Dimensionnement d'une poutre courbe de ten- ségrité

Dimensionnement d’une poutre courbe de ten-ségrité

Julien Averseng1 , Jérôme Quirant2 , Jean-François Dubé3

1 LMGC - Université Montpellier 2 ([email protected])

2 LMGC - Université Montpellier 2

3 LMGC - Université Montpellier 2

RÉSUMÉ. Les structures de tenségrité sont des systèmes réticulés autocontraints formés d’un ré-seau de barres maintenues en équilibre par un ensemble continu de câbles tendus. En suivant ceprincipe, il est possible de concevoir des structures légères, visuellement transparentes et, danscertaines conditions, déployables. Dans cet article, nous proposons une démarche générale deconception et d’optimisation adaptée à ce type de structure. Une application est menée sur lecas d’une passerelle de forme courbe dont la mise en œuvre se fait par déploiement.

ABSTRACT. Tensegrity systems are self stressed reticulate structures composed of a set of com-pressed struts assembled inside a continuum of tendons. This principle is at the origin oflightweight and transparent structures that can be erected in particular cases by deployement.In this paper, we propose a general design and optimization procedure adapted to this kind ofstructural system. An application is presented on the case of a curved deployable footbridge.

MOTS-CLÉS : tenségrité, conception, optimisation, passerelle.

KEYWORDS: tensegrity, design, optimization, footbridge.

31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013 2

1. Introduction

Les structures de tenségrité sont des systèmes réticulés autocontraints formés d’unréseau de barres maintenues en équilibre par un ensemble continu de câbles tendus[MOT 03]. En suivant ce principe développé dans les années 50 [SNE 73][FUL 73],il est possible de concevoir des structures légères, visuellement transparentes et qui,dans certains cas, permettent une mise en oeuvre par déploiement [SMA 07][QUI 11].

Faisant suite à une étude portant sur la conception d’une poutre pliable/dépliable[AVE 12], nous proposons dans cet article une nouvelle procédure dont le but est dedéfinir de manière optimale une structure complète de type passerelle, composée dedeux poutres modulaires selon le principe illustré en figure 1. Ainsi, une procédured’optimisation multi critères portant sur la forme (nombre de modules, dimensions,courbure), les caractéristiques des éléments (matériau, section) et le niveau d’autocon-trainte est proposée et adaptée au cas étudié. Le problème est scindé en deux parties,traitant à part le problème de recherche de forme et le dimensionnement des éléments.Ainsi, un ensemble de structures de formes variées est tout d’abord généré. Ensuite,chaque proposition est analysée et dimensionnée dans un schéma itératif aboutissantà la définition des sections et du niveau d’autocontrainte minimum requis. Ses per-formances sont évaluées au travers d’un critère combinant rigidité et masse, ce quipermet, par interpolation au sein d’une surface de réponse, d’identifier un jeu de para-mètres géométriques optimaux.

(d)

bl

h

(a)nappe!sup.

entretoisement

nappe!inf.

barre

n!modules

(b)

f0

(c)

Figure 1. Composition géométrique d’une passerelle : (a) module de base, (b) assem-blage en poutre, (c) courbure, (d) assemblage final avec platelage

Dim. d’une poutre courbe de tenségrité. 3

2. Définition de la structure

Une structure type est formée de la juxtaposition de deux poutres de tenségrité[AVE 12] composées de modules à 4 barres et reliées entre elles par un platelage at-taché simplement en partie inférieure et supposé rigide dans son plan. Chaque poutreest générée par la juxtaposition linéaire de modules simples à 4 barres. La géométrieest ensuite transformée globalement par passage dans un repère cylindrique d’axe ho-rizontal, induisant ainsi une contreflèche (Fig. 1). Chaque module est doté en nappesupérieure d’un câble transversal permettant de limiter les mécanismes et ainsi aug-menter la rigidité de chaque poutre sous charge verticale [AVE 12]. Le platelageest modélisé comme une série de barres transversales s’appuyant simplement par uneliaison de type rotule sur deux modules. Chaque appui sur un module est matérialisépar un système triangulé qui répartit les efforts aux quatres noeuds de sa nappe infé-rieure. Ainsi, à l’image de ce qu’il conviendrait de réaliser, l’action du platelage surles poutres n’induit en elles aucune torsion.

2.1. Paramètres géométriques

Les paramètres géométriques fixes communs à chaque structure sont la portée(12 m), la largeur de passage (2 m) et le type de platelage, formé ici de panneauxrigides en bois dont la masse surfacique est estimée à 30 kg/m2. Les paramètres va-riables qui définissent chaque proposition et leur domaine de variation sont présentésdans le tableau 1. Trois matériaux de natures variées sont exploités dans cette étude :acier, bois et un composite carbone/epoxy.

nombre de modules n 6 à 14largeur de module b 40 cm à 1,6 mhauteur h 80 cm à 1,8 mcontreflèche f0 -0,5 à 1 mmatériau et nuance bois (C24, kmod=0,6), acier (S235), composite

carbone/epoxy (fc = 1200 MPa, Ec = 125 GPa)

Tableau 1. Paramètres géométriques et matériels à optimiser

Les éléments sont définis par famille : câbles de nappe inférieure et supérieure,barres, câbles d’entretoisement. Les sections associées à chaque famille sont définiesinitialement à une valeur faible de 1 cm2. Tous les câbles ont des sections circulairespleines. Les barres ont des sections circulaires pleines dans le cas du bois uniquementet tubulaires creuses pour les matériaux de type acier et composite, avec des rapportsdiamètre sur épaisseur fixés respectivement à 40 et 10.


2.2. Etat d’autocontrainte

Dans tout système de tenségrité construit par assemblage de modules, l’état d’au-tocontrainte se décompose en général en états fondamentaux localisés dans chaquemodule. Afin de concevoir et contrôler l’état d’autocontrainte à introduire dans lastructure, on identifie ces états à partir du calcul du noyau de la matrice d’équilibrequi traduit l’équilibre des forces aux nœuds [QUI 03].

Dans le cas présent, la courbure rend délicate l’identification d’états locaux. Onchoisit donc plutôt de définir le niveau d’autocontrainte dans la structure en s’ins-pirant du mode de mise en tension. Ainsi, on simule au cours de l’analyse structu-rale le processus de réglage des efforts internes par raccourcissement contrôlé d’unnombre limité d’éléments dit actifs [AVE 04]. Dans le cas de la structure présentée,ces éléments sont choisis parmi les câbles d’entretoisement communs à deux modulessuccessifs.

3. Dimensionnement optimal

Les caractéristiques à optimiser pour chaque passerelle générée sont le niveaud’autocontrainte et les sections des éléments, c’est-à-dire leur diamètre et, pour lesbarres à profil tubulaire creux en acier ou composite, leur épaisseur.

Ce dimensionnement est effectué selon un processus en trois étapes (Fig. 2) :

– dimensionnement des sections à partir d’un niveau d’autocontrainte défini,– analyse structurale ELS,– analyse ELU.

Lors des analyses structurales, les charges permanentes considérées sont le poidspropre du platelage (30 daN/m2), celui des noeuds (5 N chacun) et celui des élémentsqui évolue en fonction de leur caractéristiques au cours du processus de dimensionne-ment. Une charge surfacique variable caractéristique de 300 daN/m2 sur le platelageest prise en compte. Les actions climatiques et les situations accidentelles ou sismiquesne sont pas considérées dans cette étude.

Les états limites de service considérés concernent uniquement le relâchement deséléments de type câble. La valeur des premières fréquences propres n’est pas exploi-tée car celles-ci dépendent principalement de la géométrie qui, dans ce processus dedimensionnement concernant un seul spécimen à chaque fois, reste fixe. Une optimi-sation selon ce critère n’est donc pas possible dans le schéma proposé. En situationELU, le relâchement d’un ou plusieurs câbles est admis. Le processus d’optimisationproposé repose donc sur une analyse structurale non-linéaire implémentant une tech-nique de relaxation dynamique [BAR 75][AVE 11]. La stabilité d’ensemble et larésistance de tous les éléments sous effort normal sont vérifiées suivant les disposi-tions des Eurocodes. La vérification des barres en matériau composite est ici dérivéedes dispositions de l’Eurocode 3, en supposant des coefficients d’imperfection et de


géométrie et paramètres initiaux

niveau d’autocontrainte

dimensionnement des sections droites

analyse structurale ELS

cables détendus ?

analyse structurale ELU

résistance éléments ?

solution optimale

non

oui

oui

non

Figure 2. Organigramme de calcul

sécurité majorés. Le cas échéant à l’issue de toutes les vérifications, le niveau d’auto-contrainte ou les sections droites sont redéfinis jusqu’à validation de tous les critères.

4. Recherche d’un optimum

Pour chaque dimensionnement optimisé, la solution obtenue est évaluée au vude ses performances structurales par l’intermédiaire d’un indice de performance notéIperf combinant la rigidité (flèche statique ELS obtenue sans câbles détendus, en m)et la masse totale, exprimée en tonnes [1]. Ainsi, une structure dont la note est élevéecombine une faible réponse en déplacement sous charges de service, c’est-à-dire unerigidité flexionnelle élevée, avec un poids propre réduit.

Iperf =1

fELS ×Mtotale(1)

Afin d’identifier un jeu de paramètres optimaux, les indices de performance ob-tenus sont utilisés pour construire un méta-modèle explicite que l’on choisit sous laforme d’une surface de réponse quadratique. Par cette approche, on exprime par une


fonction continue et dérivable l’indice de performance en fonction des paramètresgéométriques [2], par interpolation dans l’ensemble réduit de cas étudiés.

Iperf,mod(x) = a+∑

i bixi +∑

i ciix2i +

∑i

∑j¬i cijxixj

= a+[· · · bi · · ·

]x+ 1

2xtHx

(2)

Dans cette expression, x est le vecteur colonne des paramètres d’entrée qui sontici dans l’ordre : la contreflèche f0, la largeur b, la hauteur de module h, le nombrede modules n. Les coefficients a, bi et cij qui définissent cette fonction sont obtenuspar calage sur le jeu de données issu du processus de dimensionnement. Cette fonc-tion s’écrit sous forme matricielle en faisant apparaitre H , la matrice hessienne desdérivées secondes partielles que l’on utilise pour identifier des points singuliers.

matériau Iperf,mod

S235 31, 3 +

−35, 1−40, 871, 5−8, 35

x+ 12xt

26, 8 12, 4 −6, 57 1, 7612, 4 19, 1 −25, 8 4, 75−6, 57 −25, 8 9, 28 −5, 071, 76 4, 75 −5, 07 0, 865

x

bois 17, 4 +

−43, 5−65, 4101

−9, 19

x+ 12xt

16, 8 11, 7 0, 941 2, 0711, 7 32, 2 −29, 6 7, 990, 941 −29, 6 −5, 92 −6, 332, 07 7, 99 −6, 33 1, 01

x

composite 35, 3 +

−102−63, 6107

−9, 87

x+ 12xt

117 23, 3 −2, 51 1, 2323, 3 75, 5 −97, 2 11, 8−2, 51 −97, 2 75, 9 −11, 51, 23 11, 8 −11, 5 1, 25

x

Tableau 2. Résultat du calage pour les solutions acier, bois et composite

Ainsi, la surface de réponse de la performance structurale pour chacun des ma-tériaux envisagés prend la forme présentée dans le tableau 2. Les indices de perfor-mances exprimés ici reproduisent correctement ceux déterminés pour chaque spéci-men dimensionné en montrant des indices de corrélation de 0,987, 0,989 et 0,938respectivement pour les solutions acier, bois et composite. Ces fonctions semblantsuffisamment représentatives, on peut les utiliser pour identifier explicitement leur ex-tremums par une recherche de gradient nul qui se résume à la résolution d’un systèmelinaire faisant intervenir la matrice H [3].


Iperf,mod(x) = 0 ⇔ b+Hx = 0 (3)

5. Solutions obtenues

La résolution de chaque système fait émerger les paramètres optimaux desquelssont déduites trois solutions dont les détails sont données dans le tableau 3. Un renduà l’échelle est aussi présenté en figure 3.

matériau des barres unité S235 bois C24 compositev0 cm 40 60 60b cm 120 130 140h cm 130 170 120n - 10 8 6masse kg 2474 2588 1807f0 Hz 3,26 4,22 3,7autocontrainte kN 116,5 115 110Abarres cm2 7,6 166 16,6Anappe,sup cm2 1 1 1Anappe,inf cm2 1 1 1Aentretoisement cm2 2,1 1,6 1,6

Tableau 3. Caractéristiques des solutions optimisées

S235

bois C24

composite

Figure 3. Rendu à l’échelle des 3 propositions

Comme on peut le voir, la masse totale reste faible et correspond pour les solutionsbois et acier, les plus lourdes, à une masse surfacique de 110 kg/m2 environs. On peutnoter que ceci reste inférieur à une solution classique vérifiant les même critères etqui mettrait en oeuvre deux profilés métalliques de type IPE 330. Si leurs masses sontsemblables, la passerelle bois nécessite une hauteur et des sections notablement plusimportantes. Sur les trois solutions, celle basée sur le composite se distingue nette-ment par sa légèreté. Dans les trois cas, on remarque que le niveau d’autocontrainte àintroduire est de niveau similaire, autour de 115 kN.


Sur la forme, les solutions sont proches en termes de largeur. Le rapport hau-teur/largeur des modules avoisine 1 sauf pour la solution bois qui à une hauteur plusimportante. Le nombre de modules est minimal pour la solution composite, d’où ungain important en masse. Malgré une longueur de barres maximale et une longueurde flambement importante, les sections restent de taille raisonnable dans ce matériau.Enfin, malgré un intervalle de variation important allant de -0,5 à +1 m, la valeur dela contreflèche adopte pour les trois cas une valeur similaire positive d’environ 50 cmce qui, sur une portée de 12 m, correspond à un rayon de courbure de 30 à 35 m.

Dans l’ensemble, les fréquences propres sont certainement un peu faibles (en des-sous de 4 Hz) à l’exception de la solution bois. Ceci implique que les hauteurs despasserelles acier et composite devront être revues à la hausse afin d’en augmenter larigidité flexionnelle qui semble, malgré le poids important, suffisante pour la passe-relle bois. Ceci suggère de mener une amélioration de l’indice de performance afin demieux prendre en compte cet aspect.

Figure 4. Schéma de mise en oeuvre d’une poutre (1/2 passerelle) par déploiement

6. Conclusion

Les systèmes de tenségrité sont peu représentés en construction, principalement enraison d’un manque du côté des méthodes d’analyse et de dimensionnement qui, pources systèmes, doivent être spécifiques. Dans cet article, nous proposons de mener unedémarche de dimensionnement associée à une recherche de solution optimale dans lecadre d’une passerelle complète, portée par deux poutres courbes déployables.

Plusieurs matériaux sont envisagés et une variété de paramètres sur la forme sontexplorés. La performance structurale d’un ensemble réduit de spécimen dimensionnésde manière optimale aux ELS et ELU est généralisée par la constitution d’une surfacede réponse quadratique. Celle-ci permet de déterminer explicitement les paramètresgéométriques correspondant à un optimum. Ainsi, en fonction de certaines donnéesde base comme le matériau composant les barres, nous pouvons proposer une solutionde masse minimale dont le comportement est en accord avec les exigences en statiqueet dynamique. Pour différents matériaux et sous ces contraintes, des similitudes surla valeur de la contreflèche et les dimensions des modules apparaissent, révélant lapertinence et le bon équilibre des solutions obtenues.


Mais c’est surtout le schéma de mise en oeuvre, non abordé ici mais schématisé enfig. 4, qui par sa facilité et rapidité de mise en oeuvre, pourrait apporter un avantageindéniable à ce type de solution. Bien qu’une réflexion spécifique sur la conception desnœuds doive être menée, la démarche de conception proposée aboutit à une structureréaliste et compétitive par rapport aux structures traditionnelles equivalentes.

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