DISTRIBUTIONS TEMPS-FRÉQUENCE

J.P. Ovarlez

ONERA DEMR/TSI, BP72, 92322 Châtillon, France

Stage ELS 043 : Les Ondelettes : Theorie, Pratique et Applications

Table des matières

1 INTRODUCTION 71.1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Limitations de la transformation de Fourier - Inégalités d’Heisenberg . . . . . . . 9

1.3 La transformée de Fourier à court terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Interprétation avec les bancs de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Limitations de la transformation de Fourier à court terme . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 La transformée en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Liens de l’échelle et de la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Propriétés des ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 LES REPRÉSENTATIONS TEMPS-FRÉQUENCE 182.1 Bilinéarité des distributions temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Principe de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Covariance par le groupe des translations en temps et en fréquence . . . . . . . . 202.2.2 Covariance par le groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Propriétés attendues des distributions temps-fréquence ou temps-échelle . . . . . . . . . 24

3 LES REPRÉSENTATIONS TEMPS-FRÉQUENCE DE LA CLASSE DE COHEN 283.1 La distribution de Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Propriétés de la distribution de Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.3 Construction tomographique de la distribution de Wigner-Ville [9] . . . . . . . . 323.1.4 Exemples de résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.5 Lissage des distributions de Wigner-Ville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.6 La méthode de réallocation sur les Pseudo Wigner-Ville Lissées . . . . . . . . . . 34

3.2 Les autres distributions de la classe de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1 La ditribution de Choï-Williams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 La distribution de Born-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 LES REPRÉSENTATIONS TEMPS-FRÉQUENCE AFFINES 394.1 Approche temps-échelle introduite par P. Flandrin et O. Rioul . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Sous-classe temps-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Approche temps-fréquence affine introduite par P. et J. Bertrand . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Forme diagonale du noyau K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Covariance étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

4.2.3 Approche tomographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.4 La représentation temps-fréquence affine unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.5 Lissage de la représentation affine unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 EXEMPLES 48

6

Chapitre 1

INTRODUCTION

1.1 Introduction généraleDans beaucoup de domaines tels le radar, le sonar, la parole ou les télécommunications, les signaux

ont des caractéristiques spectrales qui varient dans le temps. L’exemple le plus souvent cité est celui dumorceau de musique [1] où chaque note est caractérisée par sa hauteur et son instant d’émission. Cessignaux, dits non stationnaires, ne peuvent être correctement traités par les méthodes usuelles d’analysespectrale (transformation de Fourier) : en effet, la transformation de Fourier effectue une transpositionde l’espace temps vers son espace dual des fréquences et perd de ce fait toutes les informations surle séquencement temporel du signal. Ainsi, grâce à une analyse spectrale classique sur le signal demusique, on pourra déterminer si telle ou telle note a été jouée mais on ne saura, en aucun cas, préciserà quel moment celle-ci l’a été. Pour remédier à ces problèmes, sont apparus plusieurs outils d’analyse :le plus simple est sans doute la transformation de Fourier à court terme (Analyse de Fourier par fenêtreglissante h sur le signal) [2, 3] qui découpe le signal z(t) en tranches d’analyse (largeur de la fenêtreh(t)) sur lesquelles on fait l’hypothèse de stationnarité locale et sur lesquelles on effectue une analysede Fourier classique :

Pz(t, f) =∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(u)h(u− t) e−2iπfu du

∣∣∣∣2 (1.1)

où la fonction h peut être choisie arbitrairement. On choisit généralement une fenêtre rectangulaireou encore les fenêtres de pondération classiquement utilisées en analyse spectrale (Gauss, Hamming,Hanning, etc. . . ).

L’inconvénient majeur de cette approche réside dans l’obligation préalable d’adopter un compromisentre la résolution temporelle σt et la résolution fréquentielle σf (paramètres libres liés à la largeurtemporelle ou fréquentielle de la fenêtre) vérifiant conjointement l’inégalité de Heisenberg :

σt σf ≥1

4π(1.2)

Pour éviter ce genre de problèmes liés à la résolution inhérent aux méthodes de Fourier, ll est égale-ment possible sur les tranches de signal ainsi découpées d’effectuer des analyses spectrales plus évoluéescomme les méthodes spectrales paramétriques, encore appelées méthodes haute résolution (citons lesmodèles AR autorégressifs, ARMA autorégressifs à moyenne ajustée, Music, etc...[4, 5]) qui, théorique-ment, possèdent une résolution quasi-illimitée. Hormis l’hypothèse de stationnarité locale dans chaquetranche de signal, il est pourtant nécessaire de choisir l’ordre du filtre lié au modèle. Il n’y a pas dedifficultés si l’on connaît a priori le nombre de composantes spectrales monochromatiques apparaissantdans la fenêtre d’analyse mais le problème peut se compliquer si le signal n’est pas connu, auquel cas

7

il devient nécessaire de mettre en œuvre des méthodes d’estimation d’ordre du modèle (Akaike parexemple).

Les représentations temps-fréquence des signaux fournissent une alternative qui n’exige pas l’intro-duction d’une analyse de traitement local. Leur but principal est de décrire les modulations du signaldans le plan temps-fréquence (fréquence instantanée, retard de groupe, etc..). De ce fait, ces distribu-tions transforment un signal à une dimension en une représentation à deux dimensions et donnent àcelle-ci une interprétation de la répartition énergétique du signal dans cet espace.

Un grand nombre de distributions temps-fréquence a été proposé dans la littérature. La plus grandepartie a été regroupée sous le nom de classe de Cohen [6, 7] qui est covariante par le groupe destranslations en temps et en fréquence, mais d’autres distributions existent, comme les représentationstemps-fréquence affines [8], covariantes par le groupe affine.

1.2 Définitions

1.2.1 La transformation de FourierSoit x(t), un signal généralement complexe et dépendant de la variable t ∈ R. Sa transformée

de Fourier X(f), dépendant de la variable duale f , peut être interprétée comme le coefficient de ladécomposition de x(t) sur une base de signaux exponentielles complexes, notés φf (t) = exp (2iπft) :

x(t) =∫ +∞

−∞X(f)φf (t) df

Pour exprimer le coefficient de la décomposition X(f) de x(t), il est nécessaire de définir un produitscalaire dans l’espace des signaux :

(x1(t), x2(t)) =∫ +∞

−∞x1(t)x∗2(t) dt

Ainsi, X(f) n’est que le produit scalaire de x(t) avec le signal φf (t) de la base :

x(t) =∫ +∞

−∞(x(t), φf (t))φf (t) df

soit :

X(f) =∫ +∞

−∞x(t) e−2iπft dt

car la base est orthogonale, c’est à dire :

(φf1(t), φf2(t)) = δ(f1 − f2)

où δ est la distribution de Dirac.

En signal, on utilise beaucoup les notions de filtres linéaires invariants dans le temps (systèmerépondant aux principes de superposition et d’invariance dans le temps). Ces filtres linéaires, de réponseimpulsionnelle h(t) et de transformations de Fourier H(f) possèdent comme fonctions propres lesexponentielles complexes φf (t) (équivalents des vecteurs propres des matrices en algèbre linéaire) etrelient l’entrée x(t) et la sortie y(t) du système par une équation de convolution :

y(t) =∫ +∞

−∞x(u)h(t− u) du

8

Ainsi, si on injecte dans ces systèmes les fonctions propres x(t) = φf (t), on obtient :

y(t) = H(f)φf (t)

La construction de Fourier permet donc de décomposer un signal sur une base de fonctions propresdes systèmes linéaires invariants dans le temps : les exponentielles complexes ou encore les signauxmonochromatiques, ondes éternelles non localisées dans le temps.

1.2.2 Quelques définitionsPour les signaux à énergie finie, on peut définir les grandeurs suivantes :– la puissance instantanée du signal : px(t) = |x(t)|2– la densité spectrale de puissance : PX(f) = |X(f)|2– l’énergie totale du signal :

Ex =∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt =

∫ +∞

−∞|X(ν)|2 dν

– par analogie avec la théorie des probabilités, on peut associer aux densités de probabilité classi-quement utilisées une notion de répartition d’énergie. Ainsi px(t) et PX(f) correspondent à deuxdensités d’énergie qui vérifient toutes deux la conservation de l’énergie totale du signal. On peutalors définir les moments de ces distributions (avec l’analogie des espérances mathématiques enthéorie des probabilités ou aux moments d’inertie en mécanique) :

∆t =∫ +∞

−∞t |x(t)|2 dt ∆f =

∫ +∞

−∞f |X(f)|2 df

∆t2 =∫ +∞

−∞(t−∆t)2 |x(t)|2 dt ∆f2 =

∫ +∞

−∞(f −∆f)2 |X(f)|2 df

Les grandeurs ∆t et ∆f représentent respectivement l’époque moyenne du signal ainsi que la fré-quence centrale ou moyenne du signal. On peut ainsi faire subir au signal une translation judicieuseen temps et en fréquence pour que ces deux grandeurs soient nulles. Les deux grandeurs

√∆t2 et√

∆f2 caractérisent, quant à elles, des étendues temporelles et fréquentielles équivalentes à une duréemoyenne et à une largeur de bande du signal.

Exemple : Soit le signal temporel gaussien non modulé :

x(t) =

√1

σ√

2πe−

(t− t0)2

4σ2

En calculant les différents moments d’ordre un et deux sur |x(t)|2, on obtient les résultats classiquesdonnant la valeur moyenne et l’écart-type d’une densité de probabilité gaussienne :

∆t = t0√

∆t2 = σ

1.2.3 Limitations de la transformation de Fourier - Inégalités d’HeisenbergDualité temps-fréquence

Le calcul de X(f) nécessite la connaissance de toute l’histoire temporelle du signal x(t). Récipro-quement, la relation :

x(t) =∫ +∞

−∞X(f) e2iπft df

9

fait remarquer qu’à un instant t donné, la valeur du signal est caractérisée par une combinaison linéairede signaux complètement délocalisés dans le temps (ondes éternelles). Cela peut être dans certainscas intéressants (analyse de signaux stationnaires, signaux monochromatiques, régime permanent. . . )mais ne reflète pas le sens physique du phénomène. Ex : les signaux brefs ou transitoires nuls endehors d’un intervalle temporel. La nullité des valeurs du signal en dehors de son intervalle est biensûr mathématiquement rendu par la transformation de Fourier mais d’une manière artificielle : ellecorrespond au résultat de la superposition d’une infinité d’ondes virtuelles qui interféreraient entreelles pour se détruire ou s’annuler. Sur le support où le signal est nul, on aura donc, non pas unesuperposition de signaux nuls mais une superposition de signaux non nuls qui interfèrent pour s’annuler,ce qui est en contradiction avec le fait que le signal n’existe pas.

Principe d’incertitude de Heisenberg

Le principe d’incertitude de Heisenberg vient de la mécanique quantique et décrit l’impossibilitépar exemple de connaître avec précision à la fois la position et la vitesse d’une particule. Du fait dela dualité des espaces temps et fréquence, il existe un principe d’incertitude qui exprime le fait quel’on ne peut connaître avec suffisamment de précision la localisation à la fois en temps et en fréquenced’un signal : un signal de très brève durée possède une densité spectrale très étendue et vice versa. Ceprincipe est énoncé par la relation :

√∆t2

√∆f2 ≥ Ex

4π

et montre qu’aucun signal ne peut être caractérisé à la fois par une durée√

∆t2 = 0 et une largeur debande

√∆f2 = 0.

Démonstration : On suppose que :– le signal est d’énergie finie, ce qui implique que soit le signal possède un support compact fini

ou que la décroissance plus forte que 1/t de sa puissance instantanée à l’infini est garantie( lim|x|→∞

t|x(t)|2 = 0).

– le signal possède une époque moyenne nulle (∆t = 0) et une fréquence centrale nulle (∆f = 0).Ceci est possible par simple translation temporelle et fréquentielle sur le signal.

et on applique l’inégalité de Cauchy-Schwartz :∣∣∣∣∫ +∞

−∞g1(u) g∗2(u) du

∣∣∣∣2 ≤ ∫ +∞

−∞|g1(u)|2 du

∫ +∞

−∞|g2(u)|2 du

sur les fonctions :

g1(t) = t x(t) g2(t) =dx

dt(t)

En intégrant par partie, il vient :

I =∫ +∞

−∞t x(t)

dx∗

dt(t) =

[t|x(t)|2

]+∞−∞ − Ex − I

∗

D’après les hypothèses ci-dessus, le premier membre est nul, et en notant que I + I∗ = 2<(I), onobtient :

<(I) = −Ex/2

Il vient donc :

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(<(I))2 ≤ |I2| ≤∫ +∞

−∞t2 |x(t)|2 dt

∫ +∞

−∞

∣∣∣∣dxdt (t)∣∣∣∣2 dt

En utilisant la conservation d’énergie (Parseval) et la propriété de la transformation de Fourierd’une dérivée, on a : ∫ +∞

−∞

∣∣∣∣dxdt (t)∣∣∣∣2 dt =

∫ +∞

−∞4πf2 |X(f)|2 df

En remplaçant dans l’inégalité, on obtient l’inégalité recherchée :

E2x

4≤ 4π2∆t2∆f2

L’égalité de Cauchy-Schwartz est donnée par la colinéarité entre les deux fonctions g1 et g2, ce qui

donne l’équation différentielledx

dt(t) = k t x(t) dont la solution est donnée par :

x(t) = C e−αt2

α ∈ R+

La gaussienne est donc le signal qui réalise le minimum d’étalement à la fois en temps et fréquence.C’est donc un signal qui est le plus localisé possible dans les deux espaces. On peut donner aussi lesdeux extrêmes :

– le signal choc x(t) = δ(t− t0) qui possède une durée nulle et une largeur de bande infinie.– le signal monochromatique x(t) = exp (2iπft) qui possède une durée infinie et une largeur de

bande nulle.

1.3 La transformée de Fourier à court termeLa limitation due au fait de décomposer un signal sur une base de signaux non localisables étant

un handicap, la solution la plus simple a été d’effectuer une analyse de Fourier non pas sur la totalitédu signal mais sur une portion du signal. Cette solution est très populaire et est connue sous le nomde transformation de Fourier à court terme.

1.3.1 IntroductionL’expression mathématique de cette transformation est :

Fx(t, f) =∫ +∞

−∞x(u)h∗(u− t) e−2iπfu du

Le signal est caractérisé par x(t), h est une fonction de fenêtrage centrée en t. Pour obtenir lareprésentation spectrale autour de t, il suffit de déplacer par translation la fenêtre h et d’effectuer unetransformation de Fourier sur le signal ainsi fenêtré. Cette fonction peut être de même vue commele coefficient Fx(t, f) de la décomposition du signal x sur une base de signaux ht,f , chaque signal sedéduisant de la fenêtre mère h par une translation temporelle t et fréquentielle ν (action du groupedes translations en temps et en fréquence) :

ht,f (u) = h(u− t) e2iπfu

Sous réserve que la fenêtre mère h soit d’énergie unité (condition dite d’admissibilité), le signal x(u)s’exprime alors comme combinaison linéaire d’atomes élémentaires ht,f (u) pondérés par un coefficientFx(t, f) :

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x(u) =∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞Fx(t, f)ht,f (u) df

=∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞Fx(t, f)h(u− t) e2iπfu df

Exercice : Démontrer la condition d’admissibilité∫ +∞

−∞|h(t)|2 dt = 1.

Pour cela, on réinjecte la définition de Fx(t, f) dans x(u). On obtient :

x(u) =∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x(s)h∗(s− t)h(u− t) e−2iπf(s−u) ds df

En intégrant par rapport à f , puis par rapport à s, x(u) devient :

x(u) = x(u)∫ +∞

−∞|h(u− t)|2 dt

ce qui donne la condition cherchée.

La fenêtre mère h peut être choisie arbitrairement, la plus simple étant la fonction créneau surune durée T d’analyse mais il est également judicieux de choisir toute fonction possédant à la fois unebonne une bonne localisation temps-fréquence (Ex : la fenêtre de Hamming, Hanning, de Gauss . . . )ainsi qu’une bonne régularité (décroissance rapide, fonction n fois dérivable, . . . ).

On appelle généralement Spectrogramme le carré du module de la transformation de Fourier à courtterme associé à une distribution d’énergie (carré du signal) et qui prend la forme :

Sx(t, f) = |Fx(t, f)|2

=∣∣∣∣∫ +∞

−∞x(u)h∗(u− t) e−2iπfu du

∣∣∣∣2 (1.3)

1.3.2 Interprétation avec les bancs de filtresIl est possible d’exprimer Sx(t, f) en utilisant l’égalité de parseval (unitarité de la transformation

de Fourier) : ∫ +∞

−∞x1(t)x∗2(t) dt =

∫ +∞

−∞X1(f)X∗2 (f) df

Il vient :

Sx(t, f) =∣∣∣∣∫ +∞

−∞X(ν)H∗(ν − f) e2iπνt dν

∣∣∣∣2On remarque dans ce cas que c’est la transformation de Fourier H(ν) de la fonction h qui joue le

rôle d’une fenêtre glissante que l’on déplace en tout point f de l’espace des fréquences. Cette relations’apparente de même à une analyse à banc continu de filtres uniformes, dont la largeur de bande estconstante.

Exercice : Montrer que le spectrogramme Sx(t, f) tend vers la densité spectrale du signal |X(f)|2lorsque la fenêtre spectrale H d’analyse tend à devenir de plus en plus sélective.

12

1.3.3 Limitations de la transformation de Fourier à court termePrenons deux exemples :

1. Signal parfaitement localisés en temps : x(t) = δ(t− t0).

On peut facilement calculer Sx(t, f) = |h(t0 − t)|2. La représentation de Fourier à court termen’est que le module carré de la fenêtre déplacée autour du temps de localisation. La représentationsera alors d’autant plus adaptée au signal que la fenêtre sera étroite (bonne résolution temporelle= ∆t2 petit).

2. Signal parfaitement localisé en fréquence : x(t) = exp (2iπf0t).

On peut facilement calculer Sx(t, f) = |H(f0 − f)|2. La représentation de Fourier à court termen’est que le module carré de la transformée de Fourier de la fenêtre déplacée autour de la fréquencef0 du signal. La représentation sera alors d’autant plus adaptée au signal que la fenêtre spectralesera étroite (bonne résolution fréquentielle = ∆f2 petit).

On remarque ainsi que la largeur temporelle et fréquentielle de la transformée de Fourier à courtterme conditionne la finesse de l’analyse (bonne résolution temporelle ou bonne résolution fréquen-tielle). À cause des relations d’incertitude (produit ∆t2∆f2 borné inférieurement), il est impossibled’obtenir simultanément les deux. L’analyse temps-fréquence s’effectue en décomposant le signal surdes atomes qui pavent le plan temps-fréquence avec une fenêtre de surface

√∆t2

√∆f2 constante avec

∆t2 constant et ∆f2 constant. La fenêtre qui minimise à la fois l’encombrement temporel et fréquentielest la gaussienne.

1.4 La transformée en ondelettesLe besoin d’améliorer l’analyse classique des méthodes du type transformation de Fourier à court

terme se fit alors assez vite sentir. L’idée principale fut de définir une analyse du même type mais enfaisant dépendre la largeur de la fenêtre d’analyse de sa position. On pouvait ainsi régler la finessede l’analyse en temps ou en fréquence indépendamment l’une de l’autre. Il faut cependant garder àl’esprit que si les relations d’incertitude sont toujours présentes (pavage du plan temps-fréquence paratome de surface

√∆t2

√∆f2 constante), les résolutions obtenues, elles, peuvent changer (∆t2 non

constant et ∆f2 non constant). Une des solutions proposées dans les années 80 fut la transformationen ondelettes.

1.4.1 DéfinitionPartant d’une fonction mère h dépendant de t et possédant de bonnes propriétés ("assez" localisable,

"assez" régulière, . . . ), il est possible de générer, par l’action d’une déformation dite du groupe affinesur le signal, une famille de fonctions ht,a appelée famille d’ondelettes :

ht,a(u) =1√ah

(u− ta

)où a > 0 est un paramètre d’échelle de contraction (a < 1) ou de dilatation (a > 1) de la fenêtre et tune translation de la fenêtre.

Une fois cette famille générée, on décompose classiquement le signal x(t) sur cette famille selon leproduit scalaire usuel dans l’espace des signaux. On obtient ainsi des coefficients d’ondelettes Tx(t, a)qui caractérisent le coefficient de la décomposition du signal x(t) dans cette base :

13

Tx(t, a) =∫ +∞

−∞x(u)h∗t,a(u) du

=1√a

∫ +∞

−∞x(u)h∗

(u− ta

)du

Moyennant une condition dite d’admissibilité sur l’ondelette mère h(t) et la détermination d’unemesure dµ(t, a) = dt d(1/a) = dt da/a2 (mesure de Haar invariante à gauche), le signal x(u) peut doncêtre reconstruit par combinaison linéaire d’ondelettes pondérées par leur coefficient Tx(t, a) :

x(u) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Tx(t, a)ht,a(u) dµ(t, a)

=1√a

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Tx(t, a)h

(u− ta

)dtda

a2

Exercice : Déterminer la condition d’admissibilité de l’ondelette mère.

En remplaçant Tx(t, a) par sa valeur dans l’expression précédente, on a :

x(u) =∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞

da

a3

∫ +∞

−∞x(s)h∗

(s− ta

)h

(u− ta

)ds

Remplaçons h par sa transformée de Fourier inverse, il vient :

x(u) =∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞

da

a3

∫ +∞

−∞x(s)

[∫ +∞

−∞H∗(f1) exp

(−2iπf1

(s− ta

))df1

].

[∫ +∞

−∞H(f2) exp

(2iπf2

(u− ta

))df2

]ds

En intégrant par rapport à t et en utilisant le fait que δ(f(u)) = δ(u − u0)/|f ′(u0)|, u0 étant laseule racine d’ordre 1 de f , on a :

x(u) =∫ +∞

−∞

da

a2

∫ +∞

−∞x(s)

[∫ +∞

−∞H∗(f1) exp

(−2iπf1

( sa

))df1

].

[∫ +∞

−∞H(f2) exp

(2iπf2

(ua

))df2

]δ(f1 − f2) ds

En intégrant par rapport à f1, pour f2 = f , on a :

x(u) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x(s) |H(f)|2 exp

(−2iπf

( sa− u

a

))df ds

da

a2

En effectuant le changement de variable a′ = 1/a, et en intégrant par rapport à a′, l’expressionci-dessus devient :

x(u) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x(s) |H(f)|2 δ(s− u) ds

df

f

On obtient enfin la condition d’admissibilité en intégrant par rapport à s :

14

∫ +∞

−∞

|H(f)|2

fdf = 1

Pour satisfaire la condition d’admissibilité, il faut s’assurer de la bonne décroissance de l’ondeletteà l’infini ce qui est garanti si la décroissance de |H(ν)|2, densité spectrale de l’ondelette mère, est plus"forte" que 1/ν. La deuxième condition est la convergence de l’intégrale en 0 qui impose l’annulationdu spectre en ν = 0, ce qui revient à prendre une ondelette de valeur moyenne nulle :∫ +∞

−∞h(t) dt = 0

Exemples d’ondelette :

1. L’ondelette chapeau mexicain :

h(t) =1

σ√

2π

(1− t2

σ2

)exp

(− t2

2σ2

)2. L’ondelette de Morlet (gaussienne modulée) :

h(t) =1

σ√

2πexp

(− t2

2σ2

)exp (−2iπνt

1.4.2 Liens de l’échelle et de la fréquenceEn transposant la définition de la transformation en ondelette dans le domaine des fréquence

(unitarité de la transformation de Fourier), on obtient :

Tx(t, a) =√a

∫ +∞

−∞X(ν)H∗(aν) e2iπνt dν

où H est la transformée de Fourier de l’ondelette mère h. Si cette ondelette est localisée autour de safréquence centrale f0 (moment d’ordre deux sur sa densité spectrale), on peut remarquer que le fait deparcourir l’axe des échelles a revient à explorer l’axe des fréquences f . En utilisant la correspondanceentre l’échelle unité a = 1 et la fréquence f0, il devient naturel de faire correspondre au paramètred’échelle a une fréquence f = f0/a. La transformation temps-échelle devient une transformation temps-fréquence au même titre que la transformation de Fourier à court terme :

Tx(t, f) =√f0/f

∫ +∞

−∞X(ν)H∗(νf0/f) e2iπνt dν

En contraste avec la transformation de Fourier à court terme qui offre des résolutions temporelle etfréquentielle identiques en tout point du plan temps-fréquence, la transformée en ondelettes présenteune résolution qui dépend du point (t, f) d’analyse et varie en fonction de la fréquence. On a ainsitoujours le respect de l’inégalité de Heisenberg :√

∆t2t,f (f)√

∆f2t,f (f) ≥ Ex

4πmais les résolutions dépendantes de la fréquence ont maintenant la forme suivante :√

∆t2t,f (f) =

√∆t2

ff0

√∆f2

t,f (f) = f

√∆f2

f0

15

On dit encore que l’analyse en ondelette est une analyse à surtension constante (le coefficient desurtension d’un filtre étant le rapport de sa fréquence centrale sur sa largeur de bande) en oppositionavec l’analyse de largeur constante dans le cas de la transformation de Fourier à court terme.

1.4.3 Propriétés des ondelettesLa régularité des ondelettes

La transformation en ondelette transforme un signal de dimension un, le temps par exemple, enun signal de dimension deux, le temps et l’échelle, ce qui a pour effet une redondance d’information.Pour réduire le nombre de coefficients de la transformation (codage et réduction de l’information parexemple), il devient nécessaire de choisir des ondelettes caractérisées par une décroissance rapide des sescoefficients. Limitons-nous au cas t = 0 et intéressons-nous à la vitesse de convergence des coefficientsd’ondelette du signal avec la croissance de 1/a en décomposant le signal en série de Taylor autour de0 à l’ordre n. Il vient :

Tx(0, a) =1√a

∫ +∞

−∞x(u)h∗

(ua

)du

=1√a

[n∑p=0

x(p)(0)∫ +∞

−∞

up

p!h∗(ua

)du+

∫ +∞

−∞R(u)h∗

(ua

)du

]

où le reste R(u) de la série de taylor à l’ordre n est défini par :

R(u) =∫ u

0

(u− t)n

n!x(n+1)(t) dt

et où x(n) sont les dérivée n-ième du signal. En notant Mn les moments d’ordre n de l’ondelette h :

Mn =∫ +∞

−∞tn h(t) dt

et en notant que la transformée en ondelette du reste R décroît en an+2, on a :

Tx(0, a) =1√a

[n∑p=0

x(p)(0) ap+1 Mp

p!+O(an+2)

]Selon la condition d’admissibilité de l’ondelette (le moment d’ordre un est nul), le premier terme de

la série est nul. La vitesse de convergence vers zéro des coefficients de la transformation en ondeletteavec la décroissance de a ou la croissance de 1/a est alors déterminée par le premier moment non nulde l’ondelette mère h. Si les n + 1 premiers moments de l’ondelette sont nuls, alors les coefficientsd’ondelette décroîtront vers 0 aussi vite que an+2. Ainsi la régularité de l’ondelette h(t) conduit à larapidité de convergence des coefficients d’ondelette.

Liens avec l’analyse temps-fréquence

On définit le Scalogramme comme le carré du module de la transformation en ondelette du signal :

|Tx(t, a)|2 =∣∣∣∣ 1√a

∫ +∞

−∞x(u)h∗

(u− ta

)du

∣∣∣∣2On peut dès lors, montrer que ce scalogramme définit une répartition d’énergie du signal dans

le plan temps-échelle (ou temps-fréquence si on donne une interprétation de fréquence au paramètred’échelle). Il suffit pour cela de calculer la quantité I suivante :

16

I =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|Tx(t, a)|2 dt da

a2

En remplaçant Tx(t, a) par sa définition, on obtient

I = a

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞X(ν1)X∗(ν2)H(aν1)H∗(aν2) e2iπ(ν1−ν2)t dν1 dν2 dt

da

a2

Intégrer par rapport à t, puis à ν1, renommer ν2 = ν conduisent à :

I = a

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|X(ν)|2 |H(aν)|2 dν da

a2

En effectuant un changement de variable u = νa et en se rappelant la condition d’admissibilité del’ondelette, on a : ∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|Tx(t, a)|2 dt da

a2= Ex

ce qui donne au carré du module de la transformée en ondelette une interprétation de répartitiond’énergie dans le plan temps-échelle ou temps-fréquence.

17

Chapitre 2

LES REPRÉSENTATIONSTEMPS-FRÉQUENCE

2.1 Bilinéarité des distributions temps-fréquenceBien que la linéarité des méthodes temps-fréquence soit une propriété souhaitable, il est difficile de

concilier les notions de linéarité et d’énergie (carré du signal).

Ces distributions temps-fréquence énergétiques Pz(t, f) combinent le concept de puissance instanta-née pz(t) = |z(t)|2 et le concept de densité spectrale d’énergie |Z(f)|2. Idéalement, cette interprétationénergétique est exprimée par les relations marginales données par :∫ +∞

−∞Pz(t, f) df = |z(t)|2

∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt = |Z(f)|2 (2.1)

qui peuvent être considérées comme l’équivalent des densités de probabilité conditionnelles conjointesclassiquement utilisées en théorie des probabilités. La quantité P (t, f) est vue comme une densité deprobabilité régissant la distribution d’énergie dans les espaces temps et fréquence et on a bien sûr :∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, f) df dt =

∫ +∞

−∞|z(t)|2 dt =

∫ +∞

−∞|Z(f)|2 df = Ez (2.2)

où Ez est l’énergie totale du signal z(t).

Pour garder la notion première de répartition d’énergie dans le plan temps-fréquence, ces dis-tributions sont ainsi construites sur des formes quadratiques du signal (plus exactement des formesbilinéaires du signal) :

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u, v; t, f) z(u) z∗(v) du dv (2.3)

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K̂(u, v; t, f)Z(u)Z∗(v) du dv (2.4)

où z(t) (Z(f)) est le signal analytique analysé, z(u) z∗(v) (Z(u)Z∗(v)) est appelée la partie utile dusignal et K(u, v; t, f) (K̂(u, v; t, f)) est un noyau régissant le comportement du signal au point (t, f).

18

Il existe une seconde raison expliquant l’importance de la bilinéarité. Tous les signaux physiquessont toujours mesurés ou analysés à une phase origine près. Pour pouvoir définir des classes de si-gnaux indépendantes de cette phase origine, les représentations temps-fréquence construites à partirde la partie utile z(u) z∗(v) doivent être invariantes par la transformation qui agit sur les signaux parchangement de phase constant, c’est à dire la transformation suivante :

z(t) −→ z′(t) = z(t) eiφ (2.5)

Un signal réel s(t) peut être caractérisé comme le passage d’un message utile à travers un canal detransmission non distordant (atténuation α0 et déphasage β0 constants). Pour garder le caractère réeldu signal, cette transformation doit alors vérifier :

s(t) −→ α0 e−iβ0 s(−)(t) + α0 e

iβ0 s(+)(t) (2.6)

S(f) −→ α0 e−iβ0 Y (−f)S(f) + α0 e

iβ0 Y (f)S(f) (2.7)

où s(−)(t) et s(+)(t) représentent respectivement le signal à fréquence négative et positive du signalréel et Y (f) l’échelon unité (distribution d’Heaviside).

L’introduction de la notion de signal analytique d’un signal réel s(t) défini par la bijection

s(t) −→ z(t) = 2s(+)(t) (2.8)

permet alors de simplifier le diagramme (2.6) et (2.7) qui se transforme comme suit :

z(t) −→ α0 eiβ0 z(t) (2.9)

Z(f) −→ α0 eiβ0 Z(f) (2.10)

La partie utile du signal réel s(t) doit être alors définie par la forme bilinéaire z(u) z∗(v) avec z(t)définissant le signal analytique associé au signal s(t). Il s’avère alors que la partie utile du signal estinvariante sous les transformations (2.9) et (2.10). Mais, de ce fait, elle exclut la possibilité d’exploiterles informations de phases et d’amplitudes relatives entre les signaux porteurs d’un même message.

Dès lors, toutes les représentations temps-fréquence construites sur des formes bilinéaires de signauxseront en correspondance bijective avec le signal analysé, mais à une phase et une amplitude près.

Une forme immédiate particulière de forme bilinéaire connue est le carré de forme linéaire commele carré de la transformée de Fourier à court terme ou le carré de la transformée en ondelette :

Pz(t, f) = |Fz(t, f)|2 =∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(u)h(u− t) e−2iπfu du

∣∣∣∣2 (2.11)

Pz(t, f) = |Tz(t, f)|2 =f

f0

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(u)h

(f

f0(u− t)

)du

∣∣∣∣2 (2.12)

Les formes bilinéaires, beaucoup plus générales, englobent ainsi ces deux distributions d’énergie dusignal. De part leur forme bilinéaire, la représentation temps-fréquence Pz(t, f) de la somme de deuxsignaux z(t) = z1(t) + z2(t) n’est pas la somme des deux représentations Pz1(t, f) + Pz2(t, f). Chaquedistribution bilinéaire satisfait le principe de superposition quadratique :

c1 z1(t) + c2 z2(t) −→ |c1|2 Pz1(t, f) + |c2|2Pz2(t, f) + c1 c∗2 Pz1,z2(t, f) + c2 c

∗1 Pz2,z1(t, f) (2.13)

19

où Pz1,z2(t, f) définit est la représentation temps-fréquence inter-signaux. De ce fait, si un signal pos-sède plusieurs composantes, la représentation quadratique associée sera composée de la somme desreprésentations de chaque composantes mais aussi de la somme des représentations inter-composantes.Ainsi, un signal constitué de N composantes verra sa représentation temps-fréquence constituée de Ntermes dus à chaque composante et N(N−1)/2 termes dus aux intérférences entre chaque composantes.

2.2 Principe de covarianceLe noyau K intervenant dans (2.3) peut prendre une forme tout à fait générale mais peut être

parfaitement déterminé si l’on impose à la distribution des contraintes de comportements (covariancepar un groupe de transformation, unitarité, localisation sur des signaux particuliers, respect des mar-ginales, etc...). Parmi ces contraintes figurent en tout premier lieu celles relatives à des principes decovariance, tels que l’effet d’une transformation puisse indifféremment s’obtenir sur la représentationou sur le signal dont elle est issue. Ainsi, si l’on désigne par T une transformation quelconque, imposerun principe de covariance relativement à T est équivalent à demander que le diagramme :

z → Pz

↓ ↓T z → PT z = T Pz (2.14)

soit commutatif.

2.2.1 Covariance par le groupe des translations en temps et en fréquenceSi on impose à la distribution P (t, f) de vérifier le diagramme de covariance du groupe des trans-

lations en temps et fréquence donné par :

z(t) −→ z′(t) = e−2iπf0t z(t− t0)↓ ↓ (2.15)

Pz(t, f) −→ Pz′(t, f) = Pz(t− t0, f − f0)

on peut montrer que le noyau K(u, v; t, f) est nécessairement de la forme :

K(u, v; t, f) = K(u− t, v − t; 0, 0) e−2iπf(u−v) (2.16)

ce qui impose au noyau K constitué de 4 variables dans sa forme initiale de ne plus dépendre que dedeux variables indépendantes.

Démonstration :En introduisant la paramétrisation (2.3) de la distribution par son noyau bilinéaire, il est facile de

montrer que :

Pz′(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u+ t0, v + t0; t, f) e2iπf0(u−v) z(u) z∗(v) du dv (2.17)

et

Pz(t− t0, f − f0) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u, v; t− t0, f − f0) z(u) z∗(v) du dv (2.18)

20

Par suite, l’égalité de ces deux dernières quantités devant être assurée pour tout signal, on en déduitque le noyau doit vérifier

K(u+ t0, v + t0; t, f) e2iπf0(u−v) = K(u, v; t− t0, f − f0) (2.19)

soit encore, en fixant t0 = t et f0 = f et en réorganisant les variables,

K(u, v; t, f) = K(u− t, v − t; 0, 0) e−2iπf(u−v) (2.20)

Si l’on reporte cette relation dans la forme initiale (2.3), on obtient après changement de variablesu = s+ τ/2 et v = s− τ/2

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(s+

τ

2− t, s− τ

2− t; 0, 0

)z(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτ ds dτ (2.21)

Il suffit alors de réécrire l’intégrale en τ dans sa représentation fréquentielle en introduisant lesquantités

Π(t, f) =∫ +∞

−∞K(t+

τ

2, t− τ

2; 0, 0

)e−2iπfτ dτ (2.22)

Wz(t, f) =∫ +∞

−∞z(t+

τ

2

)z∗(t− τ

2

)e−2iπfτ dτ (2.23)

pour obtenir le résultat final

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Π(s− t, ξ − f)Wz(s, ξ) ds dξ (2.24)

On reconnaît dans Wz(t, f) la distribution de Wigner-Ville et il est facile de montrer que la formegénérale des distributions temps-fréquence Pz(t, f) respectant le diagramme de covariance du groupedes translations en temps et en fréquence est donnée par

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e2iπξ(s−t) f(ξ, τ) z

(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτ dξ ds dτ (2.25)

en posant

f(ξ, τ) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Π(t, f) e−2iπ(fτ+ξt) dt df (2.26)

Cette forme générale a été introduite par Cohen [6] sous le nom de Classe de Cohen et englobeainsi toute la famille de distribution temps-fréquence bilinéaire covariante par translation de tempset de fréquence. La classe de Cohen est ainsi paramétrisée par une fonction f(ξ, τ) arbitraire lissantla distribution maîtresse de Wigner-Ville et devant vérifier au moins f(0, 0) = 1 si l’on veut que ladistribution réalise la condition de conservation de l’énergie du signal (2.2)

2.2.2 Covariance par le groupe affineApproche Temps-Fréquence introduite par P. et J. Bertrand [8,15]

Pour garder le caractère réel du signal lors d’un changement de phase, la logique impose au signalde vérifier le diagramme (2.6) ou (2.7). La classe de Cohen n’est alors invariante sous ces transforma-tions que si la distribution est construite sur les signaux à fréquence positive (ou à fréquence négative).

21

Mais, l’espace des signaux analytiques ne se conserve pas par le groupe des translations en temps eten fréquence. Il y a donc une faille dans la formulation de l’invariance de phase pour la classe de Cohen.

Dans l’étude des signaux large bande, le groupe physique à considérer est le groupe affine A(a, b)(a réel positif, b réel) dont la loi de composition est donnée par (a, b)(a′, b′) = (aa′, b+ ab′) et qui agitsur les signaux analytiques (à fréquence positive) en les translatant en temps et en les comprimant (oules dilatant) selon le schéma suivant :

t −→ t′ = at+ b

↓ ↓z(t) −→ z′(t) = ar z

(a−1(t− b)

)(2.27)

↓ ↓Z(f) −→ Z ′(f) = ar+1 e−2iπfb Z(af)

où r est un réel (r ∈ R), appelé paramètre de dimensionnement physique du signal. Ce paramètre estassez général dans un premier temps mais on peut lui donner pourtant un sens plus subtil associé à lanotion de dimension physique du signal mesuré et au principe de localisation.

Ce qui a été défini pour le signal peut l’être aussi pour sa représentation temps-fréquence associée.On introduit alors un paramètre de dimensionnement physique, noté q, de la distribution P (t, f) quidoit alors vérifier le diagramme de commutativité suivant :

Z(f) −→ Z ′(f) = ar+1 e−2iπbf Z(af)↓ ↓ (2.28)

PZ(t, f) = PZ′(t, f) = aq PZ(a−1(t− b), af)

Si l’on impose, par exemple, de donner à PZ(t, f) une signification probabiliste (densité de proba-bilité), le choix q = 0 (caractérisant la non dimensionalité de P ) est alors imposé. Il n’existe pas, àpriori, de relations entre le paramètre r de dimension physique du signal et le paramètre q. Seule la si-gnification physique associée à P détermine le paramètre q. En imagerie radar, des exemples physiquesconcrets permettent de choisir les paramètres r et q en fonction de la situation physique donnée.

Si on impose à la distribution PZ(t, f) de vérifier le diagramme de covariance du groupe affinedonné par :

Z(f) −→ Z ′(f) = ar+1 e−2iπbf Z(af)↓ ↓ (2.29)

PZ(t, f) = PZ′(t, f) = aq PZ(a−1(t− b), af)

on peut montrer que le noyau K(u, v; t, f) est nécessairement de la forme :

K(u, v; t, f) = f2r−qK

(u

f,v

f; 0, 1

)e−2iπt(u−v) (2.30)

ce qui impose au noyau K constitué de 4 variables dans sa forme initiale de ne plus dépendre que dedeux variables indépendantes.

Démonstration :

22

En introduisant la paramétrisation (2.4) de la distribution par son noyau bilinéaire, il est facile demontrer que :

PZ′(t, f) = a2r+2

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u, v; t, f) e2iπb(u−v) Z(au)Z∗(av) du dv (2.31)

et

aq PZ(a−1(t− b), af) = aq∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u, v; a−1(t− b), af)Z(u)Z∗(v) du dv (2.32)

Par suite, l’égalité de ces deux dernières quantités devant être assurée pour tout signal, on en déduitque le noyau doit vérifier

a2rK(ua,v

a; t, f

)e2iπb(u−v)/a = aqK(u, v; a−1(t− b), af) (2.33)

soit encore, en fixant b = t et a = 1/f (on se restreint ici alors aux fréquences positives si a est positif)et en réorganisant les variables,

K(u′, v′; t, f) = f2r−qK

(u′

f,v′

f; 0, 1

)e−2iπt(u′−v′) (2.34)

Si l’on reporte cette relation dans la forme initiale (2.4), on obtient après changement de variablesu′ = u f et v′ = v f

PZ(t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(u, v; 0, 1)Z(u f)Z∗(v f) e−2iπft(u−v) du dv (2.35)

On obtient alors le résultat suivant :

Les représentations temps-fréquence, définies comme fonctionnelles de la partie utile et caractériséespar (2.3) ou (2.4), qui vérifient le diagramme de covariance (2.28) sont répertoriées dans une classe,appelée classe de Bertrand [8], et données par :

PZ(t, f) = f2r+2−q∫ +∞

0

∫ +∞

0

K(u, v)Z(f u)Z∗(f v) e2iπft(u−v) du dv (2.36)

où K(u, v) est un noyau symétrique et réel.

Cette famille de distribution, qui respecte le diagramme de covariance du groupe affine A donnépar (2.28), est la forme la plus générale qui soit. Le paramètre libre de ce type de représentation est lenoyau K(u, v) et il existe donc une infinité de ces formes.

Approche Temps-Échelle introduite par P. Flandrin et O. Rioul [9]

La définition d’une classe générale de représentation temps-échelle bilinéaires peut s’obtenir demanière totalement équivalente à ce qui vient d’être fait dans le cas temps-fréquence. Cette approchepart du respect de la covariance affine du noyau général temporel K introduit en (2.3).

z(t) −→ zt′,a′(t) =1√a′z

(t− t′

a′

)↓ ↓ (2.37)

Pz(t, a) = Pzt′,a′ (t, a) = Pz(a′−1(t− t′), aa′

)

23

Cette contrainte se traduit sur le noyau par l’égalité :

|a′|K(a′u+ t′, a′u′ + t′; t, a) = K(u, u′; a′−1(t− t′), a′−1a) (2.38)

Cette relation devant être vérifiée quelles que soient les valeurs des variables, le choix t′ = t eta′ = a conduit à la forme simplifiée du noyau :

K(u, u′; t, a) =1aK

(u− ta

,u′ − ta

; 0, 1)

(2.39)

ce qui montre que seulement deux variables sont nécessaires à la paramétrisation de K. En reportantle noyau ainsi déterminé dans la forme générale, on obtient finalement :

P (t, a) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Π(s− ta

, aξ

)Wz(s, ξ) dξ ds (2.40)

en introduisant la quantité Π(t, f) :

Π(t, f) =∫ +∞

−∞K(t− τ

2, t+

τ

2; 0, 1

)e2iπfτ dτ (2.41)

Ceci constitue la classe affine des représentations bilinéaires covariantes par l’action des translations-dilatations. En introduisant une notation équivalente à celle de la classe de Cohen, on obtient lesparamétrisations suivantes :

P (t, a) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Π(s− ta

, aξ

)Wz(s, ξ) dξ ds (2.42)

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(aξ,

τ

a

)Az(ξ, τ) e−2iπξt dξ dτ (2.43)

=1|a|

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ψ(ξ, ν)X

(1a

(ν − ξ

2))X∗(

1a

(ν +ξ

2))e−2iπξt/a dξ dν (2.44)

où la fonction ψ(ξ, ν) est reliée à Π(t, f) par :

ψ(ξ, ν) =∫ +∞

−∞Π(t, ν) e−2iπξt dt (2.45)

où la fonction Az(ξ, τ) est la fonction d’ambiguïté de z :

Az(ξ, τ) =∫ +∞

−∞z(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e2iπξs ds (2.46)

2.3 Propriétés attendues des distributions temps-fréquence outemps-échelle

Pour des raisons de clarté et de commodité, il est souhaitable (mais pas toujours réalisable) quela représentation temps fréquence, notée Pz(t, f) (ou PZ(t, f)), ou temps-échelle, notée Pz(t, a) (ouPZ(t, a)), construites sur le signal analytique z(t) (ou Z(f)), vérifient certaines contraintes dont lesplus générales sont données plus bas. Pour la classe temps-échelle, on fera la correspondance a = f0/f .

24

– Énergie totale : Pz(t, f) ou Pz(t, a) est une distribution d’énergie dans le plan temps-fréquence.Elle doit donc être réelle et positive et l’énergie totale de la distribution doit être égale à l’énergietotale du signal : ∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt df = Ez (2.47)

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, a) dt

da

a2= Ez (2.48)

où Ez définit l’énergie du signal.– Marginale sur le temps : La propriété de marginalisation sur le temps impose :∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt = |Z(f)|2 (2.49)

∫ +∞

−∞Pz(t, a) dt =

∣∣∣∣Z (f0a)∣∣∣∣2 (2.50)

L’intégration de la représentation temps-fréquence sur l’axe du temps donne la densité spectraled’énergie. La distribution Pz(t, f) joue le rôle d’une densité conditionnelle positive sur l’axe tem-porel.

– Marginale sur la fréquence : La propriété de marginalisation sur la fréquence ou l’échelleimpose : ∫ +∞

−∞Pz(t, f) df = |z(t)|2 (2.51)

L’intégration de la représentation temps-fréquence sur l’axe de la fréquence donne la puissanceinstantanée. Pz(t, f) peut alors jouer le rôle d’une densité conditionnelle positive sur l’axe fré-quentiel.

∫ +∞

−∞Pz(t, a)

da

a2= |z(t)|2 (2.52)

Il est à noter que si la distribution temps-fréquence satisfait les deux marginales en temps eten fréquence, elle satisait automatiquement la contrainte de conservation de l’énergie du signalmais la réciproque est fausse. Il est possible que la distribution temps-fréquence satisfasse laconservation de l’énergie sans satisfaire les marginales. Le spectrogramme et le scalogrammedéfinis plus haut en sont deux exemples.

– Moments de la distribution : Définition des principaux moments de la distribution

Si le signal temporel z(t) analytique et sa transformée de Fourier Z(f) sont définis par uneenveloppe et une phase :

z(t) = a(t) eiφ(t) −→ Z(f) = A(f) eiψ(f) (2.53)

alors, les moments du premier ordre de la distribution peuvent définir la fréquence instantanéefi(t) et le temps de propagation de groupe τg(f) :

25

fi(t) =

∫ +∞

−∞f Pz(t, f) df∫ +∞

−∞Pz(t, f) df

=1

2πdφ

dt(2.54)

τg(f) =

∫ +∞

−∞t Pz(t, f) dt∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt

= − 12π

dψ

df(2.55)

Cette propriété est intéressante dans le sens où elle permet facilement d’accéder directement àla loi de fréquence du signal sans avoir à calculer de manière brute la phase et la dérivée de laphase à partir des informations des voies en quadrature du signal. Cette dernière méthode esttrès difficile à mettre en œuvre car très sensible au bruit additif.

– Changement d’échelle :Si le signal subit un changement d’échelle, la représentation subit la transformation suivante :

z(t) −→ z′(t) =1√az

(t− ba

)↓ ↓ (2.56)

Pz(t, f) = Pz′(t, f) = Pz

(t− ba

, af

)– Conservation des supports : Conservation du support du signal temporel ou fréquentiel.

Si le signal occupe une bande de fréquence donnée B ou a une durée T , la distribution temps-fréquence doit alors possèder le même support temporel ou fréquentiel.

– Conservation du produit scalaire : Propriété dite d’unitarité ou de Moyal.∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz1(t, f)Pz2(t, f) dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z1(t) z∗2(t) dt

∣∣∣∣2 (2.57)

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz1(t, a)Pz2(t, a) dt

da

a2=∣∣∣∣∫ +∞

−∞z1(t) z∗2(t) dt

∣∣∣∣2 (2.58)

On peut remarquer que cette propriété est contradictoire avec la contrainte 1 qui exige la positivitéde P (t, f). En effet, si les deux signaux sont orthogonaux, le terme de droite de (2.57) est nul,ce qui entraîne que, soit Pz1(t, f), soit Pz2(t, f) sont négatifs à un endroit donné du plan temps-fréquence.

– Réduction des interférencesLe défaut majeur de ces distributions est d’introduire des termes d’interférences entre chaquecomposante élémentaire du signal. Ces termes d’interférences proviennent de leur structure bili-néaire. Ainsi, pour des signaux composés de plusieurs composantes élémentaires, la lisibilité dece genre d’analyse devient très difficile, surtout en présence de bruit additif réparti dans tout leplan temps-fréquence. Pour éviter ce genre de problèmes tout en gardant l’analyse globale sur lesignal, ces distributions peuvent être lissées en temps et en fréquence. Dans le cas du groupe destranslations en temps et en fréquence, on peut utiliser la formule de Moyal et avoir :

26

Pl(t0, f0) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, f)Ph(t− t0, f − f0) df dt (2.59)

=∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(u)h∗(u− t0) e−2iπf0u du

∣∣∣∣2 (2.60)

où h représente la fenêtre d’analyse et Ph sa distribution temps-fréquence. Ainsi si on lisse, dansle plan temps-fréquence, la distribution P (t, f) par une fenêtre Ph (distribution temps-fréquencede h) déplacée par le groupe des translations en temps et en fréquence, cela revient à effectuerune analyse spectrale classique de type Fourier à court terme par la fenêtre h. Connaissantles relations d’incertitudes entre l’espace temps et fréquence, le contrôle des résolutions liéesen temps et fréquence devient impossible. Pour éviter cela, on peut introduire les distributionstemps-fréquence pseudo-lissées Pl(t, f) que l’on présente plus bas et qui sont de la forme :

Pl(t0, f0) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, f) g(t0 − t)H(f0 − f) df dt (2.61)

où les deux quantités g et H représentent respectivement deux fenêtres d’analyse contrôlant demanière indépendante les résolutions temporelle et fréquentielle.

Si l’on s’intéresse au groupe affine des changements d’échelle, on a

Pl(a, b) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞P (t, f)Ph

(t− ba

, af

)df dt (2.62)

=1a

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(u)h∗

(u− ba

)du

∣∣∣∣2 (2.63)

où h représente la fenêtre d’analyse et Ph sa distribution temps-fréquence. Ainsi si on lisse, dansle plan temps-fréquence, la distribution P (t, f) par une fenêtre Ph (distribution temps-fréquencede h) déplacée par le groupe affine, cela revient à effectuer une analyse de type transformée enondelettes par l’ondelette mère h. Connaissant les relations d’incertitudes entre l’espace temps etfréquence, le contrôle des résolutions liées en temps et fréquence devient impossible. Pour évitercela, on peut introduire de la même manière les distributions temps-fréquence affines pseudo-lissées Pl(t, f) [20]

Il a été montré qu’aucune distribution ne pouvait vérifier à la fois toutes ces propriétés [11, 12,13, 14], la remarque faite dans le dernier cas en apportant la preuve. Néanmoins, on demande auxdistributions de ne vérifier que les plus importantes.

27

Chapitre 3

LES REPRÉSENTATIONSTEMPS-FRÉQUENCE DE LACLASSE DE COHEN

Les représentations temps-fréquence caractérisées par (2.3) et vérifiant le diagramme de covariancedu groupe des translations en temps et fréquence sont répertoriées dans une classe, appelée classe deCohen [7, 15], et donnée par :

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e2iπξ(s−t) f(ξ, τ) z

(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτ dξ ds dτ (3.1)

où f(ξ, τ) est une fenêtre d’observation vérifiant f(ξ, τ) = f∗(−ξ,−τ) pour garantir le caractère réelde Pz(t, f).

Toutes les principales distributions ont été répertoriées dans [13, 14]. Elles sont caractérisées pardifférentes fonctions de pondération f(ξ, τ). On retrouve ainsi les principales distributions connues deWigner et Ville, Rihaczeck, Margenau et Hill, Page, ou encore Choi et Williams mais aussi la classiquetransformée de Fourier à court terme (spectrogramme, sonagramme, voir [18] pour une synthèse ré-cente).

Voici présentées ci-dessous les différentes contraintes imposées sur le noyau f(ξ, τ) pour obtenirdifférentes propriétés sur Pz(t, f)

– Conservation d’énergie ∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt df = Ez −→ f(0, 0) = 1 (3.2)

– Marginales correctes

∫ +∞

−∞Pz(t, f) dt = |Z(f)|2 −→ f(0, τ) = 1 (3.3)∫ +∞

−∞Pz(t, f) df = |z(t)|2 −→ f(ξ, 0) = 1 (3.4)

28

– Invariance d’échelle

z(t) −→ z′(t) = 1√az(t−ba

)↓ ↓

Pz(t, f) = Pz′(t, f) = Pz(t−ba , af

) −→ f(ξ, τ) = g(ξ τ) (3.5)

où g est une fonction arbitraire– Unitarité ou Moyal∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz1(t, f)Pz2(t, f) dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z1(t) z∗2(t) dt

∣∣∣∣2 −→ |f(ξ, τ)| = 1 (3.6)

– Liens avec les fonctions d’ambiguïté

La classe de Cohen peut se réecrire de la manière suivante en faisant apparaître la fonctiond’ambiguïté :

Pz(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(ξ, τ)Az(ξ, τ) e−2iπ(ξt+fτ) dξ dτ (3.7)

où Az(ξ, τ) est la fonction d’ambiguïté symétrique de z(t) définie par :

Az(ξ, τ) =∫ +∞

−∞z(t+

τ

2

)z∗(t− τ

2

)e2iπξt dt (3.8)

Cette fonction d’ambiguïté joue un rôle très important en théorie du radar car elle peut caracté-riser le pouvoir de discrimination et de séparation de cibles proches les unes les autres en distance(lié au retard) et en vitesse (lié à la fréquence Doppler)

Il existe bien entendu d’autres contraintes liées à d’autres propriétés (positivité, conservation dusupport, etc). Celles-ci peuvent être consultées dans [26, 27].

Toutes ces propriétés ne peuvent être réalisées en même temps et on peut donner quelques règles :– Pour des distributions d’énergie, seulement deux de ces trois propriétés sont vérifiées mais jamais

les trois ensemble :– forme quadratique du signal– marginales correctes– positivitéExemple : Le spectrogramme est une forme particulière de forme quadratique et est positivemais ne satisfait pas les contraintes des marginales.

– Positivité et respect de l’unitarité sont incompatibles

Exemple : Wigner-Ville n’est pas une densité d’énergie positive partout dans le plan temps-fréquence.

3.1 La distribution de Wigner-Ville

3.1.1 définitionUne distribution intéressante peut être obtenue si l’on impose à la fonction de pondération f(ξ, τ)

d’être indépendante des variables ξ et τ (par exemple f(ξ, τ) = 1). Elle est connue sous le nom dedistribution de Wigner-Ville :

29

Wz(t, f) =∫ +∞

−∞z(t+

u

2

)z∗(t− u

2

)e−2iπfu du (3.9)

=∫ +∞

−∞Z(f +

ν

2

)Z∗(f − ν

2

)e2iπfν dν (3.10)

Cette distribution est la plus populaire et la plus utilisée en traitement du signal. Elle possède denombreuses propriétés et est de plus très facile à calculer, dans la plupart des cas, analytiquement,voire numériquement par des techniques basées sur la transformation de Fourier [19]. On peut montrerqu’elle satisfait aux contraintes de marginalisation sur le temps et la fréquence, qu’elle n’est pas positive,qu’elle conserve le support temporel ou fréquentiel des signaux, qu’elle est unitaire et qu’elle permetd’accéder, grâce à ses moments du premier ordre, à la fréquence instantanée ou au retard de groupedes signaux.

3.1.2 Propriétés de la distribution de Wigner-VilleVoici les propriétés les plus couramment rencontrées :– Réelle et satisfaisant les marginales et la conservation de l’énergie.– Covariance par le groupe des translations en temps et fréquence

– Conservation du produit scalaire (unitarité ou Moyal).– Non positivité– Conservation du support du signal temporel et fréquentiel

z(t) = 0 ∀t 6∈ (t1, t2) −→Wz(t, f) = 0 ∀t 6∈ (t1, t2) (3.11)|Z(f)| = 0 ∀f 6∈ (f1, f2) −→WZ(t, f) = 0 ∀t 6∈ (f1, f2) (3.12)

– Conservation des moments du signal

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞tnWz(t, f) dt df =

∫ +∞

−∞tn |z(t)|2 dt (3.13)∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞fnWz(t, f) dt df =

∫ +∞

−∞fn |Z(f)|2 df (3.14)

– Accès à la fréquence instantanée fz(t) du signal z(t) par le moment d’ordre un de sa distributiontemps-fréquence

fz(t) =1

2πd

dtarg z(t) =

∫ +∞

−∞f Wz(t, f) df∫ +∞

−∞Wz(t, f) df

(3.15)

Démonstration : On pose z(t) = A(t) eiφ(t). On a, après avoir réorganiser les variables :

30

∫ +∞

−∞f Wz(t, f) df =

∫ +∞

−∞z(t+

u

2

)z∗(t− u

2

)du

[∫ +∞

−∞fe−2iπfu df

](3.16)

=∫ +∞

−∞z(t+

u

2

)z∗(t− u

2

) 12iπ

d

d uδ(u) du (3.17)

=1

2iπd

d u

[z(t+

u

2

)z∗(t− u

2

)]|u=0 (3.18)

= A2(t)d

dtφ(t) (3.19)

Comme∫ +∞

−∞Wz(t, f) df = |z(t)|2 = A2(t), la démonstration est terminée. La démonstration est

duale pour le temps de propagation de groupe et on a :

T (f) = − 12π

d

dfargZ(f) =

∫ +∞

−∞tWz(t, f) dt∫ +∞

−∞Wz(t, f) dt

(3.20)

– Interactions entre composantes fréquentielles.De par sa structure bilinéaire, la distribution de Wigner-Ville crée des interactions entre lescomposantes fréquentielles du signal :

Wz1+z2(t, f) = Wz1(t, f) +Wz2(t, f) + 2Re∫ +∞

−∞z1(t− u/2) z∗2(t− u/2) e−2iπuf du (3.21)

Deux points dans le plan temps-fréquence génèrent ainsi une interaction située en leur barycentre.– Localisation :

Une dernière propriété très importante est la capacité de la distribution de Wigner-Ville à loca-liser parfaitement les signaux monochromatiques et les chirps, c’est à dire les signaux à loi demodulation linéaire.– Sur les signaux monochromatiques :

z(t) = e2iπf0t ou Z(f) = δ(f − f0) −→Wz(t, f) = δ(f − f0) (3.22)

– Sur les chirps :

z(t) = e−iπαt2−→Wz(t, f) = δ(t− α f) (3.23)

– Sur les signaux chocs x(t) = δ(t− t0) soit X(f) = e−2iπft0

Ici, une polémique s’installe. En effet, soit le signal est analytique et il ne possède pas de fré-quence négative (ce qui n’est pas le cas de x(t)), soit le signal est réel, auquel cas, à cause de laforme bilinéaire de sa construction, Wigner-Ville engendre des interférences entre composantesde fréquences positives et négatives.

Exemple : Ainsi, si on utilise le signal réel x(t) = cos 2πf0t, Wigner-Ville donne le résultat sui-vant :Wx(t, f) = δ(f−f0)/2+δ(f+f0)/2+cos (2πf0t) δ(f). Si l’on utilise le signal analytiquez(t) = e2iπf0t, on obtient Wz(t, f) = δ(f − f0).

Pour le signal réel choc x(t) = δ(t − t0), la parfaite localisation de sa distribution n’est duequ’aux termes d’interférences entre partie à fréquence positive et partie à fréquence négative.

31

Si on utilise le signal choc z(t) construit à partir de sa forme analytique, c’est à dire δ+(t− t0)(ou Z(f) = 2Y (f) e−2iπft0 avec Y (f) l’échellon d’Heaviside), la distribution de Wigner-Villedonne une localisation non parfaite autour de t0 surtout dans les basses fréquences :

Wz(t, f) = 4Y (f)sin 4πf(t− t0)π(t− t0)

(3.24)

Les représentations affines comblent ces lacunes en restant cohérent avec les hypothèses dedépart : elles ne mélangent jamais fréquence positive et fréquence négative

3.1.3 Construction tomographique de la distribution de Wigner-Ville [9]Il a été montré que la distribution de Wigner-Ville n’est pas positive mais que, néanmoins, elle

possédait des marginales positives sur l’espace temps et sur l’espace fréquence. Il est possible d’étendrecette notion de marginales ou encore de densité conjointe à d’autres courbes du plan temps-fréquence.On peut alors montrer que la distribution de Wigner-Ville peut être encore considérée comme unedensité d’énergie positive sur des courbes bien déterminées du plan temps-fréquence : les droites. Cecipeut facilement se montrer en utilisant la propriétés d’unitarité :∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Wz(t, f)Wz1(t, f) dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(t) z∗1(t) dt

∣∣∣∣2 (3.25)

avec z1(t) = exp(iπ(at2 + 2bt+ c)

)définissant un signal chirp général. Il vient :∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Wz(t, f) δ(f − at− b) dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(t) e−iπat

2e−2iπbt dt

∣∣∣∣2 (3.26)

Le membre de gauche n’est autre que la transformation de Radon [17] de la distribution temps-fréquence tandis que le membre de droite représente le produit scalaire du signal et du signal chirpgénéral caractérisé par sa pente a et son ordonnée à l’origine b. Ainsi une transformation de Radonsur une distribution de Wigner-Ville d’un signal n’est autre qu’un filtrage adapté sur ce signal par unefamille de chirps. La mise en place numérique de la transformation de Radon est une transformée deHough, très utilisée en théorie de l’image pour détecter la présence de lignes droites dans une image.

3.1.4 Exemples de résultatsVoici quelques exemples de résultats– Signal monochromatique

z(t) = e2iπf0t −→Wz(t, f) = δ(f − f0) (3.27)

– Signal gaussien

z(t) =1√σe−πt

2/σ2−→Wz(t, f) =

√2 e−2π(t2/σ2+σ2f2) (3.28)

– Signal monochromatique d’enveloppe gaussienne

z(t) =1√σe−π(t−t0)2/σ2

e2iπf0t −→Wz(t, f) =√

2 e−2πα(t−t0)2/σ2−2πσ2(f−f0)2 (3.29)

– Chirp idéal

z(t) = eiπβt2+2iπf0t −→Wz(t, f) = δ(f − βt− f0) (3.30)

32

– Chirp d’enveloppe gaussienne

z(t) =1√σe−πt

2/σ2eiπβt

2−→Wz(t, f) =

√2 e−2π[t2/σ2+σ2(f−βt)2] (3.31)

– Somme de deux sinusoïdes

z(t) = a1e2iπf1t + a2e

2iπf2t −→ Wz(t, f) = a21δ(f − f1) + a2

2δ(f − f2)+2a1a2δ(f − (f1 + f2)/2) cos 2π(f2 − f1)t (3.32)

3.1.5 Lissage des distributions de Wigner-VillePour réduire les interférences de nature oscillantes d’un spectre de Wigner-Ville, il est judicieux

d’effectuer un lissage séparable en temps et fréquence contrôlé par deux fenêtres indépendantes tem-porelle et fréquentielle φ(t, f) = g(t)H(f). On obtient ainsi ce que l’on appelle les distributions dePseudo Wigner-Ville Lissées :

Pl(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞φ(t0, f0)Wz(t− t0, f − f0) dt0 df0 (3.33)

où g et h sont deux fenêtres paires et réelles avec h(0) = G(0) = 1. L’expression précédente se réduità :

Pl(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞h(τ) g(ν) z(t− ν + τ/2) z∗(t+ ν + τ/2) e−2iπfτ dν dτ (3.34)

La fenêtre d’analyse doit être adaptée au type de signal analysé mais il est évident que ces mé-thodes ont le défaut d’élargir les traces utiles temps-fréquence du signal (obtenues par exemple parWigner-Ville) du fait du lissage temporel et fréquentiel. Ainsi, il n’est pas rare de devoir modifier àplusieurs reprises les paramètres de contrôle des fenêtres avant d’obtenir un résultat correct.

Des méthodes ont alors été proposées et permettent de choisir, de manière optimale et automatique,la fenêtre d’analyse en fonction du type de signal analysé. Cette fenêtre est ainsi dépendante du signal.On trouve deux types d’approche :

– une analyse adaptative [21] où la fenêtre est automatiquement ajustée en fonction du type designal rencontré. Ainsi, si on choisit une fenêtre gaussienne, son écart-type se calculera adaptati-vement selon un critère énergétique. Cette méthode dispense l’utilisateur des réglages nécessairespour obtenir une bonne lisibilité.

– une analyse adaptative fondée sur le même principe mais gardant la résolution de Wigner-Villepour le signal et rejetant ou annulant les interférences [22]. Pour cela, on choisit une fenêtref(ξ, τ) = 1 dans une région temps-fréquence où le signal est présent et une fenêtre f(ξ, τ) =exp (2iπBτ) pour rejeter les interférences au delà de la bande B d’analyse du signal si le signaln’est pas présent dans la région (t, f) du plan temps-fréquence. On peut aussi choisir de nepas garder ces interférences en les supprimant grâce à la fenêtre Ψ(t, f) = 0 mais on détruit lapropriété d’unitarité de la distribution. Cette méthode est adaptative et le critère de décision dela présence ou non des interférences se fait selon un critère de type énergétique. Cette méthodea l’avantage de garder la résolution donnée par une distribution de Wigner-Ville dans les régionsd’intérêts (car f(ξ, τ) = 1) tout en rejetant les interférences hors du domaine d’analyse. Lafigure 3.1 donne un exemple de ce genre d’analyse.

33

Fig. 3.1 – Distributions temps-fréquence d’un signal de chauve-souris. (a) Distribution de Wigner-Ville faisant apparaître de grosses interférences. (b) Distribution optimale en supprimant les termesd’interférences (Ψ(t, f) = 0 en dehors des régions d’intérêt). (c) Distribution optimale en translatantles interférences au delà de B = 70 Hz par la fenêtre Ψ(t, f) = exp (2iπBt). Extrait de [22]

3.1.6 La méthode de réallocation sur les Pseudo Wigner-Ville LisséesUne méthode a récemment été proposée pour améliorer la lisibilité des méthodes temps-fréquence

[23]. Cette méthode peut être appliquée aux distributions Pseudo Wigner-Ville Lissées et a pour but dereconcentrer à leurs vraies places l’énergie des termes monocomposantes du signal élargis par l’opéra-tion de lissage. Pour ce faire, il est nécessaire de calculer la position temps-fréquences des barycentresd’énergie de la distribution temps-fréquence et de réallouer l’énergie dispersée sur les traces élargies.Cette méthode originale n’a pour but que d’améliorer a posteriori la lisibilité d’une image temps-fréquence obtenue par des méthodes conventionnelles. En voici résumé le principe de base.

Les centres de gravités des contributeurs d’énergie de la distribution temps-fréquence Wz(t, f)lissées par le noyau φ(t, f) sont donnés par :

t̂(t, f) = t−

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞t0 φ(t0, f0)Wz(t− t0, f − f0) dt0 df0∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞φ(t0, f0)Wz(t− t0, f − f0) dt0 df0

(3.35)

f̂(t, f) = f −

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f0 φ(t0, f0)Wz(t− t0, f − f0) dt0 df0∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞φ(t0, f0)Wz(t− t0, f − f0) dt0 df0

(3.36)

Cette réallocation conduit à la construction d’une distribution modifiée Pm(t′, f ′) dont la valeurdes points (t′, f ′) est la somme de toutes les valeurs de la distribution lissée Pl(t, f) réallouées en cepoint :

Pm(t′, f ′) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pl(t, f) δ(t′ − t̂(t, f)) δ(f ′ − f̂(t, f)) dt df (3.37)

34

Réallocation

Fréquence

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Pseudo Wigner-Ville Lissée

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Wigner-Ville

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Fig. 3.2 – Analyse temps-fréquence de signaux chirps par distribution de Wigner-Ville, Pseudo distri-bution de Wigner-Ville Lissée et réallocation de distribution

où la distribution Pl(t, f) est obtenue par lissage de Wz(t, f) et du noyau φ(t, f) :

Pl(t, f) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞φ(t0, f0)PVW (t− t0, f − f0) dt0 df0 (3.38)

Il est à noter que cette distribution est non-bilinéaire et qu’elle n’appartient pas à la classe deCohen. Elle conserve néanmoins la propriété de covariance par le groupe des translations en tempset fréquence, conserve l’énergie et localise parfaitement les signaux du type chirps. On remarque demême qu’il est impossible de réallouer Wigner-Ville car les centres de gravité (t̂, f̂) de cette distributionsont exactement les points (t, f). Les trois figures (3.2 à 3.4) montrent les résultats obtenus sur troistypes de signaux différents. On remarque que Wigner-Ville fait apparaître très rapidement une non-lisibilité due aux termes d’interférences et que sa distribution pseudo-lissée élargit les traces touten faisant disparaître les interférences (réglages des paramètres des fenêtres d’analyse). Les résultatsles plus surprenants concernent les méthodes de réallocation sur les Pseudo Wigner-Ville Lissées quifont pratiquement disparaître les termes d’interférences tout en améliorant les traces des fréquencesinstantanées des différentes composantes du signal : on arrive dans certains cas à obtenir une meilleurerésolution qu’avec Wigner-Ville.

3.2 Les autres distributions de la classe de CohenLe tableau (3.1) donne quelques exemples de définitions de distributions temps-fréquence de la

classe de Cohen. Voici en détail les propriétés de ces distributions

35

Réallocation

Fréquence

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Pseudo Wigner-Ville Lissée

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Wigner-Ville

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Fig. 3.3 – Analyse temps-fréquence de signaux monochromatiques par distribution de Wigner-Ville,Pseudo distribution de Wigner-Ville Lissée et réallocation de distribution

3.2.1 La ditribution de Choï-WilliamsCette distribution a été introduite dans le but de réduire les interférences intervenant dans la lecture

des distributions temp-fréquence. Le noyau f(ξ, τ) choisi est de la forme :

f(ξ, τ) = e−(πξτ/σ)2/2 (3.39)

où σ est un paramètre de contrôle de la fenêtre de lissage. Ce noyau est une forme produit des deuxvariables ξ et τ et satisfait donc les marginales (on rappelle que ceci est vérifié si f(ξ, 0) = f(0, τ) = 1).Il garantit même l’accès à la fréquence instantanée et au retard de groupe. Si le paramètre σ tend versl’infini, la distribution tend vers la distribution de Wigner-Ville. Dans le autres cas, cette distribution apour but de réduire les interférences entre composantes et prend les deux formes équivalentes suivantes :

P (t, f) =

√2π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

σ

|τ |e−2σ2(s−t)2/τ2

z(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτ ds dτ (3.40)

selon que l’on prenne le signal temporel z(t) ou le signal fréquentiel Z(f).

Pour mieux comprendre le comportement de cette distribution, on considère le signal constitué dedeux fréquences pures, soit :

z(t) = A1 e2iπf1t +A2 e

2iπf2t (3.41)Z(f) = A1 δ(f − f1) +A2 δ(f − f2) (3.42)

La distribution associée prend la forme suivante :

P (t, f) = A21 δ(f − f1) +A2

2 δ(f − f2) +K(t, f) (3.43)

36

Réallocation

Fréquence

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Pseudo Wigner-Ville Lissée

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Wigner-Ville

Tem

ps

0 Fe/4 Fe/2-T/2

0

T/2

Fig. 3.4 – Analyse temps-fréquence de signal modulé sinusoïdalement en fréquence par distribution deWigner-Ville, Pseudo distribution de Wigner-Ville Lissée et réallocation de distribution

où K(t, f) est le terme d’interférences.

K(t, f) = 2A1A2

√2π

σ

|f1 − f2|exp

(− 2σ2

(f1 − f2)2(f − (f1 + f2)/2)2

)cos 2π(f1 − f2)t (3.44)

La dernière quantité tend vers δ(f − (f1 + f2)/2) quand σ tend vers l’infini ce qui montre quela distribution de Wigner-Ville est d’énergie infinie pour f = (f1 + f2)/2. Quand σ est fini, on peutremarquer que les termes d’interférences ne sont plus localisés qu’en un seul point et qu’ils s’étalentavec une énergie maximale plus petite que celle de Wigner-Ville.

3.2.2 La distribution de Born-Jordan

Si l’on choisit un noyau du type f(ξ, τ) =sin 2πaτξ

2πaτξoù a est une constante, ceci permet encore de

réduire l’énergie des termes d’interférences. La distribution prend la forme :

P (t, f) =∫ +∞

−∞

[1

2a|τ |

∫ t+aτ

t−aτz(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)ds

]e−2iπfτ dτ (3.45)

Considérons de la même manière les termes d’interférences K(f) des deux signaux monochroma-tiques engendrés par cette distribution. On obtient :

K(f) =12a

1f2 − f1

si{

(a+ 1/2)f1 − (a− 1/2)f2 ≤ f ≤ −(a− 1/2)f1 + (a+ 1/2)f20 sinon (3.46)

37

Le terme d’interférence ne dépend donc pas de f et on a ainsi une répartition uniforme de l’énergiedans la zone considérée. Le choix a = 1/2 permet donc de répartir de manière uniforme l’énergie destermes d’interférences entre f1 et f2.

Nom f(ξ, τ) Pz(t, f)

Wigner-Ville 1∫ +∞

−∞z(t+

τ

2

)z∗(t− τ

2

)e−2iπfτ dτ

s-Wigner e2iπsξτ∫ +∞

−∞z

(t−(s− 1

2

)τ

)z∗(t−(s+

12

)τ

)e−2iπfτ dτ

Rihaczek eiπξτ z(t)Z∗(f) e−2iπfτ

Born-Jordansinπξτπξτ

∫ +∞

−∞

[1|τ |

∫ t+|τ |/2

t−|τ |/2z(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)ds

]e−2iπfτ dτ

Choï-Williams e−(πξτ/σ)2/2√

2π∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

σ

|τ |e−2σ2(s−t)2/τ2

z(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτ ds dτ

Spectrogramme Ah(ξ, τ)∣∣∣∣∫ +∞

−∞z(s)h∗(s− t) e−2iπfs ds

∣∣∣∣2

Séparable G(ξ)h(τ)∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞h(τ) g(s− t) z

(s+

τ

2

)z∗(s− τ

2

)e−2iπfτds dτ

Tab. 3.1 – Classe de Cohen : quelques exemples de fonctions de paramétrisation et leurs représentationstemps-fréquence associées

38

Chapitre 4

LES REPRÉSENTATIONSTEMPS-FRÉQUENCE AFFINES

Deux approches sont possibles : l’approche temps-echelle introduite par P. Flandrin et O. Rioul [9]et l’approche temps-frequence introduite par J. et P. Bertrand [8].

4.1 Approche temps-échelle introduite par P. Flandrin et O. RioulLes représentations temps-échelle bilinéaires qui vérifient le diagramme de covariance du groupe

affine sont répertoriées dans une classe, appelée classe affine de Cohen et sont données par :

Pz(t, a) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Π(s− ta

, aξ

)Wz(s, ξ) dξ ds (4.1)

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(aξ,

τ

a

)Az(ξ, τ) e−2iπξt dξ dτ (4.2)

=1|a|

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ψ(ξ, ν)X

(1a

(ν − ξ

2))X∗(

1a

(ν +ξ

2))e−2iπξt/a dξ dν (4.3)

où la fonction ψ(ξ, ν) est reliée à Π(t, f) par :

ψ(ξ, ν) =∫ +∞

−∞Π(t, ν) e−2iπξt dt (4.4)

Ces formes sont les plus générales qui soient. Un cas particulier est le scalogramme défini plus haut :

|Tz(t, a)|2 =∣∣∣∣ 1√a

∫ +∞

−∞z(u)h∗

(u− ta

)du

∣∣∣∣2où la fenêtre h représente l’ondelette mère. Cette distribution d’énergie peut se mettre sous la formeplus générale :

|Tz(t, a)|2 =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Wh

(s− ta

, aξ

)Wz(s, ξ) dξ ds (4.5)

Il apparaît que la classe affine est générée à partir de la distribution de Wigner-Ville par l’actiond’un lissage affine.

39

4.1.1 Sous-classe temps-échelleDe la même manière que nous avons définis des distributions pseudo Wigner-Ville lissées qui contrô-

laient de manière indépendante le lissage en fréquence et en temps, on peut s’intéresser aux distributionspseudo Wigner-Ville lissées affines qui sont obtenues par l’action d’un noyau de lissage séparable. Lenoyau f(ξ, τ) doit être choisi séparable de la forme :

f(ξ, τ) = G(ξ) e2iπH(ξ)τ (4.6)

où les deux fonctions G et H sont réelles. Cette nouvelle classe définit alors une sous-classe des distri-butions de Cohen affine et sont définies alors par :

P (t, a) =∫ +∞

−∞G(aξ)X

(H(aξ)a− ξ

2

)X∗(H(aξ)a

+ξ

2

)e−2iπξt dξ (4.7)

Lorsqu’on impose à ces nouvelles distributions de satisfaire des contraintes d’unitarité ou de locali-sation parfaite sur des signaux particuliers, les deux fonctions G et H sont alors parfaitement définies.Par exemple, la contrainte d’unitarité sur la distribution, c’est à dire :∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Pz1(t, a)P ∗z2(t, a)

da

a2=∣∣∣∣∫ +∞

−∞z1(t) z∗2(t) dt

∣∣∣∣2 (4.8)

conduit à la contrainte suivante sur G et H :

G2(ξ) = H(ξ)− ξ dH(ξ)dξ

(4.9)

La contrainte de localisation P (t, a) = |a| δ(t− t0) sur des courbes du type X(f) = |f |−1/2 e2iπft0

(notons ici que ce signal n’est en aucun cas analytique) conduit à :

G2(ξ) = H2(ξ)−(ξ

2

)2

(4.10)

Si l’on impose les deux dernières contraintes, il faut résoudre une équation différentielle qui donnel’expression des deux fonctions H et G :

H(ξ) =(ξ

2

)coth

(ξ

2

)(4.11)

G(ξ) =ξ/2

sinh ξ/2(4.12)

et on tombe sur la définition de la distribution de Bertrand dont la formulation temps-échelle estdonnée par :

P (t, a) =1|a|

∫ +∞

−∞

ξ/2sinh ξ/2

X

(ξ e−ξ/2

2a sinh ξ/2

)X∗(

ξ eξ/2

2a sinh ξ/2

)e−2iπξt/a dξ (4.13)

4.2 Approche temps-fréquence affine introduite par P. et J. Ber-trand

Les représentations temps-fréquence, définies comme fonctionnelles de la partie utile et caractériséespar (2.3) ou (2.4), qui vérifient le diagramme de covariance (2.28) sont répertoriées dans une classe,

40

appelée classe affine de Bertrand [8], et données par :

PZ(t, f) = f2r+2−q∫ +∞

0

∫ +∞

0

K(u, v)Z(f u)Z∗(f v) e2iπft(u−v) du dv (4.14)

où K(u, v) est un noyau symétrique et réel.

Cette famille de distribution, qui respecte le diagramme de covariance du groupe affine A donnépar (2.28), est la forme la plus générale qui soit. Le paramètre libre de ce type de représentation est lenoyau K(u, v) et il existe donc une infinité de ces formes.

Plusieurs modes de construction, aussi différents les uns que les autres, ont été proposés. Voicisuccinctement présenté le cheminement principal des trois grandes idées :

4.2.1 Forme diagonale du noyau K

Une première solution consiste à se restreindre à des formes quasi-diagonales du noyau du typeK(v, v′) = K(v, g(v)) où g est une fonction bijective sur R, qui permettent de réduire la forme (4.14)à une intégrale simple plus exploitable. Ce noyau peut donc être paramétré par des formes du type :

K(v, v′) =∫ +∞

−∞µ(u) δ(v − λ(u)) δ(v′ − λ(−u)) du (4.15)

qui est de la forme générale K(v, g(v)), avec la fonction λ continue et bijective de R sur R+∗ et lafonction µ assurant le caractère réel et symétrique du noyau K, on obtient alors, par deux intégrationssuccessives sur v et v′, les familles de distributions suivantes :

P (t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞µ(u)Z(fλ(u))Z∗(fλ(−u)) e2iπft(λ(u)−λ(−u)) du (4.16)

Lorsqu’on impose à cette distribution de satisfaire :– une relation d’unitarité donnée par :∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

P1(t, f)P2(t, f) f2q dt df =∣∣∣∣∫ +∞

0

Z1(f)Z∗(f) f2r+1 df

∣∣∣∣2 (4.17)

– la contrainte de localisation des signaux localisés en temps,

Z(f) = f−r−1 e−2iπft0 −→ P (t, f) = f−q−1 δ(t− t0) (4.18)

– la contrainte de localisation des signaux localisés en fréquence,

Z(f) = f−r δ(f − f0) −→ P (t, f) = f1−q δ(f − f0) (4.19)

on obtient une forme, appelée distribution affine unitaire, bien définie par les fonctions λ(u) et µ(u) etdonnée par

P (t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞

[u

2 sinh(u/2)

]2r+2

Z(fλ(u))Z∗(fλ(−u)) e2iπftu du (4.20)

avec la fonction λ continue, croissante et bijective de R dans R+∗ :

λ(u) =u

1− e−u(4.21)

41

4.2.2 Covariance étendueLa deuxième solution est d’imposer aux distributions d’être covariantes par certains groupes à trois

paramètres plus généraux contenant le groupe affine A [8]. Ces groupes Gk labélés par un réel k ontdonc trois paramètres et agissent sur chaque élément du groupe g = (a, b, c) et g′ = (a′, b′, c′) selon laloi de composition :

g g′ = (aa′, b+ ab′, c+ akc′) pour Gk, k 6= 1 (4.22)g g′ = (aa′, b+ ab′ + a(ln a), c+ ac′) pour G1 (4.23)

L’action de ces groupes Gk agissent sur les signaux analytiques Z(f) selon :

Zg(f) = ar+1 e−2iπ(bf+cfk) Z(af) pour k 6= 0, 1 (4.24)Zg(f) = ar+1 e−2iπ(bf+c ln f) Z(af) pour k = 0 (4.25)Zg(f) = ar+1 e−2iπ(bf+cf ln f) Z(af) pour k = 1 (4.26)

La covariance sur la distribution temps-fréquence se traduit par PZg (t, f) = aq P (g−1.(t, f)) :

P g(f, f) = aq P(a−1(t− b− kcfk−1), af

)pourk 6= 0, 1 (4.27)

P g(f, f) = aq P

(a−1

(t− b− c

f

), af

)pourk = 0 (4.28)

P g(f, f) = aq P(a−1(t− b− c− c ln f), af

)pourk = 1 (4.29)

Cette méthode conduit à une grande famille de distributions appelées fonctions affines de Wignerdéfinies par :

P (t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞µk(u)Z(fλk(u))Z∗(fλk(−u)) e2iπft(λk(u)−λk(−u)) du (4.30)

avec la fonction λk donnée par :

λk(u) =[ke−u − 1e−ku − 1

] 1k−1

(4.31)

La fonction µk, arbitraire doit être réelle, positive et paire. Elle est néanmoins bien déterminée si onimpose une fois de plus l’unitarité ou la localisation. Lorsqu’on impose et l’unitarité et la localisation,on retrouve bien sûr la forme (4.20).

Ainsi, si on impose l’unitarité pour ces distributions, on tombe sur la condition suivante :

µk(u) = (λk(u)λk(−u))r+1

√d

du(λk(u)− λk(−u)) (4.32)

Ainsi pour k = 2, q = 0, r = −1/2, on retrouve la distribution de Wigner-Ville restreinte ici auxsignaux analytiques.

Si on impose les distributions soient localisables sur les signaux chocs, c’est à dire,

Zt0(f) = f−r−1 e−2iπft0 −→ P (t, f) = f−q−1 δ(t− t0) (4.33)

il est nécessaire de satisfaire les conditions suivantes :

42

– la correspondance u −→ (λk(u)− λk(−u)) est bijective de R dans R.

Cette condition impose forcément k ≤ 0 ce qui, d’emblée, exclut totalement la distribution deWigner-Ville comme distribution localisable sur les signaux chocs.

– µk(u) = (λk(u)λk(−u))r+1 ddu (λk(u)− λk(−u))

Pour les k négatifs, la covariance étendue par le groupe Gk peut être appliquée aux signaux chocs.L’opération montre que :

Z(f) = f−r−1 e−2iπc fk

e−2iπft0 −→ Pk(t, f) = f−q−1δ(t− t0 − k c fk−1

)k < 0 (4.34)

Z(f) = f−r−1 f−2iπβ e−2iπft0 −→ P0(t, f) = f−q−1δ

(t− t0 −

β

f

)k = 0 (4.35)

(4.36)

Le cas k = 0 est un exemple de cas qui satisfait aux deux conditions : c’est la distribution affineunitaire rencontrée en (4.20) :

P0(t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞

(u

2 sinhu/2

)2r+2

Z

(ufe−u/2

2 sinhu/2

)Z∗(

ufeu/2

2 sinhu/2

)e−2iπftu du (4.37)

Cette distribution localise ainsi les signaux dits hyperboliques.

Le cas k = −1 est appelée distribution active d’Unterberger et correspond au cas λ−1(u) = eu/2 etµ−1(u) = coshu/2 et localise les signaux dont le temps de propagation de groupe décroit en 1/f2.

4.2.3 Approche tomographiqueUne troisième solution repose sur une méthode de construction par tomographie déjà proposée dans

le cas de la distribution de Wigner-Ville [16]. La forme obtenue dans ce cas est la distribution affineunitaire (4.20).

Il peut être montré que la distribution affine unitaire n’est pas positive mais que, néanmoins, ellepossédait des marginales positives sur l’espace temps et sur l’espace fréquence. Il est possible d’étendrecette notion de marginales ou encore de densité conjointe à d’autres courbes du plan temps-fréquence.On peut alors montrer que la distribution affine unitaire peut être considérée comme une densitéd’énergie positive sur des courbes bien déterminées du plan temps-fréquence : les hyperboles. Cecipeut facilement se montrer en utilisant la propriétés d’unitarité :∫ +∞

0

∫ +∞

−∞P (t, f)P1(t, f) f2q dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

0

Z(f)Z∗1 (f) f2r+1 df

∣∣∣∣2 (4.38)

avec f−r−1 f−2iπβ e−2iπfξ définissant un signal hyperbolique. Il vient :∫ +∞

0

∫ +∞

−∞P (t, f) δ

(t− ξ − β

f

)fq dt df =

∣∣∣∣∫ +∞

0

Z(f) e2iπξf f2iπβ+r

∣∣∣∣2 (4.39)

Le membre de gauche n’est autre que la transformation de Radon généralisée de la distributiontemps-fréquence affine tandis que le membre de droite représente le produit scalaire entre le signalZ(f) et les signaux hyperboliques : cette transformation définit la transformation de Mellin [24, 25]du signal qui joue un rôle très important dans toute l’étude ou le calcul de ces distributions

43

4.2.4 La représentation temps-fréquence affine unitaireLa forme la plus exploitable en analyse de signaux est la distribution affine unitaire qui permet de

localiser en temps ou en fréquence des signaux localisés en temps (comme par exemple des chocs) ouen fréquence (comme des signaux monochromatiques). Cette distribution est donnée par :

P (t, f) = f2r+2−q∫ +∞

−∞

[u

2sh(u/2)

]2r+2

Z(fλ(u))Z∗(fλ(−u)) e2iπftu du (4.40)

avec la fonction λ continue, croissante et bijective de R dans R+∗ définie par :

λ(u) =u

1− e−u=

u eu/2

2 sinhu/2(4.41)

Cette distribution dépend du paramètre r de dimensionnement du signal, mais aussi de son propreparamètre q de dimensionnement.

Propriétés de la représentation affine unitaire

Voici quelques unes de ses propriétés les plus intéressantes :– La représentation affine peut être considérée comme une pseudo-densité dans le plan temps

fréquence : ∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

P (t, f) fq dt df =∫ +∞

0

|Z(f)|2 f2r+1 df (4.42)

Le choix q = 0 confère à la distribution une signification probabiliste.– Covariance par le groupe affine étendu

Z(f) −→ Z ′(f) = ar+1 e−2iπ(bf+c ln f) Z(af)↓ ↓ (4.43)

P (t, f) = P ′(t, f) = aq P (a−1(t− b− c/f), af)

– Conservation du support fréquentiel du signal

En particulier P (t, f) = 0 pour f < 0 (Signal analytique nul aux fréquences négatives)– Formule de Moyal ou unitarité∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

P1(t, f)P2(t, f) f2q dt df =∣∣∣∣∫ +∞

0

Z1(f)Z∗2 (f) f2r+1 df

∣∣∣∣2 (4.44)

Cette relation est l’analogue large bande de la formule de Moyal pour la classe de Cohen– Marginalisation sur le temps ∫ +∞

−∞P (t, f) dt = f2r+1−q |Z(f)|2 (4.45)

La marginalisation usuelle (telle qu’on la définit pour la distribution de Wigner-Ville) est ainsiobtenue pour un paramètre de dimensionnement q égal à 2r + 1.

La propriété de marginalisation sur la fréquence n’est, elle, pas définie de manière simple, laforme intégrale étant alors difficile à calculer. Il n’est pourtant pas raisonnable d’espérer obtenirpour des signaux à grande largeur de bande relative, l’enveloppe du signal analytique (au sensbande étroite) qui ne reste qu’une notion bande étroite, mais plutôt une extension large bandede cette quantité.

44

– Le moment du premier ordre sur le temps de la distribution définit le retard de groupe du signal.∫ +∞

−∞t P (t, f) dt∫ +∞

−∞P (t, f) dt

= τg(f) (4.46)

Le moment du premier ordre sur la fréquence est encore une grandeur très difficile à calculerde manière analytique. De le même façon que pour la marginalisation sur les fréquences, il n’estpourtant pas raisonnable d’espérer obtenir pour des signaux à grande largeur de bande relative,la fréquence instantanée du signal analytique (au sens bande étroite) qui ne reste qu’une notionbande étroite, mais plutôt une extension large bande de cette grandeur.

– Parfaite localisation des signaux du type :– Signaux monochromatiques :

Z(f) = f−r δ(f − f0) −→ P (t, f) = f1−q δ(f − f0) (4.47)

– Signaux chocs :

Z(f) = f−r−1 e−2iπfξ −→ P (t, f) = f−q−1 δ(t− ξ) (4.48)

– Signaux hyperboliques à temps de propagation de groupe hyperbolique (Voir figures 4.1 et 4.2 :

Z(f) = f−2iπβ−r−1 e−2iπfξ −→ P (t, f) = f−q−1 δ(t− ξ − β/f) (4.49)

– A bande étroite, P (t, f) tend vers la distribution de Wigner-Ville Wz(t, f)

Il suffit de remarquer que, lorsque le signal est à bande étroite autour de la fréquence centrale f0,la contribution majeure de l’intégrale, définie par l’expression (4.40), est obtenue au voisinagede u = 0. En développant λ(u) et λ(−u) en série dans (4.40), en effectuant le changement devariable γ = fu, et en posant q = 2r+ 1 (pour satisfaire à la propriété de marginalisation usuellede la distribution de Wigner Ville), on obtient :

P (t, f) = f

∫ +∞

0

Z(f(1 + u/2)), Z∗(f(1− u/2)) e2iπftu du (4.50)

=∫ +∞

0

Z(f + γ/2)Z∗(f − γ/2) e2iπγt dγ (4.51)

Le deuxième terme de (4.51) n’est autre que la définition de la distribution de Wigner-Ville.

4.2.5 Lissage de la représentation affine unitaireDe la même manière que pour Wigner-Ville, il est possible de lisser la représentation affine unitaire

pour réduire les interférences.

Faisons l’hypothèse que le signal fenêtre H(0,f0)(f) soit bien "localisé" en t = 0 autour de lafréquence f0. Lorsqu’on fait subir à H une transformation du groupe affine (a, b) caractérisé par unetranslation de temps b = t et un changement d’échelle a = f0/f , le signal transformé H(t,f)(f), localiséautour du temps t et autour de la fréquence f prend la forme

H(t,f)(f ′) =(f

f0

)−r−1

e−2iπf ′tH(0,f0)

(f0ff ′)

(4.52)

45

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.5

1−5 0

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Fig. 4.1 – Distribution temps-fréquence affine unitaire d’un signal hyperbolique

Par le diagramme de commutativité du groupe affine, la distribution P(t,f) associée à H(t,f) prendla forme :

P(t,f)(t′, f ′) =(f

f0

)−qP(0,f0)

(f

f0(t− t′), f0

ff ′)

(4.53)

En remplaçant dans la formule d’unitarité Z1 = Z et Z2 = H(t,f), on obtient une distribution lisséequi a la forme :

P̃ (t, f) = f−q∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

PZ(t′, f ′)P(t,f)(t′, f ′) f ′2q dt′ df ′ (4.54)

On obtient ainsi le résultat par la formule de Moyal :

P̃ (t, f) = f−q∣∣∣∣∫ +∞

0

Z(f ′)H∗(t,f)(f′) f ′2r+1 df ′

∣∣∣∣2 (4.55)

qui n’est que la transformée en ondelette du signal Z par l’ondelette mère H. la figure 4.3 montre unetransformée en ondelette d’un signal hyperbolique.

46

−15

−10

−5

0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.5

1−30 −20 −10 0

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Fig. 4.2 – Distribution temps-fréquence affine unitaire d’un signal composé de deux signaux hyperbo-liques croisés

−15

−10

−5

0

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.5

1−5 0

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Fig. 4.3 – Transformation en ondelette d’un signal hyperbolique

47

Chapitre 5

EXEMPLES

48

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

0454908

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

|STFT|2, Lh=16, Nf=64, log. scale, imagesc, Thld=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.1 – Analyse temps-fréquence de signaux chirps par Spectrogramme

−40−20

020406080

Rea

l par

t

Signal in time

01.1762.3519

x 106

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

SP, Lh=30, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

50 100 150 200 250 3000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.2 – Analyse temps-fréquence d’un signal de parole par Spectrogramme (’GABOR’)

49

−0.5

0

0.5

1

Rea

l par

t

Signal in time

0182365

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

WV, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.3 – Analyse temps-fréquence de deux logons de Gabor par Wigner-Ville

−1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

07251450

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

WV, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.4 – Analyse temps-fréquence d’un signal chirp par Wigner-Ville

50

−1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

07251450

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

PWV, Lh=16, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.5 – Analyse temps-fréquence de quatre logons de Gabor par Wigner-Ville

−0.5

0

0.5

Rea

l par

t

Signal in time

0200400

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

WV, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.6 – Analyse temps-fréquence de quatre logons de Gabor par Pseudo-Wigner-Ville

51

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

0716914338

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

WV, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.7 – Analyse temps-fréquence d’une raie pure et d’un logon de Gabor par Wigner-Ville

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

0716914338

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

PWV, Lh=16, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.8 – Analyse temps-fréquence d’une raie pure et d’un logon de Gabor par Pseudo-Wigner-Ville

52

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

0716914338

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

SPWV, Lg=6, Lh=16, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.9 – Analyse temps-fréquence d’une raie pure et d’un logon de Gabor par Pseudo-Wigner-Ville-Lissée

−0.5

0

0.5

1

Rea

l par

t

Signal in time

0498996

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

20 40 60 80 100 120

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4SCALO, Morlet wavelet, Nh0=11.3137, N=128, log. scale, pcolor, Thld=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

Fig. 5.10 – Analyse temps-fréquence de deux logons de Gabor par Scalogramme

53

−0.2

0

0.2

Rea

l par

t

Signal in time

0511

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

20 40 60 80 100 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

BERT, N=128, log. scale, pcolor, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

Fig. 5.11 – Analyse temps-fréquence d’un signal hyperbolique par Distribution affine unitaire

−1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

047879575

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

RSP, Lh=13, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.12 – Analyse temps-fréquence d’un signal académique par Distribution Spectrogramme Réal-louée

54

−1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

047879575

Linear scale

Ene

rgy

spec

tral d

ensi

ty

RSP, Lh=13, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.13 – Analyse temps-fréquence d’un signal académique par Spectrogramme

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

017923583

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

WV, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.14 – Analyse temps-fréquence d’un signal académique par Wigner-Ville

55

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

017923583

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

SPWV, Lg=6, Lh=16, Nf=128, lin. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.15 – Analyse temps-fréquence d’un signal académique par Pseudo-Wigner-Ville-Lissée

56

−1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in time

017923583

Linear scale

Ener

gy s

pect

ral d

ensi

ty

RSPWV, Lg=6, Lh=16, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uenc

y [H

z]

20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Fig. 5.16 – Analyse temps-fréquence d’un signal académique par Pseudo-Wigner-Ville-Lissée Réallouée

57

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