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Dissimilitudes entre les contenus géométriques du
manuel scolaire mathématiques de 8e année en Iran
et le test international du TIMSS 2011
Mémoire
Ali Mahmoodi-Motlagh
Maîtrise en didactique
Maître ès arts (M.A.)
Québec, Canada
© Ali Mahmoodi-Motlagh, 2016
Dissimilitudes entre les contenus géométriques du
manuel scolaire de mathématiques de 8e année en
Iran et le test international du TIMSS 2011
Mémoire
Ali Mahmoodi-Motlagh
Sous la direction de :
Helena Boublil-Ekimova
iii
Résumé
Les résultats de la cinquième réalisation de l’étude de TIMSS en 2011 montrent la présence
d’un faible rendement des élèves iraniens en mathématiques par rapport à la moyenne
internationale. Plusieurs facteurs peuvent être à la source de ce faible rendement :
programmes d’études, caractéristiques de l’école, qualité des ressources éducatives fournies
à l’école ou accessibles aux élèves hors de l’école, etc. (Mullis et coll., 2009; 2012;
Coleman et coll., 1966).
Ce mémoire est une tentative d’identifier les points faibles probables du contenu
géométrique du manuel scolaire de mathématiques de 8e année de l’Iran, en considérant les
exigences de TIMSS 2011. Dans cette perspective, cette recherche se focalise sur trois axes
d’analyse : la répartition des contenus géométriques dans le manuel des mathématiques, la
manière de présenter les concepts et les niveaux de raisonnement exigés par les problèmes
du test et par les activités du manuel.
L’analyse des résultats obtenus nous a permis de constater plusieurs divergences. Au
niveau de la présence des connaissances géométriques, 9 % des connaissances nécessaires à
la résolution des questions de TIMSS 2011 sont absentes du manuel. Quant à la
présentation des connaissances, 27 % des connaissances sont présentées implicitement dans
les manuels. L’utilisation de la grille d’analyse du niveau de raisonnement exigé par les
tâches géométriques (Tanguay, 2000), montre que le manuel manque d’exercices mettant
en jeu le développement des expériences mentales (35 %). Selon la théorie de Van
Hiele (1959), l’insuffisance d’expériences nécessaires pour le développement de la pensée
géométrique aux niveaux visuel, descriptif et analytique influencera la construction des
concepts et la réussite dans la résolution des problèmes.
iv
Table des matières
Résumé ..................................................................................................................................... iii
Table des matières .................................................................................................................... iv
Liste de tableaux ....................................................................................................................... vi
Liste des figures ....................................................................................................................... vii
Remerciements ......................................................................................................................... ix
Introduction ............................................................................................................................... 1
1. Problématique..................................................................................................................... 3
1.1. TIMSS ................................................................................................................................ 3
1.1.1. Description de TIMSS ................................................................................................ 3
1.1.2. TIMSS 2011 ................................................................................................................ 4
1.1.3. Résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011 ............................................................ 5
1.2. Facteurs affectant sur la réussite en mathématiques .......................................................... 6
1.2.1. Contexte de l’école ..................................................................................................... 7
1.2.2. Contexte de la classe ................................................................................................. 10
1.3. Rôle du manuel scolaire ................................................................................................... 11
1.4. Résultats des analyses préalables ..................................................................................... 12
1.5. Questions de recherche..................................................................................................... 16
2. Cadre théorique ................................................................................................................ 17
2.1. Modes d’accès aux connaissances géométriques ............................................................. 17
2.2. Niveaux de raisonnement géométrique ............................................................................ 18
2.2.1. Grille d’analyse ......................................................................................................... 22
2.2.2. Pertinence de la grille de Tanguay ............................................................................ 23
2.3. Implicite ou explicite ........................................................................................................ 24
2.4. Niveaux de la pensée géométrique : le modèle de Van-Hiele .......................................... 27
2.4.1. Principales caractéristiques du modèle ..................................................................... 28
2.4.2. Étapes de l’apprentissage .......................................................................................... 29
3. Méthodologie ................................................................................................................... 30
3.1. Type de recherche ............................................................................................................ 30
3.2. Collecte des données ........................................................................................................ 33
v
3.3. Justification du choix méthodologique ............................................................................ 34
4. Analyse des données ........................................................................................................ 34
4.1. Description des connaissances ......................................................................................... 35
4.1.1. Identification des connaissances géométriques exigées par les items de
TIMMS 2011 ........................................................................................................................... 35
4.1.2. Description des connaissances identifiées ................................................................ 36
4.1.3. Analyse des manuels : présence des connaissances et mode de présentation........... 39
4.1.4. Comparaison des connaissances: TIMSS 2011 vs. manuel ...................................... 44
4.1.5. Interprétation ............................................................................................................. 45
4.2. Niveaux de raisonnement ................................................................................................. 46
4.2.1. Classification des questions ...................................................................................... 47
4.2.2. Exemples de classification par rapport au niveau du raisonnement ......................... 48
4.2.3. Classification des questions de TIMSS selon la grille de Tanguay .......................... 53
4.2.4. Classification de questions du manuel selon la grille de Tanguay ........................... 55
4.2.5. Comparaison des deux sources selon le niveau de raisonnement ............................. 59
4.3. Interprétation .................................................................................................................... 60
Conclusion ............................................................................................................................... 64
Bibliographie ........................................................................................................................... 68
Annexes ................................................................................................................................... 73
Annexe 1. Écart entre le taux international de réussite et celui des élèves iraniens aux items
du TIMSS ................................................................................................................................ 73
Annexe 2 : Questions de TIMSS 2011 .................................................................................... 78
Annexe 3. Analyse des contenus mathématiques visés pour la 8e année en Iran ................... 99
Annexe 4. Analyse des questions de TIMSS selon le niveau de raisonnement .................... 100
vi
Liste de tableaux
Tableau 1 : Comparaison des résultats: élèves iraniens vs. autres participants ...................... 5 Tableau 2 : Écart entre la performance des élèves iraniens et ceux des autres pays selon le
domaine mathématique ......................................................................................................... 13
Tableau 3 : Écart entre les taux de réussite (international vs Iran)....................................... 13 Tableau 4 : Répartition des questions et des contenus du manuel par domaine mathématique
.............................................................................................................................................. 14 Tableau 5 : Regroupement des niveaux de raisonnement .................................................... 20 Tableau 6 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items
de TIMMS 2011 ................................................................................................................... 36
Tableau 7 : Description des connaissances........................................................................... 39
Tableau 8 : Correspondances entre les connaissances de TIMSS 2011 et les contenus du
manuel .................................................................................................................................. 44 Tableau 9 : Taux de présence des connaissances de TIMSS 2011 dans les manuels ........... 44 Tableau 10 : Taux de présence des connaissances dans le manuel selon le mode explicite ou
implicite ................................................................................................................................ 45 Tableau 11 : Exemple de l'induction empirique ................................................................... 50
Tableau 12 : Exemple de l'expérience mentale .................................................................... 50 Tableau 13 : Exemple de la déduction locale ....................................................................... 52 Tableau 14 : Exemple de l’enchaînement déductif ............................................................. 52
Tableau 15 : Classification des items géométriques de TIMSS 2011 selon le niveau de
raisonnement ......................................................................................................................... 54
Tableau 16 : Classification des questions géométriques du TIMSS 2011 selon le niveau de
raisonnement ......................................................................................................................... 54
Tableau 17 : Taux des niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011.................................... 55 Tableau 18 : Classification des questions géométriques du manuel iranien selon le niveau
de raisonnement .................................................................................................................... 58 Tableau 19 : Taux des niveaux de raisonnement dans le manuel scolaire ........................... 58 Tableau 20: Niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011 et dans le manuel iranien .......... 59
Tableau 21 : Écart entre la moyenne des élèves iraniens et la moyenne internationale ....... 61 Tableau 22 : Écart moyen pour chaque niveau de raisonnement ......................................... 61 Tableau 23 : Écarts entre les parts consacrées à chaque niveau de raisonnement dans
TIMSS 2011 et le manuel ..................................................................................................... 62
vii
Liste des figures
Figure 1 : Relation réciproque entre l’expérience et l’intuition .......................................... 18 Figure 2 : Bipolarisation de la notion de preuve selon l’approche historico-épistémologique
(Tanguay, 2002) ................................................................................................................... 19 Figure 3 : Bipolarisation de la notion de preuve selon la source de validation (Tanguay,
2002) ..................................................................................................................................... 19 Figure 4 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items
de TIMMS 2011 ................................................................................................................... 35 Figure 5 : Exemple de l’apprentissage implicite .................................................................. 40
Figure 6 : Exemple de l’apprentissage explicite ................................................................... 41 Figure 7 : Exemple de l’application directe......................................................................... 48
Figure 8 : Exemple du jugement d’une seule venue ............................................................. 48 Figure 9 : Exemple de l'induction empirique ...................................................................... 49 Figure 10 : Exemple de l'expérience mentale ...................................................................... 50
Figure 11 : Exemple de l'argument empirico-déductif ......................................................... 51 Figure 12 : Exemple de la déduction locale ......................................................................... 51
Figure 13 : Exemple de l’enchaînement déductif ................................................................. 52
viii
Dedication
To my loving parents, Sedigheh and Mohammad, who were my first tutors and who gifted
me with freedom and love…
To my dear uncle, Majid, who has always supported me without reservation…
ix
Remerciements
La rédaction de ce mémoire a été un grand défi pour terminer ma maîtrise à l’Université
Laval. Ce défi, je ne pourrais le relever sans la contribution, le soutien et le suivi continu de
ma directrice de recherche, Madame Helena Boublil-Ekimova. Grâce à ses conseils
inestimables, j’ai pu structurer ma pensée et amener mon projet jusqu’au terme. Madame
Boublil, je vous suis très reconnaissant pour votre patience et votre disponibilité tout au
long de cette étude.
Merci infiniment à mon professeur, Clermont Gauthier, pour son soutien très apprécié ainsi
que pour ses commentaires et ses judicieux conseils.
Ensuite, j'aimerais remercier Madame Catinca-Adriana Stan qui a accepté d’évaluer mon
projet de recherche.
Je remercie également mon ami Sami Halhal de ses lectures et relectures de mon texte.
Grâce à tes commentaires et tes corrections linguistiques, Sami, mon texte s’est amélioré
progressivement.
Je présente aussi ma gratitude envers Adeleh Mahdavi pour son aide dans cette longue et
éprouvante démarche que fut la rédaction de ce mémoire. Merci Adeleh.
Et merci à ces amis qui m’ont encouragé au cours de cette recherche : Amal, Bahijeh,
Fabien, Mousa, Ali-Entezari, Ahmadreza, Davoud, Florent et Émile.
1
Introduction
Depuis plus de 50 ans, l’Association Internationale pour l’Évaluation du rendement scolaire
(IEA) mène des études analytiques sur les résultats scolaires des élèves en mathématiques
et en sciences. L’objectif de ces études consiste à modéliser les effets des politiques
éducatives et des activités d’enseignement sur le rendement scolaire. TIMSS est l’une de
ces recherches les plus importantes et les plus connues portant sur l’enseignement des
mathématiques et des sciences. Depuis 1995, les résultats de cette recherche offrent à la
communauté internationale une grande base de données sur le rendement des élèves en
quatrième et en huitième année, ainsi que sur les différents facteurs qui influencent
l’apprentissage des mathématiques et des sciences.
L’Iran ne fait pas l’exception à la recherche de TIMSS. En fait, l’administration du test
dans ce pays a donné lieu à deux constats. D’une part, les élèves iraniens ont obtenu des
résultats faibles en mathématiques par rapport aux résultats en sciences, de l’autre, leurs
résultats en mathématiques ont été faibles par rapport à la moyenne internationale (Mullis
et coll., 2012).
Comme le mentionne le rapport de TIMSS de 2012, plusieurs facteurs peuvent influencer le
rendement scolaire des élèves. Ces facteurs peuvent être liés aux programmes d’études, aux
caractéristiques et à la qualité des ressources éducatives fournies à l’école (l’emplacement
de l’école, la situation économique des élèves, les ressources technologiques, les manuels
scolaires, la formation et les caractéristiques personnelles et professionnelles des
enseignants, etc.) ou encore liés aux ressources éducatives accessibles aux élèves hors de
l’école (les instruments technologiques, le niveau scolaire des parents, etc.)
Nous nous intéresserons particulièrement, dans cette recherche, à l’analyse de l’un des
facteurs identifiés dans le rapport de TIMSS, à savoir le manuel scolaire, qui fait partie des
facteurs liés à la qualité des ressources éducatives. Notre question de recherche est la
suivante : y a-t-il des désaccords contextuels et conceptuels entre le contenu du manuel
scolaire des mathématiques de 8e année en Iran et le contenu du test de TIMSS 2011?
La présente recherche tente d’identifier l’origine de ce faible rendement dans les écoles
iraniennes, plus précisément, elle tente d’examiner si les ressources didactiques en
2
mathématiques (ici le manuel scolaire) utilisées par les élèves iraniens à l’école ont une
influence significative sur leurs résultats au TIMSS 2011.
Dans cette perspective, nous présenterons, dans un premier temps, le test TIMSS, ses
objectifs et les résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011. Ensuite, nous examinerons
d’une manière générale les facteurs affectant sur l’enseignement-apprentissage des
mathématiques, et plus précisément le rôle du manuel scolaire. Cette recherche préalable
nous amènera à construire notre problématique et à préciser nos questions de recherche.
Dans un second temps, nous aborderons, dans notre cadre théorique, les recherches sur les
modes d’accès à la connaissance géométrique, les niveaux de raisonnement et les modes
d’enseignement de la géométrie : implicite et explicite. Ces éléments constitueront les
catégories principales qui vont nous servir pour comparer les items du test TIMSS et les
questions du manuel scolaire iranien. Nous présenterons, dans un troisième temps, notre
méthodologie de recherche, ainsi que les outils de collecte de données que nous avons
utilisés. Finalement, nous discuterons de nos résultats obtenus à la suite de la comparaison
des modes d’accès à la connaissance géométrique déployés dans les deux corpus analysés.
3
1. Problématique
Dans cette partie, nous décrirons d’abord le test TIMSS d’une manière générale et nous
nous appliquerons à examiner la spécificité du TIMSS 2011 en présentant les résultats des
élèves iraniens à ce test. Ensuite, nous aborderons les facteurs (extérieurs et intérieurs à
l’école) influençant le rendement des élèves en mathématiques, et ce, pour déterminer le
facteur que nous aborderons dans notre recherche. Notre hypothèse est que le rendement
faible des élèves iraniens en TIMSS 2011 peut être lié à un facteur intérieur à l’école, celui
du manuel scolaire par exemple. Quel est donc le rôle de cet outil dans le rendement des
élèves iraniens en TIMSS 2011?
1.1. TIMSS
La recherche TIMSS (« Trends in International Mathematics and Science Study » ou « les
tendances internationales en mathématiques et en sciences») est un ensemble d’études dont
l’objectif est d’évaluer le rendement des élèves en mathématiques et en sciences et de
mesurer l’influence des facteurs liés aux programmes d’études, aux contenus des manuels
scolaires et à l’environnement des élèves (la famille, l’école) sur l’apprentissage des
mathématiques et des sciences.
1.1.1. Description de TIMSS
Le test TIMSS est un programme conçu pour fournir une évaluation valide et fiable. Ce
programme utilise des techniques rigoureuses d’échantillonnage qui permettent d’estimer la
performance d’une population étudiante dans son ensemble, en évaluant un échantillon
restreint d’élèves à partir d’un échantillon d’écoles. Il emploie en effet l’échantillonnage
aléatoire en deux phases : 1) le choix aléatoire des écoles dans lesquelles sera administré le
test; 2) le choix aléatoire d’une ou deux classes dans ces écoles. Le choix des classes
entières d’élèves plutôt que des individus, d’un niveau scolaire ou d’un certain âge, met
l’accent sur les expériences curriculaires et pédagogiques des élèves. Cet échantillonnage
représente donc un avantage d’ordre opérationnel puisqu’il cause moins de perturbations
dans le déroulement pédagogique par rapport à l’échantillonnage focalisé sur des élèves.
C’est une technique d’échantillonnage qui exige précision et planification.
4
Pour la plupart des pays, les exigences de précision de TIMSS sont remplies avec un
échantillon scolaire de 150 écoles et un échantillon d’étudiants de 4000 élèves pour chaque
niveau cible. Selon la taille de la classe moyenne dans un pays, une seule classe des écoles
échantillonnées peut être suffisante pour remplir les conditions de l’échantillonnage selon
TIMSS. Par exemple, si la taille de la classe moyenne dans un pays est de 27 élèves,
administrer le test dans une seule classe de chacune des 150 écoles suffit pour fournir un
échantillon valide de 4050 étudiants1.
Par ailleurs, chaque pays participant au TIMSS a besoin d’un plan pour définir la
population cible et appliquer les méthodes d’échantillonnage de TIMSS. Ce plan vise à
obtenir un échantillon national représentatif. Selon Joncas et Foy (2011), le développement
et la mise en œuvre d’un plan d’échantillonnage national est un travail collaboratif
impliquant le coordonnateur national de recherches du pays (CNRC) et les experts
d’échantillonnage de TIMSS.
1.1.2. TIMSS 2011
Dans le cadre de notre recherche, nous nous intéressons à l’étude de TIMSS de 2011 étant
donné qu’elle représente les derniers résultats affichés quand nous avons commencé notre
étude de maîtrise. Commençons par décrire ce test et examinons par la suite les résultats
des élèves iraniens à ce test.
Le TIMSS de 2011 est la cinquième évaluation d’une série d’études. La procédure de
collecte des données dans les pays de l’hémisphère nord a été administrée de mars à juillet
2011. Dans le cas de l’Iran, l’administration de ce test correspondait à une période qui se
situe entre le 10 avril et le 4 mai 20112. Le TIMSS 2011 est conçu en blocs d’items
regroupés dans des « cahiers du test ». Un bloc d’items est un ensemble d’éléments destinés
à être administrés en un seul coup. Au sein de chaque bloc, la distribution des items par
rapport aux contenus et aux domaines cognitifs est la même. Six blocs parmi quatorze ont
été publiés en février 2013 et sont largement diffusés dans le cadre de la base de données
1 Nous supposons dans ce cas la participation complète des écoles et des élèves. 2 http://www.rie.ir/uploads/75_18_zamanbandi%20timss%202011.pdf
5
internationale de TIMSS3. En fait, le TIMSS 2011 regroupe 28 blocs, la première moitié
renvoie à des éléments mathématiques; la deuxième à des items de sciences. Des blocs
d’items sont diffusés afin de fournir au public des informations sur la nature et le contenu
de l’évaluation.
1.1.3. Résultats des élèves iraniens en TIMSS 2011
L’analyse des résultats aux épreuves de TIMSS, notamment ceux administrés dans les
années 1999, 2003, 2007 et 2011, nous permet de constater que les moyennes des élèves
iraniens en 8e année sont inférieures à la moyenne internationale4. Le tableau ci-dessous
montre la différence entre ces deux moyennes:
Années Moyenne des élèves
iraniens
Moyenne
internationale
Différence de
moyennes
1999 422 502 — 80
2003 411 466 — 55
2007 403 500 — 97
2011 415 500 — 85
Tableau 1 : Comparaison des résultats: élèves iraniens vs. autres participants
Nous pouvons aussi voir que lors de ces quatre tests (de 1999 à 2011), la différence entre la
moyenne internationale et la moyenne des élèves iraniens oscille entre -55 et -97,
témoignant du faible rendement des élèves iraniens en mathématiques par rapport à la
moyenne internationale. Cela nous amène à nous demander pourquoi les élèves iraniens
obtiennent de faibles résultats à l’épreuve de TIMSS par rapport aux autres pays. Quelles
sont les raisons ? Les approches de l’enseignement des mathématiques sont-elles moins
efficaces et moins précises? Les enseignants reçoivent-ils une formation insuffisante? Ou
bien les contenus mathématiques dans le curriculum iranien sont-ils moins clairs? Autant de
questions que nous devons nous poser.
En fait, le faible rendement des élèves iraniens au TIMSS mérite d’être examiné selon deux
angles. D’une part, il devrait être examiné par rapport au contexte socioéconomique des
3Les items qui seront analysés dans cette recherche ne représentent que la partie publiée de l’examen complet
du TIMSS 2011. 4 Cette moyenne est calculée à la base des résultats des élèves des pays participants au TIMSS.
6
élèves iraniens, de l’autre, par rapport aux approches de l’enseignement-apprentissage des
mathématiques et des ressources pédagogiques utilisées en Iran. Dans ce qui suit, nous
présenterons de manière générale les variables qui peuvent être liées à l’apprentissage des
mathématiques. Ensuite, nous examinerons celles décrites par TIMSS et que nous avons
jugées les plus appropriées pour analyser l’enseignement des mathématiques dans le
contexte de l’école iranienne.
1.2. Facteurs affectant sur la réussite en mathématiques
Plusieurs recherches ont été menées sur les variables qui peuvent avoir un impact sur la
réussite scolaire des élèves en mathématiques. Ces variables sont intérieures ou extérieures
à l’école. Pour TIMSS 2011, « there are numerous contextual factors that affect students’
learning. For example, type of school, school resources, instructional approaches, teacher
characteristics, student attitudes, and home support for learning contribute heavily to
student learning and achievement» (Mullis et coll., 2009, p. 93). Dans le contexte de notre
recherche, lesquels de ces facteurs seraient les plus appropriés pour étudier le rendement
scolaire des élèves en mathématiques?
Si l’on considère l’apprentissage d’une manière générale, Coleman et coll. (1966) affirment
que les différences dans les résultats scolaires relèvent plus des variables liées au milieu
familial et au contexte social général des élèves, que des variables liées à l’école.
Quant à l’apprentissage des mathématiques, l’analyse de recherches menées dans ce
domaine montre la présence d’un effet significatif de plusieurs facteurs : l’image de soi
(Kiamanesh & Kheirieh, 2001; Marsh, 1992; Hamachek, 1995; Franken, 1994; Wilhite,
1990), le contexte familial (Kiamanesh & Kheirieh, 2001; Wilhite, 1990), les attitudes des
élèves envers les mathématiques (Marsh, 1992; Hamachek, 1995; McMillan, 1977; Aiken,
1976; Kulm, 1980; Keeves, 1992; Papanastasiou, 2002; Schereiber, 2000), le rôle de
l’enseignant et les ressources pédagogiques (Koon et Leung, 2005) sur le rendement
scolaire en mathématiques. Il ressort donc qu’il y a une absence de consensus sur les
facteurs susceptibles d’influencer le rendement scolaire des élèves. Chaque facteur, à nos
yeux, pourrait influencer le rendement des élèves à des degrés différents et dans des
conditions différentes.
7
Par ailleurs, TIMSS 2011 souligne que les élèves de quatrième ou de huitième année de
scolarité acquièrent la plupart de leurs connaissances mathématiques et scientifiques à
l’école et à la maison. L’école, la classe et la maison se soutiennent mutuellement pour
créer des climats efficaces à l’apprentissage. À cet égard, le cadre contextuel de
TIMSS 2011 classe quatre grands facteurs : « National and Community Contexts, Student
Characteristics and Attitudes, School Contexts, Classroom Contexts » (p. 94). Les deux
premiers facteurs sont extérieurs à l’école, alors que les deux derniers sont intérieurs à
l’école.
Nous nous intéressons aux facteurs intérieurs à l’école, particulièrement à ceux liés aux
ressources pédagogiques. Puisque, comme le soulignent Koon et Leung (2005), la plus
grande partie du savoir mathématique des élèves s’acquiert en classe, la qualité de
l’enseignement peut être considérée en tant que facteur déterminant de la réussite scolaire
en mathématiques. La recherche menée par Beiramipour et Liaghatdar (2010), dans le but
d’améliorer le rendement de leur système scolaire à la lumière des résultats de l’examen de
TIMSS, montre effectivement que la qualité de l’enseignement a une grande influence sur
la réussite des élèves à cet examen. Les études de TIMSS montrent que les enseignants
consacrent la moitié du temps en classe à travailler avec les manuels scolaires (Schmidt,
McKnight & Raizen, 1996). Les manuels scolaires, en tant qu’outils pédagogiques, et les
approches didactiques qui orientent leurs conceptions constitueraient donc des variables
incontournables pour évaluer le rendement des élèves. .
Dans les sections suivantes, nous examinerons les composantes des deux derniers domaines
(School Contexts, Classroom Contexts) tels que décrits par TIMSS en relation avec le
contexte de l’école iranienne.
1.2.1. Contexte de l’école
Pour TIMSS, le contexte de l’école englobe six facteurs : les caractéristiques de l’école,
l’organisation de l’enseignement à l’école, l’organisation de l’apprentissage, le corps
enseignant, les ressources de l’école et l’implication des parents.
8
Les caractéristiques de l’école
La taille de l’école, son emplacement et les caractéristiques de ses élèves sont des facteurs
qui agissent sur le fonctionnement de l’école. D’après les études menées dans ce domaine,
les petites écoles constituent des communautés d’apprentissage plus intimes, car elles
fournissent des environnements plus adéquats où se développe un sens d’appartenance chez
les élèves (Hill et Christensen, 2007; Klonsky, 2002; Wasely, Beaux, Gladden, Holand,
King, Mosak, et Powell, 2000). Les écoles doivent, par contre, être suffisamment grandes
pour garantir la rentabilité, et fournir une infrastructure de soutien telles que les
bibliothèques, les laboratoires et les gymnases (Martin, Mullis, Gregory, Hoyle, et
Shen, 2000).
L’organisation de l’enseignement à l’école
Ce facteur se rapporte aux éléments qui peuvent contraindre ou bonifier le déroulement de
l’enseignement en classe. TIMSS en cite quelques-uns comme le leadership du directeur,
les regroupements des élèves et le temps consacré à l’enseignement des matières scolaires.
L’organisation de l’apprentissage
Le climat scolaire comprend de nombreux facteurs, y compris les valeurs, les cultures, les
pratiques de sécurité et les structures organisationnelles. Comme le soulignent Greenberg,
Skidmore et Rhodes (2004), le respect entre les étudiants et les enseignants, la sécurité et
l’organisation, le dialogue entre l’administration, les enseignants, les parents et les élèves
créent un climat propice à l’apprentissage et conduisent à la réussite scolaire.
Le corps enseignant
Une grande partie de la réussite des établissements scolaires est liée au perfectionnement
professionnel du personnel, notamment des enseignants. En effet, la professionnalisation
des enseignants est d’une importance centrale dans toutes les réformes éducatives : un
enseignant qui participe à des activités de formation continue, prend nécessairement
connaissance des principaux développements dans l’éducation et dans son domaine de
compétence. Cotton (2003) affirme à cet égard que le directeur efficace est celui qui est
9
capable de faire preuve de créativité afin d’obtenir les ressources nécessaires pour créer des
occasions de perfectionnement professionnel à la disposition des enseignants de son
établissement.
Les ressources de l’école
La qualité des ressources scolaires est un facteur important pour un enseignement de
qualité, soulignent Greenwald, Hedges et Laine (1996) et Lee et Barro (2001). Par
ressources scolaires nous entendons ici les ressources de base comme l’équipement des
salles de classe. En effet, l’enseignement et l’apprentissage peuvent être facilités par
l’attribution des locaux adéquats, du matériel et l’équipement nécessaires pour atteindre les
objectifs d’apprentissage spécifiques. Les résultats de TIMSS indiquent que les élèves des
écoles bien équipées ont généralement un rendement plus élevé par rapport à ceux des
écoles en pénurie. Bref, il est généralement admis que les ressources influent sur la mise en
œuvre du programme.
L’implication des parents
La participation des parents dans le cheminement scolaire de leurs enfants est largement
reconnue pour favoriser la réussite scolaire. Le succès d’une école peut être fortement
influencé par une attitude de coopération entre les administrateurs scolaires, les enseignants
et les parents (National Education Association, 2008).
Pour examiner le contexte de l’école iranienne, prenons l’exemple du facteur de
l’organisation de l’enseignement à l’école et sa relation avec l’enseignement des
mathématiques. Saleh, Lazonder et De Jong (2005), cités par le rapport TIMSS 2011,
constatent que le temps d’enseignement, en particulier celui consacré aux mathématiques et
aux sciences, peut avoir une grande influence sur le rendement scolaire des élèves. À
l’école iranienne, de la 1re à la 5e année, les élèves passent entre 24 à 28 heures par
semaine à l’école. La part du temps réservé aux mathématiques à l’intérieur de cette masse
horaire est de 18 % à 21 %, c’est-à-dire entre quatre à six heures par semaine. Au
secondaire junior, de la 6e à la 8e année, niveaux qui nous intéressent particulièrement, les
élèves passent 30 à 33 heures par semaine à l’école. Ils consacrent 12 % à 17 % du temps
10
d’étude aux mathématiques. Selon Mullis et coll. (2012), les élèves iraniens de 8e année
passent 12 % de leur temps scolaire à étudier les mathématiques, soit 120 heures par année.
D’après les mêmes auteurs, les pays participants dont les élèves ont eu un rendement plus
élevé au test (le Japon entre autres) consacrent plus que 120 heures par année à
l’enseignement-apprentissage des mathématiques à l’école. Il ressort que (ce qui est tout à
fait logique et peut être appliqué à toutes les disciplines scolaires) plus on consacre du
temps à l’enseignement des mathématiques, plus les élèves réussissent au test.
1.2.2. Contexte de la classe
Selon Mullis et coll. (2012), sept facteurs sont liés au contexte de la classe: la formation
initiale et continue des enseignants, les caractéristiques personnelles de l’enseignant comme
l’âge et ses expériences, les caractéristiques de la classe, les instruments technologiques, les
matières du curriculum enseignées, les activités et les stratégies mises en œuvre par les
enseignants, les techniques et les types d’évaluation utilisés en classe.
En Iran, le nombre des élèves scolarisés a augmenté de manière rapide depuis
1980 (Naghibi-Beidokhti, 2008). C’est pourquoi diverses stratégies ont été élaborées et de
nombreux centres de formation ont été créés. Selon le même auteur, pour répondre à cette
évolution, le ministère de l’Éducation en Iran a engagé des enseignants qui n’ont pas reçu
une formation suffisante. Ceci est notamment vrai pour quelques enseignants du primaire
qui ne possèdent qu’un diplôme d’études secondaires. Cela signifie que la formation des
enseignants peut être un facteur important dans le rendement des élèves iraniens.
Depuis l’évaluation de 1995, le rapport de TIMSS a proposé la nécessité d’effectuer
plusieurs modifications dans le système éducatif iranien. Effectivement, le programme et
les objectifs de l’enseignement des mathématiques et des sciences ont été réévalués suivant
ces propositions. Par exemple, une analyse de la performance des élèves de quatrième et de
huitième année en mathématiques a montré des faiblesses dans certains domaines. Au
niveau primaire, les élèves ont eu des difficultés à travailler avec des fractions et avec la
pensée visuelle, tandis qu’à l’étape secondaire inférieure, les élèves ont eu des difficultés
avec la pensée algébrique et les statistiques (par exemple, l’interprétation des diagrammes
et des graphiques). Ces constats ont été communiqués aux planificateurs des programmes et
11
aux éditeurs des manuels scolaires. En plus, des manuels scolaires des pays performants
aux TIMSS ont été consultés pour suggérer des révisions des manuels scolaires
iraniens (Mullis et coll., p.416).
La conception du manuel scolaire iranien de mathématiques respecte-t-elle les exigences
internationales et jusqu’à quel point les modifications suggérées par les chercheurs de
TIMSS ont été mises en œuvre dans le manuel scolaire iranien?
1.3. Rôle du manuel scolaire
Le manuel scolaire est l’un des facteurs intérieurs à l’école qui peut avoir une grande
influence sur le rendement des élèves, surtout en mathématiques. D’une part, parce qu’il
constitue la première référence scientifique pour les élèves, de l’autre, parce qu’il contient
en lui une transposition didactique du savoir savant. En fait, les études de TIMSS montrent
que les enseignants consacrent la moitié du temps en classe à travailler avec les manuels
scolaires (Schmidt, McKnight & Raizen, 1996). Ceci témoigne de l’importance d’analyser
en profondeur ce support pédagogique.
Les manuels scolaires en effet jouent un rôle important dans l’enseignement-apprentissage
des mathématiques, car ils identifient et organisent les contenus pour faciliter leurs
exploitations par les élèves. Ils spécifient également la structuration des leçons et proposent
des exercices et des activités appropriées. Dans certains cas, ils fournissent une
interprétation des mathématiques pour les enseignants, pour les élèves et pour leurs parents.
En outre, ces supports occupent une grande place dans les réformes éducatives, car ils
constituent l’outil premier qui sert à la mise en œuvre d’un nouveau programme d’études
dans de nombreux pays (Valverde et coll. 2002). Selon Heyneman (2006), même avec
l’essor flagrant des technologies éducatives, le manuel scolaire reste le moyen le plus
efficace pour apprendre. Selon le même auteur, il faut analyser son rôle, sa fonction et son
contenu. Van den Heuvel-Panhuizen (2000), affirme qu’aux Pays-Bas le manuel est
considéré comme une clé pour l’amélioration de l’enseignement des mathématiques dans le
sens où il outille les enseignants et les guides dans leurs démarches. Ceci ne signifie
aucunement que les enseignants doivent rester attachés aveuglément à la structure proposée
par le manuel. Remillard (2000), en analysant l’utilisation du même manuel scolaire par
12
deux enseignants, souligne que leurs lectures du contenu étaient sélectives, différentes et
interprétatives. Chacun d’eux, ajoute-t-il, puise dans le manuel scolaire les éléments qui se
rapportent sa propre perception.
À l’échelle internationale, une grande part des enseignants de mathématiques se basent sur
les manuels pour élaborer et mettre en œuvre des activités d’enseignement-apprentissage en
classe (75 % et 77 % pour la quatrième et la huitième année, respectivement), selon Mullis
et coll. (2012). Les cahiers d’exercices, les feuilles de travail et les autres matériels
occupent une place secondaire (Mullis et coll. 2012). Dans le contexte éducatif de l’Iran,
les mêmes auteurs affirment que 95 % des enseignants se basent fondamentalement sur le
manuel scolaire.
En fait, dans le contexte de l’école iranienne, le manuel scolaire représente l’outil principal
utilisé par les enseignants (TIMSS, 2011). Il s’agit à la fois d’un support de réflexion et
d’un guide pertinent pour la préparation et la gestion de la classe en Iran. C’est un support
uniformisé par le ministère de l’Éducation de l’Iran. Tous les élèves et tous les enseignants
suivent donc une seule référence écrite. Cela renforce l’importance d’analyser les points
forts et les défaillances probables de cette ressource pédagogique.
La recherche d’Ekimova (2005) montre également que les enseignants ont tendance à
suivre le manuel scolaire à la lettre. Cette prégnance des manuels nous invite à une
réflexion plus approfondie sur la pertinence didactique des manuels scolaires de
mathématiques en ce qui concerne la répartition des contenus de différents domaines, ainsi
que sur la pertinence des activités proposées, en rapport aux contenus présents dans les
questions mathématiques de TIMSS.
1.4. Résultats des analyses préalables
En référence aux résultats publiés par l’IEA et révisés par Foy, Arora et Stanco (2013),
nous avons calculé l’écart entre le taux de réussite internationale et celui des élèves iraniens
aux items du TIMSS 2011. Puis nous avons classé les items en question selon le domaine
mathématique auquel ils appartiennent (voir le tableau de l’annexe 1). Ce tableau renseigne
en effet sur quatre éléments: le taux de réussite à l’échelle internationale aux questions
13
mathématiques du TIMSS 2011, le taux de réussite des élèves iraniens aux mêmes
questions, l’écart entre ces deux taux par rapport aux items du TIMSS et le domaine
mathématique auquel appartient la question. Notre objectif consiste à repérer par cette
classification le domaine mathématique où l’écart est le plus significatif, c’est-à-dire où les
élèves iraniens ont plus de difficultés. Par exemple :
Nu
mér
o d
e la
qu
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on
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iran
ien
s
Éca
rt
Domaines
mathématiques
(N: Nombres, PS:
Probabilités et
statistique, A:
Algèbre, G :
Géométrie)
1 M032166 M01_01 57 % 39 % -18 % N
2 M032721 M01_02 40 % 32 % -8 % PS
3 M032757 M01_03 60 % 60 % 0 A
4 M032760
A
M01_04A 31 % 24 % -7 % A
Tableau 2 : Écart entre la performance des élèves iraniens et ceux des autres pays selon le domaine mathématique
Ensuite, nous avons calculé la moyenne des écarts pour chaque domaine (voir le tableau ci-
dessous). Les données de la deuxième colonne correspondent à l’écart (la différence) entre
le taux de réussite international et celui des élèves iraniens.
Domaine mathématique Écart
Nombres -13.9 %
Algèbre -10.6 %
Géométrie -8 %
Probabilités et Statistiques -11.4 %
Tableau 3 : Écart entre les taux de réussite (international vs Iran)
14
Nous remarquons, suivant les données de ce tableau, que l’écart moyen entre le taux de
réussite international et celui des élèves iraniens est assez stable pour tous les domaines
mathématiques et à peu près 10 % plus bas que le taux de réussite international.
À l’étape suivante, nous avons aussi analysé les questions de TIMSS, afin de décrire les
domaines mathématiques présents dans les questions. Cette démarche nous a permis d’avoir
la répartition des questions du test selon les domaines mathématiques. Puisque les contenus
à apprendre ne sont pas décrits par les programmes, mais déterminés par le manuel scolaire,
nous avons analysé la répartition des contenus mathématiques dans cet outil pédagogique à
partir des tables des contenus et du nombre des pages attribuées à chaque domaine
mathématique. Dans le tableau suivant, nous présentons la répartition des questions de
TIMSS selon les domaines mathématiques, ainsi que le nombre de pages consacrées à
chaque domaine dans le manuel scolaire. Les données de ce tableau nous permettent de les
comparer et de tirer une première conclusion sur la correspondance entre les contenus
mathématiques des questions de TIMSS et ceux des manuels scolaires.
Domaines mathématiques Nombre de
questions du test
Nombre de pages consacrées au
domaine dans le manuel scolaire
Fraction et sens du nombre 20 40
Algèbre 30 46
Géométrie 22 45
Présentation des données,
analyse et probabilités
18 5
Tableau 4 : Répartition des questions et des contenus du manuel par domaine mathématique
La lecture de ces données montre que le nombre de pages consacrées dans le manuel
scolaire aux domaines du nombre, de l’algèbre et de la géométrie est presque deux fois plus
élevé par rapport au nombre des questions se rapportant au même domaine dans le test
TIMSS 2011, alors que le nombre de questions portant sur les Probabilités est très réduit
dans le manuel scolaire (5 pages seulement).
15
Il ressort de cette analyse que la répartition des questions du test de TIMSS 2011 selon le
domaine n’est pas en proportion avec le nombre de pages consacrées à chaque domaine
dans le manuel iranien. Le test donne une importance presque égale à tous les domaines
mathématiques, tandis que le manuel scolaire iranien donne moins d’importance à la
présentation des données, à l’analyse et aux probabilités.
Ceci nous amène à nous demander jusqu’à quel point les contenus du test TIMSS 2011
correspondent aux contenus du manuel scolaire iranien. Autrement dit, peut-on évaluer la
réussite scolaire des élèves iraniens en mathématiques en administrant un test standard et
international?
Une observation préliminaire portant sur les questions du test (et sur leur nombre) et les
contenus du manuel à analyser, nous a amenés à être plus réalistes quant au choix du
contenu à étudier. Compte tenu des limites de notre recherche, nous avons décidé de
sélectionner pour notre analyse un domaine mathématique particulier parmi les quatre
domaines référés dans les questions du test.
Par ailleurs, l’analyse des résultats préliminaires portant sur le taux de réussite aux
questions de TIMSS et sur la répartition des domaines mathématiques sur le manuel
scolaire (voir les sections 5.1 et 5.2.1), ne permet pas de privilégier un domaine par rapport
à un autre. Nous n’avons pas choisi d’analyser les données associées au domaine
« Statistique et probabilité », car il sera très facile d’associer le rendement faible des élèves
à cette non-correspondance entre le nombre des questions du test et le nombre de pages
consacrées à ce domaine.
Dans notre projet de recherche, nous avons choisi d’analyser la géométrie dont le nombre
de questions la fait correspondre au quart de toutes les questions du test de TIMSS 2011.
Le manuel scolaire accorde ainsi une grande importance aux contenus géométriques (45
pages sur 91). Nous pouvons donc avoir suffisamment de données pour l’analyse. Parmi les
deux niveaux scolaires ayant participé au TIMSS 2011, soit la quatrième et la huitième
année, nous avons choisi celui dans lequel les concepts mathématiques sont plus
développés, soit la huitième, ce qui nous aidera à distinguer les questions géométriques des
autres domaines mathématiques.
16
Cette décision a influencé le choix des théories qui nous permettront d’analyser les
contenus des questions du test et du manuel.
1.5. Questions de recherche
Admettant qu’il serait difficile, voire impossible d’analyser tous les facteurs qui peuvent
être à la source du faible rendement des élèves iraniens en mathématiques, nous
examinerons dans notre recherche de maîtrise un seul facteur en rapport au contexte
iranien. Plus précisément, nous étudierons les contenus mathématiques du manuel scolaire.
Nous supposons la présence d’une correspondance insuffisante entre les contenus du
manuel scolaire de mathématiques de 8e année et les questions posées par les épreuves de
TIMSS 2011. C’est cette correspondance que nous tenterons d’examiner. Notre question
générale est la suivante : Est-ce que les contenus géométriques du manuel scolaire de 8e
année de l’Iran correspondent aux exigences de TIMSS 2011?
Pour répondre à cette question générale, nous posons les questions spécifiques suivantes :
- Est-ce que les concepts géométriques présents dans les questions de TIMSS se
trouvent dans le manuel scolaire?
- Comment les connaissances géométriques exigées par TIMSS 2011 sont-elles
présentées dans le manuel iranien de 8e année? Le manuel iranien présente-t-il ces
connaissances de manière explicite ou implicite?
- Les items de TIMSS 2011 et les questions du manuel iranien de 8e année exigent-ils
les mêmes niveaux de raisonnement géométrique? Ces niveaux sont-ils répartis
équitablement entre ces deux sources?
Nous tenterons à la fin de cette comparaison d’identifier des liens de causalité possible
entre les contenus du manuel scolaire de 8e année et le faible rendement des élèves iraniens
au TIMSS 2011.
17
2. Cadre théorique
Le cadre théorique sur lequel prend appui le traitement de nos questions de recherche se
base essentiellement sur notion de preuve en géométrie et sur la manière de présenter les
connaissances dans un manuel scolaire : explicite et implicite. Pour la notion de preuve, la
classification des niveaux de raisonnement en géométrie, en particulier la grille d’analyse
de Tanguay (2002), nous fournira les outils nécessaires pour classifier les niveaux de
raisonnement exigés par les questions géométriques. Pour le mode d’enseignement, nous
clarifions les critères qui permettent de classifier les questions selon le mode de
présentation qu’elles mettent en œuvre : explicite ou implicite. Le cadre théorique de Van-
Hiele (1959) nous permettra d’expliquer les difficultés des élèves et certaines erreurs qu’ils
commettent dans la résolution de problèmes géométriques en référant aux activités
d’apprentissage nécessaires pour le développement progressif de la pensée géométrique de
l’élève.
2.1. Modes d’accès aux connaissances géométriques
Le processus général de l’apprentissage des mathématiques est un processus progressif qui
va des activités pratiques à des activités plus théoriques (Balachef, 1987). En apprentissage
de la géométrie, Houdement (2000) et Kuzniak (2000) soutiennent, pour leur part, la
présence de trois opérations fondamentales : l’intuition, l’expérience et la déduction. En
identifiant le mode d’acquisition d’une nouvelle connaissance, qui est étroitement lié à la
solution naturelle d’une situation problème, nous pourrons plus facilement comprendre la
logique sous-jacente de la manière de classer des preuves.
L’intuition fournit à l’élève une théorie première et immédiate basée sur un ensemble
d’évidences (Houdement et Kuzniak, 2006). Cette opération élimine les incertitudes
rencontrées par l’élève et lui permet de structurer une situation en un tout cohérent sur
lequel il basera son raisonnement. Cette structuration des faits par l’intuition, affirment les
mêmes auteurs, ne devrait pas être confondue avec la perception, même si les premières
intuitions géométriques sont généralement perceptives.
L’expérience, quant à elle, n’est pas un processus immédiat (Houdement et Kuzniak, 2006).
Selon ces auteurs, elle nécessite une deuxième opération mentale qui permet de justifier ou
18
de valider une proposition issue de l’intuition. Par exemple, « si l’affirmation "par deux
points distincts passe une seule droite" est une propriété presque toujours intuitive, il n’en
est pas de même de la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle
plat » (Houdement et Kuzniak, 2000, p. 95). L’élève doit, en fait, la vérifier (soit, à l’aide
d’un rapporteur, trouver la somme des trois angles d’un triangle, soit démontrer, en référant
aux énoncés étudiés préalablement, les propriétés des angles créées par deux droites
sécantes et par deux parallèles coupées par une sécante). Cette expérience s’organise
généralement à partir de son intuition. L’expérience, dans cette perspective, enrichit
l’intuition, qui à son tour structure l’expérience comme dans le schéma suivant donné par
Sambotte (2011):
Figure 1 : Relation réciproque entre l’expérience et l’intuition
La déduction, enfin, s’appuie sur le raisonnement (Houdement et Kuzniak, 2006). Ces
mêmes auteurs soutiennent que la déduction consiste à tirer des nouvelles connaissances à
partir d’autres, sans recourir à une nouvelle expérience ou à une autre source extérieure. La
déduction permet donc de réorganiser les apports de l’expérience. C’est une démonstration
fondée sur une axiomatique de base dont la source est le raisonnement déductif, ou sur des
constructions dont la source est le raisonnement constructif, ou même sur une évidence
déduite des observations (Houdement et Kuzniak, 2006).
2.2. Niveaux de raisonnement géométrique
Dans son article, Tanguay (2002) s’intéresse à l’élaboration d’un instrument pour classifier
les différentes preuves géométriques. Selon Hanna (1983), la preuve est souvent considérée
comme un outil servant à établir la vérité. Tanguay examine ladite notion à travers
l’analyse de problèmes géométriques présents dans la collection de manuels mathématiques
du secondaire (Breton, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999).
19
L’élaboration d’une typologie de preuves est inspirée des travaux de Balacheff (1987),
Barbin (1988), Brousseau (1998), Hanna (1995) et Rouche (1989). À partir de divers points
de vue, épistémologiques et didactiques, sur la notion de preuve, Tanguay (2002) présente
quelques schémas de bipolarisation relativement à cette notion.
Dans le premier schéma, qui est issu d’une approche historico-épistémologique, les deux
extrémités de cette bipolarisation s’opposent par le fait que dans le premier pôle, l’objet de
preuve est de convaincre quelqu’un de la vérité d’une idée - tel que procédaient les Grecs -
tandis que le deuxième objet de preuve est d’expliquer pourquoi l’idée est vraie.
Figure 2 : Bipolarisation de la notion de preuve selon l’approche historico-épistémologique (Tanguay, 2002)
Du point de vue didactique, la bipolarisation est basée sur le plan de source de validation, et
la notion de preuve prend d’abord la forme d’une application directe d’une consigne ou
d’une formule, ce qui est plus sensible et moins intellectuel, tandis qu’à la fin, cette notion
se présente plus comme une chaîne de quelques résultats successifs qui se produisent par
déduction.
Figure 3 : Bipolarisation de la notion de preuve selon la source de validation (Tanguay, 2002)
Selon cette idée, il y a d’abord trois catégories principales déterminées selon que la source
de validation est le sensible, une argumentation raisonnée articulée sur le sensible ou le
raisonnement logico-déductif. Dans chacune de ces trois catégories se situent
respectivement deux autres catégories comme dans le tableau ci-dessous:
20
Le sensible
1. Le jugement d’une seule venue
2. L’induction empirique
Une argumentation raisonnée
articulée sur le sensible
3. L’expérience mentale
4. L’argument empirico-déductif
Le raisonnement logico-déductif
5. La déduction locale
6. L’enchaînement déductif
Tableau 5 : Regroupement des niveaux de raisonnement
Tanguay (2002) ajoute à ces six catégories une autre, intitulée « application directe». Nous
allons expliquer brièvement chacune des catégories citées au-dessus :
a. Application directe
Les problèmes géométriques dans ce cas, prennent une application directe d’une consigne,
d’une formule ou d’une définition. Aucune création, déduction ou induction ne s’applique
pas dans cette catégorie des problèmes dont leur solution prend une application directe.
b. Jugement d’une seule venue
Les questions géométriques mises dans cette catégorie demandent l’exercice d’un jugement
basé sur l’intuition de l’élève et non sur sa déduction ou son induction. Ce jugement semble
évident de point de vue d’élève. En fait, ce jugement peut commencer et aider
l’apprentissage d’un principe ou d’une vérité. Il y a deux remarques importantes sur cette
sorte de preuve :
- On peut discerner visuellement et anticiper le résultat visé.
- Il n’y a aucun doute dans la pensée lors de réalisation de ce résultat en considérant tous les
cas possibles.
21
c. L’induction empirique
Cette manière de prouver une vérité s’applique à des résultats ou à des principes que l’élève
ne peut pas voir ou trouver facilement. Donc il commence à mesurer, comparer ou bien
essayer de trouver une loi ou un principe par des expérimentes empiriques.
d. L’expérience mentale
Il s’agit d’une sorte de raisonnement intellectuel qui n’est pas une déduction ou une
induction, mais plutôt une démarche rationnelle et en même temps intuitive. Selon Tanguay
(2002) : « On cherche à ramener le résultat en cause à des « évidences plus
fondamentales», sans que ces évidences soient énoncées explicitement, sans même
nécessairement qu’elles soient intérieurement formulées. » (p. 379)
e. L’argument empirico-déductif
Il s’agit de la forme la plus avancée du raisonnement qui n’est pas encore devenue une
déduction, mais en même temps elle n’est plus aussi dépendante de l’intuition comme point
de départ. Plus précisément, les éléments ou bien les résultats validés par perception ou
intuition, s’enchainent par ce que Rouche (1989, cité par Tanguay, 2002, p. 380) appelle
une pensée discursive, pour prouver un énoncé.
f. La déduction locale
Il s’agit de la plus simple sorte de déduction formelle dans laquelle, à partir de quelques
hypothèses déjà acceptées et de leur combinaison, s’acquiert un nouveau résultat.
g. L’enchaînement déductif
La preuve prend sa forme la plus organisée et logique par l’enchaînement déductif, qui
nécessite que les étapes hiérarchisées de raisonnement s’acquièrent chacune par les règles
et les résultats logiquement validés aux étapes précédentes.
22
2.2.1. Grille d’analyse
À partir de cette classification des preuves, Tanguay a établi une grille dans laquelle les
classes de problèmes géométriques indiquées par les lettres A, B, C, G, H, M et N
correspondent respectivement à une sorte de preuve (voir la section précédente). À titre
d’exemple, la catégorie A, correspond à une variété de problèmes géométriques, dont les
solutions se limitent à l’application directe d’une formule ou d’une consigne.
Remarque 1 : Problèmes de frontières et problèmes avec difficultés surajoutées
Parmi les problèmes géométriques, il y a des problèmes qui se classent dans deux
catégories en même temps. Dans le cas de tels problèmes, Tanguay (2002), leur a donné
l’indice des deux catégories liées. Par exemple, le problème indiqué par MA désigne un
problème qui est principalement dans la catégorie M, mais en même temps possède
partiellement les caractères de la catégorie A.
Pour optimiser la grille d’analyse, Tanguay (2000) ajoute cinq sous-catégories auxiliaires à
sa grille; X’algèbre, X’conception, X’perception, X’définition, et X’dessin-figure. Ces
derniers couvrent les problèmes contenant des éléments qui causent les difficultés
surajoutées. À titre d’exemple, la sous-catégorie B’dessin-figure couvre les problèmes dont
leurs preuves (ou solutions), à part du raisonnement, nécessitent une interprétation
inhabituelle de la figure ou du dessin soumis à l’élève. Les problèmes de la visualisation
prennent place à ce niveau.
Dans notre projet de recherche, nous avons éliminé quelques sous-catégories selon les
raisons suivantes:
X’algèbre : Nous n’avons pas besoin de cette sous-catégorie, car nous voulons seulement
nous concentrer sur la géométrie.
X’définition : Nous supposons que l’élève n’a pas de problème au niveau de ce qu’il a déjà
appris et mémorisé.
23
Remarque 2 : Le nombre de déductions dans la catégorie N (Enchaînement déductif)
À la base du nombre minimal de déductions par lequel le problème se résout, on ajoute un
chiffre comme l’indice de N. Par exemple N3 montre qu’il faut au moins appliquer trois fois
des déductions dans la chaîne déductive exigée par problème.
2.2.2. Pertinence de la grille de Tanguay
Pour montrer la pertinence de la grille de Tanguay par rapport à notre recherche, nous nous
référons aux résultats issus de l’analyse de Tanguay de la collection des manuels
mathématiques du secondaire (Breton, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999).
La classification des problèmes à partir de cette grille et l’analyse qui en découle ont permis
à Tanguay de conclure que les aspects de l’apprentissage de la preuve sont mal « gérés »
dans la collection de manuels analysés. La progression dans ce processus n’est pas
suffisamment graduelle du sensible à la preuve formelle et il y a une prépondérance des
applications directes et des déductions locales sur les séquences déductives qui ne
favorisent pas le développement du raisonnement déductif.
Son analyse montre une très nette prédominance des problèmes des catégories A et B (2186
problèmes sur un total de 2344, 93 % de tous les problèmes) à tous les niveaux :
- 82 % des problèmes en secondaire I;
- 88 % en secondaire II;
- 91 % en secondaire III;
- 68 % en secondaire IV;
- 36 % en secondaire V (50% de catégorie M, Ma, Mb).
Les problèmes proposés dans la collection, selon Tanguay, ainsi que le contexte dans lequel
ils sont formulés, ne sont pas suffisamment favorables à l’essor d’une véritable « attitude de
preuve » parce que :
24
- soit que le résultat soit trop facile d’accès à l’intuition ou à la perception (ce que
reflète entre autres le grand nombre de problèmes de catégorie B);
- soit que la formulation « tue » l’éventuel questionnement, morcelant ce qui aurait dû
être un problème des catégories C, G ou H en une suite d’exercices de catégories A
et B.
Tanguay (2002) responsabilise les auteurs des manuels scolaires qui semblent privilégier
les problèmes et les exercices dans lesquels l’élève ne mobilise qu’une pensée directe, ou le
mode d’apprentissage par la répétition (ce que les enseignants et les enseignantes appellent
dans leur jargon « la drill »). Il affirme aussi que les problèmes de construction sont absents
de la collection, alors que les exercices de tracé sont nombreux.
Même si dans certains problèmes de la catégorie M, écrit cet auteur, l’inférence demandée
est de l’ordre de la déduction pure, elle ne fait intervenir qu’un ou deux résultats vus peu
auparavant. Or, l’adéquation de ces résultats au cas de figure en cause est mentalement
presque toujours d’une seule venue. Et la « déduction » dans ce cas ne signifie pas la «
sophistication de la pensée », car la validation de l’élève s’appuie sur sa mémoire (un
résultat déjà vu, problème de la catégorie B).
Tanguay conclut que peu de problèmes sont abordés de façon à solliciter une véritable
interpellation, à déstabiliser l’élève, à susciter des appréhensions ou compréhensions
divergentes, à provoquer un débat et que le rapport de l’élève aux mathématiques en est un
d’application (problèmes des catégories A, B et même M), plutôt que de réflexion.
La grille d’analyse de Tanguay permet de classifier les questions mathématiques, selon les
niveaux de raisonnement exigé. Et ce faisant nous comparons les niveaux de raisonnement
exigés par nos deux sources : le manuel et TIMSS 2011.
2.3. Implicite ou explicite
Dans notre recherche, nous vérifions aussi la présence et la façon de présenter dans le
manuel les connaissances demandées par TIMSS 2011. Nous entendons des façons de
présenter les connaissances, les façons implicites et explicites qui peuvent aboutir
25
naturellement à un apprentissage implicite ou explicite des mathématiques. C’est pour
quoi, pour analyser les questions des manuels scolaires, nous ajoutons le critère du mode
de présentation. Existe-t-il une différence entre la présentation implicite et explicite de la
géométrie? Et en quoi ce facteur est-il important dans la comparaison de deux supports
didactiques ?
Reber (1967) classe les mécanismes de l'apprentissage en deux catégories: implicite et
explicite. L’apprentissage explicite est un apprentissage qui implique la conscience et
l'effort de celui qui apprend, alors que l’apprentissage implicite est largement indépendant
de la conscience. La distinction entre ces deux mécanismes trouve son origine dans le
domaine de psychologie et s’appuie effectivement sur la présence des opérations
conscientes dans le processus d’apprentissage. Selon Ellis (1994), l’apprentissage implicite
est généralement défini comme l'acquisition des connaissances sur la structure sous-jacente
d'un environnement par un processus qui se déroule naturellement, simplement et sans
opération consciente, tandis que l'apprentissage explicite est caractérisé par un
fonctionnement plus conscient où l'individu fait et teste des hypothèses en recherchant une
structure.
La connaissance implicite est généralement acquise au cours de nombreux épisodes
différents. Par exemple, apprendre à faire du vélo serait un exemple d'un apprentissage
implicite, car il n’y a généralement pas un moment particulier dans le temps qui nous
permet de dire quand j'ai appris à faire du vélo; la connaissance est acquise lentement au fil
du temps (Ellis, 1994). Dans notre projet de recherche, l’enseignement explicite renvoie à
un enseignement visant un apprentissage intentionnel, clair et structuré. Par contre,
l’enseignement implicite correspond à une sorte de présentation de connaissances qui se
déroule au cours de l’enseignement explicite d’un autre sujet. Le sujet mathématique qui
peut être appris implicitement n’est pas un sujet principal de l’enseignement, mais fait
partie de la démarche d’apprentissage ou de la solution obtenue lors de la résolution du
problème proposé.
Selon Rosenshine (1986a et 1986b), cité par Gauthier, M. Mellouki, D. Simard, S.
Bissonnette et M. Richard (2005), l’enseignement explicite se divise en trois étapes : le
modeling ou modelage, la pratique guidée ou dirigée et la pratique autonome ou
26
indépendante. Le modelage favorise la compréhension de l’objectif d’apprentissage chez
l’élève. La pratique dirigée lui permet d’ajuster et de consolider sa compréhension dans
l’action. Enfin, la pratique autonome fournit des occasions d’apprentissage nécessaires à la
maitrise et à l’automatisation des connaissances de base. Rosenshine (1982, 1986 et 2002),
cité dans Gauthier et coll. (2013), met en relief le rôle de l’enseignement explicite dans
l’apprentissage de plusieurs disciplines, y compris les mathématiques. Selon ces auteurs et
leurs résultats de recherches, l’enseignement explicite est fortement recommandé comme
une approche d’enseignement efficace. Cela ne veut aucunement dire que l’enseignement
explicite est la seule méthode à privilégier pour favoriser l’apprentissage des
mathématiques. L’approche par découverte ou la résolution d’une situation-problème, par
exemple, qui proposent le milieu a-didactique5 d’apprentissage sont aussi des approches
qui peuvent favoriser la construction de nouvelles connaissances.
Dans le cadre de notre recherche, nous retenons que la présentation des contenus
géométriques dans le manuel scolaire, selon le mode explicite, indique que l’apprentissage
doit avoir lieu, alors que pour la présentation selon le mode implicite nous ne pouvons pas
être sûrs des contenus de l’apprentissage. Nous savons que le contrat pédagogique entre les
élèves et l’enseignant s’installe quand les élèves prennent connaissance des objectifs du
cours avant que ce dernier ne commence. Ce contrat s’installe de même entre l’élève et le
manuel scolaire quand ce dernier présente explicitement les objectifs et les concepts du
contenu présenté.
Dans la section suivante, nous présentons la théorie qui nous donne aussi des indications
sur la façon de présenter les concepts géométriques qui sont nécessaires pour le
développement de la pensée géométrique et la réussite des élèves en géométrie.
5 Le milieu a-didactique est « l'image dans la relation didactique du milieu "extérieur" à l'enseignement lui-
même » (Brousseau, 1986, p.86). C’est l'ensemble des savoirs, acquis à l'école ou en dehors de l’école, qui
sont supposés être connus par l'élève et dont la mobilisation peut aider ce dernier à résoudre une situation-
problème.
27
2.4. Niveaux de la pensée géométrique : le modèle de Van-Hiele
Le processus d’enseignement-apprentissage de la pensée géométrique doit accorder une
attention particulière aux processus cognitifs de l'élève. Nous avons choisi pour notre
recherche le modèle de Van-Hiele qui accorde une grande place à l'activité de l'élève dans la
construction de la connaissance géométrique. Ce modèle, fruit des travaux de Pierre-
Marie Van Hiele et de Dina Van Hiele-Geldof (1957-1959/1984), explique en effet le
processus de développement de la pensée géométrique des élèves. En étudiant les
problèmes rencontrés par les élèves lors de l’apprentissage de la géométrie, Van -Hiele
distingue cinq niveaux cognitifs dans le processus de développement de la pensée
géométrique. Selon le modèle proposé, les élèves progressent d'un niveau perceptif vers le
niveau plus sophistiqué à travers l’analyse, l’abstraction et la preuve.
Il nous faut mentionner que P.-M. Van Hiele ne donne pas les noms spécifiques aux niveaux.
Il décrit 4 niveaux (0-3) et déclare qu’ « on peut probablement distinguer 5 niveaux de pensée
en géométrie ». Dans cette section, nous référons aux appellations données aux niveaux dans
les recherches postérieures (Shaughnessy and Burger 1985; Crowley, 1987). Les niveaux
que les élèves doivent franchir sont les suivants : «la visualisation», «l'analyse», «la
déduction informelle », « la déduction formelle» et «la rigueur».
La visualisation
L’élève reconnaît une figure géométrique selon son apparence visuelle. Il considère les
figures géométriques comme des entités totales, sans les détails et les attributs. À ce
stade, les formes géométriques sont imaginées en relation à ce à quoi elles ressemblent,
et non par rapport à leurs attributs et à leurs propriétés.
L'analyse
L’élève analyse les figures et comprend leurs propriétés et attributs. À ce niveau,
l’élève peut énumérer toutes les propriétés d'une figure, mais il n’arrive pas à
représenter les relations entre les propriétés.
28
La déduction informelle
À ce niveau, les élèves commencent à faire les déductions locales et à établir les
relations et les corrélations à l’intérieur d’une même figure ou entre plusieurs figures.
Ils peuvent ainsi classer les figures à la base de leurs attributs et créer les déductions
informelles et plus expérimentales à partir de leurs expériences. À ce niveau, même
s’ils peuvent aussi suivre les déductions formelles et les comprendre, ils demeurent
incapables de les manipuler. Ils ne comprennent pas encore le rôle des axiomes et la
place de la déduction comme moyen de démonstration.
La déduction
À ce niveau, les élèves maîtrisent les règles de la déduction. Ils peuvent faire une
nouvelle déduction en combinant les axiomes, les postulats, les théorèmes et employer
les démarches logiques et nécessaires afin de démontrer. Généralement, pour réussir en
géométrie à l'école secondaire, il faut que l’élève puisse atteindre le n iveau de la
déduction formelle.
La rigueur
À ce niveau, l'élève est capable de travailler dans les géométries différentes de la
géométrie euclidienne et passer d’un système à l’autre. Effectivement, c’est le niveau
le plus avancé de la pensée géométrique et qui n’est pas abordé dans la géométrie
scolaire.
2.4.1. Principales caractéristiques du modèle
Les niveaux sont séquentiels au sens où les élèves doivent franchir tous les niveaux
suivant l'ordre présenté par le modèle. Pour réussir dans chaque niveau, l'élève doit
donc réussir les niveaux précédents.
Les niveaux sont plus liés aux expériences des élèves qu'au critère de l'âge de ces
derniers. Les méthodes d’enseignement ont une influence sur l’avancement des élèves,
mais elles ne leur permettent pas de passer d'une étape à l'autre. Dans ce sens,
l'acquisition des expériences appropriées est nécessaire.
29
Pour que l'apprentissage se réalise, le langage employé en enseignement, le matériel
pédagogique, le contenu et le vocabulaire exploités doivent correspondre au niveau de
compréhension de l'élève. Si, par exemple, le langage ne correspond pas au niveau de
la pensée de l'élève, ce dernier ne serait pas en mesure de progresser et se contentera
par conséquent de mémoriser sans comprendre.
2.4.2. Étapes de l’apprentissage
Puisque l’avancement des élèves dépend aussi de l’enseignement qu’ils reçoivent dans
le processus de l’apprentissage, Van-Hiele a proposé, à cet égard, cinq phases
séquentielles à accomplir dans chaque niveau du modèle. L’investigation est la
première phase durant laquelle l’enseignant et l'élève recueillent les informations.
L’enseignant évalue le niveau de l’apprentissage de l’élève et ses informations
actuelles pendant que l’élève retrouve sa direction. Dans la deuxième phase,
l’enseignant donne graduellement et consécutivement le matériel pédagogique
susceptible de structurer et de diriger la pensée de l’élève. Quant à la troisième phase,
les élèves apprennent à exprimer les structures émergées dans leurs pensées. Dans la
quatrième étape, à partir de plusieurs tâches fournies par l’enseignant, les élèves
trouvent leurs propres manières de résoudre les problèmes. C’est à cette phase que
les relations entre les objets d’enseignement deviennent plus explicites pour les élèves.
La cinquième phase est consacrée à la récapitulation et la révision des contenus
appris, et ce, dans le but de construire une vision globale de tous les objets et de
comprendre les relations qui existent entre eux. Le rôle de l'enseignant consiste à
accompagner les élèves dans la correction de leurs visions sans avoir à ajouter des
nouvelles informations.
D’après la description présentée dans cette section, nous pouvons bien voir le rôle des
activités d’apprentissage et le rôle décisif de l’enseignant qui les prépare pour le
développement progressif de la pensée géométrique de l’élève.
Ce cadre théorique nous permettra d’expliquer les difficultés des élèves et certaines
erreurs qu’ils commettent dans la résolution de problèmes géométriques.
30
3. Méthodologie
Après 1'élaboration de notre problématique de recherche et de notre cadre théorique, nous
définirons la méthodologie de recherche utilisée pour répondre à notre question de
recherche: les contenus géométriques du manuel scolaire de 8e année de l’Iran
correspondent-ils aux exigences de TIMSS 2011?
Pour ce faire, nous préciserons d’abord le type de recherche que nous avons adoptée (3.1).
Puis, dans la section (3.2), nous présenterons le corpus et les critères de validité de collecte
des données. Ensuite, nous justifierons notre choix méthodologique (3.3).
3.1. Type de recherche
Le type de recherche et le choix méthodologique sont déterminés essentiellement par les
questions et les objectifs de la recherche (Pires, 1997). Dans ce sens, étant donné que notre
objectif est de comparer les contenus mathématiques d’un test et d’un manuel scolaire, nous
avons choisi l’analyse du contenu de ces deux documents dans le but « d'arriver à produire
des inférences valides et reproductibles à partir de textes analysés » (Gauthier et Beaud,
2009, p. 136). Pour mener cette analyse, nous optons pour une recherche quantitative.
Cependant, puisqu’aucune recherche n’a été effectuée pour comparer les contenus
géométriques d’un manuel scolaire avec un test, une recherche exploratoire s’est imposée à
notre recherche.
Recherche exploratoire
La recherche exploratoire vise à clarifier un phénomène plus ou moins étudié ou même à
déterminer le type de recherche et les méthodes de collecte des données les plus
appropriées pour étudier un problème donné ou mener une étude plus développée. Elle
constitue généralement la phase initiale d'un processus de recherche en ce qu’elle tente de
combler un vide dans le milieu scientifique, comme le fait remarquer Van der Maren
(1995). Cette recherche peut être donc un préalable à une recherche en ce qu’elle s’appuie
sur un minimum de connaissances (Trudel, Simard et Vonarx, 2007). Elle peut répondre
aux questions suivantes: comment circonscrire un objet de recherche, définir de nouvelles
31
pistes de recherche, choisir des avenues théoriques ou identifier une méthode appropriée à
l’objet? (Trudel, Simard et Vonarx, 2007).
La recherche exploratoire sert donc à produire des informations sur les phénomènes
inconnus. Dans notre recherche, elle constitue une phase préalable à une étude quantitative,
car nous l’utilisons pour déterminer le domaine et le corpus mathématiques sur lesquels
nous travaillerons. Étant donné qu’aucune recherche n’a été effectuée sur l’analyse des
contenus du manuel scolaire de mathématiques iranien en relation avec les tests de
TIMSS6, une recherche d’abord exploratoire nous paraît utile puisqu’elle favorise la
découverte de nouvelles connaissances sur un domaine peu étudié: le rapport entre le test
TIMSS et les manuels scolaires de mathématiques iraniens. Comme le souligne Legendre
(2005), « la recherche exploratoire permet d'obtenir une meilleure connaissance d'un
phénomène ainsi que la clarification de concepts comme préalable à des recherches
ultérieures » (p. 1150). Cette phase nous a permis effectivement de déterminer les concepts
sur lesquels s’est basée notre investigation théorique à savoir le niveau de raisonnement
géométrique, l’enseignement explicite et implicite et la répartition des contenus dans les
manuels scolaires.
Le paradigme quantitatif
La recherche quantitative est un moyen pour tester des théories objectives en examinant la
relation entre les variables. Ces variables peuvent être mesurées généralement par des
instruments, de sorte que les données numériques peuvent être analysées en utilisant des
procédures statistiques (Creswell, 2013). Effectivement, nous analyserons toutes les
questions géométriques de TIMSS-2011 et les contenus du manuel scolaire consacrés à ce
domaine d’étude pour les comparer selon les variables identifiées dans notre cadre de
référence.
Les variables de notre recherche sont liées aux contenus de deux sources et elles sont au
nombre de trois : 1) la répartition des contenus géométriques, 2) les modes de présentation
6 Une recension des écrits sur Math Educ Database, EBSCO et https://scholar.google.fr/, nous permet
d’avancer l’absence des études scientifiques abordant l’analyse des rapports entre les contenus de TIMSS et
les contenus des manuels iraniens.
32
des connaissances géométriques (mode explicite et mode implicite) et 3) les niveaux de
raisonnement en géométrie. La première variable sera mesurée en identifiant le niveau
scolaire qui correspond au contenu exigé par TIMSS-2011, car nous supposons qu’il y a
des contenus exigés par ce test qui ne sont pas enseignés en 8e année, mais dans des années
antérieures. La seconde variable sera étudiée en classifiant les questions des manuels
scolaires selon que l’objet d’enseignement géométrique exigé par TIMSS 2011 est présenté
de manière explicite ou implicite dans le manuel scolaire. La dernière variable quant à elle
(les niveaux de raisonnement) sera examinée en utilisant la grille de Tanguay.
L’analyse du contenu
Aggarwal (2001) propose cinq critères principaux pour évaluer la pertinence et l'adéquation
des manuels scolaires. Ces critères sont liés au contenu, à l’organisation de ce contenu, à sa
présentation, à la communication verbale mise en œuvre (la langue) et enfin à la
communication visuelle utilisée (les illustrations). Pour chaque critère, le même auteur
identifie des caractéristiques spécifiques. Le contenu doit être pertinent, authentique et mis
à jour. Il doit en plus couvrir adéquatement le sujet, avoir une teneur adéquate au sujet et
être lié à la vie des élèves. Son organisation doit constituer une unité répartie en sections
qui respectent une progression logique. Sa présentation doit augmenter la motivation des
élèves, c’est-à-dire que le titre doit être attrayant et approprié, et que le contenu doit être
présenté d’une manière créative et intéressante. Quant à la langue utilisée, il faut choisir un
vocabulaire approprié, des phrases courtes et simples, et veiller à ce que l’orthographe et la
ponctuation soient correctes. L’illustration, pour sa part, doit être appropriée au niveau
mental des élèves, facile à comprendre, motivante, pertinente, précise, simple et assez
grande pour la vue. Dans notre analyse du manuel scolaire iranien, nous nous axerons sur
les critères liés à la pertinence et à l’organisation du contenu du manuel scolaire en prenant
comme repère les exigences de TIMSS 2011.
Cette analyse se fera en deux étapes principales. La première étape vise à examiner la
manière selon laquelle les connaissances nécessaires à répondre aux questions de TIMSS
2011 sont présentées dans le manuel de 8e année. Nous nous référons, à cette étape, aux
notions de l’enseignement implicite et explicite, présentées dans la section (2.3) de notre
cadre théorique. La seconde étape vise à identifier les niveaux de raisonnement exigés par
33
les problèmes géométriques du manuel de 8e année, et les comparer par la suite avec les
niveaux de raisonnement exigés par le test TIMSS 2011. Nous nous baserons pour cette
étape sur trois catégories : les modes d’accès aux connaissances, les niveaux de
raisonnement géométrique selon la grille d’analyse de Tanguay (2002). Ces trois catégories
sont présentées respectivement dans les sections 2.1, 2.2 et 2.3 de notre cadre théorique.
3.2. Collecte des données
La collecte des données a commencé par la sélection du corpus à étudier. Cette démarche se
compose de deux phases complémentaires: identifier les connaissances géométriques
nécessaires à la réussite au test TIMSS 2011 et identifier la présence de ces connaissances
dans le manuel scolaire de 8e année. Dans le cas d’absence d’une connaissance dans le
manuel de 8e année, nous référons respectivement aux manuels scolaires des années
précédentes, soit la septième année, puis la sixième année, et ainsi de suite.
Sélection et présentation du corpus
Le choix du corpus sur lequel portera notre recherche est une étape primordiale dans notre
processus méthodologique. Ce corpus déterminera la matière première que nous
analyserons pour relever les dissimilitudes entre les deux documents en question.
En fait, le manuel scolaire iranien de mathématiques et le test de TIMSS 2011 contiennent
plusieurs domaines (géométrie, algèbre, nombres, probabilités et statistiques). L'analyse de
ces deux documents dans leur totalité exigerait un travail volumineux et de longue haleine.
Il est donc approprié, pour répondre aux objectifs de notre recherche et pour éviter
d'alourdir la présentation des données, de cibler adéquatement le corpus à analyser, à savoir
la géométrie. Nous avons donc choisi de focaliser notre recherche uniquement sur le
contenu géométrique. Quant au choix du niveau scolaire, la huitième année nous apparaît la
plus pertinente comme nous avons mentionné dans la section 1.4. (Les concepts
mathématiques sont bien développés dans le manuel de huitième année, ce qui facilite la
distinction entre les questions géométriques et les questions qui renvoient aux autres
domaines mathématiques).
34
Critères de scientificité : le critère de validité
La validité d'une recherche, telle que définie par Legendre (2005), relève de la « capacité
d'un instrument à mesurer réellement ce qu'il doit mesurer, selon l'utilisation que l'on veut
en faire» (p.l436). Dans notre étude, les critères de validité seront liés à la grille d'analyse
que nous emprunterons à Tanguay (2002). Il importe donc de mentionner que la
classification des niveaux de raisonnement de la grille d'analyse de Tanguay constituera un
outil qui doit nous permettre de faire émerger les divergences et les similitudes entre les
types de raisonnement sollicités par les contenus géométriques du manuel de
mathématiques iranien et ceux de TIMSS 2011. Selon Tanguay (2002), la classification des
problèmes à l’aide de la grille permet une vue d’ensemble du cheminement proposé à
l’élève. « La grille d’analyse, affirme-t-il, rend donc possible un recul, que nous n’aurions
pas eu avec une simple inspection des problèmes, aussi minutieuse eût-elle été. » (p. 393)
3.3. Justification du choix méthodologique
Nous avons pu démontrer précédemment la pertinence de choisir le manuel scolaire comme
objet pour notre étude. Ce choix étant fait, nous avons identifié un corpus de documents
écrits sur lequel portera notre analyse. L'analyse de contenu s'impose donc une technique
pour procéder à une étude détaillée des contenus de documents (Deslauriers, 1987).
Pourtant, l’analyse de contenu occupe une place marginale au sein de la hiérarchie de
méthodes de recherche (Deslauriers, 1987). Mais si l’on considère que l'analyse de contenu
a contribué à l'essor de plus d'un champ de connaissance, on peut reconnaître sa
scientificité. En fait, l’analyse de contenu a participé à l'avancement de plusieurs
disciplines : la psychologie, l'anthropologie, la science politique, la sociologie et l'éducation
(Mayer, 2000).
4. Analyse des données
Pour comparer le manuel scolaire et TIMSS 2011, nous décrirons d’abord les
connaissances exigées par TIMSS 2011. Ensuite, nous vérifierons la présence de ces
connaissances dans le manuel de 8e année. Enfin, nous examinerons les niveaux de
raisonnement exigés par les questions de ces deux ressources et la façon de présenter les
35
connaissances. Cette comparaison nous permettra de répondre aux questions de la
recherche.
4.1. Description des connaissances
Dans cette étape, nous décrivons d’abord les connaissances mathématiques exigées par les
questions de TIMSS 2011, puis à partir de cette description nous élaborons une liste des
concepts mathématiques et de leurs attributs. Ensuite, nous vérifions la présence de ces
connaissances dans le manuel scolaire. Enfin, nous établirons les correspondances qui
peuvent exister entre les contenus de ces deux ressources, à savoir le test TIMSS 2011 et le
manuel scolaire de mathématiques iranien de 8e année.
4.1.1. Identification des connaissances géométriques exigées par les items de
TIMMS 2011
La fondation d’IEA a publié 90 questions mathématiques de TIMSS 2011en février 2013
dont vingt questions portent sur la géométrie. Nous avons décrit toutes ces questions dans
un tableau qui se compose de deux colonnes (voir l’annexe 2). Dans la première colonne,
nous proposons une solution adéquate à la question; dans la seconde, nous décrivons les
connaissances géométriques mobilisées dans cette solution.
Prenons comme exemple la question 9 de TIMSS 2011 (pour la description complète, voir
l’annexe 2) : L’aire du carré est de 144 cm². Quel est le périmètre du carré?
Figure 4 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items de TIMMS 2011
36
Solution Connaissances géométriques visées
1) 144= c²
2) 144= 12 =˃ c=12
3) c = 4× 12= 48
- Aire de carré = (la mesure du côté) ² ou A= c²
- P=4 x c
Tableau 6 : Exemple d’identification des connaissances géométriques exigées par les items de TIMMS 2011
Rappelons par ailleurs que la résolution d’un problème géométrique nécessite toujours la
combinaison de plusieurs savoirs mathématiques, qui ne sont pas nécessairement d’ordre
géométrique. Pour résoudre ce problème géométrique, l’élève utilisera aussi des
connaissances non géométriques comme la résolution d’une équation de second degré.
4.1.2. Description des connaissances identifiées
L’analyse des questions de TIMSS 2011, comme dans l’exemple précédent, nous a permis
d’identifier les connaissances géométriques nécessaires pour les résoudre. Ces
connaissances sont décrites dans le tableau ci-dessous (tableau 7) qui se compose de trois
colonnes. Dans la première colonne, nous avons indiqué le concept général. Dans la
deuxième, nous avons précisé l’élément constitutif de ce concept (ou sous-concept) auquel
appartient la connaissance comprise dans la question de TIMSS. Dans la troisième colonne,
nous avons décrit la connaissance en question.
Concept Représentants (ou
éléments) du concept Connaissance : attributs, caractéristique,
relations
Ligne
Segment
Un segment est une portion de droite délimitée par
deux points, appelés extrémités du segment.
Le milieu d'un segment est un point qui est situé à
égale distance des extrémités de ce segment.
Angle Angle au centre Le sommet est au centre du cercle, les côtés sont des
rayons du cercle.
Dans un cercle l’angle au centre = 360º (un tour
complet)
37
Polygone
Triangle
∑ intérieurs du triangle =180
Mesure d’angle plat = 180°
Aire du Δ =b×h/2 (1/2 base × hauteur)
Triangle
rectangle
Aire du Δ rectangle =1/2 produit de 2 côtés
perpendiculaires
Relation de Pythagore : Le carré de la mesure de
l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des
mesures des cathètes : c2 = a2 + b2
Triangle
isocèle
Δ ayant 2 côtés
Δ ayant 2 angles
La hauteur du Δ isocèle est une médiane (divise la
base en 2 parties égales)
Construction du triangle isocèle selon la mesure de
sa base et sa hauteur : tracer le segment, trouver le
milieu (diviser la mesure en 2), tracer la droite
passant par le milieu, reporter la mesure de la
hauteur sur cette droite, relier le point obtenu aux
extrémités du segment
Rectangle Aire du rectangle = a x b (A= longueur × largeur)
Carré Aire du carré= a² (A= côté × côté)
Périmètre de carré= 4a (P= 4× mesure d’un côté)
Trapèze Aire du trapèze= (B+b)/2×h
A= (grande base + petite base) /2 fois hauteur
Pentagone angles intérieurs du polygone = (n-2) ×180, n :
nombre de côtés
Volume Prisme rectangulaire Volume = L x l x H
(V=Longueur × Largeur × Hauteur)
Relations entre
deux droites
sécantes
angles
créés
opposés Deux angles non adjacents formés par deux droites
sécantes
Deux angles opposés par le sommet sont congrus
adjacents
Deux angles sont adjacents s'ils :
- ont le même sommet,
- ont un côté commun,
- sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
38
Relations entre
deux droites //
et une sécante
angles
créés
correspondants
- Les angles correspondants n'ont pas le même
sommet, mais sont situés du même côté d'une droite
sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur de
deux droites coupées par cette sécante.
- Des angles correspondants sont isométriques à
condition que les deux droites coupées par la sécante
soient parallèles.
Transformations
Rotation
- La rotation centrale maintient la forme et les
dimensions de la figure et la distance entre la figure
et le point d’origine.
Centre de rotation:
- point fixe de rotation ou
- point équidistant du cercle (contour) ou de tout
point du cercle ou
- point d’intersection des médiatrices de deux cordes
(enseignement secondaire)
Sens : positif - est le sens antihoraire
Cercle : courbe fermée créée par la rotation d’un
point autour d’un point fixe
Angle au centre :
- le sommet est au centre du cercle ou
- les côtés sont des rayons du cercle reliant les points
correspondants (ils sont congrus)
Rayon :
-distance entre le centre et tout point du cercle
-segment reliant le centre avec le point quelconque
du cercle
Arc : partie du cercle déterminée par un angle au
centre
Réflexion
La réflexion selon un axe de symétrie :
-Deux segments symétriques ont la même longueur
(conservation des longueurs),
-Deux angles symétriques ont la même ouverture
(conservation des angles),
-Deux figures symétriques ont la même aire
(conservation des aires).
Figure symétrique peut être divisée en deux parties
qui coïncident par le pliage.
Deux figures symétriques coïncident par le pliage.
Axe de réflexion (de symétrie):
-Droite qui partage la figure en deux parties qui
39
coïncident par pliage
-Médiatrice du segment reliant les points
correspondants d’une figure (ou de 2 figures: initiale
et son image) ; (droite qui se trouve à égale distance
de deux de points correspondants d’une figure (ou
de deux figures) et qui est perpendiculaire au
segment reliant ces points).
-Deux segments symétriques ont la même longueur
(conservation des longueurs),
-Deux angles symétriques ont la même ouverture
(conservation des angles),
-Deux figures symétriques ont la même aire
(conservation des aires).
Système de
coordonnées
Polaires
- Axe des abscisses ou l’axe de X est une droite
numérique horizontale dans le plan.
- Axe des ordonnées ou l’axe de Y est une droite
numérique verticale.
- O est un point d’intersection de ces deux axes
appelé origine.
- Pour un point quelconque M, on peut déterminer
un angle MOX dont le sommet est O, et deux côtés
sont OM et OX.
- Les coordonnées d’un point M se composent de
deux nombres (D, A) dont le premier montre la
distance de point M au point origine(O) et le
deuxième est la mesure de l’angle MOX.
Tableau 7 : Description des connaissances
4.1.3. Analyse des manuels : présence des connaissances et mode de présentation
Après la description des connaissances géométriques exigées par TIMSS 2011, nous avons
vérifié, dans un premier temps, leur présence dans les exercices proposés par le manuel
scolaire iranien. Pour ce faire, nous avons analysé tous les contenus géométriques du
manuel de 8e année. Puisque l’apprentissage de la géométrie est un processus continu qui
commence au niveau primaire, nous prendrons en considération, dans notre description, les
contenus géométriques enseignés avant la 8e année. Le choix de la connaissance à analyser
dans les manuels correspondra, dans ce sens, à la dernière année où cette connaissance a été
présentée. C'est-à-dire que pour vérifier la présence d’une connaissance, nous avons
40
Figure 5 : Exemple de l’apprentissage implicite
commencé par le manuel de la 8e année, si on trouve que la connaissance en question est
absente dans ce manuel, nous examinons le manuel de la 7e année et ainsi de suite.
Dans un deuxième temps, nous avons analysé la façon dont chaque connaissance est
présentée dans le manuel : s’agit-il d’une connaissance présentée d’une manière explicite
ou d’une manière implicite? Les deux exemples suivants montrent respectivement la
méthode implicite et la méthode explicite de l’enseignement des mathématiques.
Premier exemple : apprentissage implicite
Exercice : La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Les deux triangles MHB et
MHA sont-ils congrus? Si oui, expliquer pourquoi. (Manuel de mathématiques de 6e année
de l’Iran, p. 181)
Solution possible : Comme (d) est la médiatrice de [AB], alors AH=HB et [MH] [AB]
(AHM= BHM= 90˚). [MH] est un côté commun des triangles ∆AHM et ∆BHM. Donc
selon l’un des critères de congruence des triangles (côté, angle, côté), ∆AHM ∆BHM.
Cela met en relief l’égalité de MA et MB ou le fait que ∆MAB est un triangle isocèle.
À partir de cet exercice, l’élève peut apprendre implicitement que dans le triangle isocèle la
médiatrice de [AB] coïncide avec la hauteur.
Deuxième exemple : apprentissage explicite
Activité : (Manuel de mathématiques de 8e année, p. 79)
41
Figure 6 : Exemple de l’apprentissage explicite
Traduction libre : Observez cette figure. Nous avons tracé une droite parallèle à
l’hypoténuse BC et passant par le point d’intersection des diagonales du carré de côté AB.
Nous avons tracé ensuite une droite perpendiculaire à cette dernière, passant par le même
point. Ce carré s’est divisé en quatre parties égales. En mettant ensemble ces quatre parties
et le carré de côté AC, on couvre le carré de côté BC. Vous pouvez aussi tracer un triangle
rectangle sur un papier et former un carré sur chacun des côtés de triangle. Ensuite, vérifiez
si les deux carrés formés par les côtés de l’angle droit couvrent le carré le plus grand formé
par l’hypoténuse du triangle rectangle.
Si on nomme les côtés du triangle rectangle ABC a, b et c (voir la figure), alors l’aire de
chaque carré est égale:
a2 = aire du carré dont le côté est l’hypoténuse BC
b2= aire du carré de côté AC
c2= aire du carré de côté AB
Selon la déduction décrite ci-dessus : a2 = b2 + c2
42
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des côtés (côtés de l’angle droit).
Dans cet exemple, le théorème de Pythagore est présenté explicitement.
Les données du tableau ci-dessous (tableau 8) présentent les résultats de notre analyse des
activités géométriques dans les manuels scolaires iraniens de 8e, 7e, 6e, 5e, 4e et 3e années.
La première colonne présente les concepts et les attributs7 employés dans les questions de
TIMSS 2011. La deuxième colonne indique le numéro de la question de TIMSS dans
laquelle cette connaissance est exigée (voir l’annexe 2). La troisième colonne indique la
présence (ou l’absence) de ce concept dans le manuel scolaire (le niveau de l’enseignement
et la page). En fin, quatrième colonne indique la façon dont chaque connaissance est
présentée dans le manuel (explicite ou implicite).
Concepts (attributs) Numéro
d’item
Niveau
scolaire et
page du
manuel
scolaire
Mode
d’enseignement :
explicite ou
implicite
1. Un segment est une portion de droite
délimitée par deux points, appelés
extrémités du segment.
8 6e année- p.76 Explicite
2. Le milieu d'un segment est un point qui
est situé à égale distance des extrémités
de ce segment.
8 -- --
3. Dans un cercle l’angle au centre = 360º
(un tour complet)
16 8e année- p.75 Implicite
4. ∑ intérieurs du triangle =180 1 7e année- p.93 Explicite
7 Rappelons que les connaissances exigées par les questions géométriques de TIMSS 2011 peuvent appartenir
à d’autres domaines mathématiques (arithmétique, algèbre, etc.). Nous n’avons pas abordé dans cette étude
les domaines, les savoirs et les connaissances non géométriques.
43
5. La mesure d’angle plat = 180° 19 7e année- p.95 Explicite
6. Aire du Δ rectangle =1/2 base × côté 17 7e année- p.173 Explicite
7. La relation de Pythagore (et réciproque) 11 8e année- p.79 Explicite
8. Triangle isocèle: Δ ayant 2 côtés 2 7e année- p.72 Implicite
9. Δ isocèle possède 2 angles 2 7e année- p.78 Explicite
10. La hauteur du Δ isocèle est une médiane
(divise la base en 2 parties égales)
2 6e année- p.181 Implicite
11. La construction du triangle isocèle selon
la mesure de sa base et sa hauteur :
segment, milieu, segment passant par le
milieu
6 6e année- p.104 Implicite
12. Aire du rectangle = longueur × largeur 17 7e année- p.173 Explicite
13. Aire du carré= côté × côté 9-20 7e année- p.173 Explicite
14. Périmètre du carré= 4× mesure d’un côté 20 4e année- p.138 Explicite
15. Aire du trapèze= (B+b)/2×h 17 7e année- p.76 Explicite
16. angles intérieurs du polygone = (n-2)
×180
1 8e année- p.75 Implicite
17. Volume d’un prisme rectangulaire =
Longueur × Largeur× Hauteur
4 7e année- p.191 Explicite
18. Deux angles opposés par le sommet sont
congrus
19 6e année- p.91 Explicite
19. Les angles correspondants sont congrus.
(dans le cas de droites // et une sécante)
3 7e année- p.85 Explicite
44
20. La rotation centrale maintient la forme et
les dimensions de la figure et la distance
entre la figure et le point d’origine.
7-13 8e année- p.85 Implicite
21. La réflexion selon un axe de symétrie :
-Deux segments symétriques ont la
même longueur (conservation des
longueurs),
-Deux angles symétriques ont la même
ouverture (conservation des angles),
-Deux figures symétriques ont la même
aire (conservation des aires).
13-14 7e année- p.181 Explicite
22. Le système de coordonnées polaires 15 -- --
Tableau 8 : Correspondances entre les connaissances de TIMSS 2011 et les contenus du manuel
4.1.4. Comparaison des connaissances: TIMSS 2011 vs. manuel
Premier résultat
L’analyse des correspondances entre les connaissances exigées par TIMSS 2011 et celles
présentées dans les manuels iraniens nous permet de calculer le taux de présence de ces
connaissances par rapport au niveau scolaire, comme dans le tableau 9 ci-dessous.
Niveau scolaire Taux de présence
8e 18.18 %
7e 50 %
6e 18.18 %
5e 0 %
4e 4.5 %
Connaissances sans référence (non présentes) 9.09 %
Tableau 9 : Taux de présence des connaissances de TIMSS 2011 dans les manuels
45
D’un côté, nous remarquons que la moitié des connaissances géométriques demandées par
TIMSS 2011 fait l’objet d’un apprentissage en 7e et non en 8e année. Autrement dit, les
élèves iraniens apprennent la moitié des connaissances nécessaires pour répondre aux
questions du TIMSS 2011 une année avant la participation au test. De l’autre côté, nous
remarquons que les connaissances demandées par TIMSS 2011 correspondent à 18.18 %
des connaissances apprises en 8e année. En plus, nous pouvons noter que parmi vingt-deux
connaissances géométriques exigées par TIMSS 2011, il y a deux qui sont absentes dans les
manuels iraniens. Ce qui correspond à 9.09 % de toutes les connaissances nécessaires pour
répondre aux questions de TIMSS 2011.
Deuxième résultat
L’analyse des données du tableau des connaissances (Tableau 8), nous donne un autre
résultat par rapport à la façon de présenter les connaissances (explicite ou implicite). En
effet, 14 des 22 connaissances nécessaires pour résoudre les questions de TIMSS 2011 sont
présentées explicitement dans les manuels mathématiques iraniens, ce qui correspond à
63.63 % de toutes les connaissances demandées. Alors que 27.27 % (6 sur 22) des
connaissances demandées par TIMSS 2011 sont implicitement présentés.
Connaissances explicites 63.63 %
Connaissances implicites 27.27 %
Connaissances non-présentes 9.09 %
Tableau 10 : Taux de présence des connaissances dans le manuel selon le mode explicite ou implicite
4.1.5. Interprétation
L’analyse des données des deux tableaux ci-dessus nous conduit à deux conclusions en
rapport à la présence et à la manière de présenter les connaissances géométriques exigées
par TIMSS 2011 dans le manuel.
Nous constatons que presque 90% des connaissances exigées par TIMSS 2011 sont
présentées dans les manuels mathématiques de l’Iran. Au niveau de l’accès aux
connaissances, il s’avère donc que les élèves participants au test ne devraient pas avoir des
46
grands problèmes pour répondre au test. Cependant, le manque de 10% des connaissances
reste problématique. Éthiquement, on ne devrait pas évaluer les élèves sur des
connaissances qui n’ont pas fait l’objet d’un apprentissage. Mais, comme nous l’avons
mentionné précédemment, les études de TIMSS 2011 visent principalement à évaluer les
systèmes éducatifs des pays et non les élèves. Ce constat devient plus problématique quand
nous remarquons que 18.18% seulement des connaissances exigées par le test sont étudiées
en 8e année. Si les connaissances étudiées dans les années précédentes pouvaient faire objet
de révision en 8e année, les élèves participants auraient pu probablement obtenir de bons
résultats.
Le deuxième constat porte sur le taux élevé des connaissances présentées de manière
implicite. Ces connaissances qui comprennent 27% de toutes les connaissances nécessaires
à la résolution des questions de TIMSS 2011, ne font pas l’objet d’un enseignement
explicite dans les manuels iraniens. En nous référant à notre cadre théorique, à la suite de
Gauthier et coll. (2013), cela peut être considéré comme une source potentielle des
faiblesses manifestées dans le rendement des élèves iraniens au TIMSS 2011.
4.2. Niveaux de raisonnement
Nous présenterons dans cette section les résultats de notre analyse des questions de TIMSS
2011 et du manuel scolaire iranien selon le niveau de raisonnement exigé par ces questions.
Cette analyse des différents problèmes géométriques nous a permis d’examiner si le niveau
du raisonnement exigé par les items du test diffère ou correspond à celui exigé par les
exercices géométriques du manuel scolaire. Rappelons que nous avons utilisé pour faire
cette comparaison la grille d’analyse de Tanguay (2002). Une grille se composant de sept
catégories : l’application directe (type A), le jugement d'une seule venue (type B),
l'induction empirique (type C), l'expérience mentale (type G), l'argument empirico-
déductif (type H), la déduction locale (type M) et l’enchaînement déductif (type N) (voir
la section 2.2).
47
4.2.1. Classification des questions
Nous associons à chaque item de TIMSS 2011 le niveau de raisonnement qui lui
correspond. Nous appliquons, par la suite, la même démarche à tous les questions et
exercices du manuel iranien de 8e année. Pour opérationnaliser cette classification, nous
avons élaboré deux procédures : la première est relative à la complexité des niveaux de
raisonnement exigés par une seule question; la seconde est relative au niveau du
raisonnement N (l’enchaînement déductif).
Première procédure
Parmi les questions géométriques analysées, il y a des questions qui n’appartiennent pas à
une seule catégorie. En fait, pour résoudre un problème en géométrie, l’élève doit
généralement combiner plusieurs stratégies qui peuvent interpeller différents niveaux de
raisonnement. On peut, dans ce sens, à l’instar de Tanguay (2002), attribuer à un problème
donné plusieurs niveaux de raisonnement nécessaires. Si dans les questions des deux
sources analysées (test et manuel), nous identifions plus qu’un niveau de raisonnement pour
une seule question, nous attribuons la question au niveau de raisonnement principal. Par
exemple, le symbole M(A) représente un problème qui exige principalement l’application
du niveau de raisonnement M (déduction locale), mais qui nécessite en même temps la mise
en œuvre du niveau de raisonnement A (application directe). Nous attribuons, dans ce cas,
le niveau de raisonnement M à ce problème lors de notre classification.
Deuxième procédure
Pour décrire le niveau de raisonnement de type N (enchainement déductif) exigé par les
questions, nous ajoutons un indice pour montrer le nombre minimal de déductions
demandées. Par exemple, N3 signifie qu’il faut appliquer trois déductions dans la chaîne
déductive demandée par la question. Mais, pour comparer le manuel et le test, nous nous
n’intéresserons pas au nombre des déductions nécessaires. Mentionner qu’une telle
question exige un enchaînement déductif nous sera suffisant.
48
4.2.2. Exemples de classification par rapport au niveau du raisonnement
Pour comprendre notre classification, nous présentons, pour chaque niveau de la grille de
Tanguay, un exemple qui illustre la démarche de la classification des questions selon le
niveau de raisonnement. Ces exemples sont tirés de TIMSS 2011, de l’article de Tanguay
(2002) ou du manuel de mathématiques de 8e année de l’Iran.
Exemple 1 : l’application directe (catégorie A)
Consigne : Déduis les mesures manquantes dans la figure ci-dessous. (Breton, 1994,
secondaire I, tome 2, p. 205, cité dans Tanguay, 2002, p. 382)
Exemple 2 : le jugement d’une seule venue (catégorie B)
Consigne : Le rayon du cercle ci-dessous mesure 2 cm. Remplissez les espaces vides en
utilisant les signes : >, =, <
ON…2 OP…2 OM…2
(Source : manuel scolaire de mathématiques de 8e année de l’Iran, p. 67).
Figure 7 : Exemple de l’application directe
Figure 8 : Exemple du jugement d’une seule venue
49
La résolution de ce problème passe par une comparaison visuelle de grandeurs de trois
segments [OM], [ON] et [OP]. Cette vérification est un jugement d’une seule venue.
Exemple 3 : l'induction empirique (catégorie C)
Dans cet exemple, l’auteur tente de faire comprendre à l’élève la relation de Pythagore à
partir des expériences empiriques. L’enseignant demande aux élèves de trouver une relation
entre l’aire de trois carrés tracés sur les trois côtés de chaque triangle rectangle (voir la
figure ci-dessus, Manuel scolaire de mathématique de l’Iran.8e année. p. 78)
Activité : Dans les sous-figures a, b, c et d (voir la figure 9 ci-dessus), nous avons tracé des
carrés sur les côtés du triangle rectangle. En supposant que chaque carré du papier quadrillé
représente l’unité de surface, compléter le tableau ci-dessous :
Figure 9 : Exemple de l'induction empirique
50
L’aire du carré
tracé sur AB
L’aire du carré
tracé sur AC
La somme des aires de
deux carrés tracés sur AB
et AC
L’aire du
carré tracé sur
BC
a 9 16 25 25
b
c
d
Tableau 11 : Exemple de l'induction empirique
Exemple 4 : l'expérience mentale (catégorie G)
Consigne : Les cubes de cette construction ont tous les mêmes dimensions. Combien de
cubes sont nécessaires pour remplir l’espace intérieur vide? (TIMSS 2011, question 10)
Solution Démarche de classification
D : V= 3× 2× 3=18 La résolution de ce problème est basée sur une expérience mentale afin
d’identifier la forme et les dimensions de l’espace vide. (G)
Tableau 12 : Exemple de l'expérience mentale
Figure 10 : Exemple de l'expérience mentale
51
Exemple 5 : l'argument empirico-déductif (catégorie H)
Consigne : L’angle au centre AOB est de 45 degrés. En utilisant cet angle, diviser la
circonférence du cercle en 8 parties égales. Est-ce que les points obtenus sur la
circonférence sont les sommets d’un octogone? (Manuel scolaire de mathématique de
l’Iran. 8e année. p. 76)
La résolution de ce problème commence par la division de la circonférence du cercle en 8
parties en reportant 6 fois l’angle de 45. Ensuite, en reliant par des segments les points sur
la circonférence, on obtient un polygone. Le nombre de côtés est 8, alors il s’agit de
l’octogone. La résolution de ce problème prend ainsi la forme d’une pensée discursive ou
bien d’un argument empirico-déductif.
Exemple 6 : la déduction locale (catégorie M)
Consigne : L’aire du carré est de 144 cm². Quel est son périmètre? (TIMSS 2011, question
9)
Figure 11 : Exemple de l'argument empirico-déductif
Figure 12 : Exemple de la déduction locale
52
Solution Démarche de classification
L’aire du carré est de 144 cm². Quel est son
périmètre?
1) 144= c²
2) 144= 12 =˃ c=12
3) P= 4× 12= 48
La solution repose sur une déduction locale. En
évoquant l’aire du carré, l’élève trouve la mesure d’un
côté du carré. Ensuite, en évoquant la formule de
périmètre du carré, l’élève trouve sa mesure. (MA)
Tableau 13 : Exemple de la déduction locale
Exemple 7 : l’enchaînement déductif (catégorie N)
Consigne : Dans ce triangle, AC=BC et AB est deux fois plus long que CX. Quelle est la
grandeur de l’angle B? (TIMSS 2011, question 2)
Solution Démarche de classification
1) ACBC =˃ Δ ABC est isocèle
2) AXXB
3) De 2CX=AB et de 2) =˃ CXXB
4) De 3) =˃Δ CXB est isocèle
5) De 4) =˃ BC
6) B = (180°-90°)/2=45°
La résolution de ce problème prend appui sur un
enchaînement déductif en 6 étapes. (N6)
Tableau 14 : Exemple de l’enchaînement déductif
Figure 13 : Exemple de l’enchaînement déductif
53
4.2.3. Classification des questions de TIMSS selon la grille de Tanguay
La classification des items de TIMSS 2011 selon les niveaux de raisonnement est une
numérisation de données hétérogènes à aspects variés. Le niveau accordé à chaque question
de TIMSS 2011 représente un symbole significatif qui la classifie en lui donnant une place
par rapport au niveau de sa complexité, voire le niveau de difficulté de la question. Dans le
tableau ci-dessous, nous présentons les résultats de l’analyse des questions de TIMSS 2011
selon la grille de Tanguay.
Question Niveau du raisonnement
1 Déduction locale (Application directe)
2 Enchaînement déductif (6 étapes)
3 Enchaînement déductif (2 étapes)
4 Déduction locale (Application directe)
5 Expérience mentale
6 Déduction locale (Application directe)
7 Expérience mentale
8 Déduction locale (Application directe)
9 Déduction locale (Application directe)
10 Expérience mentale
11 Déduction locale (Application directe)
12 Expérience mentale
13 Expérience mentale
14 Expérience mentale
15 Déduction locale
16 Enchaînement déductif (3 étapes)
17 Enchaînement déductif (2 étapes)
54
18 Expérience mentale
19 Enchaînement déductif (4 étapes, dessin-figure)
20 Déduction locale (Application directe)
Tableau 15 : Classification des items géométriques de TIMSS 2011 selon le niveau de raisonnement
L’analyse des questions de TIMSS 2011, nous a permis de les regrouper selon les
catégories de la grille de Tanguay afin de déterminer le nombre total de questions
appartenant aux différents niveaux du raisonnement (voir le tableau 16 ci-dessous). Dans le
cas où la question fait appel à plusieurs catégories, nous avons pris en compte la catégorie
qui correspond à la connaissance principale mobilisée par la question.
Catégorie Type de preuve Numéros des items Total des
items
A - A définition Application directe - 0
B Jugement d’une seule venue - 0
C Induction empirique - 0
G Expérience mentale 7-5-10-12-13-14-18 7
H Argument empirico-déductif - 0
M - MA Déduction locale 1-4-6-8-9-11-15-20 8
N x - N dessin-figure Enchaînement déductif 2-3-16-17-19 5
Tableau 16 : Classification des questions géométriques du TIMSS 2011 selon le niveau de raisonnement
Il ressort de cette classification que les items de TIMSS 2011 exigent des niveaux de
raisonnement assez élevés pour les résoudre : 35% des items se situent dans le quatrième
niveau de raisonnement (l’expérience mentale), 40% des questions nécessitent d’effectuer
la déduction locale et 25% des questions exigent des enchainements déductifs.
Le tableau ci-dessous résume le pourcentage des niveaux de raisonnement exigés par les
questions de TIMSS 2011:
55
Niveau de raisonnement A B C G H M N
Pourcentage 0% 0% 0% 35% 0% 40% 25%
Tableau 17 : Taux des niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011
La dominance de trois niveaux de raisonnement - la déduction locale, l’expérience mentale
et l’enchaînement déductif - dans les questions de TIMSS 2011 et l’absence totale de
questions situées dans les autres niveaux sont dues au contexte des examens dans lequel les
règles, les formules et les définitions ne sont pas à la disposition de l’élève. Il doit les
connaître afin de les évoquer et les utiliser de façon appropriée.
4.2.4. Classification de questions du manuel selon la grille de Tanguay
Afin de pouvoir comparer les manières de présenter les problèmes géométriques, nous
avons analysé tous les exercices et problèmes présents dans les deux chapitres alloués à la
géométrie dans le manuel iranien de 8e année.
Les auteurs des manuels mathématiques iraniens ont divisé les exercices et les problèmes
en cinq catégories, selon le fonctionnement et les objectifs d’apprentissage visés. Dans ce
qui suit, nous présentons brièvement ces catégories :
1- Activités collaboratives (AC) : l’objectif de ce type d’activité est de découvrir les
notions principales de la leçon. Les élèves répartis en groupes font des activités
exploratoires visant à les introduire au thème de la leçon.
2- Exercices pour la classe (EC) : ces problèmes se réalisent après la leçon en groupes
ou individuellement. Leur objectif est d’approfondir les connaissances apprises en
les mettant en application.
3- Problèmes maison (PM) : ce type de problèmes vise à intérioriser les notions dans
l’esprit de l’élève.
4- Résolutions de problèmes (RP) : la résolution de problème consiste en la
mobilisation des connaissances déjà enseignées dans des situations problèmes plus
56
complexes nécessitant des niveaux de raisonnement plus élevés. Ce type de
problèmes se fait individuellement par les élèves.
5- Exercices périodiques (EP) : ce sont les problèmes et exercices qui visent une
révision du contenu mathématique enseigné auparavant.
Dans le tableau suivant, nous décrivons le niveau de raisonnement attribué aux exercices
géométriques du manuel scolaire de mathématiques de 8e année en Iran. À titre d’exemple,
à la page 67 du manuel, il existe deux exercices de type Exercices pour la classe (EC). Le
premier se classifie dans le niveau B (jugement d’une seule venue); le deuxième dans le
niveau M (déduction locale).
Page Type
d’exercice
Numéro des exercices selon le niveau de raisonnement
A B C G H M N
Géométrie 1
67 EC - 1 - - - 2 -
68 AC - - 1 - - - -
69 EC 2 - 1 - - - -
70 EC 1 - - - - 2A, 3A -
71 AC - - - - - 1, 2 -
71 PM 1, 2(définition), 3(définition) 5 7 - - 6 4
72 AC - - 1 - - - -
73 EC 1 - - - - - -
73 AC 1,2 - 3 - - - -
74 EC 1 - - - - - -
75 EC 1, 2 - - - - 3
76 EC 1 - - - - 2 -
76 PM - - 4 - - 1, 2, 3, 5,6 7
57
78 AC - - 1 - - - -
80 EC 1, 2 - - - - - -
81 EC 1, 2, 3, 4, 6,7 - - - - 5,8 -
83 PM 1, 2 - - - - 3 -
84 RP - - - - - 1, 2, 3, 4, 5,6 -
86 AC 1 - - - - - -
88 PM 1, 2, 3 - - - - - -
90 EP 23, 24, 26,28 25,27
Géométrie 2
127 AC - - 1 - - - -
128 EC 3 1 - - - 2 -
129 EC 2, 3 - - - - 1 -
130 PM 1, 2, 3, 4, 5,6 - - - - - -
131 EC 1,2 - - - - - -
132 EC 1, 2, 3 - - - - - -
133 EC 1,2 - - - - - -
134 PM 1, 2, 3, 4, 5,6 - - - - - -
136 AC - - 1 - - - -
137 EC 1dessin-figure ,2 ,3 - - - - 4 -
138 PM 2, 3, 4, 5deffinition - - - - 1 -
140 EC - - - - - 1, 2, 3, 4, 5,6 1
141 EC 1, 3, 4 - - - - 2 -
142 PM 9, 11dessin-figure - - - - 1dessin-figurre, 2,3, 4,
5, 10
6,
7,8
146 EC 1 - - - - - -
147 EC 1, 2dessin-figure - - - - - -
58
148 EC 1, 2dessin-figure, 3dessin-figure - - - - - -
149 PM 1, 2dessin-figure, - 3 - - - -
149 RP - - - - - - 1
151 EP 23, 25, 26, 27, 28, 29,
33Dessin-figure
30dessin-figure, 31, 32, 24
Tableau 18 : Classification des questions géométriques du manuel iranien selon le niveau de raisonnement
Il ressort de ce tableau que sur 143 problèmes géométriques proposés aux élèves dans le
manuel, 79 problèmes exigent le niveau le plus simple du raisonnement (l’application
directe); 3 problèmes renvoient au deuxième niveau (le jugement d’une seule venue); 10
problèmes peuvent être associés au niveau de l’induction empirique; 44 problèmes exigent
des déductions locales et 8 problèmes se résolvent par des enchainements déductifs. Il n’y a
aucun problème qui revient principalement à l’expérience mentale ou à l’argument
empirico-déductif. Nous résumons cette analyse statistique dans le tableau suivant :
Niveau de raisonnement A B C G H M N
Pourcentage 55 % 2 % 7 % 0 % 0 % 31 % 6 %
Tableau 19 : Taux des niveaux de raisonnement dans le manuel scolaire
À partir de cette analyse, nous pouvons constater que les questions appartenant au premier
niveau de raisonnement dominent dans la répartition des questions. Les auteurs du manuel
scolaire mettent ainsi l’accent sur l’application directe des règles et des formules déjà
apprises, ce qui est tout à fait logique, car à la suite d’introduction des nouveaux concepts,
il faut les pratiquer. Au niveau du raisonnement déductif, c’est à la déduction locale que les
auteurs donnent la priorité (5 fois plus) par rapport à l’enchaînement déductif. Ce résultat
nous semble aussi logique, car avant de proposer les démonstrations qui se composent de
plusieurs pas de déduction, il faut pratiquer les déductions locales (énoncé géométrique
déduction). Cependant, l’absence (0%) de problèmes de niveaux G et H (expérience
mentale et argument empirico-déductif) et l’insuffisance (7%) des problèmes du niveau C
(induction empirique) nous semble catastrophique, car à partir de ces expériences l’élève
découvre les faits géométriques et les formules, développe la visualisation et crée les
59
images mentales des propriétés des figures. Il s’agit des capacités très importantes dans la
démarche de résolution de problèmes.
4.2.5. Comparaison des deux sources selon le niveau de raisonnement
En utilisant les données obtenues dans la section précédente, nous élaborons le tableau
suivant (tableau 20) pour comparer les questions de nos deux sources selon leurs niveaux
de raisonnement.
Niveau de raisonnement
Source analysée A B C G H M N
TIMSS 2011 0 % 0 % 0 % 35 % 0 % 40 % 25 %
Manuel iranien 55 % 2 % 7 % 0 % 0 % 31 % 6 %
Tableau 20: Niveaux de raisonnement dans TIMSS 2011 et dans le manuel iranien
La classification des problèmes géométriques du manuel scolaire et de TIMSS 2011 selon
le niveau de raisonnement, nous permet de constater la présence d’une dissimilitude claire
entre ces deux sources par rapport au niveau de raisonnement qu’elles exigent. Cette
dissimilitude se voit clairement aux niveaux A, B, C, G, M et N. Par rapport au niveau H, il
n’existe aucune question dans nos deux sources d’analyse.
Pour les trois premiers niveaux, la différence est explicable : le contexte de l’examen exclut
l’utilisation des documents informatifs avec la description des formules, des propriétés et
des règles et ne suppose pas la découverte des faits à partir du dessin.
Nous constatons aussi une absence d’exercices et de problèmes exigeant le niveau de
l’expérience mentale (G) dans le manuel scolaire iranien, ce niveau occupe d’ailleurs 35
% des questions de TIMSS 2011. Le niveau de l’enchaînement déductif (N) quant à lui
représente 25% des questions de TIMSS 2011, alors qu’il n’occupe que 6% des activités du
manuel scolaire. Les élèves iraniens auraient plus de difficultés pour résoudre les
problèmes qui exigent la mise en œuvre de ces niveaux de raisonnement.
60
Il ressort de cette comparaison que les élèves iraniens peuvent avoir des faiblesses au
niveau de l’expérience mentale (G) et de l’enchainement déductif (N). En fait, le manuel
ne présente pas suffisamment d’activités qui améliorent leurs niveaux de pensée visuelle et
imaginaire en proposant des problèmes qui se situent au niveau de l’induction empirique
(C – 7%), de l’argument empirico-déductif (H-0%) et de l’expérience mentale (G- 0%).
De plus, les activités de déduction qu’ils présentent restent souvent au niveau le plus bas et
le moins complexe, à savoir celui de la déduction locale (M). La déduction locale (M), on
le sait, nécessite un seul pas de raisonnement.
4.3. Interprétation
Nous avons identifié la présence d’une dissimilitude claire entre les contenus du manuel
scolaire iranien et les questions de TIMSS 2011 par rapport au niveau de raisonnement
qu’ils exigent. La théorie de Van-Heile, décrite dans la partie 2.4.2 de notre cadre
théorique, pourrait nous aider à mieux interpréter ces résultats.
Le tableau suivant montre l’écart entre la moyenne des élèves iraniens à chaque question de
TIMSS 2011 et la moyenne internationale. La première colonne correspond au numéro que
nous avons accordé à chaque question géométrique de TIMSS 2011. La deuxième colonne
indique l’écart entre la moyenne internationale et celle des élèves iraniens pour chaque
question. Finalement, la troisième colonne indique le niveau de raisonnement que nous
avons associé aux questions de TIMSS 2011 (voir la section 4.2.3).
Numéro
de la
question
Écart entre la moyenne
internationale et la
moyenne des élèves
iraniens
Niveau de
raisonnement
1 +2 M
2 -4 N
3 -4 N
4 -15 M
5 -11 G
61
6 -18 M
7 -15 G
8 -9 M
9 -7 M
10 -17 G
11 +1 M
12 -13 G
13 -11 G
14 +11 G
15 -108 M
16 -3 N
17 -12 N
18 -8 G
19 -7 N
20 -12 M
Tableau 21 : Écart entre la moyenne des élèves iraniens et la moyenne internationale
À partir des données présentées dans ce tableau, nous calculons les écarts moyens pour
chaque niveau de raisonnement.
Niveau de raisonnement A B C G H M N
Écart moyen - - - -9.14 - -8.50 -6
Tableau 22 : Écart moyen pour chaque niveau de raisonnement
8 Cette question se constitue de trois sous-questions. L’écart moyen de cette question est la moyenne des
écarts moyens de ces trois sous-questions.
62
Pour trouver les raisons probables du rendement faible des élèves iraniens aux niveaux G,
M et N, nous nous référons aux résultats de notre analyse de manuels et de TIMSS 2011,
qui présentent les parts consacrées à chaque niveau de raisonnement dans ces deux sources
(voir le tableau 23).
Niveau de raisonnement
Source analysée A B C G H M N
Manuel iranien 55 % 2 % 7 % 0 % 0 % 31 % 6 %
TIMSS 2011 0 % 0 % 0 % 35 % 0 % 40% 25 %
Écart 55% 2% 7% -35% 0% -9% -19%
Tableau 23 : Écarts entre les parts consacrées à chaque niveau de raisonnement dans TIMSS 2011 et le manuel
Le premier résultat qui découle de la comparaison des tableaux 22 et 23, c’est la possibilité
d’un rapport de causalité entre le rendement faible des élèves iraniens aux questions qui se
situent au niveaux G, M et N et la présence de ces niveaux dans les activités du manuel
iranien. Effectivement, dans le manuel iranien, il y a un manque important de 35% des
exercices liés au niveau de raisonnement G (l’expérience mentale), un manque qui
correspond à un écart moyen négatif de -9,14 dans les résultats des élèves iraniens. De
même, le manque relatif -9% des exercices au niveau de la déduction locale correspond à
un rendement négatif égal à -8.50 pour les élèves iraniens. Finalement, le manque des
exercices au niveau de l’enchainement déductif (-19%) correspond à un écart moyen
négatif égal à -6.
Selon la théorie de la pensée géométrique de Van-Heile (voir la section 2.4), le manque
d’activités d’apprentissage liées à un niveau de pensée inférieur peut avoir un effet négatif
sur le développement des niveaux supérieurs et abstraits de la pensée géométrique des
élèves. Dans cette perspective, nous pouvons supposer que le manque d’activités dans le
manuel scolaire iranien de 8e année, au niveau de l’expérience mentale, affecterait
négativement le développement de la capacité visuelle et imaginaire des élèves qui
trouveraient beaucoup de difficulté à résoudre les problèmes qui nécessitent l’application
des niveaux de raisonnement plus haut comme la déduction locale et l’enchainement
63
déductif. À titre d’exemple, les résultats des élèves aux questions 4, 6, 15, 17 et 20 de
TIMSS 2011 qui nécessitent, en plus de la déduction locale (M) ou de l’enchaînement
déductif (N), la visualisation et l’imagination sont parmi les plus faibles.
Bref, le manque dans le manuel de 8e année de connaissances et d’activités nécessaires à la
réussite au TIMSS 2011 peut être parmi les causes importantes du faible rendement des
élèves iraniens. Les résultats des élèves au niveau de l’enchaînement déductif (N), même
s’ils sont plus au moins élevés par rapport aux autres niveaux, restent loin de la moyenne
internationale. À l’instar de Van-Heile (1959), nous pensons que si les élèves ont obtenu de
faibles résultats au niveau de la déduction locale, ces élèves ne pourraient pas être plus forts
à des niveaux de raisonnement plus complexe. Donc, d’après les résultats que nous avons
obtenus, nous pouvons supposer que le manuel scolaire est l’une des causes probables des
problèmes rencontrés par les élèves iraniens au TIMSS 2011.
64
Conclusion
En guise de conclusion, nous reprendrons en premier lieu nos objectifs de recherche en
soulignant les principales étapes de notre démarche méthodologique et nous résumerons les
résultats obtenus. En second lieu, nous préciserons les apports et les limites de notre
recherche et terminerons par une ouverture sur les suites qui pourraient lui être données.
Objectifs et résultats de la recherche
Les résultats relativement faibles des élèves iraniens aux TIMSS 2011 par rapport aux
résultats internationaux ont constitué l’élément déclencheur de notre recherche. Nous avons
montré que plusieurs facteurs liés au contexte de l’école peuvent influencer le rendement
scolaire des élèves. Parmi ces facteurs, nous avons analysé le rôle du manuel scolaire. Nous
avons considéré le manuel scolaire comme une source éducative commune pour tous les
élèves. Laquelle, selon une grande partie des didacticiens, a des effets importants sur la
manière d’enseigner et par conséquent sur le rendement scolaire des élèves. La question
principale qui a donc orienté et guidé notre recherche était de savoir si les contenus
géométriques du manuel scolaire de 8e année de l’Iran correspondent aux exigences de
TIMSS 2011, et ce, dans le but de comprendre le faible rendement des élèves iraniens au
TIMSS 2011.
Dans cette perspective nous avons analysé le contenu géométrique du manuel scolaire
iranien selon trois aspects :
- La présence des connaissances nécessaires à la réussite au TIMSS 2011 dans le
manuel;
- La manière de présenter ces connaissances;
- La correspondance entre ces deux sources (manuel et TIMSS 2011) au niveau de
difficulté des activités géométriques données aux élèves.
Lors de notre démarche méthodologique, nous avons recueilli une quantité importante de
données. Tout d’abord, nous avons analysé 20 questions géométriques de TIMSS 2011 et
avons identifié et décrit les connaissances géométriques exigées par ces questions. Ensuite,
65
au moyen de la grille d’analyse (Tanguay, 2002), nous avons classifié les problèmes
géométriques selon leurs niveaux de raisonnement. Nous avons analysé tous les contenus
géométriques du manuel de 8e année de l’Iran afin de vérifier si les connaissances
nécessaires pour résoudre les 20 problèmes de TIMSS 2011 y sont présentes ou non, et si
oui, de quelle manière (explicite ou implicite). À travers l’analyse de cette ressource
pédagogique, nous avons étudié 143 problèmes géométriques afin de les classifier selon la
même grille.
Cette démarche nous a permis de comparer le domaine de la géométrie du manuel scolaire
de 8e année avec le test du TIMSS 2011 selon la présence des connaissances, la manière de
cette présence et les niveaux de raisonnements. Nous avons obtenu quatre résultats :
1) Le manuel de 8e année présente 18% des connaissances nécessaires pour répondre
aux questions de TIMSS 2011. Nous considérons cela comme le point faible de la
partie géométrique du manuel mathématique de 8e année en Iran. Cette
insuffisance peut être l’une des causes des résultats faibles des élèves iraniens.
2) 27 % de connaissances nécessaires à TIMSS 2011 sont présentes implicitement
dans le manuel de 8e année. Ce qui est selon Gauthier et coll. (2013) moins
efficace pour atteindre de meilleurs résultats pour l'enseignement des
mathématiques.
3) 9 % des connaissances nécessaires à la réussite au TIMSS 2011 ne sont jamais
présentées ni dans le manuel de 8e année ni dans les manuels des années
antérieures.
4) Alors que 35% de problèmes de TIMSS 2011 se situent dans le domaine des
expériences mentales de raisonnement, il n’y a aucun problème qui correspond à
ce niveau dans le manuel.
Il ressort de ces résultats que les objectifs poursuivis par les concepteurs de la partie
géométrique du manuel scolaire de 8e année en Iran ne sont pas identiques à ceux des
concepteurs de la partie géométrique du TIMSS 2011. Les activités du manuel ne suivent
pas non plus la démarche d’apprentissage proposée par Van-Hiele (voir la section 2.4.2).
66
Ces résultats peuvent, selon nous, expliquer le faible rendement des élèves à ce test.
Limites de la recherche
L’examen de la validité et du potentiel de transfert des résultats obtenus dans notre
recherche peut susciter quelques interrogations. En fait, comme toute recherche
scientifique, le présent travail a ses propres limites, car nous avons rencontré plusieurs
contraintes lors de la réalisation de notre projet. Nous en évoquons deux.
La première contrainte est liée au temps de la recherche, car notre projet de maîtrise est
d’une durée de deux ans. En effet, nous n’avons analysé qu’un seul facteur qui peut être à
la source du faible rendement des élèves iraniens au TIMSS 2011, le manuel scolaire. Les
résultats obtenus dans notre recherche s’avèrent donc insuffisants pour déterminer la cause
principale de ce rendement. Pourtant, cela est possible en prenant en considération le rôle
important des activités du manuel scolaire dans le processus de l’apprentissage des élèves.
En plus, nous avons analysé seulement les questions appartenant à un seul domaine
mathématique : le domaine de la géométrie. Et enfin, nous n’avons pas pu présenter de
façon détaillée l’analyse des questions, des problèmes et des situations des manuels, et ce,
pour les raisons suivantes:
- l’analyse a pris énormément du temps, car nous étions obligés d’analyser aussi les
activités présentes dans les manuels de 3-7 années et
- la difficulté de présenter tous les extraits de ces manuels en raison de leur nombre et
de leur traduction en français.
Pour cela, nous avons décidé de présenter seulement les résultats de nos analyses.
La seconde contrainte est relative à l’accès limité aux questions et aux problèmes de
TIMSS 2011, car nous n’avons travaillé que sur les 20 questions publiées par IEA.
D’ailleurs, nous supposons qu’il peut y avoir un ensemble de questions dans TIMSS 2011
que nous n’avons pas analysées et qui peuvent diminuer ou augmenter l’écart que nous
avons mesuré entre les niveaux de raisonnement exigés par les questions du manuel iranien
et par celles de TIMSS 2011.
67
Apports et perspectives de la recherche
En nous nous intéressant au rendement des élèves iraniens à un test international et en
cherchant les causes probables de leurs faiblesses en géométrie, nous avons mené une
recherche comparant les contenus du test avec ceux du manuel iranien. Identifiant plusieurs
dissimilitudes entre ces contenus, nous suggérons qu’il faudrait effectuer des changements
au niveau de la répartition des contenus du manuel de mathématiques iranien, ainsi qu’au
niveau de leur présentation. La méthode explicite pour présenter ces contenus dans le
manuel, ainsi que la présence des étapes importantes d’apprentissage et leur progression
pourront participer à l’amélioration des résultats des élèves iraniens au niveau international.
Grâce à ce type de recherche, nous pouvons imaginer un manuel scolaire qui respecte fort
les critères internationaux, et ce afin de bonifier les résultats des élèves aux TIMSS.
Des recherches supplémentaires et plus approfondies portant sur les contenus des autres
domaines mathématiques (nombres, algèbre, probabilités et statistique) peuvent compléter
cette étude. En fait, si l’utilisation de la grille de Tanguay pour comparer les contenus
géométriques de deux sources nous a été très utile dans notre démarche, nous imaginons
que l’élaboration et l’utilisation d’autres grilles d’analyse propres aux autres domaines
pourraient constituer une méthode scientifique valable pour évaluer le degré de
compatibilité des manuels de mathématiques avec les standards internationaux de
l’enseignement des mathématiques.
68
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73
Annexes
Annexe 1. Écart entre le taux international de réussite et celui des élèves iraniens aux items
du TIMSS
Nu
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r
l’Ir
an
Éca
rt
Domaines
mathématiques
(N: Nombres, PS:
Probabilités et
statistique, A:
Algèbre, G :
Géométrie)
1. M032166 M01_01 57% 39% -18% N
2. M032721 M01_02 40% 32% -8% PS
3. M032757 M01_03 60% 60% 0 A
4. M032760A M01_04A 31% 24% -7% A
5. M032760B M01_04B 20% 15% -5% A
6. M032760C M01_04C 15% 7% -8% A
7. M032761 M01_05 20% 9% -11% A
8. M032692 M01_06 25% 27% +2% G
9. M032626 M01_07 49% 43% -6% N
10. M032595 M01_08 49% 40% -9% N
11. M032673 M01_09 47% 36% -11% A
12. M052216 M02_01 68% 38% -30% N
13. M052231 M02_02 72% 42% -30% N
14. M052061 M02_03 41% 22% -19% N
74
15. M052228 M02_04 37% 27% -10% N
16. M052214 M02_05 41% 39% -2% N
17. M052173 M02_06 16% 10% -6% A
18. M052302 M02_07 71% 51% -20% A
19. M052002 M02_08 16% 4% -12% A
20. M052362 M02_09 41% 37% -4% G
21. M052408 M02_10 33% 29% -4% G
22. M052084 M02_11 47% 35% -12% G
23. M052206 M02_12 25% 14% -11% G
24. M052429 M02_13 45% 35% -10% PS
25. M052503A M02_14A 21% 14% -7% PS
26. M052503B M02_14B 17% 6% -11% PS
27. M042032 M03_01 70% 58% -12% N
28. M042031 M03_02 50% 35% -15% N
29. M042186 M03_03 42% 24% -18% N
30. M042059 M03_04 55% 37% -18% N
31. M042236 M03_05 56% 41% -15% A
32. M042226 M03_06 44% 27% -17% A
33. M042103 M03_07 17% 0% -17% A
75
34. M042086 M03_08 32% 13% -19% A
35. M042228 M03_09 35% 27% -8% A
36. M042245 M03_10 26% 20% -6% A
37. M042270 M03_11 48% 30% -18% G
38. M042201 M03_12 43% 28% -15% G
39. M042152 M03_13 45% 36% -9% G
40. M042269 M03_14 58% 65% +7% PS
41. M042179 M03_15 54% 40% -14% PS
42. M042177 M03_16 54% 41% -13% PS
43. M042207 M03_17 53% 26% -27% PS
44. M032094 M05_01 62% 50% -12% N
45. M032662 M05_02 23% 16% -7% N
46. M032064 M05_03 27% 17% -10% N
47. M032419 M05_04 44% 33% -11% A
48. M032477 M05_05 46% 31% -15% A
49. M032538 M05_06 43% 22% -21% A
50. M032324 M05_07 39% 30% -9% G
51. M032116 M05_08 45% 38% -7% G
52. M032100 M05_09 47% 30% -17% G
76
53. M032402 M05_10 51% 52% +1% G
54. M032734 M05_11 58% 45% -13% G
55. M032397 M05_12 43% 32% -11% G
56. M032695 M05_13 57% 39% -18% PS
57. M032132 M05_14 48% 40% -8% PS
58. M042041 M06_01 70% 72% +2% N
59. M042024 M06_02 54% 22% -32% N
60. M042016 M06_03 51% 45% -6% N
61. M042002 M06_04 28% 22% -6% N
62. M042198A M06_05A 70% 68% -2% A
63. M042198B M06_05B 41% 34% -7% A
64. M042198C M06_05C 18% 11% -7% A
65. M042077 M06_06 51% 36% -15% A
66. M042235 M06_07 50% 35% -15% A
67. M042067 M06_08 40% 33% -7% A
68. M042150 M06_09 41% 52% +11% G
69. M042300A M06_10A 46% 37% -9% G
70. M042300B M06_10B 36% 25% -11% G
71. M042300Z M06_10Z 31% 21% -10% G
77
72. M042260 M06_11 64% 53% -11% PS
73. M042169A M06_12A 43% 41% -2% PS
74. M042169B M06_12B 29% 7% -22% PS
75. M042169C M06_12C 13% 2% -11% PS
76. M032352 M07_01 60% 51% -9% A
77. M032725 M07_02 25% 5% -20% N
78. M032683 M07_03 24% 11% -13% A
79. M032738 M07_04 65% 55% -10% A
80. M032295 M07_05 73% 62% -11% A
81. M032331 M07_06 29% 26% -3% G
82. M032623 M07_07 36% 24% -12% G
83. M032679 M07_08 52% 44% -8% G
84. M032047 M07_09 52% 49% -3% A
85. M032398 M07_10 46% 39% -7% G
86. M032507 M07_11 31% 24% -7% PS
87. M032424 M07_12 47% 37% -10% A
88. M032681A M07_13A 60% 44% -16% PS
89. M032681B M07_13B 29% 23% -6% PS
90. M032681C M07_13C 34% 12% -22% PS
78
Annexe 2 : Questions de TIMSS 2011
Question 1 : Quelle est la somme des angles intérieurs du pentagone ABCDE?
Solution Connaissances visées
3 x180=540
angles intérieurs du triangle =180
ou
angles intérieurs du polygone = (n-2) x 180
79
Question 2 : Dans ce triangle, AC=BC et AB est deux fois plus long que CX. Quelle est la grandeur
de l’angle B?
Solution Connaissances visées 1) ACBC =˃ Δ ABC est isocèle
2) AXXB
3) De 2CX=AB et de 2) =˃
CXXB
4) De 3) =˃Δ CXB est isocèle
5) De 4) =˃ BC
6) B = (180°-90°)/2=45°
Δ ayant 2 côtés est isocèle
la hauteur du Δ isocèle est une médiane (divise la base en 2 parties
égales)
transitivité
Δ ayant 2 côtés est isocèle
Δ isocèle possède 2 angles
angles intérieurs du triangle =180
80
Question 3 : Les droites m et n sont parallèles. Combien mesure l’angle b?
Solution Connaissances visées
1) A = 60°
2) B = 180°- (60° + 70°) =50°
Angles correspondants (deux droites (M, N) // coupées par une
sécante (B)) sont
angles intérieurs du triangle =180
81
Question 4 : Le volume de la boîte rectangulaire est 200 cm³. Combien mesure x?
Solution Connaissances visées
1) 200=X×4×5
2) X=200/20=10
Volume= hauteur × longueur × largeur
82
Question 5 : Ryan range des livres dans une boite rectangulaire. Tous les livres sont de
mêmes dimensions. Quel nombre maximal de livres peut-on mettre dans cette boite?
Solution Connaissances visées
30/15=2, 36/6= 6
2x6=12 (livres)
Visualisation spatiale (effectuer les mouvements mentaux) et comparaison des
espaces vides de chaque cas.
1) Vérifier toutes les manières possibles afin de trouver celle qui donne le
meilleur résultat (avoir le minimum d’espace vide dans la boîte).
Ou
1) Comparer et associer les dimensions du livre à celles de la boîte
6-15-20 à 20-30-36 (2020, 1530, 636)
2) trouver le rapport
30/15=2, 36/6 = 6 2x6= 12 (livres)
Opérations arithmétiques (soit la multiplication, soit la division)
83
Question 6 : Chaque carré est de 1 cm côté. Trace un triangle isocèle dont la base est de 4
cm et la hauteur est de 5 cm.
Solution Connaissances visées
- la hauteur du Δ isocèle est une médiane (divise la base en deux parties
congrues).
- démarche de construction (procédés et emploi des outils : règle,
équerre) :
1) Tracer le segment (la base du triangle) de 4 cm.
2) Diviser la base en 2 (trouver le milieu du segment)
3) Élever la de 5 cm en ce milieu (la hauteur du triangle)
4) Relier les extrémités des segments (tracer 2 autres côtes du triangle).
84
Question 7: Laquelle de ces images correspond à la rotation d’une image initiale à un
demi-tour autour du point O?
Solution Connaissances visées
D
- demi-tour = 180°
- Rotation d’une figure à 180° vers la droite autour du centre O
- Reconnaissance visuelle du mouvement circulaire
Sinon, effectuer la démarche de construction d’une figure image
1) Choisir quelques points sur l’image originale.
2) Effectuer une rotation de ces points à 180° vers la droite autour du centre O (à l’aide du
compas tracer les arcs passant par ces points, rapporter un angle de 180 °
3) Relier les points obtenus pour obtenir la figure image.
85
Question 8: Les points A, B et C sont alignés et le B est entre A et C. Si AB=10 cm et
BC=5.2 cm, quelle est la distance entre les milieux de segments AB et BC?
Solution Connaissances visées
10/2= 5, 5.2/2 = 2.6
5+2.6=7.6 cm
- le concept du segment (partie de la droite)
- le concept du milieu (point qui divise le segment en 2
parties congrues).
86
Question 9: L’aire du carré est de 144 cm². Quel est son périmètre?
Solution Connaissances visées
1) 144= c²
2) 144= 12 =˃ c=12
3) c = 4× 12= 48
Aire de carré = (la mesure du côté) ² ou A= c²
- P=4 x c
87
Question 10: Tous les cubes de cette construction est de mêmes dimensions. Combien de
cubes sont nécessaires pour remplir l’espace intérieur vide?
Solution Connaissances visées
D : V= 3× 2× 3=18 Reconnaître la forme (prisme à base rectangulaire)
et les dimensions de la forme correspondant au
trou. L=3, l=2, h=3
Volume= Longueur × Largeur× Hauteur
88
Question 11: Quelle expression algébrique prouve que le triangle PQR est un triangle
rectangle?
Solution Connaissances visées
A : 3²+4²=5² Reconnaître dans l’expression algébrique la relation
de Pythagore : a²+b²=c²
89
Question 12: La forme représentée ci-dessus est découpée dans du carton. Les volets
triangulaires sont ensuite repliés vers le haut le long des pointillés jusqu'à ce qu'ils
touchent les bords de deux triangles voisins. Complétez le dessin ci-dessous pour montrer
la figure représentant la vue de haut de la forme.
Solution Connaissances visées
- Reconnaître le développement de la pyramide
- Évoquer et représenter graphiquement la vue de
haut
90
Question 13: Lesquelles de ces transformations, prises dans l’ordre, peuvent être utilisées
pour que la Figure 1 devienne la Figure 2 et ensuite la Figure 3 ?
Solution Connaissances visées
B : réflexion et rotation de ¼ de tour
a) Réflexion
b) rotation de 90° (1/4 tour) vers la
droite
Reconnaissance d’une transformation dans la
représentation de deux figures (initiale et son image)
Réflexion selon un axe de symétrie.
Rotation d’une figure à ¼ de tour
91
Question 14: Quelle figure possède un axe de symétrie ?
Solution Connaissances visées
La figure B
L’axe de symétrie divise la figure en deux
parties congruentes superposables par pliage.
92
Question 15: Dans ce système de coordonnées, la position du point P est décrite par sa
distance à l’origine O et l’angle au centre entre OA et OP (sens antihoraire). Les
coordonnées du point P est (5, 340°).A : Sur le graphique ci-dessus, indique les points B (3,
30°) et C (4, 120°).B : Trace l’angle BOC. Quelle est sa mesure?
93
Solution Connaissances visées
9x10° = 90°
ou
120°-30° = 90°
Langage : système de coordonnées, origine
Repérage dans le plan (système de
coordonnées polaires)
- Axe d’abscisse (A)
- Mesure d’angle d’un secteur (10°)
- Report des unités
- Tracer un angle
- Trouver la mesure d’un angle au centre
(multiplication nb.de secteurs x (10°) (ou
dénombrement)
94
Question 16: Combien de degrés de rotation fait l’aiguille de minutes d’une horloge pour
passer de 6h20 a.m. à 8h a.m. dans la même journée?
Solution Connaissances visées
1) 360°÷12=30°
2) 8x 30°= 240° (ou 360°-120°=240° ou
180°+30°+30°=240°)
3) 240° + 360°= 600°
- représentation graphique de la situation
- tour complet = 360°
- Associer 5 min à 30° (trouver la mesure de
degrés entre 2 chiffres consécutifs sur
l’horloge).
- Associer la période entre 4 et 12 au nombre de
degrés
- Effectuer les opérations arithmétiques (division,
soustraction, addition)
95
Question 17: Quelle est l’aire de la région noire en cm² ?
Solution Connaissances visées
1) A1=6×16= 96
2) 𝐴2 =6×8
2= 24
3) A3= 96-24=72
ou
1)16-8=8
2) 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒 =16+8
2× 6 =
72
- Visualiser la partie noire comme la différence entre le rectangle et
le triangle
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 × 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟
𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝛥 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 =1
2 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑐ô𝑡é
ou
- reconnaître le trapèze
- reconnaître la petite base comme différence entre la longueur du
rectangle et la base du triangle
- 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑎𝑝è𝑧𝑒 =B×b
2× ℎ
96
Question 18 : Une feuille de papier de forme rectangulaire est pliée en deux comme la
montre la figure ci-dessus. Elle a ensuite découpé le long de la ligne pointillée, et la petite
pièce qui est coupée est ouverte. Quelle est la forme de la figure découpée?
Solution Connaissances visées
A : (Triangle isocèle)
-Visualisation du mouvement de retournement (réflexion, pli=axe)
-Association : pli=h
- reconnaissance de la figure obtenue par pliage (triangle rectangle)
- Évocation (visualisation) du triangle isocèle
- Choix de propriétés de Δ isocèle :
- deux côtés congrus
- h ( à la base)
- h- médiane (divise la base en deux)
97
Question 19: Combien mesure X ?
Solution Connaissances visées
1) Y= 180° – (65°+45°) = 70°
2) W= 180° - 70° = 110°
3) Z= 180° - (110°+30°) = 40°
4) X= Z => X = 40°
-Indiquer les sommets de triangles par
des lettres
- Reconnaître un Δ ABC (figure simple
dans une figure complexe)
∑ intérieures de Δ = 180°
Mesure d’angle plat = 180°
Deux angles opposés par le sommet sont
égaux.
98
Question 20 : Le périmètre du carré est de 36 cm². Quelle est son aire?
Solution Connaissances visées
1) A= 4× c =>
36 = 4×c =< c = 9
2) A = c² = >A = 92 = 81
Aire de carré = (la mesure du côté) ² ou A= c²
Périmètre de carré = coté×4
99
Annexe 3. Analyse des contenus mathématiques visés pour la 8e année en Iran
1. Arithmétique (35 pages)
1.1. Ensemble de nombres naturels : 13 pages
1.2. Racine carrée : 6 pages
1.3. Nombres entiers : 7 pages
1.4. Nombres rationnels : 9 pages
2. Coordonnées et l'algèbre (26 pages)
2.1. Vecteur : 11 pages
2.2. Algèbre : 9 pages
2.3. Équation : 6 pages
3. Géométrie 1 (22 pages)
3.1. Angle et le cercle : 11 pages
3.2. Relation de Pythagore : 7 pages
3.3. Rotation : 4 pages
4. Ensemble des nombres réels et statistiques (10 pages)
4.1. Ensemble des nombres réels : 5 pages
4.2. Statistiques : 5 pages
5. Équations linéaires (20 pages)
5.1. Équation linéaire : 17 pages
5.2. Système d'équations linéaires : 3 pages
6. Géométrie 2 (23 pages)
6.1. Lignes parallèles et théorème de Thalès : 8 pages
6.2. Similitude : 10 pages
6.3. Volume : 5 pages
100
Annexe 4. Analyse des questions de TIMSS selon le niveau de raisonnement
Question et solution Figure Niveau de raisonnement
(justification)
Question 1: Quelle est la somme des
angles intérieurs du pentagone ABCDE?
3 x180=540
La solution est basée sur l’évocation
et l’application de la formule soit
- de la somme des angles
intérieurs du pentagone (=
(5-2) ×180,
- de la somme des angles
intérieurs du triangle et de
leur addition (ou
multiplication par 3, nb. de
triangles)
M – déduction locale
101
Question 2 : Dans ce triangle, AC=BC
et AB est deux fois plus long que CX.
Quelle est la grandeur de l’angle B?
1) ACBC =˃ Δ ABC est isocèle
2) AXXB
3) De 2CX=AB et de 2) =˃ CXXB
4) De 3) =˃Δ CXB est isocèle
5) De 4) =˃ BC
6) B = (180°-90°)/2=45°
La résolution de ce problème prend
appui sur l’enchaînement déductif de
6 étapes.
N6
Question 3 : Les droites m et n sont
parallèles. Combien mesure l’angle
b?
1) A = 60°
2) B = 180°- (60° + 70°) =50°
La résolution de ce problème est basée
sur un enchaînement déductif de 2
étapes.
N2
102
Question 4 : Le volume de la boîte
rectangulaire est 200 cm³. Combien
mesure x?
1) 200=X×4×5
2) 200=X×20 =˃X=200/20=10
La résolution de ce problème est basée
sur l’évocation et l’utilisation d’une
formule : celui de volume d’un cube.
M
Question 5 : Ryan range des livres
dans une boite rectangulaire. Tous
les livres sont de mêmes dimensions.
Quel est le nombre maximal de livres
peut-on mettre dans cette boite?
30/15=2, 36/6= 6 2x6=12 (livres)
La résolution de ce problème est basée
sur les expériences mentales afin de
trouver le modèle qui peut être servi
pour la résolution. Ce n’est pas un
argument empirique déductif, car le
raisonnement de ce problème est basé
sur le sensible.
G
103
Question 6 : Chaque carré est de 1
cm côté. Trace un triangle isocèle
dont la base est de 4 cm et la hauteur
est de 5 cm.
La résolution de ce problème est basée
sur la propriété du triangle isocèle : la
hauteur est la médiane du triangle
M
Question 7: Laquelle de ces images
correspond à la rotation d’une image
initiale à un demi-tour autour du
point O?
D
La résolution de ce problème est basée
sur une expérience mentale ou bien
une visualisation.
G
104
Question 8: Les points A, B et C sont
alignés et le B est entre A et C. Si
AB=10 cm et BC=5.2 cm, quelle est
la distance entre les milieux de
segments AB et BC?
10/2= 5, 5.2/2 = 2.6
5+2.6=7.6 cm
La résolution de ce problème est basée
sur une déduction locale à partir de
laquelle élève obtient les mesures de
deux parties du segment prévu, ensuit
il applique une addition pour trouver
la mesure totale du segment.
MA
Question 9: L’aire du carré est de
144 cm². Quel est son périmètre?
1) 144= c²
2) 144= 12 =˃ c=12
3) P= 4× 12= 48
La solution repose sur une déduction
locale. L’élève en sachant l’aire du
carré, déduit la mesure d’un côté du
carré, et cela lui permettra d’appliquer
la formule de périmètre du carré.
MA
105
Question 10: Tous les cubes de cette
construction sont de mêmes
dimensions. Combien de cubes sont
nécessaires pour remplir l’espace
intérieur vide?
D : V= 3× 2× 3=18
La résolution de ce problème est basée
sur une expérience mentale afin
d’imaginer les dimensions d’espace
vide.
G
Question 11: Quelle expression
algébrique prouve que le triangle
PQR est un triangle rectangle?
A : 3²+4²=5²
La résolution de ce problème est basée
sur évocation et application de la
formule de Pythagore.
M
106
Question 12: La forme représentée
ci-dessus est découpée dans du
carton. Les volets triangulaires sont
ensuite repliés vers le haut le long
des pointillés jusqu'à ce qu'ils
touchent les bords de deux triangles
voisins. Complétez le dessin ci-
dessous pour montrer la figure
représentant la vue de haut de la
forme.
La résolution de ce problème est basée
sur une expérience mentale ou bien
une visualisation.
G
Question 13: Lesquelles de transformations,
prises dans l’ordre, peuvent être utilisées
pour que la Figure 1 devienne la Figure 2 et
ensuite la Figure 3 ?
B : réflexion et rotation de ¼ de tour
a) réflexion
b) rotation de 90° (1/4 tour) vers la
droite
La résolution de ce problème est basée
sur la reconnaissance du mouvement
effectué par chacune des
transformations géométriques
(translation – glissement, réflexion –
retournement, rotation – pivotement),
de leur reconnaissance dans la
représentation de trois figures et dans
la sélection d’une description
appropriée (parmi 4 descriptions
données)
G
107
Question 14: Quelle figure possède
un axe de symétrie ?
La figure B
La résolution de ce problème est basée
sur une expérience mentale de la part
d’élève pour un raisonnement visuel.
G
108
Question 15: Dans ce système de
coordonnées, la position du point P est
décrite par sa distance à l’origine O et
l’angle au centre entre OA et OP (sens
antihoraire). Les coordonnées du point P
est (5, 340°).
A : Sur le graphique ci-dessus, indique
les points B (3, 30°) et C (4, 120°).B :
Trace l’angle BOC. Quelle est sa
mesure?
9x10° = 90°
ou
120°-30° = 90°
La solution repose sur évocation des
connaissances et une déduction locale.
M
109
Question 16:Combien de degrés de
rotation fait l’aiguille de minutes
d’une horloge pour passer de 6h20
a.m. à 8h a.m. dans la même
journée?
1) 360°÷12=30°
2) 8x 30°= 240° (ou 360°-120°=240° ou
180°+30°+30°=240°)
3) 240° + 360°= 600°
La résolution de ce problème est basée
sur une chaine déductive de 3 étapes.
N3
110
Question 17:Quelle est l’aire de la
région noire en cm² ?
1) 𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒=6×16= 96
2) 𝐴𝐵𝑙𝑎𝑛𝑐 =6×8
2= 24
3) 𝐴𝑁𝑜𝑖𝑟 = 96-24=72
ou
1)16-8=8
2) 𝐴𝑁𝑜𝑖𝑟 =16+8
2× 6 = 72
La résolution de ce problème est basée
sur un enchainement déductif de 2
étapes.
N2
Question 18 : Une feuille de papier
de forme rectangulaire est pliée en
deux comme la montre la figure ci-
dessus. Elle a ensuite découpé le long
de la ligne pointillée, et la petite
pièce qui est coupée est ouverte.
Quelle est la forme de la figure
découpée?
A : (Triangle isocèle)
La résolution de ce problème est basée
sur une expérience mentale ou
autrement dit un raisonnement visuel.
G
111
Question 19: Combien mesure X?
1) Y= 180° – (65°+45°) = 70°
2) W= 180° - 70° = 110°
3) Z= 180° - (110°+30°) = 40°
4) X= Z => X = 40°
La résolution de ce problème est basée
sur un enchainement déductif. Dans ce
problème la figure donnée a un
élément déstabilisateur qui pourrait
causer un problème surajouté. En fait,
la position des triangles dans ce
schéma est dans la sorte que l’élève
pourrait avoir des difficultés en
distinguant le triangle dont les deux
angles sont donnés. Cela ne lui
permettra pas de commencer
l’enchainement déductif approprié.
N4 dessin-figure
Question 20 : Le périmètre du carré
est de 36 cm². Quelle est son aire?
1) A= 4× c =>
36 = 4×c =< c = 9
2) A = c² = >A = 92 = 81
La solution repose sur une déduction
locale. L’élève en sachant le périmètre
du carré, déduit la mesure d’un côté
du carré, et cela lui permettra
d’appliquer la formule de l’aire du
carré.
MA
