Dimensionnement des Structures - DdS Résistance des ......(choix de la résistance du matériau, effort maximal admissible, détermination des caractéristiques de la section droite

Dimensionnement des Structures - DdS Résistance des Matériaux - RdM

Révisions S1/S2– Thierry LORRIOT

Thierry LORRIOT - GMP Bordeaux 1

Enseignement }  Semestre 3 : Elasticité

}  Cours 8h, TD 18h }  TP : calcul de structures 3 TP }  Evaluations : DS 2, note de TP

}  Semestre 4 : Elasticité – Méthodes énergétiques }  DDS :

}  Cours 9h, TD 13,5 h }  3 TP DDS }  Evaluation : DS 2, TP (moyenne 3 CR)

}  Mécanique – DDS }  BE MEF : 3 TP (note TP).

}  Impératif : travail régulier


Rappels méthodologiques Démarche générale de résolution d’un problème de RDM

Les exercices sont toujours accompagnés d’un texte qui présente le problème et émet des hypothèses de modélisation. Cette partie d’analyse est fondamentale. Prenez bien le temps de lire attentivement l’énoncé, de tout comprendre. Les questions dans les exercices sont là pour vous aider à visualiser la démarche de résolution. Nous allons aborder pas à pas cette démarche. Vous trouverez ci dessous la démarche complète de résolution d’un problème de DDS abordée l’année dernière. Vous devez maîtriser l’ensemble de ces étapes. Révisez et préparez votre rentrée.

}  Modélisation RDM du problème (Semestre 1) }  Isoler la structure }  Faire l’inventaire des liaisons extérieures }  Faire l’inventaire des sollicitations extérieures (forces et moments)

}  Étudier l’équilibre de la structure (Semestre 1) }  L’objectif est de déterminer les actions exercées par les liaisons extérieures sur la

structure. On étudie pour cela l’équilibre de la structure (Principe Fondamental de la Statique). Il faut connaître l’ensemble des liaisons et leur torseur des actions transmissibles.


Rappels méthodologiques }  Détermination des sollicitations intérieures à la structure –

Coupures (Semestre 1) Sous l’action des sollicitations extérieures et des actions de liaison, la structure se déforme. Il convient de quantifier la façon dont est sollicitée cette structure (traction, compression, torsion, flexion, cisaillement)… Il faut donc déterminer les actions intérieures (torseur des sollicitations intérieures) ou actions de cohésion (torseur de cohésion). On appliquera le principe de la coupure.

}  Évolution des sollicitations dans la structure - Diagrammes (Semestre 1)

Les sollicitations intérieures évoluent ou pas au sein de la structure. Pour caractériser cette évolution, on trace l’évolution de ces dernières en fonction de l’endroit où l’on se trouve dans la structure.

}  « Point » le plus sollicité (Semestre 1) Les tracés de l’évolution des sollicitations dans la structure permettent de déterminer quelle est la section droite la plus sollicitée et le point le plus sollicité de cette même section droite. C’est en ce point précis qu’il convient d’effectuer un dimensionnement en résistance. Thierry LORRIOT - GMP Bordeaux 4

Rappels méthodologiques }  Dimensionnement (Semestre 2)

}  en résistance }  Selon la nature des sollicitations (traction, compression, torsion,

flexion), le calcul des contraintes permet de dimensionner la structure (choix de la résistance du matériau, effort maximal admissible, détermination des caractéristiques de la section droite de la structure).

}  Dimensionnement en raideur }  Le calcul des déplacements provoqués par le chargement extérieur

permet également de dimensionner la structure (choix de la rigidité du matériau, choix des caractéristiques géométriques de la section droite de la structure).


Programme Semestre 3 }  1. Rappel sur les sollicitions élémentaires……………………...4

}  2. Contraintes…..........................………………………………25

}  3. Critères de résistance……………….………………………..63

}  4. Déformation…..............................…..……………..………..74

}  5. Lois de comportements…………………….………………...94

}  Bibliographie……………………………………………............106


Chap. 1 Rappels

Dimensionnement des Structures - DdS Résistance des Matériaux - RdM


}  Objectifs du DdS (RdM) :

Définir, en minimisant le coût, les formes, les dimensions, les matériaux en quantité minimale des organes de structures afin qu’ils puissent :

}  Résister aux efforts appliqués (notion de contrainte) }  Résister aux déformations (notion de déformation) et aux

déplacements (notion de raideur) provoqués par le chargement }  Conserver leur stabilité générale (notion de flambage) }  Assumer la conservation d’un comportement approprié dans le

temps (notion de fatigue) }  Résister aux chocs lors des sollicitations d’impact (notion de

résilience).

1. Généralités


}  DdS (RdM) :

1. Généralités


Dimensionnement des Structures Données :

•  Les actions extérieures •  le coeff. de sécurité

Calcul des sollicitations et des déplacements Choix optimal des dimensions et des matériaux Processus itératif de conception (ingénierie)

Vérification des Structures

Données : •  Les actions extérieures •  Les dimensions •  La géométrie

Ca lcu l des so l l i c i ta t ions e t des déplacements

On vérifie que ces grandeurs restent inférieures aux limites fixées.

Etude de la résistance

Etude de la rigidité

Etude de la raideur

Etude des instabilités

2 objectifs pour le Bureau d’Etude

}  Les problèmes étudiés

1. Généralités


Cas réel 3D

Modèles 3D Modèles simplifiés

Plaques et Coques

Théorie des poutres : DDS

Solutions analytiques

Solutions numériques

Modèle 1D : poutre, câbles, tiges, arbres

1°A – 2°A

Solutions analytiques

Solutions numériques

2°A 2°A - Projets

}  Matériau : Comportement linéaire isotrope élastique (réversible) }  Géométrie : notion de poutre

}  Hypothèse de BERNOULLI : Au cours de la déformation de la poutre, on supposera que les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation.

2. Hypothèses de la théorie des poutres


O

x

y

z

B

x y

z

O

B

M X

Y

Z s =OM!

Lm Lm

}  Hypothèse de Petites Perturbations (HPP)

}  Principe de Saint-Venant (1856) Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des actions mécaniques extérieures concentrées et des liaisons.



F F

x

y

z z x

y

F

x

y

z

}  Etat initial Aucune force interne n’agit dans le matériau avant application du chargement externe.

}  Progressivité de la mise en charge Le chargement est appliqué de façon progressive et quasi-statique (pas d’effet de la vitesse, pas d’effet d’inertie).

}  Loi de Hooke généralisée Si plusieurs efforts agissant séparément provoquent de petits déplacements, l’application simultanée de tous ces efforts provoque un déplacement égal à la somme des déplacements.

}  Liaisons parfaites



3. Torseur des actions intérieures


M

y0

A

X

z0

F1

F2

Gauche G

q

s Y

Z

FD/G MD/G

M

x0 B

F3

F4

Droite (D)

X

Y

Z

FG/D MG/D

TAct .IntD/G{ }M = T∑Fext

! "!!DROITE{ }

M= − T∑Fext

! "!!GAUCHE{ }

M

Moment de torsion

Effort normal – Traction / Compression

Efforts tranchants - Cisaillement

Moments de flexion

TAct .IntD/G{ }M =

SM! "!

=Nx

TyTz

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

SM! "!

=

MtxMfyMfz

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

4. Traction Compression uni axiale


F F A B

y0

x0 F F

y0

x0 A B

Nx = F Nx = −F

F

y0

x0

z0

L0 ΔL

y0

z0

D0

D

}  Relation Torseur de cohésion – contrainte

}  Loi de comportement (relation contrainte – déformation)

}  Relation Torseur de cohésion - déplacement



F

y0 n

X

M

S0

σxx

σ xx =Nx

S0Normale de la section droite Direction de la contrainte

σ xx = E ε xx ε yy = −ν ε xx ε zz = −ν ε xx

σ xx = E ε xx

σ xx =Nx

S0ε xx =

ΔLL0

Nx

S0= E ΔL

L0Nx =

ES0L0

ΔL

Raideur de la barre en traction

}  Dimensionnement }  En résistance (contrainte)

}  En raideur (déplacement)



σ xx =Nx

S0≤σ e σ xx =

Nx

S0≤σ avec σ = σ e

s

σ xx = Eε xx ⇔ NX

S0= E ΔL

L0⇔ ΔL = L0

ES0NX ≤ ΔLmax

5. Torsion pure


C C A B

y0

x0

z0

Mtx = C

s

P0 P4

P’4 M

P1 P’1 ϕ(L) φ(s)

γR

L

A B

C x

γ : glissement - déformation angulaire de torsion φ(s) : rotation de la section droite autour de x.


5. Torsion pure


C

A

y0

x0 z0

τθx(r)

M x0

y0

z0

r

θ

V r

τθr(r)

σθx (r) =

Mtx

Ix

r σθx

max i =Mtx

Ix

D2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Paroi extérieure

Normale à la section droite Direction de la contrainte

4

32xDI π=

y0

z0

D 4 4 4

4(1 )32 32 32xD d D dI m avec m

Dπ π π= − = − =

y0

z0

D d

}  Loi de Comportement (relation contrainte – déformation)

}  Relation Torseur de cohésion – « déplacement »

5. Torsion pure


σθx (r) =

Mtx

Ix

r

σθx = G γ θx

γ θx (r) = r

dϕds

σθx = G γ θx

Mtx

Ix

r = G rdϕds

⇒Mtx

Ix

= Gdϕds

⇒ Mtx = GIx

dϕds

= GIx θ

dϕds

= ϕ(s)ds

= ϕ(L)L

= θ = Cte

Angle de torsion unitaire

}  Dimensionnement }  En résistance

}  En raideur

5. Torsion pure


σθx

max i =Mtx

Ix

D2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟≤ τ

θ ≤θ ⇒

Mtx

GIx

≤θ

Angle de torsion unitaire admissible (donné dans CdC)

τ =

τ e

s

Limite d’élasticité en cisaillement τ e ≈

σ e

2

y0

z0

D

σθxmax i = 16C

πD3

y0

z0

D d

σθxmax i = 16C

πD3(1−m4 )

y0

z0

D

θ = 32C

GπD4 ≤θ

y0

z0

D d

4 4

32(1 )C

G D mθ θ

π= ≤

−

6. Flexion


P Q

AVANT DEFORMATION

y

x

ds s

Q1 P1

APRES DEFORMATION

Axe neutre

R

P Q

Q1 P1

y

x

dα

Mfz Mfz

PQ ≈ PQ! = ds

PQ! = R dα

1CR

=Courbure :

ds R dα=

1 dCR ds

α= =

ε xx y( ) = "Δl"

"l"=

P1Q1! − PQ"

PQ"=

R − y( ) dα − RdαRdα

= − yR


6. Flexion


y P

y

x

P1 Mfz

σxx (y)

( ) ( )xx xxyy E y ER

σ ε= = − ( ) ( ), fz

xxPz

M ss y y

Iσ = −

y

z

x P

Répartition du champ des contraintes normales dans la section droite de la poutre

z

y

b

h G

3

12GzbhI =

( ) ( ) ( )4 3

32, 2 2

64

fz fzxx

M s M sDDsD D

σπ π

= − = −z

y

G

D 4

64GzDI π=

( ) ( ) ( )3 2

6, 2 2

12

fz fzxx

M s M shhsbh bh

σ = − = −

}  Loi de comportement (relation contrainte – déformation) }  Pour chaque valeur de y :

}  Relation torseur de cohésion - déplacement

6. Flexion


( ) ( )xx xxy E yσ ε=

( ) ( )( ) ( )

yy xx

zz xx

y y

y y

ε υ ε

ε υ ε

= −

= −

y P

y

x

P1 Mfz

σxx (y)

y0

x0

Mfz Mfz

P Q

ds

y

x

R

dα EIGzv"(s) = M fz s( )

Equation de la déformée :

Voir aussi méthode des aires et méthode du moment des aires (S2), méthodes énergétiques (S4)

}  Dimensionnement }  En résistance

}  En raideur

6. Flexion


σ xx

max i ≤σ e

z

y

b

h G

max maxmax

3 2

60

212

i ifz fzi

fz xx

M Mhsi Mbh bh

σ ⎛ ⎞> = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠max

2

6 ifz

e

Mbh

σ≤

z

y

G

D maxmax

3

320

ifzi

fz xx

Msi M

Dσ

π> =

max

3

32 ifz

e

MD

σπ

≤

f ≤ f ou fmax i

y0

x0

O

L

L/2 P

A B

f

3

48 Gz

PL fEI

≤


}  Loi de comportement (relation contrainte déformation)

}  Dimensionnement en résistance

7. Cisaillement


x0

y0

z0

Section cisaillée

(P) F

F

y0

x0 (P)

σ xymoyen = TY

Scis

σ xy = Gγ xy

τ max i = kTyS≤ τ es

Facteur de forme en cisaillement

Forme de la section droite Facteur de forme en cisaillement k

Circulaire plein

Circulaire creuse

Rectangulaire

Poutre en I

7. Cisaillement


}  Relation entre σ yx moy et σ yxmaxi

ou Tz

k est un coefficient qui dépend de la forme de la section droite cisaillée : Facteur de forme en cisaillement

y

z D

y

z R r

y

z

b

h

y

z Sâme

σ xymax i = kσ xy

moyen = k TYS

43

431+ rR

r2 + R2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

SâmeS

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