1998. DEFFAINS-CRAPSKY C., Mathmatiques financires, Bral, 2003. ELLOUZE A., Mathmatiques financires, CLE, 2000. HELLARA S., Mathmatiques financires, Ets. Ben abdellah, 1997. JUSTENS D. et ROSOUX J., Introduction la mathmatique financire, De Boeck University, 1995. MASEIRI W., Mathmatiques financires, Sirey, 1997. PIERMAY M., LAZIMI A. et HEREIL O., Mathmatiques financires, Economica, 1998. QUITTARD-PINON F., Mathmatiques financires, ems, 2002. SRAIRI S., Manuel de mathmatiques financires, CLE, 1997. 5 Premier chapitre Intrt, Capitalisation et Actualisation 6 1. Dfinition et justification de lintrt 1.1 Dfinition de lintrt 7 Lintrt peut tre dfini comme la rmunration dun prt dargent. Cest le prix payer par lemprunteur au prteur, pour rmunrer le service rendu par la mise disposition dune somme dargent pendant une priode de temps. Lintrt simple concerne essentiellement les oprations court terme. Trois facteurs essentiels dterminent le cot de lintrt : la somme prte, la dure du prt, et le taux auquel cette somme est prte. Il y a deux types dintrt : lintrt simple et lintrt compos8 1.2 Justification de lintrt 9 La privation de consommation: Lorsquune personne (le prteur) prte une somme dargent une autre (lemprunteur), elle se prive dune consommation immdiate. Il est ainsi normal quelle reoive en contrepartie une rmunration de la part de lemprunteur pour se ddommager de cette privation provisoire. 10 La prise en compte du risque: Une personne qui prte de largent, le fait pour une dure tale dans le temps. Elle court, ds lors, un risque inhrent au futur. La ralisation de ce risque rsulte au moins des lments suivants : 11 Linsolvabilit de lemprunteur : dans le cas o lemprunteur se trouve incapable de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient chance, le prteur risque de perdre largent quil a dj prt. Il est alors normal quil exige une rmunration pour couvrir le risque encouru et dont limportance sera apprcie en fonction de la probabilit de non remboursement. Linflation : entre la date de prt et la date de remboursement, la valeur du prt peut diminuer la suite dune rosion montaire connue galement sous le nom dinflation. Le prteur peut donc exiger une rmunration pour compenser cet effet. 12 2. Capitalisation et Actualisation 13 2.1 Principe Daprs ce qui prcde, le taux dintrt apparat comme le taux de transformation de largent dans le temps. Cette relation entre temps et taux dintrt signifie que deux sommes dargent ne sont quivalentes que si elles sont gales la mme date. Ds lors, pour pouvoir comparer deux ou des sommes disponibles diffrentes dates le passage par les techniques de calcul actuariel (capitalisation et actualisation) devient ncessaire. 14 2.2 Lactualisation Lactualisation est une technique qui consiste faire reculer dans le temps une valeur future pour calculer sa valeur prsente appele Valeur Actuelle. La valeur actuelle C0 dune somme dargent C1 disponible dans une anne et place au taux i, est donne par la formule suivante: 15 nni c c+ = ) 1 (0 nt0t?0 = cncnni c c+ = ) 1 (0 16 2.3 Capitalisation Contrairement lactualisation, la capitalisation consiste faire avancer dans le temps une valeur prsente pour calculer sa valeur future appele aussi Valeur Acquise. La valeur acquise C1 dune somme dargent prsente C0 capitalise au taux i pendant une anne est gale : C1 = C0 (1 + i) 17 Ds lors, la valeur future Cn dune somme dargent prsente C0 disponible aprs n annes et place au taux i est gale : nni c c+ = ) 1 (00t0C? =nCnni c c+ = ) 1 (018 3. Lintrt simple 19 3.1 Principe et champ dapplication Lintrt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne sajoute pas au capital pour porter lui mme intrt. Lintrt simple est proportionnel au capital prt ou emprunt. Il est dautant plus lev que le montant prt ou emprunt est important et que largent est prt ou emprunt pour longtemps. Il est vers en une seule fois au dbut de lopration, c'est--dire lors de la remise du prt, ou la fin de lopration cest dire lors du remboursement. Lintrt simple concerne essentiellement les oprations court terme (infrieures un an). 20 3.2 Calcul pratique Soit, C : le montant du capital prt ou emprunt (valeur nominale) i : le taux dintrt annuel (en pourcentage ) n : la dure de placement (en anne ) I : le montant de lintrt calculer Cn : la valeur acquise par le capital en Dhs (valeur future) 21 On a : I = C. i. n Et Cn= C+ I 100. . n i CC Cn+ =)100.1 (n iC Cn+ =22 Remarques - Si la dure du placement est exprim en mois, on aura : 12.100.n iC I =1200. . n i CI =)1200.1 (n iC Cn+ =et 23 - Si la dure du placement est exprime en jours, on aura : 360.100.n iC I = Et )36000.1 (36000. .n iC Cn i CIn+ == 24 Pour une dure de placement exprime en jours, lusage fait que lintrt est calcul sur la base de lanne financire ou commerciale comptant 360 jours et non pas lanne civile comptant 365 jours ou 366 jours.Lexception est faite pour les comptes terme et les bons de caisse dont lintrt servi est calcul sur la base de lanne civile, cest dire 365 jours. Par ailleurs, il faut aussi signaler que lorsque la dure est exprime en jours, les mois sont compts leur nombre exact de jours, et on ne tient compte que de lune des deux dates extrmes. 25 Exemple: Une somme de 10000 dirhams est place sur un compte du 23 Avril au 9 Aot au taux simple de 7% 1/ Calculer le montant de lintrt produit lchance. 2/ Calculer la valeur acquise par ce capital. 3/ Chercher la date de remboursement pour un intrt produit gal 315 dirhams. 26 Solutions : 1.Ona : 36000. . n i CI =,C=10000,i=7,calculonsalorslenombredejoursde placement. )`=====93130317AotJuilletJuinMaiAvril108 jours dirhams I 21036000108 . 7 . 10000= =2.La valeur acquise par ce capital est gale nC, nC= C+ I= 10000+210= 10210 dirhams 27 3 Date de remboursement correspondant un intrt de 315 dirhams 36000. . n i CI = donc i CIn.. 36000= jours n 1627 . 10000315 . 36000= = 30313130317======SeptembreAotJuilletJuinMaiAvril 160 2 = Octobre 162 28 4. Taux proportionnel et taux quivalent 29 Les taux dintrt sont gnralement exprims en taux annuels. Mais, on peut considrer une priode plus courte que lanne, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le jour. De mme, les intrts peuvent tre capitaliss chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour. Ainsi, lorsque le taux dintrt est annuel et lon considre une priode infrieure lanne, le taux dintrt prvalant pour cette priode devra tre calcul. Pour ce faire, on emploie lun des deux taux suivants: le taux proportionnel ou le taux quivalent 30 4.1. Taux proportionnel Deux taux correspondants des priodes diffrentes sont dits proportionnels, lorsque leur rapport est gal au rapport de leurs priodes de capitalisation respectives. soit , i : taux annuel k : le nombre de priodes dans lanne ik : taux proportionnel par priode 31 On a alorskiik =Ainsi si : =si taux semestriel, alors 2iis ==ti taux trimestriel, alors 4iit ==mi taux mensuel, alors 12iim =32 4.2. Taux quivalent Deux taux correspondants des priodes de capitalisation diffrentes, sont dits quivalents lorsquils produisent la mme valeur acquise quand ils sont appliqus au mme capital. Soit, i : taux annuel quivalent k : nombre de priodes de lanne ik : taux quivalent par priode 33 On alors :( ) 1 1 + =kki i =si taux semestriel, alors ( ) 1 121 + = i is=ti taux trimestriel, alors ( ) 1 141 + = i it =mi taux mensuel, alors ( ) 1 141 + = i im34 Exemple Calculer le taux semestriel proportionnel et le taux semestriel quivalent pour i = 9 %. Taux semestriel proportionnel% 5 , 4 045 , 0209 , 0= = = =siTaux semestriel quivalent( ) % 4 , 4 044 , 0 1 09 , 0 121= = + = =si35 5. Intrt compos 36 5.1. Principe et champ dapplication Un capital est dit plac intrt compos, lorsqu lissue de chaque priode de placement, les intrts sont ajouts au capital pour porter eux mme intrts la priode suivante au taux convenu.On parle alors dune capitalisation des intrts. Cette dernire opration est gnralement applique lorsque la dure de placement dpasse un an. 37 5.2 Calcul pratique Soit, C0 : le capital initial i : le taux dintrt par priode pour une dure dun an n : nombre de priodes de placement Cn : Valeur acquise par le capital C0 pendant n priodes Le tableau qui suit prsente la mthode de calcul des intrts et de valeur acquise la fin de chaque anne : 38 Pride (anne) Capital dbut de la priode Lintrt de lanne Valeur acquise par le capital en fin de priode aprs prise en considration des intrts 1 0C i C0) 1 ( .0 0 0i C i C C + = +2 ) 1 (0i C + i i C ) 1 (0+20 0 0) 1 ( ). 1 ( ) 1 ( i C i i C i C + = + + +3 20) 1 ( i C + i i C20) 1 ( +302020) 1 ( . ) 1 ( ) 1 ( i C i i C i C + = + + +: n-1 20) 1 (+ni C i i Cn 20) 1 (+102020) 1 ( . ) 1 ( ) 1 ( + = + + +n n ni C i i C i CN 10) 1 (+ni C i i Cn 10) 1 (+n n ni C i i C i C ) 1 ( . ) 1 ( ) 1 (01010+ = + + + 39 LavaleuracquiseparlecapitalC0lafindenpriodesautauxiestdoncdonneparla formule suivante : nni C C ) 1 (0+ =40 Remarques La formulenest applicable que si le taux dintrt i et la dure n sont homognes, cest dire exprims dans la mme unit de temps que la priode de capitalisation . Si par exemple, il est convenu entre le prteur et lemprunteur que les intrts doivent tre capitaliss la fin de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le taux dintrt est mensuel et que la dure de placement est exprime en mois. nni C C ) 1 (0+ =41 Exemple: Une somme de 10000 dirhams est place pendant 5 ans au taux annuel de 10%. 1/ Quelle somme obtient-on lissue de ce placement ? 2/ Si au bout de cette priode de placement on souhaite obtenir 20000 dirhams, quelle somme doit-on placer aujourdhui ? 3/ Si la somme place aujourdhui est de 10000 dirhams, aprs combien de temps disposera-t-on dune somme gale 23580 dirhams ? 4/ Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de 17821 dirhams quel taux le placement a t effectu ? 42 Solution : 1/ Valeur acquise : Cn = C0 (1 + i)n C5 = 10000 (1 + 0,1)5 = 16105,100 dirhams 2/ Valeur actuelle correspondante une valeur acquise de 20000 dirhams. Cn = C5 (1 + i)n C0 = Cn (1 + i)-n C0 = 20000 (1 + 0,1)-5 = 12418,426 dirhams. 3/ Dure de placement ( ) ( )( )( )ans n niC Cn i n C C i C Cnnnn91 , 0 1 log10000 log 23580 log1 loglog log1 log . log log 100 0= +=+= + + = + = 4/ Taux de placement ( ) ( )%. 25 , 121225 , 0 110000178211 1 15110 00== |.|

\|= ||.|

\|= = + + =iiCCiCCi i C Cnn nn nn 43 Exercices 44 Intrt simple 1. Un individu place 82 500 dh pendant 7 mois, partir du 13 novembre 1992 au taux annuel de 11%. Combien rcupre-t-il la fin de son placement ? 2. Une personne a plac un capital de 25 200 dh pour une dure allant du 27 mai 1992 au 8 aot de la mme anne au taux annuel de 12%. Combien a-t-elle rcupr la fin de son placement ? 3. Deux capitaux sont placs intrts simples pendant 2 ans. Le plus petit 11%, lautre 9%. Trouver les deux capitaux sachant que le plus petit a rapport 280 dh de plus que lautre et que la diffrence entre les deux capitaux est de 1000 dh. 45 4. Soient les trois placement suivants : Placement A : 17 500 dh du 01/07/91 au 05/11/91, 9% ; Placement B : 12000 dh du 12/11/91 au 29/12/91, 10,5% ; Placement C : 27 500 dh du 04/04/91 au 12/10/91, 8,5%. Calculer le taux moyen de placement de ces trois capitaux. 5. Deux capitaux sont placs intrts simples pour une anne. Leurs revenus sont respectivement 1760 dh et 2750 dh. Le second capital est plac un taux suprieur de 3% par rapport au premier et lui est suprieur de 3000 dh. Trouver les deux capitaux et les deux taux dintrt (taux dintrt retenir : i11%). 46 Intrt compos 1. On place un capital de 15 000 dh pendant 4 ans au taux annuel de 9%. Calculer sa valeur acquise si la priode de capitalisation est : Le semestre Le trimestre a) En utilisant les taux proportionnels b) En utilisant les taux quivalents. 2.Donner la valeur acquise par un capital de 160 000 dh au bout de 3 ans et 4 mois, un taux annuel de 9,25% ? Utiliser la solution rationnelle. Utiliser la solution commerciale. 47 3. Calculer les valeurs actuelles des placements suivants : 22 000 dh payables dans 5 ans et 5 mois, taux 11% 15 000 dh payables dans 6 ans, taux 9,25% 18 000 dh payables dans 13 ans 2 semestres et 2 mois, taux 9%. 4. Une personne place un capital de 300 000 dh au taux semestriel (i). deux ans aprs, elle retire 100 000 dh. Deux ans aprs ce retrait, elle dispose dun solde qui slve 293 584,86 dh. Calculer le taux semestriel ? Donner galement le aux annuel de ce placement ? 48 5. Un investisseur place 5000 dh pendant 5 ans intrt compos, au taux annuel de 4,5%. 1) Calculer lintrt produit par ce placement la fin de la premire anne. 2) Calculer la valeur acquise par ce capital au bout des cinq ans de placement. 3) Calculer lintrt total produit par ce placement au bout des cinq annes. 49 Deuxime chapitre Les annuits 50 1. Dfinition et caractristiques On appelle annuits une suite de flux montaires perus ou rgls intervalles de temps gaux. Le terme annuit est habituellement rserv des priodicits annuelles. Lorsque la priode est diffrente de lanne, il est prfrable de remplacer le terme annuit par semestrialit , trimestrialit ou mensualit . 51 Ltude des annuits consiste dterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, une date donne, dune suite de flux. Elle prend en considration la date du premier flux, la priodicit des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux. Lorsque les annuits sont gales, on parle dannuits constantes, alors que lorsque leur montant varie dune priode une autre, on parle dannuits variables. Les annuits peuvent tre perues ou verses en dbut de priode ou en fin de priode. Les annuits peuvent tre certaines lorsque leur nombre est connu lavance, alatoires ou viagres, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat ou enfin perptuelles lorsque leur nombre est illimit. 52 2. Les annuits constantes 2.1 Les annuits constantes de fin de priode 2.1.1 La valeur acquise On appelle valeur acquise par une suite dannuits constantes de fin de priode, la somme des annuits exprime immdiatement aprs le versement de la dernire annuit. (nC )53 01 2 1 nnA A AA( )21+ni A=nCA( ) i A + 1( )11+ni A54 Si on note par: nC: la valeur acquise par la suite des annuits a : lannuit constante de fin de priode n : le nombre de priodes (dannuits) i : le taux dintrt par priode de capitalisation On a alors: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) | |1 2 21 2 21 1 ...... 1 1 11 1 ..... 1 1 + + + + + + + + + =+ + + + + + + + + =n nnn nni i i i A Ci A i A i A i A A C Ilsagitdunesuitegomtriquedepremierterme1,deraisongomtriqueq=(1+i)et comprenant n termes. La formule devient donc: 55 ( )( )( )( ) | | 1 11 11 11 1 += += + +=nnnnnnii CAiiA CiiA C56 2.1.2 La valeur actuelle On appelle valeur actuelle dune suite dannuits constantes de fin de priode, la somme des annuits actualises (nC ) exprime la date origine. 57 0A2 1 nn( )11+ i A( )21+ i A( )11+ +ni A( )ni A+ 1=0CA A A58 Si on note par: C0 = la valeur actuelle par la suite des annuits a = lannuit constante de fin de priode n = le nombre de priodes (dannuits) i = le taux dintrt par priode de capitalisation ( )iiA Cn + =1 10 59 2.2. Les annuits constantes de dbut de priode 2.2.1. La valeur acquise Si on considre que les flux sont verss en dbut de priode, on obtient le graphique suivant : 60 01 2 1 nnA A A( )21+ni A( )21+ni A=nCA( ) i A + 1( )11+ni A( )ni A + 161 ( )( )iii A Cnn1 11 ++ =62 2.2.2. La valeur actuelle 0A2 1 nn( )11+ i A( )21+ i A( )11+ +ni A=0CA A A1A63 ( )( )iii A Cn + + =1 11064 3. Les annuits variables3.1 Les annuits quelconques 3.1.1 Les annuits quelconquesde fin de priode 3.1.1.1 La valeur acquise 65 Si on note : =nCla valeur acquise par la suite des annuits. =pA Lannuit la date p. = n Le nombre de priodes (dannuits) = i Le taux dintrt par priode de capitalisation Alors: ( ) ( ) ( )( )= + =+ + + + + + + =npp np nn nn n ni A Ci A i A i A A C11122 111 1 ...... 1 66 3.1.1.2 La valeur actuelle ( ) ( ) ( ) ( )( )= + + =+ + + + + + + + =nppp nnnnni A Ci A i A i A i A C1112211 011 1 ...... 1 167 3.1.2 Les annuits quelconques de dbut de priode 3.1.2.1 La valeur acquise ( ) ( ) ( ) ( )( )=+ + =+ + + + + + + + =npp np nn nn n ni A Ci A i A i A i A C111122111 1 ...... 1 168 3.1.2.2 La valeur actuelle ( ) ( ) ( )( )=+ + + + =+ + + + + + + =nppp nnnnn ni A Ci A i A i A A C111 2112 111 1 ...... 169 3.2 Les annuits en progression gomtrique 3.2.1 Les annuits de fin de priode en progression arithmtique 3.2.1.1 La valeur acquise 70 Soit une progressiondannuits gomtrique de fin de priode de raison 1+ reprsente par le graphique suivant : avec 1+ = q 71 72 ( )( ) ((

+ + =i qi qCnnn11( ) ( )( ) ( ) (((

+ ++ +=nnniiA C1 11 1tt73 3.2.1.2 La valeur actuelle On sait que :( )nni C C+ = 10 Alors : ( )( ) ( )( ) ( ) ((

+ ++ ++=iiiACn nnn1 11 11tt74 3.3.2 Les annuits de dbut de priode en progression gomtrique 3..3.2.1 La valeur acquise ( ) ( ) ( )( ) ( ) ((

+ ++ ++ =iii A Cn nn1 11 11tt75 3.3.2.2 La valeur actuelle ( )( ) ( )( ) ( )nnniiiAC+ ++ ++=1 11 1110tt76 Exercices Calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de 15 annuits de 35 000 dh. Taux : 10% lan. Combien faut il verser la fin de chaque semestre pendant 8 ans, pour constituer, au moment du dernier versement, un capital de 450 000 dh. Taux semestriel : 4,5%. Par le versement de 10 annuits, de 18 000 dh chacune on constitue, au moment du versement du 10ime terme, un capital de 300 000 dh. Trouver le taux de capitalisation. Par le versement de n annuits de 32 000 dh chacune on constitue un capital de 384 000 dh. Taux : 9% lan. Trouver n. On place 8 annuits constantes de 17500 dh chacune ; au moment du dernier versement le capital constitu slve 190 00 dh. Trouver le taux Combien dannuits de 20 000 dh chacune, faut-il placer, pour disposer au moment du dernier versement dune valeur acquise de 300 000 dh ? Taux : 9,5% lan. 77 Chapitre trois Les emprunts indivis 78 1. Dfinition Un emprunt indivis est un emprunt ordinaire faisant lobjet dun contrat entre un prteur et un emprunteur. Il ny a quun seul prteur, il est donc indivisible, do le qualificatif indivis. Le remboursement de cet emprunt seffectue gnralement, par annuits de fin de priode. Chaque annuit est compose de deux lments : Un remboursement dune partie du capital emprunt, appel lamortissement. Une partie intrt calcule sur la base du taux dintrt convenu entre les deux parties et du capital restant d dpendant. 79 2 Remboursement dun emprunt Le remboursement dun emprunt dpend du mode damortissement utilis (in fine, par annuits constantes ou par amortissement constant). Dune faon gnrale le tableau damortissement se prsente comme suit : 80 PriodeCapital restant d Dbut de priode Intrtdela priode Amortissement Annuitsdefin de priode 1 0Ci C I .0 1 = 1 1m AC =1 1 1m I A + =2 1 0 1m C C = i C I .1 2 =2m2 2 2m I A + = P 1 2 1 =p p pm C C i C Ip p.1 =pmp p pm I A + = n 1 2 1 =n n nm C C i C In n.1 =nmn n nm I A + = 81 Avec: C0 : capital restant d au dbut de la premire anne soit le montant de lemprunt. Ip: intrt de la pme priode. Mp: amortissement de la pme priode. Ap: annuit de la pme priode. Cp-1: capital restant d au dbut de la pme priode. Les amortissements servent rembourser la dette donc leur somme est gale au capital emprunt: 01C mnpp ==82 Aprs le paiement du nme amortissement mn, le capital restant d est gal zro donc la dette non rembourse avant le paiement de mn est gale mn cest dire Cn-1 = mn 83 Relation entre deux annuits successives : + = + = + = + =+ + +i C m I m Ai C m I m Ap p p pp p p p1 1 11 ( ) i m m A Ai C i C m m A Ap p p pp p p p p p+ = + = + + + +11 11 1 1 84 2.1. Remboursement in fine Le remboursement du capital dun emprunt seffectue en une seule fois, la fin du contrat. Le montantdelintrt(I)verschaquechance,prvueparlecontrat,estgalaumontant emprunt multipli par le taux dintrt. 0 1 2 1 nn0EmpruntC0Re tC mboursemenI I I I85 Tableau damortissement PriodeCapitalrestant d Dbutde priode Intrtdela priode Amortissement Annuitsdefinde priode 1 0Ci C I I .0 1= = I I A = =1 1 2 0C i C I I .0 2= = I I A = =2 2 P 0C i C I Ip.0= = I I Ap p= = n 0C i C I In.0= =0C0 0C I C I An n+ = + = 86 2.2 Remboursement par annuits constantes PriodeCapital restant d Dbut de priode Intrtdela priode Amortissement Annuitsdefin de priode 1 0Ci C I .0 1 = 1 1m AC =1 1 1m I A + =2 1 0 1m C C = i C I .1 2 =2m2 2 2m I A + = P 1 2 1 =p p pm C C i C Ip p.1 =pmp p pm I A + = N 1 2 1 =n n nm C C i C In n.1 =nmn n nm I A + = 87 On a, ( ) i m Ai m m A i C m A I m A etA A A A Ann n n n n nn p+ =+ = + = + == = = = = =1. . ,.... .....12 1 88 Loi de succession des amortissements ( )( )np pi m Ai m m+ =+ =+111189 Relation entre 0Cet le premier amortissement 1m( )( )((

+=((

+=1 11 10 11 0nniiC miim C90 Relation entre 0Cet lannuit constante A ( )( )((

+ =((

+ =nniiC AiiA C1 11 10091 Exemple : Letableaudamortissementdunempruntremboursableparannuitsconstantesindiqueque lesintrtspayslavantdernireanneslvent12300dirhamsetlesintrtspaysla dernireannesontgaux6300dirhams.Enfin,ladiffrenceentrelesintrtsdela1re anne et ceux de la 2me anne slve 4061,040 dirhams. Dterminer i, A, 1mpuis0C . 92 Solution On a : ( )( ) i m i C C i C i C dirhams I Ii m i C dirhams Ii m m i C dirhams In n nn n n n. . . . 040 , 4061. . 6300. . 123001 1 0 1 0 2 111 2 1= = = = = = =+ = = = ( )( ) | | ( )( )% 505 , 0212300630011) 1 ( 1111230063001230063001 1112300 1 163001 . :11= = = + + = =+ + += + += + =iiiiiii i mi mi m m que onsaitnnn n93 ( ) ( )( )( )dirhamsiI Imi m i C C i C i C I Idirhams A i m Adirhams m i mnn n800 , 8122005 , 0040 , 4061. . . . 040 , 4061132300 05 , 0 1 126000 1 .126000 6300 .2 111 1 0 1 0 2 1= == = = = = = + = + == =( ) ( )dirhams Cim AC i C m A102158405 , 0800 , 81220 132300010 0 1=== + =94 2.3. Remboursement dun emprunt par amortissements constants Soit: C0: le montant de lemprunt n : le nombre d annuits m : amortissement constant )` ==i C InCmp p 10Donc, les annuits ne sont pas constantes 95 PriodeCapital restant d Dbut de priode Intrtdela priode Amortissement Annuitsdefin de priode 1 0Ci C I .0 1 = mm I A + =1 1 2 1 0 1m C C = i C I .1 2 =mm I A + =2 2 P 1 2 1 =p p pm C C i C Ip p.1 =mm I Ap p+ = n 1 2 1 =n n nm C C i C In n.1 =mm I An n+ = 96 Loi de succession des annuits On a : ( )inCA AnCm mi m m A Ap pp pp p p p == =+ = +++ +01011 11 On remarque que les annuits sont en progression arithmtique de raison |.|

\| inC0 97 Exemple : Un emprunt indivis contract au taux annuel i est remboursable par 5 annuits: A1, A2, A3, A4, A5 . Lesamortissementssuccessifsm1,m2,m3,m4etm5 formentuneprogressiongomtriquede raison (1+k), k tant diffrent de i. 1) Sachant que: - Les intrts de la 2me anne I2 = 102102 dirhams - Les intrts de la 4me anne I4 = 55902 dirhams. - Le 2me amortissement m2 = 440000 dirhams. Calculer i 2) Dterminer le montant de lemprunt et dresser le tableau damortissement. 98 Solution On a : ( ) ( )( )( ) | |( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 55902 .1 102102 . '. .. ... . .440000. 55902. 1021025 4 45 4 3 2 25 4 3 2 1 5 4 3 2 13 2 1 0 3 45 4 3 21 5 4 3 2 1 1 0 1 223 41 2= + == + + + =+ = + + + + =+ + = =+ + + = + + + + = = === == =i m m Ii m m m m I ou Di m m i m m m m m m m mi m m m C i C Ii m m m mi m m m m m m i m C i C Imi C Ii C I99 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) | || |% 10) 1 , 1 ( 21 , 1 ) 1 ( 21 , 1) 1 ( 1) 1 ( 121 , 1) 1 (121 , 146200559023 / 23 46200 55902 102102 . 2 12 2242 24 43 25 43 2= = = + =+ ++ + =+ ++ += = + += = + kkk mk mk m mk m mi m mi m mi m m( )% 505 , 0) 1 , 1 ( 440000 440000462004620046200 : ), 3 (3 23 2==+= += = +i Doncim mi i m m a on de partir A100 dirhams C Ckmm orkkm Ck m k m k m k m m m Cnii2442040 24420401 , 01 ) 1 , 1 (4000001 , 144000011 ) 1 () 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 20502151 0413121 111 0= == =+= = += + + + + + + + + = = =Le tableau damortissement de cet emprunt se prsente comme suit : priodeCapitalrestant d Amortissement Annuit Intrt1 2 3 4 5 2442040 2042040 1602040 1118040 585640 400000 440000 484000 532400 585640 122102 102102 80102 55902 29282 522102 542102 564102 588302 614929 101 Chapitre quatre Les emprunts obligataires 102 1. Dfinition Lorsquelemontantdelempruntesttrslev,lemprunteurestobligdesadresser plusieursprteursappelsobligatairesousouscripteurs.Eneffet,lemontantde lemprunt est divis en parts gales ngociables appeles obligations.En dehors de certains cas particuliers, lobligation donne son dtenteur le droit de percevoir un intrt annuel (coupon) et dtre rembours de son titre lchance. Les principes mathmatiques sont identiques ceux des emprunts indivis sauf que le capital emprunt est rembours diffrents prteurs. Donc, pour constituer un capital de nominal D0, lemprunteur met N obligations gales dun montant C On aura: N C =0D103 2. Les principales caractristiques dune obligation Les obligations sont caractrises par les lments suivants: La valeur nominale (C): Cest la valeur faciale de lobligation. Elle est unique pour toutes les obligations dun mme emprunt. Elle constitue le montant partir duquel est tabli le tableau damortissement et la base de calcul des intrts. La valeur dmission (E): Cest la somme effectivement paye par lobligataire pour lachat dune obligation. Ce prix peut tre diffrent du nominal. Lorsquil est gal au nominal, on dit que lobligation est mise au pair , sil en est infrieur, on dit que lobligation est au dessous du pair alors que sil en est suprieur, on dit que lmission est au dessus du pair . La diffrence entre la valeur dmission et la valeur nominale est appele prime dmission. La valeur de remboursement (R): Cest la somme verse par lemprunteur au moment du remboursement de lobligation. Cette somme peut tre gale la valeur nominale, on parle dans ce cas dun remboursement au pair , ou suprieure la valeur nominale et on parle alors dun remboursement au dessus du pair . La diffrence entre la valeur de remboursement et la valeur dmission est appele prime de remboursement. 104 Le mode de remboursement peut tre: En bloc ou in fine: tous les titres sont rembourss en une seule fois lchance. Par amortissement constant: un mme nombre dobligations tires au sort est rembours chaque anne. Par annuits sensiblement constantes: les obligations amortir chaque anne sont galement tires au sort. Les annuits ne sont pas strictement constantes parce que lamortissement doit concerner un nombre entier dobligations. Le taux nominal (i) : Cest la rmunration de lobligation. On lappelle aussi taux facial. Appliqu la valeur nominale, il permet de calculer le montant des intrts (coupon). La date de souscription : Cest la date de rglement de lachat de lobligation par le souscripteur. La date de jouissance : Cest la date partir de laquelle les intrts commencent courir. Le coupon (c): cest le montant des intrts servis chaque chance, pour chaque obligation. On a : c = C * i.