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DOCUMENT DE TRAVAIL 2008-008

INFÉRENCE DES COEFFICIENTS D’IMPORTANCE RELATIVE DES CRITÈRES DANS PROMETHEE II

Hela Moalla FRIKHA Habib CHABCHOUB Jean-Marc MARTEL

Version originale : Original manuscript: Version original:

ISBN – 978-2-89524-321-2

Série électronique mise à jour : On-line publication updated : Seria electrónica, puesta al dia

04-2008

1

Inférence des coefficients d’importance relative des

critères dans PROMETHEE II

Hela Moalla Frikha

1, Habib Chabchoub

2 et Jean-Marc Martel

3

1

LOGIQ, Institut Supérieur de Gestion Industrielle de Sfax, Route M’Harza

Km 1,5 ; B.P : 954, 3018 Sfax, Tunisie. 2

Faculté des Sciences Economiques et de Gestion de Sfax, Route de l’aérodrôme

Km 4, B.P : 1088, 3018 Sfax, Tunisie. 3

Faculté des Sciences de l’Administration, Université Laval, Cité Universitaire,

Québec (Qué.), G1K 7P4, Canada.

Résumé

La plupart des modèles d’aide multicritère à la décision comportent des paramètres permettant de

modéliser les préférences du décideur. Il va de soi que la détermination des valeurs de ces

paramètres devait se faire en collaboration avec le décideur ; c’est notamment le cas pour les

coefficients d’importance relative (c.i.r.) des critères. La détermination des c.i.r. constitue pour le

décideur une tâche importante, mais qui est généralement assez difficile à accomplir.

L’information qu’il peut fournir à ce niveau est inévitablement subjective et souvent partielle ; il

faut donc chercher à exploiter au mieux cette information. C’est précisément l’objet de cet

article, pour les c.i.r. des critères dans PROMETHEE. En prenant appui sur la programmation

mathématique, nous développons une approche de désagrégation des préférences permettant

d’inférer les c.i.r. des critères à partir d’information partielle fournie par le décideur. Le

programme construit comportera des solutions multiples, mais permettra de dégager des

intervalles de valeurs pour les c.i.r. Le critère de Hurwicz permettra d’expliciter une valeur pour

chacun des c.i.r.

Mots clés : Aide multicritère à la décision ; Approches de désagrégation des préférences ;

Programmation mathématique ; PPOMETHEE; Coefficients d’importance relative (c.i.r.) des

critères;

1 Introduction

Lors d’une activité d’aide multicritère à décision, la préoccupation de base concerne la

manière par laquelle la décision sera prise dans un contexte donné. Toutefois, il peut

également être pertinent de poser le problème inversement : en supposant qu’une décision a

été prise, est-il possible de trouver les bases rationnelles permettant d’expliquer, de justifier la

décision prise ? Ou encore est-il possible de dégager le modèle des préférences du décideur

permettant d'aboutir exactement à la même décision ou au moins à une décision très

"similaire" ? La philosophie d’une approche de désagrégation des préférences dans le cadre

d’une analyse multicritère est de dégager ou de déterminer des éléments de la modélisation

des préférences à partir de structures préférentielles fournies par le décideur, tout en tenant

compte de la problématique décisionnelle retenue. Comme on le verra dans la section

2

suivante, plusieurs approches ont été développées afin de déterminer certains paramètres des

méthodes ÉLECTRE, mais peu l’ont été pour les méthodes PROMETHEE.

Dans cet article, nous considérons le problème de la désagrégation des préférences dans

le cadre de la méthode PROMETHEE II. À partir de relations de préférence fournies par le

décideur, nous cherchons à déduire les valeurs des coefficients d’importance relative (c.i.r.)

des critères en ayant recours à la programmation mathématique.

L’organisation de l’article s’articule comme suit : une brève présentation des approches

de désagrégation constitue la section 2. La section 3 sera consacrée à une description des

méthodes PROMETHEE. Dans la section 4, nous développerons une approche basée sur une

programmation mathématique pour déterminer les valeurs des c.i.r. des critères. Un exemple

numérique illustratif fera l’objet de la section 5 et la section 6 contiendra une brève

conclusion.

2 Approches de désagrégation des préférences

Plusieurs approches de désagrégation ont été développées pour déduire les paramètres

de la méthode ÉLECTRE. En effet, un premier essai de détermination des paramètres de

ÉLECTRE III à partir d'un rangement donné a été présenté par Richard (1981) sans aboutir

réellement à des résultats satisfaisants. Puis Kiss et al. (1994) ont développé un système

interactif ÉLECCALC qui détermine indirectement les paramètres de la méthode ÉLECTRE

II à partir des réponses des décideurs à des questions concernant leurs préférences globales.

Dans le même contexte de méthodes de désagrégation des préférences permettant de

déterminer les valeurs de certains paramètres d’ÉLECTRE à partir d'informations fournies par

le décideur, Mousseau a contribué à l'élaboration de plusieurs travaux. En effet, Mousseau et

Slowinski (1998) ont proposé une approche d'inférence globale qui déduit les paramètres

d’ÉLECTRE TRI simultanément, en partant d'exemples d'affectation. Dans la continuité de

cette même idée, Mousseau et al. (2001) ont proposé une approche d'inférence partielle qui

consiste à déduire uniquement les coefficients d'importance relative des critères et le niveau

de coupe afin de déduire des relations triviales à partir de relations de surclassement valuées.

À leur tour, An Ngo et Mousseau (2002) ont présenté une procédure d'inférence qui détermine

les limites des catégories dans ÉLECTRE TRI à partir d'exemples d'affectation fournis par le

décideur. Enfin, Dias et Mousseau (2006) ont proposé un programme mathématique pour

déduire les valeurs du seuil de veto d’ÉLECTRE III à partir d'exemples de surclassement.

Mousseau et Dias (2004) ont aussi introduit le concept de non discordance aux procédures

d’inférence des paramètres d’ÉLECTRE III et ÉLECTRE TRI a fin de réduire les difficultés

de résolution des programmes mathématiques. Lorenço et Costa (2004) ont développé une

3

approche de désagrégation permettant d’inférer les coefficients d’importance relatives et les

limites des catégories d’ÉLECTRE TRI en se basant sur des exemples d’affectation fournis

par le décideur a fin de trier les solutions non dominées dans un programme linéaire en

nombres entiers multi objectif.

Dans le même contexte de désagrégation des préférences, Jacquet-Lagreze (1979) a proposé

une approche pour construire un modèle de valeur additive qui consiste à estimer

indirectement les paramètres du modèle sur la base d'informations holistiques sur les

préférences. Cette approche est mathématiquement intégrée dans la méthode UTA par

Jacquet-Lagrèze et Siskos (1982) à travers un modèle de désagrégation de type régression

ordinale, basé sur la formulation de la programmation linéaire. Les méthodes de

désagrégation des préférences apparaissent aussi dans d’autres versions de UTA. En effet, la

méthode UTADIS (UTilités Additives DIScriminantes) (Doumpos et Zopounidis, 2004) est

une méthode de régression ordinale basée sur l'approche de désagrégation des préférences.

Étant donnée une classification prédéfinie d'actions dans des classes, l'objectif de UTADIS est

d'estimer une fonction d'utilité additive et des seuils d'utilité qui affectent les actions dans

leurs classes originales avec un minimum d'erreurs de classification. La méthode UTA II,

développée par Siskos (1980) est une autre version de la méthode UTA. Cette approche de

désagrégation des préférences sert à estimer le modèle d'utilité additive. Dans le cadre de

l'aide multicritère à la décision face à l'incertitude, Siskos (1983) a développé une méthode de

régression ordinale à partir de UTA (UTA stochastique).

D’autres auteurs ont développé des approches de désagrégation des préférences

indépendamment des procédures d’agrégation multicritères. En effet, MUSA MUlticriteria

Satisfaction Analysis (Grigoroudis and Siskos, 2002) est une approche de désagrégation des

préférences permettant d’évaluer le degré de satisfaction des clients en se basant sur leurs

jugements et préférences. Cette approche agrège les différentes préférences en une fonction de

satisfaction unique minimisant les erreurs. Grigouridis et al (2008) a proposé une approche

multicritère de désagrégation des préférences mesurant la satisfaction des utilisateurs a fin

d’analyser leurs perceptions et préférences dans l’évaluation de la qualité des sites webs. Ce

modèle permet d’estimer l’importance relative et le niveau de la demande des différentes

dimensions de satisfaction des utilisateurs. En plus, Xu (2006) a proposé deux modèles de

désagrégation pour résoudre les problèmes de décision multicritère où l’information

concernant les poids des critères est incomplètement connue et les valeurs des critères sont

des variables linguistiques incertaines, et le décideur possède des préférences sur les

alternatives.

4

3 Les méthodes PROMETHEE

3.1 Principes des méthodes PROMETHEE

Les méthodes PROMETHEE “Preference Ranking Organization METHod for

Enrichment Evaluations” (Brans et Vincke, 1985) reposent sur le principe de comparaison

deux à deux des actions selon chaque critère: Elles consistent à définir une fonction-critère

Pkij permettant de modéliser les préférences du décideur selon chaque critère k. Lorsque le

décideur compare deux actions xi et xj, Pkij représente le degré de préférence pour xi, en ne

considérant que le critère k. La fonction de préférence est définie séparément pour chaque

critère par :

0 si 0

où ( ) ( )

si 0

k

ij

k k

ij ij k i k j

k k

ij ij

d

P d g x g x

P d

[1]

La fonction de préférence Pkij diffère selon la nature du critère (critère normal, quasi-critère,

pré-critère, pseudo-critère en escalier, pseudo-critère à préférence linéaire ou critère

Gaussien).

Chaque fonction-critère prend ses valeurs entre 0 et 1. Plus la valeur est proche de 0, plus la

préférence du décideur pour l’une des actions est faible. Plus elle tend vers 1, plus sa

préférence pour une action augmente. En cas de préférence stricte, la fonction devient égale à

1. Pour définir la fonction-critère de certains critères, il faut fixer deux seuils : un seuil

d’indifférence (q) et un seuil de préférence (p). La préférence globale d’une action xi sur une

action xj est donnée par l’indice de préférence Cij. Pour chaque action xi, on calcule les flux

sortants i+, les flux entrants i et les flux nets (ou bilans de flux) i, qui expriment

respectivement la « force », la « faiblesse » et la valeur relative de l’action xi.

Donc, il faut d’abord calculer:

L'indice de préférence de xi sur xj en considérant simultanément tous les critères.

1

nk

ij k ij

k

C w P [2]

où wk est la valeur du c.i.r. attribuée au critère k tel que : 0 et 1k k

k

w w , wk est

d'autant plus grand que le critère k est important.

Cij = 0 si et seulement si xi est indifférent à xj pour tous les critères.

Cij = 1 si et seulement si xi est strictement préférée à xj pour tous les critères.

On calcule ensuite pour chaque action xi:

5

Les flux sortants de xi, qui représentent la dominance de xi par rapport aux autres actions,

s’expriment par :1

r

i ij

ji j

C [3]

Les flux entrants vers xi, qui représentent la dominance des autres actions sur xi,

s'expriment par: 1

r

i ji

ji j

C [4]

Le flux net de xi, c'est à dire le bilan des flux entrants et sortants, s'exprime par :

i i i [5]

La méthode PROMETHEE II

La méthode PROMETHEE II conduit à un rangement des actions en un pré-ordre total

où on n'accepte pas l'incomparabilité: toutes les actions sont classées de la meilleure à la

moins bonne.

En effet, le flux net i peut être positif ou négatif. Plus il est grand, plus l'action xi domine

l'ensemble des autres, moins elle est dominée. Ainsi :

xi surclasse xj si et seulement si i j et

xi est indifférente à xj si et seulement si i j.

La méthode PROMETHEE II exige l'affectation d'un c.i.r. à chacun des critères. Ces c.i.r.

sont généralement fournis par le décideur. Or, il peut être assez difficile pour le décideur de

fournir des valeurs précises et objectives pour ces c.i.r. Pour exploiter au maximum

l’information partielle que le décideur est en mesure de fournir concernant ses préférences,

nous proposons dans la section suivante une approche pour la détermination des c.i.r. des

critères dans la méthode PROMETHEE II en utilisant la programmation mathématique.

4 Une approche pour la détermination des c.i.r. des critères de PROMETHEE II

4.1 Programme mathématique pour inférer les c.i.r.

Dans la plupart des problèmes d'aide multicritère à la décision, le décideur doit fournir à

l'homme d'étude l’information concernant les c.i.r. des critères. Avec les méthodes

PROMETHEE, le décideur n'échappe pas à cette obligation.

L’information même partielle, que le décideur pourra fournir peut être utile à l’homme

d’étude pour déterminer les c.i.r des critères. Dans ce papier, l’information partielle fournie

par le décideur sera incorporée dans un modèle de programmation mathématique permettant

de générer des valeurs pour les c.i.r. des critères de PROMETHEE. On suppose que cette

information partielle fournie par le décideur est de deux types: Dans le premier type, le

6

décideur est invité à fournir ses préférences sur quelques paires d’actions et l’on doit

évidemment faire en sorte que ces préférences soient respectées lors du rangement final des

actions. Le deuxième type concerne un pré-ordre soit partiel ou total sur l’importance relative

des critères, selon l’information que le décideur peut fournir.

Dans le cadre de la méthode PROMETHEE II, lorsqu’une action xi est préférée à une

action xj (xi xj), cela signifie que i j. Nous devons donc déterminer le flux net ( i) en

fonction des c.i.r. wk, et puisque i est le bilan des flux sortants et entrants, alors nous devons

calculer i et i en fonction des wk. En appliquant les formules [2], [3] et [4] qui expriment

respectivement, l'indice de préférence Cij, les flux sortants i et les flux entrants i, on a :

1 1 1

r r nk

i ij k ij

j j ki j i j

C w P [6]

1 1 1

r r nk

i ji k ji

j j ki j i j

C w P [7]

Le flux net est alors exprimé comme suit :

1 1 1 1

r n r nk k

i i i k ij k ji

j k j ki j i j

w P w P [8]

Nous considérons les préférences exprimées par le décideur comme étant des objectifs à

atteindre.

Dans le cadre de la méthode PROMETHEE II, « l'objectif » d'avoir xi préférée à xj

(xi xj) signifie que i est supérieur à j d'où 0i j . On peut transformer cette inégalité en

égalité, en introduisant deux variables d'écart, représentant les déviations entre les réalisations

obtenues et les préférences exprimées par le décideur (les objectifs). Notons par S+

m la

déviation positive en cas de dépassement de l'objectif et S m la déviation négative dans le cas

contraire.

Donc, pour toute paire d’actions (xi, xj), xi xj implique que :

0 avec 0 et 0i j m m m mS S S S

Si le but est atteint (xi xj) alors i j. On peut transformer cette inégalité en

égalité, en retranchant une déviation positive mS d'où :

0i j mS avec 0mS .

Si le but n'est pas atteint

- Si (xj xi) alors i j. Dans ce cas, on doit ajouter une déviation

négative mS d'où : 0i j mS avec 0mS .

- Si (xi ≈ xj) alors i j d'où 0i j.

7

Ces équations constituent les contraintes modélisant l'information partielle concernant les

préférences du décideur dans le programme mathématique qui permettra la détermination des

c.i.r. des critères.

Si l'objectif du décideur est d'avoir xi xj alors nous devons minimiser toutes les déviations

négatives mS et l'idéal est que toutes les mS soient égales à zéro. Donc, pour respecter les

préférences du décideur, la fonction objectif du programme mathématique sera la

minimisation de toutes les déviations négatives. Par exemple, si le décideur propose p

préférences alors nous devons minimiser la fonction somme : 1

p

m

m

S .

Puisque la fonction objectif est de minimiser la somme des déviations négatives, alors il existe

un risque qu’à l’optimalité toutes les déviations positives et négatives soient nulles. Dans ce

cas 0 i j m mS S devient i j = 0 et le décideur sera indifférent entre les deux

actions, ce qui contre dit les relations de préférences fournies.

Or, (xi xj) signifie que i j 0. Nous devons avoir donc au moins une légère différence

entre i et j

Pour avoir i j, et pour respecter l’équation 0 i j m mS S avec mS prend sa valeur

minimale (de préférence 0mS ), nous devons avoir 0mS .

Pour cela, nous introduisons dans le programme linéaire des contraintes du type

1, ,m mS m p fixant un seuil minimum positif m à chaque déviation positive S m

afin de l’empêcher d’être nulle. Maintenant, la question qui se pose est comment choisir les

seuils ? Nous commençons par fixer un seuil arbitraire m à chaque S m et nous résolvons le

programme mathématique. À ce stade, nous nous intéressons uniquement aux valeurs

trouvées des déviations S m.

Si les valeurs des déviations positives trouvées sont largement supérieures aux valeurs des

seuils fixés dans une ou plusieurs contraintes, c'est-à-dire m mS , alors les seuils sont bien

fixés. Cependant, si la valeur de la déviation trouvée est égale à la valeur du seuil fixé dans

une ou plusieurs contraintes, c’est à dire m mS , alors il existe un risque que Sm aurait une

autre valeur inférieure à m, mais elle n’a pas pu à cause de la contrainte m mS . Elle a donc

pris le minimum, qui est égal à m. Dans ce cas, on diminue le seuil m et nous résolvons de

nouveau le programme linéaire. Nous vérifions si les valeurs des déviations positives trouvées

sont largement supérieures aux seuils, et ainsi de suite. La diminution des seuils se fait jusqu’à

ce qu’ils soient très petits, négligeables, et tendent vers 0. Dans ce cas, la préférence de xi sur

xj est très faible, tend vers l’indifférence et nous ne pouvons plus réduire la valeur de m.

En plus de ces contraintes, deux autres types de contraintes figurent dans le programme. Le

premier correspond à la normalisation des c.i.r. C’est à dire que la somme des c.i.r doit être

égale à 1. Par exemple, si nous avons n critères alors : 1

1n

k

k

w

8

En outre, il faut tenir compte du fait que les c.i.r des critères soient strictement positifs (wk 0).

Nous devons éviter le fait qu’un critère ait un coefficient d’importance relative nul, sinon, il

sera inutile de le prendre en considération dans la liste des critères du problème en question.

Vu que la programmation linéaire ne traite pas les contraintes du type strictement positif, nous

fixons un seuil minimum k pour chaque c.i.r. Au dessous de ce seuil, le critère ne sera plus

significatif. Par conséquent, nous ajoutons au programme mathématique la contrainte :

1, , k kw k n .

Le deuxième type d'information partielle fournie par le décideur concerne le pré-ordre partiel

ou total sur l’importance relative des critères. En effet, s’il s’agit de pré-ordre total, le

décideur est invité à classer les différents critères par ordre d'importance sans connaître les

valeurs précises des c.i.r. Pour n critères nous pouvons écrire ( 1)n contraintes exprimant le

pré-ordre total des c.i.r. Cependant, s’il s’agit d’un pré-ordre partiel, le décideur est sollicité à

présenter quelques comparaisons entre des paires de c.i.r. de certains critères. Le nombre de

contraintes correspondant au pré-ordre partiel ne doit pas dépasser ( 1)n . Ainsi, le

programme mathématique s'écrit:

Programme 1 :

1

1

1

0 1, ,

Contraintes de type , 1, , et 1, ,

p

m

m

n

k

k

i j m m

h l

Minimiser Z S

Sous Contraintes

w

S S m p

w w h l k n l n

1, ,

1, ,

0 et 0

1, ,

m m

k k

m m

S m p

w k n

S S m p

L'équation [8] nous permet de réécrire ce programme comme suit :

9

Programme 2 :

1

1

1 1 1 1

1

0

p

m

m

n

k

k

n n n nk k k k

k ij k ji k ij k ji m m

j i k j i k i j k i j k

Minimiser Z S

Sous Contraintes

w

w P w P w P w P S S

1, ,

Contraintes de type , 1, , et 1, ,

1, ,

h l

m m

m p

w w h l h n l n

S m p

1, ,

0 et 0 1, ,

k k

m m

w k n

S S m p

Il est à noter que pour différents jeux de c.i.r., nous pouvons avoir le même rangement des

actions. Donc le programme mathématique proposé ci-dessus admet des solutions multiples.

4.2 Résolution du problème des solutions multiples

Dans ce travail, afin de surmonter le problème des solutions multiples, nous proposons

une technique permettant de réduire le nombre de solutions ainsi que leur dispersion et

d'assurer une certaine convergence. Cette technique repose sur la détermination de la valeur

maximale et la valeur minimale que peut prendre chaque c.i.r. (les solutions extrêmes de

chaque c.i.r.) tout en respectant les contraintes du programme mathématique. En effet, pour

trouver la valeur minimale de chaque wk, nous devons minimiser simultanément la somme

des déviations négatives et la valeur de wk. Ainsi, la fonction objectif du Programme linéaire

devient : 1

p

m k

m

Minimiser Z S w .

Par contre, pour déterminer la valeur maximale de wk, nous devons minimiser la somme des

déviations négatives et maximiser le c.i.r. wk en même temps. Par conséquent, la fonction

objectif s’écrit ainsi : 1

p

m k

m

Minimiser Z S w .

Lorsque le décideur nous fournit un pré-ordre total pour les valeurs des c.i.r., nous pouvons

représenter ces intervalles sur un même graphique (voir figure 1) tout en tenant compte du

pré-ordre (croissant) des c.i.r. proposés.

10

Figure 1 : Représentation des intervalles de variations des wk

À partir de cette représentation (figure 1) nous remarquons l'existence de plages d'intersection

entre les intervalles où l'information partielle concernant le pré-ordre total des c.i.r. ne peut

pas être respectée. Par conséquent, les contraintes de pré-ordre des wk peuvent être violées.

Pour éviter ce problème nous devons éliminer une des deux parties hachurées. Cette opération

peut être qualifiée de réalisation de coupes sur les intervalles des valeurs des c.i.r. Cependant,

lorsque le décideur nous fournit un pré-ordre partiel pour les valeurs des c.i.r., nous devons

éliminer l’une des intersections entre chaque deux c.i.r. comparés. En fait, nous effectuons des

coupes uniquement sur les intervalles de variations des c.i.r. figurant dans l’information

fournie. Les coupes effectuées vont permettre de respecter l'information partielle concernant

le pré-ordre des c.i.r., de réduire considérablement le nombre de solutions et d'assurer la

convergence vers une solution unique ou bien vers des intervalles de variation des wk de

largeurs réduites.

Ces coupes sont introduites dans le programme 2, sous forme de contraintes de type ou bien

l'un ou bien l'autre. Le fait d'éliminer l'intervalle [al, bh] soit de [al, bl] soit de [ah, bh] se

traduit par wh al ou wl bh.

Pour transformer une contrainte de la forme :

f(x1, x2, …,xn) 0 ou g(x1, x2, …,xn) 0,

il suffit d'utiliser la règle suivante :

1 2 n

1 2 n

1 2 n 1 2 n

1 2 n

f(x ,x , ..., x ) My

g(x ,x , ..., x ) M(1 - y)f(x ,x , ..., x ) 0 ou g(x ,x , ..., x ) 0

y {0,1}

M Sup(f,g) x , x , ..., x domaine des solutions réalisables

≤

≤≤ ≤ ⇔

∈

≥ ∀ ∈

avec y est une variable binaire et M est un nombre très grand vérifiant f M et g M.

1 0

wl

bh

wh

ah al bl

wh wl wv

wv

wj

11

Cette règle garantie que l'une au moins des deux contraintes soit vérifiée.

Explication :

ère

ère

1

1

1

1

(La 1 contrainte est retenue et la suivante est rejetée)

(La 1 contrainte est r

( ,..., ) 0- Si 0

( ,..., ) (évidente)

( ,..., ) (évidente)- Si 1

( ,..., ) 0

n

n

n

n

f x xy

g x x M

f x x My

g x xejetée et la suivante est retenue)

Soit ys une variable binaire, si ys= 0, nous éliminons la plage d’intersection de l’intervalle du

c.i.r le moins important c'est-à-dire nous éliminons l’intervalle [al, bh] de [ah, bh]. Cependant,

si ys= 1, nous éliminons la plage d’intersection de l’intervalle du c.i.r suivant c'est-à-dire nous

éliminons l’intervalle [al, bh] de [al, bl].

Le nombre de variables binaires ys peut être au maximum ( 1)

2

n n puisque le nombre de

comparaisons de chaque c.i.r wk par rapport aux wk suivants est de [(n 1) + (n 2) + … + 1].

La contrainte : wh al ou wl bh s'écrit wh al 0 ou bh wl 0.

En appliquant la règle précédente, cette contrainte devient :

( 1)(1 ) 1, ,

2{0,1}, sup( , )

h l s

h l s

s h l h l

w a Myn n

b w M y s

y M w a b w

avec ys est une variable binaire et M est un nombre très grand vérifiant :

wh al M et bh wl M.

Puisque wh wl , bh al sont inférieurs ou égaux à 1, nous pouvons choisir M=1.

Par conséquent, notre contrainte s'écrit comme suit :

( 1)1 1, ,

2{0,1}

h l s

h l s

s

w a yn n

b w y s

y

Un troisième programme mathématique qui tient compte des préférences du décideur

sur quelques paires d’actions, de son pré-ordre partiel ou total concernant les valeurs des c.i.r

ainsi que des coupes suggérées, peut alors être formulé ainsi :

12

Programme 3 :

1

1

1

0 1, ,

contraintes de type , 1, , et 1, ,

p

m

m

n

k

k

i j m m

h l

Minimiser Z S

Sous Contraintes

w

S S m p

w w h l h n l n

( 1) 1 1, ,

2{0,1}

1, ,

1, ,

0 et 0

h l s

h l s

s

m m

k k

m m

w a yn n

b w y s

y

S m p

w k n

S S

1, ,m p

La résolution de ce programme mathématique génère des solutions multiples au niveau des

variables binaires ys (différentes possibilités d’élimination de plages d’intersection entre les

intervalles des c.i.r.). En effet, il existe une multitude de combinaisons possibles des ys

donnant plusieurs solutions réalisables des c.i.r. (chaque combinaison engendre des solutions

multiples au niveau des c.i.r. wk). Pour chacune de ces combinaisons, nous déterminons les

solutions extrêmes des wk, et nous en déduisons les intervalles de valeurs des c.i.r. Ces

intervalles ne présentent aucun risque de violation des contraintes de pré-ordre des wk.

Pour trouver les valeurs précises des c.i.r pour chaque combinaison f des ys, nous proposons

d'utiliser le critère de Hurwicz ( ). Nous considérons f comme étant un nombre compris

entre 0 et 1. f peut être considéré comme la probabilité que l'ambiguïté sera résolue aussi

favorablement que possible; alors que 1 f est la probabilité que l'ambiguïté sera résolue

aussi défavorablement que possible.

Soit wkf

[akf, bk

f], alors bk

f = Max(wk

f) et ak

f = Min(wk

f)

D'après ce critère, la valeur de wkf s'écrit : wk

f= f Max(wk

f) + (1 f) Min(wk

f).

Puisque la somme des c.i.r est égale à 1, nous pouvons déduire la valeur de f pour chaque

combinaison f et par la suite les valeurs précises wkf pour les c.i.r. des critères. Pour chaque

combinaison f, nous sommes intéressés à la valeur de w1. Alors nous retenons la valeur w1 et

la fixons dans le programme mathématique, c-à-d que nous additionnons une contrainte

imposant que w1 soit égal à la valeur obtenue et nous résolvons le programme afin de trouver

les solutions extrêmes wk pour k = 2,…, n. Nous déduisons alors les valeurs maximums et

minimums des wk . Nous appliquons le critère de Hurwick pour trouver les c.i.r. Ensuite, nous

fixons w2 dans le programme mathématique et nous déterminons les intervalles de variations

13

des wk pour k = 3,…, n et ainsi de suite jusqu’à ce que nous obtenions les valeurs w1, …, wn.

Ces valeurs respectent toutes les contraintes du programme mathématique.

Pour chaque critère, le nombre de valeurs possibles wkf pour les c.i.r. est égal au nombre de

combinaisons des ys. Afin d’obtenir une valeur unique de coefficient d’importance relative

associé à chaque critère k, nous faisons la moyenne de tous les wkf après avoir éliminé les

solutions identiques.

5 Exemple illustratif: sélection de personnel (Pomerol et Barba-Romero, 1993)

Pour embaucher un nouveau salarié, une entreprise a retenu six candidats. Ces actions

Ai, i = 1, 2, …, 6 sont appelées A, B, D, E, G, H. Le service de recrutement décide de

considérer cinq critères : Les trois premiers critères sont quantitatifs.

Critère 1 : Nombre d'années d'études supérieures

Critère 2 : Nombre d'années d'expérience professionnelle

Critère 3 : Âge

Pour les critères 4 et 5, le responsable du recrutement a décidé de les exprimer par des notes

entre 0 et 10.

Critère 4 : Appréciation résultant de l'entretien

Critère 5 : Résultat des tests psychotechniques

Le critère (3) : âge est considéré comme un critère avec préférence linéaire (un pré-critère)

ayant un seuil p= 5, les autres critères restent des vrai-critères.

Les différents critères et actions ainsi que les évaluations des performances des candidats sont

présentés dans la table 1.

14

Table 1 : Matrice de décision

Actions Critères

1

Max

2

Max

3

Min

4

Max

5

Max

A

B

D

E

G

H

6

4

5

6

6

5

5

2

7

1

8

6

28

25

35

27

30

26

5

10

9

6

7

4

5

9

6

7

9

8

c.i.r. ? ? ? ? ?

Le décideur peut fournir l’information partielle présentée comme suit :

- GD ; EA ; BH ; EH ; BD ; DA.

- w3 w4 w5 w2 w1

Sur la base de cette information partielle nous appliquons l'algorithme présenté

précédemment pour déterminer les valeurs des c.i.r. des critères.

Nous procédons par une transformation de l'information partielle sous forme de contraintes en

fonction des wk afin d'obtenir le programme mathématique suivant:

Programme 4: 6

1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1 1

2 3 4 5

+ = 1

5 2 3.2 2 7 0

4 2 4

m

m

Minimiser Z S

Sous Contraintes

w w w w w

w w w w w S S

w w w w S2 2

1 2 3 4 5 3 3

1 2 3 4 5 4 4

1 2 3 4 5 5 5

1 2 3 4 5 6

0

3 4 10 3 0

5 6 4 2 0

3 6 8.2 2 7 0

5 2 2 2 6

S

w w w w w S S

w w w w w S S

w w w w w S S

w w w w w S 6

3 4

4 5

2

0

0

0

S

w w

w w

w 5

1 2

0

0

0,0001 1, ,6

0,01

m

k

w

w w

S m

w

1, ,5

0 et 0 1, ,6m m

k

S S m

15

La résolution de ce programme mathématique par le logiciel LINDO confirme l'existence de

solutions multiples respectant les contraintes puisqu'il y a des variables hors base ayant des

coûts réduits ou des prix duaux égaux à zéro. Nous cherchons les solutions extrêmes

minimisant et maximisant les valeurs des c.i.r. (table 2).

Il est à noter que la valeur de la fonction objectif est égale à zéro. Ceci montre que toutes les

déviations négatives (Sm ) sont nulles (ce qu'on désire avoir afin de respecter toutes les

préférences proposées par le décideur).

Table 2 : Les intervalles de variation des wk

c.i.r w1 w2 w3 w4 w5

Minimum 0.200016 0.178575 0.010000 0.107020 0.150389

Maximum 0.348480 0.269627 0.199996 0.247500 0.261646

À partir de ces valeurs, nous pouvons déduire les intervalles de variations des c.i.r des

critères: w1 [0.200016 , 0.348478] ; w2 [0.178575 , 0.269627] ; w3 [0.010000 , 0.199996] ;

w4 [0.107020 , 0.247500] ; w5 [0.150389 , 0.261646] .

Ensuite, nous représentons ces intervalles dans un même graphique (voir figure 2). Dans cette

représentation nous suivons le classement ordinal total croissant proposé par le décideur.

Figure 2 : Représentation des intervalles de variation des c.i.r.

wj

w1

w2

w5

w4

w3

0 0.02 0.200.126 0.158 0.231 0.261 0.348

wk

0.010 0.107 0.150 0.178 0.199 0.247 0.261 0.348

16

Cette représentation nous permet de visualiser des plages de violation des contraintes

concernant le pré-ordre total pour les valeurs des c.i.r. Ces plages, données par les

intersections entre les intervalles des wk (Iwk) doivent être éliminées. Par exemple, dans la

plage [0.107020, 0.199996], w3 peut prendre la valeur 0.18 et w4 peut prendre la valeur 0.14,

ce qui viole la contrainte w3 w4. Nous devons donc éliminer cette plage, soit de l'intervalle

de w3 ([0.010000, 0.199996]), soit de celui de w4 ([0.107020, 0.247500]).

Afin de modéliser ces éliminations, nous utilisons des contraintes binaires de type "ou bien

l'une ou bien l'autre". Ainsi, w3 0. 107020 ou w4 0.199996 se traduit par :

3 1 3 1

4 1 1 4

1 3 4 1

0.107020 0.107020

0.199996 (1 ) 0.800004

{0,1}, sup( 0.107020,0.199996 ) 1 {0,1}

w My w y

w M y y w

y M w w y

Nous procédons de la même manière pour les autres plages d'intersection (entre Iw4 et Iw5 ;

Iw4 et Iw2 ; Iw4 et Iw1 ; Iw3 et Iw5 ; Iw3 et Iw2 ; Iw5 et Iw2 ; Iw5 et Iw1 ; Iw2 et Iw1). Nous

obtenons le programme mathématique suivant :

17

Programme 5: 6

1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1 1

2 3 4 5 2 2

+ 1

5 2 3.2 2 7 0

4 2 4

m

m

Minimiser Z S

Sous Contraintes

w w w w w

w w w w w S S

w w w w S S

1 2 3 4 5 3 3

1 2 3 4 5 4 4

1 2 3 4 5 5 5

1 2 3 4 5 6 6

0

3 4 10 3 0

5 6 4 2 0

3 6 8.2 2 7 0

5 2 2 2 6

w w w w w S S

w w w w w S S

w w w w w S S

w w w w w S S

3 4

4 5

2

0

0

0

w w

w w

w 5

1 2

3 1

1 4

3

0

0

0.107020

0.800004

w

w w

w y

y w

w 2

2 5

4 3

3 5

3 4

4 2

4 5

0.150389

0.800004

0.150389

0.752500

0.178575

0.800004

0.1785

y

y w

w y

y w

w y

y w

w y

5 2

5 6

6 2

4 7

7 1

5 8

75

0.752500

0.178575

0.738354

0.200016

0.752500

0.200016

y w

w y

y w

w y

y w

w y

8 1

2 9

9 1

0.738354

0.200016

0.730373

0,0001 1, ,6

0,01 1, ,5

0 et

m

k

m

y w

w y

y w

S m

w k

S

0 1, ,6

0,1 1, ,9

m

s

S m

y s

18

La résolution du programme 5 génère des solutions multiples au niveau des valeurs des

variables binaires ys c'est-à-dire différentes possibilités d’éliminations des intersections entre

les intervalles des c.i.r. (différentes combinaisons f des ys) (Table 3).

Table 3 : Les solutions multiples des variables binaires

Solutions y1 y2 Y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

2 0 1 0 0 0 1 0 0 1

3 0 1 0 1 0 1 0 0 1

4 0 0 1 0 1 1 0 1 1

5 0 0 0 1 0 1 0 0 1

6 0 0 0 1 1 1 0 1 1

7 0 0 0 0 1 1 0 1 1

8 0 0 0 0 0 1 1 0 1

9 0 0 0 0 0 1 0 1 1

10 0 0 0 0 1 1 0 0 1

11 0 0 0 0 1 1 1 0 1

12 0 1 1 0 1 1 1 1 1

13 0 1 1 0 1 1 0 1 1

14 0 0 1 1 1 1 0 1 1

15 0 0 1 1 1 1 1 1 1

16 0 1 1 1 1 1 1 1 1

17 0 1 0 1 1 1 1 1 1

18 0 1 0 0 1 1 1 1 1

19 0 1 0 0 0 1 1 1 1

20 0 0 1 0 1 1 1 1 1

En effet, chaque combinaison f possible des ys donne plusieurs solutions réalisables pour les

valeurs des c.i.r : chaque combinaison engendre des solutions multiples au niveau des wk.

Pour chacune de ces combinaisons, nous déterminons les solutions extrêmes des wk, et nous

en déduisons les intervalles de valeurs des c.i.r. Ces intervalles ne présentent aucun risque de

violation des contraintes de pré-ordre total des wk.

Pour trouver les valeurs précises des c.i.r pour chaque combinaison f (f=1…20) des ys

(s=1…9), nous proposons d'utiliser le critère de Hurwicz pour les intervalles des c.i.r.

obtenus.

Puisque la somme des c.i.r. est égale à 1, nous déduisons la valeur de f pour chaque

combinaison f et par la suite les valeurs précises des c.i.r wkf des critères pour chaque

combinaison (Table 4). Pour chaque critère, le nombre de valeurs possibles de c.i.r est égal au

nombre de combinaisons des ys (20 valeurs possibles).

19

Table 4 Valeurs des c.i.r. pour chaque combinaison

w1 w2 w3 w4 w5

1 0,299950472 0,262512552 0,103965043 0,141793466 0,191778466

2 0,297460875 0,261981176 0,094786700 0,145765124 0,200006124

3 0,297460875 0,261983830 0,094794538 0,145759452 0,200001305

4 0,270181518 0,261703433 0,033280839 0,187117930 0,247716280

5 0,299950472 0,262512687 0,103965486 0,141793211 0,191778143

6 0,299578981 0,262546011 0,103734224 0,142340715 0,191800068

7 0,299578981 0,262546011 0,103734224 0,142340715 0,191800068

8 0,299950472 0,262512687 0,103965486 0,141793211 0,191778143

9 0,299578981 0,262546011 0,103734224 0,142340715 0,191800068

10 0,299950472 0,262512804 0,102647632 0,141744781 0,193144310

11 0,296599552 0,262106199 0,095853174 0,147194342 0,198246733

12 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

13 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

14 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

15 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

16 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

17 0,297228650 0,262006481 0,092967005 0,146188807 0,201609056

18 0,297228650 0,262006481 0,092967005 0,146188807 0,201609056

19 0,297228650 0,262006481 0,092967005 0,146188807 0,201609056

20 0,270181518 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389

Afin d’obtenir une valeur unique pour le coefficient d’importance relative associé à chaque

critère k, nous faisons la moyenne des wkf de toutes les solutions (combinaisons) après avoir

éliminé les solutions identiques.

Table 5 Valeurs des c.i.r des critères

w1 w2 w3 w4 w5

1 0,299950472 0,262512552 0,103965043 0,141793466 0,191778466

2 0,297460875 0,261981176 0,0947867 0,145765124 0,200006124

3 0,297460875 0,26198383 0,094794538 0,145759452 0,200001305

4 0,270181518 0,261703433 0,033280839 0,18711793 0,24771628

5 0,299950472 0,262512687 0,103965486 0,141793211 0,191778143

6 0,299578981 0,262546011 0,103734224 0,142340715 0,191800068

7 0,299950472 0,262512804 0,102647632 0,141744781 0,19314431

8 0,296599552 0,262106199 0,095853174 0,147194342 0,198246733

9 0,261698342 0,033263542 0,187122209 0,247734389 0,261698342

10 0,29722865 0,262006481 0,092967005 0,146188807 0,201609056

wk 0,29285434 0,26215635 0,08592582 0,15268200 0,20638149

20

Après arrondissement des valeurs moyennes obtenues pour les c.i.r, les résultats pour les wk

normalisés sont:

w1 = 0.293; w2 = 0.262; w3 = 0.086; w4 = 0.153; w5 = 0.206

6 Conclusion

Cette méthode de détermination des c.i.r. des critères présente l'avantage de composer avec

l’inévitable subjectivité entourant l’intervention directe du décideur dans le processus de

décision. De plus, elle offre la possibilité de partir d'une information partielle concernant les

préférences du décideur pour aboutir à un rangement total des actions, et cela dans le cadre de

PROMETHEE II. Plus on dispose d’information provenant du décideur, plus il y a de

contraintes dans notre programme mathématique et plus les intervalles de valeurs pour les

c.i.r. sont étroits. Ces intervalles de valeurs peuvent être utiles pour conduire une analyse de

sensibilité et même de robustesse.

En outre, la puissance de la méthode présentée est telle qu'elle peut être appliquée à des

problèmes de grande taille. En effet, nous avons constaté que la taille du modèle ne dépend

pas du nombre d'actions, mais dépend uniquement du nombre de critères. Or, dans les

problèmes d'aide multicritère à la décision, le nombre de critères est généralement limité alors

que le nombre d'actions peut être assez grand. Nous concluons alors que l'application de notre

méthode de détermination des c.i.r. est applicable pour un très grand nombre de problèmes.

Nous pouvons traiter la méthode PROMETHEE I de la même façon, mais la modélisation

sera plus complexe. En effet, pour chaque comparaison d’une paire d’actions (xi,xj), xi

Surclasse xj ne sera plus modélisée sous la forme d’une seule contrainte, mais de plusieurs

contraintes de type « ou bien l’une ou bien l’autre ».

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