THESE L'ÉCOLE NORMALE SUPERIEUREw3.lmt.ens-cachan.fr/PDFs/LOUF.2003.6.pdf · Avant toute chose, je tiens à remercier M. Raous pour avoir accepté de présider ... Je tiens également

THESE DE DOCTORAT DE

L'ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN

Spécialité : MÉCANIQUE - GÉNIE MECANIQUE - GÉNIE CIVIL

Présentée à l'École Normale Supérieure de Cachan Par

François LOUF

pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE DE

CACHAN

Sujet de la thèse : Sur le contrôle des analyses éléments finis avec contact et

frottement - Application aux simulations d'impact

Thèse soutenue le 18 décembre 2003 devant le jury composé de :

Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur

Laboratoire de Mécanique et Technologie (ENS Cachan/CNRS/Université Paris 6)

61 Avenue Président Wilson, 94235 CACHAN CEDEX (France)

Mots clés : contact, frottement, dynamique rapide, bipotentiel, estimateur d'erreur

Résumé : Un nombre croissant de problèmes industriels nécessite de prendre en compte les phénomènes de contact et de frottement. Peuvent être cités, par exemple, l'étude d'assemblages boulonnés, la mise en forme, les impacts ou les crash. Les simulations mises en œuvre utilisent le plus souvent une discrétisation spatiale de type éléments finis, des algorithmes itératifs, des schémas d'intégration temporelle, et différents paramètres numériques (pseudo-viscosité, sous-intégration...). Pour l'utilisateur, il importe de pouvoir quantifier les erreurs inhérentes à l'ensemble de ces approximations. L'objectif de ce travail de thèse est de proposer et de mettre en œuvre un estimateur d'erreur pour des problèmes de dynamique rapide, en grandes transformations et avec un comportement matériau fortement non-linéaire, c'est à dire typiquement pour des problèmes d'impact. Afin de ne pas aborder toutes les dif- ficultés de front, différents problèmes de complexité croissante sont étudiés avant d'atteindre l'objectif : contact et frottement de Coulomb en statique, quasi-statique, puis impact avec comportement élastique en petites déformations. Tous les estimateurs d'erreur proposés dans ce travail sont basés sur le concept d'erreur en relation de comportement et sur la notion de bipotentiel permettant de reformuler les lois de contact et de frottement sous une forme compacte. A chacune des ces étapes plusieurs exemples sont étudiés et montrent un comportement sain des différents estimateurs d'erreur en relation de comportement proposés.

Keywords: contact, friction, transient dynamics, bipotential, error estimation

Abstract: A growing number of industrial problems needs to take into account contact and friction phenornena: bolted assemblies, forming processes, impacts or crashes. The numerical simulations often use a finite element spatial discretization, time integration schemes, and some other numerical parameters like artificial damping or sub-integration. For the user, it is essential to be able to estimate the errors due to al1 of these approximations. The main goal of this work is to propose and implement an error estimator for transient dynamics problems, with large strains and a strongly non-linear material behaviour. In order to separate the difficulties, three other cases of increasing complexity are studied before : contact with Coulomb friction static problems, quasistatic problems, elastic impact under small strains assumption. Al1 the error estimators proposed in this work are based on the concept of error in the constitutive relation and on the use of a bipotential allowing us to write the contact with friction conditions on a compact form. At each step, several examples are studied. They show a good behaviour of each error estimator built.

Avant toute chose, je tiens à remercier M. Raous pour avoir accepté de présider le jury, G. Coffignal et A. Combescure pour avoir accepté la lourde tâche de rap- porteurs, ainsi que les autres examinateurs, P. Hild, J. Bonini, et A. Fanget qui ont apporté, par leurs questions, un éclairage différent à ce travail. Je ne saurais oublier de remercier mon directeur de thèse, J.-P. Pelle, mes CO-encadrants de DEA et de thèse, J.-P. Combe, et L. Gallimard.

Je tiens également à dire un grand merci à tous les membres du LMT Cachan, et plus particulièrement à mes collègues de bureau, qui, par leurs conseils, ont contri- bué à faire avancer ce travail certes, mais bien d'autres aussi, dans une ambiance chaleureuse.

Merci également à P. Feissel, à mes parents qui ont été chargés de la relecture de ce document, à ma famille, à mon épouse qui m'ont soutenu tout au long de ces trois ans.

Merci enfin à tous les cyclistes mécaniciens avec qui j'ai découvert la Vallée de Chevreuse, Cui-cui, Nico, Fabien, Seb, Arnaud, Jacques, Bertrand, Salim, Riton ...

Table des matières

Table des matières

Introduction 1

1 Estimation d'erreur 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Le calcul d'erreur 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cas des problèmes de statique 6 1.2.1 Problèmes de statique linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Problèmes de statique avec contact 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cas des problèmes de dynamique 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Dynamique linéaire 13 . . . . . . . . 1.3.2 Cas de la dynamique non-linéaire et conclusion 18

Contrôle des problèmes avec contact et frottement en statique 19 . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Modélisation du contact entre deux solides 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Notations 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Modélisation du contact 21

2.2 Formulation du problème de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Erreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Champs admissibles 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Estimateur 23

2.3.3 Cas particulier du contact sans frottement . . . . . . . . . . . 24 2.4 Stratégies de résolution numérique pour le problème de référence . . . 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Formulation variationnelle 26 2.4.2 Multiplicateurs de Lagrange et méthode de point fixe . . . . . 27 2.4.3 Méthode de pénalisation et lois de frottement adoucies . . . . 29 2.4.4 Utilisation de la (( LATIN method >> et du logiciel COFAST . . 32

2.5 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.1 Construction des champs de déplacement admissibles . . . . . 34 2.5.2 Construction de densités d'effort admissibles sur la zone de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . contact 35 2.5.3 Construction des champs de contrainte admissibles . . . . . . 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exemples 39 2.6.1 Premier exemple de mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.2 Étude et comparaison sur un cas test des différents algorithmes 40

2.7 Indicateur d'erreur en itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Mise en œuvre 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Lien avec l'adaptation de maillage 52

Contrôle des problèmes d'impact 1

Table des matières

2.8 Estimation de l'erreur de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.1 Cadre de l'étude et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.3 Indices d'efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8.4 Implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.9 Extension au cas des maillages incompatibles . . . . . . . . . . . . . . 60 2.9.1 Travaux existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.9.2 Traitement numérique du contact . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.9.3 Traitement numérique du frottement . . . . . . . . . . . . . . 64 2.9.4 Construction de champs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.9.5 Remaillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Contrôle des problèmes de contact quasi-statiques 69 3.1 Modélisation du contact en quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 Modélisation du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Formulation du problème de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Erreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.1 Champs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Estimateur 74

3.4 Stratégie de résolution du problème de référence . . . . . . . . . . . . 74 3.4.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Forme incrémentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.3 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.4 Utilisation de COFAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . . 76 3.5.2 Construction de champs d'efforts de contact . . . . . . . . . . 76 3.5.3 Construction de champs statiquement admissibles . . . . . . . 77 3.5.4 Interpolation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.2 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Contrôle des probl6mes d'impact . Cas d'un solide élastique 85 4.1 Modélisation du contact en dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Modélisation du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2 Formulation du problème de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.1 Les équations de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.2 Les équations d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.3 Les relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3 Erreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1 Champs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.2 Quantités additionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.3 Estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

. . 11 Contrôle des problèmes d'impact

Table des matières

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Contributions élémentaires 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Erreur relative 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Erreurs de référence 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Indices d'efficacité 95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Stratégie de résolution utilisée 95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Discrétisation spatiale 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Discrétisation temporelle 96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Sraitement du contact 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Mise en œuvre de la mesure d'erreur 99

4.5.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . . 100 4.5.2 Construction de champs dynamiquement admissibles . . . . . 103

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Résultats 109 . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Problème à un degré de liberté sur rC 109

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Problème bidimensionnel 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Conclusions 120

5 Contrôle des problèmes d'impact . Cas d'un solide au comportement non-linéaire 123

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Problème de référence 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Les équations de liaison 126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Les équations d'équilibre 126

. . . . . . . . . . . . . 5.1.3 L'équation de conservation de la masse 126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Les relations de comportement 127

. . . . . . . . . . 5.1.5 Le premier principe de la thermodynamique 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Erreur en relation de comportement 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Champs admissibles 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Quantités additionnelles 130

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Estimateur 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Contributions élémentaires 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Erreur relative 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Stratégie de résolution utilisée 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Discrétisation spatiale 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Discrétisation temporelle 133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Intégration du comportement 134 . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Traitement du contact et du frottement 135

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur 135 5.4.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . . 135 5.4.2 Construction de champs dynamiquement admissibles . . . . . 135

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Premier exemple 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Allure de la solution approchée 138

. . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Influence du frottement sur la déformée 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Première estimation de l'erreur 140

. . . . . . . . . . . . 5.5.4 Comparaison avec les travaux antérieurs 140 . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Influence de la discrétisation spatiale 144

. . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Influence de la discrétisation temporelle 145 . . . . . . . . . . . . . . 5.5.7 Influence du coefficient de frottement 146

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Second exemple 148

... Contrôle des problèmes d'impact 111

Conclusions et perspectives

iv Contrôle des problèmes d'impact

Table des figures

1.1 Définition d'un patch standard et de son extension . . . . . . . . . . 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Notations 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Algorithme de calcul par pénalisation 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi de contact pénalisée 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de frottement de Norton-Hoff 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Loi de frottement à glissement élastique 32 . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exemple faisant intervenir plusieurs solides 39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Maillage et carte des contributions e~ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Castest 41

2.9 Erreur relative en fonction des raideurs élastiques (Ic,, kt) . . . . . . . 41 2.10 Erreur relative en fonction des paramètres (E,, ko) . . . . . . . . . . . 42 2.11 Nombre d'itérations Ni nécessaires pour parvenir à E, en fonction de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (E,. kO) 42 . . . . . . . . . . . . 2.12 Maillage initial : 170 éléments . 8'00 % d'erreur 45

2.13 Premier remaillage: 268 éléments . 4'5 % d'erreur pour 5 % souhaitée 45 2.14 Second remaillage: 867 éléments . 2'7 % d'erreur pour 2'5 % souhaitée 45

. . . . . . . . . . . . 2.15 Maillage initial : 170 éléments . 10'5 % d'erreur 46 2.16 Premier remaillage: 338 éléments . 7'5 % d'erreur pour 5 % souhaitée 46 2.17 Second remaillage : 1689 éléments . 6'5 % d'erreur pour 2'5 % souhaitée 47

. . . . . . . . . . . . 2.18 Maillage initial : 170 éléments . 14'0 % d'erreur 47 2.19 Premier remaillage: 611 éléments . 11'9 % d'erreur pour 5 % souhaitée 47 2.20 Second remaillage: 10 867 éléments . 11'8 % d'erreur pour 2. 5 %

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . souhaitée 48 2.21 Évolution comparée de l'erreur et de l'indicateur . . . . . . . . . . . . 51 2.22 Maillage utilisé pour l'étude de l'indicateur: 2 362 éléments . . . . . . 51

. . . . . . . . . . . 2.23 Influence de la finesse du maillage sur l'indicateur 51 2.24 Maillage obtenu avec la technique d'amélioration: 950 éléments .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2'6 % d'erreur 53 . . . . . . 2.25 Le problème de référence et les deux problèmes auxiliaires 54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.26 Cas test utilisé 57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27 Maillage initial 57 2.28 Evolutions comparées des erreurs en fonction de l'éloignement à la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zone de contact 59 2.29 Erreurs exactes et estimées en fonction du nombre d'éléments . . . . 60 2.30 Contraintes a,, avec condition intégrale (à gauche) et locale (à droite) 62 2.31 Contraintes ay, avec condition intégrale (à gauche) et locale (à droite) 62

Contrôle des problèmes d'impact v

Table des figures

2.32 Efforts normaux sur R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.33 Efforts normaux sur R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.34 11 Fh, II et II Fi, 1) après résolution de (2.66) . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.35 Interpénétrations selon la condition de non-pénétration utlisée . . . . 65 2.36 Maillage initial : 312 éléments. 39'6 % d'erreur . . . . . . . . . . . . . 66 2.37 Maillage intermédiaire : 537 éléments. 23 % d'erreur . . . . . . . . . . 67 2.38 Maillage optimisé : 2 424 éléments. 11'5 % d'erreur . . . . . . . . . . 67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Notations 71 3.2 Premier exemple de calcul quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Maillage utilisé pour le premier test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4 Les trois types de chargement envisagés . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5 Evolutions des erreurs au cours du temps pour les différents chargements 80 3.6 Cartes des contributions à l'erreur globale pour les différents charge-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ments 80 3.7 Second exemple de calcul quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.8 Maillage initial pour l'étude de convergence . . . . . . . . . . . . . . 82 3.9 Erreur en fonction du nombre d'éléments . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Type de problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3 Problème d'impact dont la solution exacte est connue . . . . . . . . . 92 4.4 Solution exacte pour le problème 1D (figure 4.3) . . . . . . . . . . . . 93 4.5 Déplacement, vitesse et effort de contact exacts pour le problème 1D

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (figure 4.3) 94 4.6 Algorithme de calcul d'une solution approchée en 1D . . . . . . . . . 98 4.7 Algorithme de calcul d'une solution approchée, sans frottement, en 2D 99 4.8 Exemple de résolution du problème P 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.9 Modifications des efforts de contact sur rCA(ti) . . . . . . . . . . . . 105 4.10 Formes possibles pour rDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.11 Erreur estimée relative fonction de Ns et a . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.12 Indice d'efficacité JEX. fonction de Ns et a . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.13 Indice d'efficacité <Ex. 2 fonction de Ns et a . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.14 Exemple d'impact élastique 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.15 Contraintes de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.16 Erreurs élémentaires cumulées sur le temps . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.17 Problème auxiliaire pour la détermination de l'erreur de discrétisation 114 4.18 Erreurs élémentaires de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

. . . . . . . 4.19 Les quatre maillages utilisés pour l'étude de convergence 115 4.20 Evolution des erreurs absolues par «sup» sur le temps pour différentes

discrétisations spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.21 Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps en fonction du

temps. pour différentes tailles de pas de temps . . . . . . . . . . . . . 117 4.22 Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps en fonction du

At rapport a! = - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

At,

vi Contrôle des problèmes d'impact

Table des figures

4.23 Evolutions de l'erreur en fonction du temps pour différents coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de frottement p 119

4.24 Evolutions de la résultante des efforts tangentiels en fonction du temps pour différents coefficients de frottement p . . . . . . . . . . . 119

4.25 Contraintes de Von Mises sur la structure déformée à différents ins- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tants pour p = O et p = 1'2 120

5.1 Type de problème étudié et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 h

5.2 Transport des densités d'efforts FEh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Essai de Taylor 138

5.4 Contrainte de Von Mises à différents instants . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5 Contrainte de Von Mises au temps final pour différents p . . . . . . . 139 5.6 Erreurs élémentaires cumulées sur le temps . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.7 Maillage symétrique et carte d'erreur correspondante . . . . . . . . . 141 5.8 Comparaison des deux problèmes étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.9 Evolutions des erreurs absolues en fonction du temps pour les diffé-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rents problèmes 142 5.10 Evolutions des efforts de contact exact et approché au cours du temps

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pour un problème ID 142 5.11 Contraintes de Von-Mises pour les deux types de calcul . . . . . . . . 143 5.12 Résultantes des efforts de contact et des actions de liaison en fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du temps 143 5.13 Les quatre maillages utilisés pour l'étude de convergence . . . . . . . 144 5.14 Evolution des erreurs absolues par «sup» sur le temps pour différentes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . discrétisations spatiales 145 5.15 Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps en fonction du

temps pour différentes tailles de pas de temps . . . . . . . . . . . . . 146 5.16 Erreur relative en fonction du pas de temps utilisé . . . . . . . . . . . 147 5.17 Evolutions de l'erreur en fonction du temps pour différents coefficients

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de frottement p 147 5.18 Zoom sur les déformées au contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.19 Exemple d'un impact sur blindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.20 Maillage utilisé: 683 éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.21 Contrainte de Von Mises à différents instants (p = 0'4) . . . . . . . . 149 5.22 Evolutions des erreurs absolues au cours du temps . . . . . . . . . . . 150 5.23 Zoom sur les éléments les plus déformés . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.1 Exemple d'impact sur un socle rigide non plan . . . . . . . . . . . . . 154 6.2 Exemple de contact avec un socle convexe . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Exemple de contact avec un socle concave . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4 Contact avec maillages incompatibles : ligne I'g . . . . . . . . . . . . . 157 6.5 Définition des zones Rh et Rh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Définition des angles 0ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.7 Maillages déformés sans (gauche) et avec (droite) adaptation . . . . . 158

Contrôle des problèmes d'impact vii

Liste des tableaux

Liste des tableaux

. . . . . . . . . . . . . Données relatives au problème de la figure 2.6 39

. . . . . . . . . . . . . Données relatives au problème de la figure 2.8 40 Erreur et indicateur dans le cas où l'adaptation des maillages est

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . correcte 52 Erreur et indicateur dans le cas où l'adaptation des maillages est

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . défaillante 52 Erreur et indicateur avec la technique d'amélioration du point fixe . . 53

. . . . . . . . . . . . . Erreurs estimées et exactes. indices d'efficacité 58 . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison des erreurs de discrétisation 58

Influence de la discrétisation spatiale et de .. sur la qualité de la solution 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Influence de la discrétisation spatiale 116 . . . . . . . . . . . . . . . Influence du pas de temps. à maillage fixé 117

Influence du coefficient p. à maillage et pas de temps fixés . . . . . . 118

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Influence de la discrétisation spatiale 145 . . . . . . . . . . . . . . . Influence du pas de temps. à maillage fixé 146

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Influence du frottement 149

Contrôle des problèmes d'impact ix

Liste des tableaux

x Contrôle des problèmes d'impact

Introduction

Un grand nombre d'industriels sont amenés à réaliser des études sur des pro- blèmes d'impact que ce soit dans les domaines des transports routiers, ferroviaires, aériens ou dans le domaine du nucléaire et ce afin de répondre à des normes de plus en plus strictes. Dans un tel contexte, une approche expérimentale est souvent retenue. Toutefois, le coût de chaque campagne d'essais, l'impossibilité d'accéder à des informations précises et locales lors des mesures sont deux inconvénients majeurs de cette démarche.

La formulation et la résolution d'un problème de mécanique des milieux continus adapté au problème initial est une alternative à cette première approche. Toutefois, compte tenu de la complexité des modèles mécaniques qui doivent être envisagés dans le cadre de problèmes d'impact, la solution exacte ne peut être explicitée. Il faut alors recourir à la simulation numérique et obtenir ainsi une solution appro- chée. Le modèle numérique est obtenu en introduisant dans le modèle de référence un certain nombre d'hypothèses supplémentaires classiques telles que la discrétisa- tion spatiale par éléments finis et temporelle via un schéma d'intégration en temps. Des techniques numériques spécifiques au calcul d'impact peuvent également être employées pour gérer simultanément le contact, le frottement, les phénomènes de hourglass. . . Souvent une pseudo-viscosité est également introduite. Toutes ces a p proximations conduisent à une modélisation numérique du problème d'impact et ce sont les résultats approchés obtenus à partir de cette modélisation qui sont compa- rés aux résultats expérimentaux. La finalité de ces comparaisons essais-calculs est de valider la qualité du modèle mécanique de référence pour représenter la réalité physique. Cette démarche pose deux questions majeures :

- quelle est la qualité des mesures effectuées au cours des expérimentations et ces mesures sont elles fiables?

- quelle est la représentativité de la solution du modèle numérique en tant que solution approchée du modèle mécanique de référence?

L'objectif de cette thèse est de contribuer à la maîtrise du deuxième point. Il s'agit en effet d'être capable d'estimer avec pertinence la distance entre la solution du modèle mécanique de référence et la solution du modèle numérique associé. Dans ce travail, le problème de mécanique des milieux continus est donc vu comme la référence et nous allons chercher à évaluer les conséquences du passage au modèle numérique.

Ce thème de l'évaluation des erreurs de discrétisation fait l'objet de nombreux travaux. Depuis 25 ans environ, différentes approches ont été proposées en élasticité linéaire :

- estimateurs d'erreur en relation de comportement [Il;


Introduction

- estimateurs d'erreur contruits sur les défauts d'équilibre [2];

- estimateurs d'erreur utilisant un lissage des contraintes [3];

Pour les problèmes non-linéaires, les sources d'erreurs sont nombreuses : discré- tisation en espace, mais aussi discrétisation en temps ou résolution itérative de systèmes non-linéaires sur chaque incrément de temps.. . La difficulté est donc de prendre en compte toutes ces sources d'erreur.

Les estimateurs basés sur les défauts d'équilibre et le lissage des contraintes ont été étendus mais ils ne permettent pas de respecter ce dernier critère.

Actuellement, à notre connaissance, seul le concept d'erreur en relation de comportement a permis de construire des estimateurs d'erreur capables de prendre en compte l'intégralité des erreurs commises. Dans le cadre des non-linéarités de comportement, les travaux de [4], [5], [6] ont permis d'élaborer des mesures d'erreur pour les problèmes de plasticité, viscoplasticité, en petites déformations.

Un premier estimateur d'erreur en relation de comportement a été proposé pour les problèmes de dynamique, avec un comportement linéaire, en petites déformations dans [7].

Le cas des grandes transformations a été abordé une première fois dans [BI. Plus récemment, les travaux de [9] ont permis de montrer comment le concept d'erreur en relation de comportement permettait de contrôler des problèmes de dynamique rapide, faisant intervenir de surcroît des grandes transformations et un comportement fortement non-linéaire de type fluide sur la partie sphérique de la contrainte et de type élastoplastique avec écrouissage isotrope pour la partie déviatorique. Sur une partie de la frontière du solide considéré, l'action d'un éventuel impacteur est remplacée par un champ de vitesse imposé et variant dans le temps.

Outre la prise en compte des aspects dynamiques, des grandes transformations et des comportements matériau fortement non linéaires, le contrôle complet d'une simulation numérique d'un problème d'impact nécessite aussi la prise en compte des contacts (avec ou sans frottement) et des chocs. L'objet de notre travail, qui s'inscrit dans le prolongement des recherches présentées dans [9], est de proposer et de mettre en œuvre des méthodes permettant cette prise en compte des contacts et des chocs.

Pour les problèmes de contact avec ou sans frottement, peu d'estimateurs d'erreur a posteriori existent. Un estimateur d'erreur basé sur les résidus d'équilibre a été proposé dans [IO]. Mais son principal inconvénient est que le coefficient de pénalisation intervient dans la mesure d'erreur. Il correspond par conséquent à un problème de référence où la loi de contact est approchée par une loi pénalisée. Plus récemment, le concept d'erreur en relation de comportement a permis d'élaborer un estimateur d'erreur pour les problèmes de contact sans frottement [Il], [12].

Afin de contrôler un problème d'impact complet, nous avons décidé de séparer les difficultés.

Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à mettre en œuvre l'estimateur d'erreur en relation de comportement proposé dans [13] pour les problèmes de contact avec frottement en statique, sous l'hypothèse des petites perturbations. Nous avons ensuite étendu cet estimateur au cas de problèmes formulés en vitesse afin de l'intégrer dans l'estimateur proposé dans [9], d'abord pour les problèmes d'impacts entre solides élastiques puis pour des problèmes d'impact présentant des comportements matériau non-linéaires, en grandes transformations.

2 Contrôle des problèmes d'impact

Comme toutes les mesures d'erreurs en relation de comportement, les différents estimateurs d'erreur proposés dans ce travail reposent sur une classification des équations du problème de référence en deux groupes :

- les équations de liaisons cinématiques, les conditions initiales, les équations d'équilibre, . . . qui constituent le groupe d'équations définissant les champs admissibles (déplacement, contrainte, quantité d'accélération, effort de contact) ;

- les équations décrivant le comportement : relation de comportement matériau, relation de comportement dynamique reliant la quantité d'accélération à la dérivée seconde du déplacement, relations traduisant le contact avec frottement de Coulomb.

Pour mettre en œuvre ces mesures d'erreur, la difficulté principale consiste à reconstruire des champs admissibles (c'est-à-dire qui vérifient le premier groupe d'équations) à partir des données et de la solution du problème numérique. Une part importante du travail réside donc dans la mise au point de techniques adaptées aux différents estimateurs proposés.

De ce point de vue, il faut souligner que pour les problèmes de contact avec ou sans frottement, une attention particulière doit être portée à la reconstruction des efforts et déplacements sur la zone de contact. En effet, de par la formulation même de l'estimateur d'erreur, le non respect de certaines inégalités sur ces grandeurs conduit à une erreur infinie, et par conséquent à un estimateur inconsistant.

La construction des champs de contrainte admissibles, que ce soit en statique ou en dynamique, s'appuient largement sur les méthodes développées depuis de nombreuses années au LMT Cachan.

Les simulations numériques ont été programmées et réalisées dans CASTEM 2000. Les estimateurs d'erreurs ont ensuite été intégrés au logiciel réalisé par J.-Ph. Combe au cours de sa thèse [9]. Nous avons ainsi pu réaliser les premiers tests d'estimation des erreurs de discrétisation pour des simulations d'impact réalistes.

La rédaction de ce document est divisée en cinq chapitres. Le premier chapitre présente une étude bibliographique des travaux concernant

les estimations d'erreur a posteriori et justifie le choix du concept d'erreur en relation de comportement comme cadre de notre étude.

Le second chapitre présente les travaux réalisés dans le cadre des problèmes de contact et frottement statiques, c'est-à-dire avec une loi de frottement formulée en déplacement, et sous l'hypothèse des petites perturbations. Le problème de réfé- rence associé au contact de deux solides élastiques est exposé et nous détaillons la démarche qui conduit à la formulation d'un estimateur d'erreur en relation de comportement. Puis nous présentons plusieurs méthodes de la littérature permettant d'obtenir une solution approchée du problème de référence. Nous proposons ensuite une méthode de construction de champs admissibles et mettons en œuvre la mesure d'erreur en relation de comportement pour différents algorithmes de calcul classiques. Nous montrons également comment le concept d'erreur en relation de comportement peut conduire à un indicateur d'erreur permettant d'apprécier la qualité de la résolution approchée du problème non-linéaire. Enfin, dans le cas particulier du contact sans frottement, nous montrons comment il est possible de distinguer, dans l'erreur globale estimée, la part de l'erreur due au contact, de celle due à la discrétisation. Nous montrerons finalement que cette «erreur de contact»


Introduction

est localisée près de la zone de contact. Dans le troisième chapitre, nous nous proposons de suivre une démarche similaire

pour des problèmes dits quasi-statiques, où la loi de frottement de Coulomb est désormais formulée en vitesse. Nous montrons comment, dans ce nouveau cadre, réécrire les relations de comportement du contact avec frottement et nous proposons ensuite un estimateur d'erreur en relation de comportement adapté. Après avoir exposé une démarche permettant d'obtenir une solution approchée du problème de référence, nous mettons en œuvre l'estimateur d'erreur sur deux exemples. La construction des champs admissibles s'inspire en grande partie des travaux présentés au premier chapitre.

Dans le quatrième chapitre, nous considérons un problème d'impact élastique sur socle rigide plan. Nous présentons l'estimateur d'erreur en relation de comportement adapté à ce type de problème. Les constructions de champs admissibles sont elles aussi détaillées. Nous montrons en particulier les spécificités liées à la présence de contact. Enfin l'estimateur d'erreur est mis en œuvre sur deux exemples. Un premier exemple unidimensionnel est étudié. L'intérêt d'un tel problème réside dans trois points :

- la solution exacte du problème de référence est connue ; - la zone de contact est réduite à un seul point, et n'évolue donc que dans le

temps ; - le comportement matériau est linéaire.

Sur cet exemple ID, nous montrons l'influence de paramètres tels que les discréti- sations spatiale et temporelle, . . .sur l'erreur commise. Nous définissons également des erreurs de référence qui représentent l'écart entre des solutions approchées et la solution exacte. Il est ainsi possible de calculer des indices d'efficacité permettant d'apprécier la qualité de l'estimation d'erreur. Le second exemple est bidimensionnel. Nous montrons l'influence de paramètres tels que les discrétisations spatiale et temporelle ou le coefficient de frottement.

Dans le cinquième chapitre, nous intégrons dans l'estimateur d'erreur proposé dans [9] un terme spécifique au contact issu des travaux exposés au chapitre pré- cédent. Nous montrons comment adapter les constructions de champs admissibles proposées au cas du contact avec frottement de Coulomb. Deux exemples d'impact en grandes déformations, avec un comportement matériau fortement non-linéaire issu de [9] sont présentés et étudiés.

La dernière partie de ce document est consacrée aux conclusions et évoque les perspectives à court et long terme qui peuvent être envisagées à la suite de ce travail.


Chapitre 1

Estimation d'erreur

Ce chapitre a pour objectif de faire le point sur les techniques de contrôle de la qualité d'une solution approchée obtenue par une méthode de type éléments finis. Nous dressons tout d'abord un bilan des trois principaux types d'estimateurs proposés pour les problèmes d'élasticité linéaire. En effet ces différentes techniques sont à l'origine des estimateurs proposés par la suite pour des problèmes plus complexes : dynamique, non-linéarités de comportement, ... Ensuite nous considérons des problèmes de contact unilatéral, en petites déformations, avec un comportement linéaire. Enfin nous nous intéressons au contrôle de la qualité de problèmes de dynamique.

Sommaire

1.1 Le calcul d'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cas des problèmes de statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Problèmes de statique linéaires 7 . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Problèmes de statique avec contact 11

1.3 Cas des probl&mes de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Dynamique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Cas de la dynamique non-linéaire et conclusion . . . . . . . . 18


1. Estimation d'erreur

Le calcul d'erreur

Afin de dimensionner une structure mécanique, on utilise généralement une série d'hypothèses simplificatrices. Tout d'abord la géométrie de la structure étudiée est modélisée. Ensuite ce sont les charges qui lui sont appliquées ainsi que ses liaisons avec l'environnement extérieur qui doivent être prises en compte. Enfin le comportement matériau de la structure doit également être modélisé.

Suivant les choix qui ont été faits à chacune de ces étapes, on obtient différents modèles mécaniques, plus ou moins représentatifs du problème réel initial.

Excepté dans des cas académiques, il est impossible de déterminer analytiquement la solution exacte de tels problèmes relevant de la mécanique des milieux continus.

Pratiquement, on remplace alors le modèle mécanique par un modèle approché, généralement basé sur une méthode éléments finis, dont on est capable de déterminer la solution, approximation plus ou moins correcte de la solution exacte.

Le principal objectif du calcul d'erreur est d'évaluer la qualité de la solution approchée d'un modèle numérique en tant qu'approximation de la solution du pro- blème continu de référence. La question de la représentativité de ce modèle vis à vis de la réalité n'est pas abordée ici. Cela fait l'objet d'autres types de travaux 1141,

Pl- Deux grandes méthodes d'évaluation de l'écart entre la solution approchée, dite

généralement solution éléments finis, et la solution exacte existent : - Les estimations d'erreur a priori, où l'évaluation de l'erreur commise dépend

implicitement de la solution exacte du modèle de référence :

où II II est une norme sur les champs de déplacement et E une fonction des données du problèmes (géométrie, chargement, . . . ), de la taille des éléments notée h, de la taille des pas de temps notés At, et de la solution exacte uex. Ce type d7estimateur permet de démontrer la convergence de la solution approchée vers la solution exacte.

- Les estimations d'erreur a posteriori faisant intervenir la solution approchée du problème de référence :

Ce sont ces dernières techniques qui nous intéressent ici.

1.2 Cas des problèmes de statique

De nombreux travaux de recherche ont porté sur le thème de l'estimation d'erreur a posteriori. Ils ont principalement concerné les problèmes de statique, sous l'hypothèse des petites déformations.

Aujourd'hui, on distingue principalement trois approches différentes d'estimation d'erreur :

- les méthodes basées sur le concept d'erreur en relation de comportement ini- tiées dans [l] en 1975 ;


1.2. Cas des problèmes de statique

- les méthodes utilisant les résidus des équations d'équilibre introduites dans [2] en 1978;

- les méthodes fondées sur un lissage des contraintes éléments finis présentées plus récemment dans [3].

On peut trouver dans [13] et [16] deux synthèses des différents estimateurs d'erreur exist ants.

1.2.1 Problèmes de statique linéaires

1.2.1.1 Erreur e n relation de comportement

Description de la méthode

Le concept d'erreur en relation de comportement repose sur la séparation des équations du problème de référence en deux groupes :

- les équations d'admissibilité comprenant les équations de liaisons et les équa- tions d'équilibre,

- la relation de comportement. On considère alors comme solution approchée du problème de référence un couple

SA^ = ( u ~ ~ ~ o ~ ~ ) vérifiant le premier groupe d'équations. Ce couple est dit admissible. Dans le cas où le couple SA^ = ( u ~ ~ , o ~ ~ ) vérifie le second groupe d'équations, à savoir la relation de comportement, il est la solution exacte du problème de réfé- rence. Dans le cas contraire, on estime la qualité de la solution admissible SA^ par une mesure du résidu sur cette relation de comportement :

Le point clef de cette méthode réside donc dans la construction de ce couple admissible SA^ à partir de la solution éléments finis (uhph).

En ce qui concerne le champ de déplacement cinématiquement admissible u c ~ , on peut choisir :

UCA = Uh

puisque uh est issu d'une formulation éléments finis en déplacement conforme, et qu'il vérifie par conséquent les équations de liaison, du moment que les déplacements imposés sont conformes aux éléments finis utilisés.

La construction du champ de contrainte statiquement admissible repose quant à elle sur les propriétés de la solution éléments finis. Elle se scinde en deux phases.

- on construit tout d'abord un jeu de densités d'efforts @ définies sur les arêtes des éléments du maillage et destinées à traduire la continuité du vecteur contrainte à la traversée des interfaces entre les éléments. Dans cet objectif, on définit sur chaque arête de l'élément E une fonction q~ valant f 1 et telle que sur l'arête commune à deux éléments E et E' on ait :

Ces densités sont telles que chaque élément est en équilibre:

Contrôle des problèmes d'impact

-- - -


où u, désigne tout champ de déplacement de solide rigide. Ces densités sont égales aux efforts imposés Fd sur les arêtes incluses dans &a. Le lien entre la solution éléments finis ~ - h et la solution admissible OSA se fait via la condition de prolongement :

où E désigne un élément quelconque du maillage et où les fonctions 4i sont les fonctions de formes éléments finis. Cette relation permet de plus de rendre locale la construction des densités @.

- Il est alors possible de construire analytiquement sur chaque élément un champ de contrainte OSA en équilibre avec les densités précédemment calculées et les charges volumiques imposées :

Dans le cas de problèmes linéaires, le concept d'erreur en relation de comportement a été mis en œuvre en élasticité bidimensionelle [17] et tridimensionelle [18], en thermique [19] et en élasticité incompressible [20].

Améliorations apportées

Une première modification des techniques présentées ci-dessous consiste à ré- soudre le problème local par élément (1.4) et (1.5)' non plus analytiquement, mais via une formulation éléments finis. En pratique la structure élémentaire E est maillée avec un élément de degré p + k, où p est le degré de l'élément dans la première analyse éléments finis, et où k est un entier positif. Des tests numériques ont permis de montrer que ce type de construction conduit à des estimateurs de meilleure qualité que les constructions analytiques, notamment lorsque les éléments du maillage sont distordus [21].

Une nouvelle méthode de construction des densités @ a été proposée dans [22]. Pour les noeuds internes aux arêtes des éléments, la construction des @ se fait comme

h

indiqué précédemment. Pour les nœuds sommets, les F sont calculés par minimisation de l'erreur en relation de comportement sur toute la structure ou seulement sur des groupes d'éléments. Cette méthode est plus coûteuse que la précédente mais associée à un calcul de OSA par une technique numérique p + k, elle conduit à des estimateurs d'erreur très performants, adaptés à l'estimation d'erreur locale [22], [211, [231.

Indicateurs basés sur les résidus d'équilibre

Babuska et Rheinboldt ont proposé en 1978 ce type d'estimateur [2], en faisant la constatation suivante. Le champ de contrainte éléments finis ne vérifie pas les équations d'équilibre, c'est à dire :



La qualité de la solution éléments finis est alors estimée en utilisant les résidus des équations d'équilibre intérieur (1.6) :

r h = divoh + fd SUI: E

et les résidus des équations d'équilibre bord (1.7) :

où I' représente successivement chacune des arêtes de dE non incluse dans alCl avec :

L'erreur en solution

est alors solution du problème :

e h E Uo et Vu* E Uo II ,,

Uo = u régulier /ulo1, = { 01 L'erreur vraie e h est donc solution d'un problème d'élasticité (1.11) où les données

en efforts sont les résidus d'équilibre. Les estimateurs d'erreur basés sur les résidus d'équilibre sont tous construits en

exploitant (1.1 1). On peut toutefois distinguer deux grandes familles d'estimateurs. Les estimateurs, dits explicites, exploitent directement (1.11) pour obtenir une

erreur globale et les contributions locales de chaque élément [24]:

wa1n

où hE est la taille de l'élément E. On a alors:

II e h 11116 Ce

où C est une constante indéterminée dépendant du problèm des éléments.

e mais pas de la taille

Les estimateurs, dits implicites, utilisent des approximations de la solution de (1.11) en résolvant des problèmes locaux par éléments, ou par paquets d'éléments [16], [25], en utilisant des éléments finis de degré plus élevé que ceux utilisés pour le calcul initial. Ces estimateurs implicites fournissent des résultats de bien meilleure qualité mais le coût de calcul est plus élevé.



1.2.1.2 Indicateurs bas& sur le lissage des contraintes

Ce type d'estimateur, proposé par Zienkiewicz et Zhu [3] en 1987 repose sur le fait qu'un des principaux défaut de la solution éléments finis est que le champ de contraintes ah est discontinu à la traversée des interfaces entre les éléments. L'idée maîtresse consiste à obtenir une régularisation D* du champ éléments finis oh. En postulant que le champ a* est une bonne approximation du champ solution ae,, on définit l'erreur comme étant l'écart entre le champ lissé a* et le champ éléments finis ah :

e =II a* - o h [ln (1.15)

Pratiquement, différentes techniques de lissage ont été proposées. - Le champ O* peut être construit sur la base des fonctions de forme éléments

finis : N

où les q5 représentent les fonctions de forme éléments finis, et où N représente le nombre d'éléments du maillage. Il est donc continu sur l'ensemble de la structure. Les valeurs des contraintes aux nœuds peuvent être obtenues en minimisant l'écart entre la contrainte lissée et la contrainte éléments finis par une technique des moindres carrés :

min T T [(a* - ah)^-' (a* - Dh)]da (1.16) 0;

Le minimum de cette fonctionnelle est atteint pour :

Le coût de résolution de ce système global peut être réduit en utilisant des méthodes itératives. Des constructions plus locales ont également été envisa- gées.

- Zienkiewicz et Zhu ont proposé une nouvelle version de cet estimateur d'erreur en 1992. La construction de la contrainte lissée a* repose alors sur une minimisation par groupe d'éléments ou "patches", limitant ainsi le caractère global. De plus, les contraintes lissées ne sont plus représentées sur une base éléments finis, mais sur une base polynomiale propre à chaque patch. Pratiquement, la base polynomiale est souvent de même degré que la base éléments finis. Comme précédemment, la contrainte lissée est obtenue en minimisant l'écart entre et la contrainte éléments finis par une technique des moindres carrés :

min ~ r [ ( a * - %)K-' (a* - m)] Patch

PE

où les PE représentent des points d'échantillonnage définis sur le patch consi- déré. En pratique il est délicat de choisir ces points d'échantillonnage. Dans le cas unidimensionnel, on utilise les points de superconvergence de la solution éléments finis. Mais dans le cas général, leur existence n'est plus établie. On choisit alors généralement les point de Gauss.



Différentes variantes et améliorations ont été proposées dans [26], [27], entre autres.

1.2.2 Problèmes de statique avec contact

Pour ce type de problèmes, peu de travaux existent. Généralement les auteurs ont cherché à étendre les estimateurs proposés dans le cas de la statique linéaire aux problèmes de contact avec ou sans frottement, en y ajoutant un terme spécifiquement adapté au contrôle du contact.

1.2.2.1 Erreur en relation d e comportement

Le concept d'erreur en relation de comportement a permis de bâtir un estimateur d'erreur pour les problèmes de contact sans frottement dans le cas d'un solide en contact sur un socle rigide [Il] ou dans le cas du contact entre deux solides élastiques [12]. L'estimateur proposé contient deux termes :

- un terme intérieur au domaine IR mesurant l'erreur en relation de comportement élastique identique à ce qui a été proposé pour l'élasticité linéaire,

- un terme supplémentaire, défini sur la zone de contact et faisant intervenir des potentiels convexes.

Des techniques de construction de champs admissibles adaptées à ce type de problème ont été mises en œuvre, et ce pour différents types de discrétisation de la condition de non-pénétration. Le cas des maillages incompatibles a également été abordé [12] et une application au remaillage a été proposée.

1.2.2.2 Estimateur basé sur les résidus d'équilibre

Les estimateurs d'erreur basés sur les résidus d'équilibre ont également été éten- dus au cas du contact [28].

Les auteurs de ces travaux proposent de contrôler des problèmes où la loi de contact est pénalisée. Une raideur de peau e est donc introduite et permet de lier linéairement les efforts de contact à l'interpénétration des deux corps.

Comparé à (1.10)' l'erreur en solution que l'on cherche à estimer est donc :

où E désigne le paramètre de pénalisation, et où UE%,+ désigne la solution exacte du problème pénalisé.

La mesure d'erreur proposée dans le cas du contact est alors:

où c7(u,v) est défini comme suit dans le cas d'un solide en contact avec un socle rigide de normale n, :

c-(ll,v)= & < U n > - v n d r J, (1.21)

et représente le travail des forces de contact E < un >- dans le déplacement normal Un. On a noté un = a n , .



On a alors, de façon analogue à (1.14) :

< CO 7 -

avec :

La constante C demeure indépendante de la taille des éléments hE. Cet estimateur d'erreur conduisant à une mesure de l'écart entre la solution

éléments finis et la solution exacte du problème pénalisé, et non pas la solution exacte du problème initial, les auteurs font usage d'un résultat de [29] pour définir un paramètre de pénalisation E* conduisant à un taux de convergence optimal de l'algorithme de calcul.

Ces travaux ont été étendus au cas du frottement [IO], et dans le cas de grandes déformations élastiques [30].

En conclusion, il apparaît que cet estimateur ne répond pas au problème que nous nous posons, en statique. En effet, il mesure une erreur entre la solution exacte d'un problème de référence où la loi de contact est déjà pénalisée, et une solution approchée de ce problème.

1.2.2.3 Estimateur basé sur le lissage des contraintes

Dans [31], ou plus récemment dans [32], les auteurs montrent qu'il est possible d'étendre les estimateurs basés sur le lissage des contraintes aux problèmes de contact sans frottement.

La procédure de lissage des contraintes nécessite certaines précautions particu- lières au voisinage de l'interface de contact.

En effet, la pression de contact, c'est à dire nconc ne doit pas subir de saut à la traversée de l'interface de contact îc. De plus on doit s'assurer que les efforts tangentiels, tCunc, sont nuls dans le cas de contact sans frottement.

Ces contraintes doivent alors être utilisées dans la procédure de lissage afin de considérer implicitement les conditions de contact.

La notion de patches introduite au paragraphe 1.2.1.2 est conservée afin de minimiser le coût de la méthode, mais adaptée afin de prendre en compte la spécificité du problème. Pour chaque nœud i de la zone de contact, on définit, comme indiqué sur la figure 1.1 :

- un patch dit « standard » contenant tous les éléments connectés au nœud i, - une « extension » de ce patch contenant tous les éléments connectés au noeud

j le plus proche du nœud i et appartenant à l'autre solide. Ensuite, la minimisation au sens des moindres carrés de l'écart entre le champ de

contraintes éléments finis, non-régulier, et le champ de contraintes lissé, polynomial


1.3. Cas des problèmes de dynamique

Extension du patch

Figure 1.1 - Définition d'un patch standard et de son extension

par patch, est effectuée sous les contraintes de vérification des conditions spécifiques au contact.

La prise en compte des conditions sur rC se fait par exemple par une méthode de pénalisation.

Ce type d'estimateur a été comparé à celui basé sur les résidus d'équilibre pré- senté au paragraphe précédent dans [31]. Les auteurs considèrent un exemple de remaillage et étudient l'évolution, en fonction du nombre d'éléments, de la pression de contact en un point précis où la valeur théorique est connue. Il apparaît alors que seul l'estimateur basé sur les résidus d'équilibre conduit à une pression de contact convergeant correctement vers la valeur théorique lorsque le maillage est raffiné.

De plus, on peut de nouveau remarquer que ce type d'estimateur ne tient pas compte des éventuelles interpénétrations entre les solides.

Une autre méthode consiste à lisser le champ de contrainte sans tenir compte des spécificités liées au contact, et à ajouter un terme à l'erreur donnée par (1.15) :

où Fn est le vecteur contrainte projeté sur la normale de contact et où Fhp sont les efforts de contact issus du calcul éléments finis.

Dans (1.25)' apparaît également de nouveau le paramètre de pénalisation E , ce qui signifie que cette dernière technique est de nouveau associée à un problème de référence où la loi de contact est pénalisée.

1.3 Cas des problèmes de dynamique

1.3.1 Dynamique linéaire

Le problème de référence à traiter est le suivant :



Trouver le couple ( u p ) défini sur R x [O,T] et vérifiant : - Les équations de liaison

- Les équations d'équilibre

- La relation de comportement

Dans ce problème, et dans les chapitres suivants, Ut désigne l'espace dans le- quel les champs de déplacement sont recherchés et U [ O ~ ~ ] désigne Ut étendu à tout l'intervalle d'étude.

1.3.1.1 Erreur en relation de comportement au sens de Drucker

Un premier estimateur d'erreur en relation de comportement pour les problèmes de dynamique lente et linéaire a été mise en œuvre dans [7]. Toutefois, les constructions des champs admissibles proposées, et plus particulièrement les techniques d'interpolation en temps des champs conduisent, sur des problèmes simples discrétisés par un schéma de Newmark, à un estimateur d'erreur en relation de comportement évoluant en O(At), alors que, pour un choix judicieux des paramètres de la mé- thode de Newmark, il est établi que l'erreur de discrétisation évolue en O(At2). Cette constatation a conduit à l'élaboration d'un nouvel estimateur d'erreur et à de nouvelles techniques d'interpolation en temps des champs admissibles dans [33], [34], pour des problèmes de dynamique rapide linéaire. La mesure d'erreur introduite exploite des formulations fonctionnelles des relations de comportement.

La première étape consiste donc à réécrire le problème de référence décrit précé- demment en introduisant une nouvelle inconnue, la quantité d'accélération I' :



Trouver le triplet (u,m,r) défini sur R x [O,T] et vérifiant : - Les équations de liaison

- Les équations d'équilibre

Vu* E Uh = {u E Ut 1 u ~ ~ ~ , = O}

- La relation de comportement

Le lien entre la quantité d'accélération I' et la dérivée seconde du champ de déplacement est alors vue comme une nouvelle relation de comportement (1.38).

La mesure d'erreur au sens de Drucker repose sur l'inégalité de stabilité de Dru- cker [35]. Soient deux couples déformation-contrainte ( ~ p ) et @,ai) vérifiant une relation de comportement matériau sur l'intervalle [O,T] (cette dernière étant définie par une fonctionnelle A) :

et nuls à l'instant initial :

La relation de comportement matériau est dite stable au sens de Drucker si:

Si de plus :

alors la relation de comportement matériau est dite strictement stable au sens de Drucker. De nombreuses relations de comportement matériau de type plastique, ou viscoplastique vérifient cette propriété de stabilité.

Plus récemment, une condition de stabilité du même type a été introduite pour les relations de comportement liant la quantité d'accélération au déplacement (par



exemple (1.38)) [13]. Soient deux couples (r,u) et @,fi) vérifiant une relation de comportement dynamique générale, a étant un opérateur donné:

et les conditions initiales :

On dit alors que la relation de comportement dynamique considérée est stable si :

V(r,u) et v ( ~ , G ) vérifiant (1.44) et (1.45) on a : t 1 vt t [O,TI, JI (r - P).(u - t )d r 2 - 61; 2

(1.46)

Alors, si la relation de comportement matériau est stable au sens de Drucker, et si la relation de comportement dynamique vérifie (1.46)' les relations de comportement sont dites stables au sens de Drucker et la solution du problème de référence est unique.

En particulier, les relations de comportement dynamique (1.38), où a = O et élastique (1.37) introduites ici étant naturellement stables au sens de Drucker, le problème de dynamique considéré admet une solution unique.

On considère alors une solution admissible SA^ = ( u ~ ~ ~ o ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) vérifiant : - les équations de liaison (1.32) à (1.35) - les équations d'équilibre (1.36) On introduit également des quantités additionnelles, images des quantités admis-

sibles via les relations de comportement Pour tout t € [O,T], on pose alors :

Le paramètre y permet de donner plus ou moins d'importance à un terme selon le degré de confiance qui lui est accordé. On définit enfin l'erreur en relation de comportement sur l'ensemble de l'intervalle d'étude par :

OU encore :

Puisque les d a :

eux relations de comportement sont stables au sens de Drucker on



On en déduit que : e R d C = O @ ~ A d = ~ a

Pour ce type d'estimateur, la construction de champs admissibles se scinde en trois étapes :

- construction de champs cinématiquement admissibles sur tout l'intervalle d'étude [O,Tl;

- construction de champs dynarniquement admissibles à chaque piquet de temps de la discrétisation temporelle ;

- interpolation linéaire sur le temps des quantités dynamiquement admissibles.

1.3.1.2 Estimateur d'erreur basé sur les résidus d'équilibre

Le concept d'estimateur d'erreur basé sur les résidus d'équilibre a également permis de bâtir des indicateurs d'erreur pour le problème de référence en dynamique linéaire en utilisant le concept d'état adjoint introduit par Eriksson dans [36].

Ces techniques ont été initialement proposées pour des calculs réalisés à l'aide de méthodes types Galerkin discontinues, et n'ont, semble-t'il, pas été étendues depuis à des schémas d'intégration classiques.

Ces techniques ont également été mises en œuvre dans [37].

1.3.1.3 Estimateur d'erreur basé sur le lissage des contraintes

Ce concept a également été étendu au cas de problèmes d'élastodynamique, sous l'hypothèse des petites perturbations.

L'idée maîtresse dans [38] est de construire des couples de champs vitesse-contrainte par des techniques de lissage en espace et d'interpolation en temps.

En pratique, l'erreur estimée sur le pas de temps se scinde en une erreur due à la discrétisation spatiale, et une erreur due à la discrétisation temporelle :

avec :

où :

- O!+, désigne un champ éléments finis directement issu du schéma d'intégration en temps, au piquet ti+i ;



- eL$ désigne un champ interpolé en temps, à l'instant tii1 ; - e:+, désigne le champ e:;l post-traité par une technique de lissage en espace.

L'obtention d'une erreur globale sur tout l'intervalle d'étude est problématique. Les auteurs proposent de sommer directement les erreurs e i + ~ .

1.3.2 Cas de la dynamique non-linéaire et conclusion

Dans [9], un estimateur d'erreur en relation de comportement a été proposé pour les problèmes de dynamique rapide, avec prise en compte des grandes transformations, et d'un comportement matériau fortement non-linéaire, adapté aux problèmes d'impact.

Plusieurs points nous ont conduits à nous placer dans le cadre de l'erreur en relation de comportement pour la suite de notre étude :

- tout d'abord, le concept d'erreur en relation de comportement propose une démarche systématique d'estimation d'erreur aussi bien pour les problèmes de dynamique que pour les problèmes de contact; en particulier les estimateurs construits permettent de prendre en compte toutes les sources d'erreur (discrétisation spatiale, temporelle, algorithmes. . . ) et ne se limitent pas à un problème de contact traité par pénalisation ;

- de plus les travaux proposés dans [9] constituent une base solide à ce que nous envisageons ; en effet, ils constituent un première expérience très intéressante des problèmes de dynamique rapide qui nous concernent dans ce travail.


Chapitre 2

Contrôle des problèmes avec contact et frottement en statique

Dans ce chapitre, nous considérons un problème de contact avec frottement de Coulomb, en statique, sous l'hypothèse des petites perturbations. Le comportement matériau est élastique. Après avoir montré comment modéliser le contact avec frottement entre deux solides, et avoir introduit la notion de bipotentiel, nous écrivons le problème de référence. Puis nous définissons les champs admissibles et la mesure d'erreur en relation de comportement qui leur est associée. Afin de mettre en œuvre l'estimateur d'erreur proposé, nous considérons plusieurs méthodes permettant d'obtenir une solution approchée du pro- blème de référence et présentons les constructions de champs admissibles en insistant sur les spécificités liées au contact. Des exemples d'utilisation de notre mesure d'erreur sont proposés. Sa mise en œuvre est réalisée sur plusieurs types d'algorithmes de réso- lution du problème de contact avec frotttement. La mise en place d'un estimateur d'erreur permet d'étudier l'influence de différents paramètres sur la convergence des algorithmes utilisés. Nous mettons aussi en évi- dence que, lorsque la qualité de la solution approchée obtenue est jugée insuffisante, le seul raffinement du maillage ne conduit pas nécessaire- ment à une diminution de l'erreur de discrétisation. La construction d'un indicateur d'erreur "en itération", lui aussi basé sur le concept d'erreur en relation de comportement, permet d'analyser les raisons de ce type de résultat en séparant dans l'erreur globale la part due à l'algorithme uti- lisé pour résoudre le problème non linéaire de celle due uniquement à la discrétisation spatiale. Dans le cas de problème de contact sans frottement, une technique pour identifier la part de l'erreur globale due au traitement numérique des conditions de contact est proposée. Enfin, le cas de maillages incompatibles au contact est discuté.


Sommaire

. . . . . . . . . . 2.1 Modélisation du contact entre deux solides 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Notations 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Modélisation du contact 21 . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formulation du probl&me de référence 22

. . . . . . . . . . . . . . 2.3 Erreur en relation de comportement 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Champs admissibles 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Estimateur 23 . . . . . . . . . . . 2.3.3 Cas particulier du contact sans frottement 24

2.4 Stratégies de résolution numerique pour le probl6me de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . référence 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Formulation variationnelle 26 . . . . . 2.4.2 Multiplicateurs de Lagrange et méthode de point fixe 27 . . . . 2.4.3 Méthode de pénalisation et lois de frottement adoucies 29

2.4.4 Utilisation de la « LATIN method >> et du logiciel COFAST . . 32 . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur 33

2.5.1 Construction des champs de déplacement admissibles . . . . . 34 2.5.2 Construction de densités d'effort admissibles sur la zone de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . contact 35 2.5.3 Construction des champs de contrainte admissibles . . . . . . 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exemples 39 . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Premier exemple de mise en œuvre 39

2.6.2 Étude et comparaison sur un cas test des différents algorithmes 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Indicateur d'erreur en itération 48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Définition et propriétés 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Mise en œuvre 50

. . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Lien avec l'adaptation de maillage 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Estimation de l'erreur de contact 54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Cadre de l'étude et objectifs 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Principe de la méthode 54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Indices d'efficacité 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Implémentation 57

. . . . . . . . . 2.9 Extension au cas des maillages incompatibles 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Travauxexistants 60

. . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Traitement numérique du contact 61 . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Traitement numérique du frottement 64 . . . . . . . . . . . . . . 2.9.4 Construction de champs admissibles 64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.5 Remaillage 66


2.1. Modélisation du contact entre deux solides

Figure 2.1 - Notations

2.1 Modélisation du contact entre deux solides

2.1.1 Notations

On considère ici le problème de deux solides élastiques R1 et R2 en contact unilatéral sur une interface ïC (figure 2.1). On supposera que le contact est du type frottement sec (loi de Coulomb). La partie d o 1 - îc de la frontière de chaque solide est supposée composée d'une partie dlR1 où le champ de déplacement est imposé et une partie d2R1 où les efforts appliqués Fi sont donnés. En outre, sur chaque solide est appliquée une densité volumique de force fi donnée. On note K1 l'opérateur de Hooke associé au solide R6.

2.1.2 Modélisation du contact

Afin de faciliter la définition d'une erreur en relation de comportement, il est utile de considérer l'interface rC comme une entité mécanique à part entière. Elle assure la transmission des déplacements et des efforts de part et d'autre de îc et elle est munie de sa propre relation de comportement. Orientons rC par le choix du vecteur normal unité, par exemple: nC = nl. Introduisons sur l'interface les grandeurs mécaniques wl, w2, F1, F2 et FC représentant deux champs de déplacement (déplacements de part et d'autre de l'interface), deux champs de densité surfacique de force (efforts transmis à R1 et à R2) et un champ de densité surfacique de force <( intérieur » FC définis sur rC. L'équilibre de l'interface se traduira par :

Introduisons le saut de déplacement qui, pour l'interface, joue un rôle analogue à une déformation :

W C = w 2 - w 1


2. Contrôle des problèmes avec contact et frottement en statique

Pour tout vecteur v, posons:

Dans le cas statique, la relation de comportement de type frottement sec peut être formulée en force-déplacement de la façon suivante [39] :

où p désigne le coefficient de frottement.

Utilisons la démarche proposée par De Saxcé dans [40] et introduisons la fonction :

où X B et x q P ) sont les fonctions indicatrices des convexes :

On peut trouver dans [40] la démonstration détaillée des propriétés de b et notamment que b(v,F) est un bipotentiel, c'est-à-dire que:

- pour v fixé, b(v,F) est convexe en F,

- pour F fixé, b(v,F) est convexe en v,

- pour tout v et pour tout F:

- La relation de comportement (2.1) est équivalente à la condition :

2.2 Formulation du problème de référence

Le problème du contact unilatéral peut alors être formulé de la façon suivante:


2.3. Erreur en relation de comportement

Trouver (ul,ol) défini sur R1, (u2 ,d) défini sur R2 et (w1,w2,FC,F1,F2) défini sur ïC vérifiant :

- les liaisons cinématiques :

- les équations d'équilibre: Vu* nul sur &R' et pour 1 = (1,2) :

- les relations de comportement :

dans les solides R< O' = K%(uZ)

sur l'interface rC, b(-wc,Fc) + wc.Fc = O

2.3 Erreur en relation de comportement

2.3.1 Champs admissibles

La démarche de l'erreur en relation de comportement repose sur le partitionne- ment des équations précédentes en deux groupes :

- les conditions d'admissibilité (équations (2.3)' (2.4), (2.5) et (2.6)), - les relations de comportement (équations (2.7) et (2.8)). On est alors conduit à introduire la définition suivante :

Définition : Admissibilité classique On dit que les champs :

sont admissibles s'ils vérifient les équations d'admissibilité (2.3)' (2.4), (2.5) et (2.6).

2.3.2 Estimateur

On peut alors définir une mesure d'erreur en relation de comportement par :

Compte tenu des propriétés du bipotentiel, cette mesure d'erreur eRdC(sAd) est nulle si et seulement si SA^ vérifie les relations de comportement (2.7) et (2.8), c'est- à-dire si et seulement si s ~ d est solution du problème de référence. A cette erreur



absolue eRdC(sAd), on associe une erreur relative :

avec : 2 P

REMARQUE. - L'expression (2.10) fait intervenir le bipotentiel b(-aic,@') et donc .. les fonctions indicatrices xB(-WC) et x ~ ( ~ ) ( F ~ ) . La mesure d'erreur eLC(sAd) peut donc être infinie. Pour cette raison, on introduit une nouvelle notion d'admissibilité : Dbfinition : Admissibilité stricte On dit que les champs

sont admissibles au sens strict du terme s'ils vérifient les équations d'admissibilité (2.3)' (2.4)' (2.5) et (2.6) ainsi que:

Ainsi, si l'on utilise les champs SAd, la mesure d'erreur reste finie. En pratique, ce sont donc les champs SAd qu'il nous faudra reconstruire.

2.3.3 Cas particulier du contact sans frottement

Dans le cas du non-frottement : p = O, le bipotentiel devient :

avec C(0) = {FIF, 2 O et Ft = 0). On retrouve dans ce cas une formulation plus classique de la relation de com-

portement (2.8) à l'aide d'un couple de potentiels conjugués et l'inégalité (2.2) est alors la classique inégalité de Legendre-Fenchel. On retrouve donc la mesure d'erreur introduite dans [Il] dans le cas du non-frottement :

La présence du coefficient 2 devant l'intégrale sur rC permet, dans le cas du non-frottement, et pour des champs strictement admissibles, d'établir un lien entre l'erreur en relation de comportement et les erreurs en solution [Il]. Ce lien peut être vu comme un extension du théorème de Prager-Synge.



où la solution exacte du problème est notée (ul,d,wc,Fc). Démonstration On a, pour 1 = (1,2) :

Puisque 2 et d vérifient l'équilibre (2.5) et que û1 et u1 vérifient les équations de liaison (2.3) et (2.4)' on peut écrire :

Alors :

En utilisant l'équation d'équilibre de l'interface (2.6)' on obtient :

En tenant compte du fait que les champs ZAd vérifient également les conditions supplémen- taires (2.13)' il vient :

ce qui démontre la propriété (2.15). O

La relation (2.15) définit un lien entre l'erreur estimée et d'une part les deux erreurs en solution classiques :

et d'autre part une erreur bord, que nous appellerons erreur de contact de référence :

Contrôle des problèmes d'impact 2 5


Il est important de noter que le terme 2 + Fl@i)ds est toujours positif

puisque les champs strictement admissibles (WC,FC) et les champs exacts (wc,FC) vérifient :

REMARQUE. - La démarche proposée dans ce paragraphe, et en particulier la mise en évidence d'erreurs de référence n'a pas pu être étendue au cas du frottement de Coulomb.

2.4 Stratégies de résolution numérique pour le pro- blème de référence

2.4.1 Formulation variationnelle

Le problème de contact unilatéral avec frottement peut être formulé à l'aide d'une inéquation variationnelle 1391, [41] :

Trouver le champ de déplacement u tel que :

U E U = { U E [ ~ ' ( n ) ] / U = U ~ sur alCl et - U E B)

et, pour tout v E U :

Par rapport à un problème d'élasticité linéaire, l'introduction du contact et du frottement dans le problème de référence transforme l'équation variationnelle classique

a(u,v) = L(v) V v E U

en une inéquation variationnelle, comportant un terme non-différentiable J(u ,v) dû au frottement.

L'apparition de l'inéquation est due à l'élimination des efforts de contact inconnus.


2.4. Stratégies de résolution numérique pour le problème de référence

Nous présentons au paragraphe suivant trois méthodes permettant de résoudre cette inéquation variationnelle de façon approchée.

REMARQUE. - La question de l'existence et de l'unicité des solutions pour les pro- blèmes de contact avec frottement est encore d'actualité. Nous citons ici quelques résultats.

Le problème de Signorini, c'est-à-dire le problème de contact sans frottement (avec J(u,v) = O) admet une solution unique. La démonstration de ce résultat peut être trouvée dans [42].

Le problème de contact avec frottement de type Tresca, où le seuil de glissement est fixé, admet lui aussi une solution unique [39].

Par contre, dans le cas d'un problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb, seule la condition de frottement faible permet d'obtenir certains résultats. Dans le cas d'une régularisation des lois de contact et de frottement (lois de com- pliance), il y a existence de la solution et unicité si le coefficient de frottement est suffisamment faible [43], [44]. Enfin pour le problème discrétisé par éléments finis triangulaires linéaires, il y a existence, et unicité si le coefficient de frottement est encore une fois inférieur à une valeur critique dépendant de la taille des éléments Pl, [461, P l .

Finalement, on peut donc retenir que la solution du problème de contact unila- téral avec frottement de Coulomb est unique lorsque le frottement est faible. Mal- heureusement, il n'est pas possible d'expliciter les valeurs critiques du coefficient de frottement. Pour des systèmes à quelques degrés de liberté, des solutions multiples ont été construites dans [48]. Cette perte d'unicité lorsque le coefficient de frottement n'est pas << petit >> peut conduire à des problèmes de convergence des algorithmes utilisés. Cela favorise l'apparition de solution non-régulières telles que stick-slip, crissement. .. [49].

2.4.2 Multiplicateurs de Lagrange et méthode de point fixe

Cette méthode est inspirée de [41].

2.4.2.1 Algorithme

Dans son principe, cette méthode peut être décrite de la façon suivante:

- initialisation: choix d'une fonction go, définie sur ï c qui représente un seuil limite de glissement-adhérence,

- itération courante: résolution d'un problème de contact unilatéral de type Tresca pour un seuil gk fixé :



Trouver uk+l E U tel que, pour tout v E U :

avec :

ce qui correspond à une relation de comportement sur la zone rC de contact de la

Ce problème de Tresca est équivalent à celui de minimisation sous contraintes convexes :

1 min [-a(u,u) + J?(gk,u) - ~ ( u ) ] uEU 2

La résolution s'effectue comme pour un problème de contact unilatéral sans frottement en introduisant, par exemple, des multiplicateurs de Lagrange. La nouvelle fonction seuil glissement-adhérence gk+l est alors définie de la façon suivante :

c,k+l - si en M E rC: w:"' = O et II Ft II< p 1 Fzk+l 1 alors:

c,k+l - si en M E rc : w:'*+' = O et II F, II> p 1 F:*+' 1 , ou si w:~" # O alors:

On stoppe les itérations lorsque gk+l est suffisamment proche de gk

2.4.2.2 ProblGme discrétisé

En pratique, le problème précédent est résolu de façon approchée par une mé- thode d'éléments finis en déplacement. Les champs de déplacement sont donc re- cherchés de la forme :

N

où les N:(M) sont les fonctions de forme de la discrétisation éléments finis et les uf (M) les déplacements aux nœuds.

Les éléments finis utilisés sont des triangles à trois nœuds et lorsque l'on traite le contact entre deux solides élastiques, nous supposons pour l'instant, pour simplifier, que les maillages utilisés sont compatibles. Pour un nœud k situé sur r C , on a donc :


2.4. Straténies de résolution numérique pour le problème de référence

Ces restrictions à rC des fonctions de base seront donc simplement notées N k . Pour le cas de maillages incompatibles, on pourra se reporter à [12] et au paragraphe 2.9.

La condition de non-pénétration wn 2 0, qui constitue la contrainte d'optimisation du problème (2 .17) peut être discrétisée de différentes façons [50] :

- traitement local en chaque nœud de rc : Notons {1 ,2 , . . . ,pl les noeuds situés sur rc. La condition -wc E B est traduite sur le champ éléments finis en chaque nœud k de rc par :

Numériquement, la condition (2.18) est traitée à l'aide de multiplicateurs de Lagrange Ah(,%) qui représentent une discrétisation de F," sur P. Ces multiplicateurs vérifient :

[McAh]k 2 O

où l'on a posé : Ah = [ A h ( l ) Ah(2) Ah(p)lT

- traitement par une condition globale en moyenne sur rC : Dans ce cas, la condition -wC E B est traduite sur le champ éléments finis par :

(2 .19)

pour toute fonction de base N k associée à un nœud de P. Numériquement, la condition (2 .19) est aussi traitée par des multiplicateurs de Lagrange A h ( k ) représentant une discrétisation de F," sur rC et ils vérifient, pour tout nœud k de rc:

Ah@) 2 0

Par contre, ici, wn vérifie seulement :

La solution numérique peut donc correspondre à une légère interpénétration sur rc.

Pour plus de détails, on pourra se reporter, par exemple, à [12] et à [50] .

2.4.3 Méthode de pénalisation et lois de frottement adoucies

La méthode de pénalisation consiste à modifier la loi de contact, de sorte que l'effort normal soit connu explicitement en fonction du déplacement normal là où il y a effectivement contact. Pour cela il suffit par exemple de se donner une relation linéaire entre l'effort normal de contact et le déplacement normal. La loi de contact pénalisée est donnée sur la figure 2.3. Physiquement cela revient donc à placer des



Calcul avec appuis

Calcul du déplacement normal relatif sur rc

+ Détermination de la

nouvelle zone de contact en fonction du signe du

déplacement normal relatif

4 Calcul des efforts tangentiels sur rC

+ non Convergence?

I oui

Fin du calcul

Figure 2.2 - Algorithme de calcul par pénalisation

Figure 2.3 - Loi de contact pénalisée


2.4. Stratégies de résolution numérique pour le problème de référence

Figure 2.4 - Loi de frottement de Norton-Ho8

ressorts de raideur Ic, sur la zone de contact effective. Puisque l'on ne connaît pas à priori cette zone, il sera nécessaire d'itérer selon l'algorithme défini sur la figure 2.2.

Cette méthode autorise une pénétration sur la zone de contact qui dépend directement de la valeur de la raideur des ressorts (paramètre de pénalisation kn) . Toutefois, elle a l'avantage d'être très simple à mettre en œuvre, et c'est ce qui en fait un méthode très utilisée.

Quant au frottement, on cherche pour simplifier le problème à lier de façon biunivoque l'effort tangentiel au déplacement tangentiel. Voici deux possibilités :

- Loi de Norton-Hoff La loi de frottement de Norton-Hoff représentée sur la figure 2.4 permet cela. Elle s'écrit :

Ff = -pIFll.

- Loi de Coulomb à glissement élastique Il est également possible de modifier la loi de Coulomb comme indiqué sur la figure 2.5. On introduit alors un glissement élastique dans la zone d'adhérence. Plus le coefficient kt est grand, plus l'on se rapproche de la loi de Coulomb. Ce paramètre est en pratique difficile à régler.

Dans ces deux cas l'inéquation variationnelle initiale se ramène à une équation variationnelle classique où les efforts de contact sont explicites et linéaires en fonction du déplacement. Des itérations sont toutefois nécessaires pour déterminer la zone de contact effective, les zones de glissement et les zones d'adhérence.

Les seules inconnues étant les déplacements, une formulation éléments finis en déplacement permet donc d'obtenir une solution approchée du problème de réfé- rence.



Figure 2.5 - Loi de frottement à glissement élastique

2.4.4 Utilisation de la « LATIN method » et du logiciel CO- FAST

Cette troisième méthode de résolution est issue des approches à grands incré- ments de temps développées au LMT Cachan [51], [52].

2.4.4.1 Principes de la méthode

Comme nous l'avons vu lors de la construction de l'estimateur d'erreur, l'interface rEE' entre deux sous-structures flE et ClE' est vue comme un entité mécanique à part entière. Cette entité mécanique possède donc sa propre relation de comportement. Ce peut être :

- une interface parfaite ; - une interface endommageable ; - une interface de contact ; - ...

En particulier, les inconnues liées à une int vérifier les conditions (2.1).

erface de contact ec frottement doivent

De plus chaque sous-structure doit posséder un déplacement noté {qEE') sur le bord en vis à vis de l'interface rEE', et doit être en équilibre avec les efforts {fEE')

imposés par tous ses voisins. Pratiquement, une solution satisfaisant successivement à ces deux groupes d'équa-

tions est successivement construite par l'algorithme lors des deux étapes qui constituent une itération :

- l'étape locale consiste, connaissant une solution approchée ({qEE'),{ f EE'))

satisfaisant au comportement des sous-structures, à construire une solution E TEE approchée ({q ),{f '1) satisfaisant au comportement des interfaces. Pour

ce faire, une direction de recherche est nécessaire. Elle est choisie de la forme :

({PEI - fEE'}) + [kEE']({pE' - qEE'}) = {O)


2.5. Mise en oeuvre de la mesure d'erreur

%E' - l'étape linéaire consiste, connaissant une solution approchée ({TE'),{ f )) à construire ({qEE'),{ f EE')) satisfaisant au comportement des sous-structures. Une direction de recherche conjuguée de la précedente est utilisée :

Associée aux conditions d'équilibre et aux conditions aux limites exposées pré- cédemment, elle conduit à la résolution d'un problème local par sous-structure.

La convergence de l'algorithme est assurée dès lors que les [kEE'] sont définies strictement positives. Ce sont les paramètres de la méthode. Couramment, on prend :

E [kEE'] = kEE'[~d] avec kEE' = -

L

où E est le module d'Young de la structure et L une dimension caractéristique.

2.4.4.2 Représentation des fonctions qEE' et f EE'

Dans le cas de maillages compatibles de part et d'autre d'une interface, le maillage d'une interface est le même que celui des bords des sous-structures en liaison. Les champs FE' et qEE' sont donc discrétisés sur ce maillage à l'aide de la représentation éléments finis classique.

Les champs d'effort fEE' peuvent quant à eux être représentés de plusieurs ma- nières :

- par un vecteur forces généralisées ; - par un véritable champ éléments finis calculé à partir de la contrainte éléments

finis dans les sous-structures en liaison, discontinu entre les éléments d'une interface ;

- de la même manière que le champ de déplacement qEE'.

En pratique, c'est cette dernière solution qui a été choisie dans COFAST. Les champs fEE' sont donc des densités d'effort de contact continues par interface.

2.5 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur

La solution approchée du problème de référence obtenue par la méthode décrite à la section précédente n'est pas, en général, admissible au sens de la définition (2.12). Pour mettre en œuvre l'erreur en relation de comportement (2.10) (ou (2.11)), il est donc nécessaire de reconstruire à partir de la solution approchée une solution admissible :

AI AI-2-2 -1 -2 - - - SA^ = (U ,O ,U ,W ,W , F ~ , F ~ , F ~ )

Par rapport aux techniques de construction de champs admissibles développées en élasticité linéaire [17], la seule différence est qu'il faut construire, en plus des

-1 -2 - - - champs (û17S17Û2,132), des champs (w ,w ,Fc,F1,F2) de sorte que :



sinon, le bipotentiel b(-aic,@) devient infini et, dans ces conditions, la mesure d'erreur eRdC(sAd) est inconsistante. La construction des champs admissibles peut être scindée en trois phases.

- Nous construisons tout d'abord des champs de déplacement cinématiquement admissibles au sens strict du terme qui vérifient donc les équations de liaison (2.3) et (2.4) ainsi que la condition supplémentaire (2.20).

- Nous construisons ensuite des champs d'efforts de contact statiquement admissibles vérifiant l'équation d'équilibre (2.6) et les conditions supplémentaires (2.21) et (2.22).

- Enfin, à partir de champs de contrainte éléments finis en équilibre faible avec les efforts de contact st atiquement admissibles précédemment construits, nous construisons les champs de contrainte statiquement admissibles vérifiant (2.5), et ce en nous basant sur les techniques développées en élasticité linéaire.

Les techniques utilisées pour respecter les contraintes (2.20) et (2.21) sont dé- crites en détail dans [12] dans le cas du non-frottement. Dans le cas du frottement, il est nécessaire de compléter ces techniques afin de respecter aussi la contrainte (2.22). Les grandes lignes de ces méthodes sont données ci-dessous.

2.5.1 Construction des champs de déplacement admissibles

Introduisons les traces sur Fe des champs éléments finis uh : uh = wh. Distin- I rc guons deux cas selon les propriétés de la solution éléments finis.

2.5.1.1 Cas où la solution approchée respecte la condition (2.20)

Dans ce cas, on a : 2 1 wEn = whn - whn 2 0

Par ailleurs, dans le cadre des méthodes éléments finis en déplacement, le champ de déplacement vérifie les équations de liaisons. Finalement on choisit donc :

2.5.1.2 Cas où la solution approchée n e respecte pas la condition (2.20)

Si la solution approchée calculée est telle que la condition de non-pénétration est violée, les champs ui, uh, wi , wh doivent être modifiés et on redéfinit alors les parties normales de 6; en chaque noeud k de re par (Eqésigne le module de Young du solide R1) :

2 avec wh,(k) = whn - whn. Cela entraîne immédiatement : 6: = 6; - 6; 2 0. Pour les parties tangentielles, on pose : W:(k) = wh,(k) (1 = 1,2). Pour les nœuds situés sur I'", on pose: û1 = wk (1 = 1,2) et pour les autres

nœuds, on prend simplement : û1 = UL (1 = 1,2).



Par interpolation linéaire sur les éléments, les champs ûbont ainsi complètement définis.

2.5.2 Construction de densités d'effort admissibles sur la zone de contact

Là encore il faut distinguer deux cas selon les propriétés de la solution éléments finis.

2.5.2.1 Cas où la solution approchée respecte les conditions (2.21) et (2.22)

Dans ce cas on choisit :

2.5.2.2 Cas où la solution approchée ne respecte pas les conditions (2.21) et (2.22)

Si la solution approchée est telle que les conditions (2.21) et (2.22) sont violées, les densités d'efforts Fi, F:, FE doivent être modifiées. On définit ainsi la partie normale de l'effort de contact Pc :

puis sa partie tangentielle :

et on impose alors l'équilibre de l'interface :

2.5.3 Construction des champs de contrainte admissibles

Dans cette démarche de construction de champs de contraintes admissibles, on souhaite se rapprocher le plus possible des techniques proposées dans [17] pour les problèmes d'élasticité linéaire.

2.5.3.1 Préliminaires

Dans le cas où les efforts de contact F1 et Fe ont été obtenus par modification des efforts Fi et F i , le champ de contraintes 4 n'est plus en équilibre au sens faible des éléments finis avec les efforts imposés $, Fi et les efforts de contact F'. Or les constructions classiques d'un champ statiquement admissible 2 s'appuient juste- ment sur cet équilibre éléments finis. A la suite de l'étape présentée au paragraphe



2.5.2.2. Il est donc nécessaire de résoudre deux problèmes d'élasticité en déplace- ment :

Trouver Ub, pour 1 = (1,2), vérifiant les conditions aux limites sur & R h t de type éléments finis tel que, Vu: nul sur 81R%t de type éléments finis:

On obtient ainsi les champs de contraintes 6 = Kzc(Ub) qui sont en équilibre au sens faible des éléments finis avec les charges f:,Ff, et les efforts de contact @'.

REMARQUE. - Dans le cas particulier où, sur un solide R1, la zone alR1 est vide, les efforts Fc précédemment calculés doivent vérifier en plus des conditions (2.21) et (2.22) :

Sans ces conditions supplémentaires, les problèmes d'élasticité (2.26) n'auraient pas de solution.

On cherche donc les Nc valeurs nodales des efforts de contact normaux et tangentiels, représentés par les vecteurs [Fi] et [zf] et solutions du problème d'optimisation suivant :

*ouver [Fil et [Ffl minimisant l'écart avec les efforts éléments finis [F;,,] et [F;,,] sous les contraintes :

Dans le cas où les efforts de contact Fi vérifiaient les conditions (2.21) et (2.22)' h

on a choisi F1 = Fi, et par conséquent la contrainte éléments finis est en équilibre



au sens faible des éléments finis avec les efforts B1. On a donc dans ce cas précis:

La construction des champs 3 est alors effectuée en utilisant les techniques classiques développées pour les problèmes d'élasticité linéaire dont nous rappelons les grandes lignes maintenant.

2.5.3.2 Condition de prolongement

La méthode est basée sur une condition de prolongement forte, liant le champ de contrainte éléments finis modifié 3 au champ de contrainte statiquement admissible recherché 3 :

Pour toute fonction de base p k de type éléments finis et pour tout élément E du maillage

P

Une condition de prolongement affaiblie a été proposée dans [53] et mise en œuvre dans [21] et [23] pour des problèmes de statique linéaire. Nous ne l'utiliserons pas ici.

2.5.3.3 Notations

Sur le bord aE de chaque élément E, on définit une fonction q~ constante par arête et valant f 1. Les valeurs de q~ sont telles que sur chaque arête rEE1, commune à deux éléments adjacents E et Et on a :

De même on note n~ la normale unitaire sortante à aE.

2.5.3.4 Calcul des densitês

On introduit ensuite des densités d'efforts FE sur chaque face des éléments. Ces densités sont destinées à représenter le vecteur contrainte statiquement admissible sur chaque face de l'élément :

h h

0 1 ~ n ~ = VEFE

Les q~ permettent ainsi de traduire la continuité du vecteur contrainte admissible entre les éléments du maillage.

Pour les arêtes appartenant à &a1, on impose naturellement :

De même, pour les arêtes appartenant à rC, on impose, pour un élément E1 appartenant au solide R1 :

h

-1 qElFEz = F



Réécrire l'équation d'équilibre (2 .5) sur l'élément E permet alors d'introduire les densités FE au sein de cette équation :

La prise en compte de la condition de prolongement permet finalement d'obtenir un système d'équations linéaire et de taille réduite, où les seules inconnues sont les projections des densités F E sur les fonctions de formes :

où r', désigne chacune des R faces de l'élément E considéré et où Q E ( k ) est une expression connue, fonction des charges données et du champ de contrainte éléments finis &.

2.5.3.5 Calcul d'un champ de contrainte stat iquement admissible

Les densités d'efforts F E étant désormais connues, on cherche une solution du problème local sur l'élément E :

Ce problème admet une inifinité de solutions. Afin d'en obtenir une, deux démarches peuvent être utilisées conformément à ce qui a été décrit au chapitre précédent.

- Contruction analytique Dans le cas où les charges intérieures données sont polynomiales, l'idée de base consiste alors à rechercher aussi une solution GI, polynomiale.

- Construction numérique approchée On peut également obtenir une solution approchée du problème local en le résolvant par une méthode éléments finis en déplacement. En pratique, des expériences numériques ont montré que l'estimateur obtenue avec ce type de construction est de bonne qualité dès lors que la structure est maillée avec un seul élément de degré p + 3, p étant le degré de l'élément E lors de l'analyse éléments finis initiale.

Dans les exemples présentés dans la suite de ce chapitre, c'est la construction de type analytique qui a été retenue.


2.6 Exemples

2.6.1 Premier exemple de mise en œuvre

Figure 2.6 - Exemple faisant intervenir plusieurs solides

Cet exemple, décrit sur la figure 2.6, concerne le contact unilatéral avec frottement de trois solides élastiques. La discrétisation éléments finis utilise des maillages compatibles représentés sur la figure 2.7. Les données du problème peuvent être trouvées dans le tableau 2.1.

A = 4 0 m m B = 2 0 m m C = 6 0 m m v1 = 0,38 v2 = 0,38 v3 = 0,38 E l = 2400 MPa E2 = 2400 MPa E~ = 2400 MPa p1,2 = (A1 p1,3 = 0'3 I I F i , I I = 0,l Mpa I I Fiy2 I I = 1'0 MPa

Tableau 2.1 - Données relatives au problème de la figure 2.6

La géométrie de la structure et le chargement proposés sont symétriques. Toute- fois, la présence de coefficients de frottement différents sur les zones de contact rend le problème globalement dissymétrique.

La solution approchée du problème a été obtenue à l'aide de l'algorithme décrit au paragraphe 2.4.2. La zone potentielle de contact entre les solides 1 et 2 comprend



une zone de décollement et une zone de glissement. Il en va de même pour la seconde ligne de contact.

Pour ce problème l'erreur calculée est de 29%. La carte des contributions de chaque élément à l'erreur globale est donnée sur la figure 2.7. Les contributions élémentaires relatives EE sont définies par :

Figure 2.7 - Maillage et carte des contributions EE

2.6.2 Étude et comparaison sur un cas test des différents al- gorit hmes

2.6.2.1 Présentation du cas-test

Cet exemple est un cas test classique dans les problèmes de contact 1541, [41]. Il s'agit d'un bloc en compression biaxiale, en contact unilatéral avec frottement sur l'une de ses faces avec un socle rigide (figure 2.8). Cet exemple permet d'obtenir sur rC une zone de décollement, une de glissement et une autre d'adhérence. Les données peuvent être trouvées dans le tableau 2.2.

H = 4 0 m m p = 1 v1 = 0,2 El = 130 OOOMPa II FA, Il= 100 M P a II FA, Il= 50 M P a

Tableau 2.2 - Données relatives au problème de la figure 2.8

2.6.2.2 Étude des paramètres influant sur la qualité du calcul

Cas du calcul par une méthode de pénalisation

On a fait varier le couple de raideurs élastiques (Ic,,b) dans un rapport IO7. Pour chacun des 841 calculs, on a estimé l'erreur en relation de comportement. La carte


Figure 2.8 - Cas test

donnant l'erreur relative en fonction du couple (Log(kn),Log(kt)), est représentée sur la figure 2.9. On s'aperçoit qu'accroître les raideurs améliore la qualité du calcul.

Figure 2.9 - Erreur relative en fonction des raideurs élastiques (kn,lct)

Toutefois, il existe un seuil au delà duquel cela n'est plus utile, pour Ic, > 1011 et kt > 1011, puisque l'erreur ne chute plus. Pour diminuer l'erreur, un raffinement du maillage serait dans ce cas nécessaire.

Cas du calcul par le logiciel Cofast

Pour cette méthode de résolution on a choisi de faire varier la valeur du critère d'arrêt de l'algorithme, que l'on notera E, et la valeur du paramètre de direction de recherche noté ko. e, varie entre 10-1 et 1 0 - ~ 9 ~ , quant à ko, il varie entre 10-2Ko et 10+2Ko, où



conformément à ce qui est proposé au pragraphe 2.4.4. L'erreur relative obtenue pour chacun des 425 calculs est reportée sur la figure 2.10.

Figure 2.10 - Erreur relative en fonction des paramètres (ec,ko)

Afin d'obtenir le couple (eC7kO) optimal, c'est-à-dire conduisant à une erreur faible pour un coût de calcul minimal, il est nécessaire de considérer le nombre d'itérations effectuées pour parvenir au critère d'arrêt souhaité E, lors du calcul. Pour cela, on a tracé la carte donnée sur la figure 2.11. La figure 2.10 montre clairement que la

Figure 2.11 - Nombre d'itérations Ni nécessaires pour parvenir à e, en fonction de (&Cyk0)

qualité de la solution approchée n'est pas influencée par la direction de recherche ko7 lorsque qu'un critère d'arrêt de E, = IO-* est atteint. Si le processus itératif est stoppé rapidemment (E, < la direction de recherche conduisant à l'erreur la plus faible est ko = Ko.


De plus, la figure 2.11 nous montre que pour un critère d'arrêt donné, la direction de recherche conduisant au nombre d'itérations le plus faible est ko = Ko.

Ainsi, il apparaît que le paramètre de direction de recherche optimale est bien ko = Ko dans tous les cas de figure.

2.6.2.3 Application au remaillage

Dans le but d'améliorer la qualité d'une solution approchée obtenue avec un maillage relativement grossier, il est possible d'appliquer les techniques d'adaptation des maillages développées en élasticité [Il], [17], [13]. Ces techniques ont pour objectif, à partir de l'analyse des résultats obtenus sur un premier calcul, de déter- miner les tailles des éléments d'un maillage optimal, c'est-à-dire d'un maillage qui permette de respecter la précision désirée tout en minimisant le nombre d'éléments du maillage.

Procédure d'adaptation

La procédure suivie est la suivante. - Une première analyse éléments finis est effectuée sur un maillage relativement

grossier i lh. - L'erreur globale et les contributions élémentaires relative EE définies par (2.37)

sont alors calculées. - Enfin, les caractéristiques du maillage optimal RR sont déterminées en calcu-

lant sur chaque élément E du maillage grossier un coefficient de modification de taille noté r ~ .

Ce dernier coefficient est défini par :

où hE est la taille de d'élément E et hÊ la taille qu'il faut imposer aux éléments dans la zone de E pour obtenir un maillage RR optimal.

Calcul des coefficient r~

Le problème du remaillage présenté ci-dessus est un problème d'optimisation. Il peut s'écrire en fonction :

- des contributions élémentaires relatives E E calculées sur le maillage initial ; - de l'erreur globale relative EO souhaitée par l'utilisateur; - des coefficients r~ ; - du taux de convergence de l'erreur. Pour un problème dont la solution exacte est régulière, on a :

où p dépend du type d'élément utilisé. On écrit alors que le rapport des contributions élémentaires à l'erreur est lié au coefficient rE par:



Le problème de la construction du maillage optimal peut alors s'écrire en fonction des r~ :

1 Minimiser N* = - avec r2.E = E: ,n

où n = 2 pour les problèmes bidimensionnels, et n = 3 pour les problèmes tridimen- sionnels.

La solution de ce problème est explicite et s'écrit comme suit :

REMARQUE. - Dans le cas où il existe des zones à fort gradient, l'ordre de convergence de l'erreur ne dépend plus uniquement du degré p des éléments utilisés, mais aussi de l'ordre a de la singularité [55] [56] :

E = O(hQ) avec q = min(a,p) (2.43)

Il est alors nécessaire de tenir compte de la présence de ces zones à fort gradient pour le calcul des coefficients r~ [57].

Application à l'exemple considéré

Pour l'exemple proposé sur la figure 2.8, on se propose d'atteindre en deux étapes une erreur globale relative de 2,5%, avec un maillage initial comprenant 170 éléments. Pour l'étape intermédiaire on vise une erreur relative de 5%.

Cette procédure de remaillage a été couplée aux trois algorithmes de calcul décrits au paragaphe 2.4.4 :

- COFAST avec comme paramètres E, = 10-~ et ko =

- Point fixe et multiplicateurs de Lagrange

- Pénalisation avec comme paramètres k, = 1013 et kt = 1015

Cas d'un remaillage efficace

Dans cette partie on utilise le logiciel COFAST pour résoudre le problème posé. Le maillage initial est donné sur la figure 2.12. L'erreur en relation de comportement obtenue est alors de 8 %.

Pour chaque étape de l'optimisation, nous donnons sur les figures 2.12, 2.13 et 2.14 le maillage et la carte des contributions locales à l'erreur globale EE.

En deux étapes d'optimisation (figures 2.13 et 2.14), on atteint sans difficulté la précision désirée.


2.6. Exemples

Figure 2.12 - Maillage initial: 170 éléments - 8,00 % d'erreur

x ro-

Figure 2.13 - Premier remaillage: 268 éléments - 4'5 % d'erreur pour 5 % souhaitée

Figure 2.14 - Second remaillage : 867 éléments - 2'7 % d'erreur pour 2'5 % souhaitée

Premier exemple de remaillage inefficace

On suit la même démarche que précédemment, mais cette fois on utilise l'algorithme décrit au paragraphe 2.4.2 (point fixe et multiplicateurs de Lagrange). Effectuons donc un premier calcul avec un maillage grossier comportant 170 élé- ments (figure 2.15). L'erreur obtenue est : E = 10,5 %. Effectuons une première



étape d'adaptation du maillage pour une erreur imposée de 5 %. On obtient (figure 2.16) un maillage de 338 éléments pour une erreur calculée de 7,3 %. Ce premier résultat n'est pas excellent. Effectuons une deuxième étape d'adaptation pour, cette fois, une erreur imposée de 2,5 %. On obtient (figure 2.17) un maillage comportant 1 689 éléments et une erreur de 7 %. Cette fois, le résultat est franchement mau- vais: le nombre d'éléments a été multiplié par 5 et l'erreur n'a pratiquement pas été améliorée !

Figure 2.15 - Maillage initial: 170 éléments - 10'5 % d'erreur

Figure 2.16 - Premier remaillage: 338 éléments - 7'5 % d'erreur pour 5 % souhaitée


2.6. Exemples

Figure 2.17 - Second remaillage: 1689 éléments - 6,5 % d'erreur pour 2,5 % sou- haitée

Second exemple de remaillage inefficace

On suit toujours la même démarche que précédemment, mais cette fois on utilise l'algorithme décrit au paragraphe 2.4.3 (lois de contact et de frottement pénalisées).

Figure 2.18 - Maillage initial: 170 éléments - 14'0 % d'erreur

Figure 2.19 - Premier remaillage : 611 éléments - 11,9 % d'erreur pour 5 % souhaitée



Figure 2.20 - Second remaillage: 10 867 éléments - 11,8 % d'erreur pour 2,5 % souhaitée

Là encore l'optimisation du maillage ne permet aucunement d'améliorer la qualité de la solution approchée.

Bilan des remaillages

Dans le premier cas, le remaillage est efficace et permet de faire nettement chuter le niveau d'erreur et d'atteindre sans difficulté la précision désirée.

Dans les deux autres cas, les algorithmes utilisés ou les paramètres choisis ne permettent pas de traiter correctement les conditions de contact et de frottement, et plus particulièrement le phénomène d'adhérence. Cette lacune est indépendante du maillage utilisé.

Si la seule modification de maillage ne permet pas d'atteindre l'erreur souhaitée, il faut s'intéresser à l'algorithme utilisé pour résoudre l'inéquation variationnelle (2.16).

2.7 Indicateur d'erreur en itération

Le concept d'erreur en relation de comportement permet de construire un indicateur d'erreur permettant d'apprécier la qualité avec laquelle les conditions de contact et frottement sont traitées dans l'algorithme de résolution du problème non-linéaire utilisé.

2.7.1 Définition et propriétés

Considérons le problème discrétisé en espace par une méthode éléments finis (en pratique des triangles à trois nœuds) :


2.7. Indicateur d'erreur en itération

Trouver (uh,~;) défini sur R1, (uh,oi) défini sur R2 et (wh,wi,Fh,Fh,Fj?J défini sur rC vérifiant :

- les liaisons cinématiques : uh et U; sont de type éléments finis et :

- les équations d'équilibre au sens faible des éléments finis: Vu; nul sur &R1 et pour 1 = (1,2), :

sur rC : 2 Fi = -F; = Fh

- les relations de comportement :

pour 1 = 1,2 O; = K%(u;)

sont h-admissibles s'ils vérifient (2.44), (2.45), (2.46). Posons :

2 #.

On a : i(sh,Ad) = O si et seulement si s h , ~ d est solution du problème (2.44) à (2.48). La quantité est donc un indicateur qui permet d'apprécier la qualité de la résolution, par la méthode du point fixe, ou par une méthode de pénalisation, du problème non linéaire discrétisé. Sa mise en œuvre est très simple; en effet, à partir des champs introduits à la section 2.5, il suffit de choisir (1 = 1,2) :

REMARQUE. - De nouveau, pour le calcul de l'indicateur, on préfèrera utiliser des champs h-admissibles au sens strict du terme, notés ZAd,h vérifiant en plus de (2.44), (2.45), (2.46) :

et E c ( ~ ) et -G: E B (2.49)

Propriet é Si SA^ est construit comme à la section 2.5 et s h , ~ d comme ci-dessus, on a :



Démonstration Les champs (aie,@ et (aih,Fh) étant confondus sur rc7 on a :

puis, compte tenu du fait que ûh = ûl, on obtient :

2 kl TT [(d - Z;)E(U; - ûl)] da]

avec :

3; = K'E(U;)

Les champs i ih et û1 sont tous les deux admissibles et de type éléments finis ; la dernière intégrale est donc nulle. Finalement, on obtient :

" - z; I&> O

ce qui démontre la propriété (2.50). O

2.7.2 Mise en œuvre

Reprenons l'exemple décrit sur la figure 2.8. La figure 2.21 donne les évolutions de emC(sAd) et i(sh,Ad) en fonction des itérations de l'algorithme du point fixe, pour le maillage donné sur la figure 2.22. On constate que l'inégalité (2.50) est numérique- ment vérifiée et que les évolutions de l'erreur et de l'indicateur sont très similaires. Sur la figure 2.23, on donne les évolutions de i(sh,Ad) pour quatre maillages de plus en plus raffinés comportant entre 910 et 14 954 éléments. L'indicateur d'erreur en itération semble relativement peu sensible à la finesse du maillage.



\ - Erreur absolue eRdC SA^)

\ - ---- Indicateur l ( s h , ~ d )

.80 1 4 6 8 10 12 14

It6rations de l'algorithme

Figure 2.21 - Évolution comparée de l'erreur et de l'indicateur

Figure 2.22 - Maillage utilisé pour l'étude de l'indicateur: 2 362 éléments

- Indicateur E ( s h , ~ d )

4 6 8 10 12 14 16 Itdrations de l'algorithme

Figure 2.23 - Influence de la finesse du maillage sur l'indicateur



2.7.3 Lien avec l'adaptation de maillage

Evaluons l'indicateur d'erreur i(shlAd) sur les calculs présentés au paragraphe 2.6.2. Pour le cas où l'adaptation des maillages fonctionne correctement, les résultats sont donnés dans le tableau 2.3. Pour les cas où cette procédure est défaillante, les résultats sont donnés dans le tableau 2.4.

Tableau 2.3 - Erreur et indicateur dans le cas où l'adaptation des maillages est correcte

Algorithme

Point fixe II 338 1 0'9 1 1'5 1 60,O % 1

Nombre d'éléments

Algorithme

Pénalisation II 607 1 2'4 1 2,6 1 92,3% 1

Tableau 2.4 - Erreur e t indicateur dans le cas où l'adaptation des maillages est défaillante

i ( sh lAd)

Nombre d'éléments

Ces exemples montrent clairement que pour atteindre une précision donnée, la seule modification du maillage est efficace uniquement si les erreurs dues à la ré- solution approchée du problème du point fixe sont faibles devant l'erreur totale. Si i ( shlAd) représente une part importante de l'erreur totale, pour améliorer la qualité des simulations, il faut avant tout améliorer celle de la résolution du problème du point fixe.

Pour s'en convaincre on peut légèrement modifier le traitement de l'adhérence dans l'algorithme décrit au paragraphe 2.4.2. Dans cet algorithme, on arrête les itérations lorsque :

sup 1 gk+l(i) - gk(i) 1

eRdC(sAd)

i ( s h , ~ d )

où E T ~ L est une tolérance fixée par l'utilisateur et où les bornes supérieures sont prises sur tous les nœuds de la zone de contact. Une fois ce test satisfait, l'amélio- ration proposée consiste à détecter, sur la zone de contact, les nœuds qui sont en

z ( s ~ , A ~ ) e m c SA^


e m c SA^) 2(~h,Ad)

e m c SA^


Algorithme

Point fixe

Tableau 2.5 - Erreur et indicateur avec la technique d'amélioration du point fize

Nombre d'éléments

amélioré

Figure 2.24 - Maillage obtenu avec la technique d'amélioration : 950 éléments - 2'6 % d'erreur-

170

337 l 1 I , - -

950 1 0 2 1 0,5 1 40,O % 1

adhérence, puis de faire une itération supplémentaire en imposant un déplacement tangentiel nul pour les nœuds ainsi détectés. En pratique, on impose:

i ( s h , ~ d )

où k désigne un nœud quelconque du maillage. Cette modification permet de diminuer sensiblement la valeur de i(sh,Ad) et par conséquent celle de eRdC(sAd). Repre- nons l'exemple d'adaptation de maillage correspondant au tableau 2.4 et appliquons cette technique à la fin de la première étape d'adaptation des calculs. L'indicateur est divisé par trois et l'erreur totale obtenue est maintenant de 4,3 % pour 5 % demandé. Effectuons, avec cette technique d'amélioration, une deuxième étape d'adaptation en demandant une erreur de 2,5 %. Là encore, l'indicateur diminue et l'erreur obtenue est maintenant de 2,6 %, ce qui est tout à fait satisfaisant. Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau 2.5 et le maillage adapté sur la figure 2.24. Il est à noter que le gain obtenu est très important puisque ce maillage ne comporte que 950 éléments.

1,1 0.3

On peut également remarquer que pour une erreur globale similaire le maillage obtenu est proche du maillage optimisé donné sur la figure 2.14.

emC (sAd)


i (~h,Ad) ~ R ~ c ( s A ~ ) .

271 0.9

52,3 % 33.0 %


2.8 Estimation de l'erreur de contact

2.8.1 Cadre de l'étude et objectifs

On se place désormais dans le cadre des problèmes de contact sans frottement, toujours sous l'hypothèse des petites perturbations, en statique. L'estimateur pro- posé au paragraphe 2.3.2 se réduit donc à l'expression (2.14).

On se propose désormais de distinguer, dans l'erreur globale donnée par (2.14)' la part due à la résolution approchée des conditions de contact de celle due à la discrétisation.

2.8.2 Principe de la méthode

Figure 2.25 - Le problème de référence et les deux problèmes auxiliaires

Soit le problème de contact défini par la figure 2.25(a). Nous calculons tout d'abord une solution approchée (uh,oh,wR,F~) de ce problème, ainsi que l'erreur en relation de comportement (2. 14)' notée e ~ d c , associée à cette solution. Les techniques employées à ce stade sont identiques à celle présentées tout au long de ce chapitre.

On considère le problème élastique linéaire présenté sur la figure 2.25(b) où la zone de contact rc est désormais vue comme une zone à déplacements imposés. Ces déplacements sont égaux aux déplacements admissibles WC. La solution de ce premier problème auxiliaire vérifie donc les équations suivantes :

Enfin pour tout champ de déplacement u* régulier et nul sur dlR U rC :

L'erreur en relation de comportement associée à ce problème d'élasticité linéaire est notée eRdc,di. Le calcul de cette erreur ne nécessite pas la construction d'un


2.8. Estimation de l'erreur de contact

champ de contrainte admissible G1. En effet le champ Z déjà construit pour le calcul de e h c est également admissible pour le premier problème auxiliaire considéré ici.

On considère enfin le problème élastique linéaire présenté sur la figure 2.25(c) où la zone de contact rc est désormais vue comme une zone à efforts imposés. Ces efforts sont égaux aux efforts admissibles @. La solution de ce second problème auxiliaire vérifie donc les équations suivantes :

Enfin pour tout champ de déplacement u* régulier et nul sur & R U rC :

L'erreur en relation de comportement associée à ce problème d'élasticité linéaire est notée emc,d2. De nouveau, le calcul de cette erreur ne nécessite pas la construction d'un champ de contrainte admissible Z2. En effet le champ G déjà construit pour le calcul de e h c est également admissible pour ce second problème auxiliaire.

La moyenne des erreurs en relation de comportement emc,d1 et emc,d2 nous donne une estimation de l'erreur de discrétisation notée emc,d :

La différence e& - ehc,, nous donne une estimation de l'erreur de contact notée ehc,c. Propribté

L'erreur dite de contact e k , ainsi construite est positive. Démonstration

1. Montrons tout d'abord que e h c > e&c,dl. On note (uk,oh) le couple déplacement-contrainte solution du premier pro- blème auxiliaire (figure 2.25 (b)) .

Finalement, on obtient :

Le dernier terme est nul. En effet, dans les constructions de champs cinéma- tiquement admissibles, û demeure de type éléments finis, et est égal à u d sur & R et à WC sur P. Ainsi, la différence uk -û est de type éléments finis et nulle sur &R U P. En utilisant l'équilibre éléments finis sur le problème auxiliaire et l'équilibre sur le problème de contact initial, on obtient le résultat suivant :



2. Montrons maintenant que eLc 2 e&,d2. On note (ui,~:) le couple déplacement-contrainte solution du second problème auxiliaire (figure 2.25(c)).

Le dernier terme est de nouveau nul. On obtient le résultat suivant :

3. Conclusion Alors en prenant la moyenne des erreurs de discrétisation ehc,dl et e$c,d20n obtient le résultat souhaité :

REMARQUE. - Pratiquement, nous avons constaté une très faible différence entre les erreurs globales emc,d1 et eac,d2. Il en est de même pour leurs contributions élément aires.

2.8.3 Indices d'efficacité

Deux erreurs de références ont été définies au paragraphe 2.3.3. La première notée eEX,d est une erreur de discrétisation exacte :

La seconde notée e~,,, est une erreur de contact de référence:

On peut alors définir deux indices d'efficacité :

qui précisent la qualité des estimations d'erreur.



2.8.4 Implémentation

2.8.4.1 Exemple choisi

1

Socle rigide

~ d . 2

1111111111111111~

Figure 2.26 - Cas test utilisé

r

+ Fd.1

+ b

L'exemple choisi est donné sur la figure 2.26. Il s'agit d'un lopin élastique en compression bi-axiale, et en contact sans frottement sur un socle rigide plan. Par considération de symétrie, une seule moitié de ce bloc sera maillée.

Les maillages utilisés sont tous issus d'un ou plusieurs sous-découpages du maillage à 16 éléments présenté sur la figure 2.27.

Figure 2.27 - Maillage initial

s:

2.8.4.2 Indices d'efficacité

Les calculs détaillés section 2.8.2 ont été menés pour différents maillages réguliers dont le nombre d'éléments varie entre 16 et 4 096. La solution de référence, dite solution exacte, a été calculée avec un maillage de 16 384 éléments et le logiciel COFAST (E, = Les calculs des erreurs de discrétisation et de contact ont été menés pour des maillages encore plus fins (16 384 et 65 536 éléments).

A


2H - -

Zone de contact sans frottement

~ d . 2 - 4


REMARQUE. - Le calcul de la solution de référence peut se faire avec un maillage plus fin que celui utilisé ici. Mais dans ce cas, le calcul de l'erreur exacte de discrétisa- tion e~,,d dépasse les capacités mémoires des machines utilisées. C'est la raison pour laquelle la solution de référence est calculée avec un maillage comportant << seulement >> 16 384 éléments

Les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau 2.6.

1 Nb éléments 11 16 1 64 1 256 1 1 024 1 4 096 1 16 384 1 65 536 1

--

Tableau 2.6 - Erreurs estimées et exactes, indices d'eficacité

On constate que les valeurs des efficacités sont proches de 1 ce qui montre que les estimations des erreurs de discrétisation et de contact sont fiables.

REMARQUE. - Dans les problèmes auxiliaires considérés, il est également possible d'imposer, non pas les champs admissibles WC et Fc sur la zone de contact r C , mais les champs éléments finis wA et FA. Dans ce cas, il ne nous a pas été possible de montrer la positivité de l'erreur de contact e L c , Toutefois les résultats obtenus sont très proches de ceux donnés dans le tableau 2.6. A titre indicatif, le lecteur trouvera dans le tableau 2.7, une comparaison des erreurs de discrétisation obtenues en imposant les champs éléments finis et les champs admissibles.

Nombre d7 éléments 11 16 1 64 1 256 1 1024 1 4 096 1 16 384 1 65 536 1

Tableau 2.7 - Comparaison des erreurs de discrétisation

e,, en imposant Ge et Fc e L c , en imposant wA et FA

2.8.4.3 Localisation de l'erreur de contact

On cherche maintenant à localiser l'erreur de contact estimée. Pour un maillage donné, et pour chacune des erreurs on somme les carrés des

contributions des éléments compris dans une fenêtre adjacente à la zone de contact et de hauteur notée yo. En faisant varier y0 entre O et la hauteur du solide, on obtient les courbes données sur la figure 2.28 pour des maillages comprenant de 256 à 65 536 éléments.

On constate que l'erreur de contact augmente fortement lorsque y0 est faible, c'est-à-dire à proximité de la zone de contact. Pour cet exemple, on peut donc affirmer que l'erreur de contact est localisée près de la zone de contact et qu'elle pollue peu le reste de la structure.

13,OO 13,43


6,42 6,54

2,59 2,62

0,86 0,87

0,27 0,27

0,08 0,08

0,02 0,02


L'erreur de discrétisation augmente fortement autour de y0 = 2. Cela provient du fait que les efforts imposés créent une singularité dans cette zone sur le bord gauche de la structure. Cette singularité est par ailleurs mal prise en compte par un maillage régulier. Il est bien connu que ce phénomène conduit à une erreur de discrétisation importante.

3.00 ~rreu; &baie egdA

+ Erreur de contact egdCSc 250 - + Erreur de discr6tisation egdC,

150

1.m

or,

0.m o.m or, 1.m i r , ua rso 3.m 350 4.m

(a) Maillage à 256 éléments

o.m 0x1 i m ir , zm m 3 3 4.m

(c) Maillage à 16 384 éléments

(b) Maillage à 4 096 éléments

(d) Maillage à 65 536 éléments

Figure 2.28 - Evolutions comparées des erreurs en fonction de l'éloignement à la zone de contact

2.8.4.4 Influence de la discrétisation sur l'erreur de contact

Les valeurs des erreurs de discrétisation et de contact issues du tableau 2.6 sont respectivement reportées sur les figures 2.29(a) et 2.29(b), en échelles logarithmiques. Deux phénomènes sont mis en évidence :

- L'erreur de discrétisation baisse raisonnablement lorsque le maillage est raffiné comme indiqué sur la figure 2.29(a) et ce avec le même ordre de convergence que l'erreur exacte ;

- L'erreur de contact stagne rapidemment et devient prépondérante devant l'erreur de discrétisation pour des maillages fins comme indiqué sur la figure



---- Erreur e~d,,,

- Erreur es.

(a) Erreurs de discrétisation

Figure 2.29 - Erreurs exactes et estimée

(b) Erreurs de contact

is en fonction du nombre d'éléments

Ces deux constatations mettent en évidence que le seul raffinement du maillage ne permet pas nécessairement d'améliorer la qualité du calcul. En effet, pour des maillages suffisamment fins, seuls une modification des paramètres de l'algorithme de résolution du problème non-linéaire, ou le changement pur et simple d'algorithme peuvent permettre de faire baisser le niveau d'erreur de contact et donc le niveau d'erreur global.

Ces deux constatations confirment celles faites au paragraphe 2.7.3 dans le cadre de l'indicateur d'erreur en itération pour les problèmes de contact avec frottement.

2.9 Extension au cas des maillages incompatibles

Pour des raisons pratiques, les maillages des solides en contact peuvent être incompatibles et de nombreuses difficultés techniques apparaissent, aussi bien au niveau du calcul éléments finis en lui-même qu'au niveau de la construction de champs admissibles sur la zone de contact.

2.9.1 Travaux existant s

Dans [12], les auteurs montrent comment, dans le cas du contact sans frottement, il est possible de construire des champs sur la zone de contact qui soient :

- rigoureusement admissibles dans le cas de maillages hiérarchiques ;

- approximativement admissibles dans les autres cas.

Ici nous reprenons ces travaux et montrons qu'il est possible de les étendre au cas du contact avec frottement de Coulomb.


2.9. Extension au cas des maillages incompatibles

2.9.2 Traitement numérique du contact

Afin d'écrire le problème discret, il est nécessaire de traduire la condition de non- pénétration portant sur tous les points de îc en une condition portant sur les inconnues aux noeuds comme nous l'avons déjà fait au paragraphe 2.4.2.2. Différentes conditions de non-pénétration sont étudiées dans [12]. En particulier les auteurs ont montré que dans le cas de maillages incompatibles, la condition de non-pénétration globale aboutissait à de meilleurs résultats.

Dans ce cas, le convexe discrétisé des déplacements est défini par:

où Nh(îc) est l'ensemble des fonctions de forme éléments finis d'un maillage de rC. Ce maillage peut être pris :

- identique au maillage de îc sur R1 ; - identique au maillage de îC sur R2 ; - différents de ces deux maillages. Si l'on explicite cette condition de non-pénétration, on constate qu'elle peut se

mettre sous la forme matricielle suivante :

où : - qn pour 1 = (1,2) sont les parties normales des inconnues de déplacement aux

noeuds du maillage de R1 sur îC7 - est la matrice de coefficients c:: = J, +;@dS,

- C2,3 est la matrice de coefficients ct: = J, &#ds, - 4; pour 1 = (1'2) est la fonction de forme associée au noeud k de rC sur le

maillage de R1. En pratique nous choisissons le maillage de rc identique à celui de R1. L'équation

(2.63) devient donc :

où M1 désigne la matrice de masse. La matrice M1 est bande et simple à calculer. Par contre les termes de la ma-

trice C2y1 sont assez coûteux, notamment en 3D7 dans le cas de maillages non- hiérarchiques.

Sur l'exemple de deux solides en compression ([50]), on compare les contraintes O,, (figure 2.30) et a,, (figure 2.31) ainsi que les densités d'efforts normaux sur la zone de contact du solide R1 (figure 2.32) et R2 (figure 2.33). On constate, que la condition de nullité de la contrainte a,, n'est absolument pas vérifiée dans le cas du contact écrit localement. Cette condition est par contre bien mieux vérifiée avec une écriture globale du contact. En ce qui concerne la contrainte de compression a,,, elle est très irrégulière si l'on utilise la condition de contact locale. Il en va de même pour les efforts normaux. Par contre, dans le cas de la condition de non pénétration globale, on retrouve bien une contrainte a,, uniforme et égale à la pression surfacique imposée (100 MPa).



Figure 2.30 - Contraintes a,, avec condition intégrale (à gauche) et locale (à droite)



2. Contrôle des ~roblèmes avec contact et frottement en statiaue





-75. 1 1 I 1 Pression de contact en MPa Condition locale

I ------ 1 - 80. - Condition globale l i

1 Abscisse curviligne sur rC 1

.O0 .20 .40 1

.60 .80 I .oc

Figure 2.32 - Eflorts normaux sur RI

m. Pression dé contact en MPa 1

Figure 2.33 - Eflorts normaux sur R2



Abscisse curviligne sur r .O0 .50 1 .O0 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

Figure 2.34 - II Fi, II e t II Fi, II après résolution de (2.66)

2.9.3 Traitement numérique du frottement

En ce qui concerne le frottement, on calcule les efforts tangentiels F;, à imposer sur le solide R1 par l'algorithme du point fixe. A chaque itération de cet algorithme, les efforts Fi, imposés sur R2 sont calculés tels que:

La condition (2.65) conduit à la résolution du système linéaire suivant :

où [FL,] est le vecteur des valeurs nodales des densités d'efforts tangentiels sur la frontière en contact du solide R! Les termes de C29l ont déjà été calculés pour écrire la condition de non pénétration. Le second membre est donc simple à calculer.

La figure 2.34 montre les évolutions de II Fi, II et II Fi, 11, pour un exemple donné, sur la ligne de contact. On constate que les évolutions des efforts sont très proches.

2.9.4 Construction de champs admissibles

2.9.4.1 Efforts de contact admissibles

La définition des champs admissibles est naturellement inchangée. Ainsi les champs sont dits admissibles au sens strict du terme s'ils vérifient (2.12).

Par rapport au cas de maillages compatibles, la principale difficulté réside dans la construction de champs d'efforts de contact vérifiant l'équilibre de l'interface (2.6).



Dans [12], les auteurs proposent deux techniques. Dans le cas de maillages hié- rarchiques, il est aisé de reconstruire des efforts de contact vérifiant (2.6).

Par contre, dans le cas de maillages quelconques, les auteurs proposent de consi- dérer que les parties normale et tangentielle des efforts calculés par éléments finis vérifient bien l'équilibre local du moment qu'ils vérifient (2.66). Il est clair que dans ce cas les champs d'efforts reconstruits ne sont pas rigoureusement admissibles.

En ce qui concerne le respect du signe de la partie normale des efforts, la condition de non-pénétration en moyenne nous l'impose. Par contre il faut reconstruire les efforts tangentiels admissibles au sens strict du terme, c'est-à-dire respectant la condition supplémentaire (2.13).

Ensuite, un dernier calcul éléments finis linéaire nous donne les champs de contrainte ;ah et a;h en équilibre faible avec ces nouvelles charges au contact.

A partir de ces champs de contraintes et des efforts de contact admissibles, la construction de champs de contraintes Z1 et Z2 se fait par les techniques exposées au paragraphe 2.5.3.

2.9.4.2 Déplacements cinématiquement admissibles

Afin de ne pas obtenir une erreur infinie, il est nécessaire de modifier le champ de déplacement éléments finis. Les maillages étant désormais incompatibles, la technique proposée au paragraphe 2.5.1.2 doit étre adaptée.

(a) Condition locale

(b) Condition globale

Figure 2.35 - Interpénétrations selon la condition de non-pénétration utlisée

En effet, la figure 2.35 montre les configurations possibles des maillages au contact à l'issue du calcul éléments finis, pour des conditions de non-pénétration locale et globale.

Dans le cas d'une condition de non-pénétration locale, il est clair que les nœuds de R1 ne pénètrent pas dans R2. Par contre l'inverse est tout à fait possible. Pour éviter



ce genre de phénomène, certains auteurs proposent d'ailleurs d'écrire doublement la condition de non-pénétration, en inversant les rôles des maîtres et des esclaves.

Dans le cas d'une condition de non-pénétration globale, ce travers est toujours possible. De plus, cette condition peut également conduire à de légères pénétrations des nœuds de R1 dans R2.

Une modification des champs de déplacement admissibles identique à celle pro- posée au chapitre 2.5.1.2 permet seulement de régler ce dernier point.

En ce qui concerne le premier point, une procédure itérative est utilisée et permet de vérifier, petit à petit, les conditions de non-pénétration du solide R2 dans R1. A chaque itération, les champs de déplacement sont modifiés de façon similaire à ce qui est proposé au paragraphe 2.5.1.2.

2.9.5 Remaillage

Une fois que les champs admissibles sont reconstruits, on peut calculer l'erreur selon la technique classique et intégrer l'estimateur dans une procédure de remaillage. Le problème étudié est celui de la figure 2.6. Cette fois, on autorise des maillages incompatibles sur la zone de contact.

Le maillage initial et la carte d'erreur correspondant sont donnés sur la figure 2.36. Les maillages sont initialement compatibles sur les deux zones de contact.

Figure 2.36 - Maillage initial: 31.2 éléments, 39'6 % d'erreur

On effectue un premier remaillage avec une erreur souhaitée de 20 %. La figure 2.37 montre le maillage obtenu et la carte d'erreur.



Figure 2.37 - Maillage intermédiaire : 597 éléments, 23 % d'erreur

Enfin on effectue un second remaillage avec une erreur souhaitée de 10 %. Les résultats de cette étape sont donnés sur la figure 2.38.

Figure 2.38 - Maillage optimisé: 2 424 éléments, 1 l , 5 % d'erreur




Chapitre 3

Contrôle des problèmes de contact auasi-stat iaues

Dans ce chapitre, nous considérons le cas d'un problème de contact avec frottement de Coulomb quasi-statique. Dans ce cas, la loi de contact est formulée en déplacement tandis que celle de frottement est écrite en vitesse. Pour prendre en compte correctement cette mixité dans les inconnues cinématiques, nous séparons, dans la relation de comportement sur rc, la partie contact-effort normal écrite en déplacement-effort de la partie glissement-effort tangentiel écrite en vitesse-effort. En nous appuyant sur cette séparation nous proposons un estimateur d'erreur en relation de comportement pour les problèmes de contact quasi-statiques. Après avoir montré comment adapter l'algorithme du point fixe présenté au chapitre précédent à la résolution d'un problème quasi-statique, nous mettons en œuvre la mesure d'erreur proposée sur un premier exemple, et ce, pour différents trajets de chargement. Sur un second exemple, nous étudions la convergence de l'erreur en fonction de la discrétisation spatiale, pour deux algorithmes différents.

Sommaire

3.1 Modblisation du contact en quasi-statique . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 Modélisation du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Formulation du problème de rbfbrence . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Erreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.1 Champs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


3.3.2 Estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Stratégie de résolution du problème de référence . . . . . . 74

3.4.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Forme incrémentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.3 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.4 Utilisation de COFAST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . 76 3.5.2 Construction de champs d'efforts de contact . . . . . . . . . . 76 3.5.3 Construction de champs statiquement admissibles . . . . . . . 77 3.5.4 Interpolation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.2 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


3.1. Modélisation du contact en quasi-statique


3.1 Modélisation du contact en quasi-statique

3.1.1 Notations

On considère ici le problème de deux solides élastiques R1 et R2 en contact unilatéral sur une interface rC (figure 3.1). On supposera que le contact est du type frottement sec (loi de Coulomb). La partie dRz - ïc de la frontière de chaque solide est supposée composée d'une partie dlR1 où le champ de déplacement est imposé et une partie &Rz où les efforts appliqués F: sont donnés et variables dans le temps. En outre, sur chaque solide est appliquée une densité volumique de force fd donnée, elle aussi variable. Nous supposons enfin que les effets d'inertie sont négligeables, rendant le problème quasi-statique.


Comme dans le cas de problèmes statiques, nous considérons l'interface rC comme une entité mécanique à part entière, possédant ses propres variables wc et FC.

L'équilibre de cette interface se traduit toujours par:

On introduit de nouveau le saut de déplacement qui, pour l'interface, joue un rôle analogue à celui d'une déformation :

Dans le cas quasi-statique, la relation de comportement de type frottement sec peut alors être formulée de façon mixte, en force-déplacement-vitesse, de la façon


3. Contrôle des problèmes de contact quasi-st atiques

suivante (voir par exemple [58]) :

w n 2 0 F i 2 0 F n w i = O (3.1)

I I Ft 115 PF,c (3.2) I I F," I I < pFL +- w," = O (3.3) I I F," II=pFi +- 3X > O / W," = -XF," (3.4)

où p désigne le coefficient de frottement. Afin de permettre la construction d'une mesure d'erreur, cette relation de com-

portement doit être réécrite sous une forme plus compacte. Etant donnée la présence dans la relation de comportement ainsi écrite de termes

cinématiques n'ayant pas la même dimension, on scinde la relation de comportement du contact avec frottement en deux termes: une partie faisant intervenir les dépla- cements normaux et une partie faisant intervenir les vitesses tangentielles. On peut alors écrire la relation de comportement sous la forme de deux égalités :

71 = X B ( - W ~ ) + xC(FC) + FAw: = O (3.5) 711 = XC(,) (FC) + p 1 FA 1 I I w; I I +Ft.Wt = O (3.6)

où XB (-wc), xc(FC) et xc(,) (Fc) sont les fonctions indicatrices des convexes :

B = {v/vn 5 O)

C = {F/Fn 2 0)

C(P) = {FI I I Ft III P I F n Il Démonstration

- L'implication est évidente. - Montrons que q~ = O =+- (3.1)

Nécessairement xB(-wC) = O et xc(FC) = O ; on obtient :

Fc>O n - ,:>O

Dès lors, on a l'égalité :

Fiw: = O

- Montrons que 711 = O + (3.2) à (3.4) Nécessairement xq,) (Fc) = O et on obtient :

I I F t III P I F,e I et

711 = O + Ff.W,"+p 1 Fi I I I W," I I = O

- s i I I Ft I I < CL I F,e I On a :

F,".W," 2 - I l F," 1 1 1 1 w; I I D'où :

(P I F,c I - I I Ft II) I I w," Il5 0 ce qui n'est possible que si wr = 0.


3.2. Formulation du problème de référence

- s i I I FZ: I I = C1 I F," I On a :

Fi.W:+ I I Ft 1 1 1 1 w: I I = O

ce qui conduit à : 3X > O /Fi = -XW:

- Conclusion :

( q ~ = O et 711 = 0) + ((3.1),(3.2),(3.3),(3.4)) O


Le problème du contact unilatéral peut donc être formulé de la façon suivante:

Trouver sur tout l'intervalle de temps considéré [O,T], (ul,al) défini sur R1, (u2,a2) défini sur R2 et (w1,w2,Fc,F1 ,F2) défini sur I'" vérifiant :

1 - les liaisons cinématiques et les conditions initiales

- les équations d'équilibre Pour (1 = 1,2):

d i v d + fd = 0 dans Ri V t E [O,T] (3.9)

bn" = F; W E [O,T] al~,nl (3.10)

a;, n' = F' V t E [O,T] (3.11)

Sur rC : F" = -FI = F~ Vt E [O,T] (3.12)

- les relations de comportement

Pour 1 = l,2, a' = K'E(u') V t E [O,T], V M E a' (3.13)


3.3.1 Champs admissibles 1 2 1 2 Les champs s ~ d = (u ,U ,O ,a ,w1,w2,F1,F2,FC) sont dits admissibles s'ils véri-

fient sur tout l'intervalle de temps étudié [O,T] : - les équations de liaisons (3.7),


3. Contrôle des problèmes de contact quasi-statiques

- les équations d'équilibre (3.9) et (3.12).

3.3.2 Estimateur

Soient :

On a les propriétés suivantes :

On peut alors définir un estimateur d'erreur comme suit :

Une prise en compte du temps par une moyenne est également possible :

3.4 Stratégie de résolution du problème de référence

Pour simplifier, nous considérons dans cette partie le cas d'un solide élastique en contact avec un socle rigide. On omettra donc l'indice supérieur 1 afin d'alléger les notations.

3.4.1 Formulation variationnelle

La principale difficulté réside ici dans le fait que la formulation des conditions de contact se fait en déplacement et que celle des conditions de frottement se fait en vitesse.

Ainsi, le choix de la variable inconnue, déplacement ou vitesse, pose problème. Dans [58], [59], les auteurs proposent une formulation variationnelle basée à la fois sur les vitesses et les déplacements et composée de deux inéquations couplées :


3.4. Stratégie de résolution du problème de référence

Trouver le champ de déplacement u sur tout l'intervalle de temps [O,T] tel que:

et :

avec :

V = { U E [H1(R)] / u=O sur &R 1 Le couplage entre ces deux inéquations variationnelles se fait donc par les quanti-

tés normales au contact (effort et déplacement). La seconde inéquation traduit tout simplement la condition de non pénétration dans le socle rigide.

3.4.2 Forme incrémentale

On se donne tout d'abord une discrétisation spatiale à Nt pas de temps et sup- posée régulière :

At = tn+, - tn V n E {O,. . . ,Nt - 1)

Le problème d'inéquations variationnelles couplées présenté au paragraphe pré- cédent se met alors sous la forme incrémentale suivante :

Trouver le déplacement un+' E U tel que :

Enfin, comme indiqué dans [59], ce dernier problème est équivalent à:



1 Trouver le déplacement un+' E U tel que :

Ce dernier problème peut alors être classiquement résolu par un procédé de point fixe sur le seuil de glissement, comme en statique, où un problème de contact avec frottement de Tresca est résolu à chaque itération.

3.4.3 Discrétisation spatiale

Comme en statique, on associe à cette discrétisation temporelle une discrétisation spatiale par éléments finis à trois nœuds. La condition de contact est discrétisée par les mêmes techniques que celles présentées au paragraphe 2.4.2.2.

3.4.4 Utilisation de COFAST

Comme en statique, il est également possible d'utiliser le logiciel COFAST basé sur la méthode LATIN pour obtenir une solution approchée du problème proposé. Les résultats obtenus avec ces deux méthodes seront comparés au paragraphe 3.6.2.

3.5 Mise en œuvre

La mise en œuvre passe par la construction de champs admissibles, conduisant à une erreur finie. Ce travail se fait en deux étapes :

- construction des champs de déplacement, de contrainte et d'efforts de contact à chaque piquet de la discrétisation temporelle ;

- interpolation linéaire sur le temps de ces champs.

3.5.1 Construction de champs cinématiquement admissibles

A chaque piquet de temps, le champ de déplacement vérifie les équations de liaison. Toutefois, comme en statique, de légères interpénétrations peuvent se produire dans le cas d'une condition de non-pénétration globale.

De nouveau, le champ de déplacement est donc modifié comme indiqué au paragraphe 2.5.1.2, de sorte que l'erreur ne soit pas infinie.

3.5.2 Construction de champs d'efforts de contact

Les efforts de contact Fh(ti) obtenus à l'issue du calcul éléments finis ne vérifient pas nécessairement à chaque piquet de temps ti :

FCh E C(P) (3.25)

et peuvent donc conduire à une erreur infinie. Ils sont donc modifiés comme proposé au paragraphe 2.5.2. On obtient ainsi les

efforts de contact Fc(ti).


3.6. Exemples

3.5.3 Construction de champs statiquement admissibles

A chaque piquet de temps, les efforts imposés fd(ti), Fd(ti), les efforts de contact admissibles Fc(ti) et le champ de contrainte &(ti) vérifient l'équilibre éléments finis.

La construction d'un champ de contrainte statiquement admissible 2 exposée au paragraphe 2.5.3 est alors intégralement reprise pour obtenir 2(ti).

3.5.4 Interpolation en temps

On interpole alors linéairement les champs de déplacement, d'efforts de contact et de contrainte :

Les champs ainsi construits sont admissibles si les déplacements et les charges varient linéairement sur chaque pas de temps, ce qui, en pratique, n'est pas très contraignant.

Enfin, les conditions :

étant vérifiées à chaque piquet de temps ti, il est clair qu'elles le sont aussi pour tout t E [O,T].

REMARQUE. - Le champ de vitesse GC utile au calcul de l'erreur est donc constant par pas de temps. Il est défini par :

3.6 Exemples

3.6.1 Premier exemple

3.6.1.1 Description

Cet exemple est issu du problème étudié en statique au paragraphe 2.6.2. Il s'agit donc d'un lopin mis en compression biaxiale puis partiellement déchargé, comme indiqué sur la figure 3.2. Le coefficient de frottement est cette fois pris égal à 0,2. Cet exemple a notamment été traité dans [60] pour différents chemins de décharge,



Zone de contact avec frottement L Sode rigide

Figure 3.2 - Premier exemple de calcul quasi-statique

montrant ainsi l'irréversibilité due au frottement. Nous considérons donc nous aussi trois trajets de chargement, et donc trois

problèmes de référence (figure 3.4)' aboutissant tous aux mêmes valeurs d'efforts imposés à la structure 1 IF:,i I I et 1 1 1 .

Figure 3.3 - Maillage utilisé pour le premier test

3.6.1.2 Calcul d'erreur

Dans cette partie, nous nous proposons d'estimer les erreurs commises lors du calcul des solutions approchées des trois problèmes de référence.

Pour des raisons évidentes de symétrie, seule une moitié du solide est maillée. Le calcul est effectué à l'aide du logiciel COFAST. Le maillage utilisé (figure 3.3) pour ce premier calcul comporte 512 éléments triangulaires à trois nœuds.



Erreurs absolues

Figure 3.5 - Evolutions des erreurs au cours du temps pour les diflérents chargements

(a) Chargement (a) (b) Chargement (b) (c) Chargement (c)

Figure 3.6 - Cartes des contributions à l'erreur globale pour les diflérents chargements

Les évolutions des erreurs globales par maximum sur le temps montrent que l'erreur finale est assez différente selon le type de chargement imposé à la structure.

Au second piquet de temps, à l'issue de la première phase de chargement, les erreurs commises pour les chargements (a) et (b) (figure 3.5) qui font intervenir le frottement sur la zone de contact sont très proches et importantes. Par contre, l'erreur commise à cet instant pour le chargement (c) est très faible (figure 3.5). Ce résultat est attendu, puisque le solide est alors uniquement soumis à de la compression. Nous savons que la solution éléments finis est, dans ce cas, d'excellente qualité. Il est donc raisonnable d'obtenir une erreur très faible.


3.6. Exemples

Pendant la seconde phase, l'erreur commise augmente nettement pour les pro- blèmes (b) et (c), où le solide est de nouveau chargé, et où le frottement joue un rôle important. A cette étape, les problèmes deviennent donc plus « raides >> et il est sain d'obtenir une erreur plus importante.

Enfin, à la décharge, une singularité apparaît dans le coin bas gauche de la structure, par effet de coincement. Cette singularité conduit à une erreur importante dans cette zone comme l'indiquent les cartes d'erreurs de la figure 3.6.

3.6.2 Second exemple

On considère maintenant un exemple mettant en jeu deux solides élastiques. Le problème étudié est présenté sur la figure 3.7.

1 1 Zone de contact avec frottement

Figure 3.7 - Second exemple de calcul quasi-statique

On se donne le maillage de la figure 3.8 contenant 20 éléments. Dans le but d'étudier l'influence de la finesse du maillage sur les erreurs estimées, on le sous- découpe 5 fois. On obtient alors 6 maillages réguliers contenant 20, 80, 320, 1 280, 5 120 et 20 480 éléments. On note N, le nombre d'éléments du maillage considéré.

Pour chaque maillage, on calcule une solution approchée du problème posé par la méthode du point fixe, puis par le logiciel COFAST, avec, dans ce cas, différents critères d'arrêt E,.

Les erreurs relatives par moyenne sur le temps obtenues sont données dans le tableau 3.1 et reportées sur la figure 3.9, en échelles logarithmiques.



Figure 3.8 - Maillage initial pour l'étude de convergence

Erreur

Nombre dWements EC =

1

I

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

Figure 3.9 - Erreur en fonction du nombre d'éléments

Nombre d'éléments 1 Algorithme 1 20 1 80 1 320 1 1 280 1 5 120 1 20 480

1 E; = 54;5 36;4 28;3 21;6 ' 16;2 11;9 Point fixe 47.0 36.9 28.7 22,O 16.8 13,5

Tableau 3.1 - Influence de la discrétisation spatiale et de E, sur la qualité de la solution


3.7. Conclusion

Cette figure montre, tout d'abord, que le critère d'arrêt de la méthode LATIN a une influence non-négligeable sur l'ordre de convergence. En particulier, on s'aperçoit que pour s, = IO-', l'erreur due à la résolution du problème non-linéaire est si importante que le raffinement du maillage ne permet pratiquement pas de faire chuter l'erreur.

Sur cet exemple, la méthode du point fixe ou un calcul COFAST avec s, = 10-3 ou E, = 10-4 donnent des résultats de qualité similaire.

Conclusion

Les travaux présentés dans ce chapitre montrent que le concept d'erreur en relation de comportement permet également de contrôler des problèmes de contact avec frottement de Coulomb formulé en vitesse.

La résolution du problème non-linéaire, les constructions des champs admissibles s'inspirent très largement des travaux réalisés en statique.

Les résultats obtenus, aussi bien au niveau de l'influence du trajet de chargement sur l'erreur estimée qu'au niveau des taux de convergence, sont tout à fait sains.




Chapitre 4

Contrôle des problèmes d'impact - Cas d'un solide élastique

Dans ce chapitre, nous considérons des problèmes d'impact élastiques sur socle rigide plan. Nous présentons, tout d'abord, une modélisation du contact avec frottement de Coulomb en dynamique. Le concept mécanique d'interface de contact est conservé, mais I'inconnue cinématique associée possède dé- sormais la dimension d'une vitesse. L'usage d'un bipotentiel nous permet à nouveau de formuler la relation de comportement du contact avec frottement sous une forme bien adaptée à la formulation d'un estimateur d'erreur en relation de comportement. Après avoir écrit le problème de référence, nous définissons les champs admissibles et la mesure d'erreur qui est une extension de l'erreur de Drucker introduite dans [61] et mise en œuvre dans [9] pour les pro- blèmes de dynamique sans contact. Nous détaillons ensuite la stratégie utilisée pour obtenir une solution approchée du problème de référence et nous proposons les constructions de champs admissibles qui y sont associées. En particulier, pour un problème d'impact unidimensionnel dont la solution exacte est connue, nous montrons que ces constructions conduisent à un estimateur robuste, puisque les erreurs estimées sont proches des erreurs (( vraies B. Enfin, dans le cas d'un problème bidimensionnel, nous étudions les influences des discrétisations spatiales, temporelles, ainsi que du coefficient de frottement sur la qualité de la solution approchée.


Sommaire

. . . . . . . . . . . . 4.1 Modélisation du contact en dynamique 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Notations 87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Modélisation du contact 87 . . . . . . . . . . . . . 4.2 Formulation du problème de référence 88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Les équations de liaison 89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Les équations d'équilibre 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Les relations de comportement 89

. . . . . . . . . . . . . . 4.3 Erreur en relation de comportement 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Champs admissibles 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Quantités additionnelles 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Estimateur 90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Contributions élémentaires 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Erreur relative 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Erreurs de référence 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Indices d'efficacité 95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Stratégie de r6solution utilisée 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Discretisation spatiale 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Discrétisation temporelle 96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Traitement du contact 98 . . . . . . . . . . . . . 4.5 Mise en œuvre de la mesure d'erreur 99

4.5.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . 100 4.5.2 Construction de champs dynamiquement admissibles . . . . . 103

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 RAsultats 109 . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Problème à un degré de liberté sur rC 109

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Problème bidimensionnel 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Conclusions 120



4.1 Modélisation du contact en dynamique

4.1.1 Notations

On considère ici le problème d'un solide élastique R impactant un socle rigide plan So de normale extérieure n,. A chaque instant t de l'intervalle d'étude [O,T] où il y a physiquement contact entre le solide élastique R et le socle rigide So, on peut définir une interface de contact rc(t) (figure 4.1). On supposera que le contact peut se faire avec du frottement sec (loi de Coulomb). Il est essentiel de remarquer que cette interface rc(t) est une zone de contact effective et qu'elle est, par conséquent, dépendante du temps et inconnue à l'instant initial. C'est là une grande différence par rapport à ce qu'on a vu en statique, où l'interface était seulement le lieu d'un contact potentiel, et donc connue. Enfin, nous supposons que le contact ne peut pas avoir lieu sur les zones à déplacements ou efforts non-nuls imposés.


Afin de faciliter la définition d'une erreur en relation de comportement, il est de nouveau commode de considérer l'interface rc(t) comme une entité mécanique à part entière. Orientons rc(t) par le choix du vecteur normal extérieur au socle rigide ns, c'est-à-dire nc = ns (figure 4.1), et introduisons sur l'interface rc(t) les grandeurs mécaniques wC et Fe, où:

- Fc est toujours une densité surfacique d'efforts de contact ; - wC est désormais homogène à une vitesse, et non plus à un déplacement ; en

effet, dans le cas dynamique, la relation de comportement du contact avec frottement est écrite sur la zone effective de contact et elle doit donc être formulée en force-vitesse.

Pour tout vecteur v, posons :


4. Contrôle des problèmes d'impact - Cas d'un solide élastique

La relation de comportement du contact avec frottement peut alors être formulée en force-vitesse de la façon suivante:

où p désigne le coefficient de frottement. Utilisons la démarche proposée par De Saxcé dans [40] et introduisons le bipo-

tentiel : b(vF) = XB(V) + X C ( ~ ) (F) + pFn II vt II

où XB et xqp) sont les fonctions indicatrices des convexes :

Comme nous l'avons déjà vu en statique, la relation de comportement (4.1) est alors équivalente à la condition :


Figure 4.2 - Type de problème étudié

On considère quatre types d'interaction entre le solide R et son environnement (figure 4.2) :

- sur la partie dlR de la frontière dR du solide R, des déplacements ud connus sont imposés ;

- sur la partie d2R de la frontière aR du solide R, des efforts linéiques Fd connus sont imposés ;


4.2. Formulation du problème de référence

- sur la partie complémentaire à ôlR U ô& de la frontière ôR du solide R, un contact avec le socle rigide So, de normale extérieure n,, peut avoir lieu au cours de l'intervalle de temps considéré ;

- sur tout le domaine 52, des efforts volumiques fd connus sont imposés. Les équations du problème de référence peuvent alors être séparées en trois

groupes : - les équations de liaison ; - les équations d'équilibre ; - les relations de comportement.

4.2.1 Les équations de liaison

On définit tout d'abord la zone de contact effective rc(t) par:

où O est un point du socle rigide (figure 4.2). Un champ de déplacement ud est imposé sur la partie ôlR de la frontière OR :

Sur la zone de contact identifiée à partir du champ de déplacement u, conformément à ce qui a été dit au paragraphe précédent, l'inconnue d'interface wC est reliée au champ de vitesse par:

Ulrc = wC Vt E [O,T] (4-4)

Le champ de déplacement u doit également vérifier les conditions initiales suivantes :

4.2.2 Les équations d'équilibre

Elles lient la contrainte u(M,t), les efforts de contact FC et la quantité d'accélé- ration I' :

4.2.3 Les relations de comportement

Pour le problème considéré, on distingue trois relations de comportement : - La relation de comportement dynamique s'écrit :



- Les relations de comportement du contact avec frottement de Coulomb qui doivent être écrites en vitesse, et sur la zone de contact effective rC(t). Là encore, l'usage d'un bipotentiel permet d'écrire ces relations de comportement sous une forme compacte :

b(-wc,Fc) + wc.Fc = O Vt E [O,T], VM E rC(t) (4.9)

- La relation de comportement matériau est de type élastique :

o = K ~ ( u ) Vt E [O,T], V M E fl (4.10)



Le concept d'erreur en relation de comportement consiste à considérer comme solution approchée du problème de référence une solution admissible :

SA^ = (UCA,W&A TDAFDA $'LA) où la zone de contact admissible est définie à partir du champ de déplacement cinématiquement admissible UCA de façon identique à (4.2) :

rgA(t) = { M E (aR - &fl - a2fl)/uCA(M,t).~, = -OM(t = O).n,)

Les champs SA^ = (u~~,wC;.~,I'~~,O~~,F~~) sont dits admissibles si : - UCA et wgA vérifient les équations de liaison (4.3) à (4.6) ; - (IIDA7oDA,FLA) vérifient les équations d'équilibre (4.7).

4.3.2 Quantités additionnelles

On introduit des quantités additionnelles, images des quantités admissibles via les relations de comportement :

1 ilDA tel que ÜDA = -rDA et ~ ~ ~ l ~ = ~ = vo

P

st imat eur

On pose alors, pour tout t E [O,T] :



Une mesure de l'erreur sur l'intervalle d'étude [O,T] peut enfin être définie par:

ou par :

REMARQUE. - Comme en statique, les champs admissibles définis au paragraphe 4.3.1 peuvent conduire à une erreur infinie. En pratique, on cherchera donc à construire des champs strictement admissibles satisfaisant, outre les conditions classiques :

Propriété L'erreur en relation de comportement satisfait la propriété suivante :

{emc(sAd) = O} U sas vérifie toutes les équations du problème de référence

4.3.4 Contributions élémentaires

On définit également les contributions élémentaires à l'erreur globale par :

avec, pour tout t E [O,T] :

d' J5,mE [ ~ ( - w E ~ , F D ~ ) + wCA.~DAI dsdr

4.3.5 Erreur relative

Afin de pouvoir comparer les erreurs obtenues pour différents problèmes, il est utile de définir une erreur relative notée &(sAd) :

avec



4.3.6 Erreurs de référence

4.3.6.1 Solution exacte d'un impact unidimensionnel

Dans le cas unidimensionnel présenté sur la figure 4.3, la solution exacte du problème de référence est connue. Les conditions initiales sont les suivantes :

- u(M,t = 0) = UO, VM E Q - ù(M,t = 0) = VO, V M E R

Les chargements sont les suivants : - alsz=0 - F d = O , e n x = O - f d = O , Y M E R On a introduit les grandeurs géométriques et mécaniques communément utilisées

pour les problèmes ID. L, S désignent respectivement la longueur et la section de la barre. E et N désignent le module d'Young et l'effort normal.

Figure 4.3 - Problème d'impact dont la solution exacte est connue

On peut trouver dans [62] des détails concernant l'obtention de la solution. Pra- tiquement, il est possible de décomposer la solution exacte en trois phases :

- A l'approche du socle rigide la barre a un mouvement de corps rigide de vitesse vo, jusqu'à l'instant de l'impact noté t,.

1

- Une onde de compression se propage alors à la célérité -c = - (f) ' dans le solide, séparant distinctement une zone comprimée, où les points sont à vitesse nulle, et une zone non-comprimée, toujours animée d'un mouvement de solide rigide. Au bout d'un temps r = 4, c'est-à-dire à la date t = t, + $, l'onde se réfléchit sur le bord libre. Une onde de traction se propage alors à la vitesse



c dans la barre, annulant ainsi la compression. Lorsque le front d'onde atteint l'extrémité en contact, il y a décollement : t = t, + O.

- La barre retrouve alors un mouvement de solide rigide, à la vitesse -vo. Cette solution peut être schématisée comme indiqué sur la figure 4.4.

E s ~ a c e

V = -210 y ru %-a ,A%%x? ' 2 q

Temps

Figure 4.4 - Solution exacte pour le problème I D (figure 4.3)

Le déplacement, la vitesse, et l'effort de contact sont donnés en fonction du temps et pour un point M d'abscisse x E [O,L], sur la figure 4.5.

4.3.6.2 Erreurs de réference

La connaissance de la solution exacte du problème de référence dans le cas unidimensionnel nous permet de définir deux erreurs de référence.

La première fait intervenir uniquement les champs exacts et éléments finis. Elle permet donc de connaître l'erreur réellement commise entre la solution du problème de référence et la solution éléments finis :

La seconde erreur de référence introduite mesure l'écart entre la solution exacte et la solution admissible SA^ :

REMARQUE. - De la même façon qu'en (4.13)' les erreurs exactes peuvent également être obtenues en calculant une moyenne et non pas en prenant un maximum sur le



(a) Déplacement

Temps

(b) Vitesse

(c) Effort de contact

" , Temps

Figure 4.5 - Déplacement, vitesse et eflort de contact exacts pour le problème figure 4- 3)


4.4. S t r a t é ~ e de résolution utilisée

temps. On obtient alors :

1 t l 1 L L

e g x , r ( t ) = T 1 5 [ ( l ( N e z - N D A ) ~ ~ X + Jlo ( N e z - N C A ) ~ ~ X ) + O

4.3.7 Indices d'efficacité

Deux indices d'efficacité peuvent être définis comme le rapport de l'erreur estimée et de l'une des deux erreurs de référence:

e ~ d c cEx , i = - pour i = 1'2

e ~ x , i

Ces deux indices d'efficacité permettent d'obtenir une bonne image du niveau de performance global de l'estimateur d'erreur. En particulier, si les cEx,i sont proches de 1, l'erreur estimée est proche de l'erreur vraie et l'estimateur d'erreur est robuste.

4.4 Stratégie de résolution utilisée

Le calcul d'une solution approchée du problème de référence, passe par la dé- finition d'un modèle numérique. L'obtention de ce modèle se fait en trois étapes principales :

- une discrétisation spatiale de type éléments finis ; - une discrétisation temporelle ; - un traitement adapté des conditions de contact avec ou sans frottement.


On définit tout d'abord un maillage Rh de la structure R. Dans le cas unidimensionnel, on utilise N, segments à deux nœuds répartis uniformément sur la barre. Dans le cas bidimensionnel, la structure R est maillée à l'aide d'éléments triangulaires à trois nœuds.

On cherche le champ de déplacement de type éléments finis défini par:

où [u(t)] est le vecteur des inconnues nodales et où N h est la matrice des fonctions de forme éléments finis.



Soit M la matrice de masse définie par :

Soit [a(t)] le vecteur des efforts intérieurs dont la ieme composante ai(t) est définie par :

P

où q3i est la ieme fonction de forme. Soit [F(t)] le vecteur des efforts généralisés défini par :

En affaiblissant les conditions d'équilibre (4.7)' en prenant en compte les relations de comportement (4.8) et (4.10)' et en l'absence de contact, l'équation d'équilibre éléments finis peut alors s'écrire :

Les conditions initiales s'écrivent enfin :

Nous verrons par la suite que, finalement, la présence de conditions de contact revient à des résolutions successives de problèmes du type de (4.26).

4.4.2 Discrétisation temporelle

La résolution numérique de (4.26) et (4.27) est réalisée à l'aide d'un schéma d'intégration en temps. Pour cela, l'intervalle d'étude [O,T] est sous découpé en Nt pas de temps. Pour simplifier, nous supposerons que le pas de temps est constant :

At = t,+, - t, Vn E {O,. . . ,Nt - 1)

mais la méthode peut être étendue à des pas non constants. Les trois suites ([un], [un], [a,]) représentent les approximations des valeurs aux

instants tn du déplacement, de la vitesse, et de l'accélération. Parmi les nombreux schémas d'intégration en temps, implicites ou explicites,

nous avons choisi le schéma explicite des différences centrées. Ce shéma est le plus utilisé dans les codes de calcul de dynamique rapide tels que Ls-DYNA [63], RADIO% [64] [65], ABAQUS EXPLICIT [66], EUROPLEXUS [67] 1681.

Ce schéma du second ordre fait intervenir les valeurs aux piquets de temps et aux demi-pas de temps :


[un+i] = [un] + At[v,++]

[un+ + ] = [un- ] + At[an]

et par une équation d'équilibre éléments finis du type :

M[an+l] + [an+i] = [&+II

par :

4.4. Stratégie de résolution utilisée

Le vecteur déplacement [un], le vecteur vitesse [v,++], et le vecteur accélération [a,] sont définis par les relations :

(4.28)

(4.29)

Les trois suites sont initialisées par le déplacement initial [uo], la vitesse [vil 2 donnée

et l'accélération initiale [ao] donnée par la résolution de :

M[ao] + [no] = [Fol (4.32)

REMARQUE. - Ce schéma est conditionnellement stable. En 1D avec une discrétisa- tion spatiale régulière à N, éléments, la condition de stabilité sur le pas de temps s'écrit simplement :

où c est la célérité des ondes dans le milieu:

c = (%) Pour un problème à deux dimensions, et puisque le comportement considéré est linéaire, la condition de stabilité de Courant [69] est donnée plus généralement par :

2 At 5 At, = - (4.34)

W

où w est la plus grande des pulsations propres w, obtenues en résolvant le problème suivant : Trouver les réels w, pour lesquels il existe q # O tels que:

Kh[ql = w n ~ [ q l (4.35)

où K h est la matrice de rigidité définie par :

et où M est la matrice de masse définie précédemment.

Le schéma d'intégration choisi ici utilise une matrice de masse diagonalisée M D au lieu de M. Les résolutions répétées de (4.30) sont ainsi évitées. Dans le cas d'éléments massifs, on choisit, par exemple, la matrice de masse diagonalisée MD de la façon suivante :

où N, est le nombre de nœuds du maillage Qh.



Initialisation (u0 ,v~ ,ao) 2

Calcul sans contact Zn+1 n Contact ? ) non

Calcul avec multiplicateur c Décalage d'indices c

t

non t, = T?

1 Fin du calcul 1 Figure 4.6 - Algorzthme de calcul d'une solution approchée en ID

4.4.3 Traitement du contact

4.4.3.1 Cas à un seul degré de libert6 sur rc(t) (cas 1D)

Comme en statique, le contact est traité par un multiplicateur de Lagrange portant sur le nœud impactant le socle rigide. La condition étant unilatérale, on se ramène à la résolution d'un problème linéaire en testant le statut du nœud considéré (algorithme figure 4.6). A chaque piquet de temps t,, on calcule la solution du problème de dynamique sans condition de contact du type (4.30). On connaît alors un déplacement prédicteur Zn+1 donnant l'état du nœud impactant :

- Si Zn+l est tel que le nœud impactant n'est pas en contact au piquet t,+l, on - passe au piquet de temps suivant, avec u,+l = u,+l.

- Si ;ii,+l est tel que le nœud impactant pénètre dans le socle rigide, on calcule une nouvelle solution du problème (4.30)' en imposant que le déplacement du nœud impactant soit égal au jeu initial j. En pratique cette condition est imposée à l'aide d'un multiplicateur de Lagrange.

4.4.3.2 Cas à plusieurs degrés de liberté sur rc(t) (cas 2D)

Pour traiter le contact, l'esprit de l'algorithme proposé au paragraphe précédent est conservé. Toutefois, la zone de contact potentielle n'étant plus réduite à un seul


4.5. Mise en œuvre de la mesure d'erreur

point, il est nécessaire d'itérer à chaque pas de temps pour identifier la zone de contact effective. Dans le cas du contact sans frottement, l'algorithme utilisé peut alors être décrit selon la figure 4.7.

I 1 Initialisation (uo,vL 2 ,%) 1

+ Calcul sans contact &+l

[+ Contact ? non

Identification de rC(tn) n + 1 Calcul avec multiplicateurs 1

( de Lagrange sur rc(tn) 1 +

non Convergence ?

Décalage d'indices 1 Fin du calcul

Figure 4.7 - Algorithme de calcul d'une solution approchée, sans frottement, en 2 0

La prise en compte du frottement introduit des itérations supplémentaires et se fait à l'aide de l'algorithme du point fixe proposé au chapitre 2 pour le cas statique. Ainsi, à chaque piquet de temps, on effectue un certain nombre d'itérations, correspondant chacune à un problème de contact avec frottement de type Tresca. A chacune de ces itérations, il est donc nécesssaire d'identifier la zone de contact effective.

4.5 Mise en œuvre de la mesure d'erreur

Le calcul éléments finis fournit, à chaque piquet de temps ti : - un champ de déplacement uh,i ;



- un champ de vitesse vh,+ ; 2

- un champ d'accélération ah,i ; - un champ de vitesse au contact w;,~ ; - un champ d'effort de contact Fhli ; - un champ de contrainte Oh,i ; - une zone de contact ri (ti). Ces champs issus de la simulation numérique ne sont pas admissibles. En effet, à

chaque piquet de temps, l'équilibre entre le champ de contrainte l'accélération ah$, les efforts de contact Fili et les efforts imposés n'est vérifié qu'au sens faible des éléments finis, et avec une matrice de masse diagonalisée. De plus, les efforts Fi,i et les vitesses w;,~ ne vérifient pas nécessairement :

et pourraient donc conduire à une erreur infinie. Enfin, l'effort de contact Fi,i peut même être non nul en dehors de la zone de contact I'i(ti).

Afin de mettre en œuvre l'estimateur d'erreur proposé au paragraphe 4.3.3, il est donc nécessaire de reconstruire, à partir de cette solution éléments finis, et en exploitant ses propriétés, un jeu de champs admissibles SA^.

Cette construction se fait en trois étapes que nous détaillons dans la suite de cette partie :

- Construction de champs de déplacement et de vitesse cinématiquement admissibles sur tout l'intervalle d'étude ;

- Construction d'un triplet dynamiquement admissible (oDA,i,rDA,à7FkA,i) à chaque piquet ti de la discrétisation temporelle ;

- Interpolation linéaire sur le temps de ces quantités dynamiquement admissibles.


4.5.1.1 Rappel sur le cas des problèmes sans contact

Dans [9], une construction des champs cinématiquement admissibles UCA et ficA est proposée. Elle est adaptée au schéma d'intégration des différences centrées qui fait jouer un rôle particulier aux points milieux des pas de temps. En particulier, la vitesse éléments finis au pas est donnée en fonction des vitesses éléments finis aux demi-pas par :

Le champ de vitesse cinématiquement admissible tcA est alors défini comme suit :

Pour t E [tn,tn+i] :



Les déplacements cinématiquement admissibles sont ensuite calculés en intégrant le champ de vitesse cinématiquement admissibles GCA, en tenant compte de la condition initiale en déplacement, et en écrivant la continuité du déplacement entre les pas de temps :

Pour t E [t.,t,+:] :

Aux nœuds j , les conditions initiales sont donc vérifiées.

4.5.1.2 Cas des problèmes avec conditions unilatérales

Par rapport à un problème de dynamique sans contact, la principale difficulté provient du fait que des conditions supplémentaires doivent être vérifiées afin de garantir que les champs cinématiquement admissibles ne conduisent pas à une erreur infinie. En particulier, on doit vérifier sur la zone de contact cinématiquement admissible rgA définie par le déplacement u c ~ :

-wbA E B, c'est-à-dire wCA.nc 2 O (4.46)

On doit donc résoudre le problème non-linéaire suivant :

Problème Pl : Trouver wgA(M,t) et uCA(M,t) tels que: - UcA(M,O) = vo ;

- UCA (M,o) = u0 ; - I'CA(t) soit définie par le champ uCA(M,t) de la même façon qu'en (4.2) ; - wCA(M,t) = uCA(M,t) sur rCA(t) ; - wCA (M,t).nC 2 0 Sur rCA(t) ;

- ùcA(M,t) minimise un écart avec le champ de vitesses G c A ( ~ , t ) .

La principale difficulté du problème Pl provient du fait que la zone de contact admissible rgA, sur laquelle est écrite la condition unilatérale, est implicite, puisqu'elle est déterminée par le champ de déplacement u c ~ , lui-même inconnue du problème.



Afin de lever cette difficulté, nous imposons que la zone de contact rCA(t) définie par le champ de déplacement admissible UCA soit identique à la zone de contact élé- ments finis rh(t). NOUS cherchons donc les champs wCA et u c ~ solution du problème suivant :

Problème P2 : Trouver wCA(t) et ucA(t) tels que : - UcA (M,O) = vo ;

- CA (M,O) = u0 ; - rCA (t) = rh(t) ;

- wh,cA (t) = UM,CA(~) sur r&A(t) ; - w&,cA (t) .IlC 2 0 Sur rcA(t) ;

- UcA(M,t) minimise un écart avec le champ de vitesses ?icA(M,t).

En quelque sorte, on impose quelques points de rendez-vous entre la configuration éléments finis et la configuration admissible.

Cette contrainte supplémentaire conduit en fait à un problème bien plus simple à résoudre, puisque la contrainte unilatérale est désormais imposée sur une zone de contact connue à l'issue du calcul éléments finis.

Toutefois, il s'agit toujours de minimiser l'écart entre UCA(M,t) et UcA(M,t) sous plusieurs contraintes, dont une est unilatérale.

Cette dernière difficulté peut être contournée en imposant la condition forte qui, en pratique, n'est pas pénalisante :

wh,cA (t) .ne = O sur rCA (t) (4.47)

au lieu de : wgA(M,t).nC 2 O

Finalement, nous cherchons donc les champs wCA et UCA solutions du problème linéaire suivant :

- wC,(M,t) = UCA(M,~> ; - UcA (M,O) = vo ;

- uCA(M,O) = u0 ; - rCA(t) = rh(t) pour tout t E [O,T] ; - wCA (M,t).nc = 0 Sur rzA(t) = q ( t ) ;

- UcA(M,t) minimise un écart avec le champ de vitesses t c A ( ~ , t ) .

En pratique, étant donné que les champs UCA, wCA cherchés sont définis par leurs valeurs nodales, la résolution du problème P3 se fait nœud par nœud et en distinguant deux cas :

- le nœud Mi considéré vient impacter le socle rigide au cours de l'intervalle d'étude et on doit résoudre le problème P3 ; cette résolution se fait à l'aide de multiplicateurs de Lagrange ;



Figure 4.8 - Exemple de résolution du problème P 3

- le nœud Mi considéré n'impacte jamais le socle rigide et la solution du pro- blème P 3 est triviale :

UCA (Mi 7t) = UCA (Mi ,t) (4.48)

On donne sur la figure 4.8 un exemple de résolution du problème P3, pour un nœud impactant plusieurs fois le socle rigide.

Sur cette figure, les parties grisées correspondent aux instants de contact dans la configuration éléments finis.

On vérifie bien que : - les durées des contacts dans les configurations éléments finis et admissibles

sont identiques, c'est-à-dire :

r",(t) = rh(t)

- la vitesse admissible wbA vérifie rigoureusement : -wCA E B - les conditions initiales sont respectées.

4.5.2 Construction de champs dynamiquement admissibles

La construction des champs dynamiquement admissibles se fait en deux temps : - calcul d'un triplet (F&A(ti),fJDA,i7rDA,i) en équilibre à chaque piquet de temps

ti de la discrétisation temporelle ; - interpolation linéaire sur chaque pas de temps de ces grandeurs.

4.5.2.1 Efforts de contact dynamiquement admissible FLA au piquet ti

Les efforts de contact dynamiquement admissibles FLA(ti) doivent vérifier certaines conditions :

- ces efforts n'étant théoriquement définis que sur ïLA(ti), ils doivent être nuls



en dehors de cette zone; - les efforts de contact admissible doivent également être tels que :

F ~ A (fi) E C(P) (4.49)

de sorte que l'erreur ne soit pas infinie. On se base naturellement sur l'effort de contact éléments finis noté Fi. En pra-

tique Fi ne vérifie pas les conditions précitées. Il est donc nécessaire, comme en statique, de le modifier pour obtenir un champ d'effort au contact strictement admissible.

Première étape : pour chaque nœud Mk sur [O,T]

Dans un premier temps, pour chaque nœud Mk considéré impactant le socle rigide au piquet de temps ti7 et décollant au piquet de temps ti17 on impose:

-C FDA(Mk7tn) = Fi(Mk7tn) pour n E Tc = {i + l,...,~' - 1) (4.50) -C

FDA(Mk7tn) = O pour n 4 Tc (4.51)

Seconde étape : à chaque piquet de temps ti

A chaque piquet de temps ti7 on impose tout d'abord que les efforts F>, (~* , t i ) précédemment définis soient nuls en dehors de la zone de contact rCA(ti) conformé- ment à la figure 4.9. On obtient alors les champs d'effort au contact FLA :

FkA ( ~ h ' t i ) = F>',,(~~,ti), si M* E rc(ti) - arC(ti) (4.52)

F B ~ ( M ~ , ~ ~ ) = O , sinon (4.53)

Enfin, on impose que ces efforts vérifient les conditions induites par (4.49) de sorte que l'erreur associée demeure finie. En pratique les composantes normales et tangentielles des efforts de contact dynamiquement admissibles FLA sont donc définies pour chaque nœud Mk par :

REMARQUE. - Dans le cas ID, où la zone de contact est réduite à un nœud impactant, noté Mo, et où il n'y pas de frottement, la construction de FhA est plus simple puisqu'elle se réduit à :

---c FDA(Mo,tn) = Fh(Mo,tn) pour n E Tc = {i + l'...,if - 1) (4.56) -c FDA(Mo,tn) = O pour n $ Tc (4.57)



Abscisse curviligne sur I'bA -+ - - Efforts FLA

-C - - - Efforts FDA

Efforts de contact

Figure 4.9 - Modifications des egorts de contact sur I'gA(ti)

Par rapport aux techniques présentées dans [9], la présence de contact ne modifie rien dans la construction du couple dynamiquement admissible ( ~ o ~ ~ , ~ , r ~ ~ , ~ ) . En effet, comme en statique, les efforts de contact admissibles FLA précédemment reconstruits sont vus dans cette partie comme de nouveaux efforts imposés sur la frontière I'zA de R. Il est toutefois nécessaire de disposer d'un triplet efforts de contact admissibles-accélération-contrainte en équilibre au sens faible des éléments finis. C'est l'objet des préliminaires.

Préliminaires

Dans le cas général où les efforts de contact FkA(ti) ne sont pas égaux aux efforts Fi(ti), le couple (ohi,rhi) n'est plus en équilibre au sens faible des éléments finis. En effet, au piquet de temps ti, l'équilibre éléments finis peut s'écrire :

M~ [ai] + [ai] = [fi] (4.59)

où [F,] est calculé à partir des efforts imposés et des efforts de contact Fi(ti). Afin de calculer une accélération et un champ de contraintes en équilibre faible avec les efforts de contact admissibles FDA(ti), il est nécessaire de réécrire l'équilibre éléments finis au piquet de temps ta, et donc de résoudre :

où [El est calculé à partir des efforts imposés et des efforts de contact admissibles FkA(ti). On obtient ainsi une accélération ah,i en équilibre avec les efforts intérieurs et les efforts de contact admissibles.



Dans le cas particulier où l'on a FLA(ti) = Fi(&), on pose pour la suite:

Le principe général de la construction du couple (ODA,$,rDAli) est donc le suivant, à chaque piquet de temps ti :

- calcul des densités d'efforts sur les arêtes des éléments ;

- calcul de l'accélération dynamiquement admissible rDAli sur chaque élément ;

- calcul de ODA,~ sur chaque élément.

La reconstruction du couple (oDAli,rDA,$) utilise les acquis des problèmes de statique [13], [17]. En effet, elle utilise à nouveau la notion de densités d'efforts sur les arêtes des éléments. De plus, une fois que l'accélération rDA,i sera définie, elle sera vue comme une charge volumique intérieure à chaque élément pour le calcul de ODA,~.

Dans la suite, nous rappelons les grandes lignes de la construction de ( ~ ~ ~ , ~ ~ r ~ ~ , ~ ) .

Calcul des densités d'efforts FE On définit de nouveau des fonctions q~ valant f 1 sur les arêtes des éléments et

telles que, pour deux éléments adjacents E et Et, on ait :

On note également n~ la normale unitaire sortante à aE. On introduit alors les densités d'efforts sur chaque face des éléments. Ces

efforts sont destinés à traduire la continuité du vecteur contrainte ODA,~ I E n~ à la traversée des interfaces entre les éléments:

Pour les arêtes appartenant à &Cl, on prend évidemment :

Pour les arêtes appartenant à rgA(ti), on impose :

Les deux points importants de la méthode sont alors les suivants:

- réécrire l'équation d'équilibre sur l'élément E :

h

ce qui introduit les densités inconnues FE,i ;



- introduire la condition de prolongement :

où les 4k sont les fonctions de forme éléments finis, reliant la solution admissible à la solution éléments finis et permettant d'obtenir un système d'équations de taille réduite dont les inconnues sont les projections des densités EE,+ :

où désigne chacune des R faces de l'élément E et où QE(k) est entièrement connu.

REMARQUE. - Puisque le schéma d'intégration utilisé conduit à diagonaliser la matrice de masse, on prend dans (4.66) ;

où Mg est la matrice de masse élémentaire diagonalisée.

Calcul de l'accélération dynamiquement admissible rDA Les densités d'efforts étant désormais connues, la quantité d'accélération dynami-

quement admissible rDA,i doit être en équilibre avec ces efforts sur chaque élément :

En pratique, on choisit rDA,& - linéaire par élément (figure 4.10(a)),

- ou constant par sous-triangle (figure 4.10(b)).

Dans les deux cas, il faut déterminer 6 inconnues alors que l'équilibre (4.69)- (4.70) ne conduit qu'à trois équations scalaires. Afin de lever cette indétermination, on écrit que le champ rDA,i doit minimiser un écart par rapport à la quantité d'accélération éléments finis :

min / - pZh,i)2d~ I I D A , ~ E



(a) rDA linéaire par élément (b) rDA constant par sous-triangle

Figure 4.10 - Formes possibles pour rDA

Calcul de la contrainte dynamiquement admissible DDA,~

Il ne reste plus qu'à calculer un champ de contrainte ODA,~ en équilibre avec les densités d'efforts, les efforts intérieurs et la quantité d'accélération rDA,i :

~ ~ V O D A , ~ + fd(ti) = rDA,i dans E (4.72) h

O D A , ~ ~ ~ E = FE,i sur aE (4.73)

Comme en statique, ce calcul peut se faire soit analytiquement, soit par résolution d'un problème éléments finis de degré p + 3.

4.5.2.3 Interpolation su r le temps

Les champs dynamiquement admissibles sont obtenus, sur l'intégralité de l'intervalle d'étude [O,T], par interpolation linéaire des champs admissibles obtenus précédemment aux différents piquets de temps. Sur l'intervalle de temps [ti7ti+l], on a :

Le triplet dynamiquement admissible ( o ~ ~ , I ' ~ ~ , F & ~ ) ainsi défini est strictement admissible, à tout instant de l'intervalle d'étude, sous réserve que les efforts imposés soient linéaires en temps, ce qui, en pratique, n'est pas très contraignant.


4.6. Résultats

4.6 Résultats

4.6.1 Problème à un degré de liberté sur rC 4.6.1.1 Retour sur le probl&me étudi6

La solution éléments finis est obtenue à l'aide d'un logiciel prototype écrit au sein du code de calcul CASTEM 2000, en langage GIBIANE. Une application assure l'interfaçage entre le code de calcul éléments finis, et le code permettant le calcul de l'erreur, programmé quant à lui en FORTRAN.

Pour l'ensemble des études menées dans ce paragraphe, nous utiliserons les pa- ramètres physiques suivants :

- Module d'Young : E = 70 000 M P a ; - Coefficient de Poisson : v = 0 ; - Masse volumique : p = 2 700 kg/m3 ; - Longueur de la barre : L = 0,l m ;

- Section de la barre: S = 0,02 m2 ; - Vitesse d'impact : vo = 400 mls.

4.6.1.2 Influence des discrétisations spatiale et temporelle

Figure 4.11 - Erreur estimée relative fonction de N, et a

Dans un premier temps, nous présentons sur la figure 4.11 l'erreur estimée relative en fonction du nombre d'éléments Ns dans la barre et du rapport :

At a = - Atc

En pratique, nous nous sommes fixés les bornes suivantes pour a et N, :

a E [0,5; 11



Nous rappelons ici que la discrétisation spatiale demeure uniforme.

At REMARQUE. - Les calculs avec - > 1 ne peuvent être menés puisque dans ce cas,

Atc le schéma d'intégration utilisé est instable.

La figure 4.11 montre que, pour une discrétisation spatiale donnée, abaisser la taille du pas de temps ne permet pas d'améliorer la qualité de la solution approchée de façon significative.

4.6.1.3 Indices d'efficacité

Nous cherchons ici à comparer l'estimation d'erreur fournie par l'erreur en relation de comportement aux erreurs de référence (4.21) et (4.22)' et ce pour différentes discrétisations spatiales et temporelles. Pour cela, nous traçons les indices d'effica- cité, en faisant varier le rapport a et le nombre d'éléments N,, comme précédemment.

Nous obtenons ainsi les cartes données sur les figures 4.12 et 4.13. On constate

At 0.7 a=- 200 AtC 100 Nombre d'6lements N.

Figure 4.12 - Indice d'eficacité tEztl fonction de N8 et a

que les deux indices d'efficacité étudiés sont proches de 1, ce qui montre que notre estimateur d'erreur est robuste.

4.6.1.4 Conclusion sur le cas 1D

Le problème unidimensionnel étudié ici nous a d'abord permis de mettre en œuvre des constructions de champs adaptées aux problèmes d'impact, dans un cas simple où la zone de contact est réduite à un seul dégré de liberté, c'est-à-dire où seul le temps intervient.

La connaissance d'une solution exacte nous a également permis de montrer que ces constructions conduisaient à un estimateur d'erreur robuste.


4.6. Résultats

Figure 4.13 - Indice d'eficacité fonction de N, et a

4.6.2 Problème bidimensionnel

4.6.2.1 Présentation du problème étudié

Figure 4.14 - Exemple d'impact élastique 2 0

Le problème étudié ici concerne un impact élastique où la vitesse d'impact n'est pas orthogonale à l'obstacle rigide. Dans ce cas, le frottement a une forte influence sur l'allure de la solution. Ce problème a été étudié dans [70] et [71]. Nous avons, dans un premier temps, comparé les résultats obtenus à ceux proposés dans la littérature. En particulier, nous avons pu comparer les déplacements normaux et tangentiels du point A (figure 4.14) et cela nous a permis de valider la stratégie de résolution proposée au paragraphe 4.4. Puis nous avons choisi de traiter ce même exemple avec les paramètres donnés ci-dessous.



Le matériau correspond donc à une nuance d'aluminium :

- Masse volumique : p = 2 710 kg/m3

- Module d'Young: E = 70 000 MPa

- Coefficient de poisson : v = 0'3

- Coefficient de frottement p E [O; 1'21

- Hauteur du solide: H = 4 cm

- Largeur du solide: L = 5 cm

- Vitesse initiale: vo = vozx - voyy avec vox = voy = 400 m/s

4.6.2.2 Première estimation de l'erreur

Pour ce premier test, nous avons considéré un pas de temps égal à 0'9 fois le pas de temps critique estimé par la condition de Courant (4.34). Le coefficient de frottement est p = 0'2.

Les contraintes de Von Mises sont données à différents instants de l'intervalle d'étude sur la figure 4.15.

Les cartes des contributions élémentaires à l'erreur globale définies par (4.16) sont fournies sur la figure 4.16 aux mêmes instants.

Figure 4.15 - Contraintes de Von Mises

Les erreurs globales relatives obtenues sont égales à:

- 23'8% pour une prise en compte du temps par une moyenne (4.13) ;

- 29'1% pour une prise en compte du temps par un maximum (4.12). -


4.6. Résultats

Figure 4.16 - Erreurs élémentaires cumulées sur le temps

On constate que l'erreur obtenue est principalement localisée à proximité de la zone de contact.

Afin de montrer que cette erreur localisée sur la zone de contact est bien due au traitement numérique des conditions de contact, on peut suivre la démarche proposée au paragraphe 2.8.2.

On considère donc un nouveau problème de référence proche de celui présenté ici, à ceci près que les efforts Fh(t) y sont vus comme des efforts imposés sur la zone de contact potentielle dR - dlR - &R. Il s'agit donc d'un problème de dynamique linéaire, où le chargement est de surcroît régulier (linéaire par pas de temps). Pour l'exemple considéré, ce problème auxiliaire peut être décrit par la figure 4.17.

REMARQUE. - En statique, nous avons montré qu'imposer les champs éléments finis ou les champs admissibles ne modifiait que très peu les estimations des erreurs de discrétisation et de contact. Ici, pour des raisons de simplicité de mise en œuvre, nous avons choisi d'imposer des champs éléments finis. De plus, conformément aux observations faites au paragraphe 2.8.2, à savoir que les deux problèmes auxiliaires donnent des erreurs de discrétisation très proches, nous ne considérons ici que le problème auxiliaire où des efforts sont imposés.

L'erreur relative associée à ce problème est plus faible que précédemment :

- 21'3% pour une prise en compte du temps par une moyenne ;

- 26,5% pour une prise en compte du temps par un maximum.

On donne sur la figure 4.18 la carte des contributions élémentaires à l'erreur globale de discrétisation e ~ d ~ , d , l'échelle utilisée étant la même que celle de la figure 4.16.



Figure 4.17 - Problème auxiliaire pour la détermination de l'erreur de discrétisation

Figure 4.18 - Erreurs élémentaires de discrétisation

L'erreur e m ~ , d est une erreur de discrétisation: elle prend en compte les erreurs dues à la discrétisation spatiale, comme en statique, mais aussi à la discrétisation temporelle.

On constate que l'erreur e m ~ , d obtenue par cette méthode est uniformément distribuée sur la structure, ce qui montre que l'erreur localisée sur la zone de contact sur la figure 4.16 est probablement essentiellement liée à la précision avec laquelle les phénomènes d'impact et de frottement sont traités.


4.6. Résultats

4.6.2.3 Influence de la discrétisation spatiale

Nous souhaitons ici mettre en évidence l'influence de la discrétisation spatiale sur la qualité de la solution approchée. Dans cet objectif, nous construisons un premier maillage grossier, que nous sous-découpons 3 fois. Quatre maillages sont ainsi obtenus. Ils sont donnés sur la figure 4.19.

REMARQUE. - Comme le montre la figure 4.19, nous considérons des maillages ré- guliers, sans privilégier la zone de contact. En effet, les tests précédents nous ont montré que l'erreur de discrétisation était répartie à peu près uniformément sur la structure et que la majeure partie de l'erreur distribuée sur la zone de contact était due au traitement numérique des conditions de contact. Comme nous l'avons mis en évidence au chapitre 2, raffiner le maillage sur la zone de contact ne permettrait donc sans doute pas de faire chuter l'erreur de façon significative.

Le pas de temps associé à chacun de ces calculs est h é à 0,9 fois le pas de temps critique estimé par la condition de Courant. C'est une valeur communément utilisée dans les codes de calculs explicites.

Les erreurs absolues et relatives obtenues sont reportées dans le tableau 4.1. Les évolutions comparées des erreurs absolues par << sup » sur le temps sont données sur la figure 4.20.

(a) 40 éléments (b) 160 ékments

(c) 640 éléments (d) 2 560 éléments

Figure 4.19 - Les quatre maillages utilisés pour l'étude de convergence

La figure 4.20 montre un comportement sain de l'estimateur d'erreur en relation de comportement. En effet, l'erreur diminue lorsque le maillage est raffiné.



Erreur absolue /--- 40 B'ements

450-

4M)- 160 BlBments

640 BlBments

2660 Blhments

Temps (10-5s) I

O 0.2 0.4 0.8 0.8 1 1.2 1.4 1.8 1.8 2

Figure 4.20 - Evolution des erreurs absolues par «sup» sur le temps pour difiérentes discrétisations spatiales

Nombre 1 Erreur par «sup» 1 Erreur par moyenne 1 1 Nœuds 1 Éléments 1 Relati

1

1 Absolue 1 Relative 1 Absolue 1 I

Tableau 4.1 - Infience de la discrétisation spatiale

4.6.2.4 Infiuence de la discrêt isation temporelle

Le maillage utilisé (figure 4.19(c)) comprend 640 éléments TRI3 et 357 nœuds. Le rapport entre le pas de temps et le pas de temps critique varie entre 0'1 et 1 , O valeur au-delà de laquelle le schéma est instable. Enfin, ces expériences numériques ont été menées avec un coefficient de frottement nul.

Dans le tableau 4.2 sont reportées les erreurs obtenues, par une prise en compte du temps, soit par maximum, soit par moyenne.

Les évolutions comparées des erreurs par maximum sur le temps correspondantes sont données sur la figure 4.21. Cette figure indique que, lorsque le pas de temps devient très faible, la principale source d'erreur se situe au moment de l'impact. Cela montre qu'il s'agit là, sans doute, d'une erreur d'origine algorithmique. En effet, au piquet de temps précédent l'impact, il est nécessaire de freiner le solide afin que celui-ci ne pénètre pas le socle rigide. En pratique, cela revient à imposer une densité d'efforts sur les éléments qui vont venir en contact. Comme nous l'avons vu au paragraphe 4.5.2.1, un tel effort n'est pas admissible puisqu'il n'y a pas encore physiquement contact. C'est donc là une source d'erreur indépendante de la taille du pas de temps.

La figure 4.22 reprend les résultats de ce paragraphe. Elle indique le taux de convergence de l'estimateur. On observe une décroissance de moins en moins rapide


4.6. Résultats

Tableau 4.2 - Influence du pas de temps, à maillage f i é

At 1 Rte

uor Erreur absolue / a = lv0

Temps (10-5s) n I

Erreur par «sup» . Relative Absolue

Figure 4.21 - Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps en fonction du temps, pour différentes tailles de pas de temps

Erreur par moyenne Relative Absolue

de l'erreur. Deux phénomènes sources d'erreur indépendants de la taille du pas de temps peuvent expliquer cette constatation :

- comme il a été dit précédemment, l'erreur commise au moment de l'impact ne dépend pas du pas de temps et constitue donc une première limite à la baisse du niveau d'erreur global ;

- il a été montré dans [9] sur un exemple unidimensionnel que la diagonalisation de la matrice de masse était également une source d'erreur indépendante de la taille du pas de temps.

Lorsque le pas de temps diminue, les erreurs dues à ces deux défauts deviennent peu à peu prépondérantes, et le niveau d'erreur stagne.



Figure 4.22 - Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps e n fonction du At

rapport a = - At,

4.6.2.5 Influence du coefficient de frottement

Pour l'exemple proposé, nous avons fait varier le coefficient de frottement p de O à 1,2. Les évolutions des erreurs globales estimées pour ces différents calculs sont reportées sur la figure 4.23. Les valeurs finales obtenues sont reportées dans le tableau 4.3. Pour un coefficient de frottement faible, voire nul, on peut penser que

Tableau 4.3 - Influence du coeficient p, à maillage et pas de temps fixés

Erreur par «sup» Relative I Absolue

la solution exacte du problème de référence correspond à un solide glissant sur le socle rigide. Lorsque le coefficient de frottement augmente, on peut s'attendre à ce que les efforts tangentiels de contact augmentent également, et ce, tant que la zone de contact n'est pas totalement en adhérence. Cela conduit alors à des sollicitations plus complexes que dans le cas où p = O (traction-compression pure) comme le montre la figure 4.25. La solution approchée obtenue par éléments finis est alors de moins bonne qualité. Par conséquent, il est donc plutôt sain d'obtenir une erreur plus élevée pour des coefficients de frottement importants.

Erreur par moyenne Relative 1 Absolue


4.6. Résultats

Erreur absolue

100 -

Temps (10F5s) O- 1

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.8 1.8 2

Figure 4.23 - Evolutions de l'erreur en fonction du temps pour différents coeficients de frottement p

On constate que, lorsque le coefficient de frottement augmente, la qualité de la solution approchée se dégrade.

Les évolutions des erreurs au cours du temps pour p 2 0,8 deviennent très semblables. Si l'on poursuit le raisonnement, on peut penser qu'au-delà d'un certain coefficient de frottement, la solution exacte du problème de référence ne dépend plus de p. En effet, si toute la zone de contact est en adhérence pour p = 0,8, on peut raisonnablement penser qu'elle le sera toujours pour p > 0,8. Les efforts imposés sur le bord en contact ne varient plus, la solution exacte non plus.

10.00 Résultante des efforts tangentiels

p = 1,2; 1,O; 0,s

Figure 4.24 - Evolutions de la résultante des efforts tangentiels en fonction du temps pour différents coeficients de frottement p

La figure 4.24 montre que les évolutions au cours du temps des résultantes des efforts tangentiels obtenus par éléments finis sont peu différentes dès lors que p 2 0,8.



Ainsi, puisque pour de tels coefficients p, la solution approchée obtenue est assez proche de la solution exacte - ou de ce que l'on peut en imaginer tout du moins - et puisque cette dernière est invariante par rapport à p, il est sain d'observer que l'erreur obtenue ne varie pas non plus.

(b) p = 1,2 - t = 5 , 7 p

(c) p = 0 - t = 12,lps (d) p = 1,2 - t = 12,lps

(e) p = 0 - t = 18,3ps (f) p = 1,2 - t = 18,3ps

Figure 4.25 - Contraintes de Von Mises sur la structure défor- mée à diférents instants pour p = O et p = 1'2

4.7 Conclusions

Dans ce chapitre, nous avons montré comment il était possible d'étendre l'estimateur d'erreur proposé dans [9] aux problèmes d'impacts élastiques sur socle rigide plan.

Les constructions de champs admissibles ont été adaptées et conduisent à un estimateur d'erreur en relation de comportement robuste. En effet, dans le cas unidimensionnel, nous avons pu mettre en évidence que les indices d'efficacité étaient proches de 1.

Nous avons également pu montrer sur l'exemple bidimensionnel étudié que l'erreur due au traitement numérique des conditions de contact était localisée à proxi-


4.7. Conclusions

mité de la zone de contact. Enfin, les comportements de l'estimateur d'erreur face au raffinement du maillage,

ou de la discrétisation temporelle semblent tout à fait sains.


Chapitre 5

Contrôle des problèmes d'impact - Cas d'un solide au comportement non- linéaire

Dans ce chapitre nous mettons en place le concept d'erreur en relation de comportement pour l'impact d'un solide au comportement fortement non-linéaire sur un socle rigide plan. Plus précisément, nous prenons en compte les grandes transformations et un comportement matériau complexe de type fluide sur la partie sphérique du tenseur des contraintes et de Vpe plastique, avec écrouissage cinématique linéaire, sur la partie dé via torique. Les techniques permettant de traiter le contact et le frottement sont identiques à celles présentées au chapitre précédent, tant au niveau du pro- blème de référence, et de I'estimateur d'erreur, qu'au niveau du calcul de la solution approchée. Nous montrons donc dans ce chapitre comment coupler I'estimateur et les constructions de champs admissibles associées proposés dans [9] à ce qui a été proposé dans ce travail pour les impacts de solides élas- tiques. L'estimateur d'erreur proposé est enfin mis en œuvre sur deux exemples simples mais représentatifs qui permettent d'étudier I'influence des dis- crétisations temporelle et spatiale, ou du frottement, sur la qualité du calcul. Nous comparons également les résultats obtenus avec ceux issus de [9].


Sommaire

5.1 Problhme de réfbrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1.1 Les équations de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.1.2 Les équations d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.1.3 L'équation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . 126 5.1.4 Les relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1.5 Le premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . 129

5.2 Erreur en relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.1 Champs admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.2 Quantités additionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.3 Estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2.4 Contributions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.5 Erreur relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3 Stratégie de rbsolution utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.1 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.2 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.3 Intégration du comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.4 Traitement du contact et du frottement . . . . . . . . . . . . 135

5.4 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur . . . . . . . . . . . . . 135 5.4.1 Construction de champs cinématiquement admissibles . . . . 135 5.4.2 Construction de champs dynamiquement admissibles . . . . . 135

5.5 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.5.1 Allure de la solution approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.5.2 Influence du frottement sur la déformée . . . . . . . . . . . . 138 5.5.3 Première estimation de l'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.5.4 Comparaison avec les travaux antérieurs . . . . . . . . . . . . 140 5.5.5 Influence de la discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . 144 5.5.6 Muence de la discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . 145 5.5.7 Influence du coefficient de frottement . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


5.1. Problème de référence

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à un problème d'impact plus complexe que ceux traités précédemment. Ce travail se situe dans le prolongement d'une étude menée au LMT-Cachan en partenariat avec le Centre d'Etude de Gramat (CEG) [9].

Nous nous situons donc toujours dans le cadre de la dynamique rapide, en pré- sence de contact avec frottement de Coulomb, mais le comportement matériau que nous considérons est désormais fortement non linéaire. Pour les vitesses d'impact envisagées, de l'ordre de 400 m / s à 4000 mis, des observations ont montré que le matériau se comporte quasiment comme un fluide. Le rôle de la partie sphérique du tenseur des contraintes est donc prépondérant dans la réponse de la structure, et conduit donc à une relation de comportement matériau spécifique.

Enfin, compte tenu de l'ordre de grandeur des taux de déformations rencontrés pour de tels problèmes, nous nous placerons désormais dans le cadre des grandes transformations.

5.1 Problème de référence

Figure 5.1 - Type de problème étudié et notations

On considère quatre types d'interaction entre le solide R et son environnement : - sur la partie alR de la frontière aR du solide R, des déplacements ud connus

sont imposés ; - sur la partie a2R de la frontière aR du solide R, des efforts linéiques Fd connus

sont imposés ; - sur la partie complémentaire à alR U d2R de la frontière OR du solide R, un

contact avec le socle rigide So, de normale extérieure n, peut avoir lieu au cours de l'intervalle de temps considéré ;

- sur tout le domaine R, des efforts volumiques fd connus sont imposés. Les équations du problème de référence peuvent être séparées en cinq groupes : - les équations de liaisons ;


5. Contrôle des problèmes d'impact - Cas d'un solide au comportement non-linéaire

- les équations d'équilibre ; - l'équation de conservation de la masse ; - les relations de comportement ; - le premier principe de la thermodynamique.

5.1.1 Les équations de liaison

Le champ de déplacement u doit avant tout vérifier les conditions de régularité :

u E u[OYT1

On définit ensuite la zone de contact effective rc(t) par:

Un champ de déplacement u d est imposé sur la partie de la frontière dR:

Sur la zone de contact identifiée par le champ de déplacement u, l'inconnue d'interface wc est reliée au champ de vitesse par:

Le champ de déplacement u doit également vérifier les conditions initiales suivantes :

5.1.2 Les équations d'équilibre

La présence de grandes transformations conduit naturellement à écrire les équa- tions d'équilibre sur la configuration déformée R(t). Elles lient la contrainte de Cau- chy @(M,t), les efforts de contact inconnus Fc et la quantité d'accélération I' :

Vt 'tE [O,T] Vu* 'tE U; = {u E U' 1 ulOln = O)

Dans cette équation d'équilibre, EM(U) désigne la partie symétrique du gradient eulerien d'un champ u :

5.1.3 L'équation de conservation de la masse

Cette équation lie classiquement la vitesse u à la masse volumique p :

p + p d i v u = O (5.8)


5.1. Problème de référence

5.1.4 Les relations de comportement

Pour le problème considéré ont distingue quatre relations de comportement : - relation de comportement dynamique ; - relation de comportement du contact avec frottement de Coulomb ; - relation de comportement matériau relative à la partie sphérique du tenseur

des contraintes, de type quasi-fluide ; - relation de comportement matériau relative à la partie déviatorique du tenseur

des contraintes, de type plasticité à écrouissage isotrope.

5.1.4.1 Comportement dynamique

Par rapport au problème d'élasticité, ce comportement est inchangé :

5.1 A.2 Comportement de contact avec frottement

Comme cela été vu dans le cas élastique, les relations de comportement de contact avec frottement de Coulomb doivent être écrites en vitesse, et sur la zone de contact effective rC(t). On écrit donc pour la partie normale:

et pour la partie tangentielle :

Là encore, l'usage d'un bipotentiel permet de réécrire ces relations de comportement sous une forme bien plus compacte, de façon équivalente [40] :

5.1.4.3 Comportement matériau : partie sphérique

Pour la partie sphérique du comportement matériau, un modèle de Murnagham est utilisé. Il permet de relier le volume massique v, la température 0 et la pression p. La relation de comportement est définie par la donnée de l'énergie libre S, :

où : - E(O et n sont des paramètres matériaux,


5 . Contrôle des problèmes d'impact - Cas d'un solide au comportement non-linéaire

- Cv est la capacité calorifique massique, - $0, so, po, vo et O0 sont les energie libre, entropie, pression, volume massique et

température à l'état de référence du matériau, supposé correspondre à l'état initial ici.

Le lien entre r et v est pris de la forme:

où ro est un paramètre matériau supplémentaire. La pression p(v,O) est alors finalement donnée par :

avec :

5.1.4.4 Comportement matériau : partie déviatorique

Cette partie du comportement matériau est de type plastique avec écrouissage isotrope linéaire.

Afin de permettre une écriture des relations de comportement en grandes transformations sous une forme similaire à celle utilisée en petites déformations, nous utilisons ici les contraintes et taux de déformations dits atournés» (O,%) :

où J est le jacobien de la transformation entre la configuration initiale et la configuration déformée courante, et IR est la rotation du corotationnel défini par l'équation différentielle :

Le tenseur $2 désigne alors le taux de rotation. Décomposons le déviateur du taux de déformation total kDeV en un taux de

déformation élastique et un taux de déformation plastique :

Soit p le module de cisaillement, on a alors la loi d'état :

où R est le seuil de plasticité, a la déformation plastique cumulée, et k le coefficient matériau décrivant l'évolution linéaire du seuil.


-


Le convexe d'élasticité est classiquement défini par :

f (0DevtR) 5 0 où f (0~ev'R) =II GDev II -R - R0 (5.26)

où II II désigne la norme au sens de Von Mises :

et où & est la valeur initiale du seuil de plasticité. Les lois d'évolution sont :

où est le multiplicateur plastique.

5.1.5 Le premier principe de la thermodynamique

Les phénomènes étudiés ici sont très rapides, de l'ordre de 100 ps, et on estime que les flux de chaleur n'ont pas le temps de diffuser dans la structure.

Nous faisons donc l'hypothèse que le problème est adiabatique. Sous cette condition, et en utilisant l'équation de conservation de la masse, le premier principe

L'énergie interne e est reliée à la température par:

où la quantité

est appelée « énergie froide ».



Nous considérons comme solution approchée du problème de référence une solution admissible SA^ :

Cette solution approchée SA^ est dite admissible si elle est telle que: - (uCA,wCA) vérifie les équations de liaison (5.2) et (5.3) ainsi que les conditions

initiales (5.4) et (5.5)' u c ~ définissant la configuration admissible ClCA et la zone de contact effective admissible îzA via (5.1) ;



- (CDA , r D A , F L A ) vérifie les équations d'équilibre pour une histoire de déforma- tion de la structure définie par le champ admissible u c ~ :

- le volume massique admissible VCA vérifie l'équation de conservation de la masse ( 5 . 8 ) pour une transformation associée au champ de déplacement u c ~ ;

- l'énergie interne admissible e ~ d vérifie le premier principe ( 5 . 2 7 ) pour les champs admissibles ;

- la température admissible OAd vérifie ( 5 . 2 8 ) .

REMARQUE. - La rotation du corrotationnel admissible ]WCA est entièrement définie par le champ de déplacement cinématiquement admissible u c ~ . Elle est solution du système :

5.2.2 Quantités additionnelles On introduit des quantités additionnelles, images des quantités admissibles via

les relations de comportement : - Le déviateur de la contrainte tournée OD,,CA est calculé à partir du déplace-

ment cinématiquement admissible u c ~ au travers de la relation de comportement matériau, écrite ici sous une forme fonctionnelle A, relative à la partie déviatorique du tenseur des contraintes :

où EDev,cA est le déviateur du taux de déformation tourné. Le tenseur CDev,cA est alors obtenu par rotation admissible de oDev , cA :

JCA étant le jacobien de la transformation définie entre la configuration initiale IRo et la configuration admissible RcA.

- On définit &Dev,DA par:

dont on déduit par rotation admissible lIDDev,DA.



- La pression p c ~ est calculée à partir du volume massique VCA et de la tempé- rature admissible OAd via (5.20).

- Le volume massique VDA est calculé à partir de PDA tel qu'il vérifie (5.20) - La quantité d'accélération rcA est calculée à partir de la vitesse cinématique-

ment admissible uCA par : CA = P C A ~ C A (5.36)

- Inversement, la vitesse iiDA est calculée à partir de la quantité d'accélération rDA par :

1 üDA = P r D A (5.37)

PC A

et en utilisant la condition initiale en vitesse :

5.2.3 Estimateur

On pose pour tout t E [O,T] :

avec :

où a et y sont deux paramètres compris entre O et 1. Le coefficient y permet de pondérer la part de l'erreur sur le comportement du

matériau vis-à-vis de la part de l'erreur sur la relation de comportement dynamique, dans l'erreur globale.

Le coefficient a permet de pondérer la part de l'erreur liée à la partie du comportement matériau relative au déviateur de la contrainte vis-à-vis de la part de l'erreur liée à la partie du comportement matériau relative à la pression, dans l'erreur sur le comportement du matériau.

Usuellement, ces coefficients sont fixés à 0'5. Une mesure d'erreur en relation de comportement emC(sAd) peut alors être dé-

finie sur tout l'intervalle d'étude [O,T] par :



OU par :

REMARQUE. - Dans [9], il a été montré que :

qi 2 O pour i = {IJIJII}

Compte tenu de : b(-wCA,FDA) + wCA.FDA 2 O

Propriété L'erreur en relation de comportement satisfait la propriété si uivante :

{emc(sAd) = O} o s ~ d vérifie toutes les équations du problème de référence

5.2.4 Contribut ions élémentaires

On définit également les contributions élémentaires à l'erreur globale par :

5.2.5 Erreur relative

Afin de pouvoir comparer les erreurs obtenues pour différents problèmes, il est utile de définir une erreur relative notée &(sAd) :


5.3. Stratégie de résolution utilisée

avec

5.3 Stratégie de résolution utilisée


Comme nous l'avons vu précédemment, l'obtention du modèle numérique passe par l'hypothèse des éléments finis. Compte tenu des grandes déformations considé- rées dans cette partie, le maillage ah est obtenu par le transport du maillage ah,O du domaine initial par le champ de déplacement éléments finis uh(M0,t). Il s'agit donc là d'une approche dite (( lagrangienne totale B.

En affaiblissant les conditions d'équilibre (5.6)' en prenant en compte les relations de comportement (5.9), (5.20) et (5.24)' et en l'absence de contact l'équation d'équilibre éléments finis peut s'écrire :

M[ü(t)] + [a(t)] = [F (t)] Qt E [O,T]

Les conditions initiales s'écrivent :

5.3.2 Discrétisation temporelle

La résolution numérique de l'équation précédente (5.60) se fait à l'aide du schéma d'intégration des différences centrées, pour les mêmes raisons que celles évoquées dans le chapitre 4. Il est de plus raisonnable ici de se rapprocher le plus possible des études faites dans le cas d'impacts élastiques, en petites déformations.

L'équation d'équilibre, au piquet de temps tn+l s'écrit alors, dans le cas d'un problème sans contact :

M[an+i] + [an+l] = [Fn+l] (5.62)

Compte tenu du comportement non-linéaire envisagé dans ce chapitre, la contrainte de Cauchy C dépend désormais de la vitesse. Le vecteur des forces internes

--



n'est donc pas connu à l'instant tn+1. Pour conserver les avantages d'un schéma explicite, on lui substitue dans l'équation d'équilibre éléments finis, à l'instant tn+17 le vecteur [on++], qui lui, est connu :

M[an+i] + [on++] = [&+il (5.63)

Encore une fois, dans le souci de réduire les coûts de calcul, on utilise la matrice de masse diagonalisée MD dans la résolution de (5.63).

5.3.3 Intégration du comportement

On ne donne ici que les grandes lignes de l'intégration du comportement non- linéaire. En effet le comportement matériau choisi ici est identique à celui utilisé dans [9] et les procédures utilisées sont elles-aussi les mêmes.

Au piquet de temps tn+1, les quantités cinématiques connues sont: - le vecteur des valeurs nodales du champ de déplacement [un+l] ; - le vecteur des valeurs nodales du champ de vitesse [un++]

Pour résoudre (5.63)' il est nécessaire de calculer le vecteur des forces internes [on+;] dont la ieme composante est définie par:

r

où q5i désigne la ieme fonction de forme. Du fait du comportement non-linéaire, l'intégration spatiale nécessaire au calcul

de est réalisée numériquement via des points de Gauss.

Le calcul de @(M,tn+;) en chacun de ces points de Gauss se fait en trois temps que nous décrivons ci-dessous.

Les préliminaires

- calcul du gradient de la transformation + Mn+1 , de son jacobien Jn+i ; - calcul du volume massique v n + ~ et de la masse volumique p,+l via l'équation

de conservation de la masse - calcul du taux de rotation On++, de la rotation du corotationnel k+; ; le calcul

de cette dernière grandeur nécessite d'intégrer le système différentiel (5.23) ; cette intégration est faite au moyen de l'algorithme proposé dans [72] ;

- calcul du déviateur du taux de déformation IDn+ et de la quantité tournée associée En+ en utilisant &+ t .

L'intégration du comportement relatif à la partie déviatorique de C!

1 passe par l'utilisation d'un algorithme de retour radial - le calcul de CD,,,+ sur le seuil de type Ortiz-Simo [73] ;

- la présence de grandes transformations implique de travailler directement sur les grandeurs tournées CTD,, et ED,.

1 pour obtenir la contrainte de - il suffit finalement de K détourner r C T ~ ~ ~ , ~ + ~

Cauchy G e v , n + t .



Le traitement du comportement relatif à la pression

On cherche ici à déterminer l'énergie interne, la pression et la température à l'instant tn+t .

Une première équation est donnée par l'équation d'état de la pression :

dans laquelle le volume massique un+; est inconnu. Il est donc remplacé par le volume massique connu le plus proche vn+l :

Le premier principe de la thermodynamique permet ensuite d'écrire deux autres équations liant les trois quantités recherchées :

1 = CV (en+$ - 00) + e~ (un+,) en+ (5.68) Le système de trois équations à trois inconnues peut alors être résolu « à la main ». Les quantités en+;, pn+5 1 et en+; sont alors connues explicitement.

5.3.4 Traitement du contact et du frottement

La présence de grandes transformations et d'un comportement matériau non- linéaire ne modifie en rien le traitement du contact et du frottement par rapport à ce qui a été présenté au chapitre précédent, paragraphe 4.4.3.2.

5.4 Mise en oeuvre de la mesure d'erreur


La construction des champs cinématiquement admissibles est identique à celle proposée dans le cas d'un comportement matériau linéaire. Le champ de déplacement définit cette fois, non seulement la zone de contact ï C A , mais aussi la configuration admissible QCA, base de la construction des champs dynamiquement admissibles en présence de grandes transformations.

5.4.2 Construction de champs dynamiquement admissibles

Par rapport au type de problème présenté au chapitre précédent, les principales difficultés proviennent des grandes transformations. En effet, la configuration sur laquelle l'équilibre éléments finis est vérifié est donnée par le champ de déplacement éléments finis uh, et non pas par le champ de déplacement u c ~ .

Dans ces constructions, les efforts de contact admissibles sont simplement vus comme des charges supplémentaires, mais connues, imposées à la structure. Les



méthodes de construction des champs intérieurs ne sont donc pas affectées par la présence de contact .

Par conséquent, nous nous contentons ici de rappeler les principales étapes de la construction du triplet (CDA ,îDA,F&A) en équilibre sur la configuration ClCA.

La construction se fait de nouveau en deux étapes : - construction d'un triplet admissible (CDA$ ,îDA,i,F&A,i) à chaque piquet de

temps de l'intervalle d'étude : cette étape se fait quant à elle en trois temps :

0 construction de l'effort dynamiquement admissible FLA,+ ;

calcul des densités d'effort gEli sur les arêtes des éléments ; 0 calcul des quantités d'accélération rDA,i Sur chaque élément ; 0 calcul de CDA+ sur chaque élément.

- interpolation en temps de ces triplets: cette étape étant identique à celle pré- sentée au paragraphe 4.5.2.3, nous n'y reviendrons pas ici.

5.4.2.1 Construction de Fhl i

Cette construction est identique à celle proposée pour les problèmes d'impact de solides élastiques (paragraphe 4.5.2.1).

5.4.2.2 Construction de h

Dans un premier temps, on calcule les densités FEh,i sur la configuration éléments finis. Les techniques utilisées sont identiques à celles du paragraphe 4.5.2.2, si ce n'est que désormais toutes les équations sont écrites en tenant compte des grandes déformations, c'est-à-dire sur la configuration éléments finis courante Clhi.

Dans un second temps, on transporte ces densités d'efforts sur la configuration admissible fiCAli donnée par le champ UCA. En pratique ce transport se fait en

h

mettant à jour les coordonnées des nœuds support du champ FEh,i sans modification des valeurs en ces nœuds, comme indiqué sur la figure 5.2.

5.4.2.3 Construction de rDAli Les techniques utilisées ici sont très semblables à celles exposées au paragraphe

4.5.2.2. La quantité rDA,i doit être telle que chaque élément E soit en équilibre. Elle doit

également minimiser l'écart avec le champ de quantité d'accélération éléments finis, transporté sur la configuration cinématiquement admissible.

5.4.2.4 Construction de CDAli

Le champ CDAli est alors déterminé en résolvant un problème simple sur chaque élément :

de façon analytique ou numérique.


5.5. Premier exemple

Configuration éléments finis I Configuration admissible

Figure 5.2 - Tmnsport des densités d'eflorts

5.5 Premier exemple

L'exemple étudié ici représente un essai de Taylor. Il avait été traité dans [9] sans contact ni frottement. En effet, dans ces travaux, afin de ne pas être confronté aux difficultés liées au contact, l'action de l'impacteur sur le solide considéré est remplacée par un champ de vitesse imposé.

Les dimensions du lopin sont les suivantes : - L = l O c m - e = 2 c m

Les caractéristiques matériaux sont celles d'une nuance d'aluminium et ont été fournies par le Centre d'Etude de Gramat :

- Pour la relation de comportement relative à la partie sphérique du tenseur des contraintes :

capacité calorifique massique C, = 930 J K-' kg-' ; coefficient de Gruneisen Po = 2'12 Pa J-' m3 ; n = 5,78 ; coefficient de dilatation isotherme = 72'4 IO3 MPa ;

- Pour la relation de comportement relative à la partie déviatorique du tenseur des contraintes :

valeur initiale du seuil de plasticité & = 100 M P a ; module de cisaillement p = 2,7 IO4 MPa ; coefficient liant le seuil de plasticité à la déformation plastique cumulée k = 3000 MPa.

Les conditions initiales sont : - masse volumique po = 2 700 kg md3 ;


- --


Figure 5.3 - Essai de Taylor

- température O0 = 298 K ; - pression po = O Pa ; - énergie interne eo = O J

Enfin les déplacements initiaux sont nuls et le champ de vitesse initial est de la forme :

v(M,O) = vozx - VoyY

avec vo, = O ms-' et voy = 400 ms-' VM E Cl0

L'intervalle de temps étudié à partir de l'instant d'impact est de 15 ps.

5.5.1 Allure de la solution approchée

On a représenté sur la figure 5.4 la contrainte de Von-Mises sur la configuration déformée à différents instants du calcul, pour un coeffficient de frottement nul. L'allure de la solution obtenue correspond au type de résultats classiques pour de tels essais, à savoir que la partie supérieure du lopin ne se déforme pas [74], [75].

5.5.2 Influence du frottement sur la déformée

Sur la figure 5.5 on a tracé la contrainte de Von-Mises à l'instant final, pour différentes valeurs du coefficient de frottement p, allant de 0,2 à 1,O.



Figure 5.4 - Contrainte de Von Mises à diférents instants

Figure 5.5 - Contrainte de Von Mises au temps final pour diflérents p

L'allure de la déformée est nettement modifiée à proximité de la zone de contact par une variation du coefficient de frottement, mais très peu suffisamment loin de celle-ci, à une distance de l'ordre de la largeur du lopin.



Figure 5.4 - Contrainte de Von Mises à diflérents instants

Figure 5.5 - Contrainte de Von Mises au temps final pour dzflérents p

L'allure de la déformée est nettement modifiée à proximité de la zone de contact par une variation du coefficient de frottement, mais très peu suffisamment loin de celle-ci, à une distance de l'ordre de la largeur du lopin.



5.5.3 Première estimation de l'erreur

Pour ce premier test, nous avons considéré un pas de temps valant At = 0'1 ps. Le coefficient de frottement est pris nul dans un premier temps. Le calcul correspond donc aux déformées de la figure 5.4.

Les cartes des contributions élémentaires à l'erreur globale définies par (5.48) sont fournies sur la figure 5.6 à différents instants de l'intervalle d'étude.

Figure 5.6 - Erreurs élémentaires cumulées sur le temps

Les erreurs globales relatives obtenues sont égales à :

- 26'8% pour une prise en compte du temps par une moyenne ;

- 29'3% pour une prise en compte du temps par un maximum.

On constate que l'erreur globale obtenue est principalement localisée près de la zone de contact et dans la partie du solide qui plastifie et qui subit d'importantes déformations. On peut enfin constater que les cartes d'erreur obtenues ne sont pas symétriques. Cette perte de symétrie vient uniquement du maillage asymétrique utilisé. La figure 5.7 montre clairement qu'un maillage symétrique conduit à une répartition symétrique de l'erreur.

5.5.4 Comparaison avec les travaux antérieurs

Nous souhaitons maintenant comparer les résultats obtenus dans [9] avec ceux obtenus ici. Pour cela nous considérons les deux exemples de la figure 5.8. Dans [9], les exemples traités ne faisaient pas intervenir de contact, l'action de l'impacteur étant représentée par un champ de vitesse imposé sur la zone potentiellement impactée. Dans ce paragraphe, nous nous proposons de faire varier le temps de montée de cette vitesse vd entre At et 50At.



(a) Maillage (b) Carte d'erreur

Figure 5.7 - Maillage symétrique et carte d'erreur correspondante

(a) Pseudcknpact (b) Impact

Figure 5.8 - Comparaison des deux problèmes étudiés



4oo Vitesse impos6e v~

Erreur absolue 350

300

250

2 ~ ) - Pseudo-impact

150

100

50

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Figure 5.9 - Evolutions des erreurs absolues en fonction du temps pour les diflérents pro blèmes

Puisque le phénomène de frottement ne peut être pris en compte par un champ de vitesse imposé, on se place naturellement dans le cas où p = 0.

A l'issue du calcul éléments finis, les cartes des contraintes de Von-Mises, ainsi que les déformées de la structure présentées sur la figure 5.11 sont très proches pour des temps de montée de la vitesse imposée v d de deux ou trois pas de temps. Au

Efforts de contact (IO8 N)

Figure 5.10 - Evolutions des eflorts de contact exact et approché au cours du temps pour u n problème ID

regard des résultats obtenus lors des calculs unidimensionnels, ce résultat n'est pas surprenant. La figure 5.10 présente l'évolution des efforts de contact éléments finis



(a) Pseudo-impact (b) Impact (c) Légende

Figure 5.11 - Contraintes de Von-Mises pour les deux types de calcul

et exacts en fonction du temps pour une barre élastique impactant un socle rigide.

1 Efforts (108N)

,,,,,. Efforts de contact - Efforts de réaction ( 2 A t )

lA. - Efforts de réaction ( 3 A t )

Figure 5.12 - Résultantes des eflorts de contact et des actions de liaison en jonction du temps


5.5. Premier exemvle

(a) Pseudeimpact (b) Impact (c) Légende

Figure 5.11 - Contraintes de Von-Mises pour les deux types de calcul

et exacts en fonction du temps pour une barre élastique impactant un socle rigide.

1.60 1 , Efforts (108N)

....,......... Efforts de contact - Efforts de réaction - Efforts de réaction

Figure 5.12 - Résultantes des efforts de contact et des actions de liaison en fonction du temps

-



Le pas de temps choisi est inférieur au pas de temps critique: a = 0'8. On constate, que malgré quelques oscillations, l'effort calculé atteint une valeur proche de la valeur théorique en deux ou trois pas de temps.

Il en est de même pour les erreurs globales données sur la figure 5.9 jusqu'à t = 5 ps, bien que les problèmes de référence soient différents. Cela montre que, jusqu'à cet instant le contact n'est pas la principale source d'erreur. Ensuite, pour t > 5 ps des décollements et contacts successifs apparaissent et rendent les solutions approchées nettement différentes sur la zone de contact.

Cela se vérifie sur la figure 5.12 où sont comparées la résultante des efforts de contact à la résultante des actions dans la liaison à vitesse imposée pour des temps de montée de 2At ou 3At.

On constate que tous les efforts sont très proches jusqu'à t = 4 ps. Ensuite, les efforts de liaisons deviennent négatifs, ce qui ne peut naturellement pas être le cas dans le problème avec contact. C'est à partir de cet instant, où naissent des décollements, que les problèmes deviennent nettement différents.

Influence de la discrétisation spatiale

(a) 116 éléments (b) 464 éléments (c) 1 856 élé- ments

(d) 7 424 élé- ments

Figure 5.13 - Les quatre maillages utilisés pour l'étude de convergence

Nous souhaitons ici mettre en évidence l'influence de la discrétisation spatiale sur la qualité de la solution approchée. Dans cet objectif, nous construisons un



premier maillage grossier, symétrique, que nous sous-découpons 3 fois. On obtient ainsi quatre maillages donnés sur la figure 5.13. Le pas de temps associé à chacun de ces calculs est fixé à 0,7 fois le pas de temps critique estimé sur le maillage non déformé.

Les erreurs absolues et relatives obtenues, sont reportées dans le tableau 5.1. Les évolutions comparées des erreurs absolues par « sup » sur le temps sont données sur la figure 5.14.

Erreur absolue /-- I l 6 Bkents

1W) -

Temps (10-5s) 1

Figure 5.14 - Evolution des erreurs absolues par «sup» sur le temps pour diflérentes discrétisations spatiales

Tableau 5.1 - Influence de la discrétisation spatiale

Ces premiers résultats montrent un comportement sain de l'estimateur d'erreur en relation de comportement : l'erreur diminue nettement lorsque l'on raffine le maillage.

Nombre

5.5.6 Influence de la discrétisation temporelle

Nœuds 77 269

1 001 3 857

Le maillage utilisé comprend 380 éléments triangulaires à trois nœuds et 222 noeuds. Le pas de temps varie entre 0,4.10-7 et environ 1,9.10-7 seconde. Dans le tableau 5.2 sont reportées les erreurs obtenues, soit par une prise en compte du temps par maximum, soit par moyenne. Les évolutions des erreurs par maximum sur

Erreur par «sup»


Éléments 116 464 1 856 7 424

Relative 44,4 42'3 32,6 29,2

Erreur par moyenne Nœuds sur î c

7 13 25 49

Absolue 679 591 440 404

Relative 39,5 33,7 29,l 26,5

Absolue 463 378 326 298


le temps correspondantes sont données sur la figure 5.15. Ces expériences numériques ont été menées avec un coefficient de frottement nul.

Tableau 5.2 - Influence du pas de temps, à maillage fixé

At 10-lps

On constate tout d'abord que les erreurs estimées sont très peu sensibles au pas de temps utilisé, dès lors que celui-ci est raisonnablement faible. Lorsque le pas de temps tend vers le pas de temps critique, l'erreur augmente très fortement ce qui est sain puisque le calcul est proche de diverger (figure 5.16). Ce type de comportement avait déjà été observé dans [9].

[ ~ r r e u r absolue 500

1,875 29,9 338

1.6 31.0 407 28.4 318

Erreur par «sup» Relative 1 Absolue

Temps (10-~s) I

Erreur par moyenne Relative 1 Absolue

Figure 5.15 - Evolution de l'erreur absolue par sup sur le temps en fonction du temps pour diflérentes tailles de pas de temps

5.5.7 Influence du coefficient de frottement

Pour l'exemple proposé, nous avons fait varier le coefficient de frottement p de O à 1'0. Les évolutions des erreurs globales estimées pour ces différents calculs sont



Erreur absolue

28 I I I I I 1

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Figure 5.16 - Erreur relative en fonction du pas de temps utilisé

reportées sur la figure 5.17.

Figure 5.17 - Evolutions de l'erreur en fonction du temps pour différents coeficients de frottement p

On constate que l'erreur croît nettement avec le coefficient de frottement. Les raisons évoquées dans le cas de l'impact élastique 2D sont toujours valables ici. Toutefois, l'erreur finale ne se stabilise pas lorsque le coefficient de frottement est grand, c'est-à-dire proche de 1,0, comme c'était le cas pour un calcul élastique. Cela provient du fait qu'une autre source d'erreur se superpose à la première, et devient même prépondérante. Comme on peut l'observer sur la figure 5.18, un coefficient de frottement élevé conduit à un ou plusieurs éléments très distordus à proximité de la zone de contact. L'expérience acquise en élasticité a montré que les champs de contrainte construits analytiquement sont de mauvaise qualité lorsque les éléments sont fortement distordus, et conduisent par conséquent à une erreur élevée.



De surcroît, l'approche "Lagrangienne totale" utilisée ici pour le calcul d'une solution approchée conduit à une solution de qualité médiocre dès lors que les éléments sont fortement distordus.

(a) Coefficient de frottement p = 1 (b) Coefficient de frottement p = O

Figure 5.18 - Zoom sur les déformées au contact

Second exemple

Figure 5.19 - Exemple d'un impact sur blindage

Figure 5.20 - Maillage utilisé: 683 éléments

Nous cherchons ici à représenter un impact sur blindage. Pour cela nous consi- dérons le problème décrit sur la figure 5.19. Le maillage utilisé, donné sur la figure 5.20 comporte 683 éléments triangulaires à trois nœuds. Pour ce calcul, le matériau est identique à celui choisi dans l'exemple précédent. La vitesse d'impact est de 400 m l s . Le temps d'étude après impact est de 1'5 ps, et le pas de temps choisi est At = 0,05 ps. Pour le maillage utilisé, le pas de temps critique était d'environ 0,075 ps soit un coefficient a de l'ordre de 0,36. Le choix d'un coefficient a supérieur conduit à un calcul divergeant rapidement du fait des distorsions importantes des éléments. Nous considérons tout d'abord un cas sans frottement, puis différents cas avec frottement ( p = 0,2 à p = 0,8).


5.6. Second exemple

Figure 5.21 - Contrainte de Von Mises à diflérents instants (p = 0,4)

On donne enfin sur la figure 5.22 les évolutions des erreurs absolues pour les différents calculs, en fonction du temps. On constate tout d'abord que, contrairement au cas précédemment étudié, l'erreur est plus faible dans les cas avec frottement non nul. Cela est confirmé par le tableau 5.3 donnant les erreurs absolues, relatives, et pour les prises en compte du temps par maximum ou moyenne.

Tableau 5.3 - Influence du frottement

p 0.0


Erreur par «sup»

5 808

Erreur par moyenne

3 952

5.6. Second exemple

Figure 5.21 - Contrainte de Von Mises à dgérents instants (p = 0,4)

On donne enfin sur la figure 5.22 les évolutions des erreurs absolues pour les différents calculs, en fonction du temps. On constate tout d'abord que, contrairement au cas précédemment étudié, l'erreur est plus faible dans les cas avec frottement non nul. Cela est confirmé par le tableau 5.3 donnant les erreurs absolues, relatives, et pour les prises en compte du temps par maximum ou moyenne.

Tableau 5.3 - Influence du frottement

p 0.0


Erreur par «sup» 5 808

Erreur par moyenne 3 952


Figure 5.22 - Evolutions des erreurs absolues au cours du temps

(a) Coefficient de £rottement p = 0,4

(b) Coefficient de frottement p = 0,O

Figure 5.23 - Zoom sur les éléments les plus déformés


5.6. Second exemple

Là encore, le coefficient de frottement p influe donc beaucoup sur l'erreur mesu- rée, mais cette fois, dans le sens opposé à ce qui a été précédemment constaté. Dans ce cas précis, la distorsion des éléments est attenuée par la présence de frottement permettant de dissiper un peu d'énergie, comme on peut l'observer sur la figure 5.23. L'erreur obtenue est donc finalement plus faible lorsqu'il y a frottement que pour p = 0.0.





Dans ce travail, nous proposons et mettons en œuvre différents estimateurs d'erreur en relation de comportement permettant de contrôler des problèmes de contact avec frottement de Coulomb, en statique, quasi-statique et dynamique. Pour tous ces problèmes, la formulation de la mesure d'erreur est rendue aisée par l'introduction d'une interface de contact, entité mécanique à part entière, et de potentiels convexes ou d'un bipotentiel permettant de réécrire les équations du contact et du frottement sous une forme adaptée à la définition d'un estimateur d'erreur en relation de comportement.

Pour des problèmes statiques et bidimensionnels, nous avons présenté les constructions de champs admissibles associés à notre estimateur. Ensuite nous avons montré, à l'aide d'un indicateur d'erreur en itération, puis en isolant l'erreur due au traitement numérique des conditions de contact, que le seul raffinement du maillage ne permettait pas nécessairement de faire chuter l'erreur commise. Enfin nous pré- sentons une technique permettant de traiter le cas de maillages incompatibles au contact.

En ce qui concerne les problèmes quasi-statiques, la principale difficulté provient du fait que les équations du contact sont formulées en déplacement, alors que celles du frottement de Coulomb sont écrites en vitesse afin de représenter l'irréversibilité. Cela nous a conduit à modifier légèrement l'estimateur proposé dans le cas statique. A chaque piquet de temps, les constructions des champs admissibles sont très fortement inspirées de celles présentées pour des problèmes de statique. Ces champs sont ensuite interpolés linéairement sur le temps.

Pour les problèmes de dynamique rapide, afin de ne pas aborder toutes les diffi- cultés de front, nous nous sommes tout d'abord placés sous l'hypothèse d'un comportement matériau linéaire. Dans ce cadre nous avons montré sur un exemple unidimensionnel dont la solution exacte est connue, que les constructions de champs admissibles adoptées conduisaient à un estimateur d'erreur fiable, avec des indices d'efficacité proches de 1. Les exemples bidimensionnels montrent eux aussi un comportement tout à fait sain de l'estimateur d'erreur en relation de comportement.

Enfin nous nous sommes intéressés à des problèmes d'impact plus réalistes, prenant également en compte des non-linéarités matérielles et géométriques. Les résul- tats obtenus sont satisfaisants tant que les éléments ne sont pas trop distordus.

Les estimateurs proposées pour les problèmes de dynamique ont été mis en œuvre pour des exemples traités via un schéma d'intégration en temps explicite. Toutefois ils peuvent également être utilisés avec un schéma d'intégration implicite de type Newmark. Seules les constructions de champs admissibles s'en trouvent modifiées (voir par exemple [9]).



Il est clair que ces travaux ne constituent qu'une première étape vers le contrôle des problèmes d'impact ou de crash.

Tout d'abord, dans un contexte industriel, la complexité des structures envisagées nécessitent, entre autres choses, de mettre en œuvre l'estimateur proposé dans le cas de socles rigides non plans dans un premier temps, puis dans les cas de contact entre plusieurs solides ou même dans le cas d'auto-contact, et ce aussi bien en statique qu'en dynamique.

Le cas général d'un contact sur socle rigide non plan, que ce soit en dynamique ou en statique, (figure 6.1) pose classiquement des problèmes de représentation géométrique de l'interface de contact.

Figure 6.1 - Exemple d'impact sur un socle rigide non plan

En effet si deux nœuds de la structure sont en contact avec un socle convexe (figure 6.2)' la condition de non-pénétration n'est pas vérifiée sur l'arête. A l'inverse, si deux nœuds de la structure sont en contact avec un socle concave (figure 6.3)' peut-on dire que l'élément est réellement en contact avec le socle rigide? Dans une première approche, il semble raisonnable de considérer ces deux si- tuations comme admissibles. Dès lors, les constructions des champs admissibles devraient être très proches de celles mises en œuvre ici dans le cas d'un socle rigide plan.



Figure 6.2 - Ezemple de contact avec un socle convexe

Le problème de l'impact entre plusieurs solides déformables met notamment en avant le traitement des maillages incompatibles. Les travaux effectués dans le cas du contact avec ou sans frottement en statique ont montré que la construction de champs d'efforts de contact rigoureusement admissibles étaient déjà particulièrement délicates. Pour des problèmes de dynamique, il semblerait donc raisonnable de mettre en œuvre une construction approchée du type de celle proposée en statique [12]. Enfin, la construction de champs cinématiquement admissibles au contact pourrait s'inspirer de celle proposée pour un socle rigide non plan, via la dé- finition à chaque pas de temps d'une ligne de contact intermédiaire r3 qui jouerait pour chaque solide un rôle semblable à celui du socle rigide (figure 6.4).

De plus, dans un cadre industriel, les structures envisagées sont généralement tridimensionnelles, et modélisées, entre autres, à l'aide de plaques et de coques. Il serait donc intéressant d'élargir les travaux réalisés à ce type d'éléments, comme cela avait été fait en élasticité dans 1761.

Enfin, le paragraphe 5.6 a montré que des problèmes d'impact conduisaient inévi- tablement à des éléments très distordus, et par là même à une erreur très importante. Cette constatation ouvre naturellement la voie vers l'adaptation de maillage en cours de calcul.

La détection des zones à remailler pourrait se faire de deux manières: - par identification des éléments trop distordus à l'intérieur du code de calcul ; - par estimation des contributions élémentaires à l'erreur globale en relation de

comportement.

Cette dernière technique, certes plus coûteuse, permettrait de prendre en compte toutes les sources de l'erreur de discrétisation et d'adapter le maillage, non seulement là où il est distordu, mais aussi là où il existe des singularités, etc ...



Figure 6.3 - Exemple de contact avec u n socle concave

La première méthode a été testée dans le logiciel de calcul CASTEM 2000 et nous l'exposons brièvement ci-dessous.

Tout d'abord, dans le maillage initial, on définit deux zones : - une première zone RE où l'on sait, par expérience, que les déformations subies

par les éléments sont raisonnables ; - une zone Rh où les distorsions risquent d'être importantes et où une réactua-

lisation régulière du maillage s'impose. La figure 6.5 montre le choix qui a été fait pour l'exemple de l'impact sur blindage. Ensuite, à chaque piquet de temps de la discrétisation temporelle, la forme des éléments de Rh est étudiée. Plus précisemment, si l'un des angles Oij (figure 6.6) de l'élément E E R i viole l'une des conditions:

où Oinf et O,, sont deux paramètres, alors le maillage de la zone Rh est réactualisé. Dans cette technique, la discrétisation du contour de Rh est conservée et seul le maillage intérieur est modifié. Finalement le nombre d'éléments composant Rh varie donc peu.



Figure 6.4 - Contact avec maillages incompatibles: ligne ï g

Figure 6.5 - Définition des zones Rfl et Rh

REMARQUE. - Une des limites de cette technique est constituée par le mailleur en lui-même. En effet, ce dernier doit permettre le maillage de formes qui peuvent être complexes avec une discrétisation du contour imposée.

La modification du maillage au piquet tn nécessite bien entendu le transfert des champs nécessaires au pas suivant tn+l :

- champs de déplacement, de vitesse ; - tous les champs utiles à l'intégration du comportement matériau.

Ces transferts sont effectués à l'aide de l'opérateur « PROI » de CASTEM 2000. Nous reprenons ici l'exemple de l'impact sur blindage du chapitre précédent. Les

paramètres Oinf et O,, sont fixés à :

On se place dans le cas où la distorsion des éléments est maximale, c'est à dire pour p = 0'0.

Avec ce jeu de paramètres, sur les 303 pas de temps, une dizaine de remaillages a été effectuée.

La figure 6.7 permet de comparer les deux maillages déformés à la fin du calcul



Figure 6.6 - Définition des angles 0ij

(réactualisé et non-réactualisé). On voit très nettement l'efficacité de la procédure mise en place qui permet d'obtenir un maillage déformé de bonne qualité.

Figure 6.7 - Maillages déformés sans (gauche) et avec (droite) adaptation

REMARQUE. - Afin de comparer les résultats obtenus avec et sans réactualisation du maillage, nous avons conservé un pas de temps de 0,5 ps. Toutefois, le calcul avec adaptation peut également être mené avec un pas de temps de 1 ps, sans problème de divergence, ce qui montre bien, encore une fois l'influence de la distorsion des éléments.

La construction de champs admissibles pour ce type de problème où le maillage varie au cours du calcul est un sujet de recherche ouvert. On peut par exemple se poser les questions suivantes :

- Comment tenir compte des erreurs commises lors des projections de champs? - Comment interpoler en temps des grandeurs telles que la vitesse définies sur

des maillages différents?

En statique, il serait également intéressant de comparer l'estimateur d'erreur en relation de comportement proposé à ceux basés sur les résidus d'équilibre et sur le lissage de contraintes présentés au chapitre 1.

En ce qui concerne ce dernier type d'estimateur, une comparaison directe peut être effectuée. Par contre, puisque 17estimateur basé sur les résidus d'équilibre prend pour référence le problème pénalisé, les deux types d'estimateurs ne peuvent être



comparés directement. Toutefois il est possible de bâtir un nouvel estimateur d'erreur en relation de

comportement associé à un problème de référence où les lois de contact et de frottement sont pénalisées. La démarche proposée au chapitre 2 peut être intégralement reprise :

On réécrit tout d'abord les relations de comportement de contact et de frottement pénalisées sous une forme propice à la formulation d'une mesure d'erreur. Les conditions de contact pénalisées s'écrivent classiquement :

Ces relations peuvent également être exprimées à l'aide de pseudo-potentiels conjugués 4, et 4; :

avec :

De la même façon, les relations de comportement du frottement de Coulomb pénalisées

l lwt l

l lwil

peuvent s'écrire en 2D :

avec :

si Wf <

si 1 W,"

si W," >

On a alors les classiques inégalités de Legendre-Fenchel :

Vn 2 O et Vt 2 O (6.12)



La définition des champs admissibles est identique à celle proposée au chapitre 2. La mesure d'erreur en relation de comportement peut alors être formulée de la manière suivante :

Par rapport à (2.10)' seul le terme intégré sur Fe est différent puisque seules les relations de comportement au contact ont été modifiées. La construction des champs admissibles est identique à celle proposée au paragraphe 2.5. Toutefois, puisque désormais la condition de non-pénétration n'est plus stricte, la modification du champ de déplacement proposée au paragraphe 2.5.1.2 n'est plus nécessaire. Ainsi le champ de déplacement éléments finis est admissible.

Enfin, le concept d'erreur en relation de comportement pourrait également être étendu aux problèmes faisant intervenir des lois de comportement plus complexes couplant adhésion, frottement, et contact. Ces modèles sont destinés à représenter le passage, continu ou non, d'un état adhésif à un état frottant en respectant les conditions de non-pénétration une fois l'adhésion rompue. Les domaines d'utilisation de ces modèles sont multiples :

- les matériaux composites pour l'interface fibre-matrice et le délaminage ; - la géophysique pour les plaques tectoniques ; - les interfaces de liaisons entre des éléments de maçonnerie, en distinguant les

comportements des structures récentes et anciennes (faible épaisseur et rigidité du liant) ;

- . . . Une synthèse de ces différents modèles peut être trouvée dans (771.


Bibliographie

Bibliographie

[l] P. Ladevèze. Comparaison de modèles de milieux continus. PhD thesis, Uni- versité P. et M. Curie, 1975.

[2] 1. Babuska and W.-C. Rheinboldt. Error estimates for adaptive finite element computations. SIAM J. Num. Anal., 15,4:736-754, 1978.

[3] O.-C. Zienkiewicz and J.-Z. Zhu. A simple error estimator and adaptative procedure for practical engineering analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 24:337-357, 1987.

[4] G. Coffignal. Optimisation et fiabilité des calculs éléments finis en élastoplasti- cité. PhD thesis, ENS Cachan - Université Pierre et Marie Curie, Paris, 1987.

[5] P. Ladevèze and N. Moes. A new a posteriori error estimation for nonlinear time-dependent finite elmeent analysis. Computer Methods in Applied Mecha- nics and Engineering, 157:45-68, 1997.

[6] L. Gallimard, P. Ladevèze, and J.-P. Pelle. Error estimation and adaptativity in elastoplasticity. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 39:189-217, 1996.

[7] P. Coorevits. Maillage adaptatif anisotrope: application aux problèmes de dynamique. PhD thesis, ENS Cachan, 1993.

[8] P. Bussy. Optimisation et fiabilité des calculs par éléments finis en non-linéarité géométrique. PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie, Paris, 1984.

[9] J.-Ph. Combe. Sur le contrôle des calculs en dynamique rapide : application aux problèmes d'impact. PhD thesis, ENS Cachan, 2000.

[IO] P. Wriggers and 0. Scherf. Adaptive finite element techniques for frictional contact problems involving large elastic strains. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 151,3-4:593-603, 1998.

[Il] P. Coorevits, P. Hild, and J.-P. Pelle. Contrôle et adaptation des calculs élé- ments finis pour les problèmes de contact unilatéral. Revue européenne des éléments finis, 8:7-29, 1999.

[12] P. Coorevits, P. Hild, and J.-P. Pelle. A posteriori error estimation for unilateral contact with matching and nonmatching meshes. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 186:65-83, 2000.

[13] P. Ladevèze and J.-P. Pelle. La maftrise du calcul en mécanique linéaire et non linéaire. Hermes, 2001.

[14] A. Deraemaeker, P. Ladevèze, and P. Leconte. Reduced bases for mode1 up- dating in structural dynamics based on constitutive relation error. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191,21/22:2427-2444, 2002.


Bibliographie

[15] A. Deraemaeker and P. Ladevèze. Sur la correction des erreurs de discrétisation dans le recalage des modèles en dynamique. In 5e Colloque National en Calcul des Structures, Giens, France (Var), 2001.

[16] M. Ainsworth and J.-T. Oden. A posteriori error estimation in finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 142:l-88, 1997.

[17] P. Ladevèze, J.-P. Pelle, and P. Rougeot. Error estimation and mesh optimization for classical finite elements. Engineering Computation, 8:69-80, 1991.

[18] J.-P. Dumeau. Contrôle et adaptation des maillages SD :application à l'auto- matisation des calculs. PhD thesis, ENS Cachan, 1995.

[19] P. Ladevèze and D. Leguillon. Error estimate procedure in finite element me- t hod and application. SIAM Journal of Numerical Analysis, 20:485-509, 1983.

[20] J.-L. Gastine, P. Ladevèze, P. Marin, and J.-P. Pelle. Accuracy and optimal meshes in finite element computation for nearly incompressible materials. Com- puter Methods in Applied Mechanics and Engineering, 94:303-314, 1992.

[21] E. Florentin. Sur l'évaluation de la qualité locale des contraintes éléments finis en élasticité tridimensionnelle. PhD thesis, ENS Cachan, 2002.

[22] P. Ladevèze and P. Rougeot. New advances on a posteriori error on constitutive relation in finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 150:239-249, 1997.

[23] E. Florentin, L. Gallimard, and J.-P. Pelle. Evaluation of the local quality of stresses in 3D finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191,39/40:4441-4458, 2002.

[24] 1. Babuska and W.-C. Rheinboldt. Adaptative approaches and reliability estimations in finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 17/18:519-540, 1979.

[25] R. Verfurth. A review of a posteriori error estimator and adaptative mesh- refinement techniques. Wiley-Teubner Verlag, 1996.

[26] N.-E. Wiberg and F. Abdulwahab. Patch recovery based on superconvergent derivates and equilibrium. International Journal of Numerical Methods in En- gineering, 36:2703-2724, 1993.

[27] O.-C. Zienkiewicz and B. Boroomand. Recovery by equilibrium in patches. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40:137-164,1997.

[28] C. Carstensen, O. Scherf, and P. Wriggers. Numerical analysis for contact of elastic bodies. SIAM J. Sci. Comp.,?:?, 1997.

[29] N. Kikuchi and J.-T. Oden. Contact problems in elasticity : A study of variational inequalities and finite element methods. 1988.

[30] P. Wriggers, K. Fischer, and A. Rieger. Recent new developments in contact mechanics. In VII International Conference on Computational Plasticity, Bar- celona, Spain, 2003.

[31] P. Wriggers and 0. Scherf. Different a posteriori error estimators and indicators for contact problems. Mathematics and Computer Modelling, 28:437-447, 1997.

[32] A. Rieger and P. Wriggers. Adaptive methods for frictionless contact. Compu- ters and Structures, 79:2197-2208, 2001.


Bibliographie

[33] J.-Ph. Combe, P. Ladevèze, and J.-P. Pelle. Constitutive relation error estimator for transient finite element analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 176:165-185, 1999.

[34] J.-Ph. Combe, P. Ladevèze, and J.-P. Pelle. Discretization error estimator for transient dynamic simulations. Advances in Engineering Software, 33:553-563, 2002.

1351 D.-C. Drucker. On the postulate of stability of material in the mechanics of continua. Journal de Mécanique, 3,2:235-249, 1964.

[36] K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, and C. Johnson. Computational diferential equations. Cambridge University Press, 1996.

[37] D. Aubry, D. Lucas, and B. Tie. Adaptative strategy for transient/coupled problems - applications to thermoelasticity and elastodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 176:41-50, 1999.

[38] N.-E. Wiberg and X.-D. Lie. A postprocessed error estimate and an adaptive procedure for the semidiscrete finite element method in dynamic analysis. In- ternational Journal of Numerical Methods in Engineering, 37:3585-3603, 1994.

[39] G. Duvaut and J.-L. Lions. Les inéquations en mécanique et en physique. Du- nod, 1972.

[40] G. de Saxcé. Une généralisation de l'inégalité de Fenchel et ses applications aux lois constitutives. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 314:125-129, 1992.

[41] M. Raous, L. Chabrand, and F. Lebon. Numerical methods for frictional contact problems and applications. Journal de Mécanique Théorique et Appliquée, Nu- méro spécial, 1/7:111-128, 1988.

[42] J.-L. Lions and G. Stampacchia. Variational inequalities. Communication on Pure and Applied Mathematics, 10:493-519, 1967.

[43] M. Cocu. Existence of solutions of signorini problems with friction. Internatio- nal Journal of Engineering Science, 22,5:567-581, 1984.

[44] J.-A.-C. Martins and J.-T. Oden. Existence and uniqueness results for dynamic contact problems with nonlinear normal and friction interface laws. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 11,3:407-428, 1987.

[45] R. Hassani, P. Hild, 1. Ionescu, and N.D. Sakki. Sur la multiplicité des solutions du problème frottement de Coulomb. In Actes du sixzème colloque national en calcul des structures, Tome II, pages 288-289, Giens, France (Var), 2003.

[46] P. Hild. On finite element uniqueness studies for Coulomb's frictional contact model. Appl. Math. Comp. Sci, 12:41-50, 2002.

[47] P. Ballard. A counter-example to uniqueness in quasi-static elastic contact problems with small friction. Int. J. Engng. Sci, 37:163-178, 1999.

[48] A. Klarbring. Example of non-uniqueness and non-existence of solutions to quasistatic contact problem with friction. Ingenieur Archiv, 56:529-541, 1990.

[49] J.-A.-C. Martins, S. Barbarin, M. Raous, and A. Pinto Da Costa. Dynamic stability of finite dimensional linearly elastic systems with unilateral contact and Coulomb friction. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 177, 3-4~289-328, 1999.


Bibliographie

[50] P. Hild. Problèmes de contact unilatéral et maillages éléments finis incompatibles. PhD thesis, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1998.

[51] P. Ladevèze. Mécanique non-linéaire des structures. Hermès, 1996. [52] L. Champaney. Une nouvelle approche modulaire pour l'analyse d'assemblages

de structures tridimensionnelles. PhD thesis, ENS Cachan - Université Pierre et Marie Curie, Paris, 1996.

[53] P. Ladevèze. La méthode d'évaluation d'erreur en relation de comportement appliquée à la m.e.f: qualité et amélioration. In Rapport interne 153, LMT Cachan, Ecole Normale Supérieure de Cachan, 1994.

[54] A. Combescure, A. Millard, and P. Verpeaux. Numerical methods in CASTEM system for the treatment of contact problems involving friction. Journal de Mécanique Théorique et Appliquée, Numéro spécial, l/7:249-261, 1988.

[55] G. Strang and G. Fix. An analysis of Finite Element Method. Prentice Hall, 1976.

[56] B. Szabo and 1. Babuska. Finite Element Analysis. J. Wiley Ed., New York, 1991.

[57] P. Coorevits, P. Ladevèze, and J.-P. Pelle. Mesh optimization for problems with steep gradients. Engineering Computations, 11:129-144, 1994.

[58] M. Raous, S. Cescotto, A. Curnier, and A. Millard. Modélisation mécanique et numérique du contact et du frottement. Cours IPSI, 1996.

[59] M. Cocu, E. Pratt, and M. Raous. Formulation and approximation of quasistatic frictional contact. International Journal of Engineering Science, 34,7:783- 798, 1996.

[60] M. Raous, M. Jean, and J.-J. Moreau. Analysis of an incremental formulation for frictional contact problems. In Contact Mechanics, pages 13-20, Carry-Le- Rouet, France, 1994.

[61] P. Ladevèze. Erreur en relation de comportement en dynamique: Théorie et application au recalage de modèle de structure. In Rapport interne 150, LMT Cachan, Ecole Normale Supérieure de Cachan, 1993.

[62] R.-J Gibert. Vibrations des structures, Interactions avec les fluides, Sources d'excitation aléatoires. Eyrolles, 1988.

[63] www.lstc.com. http://www.lstc.com/pages/products/index.htm. 2003. [64] www.radioss.com. http://www.radioss.com/presentation~radioss~cfd~html/

main-frame.htm1. 2003. [65] B. Herry. Développernent d'une approche multiéchelle parallèle pour la simula-

tion de crash automobile. PhD thesis, ENS Cachan, 2002. [66] www.abaqus.com. http://www.abaqus.com/products/products~explicit.html.

2003. [67] europlexus.jrc.it. http://europlexus.jrc.it/public/manual~html/index.html.

2003. [68] V. Faucher. Méthodes de réduction en dynamique explicite multi-échelles pour

l'analyse des structures complexes sous impact. PhD thesis, ENS Cachan, 2003. [69] T. Belytschko and T.-J.-R. Hughes. Computational methods for transient ana-

lysis. North-Holland, 1986.


Bibliographie

[70] J.-O. Kim and B.-M. Kwak. Frictional dynamic contact analysis using finite element nodal displacement description. Computers and Structures, 42:797-807, 1992.

[71] D. Vola, E. Pratt, M. Raous, and M. Jean. Programmation mathématique pour des problèmes de contact avec frottement en dynamique. In Actes du troisième colloque national en calcul des structures, pages 441-446, Giens, France (Var), 1997.

[72] T.-J.-R. Hughes and J. Winget. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large deformation analyses. Internatio- nal Journal for Numerical Methods in Engineering, 15:1862-1867, 1980.

[73] M. Ortiz and J.-C. Simo. An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23:353-366, 1986.

[74] G.-1. Taylor. The use of a flat-ended projectiles for determining dynamic yield stress 1 : Theoritical considerations. In Proc. Roy. Soc. London, pages A 194, 289, 1948.

1

[75] S.-E. Jones, J.-A. Drinkard, W.-K. Rule, and L.-L. Wilson. An elementary theory of the taylor test impact. International Journal of Impact Engineering, 21 (1,2):1-13, 1998.

[76] P. Coorevits, J.-P. Pelle, and C. Ramananjanahary. Contrôle des calculs pour les éléments finis de plaque - application à l'élément dkt. In 13em Congrès Français de Mécanique, Poitiers, France, 1997.

[77] Y. Monerie. Fissuration des matériaus: composites: rôle de l'interface fibre- matrzce. PhD thesis, Université de la Méditerranée, Marseille, 2000.


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THESE L'ÉCOLE NORMALE SUPERIEUREw3.lmt.ens-cachan.fr/PDFs/LOUF.2003.6.pdf · Avant toute chose, je tiens à remercier M. Raous pour avoir accepté de présider ... Je tiens également