This article was downloaded by: [University of Aberdeen]On: 04 October 2014, At: 15:10Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Dimensions des matrices antisymétriques depolynôme minimal donnéPascale Koulmann aa Equipe de Mathématiques de Besançon , UMR 6623 du CNRS 16, route de Gray,Besançon, 25030, France E-mail:Published online: 05 Jul 2007.

To cite this article: Pascale Koulmann (1998) Dimensions des matrices antisymétriques de polynôme minimal donné,Communications in Algebra, 26:10, 3361-3381, DOI: 10.1080/00927879808826346

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA Zbi 10) 3361- 338 1 ( r w i ,

Pascale I(ou1mann

Equipe de Mathkmat~ques d t I3esarl(orr UMR 6623 du CNRS 16, route de Gray 25030 Besanqon France e mail . pascale@math.un~\' fromte f~

Sur IR, les valeurs propres d'une matrice syrnetrique sont rdelles et celles d'une matrice antisymdtrique sont imaginaires. I1 est nature1 de se demander quelle est la dimension d'une matrice symktrique ou antisymdtrique ayant une valeur propre fixee. Exiger qu'une matrice ait une cestaine valeur propre revient & fixer le polyn6me minimal de cette matrice.

Krakowski [GI a ddtermink l'ensemble des polynhnes minimaux des ma- trices symdtriques et celui des matrices antisymetriques dkfinies sur un corps de caract6ristique diffdrente de 2. Par la suite, Bencle~ [:3], Est,es [4 ] puis Bass, Estes et Guralnjck [l] se sont intkressis aux matrices sy~ni.t.riques de valeur propre donnee. En particulier, ils ont dktermini. la dil~rc~isioll miui~nale d'une matrice symdtrique de polyn6me minimal arhitrairernent choisi.

Dans cet article, nous nous intiressons aux matrices antisymetriques (pour la transposition) e t , plus gkndralement, aux matrices antisymktriques pour une involution de premitre espkce, dkfinies sur un corps non formelle- ment reel. Le cas des corps formellement rkel sera trait6 dans un autre article.

Soit k un corps non formellement rdel, de caracteristique differente de 2. Krakowski [GI a montre qu'un polyn6me f de k [ X ] est le p o l y n h e minimal d'une k-matrice antisymdtrique si et seulement si f (A') = g ( X 2 ) ou f ( X ) =

Copyright O 1998 by Marcel Dekker, Inc w w w dekker corn

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Soit a' une involution symplectique de Mn(k) . Alors a' est de la forme a' = IntAot oh A est une matrice inversible antisymdtrique. I1 est clair que si n est impair alors il n'existe pas d'involution symplectique sur M n ( k ) [7, chap. 7 et 81 ou (51.

Si A est une matrice antisymhtrique pour une involution a de premikre espkce et de polynbme minimal f de degrd n , alors f est pair ou impair. En effet f ( - A ) = f ( a ( A ) ) = f ( A ) , donc ( -1 )" f ( - X ) - f ( X ) est un polynbme annulateur de A, il est de degrd au plus n - 1. Par dkfinition du polynbme minimal d'une matrice, le polynome ( - 1 ) " f ( - X ) - f ( X ) est nul. Ainsi, f est un polynbme pair si n est pair, et impair si n est impair.

Enfin, dans tout l'article, si f est un polynbme unitaire de k [ X ] ,

Avant de citer le principal thiortme de cet article, nous donnons quelques dkfinitions.

f ( X ) = X n + an-I Xn-' + ... + a0

alors C ddsigne la matrice compagnon de f , c'est-8-dire :

DCfinition 1 a) L'entier p t ( k ) sera le plus petit entier tel que tout polynbme f pair ou

impair est le polynbme minimal d'une matrice antisymdrique de dimension

~ t ( k ) d % f . 6 ) L'entier p,(k) (respectiuement p k ( k ) ) sera le plus petit entier tel que,

pour tout polynbme f pair ou impair, il eziste une involution symplectique (re- spectiuement orthogonale hyperbolique) sur M,,(k)d,,,(k) possdant une ma- trice antisyme'trigue de polynbme minimal f.

c =

Nous pouvons maintenant tnoncer le rdsultats principaux.

0 1 0 . . ~ 0 . .

0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 0 1

-ao . . . - a n 4 -a,-2 -a,-1

ThCor6me 1 Tout polynbme f pair ou impair est le polynbme minimal d'une matrice antisyme'trigue de dimension 2degf si s ( k ) = 1 et s(k)degf sinon. De plus, l'entier p , ( k ) est igal a 2 si s ( k ) = 1 et s ( k ) sinon.

2 Thkorkrne principal

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La dkmonstration de ce thdorkme se fait en 3 dtapes. Nous regardons tout d'abord le cas des involutions symplectiques et des involutions orthogonales (et plus particulitrement les involutions orthogonales hyperboliques) pour lesquelles nous avons les risultats suivants :

T h k o r k m e 2 Tout polyn6me f pair ou impair est le polynbme rrtinimal d'une matrice dc dimension 2deg f et antisymitrique pour une irruulution symplec- tique. De plus, l'entier p , ( k ) est e'gul ir 2.

ThCorkme 3 Tout polyrz6me f pair ou impair est le p o l p 6 m e minimal d 'une matrice de dimension 2deg f et untisyme'trique pour une involution orthogo- nale hyperbolique. De plus, l'entier p h ( k ) est igul '1 2.

La deuxikme dtape consiste & construire une matrice antisymitrique de dimension souhaitie en utilisant ce qui prickde. La troisitme i t ape est l'dtude de la minimalitd de la dimension trouvde. Pour cela, nous regardons les polynbmes de degrd 2. Nous donnons les dimensions possibles pour une matrice antisymdtrique de polynbme minimal de degrd 2 et ce pour chaque polynijme.

Si f est le polynbme minimal de la matrice A antisym6trique pour une involution de premikre esptce u sur Mdeg!(k), alors A est conjuguee B la matrice compagnon, C, de f et C est antisymitrique pour une involution de meme espkce sur M,,(k), conjuguke & u. Par conskquent, il suffit de prouver que la matrice C est antisymdtrique pour une certaine involution symplectique ou orthogonale de Mdegj (k ) .

3 Le cas d'une involution symplectique

Si f est un polyn6me ilnpair, alors i l n'existe pas d'involution symplectique telle que f soit le poly116me minimal d'une matrice de dimension degf an- tisym&txique pour cette invdution. En eSet, colnme nous l'avons rappe\er dans le ~ a r a g r a ~ h e 1, i l n'existe pas d'involution symplectique sur Mdeg f , i t an t donni que deg f est impair.

T h C o r e m e 4 S i f un polyn6me pair, ulors il eziste u.ne involution symplec- tique a telle que f sod le polyndme minimal d'une mufrice de dimension deg f et a-antisyme'trique.

Preuve : Soit n le degrd de f , dcrivons-le sous la forme n = 2p. Comme f est pair, il s'dcrit :

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Dire que la matrice C , matrice compagnon de f , est antisymitrique pour une involution symplectique a dquivaut k dire qu'il existe une ma- trice inversible antisymktrique M de mkme dimension que C et telle que MC'M-' = -C. L'involution a est alors difinie par u = IntM o t , oh t est la transposition, a est une involution syrnplectique sur M,, (k) .

Le problkme se risume donc a trouver une matrice antisymitrique, in- versible, M telle que CM soit symktrique :

avec : sl = a z p - 2

s 2 = a2p-4 - a2p-2S1

Cette matrice M est antisymitrique, inversible (car detM = 1) et C M est symitrique. Donc C est antisyrnitrique pour I'involution symplectique a = IntM o t .

DCmonstration du thCorPme 2 : Soit f un polyn6me pair ou impair de degri n. -

On dkfinit la matrice

de dimension 2n et la matrice

oh W' est la rnatrice symitrique de dimension n ddfi~iie par

W ' =

. . . r o 0 0 0 1 0 . . . 0 0 1 S l

. . . 0 0 1 s, s.l . . . . . . . . . . . . .

1 s, s 2 . . . . . . Sn-1 -

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avec : sl = --an-1 s2 = -an-2 - an-lsl

Une telle matrice W' est inversible (car detW' = ( - l )P ou p = n/2 ou p = (n + 1)/2) et vdrifie CW' = W'C'. Par conskquent, la matrice W est antisymdtrique inversible de dimension 2n et virifie N W = W N'. La matrice N est donc antisymdtrique pour l'involution symplectique a = IntW o t sur M z n ( k ) . Ceci prouve que l'entier p,(k) cherchC est infirieur ou dgal a 2. I1 ne peut etre dgal b 1, d'aprks la remarque faite au dkbut de la section 3. Par consdquent, p,(k) = 2 et le thdorkme 2 est prouvC.

4 Le cas d'une involution orthogonale

4.1 Polyn6mes de degr6 impair

Thkorbme 5 Soit f un polyn6me impair. Alors il eziste une involution or- thogonale d'indice de Witt kgal i 1/2deg f - 1 telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice de dimension degf antisyme'trique pour cette involu- tion.

Preuve : Soit n le degrd de f , dcrivons-le sous la forme n = 2p+ 1. Comme f est impair, il s'dcrit :

f (X) = XZp+' + a2p-1XZP-1 + ... + a1 X

Si nous trouvons une involution orthogonale a , d'indice de Witt maxi- mal, telle que C, la matrice compagnon de f , soit antisymdtrique pour cette involution, alors nous aurom montrd le thdorkme. Comme dans la preuve du thdorkme 4, ceci dquivaut B trouver une matrice M convenable.

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avec : s l = -a2p-1 S 2 = -a2p-3 - a2p-lS1 .... . ........................... s P = -al - a3sl - ... - a2p-lsp-l .

Cette matrice M est symdtrique et inversible (car detM = I ) , de m6me dimension que C et C M est une matrice antisymitrique pour la transposition. De plus (M) contient un sous-espace totalement isotrope de dimension p. Son indice de Witt est donc maximal. L'involution ddfinit par la matrice M satisfait les conditions requises.

Le thiorkme est donc montrd.

4.2 Polyn6mes de degr6 pair

Examinons maintenant le cas oh le polynome f est de degrC 1% pair, n = 2 p . Dans ce cas f s'icrit f ( X ) = X2P + aZp-2X2P-2 + ... + aO.

ThCoGme 6 Si a. = 0, alors il n'y a pas d'involution orthogonale a sur Mn(k) telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice a-untisyme'trique.

Si a. # 0, alors il etiste une involution orthogonale a sur M,(k) d'indice de W i t t a u moins igal a p - 1 et de discriminant (- l )P- 'ao telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice a-antisyme'trique.

De plus pour toute involution orthogonale T sur Mn(lc) telle que f soit le polyn6me min imal d'une matrice T-antisyme'trique, on a disc^ = ( - l ) P a o .

Preuve : Le mime raisonnement que dans le cas des polyn6mes de degri impair nous indique qu'il existe une involution orthogonale a sur Mn(k) telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice a-antisymdtrique si et seule- ment si il existe une matrice symCtrique inversible M de Mn(k) telle que CM soit antisymdtrique, l'indice de Witt de a Ctant le meme que celui de (M).

La matrice C M doit 6tre antisymdtrique donc le rang de C M doit &re pair. Comme M est inversible, le rang de C M est igal au rang de C qui doit donc etre pair.

Si a. = 0 alors C est la matrice compagnon de f polyn6me pair de terme constant nul, son rang est donc 2 p - 1 qui est impair. Par consdquent, une telle matrice M n'existe pas et on conclut que si a. = 0 alors i l n'existe pas d'involution orthogonale u sur Mn(k) telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice u-antisymdtrique. Ceci prouve la premikre partie du thiortme.

Si a. # 0, alors on considtre la matrice

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0 . . . . . . . . . . . . 0 o . . . . . . . . . . . . 0 Sl

o . . . . . . . . . 0 -s, 0 0 . . . . . . 0 S l 0 sz

. . . . . . . . . . . . . 0 0 -s1 0 . . . - 1 0

. . . . o Sl 0 sz 0 SP

avec : s , = ao S2 = -azp-2s1 ............................ sP = -azsl - a4s2 - ... - azp-2sp-l.

Cette matrice M est symitrique, inversible (car detM = sy-' = (a;)P-'ao) dans Mn(k) e t C M est une matrice antisymktrique. I1 reste & ktudier I'indice de Witt de (M) . Notons que ( M ) contient un sous-espace totalement isotrope de dimension p - 1. Par consiquent,

( M ) E ( I ? ( - ~ ) ~ - ' a ~ ) (p - l ) ( l , -1).

La matrice C est donc antisymktrique pour l'involution a = IntM o t. Cette involution est orthogonale sur M,(k), son indice de Witt est au moins &gal 8- p - 1 et son discriminant vaut (-1)Pao.k'2. Nous avons ainsi montrk la deuxikme partie du thkorkme.

Soit T une involution orthogonale sur Mn(k) telle que f soit le polynhme minimal d'une matrice T-antisymktrique, nous avons vu que nous pouvons supposer que cette matrice est la matrice compagnon de f . Par dkfinition du discriminant d'une involution, nous avons disc7 = (-1)PdetC = (-1)Pao. Le thiorkme est ainsi dkmontrk.

4.3 Involution orthogonale hyperbolique

Dans cette section nous reprenons les notations de la section prdckdente.

Proposition 1 Si a0 = (-l)PbZ pour un certain b E k*, alors il existe une in- volution a orthogonale et hyperlolique sur M,,(k) telle que f soit le polynbme minimal d t n e matrice u-ontisyme'trique.

Preuve : D'aprks le t,hCorkine prkcident, il existe une involution a or- thogonale sur M,(k) telle que f soit le p o l y n h e minimal d'une matrice a-antisymitrique, L'indice de Witt de cette involution est au moins egal

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& p - 1 et son discriminant vaut ( - 1 ) ~ a ~ . k * ~ = 1.k" dans k8/k*'. Donc l'involution a est une involution orthogonale e t hyperbolique sur M,,(k).

Demons t ra t ion du thdor6me 3 : Soit f un polynome pair ou impair de degrd n. Si C est la matrice compagnon du p o l y n h e f, alors le polyn6me minimal de -C est f .

On ddfinit la matrice

.=[; $ 1 de dimension 2n et la rnatrice

oh W' est la matrice symitrique inversible de dimension n ddfinie dans la ddmonstration du thdorkme 2. Une telle matrice W' vdrifie CW' = W'C'. Par consdquent, la rnatrice W est symdtrique inversible de dimension 2n et vCrifie NW = -WNf . Comme ( W ) contient un sous-espace totalement isotrope de dimension n, en tant qu'espace quadratique, (W) z n(1, -1) et l'involution a = IntW o t est orthogonale et hyperbolique sur Mzn(k). Le polyn6me f est le polynome minimal d'une matrice a-antisymdtrique. Ceci prouve que l'entier ph(k) cherclii est infirieur ou igal & 2 . I1 ne peut &re dgal & 1, d'aprts le t h i o r h e 6 . Par consdquent, ph(k) = 2 et le thdorkme 3 est prouvd.

Remarque : Si M est une matrice inversible symdtrique sur k alors M et -M ddfinissent la m6me involution a = IntM o t sur M,j im~(k) . Soit f un polyn6rne impair (respectivement pair de terme constant non nul) de degrd n = 2 p + 1 (respectivement n = 2p), alors nous savons qu'il existe une involution orthogonale a = IntM o t telle que f soit le polyn6me minimal d'une matrice a-antisymktrique de dimension n ; la ma- trice M vdrifie (M) = ((- 1)P) $ (p)( l , -1) (cf : Thiorhme 5) ( respective- ment (M) .v (1, (-1)Pao) @ (p - 1)(1, -1) (cf : Thdortme 6)).

L'involution T = Int(M @ - M ) o t est une involution orthogonale sur MZn(k) et (M) $ (- M ) E (2p + 1)(1, - I ) (respectivement ( M ) $ (- M) N (2p)(l, - 1)). Cette involution T est donc hyperbolique. De plus, d ' ap rb le lemme ci-dessous, f est le polyn6me minimal d'une matrice T-antisyrndtrique et de dimension 2n. Ceci est une autre manitre de montrer la proposition si f est impair (respectivement pair de terme constant non nul).

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L e m m e 1 Soient a = IntM o t et u' = IntM' o t deux involutions or- thogonales. Si un polyn6nze f est le polyn6me iniitirr~al d i n e matrice an- tisyme'trique A pour a (respecti~~ement A' pour a ' ) , de dzmerzsion ndeg f (re- spectivement n'deg f) , alors il est le polynbme mznimal d'une matrice an- tisyme'trique pour l'involutiotz orthogonale In t (M @ M ' ) o t , de dimension ( n + nf)degf.

Preuve : I1 suffit de considdrer la matrice A $ A' pour rnontrer ce lemme.

Nous allons maintenant nous interesser a une involution orthogonale par- ticulikre : la transposition.

En utilisant ce qui pr6ckde, nous allons montrer qu'un polynbme pair ou impair est le polynbme minimal d'une matrice antisyrnitrique pour la transposition de dimension 2degf si s ( k ) = 1 e t s(k)deg f sinon.

5 Le cas de la transposition

Soit a = In tM o t une involution orthogonale sur Mn(k). Nous voulons que a soit la conjugude de la transposition, mais deux involutions sont con- juguees si leurs formes quadratiques sont isomktriques. Par consbquent, il suffit de montrer que (M) est isometrique B (I,,). Si cette condition n'est pas vkrifibe, alors on prend r copies de ( M ) et on determine r pour que ( M 8 I,) soit isomdtrique k (I,,). Dans ces conditions, si N est une matrice u-antisymktrique et de polynbme minimal f , alors N 6 I, est de polyn6me minimal f et antisymdtrique pour I'involution a @ t orthogonale sur Mn,(k). De plus, N @ I, est la conjuguke d'une matrice antisyrnktrique de Mn,(k) et de polynbme minimal f . I1 nous suffit donc de nous intlresser aux involu- tions a = In tM o t exhibkes dans le paragraphe prickdent et de montrer que ( M 8 Is(k)) est isorndtrique i (In,(k)).

5.1 PolynBmes de degr6 impair

ThCorkme 7 Tout p o l y n h e f de degrk impair, qui est polyn6me minimal d'une matrice antisyme'trique, est le polyn6me mininzul d'une matrice anti- syme'trique de dimension s(k)deg f .

Preuve : Soient f un polynbme de degrd impair n = 2p+ 1, et C sa matrice compagnon. Le polynbme minimal de C est &gal a f , par conskquent le polynbme minimal de C @ I, est kgalement f . Nous savons, d'aprks la preuve du thkortme 5, que C est an t i~~rnd t r ique pour I'involution a = In tM o t orthogonale sur M,(k). I1 reste donc b montrer que ( M @ 1,) 2 (I,,) pour un certain r . Nous avons vu que ( M ) contient u n sous-espace totalement

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isotrope de dimension p et de plus det M = 1. Par consdquent,

Remarquons que I,(k) L Is(k) est une forme de Pfister isotrope. Donc Is(k) I I ,( t ) est neutre. On en diduit que ( - I , ( k ) ) est isomdtrique B ( I s ( k ) ) et par conskquent ( M 8 Is (k) ) est isomitrique i

On obtient finalement que f est le polynhme minimal d'une matrice an- tisymdtrique de dimension s(k)deg f . Ceci termine la preuve du thdorkme.

5.2 Polyn6mes de degre pair

Examinons maintenant le cas o t n est pair.

Lemme 2 Si a E kg alors (aIF(,)) = ( I 6 ( , ) ) . De plus, si j (u) 5 ~ ( k ) alors

(aIs(k)) (I,(k))' sinon, (aI24k)) " (12s(k)).

Preuve : Par definition, a est somme de p(a) carrCs. Ceci implique que a est repr&ent6 par ((&,)I. Cornme (IF(,)) est une forme de Pfister, c'est

une forme multiplicative. On en dCduit que a est un facteur de similitude de (Ifi(a)). Doric (a]$( ,)) =i ( IF( , ) ) .

Si j ( a ) 5 s(k) alors s(k) est un multiple de j ( a ) (car ce sont des puis- sances de 2) et donc ( a l , ( k ) ) ( I , ( k ) ) . Sinon, F(a) = 2s(k) et 1e rbul ta t est immidiat.

Proposition 2 Si s ( k ) = 1, alors tout polynbme f pair, non divisible par X 2 , est le polyn6me minimal d'une matrice antisyme'trique de dimension F(k)degf.

Preuve : Soit f un polyn6me pair de degrd n = 2 p . Le polynbme f s'dcrit f ( X ) = X2P + u2p-2X12P-2 + ... + ao. Comme X2 ne divise pas f , ug est non nul.

Le meme raisonnement que dans le cas des polynornes de degri impair nous indique qu'il suffit de montrer que ( M @ 16(k)) soit isomdtrique k en tant qu'espace quadratique oh M est la matrice definie dans la preuve du thdorkme 6 . Nous savons que

Comme s(k) = 1, (M) "V (ao) I ( 2 ~ - ])(I) . Le lemme 1 nous dit de plus que ( a ~ l + ( ~ ) ) ( I F ( k ) ) . Donc ( M @ 16(k)) est isomktrique a (I ,;(k)) . Et la matrice C @ IF(k) est la conjuguCe d'une matrice antisymktrique. I1 existe donc une matrice antisymitrique de polyn6me minimal f et de dimension j(k)deg f (c'est-8-dire deg f ou 2deg f ) . La proposition 2 est ainsi ddmontrde.

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Propos i t ion 3 Soit f un polyn6me pair. Si s ( k ) = 1 et si f est de terme constant null alors il existe une ma-

trice antisyme'trique de polyn6me minimal f et de dimension 2deg f . Mais il n'existe pas de matrice antisyme'trique de dimension deg f et de po lynhe minimal f.

Si s ( k ) > 2 , alors f est le polyn6me minimal d'une rnatrice antisyme'trique de dimension s(k)deg f .

Preuve : Soit f un polynbme pair de degri n = 2 p . D'aprks la propositior~ 2, nous savons que f est le polynbme minimal d'une matrice N de Mzn(k), antisymetrique pour I'involution a = IntW o t . La matrice W est s~mdtr ique e t (W) 2 n(1, - 1 ) . Par consiquent, (W @ I,) = 2 p ( l , -1). Comrne par hypothtse, -1 est sonrrnede s ( k ) carris, s(k)( -1) 2 s ( k ) ( l ) . Par consequent (W) = 2n(l) si s\k) = \ et \W Q3 Is(k)/'l) "-- ns\k)\I') sl s\k) 2 '2. Donc est le ~ o l y n 6 m e minimal d'une matrice antisymetrique de dimension 2deg f si s ( k ) = 1 et s(k)degf sinon.

Dans le cas oG -1 est un c a r 6 dans k et oh f est un polyn6me pair de terme constant nul. Le thdorkme 6 nous dit qu'il n'existe pas d'involutiorr orthogonale a sur M,,(k) telle que f soit le polyn6me minimal d'une ma- trice a-antisymetrique. Donc il n'existe pas de matrice antisymitrique de dimension n et de polyn6me minimal f. La proposition est donc montrie.

Corollaire 1 Pour tout q E W , il existe une matrice antisyme'trique de polyn6me minimal XZn et de dimension 2n(2 + q ) sz s ( k ) = 1 et 2 n ( s ( k ) i- q ) si s ( k ) 2 2 .

Preuve : D'aprhs la proposition pricidente, i l existe une matrice anti- symetrique N de polynbme minimal XZn et de dimension 4n si s ( k ) = 1 et 2ns(k ) sinon. Consid6rons la matrice N $ 012, pour q E IN*. Alors, N @ 012, est antisymitrique de polynbme minimal X2" et de tlilnension (dimN + 2q) Le corollaire est donc montri.

En regroupant les rt5sultats du thdorkrne 7, des propositions 2 et 3 et du lemme 1 pour I'involution transposition, on peut conclure :

ThCorGme 8 Tout polynime, qui est polynime minimal de matrices nnti- syme'triques, est polyn6me minimal d'une matrice antisyme'trique de dimen- sion 2deg f si - 1 est un carre' et s(k)deg f sinon.

Pour cette demonstration, nous avons besoin de resultats sur les polynbmes de degri 2 et plus specialement sur ceux de la forme XZ - d o t d est un carrk

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dans k*.

Lemme 3 Soit (V,q) un espace quadratique de dimension paire et a l'involution

associde sur EndV. S'il existe v E EndV tel que v2 = 1 et a ( v ) = -o alors (V, q) est hyper-

bolique.

Preuve : Soit v E EndV tel que v2 = 1 et a ( v ) = -v. Posons V' = ker(v - 1 ) et V- = ker(v + 1)' on a V = V+ $ V-. Comme a ( v ) = -v, la dimension de V+ est dgale B V-. De plus, si x E V+ et y E V+ alors

donc V+ est totalement isotrope. Ainsi (V, q ) contient un sous-espace totale- ment isotrope de dimension 1/2dimV, donc (V, q) est hyperbolique.

Proposition 4 Soit d E ko2. S i s ( k ) = 1, alors pour tout n E LN' il eziste une matrice antisyme'trique

de dimension 2n et de polynime minimal X 2 - d. Si s ( k ) 2 2, alors pour tout n E LV il eziste une matrice antisyme'trique

de dimension 2s (k )n et de polynime minimal X 2 - d. Rdciproquement, la dimension d'une matrice antisymltrique de polynime minimal X 2 - d est un multiple de 2s(k) .

Preuve : Si d E kV2, a l o r s d E k*. De plus si -d est somme de n carrds dans k , -1 est dgalement somme de n carrCs dans k et rkiproquement. On obtient donc que si d est un carrd dans k alors -d est somme de s ( k ) carrds et n'est pas somme de s ( k ) - 1 carrCs dans k.

Si s ( k ) = 1 , alors -d est aussi un cam6 dans k et la matrice

est antisymdtrique et AZ = d. Le lemme 1 permet de conclure que pour tout n E IN* il existe une matrice antisyrndtrique de dimension 2n et de polynbme minimal X 2 - d.

Si s ( k ) 2 2, alors comme nous l'avons montrd dans le paragraphe prdcC- dent, il existe une matrice antisymdtrique de polynbme minimal X 2 - d et de dimension 2s(k ) . Le lemme 1 nous indique que pour tout entier n il existe une matrice antisymdtrique de p o l y n h e minimal X 2 - d et de dimension 2ns(k). Ceci montre la partie directe du rbultat.

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Pour montrer la rCciproque, on remarque tout d'abord que les dimensions possibles pour une matrice antisymitrique de polynome minimal X2 - d ne dipendent pas du choix de d dans ka2. En effet, si A est une matrice an- tisymktrique de polyn6me minimal X2 - 1 alors la matrice antisymitrique J;iA a pour polynbme minimal X2 - d et elles ont meme dimension. %cipro- quement, si A est une matrice antisymitrique de polyn6me minimal X2 - d alors la matrice antisymittrique ( f i l d ) ~ a pour polynbme minimal X2 - 1 et elles ont meme dimension. I1 suffit donc d'Ctudier le cas 06 d = 1.

Supposons qu'il existe une matrice antisymitrique M de polyn6me mini- mal X2 - 1 et de dimension 2n. On applique le lemme pritcident avec a = t , il montre que (12,) - (I, @ -In) donc (In) .Y (-In). Ceci hquivaut a dire que n est un multiple de s ( k ) . La proposition est donc dimontr&.

D4monstra t ion du th&or&me 1 : Si on applique le thbrhme 6 au polyn6me X2 on voit qu' il n'existe pas de matrice antisyrndtrique de carri nu1 e t de dimension 2 donc p , ( k ) > 1.

Si s ( k ) = 1, alors tout polyn6me pair ou impair est le polynbme mini- mal d'une matrice de dimension 2deg f antisym4trique pour une involution orthogonale hyperbolique, dlapr&s le thkortme 2. Comme -1 est un carri dans k , toute involution orthogonale hyperbolique est la conjuguk de la transposition, donc p i ( k ) = 2.

Si s ( k ) > 2, la proposition 3 montre que p i ( k ) 5 s ( k ) et la proposition prkcidente permet de conclure que p t ( k ) = s ( k ) .

5.4 Compl4ments sur les polynBmes de degrk 2

Nous allons maintenant compliter les risultats pour les polyndmes de degri 2.

Proposi t ion 5 Si s ( k ) = 1 alors pour tout n 2 4 il existe une matrice antisyme'trique

de dimension n et de polyn6me minimal XZ. Riciproquement une matrice antisym6trigue de polyn6me minimal XZ est de dimension n avec n 2 4 .

Si s ( k ) 2 2 alors pour tout n 2 s ( k ) + 2 il existe une matrice anti- symitrique de dimension n et de polyn6me minimal Xz. Re'ciproguement une mattice antisym~trique de polyn6me minimal XZ est de dimension n avec n 2 s(k) -+ 2.

Preuve : Si s ( k ) 2 2, cette preuve se fait en 3 itapes. Nous allons tout d'abord montrer que si n est la dimension d'une matrice antisymitrique de polyn6me minimal X2 alors il existe une matrice antisymitriquede polynbme

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minimal X2 et de dimension n + n' pour tout n' E IN. Ensuite nous mon- trerons que la dimension d'une matrice antisyrndtrique de polyn6me minimal X 2 est supdrieure ou dgale B. s ( k ) t 2 . La derniere &ape sera donc de constru- ire une matrice A antisymdtrique de polyn6me minimal X 2 et de dimension s(k) + 2 pour pouvoir conclure i la minimalitd de s ( k ) $ 2.

Si n est la dimension d'une matrice antisymdtrique A de polyn6me mini- mal X2, alors la matrice A @ OI,, est antisymdtrique, de polyn6me minimal X 2 et de dimension n + n'. Donc il existe une matrice antisymdtrique de dimension n + n' et de polyn6me minimal X Z pour tout n' E IN.

Si n est la dimension d'une matrice antisymdtrique A de polyn6me mini- mal X2 alors 0 est somme de n - 1 carrds ( en effet 0 est la somme des carrds des coefficients de la premikre ligne de A mais A &ant antisymdtrique, le premier coefficient est nul) dans k et -1 est somme de n - 2 carrds. Donc n > s(k) + 2.

I1 existe a , , ..., a , ( ~ ) dans k tels que 0 = 1 + a : + ... + a : ( , ) . soient

pour i = 1, ..., s(k)/2.

Ces matrices vdrifient A2 = - I et AT = (a;,-, + a;,)I. De plus, A et A; anticommutent, (AA,A , ) ' = - A A j A i et A2 + A: $ ... + A $ k ) / 2 = 0. P O S O ~ S

B est antisymhtrique (dlapriis les rkgles de calcul sur les matrices A et A,), de dimension s(k) + 2 et B2 = 0. En effet, quand on calcule le carrd de la matrice B, on voit apparaitre les quantitds suivantes :

- A 2 - A; - ... - = 0,

V l 5 j 5 4 k ) / 2 ,

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AA, - A I A A I A , - ... - As(k)l~AAs(k)lzAJ = ( I t A: + ... + AS(k)12)A = A, = 0,

car AAiAkAAkA, = AZAiA:Aj = -A iA ,A , . I1 existe donc une matrice anti- symktrique de polyn6me minimal XZ et de dimension s ( k ) + 2. D'aprks le deuxikme rksultat cette dimension est minimale. Le premier rC- sultat nous dit que, pour tout n 2 s ( k ) + 2 , n est la dimension d'une matrice antisymktrique de polyn6me minimal X2.

Si s ( k ) = 1 , on fait le m&me raisonnement, mais avec 4 au lieu de s ( k ) $ 2

oh -1 = a'. De plus, on montre, par calculs directs, qu'il n'existe pas de matrice antisymitrique de dimension 3 et cle carrC nu1 (par calculs). Ceci donne le rksultat annonck quand s ( k ) = 1.

Etudions maintenant le cas des polyn8mes du type X Z - d OG d n'est pas un carrk dans k .

Rappelons le rksultat suivant [2] :

Theor6me 9 Soient (V , q ) un espace quadrutzque unisotrope sur un corps k et I( = k ( d ) m e eztension quadratique de k . Les conditions suiuantes sont e'quivalentes :

i ) (V 8 I(, q ~ ) est hyperbolique. ii)q E ( 1 , -d) 8 q' pour une certaine forme quadratique q' sur k .

iii)N existe f E E n d k ( V ) tel gue f Z = d et uq( f ) = - f , oli up est l'involution associe'e a q.

S i q est urbitraire, ii) et iii) sont Pguivdentes et impliquent i).

Ce thkorkme nous permet de montrer le lernme suivant :

Lernrne 4 Soient d E k*, d $ k**, et I< = k(&). Alors la dimension minimale d'une matrice mtisyme'trique de polyn6me

minimal XZ - d est comprise entre 2 p ( - d ) et 2s ( I i ) .

Preuve : Si nous reprenons 1'Ctude qui a rite faite dans la preuve du thkorkme 6, la matrice

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a m6me dimension que la matrice compagnon C de X 2 - d et est telle que CW soit antisymitrique.

Remarquons que ( W @ I,) est isomdtrique & (I,, -dl,). Posons r = p(-d). Alors -d est somme de r carris donc -d est reprksentk par I, qui est une forme de Pfister. On en ddduit que -d(I , ) = (I,). On conclut donc que 2?(-d) est la dimension d'une matrice antisymetrique de polynbme minimal X2 - d .

Montrons la deuxihme indgalitk cherchde. Notons 2m la dimension mini- male d'une matrice antisymdtrique de polynbme minimal X2 - d . Comme d n'est pas un carrd dans k, K = k(&) est une extension quadratique de k. Soit A une k-matrice antisymitrique de dimension 2m telle que A2 = d . Soit V un k-espace vectoriel de dimension 2m. On considere q = 2m(l) la forme

quadratique somrne de carrds sur k, l'involution associie a q est notde a,. V peut Ctre vu commme un K-espace vectoriel en posant

(a + b&)x = ax + bAx, pour a , b E k, et x E V

(on assimile A i llendomorphisme associi). Appliquons ceci & (V, q) oG q = 2 m ( l ) et nous concluons que ( V 8 I<, q ~ )

est hyperbolique, clest-&-dire 2 m ( l ) = 0 dans W(I i ) . Par consdquent m ( 1 ) rz m(-1) sur 13' d'aprbs le thiorkme de simplification de Witt et donc m > s ( I i ) . Ceci termine la preuve.

Calculons le niveau de K = k(&).

Lemme 5 Soit k u n corps non formellement re'el et Ii = k(&), d E k'\ke2. Si -d est somrne de j ( - d ) - 1 carrks, alors s(Ii) = P(-d)/2, s inon ~ ( I I ' ) =

j ( - d ) .

Preuve : Par commoditd, posons s(k(&)) = s . On a clairement s 5 s ( k ) . Comme d est un can6 dans K = k(&), il est clair que si -d est somme de n carrks dans k, alors -1 est somme de n carrds dans Ii'. D'aprks la ddfinition de p(-d), nous avons donc j ( -d ) 2 s.

Montrons que -d est somme de 2s - 1 carrPs dans k. Par difinition du niveau d'un corps, il existe a , , ..., a , et b l , ..., b, dam k tels que

-1 = (al + bl&)' + ... + (a, + b,J;i)2.

Ce qui dquivaut &

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On a donc

De plus i l existe c 2 , ..., c, dans k tels que

D'oh -d(b: + ... + b3)2 = b: + ... + bf + ci + ... + cq. Par ddfinition de s , (6: + ... + bq) est non nu1 (sinon, -1 serait somrne de s - 1 carres dans k donc dans I<). Donc -d est somme de 2s - 1 carrds dans k.

Par consdquent, si -d n'est pas somrne de j ( - d ) - 1 carrds dans k, alors 2 s - 1 > j ( - d ) . Comme s et j ( - d ) sont des puissances de 2 , il y a donc dgalitd entre s et I?(--d). Sinon, -d est somrne de I?(-d) - 1 carr6s mais pas de j ( - d ) / 2 carrds dans k. Cornme nous l'avons rappel6 au ddbut de la preuve, -1 est sornme j ( - d ) - 1 carrds dans K donc j ( - d ) / 2 2 s car ce sont des puissances de 2. Si s 5 j ( - d ) / 4 alors -d est somme de 2s - 1 carrds dans k avec 2s - 1 < f i ( -d ) /2 , ceci est impossible. Donc s = j ( - d ) / 2 . Le niveau du corps Ii est donc calculd.

L e m m e 6 S i n 2 1 et -d est s o m m e de 2" + 1 carre's dans k mais pas de 2" carrks alors i l eziste urie matr ice antisyme'trigue de polyn6me minzmal X 2 - d el d e d imension 2"+'.

Preuve : Nous allons montrer ce lemme par rdcurrence sur l a .

Supposons d'abortl clue n = 1, dcrivons -d = o 2 + b2 + c2 avec a , 6 , c d a i s k. La lnatricr

O a b c 0 c

b -a

convient. Supposons qu'une telle matrice existe b l'ordre n e t construisons une

matrice antisymitrique correspondant b l'ordre n + 1. Si -d est somme de 2"+' + 1 = (2" + 1) $2" carrds alors -d = -dl +d2 oh -dl est somme de 2" + 1 carrds et d2 est sornme de 2" carrks dans k, -dl et dz ne sont pas nuls car -d n'est pas somme de 2" carrds. Bender a prouvd qu'il existe une matrice T symdtrique de dimension 2" telle que T Z = d2 [3]. Notre hypothkse de rdcurrence nous dit qu'il existe une rnatrice Al antisymdtrique de dimension 2"" telle que A: = d l .

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avec AJ = -(T @ T ) A I ( T @ T ) / d z . .4lors AZ = A: - T Z = d. Nous avons construit une matrice antisymetrique de polyn6me minimal

X 2 - d et de dilllension 2"+'. Ceci prouve le rksultat annoncd.

Proposition 6 Si d # k*', alors pour tout n E il existe une matrice an- tisyme'trigue de polyndme minimal X 2 - d et de dimension 2s (k (&) )n . Re'- ciproquement, s ~ n est la dimension d'une matrice antisyme'trigue de polynome minimal X 2 - cl, olors n est un multiple de 2 s ( k ( J ; i ) ) .

Preuve : Montrons tout d'abord que la dimension minimale d'une matrice symCtrique de polyn6me minimal X Z - d est 2 s ( K ) . Soit 2 m cette dimension minimale.

Si i ( - d ) = 2 s ( k ) , comme s ( K ) = j ( - d ) / 2 = s ( k ) , alors 4s(k) _> 2m _> 2s (k ) d'aprits le lemme 4.

On applique le lemme prCcCdent avec 2" = s ( k ) . En effet, -d est somme de s ( k ) + 1 carrds mais pas de s ( k ) carr&, car $(-d) = 2s (k ) . I1 existe donc une matrice antisymitrique de polyn6me minimal XZ - d et de dimension 2s (k ) . On obtient ainsi que 2s (k ) (= 2s(I<)) est la dimension minimale d'une matrice antisymitrique de polyn6me minimal X 2 - d si F(-d) = 2s (k ) .

Si ,6(-d) _< s ( k ) , d'aprks le lemme 4, on a 2 j ( - d ) 2 2 m 2 2 s ( K ) . De plus nous venons de calculer le niveau de K = k(&) , il est Cgal & @(-d) ou 2 j ( -d) /2 .

Si s ( K ) = @ ( - d ) alors 2 m = 2 s ( I i ) , d'aprks l'inkgalitk rappelie au dibut de la preuve.

Sinon, s(I\') = j , (-412. Nous allons utiliser le thCorkme 9. Pour cela vdrifions tout d'abord que 2 s ( I i ) ( l ) est anisotrope sur k . Si cette forme etait isotrope alors - 1 serait somme de 2 s ( I i ) - 1 carrds dans k et 2 s ( I i ) - 1 2 s ( k ) , ceci est impossible car s ( k ) 2 j ( -d ) > s ( I i ) . La forme 2s ( I<) ( l ) est donc anisotrope sur I;. La forme 2 s ( h r ) ( l ) est une forrne de Pfister isotrope sur I i donc 2 s ( I i ) ( l ) = 0 dans W ( K ) . Le thiorkme 9 nous indique qu'il existe une matrice antisyrnetrique de dimension 2s(It') et de polyn6me minimal X 2 - d. Par consCquent, 2nz < 2 s ( I i ) . Nous avons donc 6galiti entre 2 m et 2 s ( I i ) .

D1apr&s le lemme 1, i l est clair que pour tout n E IN' il existe une matrice antisymitrique de polyn6me minimal X 2 - d et de dimension 2s (k (&) )n . La rCciproque du thiorkme est donc montrCe. Montrons maintenant la partie directe.

Soit 2 m la dimension d'une matrice antisymitrique de polyn6me minimal X 2 - d. I1 faut montrer que 2 m est divisible par 2s(k(&)). D'aprks le

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thdorkme 9, 2 m ( l ) = 0 dans w ( k ( & ) ) . Or I1ordre de (1) dans w ( k ( & ) ) est 2s (k (&) ) . On a donc que 2 m est un multiple de 2 s ( k ( d ) ) . Ainsi se termine la preuve du thdorkme.

Nous allons maintenant dnoncer le risultat gdniral pour les polyn6mes de degri 2.

ThCorkme 10 S i k est alge'briquement clos, alors pour tout d E k il existe une matrice

antisyme'trique de p o l y n h e minimal X 2 - d et de dimension 2n pour tout n > 2 . Rkiproquement, si n est un entier tel qu'il eziste une matrice an- tisymktrigue de dimension 271, de polyn6me minimal X 2 , et, une matrice ant i~~me' tr ique de dimension 2n, de polyndntc t ~ ~ i n i n a l X 2 - 1 , alors n 2 2. Dans ce cas, pour tout d E k il existe une matnce antisyme'trique de polyn6me minimal XZ - d , de dimension 2n.

S i -1 est un carre' dans k non alge'bripement clos, alors pour tout d E k il existe une matrice ant i~yme' t r i~ue de polyndme minimal X 2 - d et de dimension 4n pour tout n > 1. Re'ciproquement, si n est un entier tel que pour tout d E k il eziste une matrice antisyme'trique de dimension 2n, de p o l y n h e minimal XZ - dl alors n est pair.

S i s ( k ) > 2 , alors pour tout d E k 11 existe une matrice antisyme'trique de polyn6me minimal X 2 - d et de dimension 2 s ( k ) n pour tout n > 2. Re'- ciproquement, si n est un entier tel que pour tout d E k il eziste une matrice antisymitrique de dimension 2n, de p o l y n h e minimal X 2 - d , alors n est un multiple de s ( k ) .

Preuve : I1 faut trouver les entiers pairs qui peuvent i t r e dimensions d'une matrice antisymitrique de polynbme minimal de degri 2 arbitraire. Nous sommes donc amenis B distinguer diffkrents cas.

Tout d'abord, i l faut examiner le cas oh le niveau du corps k est supdrieur ou dgal & 2. Dans ce cas, le risultat ddcoule tlisectement du thCorkme 8 et de la proposition 4.

Tout d'abord, si k est algbbriquement clos alors tout ildment de k est un carrd. Nous utilisons les propositions 4 et 5 pour pouvoir conclure. Si -1 est un carrb dans k non algdbriquement clos alors i l existe un dldment, d, de k qui n'est pas un carrd. Le thdorkme 8 et la proposition 6 permettent de conclure (car si d n'est pas un carrC alors -d non plus et le niveau de k ( d ) vaut 2) .

Ensuite, il faut examiner le cas oh le niveau du corps k est supdrieur ou Cgal B 2. Dans ce cas, le risultat dicoule directement du th ior tme 8 et de la proposition 4.

Ceci explique les diffdrents cas distinguis dans le thdorhme.

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Received: June 1997

Revised: December 1997

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