DM n9

DM n9 : Phénomènes de propagation unidimensionnels

A rendre pour le Jeudi 16 Mars

L’énoncé comporte deux problèmes :

Problème I : Modes propres d’une corde de guitare avec et sans raideur.

Problème II (facultatif ) : Le Millenium bridge - parties II et III (d’après Mines 2016). Ce problème ne serapas corrigé si le problème I n’a pas été entièrement cherché.

1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

1

Problème I : Modes propres d’une corde de guitare avec et sans raideur

Ce problème traite de l’un des instruments de musique à cordes le plus répandu : la guitare.

2

On cherche dans un premier temps à modéliser la dynamique d’une des cordes de la guitare. Pour

cela, on utilise un modèle simplifié où la corde, de masse linéqiue µ, est fixée d’une part au sillet du

chevalet (en x=0) et d’autre part au sillet de tête (en x=L), les deux sillets étant distants de L=65cm. La

corde, à ce stade considérée comme infiniment souple et donc sans raideur, est constamment

tendue de part et d’autre par une tension notée To. La pesanteur étant négligée, la corde est

confondue avec l’axe Ox à l’équilibre. Lors de son mouvement, un point de la corde d’abscisse x est

repéré à la date t par son déplacement y(x,t) que l’on suppose perpendiculaire à Ox. Par ailleurs on

note α(x,t) l’angle que fait à la date t la tangente à la corde à l’abscisse x avec l’axe Ox. Cet angle est

supposé petit de sorte qu’il est légitime par la suite d’effectuer un développement limité d’ordre 1

par rapport à cet angle.

Question 1. Montrer que, dans le cadre des approximations effectuées, la tension est uniforme

le long de la corde.

Question 2. Montrer alors que y(x,t) vérifie l’équation aux dérivées partielles suivante :

01

2

2

22

2

t

y

cx

y avec

oT

c

Que représente la grandeur c ?

z

3

On cherche à déterminer les modes propres de la corde. Pour cela on recherche une solution de la

forme )cos(cos),( tkxytxy o .

Question 3. Justifier le choix d’une telle solution et donner sans démonstration la relation de

dispersion.

Question 4. Montrer que les conditions aux limites entraînent que la fréquence doit prendre les

valeurs suivantes :

L

ncfn

2 où n désigne un entier naturel non nul, appelé rang du mode propre

Question 5. Faire une représentation graphique des modes propres de rang 1, 2 et 3 de la corde.

Question 6. A partir de l’analyse des documents, expliquer de manière très concrète dans

quelle(s) circonstance(s) la dépendance de ω1 par rapport aux paramètres To, µ et L apparaît

dans l’utilisation d’une guitare.

En pratique les cordes de la guitare sont pincées par l’un des doigts du joueur à proximité de la

rosace, à une distance l du sillet du chevalet, comme l’illustre la figure ci-dessous. Le joueur doit alors

exercer une force Fj pour déplacer la corde d’une distance d<< l. On suppose que la tension To reste

inchangée.

Question 7. Calculer la force Fj, en newton, que doit exercer un joueur de guitare classique sur

une corde de mi aigu (E4) s’il désire la déplacer de 12 mm, sachant que la corde a un tirant

égal à 30 et que le joueur la pince au niveau du centre de la rosace.

La réponse à cette question nécessite de l’initiative. Le candidat est invité à consigner ses pistes de recherche, à y consacrer un temps suffisant. La qualité de la démarche choisie et son explicitation seront évaluées tout autant que le résultat final.

4

Le joueur lâche la corde sans vitesse initiale dans les conditions de la question précédente. Les figures présentées ci-dessous sont une simulation numérique de la forme de la corde à différents instants répartis de manière régulière, le tout sur une demi-période d’oscillation. L’abscisse est la grandeur adimensionnée x/L et l’ordonnée est exprimée en cm.

Question 8. Expliquer sans calculs comment cette simulation peut être être réalisée à partir de l’étude des modes propres. D’après les figures, le mouvement de la corde traduit-il la propagation d’une onde progressive ? stationnaire ? Justifier.

5

En réalité, à cause de l’élasticité du matériau constituant une corde, il faut prendre en compte sa

raideur. Il nous faut donc affiner le modèle adopté jusqu’à présent. On considère toujours que les

mouvements de la corde sont transversaux, et contenus dans le plan vertical xOy. La théorie de

l’élasticité montre que la tension ),( txT n’est plus tangente à la corde et que pour permettre la

courbure de la corde, il faut prendre en compte un couple de moment dont l’expression est donnée

par :

2

24

4),(

x

yE

rtx

Où r désigne le rayon de la corde, E (appelé « module d’Young »), traduit les propriétés d’élasticité du

matériau constituant la corde et s’exprime en Pascal.

La portion de corde comprise entre les abscisses x et x + dx est donc soumise aux forces de tension et aux couples :

yyxog utxTuTtxT ),(),( zutx ),( en x

yyxod utdxxTuTtxT ),(),( zutdxx ),( en x+dx

On s’intéresse à un élément infinitésimal de corde situé entre les abscisses x et x+dx. On appelle A

l’extrémité située en x, B l’extrémité de la corde située en x+dx, G le barycentre de cet élément de

corde.

Question 9. Donner les expressions des vecteurs GAet GB dans le référentiel barycentrique de

repère (G, xu , yu , zu ) en fonction de dx et x

y

.

Question 10. En appliquant le théorème du moment cinétique barycentrique par rapport à l’axe

(Gz) à un élément de corde situé entre les abscisses x et x+dx, établir une équation faisant

intervenirx

y

,

x

et ),( txTy . On fera l’approximation que le moment d’inertie de l’élément

de corde par rapport à (Gz) est nul.

Question 11. Rappeler la relation qui existe entre t

y

et

x

Ty

établie à la question 2. En déduire

l’équation de propagation suivante :

04 4

44

2

2

2

2

x

yE

r

x

yT

t

yo

6

On s’intéresse à l’influence de la raideur sur les fréquences propres de la corde. On se place donc

dans un mode propre de vibration et on suppose que tkxytxy o coscos),( . La corde est

toujours fixée à ses deux extrémités.

Question 12. Déterminer la relation de dispersion ω(k) d’un tel mode.

Question 13. Montrer que les modes propres de la corde s’écrivent sous la forme :

212

BnL

ncfn , où B est une constante à déterminer.

Question 14. Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de nf avec et sans

raideur de la corde. Commenter.

Question 15. Calculer le rang n du mode dont la fréquence nf est plus élevée d’un demi-ton que

celle de la corde idéale déterminée à la question 4 et dans le cas de la corde de Mi aigu (E4).

***

Fin du problème I

A 2016 - PHYSIQUE I PSI

CONCOURS

COMMUN

MINES

PONTS

Ecole des PONTS ParisTech,ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,

TELECOM ParisTech, MINES ParisTech,MINES Saint-Etienne, MINES Nancy,

TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP).

CONCOURS 2016

PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE

(Durée de l'épreuve : 3 heures)L'usage de la calculatrice est autorisé.

Sujet mis a la disposition des concours :Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours

Centrale-Supelec (Cycle international).

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparentesur la premiere page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI

L’enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d’enonce, il lesignale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il estamene a prendre.

Le Millennium Bridge

Le Millennium Bridge

Pour marquer le millenaire, une nouvelle passerelle aete construite au dessus de la Tamise a Londres pourun cout total de plus de 20 millions de Livres Ster-ling. Quand elle fut ouverte aux pietons on remar-qua tres vite qu’elle se balancait lateralement et ver-ticalement en cas de forte affluence. Avec un grandnombre de pietons, son mouvement oblique etait telque la plupart d’entre eux s’arretaient et s’accrochaientaux rampes. Des images et des videos ont montre queces mouvements lateraux pouvaient avoir une ampli-tude moyenne de 75 mm et qu’ils se produisaient avecdes frequences de l’ordre du hertz. Le pont fut doncferme deux jours apres son ouverture au public. Dix-huit mois de recherches furent necessaire pour resoudrele probleme et faire les modifications preconisees par lesingenieurs qui furent donc finalement consultes.L’objectif de ce probleme est la modelisation de plus enplus fine d’une passerelle pietonne et la comprehensionde certains problemes poses par le Millennium Bridgede Londres.Les vecteurs sont surmontes d’un chapeau s’ils sontunitaires ux ou d’une fleche dans le cas general ~v.A l’exception de i tel que i2 = −1, les grandeurs complexes sont soulignees : z ∈ C. Un pointsur une grandeur indique la derivee par rapport au temps de cette grandeur : x = dx

dt.

~gm

®k

G

O

xu

Fig. 1 – Oscillateur

I. — Oscillateur simpleUn oscillateur est constitue d’une masse m dont le centre d’inertie G estrepere par la position x dans le referentiel galileen (O, ux) – voir figure 1.L’origine O se situe au niveau du sol. L’oscillateur est relie a un supportfixe par l’intermediaire d’un ressort lineaire de raideur k et de longueura vide ℓ0 ainsi que d’un amortisseur lineaire de viscosite α, exercant surm une force de frottement ~Ff = −αxux, avec α > 0. A tout instant t,on assimile la distance OG a la longueur ℓ(t) du ressort. L’ensemble estsoumis a l’acceleration de la pesanteur ~g = −g ux avec g = 9,81m · s−2.

1 — En appliquant la relation fondamentale de la dynamique etablir l’equation differentielleX + 2ξω0X + ω2

0X = 0 dans laquelle on a introduit la fonction X (t) = x (t)− x ou x est uneconstante que l’on determinera en fonction de g, ω0 et ℓ0. On precisera les expressions etsignifications de ω0 et ξ.

2 — Dans le regime libre, le systeme est mis en vibration uniquement par des conditionsinitiales non nulles X(0) = X0 6= 0 et X (0) = V0 6= 0. Determiner les solutions du regimelibre (en fonction de ω0, ξ, X0, V0 et t) pour les cas ξ = 0 et 0 < ξ < 1 et preciser leurcomportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le systeme une force proportionnelleau vecteur vitesse que l’on ecrit ~Fv = βxux, avec β > 0. Quelle peut-etre la consequence de cephenomene ?

Differents cas peuvent etre examines pour l’excitation (ou forcage) F (t) de l’oscillateur etudielors des deux premieres questions. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle pietonne.

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Physique I, annee 2016 — filiere PSI

L’action de la marche d’un pieton est caracterisee par un contact continu sur la surface du solpuisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendreecomprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte danscette partie.

Charge parpied

[unités arbitraires]

Chargecombinée

[unités arbitraires]

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0,5

1,0

1,5Pieddroit

Piedgauche

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0,0

1,0

2,0

Temps [seconde]

Charge

Figure 2 – Forcage d’une passerelle par la marche d’un pieton.

Dans le cadre d’un modele simplifie, nous representerons cette force, appelee charge, par un

vecteur periodique ~F (t) = ~F0 + ~F1 cos (2πft).

Le vecteur ~F0 correspond a la force statique, c’est-a-dire au poids du pieton, la frequencef correspond a celle d’une marche normale. Nous considererons que ~F1 = 0,4 ~F0. Ces deuxvecteurs seront supposes constants et orientes comme −ux.

On note F0 =∥∥∥ ~F0

∥∥∥ le module de la force statique, Y = X + F0

mω20la reponse en deplacement de

l’oscillateur et Y= Ymeiωt sa representation complexe.

3 — Que devient l’equation de l’oscillateur en Y sous le forcage pieton ? Determiner la fonc-tion de transfert H(ω), rapport de la representation complexe de la reponse en deplacement Ysur la representation complexe de l’excitation E= 1

mF1. On exprimera H= Y /E en fonction de

ξ, ω0 et Ω = ωω0.

4 — Sous quelle condition portant sur ξ, un phenomene de resonance peut-il se produire ?Pour quelle pulsation ωr obtient-on alors ce phenomene ? Exprimer le gain en amplitude a laresonance |H| (ωr) dans la limite ξ2 ≪ 1 .

5 — En se placant dans l’hypothese ξ2 ≪ 1 et a partir d’une analyse de la courbe 1 dela figure 3, determiner un ordre de grandeur de ξ ainsi que la valeur de la pulsation propreω0 de l’oscillateur modelisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseursharmoniques.

6 — Pourquoi est-il important de determiner les frequences de resonance d’une structuresoumise a une action periodique ?

Afin d’etudier precisement les proprietes du forcage que constitue la marche d’un pieton, onrealise l’acquisition en laboratoire du signal correspondant a cette sollicitation.

7 — Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d’utiliser pour obtenir un signalelectrique issu de la marche d’un pieton ?

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Le Millennium Bridge

®k

®aka

m G

Etage d’amortissementharmonique

4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 5 7 9 11 13 15 17 1910

5

0

-5

[rad.s ]-1!

!2

0 £jHjj

[dB]

avec amortisseurharmonique

Courbe 2

sans amortisseurharmonique

Courbe 1

Figure 3 – Schema et reponse d’un amortisseur harmonique applique au modele du MillenniumBridge.

L’acquisition est effectuee sur des durees allant de quelques secondes a quelques minutes. Lessignaux ainsi obtenus sont similaires mais pas parfaitement identiques. Chacun de ces signauxpresente les caracteristiques essentielles du signal de la charge combinee representee sur lafigure 2. On calcule alors le spectre de ces signaux en les echantillonnant en N = 300 pointsequidistants sur un intervalle [tmin,tmax]. Les differents spectres obtenus sont rassembles sur lafigure 4.

8 — Analyser et interpreter aussi precisement que possible ces differents spectres. Sont-ilstous exploitables ? Lequel vous paraıt le plus pertinent ? En deduire la (ou les) frequence(s)caracteristique(s) de la marche etudiee. Etait-ce qualitativement previsible ?

0 2 4 6

N t= 300 ; = 1,0 s ; ,0 smin tmax = 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

N t= 300 ; = 1,0 s ; 27,0 smin tmax =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

10-2

100

N t= 300 ; = 1,0 s ; ,0 smin tmax = 90

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

10-2

100

N t= 300 ; = 1,0 s ; ,0 smin tmax = 180

f [Hz]

f [Hz] f [Hz]

8 10 12 14

f [Hz]

1 2

3 4

Figure 4 – Spectres des signaux correspondants a la marche d’un pieton

9 — A partir d’une exploitation des donnees fournies dans le sujet, expliquer l’origine duprobleme concernant le Millennium Bridge et justifier que l’installation d’amortisseurs harmo-niques ait pu le resoudre.

FIN DE LA PARTIE I

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Physique I, annee 2016 — filiere PSI

II. — Systeme elastique continuLes systemes reels sont rarement discrets. Ainsi la poutre de structure d’une passerelle estdeformable en tout point. Nous sommes donc en presence d’un probleme de dynamique desmilieux continus mais d’un point de vue pratique l’etude des systemes continus se ramenefinalement a celle liee aux systemes discrets : c’est la discretisation des systemes continus.

On negligera dans la suite du probleme l’action de la pesanteur.

On considere un solide homogene, de masse volumique ρ constante, qui a la forme d’un cylindrede section S et d’axe (O,ux) horizontal, le long duquel on etudie les petits mouvements dedeformation.

Dans le domaine d’elasticite du materiau, la norme F de la force de traction permettant a unsolide de longueur L de s’allonger de ∆L est donnee par la loi de Hooke : F = ES∆L

Lou E est

une constante appelee module d’Young du materiau.

10 — Quelle est l’unite d’un module d’Young ? On motivera sa reponse pour laquelle onutilisera une seule unite du systeme international.

11 — On note X(x,t) le deplacement par rapport a la position de repos d’une section planed’abscisse x. Calculer la variation relative de longueur d’une tranche elementaire du cylindre

de longueur au repos dx et en deduire la force de traction−→F (x,t) = F (x,t)ux exercee par la

partie ≪ droite ≫ (du cote des x croissants) sur la partie ≪ gauche ≫ (du cote des x decroissants)en fonction de E, S et ∂X

∂x. Ecrire l’equation du mouvement de la tranche de longueur dx et en

deduire l’equation aux derivees partielles verifiee par X(x,t).

Afin de prendre en compte le mouvement transverse de la passerelle on introduit un axe verticaldirige selon le vecteur unitaire uy et on adopte le modele de la corde. Dans ce modele bidi-mensionnel, la passerelle est representee a l’instant t par une ligne d’equation y (x,t) de masselineique µ uniforme.

T t( )x dx+ ,~

x dx+

y x dx( + )

x

y( )x

¡T t( )x,

® t( )x,

bux

buy

~

Figure 5 – Troncon de corde elastique

En un point M (x,y) de la passerelle, on definitle vecteur unitaire tangent uτ a la passerelle telque uτ (x,t) = cos [α (x,t)] ux + sin [α (x,t)] uy. Lesdeplacements sont contenus dans un plan verti-cal et sont de faible amplitude. On suppose doncqu’a chaque instant α (x,t) ≃ ∂y(x,t)

∂x≪ 1. Sous

ces hypotheses, la longueur de la corde ne variepas et chaque troncon infinitesimal de la passe-relle n’est deplace que selon la verticale. En chaquepoint M (x,y) de la passerelle regne a chaque ins-

tant t une tension ~T (x,t) portee par uτ . Un troncon de corde est represente sur la figure 5.

12 — En appliquant un theoreme de mecanique a un troncon de corde infinitesimal delongueur dℓ =

√dx2 + dy2, montrer que, sous les hypotheses effectuees, le module de la tension

de la corde est independant de x. On le notera T0.

13 — Montrer alors que l’on peut ecrire∂2y

∂t2= c2ℓ

∂2y

∂x2ou l’on exprimera cℓ en fonction de

T0 et µ.

FIN DE LA PARTIE II

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Le Millennium Bridge

III. — Modele de la poutre elancee

Dans un modele couramment utilise, on peut assimiler une passerelle a une poutre homogene desection rectangulaire de largeur b selon (O,uz) et de hauteur h selon (O,uy). Pour des contraintesmoderees, induisant un deplacement vertical petit devant les dimensions transversales de lapoutre, c’est-a-dire y(x) tres petit devant h ou b, on peut alors se placer dans une extension dumodele de la corde.

On considere une passerelle de section S, de masse volumique ρ, de module d’Young E et dontle moment quadratique de la section droite par rapport a l’axe (O,uz) est I = 1

12bh3. L’ecriture

des contraintes conduit alors a une equation aux derivees partielles de la forme

ρS∂2y

∂t2+ IE

∂4y

∂x4= 0

14 — On cherche des solutions sous la forme y (x,t) = f (x) g (t). De quel type d’ondes’agit-il ? Sous quelles hypotheses de telles ondes apparaissent-elles dans ce genre de structure ?

15 — Determiner les equations differentielles verifiees par f (x) et g (t). En deduire queg (t) est une fonction periodique de pulsation ω constante. Combien de constantes d’integrationssont necessaires a la determination complete de la solution y (x,t) correspondant a la situationetudiee ?

16 — Justifier precisement que l’on puisse ecrire

f(x) = A cos (βx) + B sin (βx) + C ch (βx) +D sh (βx)

ou A,B,C et D sont des constantes d’integration, on precisera l’expression de β en fonction desdonnees du probleme.

On se place dans l’hypothese d’une passerelle de longueur L en appui simple a ses extremites,

les conditions aux limites s’ecrivent y|x=0,t = y|x=L,t = 0 et∂2y

∂x2

∣∣∣∣x=0,t

=∂2y

∂x2

∣∣∣∣x=L,t

= 0.

17 — Determiner les pulsations propres ωn de vibration transversale d’une poutre en appuisimple en fonction de L, E, I, ρ, S et d’un entier n caracterisant le mode.

18 — Differents modes de vibrations d’une passerelle ont ete representes sur la figure 6,quels sont ceux correspondants a l’etude proposee dans cette section ? Identifier de facon argu-mentee pour chacun de ces modes, l’entier n le caracterisant.

La passerelle du Millennium Bridge est globalement une poutre en aluminium de 322 m delongueur, d’epaisseur h = 1,07m (42 pouces) et de largeur b = 4m (158 pouces). Elle reposesur 4 appuis en creant 3 travees solidaires de L1 = 70m, L2 = 144m et L3 = 108m. On donnela masse volumique de l’aluminium ρ = 2700 kg ·m−3 et son module d’Young E = 69× 109 SI.

19 — Dans le cadre du modele de la poutre sur appui simple, existe-t-il des modes devibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d’entrer en resonance avec un forcagepar des pietons ? Discuter egalement de la possibilite d’une excitation resonante de certainsmodes de vibration laterale, c’est-a-dire dans le sens de la largeur b. On motivera ses reponsespar une argumentation precise.

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Physique I, annee 2016 — filiere PSI

Mode a

Mode b

Mode c

Mode e

Mode g

Mode d

Mode f

Mode h

Figure 6 – Differents modes de vibration d’une passerelle en appui libre aux deux extremites

FIN DE LA PARTIE III

FIN DE L’EPREUVE

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