DOCTORAT DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEUREw3.lmt.ens-cachan.fr/PDFs/RAGUENEAU.1999.6.pdf · 11-2.1 Analyse modale - Calculs statiques non-linéaires 52 II-2.2 Séquence de chargement

DOCTORAT DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN

Spécialité : Mécanique, Génie Mécanique, Génie Civil

présentée par

Frédéric RAGUENEAU

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L~ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN

sujet :

FONCTIONNEMENT DYNAMIQUE DES STRUCTURES EN BÉTON - INFLUENCE DES

COMPORTEMENTS HYSTÉRÉTIQUES LOCAUX

Soutenue le 7 janvier 1999 devant le jury composé de :

M. GÉRADIN M.

M. DARVE F.

M. REYNOUARD J.M.

M. BISCH P.

M. LA BORDERIE C.

M. MILLARD A.

M. MAZARS J.

Président

Rapporteur

Rapporteur

Examinateur

Examinateur

Examinateur

Directeur de Thèse

Laboratoire de Mécanique et Technologie

ENS Cachan 1 CNRS 1 Université Pierre et Marie Curie

61, avenue du Président Wilson, 94 235 Cachan cedex

Remerciements

En premier lieu, je tiens à vivement remercier les membres du jury, Mr Géradin qui m'a fait

l'honneur de le présider, Mrs Bisch et Millard qui ont examiné le document, apportant ainsi un

nouveau regard sur les résultats et enfin, tout particulièrement, Mrs Dame et Reynouard qui ont

volontiers accepté de rapporter ce travail.

Mes remerciements s'adressent bien évidemment à Christian La Borderie qui malgré la distance,

a su orienter mes efSorts, tant scientiiJiques que vélocipédiques. Un grand merci aussi à toute sa

petite famille pour son hospitalité en Pays Basque. Jacky Mazars a dirigé cette thèse et en a

donné les grandes orientations, nos discussions et séances de travail, tant cordiales que

nocturnes, ont jalonné ces trois années de manière sympathique et productive. Pour tout cela, je

le remercie.

Une partie expérimentale de cette thèse a été réalisée au département Génie Civil de 1 'ENS-

Cachan. J'en remercie tous ses membres et principalement Jean-Luc Clément, dont l'aide fût

précieuse. Parmi tous les membres du LMT, je tiens ici à remercier plus particulièrement Patrice

Coorevits qui a spontanément accepté de relire le document et Pierre-Alain Boucard qui m'a fait

profiter de son expérience pour la préparation de la soutenance.

La bonne humeur et l'ambiance chaleureuse qui règnent au LMT-Cachan entre doctorants

permettent de transformer cet exercice long et dificile qu'est une thèse en travail d'équipe

enrichissant. Toutes les rencontres et discussions, pas toujours très scientipques, avant,

pendunt et après les pots de thèse concourent à cette ambiance générale. En cela je remercie tous

les membres du LMT qui participent à 1 'établissement de cette convivialité. Je pense notamment

ici aux anciens thésards, qui nous guident amicalement à travers les afSres et dédales des

premiers mois (voir années ...) de thèse ainsi qu'aux nouveaux qui nous poussent gentiment

vers la sortie (dans le fol espoir d'obtenir un plus grand bureau...). Un grand merci donc à tous

ceux qui m'ont épaulé, par ordre d'apparition dans ma vie lmtienne à Jef D., Laurent G.,

VaErie C., Ben B., Arnaud D., Jean-Phi S., Nicolas B., Shahrokh G., Fabrice G., Claudie

R., D.D., David L., Sophie M., Bruno Z., Stéphane G., ...

Je conclurais ces remerciements en citant mes proches, Muriel, Alexandre et l'Irlandais qui ont

su comprendre les instants pai$ois dzj5ciles et m'ont surtout aider à les relativiser.

Sommaire

Table des matières

INTRODUCTION 6

1-1 INTRODUCTION 10

1-2 MODELISATION DES STRUCTURES EN BETON ARME 11

1-2.1 Echelies de modélisation 11

1-2.2 Les modèles globaux 11

1-2.3 Les modèles locaux 1 3

1-3 RESOLUTIONS NUMERIQUES EN DYNAMIQUE DES STRUCTURES 26

1-3.1 Analyse modale - transitoire 26

1-3.2 Amortissement dans les calculs 33

1-4 APPROCHE SDlPLIFIEE : LE CODE DE CALCUL EFICOS 36

1-4.1 Discrétisation E.F. à couches superposées 37

1-4.2 Apport de l'amortissement par recombinaison modale 4 3

1-5 CONCLUSION 47

II. ANALYSE EN DYNAMIQUE NONLINEAIRE DE LA RÉPONSE D'UNE STRUCTURE À UN SÉISME

11-1 INTRODUCTION 4 9 - II-1.1 Des essais à buts "multiples" 49

II-1.2 Description de la structure 5 0

II-2 CONCEPTION ET ETUDES PRE-ESSAIS 52 11-2.1 Analyse modale - Calculs statiques non-linéaires 52

II-2.2 Séquence de chargement : calculs dynamiques non-linéaires 55

II-3 CALCULS ET ANALYSES DES RESULTATS EXPERIMENTAUX 56

Sommaire

11-3.1 Etude de la maquette 1 56

11-3.2 Simulation de la maquette 2 6 7

JI-4 CONCLUSIONS 7 2

zzz. MODÈLE POUR LE BÉTON COUPLANT ENDOMMAGEMENT / FROTTEMENT

III-1 INTRODUCTION 74

III-1.1 Frottement, hystérésii et anélasticité 7 4

III-1.2 Liens hystérésis 1 amortissement 76

III-2 DIVERSES APPROCHES 7 9

III-2.1 Approches micromécaniques 7 9

111-2.2 Approches macroscopiques 8 2

I I I3 MODELE BASE SUR LA MECANIQUE DE L'ENDOMMAGEMENT 8 5

III-3.1 Description unidimensionnelle : aspect thermodynamique 8 5

111-3.2 Formulation 3-D 89

III-3.3 Premières simulations 96

III-4 CONCLUSIONS 9 9

IV-1 INTRODUCTION 101

IV-2 INTEGRATION DES LOIS DE COMPORTEMENT 102

IV-2.1 Cadre général 102

IV-2.2 Intégration locale par des méthodes du type NEWTON 103

IV-2.3 Intégration par des méthodes du type "retour-radial" 104

IV-3 IMPLANTATION DU MODELE ENDOMMAGEABLE-FROTTANT 106

IV-3.1 Algorithme général 106

IV-3.2 Intégration de l'endommagement 107

IV-3.3 Intégration du frottement 107

IV-3.4 Prise en compte de l'unilatéralité 109

IV-4 ANALYSE DES PARAMETRES 110

IV-4.1 Détermination des paramètres de frottement 110

Sommaire

IV-4.2 Influence des paramètres du modèle 112

IV-5 ESSAIS DE FLEXION 3 POINTS 114

IV-5.1 Objectifs des essais 114

IV-5.2 Description des essais 115

IV-5.3 Résultats expérimentaux 117

IV-5.4 Comparaisons essais - calcul 118

IV-6 APPLICATION A CAMUS 119

IV-6.1 Réponses temporelles 120

IV-6.2 Relations moment 1 courbure 121

IV-7 CONCLUSIONS 123

V. APPROCHES DE LA RUINE DES STRUCTURES EN BÉTON ARMÉ

V-1 INTRODUCTION 124

V-2 PHENOMENES DE LOCALISATION 125

V-2.1 Mise en évidence 125

V-2.2 Les limiteurs de localisation 128

V-3 VISCO-ENDOMMAGEMENT EN DYNAMIQUE RAPIDE 133

V-3.1 Matériaux et structures en dynamique hautes et basses fréquences 133

V-3.2 Modèle visco-endommageable 136

V-4 REGULARISATION ET RUINE DANS LES PROBLEMES DE SISMIQUE 145

V-4.1 Régularisation par les armatures

V-4.2 Prise en compte d'un critère local de ruine

V-5 CONCLUSION 1

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 151

RÉFÉRENCES 154

ANNEXE 168

Introduction

INTRODUCTION

Les ouvrages de génie civil (ponts, centrales nucléaires, barrages hydroélectriques, bâtiments

industriels et d'habitations, etc.) les plus couramment rencontrés en France sont, dans leur

grande majorité, constitués d'ossatures en béton armé. La rupture accidentelle de ces

constructions engendre des désordres majeurs sur des aspects aussi divers que les pertes

humaines, l'environnement et l'économie d'une région. De par toutes ces considérations, il est

primordial de pouvoir estimer et prédire la tenue de ces installations soumises à certains aléas,

tels que les séismes, les chocs ou les explosions.

Le calcul d'ouvrages soumis à ces sollicitations sévères peut être abordé à plusieurs niveaux. Le

calcul réglementaire, basé sur des concepts d'analyses simplifiées du comportement des

structures et des matériaux, couplé à des considérations statistiques permet un

prédimensionnement susceptible de résister à une classe de sollicitations bien définies (Priestley

1998). Le traitement d'ouvrages spécifiques, ou subissant des agressions peu classiques doit

faire l'objet d'études plus approfondies. Les outils développés à cet effet se doivent d'être les

plus prédictifs possibles, la modélisation doit donc intégrer un maximum d'informations tant sur

la structure que sur le comportement des matériaux. L'analyse dynamique transitoire des

structures est le cadre d'étude de leur réponse à des chocs et à des séismes. Les particularités de

comportement des matériaux utilisés (fissuration du béton et plastification des aciers) obligent le

concepteur à la prise en compte de ces non-linéarités locales dans la prévision du comportement

global.

Ce mémoire s'articule en cinq chapitres relatifs à chaque aspect du travail effectué. La première

partie se veut générale et introductive, elle a pour but principal de situer les étapes des travaux

dans leur environnement. Elle n'est en rien un recensement exhaustif de la bibliographie. En

effet, nous pourrons retrouver tout au long du mémoire des paragraphes resituant de manière

spécifique, dans leur contexte scientifique et chronologique, les développements réalisés.

De nombreuses études ont permis de mieux comprendre et donc de modéliser les matériaux à

l'échelle locale. Cette approche locale (élément de volume représentatif) des matériaux permet

Introduction ---

d'espérer , lors du calcul de structure, une analyse prédictive. La première partie de ce travail

s'attache à décrire les principales caractéristiques du comportement expérimental du béton

susceptibles d'influer sur sa réponse cyclique et dynamique. Les diverses familles de

modélisation des matériaux fragiles tels que le béton sont ensuite analysées en soulignant les

aspects importants du comportement que chacune parvient à retranscrire. L'étape suivant la mise

en place d'un modèle local consiste à l'intégrer au sein d'un code de calcul de structure. C'est

dans cette optique que sont mises en place, dans un second temps, les équations de la

dynamique non-linéaire ainsi que le cadre numérique de leur traitement : les éléments finis. Une

attention particulière est portée aux diverses méthodes de génération des efforts

d'amortissement. La dernière partie de ce premier chapitre introductif est consacrée aux

différents choix effectués par le laboratoire dans ces multiples domaines en vue de l'élaboration

d'un code éléments finis de calcul de structures soumises à des séismes.

Seule l'expérimentation permet de mettre en évidence les différents phénomènes amenant la

rupture d'une structure ou d'une partie de ses éléments constitutifs. Au regard de la taille des

ouvrages concernés, l'utilisation de maquettes permet une représentation de structures

complètes. Ainsi, le programme CAMUS, une nouvelle expérience sur un modèle à échelle 113

a été réalisée. Cette maquette, un bâtiment de 5 niveaux à deux murs porteurs parallèles, est

soumise à des séquences d'accélérations à sa base, représentatives de séismes. Une partie de

mon travail de thèse, au sein du réseau de laboratoire GEO, a permis d'apporter une aide au

dimensionnement et à la préparation du protocole expérimental. Suite aux essais, nous sommes

intervenus, au moyen de la simulation numérique, pour fournir une interprétation des résultats.

Des possibilités de calculs paramétriques ont mis en évidence les paramètres fondamentaux du

comportement ainsi que les couplages principaux. La gestion des conditions limites ainsi qu'une

représentation judicieuse de phénomènes locaux tels que l'unilatéralité des fissures ont rendu

possible une simulation et donc une compréhension du comportement ultime de la maquette.

Des points sensibles, souvent peu abordés sur un plan physique, comme l'amortissement des

structures ont surgi. La quasi-impossibilité de conserver un caractère prédictif aux modélisations

classiques de l'amortissement structural dans un calcul dynamique non-linéaire est à la base de

la modélisation locale des matériaux envisagée au chapitre III.

L'étude de la structure CAMUS a montré le lien entre l'amortissement d'une structure et le degré

de sollicitation atteint. Pour un matériau tel que le béton, la principale manifestation de dommage

subi est la création de fissures, plus ou moins orientées selon l'histoire du chargement. La

création de ces fissures génère des surfaces de discontinuité dont la forte rugosité entraîne un

comportement frottant si l'on sollicite ces surfaces de manière alternée. La conséquence

macroscopique de ces micro-frottements peut s'observer expérimentalement par la présence de

boucles d'hystérésis lorsque l'on soumet un échantillon de matériau à une sollicitation

Introduction

mécanique incluant des décharges. Nous allons, après avoir brièvement rappelé les bases micro-

mécaniques de la modélisation de ces frottements, proposer un modèle d'endommagement du

béton, incluant cette dissipation. Ce modèle se base sur la thermodynamique des processus

irréversibles et plus particulièrement sur la mécanique de l'endommagement, outil efficace dans

la représentation continue des phénomènes de fissuration. Un couplage est introduit, par

l'intermédiaire d'une nouvelle variable interne de glissement, entre le niveau d'endommagement

atteint et la génération de contraintes de frottement susceptibles de dissiper de l'énergie lors de

chargements cycliques. L'application d'un modèle de plasticité à écrouissage cinématique non-

linéaire, adapté aux matériaux dilatants, permet de gérer convenablement les évolutions des

déformations de frottement ainsi que l'anélasticité résultante. Des premières applications à

l'échelle de l'élément de volume permettent d'apprécier la pertinence de l'introduction de cette

nouvelle variable interne dans la simulation du comportement hystérétique à niveau

d'endommagement fixé.

Le chapitre IV a pour but de montrer les premières applications au niveau structurel du modèle

précédemment développé. Nous aborderons en premier lieu les problèmes relatifs à l'intégration

d'une loi de comportement dans un code de calcul aux éléments finis. La procédure spécifique à

l'implantation du modèle développé au chapitre précédent dans le logiciel EFICOS, basé sur une

discrétisation poutre multi-couches des structures, est explicitée dans le détail. Dans le but de

quantifier expérimentalement le lien entre dissipation et fissuration, il m'a semblé important de

développer un essai sur un élément simple de structure en béton armé. L'étude d'une poutre en

flexion trois points soumise à des décharges à différents niveaux de sollicitations permet de

relier le taux d'amortissement relatif à chaque cycle en fonction du degré de ruine de la structure.

La simulation de cet essai nous a permis de nous conforter, quant au choix effectué, sur

l'introduction d'une dissipation locale dans la modélisation de l'amortissement structurel. Enfin,

l'application à un cas d'étude en dynamique transitoire est la dernière étape nécessaire pour une

meilleure validation de l'approche. Le programme CAMUS, structure multi-modale sollicitée à

différents degrés, nous offre le champ d'expérimentation le plus approprié à cet effet. Cette

application apporte un argument supplémentaire sur l'importance, dans le calcul de structure,

d'une description fine de certaines propriétés des matériaux à l'échelle locale. La prise en

compte de dissipation par frottements locaux permet de restituer, dans cet exemple, une partie

importante de l'amortissement total.

Le programme CAMUS a mis en évidence la capacité des codes de calcul à réaliser une analyse

dynamique non-linéaire, pour peu que la modélisation des matériaux contienne suffisamment

d'informations physiques sur sa réponse mécanique. Toutefois, un point important reste à

approfondir : la détermination de la capacité de résistance maximale d'une structure. Pour ce

faire, il faut pouvoir interpréter des résultats de calculs basés sur la mécanique des milieux

Introduction

continus en termes de fissuration, phénomène fondamentalement discret. Nous allons étudier

dans ce cinquième chapitre, selon le type de problème dynamique à résoudre, quelle solution

adopter pour la prédiction de la ruine. La rupture de matériaux fragiles comme le béton ou les

roches s'interprète comme une transition entre un état homogène des déformations vers un état

hétérogène. C'est le phénomène de localisation. Les points théoriques amenant le problème

mécanique de référence à devenir mal posé sont exposés. Diverses méthodes permettent

d'apporter une solution de régularisation des équations pour chaque gamme de problème

(dynamique rapide ou statique). Nous exposerons le cas spécifique du visco-endommagement

adapté aux problèmes de chocs ou de souffles ainsi que l'algorithme spécifique, développé au

cours de la thèse, pour résoudre les équations locales en dynamique explicite. L'intérêt de

l'utilisation d'un tel limiteur de localisation est discuté selon la plage des modes propres de

vibration sollicités par le chargement. Des perspectives quant à la nécessité d'introduire un

critère local de relocalisation des déformations en sismique et donc d'un indicateur de ruine local

sont présentées en fin de chapitre.

1 Chapitre I Positionnement du problème

CHAPITRE 1

1- 1 Introduction

Ce chapitre introductif a pour but de positionner les buts et objectifs de notre travail dans leur

contexte d'application. Pour cela, tous les aspects du calcul des structures de génie civil en

béton armé sont abordés afin de clairement introduire les choix effectués au cours des diverses

analyses de structures. Des méthodes adéquates doivent être adoptées suivant les classes de

sollicitations subies par la structure et le matériau, qu'elles soient de type sismique ou

dynamique rapide.

Ainsi, dans un premier temps, nous allons expliciter les deux grandes familles de modélisation

des structures en béton armé : les approches locales et globales, sans toutefois nous attarder sur

ces dernières qui ne rentrent pas dans le cadre de notre étude. Le comportement expérimental du

matériau béton est analysé afin de dégager les principales spécificités à prendre en compte pour

des applications en cyclique et en dynamique. Les différentes approches de modélisations sont

ensuite abordées (plasticité, endommagement, concept microplan, ...) permettant de positionner

les différentes échelles d'observation du comportement. Les stratégies purement

micromécaniques seront traitées spécifiquement dans le chapitre III.

Le but de l'existence de ces modèles réside dans leur intégration dans un code de calcul

permettant de passer à l'échelle du comportement de la structure. C'est pourquoi les techniques

de discrétisation spatiale et temporelle du problème de dynamique à résoudre sont mises en

place. La formulation se veut la plus générale possible afin de couvrir l'étendue des applications

considérées dans ce travail : la sismique et le comportement sous sollicitations de dynamique

Chapitre 1 Positionnement du problème

rapide. Le point particulier de l'amortissement est traité spécifiquement en raison de l'intérêt

accordé à son étude dans la suite des travaux.

Il nous a semblé important de réunir tous ces aspects du calcul dans un même chapitre car le

couplage entre ces divers niveaux de modélisation est primordial lors d'analyses non-linéaires.

La dernière partie de ce chapitre a trait aux choix spécifiques effectués par le laboratoire dans

l'élaboration d'un code simplifié d'analyse des structures sous séismes, tant du point de vue

matériau que structurel. C'est dans le cadre de cette approche semi-globale que nos travaux sur

les liens entre comportement local et conséquences globales sont développés.

1-2 Modélisation des structures en béton armé

1-2.1 Echelles de modélisation

Deux approches peuvent être adoptées afin de modéliser des structures en béton armé soumises

à des chargements mécaniques de type cyclique : les modèles globaux et les modèles locaux.

Les modèles globaux décrivent le comportement d'éléments complets de structure (assemblage,

noeud, ...) au moyen de lois de fonctionnement reliant des quantités structurelles globales

(moment, effort tranchant, rotation, déplacement). Ils se caractérisent par une souplesse de mise

en oeuvre et engendrent bien souvent un coCTt de calcul réduit. Toutefois, le point sensible de ces

modèles réside dans l'identification de leurs paramètres et surtout dans leur validation pour des

structures différentes de celles utilisées pour leur calage. A l'inverse, les modèles locaux

s'attardent à décrire le comportement intrinsèque des matériaux au moyen de lois décrivant la

physique des phénomènes le plus précisément possible. Ils sont identifiés par des essais au

niveau de l'élément de volume et permettent le calcul de structures supportant des conditions de

chargement diverses. La limitation dans l'utilisation de cette approche locale est principalement

liée à la lourdeur des calculs qui empêche bien souvent le traitement de structures de grandes

tailles.

Dans ce paragraphe nous allons tout d'abord décrire les principaux modèles globaux ainsi que

leur support géométrique, sans toutefois en donner une liste exhaustive. Puis, nous allons nous

attarder plus particulièrement sur les modèles locaux de description du comportement du béton,

base de notre travail.

1-2.2 Les modèles globaux

La plupart de ces modèles sont écrits de manière uniaxiale et relient des grandeurs statiques et

cinématiques. Ces lois peuvent être du type moment-courbure pour des supports de type poutre

Chapitre Z Positionnement du problème

ou encore force-déplacement en tête pour des éléments de structures (mur, assemblages, . . .) . Plusieurs familles de lois existent et permettent de décrire des comportements en traction-

compression, flexion ou encore cisaillement.

Concernant les lois de flexion utilisant des relations moments-courbures, les plus connues et les

plus utilisées sont celles de Clough (Clough & Johnston 1966) et Takeda (Takeda et al. 1970),

voir figure 1.1.

Fig I.1 Modèle global de Takeda (loi moment / courbure)

L'enveloppe de la réponse est trilinéaire et correspond aux 3 principales phases : élastique,

fissurée et plastique. Les pertes et reprises de raideurs en cas de chargements cycliques sont

prises en compte. Ce modèle a été modifié pour intégrer les forts cisaillement (Meyer & Roufaiel

1987). D'autres lois globales sont utilisables en traction-compression, pour des éléments de

béton armé (Fiishinger et al. 1991) ou encore pour simuler le comportement de murs de

remplissage au moyen d'éléments basés sur le principe de diagonales équivalentes

(Panagiotacos & Fardis 1994).

Toutes ces lois ont un caractère uniaxial mais parfois l'interaction entre plusieurs grandeurs se

doit d'être prise en compte (moment 1 effort normal et tranchant). Pour ce faire, des modèles

issus des théories de la plasticité (Bairrao et al. 1987) ou de l'endommagement (Fléjou 1993)

utilisant des surfaces limites doivent être intégrés.

Le support géoméîrique de ces lois sont des éléments linéiques du type poutres, modèles

"multispring" ou possédant une cinématique particulière pour les noeuds d'assemblages (Fleury

et al. 1996) intégrant les non-linéarités matérielles et le glissement acier-béton.

Chapitre I Positionnement du problème

Ces techniques d'approches globales du comportement structurel peuvent s'appliquer à d'autres

types de structures tels que les assemblages métalliques (Colson 1984). Toutefois, nous

n'allons pas poursuivre plus avant leur étude car elles nous privent bien souvent d'une vision

locale et physique du comportement du matériau.

1-2.3 Les modèles locaux

Nous ne nous intéresserons ici qu'aux grandes familles de modèles locaux de béton. Les aciers,

de par leur géométrie filaire, ne sont bien souvent modélisés que de manière uniaxiale (Gomes

& Appleton 1997). Dans un premier temps, nous allons décrire les principales caractéristiques

du comportement expérimental du béton sous sollicitations uniaxiales et multiaxiales ainsi que

sous chargements monotones et cycliques. Puis, nous allons nous intéresser aux différentes

familles de modélisation du béton sous chargements mécaniques.

1-2.3.1 comportement expérimental du béton

Comportement uniaxial

D'une manière simplifiée, le béton comme tous les géo-matériaux et céramiques, est perçu

comme fragile en traction et plus ductile sous des sollicitations de compression. Ainsi, des

essais de traction directe permettent de mettre en évidence, grâce au pilotage de la machine

d'essai asservie en déplacement, un adoucissement prononcé dès le dépassement du pic

d'effort, voir figure 1.2 (Terrien 1980).

Fig 1.2 Comportement fragile du béton en traction (Terrien I980)

D'autres procédés expérimentaux plus simples de mise en oeuvre sont possibles pour obtenir

une estimation du comportement en traction tels que les essais de traction par fendage (brésilien)


mais dont l'interprétation est délicate (Saouridis 1988) ou par essais de flexion 3 points sur

éprouvettes entaillées (Hillerborg 1986-a et b). La partie comprimée de la poutre assure en ce

cas une meilleure stabilité de l'essai.

Le comportement en compression est obtenu plus facilement du fait de la plus grande ductilité

du matériau. Au cours d'essais sur éprouvettes cylindriques sous presse, il se forme un réseau

de microfissures parallèles à l'axe de chargement qui coalescent jusqu'à la rupture complète de

l'éprouvette. Du fait de l'influence des conditions limites, il est important de s'affranchir du

frottement entre les plateaux de la machine et les deux extrémités de l'échantillon engendrant un

état de contrainte non-uniaxial grâce à des dispositifs anti-frettage (Van Mier 1984, Torrenti

1987). La figure 1.3 montre une réponse caractéristique d'un essai de compression sur béton

contrôlé par déformation radiale avec décharges successives (Ramtani 1990).

mesure longitudinale mesure transversale

Fig 1.3 Essai de compression : mesures longitudinales et radiales (Ramtani 1990)

Par l'étude de ces courbes, nous pouvons rapidement mettre en évidence les principales

caractéristiques du comportement du béton. La fissuration, source de l'endommagement, affecte

la rigidité du matériau. Les différences de diminution de rigidité longitudinale et transversale

mettent en évidence l'anisotropie induite par la fissuration orientée sur des plans parallèles au

chargement. Les imperfections des fissures interdisent leur complète refermeture après décharge

générant des déformations irréversibles. Le frottement entre ces lèvres de fissures rugueuses est

en partie responsable de la de boucles d'hystérésis au delà d'un certain niveau de

chargement. Le rapport des déformations longitudinale et radiale montre le coté expansif du

comportement en compression (figure 1.4).

Chmitre Z Positionnement du vroblème

Fig. 1.4 Représentation schématique de la défomtion volumique en compression simple.

Un dernier point du comportement uniaxial d'un matériau fissurable est sa réponse sous

sollicitations cycliques mettant en évidence le caractère unilatéral des fissures : après ouverture,

ces dernières peuvent se refermer permettant au matériau de recouvrer sa rigidité initiale.

Compte-tenu de la rugosité des fissures, cette refermeture s'accompagne d'un frottement

important. L'unilatéralité du comportement des fissures peut être identifiée expérimentalement

par essai P.I.E.D. (Mazars et al. 1990), adaptation d'un essai d'endommagement diffus par

traction sur barrettes d'aluminium (L'Hermite 1960, Bazant & Pijaudier-Cabot 1989).

Lors d'applications de type sismique pour lesquelles le comportement cyclique est sollicité à de

nombreuse reprises, il nous apparaît important de pouvoir intégrer au niveau de la modélisation

locale ces phénomènes unilatéraux et de frottement entre lèvres de fissures. Ces aspects seront

traités dans le chapitre m.

Comportement multiaxial

De nombreux essais de compression biaxiaux ont été pratiqués sur béton sollicitant des modes 1 et II de propagation de fissures (Kupfer et al. 1969, Bascoul 1974, Van Mier 1984, Torrenti

1987). Selon les trajets de chargements, les ruptures sont plus ou moins ductiles et se

produisent perpendiculairement au plan de traction maximale.

Les essais de compression triaxiaux permettent d'identifier le comportement du béton sous

étreintes latérales (Ramtani 1990). Des essais hydrostatiques et quasi-oedométriques mettent en

relief le comportement compactant des matériaux à rnatnce cimentaire du fait de l'effondrement

de la structure micro-poreuse (Bazant et al. 1986, Burlion 1997). Cette caractéristique est

capitale lorsque l'on s'intéresse aux structures soumises à des chocs sévères (pression de

confinement de l'ordre du GPa).


La figure 1.5 montre la réponse d'éprouvettes soumises à différents niveaux d'étreintes latérales

en compression.

Fig 1.5 trajets de chargements triaxiaux (Ramtani 1990).

Ces courtes remarques sur le comportement multiaxial, extrèmement complexe par ailleurs,

nous conduit à considérer pour la future modélisation un critère de fissuration basé sur les

extensions du matériau.

1-2.3.2 Mécanique de l'endommagement appliquée au béton

Le principe de la mécanique de l'endommagement est bien adapté à la description des non-

linéarités survenant dans le béton ou dans les matériaux fragiles du même type car il postule

l'existence de décohésion au sein du volume élémentaire représentatif. Comme on l'a ni au

paragraphe précédent, c'est la création de microfissures coalesçant vers une macrofissure qui

engendre la ruine du matériau.

Tout d'abord proposée par Kachanov (Kachanov 1958) afin de décrire le fluage des matériaux

métalliques, la mécanique de l'endommagement introduit le principe de contrainte effective

stipulant que la contrainte réelle s'appliquant sur la partie de matière encore résistante est

supérieure à la contrainte macroscopique. Cette notion s'exprime souvent par le biais du

principe d'équivalence en déformation : la contrainte effective (Lemaitre 197 1, 1992) est celle

qui produit dans une direction donnée la même déformation sur le matériau vierge que la

contrainte macroscopique sur le matériau endommagé, soit pour une normale n :


S(n) le rapport des surfaces matérielles L'endommagement peut être défini comme d(n) = - so (4 '

résistante sur initiale.

L'écriture de la loi d'élasticité dans un cadre uniaxial nous conduit à la relation suivante :

L'endommagement d est donc perçu comme un facteur influençant la rigidité sécante du

matériau, d=O pour un matériau vierge et d=l pour un matériau complètement rompu (incapable

de supporter toute contrainte).

L'approximation de la rigidité élastique peut se faire par plusieurs biais selon la cinématique

adoptée pour la variable d'endommagement. En effet, elle peut être scalaire induisant un état de

microfissuration homogène dans toutes les directions de l'espace (Mazars 1986) ou bien

tensorielle pouvant ainsi prendre en compte l'anisotropie induite par la fissuration (Benouniche

1979, Pijaudier-Cabot 1985, Ramtani 1990, Bary 1996). Les modélisations anisotropes de

l'endommagement ne s'appliquent pas uniquement au béton mais à tout type de matériau dont la

rupture par fissuration doit être décrite, tels que les composites ou les céramiques (Krajcinovic

& Fonseka 198 1, Chaboche et al. 1995, Ju 1989, Ladevèze 1983, Dragon et al. 1994).

De plus amples précisions quand à l'endommagement anisotrope seront données au chapitre III.

Nous nous intéressons ici uniquement à un modèle scalaire d'endommagement prenant en

compte la dissymétrie entre la traction et la compression (Mazars 1986).

La loi tridimensionnelle d'élasticité couplée à l'endommagement isotrope s'exprime comme

suit :

ar = (1 - d)E : a avec E le tenseur d'élasticité initial (1.3)

La représentation de la dissymétrie du comportement en traction et en compression est obtenue

en remarquant que les fissures se développent dans le béton perpendiculairement aux directions

principales d'extensions. L'introduction d'un critère basé sur ce principe d'ouverture de fissures

permet de restituer ce caractère. L'expression d'une déformation équivalente fonction des

déformations principales positives est donnée ci-dessous, ur> désigne la partie positive de x :


C'est cette variable qui va piloter l'évolution des dommages au cours du chargement.

Dans le cadre d'applications en cyclique et donc en sismique des structures en béton armé, la

gestion des ouvertures et refemetures de fissures est capitale. Le modèle présenté ci-après est

une particularisation des modèles d'endommagement développés pour les matériaux tels que le

béton (Mazars 1984) ou les composites (Ladevèze 1983). Les phénomènes physiques pris en

compte sont les suivants (La Borderie 199 1) :

- Perte de raideur du matériau tant en compression qu'en traction due à

l'ouverture des fissures.

- Introduction de l'unilatéralité des fissures engendrant une restauration de

raideur au passage traction 1 compression. Deux variables scalaires d'endommagement sont

introduites à cet effet.

- Présence de déformations résiduelles en décharge dues à l'imperfection des

lèvres de fissure. Ces dernières sont introduites de manière isotrope (Hermann & Kestin 1988).

Fondées sur la thermodynamique des processus irréversibles, les lois d'état dérivent d'un

potentiel établi dans ce cas sur une formulation en contrainte (énergie libre de Gibbs) :

Considérant la partition classique du tenseur des déformations :

l'expression des lois d'état permettant le calcul des déformations peut ainsi être obtenue :

E est le module d'Young du matériau vierge et v le coefficient de poisson. (.)+ indique la partie

positive d'un tenseur exprimé dans sa base propre. D, et D, sont respectivement les variables


d'endommagement de traction et de compression. P, et P, sont des paramètres matériaux à

identifier permettant de décrire l'évolution des déformations anélastiques.

L'évolution de l'endommagement est conditionnée par le respect d'une surface seuil dans

l'espace des contraintes :

Yi est la variable associée à l'endommagement (traction ou compression) et Zi la variable

d'écrouissage associée. Les lois d'évolution de l'endommagement s'expriment comme suit :

f(a) est la fonction de refermeture de fissures, qui annule les déformations anélastiques de

traction lors de la reprise de raideur, elle s'exprime en fonction de la trace du tenseur des

contraintes :

of est la contrainte de refermeture de fissure.

La réponse de ce modèle soumis à un cycle de chargement du type : traction - compression - traction est présentée en figure 1.6.

La difficulté de ce modèle réside dans sa formulation en contrainte rendant très lourde son

implantation dans un code éléments finis en déplacement. La loi de comportement doit ê e

inversée à chaque itération. De même, l'isotropie des déformations anélastiques rend irréaliste la

réponse volumique du modèle.


Fig.

O pic de traction

déformation anélastique endommagement de traction

E

refermeture de fissures

endommagement de compression

1.6 Réponse uniaxiale du modèle avec endommagement unilatéral (La Borderie

1-2.3.3 Modèles de fissuration dzjûse "smeared crack models"

Ces types de modèles, proches des modèles phénoménologiques d'endommagement,

introduisent les pertes de rigidité locale du matériau en considérant l'apparition d'une fissure au

sein du volume élémentaire. Cette fissure conduit à des réductions de capacités portantes en

fonction de l'orientation du chargement par rapport à la fissure. La déformation résultant de

l'ouverture de la fissure est obtenue en moyennant le saut de déplacement par rapport à une

longueur interne. En ajoutant les déformations issues des ouvertures de fissure et celles de la

matrice élastique, on peut remonter à l'écriture d'une loi classique en contrainte-déformation.

Plusieurs modèles découlent de ce principe, selon que l'on considère une anisotropie fixe ou

évolutive.

Concernant les modèles à fissuration fixe (Fixed crack model), on ne s'intéresse initialement

qu'au premier franchissement du critère d'ouverture de fissure pour écrire la loi de

comportement dans ce repère local et ne plus considérer de rotation future du plan de

fissuration. Ce critère peut être fonction de la plus grande contrainte principale (Rashid 1968) ne

prenant ainsi en compte que le mode 1 d'ouverture de fissure. Le principal désavantage réside

bien entendu dans l'impossibilité de traiter du cas des chargements non-radiaux du fait même du

blocage du plan d'anisotropie. Cet inconvénient est bien mis en évidence dans les problèmes de

traction-torsion (Willam et al. 1987).

Un des moyens de prendre en compte une évolution de l'anisotropie consiste à considérer tous

les plans et réseaux de fissures pouvant s'ouvrir en fonction du chargement. Les modèles de

fissurations fixes multiples permettent une telle approche (de Borst & Nauta 1985). La


déformation est définie comme la somme de la déformation élastique de la matrice vierge (E"" ) et

des déformations issues des déplacements (uk) créés par un nombre k de fissures orientées.

On peut retrouver ce principe de multifissuration dans des modèles permettant de reproduire les

dégradations d'éléments de béton armé (Fukuura & Maekawa 1998).

Une meilleure description du comportement est obtenue en incorporant les cisaillements sur les

différents plans de fissuration. Ainsi, en adoptant une hypothèse statique reliant les contraintes

macroscopiques aux tractions et cisaillements dans le plan de la fissure (qn, qt), on peut adapter

des modèles de plasticité pour traduire le comportement bi-axial de la fissure, voir figure 1.7

(Weihe et al. 1998).

Fig 1.7 Comportement bi-axial sur un plan de fissure : critère de rupture (Weihe et al. 1998).

Dans un souci de modélisation plus fine, la simplicité de mise en oeuvre initiale se trouve donc

maintenant plus délicate à justifier.

La dernière classe de modèle appartenant à cette catégorie sont les modèles dits, à fissures

tournantes (rotating crack model). On ne s'intéresse ici qu'au comportement d'une seule fissure

dont l'orientation évolue avec le chargement. Le plan d'anisotropie s'aligne perpendiculairement

à l'axe des contraintes principales maximales en cours de chargement (Rots 1988). L'évolution

de l'anisotropie est suivie plus facilement par cette approche mais l'hypothèse de coaxialité entre

contraintes et déformations est certainement trop forte.

Chpitre 1 Positionnement du problème

1-2.3.4 Modèles de plasticité

La plasticité a eu comme application de prédilection la simulation du comportement non-linéaire

de matériaux ductiles tels que les aciers, l'utilisation de critères isotropes du type von Mises

(bien représentatif des phénomènes de glissement des plans de dislocation) étant bien adaptée

aux théories de l'écoulement. La plupart des modèles se basent sur un critère du second

invariant du déviateur des contraintes (J,).

L'application directe de ces modélisations est difficile pour les géomatériaux car elles se basent

sur le principe d'incompressibilité plastique ( T ~ [ E P ] = O), conséquence d'un écoulement normal

à un critère basé sur un invariant du déviateur des contraintes. Cette incompressibilité n'est pas

physique pour les roches ou les bétons, il faut donc introduire dans le critère un terme prenant

en compte les effets de la composante hydrostatique des contraintes. L'introduction du premier

invariant du tenseur des contraintes (1,) permet de prendre en compte cette dilatance ainsi que les

effets de confinement sous compression triaxial. La combinaison des deux précédents invariants

conduit au critère de Drücker-Rager (Drücker & Rager 1952) :

a est l'angle de cohésion interne à identifier. La figure 1.8 donne une visualisation dans le plan

1, - J, de ces différents critères.

Fig. 1.8 Critères seuils de plasticité

On peut trouver les premières utilisations de ces critères pour les roches et les bétons dans

(Dragon & Mroz 1979).

Min de rendre compte de manière physique des principaux phénomènes que sont la rupture et la

dilatance, certains auteurs ont élaboré des lois introduisant explicitement une séparation dans le

tenseur des déformations entre les parties sphérique et déviatorique (Fardis et al. 1883, Chen &

Chvitre I Positionnement du vroblème

Buyukozturk 1985). Des lois de comportement relatives à ces deux phénomènes permettent de

remonter aux contraintes.

Un des inconvénients du critère de Drücker-Prager réside dans l'impossibilité de franchir le

seuil de plasticité sous chargements hydrostatiques, sollicitant les hauts confinements du

matériau. Il est alors nécessaire de fermer la surface en compression triaxiale, c'est l'objet des

cap models (Di Maggio & Sander 197 1, Hofstetter & Simo 1993). Une autre solution consiste

à adopter une surface de Gurson (Gurson 1977) analytiquement fermée en tri-compression

évitant ainsi les points anguleux de raccordement. Une application pour les bétons peut par

exemple être trouvée dans (Burlion 1997).

Les trajets de chargements complexes peuvent solliciter alternativement les multiples

mécanismes engendrant les non-linéarités du matériau. Dans le but de mieux représenter la

réponse d'un matériau béton, le principe de plasticité multisurfaces peut être appliqué, chaque

mécanisme étant géré par sa propre surface de charge (Yang et al. 1985). Cette plasticité

multisurface permet de coupler aisément plasticité et endommagement faisant mieux le distinguo

entre les deux caractéristiques fondamentales du comportement non-linéaire du béton :

fissuration fragile et glissement ductile. Le comportement fragile peut ainsi être géré par un

critère en contrainte maximale (Rankine) et les phases plus ductiles (compression multiaxiales)

par de la plasticité du type Drücker-Prager (Yazdani & Schreyer 1990, Feenstra 1993). La

figure 1.9 donne une représentation dans un plan bi-axial de ces critères couplés.

Fig. 1.9 Critère biaxial couplé (Feenstra 1993)

Le problème numérique principal lié à ces modèles, attrayants de prime abord, est engendré par

la présence de deux surfaces de charges exprimées dans l'espace des contraintes. La gestion de

discontinuités et de points anguleux rend délicate l'utilisation d'algorithmes classiques de retour

sur la surface seuil.


Ces modèles de plasticité multisurfaces couplés à l'endommagement peuvent être poussés plus

avant et intégrer ainsi l'anisotropie induite par la fissuration (Meschke et al. 1998). L'évolution

de l'anisotropie est obtenue par le principe de dissipation maximale (Simo & Hughes 1998). La

simulation d'essais statiques montrent la pertinence de l'approche. Toutefois, le passage à la

dynamique semble plus difficile à gérer du fait de l'unilatéralité de la fissuration à introduire.

1-2.3.5 Modèles microplan

Les modèles phénoménologiques macroscopiques possèdent le désavantage de devoir gérer des

relations tensorielles entre toutes les quantités en présence. Une alternative aux modèles

macroscopiques précédemment étudiés consiste à considérer les aspects micromécaniques de la

fissuration.

Les modèles micro-plan fournissent un bon compromis entre une description fine de l'ouverture

et de la propagation d'une fissure et la nécessité d'une relation macroscopique entre la contrainte

et la déformation. De tels modèles ne peuvent prendre en compte des interactions spatiales de

fissures mais plutôt directionnelles en un même point de l'espace. Deux possibilités sont

offertes, soit de considérer les contraintes sur chaque microplan comme résultantes du tenseur

des contraintes macroscopiques (hypothèse statique) ou bien, à l'inverse, de prendre les

déformations sur chaque microplan comme résultantes du tenseur des déformations

macroscopiques (hypothèse cinématique). Pour des matériaux fragiles avec adoucissements tels

que le béton, l'hypothèse cinématique est la plus adaptée (Bazant & Prat 1988).

Ainsi, sur chaque microplan de normale n on peut définir une déformation normale et

tangentielle :

Les contraintes sur chaque microplan sont évaluées en considérant l'influence de la partie

normale et tangentielle des déformations. Du fait de l'hypothèse cinématique, les contraintes sur

les microplans ne sont pas les résultantes du tenseur des contraintes macroscopiques. Le

passage des quantités sur les microplans aux contraintes macroscopiques se fait par une

équivalence énergétique en appliquant le principe des travaux virtuels :

Chupitre I Positionnement du problème

Avec R , la demi-sphère de rayon unité. L'équation précédente doit être intégrée en considérant

l'ensemble des microplans de l'espace et garantit la symétrie du tenseur des contraintes

résultant. La difficulté d'une telle modélisation réside dans le choix du nombre de microplans à

considérer afin de décrire convenablement le régime élastique linéaire. On peut retrouver des

applications de cette approche pour décrire le comportement multiaxial du béton dans (Carol et

al. 1992, Ozbolt & Bazant 1992).

Il est possible d'appliquer la mécanique de l'endommagement par le biais des contraintes

effectives dans le cadre d'une description microplanaire de la cinématique d'endommagement.

Le tenseur d'endommagement est discrétisé suivant des plans et permet de décrire tous types de

fissuration : isotrope (surface sphérique) et anisotrope (surface ellipsoïdale). L'adoption d'une

surface ellipsoïdale continue permet de retrouver un comportement parfaitement isotrope pour le

matériau vierge (Fichant et al. 1997) :

dl, d, et d, sont les endommagements selon les 3 axes principaux de l'ellipsoïde. 8 et cp sont

les angles des coordonnées sphériques de l'ellipsoïde. Ce modèle de fissuration couplé à un

critère de plasticité du type Nadai (Nadai 1950) permet d'aboutir à une description orthotrope de

la fissuration et de reproduire la rotation du repère d'orthotropie en cours de chargement, voir

par exemple la figure 1.10 pour un essai de traction-cisaillement sur une éprouvette entaillée.

Demi maillage Endommagement

Fig. 1.10 Orientation d'une fissure par un modèle orthotrope (Fichant et al. 1997)

Ce dernier modèle, sans perdre sa cohérence en élasticité isotrope permet de décrire

"relativement" aisément une anisotropie induite par la fissuration ainsi que la rotation des

directions de propagation des dommages.


Après avoir examiné les différents modèles susceptibles de décrire le comportement d'un

matériau tel que le béton, nous allons maintenant nous intéresser aux méthodes numériques de

calculs des structures sous sollicitations dynamiques susceptibles d'intégrer ces comportements

Iocaux. En effet, les méthodes éléments finis offrent la possibilité de prendre en compte des

comportements locaux aussi divers. Ainsi, le chapitre II nous donnera l'occasion d'apprécier la

pertinence de l'utilisation du modèle d'endommagement avec effets unilatéraux décrit

précédemment. De même, la modélisation locale du béton proposée au chapitre III trouvera son

application au sein d'un code d'analyse simplifiée du comportement des structures mettant ainsi

en valeur son influence à un niveau global.

1-3 Résolutions numériques en dynamique des structures

1-3.1 Analyse modale - transitoire

1-3.1.1 Mise en équation d'un problème de dynamique des structures

Considérons une structure R de masse volumique p soumise à chaque instant t de l'intervalle

total de temps [O,T] à des forces de volume fd ainsi qu'à des efforts surfaciques Fd sur une partie

de sa frontière notée a2R et à des déplacements imposés Ud sur la partie complémentaire

alR(voir figure 1-1 1).

Fig. 1.1 1 Problème mécanique de référence

Nous nous plaçons dans l'hypothèse des petites perturbations et dans le cadre de chargements

dynamiques pour lesquels la vitesse de variation des actions mécaniques ne nous permet pas de

négliger les forces d'inertie. Les sollicitations extérieures appliquées à la structure induisent, en

tout point de cette dernière et à tout instant, un champ de déplacement U(M, t) et un champ de


contrainte a(M, t). Le problème mécanique de référence consiste à chercher ces deux champs

définis sur C2 x [O, T] vérifiant les équations suivantes :

Conditions initiales : UI,;, = U, et uI,=, = 8,

Équations de liaison : U(M,t) doit être cinématiquement admissible : "régulier" et tel

que : UI ,,, = Ud,Vt E [O,T]

Équation d'équilibre : par application du principe des puissances virtuelles,

VU* cinématiquement admissible à zéro.

Cette équation d'équilibre se ramène au système d'équations locales suivant :

diva(^, t) + fd = pÜ(M, t) dans R Vt E [O, Tl

où n désigne la normale unitaire extérieure à la frontière d a .

Relation de comportement : en tout point M de R ,

G(M, t) = C[a(M, T), T I t]

La résolution de ce problème est généralement réalisée à l'aide de la méthode des éléments finis.

La discrétisation spatiale ainsi que l'intégration temporelle des équations lors de l'étape globale

sont exposées dans le paragraphe suivant.

1-3.1.2 Discrétisation spatiale- Application de la méthode des éléments Jinis

Le principe repose sur une discrétisation du champ de déplacement en un nombre fini de points

appelés noeuds. Les déplacements entre chaque noeud sont interpolés à l'aide de fonctions de

forme, propres à chaque élément. Le déplacement en chaque point M de la structure peut ainsi

être écrit de manière discrète en fonction du déplacement de chaque noeud :


Où IN est la matrice d'interpolation polynomiale et q le vecteur des déplacements nodaux,

inconnu lors d'une résolution en déplacement. En introduisant la relation entre déformation et

déplacement, l'équation 1.18 peut se mettre sous la forme :

Où [B dépend des dérivées des fonctions de forme.

Le problème discrétisé en espace consiste donc à déterminer q(t) sur tout l'intervalle de temps tel

que :

b'q* tel que : q* = 0 sur a,Q et avec q(0) = q,, q(0) = q0 et q(t) = qd(t) sur ala.

Le problème initial se ramène donc à la forme matricielle de I'équation discrétisée du

mouvement :

K = I B ~ C B ~ Q :matrice de rigidite a

IM = 1 INTpINdR :matrice de masse a

avec . Fext = 1 iNTfddC2 + J INTFdds : vecteur des forces exterieures

R a2n

r

i

Le problème ainsi posé est discret en espace mais continu en temps, la solution numérique

complète doit donc passer par une étape de discrétisation en temps. Ce problème est abordé au

paragraphe suivant.

1-3.1.3 Intégration directe - recombinaison modale

Deux approches peuvent être imaginées dans le but de résoudre l'équation du mouvement. La

première se base sur une décomposition modale des déplacements de la structure et la seconde

sur l'intégration directe du système général d'équations différentielles. Dans le cadre d'un

comportement élastique des matériaux, le choix entre les deux méthodes s'effectue en fonction

de la comparaison du temps caractéristique du chargement avec les périodes propres de la

structure. Ainsi, en première approche, les problèmes de chocs et d'impacts seront traités de


préférence par intégration directe car ils sollicitent les modes propres de la structure les plus

élevés en fréquence. Par contre, les problèmes de vibration de systèmes mécaniques ou de

structures de génie civil soumises aux actions de type vent ou séisme seront plus généralement

abordés par des méthodes de superposition modale. Dans ce dernier cas, la réponse en régime

permanent l'emporte vis-à-vis de la période transitoire, une étude vibratoire en situation établie

est donc pertinente. L'analyse par recombinaison modale d'une structure se base sur le principe

de superposition, son utilisation est donc difficile pour un problème sujet à l'apparition de non-

linéarités. Pour ce dernier cas, des algorithmes particuliers basés sur des analyses modales de

raideur tangente doivent être adoptés (Léger 1992).

Dans le cas d'une analyse par recombinaison modale, le comportement dynamique du système

est perçu comme la superposition d'ondes stationnaires. Le problème à résoudre se ramène à la

détermination des fréquences et des formes des modes propres ainsi que de leur participation à

la réponse globale.

Considérons la réponse du système comme une superposition de fonctions harmoniques, la

détermination des fréquences propres de vibration correspond au problème aux valeurs propres

suivants (Imbert 199 1, Géradin & Rken 1993) :

De la résolution de ce problème, nous pouvons en déduire l'espace modal de vibration de la

structure et résoudre l'équation du mouvement dans cette base. Ainsi, l'équation de la

dynamique, projetée dans ce nouvel espace, est parfaitement découplée et permet de rechercher

des solutions aux n systèmes à 1 degré de liberté. La lourdeur des calculs est ainsi évitée et la

réponse complète est obtenue par superposition des réponses de chaque mode. Dans le cas des

structures de grandes dimensions pour lesquelles le nombre de modes prédominants est faible

par rapport à l'ensemble des modes du système discrétisé, une résolution sur base modale

tronquée s'impose : l'ensemble des modes négligés est remplacé par un ensemble de forces

pseudo-statiques équivalentes.

Dans le but de résoudre des problèmes où des non-linéarités matérielles peuvent survenir ou

encore pour lesquels les phénomènes de propagation d'ondes sont majeures, l'équation du

mouvement devra être intégrée pour le système complet. Ce traitement numérique fait l'objet du

paragraphe suivant.


1-3.1.4 Schémas numériques d'intégration temporelle

Le système d'équations différentielles du second ordre à résoudre en présence d'un

amortissement visqueux (voir détails en 1-3.2.1) est du type :

Mq + @q + Kq = Fext (t) (1.24)

Le principe consiste à discrétiser l'intervalle de temps [O,T] et à résoudre l'équilibre de manière

discrète à chaque piquet de temps [t,, t,, t ,,........, t,]. Connaissant toutes les variables

(déplacement, vitesse, accélération) au temps tt, la détermination de ces quantités au pas suivant

peut s'effectuer suivant deux grands principes, différenciés selon le mode de vérification de

l'équilibre. Si ce dernier est vérifié au temps tt nous aurons à faire à une méthode dite

explicite, par contre une vérification au pas tt+, nous amène A un schéma dit implicite. La

discrétisation est effectuée au moyen des différences finies qui consiste ii remplacer la dérivée

continue en temps par un quotient de différences finies.

Les schémas explicites sont tous au mieux conditionnellement stables. La stabilité d'un système

peut être définie par cette propriété : une perturbation finie du vecteur d'état doit entraîner une

modification non croissante de l'état. La condition de stabilité porte sur la taille du pas de temps

à utiliser. Nous ne détaillerons pas de manière exhaustive tous les types de schémas mais nous

nous attarderons plutôt sur le plus répandu : le schéma des différences centrées. Une revue

générale de ces méthodes peut être trouvée dans (Dokainish & Subbaraj 1989). Discrétisons

dans un premier temps la vitesse et l'accélération :

Remplaçons ces approximations dans l'équation d'équilibre au temps t pour aboutir à un

système complet discret d'équations :

La résolution de ce système est explicite si les matrices de masse et d'amortissement sont

condensées sur la diagonale. Aucune factorisation de matrice n'est donc nécessaire. Utilisé pour

des problèmes de dynamique rapide, l'amortissement n'est généralement pas introduit par œ

biais d'efforts visqueux et ainsi, souvent, la matrice @ est mise à O. De même, l'utilisation d'un


schéma explicite aura tendance à surestimer les fréquences propres de la structure, la

diagonalisation de la matrice de masse permet de compenser cette erreur. L'avantage de la

diagonalisation de iM est donc double. Une variante de ce schéma, proposée par Warburton

(Warburton 1985), se base sur une discrétisation du type Euler explicite permettant d'intégrer un

amortissement proportionnel de type Rayleigh. De même, une expression spécifique de la

matrice d'amortissement, adaptée à la dynamique explicite, a été développée dans (Munjiza et al.

1998).

L'étude de la stabilité du schéma nous amène à déterminer le pas de temps critique au dessous

duquel la stabilité est assurée pour un problème linéaire (Hughes 1987) :

Tn At I At,, = -

'X:

Avec Tn la plus petite période propre du système. Cette condition se ramène dans un cas

uniaxial à la célèbre condition de Courant :

L n At,, = - C

l,, étant la plus petite taille d'éléments et c la vitesse de propagation des ondes dans le milieu.

Cette restriction sur le pas de temps explique que ces schémas soient utilisés pour des problèmes

de dynamique rapide où une discrétisation fine en temps est nécessaire afin de bien décrire le

chargement appliqué.

Considérons dès à présent le second type de schéma d'intégration en temps, les méthodes

implicites. Leur principal avantage est de souvent garantir une stabilité inconditionnelle. Une

bibliographie générale de ces algorithmes peut être trouvée dans (Subbaraj & Dokainish 1989).

La famille la plus répandue est connue sous le nom de schémas de Newmark (Newmark 1959).

Après avoir développé en série de Taylor les déplacements et les vitesses, nous pouvons aboutir

à une approximation de L'accélération par ses valeurs à ses bornes et obtenir ainsi les

expressions discrétisées de ceux-ci :


En remplaçant ces expressions dans l'équation d'équilibre au temps t + At, nous aboutissons à

l'expression d'un système d'équations différentielles implicites :

La présence de deux paramètres permet une souplesse d'utilisation de ce schéma en couvrant

une large gamme de possibilités. La stabilité inconditionnelle, toujours dans un cadre linéaire,

est obtenue en respectant certaines plages dans le choix des deux paramètres:

Les différents schémas issus de la famille de Newmark sont résumés dans le tableau suivant :

Y P ALit erreur

Euler explicite O O O 0(At2)

Diff. centrée 112 O Tnln: 0(At2)

Fox & Goodwin 112 1/12 1.225Tnln o ( A ~ ~ )

Accél. linéaire 112 116 1.8Tnln 0(At2)

Accél moyenne 112 114 ce 0(At2)

Tableau I. I Famille de Newmark

D'autres schémas basés sur une approximation différente de l'accélération peuvent être imaginés

comme la méthode Wilson- 8 (Wilson et al. 1973) ou encore (Houbolt 1950). Zienkiewicz a

donné une formulation à 3 paramètres permettant ainsi de généraliser la famille de Newmark et

d'englober tous les schémas précédents (Zienkiewicz et al. 1984).

Le choix entre toutes ces méthodes s'effectue selon plusieurs critères tels que : le besoin de

stabilité, la précision souhaitée ou encore l'amortissement introduit par fdtrage de fréquences

(voir le paragraphe suivant).


1-3.2 Amortissement dans les calculs

L'introduction de L'amortissement dans les calculs est une nécessité pour deux raisons

principales. Tout d'abord, la physique des phénomènes ainsi que l'observation du

comportement d'une structure en vibration nous amènent à constater que sans chargement

extérieur entretenu, le mouvement de cette dernière s'atténuera avec le temps. La seconde raison

est purement numérique : sans amortissement, la présence de modes de résonance peut conduire

à une croissance exponentielle des déplacements et une divergence du calcul.

Dans la suite du chapitre, nous allons passer en revue les diverses méthodes susceptibles de

générer de la dissipation dans les calculs en nous attardant plus particulièrement sur

l'amortissement structurel, le plus couramment rencontré en dynamique lente (ou basses

fréquences).

1-3.2.1 Amortissement structurel

L'amortissement global, dit structurel, peut être introduit de deux manières différentes dans les

calculs : visqueux ou hystérétique selon que la force d'amortissement est fonction de la vitesse

ou du déplacement :

Concernant l'amortissement visqueux, nous pouvons retrouver la forme classique de l'équation

du mouvement : Mq + @q + Kq = Fext(t)

Pour l'amortissement hystérétique : Mq + (K + iDI)q = Fext (t)

Cette dernière expression de l'équilibre ne s'exprime plus désormais dans le domaine réel mais

complexe. L'amortissement hystérétique implique ainsi une résolution dans le domaine

fréquentiel. Nous ne nous attarderons pas sur cet aspect car non-adapté aux problèmes non-

linéaires.

Construire une matrice d'amortissement visqueux peut s'effectuer de multiples manières qui

peuvent être classées en deux catégories principales : l'amortissement proportionnel ou non-

proportionnel. En effet, comme nous l'avons vu précédemment, l'équation du mouvement d'un

système non-amorti peut être découplée par projection sur l'espace propre des modes de

vibration. L'orthogonalité des modes propres de vibration vis-à-vis des matrices de masse et de

raideur sont la source de cet avantage majeur. Afin de conserver cette propriété pour un système

amorti, il faut nécessairement que la matrice d'amortissement soit diagonalisable dans cette

même base (amortissement proportionnel). Le moyen le plus simple d'y parvenir est de


construire la matrice @ par combinaison linéaire des matrices de masse et de raideur : c'est

i'amortissement de Rayleigh (Bathe 1982) :

La présence de deux paramètres permet de caler la matrice en imposant la valeur du taux

d'amortissement visqueux pour deux modes propres élastiques de la structure. L'amortissement

qui en résulte varie avec la fréquence du système comme le montre la figure 1.12.

al 02 fréquence

Fig. 1.12 Amortissement proportionnel de Rayleigh

Les paramètres sont identifiés en imposant la valeur du taux d'amortissement visqueux pour

deux fréquences de la structure (a,, a,) :

Un amortissement uniquement proportionnel à la raideur filtrera les hautes fréquences de

manière linéaire alors qu'un amortissement proportionnel à la masse amortira d'avantage les

basses fréquences. Caughey a proposé une généralisation de l'amortissement de Rayleigh

permettant d'imposer l'amortissement sur autant de modes désirés (Caughey 1960) :

L'amortissement de Rayleigh n'est qu'un cas particulier de (1.35) quand p=2. D'autres

formulations du type Rayleigh généralisé sont possibles, basées par exemple sur des séries de

puissance négative (Man Liu & Gorman 1995), issues de (1.35).


Lors de la résolution de l'équation du mouvement par intégration numérique directe, la

proportionnalité de l'amortissement n'est plus nécessaire car le découplage sur base modale est

inutile. Ainsi, une plus grande liberté est offerte pour définir un amortissement correspondant à

des phénomènes physiques bien identifiés. L'interaction sol-structure rentre par exemple dans

ce cadre (Feriani & Perotti 1996). L'utilisation d'amortissement non-proportionnel nécessite

toutefois la prise en compte de modes propres complexes dans la résolution du problème (Chen

& Taylor 1987) pour ne pas être limité dans la valeur du taux d'amortissement introduit.

1-3.2.2 Amortissement des hautes fréquences

L'amortissement peut avoir d'autres necessités que la représentation de phénomènes dissipatifs

physiques. Le meilleur exemple concerne la génération de très hautes fréquences parasites lors

d'un calcul. Etant donné leur manque de précision (dû à la pauvreté de la discrétisation spatiale),

il est nécessaire de les atténuer, voire de les supprimer.

Le moyen le plus simple d'introduire de la dissipation dans les calculs est de la générer au

moyen d'un amortissement numérique que peut engendrer le schéma employé. Ainsi, tous les

schémas de Newmark provoquent de la dissipation numérique si :

Si l'amortissement physique ( @ # O ) a tendance à améliorer la stabilité du schéma,

l'introduction d'amortissement numérique, par contre, détériore la condition sur le pas de

temps. Il est possible de quantifier la dose d'amortissement numérique introduit en termes

d'amortissement visqueux équivalent (Curnier 1993). Si l'on appelle 6 la dose d'amortissement

introduite dans le calcul :

alors, l'amortissement visqueux équivalent obtenu en identifiant par rapport à (1.32) est :

Un choix approprié sur le pas de temps et le second paramètre P permet de sélectionner la

fréquence au dessus de laquelle un amortissement est introduit. Une bonne mesure de ce dernier

consiste à analyser le rayon spectral de la matrice d'amplification. Toutefois, il est possible

d'introduire de la dissipation sur les hautes fréquences sans nuire à la précision du schéma


d'intégration par l'adjonction d'un nouveau paramètre, c'est la méthode HHT (Hoff et al.

1989).

En dynamique rapide, des problèmes spécifiques requièrent l'emploi d'amortissement

particulier. La gestion de front d'onde de choc nécessite un soin attentif de la dissipation en

amont de ce front. Pour ce faire, la prise en compte d'une viscosité artificielle issue de la

mécanique des fluides permet de telles analyses. La dynamique explicite faisant souvent appel,

pour des impératifs de coûts de calcul, à l'utilisation d'éléments sous-intégrés, des modes de

déformation parasites dits de "Hourglass" peuvent survenir. Ils se caractérisent par une énergie

de déformation nulle. L'adjonction d'un amortissement visqueux (anti-Hourglass de viscosité)

est capable de stopper leur occurrence tout en ayant un impact négligeable sur la réponse globale

(Hallquist 199 1).

Toutes ces considérations sur les lois de comportement matériau ainsi que sur les méthodes

numériques en calcul dynamique des structures nous permettent, en fonction des problèmes

spécifiques que nous avons à traiter, de choisir dans les différents domaines concernés les

schémas les plus adaptés. Ainsi, le paragraphe suivant est dédié à la présentation du code de

calcul EFICOS dont le but est l'analyse des structures en béton armé sous sollicitations

cycliques et dynamiques de type sismiques.

1-4 Approche simplifiée : le code de calcul EFICOS

La discrétisation d'une structure en éléments finis nous amène à la résolution d'un système

matriciel du type (1.24) pour un problème dynamique. Les structures de génie civil se

distinguent des pièces généralement rencontrées en mécanique par leur taille et leur nombre très

important de degrés de liberté (ponts, bâtiments de grande hauteur, etc...). La modélisation de

ce type d'ouvrages doit nécessairement passer par des simplifications : un calcul 3 D complet

parait encore de nos jours irréalisable pour peu que l'on désire effectuer une analyse dynamique

non-linéaire prenant en compte les dégradations des divers matériaux. Désireux de garder un

maximum de précision au niveau du comportement local des matériaux, des hypothèses

simplificatrices sont adoptées sur la cinématique des éléments de structure. A cet effet, des

éléments coques ou plaques avec enrichissement multicouches permettent de traiter de

l'apparition progressive de rotules plastiques au sein de la structure (Merabet 1990). De même,

cette philosophie peut être poussée encore plus loin pour aboutir à une approche simplifiée du

calcul de structures : l'utilisation d'élément poutres multicouches permet d'aborder des

structures de très grandes dimensions tout en gardant un nombre de degrés de libertés

relativement faible. Ce dernier point est un facteur prédominant au regard de l'efficacité des

algorithmes de résolution de systèmes d'équations non-linéaires. C'est donc dans cette optique


que le L,MT développe depuis 10 ans le code de calcul EFICOS permettant de traiter des

structures en béton armé sous chargement monotone, cyclique et dynamique de type sismique

(Bazant et al. 1987, La Borderie 1991, Fïéjou 1993, Dubé 1994, Ghavamian 1998).

1-4.1 Discrétisation E.F. à couches superposées

EHCOS repose sur une approche semi-globale du comportement des structures en béton-armé.

La description de la géométrie à l'aide d'éléments poutres évite la lourdeur des calculs et

l'enrichissement multicouches permet de conserver une description locale "fine" des matériaux.

La figure 1.13 nous donne un aperçu de l'approche.

Fig. 1.13 Principe de discrétisation d'une structure par EFICOS

1-4.1.1 Equilibre d'un élément

Les éléments sont des poutres à deux noeuds, l'hypothèse de Navier-Bernouilli sur les sections

droites confere aux différentes couches un comportement uniaxial. La relation donnant

l'équilibre de l'élément est obtenue par le principe des puissances virtuelles et exprimée en

termes de coordonnées généralisées.

G U ~ F = hTodv avec GeT = S(BU)~ = GuBT 51

(1.38)

Si l'on introduit une loi de comportement avec endommagement et anélasticité,

o E = + E, (d) soit, o = E(l- d)(& - E,) (1.39)

E(l- d)

Substituons (1.39) dans (1.38) pour obtenir :

Chapitre I positionnement du problème -

S U ~ F = 1 GuTBT~(i - - E, )dv R

(1.40)

Soit,

Qui peut encore se mettre sous la forme suivante :

En posant :

nous aboutissons au système final à résoudre :

Cette répartition des non linéarités, dues à l'endommagement entre la matrice de rigidité et le

vecteur des efforts anélastiques, permet de conserver une matrice non-singulière. Bien que peu

performante en comparaison avec la méthode de Newton, elle demeure très avantageuse lors de

résolution de systèmes d'équations non-linéaires en cyclique.

La matrice de rigidité élémentaire, basée sur la théorie des poutres (La Borderie 1991) est bien

adaptée pour décrire le comportement de structures normalement élancées au sens de la RdM.

Pour traiter de problèmes à élancement très faible, la cinématique se doit d'être enrichie afin de

prendre en compte les déformations de cisaillement. En élasticité, une telle description

s'apparente aux poutres de Timoshenko (Timoshenko & Goodier 1970). De même, le

gauchissement des sections peut être introduit, sur la base des travaux de Reissner (Reissner

1945), et permet de rendre compte de la distribution non-uniforme des contraintes de

cisaillement dans une section. Les détails concernant l'application dans un cadre non-linéaire

endommageable et l'implantation numérique peuvent être trouvés dans (Dubé 1994). Ainsi, de

nouveaux types de structures peu élancées tels que des voiles en béton armé peuvent être

appréhendés par des approches simplifiées (Dubé 1997, Ghavamian & Mazars 1996).

A l'inverse, les structures fortement élancées s'éloignent de la classique théorie des poutres du

fait de la présence d'effets du second ordre. Ces effets sont principalement dus à l'excentrement


des charges en présence de grands déplacements. Des analyses éléments finis, basées sur le

Lagrangien réactualisé, permettent de prendre en compte ces non-linéarités géométriques mais

entraînent une lourdeur du calcul non appropriée aux études simplifiées. Toutefois, il est

possible d'adopter une stratégie plus souple permettant de prendre en compte les moments

additifs. On introduit pour cela des termes du second ordre dans la défuition des déformations

participant à l'expression de l'énergie élastique (Ghavamian 1998). Cette approche se résume à

adjoindre une nouvelle matnce de rigidité dite "géométrique" qui aura tendance à assouplir la

structure quand celle-ci est soumise à des efforts de compression :

1-4.1.2 Lois de comportement utilisées

Le code EFICOS étant spécialisé dans l'étude semi-globale de structures en béton armé, il est

nécessaire de décrire localement le comportement des deux matériaux en présence : le béton et

l'acier.

Modèle d'endommagement pour le béton (La Borderie 1991)

Le modèle choisi est un modèle d'endommagement unilatéral à deux variables scalaires. Sa

description précise est donnée au paragraphe 1-2.3.2. La lourdeur d'utilisation de ce modèle

dans un cadre classique d'éléments finis en déplacement est largement diminuée, car seule une

implantation uniaxiale est nécessaire grâce à la cinématique de déformation des sections choisie.

Modèle de plasticité pour les aciers

Le modèle de plasticité utilisé pour les aciers est à écrouissage cinématique non linéaire. Basé

sur les travaux initiaux de Armstrong (Armstrong & Frederick 1966), il permet de circonvenir à

l'inconvénient majeur de la loi de Prager (linéarité de la loi d'état) et de reporter tous les termes

non-linéaires dans le potentiel de dissipation. Nous avons implanté dans EFICOS une variante

de ce modèle demeurant dans le cadre des lois associées : la fonction seuil est assimilée au

potentiel de dissipation (Ladevèze & Rougée 1984). Dans un cadre tridimensionnel, le potentiel

d'énergie libre s'exprime comme suit :


C est le tenseur d'élasticité de Hooke du 4ième ordre et (W, est la variable interne associée à

l'écrouissage cinématique. Les lois d'état déflliies par dérivation de cette énergie libre donnent :

La linéarité de la loi d'état de l'écrouissage cinématique combinée à des lois d'écoulement

associées nous amène à une expression particulière de la fonction seuil :

a, b et o, sont les paramètres du modèle à identifier. Les évolutions des variables internes sont

obtenues par les lois complémentaires, dans le cadre de la plasticité associée :

af - af O( = - h - et kP = h - , h est le multiplicateur plastique. ax a0

La figure suivante nous donne un exemple de réponse uniaxiale en traction-compression. Un tel

modèle peut être aisément amélioré afin de prendre en compte par exemple des phénomènes de

durcissement cyclique par ajput d'un écrouissage isotrope. Le manque d'information

expérimentale disponible sur les aciers de renforcement généralement mis en place n'a pas rendu

nécessaire cette amélioration.

Deux types d'aciers sont généralement utilisés : les aciers doux et durs. Ces derniers se

caractérisent par leur pré-écrouissage, ainsi le modèle précédent est apte à simuler leur

comportement. Par contre, les aciers doux présentent une phase ductile bien plus importante

générant de la déformation plastique sans écrouissage. L'écrouissage intervient lorsque les

dislocations sur les plans de glissement sont saturées. Une modification du modèle original

permet de représenter ce phénomène.


déformation

Fig. 1.14 Réponse cyclique du modèle de plasticité pour acier

Nous allons modifier la loi d'écoulement de la variable d'écrouissage cinématique en lui

incorporant un seuil fonction de la déformation maximale atteinte. Dans le cadre d'une écriture

uniaxiale :

où g ( ~ & ) = O si leLl< elrn et EL) = 1 si le&l> el,. La figure suivante montre la capacité

du modèle à reproduire un essai de traction sur un acier doux de 8 mm de diamètre.

déformation

Fig. 1.15 Acier d o m : réponse uniaxiale

Les matériaux sont intégrés couche par couche de manière uniaxiale et un traitement particulier

est réservé aux couches comprenant simultanément du béton et de l'acier. Le comportement des


couches mixtes est homogénéisé par une loi des mélanges permettant de calculer la contrainte de

la couche au prorata de chaque matériau :

o,,, = cc,, + (1 - c)o,, , à déformation égale pour le béton et l'acier.

c représente l'aire relative de la barre d'acier au sein de la couche renforcée.

1-4.1.3 Principes généraux de calcul

De nombreuses méthodes itératives existent afin de résoudre un système d'équations non-

linéaires basées, comme les méthodes de Newton, sur une linéarisation du système. Si une

structure s'endommage, un adoucissement peut être constaté. La matrice de raideur tangente

peut s'annuler et entraîner ainsi une impossibilité de convergence de la méthode de Newton. De

même, en cas de chargements alternés, la matrice sécante s'annule lors du passage par le point

d'efforts nuls provoquant une impossibilité d'utilisation d'un schéma itératif basé sur cette

matrice. EFICOS traitant de structures en béton armé soumises à des chargements cycliques,

susceptibles de s'endommager, doit adopter un schéma le plus stable possible. Le calcul des

efforts anélastiques résultant des non-linéarités matérielles est effectué grâce à une méthode

d'itération basée sur la raideur initiale (Owen & Hinton 1980). La matrice d'itération reste ainsi

non-singulière quelle que soit l'histoire du chargement suivi.

Effort A

F -

/

Fig 1.16 Méthode itérative quasi-sécante

Concernant la partie dynamique du calcul, les chargements tels que les séismes

sollicitent les modes propres de plus basses fréquences. Un pas de temps très faible n'est pas

forcément nécessaire (il doit au minimum décrire convenablement l'accélérograrnme), un calcul

implicite paraît donc être le plus approprié. Un schéma de Newmark (112, 114) est utilisé pour


discrétiser l'équation du mouvement. Ainsi, la stabilité inconditionnelle est assurée tout en

évitant tout amortissement numérique.

Le chargement dynamique nécessaire à la réalisation de calcul sismique par

EFICOS se présente sous forme d'accélérograrnmes (données brutes issues de mesures sur le

terrain lors de séisme). Le signal en accélération est tout d'abord doublement intégré afin de

déterminer l'histoire des déplacements à appliquer aux appuis de la structure. Le problème est

donc résolu dans le repère absolu des déplacements. Le principal avantage de ce& méthode

consiste en la possibilité de traiter du cas des structures à supports multiples dont les différents

appuis ne sont pas soumis aux mêmes accélérogrammes du fait de la propagation des ondes

sismiques dans le sol. Cet aspect du calcul ne pomait pas être abordé si l'action sismique était

prise en compte par une expression de l'équation du mouvement dans le repère relatif des

déplacements.

Etant donné le peu de modes propres sollicités, l'amortissement de Rayleigh

classique, permettant de caler deux modes, parait être le plus simple et le plus adéquat au

problème à traiter. Toutefois, l'utilisation d'une telle méthode n'est pas sans poser de

problèmes. En effet, l'évolution des modes propres concomitante à la fissuration du béton induit

une impossibilité de gérer l'amortissement introduit, défini à partir des modes propres de la

structure vierge (cet aspect sera plus approfondi au chapitre II par l'étude de la maquette

CAMUS). De même en élasticité, la formulation de Rayleigh n'est pas consistante avec une

analyse en repère absolu entraînant des désordres dans la conservation de l'énergie. Ce dernier

point fait l'objet du paragraphe suivant.

1-4.2 Apport de l'amortissement par recombinaison modale

1-4.2.1 Non-consistance de la fomul~tion de Rayleigh

La prise en compte d'une matrice d'amortissement de type Rayleigh ne fournit pas une

dissipation équivalente selon le type d'écriture de l'équation du mouvement. En effet, une étude

énergétique sur un simple système à un degré de liberté (Fig. 1.17) permet de mettre en évidence

la non-concordance entre une description dans le repère absolu et dans le repère relatif des

déplacements (Ghavamian 1998). Si une matrice de rigidité est "insensible" aux déplacements

de corps rigides, il n'en est pas de même pour la matrice d'amortissement.


Fig 1.1 7 Système à 1 degré de liberté

L'amortissement est introduit dans l'équation d'équilibre sous

Rayleigh :

la forme d'une matrice de

L'énergie dissipée par amortissement visqueux dans le cas d'un mouvement de corps rigide

s'exprime comme suit,

Les termes en k s'annulent mutuellement. Ii apparaît donc clairement qu'un mouvement de

corps rigide génère un amortissement visqueux ne permettant pas de conserver l'équilibre

énergétique. Ainsi, pour un code tel que EFICOS traitant de problèmes dans le repère absolu,

un tel formalisme pour l'amortissement peut conduire par exemple à générer des déplacements

résiduels même en élasticité. Ce problème peut êtse amplifié si l'accélérograrnme imposé n'est

pas corrigé en vitesse finale (vitesse nulle en fin de signal) car il favorise l'apparition de modes

de déplacements de corps rigides. Le moyen le plus simple pour pallier cet inconvénient consiste

à éliminer de la matrice d'amortissement tous les termes issus de la matrice de masse et de ne

conserver ainsi qu'un amortissement proportionnel à la raideur. Le nouveau désagrément réside

dans le peu de souplesse dans le calage de la matrice visqueuse (un seul mode à identifier) et

induit un sur-amortissement des modes supérieurs. Ce fait peut devenir très pénalisant pour des

structures multi-modales, souvent rencontrées en génie civil.

1-4.2.2 Amortissement proportionnel établi sur base modale tronquée (Pégon 1996)

Le but d'établir une nouvelle maûice d'amortissement est de pourvoir définir précisément un

taux critique d'amortissement sur plusieurs modes tout en évitant les inconvénients de la matrice

de Rayleigh vis-à-vis des mouvements de corps rigide. Cet ajout a été rendu nécessaire dans

Chmitre I Positionnement du problème

EFICOS de par la volonté de conserver une écriture de l'équation du mouvement dans un repère

absolu.

Le principe consiste à raisonner sur l'espace modal et à définir de manière discrète sur chaque

mode le taux d'amortissement visqueux ci. Considérons après analyse modale du système

(I.23) le résultat en terme de couple : pulsation mi et mode propre {vil pour chaque mode i.

Nous pouvons en déduire les caractéristiques modales du système telles que la masse modale et

la raideur modale :

L'amortissement sur chaque mode est exprimé uniquement en fonction de la raideur modale ne

faisant intervenir aucune contribution de la masse :

L'amortissement est ainsi défini dans l'espace modal et peut être projeté dans l'espace réel grâce

à la matrice des modes propres constituée des vecteurs modaux de vibrations ( 9 ) :

Une telle formulation nécessite l'inversion de la matrice des modes propres, calcul pouvant

s'avérer lourd. Il est toutefois possible de bénéficier de la propriété d'orthogonalité des modes

vis-à-vis de la matrice de rigidité du système. Partons de la matrice diagonale des raideurs

modales :

Cette expression permet facilement d'identifier 9'' et d'aboutir ainsi à une formulation plus

simple pour la matrice d'amortissement :

25i c = gq[di]yiT!K avec di = - (1.55) miki

Une telle matrice n'a plus un profil "bande" comme une matrice de Rayleigh. Ce détail peut

devenir un problème dans le cas de systèmes 21 grands nombres de degrés de libertés. Toutefois

dans le cadre d'analyses simplifiées, le nombre de noeuds reste faible. Etant donné le peu


d'information dont on dispose sur l'amortissement des modes de hautes fréquences, on peut ne

pas reconstituer la matrice @ à partir de l'ensemble de l'espace modal mais juste sur une partie

(un nombre n de modes).

n

C = ci avec Ci = iK~~p~[d,]~~'a< i=l

Les hautes fréquences résiduelles doivent tout de même être amorties, auquel cas, une solution

simple et sans conséquence peut consister à utiliser une matrice de Rayleigh uniquement

proportionnelle à la raideur. Une autre solution à envisager consiste à reconstruire la matrice sur

l'espace modal complet en imposant une valeur fme d'amortissement au delà d'une certaine

fréquence. Dans ce travail, cette dernière solution a été choisie pour l'implantation de cette

nouvelle matrice d'amortissement dans EFICOS.

1-4.2.3 Exemple d'application

Un simple système a été étudié pour mettre en évidence l'apport d'une telle méthode vis-à-vis de

la non-consistance de l'amortissement de Rayleigh dans un cadre linéaire élastique. Un poteau

chargé en tête est soumis à une accélération sinusoïdale à sa base puis laissé libre en vibration à

la fin de l'excitation. On étudie la réponse en terme de déplacement en tête en fonction du temps

ainsi qu'en termes de conservation de l'énergie (énergie totale injectée au système par rapport à

la somme des énergies de déformation, cinétique et dissipée par amortissement visqueux).

L'amortissement introduit est de 4 % sur les deux premiers modes de vibration élastique.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. - - - - - - - - ambrtissement de : ~ a ~ l e i ~ h 0 002 ........................ :

ambrtissement s d base modale w 3 [ ~ R A ~ A A ~ w / ~

. . .......................................................... ................................... .... ........... <G , ,,, 1 k,....f{..# ;

1 -I

-0.003" ' 1 " ' 1 1 ' " I ' ' O 2 6 8 10 temps (s)

Fig. 1.18 Déplacement en tête - apport de la méthode de recombinaison modale


temps (s) 6

Fig. 1.19 Energies mises en jeu - discordance de la méthode de Rayleigh

Fig. 1.20 Energies mises en jeu - apport de la méthode de recombinaison modale

Nous pouvons constater que la méthode de Rayleigh, du fait de la non-conservation de

l'énergie, induit un déplacement résiduel en fin de calcul en présence de mouvement de corps

rigide. L'utilisation d'un amortissement issu de recombinaisons modales permet de conserver

l'énergie mise en jeu et donc la consistance de la formulation du problème dynamique en repère

absolu.

1-5 conclusion

Une analyse sommaire du comportement expérimental du béton nous a permis de cerner les

caractéristiques qui nous ont semblé primordiales pour une modélisation du matériau en

dynamique. Une revue des principales familles de modélisation du comportement et la mise en


place des outils numériques généraux permettant d'aborder le calcul non linéaire en dynamique

des structures nous ont amenés à justifier les choix et options prises dans l'élaboration d'un

code de calcul de structures en béton armé soumises à des séismes.

De plus, la mise en évidence de points spécifiques tels que la présence du frottement entre lèvres

de fissures ainsi que les difficultés liées à une représentation physique des phénomènes d'amortissement ont guidé les travaux de modélisation du comportement local.

La compréhension d'essais sur structures au moyen d'outils numériques de calcul permet de

mettre en évidence les qualités et défauts d'une modélisation. Le chapitre suivant, dédié à l'étude

de la maquette CAMUS soumise à des sollicitations sismiques, montre l'importance du

couplage entre conditions limites, modélisation structurelle et comportement local.

Chapitre II Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme

CHAPITRE II

ANALYSE EN DYNAMIQUE NONLINÉAIRE DE LA

RÉPONSE D'UNE STRUCTURE À UN SÉISME

II- 1 Introduction

II- 1.1 Des essais à buts "multiples"

L'amélioration des moyens d'analyses numériques des structures en dynamique non-linéaire

n'est conditionnée que par une bonne compréhension du comportement réel de telles structures.

C'est pour cela que le recours à l'expérimentation est une étape préliminaire nécessaire à toute

avancée au niveau de la modélisation. Nous inscrivant dans cette optique, l'utilisation d'outils

de calculs reposant sur une démarche simplifiée nous permet d'aborder le cadre des études

paramétriques. Ces dernières facilitent la mise en relief des paramètres significatifs. Ainsi, des

points particuliers aux structures multi-modales tels que les variations d'efforts normaux

dynamiques peuvent être reliés à des caractéristiques locales du comportement du matériau. Une

modélisation correcte des divers aspects du comportement permet d'isoler les zones d'ombres

de la modélisation comme l'amortissement structurel, souvent perçu comme une "boite noire"

permettant de caler les résultats.

La structure étudiée est une maquette de bâtiment à murs porteurs en béton armé. Le

fonctionnement de ceux-ci sous l'effet de chargements sismiques reste un point délicat à bien

des égards. En effet, les trois principaux éléments d'un calcul doivent être pris en compte avec

attention du fait de leurs fortes interactions, à savoir :

La discrétisation de la structure et le choix sur la cinématique des éléments

retenus.


Le comportement des matériaux intégrant la fissuration du béton, permet de

représenter les baisses de raideur de la structure ainsi que la plasticité des armatures amenant à la

ruine globale.

Les conditions aux limites qui régissent le comportement global ainsi que le

mode de ruine.

Le programme CASSBA (Brachet et al. 1994) avait permis d'analyser une configuration

particulière, puisqu'il s'agissait de murs à élancement important, faiblement armés et

simplement posés sur la table. Dans la continuité de CASSBA, la recherche CAMUS s'inscrit

dans le cadre de la maîtrise du risque sismique pour une technique de construction qui utilise le

concept de structure à murs faiblement armés-chainés. Cette technique privilégie un

comportement "multifusibles" de la structure en opposition au concept de rotule plastique

amenant à un dommage localisé. La fissuration distribuée sur plusieurs niveaux est obtenue par

une optimisation du ferraillage sur toute la hauteur.

L'avantage d'une telle technologie n'est pas simplement lié au gain réalisé grâce à la faible

densité d'acier mis en oeuvre mais d'avantage à sa capacité à reproduire un comportement

"parasismique". En effet, la structure doit être capable de dissiper l'énergie injectée lors d'un

séisme, par endommagement du béton, plastification des armatures et une transformation de

l'énergie rendue possible grâce au soulèvement des masses.

Mon travail s'est effectué au sein du réseau de laboratoires GE0 constitué des équipes

suivantes : CEA Saclay, URGC de I'INSA de Lyon, LGCNSN de Nantes et le LMT-Cachan.

Les études ont porté sur plusieurs points tels qu'une aide au dimensionnement, le choix dans les

séquences expérimentales et l'analyse post-essais des résultats permettant une interprétation plus

élaborée de ces derniers. Le présent chapitre s'articule en deux parties correspondant aux phases

principales du programme. Tout d'abord, nous exposerons les principales démarches ayant

permis d'aboutir aux choix définitifs du programme expérimental puis nous aborderons

l'analyse des résultats expérimentaux par le biais de calculs numériques. Les liens étroits entre

comportement local et conséquences structurelles sont mis en évidence et des conclusions

concernant les phénomènes dissipatifs et l'amortissement pourront être tirées afin de tenter

d'améliorer leur prise en compte.

II- 1.2 Description de la structure

Dans le cadre de ce programme, deux maquettes à échelle 113 ont été testées avec deux principes

de ferraillages différents. Nous allons donner dans ce paragraphe la description géométrique


finale des structures qui ont été testées. Pour un poids total de 36 tonnes, les maquettes sont

constituées de deux murs parallèles de 5 m de hauteur reliés entre eux par l'intermédiaire de 5

planchers de 20 cm d'épaisseur (figure 11.1). Les masses additionnelles sont ajoutées sur les

planchers, elles permettent d'augmenter la charge axiale sur les murs de manière réaliste

(1,6 MPa contre 1 MPa pour CASSBA) et de prendre aussi en compte les effets de similitude

entre géométrie réduite et gravité invariante. Les problèmes liés aux effets de similitude ont aussi

une seconde conséquence : les données temporelles doivent être contractées avec un rapport :

semelle

étage courrant

Fig. 11.1 Plan de la maquette Camus

Les masses sont accrochées à chaque étage et le taux de ferraillage évolue avec la hauteur :

Masse Sa, Sb Sc Sa, Sb Sc additionnelle (Camus 1) (Camus 1) (Camus 2) (Camus 2)

Niveau 1 1,53 t 2,884 IO-" 0,693 IO-" 2,355 10'" 0,o

Niveau 2 6,55 t. 1,889

Niveau 3 6,55 t. 0,944

Niveau 4 6 5 5 t. 0,283

Niveau 5 6,55 t. 0,159 10-O4 0,393 l0'O4 0,159 l0-O4 0,o

Tableau 11.1 Masses additionnelles et ferraillage des maquettes

Le ferraillage central a pour but de reprendre les efforts tranchants de glissement. Aucun cadre

ou épingle n'a été utilisé afin de ne pas perturber le comportement en flexion qui nous intéresse

de prime abord. La maquette est ancrée sur la table vibrante par une semelle dont le sur-

Chapitre 11 Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme

ferraillage garantit un comportement élastique tout au long des essais. Les murs ont été coulés à

plat et montés aux planchers après réalisation par plot. Etant donné le manque d'information en

général sur les reprises de bétonnage, ces dernières ont été disposées aux endroits de plus forte

probabilité de fissuration, soit au niveau des planchers (fig. 11.2).

vue générale détail liaison plancher - mur

Fig. 11.2 Vue générale et détails de liaison voiles-planchers

11-2 Conception et études pré-essais

11-2.1 Analyse modale - Calculs statiques non-linéaires

L'analyse modale permet d'accéder à la fréquence fondamentale de la structure, élément

prédominant pour estimer les charges sismiques réglementaires. Cette connaissance dans les

axes de sollicitations permet de caler le spectre de l'accélérograrnme pour atteindre les niveaux

désirés de sollicitation. L'estimation des fréquences de résonance dans la direction orthogonale

et en torsion permet de dimensionner le contreventement des deux murs afin d'éviter toute

interaction en cas de réponse non-symétrique de la maquette. La figure 11.3 montre les

déformées modales de la maquette pour les deux premiers modes de flexion et le premier mode

vertical (pompage) obtenus sur CASTEM 2000 par I'URGC de L'INSA de Lyon.


mode 1 : 12.3 Hz mode 2 : 40 Hz mode 3 : 50 Hz

Fig. 11.3 Déformées modales de la maquette (UGRC Lyon)

Le premier calcul non-linéaire effectué à l'aide du code EFICOS est une analyse statique

équivalente de la structure donnant accès à une estimation fine du comportement ductile de cette

dernière (AFPS 1992). Partant de l'hypothèse d'un encastrement parfait à la base, les charges

sismiques sont appliquées linéairement sur la hauteur de la maquette comme le montre la figure

11.4.

chargement

schéma mécanique maillage EFWOS

Fig. 11.4 Calcul statique équivalent (push over) : modélisation

Ces calculs ont permis de mettre en évidence l'importance des aciers centraux anti-glissements

vis-à-vis de la résistance à la flexion et donc de les faire intervenir dans le dimensionnement. Si

pour la maquette CAMUS 1, les règlements ont été suivis dans leur philosophie mis à part

quelques dispositions constructives, les coefficients de sécurité sur les matériaux ont été

abandonnés afin de garantir un niveau de ruine significatif. En effet, les analyses statiques


équivalentes ont mis en évidence une différence de 50 % sur les déplacements en tête selon les

matériaux considérés (réellement mis en place ou réglementaires). La figure 11.5 montre un

exemple de calcul en terme de déplacement en tête en fonction du moment à la base pour la

structure CAMUS 1 définitivement testée.

déplacement en tête

Fig 11.5 Comportement de la maquette CAMUS 1 sous chargement statique

La charge statique appliquée correspond au niveau de dimensionnement (4.65xNice S l) ,

calculée sur la déformée modale du mode fondamental. Un tel calcul fournit une bonne

indication quant à la ductilité de la structure ainsi que du niveau présumé de ruine. L'état local de

dégradation de la maquette est présenté en figure 11.6

Endommagement de tPaction Plastijication des amtures

Fig. 11.6 Dégradation locale par analyse statique équivalente


Une première étude de ces profils de fissuration c o n f i e le souhait du prédimensionnement

concernant la capacité de fissuration et de dissipation d'énergie sur plusieurs étages. La

plastification des armatures monte sur 3 étages.

11-2.2 Séquence de chargement : calculs dynamiques non-linéaires

Considérant les mêmes hypothèses que précédemment sur les conditions limites (encastrement

parfait sur la table vibrante), des calculs en dynamique non-linéaire ont pu être menés fi

d'établir la séquence expérimentale à appliquer. Deux questions sont apparues, à savoir : le

nombre de séismes à appliquermu- chaque maquette ainsi que leurs amplitudes respectives et

l'ordre d'agencement des différents séismes. En effet, appliquer des accélérogrammes

d'amplitude croissante peut fournir d'importantes informations sur le comportement béton armé

à différents degrés de sollicitation. Cela risque cependant de dégrader de manière trop

importante la structure pour que le test au niveau de dimensionnement conserve une

signification. De plus, deux types d'accélérogramme différents ont df3 être appliqués sur

CAMUS 1 : celui théorique de Nice S1 (AFPS 1992) et le naturel de San-Francisco 1957

NlOE. Le spectre d'accélération de Nice S1 est représentatif d'un séisme dit "lointain" et celui

de San-Francisco correspond à un séisme dit "proche" (rupture de failles en surface). Les

figures 11.7 et 11.8 montrent les différences entre ces deux signaux d'un point de vue de leurs

accélérogrammes et spectres.

temps i 1 temps (s)

Fig. II. 7Accélérogramme nomé de Nice (a) et San-Francisco (b)

Tester deux accélérogrammes différents doit permettre de c o n f i e r un paradoxe apparent

concernant le degré d'agressivité de ces deux types de tremblement de terre. Les séismes

proches de durée faible mais à fort niveau d'accélération sont réputés moins endommageants

que les séismes lointains de plus longue durée mais d'amplitude plus faible. De plus, le contenu

fréquentiel de ces derniers est plus étendu. La maquette étant conçue selon les règlements

français, le risque expérimental résidait dans un endommagement trop important de la maquette

après le passage de San-Francisco nuisant ainsi à la suite de l'essai. D'autre part, soumettre


CAMUS à San-Francisco après la séquence complète de Nice, ayant pré-endommagé la

structure ne serait en rien démonstratif. Il fallait donc s'assurer par calculs prévisionnels que

commencer par un séisme de San-Francisco de fort niveau, dégradant théoriquement peu la

maquette, puis continuer par des séquences de Nice de plus faible amplitude serait sans

conséquence sur la signification du comportement de CAMUS 1 soumis à Nice S 1.

" O 5 1 O 15 20 25 30 fréquences (Hz)

1 Fig. 11.8 Comparaison de spectres proches et lointains

Des analyses pararnètriques en dynamique non-linéaire portant sur le degré de plastifkation des

aciers après San-Francisco nous ont conduits au choix suivant : application de Nice à très faible

niveau, San-Francisco de fort niveau, Nice S1 (213 de l'accélération maximale de San-

Francisco) puis Nice par palier croissant.

11-3 Calculs et analyses des résultats expérimentaux

Les deux maquettes ont été étudiées au moyen du code de calcul EFICOS. La maquette

CAMUS 1 a permis une bonne compréhension des multiples phénomènes mis en jeu ainsi que

le calibrage des divers paramètres comme l'amortissement ou encore les conditions limites. La

validation des interprétations précédentes est réalisée par le calcul de la seconde maquette, dans

des conditions de dimensionnement encore plus extrêmes du point de vue de la conception

classique des structures en béton armé.

11-3.1 Etude de la maquette 1

11-3.1.1 Hypothèses de calcul

Prise en compte des conditions limites


La première information utilisable issue des tests expérimentaux concerne l'estimation des

modes propres de vibration de la structure avant essai. En effet, la souplesse de la table ainsi

que les défauts d'ancrage de la semelle à la table ne permettent pas d'assurer l'encastrement

parfait initialement prévu. Ainsi, le passage d'un bruit blanc avant le premier essai nous permet

d'avoir une information sur les modes de flexion et donc sur la souplesse de la liaison. De la

même manière, le premier mode de pompage vertical est activé par le soulèvement des masses

créé par la fissuration du béton. Des analyses de signaux réalisées sur les mesures d'accélération

verticales ont mis en évidence une vibration de l'ensemble table-maquette sur une fréquence de

20 Hz (40 Hz prévu en considérant une liaison parfaite).

La simulation des essais requiert l'introduction de conditions aux limites réalistes. Deux choix

sont possibles dans ce but. La première approche consiste à modéliser de manière précise

l'ensemble table-condition de liaison comprenant le boulonnage précontraint de la semelle. Mais

à tout niveau de modélisation, on aboutit à des paramètres de modèles inaccessibles tels que le

jeu du boulonnage, les liaisons de la table à ses propres supports ou encore les défauts de

rectitude de la semelle qui conditionnent la réponse globale. De plus, dans l'optique d'une

modélisation simplifiée, cette approche n'est pas la plus adaptée. Nous avons donc porté notre

choix sur une approche simplifiée de la description de la liaison par l'introduction d'un élément

souple de flexion permettant de caler les deux premiers modes (flexion et vertical). Le nouveau

schéma mécanique adopté est présenté en figure 11.9. Les caractéristiques géométriques et

d'inertie de l'élément de liaison ont été calées par rapport à un modèle de calcul de la table

sismique du CEA. Les raideurs introduites par un tel élément sont facilement accessibles : en

rotation K, = 12EIl1 et pour la composante verticale K, = 48~11 13. Où 1 est le moment

d'inertie de la section et 1 la longueur de l'élément. Cet ajout permet de ne compenser qu'une

partie de la souplesse de l'ancrage. Ainsi le module d'Young du béton composant la semelle a

été calé à 10 000 MPa. Nous avons décidé de placer l'inconnue sur le module et non sur la

rigidité (les dimensions géométriques sont connues) car c'est une approche plus compatible avec

nos modèles de dégradation locale.

modélisation modélisation fréquences initiale mocWée mesurées

ler mode (flexion) 10.3 Hz 7.4 Hz 7.3 Hz

2ème mode (vertical) 40.0 Hz 19.0 Hz 20.0 Hz

3ème mode (flexion) 50 Hz 36 Hz 33 Hz

Tableau 11.2 Ajustement des fréquences propres


modèle initial modèle modifié

Fig. 11.9 Prise en compte des conditions limites

O Les matériaux

Des essais de traction simple sur les différents aciers mis en place ont été réalisés par le

C.E.B .T.P.. Les caractéristiques mécaniques (limites élastiques, taux d'écrouissage) sont

introduites dans le modèle en moyennant les caractéristiques au prorata des sections des divers

aciers dans la section. Pour la section en base du mur, la limite élastique est imposée à 414 MPa

et un écrouissage maxi de 494 MPa.

Des éprouvettes de béton 16x32 ont été coulées pendant la réalisation des murs et testées en

compression simple. Des caractéristiques moyennes ont été extraites de ces essais pour aboutir

aux données suivantes : module d'Young E=30 000 MPa et limite en compression de 32 MPa.

O L'amortissement

L'amortissement utilisé est établi à partir d'une formulation de Rayleigh. Les deux paramètres

de l'amortissement permettent de caler le modèle pour retrouver la réponse expérimentale. Une

attention particulière est portée sur le fait que pour une structure en béton armé, du fait du

décalage des fréquences propres, aucun contrôle ne peut s'effectuer sur la quantité

d'amortissement introduite en cours de calcul. La matrice d'amortissement visqueux a été

construite de manière à caler le "plateau" de la courbe de Rayleigh dans la plage de variation du

mode fondamental. Partant des modes propres de la structure vierge avant essai, 0,6 %

d'amortissement est imposé au- premier mode et 1 % au second. La courbe de Rayleigh est

présentée en figure 11.10.

ChaQitre II Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme

Fig. II. 1 O Amortissement de Rayleigh introduit dans la simulation

5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1

O Chargement imposé

ê 4

Les accélérations horizontales ont été mesurées au niveau de la table au cours des essais. Les

calculs doivent prendre en compte toute l'histoire du chargement, ainsi les accélérogrammes

sont imposés au modèle les uns après les autres. Les différentes séquences ont été corrigées vis-

à-vis des vitesses et déplacement finaux pour s'astreindre des problèmes liés aux déplacements

de corps rigides. La séquence totale de chargement est présentée en figure II. 1 1.

temps (s)

..................................... i

..................................... j.. ................................ L

..................................... j 2 -

-

- I I -

- I l 1 I I I I I 1 I I I I 1 I I 1 I I -

-

O0 l 5 10 15 20 fréquence (Hz)

1

Fig 11.1 1 Accélérogramme complet de chargement

- -

&ge de variation du -

................. *- .................................... 1 ..... - npde foniihmentat

11-3.1.2 Réponses globales

Comparaisons temporelles


Les résultats de calculs sont comparés à l'expérience selon plusieurs critères tels que les

déplacements en tête par rapport au temps ou encore les efforts globaux donnant une indication

sur le degré de ductilité de la structure. Les réponses temporelles complètes du modèle et de

l'expérience sont présentées en figure II. 12 et II. 13.

-

- 0 . 0 4 ~ " " ~ " " ~ " " " " ~ " " ~ 10 20 30 40 50 temps (s)

Fig 11.12 Réponse expérimentale de la séquence complète

.......................... ......................................................... :il..! .....................

. - . i ' . . ' i ' . . ' i ' . ' ' i . m ' . O 1 O 30 40 50

2o temps (s)

Fig II. 13 Réponse du modèle

Les figures 11.14, 11.15 et 11.16 présentent des zooms sur les intervalles de temps les plus

sollicités des différentes séquences.


5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 temps (s)

Fig. 11.14 Nice 0,24g

17 17.5 18 18.5 19 temps (s)

Fig. 11.15 San-Francisco 1,13g

temps (s)

Fig. II. 16 Nice 0,7l g

Chapitre 11 Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme

En premières observations, nous pouvons remarquer que la simulation permet de retrouver tant

qualitativement que quantitativement les principaux comportements de la maquette. Les niveaux

de déplacement atteints sont bien représentés et le suivi temporel semble en phase avec

l'expérience.

Toutefois, la vision générale des comparaisons des figures II. 12 et II. 13 met en évidence toute

la difficulté de caler l'amortissement et de l'adapter en fonction du comportement hystérétique de

la maquette. En effet, pour le niveau le plus faible (Nice 0.24 g), les déplacements maximaux

atteints ainsi que la décroissance des amplitudes de vibration en fin de séquence indiquent que

l'amortissement est représenté de manière correcte. Plus les niveaux d'accélération sont

importants et plus le manque d'amortissement dans le modèle se fait sentir, à tel point que les

déplacements en fin de la séquence Nice O,7 1 g sont très largement surévalués.

Résumés des informations globales

D'autres informations telles que les efforts en présence sont importantes à représenter dans la

simulation. L'objet du tableau suivant consiste à résumer pour chaque niveau de chargement les

résultats significatifs en terme de déplacements et d'efforts en base du mur.

deplac.(cm) Eff. tranchant (kN) moment (kN.m)

essais calculs essais calculs essais calculs

Nice 0,24g 0,72 0,6 1 65,9 65 200 200

sf 1,l g 1 2 1,1 106 90 280 240

Nice 0,4g 1,35 1,1 86,6 75 280 240

Nice 0,7g 4,4 3 ,9 111 120 350 380

Tableau 11.3 Comparaisons des résultats globaux

La ductilité de la structure sous chargement sismique peut être observée en traçant une courbe

enveloppe à partir de toutes les réponses temporelles. Cette courbe indique les maxima d'effort

(moment) atteints au cours d'une séquence en fonction du déplacement maximal atteint durant

cette même séquence.


Fig. II. 1 7

O 1 2 3 4 5 déplacement horizontal maxi (mm.)

Courbe enveloppe maximale du comportement dynamique de la maquette

11-3.1.3 Analyses fréquentielles

La caractéristique fondamentale du comportement de structures en béton armé réside dans

l'endommagement des sections les plus sollicitées induisant ainsi une perte de raideur globale de

la structure. Cette perte de raideur, souvent très importante, a une conséquence immédiate sur

les modes propres apparents de la structure en abaissant la fréquence fondamentale. Il est

important de suivre cette évolution de raideur en cours de calcul car celle-ci conditionne le

chargement que doit supporter la structure en fonction du spectre de réponse de

l'accélérograrnme imposé. Ainsi, nous avons étudié le contenu fréquentiel de la réponse en

déplacement du modèle et de la maquette pour les deux niveaux extrêmes de chargement (Nice

0,24 g : béton fissuré et aciers en limite de plastification et Nice 0,71 g : aciers rompus). Les

comparaisons ont été effectuées en réalisant des spectres de réponse sur les signaux de sortie et

sont présentées en figure II. 18 et II. 19.

fréquence (Hz)

Fig. 11.18 Spectre de réponse des déplacements en tête : Nice 0,24 g


- O 2 4 6 8 10

fréquence (Hz)

Fig. II. 19 Spectre de réponse des déplacements en tête : Nice 0,7l g

Le décalage maximal constaté est du tiers de la fréquence initiale. On peut s'apercevoir qu'un

modèle d'endommagement modélisant la dégradation progressive du béton est apte à suivre à un

niveau structurel des variations de raideur aussi importantes. Ce lien entre comportement local et

conséquences structurelles n'est pas le seul. Ceci fait l'objet du paragraphe suivant.

11-3.1.4 Comportement local - Influence sur la réponse globale

On entend par comportement local, la bonne représentation au niveau du matériau de toutes les

dégradations que ce dernier subit au cours du processus expérimental. La figure suivante montre

les dégradations locales (endommagement, plastification) en fin de calcul.

endommagement de traction plastification des a m t u r e s

Fig 11.20 Dégradation de la structure e n j k de séquence expérimentale

Nous retrouvons bien, cette fois-ci lors d'un calcul dynamique, le comportement multi-étagé de


la structure. La plastification des armatures se répartit sur 4 étages, avec un maximum de

plastification sur les étages supérieurs. Nous pouvons comparer ces résultats locaux avec les

données issues de l'expérience en terme de relevés visuels et d'ouvertures de fissures (figure

ouverture defisures - d é $ o ~ t i 0 ~ 1 ~ SUT aciers - expérience (mm) eqérience (1 O -03)

I I 1 2 3 4 5 5 10 15 20 25

d&omtions calculées (1 0-03)

Fig. 11.21 Ouvertures des fissures - comparaisons essais /calcul

L'observation post-mortem de la maquette a mis en évidence les forts niveaux de dégradations

supportés par les sections les plus sollicitées. Tous les aciers en base et au troisième niveau ont

été rompus, soit en traction soit en compression par flambement après rupture de l'ancrage. Ces

ruptures d'ancrage ont généré les ouvertures de fissures les plus importantes, au droit des arrêts

de barres. C'est donc sous les planchers que se sont localisées les ruptures d'aciers les plus

importantes.

Qualitativement, le modèle reproduit les tendances générales du schéma de fissuration.

Toutefois, quantitativement, il est difficile de retrouver le niveau de déformation atteint au cours

de l'essai. Ceci vient de l'utilisation de la mécanique de l'endommagement associée à une

méthode éléments finis, pour laquelle l'état d'une variable interne est associé à l'espace

environnant le point de Gauss. Pour des structures ayant une aussi faible densité de

renforcement, nous touchons aux limites de la modélisation continue, ne permettant pas

d'appréhender correctement le caractère discret d'une fissure. Ce point peut devenir un

problème si l'on s'intéresse à l'établissement d'un critère objectif de ruine d'une structure.

Effets unilatéraux vis-à-vis de la variation de l'effort normal (Ragueneau &

Mazars 1998)

Une constatation expérimentale importante concerne la variation de l'effort normal dynamique

en cours d'essai. En effet, la fissuration du béton en flexion entraîne un décalage de l'axe neutre

du mur. Du fait de ce décalage, les masses sont soulevées à chaque passage de moment

maximal. C'est à la reprise de contact des lèvres de fissure, qu'un choc se produit et génère

ainsi une augmentation brutale de la valeur de l'effort normal dans le mur. Il a été observé


expérimentalement un doublement de cet effort durant les instants de compression et une

annulation de la pesanteur lors des soulèvements de masses. Etant donné l'importance de la

flexion composée dans un dimensionnement de béton armé, il est nécessaire de pouvoir simuler

ce type de comportement.

La variation d'effort normal étant due à la reprise de raideur du matériau lors de chargements

cycliques, le paramètre influant le plus cette caractéristique de comportement structural réside

dans la gestion des effets unilatéraux au niveau local. Le mode de refermeture de fissure est

conditionné, dans le modèle de béton utilisé, par un seul paramètre : la contrainte de refermeture

de fissure. Nous pouvons directement agir sur la brutalité de reprise de raideur et ainsi

influencer le choc des masses sur le mur. La figure II.22 montre le chemin de refermeture de

fissure pour deux valeurs différentes de O,.

déformation (lu4)

Fig 11.22 Influence de la contrainte de refermeture de fissure sur la reprise de raideur

Le suivi temporel de l'effort normal en base du mur est donné en figure II.23 pour deux valeurs

différentes de la contrainte de refermeture de fissures.

refenneture initiale refenneture modifiée

-2 '@O I O 20 30 40 50 40 50 temps Cs)

Fig. 11.23 Influence de la refermeture de fissure sur la variation de l'eflort nomal dynamique

Le tableau suivant montre l'influence d'une telle donnée locale sur la variation de l'effort normal


au niveau structurel. La valeur optimale de la contrainte de refermeture de fissures a été

identifiée à 1,3 Mpa.

3,5 MPa 1,75 MPa 1,3 MPa 1 ,O MPa expérience

Nice 0.25 g 180 189 190 190 202

S-F.1.13g 225 230 270 288 271

Nice 0.40 g 190 202 225 235 217

Nice 0.71 g 210 260 310 335 312

Tableau 11.4 EEJCf0i-t vertical dynamique (kN)

Ces calculs sur la maquette CAMUS 1 ont permis une meilleure interprétation des résultats

expérimentaux et surtout de caler le modèle de simulation (tant structurel que matériaux) afin de

retrouver les caractéristiques les plus importantes (ductilité, chute de fréquence, zone de rupture,

etc.). L'analyse de la maquette No 2 nous permet, en quelque sorte, de valider la modélisation

simplifiée pour des niveaux de chargement dégradant la structure jusqu'à la rupture.

11-3.2 Simulation de la maquette 2

Seule une modification du calage des conditions limites a été rendue nécessaire du fait des

résultats du bruit blanc appliqué à la maquette vierge. Une fréquence de 6,35 Hz a été constatée

et nous a permis de réajuster la souplesse de notre élément de liaison.

11-3.2.1 Hypothèses de calcul et chargement

La figure suivante présente l'accélérogramme complet subi par la maquette durant toute la

séquence expérimentale. 4 séismes de Nice ont été appliqués successivement à des niveaux

croissants.

Chapitre 11 Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme I

i Nice 0.52 .Nice O. -6 I I 1 I I I I I I I I I I I I

O 20 40 60 80 100 temps (s)

Fig. 11.25 Séquence expérimentale imposée : accélérogramme mesuré au niveau de la table

11-3.2.2 Réponses temporelles globales

Une visualisation des déplacements en tête expérimentaux et issus des calculs est présentée dans les deux figures suivantes.

.......................

temps (s)

Fig 11.26 Réponse expérimentale de la maquette


20 40 60 80 100 temps (s)

Fig. 11-27 Réponse du modèle E.F

Les quatre figures suivantes présentent des zooms sur les comparaisons calculs 1 essais pour les

quatre séismes.

8 9 10 11 12 13 14 temps (s)

Fig. 11.28 Nice 0 , l g

28 30 32 34 temps (s)

Fig. 11.29 Nice 0,25 g

Chupitre II Analyse en dynamique nonlinéaire de la réponse d'une structure à un séisme

Fig. 11.30 Nice O , Z g

temps (s)

Fig. 11.31 Nice 0.51 g

La même remarque concernant l'amortissement peut être dressée en analysant les résultats de la

maquette CAMUS 2 . L'amortissement introduit permet de suivre convenablement les résultats

expérimentaux pour les forts séismes mais, par contre, surévalue grandement ces mêmes

déplacements pour les séquences faiblement non-linéaires. Ce paradoxe apparent s'explique par

le fort décalage des fréquences subi en cours d'essai qui nécessiterait un recalage complet de la

matrice d'amortissement. La différence de déplacements maximaux tient à la non prise en

compte de la ruine des aciers en cours de calcul qui contribue à augmenter les déplacements en

tête. Ce problème de représentativité des déformations locales est plus grandement perçu en

comparant les résultats locaux issus des mesures par jauges de déformations.

Le tableau IL5 résume les résultats concernant les informations globales pour les efforts et les

déplacements.


deplac.(cm) Eff. tranchant moment Eff.normal (W W . m ) (W

essais calculs essais calculs essais calculs essais calculs

-- --

Tableau 11.5 Znfomtions globales

Concernant les résultats globaux, on s'aperçoit que le modèle restitue correctement les efforts

supportés par la maquette. L'identification de la fonction de refermeture de fissures sur la

maquette No 1 permet de retrouver la variation d'effort normal dynamique subie par la maquette

du fait du soulèvement des masses.

11-3.2.3 Résultats locaux - approche du mécanisme de ruine

De par la nouvelle répartition du ferraillage sur la hauteur de la maquette, la zone de rupture s'est

déplacée vers le bas où une macro-fissure s'est développée juste sous le premier niveau qui a

conduit à une ruine totale de tous les aciers présents. Les schémas d'endommagement ainsi que

de plastification sont présentés en figure 11.32

endommagement de traction plastifiation des armatures

Fig. 11-32 Endommagement local et plastification de la maquette CAMUS 2 encfin de calcul


La comparaison avec les relevés des jauges de déformation est disponible en figure 11.33.

dkjîomtion sur acier déj?orination sur acier d-fomtion sur acier

Fig. 11-33 Visualisation graphique des zones de plus forte déformation

La modélisation est apte à détecter la zone de rupture mais encore une fois, aucune indication

locale ne peut permettre de déduire d'un calcul prédictif l'occurrence de rupture d'aciers :

élément conditionnant la mine globale.

11-4 Conclusions

Un des objectifs expérimentaux de démonstration du caractère para-sismique des constructions

en béton armé à murs porteurs a été atteint. En plus des informations quantitatives sur les degrés

de résistance, des détails qualitatifs sur les séismes appliqués ont pu être obtenus, grâce à une

séquence incorporant des signaux proches et lointains.

Une modélisation par une approche éléments finis, simplifiée au niveau de la structure mais

riche en terme de comportement de matériaux permet une interprétation fine des résultats

expérimentaux. La possibilité d'études paramétriques est la source de cet avantage majeur.

Ainsi, le couplage étroit entre les conditions limites, le comportement local et la modélisation

structurelle a clairement été ressenti dans une structure subissant de nombreuses non-linéarités et

sollicitée sur plusieurs modes. La mécanique de l'endommagement introduite à un niveau local

restitue les évolutions de fréquences de la structure liées aux ouvertures de fissures. De même,

une prise en compte judicieuse des conditions de refermeture de fissures est capable de

représenter un phénomène induit de mise en vibration de l'ensemble table-maquette sur un

second mode propre vertical.

Les points délicats restant à appréhender sont d'une part, la possibilité de décrire le comportement local jusqu'à la ruine et, d'autre part, d'améliorer la prédiction de l'amortissement

et des phénomènes dissipatifs en général. Les éléments finis, reposant sur la mécanique des

milieux continus, ont du mal à déceler et à intégrer de manière discrète la fissuration. C'est


pourtant ce coté discret qui engendre la ruine des éléments de béton armé sous-ferraillés comme

la structure CAMUS. Cet aspect sera discuté au chapitre V.

Dans le but de rendre plus prédictive une modélisation de l'amortissement, nous proposons de

diminuer la part prise dans les calculs par la matrice de Rayleigh. En effet, du fait des forts

décalages de fréquences propres en cours de chargement, il est impossible de contrôler

l'amortissement introduit par une matrice globale dont les termes sont identifiés sur la structure

vierge. Il semble de plus très difficile de pouvoir corréler la dissipation introduite avec le niveau

de fissuration atteint. Dans ce but, une partie de l'amortissement liée aux phénomènes de

frottement entre lèvres de fissures va être intégrée au niveau local, plus facilement identifiable.

Les couplages entre niveaux de fissuration et dissipation hystérétique seront ainsi naturellement

introduits. Le développement de ce modèle local fait l'objet du chapitre suivant.

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /.frottement

CHAPITRE III

MODÈLE POUR LE BÉTON COUPLANT

ENDOMMAGEMENT 1 FROTTEMENT

III- 1 Introduction

Le but de ce chapitre consiste en l'élaboration d'un modèle de comportement pour le béton

permettant de prendre en compte le caractère hystérétique en décharge de ce dernier. La finalité

de ce travail est de pouvoir intégrer ces phénomènes dissipatifs locaux dans un calcul de

structure afin d'améliorer et de rendre plus prédictive la modélisation de l'amortissement. Dans

cet objectif, un modèle couplant le niveau d'endommagement atteint dans une direction avec un

phénomène de glissement avec frottement des lèvres de fissures a été développé. Sans pour

autant perdre de vue la physique des phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée

de manière phénoménologique dans le cadre de la thermodynamique des processus

irréversibles.

Deux niveaux sont à considérer : d'une part, les liens existants entre les frottements des fissures

et les hystérésis mesurables expérimentalement et, d'autre part, la relation entre ces dissipations

hystérétiques et l'amortissement à un niveau global. La suite de cette introduction a pour objectif

de mettre en évidence ces deux échelles d'observation.

III- 1.1 Frottement, hystérésis et anélasticité

Le béton à l'état durci est constitué de deux phases principales qui sont la matrice cimentaire et

les granulats. Hormis le cas très particulier des bétons à hautes performances (BHP) pour

lesquels, grâce à une amélioration des propriétés mécaniques de la matrice, la fissuration se

développe brutalement à travers les granulats, la propagation des fissures au sein d'un élément

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /frottement

de volume d'un béton ordinaire s'effectue à travers la matrice. Les granulats, perçus comme des

inclusions rigides, empêchent une progression brutale de la fissure qui vient buter contre ceux-ci

et progresser en les contournant par l'auréole de transition, zone faible du matériau (Wittrnann

1983), voir figure III.1.

Fig. III. 1 Propagation des fissures entre les granulats (Saouridis 1988).

Du fait de la nature hétérogène d'un matériau tel que le béton, les propagations de fissures vont

ainsi s'effectuer par sauts, branchements et bifurcations successives. Interprétées par des

concepts de mécanique de la rupture, ces fissures vont donc croitre, pour des sollicitations de

compression, en mode mixte 1 et II. Il apparaît donc que la rugosité importante des surfaces

libres générées par la décohésion va jouer un rôle important dans le frottement entre lèvres de

fissures, source du comportement hystérétique lors d'un cycle de décharge-recharge. De même,

ces défauts de surface vont géner la complète refermeture des fissures lors de décharges,

introduisant ainsi des déformations irréversibles. Ces deux propriétés caractéristiques de la

réponse du béton sous sollicitations mécaniques ayant la même origine, nous devrons nous

assurer, lors de la modélisation, d'associer ces deux phénomènes par l'utilisation d'une variable

interne commune. Cette variable devra naturellement être reliée à l'état de fissuration de

l'élément de volume.

La micromécanique permet d'appréhender l'influence du frottement des fissures sur la réponse

macroscopique du matériau. De nombreuses études analytiques et numériques ont été

accomplies sur le problème d'une propagation de fissure frottante dans un milieu élastique infini

(Horii & Nemat-Nasser 1983-1985). Plusieurs hypothèses sont adoptées quant à la forme de la

fissure branchée s'ouvrant en traction (voir figure III.2) et s'orientant au cours du chargement

parallèlement à l'axe d'application des charges.


Fig. 111.2 Branchement d'une fissure sur une fissure initiale avec frottement - cas d'études

considérés (Horii & Nemat-Nasser 1985).

Une résolution numérique de ce problème utilisant des éléments frontières particuliers

permettant de prendre en compte la singularité en pointe de fissure a récemment été proposée

(Lauterbach & Gross 1998), adoptant un critère de propagation en mode mixte (Erdogan & Sih

1963) et utilisant les facteurs d'intensité des contraintes en mode 1 et II : K, et K, . L'influence

de la courbure des fissures ainsi que celle du frottement ont pu être analysées en termes de

contrainte limite de propagation de fissures. Des comparaisons avec des essais montrent la

pertinence de la démarche tant qualitative (forme et longueur atteinte par la fissure) que

quantitative par rapport aux réponses globales (déformations longitudinales et volumiques d'un

élément de volume).

III- 1.2 Liens hystérésis 1 amortissement : application d'un modèle

multisurfaces

Dans ce second paragraphe introductif nous montrons des résultats de simulations numériques

d'éléments de structures en béton utilisant un modèle unidimentionnel simple basé sur la

plasticité multi-surfaces. Ces exemples ont pour but de mettre en évidence l'intérêt de modéliser

finement la dissipation hystérétique au niveau local au regard de l'amortissement structurel. Le

modèle est développé en annexe A (La Borderie & Ragueneau 1996) et les principaux résultats

sont présentés ci-après. Nous avons réalisé l'implantation numérique de ce modèle au sein du

code de calcul CASTEM 2000.

111-1.2.1 Exemple de calcul sismique

A titre d'exemple, nous allons traiter le cas d'une structure soumise à une sollicitation

dynamique. La structure étudiée est un poteau chargé sismiquement.


temps (s)

Fig. 111.3 Poteau chargé sismiquement : description et chargement

La modélisation éléments finis est du même type que celle présentée en annexe A : 10 éléments

COQ2 dans la hauteur, 10 couches de béton et 2 couches d'armatures. Seul le début de

l'accélérogramme a été conservé. En effet, nous nous intéressons ici uniquement à

l'amortissement lors des oscillations libres survenant à la fin du chargement. L'importance des

boucles hystérétiques du modèle pourra être mise en évidence en comparant les résultats obtenus

avec le modèle classique et une version modifiée supprimant les boucles. Cette modification est

facilement réalisable en changeant les tailles relatives des deux surfaces (paramètre du modèle).

Les résultats ci-dessous représentent le déplacement horizontal en tête du poteau en fonction du

temps. Nous pouvons nous apercevoir immédiatement que l'impact de l'amortissement matériel

est très important sur le résultat final du calcul. La simulation d'un essai réel et le calcul du

décrément logarithmique devraient nous permettre d'apprécier de manière globale la part de

l'amortissement matériel sur l'amortissement total.

Nous avons repris l'exemple de la flexion 3 points présenté en annexe A et avons calculé

l'amortissement relatif pour des cycles stabilisés à +/- 2 mm pour diverses tailles relatives de

surfaces seuils. Chaque jeu de paramètres a été testé sur l'exemple dynamique et le taux

d'amortissement ( 5) a été quantifié à l'aide du décrément logarithmique :

où v, est l'amplitude du mouvement à la n,, pulsation.


0.5 1 1.5 2 2.5 3 temps (s)

t l l l l l l l ' l l l l l l l l l l l l l l l l l i 0.5 1 1.5 2 2.5 3

temps (s)

Fig. 111.4 Apport des boucles d'hystérésis vis-à-vis de l'amortissement : Calcul avec (a) et sans

(b) hystérésis locale.

La figure III.6 nous fournit l'allure de l'évolution du taux d'amortissement dynamique en

fonction de l'amortissement relatif en cyclique (voir Annexe A) :

Fig. 111.5 Relation amortissement / dissipation hystérétique

De cette dernière courbe apparaît très clairement le lien étroit reliant la dissipation hystérétique

matérielle à l'amortissement structurel résultant.

111-1.2.2 Conclusions

Cette première analyse par un modèle simplifié prenant en compte la dissipation matérielle

hystérétique a permis de mettre en évidence l'importance ainsi que le bien fondé d'une

description fine du comportement cyclique du béton. Un calcul sur poutre en flexion cyclique a

Chupitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /.fYottement

permis de quantilier la dissipation provenant uniquement des boucles d'hystérésis. Une

application sur un poteau soumis à des actions sismiques a mis en relief l'impact d'une telle

modélisation matériau vis-à-vis de l'amortissement structurel. Si pour des cas de chargement

monotone ou encore en dynamique rapide, ces caractéristiques matérielles peuvent apparaître

comme négligeables, leur rôle peut devenir prépondérant pour des sollicitations lentes de type

sismiques. En effet, de par la durée des chargements (plusieurs dizaines de secondes) et les

modes sollicités, la dissipation matérielle issue de l'ouverture des fissures peut devenir

négligeable par rapport à la dissipation hystérétique des boucles de décharges.

Ce premier modèle n'avait qu'un but démonstratif permettant de nous conforter pour un futur

développement de modèles plus complexes. L'avantage de la plasticité multi-surfaces réside

dans sa simplicité d'écriture et de mise en oeuvre dans un cadre uniaxial. Toutefois, on

s'aperçoit que des défauts tels que le respect des tailles relatives des deux surfaces entraînent

une diminution de la dissipation quand l'endommagement devient trop important ce qui est

physiquement irréaliste. De plus, la généralisation de ce genre de modèles dans un cadre

tridimensionnel complet est difficile à justifier sur un plan physique et extrêmement complexe à

mettre en oeuvre sur un plan numérique. C'est donc dans le même but mais dans le cadre de la

mécanique de l'endommagement, permettant de prendre en compte physiquement les processus

de dégradation du béton, que les bases d'un nouveau modèle intégrant le frottement entre les

lèvres de fissures ont été avancées. Ce travail fait l'objet de la suite du chapitre.

111-2 Diverses approches

Intégrer les frottements entre lèvres de fissures, ayant pour principale conséquence la génération

de boucles d'hystérésis en décharge, peut se faire de deux manières différentes. Certains auteurs

se sont consacrés à l'étude micromécanique d'un système comportant une fissure à laquelle un

comportement fin de propagation et de frottement est attribué. Des méthodes de changement

d'échelles et d'homogénéisation permettent de remonter au comportement macroscopique du

mathiau (échelle du Volume Elémentaire Représentatif). La seconde approche consiste à se

placer directement au niveau du VER afin de construire un modèle macroscopique prenant en

compte en moyenne les couplages physiques (fissuration 1 frottement).

111-2.1 Approches micromécaniques

L'étude micromécanique d'une cellule comportant une fissure en son sein permet de remonter à

l'écriture d'un potentiel d'énergie libre pour matériau microfissuré frottant. Ainsi, les théories

d'homogénéisation et de changement d'échelles peuvent trouver toutes leurs applications. A œ

niveau de description mésoscopique du comportement d'une fissure, il est plus aisé d'introduire

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /pottement

des phénomènes complexes tels que la propagation en mode mixte (Horii & Nemat-Nasser

1985, Lauterbach & Gross 1998) ou encore le frottement entre lèvres de fissures (Kachanov

1982).

Le problème principal dans l'élaboration d'un modèle de comportement à partir d'une cellule

fissurée réside dans la gestion de la discontinuité du champ de déplacement bidimensionnel au

passage de la fissure. Fondée sur la théorie de l'homogénéisation, Andrieux (Andrieux et al.

1986) a proposé une écriture où il considère le déplacement global u au bord de la cellule comme

la superposition de deux contributions spécifiques : l'une um provenant du matériau considéré

comme sain et la seconde ud due au déplacement relatif des deux bords de la fissure, voir figure

111.6.

Fig. 111.6 Décomposition du champ de déplacement (Andrieux et al. 1986)

La fissure au sein de la cellule est susceptible de se propager et un frottement de Coulomb y est

intégré. La déformation macroscopique moyenne E(u) résulte de cette répartition du

déplacement :

L'expression de l'énergie libre va donc être elle-même exprimée en deux termes, l'un relatif au

comportement de la matrice saine et le second à celui de la fissure :

Le paramètre K dépend des coefficients d'élasticité de la matrice ainsi que de la géométrie. 1 est

un tenseur d'ordre 4. wd correspond à l'énergie libre emmagasinée sous forme d'auto-

contraintes induites par les discontinuités de déplacement. La simulation d'un essai de traction

sur une cellule permet de retrouver un comportement hystérétique en décharge (voir figure III.7)

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /pottement

Réponse longitudinale Réponse ti-anversale

Fig. 111.7 Réponse d'une cellule microflssurée à un chargement é k t a i r e (Andrieux et

al. 1986)

Etablir un potentiel d'énergie libre sur matériaux microfissurés peut être réalisé en considérant

d'une manière spécifique tous les mécanismes de dégradation pouvant survenir et en analysant

tous les chargements élastiques possibles (Volterra 1907). Cette méthode permet l'établissement

de modèles particuliers à tout matériau pour peu que l'on connaisse les mécanismes physiques

de dégradation auxquels il est sujet.

Ainsi Hild (Hild et al. 1996) a travaillé, dans le cadre des composites à matrice céramique, à

l'échelle mésoscopique, sur une cellule (2Lx2W) comportant une fissure de longueur 2a dont il

étudie le comportement sous chargement uniaxial. La présence de la fissure induit la prise en

compte de zones de frottement (21f) entre les divers blocs qu'elle sépare.

Fig. 111.8 cellule élémentaire comportant une fissure avec une longueur de frottement I f (Hild et

al. 1996)

De nombreux travaux ont été effectués sur ce cas de figure micromécanique (Hutchinson &

Jensen 1990). L'ouverture de la fissure est directement gérée par la variable A et les longueurs

Chapitre 111 Modèle pour le béton couplant endommagement /frottement

de frottement sont déterminées grâce à des hypothèses sur la cinématique du comportement

cyclique considérant une homogénéité des contraintes de cisaillement le long de If. Le potentiel

d'énergie libre est reconstruit en considérant les chargements suivants : un glissement entre les

blocs sans efforts externes et un chargement élastique de la matrice fissurée sans frottement.

Ceci conduit une nouvelle fois à un potentiel à deux termes :

- où D est l'endommagement crée par la fissure, E la déformation totale, a une variable

équivalente à un écrouissage cinématique dQ au frottement, E* est un facteur sur la géométrie et

les hypothèses cinématiques et enfin d est une variable d'endommagement associée à une

densité de décohésion fibrelmatrice. La première partie du potentiel correspond à la perte de

rigidité élastique de la matrice et la seconde au blocage d'énergie interne sous forme d'auto-

contraintes dues au frottement. Un tel modèle est capable de représenter les déformations

anélastiques concomitantes à l'endommagement ainsi que la largeur des boucles d'hystérésis en

décharge. Un comportement macroscopique peut être retrouvé en appliquant des lois

probabilistes quant à l'orientation des fissures et leur répartition géographique (Boudon-Cussac

1996). La figure suivante représente la réponse uniaxiale du modèle.

Fig. 111.9 Réponse du modèle au niveau macroscopique (Boudon-Cussac 1996)

Reposant sur des arguments micromécaniques physiques, la généralisation cependant de cette

forme de potentiel en une écriture tridimensionnelle ne se fait pas de manière automatique.

111-2.2 Approches macroscopiques

Plusieurs approches macroscopiques peuvent être adoptées dans le but de représenter les

frottements internes, sources du comportement hystérétique en décharge. Des modèles de

plasticité multisurfaces, plus phénoménologiques que physiques, peuvent restituer cette


caractéristique en adoptant par exemple un module d'écrouissage dépendant de la distance à la

surface ultime 0;ardis et al. 1983).

Les modèles microplans se prêtent bien à la description du comportement frottant car du fait de

l'hypothèse cinématique, on bénéficie sur chaque facette de la valeur de la déformation de

cisaillement. Il est alors possible d'introduire une loi de cisaillement tangent à la facette pour en

extraire les contraintes de cisaillement. La difficulté résulte dans la présence de deux directions

de cisaillement devant être résolue par un modèle de plasticité (Carol et al. 1992, Gens et al.

1989). La connaissance sur chaque microplan de la composante sphérique et déviatorique des

déformations permet de prendre en compte un comportement fin en cisaillement, ainsi l'effet de

la pression hydrostatique sur le cisaillement est intégré dans les lois d'évolution. La figure

III.10 permet d'apprécier l'impact du frottement sur les microplans lors de la simulation d'un

essai de compression simple.

--- a d mJwha Y0d.l

Y

O 1 2 3 4 Axial Strain E l ( x l U 3 )

comportement au cisaillement sur le microplan essai de compression

Fig. III. 10 Modèle microplan : apport du frottement sur chaque plan (Carol et al. 1992)

Des travaux récents sur les modèles macroscopiques d'endommagement par méso-fissuration

ont permis de développer une nouvelle forme de potentiel prenant explicitement en compte les

frottements entre lèvres de fissures. Basé sur les travaux initiaux de Dragon (Dragon et al.

1994) décrivant l'anisotropie des géomatériaux par méso-fissuration, un tenseur

d'endommagement est construit en considérant l'ensemble des réseaux de fissures parallèles au

sein du volume élémentaire. Ecrit dans le repère principal d'endommagement, en considérant

ses 3 valeurs propres Dk ainsi que les normales aux 3 familles de fissures uk, nous obtenons :


Afin d'introduire le frottement entre lèvres de fissures, une nouvelle variable est considérée

prenant en compte une discontinuité du déplacement tangent (Halrn & Dragon 1998). La

déformation totale est définie par :

(III. 6)

sO est le tenseur de souplesse initial du matériau et bi un vecteur de discontinuité de

déplacement généré par la fissure. Pour une fissure fermée, susceptible de frotter, cette

discontinuité se résume à sa composante tangente : (bi) = r g i , gi étant orthogonale à ni. Ainsi,

pour une méso-fissure i, la variable interne de frottement peut s'exprimer comme suit :

Cette nouvelle variable est introduite au niveau du potentiel d'énergie libre par l'intermédiaire de

deux invariants couplés à l'endommagement : Tr(a.y.~) et ~r(y.y.D). Nous ne détaillerons pas

ici l'écriture complète du modèle avec endommagement anisotrope en conditions unilatérales. La

figure III. 1 1 présente un exemple de simulation d'un essai de torsion avec décharge utilisant ce

modèle.

Fig. III. 11 Simulation d'un essai de torsion (Halm & Dragon 1998)

La prise en compte du frottement permet de retrouver, lors des décharges, le module initial en

cisaillement grâce au blocage des fissures créées.


111-3 Modèle basé sur la mécanique de l'endommagement

Dans un premier temps est exposée la description unidimensionnelle du modèle permettant de

mettre en lumière l'originalité de l'approche liée au couplage frottement 1 fissuration. Sa

généralisation dans un cadre tridimensionnelle est introduite dans la seconde partie.

111-3.1 Description unidimensionnelle : aspect thermodynamique

Dans ce paragraphe nous exposons les idées principales de la formulation thermodynamique du

modèle dans un cadre unidimensionnel, permettant ainsi de mieux appréhender la démarche

tridimensionnelle. L'idée de base consiste à intégrer tous les mécanismes anélastiques du

comportement du béton (présence de déformation résiduelle après décharge, boucles

d'hystérésis en décharge) dans le frottement entre les lèvres de fissures. En effet, après avoir

dépassé la limite en traction du Eton dans une direction de sollicitation, nous allons prendre en

compte le fait que les deux surfaces créées ne vont pas glisser parfaitement l'une contre l'autre.

Compte-tenu de la rugosité du matériau tant microscopique (Mihashi et al. 1994, Delaplace

1999) que macroscopique (engrènement des granulats.. .), une surface de frottement va donc

être générée a l'interface de discontinuité. Ce phénomène conduit à l'apparition d'une contrainte

de frottement qui va ralentir l'ouverture de fissure. La présence de déformations anélastiques

concomitantes à l'endommagement du matériau découle du même phénomène d'imperfection

des surfaces qui empêche la fissure de se refermer complètement lorsque l'on annule la cause de

fissuration (chargement).

III-3.1.1 Potentiel- Lois d'état

D'un point de vue thermodynamique, nous considérons que l'énergie consumée par l'ouverture

d'une fissure ne se dissipe pas totalement mais qu'une partie de celle-ci va être bloquée dans des

phénomènes de frottement. C'est donc par l'intermédiaire de l'endommagement que cet échange

d'énergie peut s'effectuer. Sur cette base, nous pouvons donc postuler une forme particulière de

l'énergie libre de Helmholtz (Ragueneau et al. 1998) :

p la masse volumique ; le Potentiel d'état ; E le module d'Young ; d la variable

d'endommagement ; E la déformation totale ; E, la déformation de frottement.

Chuvitre III Modèle uour le béton couulant endomrnaaement / frottement

Ainsi posé le potentiel est séparé en deux parties distinctes. La première correspond au classique

couplage endommagement - élasticité, le second terme permet un transfert d'énergie du potentiel

de déformation initial "endommageable" vers un potentiel susceptible de prendre en compte des

frottements. Grâce à la présence de l'endommagement dans cette seconde partie comme terme

multiplicatif, nous introduisons un couplage fort entre fissuration et frottement.

Mi de d é f ~ correctement les lois d'état correspondantes, nous devons imposer le respect de

l'inégalité de Clausius-Duhem afin de garantir la positivité de la dissipation. Sans tenir compte

de la partie liée aux effets thermiques :

Où x représente la dérivée temporelle de la quantité x.

Linéarisons le potentiel défini en (m.8) par rapport à toutes les variables d'état :

Avec V,, l'ensemble des variables internes liées à l'écrouissage.

Reportons (III. 10) dans (III.9) :

(m. i O)

Cette relation nous permet d'établir toutes les lois d'état du modèle et ainsi toutes les forces

associées aux variables internes,

(m. 12)

(III. 13)

(III. 1 4)


Y associée à d est le taux de restitution de densité d'énergie.

Nous pouvons observer que la contrainte totale est séparée en deux parties : une contrainte

classique élasto-endommageable et une contrainte de frottement o = od + o, :

od = E ( l - d ) ~ et os = Ed(& - E,) ( I I I . 15)

Sur la figure lII.12 nous donnons la représentation phénoménologique du modèle.

Fig. III. 12 Représentation phénoménologique

La figure III. 13 permet de mettre en évidence le lien entre fissuration et frottement, la surface de

la boucle d'hystérésis étant fonction de l'état d'endommagement et donc de la dégradation du

matériau. Lors d'un déchargement, la pente initiale correspond au module d'Young du matériau

vierge et va tendre vers le module endommagé en activant le processus de frottement. La largeur

de boucle est directement proportionnelle à la valeur de la contrainte de frottement.

Fig. III.13 Représentation physique des variables du modèle. Evolution des boucles

d'hystérésis avec l'endommagement.

Chmitre ZZZ Modèle vour le béton couvlant endommaaement / frottement

111-3.1.2 Dissipation

Il apparaît très clairement au vu de la formulation du potentiel qu'un soin particulier doit être

apporté à la vérification de la dissipation. En effet, un tel report d'énergie entre deux parties

d'un même potentiel comporte nécessairement une condition supplémentaire afin de ne pas créer

plus d'énergie dans le frottement que la fissuration ne peut en dissiper. Considérant l'inégalité

de Clausius-Duhem ainsi que les lois d'état définies précédemment, nous pouvons en déduire

les conditions de positivité de la dissipation pour la partie mécanique :

Concernant la partie de la dissipation issue des phénomènes de frottement, la positivité sera

assurée automatiquement en définissant les lois complémentaires d'évolution à partir d'un

potentiel de dissipation convexe. Ceci sera montré dans le paragraphe concernant la formulation

générale tridimensionnelle. La dissipation provenant de la fissuration devra être étudiée avec

attention car l'évolution de l'endommagement ne sera pas gérée par l'intermédiaire de sa variable

associée Y du fait de la complexité de son expression dans un cadre tridimensionnel. Nous

devons donc nous assurer que : -Yd 2 0.

La variable d'endommagement ne pouvant que croître, la seule condition résiduelle se résume

à :

(III. 1 7)

Si l'évolution de l'endommagement n'est pas assujetie à sa variable associée Y, on doit imposer

une relation entre la déformation totale et la déformation de frottement qui, physiquement,

correspond à une situation réaliste.

111-3.1.3 Conclusions sur la description unidimensionnelle

L'évolution de l'endommagement sera conditionnée par la déformation totale et la déformation

de frottement uniquement reliée à la contrainte de frottement. Cette partition des mécanismes

concomitante à l'utilisation de deux surfaces seuils nous permet de décrire un comportement

hystérétique à niveau fixé d'endommagement. Les surfaces seuils ainsi que les lois d'évolution

seront discutées au paragraphe suivant. A ce niveau de description, une telle approche peut être

comparée aux modélisations multisurfaces (Mroz 1967), excepté le fait que les deux surfaces de


chargement ne sont pas exprimées dans le même espace (déformations pour l'endommagement

et contraintes pour le frottement). Les déformations de frottement étant différentes des

déformations plastiques ou anélastiques usuellement utilisées, les forces thermodynamiques

associées à ces deux variables sont différentes. Il apparaît donc maintenant explicitement une

nouvelle notion : les contraintes de frottement. Une telle formulation differe grandement

des couplages traditionnels entre plasticité et endommagement.

111-3.2 Formulation 3-D

Dans le but de décrire le frottement entre lèvres de fissures, nous avons décidé de nous placer

dans un premier temps dans le cadre de la mécanique de l'endommagement anisotrope : elle

nous permet une description réaliste de l'ouverture et de la croissance de fissures au sein d'un

volume élémentaire. Le couplage introduit précédemment de manière unidimensionnelle entre

endommagement et frottement nous permettra, par l'intermédiaire d'un endommagement

anisotrope, de décrire l'anisotropie induite du matériau tant sur la raideur que sur les

déformations anélastiques.

N'élaborant une loi de comportement qu'avec des outils phénoménologiques issus de la

thermodynamique des processus irréversibles, les ingrédients physiques ainsi que les variables

internes du modèle ne doivent pas être confondus avec une approche purement micro-mécanique

fournissant un support géométrique à chaque déffition. Dans notre cas, l'endommagement

dans une direction n'est perçu que comme une densité de fissuration préférentielle au sein du

Volume Elémentaire Représentatif (VER). De même pour le frottement généré par ces fissures,

dont les contraintes tangentielles construites à partir de l'endommagement précédemment défini

ne fournissent qu'une moyenne au niveau du VER du glissement tangent au plan de chaque

fissure.

Dans un premier temps, le modèle est écrit hors conditions unilatérales. Les développements

particuliers à l'introduction des refermetures de fissures sous chargements cycliques seront

exposés au chapitre IV.

111-3.2.1 Description de la fissuration

Dans un souci de description réaliste des phénomènes sans négliger le besoin de simplicité lié à

la future implantation numérique, nous avons opté pour un modèle d'endommagement

orthotrope d'ordre 2. De nombreuses méthodes permettent d'élaborer ce type de modèle, basé

sur une cinématique de l'endommagement (Ladevèze 1983), une équivalence en énergie

Chuuitre III Modèle uour le béton couvlant endommaaement / frottement

(Cordebois & Sidoroff 1979) ou encore sur une description mésoscopique de la fissuration

(Dragon et al. 1994).

Etant donnée la forme du couplage que nous désirons introduire afin de mettre en place les

contraintes de frottement, nous ne pouvons prendre en compte un endommagement volumique

qui, pourtant, permet de simplifier l'approche lors d'une écriture du modèle en déformation

(Ramtani 1990). La description uniquement surfacique de la densité de décohésion du matériau

nous amène à construire la partie endommageable du potentiel sur la même base que Cordebois

(Cordebois 1983) en définissant une déformation effective basée, non plus classiquement sur

une équivalence en déformation, mais sur une équivalence en énergie.

Définissons une déformation effective imposée symétrique par l'expression suivante :

a. = (n - d)lt4.~.(n - d)lt4 (m. i 8)

Cette déformation équivalente est facilement identifiable dans le repère principal

d'endommagement :

E, = (1 - 4)1t4.~,.(1 - di)lt4, sans sommation sur les indices (m. 19)

Suivant la démarche de Cordebois et Sidoroff, introduisons cette déformation dans le potentiel

d'énergie libre de Helmholtz afin de garantir la symétrie de l'opérateur d'élasticité résultant :

avec p et h, les coefficients de Lamé du matériau vierge initial :

Le tenseur des contraintes est obtenu par dérivation du potentiel :

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /fYottement

Exprimée dans le repère principal d'endommagement, cette loi de comportement permet de

décrire un comportement élastique-endommageable orthotrope à 5 paramètres (à directions

d'endommagement fixées), A, p , d,, d2, d,. L'orthotropie la plus générale ne peut donc pas

être abordée par cette approche.

111-3.2.2 Couplage endommagement- pottement : énergie libre /lois d'état

Conservant la même idée que tout mécanisme anélastique dans le béton est lié à la fissuration,

l'élaboration du potentiel de frottement s'effectue suivant la même démarche que la partie élasto-

endommageable du potentiel. Sur cette base, nous pouvons définir une seconde déformation

effective dite de glissement, toujours dans le repère principal d'endommagement (Ragueneau et

al. 1998) :

A ce stade, nous pouvons définir complètement le potentiel d'énergie libre du matériau micro-

fissuré frottant :

Avec :

a est la variable interne tensorielle liée au mécanisme d'écrouissage cinématique, b est un

paramètre du matériau à identifier.

Les forces thermodynamiques associées aux déformations totales et de frottement sont déduites

des lois d'état. Concernant tout d'abord le tenseur des contraintes de Cauchy :

ainsi que le tenseur des contraintes de frottement :

(III. 2 6)

Chapitre III Modèle pour le béton couplant endommagement /flottement

La variable associée à l'écrouissage cinématique est déduite de la même manière au travers de la

loi d'état reliant a au tenseur de translation de la surface de charge :

La linéarité de la loi d'état liée à l'écrouissage cinématique est due à la forme quadratique du

potentiel d'énergie libre en w semblable à la première définition de ce type d'écrouissage

donnée par Prager.

De la même manière que dans la formulation unidimensionnelle, nous pouvons remarquer la

séparation du tenseur des contraintes de Cauchy en deux termes, le premier associé à l'ouverture

de fissures et le second plus particulièrement au frottement. Afin de compléter l'écriture du

modèle, nous devons maintenant spécifier les critères de rupture et de frottement ainsi que le

potentiel de dissipation nous permettant de définù. les lois d'évolution.

111-3.2.3 Critère d'endommagement - lois d'évolution

Afin de rendre compte du comportement dissymétrique du béton en traction et en compression,

deux variables d'endommagement doivent être introduites. Communément admis que le

comportement non-linéaire du béton est principalement géré par les extensions auxquelles il est

soumis (hormis les chargements compactants en tri-compression), nous allons nous affranchir

de définir un critère et une loi d'évolution spécifique à l'endommagement de compression

(Rarntani 1990) mais, au contraire, le rendre dépendant de l'endommagement de traction calculé

dans les directions d'extension. On peut retrouver ce genre d'approche dans (Bary 1996,

Fichant et al. 1997).

La partition entre endommagement de traction et endommagement de compression est effectuée

selon le signe des déformations de frottement.


sachant que Hq(x) = 1 si x 2 O

Aest le tenseur des valeurs propres des déformations de frottement et P est la matrice de

passage.

Dans chaque direction principale d'extension i, l'endommagement suivra une loi d'évolution

gérée de manière incrémentale dans le repère principal du tenseur de l'incrément des

déformations totales :

Son évolution sera conditionnée par la violation d'un critère de charge :

(III. 3 O)

ici (ci) : variable d'écrouissage

' d o : déformation seuil initiale, généralement égale 1.10-04

Bt : paramètre matériau permettant de contrôler la pente de la courbe adoucissante post-

pic. Deux paramètres sont à identifier, l'un pour la traction directe et le second pour les

extensions induites.

Un tel critère basé sur les extensions maximales est analogue au critère de St-Venant (voir fig.

III. 14).

L'utilisation de lois d'évolution d'endommagement basées sur l'état de déformation totale est

cohérent avec la signification de l'endommagement apparent dans la loi d'élasticité. De plus,

cela permet de prendre en compte l'influence de la dilatance du matériau au regard de la

propagation des fissures sous un chargement de compression (Nemat-Nasser & Obata 1988).

L'endommagement de compression, comme explicité précédemment, est considéré comme une

conséquence du comportement en traction du matériau et est donc pris égal dans une direction à

une fonction de l'état de fissuration dans les directions orthogonales (Fichant et al. 1997) :


p : paramètre matériau à identifier.

(III. 3 2)

Limite en

T .imite en r n m n f e c c i n n \ uniaxiale traction

l

Fig. 111.14 Critère de St-Venant dans l'espace des contraintes sous chargements biaxiaun.

111-3.2.4 Critère de ffottement - Ecoulement

L'évolution des déformations de frottement est gérée par sa variable associée : le tenseur des

contraintes de frottement. Nous attribuons aux phénomènes de glissement entre lèvres de

fissures un comportement élasto-plastique à écrouissage cinématique non-linéaire, dans le but de

reproduire les boucles d'hystérésis en charge - décharge. Introduit, dans un premier temps, par

Armstrong & Frederick (Armstrong & Frederick 1966) pour les aciers et, plus récemment,

développé par Marquis et Chaboche (Marquis 1989, Chaboche 1993), il permet de pallier

l'inconvénient majeur de l'écrouissage cinématique de Prager imposant la linéarité de la loi

d'état. Les termes engendrant la non-linéarité de l'écrouissage sont ajoutés dans le potentiel de

dissipation.

Adoptons un critère classique du type Von Mises :

J, (QF~ - X) , la contrainte équivalente de Von Mises, a été choisie en première approximation

afin de rendre compte des liens existants entre frottement et cisaillement. De plus, l'utilisation

d'un écrouissage cinématique décrivant la translation de la surface seuil impose l'utilisation d'un

Chvitre III Modèle vour le béton couvlant endommaaement /frottement

critère "simple" (circulaire dans l'espace des contraintes dans le cas de Von mises). Un critère

plus complexe ne se satisferait pas d'une seule variable décrivant la translation de la surface

seuil. Dans notre cas, seul la position du centre est nécessaire (voir figure IiI. 15).

Fig. III. 15 Schématisation de l'écrouissage cinématique

o, : contrainte seuil initiale, prise à O dans le cadre spécifique de notre modèle induisant

l'anélasticité dès l'apparition de la fissuration.

or est le déviateur du tenseur des contraintes de frottement. X conserve donc sa forme

déviatorique habituelle, pour une sollicitation uniaxiale selon x, par exemple :

Le déviateur des contraintes de frottement s'exprime de la manière suivante :

Pour contrôler l'évolution des variables internes, la plasticité classique impose l'utilisation d'un

potentiel de dissipation. Le souhait d'un écrouissage nonlinkaire nous oblige à travailler dans un


cadre non-associé : le potentiel de dissipation ne peut être confondu à la surface seuil. Soit $ le

potentiel de dissipation :

Une particularité est introduite par la présence du premier invariant du tenseur des contraintes de

frottement, I , , qui permet de prendre en compte la dilatance des matériaux fragiles tels que le

béton ou les sols (Darve et al. 1986). L'évolution des déformations anélastiques n'est plus

incompressible comme en plasticité traditionnelle.

a et c : paramètres matériau à identifier.

Les lois complémentaires d'évolution des variables internes sont définies grâce aux règles de

normalité de l'écoulement par rapport au potentiel de dissipation, assurant par la même occasion

la positivité de la dissipation (Lemaitre & Chaboche 1985).

multiplicateur plastique déterminé grâce à la condition de consistance lors de l'écoulement.

L'expression complète du multiplicateur plastique est développée au chapitre IV dans le cadre de

l'implantation numérique du modèle. Le paragraphe suivant expose les premières simulations et

propriétés du modèle. L'implantation numérique, nécessaire pour obtenir ces résultats sera

exposée au chapitre IV.


111-3.2.5 Bilans

Afin de conclure la description du modèle précédemment développé, nous allons dresser un

bilan récapitulatif des variables internes introduites et des paramètres à identifier.

I I élasticité I

Le modèle comprend donc 4 variables internes tensorielles et 11 paramètres du matériau à

identifier. Les procédures relatives à l'identification et au calage de ces divers paramètres seront

présentées au chapitre suivant.

111-3.3 Premières simulations

Afin d'apprécier l'impact des frottements internes vis-à-vis du comportement lors de décharges,

nous avons étudié la réponse du modèle sous des chargements de traction et de compression.

111-3.3.1 comportement en traction

La figure 111.16 présente un exemple de simulation d'essais de traction avec le modèle

précédemment développé.

Nous pouvons nous apercevoir que le modèle restitue bien les principales caractéristiques du

matériau en traction, à savoir : un endommagement fragile, des pertes de raideur importantes, la

présence de déformations anélastiques et enfin des boucles d'hystérésis dont la taille est fonction

du niveau de dommage. La réponse expérimentale est donnée en figure 1.2. Cette dernière

caractéristique a été rendue possible par le couplage entre endommagement et frottement au

niveau du potentiel. Pour bien mettre en évidence ce couplage, nous pouvons tracer l'énergie

dissipée dans ces boucles d'hystérésis en décharge jusqu'à déformation nulle en fonction de la

valeur de la variable d'endommagement atteinte (figure III. 17).

déformation (10-9

Fig. 111.16 Comportement du modèle en traction

endommagement

Fig. 111.1 7 Energie dissipée en traction par le frottement

111-3.3.2 Comportement en compression

La simulation d'un essai de compression simple est présentée sur la figure suivante. Les mêmes

remarques que précédemment concernant la traction peuvent être formulées hormis l'évolution

de l'endommagement lequel, en compression, est maintenant beaucoup plus ductile. A partir de

ce graphique, nous pouvons commenter le comportement d'une boucle d'hystérésis.

- Partie A-B : la pente en A correspond au module d'Young initial du matériau. Il

s'ensuit une libération progressive du blocage entre lèvres de fissures. La pente évolue peu du

fait d'un module d'écrouissage important correspondant à un frottement très prononcé.

- Partie B-C : c'est une phase de transition correspondant à la saturation de I'écrouissage

cinématique. Le glissement se fait de plus en plus "facilement".


- Partie C-D : L'écrouissage cinématique est complètement saturé, l'incrément de

déformation de frottement est égal à l'incrément de déformation totale. La résistance au

frottement sur les lèvres de fissure est nulle et le matériau réagit uniquement avec le module

endommagé E(l-d).

- Partie D-A : phénomènes symétriques à A-D.

d6formation U IO-^)

Fig.III.18 Réponse en compression uniaxiale

Il est aussi intéressant de pouvoir observer le comportement d'un modèle sous chargement

multiaxiaux. La relative simplicité du critère d'endommagement utilisé (St-Venant, figure IiI. 14)

nous amène à étudier son comportement sous chargement ûiaxial proportionnel. Une pression

latérale de confinement est appliquée proportionnellement à la contrainte longitudinale, voir

figure III. 19.

-0,005 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 O déformation

Fig. 111.1 9 Comportement triaxial sous chargements proportionnels


Deux types de résultats sont mis en parallèle : avec et sans pression de confinement. La

différence en termes de ductilité est appréciable et permet de retrouver les phénomènes

expérimentalement mis en évidence (Ramtani 1990), voir figure 1.5. En dépit de l'allure

grossière du critère biaxial en compression (St-Venant), des lois d'évolution adaptées à

l'endommagement direct et induit permettent de compenser ce manque et de décrire

convenablement le comportement du béton sous étreintes latérales.

III- 4 Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons développé un modèle de comportement du béton intégrant le lien

entre l'endommagement et les phénomènes de frottement liés aux hétérogénéités du matériau.

Cette forme particulière de couplage permet de prendre en compte, dans un même cadre,

l'anélasticité ainsi que la dissipation hystérétique à niveau constant d'endommagement. La

fissuration est décrite au moyen de la mécanique de l'endommagement et les frottements sont

introduits par le biais d'une contrainte de frottement dont le niveau est lié à l'état de fissuration.

Les déformations de frottement, variable interne duale de la contrainte du même nom sont gérées

par l'intermédiaire d'un modèle de plasticité à écrouissage cinématique non linéaire.

Afin de prendre en compte cette dissipation hystérétique locale dans un calcul de structure et

d'estimer son importance vis-à-vis de l'amortissement structurel, cette loi de comportement a é é

implantée dans le code de calcul EFICOS. Le chapitre IV expose les développements relatifs à

cette implantation ainsi que les premières applications sous chargements cycliques et sismiques.

Chupitre IV Mise en oeuvre numérique - application

CHAPITRE IV

I V 4 Introduction

Le but de ce chapitre est de montrer des premières applications de calculs de structure avec le

modèle d'endommagement avec frottement développé au chapitre précédent. L'apport de

l'hystérésis locale est analysé vis-à-vis de l'amortissement structurel.

Dans un premier temps, nous exposerons le cadre général de l'implantation de lois de

comportement au sein d'un code de calcul éléments finis en déplacement. Le but de ce premier

paragraphe est, d'une part, d'introduire les choix effectués par la suite dans l'implantation de

notre modèle particulier et, d'autre part, de poser les problèmes généraux liés à l'intégration des

lois constitutives. En effet, en fonction de la gamme de sollicitation subie par la structure, le

problème local à résoudre ne peut se poser dans le mêmes termes. Nous exposerons dans le

chapitre V les choix particuliers effectués dans l'implantation d'un modèle visco-

endommageable dans le cadre de la dynamique rapide.

L'implantation du modèle endommageable-frottant au sein d'EHCOS a été accomplie au moyen

d'un algorithme implicite de retour sur la surface-seuil. La formulation poutre multi-couches

engendre un état de déformation uniaxial dans la poutre nous obligeant à un recalcul des

quantités cinématiques transversales manquantes. Une attention particulière a dû être accordée

au respect des conditions statiques au sein de la couche (contrainte radiale nulle). La méthode

itérative complète est détaillée par la suite. Une première "identification" des paramètres

significatifs du modèle a été réalisée et l'influence de ces derniers sur la réponse en contrainte-

déformation est présentée dans la suite du chapitre.

Chapitre IV Mise en oeuvre numérique - application

La réalisation d'essais de flexion trois points sur poutre en béton armé avec décharges

successives nous a permis de quantifier le lien entre amortissement global et niveau de ruine de

la structure : indicateur de l'état de fissuration des sections critiques. Nous présentons le

dispositif expérimental retenu ainsi que les premiers essais réalisés. L'analyse et la simulation de

cette expérimentation nous fournissent un cadre propice pour une première estimation de

l'apport du modèle local.

L'utilisation en dynamique de ce modèle d'endommagement avec hystérésis locales a été

effectuée sur le cas d'application de la maquette CAMUS. Cette dernière présente en effet tous

les caractères importants d'un problème de dynamique non linéaire sur structure en béton armé :

dégradation des matériaux (béton et acier), comportement multi-modal, etc. Une analyse

comparée en terme d'apport quant à la modélisation prédictive de l'amortissement fait l'objet de

cette application.

IV-2 Intégration des lois de comportement

IV-2.1 Cadre général

Quel que soit l'algorithme de résolution du système non-linéaire global, l'étape locale

d'intégration de la loi de comportement demeure un point clé du calcul. Dans un code éléments

finis classique basé sur les déplacements, elle permet de calculer en chaque point de Gauss les

efforts internes à partir du champ de déplacement prédit à chaque itération (voir figure IV.l). La

précision de cette intégration conditionne la qualité ainsi que l'efficacité de la résolution globale,

sa mise en oeuvre optimum permet de ne pas surcharger inutilement les calculs. Toutefois, cette

étape locale doit rester cohérente avec la méthode itérative globale utilisée ainsi qu'avec le type

de problème à traiter.

Effort externe

/ Déplacement b

Fig. N.1 Etape locale dans un calcul EF non linéaire

102

Chapitre IV Mise en oeuvre numériaue - a~vlication

En nous plaçant dans le cadre classique de la plasticité, les équations à résoudre se résument à

calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au temps t+dt connaissant l'état

du matériau au temps t. On intégre à et+, fmé et on cherche a,+, :

Avec ~,k,,, l'ensemble des variables internes.

La majorité des méthodes sont basées sur le principe d'une prédiction élastique de la contrainte,

elles different cependant par les moyens d'apporter les corrections plastiques nécessaires au

respect de la condition de consistance.

IV-2.2 Intégration locale par des méthodes du type NEWTON

La première étape consiste à discrétiser en temps toutes les équations du problème à résoudre

(lois d'évolution). L'hypothèse la plus simple est de considérer une évolution linéaire des

variables sur l'intervalle de temps considéré [t,t+dt]. Deux types d'algorithmes peuvent être

imaginés à ce stade : la règle des trapèzes généralisés et celle du point milieu.

Ce système d'équations non-linéaires est résolu par une méthode de Newton.

Le paramètre a de la méthode permet de distinguer 3 grandes familles classiques de schéma

d'intégration : Si a = O, nous retrouvons le schéma d'Euler explicite conditionnellement stable

dont l'utilisation n'est pas recommandée dans des problèmes quasi-statiques pour lesquels le

pas de temps peut être très grand. Par contre, il est tout à fait bien adapté au traitement des

phénomènes de propagation d'ondes et de dynamique rapide @eü 1997). En effet, l'utilisation

classique d'un schéma des différences centrées pour la résolution des équations du mouvement

impose, au regard des problèmes de stabilité numérique, un pas de temps très faible. a = 1

correspond au schéma d'Euler implicite et a = 112 à la règle des trapèzes parfois appelées

Chapitre N Mise en oeuvre numérique - aa~lication

Cranck-Nicholson. Un aperçu exhaustif des différentes méthodes est accessible dans (Chaboche

& Cailletaud 1996).

Une étude portant sur la stabilité des schémas permet de différencier les deux familles

précédentes (Ortiz & Popov 1985). La règle du point milieu est inconditionnellement stable si

a 2 11 2 par contre la stabilité des trapèzes est fortement dépendante de la courbure de la surface

seuil.

La dernière étape locale consiste à déduire après convergence le module tangent cohérent

permettant d'assurer le taux de convergence quadratique de la méthode de Newton totale au

niveau global (Simo & Taylor 1985). L'application de ce principe a été étendue à des modèles

de comportement de plus en plus complexes incluant l'endommagement (Benallal et al. 1988,

Jeremic & Sture 1997).

IV-2.3 Intégration par des méthodes du type "retour-radial"

Les algorithmes du type retour radial (ou return mapping) sont basés comme précédemment sur

le principe d'une prédiction élastique de la contrainte. Les corrections plastiques sont apportées

en utilisant les propriétés des surfaces seuils, dont principalement la loi de normalité (Ortiz &

Simo 1986). Aucune hypothèse n'est émise quant à l'évolution des variables au cours de

l'incrément. L'intégration du modèle s'effectue en deux étapes, tout d'abord une prédiction

élastique de la contrainte :

La seconde étape consiste en une actualisation implicite des variables internes du modèle par des

corrections apportées à déformation totale nulle (voir figure IV.2).

Chapitre N Mise en oeuvre numériaue - a~~l icat ion

L'expression du multiplicateur plastique est obtenue en linéarisant la fonction seuil par rapport

aux variables internes et en imposant le respect du critère à convergence. A l'itération i+l :

Fig. N.2 Algorithme de retour radial

Considérons la discrétisation des équations de relaxation,

L'expression du multiplicateur plastique est obtenue en remplaçant (IV.6) dans (IV.5),

Les variables internes du modèle sont corrigées à chaque itération i+l en remplaçant

l'approximation obtenue en (IV.7) dans (IV.6). Ce processus est réitéré jusqu'à convergence

(respect du retour sur la surface seuil). Un critère souvent retenu consiste à s'arrêter lorsque la

Chupitre N Mise en oeuvre numérique - application

valeur du seuil à l'itération i+l est devenue suffisamment petite par rapport à la première

estimation issue de l'initialisation élastique :

Par une utilisation directe des propriétés de normalité des surfaces seuils, le calcul à effectuer à

chaque itération se ramène uniquement au calcul du multiplicateur de plasticité permettant les

corrections si nécessaires (pas de calcul de Jacobien comme pour les méthodes de Newton).

L'absence d'hypothèse sur l'évolution des variables sur tout l'intervalle d'étude assure la

robustesse de la méthode.

IV-3 Implantation du modèle endommageable-frottant dans EFICOS

IV-3.1 Algorithme général

Le principe du code EFICOS repose sur une formulation multicouches de la théorie des poutres

(cf. chap. 1). Cette approche simplifiée permet l'analyse de structures de grandes dimensions

couramment rencontrées en Génie Civil tout en conservant une description fme du

comportement local des matériaux. L'implantation du modèle de comportement décrit au

chapitre précédent va ainsi pouvoir s'effectuer dans un cadre simple, non pas uniaxial, mais

sous chargement en contrainte uniaxiale. Le code Elément Finis fournit les déplacements et

rotations en chaque noeud de la structure ; la théorie des poutres, associée à la cinématique

multicouches de chaque section, nous permet l'accès à la déformation en chaque point de

Gauss.

Les données du problème se résument donc à imposer la déformation longitudinale ainsi qu'un

état de contraintes radiales nulles (chargement uniaxial). Les inconnues à trouver sont d'une

part, la contrainte longitudinale dans chaque couche permettant d'équilibrer les efforts externes,

ainsi que les déformations radiales.

L'intégration du comportement dans la couche se fait donc en 4 étapes successives.

étape 1 : Prédiction élastique des déformations radiales

(III. 9)


étape 2 : Calcul de l'endommagement si le seuil est dépassé en traction simple ou en

compression, issu des déformations radiales.

étape 3 : Intégration de la plasticité

étape 4 : Convergence du processus itératif. Après avoir intégré l'endommagement et

la plasticité, le principal critère d'arrêt s'effectue sur la vérification d'un étai de contraintes

radiales nulles :

(IV. 10)

Le critère est établi en normant cette contrainte par rapport à la contrainte initiale de limite

élastique en traction simple puis en le comparant à une tolérance.

I tol. E Edo

(IV. 11)

Si ce critère n'est pas vérifié, nous recommençons le calcul depuis l'étape 1 en injectant le

dernier état d'endommagement calculé pour prédire les déformations radiales.

IV-3.2 Intégration de l'endommagement

A déformation imposée, le calcul des tenseurs d'endommagement est explicite (étape 2) car les

lois d'évolution qui les contrôlent sont fonctions des déformations totales. Les détails

concernant ces dernières sont donnés au chapitre III.

IV-3.3 Intégration du frottement

Partant de l'état d'endommagement prédit grâce au calcul des déformations radiales, il nous faut

actualiser les déformations de frottement. Pour cela, nous allons utiliser un schéma d'intégration

du type "return mapping" développé au paragraphe précédent (Ortiz & Simo 1986). Nous ne

donnerons ici que les détails spécifiques à notre loi de comportement.

Nous considérons que la prédiction élastique a engendré une contrainte équivalente de Von

Mises ne respectant pas le critère d'élasticité. Il nous faut donc corriger cette contrainte à

déformation totale nulle. Linéarisons le seuil :

Chapitre IV Mise en oeuvre numériaue - amdication

(IV. 12)

La première équation de relaxation nous permettant de corriger l'écrouissage cinématique nous

est donnée par la loi d'état :

(IV. 13)

La seconde est obtenue en linéarisant la loi de comportement contrainte-déformation de

frottement, en imposant que la déformation totale reste nulle durant toute la phase de correction

plastique. L'endommagement reste fute pendant l'intégration de la plasticité.

(IV. 14)

Soit : ois = -2pd1l2i,d1I2 + ~ ~ ~ ~ ~ r [ - 4 d ~ ~ ~ ]

En reportant l'expression de la loi complémentaire gérant l'évolution de la déformation de

frottement :

(IV. 15)

avec E ( d ) , le tenseur d'élasticité de Hooke modifié par la présence de l'endommagement.

Remplaçons maintenant (IV. 13) et (IV. 15) dans (IV. 12) puis isolons le multiplicateur de

plasticité en imposant qu'a chaque itération f'+' = O :

(IV. 16)

Avec B = bI, Z: tenseur identité d'ordre 4 .

Les expressions des différentes dérivées de la surface seuil et du potentiel de dissipation sont

données dans les équations suivantes :


(IV. 17)

La valeur obtenue pour le multiplicateur plastique à chaque itération est reinjectée dans les

équations de relaxation (IV. 13) et (IV. 15) jusqu'à convergence (retour de la contrainte sur la

surface seuil).

IV-3.4 Prise en compte de I'unilatéralité

Dans le cas de chargements cycliques, le modèle doit pouvoir prendre en compte les effets de

refermeture de fissure induisant une reprise de raideur au passage du contact. Cette discontinuité

de raideur engendre une difficulté dans l'écriture des modèles pour assurer la continuité de la

réponse en contrainte. Certains modèles d'endommagement ont été étendus afin de restituer ce

comportement différent en traction et en compression. Un cadre rigoureux et général a été donné

par Ladevèze (Ladevèze 1983) concernant l'endommagement isotrope et anisotrope des

matériaux composites 3D se basant sur une décomposition particulière de l'énergie élastique en

une partie sphérique et déviatorique. L'inconvénient majeur de ces types de modèle réside dans

le critère de refermeture de fissures exprimé en contrainte. Ii rend complètement implicite

l'intégration du modèle et induit des difficultés de convergence lors de l'utilisation de méthodes

de type Newton car le module local tangent n'est plus continu. Des simplifications dans le but

d'une identification peuvent être apportées sur la partie volumique de l'endommagement. La

variable volumique d'endommagement peut être scalaire et, de plus, il n'est pas obligatoire de

l'assujettir à des conditions d'unilatéralité (Mazars et al. 1990). D'autres modèles basés sur les

dégradations par mésofissuration anisotrope peuvent prendre en compte les effets unilatéraux en

introduisant un tenseur d'endommagement d'ordre 4 (Halm & Dragon 1996).

Dans notre cas, la nécessité de coupler l'endommagement au frottement des lèvres de fissures

nous a conduits à introduire un tenseur d'endommagement surfacique du second ordre. La

construction d'une déformation effective et son introduction dans l'énergie de Helmholtz ne

nous permet pas, pour le moment, de solliciter les refermetures de fissures sans générer des

discontinuités dans la réponse en contrainte. Afin de palier à cet inconvénient dans un premier

temps, nous avons opté pour une modification du précédent modèle. Conservant le même

Chapitre N Mise en oeuvre numérique - application

formalisme, imposer une isotropie d'évolution du tenseur d'endommagement permet, sous

chargement radial, de retrouver la continuité de la réponse.

Pour un état de contrainte uniaxiale :

Cette nouvelle formulation permet de conserver une réponse continue lors du changement de

raideur au passage du critère de refermeture de fissure explicité au chapitre III. La figure IV.3 met en évidence le coté unilatéral du modèle lors de chargements sollicitant les refermetures de

fissures.

déformation (1 o -~)

Fig. IV.3 Prise en compte des refermetures deflssures

IV-4 Analyse des paramètres

Deux familles de paramètres dans ce modèle doivent être distinguées, ceux gérant les lois

d'évolution de l'endommagement et ceux relatifs aux phénomènes de frottement. Dans ce

paragraphe, nous nous donnons comme objectifs de donner une estimation des divers

paramètres ainsi que leurs influences respectives vis-à-vis de la réponse globale.

IV-4.1 Détermination des paramètres de frottement

Les contraintes de frottement peuvent être obtenues expérimentalement en mesurant la largeur

des boucles d'hystérésis lors d'essais avec décharges sur échantillon. Ainsi, à partir d'essais de

compression (Ramtani 1990), il est possible de déterminer l'évolution des variables

d'écrouissage de frottement en fonction de la déformation uniaxiale. A chaque niveau de

Chvitre N Mise en oeuvre numérique - avvlication

décharge, nous pouvons tracer l'évolution du frottement en fonction de la déformation atteinte.

La figure N.4 présente un calage des paramètres de frottement (a,, bJ :

Fig. N.4 Identification des contraintes de frottement lors d'un essai de compression simple

La réponse du modèle peut être comparée en terme de contrainte totale en fonction de la

déformation longitudinale et transversale afin de caler les paramètres d'endommagement de

compression (B t induit).

-0.003 -0.002 -0.001 O 0.001 0.002 déformation

Fig. N.5 Essai de compression simple : défoimations longitudinale, transversale et volumique

Nous pouvons remarquer que la réponse volumique dilatante, caractéristique des matériaux

fragiles est correctement représentée. Les paramètres utilisés lors de la simulation de cet essai 04 sont les suivants : E=36000 Mpa, v=0.24, E,,= 1.10- , Bt,,,,=9000., Btin,~600, at=9. 10-O6

Pa-', b,= 1. 10+1° Pa, ac=3.9 10'07 ~ a - ' , bc=5. 10+1° Pa, c=0.09.

Chupitre IV Mise en oeuvre numérique - application

IV-4.2 Influence des paramètres du modèle

Nous allons mettre en évidence dans ce paragraphe l'influence des divers paramètres du modèle

(frottement et endommagement) sur sa réponse en contrainte-déformation. La connaissance du

rôle de chaque paramètre doit permettre une identification plus précise du modèle.

IV-4.2. I Paramètres d'endommagement

Nous allons ici nous intéresser aux paramètres d'endommagement du modèle, pour la

simulation d'essais de traction directe. Ce chargement permet en effet de comprendre

directement l'effet de chacun sur la réponse en contrainte-déformation.

La figure IV.6 montre la réponse en traction pour 3 paramètres différents, sur le seuil et sur le

paramètre gérant la loi d'évolution (Btw).

O 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3 defornation (lW03

Fig N.6 Influence du seuil d'endommagement (a) et du paramètre d'écrouissage Bt,.,,, (b)

Une augmentation du seuil recule le démarrage de l'endommagement et une diminution du

paramètre gérant la loi d'évolution de l'endommagement permet de rendre plus ductile la

réponse. Nous allons maintenant regarder l'influence des paramètres liés aux phénomènes de

frottement tant sur la réponse en compression qu'en traction.

IV-4.2.2 ParavPlètres liés au frottement

La figure IV.7 présente le rôle joué par les paramètres a et b du modèle de plasticité sur la

réponse en traction.

Chapitre IV Mise en oeuvre numériclue - avvlication

O O. 1 0.2 0.3 0.4 0.5 dkfonnation (IOo3)

Fig IV. 7 InJluence sur la traction des paramètres a, (a) et b, (b)

De l'analyse de ces deux courbes nous pouvons remarquer en premier lieu que le paramètre b,

ne joue que sur la forme de la boucle d'hystérésis. Une valeur élevée de ce paramètre permet de

saturer très rapidement l'écrouissage cinématique alors qu'une valeur plus faible génère des

boucles comportant des parties de transition beaucoup plus importantes. Le second paramètre a, a un rôle important sur la valeur de la contrainte de frottement atteinte. Il joue directement sur la

valeur limite de saturation de l'écrouissage cinématique. Une diminution de ce paramètre

engendre des contraintes de frottement plus importantes et donc une largeur de boucle plus

grande. L'anélasticité étant dans notre modélisation, un phénomène directement relié à ces

frottements de lèvres de fissures, une augmentation de la contrainte de frottement agit

directement sur une élévation de la déformation résiduelle après décharge.

La figure suivante (figure IV.8) présente la même étude réalisée maintenant sur la réponse en

compression du matériau. La même influence est constatée quant au paramètre a dans le cas de

la compression et de la traction. Par contre, la compression étant un comportant non-linéaire

déduit des extensions sur les directions orthogonales, l'influence de b sur la forme de la courbe

est moins franc que dans le cas de la traction directe. Nous pouvons remarquer toutefois qu'il

n'influe en rien sur la déformation résiduelle en décharge.

L'influence du premier invariant du tenseur des contraintes de frottement dans le potentiel de

dissipation permet de simuler la réponse volumique particulière des matériaux fragiles comme le

béton ou les roches. Ii est intéressant de pourvoir quantifier son influence sur la réponse en

compression simple du matériau. L'étude paramétrique sur le paramètre c est présentée en figure

IV.9.


- -10- - - - -. - - - - - -

-

-50 l l t l l l l l l l l l l l l l l l l i l l l t - -50 M 1 l l l l l l l l l l l l l l l l i l l l l - -4 -5 -3 -2 - 1 O -5 -4 -3 -2 -1 O

déformation (luo3) déformation (10-03)

Fig N.8 Influence sur la réponse en compression des paramètres a, (a) et bc (b)

-4 -3 -2 -1 O déformation (1û03)

Fig IV.9 Znjluence sur la compression du paramètre lié à la dikatance c

Nous pouvons remarquer que selon la valeur prise par le paramètre c, un phénomène

d'endommagement cyclique, expérimentalement constaté (voir figure 1.3) peut être généré. Plus

la dilatance introduite est importante et plus ce phénomène est présent dans la simulation. Une

diminution de c conduit à créer des boucles d'hystérésis fermées sur un cycle complet.

IV-5 Essais de flexion 3 points

IV-5.1 Objectifs des essais

L'objectif principal de ces essais est de confiier l'hypothèse de base nous ayant permis de

construire un nouveau modèle d'endommagement : le couplage important entre fissuration et

dissipation cyclique. De plus, de tels essais nous permettent d'affiner l'identification des

paramètres du modèle développé au chapitre précédent. Pour ce faire, nous allons tester un

élément de structure le plus simple possible afin de mettre en évidence la dissipation hystérétique

lors de déchargement. Des essais de flexion 3 points sur poutre en béton armé nous ont semblé

les plus appropriés pour remplir cet objectif. En effet, les premières phases du comportement


nous permettent d'appréhender et de solliciter le coté tendu de la poutre et de caractériser ainsi la

partie traction du modèle. Des essais purement "matériau" sur béton en traction sont très

difficiles à réaliser (Terrien 1980), l'approche du comportement par une structure de plus grande

stabilité est donc plus simple. La phase ultime met en lumière le comportement en compression

du béton couplé à la plastification des armatures tendues.

IV-5.2 Description des essais

IV-5.2.1 Corps d'épreuve

Afin d'éviter tout problème lié aux effets d'échelle classiquement rencontrés dans les structures

en béton (Bazant et al. 1987 - 1997, Carpinteri 1994), les dimensions des éprouvettes ont été

choisies les plus proches possibles des réalisations industrielles classiques (voir figure IV. 10).

Fig IV. 10 Géométrie des poutres

Le dimensionnement des poutres a été effectué suivant la procédure habituelle du B .A.E.L. (Deusan 1997). La portée entre nus est de 1,4 m pour une hauteur de 22 cm. Des cadres de 6

mm de diamètre ont été disposés tout le long de la poutre pour reprendre les contraintes de

cisaillement. Les armatures principales longitudinales sont en acier à hautes adhérences de

14 mm de diamètre en partie inférieure et de 8 mm en partie supérieure.

Le béton employé pour la réalisation des poutres est de facture tout à fait classique permettant

ainsi de valider le modèle pour des structures courantes et principalement CAMUS. Afin

d'augmenter la répétabilité des essais, nous n'avons pas employé le ciment généralement utilisé

pour du B 25 (25 MPa de résistance à la compression simple à 28 jours) car la variabilité sur sa

composition est trop importante. Nous avons donc préféré un ciment de bonne qualité dont la

constitution est plus surveillée (CEM 52.5). Pour diminuer la résistance obtenue avec ce type de

ciment des fdlers calcaires ont été rajoutées dans la composition. Pour lm3 de béton, les

quantités à mettre en oeuvre sont donc :


- Ciment : 300 kg / m3

- Gravillon : 1064 kg / m3

- Sable : 738 kg / m3

- Fillers : 50 1 / m3

Des essais de compression simple sur éprouvettes cylindriques (16x32 mm) surfacées au soufre

nous ont permis de caractériser le comportement mécanique du béton. 3 essais ont été réalisés

pour chaque gâchée et nous ont fourni une résistance moyenne de 24 MPa.

IV-5.2.2 Montage expérimental - instrumentation

La mesure de la dissipation hystérétique étant le but majeur de ces essais, il était impératif de

limiter au maximum toute source de dissipation autre que celle provenant de la dégradation des

matériaux. Ainsi, des essais de flexion 3 points répétée ont été préférés à des essais purement

cycliques. En effet, ces derniers nécessitent l'utilisation d'appuis-rotules unilatéraux dont la

dissipation par frottement dans les zones de frettage ne peut être facilement estimée (La Borderie

1991). De simples appuis rouleaux reproduisent convenablement des conditions de flexion

simple tout en limitant les frottements sur appuis. Dans une telle configuration, seul le

comportement hystérétique en décharge peut être mesuré. Le schéma de principe du montage

ainsi que des conditions de chargement est présenté en figure N.ll. L'acquisition ainsi que le

pilotage de l'essai sont effectués au moyen du logiciel Teststar.

Fig N.11 Conditions d'appuis et de chargement

Le chargement est appliqué au. moyen d'une presse hydraulique +/- 50 tonnes asservie. Un

capteur de pression nous fournit la valeur de l'effort ; la mesure de flèche est effectuée par un

capteur mesurant le déplacement entre la ligne moyenne de la poutre et sa position initiale

permettant ainsi d'éliminer le biais induit par le tassement d'appuis.

Chapitre IV Mise en oeuvre nm'rique - application

d'appuis capteur

Fig IV. 12 Mesure de la flèche

IV-5.3 Résultats expérimentaux

Un premier essai sous chargement monotone a fourni une charge de ruine de 90 kN. Un second

essai sous chargement répété à divers paliers (10 kN, 30 kN, 50 kN, 70 kN et 90 kN) nous

donne accès aux informations désirées. Un résultat en termes d'effort 1 flèche est présenté sur la

figure IV. 13. Dix cycles sont effectués à chaque palier afin d'éviter les phénomènes de fatigue.

" O 1 2 3 4 5 6 7

flêche (mm)

Fig. N.13 Chargements répétés enflexion 3 points

Trois stades très différents de comportement sont à observer : une zone élastique réduite, une

phase de fissuration du béton et enfin la plastification des armatures conduisant à la ruine totale

de la structure. La fissuration seule du béton provoque une baisse de rigidité globale, la

présence de déformation anélastique et un comportement hystérétique en décharge, synonyme

d'une dissipation cyclique. La mesure de ces surfaces d'énergie dissipée ramenée à l'énergie

élastique interne donne une valeur de la dissipation relative à chaque palier :


(IV. 19)

avec od , l'énergie dissipée dans une boucle et oe l'énergie élastique maximale du demi-cycle.

Même si elle possède une signification identique à celle du classique amortissement relatif, cette

dissipation relative n'est calculée que pour un demi-cycle. La valeur de cette dernière est

reportée pour chaque palier en fonction du degré de ruine de la structure (moment 1 moment

ultime) sur la figure IV.15. Les résultats sont présentés au paragraphe suivant.

IV-5.4 Comparaisons essais - calcul

Les deux essais précédemment cités ont été simulés au moyens du code de Calcul EFICOS.

Seule une moitié de la poutre a été modélisée utilisant ainsi le bénéfice des conditions de

symétrie. La dépendance des résultats vis-à-vis du maillage est analysée dans le chapitre V.

La figure IV.14 souligne la capacité du modèle à simuler les différentes phases du

comportement monotone global d'un tel élément de béton armé.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 flêche (mm)

Fig W. 14 Réponse sous chargement monotone. Comparaison essais-calcul

La figure suivante (fig. IV. 15) montre les résultats post-traités de l'essai No 2 avec décharges

successives. L'amortissement relatif calculé est tracé en fonction du niveau de ruine atteint

(moment 1 moment ultime).


I I I I I 1 I I I I I I I I I

" O 0.2 0.4 0.6 O. 8

état de fissuration (M/Mu)

Fig IV. 15 Amortissement relatif: Comparaison simulation - expérience

La tendance générale de ce graphique indique bien un lien étroit entre degré

1

de fissuration et

amortissement, il permet de plus un accès à sa quantification. La simulation de ces essais avec

décharge nous pousse à croire en la pertinence de l'introduction au niveau local du matériau de

l'hypothèse à la base de la modélisation : le couplage important entre frottement hystérétique et

niveau de fissuration. La tendance générale est bien reproduite par la modélisation. Seul le

premier point de la courbe est très éloigné de la réponse expérimentale. Cette inadéquation tient

au fait qu'à ce niveau de sollicitation, le matériau demeure élastique lors de la simulation,

prévenant ainsi toute occurrence de dissipation hystérétique en décharge.

La réalisation ainsi que la simulation de ces essais nous ont permis de nous conforter dans l'idée

de déplacer au niveau du matériau une partie de la dissipation structurelle globale. Les

paramètres du modèle, dans sa partie en traction, ont pu ainsi être un peu mieux ajustés.

L'intérêt d'utiliser ce type d'approche locale de l'amortissement ne peut être mieux apprécié que

dans l'étude d'un problème non plus cyclique mais dynamique. Ce dernier aspect, par

l'intermédiaire de l'essai CAMUS (cf. Chapitre II), est analysé dans la suite du chapitre.

IV-6 Application à CAMUS

Ce modèle d'endommagement avec frottement a été appliqué à la simulation de la structure

CAMUS décrite au chapitre II. Cet exemple, dans le cadre de la dynamique multi-modale, nous

offre un champ d'expérience approprié afin d'estimer objectivement quelle part peut être

attribuée à la dissipation locale dans l'amortissement de structure. Trois calculs différents ont été

menés et comparés : un calcul classique avec amortissement de Rayleigh (calé au chapitre II)

appliqué à un modèle d'endommagement sans hystérésis (La Borderie 1991), un même calcul

sans, cette fois, aucun amortissement externe et enfin un calcul avec le nouveau modèle présenté


au chapitre III sans amortissement externe. Les calculs ont été accomplis avec la version sans

cisaillement de EFICOS. Cette particularité induit donc quelques différences par rapport aux

résultats obtenus au chapitre II.

Les réponses sont analysées en terme de suivi temporel global, de relations hystérétiques locales

à différents niveaux ainsi qu'en bilan énergétique.

IV-6.1.1 Réponses temporelles

La figure IV.16 montre une comparaison entre les simulations numériques et la réponse

expérimentale au niveau Nice 0.24 g. Ce niveau, amenant les aciers à leur limite d'élasticité sans

toutefois entamer la plastification, permet d'apprécier la part de l'amortissement hystérétique

amenée uniquement par le béton qui, lui, est déjà fissuré en traction sur plusieurs étages.

1 13 14 15 16 1 i temps (s) temps (s)

Fig. N.16 Comparaisons essais-calculs enfin de signal Nice 0.24 g

Il apparaît qu'à ce niveau de sollicitation, le modèle endommageable-frottant permet de restituer

une partie importante de la dissipation. Nous proposons sur la figure IV.17 de superposer les

trois réponses de simulation numérique pour le niveau de séisme le plus endommageant.

Si le calcul sans aucun amortissement surévalue de beaucoup les déplacements en tête, nous

pouvons nous apercevoir que l'utilisation des hystérésis locales permet d'atténuer l'amplitude

des vibrations du même ordre de grandeur que la matrice d'amortissement visqueux de Rayleigh

identifiée au chapitre II.

Les habitudes de dimensionnement de structures en béton armé amènent les concepteurs à

raisonner sur des relations moments/courbures à chaque section critique. Elles permettent de

mieux apprécier la ductilité du matériau composite acierhéton ainsi que la réponse hystérétique

en chargement cyclique. Ces observations font l'objet du paragraphe suivant.

Chapitre N Mise en oeuvre numériaue - a~~l ica t ion

Fig. W. 17 Comparaison déplacement / temps au niveau le plus important : Nice O. 71g

N-6.1.2 Relations moment / courbure

Les représentations permettant de mieux apprécier le caractère hystérétique de la dissipation sont

celles donnant le moment d'une section en fonction de la courbure supportée. Les 3 séries de

figures suivantes montrent cette relation, pour les 3 niveaux de planchers les plus endommagés,

fournissant ainsi une indication quant à la ductilité locale sollicitée. Toute l'histoire du

chargement est représentée.

avec amortissement global 1 ' ' ' 9

-(j- .3 -2 -1 O 1 2 ? - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4

courbure (1 0 m- ') courbure (10 m. ')

Fig. N.18 Relation Moments / Courbure au niveau 1

avec amrtissement ~ i o b a f

courbure (10 m. ') courbure (10 ' m' ') Fig. N.19 Relation Moments / Courbure au niveau 2

courbure (10 m. ')

Chapitre N Mise en oeuvre num'rique - application

Fig. N.20 Relation Moments / Courbure au niveau 3

La figure suivante présente, à titre informatif, la réponse expéhentale enregistrée aux trois

premiers étages de la structure lors du niveau de sollicitation le plus élevé (Nice 0.71g). Les

moments à chaque niveau ont été estimés par calcul des efforts d'inertie considérant les masses

concentrées au niveau des planchers (Queval et al. 1998).

Fig. N.21 Relation Moments / Courbure expérimentale aux trois premiers étages de la maquette

Cette étude comparative nous permet de mieux apprécier le coté hystérétique du modèle local qui

permet de dissiper l'énergie du système dans un ordre de grandeur équivalent à l'amortissement

global de Rayleigh. La courbe momentkourbure au niveau 3 (le plus sollicité) montre bien

l'impact du comportement dissipatif local par la largeur des boucles d'hystérésis de cette

"articulation". Nous pouvons toutefois noter que la réponse avec le modèle endornrnageable-

frottant est plus chaotique que celle obtenue avec le modèle d'endommagement unilatéral. Cette

différence tient à l'impossibilité de gérer la raideur de refermeture de fissures dans le nouveau

modèle. Le chapitre II avait clairement mis en évidence la sensibilité de la réponse à la contrainte

de refermeture de fissure. Il en résulte un comportement beaucoup plus brutal sollicitant

d'avantage les variations dynamiques d'efforts normaux. Cette variation d'effort normal, sur

une fréquence de 20 Hz (mode 2) perturbe les moments de flexion (sur une fréquence de 3 à 5

Hz) comme on peut le remarquer sur les trois niveaux analysés. Ce manque de souplesse dans


la description de l'unilatéralité des fissures avec le nouveau modèle nous empêche donc de

comparer acuitement les calculs avec les essais.

IV- 7 Conclusions

Ce chapitre met en lumière des premières applications du modèle endommageable-frottant dans

des calculs de structures. L'implantation numérique au sein d'un code de calcul simplifié de

structures en béton armé soumises à des séismes (EFICOS) a été réalisée à l'aide d'un

algorithme de type "return mapping". Une analyse des paramètres significatifs du modèle au

niveau de l'élément de volume permet d'apprécier dans différentes configurations le rôle et la

sensibilité de chacun. Une procédure claire d'identification des paramètres reste à développer

pour s'assurer d'une bonne prédictivité du modèle pour des cas de chargements plus

complexes.

Afin de mieux cerner la capacité du modèle a retranscrire le couplage entre dissipation

structurelle et état de fissuration, nous avons réalisé des essais sur éléments de structure simple

en béton. La flexion trois points répétée sur poutre nous a semblé être le meilleur exemple et le

plus simple d'interprétation. Les résultats expérimentaux nous ont permis de confiier le

postulat initial et la simulation de l'essai a mis en évidence la capacité du modèle a reproduire

cette caractéristique du comportement structurel. Le dernier exemple traité est la simulation de

l'essai sismique CAMUS. Ce cas d'étude, en dynamique cette fois-ci, regroupe toutes les

difficultés liées à une analyse sismique transitoire du fait de l'importance des conditions limites,

du nombre de modes sollicités et du nombre de zones fortement fissurées. La dissipation locale

permet de s'affranchir, dans une grande partie, de tout amortissement structurel. D'un point de

vue quantitatif, une plus grande prédiction est imaginable grâce à cette approche locale de

l'amortissement. Qualitativement, les résultats en termes de lois moments/courbures mettent

clairement en évidence une relocalisation géographique des dissipations dans les zones de

fissuration. En effet, un amortissement global de type Rayleigh répartit l'amortissement sur

toute la structure, quelque soit son degré de sollicitation.

Chapitre V Ruines des structures en béton a d

CHAPITRE V

APPROCHES DE LA RUINE DES STRUCTURES EN

BÉTON ARMÉ

V- 1 Introduction

La prévision de la ruine d'éléments en béton armé est un point crucial lorsque l'on s'intéresse à

la détermination des capacités ultimes d'une structure. La détection des zones critiques,

I'amorçage de la fissuration et le suivi des dégradations jusqu'à la ruine complète sont autant de

points délicats à traiter tant au niveau de la modélisation que du calcul numérique. Le chapitre II

nous a montré, entre autres, que les calculs non-linéaires sur structures en béton armé ont

encore des difficultés à décrire la ruine et à estimer un niveau ultime de ductilité. Cette difficulté

à prévoir le comportement limite s'explique par la différence d'échelle entre la modélisation EF

et les critères locaux à prendre en compte pour juger de la rupture de sections (saut de

déplacement entre lèvres de fissure, perte d'adhérence entre le béton et les armatures, ...).

La rupture de zones de structures composées de matériaux fragiles tels que le béton, les

céramiques ou encore les composites, s'interprète le plus souvent comme une transition entre un

état quasi-homogène des déformations vers un second plus hétérogène pour lequel les

déformations se concentrent dans une zone de taille réduite. Ce comportement de micro-

fissuration coalesçant progressivement vers une macro-fissure peut être mis en évidence par

mesure acoustique lors d'essais mécaniques sur éprouvettes (Li & Shah 1994). Les lois de

comportement qui décrivent ces matériaux sont adoucissantes (décroissance de la contrainte

après un pic d'effort). Cet écrouissage négatif induit une perte d'éllipticité des équations

d'équilibre et le problème mécanique de référence se retrouve donc mal posé. Ce point est

Chapitre V Ruines des structures en béton armé

abordé au début du chapitre et les problèmes numériques résultant ainsi que leur traitement sont

explicités.

Une application d'une forme particulière de limiteurs de localisation par viscosité vis-à-vis d'un

modèle local d'endommagement permet de traiter objectivement du problème de taille des zones

de rupture. Mon travail a consisté à implanter un tel modèle dans un cadre tridimensionnel de

dynamique rapide. La nécessité de l'introduction d'un limiteur de localisation pour les structures

en béton armé est discutée selon les modes propres sollicités par le chargement. Un exemple

d'application sur poutre en flexion soumise à un choc est traité. La conséquence du caractère

homogénéisant des armatures nous conduit à nous poser la question de l'établissement d'un

critère objectif de ruine des éléments en béton armé pour des problèmes de basses fréquences.

En effet, la simulation du comportement des structures basée sur la mécanique des milieux

continus ne peut intégrer aisément le caractère très localisé d'une fissure. C'est pourtant au sein

de cette fissure que les armatures vont se rompre du fait de l'importance des déformations

supportées. La prise en compte de ce phénomène dans les calculs devrait nous permettre de

mieux gérer ces ruptures locales dans une analyse temporelle globale. Cet aspect est abordé en

fin de chapitre et introduit de fait les perspectives de ce travail.

V- 2 Phénomènes de localisation

V-2.1 Mise en évidence

V-2.1.1 Phénoménologie

La détection expérimentale de la localisation des déformations n'est pas chose aisée et dépend du

matériau auquel on est confronté. Les processus de rupture par perte d'homogénéité de la

réponse du spécimen étudié sont différents selon les matériaux. Pour les matériaux ductiles

comme les aciers, les déformations plastiques se concentrent dans des zones de glissement de

plans cristallins correspondant à des bandes de cisaillement. Les milieux granulaires sont, quant

à eux, plus sujets à des localisations par réarrangement de grains. Enfïm les géomatériaux

fragiles, tels que le béton ou les roches, se rompent par création de surfaces de discontinuité du

milieu (fissures).

Les moyens expérimentaux permettant de détecter l'instant pour lequel la zone de rupture se

distingue sont très divers. Des techniques reposant sur la mesure des déformations par trains de

jauge peuvent être utilisées. Des mesures de déformations peuvent être obtenues par observation

de grilles collées sur l'éprouvette (Desrues & Chambon 1985). Une autre méthode, adaptée aux

Chapitre V Ruines des structures en béton amzé

matériaux fragiles, utilise l'énergie libérée de manière acoustique lors de la création de micro-

fissures pour localiser les zones à forts gradients de déformation (Fokwa 1992).

V-2.1.2 Critères de localisation

Un critère souvent utilisé d'un point de vue théorique pour détecter la localisation se base sur la

perte d'unicité du problème mécanique de référence. En effet, en considérant la possibilité

d'obtenir deux solutions différentes à un même problème, il est possible d'aboutir à une

condition suffisante d'unicité (Hill 1959) :

A indique la différence entre deux solutions.

Si l'on s'intéresse au comportement tangent du matériau étudié, par la loi de comportement

incrémentale suivante :

Il apparaît aisément que le critère d'unicité n'est plus respecté si le module local tangent n'est

plus défini positif. C'est le cas pour les matériaux fragiles tels que le béton, à écrouissage

négatif. Le pic d'effort correspond donc à un point de bifurcation de l'équilibre.

Un critère de localisation en dynamique des structures, plus facilement utilisable d'un point de

vue numérique, se base sur la propagation de surfaces de discontinuité dans le milieu continu.

Les discontinuités considérées ici ne concernent que celles du second ordre (accélération), celles

du premier ordre (vitesse) faisant appel au traitement spécifique des ondes de choc dans le

matériau.

Les équations de compatibilité de Hadamard (Hadamard 1903) décrivant les sauts de quantités

ainsi que de leur gradients à travers une surface permettent d'écrire les équations du mouvement

en termes de saut ([XI indique le saut de x a travers la surface considérée) :


En supposant que le comportement du matériau suit la même loi de part et d'autre de la surface,

nous pouvons introduire (V.2) dans (V.3), et en tenant compte de la définition du tenseur des

déformations :

et donc il vient :

~ ~ ~ [ i i ~ ] = pc2[üi] avec B~~ = njD,,n,

Cette dernière équation est une équation aux valeurs propres en saut d'accélération, qui peut

donc se mettre sous la forme suivante :

Bi, est appelé le tenseur acoustique car c'est lui qui contrôle la propagation des ondes dans le

milieu. On s'aperçoit que celle-ci est dépendante de la relation liant incrémentalement les

contraintes aux déformations. La résolution de (V.6) permet de calculer les célérités des ondes

dans toutes les directions de l'espace. Si toutes les valeurs propres du tenseur acoustique sont

strictement positives, les équations du problème sont dites hyperboliques et donc le système

d'équations différentielles est bien posé. Par contre, si l'une des valeurs est négative, la célérité

des ondes correspondantes devient imaginaire et la discontinuité ne se propage plus. Les

déformations vont ainsi se localiser dans une zone d'épaisseur nulle. On parle dans ce cas de

perte d'hyperbolicité des équations du mouvement, ou encore de localisation.

Un autre critère de localisation peut être établi en statique en analysant la bifurcation du système

linéarisé et en posant les solutions sous la forme d'ondes harmoniques stationnaires (célérité

nulle). Ainsi nous aboutissons au critère de Rice (Rudnicki & Füce 1975, Rice 1976), se basant

également sur l'étude du tenseur acoustique du milieu :

Ce critère correspond à une perte d'ellipticité des équations d'équilibre, le problème devient

alors mal posé et des conséquences numériques importantes sont à craindre. Ce point fait l'objet

du paragraphe suivant.


V-2.1.3 Conséquences numériques

A partir de l'étude du tenseur acoustique, il apparaît clairement que le pic local de la réponse

contrainte-déformation correspond à un point de bifurcation de l'équilibre. Des instabilités

peuvent toutefois survenir avant le pic pour des matériaux répondant à des écoulements en

plasticité non-associée. Le problème est de déterminer le chemin que suivra la structure après le

pic, sachant que l'unicité de la réponse n'est plus garantie.

L'état d'un système est défini comme stable si pour toutes variations cinématiquement

admissibles autour d'une position d'équilibre, le travail nécessaire demeure positif. Bazant

(Bazant 1976) a montré que cette condition sur le travail pouvait être respectée à condition

d'accorder une taille minimum à la région de localisation. Cette notion a été poussée plus avant

par le même auteur en considérant non seulement le travail au second ordre servant à décrire la

stabilité du système ( 6 ' ~ > O ) mais aussi la variation d'entropie interne caractérisant le

parcours stable (Bazant 1988). Une fois le premier point de bifurcation rencontré, le chemin

suivi par la structure est celui qui maximise l'entropie interne du milieu. Ceci revient en fait à

minimiser le travail si le chargement s'effectue en contrôle de déplacement ou à le maximiser en

cas de contrôle en effort.

Ainsi, une structure composée d'un matériau adoucissant subit, dès l'atteinte du pic, une

localisation des déformations qui a tendance à se concentrer dans la zone la plus petite possible.

Lors de calculs numériques, l'emploi de modèles locaux en présence de ce phénomène aboutit à

une incohérence. En effet, la bande minimale dans laquelle se localisent les déformations est de

la taille de l'élément fini le plus petit. En raffinant le maillage, cette zone tendant vers zéro,

l'énergie dissipée par la structure tend elle aussi à s'annuler. Il s'ensuit une dépendance de la

réponse de la structure par rapport au maillage. Il est donc impératif de limiter la taille de la zone

endommageable, c'est le but des limiteurs de localisation.

V-2.2 Les limiteurs de localisation

Dans le but de conserver une objectivité de la réponse vis-à-vis du maillage, il est nécessaire de

garantir une taille minimale pour la zone de rupture. L'introduction d'une longueur interne

physique est donc obligatoire lorsque l'on utilise des modèles locaux à écrouissage négatif.

Diverses méthodes sont possibles à cet effet, nous nous proposons de les examiner dans la

suite.


V-2.2.1 Conservation de l'énergie de rupture

Le but de ces limiteurs de localisation est de toujours dissiper la même énergie, le moyen le plus

direct d'y parvenir consiste à adapter l'énergie dissipée localement par le matériau en fonction de

la taille de l'élément fini concerné (Hillerborg et al. 1976). Ainsi l'énergie dissipée globalement

reste constante. Ce type de modèle fait explicitement l'hypothèse d'une uniformité de la

déformation dans l'élément.

Appelons G, l'énergie de rupture surfacique du matériau. Nous pouvons calculer une densité

d'énergie volumique dissipée pour un matériau homogène équivalent g, .

V étant le volume de l'élément. L'équivalence en énergie nous impose de respecter pour une

fissure d'aire A :

Vg, = AG,

De cette relation il est possible d'adapter la réponse contrainte-déformation pour respecter cette

équivalence énergétique. Le principal désavantage de cette méthode réside dans la limitation en

taille des éléments, en effet un volume trop important contraindrait B l'utilisation d'une loi de

comportement fragile voir instable.

V-2.2.2 Modèles non-locaux

Le principe des modèles non-locaux repose sur le moyennage de certaines quantités afin de

régulariser la réponse du modèle local. Ce moyennage (Bazant 1986) peut se faire directement

sur les déformations ainsi que sur les contraintes (conservant la symétrie du tenseur des

contraintes). Cette approche est cependant lourde à mettre en oeuvre.

Un autre type de modèle non-local (Pijaudier-Cabot & Bazant 1987) se base sur la théorie de

l'endommagement et permet de conserver un caractère physique à l'opération de moyennage.

Reprenant le modèle d'endommagement scalaire (Mazars 1986), la moyenne s'effectue sur la

quantité gérant la variable d'endommagement. Toutes les autres quantités (déformation,

contrainte et dommage) restent locales. Ainsi, une déformation équivalente moyenne est calculée

par :

Chapitre V Ruines des structures en béton a m é

1 r = - J ~(s)<p(s - x ) d ~ avec V, (x) = J <p(s - x ) d ~ Vr v v

(V. 10)

<p(s - x) est une fonction poids, choisie Gaussienne pour des raisons de stabilité numérique.

Cet aspect diffus de l'endommagement dans le béton a pu être mis en évidence à l'aide

d'arguments micromécaniques sur des fissures en interaction (Bazant 1991) ou de manière

expérimentale sur des essais de compression (Berthaud et al. 1994).

Les résultats obtenus avec ce type de modèle sont indépendants du maillage pour peu que la

taille des éléments reste inférieure à la longueur caractéristique. Le principal problème

numérique rencontré avec cette approche concerne la perte de symétrie de la matrice de raideur

tangente. Les calculs avec des modèles non-locaux revêtent donc une lourdeur difficilement

compatible avec une utilisation dans le cadre de problèmes à grand nombre de degrés de liberté.

V-2.2.3 Modèles à gradients de variables intemes

L'introduction de terme d'ordre supérieur dans les équations du problème permet de régulariser

la réponse en cas d'adoucissement. Le moyen le plus direct consiste à introduire le gradient

directement dans la définition de la déformation (Lasri & Belytschko 1988) :

E = E + a ~ , ~ ~ (V. 1 1)

Ce type d'approche a été plus particulièrement développé pour la plasticité et l'endommagement

en introduisant le Laplacien d'une variable d'écrouissage K dans la fonction seuil (de Borst &

Mühlaus 1992) :

(V. 12)

Ceci revient en fait à rendre non-locale la contrainte équivalente. La résolution de l'équation de

consistance est rendue difficile numériquement ( f = O ) car elle devient une équation

différentielle aux dérivées partielles. La question des conditions limites sur le multiplicateur

plastique reste physiquement à justifier. Cette approche a été récemment appliquée à

l'étude de structures en béton armé modélisées à l'aide d'éléments poutres multicouches (Meftah

1996).

Les modèles d'endommagement se prêtent aussi à l'introduction de Laplacien dans leurs

équations constitutives. Peerlings (Peerlings et al. 1996) régularise la force gérant l'évolution de


l'endommagement à l'aide de son Laplacien. Utilisant un modèle se basant sur une déformation

équivalente dans le critère d'endommagement, la régularisation est obtenue comme suit :

(V. 13)

Un tel formalisme exige une continuité C' du champ d'interpolation des déplacements, ce qui

peut être préjudiciable dans un calcul élément finis. Il est possible d'y remédier en dérivant deux

fois (V.13) et en l'introduisant dans le développement en série de Taylor de la déformation

équivalente. En négligeant les termes à l'ordre 4, une expression implicite est obtenue (Peerlings

et al. 1996) :

(V. 14)

V-2.2.4 Régularisation par la viscosité

L'introduction d'une dépendance de la réponse du matériau à la vitesse de déformation introduit

une longueur interne qui permet aux équations du mouvement de demeurer hyperboliques en

présence d'adoucissement, le paramètre de viscosité jouant le rôle de longueur interne

(Needleman 1988).

Cette prise en compte des effets temporels peut se faire directement dans l'écriture de la loi de

comportement, appliquée à un modèle de type "smeared crack (Sluys & de Borst 1992), l'effet

de vitesse est introduit sur la déformation liée à la fissure E, :

(V. 15)

La mécanique de l'endommagement peut intégrer ces comportements en introduisant les effets

du temps sur les lois d'écoulement du modèle. Des tailles objectives de zones de rupture

peuvent ainsi être obtenues pour des matériaux fragiles comme les composites (Gornet 1996).

Des lois d'écoulement issues de la viscoplasticité de type Norton ont été adaptées pour prendre

en compte les fortes vitesses de sollicitation sur les matériaux tels que les bétons (Dubé 1994).

Nous reviendrons sur les détails de ce modèle dans le paragraphe suivant. Des modifications de

la loi d'évolution d'endommagement ont été proposées par (Deü 1997), qui introduit

explicitement une limitation de la vitesse de l'endommagement pour des sollicitations

dynamiques sévères (créneau). En effet, de nouveaux problèmes de dépendance au maillage

peuvent surgir (Corni & Perego 1997). Cette particularité introduit la notion de temps minimum

de rupture traduisant l'impossibilité à un réseau de microfissure de coalescer spontanément.

Cette loi d'évolution peut s'exprimer par :

Chapitre V Ruines des structures en béton a m '

(V. 16)

Le facteur afk est le temps de maintien minimum avant rupture du matériau. Ce paramètre est

l'équivalent de la longueur interne pour les modèles non-locaux. Une étude portant sur la

stabilité d'un système linéarisé montre l'impact de la viscosité pour les fortes vitesses de

sollicitations, voir figure V. 1.

Fig. K I Apports du visco-endommagement vis-à-vis des problèmes de stabilité (Deü 1997)

La régularisation provient du fait que dorénavant la vitesse d'endommagement est fonction de

l'état du matériau (déformation ou contrainte) et non de sa vitesse (taux de contrainte ou

déformation). En dynamique rapide, l'application de la viscoplasticité a fait l'objet d'études sur

des modèles de plasticité multi-critères (Georgin 1997).

V-2.2.5 Modèles à deux champs cinématiques

La prise en compte des phénomènes microstructuraux responsables de l'endommagement

permet de régulariser les équations d'équilibre par l'adjonction d'une nouvelle variable

cinématique gérée par sa propre équation d'équilibre. Ainsi, la prise en compte de

l'endommagement et de son gradient dans la puissance des efforts internes lors de l'écriture du

principe des puissances virtuelles permet de décrire les mouvements microstructuraux

provoqués par la croissance de micro-vides (Frémond & Nedjar 1996). La puissance des efforts

internes peut s'exprimer par :

(V. 17)


La même réflexion menée sur la puissance des efforts extérieurs et des forces d'accélération

conduit à un système de deux équations du mouvement :

(V. 18)

avec A, une source interne d'endommagement.

Un autre moyen d'aboutir à ce système d'équations d'équilibre peut être obtenu en considérant

directement la variation de fraction volumique @(x, t) du matériau (Pijaudier-Cabot & Burlion

1996) :

(V. 19)

~ ( x , t) est la fraction volumique du matériau et vR(x) sa fraction volumique dans un état de

référence. Par simplification, la variation de fraction volumique est assimilée uniquement à sa

partie irréversible et est supposée être la source de l'endommagement d = -@". Utilisant la

théorie de la poro-élasticité, les auteurs aboutissent à une formulation à deux champs.

Les propriétés de régularisation de ce type de modèle ont été montrées tant en statique qu'en

dynamique.

La suite du chapitre est consacrée à l'étude de l'apport d'un modèle visco-endommageable vis-à-

vis de la réponse d'une structure soumise à un chargement en dynamique rapide.

V- 3 Visco-endommagement en dynamique rapide

V-3.1 Matériaux et structures en dynamique hautes et basses fréquences

V-3.1.1 Comportement du béton en dynamique

De nombreux essais expérimentaux ont été réalisés sur des éprouvettes de béton à différents

niveaux de vitesse de déformation. Nous n'allons pas dans ce paragraphe en dresser une liste

exhaustive mais chercher davantage à en extraire les caractéristiques les plus importantes.


Différentes vitesses de déformation peuvent être obtenues en fonction du mode d'application du

chargement de type impulsionnel. Les essais aux barres d'Hopkinson permettent d'atteindre des

vitesses de déformation de l'ordre de 100 à 500 s". Des essais de type plaque-plaque donnent

accès au domaine compactant des bétons (Le Vu 1996) pour lesquels des modélisations issues

des lois d'état de type fluide sont plus adaptées.

L'influence de la vitesse de déformation sur le comportement mécanique du maténau peut

s'examiner en terme de gain en résistance maximale atteinte. Deux articles de référence recensent

tous les essais de la littérature dans ce domaine et permettent ainsi d'apprécier cet effet

dynamique au niveau matériau. L'accroissement de la contrainte sous des sollicitations de

compression est représenté en figure V.2 (Bischoff & Perry 1995).

S train Rate (strain/second)

Fig. V.2 Influence de la vitesse de déformation sur la résistance en compression (Bischoff &

Perry 1995)

Cet accroissement de résistance maximale est dû à plusieurs effets. Certains auteurs considèrent

que cette augmentation résulte de la présence de l'eau dans les pores des hydrates. Celle-ci

jouerait, entre les plaquettes de C-S-H, le même rôle que l'effet Stefan pour un fluide entre deux

plaques minces (Rossi 1991, Sercombe et al. 1996). A forts niveaux de sollicitations, une partie

de l'accroissement de la contrainte est parfois attribuée à l'inertie propre des bords de la fissure

qui empêche son ouverture brutale (Bischoff & Perry 1995). La prise en compte de ce

phénomène peut s'effectuer par l'introduction au niveau local de micro-inertie (masselottes)

dans la loi de comportement (Bailly 1994). Des simulations d'essais aux barres d'Hopkinson

ont mis en évidence cette influence de la structure par le biais du confinement radial. En effet, la

contrainte dans l'échantillon n'est pas homogène durant l'essai et ne peut se résumer


uniquement à sa composante axiale. Ce confinement est à la base de certains gains en résistance

(Boussa 1996, Gatxingt & Daudeville 1997, Georgin et al. 1998). Ii n'est donc pas aisé de

clairement distinguer la part du comportement de celui de la structure.

Une analyse identique concernant les essais dynamiques en traction a montré un effet semblable

sur le comportement, voir figure V.3 (Brara & Klepaczko 1997).

Fig. V.3 Influence de la vitesse de déformation sur la résistance en traction (Brara & Klepaczko

1997)

Nous pouvons déjà remarquer. la plus grande influence de la vitesse de déformation sur le

comportement en traction par rapport à la compression, phénomène important à retrouver dans

la modélisation.

V-3.1.2 Structures en béton aimé : problèmes à hautes et basses fréquences

Nous avons pu observer que prendre en compte l'effet des vitesses de déformation dans le

comportement du matériau correspond à une réalité physique expérimentalement démontrable. II apparaît clairement, que pour ces vitesses de chargement, ce sont les modes de plus hautes

fi-équences de la structure qui sont sollicités. Nous avons à faire à des problèmes de propagation

d'ondes. L'observation de la longueur d'onde du chargement, ramenée à l'échelle de la

structure, nous amène à penser qu'un élément de béton armé n'est perçu par l'onde incidente

que comme un milieu quasi-homogène comportant des surfaces libres et des points durs (barres

d'aciers). Les aciers jouent en ce cas un faible rôle vis-à-vis d'une reprise quelconque d'efforts.


Le caractère adoucissant du béton après passage du pic entraîne une perte d'hyperbolicité de

l'équation d'ondes. Ce problème devenant mal posé, un régularisateur doit être introduit afin de

conserver l'objectivité de la réponse vis-à-vis du maillage. La viscosité, nécessaire sur un plan

physique paraît donc être le limiteur de localisation le plus naturel dans ce type de problème.

L'adaptation d'un modèle d'endommagement unilatéral permettant d'intégrer la viscosité est

présentée dans le paragraphe suivant (Dubé 1994).

Si, pour un problème de dynamique rapide, la description de la ruine d'une structure en béton

armé doit obligatoirement faire intervenir un limiteur de localisation, il n'en est pas de même

pour des sollicitations basses fréquences. En effet, des chargements cycliques ou de

dynamiques lentes de type sismique font intervenir les modes propres de vibrations de plus

basses fréquences. Ces déformées modales se caractérisent par des déformations structurelles

d'ensemble (mode fondamental de flexion, etc.). Ces cinématiques de déformations d'ensemble

d'un élément de béton armé sont compatibles avec une analyse classique de dimensionnement

aux états limites de sections en béton armé (BAEL). Les aciers de renforcement sont, en ce cas,

sollicités et reprennent une partie des efforts de flexion. Leur seule présence joue le rôle de

limiteur de localisation. Au delà d'un certain niveau de chargement, les pertes d'adhérence entre

les matériaux et la ruine des aciers conduisent les zones critiques à une localisation des

déformations, précurseur de la ruine. En ce cas, la régularisation due à la présence des aciers

n'est plus effective mais nous pouvons alors commencer à nous interroger quant au bien-fondé

d'une description par la mécanique des milieux continus d'une telle structure.

Toutes ces considérations font l'objet de la suite du chapitre.

V-3.2 Modèle visco-endommageable

Ce modèle visco-endommageable a été développé par J.F. Dubé (Dubé 1994) dans sa thèse sur

la base du modèle d'endommagement unilatéral de Ch. Laborderie (Laborderie 1991). Mon

travail a consisté à développer un algorithme "simple" d'intégration du modèle dans un cadre de

dynamique rapide tridimensionnel. L'objectif industriel sous-jacent, en collaboration avec

Thomson TDA, était de fournir un outil de calculs susceptible de décrire le comportement

d'ouvrages en béton soumis à des impacts et des explosions.

V-3.2.1 Modélisation visco-endommageable

Nous ne détaillerons pas toutes les équations du modèle dans ce paragraphe, ces dernières étant,

pour beaucoup, semblables au modèle initial présenté dans le chapitre 1.

Chuvitre V Ruines des structures en béton armé

L'effet de la vitesse de chargement est introduit dans l'évolution de l'endommagement. Toutes

les lois d'état du modèle restent inchangées, seule l'expression du multiplicateur

d'endommagement est modifiée. De manière analogue à la visco-plasticité où une loi de Norton-

Hoff, à deux paramètres m et n, peut être adoptée, le multiplicateur plastique peut s'exprimer

comme suit :

La condition de consistance n'a plus à être vérifiée, la contrainte peut sortir de la surface

seuil (f). Cette dernière est entraînée avec un retard par la contrainte en dehors de la surface de

chargement. Le modèle d'endommagement unilatéral possède deux surfaces seuils, une pour la

compression et l'autre pour la traction, ainsi :

Les deux lois d'évolution, par dérivation de la fonction seuil, restent identiques :

L'expression du multiplicateur d'endommagement est posée comme suit :

La loi d'écrouissage reliant z à Z reste inchangée. Un tel formalisme permet de retrouver le

modèle initial pour des sollicitations quasi-statiques.

Les paramètres matériaux Y,,,, A, et Bi peuvent être ainsi identifiés par des essais statiques.

Cette approche d'endommagement visqueux, couplée à la plasticité, a récemment été développée

pour les structures massives soumises à des séismes (Faria et al. 1998).


V-3.2.2 Implantation numérique

L'implantation de ce modèle a été effectuée dans un code de calcul EF dédié à la dynamique

rapide, LS-DYNA3D (Hallquist 1995), utilisé pour des problèmes de propagation d'ondes. La

résolution de l'équation du mouvement étant fondée sur une discrétisation temporelle explicite

du type différence centrée (cf. Chap. 1), une implantation classique du modèle

d'endommagement unilatéral visqueux ne pouvait être envisagée. En effet, l'écriture de la loi de

comportement est effectuée en contrainte afin de prendre en compte les effets de refermeture de

fissure. La présence d'un critère d'unilatéralité basé sur le signe du tenseur des contraintes rend

totalement implicite la résolution des équations locales, une méthode itérative de Newton devrait

être utilisée. Cette démarche est totalement incompatible avec un calcul explicite non-linéaire car,

dans ce cas, plus de 90 % du temps du processeur serait utilisé à intégrer la loi de comportement

en chaque point de Gauss du maillage. La condition de stabilité du schéma global oblige le pas

de temps à demeurer très faible. Il faut donc tenter d'utiliser cette propriété permettant

d'imaginer que l'état du matériau au temps t+dt est encore très "proche" de celui au temps t.

Nous plaçant dans le repère principal des contraintes au temps t, nous extrapolons la partition

des contraintes au temps t+dt en fonction de celle au temps t. Cette dernière déterminée, nous

pouvons attribuer à chaque direction la valeur de l'endommagement (compression ou traction).

La dernière étape consiste à inverser la loi de comportement pour calculer les contraintes en

fonction de l'état de déformation connu au temps t+dt. Une vérification de l'état de contrainte

nous permet de nous assurer du bien fondé de l'hypothèse de partition du tenseur des

contraintes.

De la même manière, l'endommagement est prédit en fonction de la vitesse d'endommagement

connue au temps t. Un re-calcul de cette dernière au temps t+dt après estimation des contraintes

nous permet d'engager un processus itératif basé sur une &méthode, si l'utilisateur le souhaite.

Ainsi, en fonction du problème à traiter, une intégration purement explicite, ou implicite peut

être réalisée. Afin d'assurer une meilleure convergence, un processus de sub-cycling est intégré

et permet un redécoupage de l'incrément de déformation en cas de convergence locale trop lente.

L'algorithme général est présenté en figure V.4.

Le paramètre a est directement disponible pour l'utilisateur et lui permet de choisir son

algorithme : Euler explicite ( e l ) ou implicite.

Chpitre V Ruines des structures en béton armé

0, AE, At, di

I

Hypothèses de partition des contraintes - calcul de la fonction de refermeture de fissure

Calcul de ' k = k+l I

( Verifcation de la partition 1

Fig V.4 Algorithme d'implantation du modèle visco-endommageable dans LS-DY2VA3D


V-3.2.3 Premières applications

Les paramètres du modèle sont pour la plupart identifiables à partir d'essais quasi-statiques. Les

paramètres de viscosité sont calés pour retrouver les gains de résistance constatés tant en traction

qu'en compression. On peut retrouver différents jeux de paramètres dans (Laborderie 1991,

Dubé 1994). Ainsi, un jeu de paramètres possibles est : of = 3.5MPa, A, = 9. loa3,

A, = 0.5310a3, B, = 1.2, B, = 1.4, Pl = l.OMPa, P, = aO.OMPa, Y,, =127MPa,

Y, =6000MPa, n, = 3, n, = 4, m, = 2.10a5, m, = 6 . 1 0 ~ .

La réponse du modèle pour deux vitesses de chargement est présentée en figure V.5 pour la

traction et la compression.

Fig V.5 Influence de la vitesse de défomzation sur la réponse contrainte - déformation

Ce premier graphique permet de mettre en évidence la différence en terme de gain en contrainte

entre la traction et la compression. Nous pouvons tracer sur un schéma en échelle logarithmique

le rapport des contraintes maximales obtenues (résistance dynamique 1 résistance statique) par

rapport à la vitesse de déformation imposée.

la figure suivante V.6 permet d'illustrer la différence entre le comportement dynamique en

traction et en compression. Le calage des jeux de paramètres m et n pour la traction et la

compression permet d'obtenir cette bonne adéquation entre la modélisation et les essais. La figure V.7 exprime l'influence du paramètre n vis-à-vis de l'effet visqueux engendré.


Fig. V.6 Influence de là vitesse de défomtion sur là résistance dynamique en compression et

en traction

Fig. V. 7 Influence du paramètre n vis-à-vis des efets visqueux

Nous pouvons remarquer que ce paramètre n dans la loi en puissance de la vitesse

d'endommagement a une influence très marquée. Un n grand permet à la loi de retrouver son

comportement indépendant du temps alors qu'un n petit favorise l'introduction de viscosité dans

la réponse.

Dans un premier temps, il est intéressant de pouvoir s'assurer de la correcte implantation du

modèle dans un cadre tridimensionnel et de sa capacité régularisante. Pour cela, nous allons le

soumettre au classique benchmark du barreau en traction (Bazant & Belytschko 1985) et tester

l'influence du maillage sur le profil d'endommagement le long de la barre. Celle-ci est soumise à

un effort de traction à l'une de ses extrémités, à un niveau en dessous du seuil


d'endommagement afin de permettre à une onde élastique de se développer. L'autre extrémité de

la barre est encastrée, voir figure V.8.

60 p temps

- O 20 40 60 80 100

abscisse (mm.)

Fig. V.8 Traction dynamique sur une barre

Lorsque l'onde élastique de traction parvient à l'encastrement, cette dernière double en

amplitude sans changer de nature. Le seuil d'endommagement de traction est alors dépassé et la

fissuration peut ainsi se développer le long de la barre.

Le barreau est maillé à l'aide d'éléments volumiques à 8 noeuds et un nombre croissant

d'éléments est utilisé dans l'axe de propagation pour tester l'influence de cette discrétisation sur

la réponse de la barre (20,40,60 et 80 éléments). Le profil d'endommagement obtenu en fin de

calcul est présenté en figure V.8. L'analyse de la répartition de l'endommagement nous indique

que l'objectivité de la réponse vis-à-vis du maillage est bien obtenue grâce à la viscosité liée à

l'endommagement. Cette confirmation nous permet de passer à l'étude d'une structure réelle.

V-3.2.4 Ecaillage d'une poutre en béton aimé

Le principe de cet essai consiste à appliquer un chargement dynamique à un élément de structure

en béton armé au moyen d'un explosif positionné sur sa face supérieure. Cela permet de

solliciter le matériau sous différents types de sollicitations et de provoquer sa rupture selon

divers faciès (Eibl et al. 1994). Ainsi, en face avant de la poutre, sous l'explosif, le matériau


supporte un état de contrainte fortement tri-axial soumettant le matériau à un très haut

confinement. La rupture dans cette zone se fera donc par cratérisation. L'onde de compression

créée par l'explosion se propage dans le corps de l'éprouvette pour venir se réfléchir sur la face

arrière. La réflexion sur une surface libre entraîne un changement dans la nature de l'onde qui se

transforme en onde de traction. Cet état de traction induit une fissuration du matériau favorisant

l'apparition d'une écaille en face arrière. Etant donnée la nature de notre modèle, c'est cette

rupture par écaillage que nous allons tenter de reproduire. La non-prise en compte du

confinement dans le modèle de comportement nous empêche de traiter du problème de

cratérisation et de son influence sur la forme du train d'onde sollicitant la face arrière (Gratton

1998).

La figure V.9 présente l'essai simulé au moyen de DYNA-3D ainsi que le chargement imposé.

Fig. V.9 Poutre soumise à une impulsion sur sa face avant, création d'un écaille

Le chargement appliqué est représentatif d'une explosion quant à son temps caractéristique mais

pas au niveau des pressions appliquées du fait de l'impossibilité pour le modèle de prendre en

compte la compaction.

Les résultats permettent d'observer la cinétique de formation d'une écaille. Celle-ci est présentée

en figure V.lO. Compte tenu de la vitesse de propagation des ondes dans un béton initialement

vierge (3500 mls), la première onde se réfléchit en face arrière à 0,09 ms. Un état de traction

apparaissant, nous pouvons commencer à observer le début de fissuration du matériau.

Des études paramétriques ont permis de mettre en évidence le faible rôle joué par les aciers de

renforcement dans cette gamme de vitesse de sollicitation @audeville et al. 1996).

L'introduction d'un limiteur de localisation est nécessaire pour garantir une indépendance au

maillage. La taille de cette écaille (profondeur) doit permettre d'identifier en partie les

coefficients de viscosité introduits et d'en déduire ainsi la longueur interne garantissant la

description objective des tailles de zones de rupture.


Fig. V. 1 O Ecaillage d'une poutre soumise à une explosion. Endommagement de traction

1 44


De par les conditions de symétrie de la structure, seule une moitié de le poutre a été modélisée.

zone d'écaillage

état defissuration enfin de calcul : demie- structure

Profils d'endompnagernent expérimental : cratérkation en face avant et écaillage en face

arpière

Fig V. 11 Fissuration par écaillage : comparaison calcul /expérience

Si la présence de limiteurs de localisation est nécessaire en dynamique rapide du fait de la non

participation des armatures, il en va tout autrement en dynamique basse fréquence où les formes

des modes sollicités donnent aux aciers un rôle prépondérant. Des perpectives liées à cet aspect

sont traitées au paragraphe suivant.

V-4 Régularisation et ruine dans les problèmes de sismique

Dans un premier temps nous allons montrer par un exemple simple d'une structure en béton

armé, l'impact de la présence des renforcements en acier vis-à-vis des problèmes de localisation

des déformations. Ce coté régularisant des aciers possède néanmoins un inconvénient majeur :

associé à une résolution du problème au moyen d'éléments finis basés sur la mécanique des

milieux continus, ils ne permettent pas de rendre compte du coté multifissuré des éléments en

béton armé. L'influence de la prise en compte de tels phénomènes, encore du domaine de nos

perpectives, est étudiée dans un second volet.

V-4.1 Régularisation par les armatures

L'exemple classique de la poutre en béton armé en flexion 3 points, permettant une comparaison

aisée avec le paragraphe précédent, est traité ci dessous. Nous allons voir, tant que le béton

n'est pas trop sollicité en compression, que les armatures tendues parviennent à conserver

l'unicité de la solution. La ductilité des armatures et le mode de transmission des efforts par

adhérence entre l'acier et le béton sont la source de cet apport. Le modèle de béton utilisé est

celui présenté au chapitre 1 (La Borderie 1991) avec endommagement unilatéral sans viscosité.

Cha~itre V Ruines des stmtures en béton armé

Des résultats de simulation avec 3 maillages différents sous chargements monotones sont

présentés en figure V. 12 ; les conditions de symétrie sont prises en compte en ne modélisant que

la moitié de la structure.

5 éléments

Flêche (m)

20 éléments

Fig. V. 12 Ess~is de flexion 3 points : influence du maillage

L'énergie dissipée est sensiblement la même quelle que soit la discrétisation spatiale adoptée.

Les armatures remplissent dans ce cas leur rôle de limiteur de localisation. Elles tendent à

repousser le point de bifurcation de l'équilibre. Les calculs convergent vers la même solution

par accroissement du raffinement, ce qui est compatible avec une approche éléments finis.

Les structures peu armées, de plus en plus souvent rencontrées, rompent par rupture d'acier en

partie tendue et non par écrasement du béton en compression. Cette caractéristique nous oblige à

intégrer un critère objectif de déformation limite sur acier afin de détenniner les niveaux d'effort

maximaux admissibles par la structure. Toute la difficulté de l'approche éléments finis continus

réside dans le calcul de la déformation réelle des aciers.

V-4.2 Prise en compte d'un critère local de ruine

Ce paragraphe a pour but de montrer l'importance de la prise en compte d'un critère local de

mine des aciers en traction dans le comportement des structures en béton armé. L'étude de la

structure CAMUS au moyen de calculs numériques (cf. chapitre II) a mis en évidence

l'impossibilité des approches classiques à décrire le comportement jusqu'à la ruine. Si les

informations globales étaient bien représentées par la modélisation, les comportements locaux

(déformations et ouvertures de fissures) étaient très largement sous-estimés. Les effets

régularisants des armatures tendent à délocaliser l'endommagement sur une trop grande hauteur.

Chupitre V Ruines des structures en béton armé

Ainsi, pour des déplacements d'ensemble corrects (intégration des déformations le long de la

structure), les résultats locaux en termes de déformations maximales sur les aciers n'ont pas

permis de déceler la ruine. Le paragraphe suivant a pour objectif d'expliquer simplement le

mode de transmission particulier des efforts entre l'acier et le béton ainsi que la répartition des

déformations.

V-4.2.1 Fissuration dans un problème de tirant

La fissuration d'un élément de béton armé fait intervenir de multiples phénomènes tels que :

l'endommagement du béton, la plastification des armatures et enfin les pertes d'adhérence entre

le béton et l'acier. C'est cette adhérence qui fournit à la structure la possibilité de multi-

fissuration. En effet, au droit de la fissure, les efforts transitent uniquement par les aciers puis

se diffusent dans le béton par cisaillement à l'interface.

longueur de/ tranmission , fisure

Fig. V.13 MultiiJissuration dans un problème de tirant en béton a m é (Favre et al. 1990)

Au delà d'une certaine distance dite de répartition, l'état de contrainte dans le béton est de

nouveau homogène. Si la surface d'adhérence peut supporter suffisamment de contrainte de

cisaillement, il est alors possible de solliciter de nouveau l'ouverture d'une fissure secondaire.

Ainsi, les armatures participent à délocaliser la zone de rupture. Prédire la ruine d'un tel

phénomène doit passer par l'intégration d'une surface d'adhérence acier-béton, permettant de

connaître le saut de déplacement dû à l'ouverture de la fissure et donc la déformation réelle de

l'acier.


V-4.2.2 Influence de la ruine des aciers sur le comportement d'une structure

Etant donnée la cinétique de propagation de la dégradation explicitée précédemment, nous avons

observé le comportement de la structure CAMUS en adoptant un critère de ruine intégrant le coté

multifissuré des éléments de béton armé et donc la non-uniformité de la déformation au sein

d'un même élément fini. Nous avons choisi, de rnani8re brutale, une déformation seuil de

rupture de couche d'un élément homogénéisé de 0,5. 10-03. Le terme de couche a été préféré afin

de ne pas trancher entre les divers modes de ruine pouvant survenir : la rupture des aciers, le

glissement, le flambement après glissement, .... Le manque d'informations expérimentales

permettant une compréhension du comportement des structures en béton faiblement armées n'a

pas permis d'identifier précisément ce paramètre en fonction de notre maillage.

Dans notre cas, la première rupture s'est produite au début de la séquence Nice S1 de plus fort

niveau. La comparaison des déplacements pour un calcul avec et sans critère de ruine est

présentée en figure V. 14.

temps (s)

Fig. V.14 Influence d'un critère de ruine sur la réponse temporelle

L'influence de la ruine des aciers se fait nettement sentir sur la réponse temporelle tant au niveau

des déplacements atteints que des chutes de fréquence. Ce dernier point est plus visible sur la figure V. 15 où les spectres de réponse des déplacements sont représentés.


O 2 4 6 8 1 O fréquence (Hz)

Fig. V.15 Influence d'un critère de ruine sur les variations de fiéquences

La rupture des aciers provoque une chute de fréquence rapprochant la réponse du modèle de

l'expérience. L'influence de ce facteur local sur la répartition des déformations maximales

atteintes en cours de calcul est donnée en figure V. 16.

déformations calculées (1 0-03) sans rupture 2 4 6 8 1012

c-formatioy1s calculées (1 0-03) avec rupture 2 4 6 8 1012 -

Fig. V. 16 Influence d'un critère de ruine sur la fissuration locale.

La déformation de rupture a tout d'abord été atteinte dans le bas de la maquette. La prise en

compte de la ruine de l'acier change considérablement les modes de réponse de la structure et

influe fortement sur la suite de la séquence. Il s'ensuit une apparition d'un faciès de fissuration

très différent de celui obtenu avec un calcul sans critère de ruine locale.

Cette analyse n'a aucunement valeur de démonstration quantitative : le choix quant au critère de

ruine est bien trop subjectif pour cela. A l'inverse, il a pour intérêt de montrer qu'un travail

approfondi dans le cadre des analyses simplifiées reste à fournir pour parvenir à décrire le

comportement ultime de ce type de structure. En effet, les phénomènes d'adhérence,

responsables de l'apport régularisant des armatures devront, dans le futur, être intégrés d'une

manière simplifiée : la cinématique de type poutre utilisée par des codes de calcul similaires à

EFICOS en rend l'accès difficile.


V-5 Conclusion

La nécessité de décrire et donc de prédire la ruine des structures en béton armé soumises à des

sollicitations mécaniques sévères nous oblige à considérer le comportement des matériaux

jusqu'à leur stade ultime. A ce titre, les particularités théoriques liées aux matériaux à

écrouissage négatif, conduisant au phénomène de localisation des déformations, ont été

détaillées dans la première partie. Parmi les nombreuses méthodes numériques susceptibles de

régulariser les équations d'équilibre, le cas de la viscosité appliquée à un modèle

d'endommagement unilatéral est spécifiquement traité. Un algorithme particulier a été développé

dans ce travail afin d'introduire cette loi de comportement, dans un cadre tridimensionnel, au

sein d'un code de calcul de dynamique rapide explicite. Des premières applications à l'échelle de

la structure font apparaître l'objectivité de la réponse vis-à-vis du maillage.

Dans un second temps, la régularisation du problème mécanique est discutée selon les modes

propres de vibration sollicités par le chargement. Des exemples de calcul en dynamique rapide et

en cyclique mettent en évidence la nécessité d'introduire une longueur interne pour des

problèmes de propagation d'ondes. A l'inverse, des sollicitations moins sévères excitant les

modes de plus basses fréquences permettent de s'affranchir en partie de telles considérations. La

présence des armatures de renforcement sont la base de cet avantage. Néanmoins, cet aspect

régularisant des armatures, associé à un calcul reposant sur la mécanique des milieux continus,

conduit à une sous-estimation des déformations réelles supportées par les aciers au droit des

fissures. En effet, le principe de multifissuration d'un élément de béton armé ne peut être

reproduit et simulé du fait des cinématiques simplifiées mises en oeuvre. C'est cependant par ce

mode particulier de dégradation du composite acier-béton, du fait de la transmission d'efforts en

cisaillement à l'interface des deux matériaux, que les structures faiblement renforcées rompent.

Des premiers calculs mettant en oeuvre un procédé "simple" de relocalissation des déformations

au niveau de la couche acier-béton permettent d'apprécier l'influence d'un critère local de

rupture vis-à-vis d'un calcul de structure. I1 apparaît clairement que des travaux particuliers de

développement de modèle de couche composite devront être adaptés dans un cadre simplifié afin

de pouvoir prédire la ductilité ultime d'un élément.

Conclusions et perspectives

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

La connaissance du comportement jusqu'à la ruine des structures de Génie Civil sous

sollicitations mécaniques sévères est capital au regard des conséquences induites tant humaines

qu'économiques. C'est pour cette raison, qu'accroître la capacité de prédiction de la réponse

d'ouvrages sous des agressions telles que les séismes est, aujourd'hui, un point important dans

la recherche en génie civil.

L'expérimentation permet, d'une part, de qualifier certains types d'ouvrages vis-à-vis des

tremblements de terre et, d'autre part, d'apporter une meilleure compréhension du

fonctionnement des structures fortement sollicitées. Le programme expérimental CAMUS, basé

sur une volonté de démonstration du comportement parasismique des voiles porteurs en béton

armé, nous fournit une base de données expérimentales du comportement d'une structure multi-

modale typique du génie civil. Des calculs préliminaires en dynamique non-linéaire nous ont

permis d'apporter une aide au dimensionnement de la maquette et d'établir le protocole

expérimental. L'étude post-essais de la réponse de cette structure au moyen de calculs

numériques paramétriques favorise la mise en relief des principaux facteurs influençant la

réponse, tels que les conditions limites ou encore le couplage entre certains paramètres

locaux et leur influence structurelle insoupçonnée de prime abord (unilatéralité des fissures et

excitation du second mode de vibration verticale). Deux difficultés principales dans la

modélisation ont surgi, à savoir, une prise en compte prédictive de l'amortissement dans les

calculs et la capacité de prédire la résistance ultime d'un élément de structure en béton armé

faiblement renforcé. En effet, l'amortissement global de Rayleigh, classiquement utilisé, permet

un calage de paramètres pour retrouver la réponse expérimentale. Pour une structure si

fortement sollicitée et endommagée, une telle formulation de l'amortissement ne permet pas

d'intégrer l'évolution de la dissipation hystérétique concomitante avec la dégradation. De plus,

le fort décalage des fréquences lié à l'ouverture de fissures nous empêche de gérer la dose

d'amortissement introduite au niveau structural.

Partant de ces constations, nous proposons de diminuer la part de l'amortissement structurel au

profit d'une approche locale de la dissipation. D'un point de vue qualitatif, l'amortissement ainsi


généré se trouve relocalisé au niveau des zones de fortes fissurations. De plus, une identification

des dissipations hystérétiques du matériau au niveau de l'élément de volume doit permettre

d'accroître la prédiction de l'amortissement à l'échelle de la structure. Dans ce but, un modèle

local de dégradation du béton a été proposé, basé sur la mécanique de l'endommagement,

par laquelle une description continue des pertes de raideur du matériau liées aux décohésions

internes peut être entreprise. L'introduction d'une nouvelle variable interne, liée aux

phénomènes de glissement entre lèvres de fissures, nous permet de prendre en compte des

contraintes de frottement ralentissant l'ouverture de ces dernières. Les déformations

anélastiques sont naturellement introduites car elles découlent du même mécanisme de frottement

des surfaces rugueuses des lèvres de fissures. Un couplage avec l'endommagement induit un

frottement directement fonction du niveau de la densité de fissuration. Un modèle de plasticité à

écrouissage cinématique non-linéaire, introduisant des particularités liées aux matériaux fragiles

dilatants tels que le béton, permet de gérer l'évolution de ces frottements internes. Le point

fondamental restant à approfondir concerne la description du comportement unilatéral des

fissures dans un cadre anisotrope, pour lequel seul un cadre général est proposé.

Ce modèle a été implanté numériquement au sein d'un code Eléments Finis d'analyse simplifiée

des structures en béton sujettes à des séismes. Un algorithme de retour sur la surface seuil,

"return mapping", a été choisi dans l'intégration des frottements. La cinématique adoptée pour

les éléments de structure est du type poutre multicouches. Ainsi, le comportement uniquement

uniaxial de chaque couche est à considérer. Cet aspect du calcul nous autorise à prendre en

compte des phénomènes locaux enrichis sans toutefois pénaliser le temps de calcul. Afin de

c o n f i e r l'aptitude d'un tel modèle local à représenter le couplage existant entre amortissement

et fissuration, nous avons choisi de réaliser des essais de poutres en flexion trois points avec

décharges à différents niveaux de chargement. La simulation de cet essai a permis de démontrer

la pertinence de l'approche locale vis-à-vis de la dissipation au niveau global de la structure.

L'application au cas de la structure CAMUS nous a offert la première application de ce modèle

dans la simulation de structures soumises à des sollicitations dynamiques. Des calculs

comparatifs ont montré que la dissipation générée localement parvient à retranscrire une partie

importante de l'amortissement global. Toutefois, un certain manque de réalisme dans la

description des refermetures de fissures ne nous autorise pas encore des comparaisons simples

avec les essais. Il parait clair, toutefois, que cet apport local diminue grandement l'importance

de la matrice de Rayleigh dans la réponse. Même si des simulations d'essais cycliques en

statique ont apporté une quantification de cette dissipation locale, des calculs dynamiques sur

des structures différentes, avec une fonction de refermeture de fissures adéquat, devraient nous

permettre de quantifier l'amortissement induit par ces hystérésis locales.


Une autre perpective importante de l'utilisation de ce modèle est de le considérer comme un outil

donnant accès au champ d'investigation de l'expérimentation numérique. En effet, nous

devrions, grâce à l'analyse simplifiée du calcul de structure, pouvoir identiner des matrices

équivalentes d'amortissement global pour divers types d'éléments de structure à divers niveaux

de fissuration. Ainsi des calculs 2D ou 3D utilisant des modèles de comportement locaux plus

simples à gérer numériquement pourraient bénéficier des résultat. du comportement hystérétique

local pour établir l'expression d'une matrice structurelle d'amortissement visqueux

(certainement non-proportionnelle). Il est d'ailleurs possible d'envisager la gestion de

l'amortissement à l'aide de macro-éléments visqueux identifiés numériquement.

Le dernier point critique, soulevé lors de l'expérimentation CAMUS, concerne la description de

la ruine des structures en béton armé et plus généralement la rupture des ouvrages. C'est à ce titre que les particularités théoriques et numériques liées à l'utilisation de modèles à écrouissage

négatif ont été abordées dans la dernière partie des travaux. La nécessité d'introduire un limiteur

de localisation a été discutée en fonction du type de sollicitations subies par la structure. Un

algorithme particulier d'intégration d'un modèle visco-endommageable avec effet unilatéral a été

développé dans ce travail pour traiter de structures soumises à des chargements de type

irnpulsionnels. La présence de viscosité, à ce niveau de vitesse de chargement, nous permet de

simuler objectivement (indépendance du maillage) la taille des zones de rupture dans la

structure. Pour de faibles vitesses de sollicitations (sismique, cyclique, ...), les armatures

parviennent à jouer un rôle régularisant mais le calcul par éléments finis nous empêche de capter

le caractère discret de la fissuration, source de rupture des éléments faiblement ferraillés. Des

premiers calculs montrant la nécessité d'introduire un critère local de rrcpture de couches

nous amènent à une perspective importante dans la prédiction de la capacité ultime des

structures. En effet, la couche composite acier-béton devra être enrichie afin d'intégrer des

particularités tels que les cisaillements à l'interface générant les ruptures d'ancrage, lieu de

prédilection pour la croissance de macro-fissures. Un critère simplifié de relocalisation des

déformations, basé sur une analyse micro-mécanique de l'interface, devra donc être développé

afin de capter prédictivement les ruptures locales.

Références

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

AFPS. 1995. Guide AFPS 1992 pour la protection des ponts. Presse de I'ENPC. France.

Andrieux S., Barnberger Y. & Marigo J.J. 1986. "Un modèle de matériau microfissuré

pour les bétons et les roches", Journal de Mécanique théorique et appliquée, Vol. 5, No. 3, pp. 471-513.

Armstrong P. J & Frederick C.O. 1966. "A Mathematical Representation of the Multiaxial

Bauschinger Effect", G.E.G.B. Report RD/B/N 731.

Bailly P. 1994. "Une modélisation d'un matériau fragile avec prise en compte d'effets

dynamiques", C.R. Acad. Sci. Paris, t. 3 18, série II, pp. 1-6.

Bairrao R., Millard A., Jamet Ph. & Barbe B. 1987. "A global model for reinforced

concrete beams under alternate loading", 9th SMIRT, Vol. H.

Bary B. 1996. "Étude du couplage hydraulique-mécanique dans le béton endommagé", Thèse

de doctorat ENS-Cachan.

Bascoul A. 1974. "Etude du comportement mécanique du béton en compression biaxiale",

Thèse de doctorat, Université de Toulouse.

Bathe K.J. 1982. Finite element procedures in engineering analysis. Prentice-Hall (eds). Inc.

Englewood Cl.iffs: New Jersey

Bazant Z.P. & Belytschko T. 1985. "Wave propagation in a strain softening bar - exact

solution", J. Engng. Mech., ASCE, Vol. 11 1, pp. 155-177.

Bazant Z.P. & Pijaudier-Cabot G. 1989. "Measurement of characteristic length of

nonlocal continuum", J. Engng. Mech., ASCE, Vol. 115, No. 4, pp. 755-767.

Bazant Z.P. & Prat P.C. 1988. "Microplane model for brittle-plastic material : 1. Theory",

J. Engng. Mech., Vol. 14, No. 10, pp. 1672-1688.

Bazant Z. P. 1976. "Instability, Ductility, and Size Effect in Strain-Softening Concrete", J.

Engrg. Mech., ASCE, 102 (3), pp. 33 1-34.

Références

Bazant

Bazant

Bazant

Bazant

Bazant

Bazant

Bazant

Z.P. 1986. "Mechanics of distributed cracking", Appl. Mech. Rev., Vol. 39 ( 3 ,

pp.675-705.

Z.P. 1988. "Stable States and Paths of Structures with Plasticity or Damage", J.

Engrg. Mech., ASCE, 114 (12), pp. 2013-2034.

Z.P. 1991. "Why Continuum Damage is Nonlocal : Micromechanics Arguments", J.

Engrg. Mech., ASCE, 117 ( 3 , pp. 1070-1087.

Z.P., Bishop F.C. & Chang T.P. 1986. "Confined compression tests of cement

paste and concrete up to 300 ksi", AC1 Journal, Vol. 33, pp.553 560.

Z.P., Pan J., Pijaudier-Cabot G. 1987. "Softening in reinforced concrete

beams", J. stnict. eng., ASCE 113, pp. 2233-2347.

Z.P., Pijaudier-Cabot G. & Pan J. 1987. "Ductility, Snapback, Size effect and

Redistribution in softening Beams and Frames", J. Struct. Eng., ASCE, Vol. 1 13,

No. 12, pp. 2348-2364.

Z.P., Xiang Y. 1997. "Size effect in compresssion fracture : splitting crack band

propagation", J. of Engrg. Mechanics, ASCE, Vol. 123, No. 2, pp. 162-172.

Benallal A., Billardon R. & Doghri 1. 1988. "An integration algorithm and the

corresponding consistent tangent operator for fully coupled elastoplastic and damage

equations", Com. in Appl. Num. Meth., Vol. 4, pp. 731-740.

Benouniche S. 1979. "Modélisation de l'endommagement du béton en compression du béton

hydraulique par microfissuration en compression", Thèse de doctorat de docteur, Paris

VI-ENSET.

Berthaud Y., Torrenti J.M. & Benaija E.H. 1994. "The Localization Zone in Quasi-Ims

Brittle Materials", Fracture and Damage in Qumibnttie Structures, Edited by Z.P.

Bazant, Z. Bittnar, M. Jirasek and J. Mazars.

Bischoff P.H. & Perry S.H. 1995. "Impact behaviour of plain concrete loaded in uniaxial compression", J. Engng. Mech., Vol. 121, No. 6, pp. 685-693.

Boudon-Cussac D. 1996. "De l'anisotropie des bétons renforcés de fibres courtes en acier",

Thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Boussa H. 1996. "Comportement dynamique des bétons : modélisation d'une structure

soumise à une explosion", Mémoire de DEA MAISE, ENS-Cachan.

Brachet R., Coin A., Fouré B., Gantenbein F., Queval J.C., Bouland P . , Bisch P., Mazars J. & Souloumiac R. 1994. "Opération CASSBA, conception

et analyse sismique des structures en béton armé", Annales ZTBTP, n8 523.

Références

Brara A. & Klepaczko J.R. 1997. "Nouveau dispositif expérimental d'étude de la rupture

par ecaillage du béton", Colloque du réseau GEO, Aussoix 24-28 novembre, France.

Burlion N. 1997. "Compaction des bétons : éléments de modélisation et caractérisation

expérimentale", Thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Carol 1. & Prat P.C. Bazant Z.P. 1992. "New explicit microplane model for concrete:

theoretical aspects and numerical irnplementation", Int. J. Solids Structures, Vol. 29,

No. 9, pp. 1173-1 191.

Carpinteri A. 1994. "Fractal nature of rnaterial microstructure and size effects on apparent

mechanical properties", Mech. mater., 18, pp. 89- 101.

Caughey T. 1960. "Classical normal modes in damped linear systems", J. Appl. Mech., 27,

pp. 269-271.

Chaboche J.L. & Cailletaud G. 1996. "Integration methods for complex plastic

constitutive equations", Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 133, pp. 125- 155.

Chaboche J.L. 1993. "Cyclic Viscoplastic Constitutive Equations, Part 1: A Thermodynamically Consistent formulation", J. Applied Mechanics, Vol 60, pp. 8 13 -

82 1, December.

Chaboche J.L., Lesne P.M. & Maire J.F. 1995. "Continuum damage mechanics,

anisotropy and damage deactivation for brittle materials like concrete and ceramic

composites", Znt. J. Dam. Mech., Vo14., pp. 5-22.

Chen E.S. & Buyukozturk 0. 1985. "Constitutive model for concrete in cyclic

compression", J. Engrg Mech., Vol. 11 1. No. 6, pp. 797-8 14.

Chen H-C. & Taylor R.L., 1897. " Properties and solutions of the eigensystems of

nonproportionally darnped linear dynamic systems", Proc. Int. Con$ Num. Meth.

Engng., NUMETA'87, Martinus Nijhoff Eds., Swansea, 6-10 July 1987, pp. T511-9.

Clough R.W., Johnston S .B. 1996. "Effect of stiffness degradation on earthquake

ductility requirements", Japan earthquake engineering symposium, Tokyo.

Colson A. 1984. "Modélisation des conditions aux limites de liaisons et d'assemblages en

mécanique des structures métalliques", Thèse de doctorat d'état, Université ParisVI.

Combescure D. 1996. "Modélisation du comportement sous chargement sismique des

structures de bâtiment comportant des murs de remplissage en maçonnerie", thèse de

doctorat, Ecole Centrale Paris.

Références

Comi C. & Perego U. 1997. "On visco-darnage models for concrete at high strain rates",

Computational Plasticity, eds Owen D.R.J., Onate E. & Hinton E., Barcelone, pp.

1551-1555.

Cordebois J.P. & Sidoroff F. 1979. "Damage Induced Elastic Anisotropyl', Colloque

Euromech, 1 15, Villars de Lans: 761-774.

Cordebois J.P. 1983 "Critères d'instabilité plastique et endommagement ductile en grandes

déformations", Thèse de doctorat d'état, Univ. Paris VI.

Curnier A. 1993. "Méthodes numériques en mécanique des solides", Presses Polytechniques

et Universitaires Romandes.

Darve F., Flavigny E. & Rojas E. 1986. "A class of incrementally non-linear constitutive

relations and applications to clays", Computers and Geotechnics, No. 2, pp. 43-66.

Daudeville L., Ragueneau F., Gatuingt F. & Bouet T. 1996. "Damage Modelling of

a Concrete Structure submitted to an Explosion", Proc. Sec. ECCOMAS 96, Conf. on

Num. Meth. in Engrg.,eds J.A. Desideri, P. Le Tallec, E. Onate, J. Periaux et E.

Stein, pp. 388-394, Paris, 9-13 Septembre 1996.

de Borst R. & Mühlaus H-B. 1992. "Gradient-dependant plasticity: formulation and

algorithmic aspects", Int. J. Numer. Meth. Engng, Vol. 35, pp. 52 1-539.

de Borst R. & Nauta P. 1985. "Non-orthogonal cracks in a smeared fmite element model",

Engng. Comp., Vol 2., pp. 35-46.

Delaplace A. 1999. "Approche statistique de la localisation dans les matériaux hétérogènes

quasi-fragiles", Thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Desrues J. & Chambon R. 1985. "Bifurcation par localisation de la déformation : étude

expérimentale et théorique à l'essai biaxial sur sable", Colloque international du

CNRS, Déformations finies des agrégats : bases physiques et modélisation.

Deü J.F. 1997. "Rupture des composites stratifiés sous chargement dynamique : apports des

mésos-modèles ave endommagement retardé", Thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Deusan S. 1997 "Comportement expérimental de poutres en béton armé sous chargements

statiques et dynamiques", Mémoire de fin d'études - LMT-Cachan 1 Université de Cluj

Napoca (Roumanie).

Di Maggio F.L. & Sandler I.S. 1971. "Material models for granular soils", J. Engng.

Mech. Div., Vol. 97, pp. 935-950.

Références

Dokainish M.A., Subbaraj K. 1989. "A survey of direct tirne-integration methods in

computational structural dynamics-1 : explicit methods", Comp. & Struct., Vol. 32,

No 6, pp. 1387-1401.

Dragon A. & Mroz Z. 1979. "A continuum model for plastic-brittle behaviour of rock and

concrete", Int. J. Engng. Sci., Vol. 17, pp. 121-137.

Dragon A., Cormery T., Desoyer T. & Halm D. 1994. "localised Failure Analysis

Using Damage Models", In Chambon R. et al. (eds), Localisation and Bifurcation

Theory for Soils and Rocks: 127-140. Rotterdam:Balkema.

Drücker D.C. & Prager W. 1952. "Soils mechanics and plastic analysis or lirnit design",

quartely of Appl. Math., Vol. 10, pp. 157-175.

Dubé J.F. 1994. "Modélisation simplifiée et comportement visco-endommageable des

structures en béton", thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Dubé J.F. 1997. "Modélisation multicouche des voiles en béton armé", Revue Francaise de

Génie-Civil, Vol. 1, No. 2, pp 285-308.

Eibl S. J., Bischoff P.H. & Lohrmann G. 1994. "Failure mechanics of fiber-reinforced

concrete and pre-damaged structures, Dynarnics loading conditions", Task report

BRI'IEEURAM P-89-3275.

Erdogan F. & Sih G. 1963. "On the crack extension in plates under plane loading and

transverse shear", J. Bas. Eng., 85D, pp. 519-525.

Fardis M.N., Alibe B. & Tassoulas J.L. 1983. "Monotonie and cyclic constitutive law

for concrete", J. Engrg Mech, Vol. 109. No. 2, pp. 516-536.

Faria R., Oliver J. & Cervera M. 1998 "A strain-based plastic viscous-damage model for

massive concrete structures", Int. J. Solids Structures, Vol. 35, No 14. pp. 1533-

1558.

Favre R., Jaccoud J-P., Koprna M. & Radojicic A. 1990. "Dimensionnement des

structures en béton", Traité de Génie Civil de 1'Ecole polytechnique fédérale de

Luusane, Volume 8.

Feenstra P.H. 1993. "Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced

Concrete", PhD Dissertation, Delft University of Technnology, The Netherlands.

Feriani A., Perotti F. 1996. "The formation of viscous damping matrices for the dynarnic

analysis of MDOF systems", Earth. Engng. Struct. Dyn., Vol. 25, pp. 689-709.

Références

Fichant S., Pijaudier-Cabot G. & La Borderie Ch. 1997. "Continuum damage

modelling: approximation of crack induced anisotropy", Mechunics Research

Communications, Vol. 24. no. 2: 109-1 14.

Fishinger M., Vidic T. & Fajfar P. 1991. "Evaluation of WC building with a structural

wall designed according to Eurocode 8", Con$ Int., Bâtiment à murs porteurs en

béton en zone simique, Paris.

Fléjou J.L. 1993. "Comportement dynamique des structures de génie civil avec liaison semi-

rigides", Thèse de doctorat de l'université Paris 6.

Fleury F., Merabet O. & Reynouard J.M. 1996. "Modélisation des structures en béton

armé sous séisme : une nouvelle approche globale pour les noeuds d'ossatures", Génie

parasisrnique et aspects vibratoires dans le génie-civil, Colloque n.donal AFPS, Saint-

Rémy-lès-chevreuses.

Fokwa D. 1992. "Matériaux Hétérogènes : Analyse Expérimentale et Modélisation Numérique

par une approche Hiérarchique", Thèse de Doctorat de l'université de Paris VI.

Frémond M. & Nedjar B. 1996. "Damage, gradient of damage and principle of virtual

i power", Int. J. Solids Structures, Vol. 33, No. 8, pp. 1083-1 103.

Fukuura N. & Maekawa K. 1998. "Multidirectional crack model for in-plane reinforced

concrete under reversed cyclic actions - 4 way fixed crack formulation and

verification", Comp. Modelling of Concrete Structures, EURO-C 1998, pp. 143-153.

Gatuingt F. & Daudeville L. 1997. "Numerical simulation of split hopkinson tests", 1st

European LS-DYNA3D users Conference, Stratford, England.

Gens A., Carol 1. & Alonso E.E. 1989. "Elasto-plastic model for joints and interfaces",

Proc. Second Int. Con. on Computational PlasticiS), Barcelona, Spain, pp. 125 1-

1264.

Georgin J-F. 1997. "Contribution à la modélisation du béton sous sollicitation de dynamique

rapide. La prise en compte de l'effet de vitesse par la viscoplasticité", Thèse de

doctorat, INSA de Lyon.

Georgin J-F., Reynouard J.M. & Merabet 0. 1998. "Modelling of concrete at high

strain rate", Computational Modelling of Concrete Structures, EURO-C 1998, pp.

593-601.

Géradin M. & Rixen D. 1993. "Théorie des vibrations : application à la dynamique des

structures", Masson editions.

Références

Ghavamian Sh. & Mazars J. 1996. "The ISP Shear Wall - Analysis of the non-linear

behaviour using multi-layered shear bearn", Yokohama Japon 1996 et Rapport interne

No. 8 170 - Mai 1996, LMT Cachan.

Ghavamian Sh. 1998 "Méthode simplifiée pour la simulation du comportement sismique des

structures en béton armé. Traitement des effets de l'élancement et estirnateur

d'erreurs", Thèse de doctorat, ENS Cachan.

Gomes A. & Appleton J. 1997. "Nonlinear cyclic stress-strain relationship of reinforcing

bars including buckling", Engineering Structures, Vol. 19, No. 10, pp. 822-826.

Gornet L. 1996. "Simulation des endommagements et de la rupture dans les composites

stratifiés", Thèse de doctorat, Univ. Paris VI.

Gratton M. 1998. "Comportement d'un composite 3D CarbICarb, méso-modélisation pour la

prévision de la réponse sous choc", Thèse de doctorat, ENS-Cachan.

Gurson A.L. 1977. "Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part

1 - Yield criteria and flow rules for porous ductile media", Engng Materials

Technology, Vol. 99, pp. 2-15.

Hadamard J. 1903. "Leçons sur la propagation des ondes", Herman et Cie.

Hallquist J.O. 1995. DYNA3D: Theoretical Manuul, Livermore Software technology

Corporation, Livermore USA.

Halm D. & Dragon A. 1996. "A model of anisotropic darnage by mesocrack growth;

unilateral effect", Znt. J. Damage Mechs., Vol. 5, pp. 384-402.

Halm D. & Dragon A. 1998. "An anisotropic model of damage and frictional sliding for

brittle materials", Eur. J. Mech. NSolids, No. 3, pp. 439-460.

Hashiguchi K. 1988. "A mathematical modification of two surface model formulation in

plasticity", Znt. J. Solids Structures, Vol. 24, No. 10, PP. 987-1001.

Hashiguchi K. 1989. "Subloading surface model in unconventional plasticity Znt. J. Solids

Structures, Vol. 25, No. 8, pp. 917-145.

Hermann G. & Kestin J. 1988. "On thermodynamic foundations of a darnage theory in elastic solids", Proc. CNRS-NSF Workshop on Strain Localisation and Size Effect

due to Damage and Cracking, ed. J. Mazars and Z.P. Bazant, Elsevier Pub., pp. 228-

232.

Hild F., Burr A. & Leckie F. 1996. "Matrix cracking and debonding of cerarnic-rnaîrix

composites", Int. J. Solids Structures, Vol. 33, No 8, pp. 1209-1220.

Références

Hill R. 1959. "Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time", J. of

the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 7, pp. 209-225.

Hilierborg A. 1986-a. "The theoretical basis of a method to determine the fracture energy Gf

of concrete", Matériaux et Structures, RILEM, Vol. 18, No 106, pp. 292-296.

Hillerborg A. 1986-b. "Results of three comparative test series for determining the fracture

energy Gf of concrete", Matériaux et Structures, RILEM, Vol. 18, No 107, pp. 407-

413.

Hillerborg A., Modeer M. & Peterssonn P.E. 1976. "Analysis of crack formation and

crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements", Cernent

and Concrete Research, Vol. 6, pp. 773-782.

Hoff C., Hughes T.J.R., Hulbert G. & Pal1 P.J. 1989. "Extended comparison of

Hilbert-Hughes-Taylor a-method and the 81 -methodu, Computer Meth. Appl. Mech.

Engng., 76, pp. 87-93.

Hofstetter G. & Simo J.C. 1993. "A modifieci cap model: closest point solution

algorithm", Comp. Struct., Vol. 46, pp. 203-214.

Horii H. & Nemat-Nasser S. 1983. "overd moduli of solids with microcrack; load-

induced anisotropy", J. Mech. Phys. Solids, Vol. 3 1, No. 2, pp. 15 1 - 17 1.

Horii H. & Nemat-Nasser S. 1985. "Compression-induced microcrack growth in brittle

solids: axial splitting and shear failure", J. Geophys. Res., Vol. 90, B4, pp. 3105-

3 125.

Houbolt J.C. 1950. "A reccurrence matrix solution for the dynamic response of elastic

aircraft", J. Aeronaut. Sci., 17, pp. 540-550.

Hughes T.J.R. 1987. "The finite element method: linear statique and dynamic fuite element

analysis", Prentice Hall.

Hutchinson J.W. & Jensen H.M. 1990. "Models for fiber debonding and fiber pull-out in

fiber composites with friction", Mech. Mater., Vol. 41, PP. 23-65.

Imbert J.F. 1991. "Analyse des structures par éléments finis", Cépaduès-editions.

Jeremic B. & Sture S. 1997. "Implicit integrations in elastoplastic geotechnics", Mech.

Cohesive-Frictional Mat., Vol. 2, pp. 165- 183.

Ju J.W. 1989. "On energy-based coupled elastoplastic damage theories: constitutive modelling

and computational aspects", Int. J. Solids and Structures, 25(7), pp. 803-833.

Kachanov L.M. 1958. "Time of the rupture process under creep conditions", Izv. Akad.

Nauk. S.S.R., Otd. Tekh. Nauk., No. 8, pp. 26-31.

Références

Kachanov M. 1982. "A microcrack mode1 of rock inelasticity, part 1: frictional sliding on

microcracks", Mech. Mater., Vol. 1, pp. 19-27.

Kracjinovic D. & Fonseka G.U. 1981. "The continuous damage theories of brittle

materials, Part 1 and II", J. of Appl. Mech., ASME, Vol. 48, pp. 809-824.

Kupfer H.B., Hilsdorf H.K. Rusch H. 1969. "behaviour of concrete under biaxial

stresses", ACI Journal, Vol. 66, No. 8, pp. 656-666.

L'Hermite R. 1960. "Volume changes of concrete", Proc. 4th Int. Symp. on the Chemistry

of Cernent, Washington D.C.

La Borderie Ch. & Ragueneau F. 1996. " Prise en compte du caractère hystérétique du

béton dans l'amortissement des structures en béton armé", Rapport de synthèse LNIT - Centre d'Études de Gramat, octobre 1996.

La Borderie Ch. 1991. "Phénomènes unilatéraux dans un matériau endommageable :

modélisation et application à l'analyse de structures en béton", thèse de doctorat :

Univ. Paris VI.

Ladevèze P. & Rougée P. 1984. "Plasticité et viscoplasticité sous chargement cyclique.

Propriétés et calcul du cycle limite", Rapport interne L.M.T. (Cachan). no 45.

Ladevèze P. 1983. "On an anisotropic damage theory", Proc. CNRS Int. Coll., 351 Villars-

de-Lam, Failure criteria of structured media, Ed. by J.P. Boehler, pp. 355-363.

Lasry D. & Belytschko T. 1988. "Localisation Limiters in Transient Problems", Int. J.

Solids Structures, Vol. 24, No.6, pp.581-597.

Lauterbach B. & Gross D. 1998 "Crack growth in brittle solids under compression",

Mech. Mater., Vol. 29, pp. 81-92.

Le Vu O., Bailly P., Tombini C., Lalle P. & Courchinoux C. 1996. "Modélisation

de géomatériaux sous sollicitations dynamiques élevées", Colloque du réseau GEO, Aussoix 2-6 décembre, France.

Léger P. 1992. "Méthodes de superposition modale pour l'analyse dynamique des structures

non linéaires : l'état de l'art", Rev. Eur. Elm. Fin., Vol. 1, No 2, pp. 115-135.

Lemaitre J. & Chaboche J.L. 1985. "Mécanique des matériaux solides", éditions

DUNOD.

Lemaitre J. 1971. "Evaluation of dissipation and damage in metals submitted to dynamic

loading", Int. Con. on Mechanical behuviov of materials, The Society of Material

Science, Kyoto, Japan.

Lemaitre J. 1992. "A course on darnage mechanics", Springer Verlag Eds.

Références

Li Z. & Shah S .P. 1994. "Localization of Microcracking in Concrete under Uniaxial

Tension", ACI Journal, V.91, No.4, July-August.

Man Liu & Gorman D.G. 1995. "Formulation of Rayleigh damping and its extension",

Computers & structures, Vol. 57, No 2, pp. 277-285.

Marquis D. 1989. "Phénoménologie et thermodynamique : couplages entre thermoélasticité,

plasticité, vieillisement et endommagement", thèse de doctorat d'état, Université Paris

VI.

Mazars J. 1986. "A description of micro- and macroscale damage of concrete structures",

Journal Engineering Fracture of Mechanics, Vol. 25. No. 516: 729-737.

Mazars J., Berthaud Y. & Ramtani S. 1990. "The unilateral behaviour of damaged

concrete", Engineering Fracture Mechanics, Vol. 35, No. 415, pp. 629-635.

Meftah F. 1996. "Contribution à l'étude numérique des modes localisés de rupture dans les

structures en béton de types poutres : approche multicouche par la plasticité au

gradient", Thèse de doctorat, INSA de Lyon.

Merabet 0. 1990. "Modélisation des structures planes en béton sous chargement monotone et

cyclique. Construction et validation d'un modèle numérique", thèse de doctorat de

I'INSA de Lyon.

Meschke G., Lackner R. Mang H.A. 1998. "An anisotropic elastoplastic-damage mode1

for plain concrete", Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 42, pp. 703-727.

Meyer C. & Roufaiel M.S.L. 1987. "Analytical modelling of hysteretic behavior of

reinforced concrete frames", J. Stuct. Engng., Vol. 1 13-3.

Mihashi H., Nomura N. & Umeoka T. 1994 "Fracture mechanics parameters of

cementious composite materials and fractured surface properties", Fracture and

Darnage in ~uasibritt1.e Structures, Eds. Z.P. Bazant et al., pp. 191-198.

Mroz Z. 1967. "On the description of anisotropic workhardening", J. Mech. Phys. Solids,

15, 163.

Munjiza A., Owen D.R.J., Crook A.J.L. 1998. "An M(M-'K)" proportional damping

in explicit integration of dynarnic structural systems", Int. J. Num. Meth. Engrg., Vol.

41, pp. 1277-1296.

Nadai A. 1950. "Theory of flow and fracture of solids", Deuxième édition. New-York, Mc

Graw Hill, Vol. 1, pp. 572.

Needleman A. 1988. "Material rate dependance and mesh sensitivity in localization

problems", Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., Vol. 67, pp. 69-85.

Références

Nemat-Nasser S. & Obata M. 1988. "A microcrack model of dilatancy in brittle

materials", J. Appl. Mech., Vol. 55, pp. 24-35.

Newmark N.M. 1959. "A method of computation for structural dynamics", A.S. C.E.

Journal of Engineering Mechanics Division. Vol. 85, pp. 67-94.

Ortiz M. & Simo, J.C. 1986. An analysis of a new class of integration algorithms for

elastoplastic constitutive relations. Znt. J. Numer. Methods. Eng. Vol. 23: 353-366.

Ortiz M.& Popov E.P. 1985. "Accuracy and stability of integration algorithms for

elastoplastic constitutive relations", Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 21. pp. 1561-

1576.

Owen D.R. J. & Hinton E. 1980. "Finite elements in plasticity: Theory and practice",

Pineridge Press Ltd., Swansea, England.

Ozbolt J & Bazant Z.P. 1992. "Microplane model for cyclic triaxial behavior of concrete",

J. Engng. Mech., ASCE, Vol. 1 18, No 7, pp. 1365-1386.

Panagiotacos T.B. & Fardis M.N. 1994. "Proposed nonlinear strut models for infii

panels", Note for PREC8 network.

Peerlings R.H.J., de Borst R., Brekelmans W.A.M., de Vree J.H.P. and Spee 1. 1996. " Some observations on localisation in non-local gradient damage

model", Eur. J. Mech. NSolids, Vol. 15, No. 6, pp. 937-953.

Pégon P. 1996. "Derivation of consistent proportional viscous damping matrices", JRC-

report, No 1.96.49.

Pijaudier-Cabot G. & Bazant Z.P. 1987. "Nonlocal Damage Theory", J. Engng. Mech.,

ASCE, 1 13 (IO), pp. 1512-1533.

Pijaudier-Cabot G. & Burlion N. 1996. "Damage and localisation in elastic materials with

voids", Mech. Coh. Frict. Mater., Vol. 1, pp. 129-144.

Pijaudier-Cabot G. 1985. "Caractérisation et modélisation du béton par un essai multiaxial

automatique", Thèse de doctorat, Univ. Paris VI.

Priestley M. J.N. 1998. "Displacement-based approaches to rational limit States design of

new structures", Proc. XIth ECEE-98, CD-ROM eds Bisch P., Labbé P. & Pecker

A., Paris - CNIT La defense.

Queval J.C., Combescure D., Sollogoub P., Coin A. & Mazars J. 1998.

"CAMUS experimental prograrn. In-plane tests of 113 scaled R/C bearing walls",

Proc. XIth ECEE-98, CD-ROM eds Bisch P., Labbé P. & Pecker A., Paris - CNIT

La defense.

Références

Ragueneau F., La Borderie Ch. & Mazars J. 1998. "Damage Mode1 for Concrete

Including Residual Hysteretic Loops: Application to Seismic and Dynamic Loading",

Proc. FRAMCOS-3, Fracture Mechanics on Concrete Structures., eds. H. Mihashi &

K.Rokugo, pp. 685-696, Gifu, Japon, 12-16 Octobre 1998.

Ragueneau F. & Mazars J. 1998. "Damping and Boundary Conditions, Two Major Points

for the Description of the Seismic Behaviour of R K Structures", Proc. XIth ECEE-98,

CD-ROM eds Bisch P., Labbé P. & Pecker A., Paris - CNIT La defense.

Ramtani S. 1990. "Contribution à la modélisation du comportement multiaxial du béton

endommagé avec description du caractère unilatéral", Thèse de doctorat, Univ. Paris

VI.

Rashid Y.R. 1968. "Ultirnate strength analysis of prestressed concrete pressure vessels",

Nucl. Engng. and Design, Vol. 7, pp. 334-344.

Reissner E. 1945. "The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic

plates", J. Appl. Mech., pp. 69-77.

Rice J.R. 1976. "The localization of plastic deformation", Theoretical and applied mechanics,

W. Koiter eds., North-Holland publishing Co., pp. 207-220.

Rossi P. 199 1. "A physical phenornenon which can explain the mechanical behaviour of

concrete under high strain rates", Materials and Structures, Vol. 25, pp. 509-5 14.

Rots J.G. 1988. "Computational modelling of concrete fracture", PhD thesis, Delft University

of Technology (The Netherlands).

Rudnicki J.W. & Rice J.R. 1975. "Conditions for the localization of deformation in

pressure-sensitive dilatant materials", J. of Phys. Mech. solids, Vol. 23, pp. 371-394.

Saouridis C . 1988. "Identification et numérisation objectives des comportements

adoucissants : une approche multi-échelle de l'endommagement du béton", Thèse de

doctorat, Univ. Paris VI.

Sercombe J., Ulm F-J & Toutlemonde F. 1996. "Modélisation du béton en dynamique

rapide", Génie parasismique et aspects vibratoires dans le génie civil, 4ième Colloque

National AFPS, Saint-Rémy-Lès-Chevreuses, France, 10-12 avril, pp. 38 1-390.

Simo J.C. & Hughes T. J. R. 1998. Computational Inelasticiîy, Springer, Berlin, (à

paraître).

Simo J.C. & Taylor R.L. 1985. " Consistent tangent operators for rate independant elasto-

plasticity", Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 48, pp. 101-1 18.

Références

Sluys L. J. & de Borst R. 1992. " Wave Propagation and Localization in a Rate-Dependent

Cracked Medium-Mode1 Formulation and One-Dimensional Examples", Int. J. Solids

Structures, Vol. 29, No. 33, pp. 2945-2958.

Subbaraj K., Dokainish M.A. 1989. "A survey of direct time-integration methods in

computational structural dynarnics-1: implicit methods", Comp. & Struct., Vol. 32, No

6, pp. 1371-1386.

Takeda T., Sozen M.A., Nielsen N.N. 1970. "Reinforced concrete response to

simulated earthquake", J. Engng. Div., ASCE, Vol. 96, No ST12.

Terrien M. 1980. "Emission acoustique et comportement mécanique post-critique d'un béton

sollicité en traction", Bull. Liais. du L.C.P.C., Vol. 105, réf. 23983.

Timoshenko S.P., Goodier J.N. 1970. Theorie of elasticio, Mc Graw-Hill Int. Edit.,

Chap. 2.

Torrenti J.M. 1987. "Comportement multiaxial du béton - aspects expérimentaux et

modélisation", Thèse de doctorat, Ecole National des Ponts et Chaussées.

Van Mier J.G.M. 1984. "Strain softening of concrete under multiaxial loading conditions",

PhD Dissertation, Eindhoven University of Technology, The Netherlands.

Volterra V. 1907. "Sur l'équilibre des corps élastiques multiplement connexes", Ann. Scient.

de llEcole N o m l e Supérieure, Paris 24, pp. 401-518.

Warburton G.B. 1985. "Some recent advances in structural vibration", Vibrations of

enengineering structures, No 10, springer, Berlin, PP. 2 15-223.

Weihe S., Kroplin B. & de ~ o r s t R. 1998. "Classification of smeared crack models

based on material and structural properties", Int. J. Solids Structures, Vol. 35, No.

12, pp. 1289-1308.

Willam K.J., Pramono E. & Sture S. 1987. "Fundarnental issues of smeared crack

models", Znt. Con$ on Fracture of Concrete and Rock, SEM/RILEM, Shah S.P. &

Swartz S.E. (eds), pp. 142-143.

Wilson E.L., Farhoomand 1. & Bathe K.J. 1973. "Nonlinear dynarnic analysis of

complex structures", Earth. Engng. Struct. Dyn., 1, pp. 24 1-252.

Wittmann F.H. 1983 "Structure of concrete with regard to crack formation", Fracture

mechanics of concrete, ed. Wittmann F.H., ELSEVIER Pubs., pp. 43-74.

Yang B.L., Dafalias Y.F. & Herrmann L.R. 1985. "A bounding surface plasticity

mode1 for concrete", J. Engng. Mech., Vol. 11 1, No. 3, pp. 359-380.

Références

Yazdani S. & Schreyer L. 1990. "Combined plasticity and damage Mechanics mode1 for

plain concrete", J. Engrg Mech., Vol. 116. No. 7, pp. 1435-1451.

Zienkiewicz O.C., Wood W.L., Hine N.W. & Taylor R.L. 1984. "A unified set of

single step algorithms part 1: generai formulation and Applications", Int. J. Num.

Meth. Engng., Vol. 20, pp. 1529-1552.

Annexe A Modèle 1 D multisu#aces

ANNEXE A

A- 1 Introduction

Le modèle nous permettant de restituer le côté hystérétique du comportement du béton sera établi

dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles. La non-linéarité en décharge

sera obtenue par le biais d'une modélisation multi-surfaces (multi-limites dans un cadre

uniaxial).

Les divers phénomènes du comportement à représenter sont les suivants :

- Dégradation du matériau uniquement en phase de traction (ouverture de

fissure).

- Présence de déformation résiduelle (déformation plastique).

- Perte de rigidité apparente du matériau au fur et à mesure de la plastification.

- Comportement unilatéral sous sollicitation cyclique (refermeture de fissures) et

restitution de la raideur en compression.

- Non-linéarité du comportement en charge - recharge (hystérésis).

Le modèle de comportement utilisé ici se limite à reproduire les effets de

l'endommagement de traction. Les causes physiques du comportement hystérétique ne sont pas

introduites dans la modélisation qui est purement phénoménologique.

Annexe A Modèle 1 D multisurfaces

A-2 Modèle multisurfaces

La première utilisation du principe multisurfaces est due à Mroz en (Mroz 1967). Un jeu de

surfaces seuils imbriquées les unes dans les autres permettaient de reproduire un écrouissage

cinématique non-linéaire. La non-linéarité étant obtenue en affectant à chacune de ces surfaces

un module d'écrouissage différent. De nombreux modèles ont été développés sur cette base.

Hashiguchi a donné dans un cadre multi-axial un critère précis de non-interpénétration de ces

différentes surfaces (Hashiguchi 1988, 1989). Une des qualités essentielles de ces modèles

multiaxiaux est de pouvoir représenter correctement les chargements non-proportionnels : le

point de chargement dans l'espace des contraintes pouvant être différent du point de contact

entre deux sphères. Plus récemment, Fléjou (Fléjou 1993) a adapté ces modèles au cas de la

mécanique des milieux curvilignes utilisant des variables généralisées pour décrire les non-

ünéarités dans les assemblages semi-rigides en génie-civil. C'est dans cette optique que nous

allons développer un modèle simple de comportement adapté au béton sous sollicitation

cyclique.

Mis à part l'aspect multisurfaces, nous nous plaçons dans le cadre des hypothèses classiques de

la mécanique des milieux continus.

A-2.1 Hypothèse de partition

Le découplage entre les comportements élastiques et plastiques impose de déflnir la déformation

plastique comme la différence entre la déformation totale et la déformation élastique :

La déformation totale est définie comme la partie symétrique du gradient du déplacement.

A- 2.2 Variables thermodynamiques du modèle

Les variables d'état peuvent être séparées classiquement en deux catégories : les variables

observables (déformation totale et température) et les variables internes. Nous fournirons au

modèle autant de variables internes que de phénomènes à représenter.

déformation élastique : ce

déformation plastique : cP


écrouissage cinématique de la surface d'élasticité : Xe

écrouissage isotrope de la surface d'élasticité : Re

écrouissage isotrope de la surface de charge : R c

A-2.3 Potentiel d'état - Lois d'état

Dans la suite, nous postulerons l'existence d'un potentiel d'état ( v ) du type énergie libre nous

permettant d'écrire les relations entre les variables d'état et leur variable associée (liste ci-

dessus) :

p : déformation plastique cumulée.

Concernant les variables internes, ce potentiel permet uniquement de définir leur variable

associée. Pour parvenir aux évolutions de ces variables, une seconde notion doit apparaître : le

potentiel de dissipation. Ceci est l'objet du point suivant.

A-2.4 Fonction de charge - Potentiel de dissipation - Lois complémentaires

Le modèle développé sera à deux surfaces. Une première surface dite "d'élasticité" caractérisant

le domaine élastique du comportement et une seconde surface dite "de charge" englobant la

première. La présence de ces deux surfaces nous amène naturellement à la définition de deux

fonctions de charge :

Annexe A Modèle 1 D multisuïfaces

o, et oc : taille des surfaces seuils à l'origine

La forme duale du potentiel de dissipation ainsi que la propriété de normalité nous permettent

d'établir les lois complémentaires entre les variables flux et les variables associées relatives aux

processus dissipatifs. En nous plaçant dans le cadre des théories associées, nous associerons le

potentiel de dissipation à la surface de charge. Ce formalisme nous permet d'écrire les lois

complémentaires en fonction d'un seul paramètre pour chaque surface seuil : le multiplicateur

plastique (A). La relation de consistance devra par la suite nous fournir sa valeur.

- Surface de charge

La condition de consistance s'exprime comme suit : f = f = 0, son application à la surface de

charge nous donne la relation suivante :

La donnée d'une fonction d'écrouissage négatif particulière nous permet de remonter à la loi

d'état (incrémentale) :

a : paramètre du matériau à identifier.

-Surface d'élasticité

Deux cas bien distincts peuvent se présenter : soit la surface de charge est atteinte, soit elle ne

l'est pas. Dans le premier cas, le comportement général sera guidé par les phénomènes

dissipatifs de la surface de charge. L'évolution des variables de la surface d'élasticité sera

subordonnée à l'évolution de la surface de charge (non-interpénétration, rapport constant des

tailles). On peut retrouver ce concept de gestion des évolutions des deux surfaces dans un

modèle appliqué aux murs de remplissage en maçonnerie (Combescure 1996). Par contre dans


le second cas où la surface de charge n'est pas activée, le comportement de la surface d'élasticité

sera similaire à celui de la surface de charge décrit précédemment.

(A. 10)

(A. 11)

d fe dfe p da, = -dhe - = dhe - = d&, a e d o

(A. 12)

L'utilisation d'un écrouissage cinématique linéaire nous permet d'écrire simplement la relation

entre X et a

(A. 1 3)

L'application de la condition de consistance nous livre la dernière loi complémentaire :

(A. 14)

Co : module d'écrouissage

A-2.5 Comportement unilatéral

Etant donné le caractère dissymétrique du comportement du béton en traction et en compression

(résistance dix fois plus importante en compression), nous prendrons l'hypothèse que la

dégradation des propriétés mécaniques ne s'effectuera qu'en traction. Le modèle décrit

précédemment ne trouvera son utilité que pour une plage de contrainte positive ou supérieure à

la contrainte de refermeture de fissure (Laborderie 1991). Au delà de cette limite, nous

admettrons un comportement élastique classique du matériau.

Pour rendre compte de ce comportement cyclique particulier, il convient d'ajouter une nouvelle

variable permettant de faire évoluer le module d'écrouissage cinématique au fur et à mesure de la

dégradation.

(A. 15)

Annexe A Modèle 1 D multisui$aces

C, : module d'écrouissage initial, of : contrainte de refermeture de fissure et h est compris

entre O et 1. Quand le matériau est sain h = 0.

A-2.6 Modèle complet soumis à un cycle de traction - compression

Nous présentons le résultat final du modèle soumis à une sollicitation cyclique. La limite en

traction est fixée à 3 MPa, la contrainte de refermeture de fissure à -3 MPa et le rapport de deux

surfaces à 4.

i .... 1 ...............; ....................... 1 ......................... ....................... j ........................ i .................... 1 - - - - - - - - -5 I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I

-0,0002 O 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 déformation

Fig. A.1 Réponse du modèle uniaxial soumis à des cycles de traction

L'évolution progressive du module d'écrouissage cinématique induit automatiquement une autre

propriété du comportement du matériau : la perte de rigidité apparente concomitante à la

dégradation en traction.

A-3 Quantification de l'amortissement induit

Le modèle uniaxial a été implanté dans le code de calcul aux éléments finis CASTEM 2000. Les

éléments pouvant utiliser ce modèle doivent être de types uni-axiaux. En raison du type de

problème à traiter (flexion cyclique, ...), les éléments coque à 2 noeuds multicouches semblent

être les plus appropriés. Chaque couche est prise en compte de par le matériau qui la constitue et

son excentrement par rapport à la ligne de référence. La linéarité de l'écrouissage cinématique

permet une intégration explicite du modèle lors de phénomènes dissipatifs survenant au travers

de la surface d'élasticité. Par contre, en ce qui concerne l'écrouissage isotrope de la surface de

charge, la non linéarité de son évolution nous impose une implantation implicite. Néanmoins, la

Annexe A Modèle 1 D multisuï$aces

simplicité du modèle, du fait de son écriture uni-axiale, garantit une intégration rapide : elle sera

effectuée au moyen d'un algorithme de type retour radial (Ortiz & Simo 1986).

Le but de cette simulation sera de déterminer l'énergie dissipée par cycle à divers degré

d'endommagement de la poutre. Cette énergie sera calculée en mesurant la surface résiduelle de

la boucle d'hystérésis lors de cycles stabilisés. De cette énergie nous pourrons tirer un

coefficient d'amortissement relatif.

A-3.1 Description de l'essai

- Fig. A.2 Essais de flexion cyclique 3 points

Des essais cycliques ont été réalisés sur cette poutre à diverses amplitudes de flkhe au centre

(Laborderie 1991). L'asservissement des essais a é é effectué par pilotage en déplacement. Le

béton composant l'éprouvette possède des caractéristiques ordinaires (30 MPa en compression).

A-3.2 Comparaison calcul 1 expérience

Un cycle et demi a été réalisé sur cette poutre et simulé au moyen du code CASTEM 2000. 30

éléments COQ2 ont été employés, 10 couches composant la partie béton et deux couches en

acier se superposent à l'ensemble afin de représenter les armatures (comportement élastique

plastique parfait). Bien qu'aucun limiteur de localisation n'ait é é employé, la présence

d'armatures en acier permet d'éviter une dépendance des résultats du calcul par rapport au

maillage. En effet, en présence d'un matériau à écrouissage négatif, la solution éléments finis

perd son unicité (Hill 1959). Un calcul avec 60 éléments nous a donné les mêmes résultats.

Annexe A Modèle 1 D multisu$aces

déplacements ( m )

Fig. A.3 Flexion 3 points cyclique. Comparaisons essais - simulations

Aucun ajustement des paramètres du modèle n'a été opéré lors de cette simulation. Toutefois

nous nous apercevons que l'allure générale du comportement est restituée et que les principales

caractéristiques de l'essai sont représentées (déformations résiduelles, perte de rigidité globale).

A-3.3 Identification de l'amortissement relatif

Considérant un système à un degré de liberté, un amortissement équivalent peut être calculé en

égalant l'énergie dissipée dans un cycle à celle d'un amortissement visqueux.

(A. 16)

w~ : énergie dissipée par cycle.

Sachant que l'amortissement relatif est défini comme le rapport entre le coefficient

d'amortissement et le coefficient d'amortissement critique, nous pouvons écrire que :

(A. 17)

2we. k : raideur de la structure définie par : k = -, w, : énergie de déformation. p2

Finalement, nous aboutissons à l'expression de l'amortissement relatif provoqué par une boucle

d'hystérésis lors d'un cycle stabilisé :


(A. 18)

Cette méthode d'identification a donc été employée pour divers cycles stabilisés à des niveaux

de flèches différents. Nous représentons sur le graphique suivant l'évolution de cet

amortissement relatif en fonction du niveau de chargement en rapport avec la limite élastique

(fig. III-4.a).

flêche (mm)

Fig. A.4 a) amortissement relatif fonction de 1 'effort extérieur appliqué. b) Boucle d 'hysteresis

résiduelle à cycle stabilisé

Les résultats concernant les applications en dynamique de ce modèle sont présentés dans le

chapitre III. Les liens avec l'amortissement structurel y sont établis.

Documents

DOCTORAT DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEUREw3.lmt.ens-cachan.fr/PDFs/RAGUENEAU.1999.6.pdf · 11-2.1 Analyse modale - Calculs statiques non-linéaires 52 II-2.2 Séquence de chargement