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L1S2 – Rachid FOUDI –Statistique Descriptive –2015/16 – Document de Cours N° 3 Page 1 sur 22

Rachid FOUDI

ANNEE UNIVERSITAIRE 2015-2016

INSTITUT DE SCIENCES ECONOMIQUES ET DU MANAGEMENT

UNIVERSITE DE LILLE 1

LICENCE L1 - SEMESTRE S2

Section 1

DOCUMENTS POUR LE COURS DE

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

≈

Document de cours N° 3

PLAN DU COURS SEMESTRE 2

DOC 1 : VARIABLES QUALITATIVES : l’exemple du manuel – types de graphiques

DOC 2 : LES DIAGRAMMES SELON LE TYPE DE VARIABLE

DOC 3-1 : L’exemple des 400 familles – Le tableau de distribution

DOC 3-2 : VARIABLE DISCRETE : La courbe cumulative en escaliers

DOC 4 : SERIES CONTINUES : LE TABLEAU DE DISTRIBUTION DE BASE (l’exemple des factures)

DOC 5 : SERIES CONTINUES : LE PRINCIPE DE L’HISTOGRAMME

DOC 6-1 : SERIES CONTINUES : La Fonction de répartition et sa représentation: la courbe cumulative

DOC 6-2 : DIFFERENCE ENTRE LA FONCTION DE REPARTITION (CONTINU) ET LA COURBE

CUMULATIVE EN ESCALIERS (DISCRET)

DOC 6-3 : RAPPORT ENTRE LA FONCTION DE REPARTITION ET LES AIRES DE L’HISTOGRAMME

DOC 7 : LISTE des principales tendances et indicateurs

DOC 7-1 : LE TABLEAU DE YULE

DOC 7 -2 : la moyenne Géométrique : démonstration

DOC 8 : INTERPOLATION DE LA VALEUR DE LA MEDIANE : Théorème de THALES

DOC 8-1 : INTERPOLATION DE Xmé : LA METHODE DU TABLEAU DE DISTRIBUTION

DOC 8-2 : Les QUANTILES : METHODE DE LA COURBE CUMULATIVE

DOC 8-3 : Les QUANTILES : Le cas des séries données en quantiles

DOC 9 : LA COURBE DE L’ECART ABSOLU MOYEN DOC 9.1 : MINIMUM DES DISTANCES QUADRATIQUES : démonstration

DOC 9.2 : LA VARIANCE : démonstration de la formule de KONIG

DOC 10 : LES MOMENTS

DOC 11 : LA COURBE DE LORENZ-GINI : document synthétique

DOC 12 : L’INDICE DE GINI : Les deux méthodes (raisonnement dans le TRIANGLE ou dans le CARRE)

DOC 13 : LA METHODE « SHIFT-SHARE - Le tableau à 4 cases -

DOC 14 : le calcul des MOYENNES PONDEREES

DOC 15 : application du calcul des MOYENNES PONDEREES

DOC 16: L’INTERPRETATION DES RESULTATS

DOC 17 : LES INDICES SYNTHETIQUES (Dépense totale, Laspeyres, Paasche, Fisher) : DEFINITION

(le tableau de référence)

DOC 18 : LES INDICES SYNTHETIQUES : DEFINITION AU MOYEN DES COEFFICIENTS BUDGETAIRES DOC 19 : CALCUL D’UN COEFFICIENT BUDGETAIRE : exemple DOC 20 : LE LASPEYRES DES PRIX (LP) : application DOC 21 : LE PAASCHE DES PRIX : APPLICATION DOC 22 : LA RELATION FONDAMENTALE : Volume = (Valeur/prix)


COURS DE STATISTIQUE DESCRIPTIVE - SEMESTRE 2 - 2015/16 Plan du cours

Chapitre 4 : "Tableaux à une dimension et représentation graphique" (Doc cours 1 à 6.3)

I) Variables qualitatives et représentations graphiques (Doc 1) II) Variables quantitatives discrètes

a. Effectifs et fréquences simples b. Diagramme différentiel (Doc 2) c. Fréquences cumulées et courbe cumulative en escalier (Doc 3-1 et 3-2).

III) Variables continues a. Classes, bornes de classes, amplitude, centre de classe (Définitions) b. L’exemple des factures : le tableau de distribution ((Doc 4). c. Principes de l’histogramme (Doc 5), et polygone des fréquences. d. La courbe cumulative ou « ogive de Galton »

1. Définition 2. Application (Doc 6.1). 3. Différence avec la courbe cumulative en escalier (Doc 6.2). 4. Différence avec l’histogramme (Doc 6.3).

Chapitre 5 : « Caractéristiques de tendance centrale » d’une variable statistique (ou CTC) : Mode médiane (et quantiles), Moyenne (Doc cours 7 à 8-3) Introduction : Tendances et indicateurs étudiés (Doc 7.)

I) La caractéristique de tendance centrale « idéale » : les 6 conditions (a à f) de Yule (Doc 7-1).

II) Le mode (xmo ou Xmo ou xMo), la Médiane (xmé ou Xmé ou xMé) et sa généralisation (les quantiles) a. Le mode b. La médiane

1. définition 2. Médiane d’une série discrète 3. Médiane d’une série continue (l’interpolation linéaire de la

valeur de xMé – Doc 8 et 8-1.) 4. Généralisation de la médiane : les quantiles

i. Définition des principaux quantiles (Doc 8-2) ii. Exemples (Doc 8-3)

Chapitre 4 : "Tableaux à une dimension et représentation graphique" (Doc cours 1 à 6.3)

Chapitre 5 : « Caractéristiques de tendance centrale » d’une variable statistique (ou CTC) :

Mode médiane (et quantiles), Moyenne (Doc cours 7 et 8)

Chapitre 6 : « Caractéristiques de dispersion (ou CD), de forme et de concentration (ou CC)

(Doc cours 9 et 10)

Chapitre 7 : MISS ou S§S ou Méthode de standardisation (Doc cours 11 à 14)

Chapitre 8 et Chapitre 9 : Indices élémentaires et Indices synthétiques (Doc cours 15 et 16)

Chapitre 10 : Variables à deux dimensions, tableau de contingence, indépendance

(sous réserves)


III) La moyenne x III1) Définition et analyse de la moyenne a. La moyenne d’une variable discrète (définition, exemple) b. La moyenne d’une variable continue (définition, exemple) c. Propriétés de la moyenne d. Représentations graphiques de la moyenne e. Position respective des CTC : la leçon de Pearson III2) généralisations a. Les différents types de moyennes (Doc 7-2 : ex moyenne géométrique) b. Application des moyennes aux taux et multiplicateurs (en vue du chapitre 7).

Chapitre 6 : « Caractéristiques de dispersion (ou CD), de forme et de concentration (ou CC) (Doc cours 9 à 12) Introduction : La notion de dispersion et sa mesure élémentaire par l’étendue ou par l’intervalle interquartile

I) Mesure de la dispersion par les écarts à la moyenne : écart absolu moyen, écart type, coefficient de variation, variance. 1) L’écart absolu moyen (mean absolute deviation : mad) (Doc 9 et 9-1) 2) L’écart type (σ)

a. Mesure de (σ) b. Propriétés de (σ) c. Déduction du coefficient de variation : (CV)

3) La variance (σ² ou V(x)) a. La formule développée b. La formule de Konig (Doc 9-2) c. Cas d’un changement de variable (transformation linéaire) d. Généralisation de la variance : les Moments (mr et µr) (Doc 10)

II) Les caractéristiques de forme (asymétrie et aplatissement) III) Les caractéristiques de concentration

1) Le concept de concentration et sa mesure (les « gi » ou « gxi ») 2) La construction de la courbe de Lorenz Gini (Doc 11.) 3) Le calcul de l’Indice de Gini (ou « IG ») (Doc 12) Conclusion : (entropie relative, Theil, Herfindahl)

Chapitre 7 : MISS ou S§S ou Méthode de standardisation (Doc cours 13 à 16) Introduction : Application des moyennes aux taux et aux multiplicateurs

1) Moyennes des taux : exemple P.165-166 2) Moyennes des multiplicateurs : exemple P.166-168

I) Définition du tableau à 4 cases dit « Gammes-profils » (Doc 13) II) Objectif de la méthode de standardisation (Doc 14) III) Décomposition de l’écart global à l’aide des moyennes théoriques (Doc 15 :

application P. 197) IV) L’interprétation des résultats

1) Du tableau à l’interprétation (Doc 16) 2) Application : P. 197-201.


Chapitre 8 et Chapitre 9 : Indices élémentaires et Indices synthétiques (Doc cours 17 à 22)

I) Indices élémentaires 1) Indices simples de stock et de flux

a. Définition b. Propriétés

2) Indices de valeur II) Indices synthétiques Introduction : le problème de l’agrégation des constituants

1) Le tableau de référence (Doc 17) 2) L’indice de valeur comme indice simple (ID) 3) Les indices de Laspeyres ( prix et quantités) : méthode du tableau de

référence et méthode des coefficients budgétaires (Doc 18 et DOC 19) a. Le Laspeyres des prix (Doc 20) b. Le Laspeyres des quantités

4) Les indices de Paasche ( prix et quantités) : méthode du tableau de référence et méthode des coefficients budgétaires (Doc 18 et DOC 19)

a. Le Paasche des prix (Doc 21) b. Le Paasche des quantités

5) La relation fondamentale : Volume, Prix, Valeur (Doc 22) 6) L’indice de Fisher

III) Développement des méthodes

1) Indices chaînes 2) Grandeurs sommables et « effet qualité » 3) Variations mensuelles et annuelles d’une série chronologique

Chapitre 10 : Variables à deux dimensions, tableau de contingence, indépendance (sous réserves)

Ж


NB : distinguer ni = effectif « modal » N = effectif « total »

ou « global »

D’autres peuvent être puisés dans la liste du tableur EXCEL par exemple


DOC 2 : LES DIAGRAMMES SELON LE TYPE DE VARIABLE

Le tableau P.136 résume l’ensemble des diagrammes construits pour les trois types de variables : qualitative, quantitative discrète, quantitative continue.

DOC 3-1 : VARIABLE DISCRETE : exemple des 400 familles

NB

La représentation

graphique n’est

pas seulement

illustrative.

Elle constitue aussi

un outil pour la

démonstration.

La confusion des

diagrammes selon

les variables peut

donc entrainer des

erreurs de calcul et

d’interprétation.


DOC 3-2 : LA COURBE CUMULATIVE EN ESCALIERS

DOC 4 : SERIES CONTINUES LE TABLEAU DE DISTRIBUTION DE BASE L’exemple des factures : Le tableau de base, complet (il faut seulement ajouter la col 1 : numéro de classe) est le IV-12 P. 127. Il est construit par étapes encadrées ci-dessous..

NB La méthode des barres effacées ou gommées permet d’éviter les erreurs de représentation des paliers. Les deux étapes sont illustrées ci-dessous :


DOC 5 : SERIES CONTINUES : LE PRINCIPE DE L’HISTOGRAMME

DOC 6 : SERIES CONTINUES : la fonction de répartition et sa représentation : la courbe cumulative, et sa relation à l’histogramme

-Exemple des factures-

- 6.1 : CONTINU : La courbe cumulative ou FONCTION de

REPARTITION - 6.2 : DIFFERENCE entre la courbe cumulative (CONTINU) et

la courbe en escaliers (DISCRET) - 6.3 : CONTINU : rapport entre courbe cumulative et aires de

l’histogramme (Ne pas confondre « Fi », « fi », et « fi/ai ». 6.1


6.2

6.3


DOC 7 : DEFINITIONS Les principales tendances et indicateurs DOC 8 : L’INTERPOLATION DE LA VALEUR DE LA MEDIANE DOC 8 : L’INTERPOLATION DE LA VALEUR DE LA MEDIANE

7.1 : LE TABLEAU DE YULE

7.2 : LA MOYENNE GEOMETRIQUE : DEMONSTRATION La moyenne géométrique : démonstration

La formule de la moyenne géométrique (G) est démontrée partant de la définition générale des moyennes d’ordre « r », par les propriétés des logarithmes.


La moyenne géométrique est une moyenne d’ordre r=0 . On suppose que r 0, soit r =ε

Donc r rxifi. � XMε = ∑εxifi.

Sous forme logarithmique : ln G = ln XM0 = ln (∑εxifi. )

� en sortant la constante du log : ln (∑εxifi. ) = ∑ fi .ln (xi)

En développant = (f1 + f2+….fi +….fn) . ln(xi) = (f1 + f2+….fi +….fn) . ln [(x1) . (x2) …..(xi) ….. (xn) ]

En vertu de la propriété logarithmique a.lnxi = ln.xi

a ,

et après exponentiation (suppression du log)

DOC 8 : INTERPOLATION LINEAIRE DE LA MEDIANE

G = XM0 = = (x1.f1) . (x2.f

2) . ….(xi.fi)….. (xn.f

n)


8.1 INTERPOLATION DE Xmé : LA METHODE DU TABLEAU DE DISTRIBUTION

8.2 : LES QUANTILES ; DETERMINATION PAR LA COURBE CUMULATIVE


8.3 LES QUANTILES : TRAITER UNE SERIE DONNEE EN QUANTILES : la methode

DOC 9 : LA COURBE DE L’ECART ABSOLU MOYEN 1° La moyenne des distances à la moyenne est nulle 2° La Médiane minimise l’écart absolu moyen Soit la définition

MOYENNE DES ECARTS à UN REEL POSITIF

« a »


DOC 9.1 : MINIMUM DES DISTANCES QUADRATIQUES : démonstration


DOC 9.2 :

Ou « FORMULE SIMPLIFIEE » DE LA VARIANCE (dite aussi « développée »)


DOC 10 : LES MOMENTS

Soit la variance : ∑ −==i

xxifixV2

)(²)( σ moyenne des carrés des écarts à la moyenne

Ecriture générale de la formule des moments : Moyenne des puissance rième des écarts à un réel positif a

Moments non centrés ou premiers moments par rapport à « a » = 0

Notés 0mr = mr = Σ fi (xi – 0) = Σ fi xi = x

Moments centrés ou par rapport à la moyenne x

Notés µr = Σ fi (xi – x )r

Par conséquent, en modifiant l’ordre « r » : m0 = Σ fi (xi – 0)0 = Σ fi = 1

m1 = Σ fi (xi – 0)1 = Σ fi xi = x m2 = Σ fi (xi – 0)2 = Σ fi xi2 – (Σ fi xi)² = σ² - x ² = V(x)) - x ²

Par conséquent, en modifiant l’ordre « r » :

µ0 = Σ fi (xi – x )0 = Σ fi = 1

µ2 = Σ fi (xi – x )² = σ² (ou V(x))

Réduction des moments centrés à des moments non centrés µ0 = m0

µ2 = m2 – (m1)² soit Σ fi (xi)² - x ² (théorème de Konig) µ3 = m3 – (3m2 m1 ) + 2(m1)

3

µ3 = m4 – (4m3 m1) + (6(m1)² m2) – 3(m1)4


DOC 11 : LA COURBE DE LORENZ-GINI

Document synthétique

DOC 12 : L’INDICE DE GINI : Les deux méthodes (raisonnement

dans le TRIANGLE ou dans le CARRE)


DOC 13 : LA METHODE « SHIFT-SHARE »

Le tableau à 4 cases dit « Gammes-profils ». La présentation du tableau : Tab VII-1 P 196.

DOC 14 : le calcul des MOYENNES PONDEREES

En synchronie

En diachronie


DOC 15 : application du calcul des MOYENNES PONDEREES

DOC 16 : L’INTERPRETATION DES RESULTATS

Interpréter les résultats en décomposant l’effet global en deux sous-effets SHIFT et SHARE


DOC 17 : LES INDICES SYNTHETIQUES : DEFINITION PAR le tableau de référence

DTt/0 = indice SIMPLE de la dépense TOTALE

L(Q) t/0 = Indice synthétique Laspeyres des quantités L(P) t/0 = Indice synthétique Laspeyres des prix

P(Q)t/0 = Indice synthétique Paasche des quantités P(P)t/0 = Indice synthétique Paasche des prix

Indice de FISHER (déduit des précédents)

(même formule pour F(P) et F(Q)

DOC 18 : LES INDICES SYNTHETIQUES : DEFINITION AU MOYEN DES COEFFICIENTS BUDGETAIRES

Coefficient budgétaire : définition Part d’un poste (i) de dépense ( en année de référence « 0 » – ci-dessous), soit iD0, dans la dépense totale (DT0).


DOC 19 : CALCUL D’UN COEFFICIENT BUDGETAIRE : exemple (hors manuel)

DOC 20 : LE LASPEYRES DES PRIX (LP) : application Exemple : (P 217) Part de 3 produits dans les ventes (CA) avec variation des prix de 0 à t : calcul du L(P)t/0

Années 01/01/1990 01/01/1995 prix en t / 1 2 1×2

part dans CA prix en 0 prix en t prix en 0 iw0 I(P)t/0 (*) iw0×I (P)t/0

A 58% 12% 0,58 112 64,96

B 27% 15% 0,27 115 31,05

C 15% 18% 0,15 118 17,7

Chiffre (CA) 100% 113,71

L(P)t/0 (*) on sait que I(P) = [(Taux/100)+1]×100

�� µ(IP)×100

ex:112 = [(12/100)+1]× 100 Une application au

L(Q)t/0 = 110 _________________________________________________________________ NB : les « prix » correspondent ici à des parts dans le chiffre d’affaire. Ils jouent donc le rôle de coefficients.


DOC 21 : LE PAASCHE DES PRIX : APPLICATION Application au P(P) : en reprenant l’exemple précédent, on suppose une variation des parts dans le CA, lesquelles deviennent :

1 2 1×2

iwt I(P) t/0 (*) iw t× (1/ (IP)t/0

0,445 112 0,00397

0,274 115 0,00238

0,281 118 0,00238

0,00874

soit= 1/P(P)t/0

En inversant le résultat

P(P)t/0 = 1 / 0,00874 = 114,45

DOC 22 : LA RELATION FONDAMENTALE : Volume = (Valeur/prix)×102 �� Valeur = (Volume × Prix)×10-2

Ж

Une application au P(Q) aurait donné : P(Q)t/0 = 110.70

Exemple : 0,00397 = (1/112)×0,445

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