Acta Physiea Hungarica 71 (3-�91 pp. s (199~)

DILATATION ET FUSION D'UN ARRANGEMENT LINEAIRE D'ATOMES

Y . THOMAS

Ina~it~t de Recherches $cientifiquea et Techniqges

�91191 Angers Cedex, France

(Requ 6 f› 1992)

Le potentiel de Mie-Grª appliqu› & un arrangement lin› montre l'inst~- bilit› du r› au-delb d 'un cert~dn Ÿ ]imite entre lee -,tomes. La fusion r› de vibrstions d'amplitude exc› une valeur critique quJ est ›233 & environ 12 % de 18 distamce inter&tomique d'›

I n t r o d u c t i o n

La transition de l'› solide �91 l'› liquide est assez ma] connue. On constate que les solides ayant une grande temp› de Debye OD pr~sentent des points de fnsion T! ›233 d› de la distance interatomique r donc de la solidit› des forces de liaison (proportionnelle ~ 0~)) dans le r› [1]. I1 est g›233 admis que la fusion r› d'un apport d'› provoquant une cassure de la structure pour une distance interatomique maxima]e [2]. Explicitons ce ph› pour une chaine lin› b l'aide du mod~le de Mie-Lennard-Jones qui rend compte de la variation du volume par ›233 de temp›

L'› potentielle d'interaction d'une paire d'atomes distantes entre elles de r est W ( r ) = - a / r m + b/r n oil m et n sont des entiers (n > m) et a et b des constantes (courbe la). Cette fonction permet aux atomes d'osciller autour de leur position d'› et doit rendre compte de ]'instabilit› du r› �91 hautes temp› Les coordonn› du minimum d'› ro - ( a m / b n ) t I (n -m ) et l'› de dissociation W0 permettent d'›

~~~)_ ~o [_. (Ÿ + ~ (?)-].

r t m ~x/(--m) Son asym› donne un point d'inflexion W ( r ) = O p o u r r l = 0~~] pour r, = ro(-~+11) 1~(n-m) La force F ( r ) entre les atomes est donn› par la d›233 + W'(r ) , c'est la superposition des composantes attrative et r› (courbe lb). La d›233 seconde, nulle pour r = ri, est ana]ogue ~ la constante de rappel d'un oscillateur harmonique.

Acta Phyaic4 H~ngaric4 71, 1995 Akad› Kiad£ B~#lapeet

226 Y. THOMAS

E n e r g i e p o t e n t i e i l e d ' u n e cha ine l in › b 0 K

Consid› un arrangement lin› de p atomes, espac› irr› de rij entre eux:

o~ 1 �9 )

" ' t . . . . . �9 . . . . . . i . . . . . . . . I , ' ' i . . . . . I . . . . . . . . . . I ' ' ' l . . . . . . . . I . . . . . �9 . . . . . �9 , , "

g • g ~ i .~ : , 1 2 3 4 5 ro]" r01

La longueur totsle est L - pi si i est la valeur moyenne de rij. L'› potentielle totale d'interaction des p atomes est:

W = n W ~ 1 7 6 1 7 6 \ r j t } J

Si psrmi les valeurs de k E [0, + p/2], on considere, par exemple, l 'atome central (/c - 0), son › potentielle d'interaction due �91 1�91 pr› de tous les autres est:

(,o~'- (,o~- l W ( ro~ ) = n --~-~ . t r o j / \ ros i J

oh les termes tr~s pr›233 sont seulement dus aux interactions avec les plus proches voisins (j = •

Wo { [�89 ) + ,o - ~) W(roi) ~ - n + ro- .

Si z est la distance de ] ' �91 centra] au point mi]ieu entre ses deux plus proches voisins s›233 en moyenne p&r 21 : r01 -" I -I- z e t r o ] . = I - z . L'› devient une fonction sym› de z par le psram~tre I:

n - m (! + z ) " - ' - - ' ~ § (I - " z ) m -I- mr~ (1 . ~ z ) n + (1 . ( 1 )

Etudions cette › d'intersction W(z) pour diverses vsleurs de I selon la th› quasi harmonique:

( I I ")-" ,-I-~)-G W(z) = n-mW~ _n r r l-m 1 + 7 + 1

+m'~ [" 0+~)-'+'-" 0-~)-']) AeM Pkydc4 Husls~~ 71, 1992

D I L A T A T I O N E T F U S I O N

os par des d› limit› de (1 q- .~)-n(~t-m) au 4~ ordre (x < i):

227

w(~) ~ _

Wo B ~ m

( [ : ,,] -.~£ -" 2 + m(m + 1)ir + m(m + 1)(m + 2)(,. + 3) 1--~

z 2 +mr~i-n [2 + n(n + l)T~" + n(n + X)(n + 2)(n + 3) ::--:--~] ) �9

Sa d›233

X2 [--r‰ "[- 1)(m + 2)(m + 3) + r~l-(n+l)(D, "[- 1)(n + 21(n + 3)] } + g g

s'annule pour z = 0 et pour:

[ (Ÿ + 1) - (Ÿ + 1) ] z 2 = 6 _ z . ~ ( m + l ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) + ~ ( n + l ) C n+2) (n+3) '

on pose

(a-~~ ll(n-'~) N < 0 pour ! < ti et N = 0 et chsnge de signe pour i = ro ~m-}-l) - - ti, N > 0 polar l > r~ (D = 0 et change de signe pour une vMeur sup› ~ ti). En cons› W(z) peut ~tre repr›233 (courbes 2a �91 f) : l < r, : x~ < 0, W(z) est minim&l pour z = 0. Chaque atome de l 'arrangement lin›237 reste dans une position moyenne entre sea plus proches voisins comme un oscillateur harmonique. 11 = ro distamce minimAle d'› (a), l~ > ro (b). Les droites z = I sont toujours ~ympto tes . i = r i : z~ = 0, z = 0 est racine double, la = r~(c), i > ri : Z~o > O, l'› W(z ) pr› deux minimums situ› �91 ro des atomes voisins (pour z = 0 on a W(z) maximsle). La valeur absolue de z0 croit avec celle de I(d, e, f).

D~s que ! > ti, l 'atome central occupe une position stable dans l'un des deux minimums. Cette situation est caract›241 de l '› liquide. La chaine se dilate r› depuis pro jusqu'~ pri puis elle devient instable, c'est la fusion, ii y a frar en l ' �91 d'agitation thermique (courbe lc).

Act6 Phyaica Hsngr 71, 199s

228 Y. THOMAS

F(r)lW(r)

\:rl ro/'/! "~'--......

/ \ ' , / i "'-.__ . Wo . . . . . . 7 ---~" ; ---c

r

Courbe 1. a) _ _ • potentielle W(r) , b) . . . . . Ÿ F(r) = grad W(r), c) . . . . fracture de la cha~ne par tension

T

'W(x)

~1 =ro

Courbe 2. L'› W(x) pour diverses v~leurs de l (avec deux minimums si l > t i)

AcSa Phpir HunHanca 71, 199~

DILATATION E T FUSION 2 2 9

s

,, iwc~') \ ~'>r; ; .

i ~ - . . . . . . . u . . . . . . "~x ~ I / " \ " " IW(r^ Y I; , ' \ ! I 1~ 0 u '"!,.l,' \ = /" , �91 U_.t~o3-\_ -, \ ~ , ', l/ ~ " . . / ,1~-~

\ " ,1. ' = ~ L . / " q

/ i / \ ' \ ~ ro�91237

",~ s 0 s

/

/

Ib

X 0

C o u r b e 3. R e p r ~ e n t & t i o n de I en fonc t ion de xO

Repr› I en fonction de z0 (courbe 3): - Si ! < t i , toutes les courbes W ( z ) out leur minimum pour z0 = 0 sur un seg-

ment vertical. L'ordonn› du mŸ est › & l'abscisse des asymptotes des courbes 2.

- Si ! = ti, le point z0 = 0 et ! = t i correspond & la racine double. - Enfin si ! > t i , on a deux minimums d'› croissant sur une hyperbo]e

rectangulaire.

V i b r a t i o n s a t o m i q u e s b T K

En cons› & T K, lorsque l 'amplitude moyenne des vibrations atomiques atteint et excede la valeur maximale gM = ti -- r0, les atomes vibrent loin de leur position d'› et le r› est instable. Des ondes ]ongitudinales de longueur d'onde kl (k entier), avec des points d'instabilit› & k l /2 , se propagent le long de la chaine. Si on pose ti = r0(1 + a) , on a a = L~ - ri-rD la dilatation maximale

r o - - r O 9

avant la fusion. Avec

] n ~ - - y - z x y - x

Acta Ph~sica Hwnoarica 71, 199~

230 Y. THOMA$

Tableau [ Vedeurs de ot = ti-rO

r o

~ _ _ , J

m : 2 3 4 5

n : 6 0,18 0,16 0,16 0,15 0,14 7 0,16 0,15 0,15 0,14 0,13 8 0,15 0,14 0,14 0,13 0,12 9 0,14 0,13 0,13 0,12 0,11

10 0,13 0,12 0,12 0,11 0,11 11 0,12 0,11 0,11 0,11 0,10 12 0,11 0,11 0,11 0,10 0,10

of~ 0 < ~ < 1 car n < m. En d›

lnA = 2 v ~ - v g + . . . > 2

(v~ + ~ ) v ~ + (v~ + v~)= - �9 + ~

d'oh l'approximation:

2 ( 2 ) r o + n + 4 2 -In 1+ soitri~ro eta= . In A _'2 z + y r o + n + 2 r o + n + 2 r o + n + 2

Pour les valeurs de m et n g›233 admises, la fraction de r0 au delg de laquelle ii y a perte de la stabilit› reste relativement constante (tableau I).

Pour la plupart des solides, pros du point de fusion, l 'amplitude moyenne maximale des vibrations des atomes est comprise entre 10 et 15 % de la distance interatomique d'› Des estimations voisines ont ›233 avanc› par divers auteurs [3]. Ceci est en accord avec les r› trouv› par des m› diff› [4] et avec ceux de Lindemann [1]: e'T= 4,364.10 -14 ~ L I 2 cm 2 donnant l '›

�9 -~ T ~-~ ~" 0, 11. Nous savons aussi [5] que: e -T ", 3--~-L{n r› eX = ~ e t a = ,o _ - s,~-v^ ~v, 06)

d'o/l a _~ 0, 12. L'amplitude des vibrations devient une fonction lin› (comme les autres propri›233 thermiques) de la temp› r› T~ pour chaque type de structure.

L'› potentielle de l 'atome central, d›233 de z de sa position moyenne d'› par agitation thermique, est d'aprgs l '› (1) si z y !:

w(,)__. ~wo r--,r "'~I n (,,+~),£ (-+:)'~.I-' , ~ L l " + - F - J + . i,,, 4- .

- n m l . j 12

Le premier terme est l'› n› pour atteindre la position d'› Le second est l'6nergie n› g la vibration d'amplitude z. La force F(z) , rappelant vers sa position d'› l 'atome central de l 'arrangement vibrant comme un oscillateur harmonique, est:

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DILATATION ET FUSION 231

F ( z ) = dW(z) 2Womn [ (m + 1)r£ (n + l ) r ~ ] z dz - n - r a " l" + !" J ~ = - K ~

oh K0 est la constante de rappel sous l 'sction des plus proches voisins si ! -~ ro.

R e f e r e n c e s

1. F. A. Lindemmm, Phys. Z., 11,609, 1910. 2. 3. D. Dhee~, B. Sharan, Proc. Ph~ . Soc., 91,225, 1967. 3. P. Debye, Verh. Dtsh. Phys. Ges., 15,678, 738, 8517, 1913.

I. WaIler, Z. Physik, 17, 396, 1923. Kath]een Londsa]e, Z. Kristafios~phie, 112, 188, 1959.

4. J. K. Roberts, Heat and Thermodynamics, London, Blackie, 1951; Ja. M. van Liempt, P, ec. Trav. ChJm., 51,114, 1932.

5. Y. ThomM et G. Gourem/x, C.R. Acad. Sc. Paris, 268, 1518, 1969.

Acta PAyeica H~ng6rica 71, 199~