Dossier d’été pour l’entrée en 8 ème - edu.ge.ch · • 2 est le seul nombre pair qui est premier (en effet tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et par eux-mêmes)

Groupe de Mathématiques Collège des Colombières

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Dossier1 d’été pour l’entrée en 8ème

Tu ne dois rien écrire sur les pages de ce dossier.

Tous les exercices sont à faire sur des feuilles

séparées.

Nom : ……………………….. Prénom : ………………………..

Mon enseignant(e) de mathématiques en 7ème : ………………………..

Mes moyennes en mathématiques

1er trimestre : …… 2ème trimestre :…… 3ème trimestre : ……

Ma note d’épreuve commune : ……

Ce dossier est facultatif, il t’a été remis dans le but de :

• Te permettre de retravailler tranquillement chez toi les notions

vues en 7ème année afin de commencer la 8ème année dans de bonnes conditions.

• De montrer ta volonté de remédier à tes difficultés.

Tu devras rendre ce dossier (fait ou non) lors du premier cours à ton

enseignant(e) de mathématiques de 8ème.

1 Ce dossier a été réalisé à l’aide des fiches de théorie du Collège de Cayla, des exercices du document « Connaissances essentielles » et des exercices des anciens manuels de

mathématiques.


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1. Nombres et opérations – compétences à maîtriser 1.1 Nombres entiers

• Distinguer chiffre et nombre • Connaître la notation puissance • Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers • Déterminer un diviseur commun et un multiple commun • Utiliser les critères de divisibilité par 2 ; 3 ; 5 ; 10 • Additionner, soustraire, multiplier, diviser des nombres entiers. • Appliquer l’ordre des opérations.

1.2 Nombres relatifs

• Comparer, ordonner et représenter des entiers relatifs sur un système d’axes. • Prendre son opposé, sa valeur absolue. • Additionner et soustraire des entiers relatifs.

1.3 Nombres rationnels

Ecriture décimale :

• Lire, écrire, comparer, ordonner, arrondir des expressions décimales • Multiplier et diviser par 10 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 (calcul oral) • Additionner, soustraire, multiplier, diviser. • Ordonner les opérations, estimer l’ordre de grandeur d’un résultat

Ecriture fractionnaire :

• Notation d’une fraction • Conversion d’écritures : nombre décimal <-> fraction <-> pourcentage • Amplifier, simplifier, rendre irréductible • Comparer et classer des rationnels :

o par la représentation géométrique de deux fractions o par les conversions d’écriture o par la mise au même dénominateur, ou au même numérateur o en les plaçant sur une droite numérique

• Prendre une fraction de… • Retrouver l’entier à partir de la fraction de… • Prendre un pourcentage de… • Additionner et soustraire dans des cas simples


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1. Nombres et opérations – éléments de théorie

1.1 Nombres entiers Écriture, vocabulaire Un mot s’écrit à l’aide de lettres. De la même façon, un nombre s’écrit à l’aide de chiffres. Exemples : i 235 est un nombre i 3 est un des chiffres du nombre 235.

Lire et écrire un nombre entier Un nombre qui s’écrit sans virgule est appelé nombre entier. Pour lire ou écrire un nombre entier, on regroupe ses chiffres par tranches de trois en partant de la droite.

Exemple : 123456789 s’écrit 123 456 789 et se lit cent vingt trois millions quatre cent cinquante six mille sept cent quatre vingt neuf. Pour le lire, on peut aussi placer ses chiffres dans le tableau suivant :

Classe des millions

Classe

des mille

Classe des

unités

centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dans cet exemple : 9 est le chiffre des unités. 8 est le chiffre des dizaines.

7 est le chiffre des centaines. 6 est le chiffre des mille. 5 est le chiffre des dizaines de mille. 4 est le chiffre des centaines de mille. 3 est le chiffre des millions. est le chiffre des dizaines de millions. 1 est le chiffre des centaines de millions.

On peut donc aussi écrire que 123 456 789 = 9 + 8 · 10 + 7 · 100 + 6 · 1000 + 5 · 10 000 + 4 · 100 000 + 3 · 1 000 000 + 2 · 10 000 000 + 1 · 100 000 000.

Remarque : 1 000 000 000 se lit un milliard.


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Division euclidienne (division avec quotient entier et reste) Exemple : Comment partager entre 3 personnes 85F en pièces de 1F ?

Réponse : en effectuant la division euclidienne de 85 par 3 : On voit que : 85 = 28 ×××× 3 + 1

Réponse : Chaque personne recevra 28F, et il restera 1F qu’on ne peut pas partager...

On peut conclure que : 28 < 85 : 3 < 29

Diviseurs d'un nombre et plus grand diviseur commun On obtient l'ensemble des diviseurs d'un nombre entier en divisant ce nombre successivement par tous les nombres entiers successifs à partir de 1. Si la division donne un quotient entier, on met diviseur et quotient dans la liste des diviseurs.

Exemple : Diviseurs de 42 : 42 : 1 = 42 42 : 2 = 21 42 : 3 = 14 42 : 5 = 8,4 8,4 n’est pas entier donc 5 n’est pas diviseur de 42 42 : 6 = 7 42 : 7 = 6 déjà trouvé On continue aussi longtemps que le quotient est plus grand que le diviseur.

On note l’ensemble des diviseurs du nombre entier n Divn ou Dn et on note les diviseurs entre accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgules Div42 = {1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42} ou D42 : 1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42

On peut s’intéresser aux diviseurs communs de deux nombres, par exemple de 36 et 54 :

D36 : 1;2;3;4;6;9;12;18;36 et D54 : 1;2;3;6;9;18;27;54 On a souligné dans les deux listes les diviseurs communs : 1;2;3;6;9;18.

On constate que les diviseurs communs correspondent à tous les diviseurs de 18 et que 18 est le plus grand diviseur commun (pgdc) de 36 et de 54.

3 5 8 6 2 5

2 8

2 4 1

QUOTIENT

DIVISEUR DIVIDENDE

RESTE

Approximation entière par défaut

Approximation entière par excès


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Multiples d'un nombre et plus petit multiple commun

On obtient tous les multiples d'un nombre entier en multipliant successivement ce nombre par tous les nombres entiers à partir de 1. On note l’ensemble des multiples du nombre entier n Mn ou Mn et on note les multiples entre accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgule. Exemple : M5={5;10;15;20;25;30;35;...} ou M3 : 3;6;9;12;15;18;21;... L’ensemble des multiples d’un nombre est infini puisqu’on peut le multiplier par tous les nombres entiers. On peut s’intéresser aux multiples communs à deux nombres, par exemple à 9 et à 15 :

M9 : 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63 ; 72 ; 81 ; 90 ; 99 ; 108 ; 117 ; 126 ; 135 ; 144 ; 153 ; … M15 = ={15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120 ; 135 ; ...}

On a souligné les multiples communs : 45 ; 90 ; 135 … (qui sont en nombre infini).

On constate que les multiples communs correspondent aux multiples de 45 et que 45 est le plus

petit multiple commun (ppmc) de 9 et de 15.

Nombres premiers Un nombre entier est premier s’il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même. Tous les autres nombres entiers sont dits composés et ils peuvent s’écrire comme le produit de deux ou plusieurs nombres premiers. Les premiers nombres premiers sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; ... Il y a un nombre infini de nombres premiers. Exemples :

• 17 est premier car il n’a pas d’autres diviseurs que 1 et 17 (17 ne se divise pas par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7 etc.)

• 15 est composé, il se divise par 1 , par 3, par 5 et par 15.

Div 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15. On peut écrire 15 = 3⋅ 5

• 2 est le seul nombre pair qui est premier (en effet tous les autres nombres pairs sont

divisibles par 2 et par eux-mêmes).


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Critères de divisibilité Un nombre est divisible par : 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, 8 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5 10 si son dernier chiffre est 0 100 si ses deux derniers chiffres sont 00 Autres critères de divisibilité Un nombre est divisible par : 4 si le nombre formé par ses deux chiffres est un multiple de 4

si sa moitié est divisible par 2

6 si il est divisible par 2 et par 3 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de

rang impair est 0 ou un multiple de 11 15 si il est divisible par 3 et par 5 25 si les deux derniers chiffres du nombre sont 25 ou 50 ou 75 ou 00


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Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers Un nombre peut être décomposé � additivement : il est alors écrit sous la forme d’une somme de termes

Exemple : 18 = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 � ou multiplicativement : il est alors écrit comme un produit de facteurs

Exemple : 18 = 6 x 3. La décomposition multiplicative la plus utilisée est le produit de facteurs premiers. Tout entier ne possède qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers. On utilise souvent la notation puissance quand, dans la décomposition du nombre, apparaît plusieurs fois le même facteur premier.

Exemple : 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32 Remarque : Les nombres premiers ne peuvent pas se décomposer en produits de nombres premiers (il n’y aurait qu’un seul facteur dans le produit). Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on peut le décomposer successivement en facteurs de plus en plus petits, jusqu’à ce qu’ils soient tous premiers. Exemples : a) 400 = 4 x 100 = 2 x 2 x 10 x 10 = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 = 24 x 5 b) on peut présenter une décomposition en cascade :

120 60

2 30 15 2 2 3 5 on écrit : 120 = 23 x 3 x 5 c) on peut diviser systématiquement le nombre à décomposer par les nombres premiers successifs à partir de 2 en présentant cela en colonne

364 2

182 2 91 7 13 13 1 On écrit : 364 = 22 x 7 x 13

On ne peut pas diviser 91 par 2, il n’est pas divisible par 3, ni par 5, on essaie par 7

On sait que 13 est premier


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Calcul du pgdc et du ppmc à l’aide de la décomposition des entiers

La décomposition multiplicative est utile pour calculer les pgdc et les ppmc de deux ou plusieurs nombres sans devoir écrire la liste des diviseurs ou des multiples. Exemple : 18 = 2 x 32 et 30 = 2 x 3 x 5

� pgdc (18 ; 30) = 2 x 3 = 6 obtenu en multipliant tous les facteurs premiers communs à

18 et à 30 (un 2 et un 3) � ppmc (18 ; 30) = 2 x 32 x 5 = 90 obtenu en multipliant tous les facteurs de 18 et de

30 (le 2 et les deux 3 de 18 et le 5 de 30, puisque le 2 et le 3 sont déjà présents) Remarque : le pgdc est un diviseur des deux nombres, tous ses facteurs sont donc présents dans les deux nombres Exemple : 18 = 2 x 32 = (2 x 3) x 3 = 6 x 3 = pgdc x 3

30 = (2 x 3) x 5 = 6 x 5 = pgdc x 5

Remarque : le ppmc est un multiple des deux nombres, il doit donc être « fabriqué » entièrement avec les facteurs des deux nombres Exemple : ppmc = 90 = (2 x 32) x 5 = 18 x 5

ppmc = 90 = 2 x 32 x 5 = (2 x 3 x 5) x 3 = 30 x 3 Remarque On peut également retrouver le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun en faisant respectivement les ensembles de diviseurs et les ensembles de multiples. Exemple Le pgdc de 12 et 18 est 6 car

==

12618

1;2;3;4;6;12}

1;2;3; ;9;18}

{{

DivDiv

le ppmc de 4 et 5 est 20 car

M = {4;8;12;16;20;24;...}4M = {5;10;15;20;25;30;...}5


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Les puissances L’exposant

315

La base

La puissance

• 153 est une puissance de 15 • 15 est la base et 3 est l’exposant

Ex : 43 est une puissance de base 4 et d’exposant 3. Définition

Ex : = ⋅ ⋅1 4 2 43315 15 15 15

3 facteurs

En général : 1 4 4 2 4 43ma = a × a × a × ... × a

m facteur Propriétés

0a = 1 Traduction : N’importe quel nombre “mis” à la puissance 0 est égal à 1

Exemples : 140 = 1 ; 3,50 = 1 ; (-2)0 = 1 ; etc…

1a = a Traduction : N’importe quel nombre “mis” à la puissance 1 est égal à lui-même

Exemples : 141 = 14 ; 3,51 = 3,5 ; (-2)1 = -2 ; etc…


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1.2 Nombres relatifs

Axe gradué Un axe gradué est une droite munie d’une origine et d’une unité. On repère chaque point sur l’axe par son abscisse : A est le point d’abscisse (+5) ; l’abscisse de B est (+4,5).

Nombres positifs et négatifs Pour repérer les points situés « après » l’origine (à droite de l’origine O), on utilise des nombres

positifs, des nombres précédés du signe +. Pour repérer les points situés « avant » l’origine (à gauche de l’origine O), on gradue l’axe à l’aide de nouveaux nombres, appelés nombres négatifs, des nombres précédés du signe -.

L’abscisse de C est (-1,5) (on lit « moins 1,5 ») ; l’abscisse de D est (-5).

On dit que : (+4) ; (+9347) ; (+5,64) sont des nombres positifs. (-7) ; (-30149) ; (-0,567) sont des nombres négatifs. Ce sont tous des nombres relatifs. Remarque : Quand le signe n’est pas noté, on considère qu’il s’agit d’un nombre positif. 4 ; 12 et 3,67 sont des nombres positifs. 0 est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif. Remarque : On appelle ′ l’ensemble des nombres entiers relatifs. En général, on parle de nombre

relatif lorsqu’un nombre est muni d’un signe.

0 1 2 3 4 5 6

O B A ↓

origine unité

(-5) (-4) (-3) (-2) (-1) 0 (+1) (+2) (+3) (+4) (+5) (+6)

D C O A B ↓ ↓


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Ordre dans les nombres relatifs On ordonne les nombres relatifs selon leur position sur l’axe gradué. Pour les nombres positifs, le plus « grand » est celui qui est le plus loin de zéro et le plus « petit » celui qui est le plus proche de zéro. Pour les nombres négatifs, le plus « grand » est celui qui est le plus proche de zéro et le plus « petit » celui qui est le plus éloigné de zéro. Pour se rappeler ces règles, on peut penser aux températures. Exemple : (-30149) < (-7) < (-0,567) < 0 < (+4) < (+5,64) < 80 < (+9347)

Repérage dans le plan Pour repérer les points dans le plan, on a besoin de deux axes gradués :

- L’un, horizontal, est appelé « axe des abscisses ». - L’autre, vertical, est appelé « axe des ordonnées ».

Chaque point est repéré par deux nombres. Le premier est appelés l’abscisse et le second l’ordonnée : ensemble ils forment les coordonnées d’un point. Exemple : A est le point d’abscisse (+3) (on lit la graduation sur l’axe des abscisses) et d’ordonnée (+2) (on lit la graduation sur l’axe des ordonnées). On écrit A(+3 ; +2) ou A<+3 ; +2> De la même manière, on a : B(-5 ; +1) C(+5 ; -3) D(-2 ; -2)

(+1) (+2) (+3) (+4) (+5) (-5) (-4) (-3) (-2) 2) (-1)

(+1)

(+2)

(-1)

(-2)

0

A

B

C D

axe des abscisses

axe des ordonnées


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Attention : par convention, on écrit TOUJOURS l’abscisse en première position et l’ordonnée en seconde position.

Valeur absolue des nombres relatifs

La valeur absolue d’un nombre relatif est sa « distance à zéro » sur un axe gradué. Elle correspond à l’écart entre zéro et le nombre.

Exemples : La valeur absolue de (+4) est 4 , de (-8,5) est 8,5 , de 9347 est 9347, de 0 est 0. La valeur absolue se note à l’aide de deux barres verticales de part et d’autre du nombre. Exemples : La valeur absolue de +7 est |+7| = 7 La valeur absolue de –4,2 est |-4,2| = 4,2 Opposé d’un nombre relatif

L’opposé d’un nombre relatif est le nombre de même valeur absolue et de signe opposé. C’est le nombre qu’on obtient en changeant le signe. Exemples : L’opposé de (+4) est (-4) ,

de (-8,5) est (+8,5) , de 9347 est -9347, de 0 est 0 .

Remarque : la somme d’un nombre et de son opposé est égale à zéro. Exemples : (+4) + (-4) = 0 (-5) + (+5) = 0


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Addition de deux nombres relatifs Pour additionner deux nombres relatifs, il faut d’abord regarder leurs signes : ils peuvent être

les mêmes : (+ ) + (+ ) ou (- ) + (- ) différents : (+ ) + (- ) ou (- ) + (+ )

� Si les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on

attribue à la somme leur signe commun Exemples : (+5) + (+3) = + ( 5+3 ) = +8 (-5) + (-3) = - ( 5+3 ) = -8

� Si les deux nombres sont de signe différent, on soustrait leurs valeurs absolues et on attribue au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue

Exemples : (+5) + (-3) = + ( 5-3 ) = +2 (-5) + (+3) = - ( 5-3 ) = -2

Soustraction de deux nombres relatifs On ne sait pas soustraire des nombres relatifs. On transforme donc la soustraction en une addition, à l’aide de la règle suivante :

Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé. Exemples : (+5) - ( +3) = (-5) - ( -3) = (+5) + (-3) = +2 (-5) + (+3) = -2 (+5) – ( -3) = (-5) – ( +3) =

(+5) + (+3) = +8 (-5) + (-3) = -8


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1.3 Nombres rationnels

Définitions Le résultat de la division « 3,5 : 2 » est appelé le quotient de 3,5 par 2. On peut le calculer, afin d’obtenir son écriture décimale � 3,5 : 2 = 1,75

Mais on peut également ne pas le calculer.

On garde alors son écriture fractionnaire � 3,5 : 2 = 3,52

L’écriture fractionnaire représentant la division de deux nombres entiers est appelée une fraction. Dans une fraction, le dividende (le nombre du haut) s’appelle le numérateur et le diviseur (le nombre du bas) s’appelle le dénominateur.

2

3

se lit « trois demis »

Exemples : 6

4 ; 7

12 ; 3

1 sont des fractions.

6

2,4 ;

1,2

24,5 ne sont pas des fractions, mais sont quand même des nombres en

écriture fractionnaire. Lorsque le dénominateur est égal à 10, 100, 1000... on dit que la fraction est une fraction décimale.

Exemples : 10

4 ; 100

147 ; 1000

3 sont des fractions décimales.

Remarque : 4

100 peut s’écrire 4 % .

On appelle ⁄ l’ensemble des nombres rationnels, il comprend les fractions et donc les nombres décimaux finis et les nombres périodiques.

NUMERATEUR

DENOMINATEUR


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L’écriture décimale et l’écriture fractionnaire • Pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale, on divise le numérateur par le

dénominateur.

Exemples : 25 = 2 : 5 = 0,4

110 = 1 : 10 = 0,1

3100 = 3 : 100 = 0,03

13 = 1 : 3 = 0,333… = 0,3

• Pour passer de l’écriture décimale finie à l’écriture fractionnaire, on utilise les fractions

décimales.

Exemples : 0,4 c’est 4 dixièmes, c’est 410 en fraction.

0,25 c’est 25 centièmes, c’est 25100 en fraction.

0,124 c’est 124 millièmes, c’est 1241000 en fraction.

Pour un nombre décimal fini, on peut aussi le mettre au dénominateur 1 sous-entendu, puis amplifier la fraction pour obtenir un nombre entier au numérateur. Exemple :

0,4 0,4×10 4 20, 4 = = = =1 1×10 10 5


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Représentation d’une fraction sur l’axe gradué Sur un axe gradué, l’unité de référence est la distance entre 0 et 1 : Pour placer une fraction sur l’axe, on peut :

- soit effectuer un partage de cet intervalle, en se référant au dénominateur, - soit passer à l’écriture décimale de la fraction.

Exemples :

13

53

93

45

= 0,8 2110

= 2,1 248

= 3

A B

Pour trouver la fraction qui correspond à un point sur la droite :

A = 1,2 = 1210

= 65

B = 2,5 = 2510

= 52

0 +1 +2 +3

L’unité de référence

+1 +2 +3 0

+1 +2 +3 0


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La fraction comme opérateur On peut utiliser les nombres pour opérer sur des grandeurs. Exemples : Le triple de 6F , c’ est 3 x 6 = 18F Le double de , c’est 2 x , il est représenté par : De la même manière, on utilise les fractions pour opérer sur des quantités.

Exemple : Les 34

de , c’est 34

x , est représenté par :

Dans cette situation, on distingue deux notions : • L’unité de référence est la quantité qui va être partagée en un nombre égal de parts.

• Le dénominateur indique en combien de parts égales on a partagé l’unité de référence. Par conséquent, il ne peut pas être égal à zéro.

• Le numérateur indique le nombre de parts qui vont être prises en considération après le

partage. Rappel : Le numérateur et le dénominateur sont toujours des nombres entiers

Unité de référence Fraction


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Unité de référence L’unité de référence est souvent exprimée à l’aide d’une unité. Exemples : 50 kg de farine, une pizza, 2 tartes, 12 pommes, une plaque de chocolat etc. Dans un problème de fraction, on sous-entend toujours qu’il y a un nombre infini d’unités de référence à disposition, c’est-à-dire, selon l’exemple ci-dessus, autant de sacs de farine de 50 kg qu’on veut, autant de pizzas qu’on en veut ou de paquets de 2 tartes etc. Pour représenter des fractions on peut dessiner l’unité de référence comme une surface ( par exemple un disque, un carré ) ou comme un segment. Exemples :

1) Hachurer 34 de

2) Hachurer 74 de

Etc. Etc. Etc.

chocolat chocolat chocolat

50 kg 50 kg 50 kg

Unités de référence

Réponse : etc.

Réponse :


19

3) Calculer 34 de 50 kg :

on partage 50 kg en 4 parts , chaque part vaut 50 ÷ 4 = 12,5 kg, On calcule ensuite combien valent trois morceaux ensemble en faisant : 3 х 12,5 = 37,5

Donc 34 de 50 kg valent 37,5 kg.

4) Pour calculer 74

de 50 kg, on refait le même raisonnement :

50 ÷ 4 = 12,5 ………….1 part 12,5 х 7 = 87,5 ………..7 parts

Donc 74 de 50 kg sont 87,5 kg.

Pourcentages Définition : Un pourcentage est une notation pour une écriture fractionnaire dont le

dénominateur est 100.

Exemple : 7% = 7100

= 0,07 2,5% = 2,5100

= 0,025

• Appliquer un pourcentage :

« Prendre un pourcentage » d’un nombre consiste à multiplier ce nombre par le pourcentage.

Exemple : prendre 30 % de 80 CHF (30% = 30100

= 0,3)

c’est calculer 30100

de 80 = 80 : 100 • 30 = 24 CHF.

ou calculer 0,3 • 80 = 24 CHF • Calculer une nouvelle grandeur, connaissant les pourcentages d’augmentation ou de

diminution :

Exemple : Un article affiché à 60 € augmente de 15%. Quel sera sont nouveau prix ?

On peut calculer l’augmentation de prix, puis ajouter l’augmentation au prix initial pour calculer le nouveau prix.

L’augmentation :15% de 60€ = 15 % • 60 = 0,15 • 60 = 9,00€ Nouveau prix : 60€ + 9,00€ = 69,00€

50 kg.

12,5 kg 12,5 kg 12,5 kg 12,5 kg


20

Fractions équivalentes En comparant les trois représentations ci-dessous, nous constatons qu’une même quantité ( la partie hachurée ) correspond à plusieurs écritures fractionnaires.

15

= 210

= 420

etc.

On dit que ces fractions sont des fractions équivalentes. Elles représentent toutes le même nombre égal à 0,2 .

Il y a un nombre infini de fractions équivalentes à 210

.

Pour les trouver, on peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur de 210

par un

même nombre entier :

15

210

1050

• La multiplication du numérateur et du dénominateur par le même nombre s’appelle l’amplification. On peut amplifier une fraction par tous les nombres entiers. On obtient ainsi une infinité d’écritures de la même fraction.

• La division du numérateur et du dénominateur par le même nombre s’appelle la

simplification. Pour diviser et obtenir des quotients entiers, on doit diviser par des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur.

• Contrairement à l’amplification, on ne peut pas simplifier une fraction au-delà d’une

fraction particulière, celle formée par les plus petits numérateur et dénominateur entiers. On appelle cette fraction la fraction irréductible.

Réduire une fraction, c’est trouver son écriture irréductible.

etc.

Χ 5

Χ 5

÷ 2

÷ 2

simplification amplification


21

Exemples :

Amplifier la fraction 4599

par 3. On trouve :

Simplifier la fraction 4599

par 3. On trouve :

Rendre la fraction 4599

irréductible. On trouve :

45 x 3 99 x 3

= 135 297

45 ÷ 3

99 ÷ 3 =

15

33

45 ÷ 3

99 ÷ 3 =

15 ÷ 3

33 ÷ 3 =

5

11


22

Comparaison de fractions • Fractions de même dénominateur :

Comment classer les fractions 1315

, 215

et 2015

dans l’ordre croissant ?

Puisque le dénominateur indique en combien de parts égales on a partagé l’unité de référence, lorsque les fractions ont le même dénominateur, cela signifie que les parts de toutes les fractions ont la même « taille ». On compare donc les numérateurs entre eux, car le numérateur représente le nombre de parts contenues dans chaque fraction.

Donc : 215

< 1315

< 2015

• Fractions de même numérateur :

Comment classer les fractions 34

, 38

et 32

dans l’ordre croissant ?

Puisque le dénominateur indique le nombre de parts dans lesquelles on a partagé l’unité de référence, plus le dénominateur est grand, plus la « taille » de chaque part est petite. Donc, lorsque les fractions ont le même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la valeur de la fraction est grande.

Donc : 38

< 34

< 32

• Fractions de numérateurs et dénominateurs différents : Dans ce cas, on peut raisonner ou comparer l’écriture décimale de chaque fraction.

Exemple : 512

< 23

< 34

< 76

< 52

~ 0,41 ~ 0,66 = 0,75 ~ 1,16 = 2,5

On peut aussi les amplifier de façon à avoir le même dénominateur pour toutes les fractions :

512

< 23

< 34

< 76

< 52

car 512

< 812

< 912

< 1412

< 3012


23

L’addition et la soustraction des fractions • Lorsque les fractions ont le même dénominateur, les parts ont toutes la même « taille ». On additionne donc les numérateurs entre eux. Exemple :

312

112

• Lorsque les dénominateurs sont différents, par exemple 14

et 13

, les parts n’ont pas la

même « taille », on ne peut donc pas les additionner. Pour avoir des parts de même taille, il faut que les fractions aient le même dénominateur On trouve un dénominateur commun en cherchant le PPCM des dénominateurs. Dans notre exemple, le dénominateur commun est le PPCM( 4 ; 3 ) = 12. Remarque : On peut évidemment choisir d’autres dénominateurs communs. Ce sont des multiples du PPCM( 4 ; 3 ). Exemple :

1 4=

3 12

1 3

=4 12

• On procède de la même manière pour la soustraction.

Exemples : 312

- 112

= 212

= 16

13

- 14

= 1 × 43 × 4

- 1 × 34 × 3

= 412

- 312

= 112

312

+ 112

= 412

13

+ 14

= 412

+ 312

= 712


24

Exercices sur le domaine nombres et opérations 1) Par quel(s) chiffre(s) (donner chaque fois toutes les réponses possibles.) faut-il remplacer le point dans le nombre 1092• pour obtenir un nombre…?

1) divisible par 2 2) divisible par 3 3) divisible par 5 4) divisible par 2, mais pas par 5 5) divisible par 3, mais pas par 5 6) divisible par 2, mais pas par 3 7) dont la division par 5 donne 3 pour reste 8) dont la division par 3 donne 1 pour reste

2) Trouver le ppcm des entiers: 1) 2 et 3 5) 3 et 8 2) 3 et 4 6) 6 et 9 3) 2 et 4 7) 4 et 12 4) 6 et 4 8) 6 et 12 3) Trouver le pgcd des entiers: 1) 12 et 8 5) 3 et 5 2) 6 et 9 6) 10 et 15 3) 4 et 6 7) 2 et 6 4) 8 et 10 8) 8 et 18 4) Effectue la décomposition en facteur premier des nombres suivants. a) 145 b) 2350 c) 64 d) 132 e) 526 f) 1000

5) Sur un compteur électrique, on peut lire les nombres suivants. Réécrire les nombres en enlevant les chiffres inutiles.

000147312 001020080 400000001 000082302 123000000 000002030

6) Recopier la droite numérique suivante et y placer, le plus précisément possible, les nombres:

a = 1,0 b = 1,9 c = 1,55 d = 0,486 e = 0,846 f = 0,45

0,4 0,5


25

7) Recopier la droite numérique ci-après et y placer, le plus précisément possible, les nombres:

a = 3,27 b = 3,31 c = 3,345 d = 3,20 e = 3,405 f = 3,23

8) Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs: 10,8 ; 0,72 ; 1,08 ; 4,25 ; 99,3 ; 1309,5

9) Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près: 623,48 ; 0,0475 ; 52,625 ; 82,98 ; 23,0052 ; 5,208

10) Arrondir à la dizaine la plus proche: 47,8 ; 109,75 ; 1,3 ; 0,09 ; 234,2 ; 0,7 ; 3,14 ; 4087,63

11) Arrondir au dixième le plus proche: 8,372 ; 50,64 ; 3000 ; 43,725 ; 0,02 ; 1,09 ; 0,98 ; 78,66 ; 3,14

12) Effectuer les opération suivantes (pour les divisions, donner la réponse avec 3 décimales): 1) 475 : 12 3) 41,5 : 3,14 5) 0,03 : 21 13,4 – 7,05 41,5 + 3,14 12 · 0,021 3,35 · 0,42 41,5 · 3,14 15 – 8,07 27,07 + 3,109 41,5 – 3,14 3,04 + 0,285 2) 0,04 · 0,012 4) 25 + 3,14 6) 4,05 – 2,099 600 : 13 25 · 3,14 0,0005 : 0,005 6,12 + 3,88 25 – 3,14 3,13 + 4,37 6,12 – 3,88 25 : 3,14 0,6 · 0,03

13) Dans les opérations qui suivent, remplacer chaque astérisque par un chiffre, de manière à obtenir une opération juste:

3,2 3,3

1) 4 3 2 8 2) * 0 * * 3) 6 2 1 *

+ * 1 * * – 3 * 0 6 * *

5 * 8 5 3 1 2 4 8 *

*

0 0

* *

*


26

14) La superficie de la Suisse est approximativement de 41 000 km2. Estimer la superficie de la France, de la Grèce, de l'Allemagne et du canton de Genève, sachant que

1) la France est 14 fois plus grande que la Suisse; 2) la Grèce est 3 fois plus grande que la Suisse; 3) l'Allemagne est 2,7 fois plus grande que la Grèce; 4) le canton de Genève est 146 fois plus petit que la Suisse.

15) Effectuer les calculs suivants: 1) 12 + 2 · (6 – 2 · 2) + 20 : 5 – 5 2) 49 : (15 – 2 · 4) + 3 – 2 · 5 3) 2 · 5 + 150 : (2 + 3) + 12 · 4 + 7 · 8 4) (22 – 3 · 6) + (7 – 4) : 3 + 1 + 9 · 7 5) 5 + 19 · (24 – 2 · 9) + 15 : 3 – 2 6) (24 · 10 – 8 · 5) : [50 : 5 – (2 + 3)] 7) 4 + 5 · 2 – [2 · (5 · 4 + 1 – 21) + 2] 8) (4 · 4 – 2 · 7) · {9 – 3 · (7 – 5) + 2 · [15 – 2 · (4 – 1)]} – 3 9) (12 – 2 · 5) + 4 · {15 + 3 · [24 : 2 – (4 + 6)] + 2} – 3 10) 15 + 8 · 4 – [5 · 3 + (2 + 3) · 4 – 2] 11) (15 + 8) · 4 – [(5 · 3 + 2 + 3) · (4 – 2)] 12) 15 + 8 · 4 – 5 · 3 + 2 + 3 · 4 – 2 13) 15 + 8 · 4 – 5 · (3 + 2) + 3 · (4 – 2)

16) Effectuer les additions suivantes:

1) (-6) + (-8) 4) (+16) + (+9) 7) (+92) + (-53)

2) (-4) + (+7) 5) (-17) + (-23) 8) (-46) + (-76)

3) (-12) + (+14) 6) (+48) + (-14) 9) (-117) + (+27)

17) Effectuer les soustractions suivantes:

1) (-2) - (+5) 4) (+23) - (-4) 7) (-94) - (-43)

2) (-4) - (+9) 5) (+26) - (-19) 8) (+56) - (+19)

3) (-2) - (-6) 6) (+42) - (+17) 9) (-42) - (-161)

18) Effectuer les calculs suivants:

1) (+6,2) - (+3,5) 4) (+2,1) + (-1,2) 7) (-13) - (-0,3)

2) (+9,5) + (-1,5) 5) (-0,6) - (+1,3) 8) (-8,3) - (+9,8)

3) (-4,2) - (-5) 6) (-1,3) + (-3) 9) (-0,4) + (-5,1)


27

19) Par quel nombre faut-il compléter ? 1) (+2) + .... = (-6) 4) (-5) + .... = (+4) 7) (-2) + .... = (-6)

2) (+3) + .... = (-3) 5) (+1) + .... = (-4) 8) (-4) + .... = (+2)

3) (-3) + .... = 0 6) (-1) + .... = (-4) 9) (-3) + .... = (-1)

20) Effectuer ces calculs:

1) (+2) + (-3) - (+4) + (-7)

2) (+18) + (-4) + (-6) - (+20)

3) (-48) - (+36) + (-42) - (-65)

4) (-156) + (+38) - (-48) - (-156)

21) Classer les nombres suivants par ordre croissant:

a) -14 ; +6 ; -5 ; -12 ; +9 ; 0 ; -4 ; +18 ; -2

b) 4,5, -0.6 ; 0,2 ; -0,8

c) 2,5 ; -5,2 ; 2,52 ; -3,8

d) 4,2 ; 6,25 ; -5,25 ; -6.25

e) 30,2 ; 30,02 ; -30,2 ; -30,02

22) Recopier la droite numérique ci-dessous et y placer, le plus précisément possible, les nombres relatifs

a = -7 b = -12 c = -3 d = -6 e = -3,5 f = -5,6 g = -7,8 h = -18

23) Dessiner une droite numérique (entre -8 et +8) et y placer, le plus précisément possible, les nombres relatifs

a = -5 b = +4 c = +6 d = -2 e = +2,5 f = -2,5 g = +3,7 h = -3,7


28

24) Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes et justifier la réponse. Pour les affirmations a à c, on considère la droite graduée suivante :

-5 N R 2 J

a) L’abscisse du point N est égale à -7.

b) L’abscisse du point R est égale à 0.

c) L’abscisse du point J est égale à 5.

d) Deux nombres relatifs de signes différents sont opposés

e) Deux nombres relatifs différents ne peuvent pas avoir la même distance à zéro.

25) Dessiner un repère et placer dans ce repère les points suivants :

M( +4 ; +5 ) N( -7 ; +2 ) P( -8 ; -3 )

Q( 0 ; -3) R( +5 ; -1 ) S( -6 ; +2 ) 26) Lire dans ce repère les coordonnées des points M, N, P, Q, R et S : 27) Combien peut-on former de nombres différents de trois chiffres, tels que le chiffre des unités soit le double de celui des dixièmes et tels que le chiffre des dizaines soit la moitié de celui des unités ?

0 (+1)

(+1)

M N

P S

R

Q


29

28) Calculer rapidement : 34,7 · 100 3000 · 100 34,7 : 100 3000 : 100 34,7 · 0,01 et 0,01 · 34,7 3000 · 0,01 et 0,01 · 3000 34,7 : 0,01 3000 : 0,01 29) Placer la ou les virgules manquantes et rajouter des zéros si nécessaire pour que l’égalité soit vraie : 4,56 + 206 = 6,62 4,56 + 206 = 4,766 4,56 + 206 = 210,56 30) Encadrer : - entre deux entiers consécutifs <123,4567< - entre deux centièmes consécutifs <0,4567< - entre deux milliers consécutifs <234900< - entre deux dixièmes consécutifs < 23,0015< 31) Estimer le résultat de chaque opération en arrondissant les nombres de façon à pouvoir calculer mentalement. Ecrire l’opération en nombres arrondis et donner son résultat. 949,12 − 15,92 ≈ ………− ……….. = …….. 0,723 + 426,2 ≈ ………+ ……….. = …….. 12125 · 48 ≈ ……… · ……….. = …….. 19400 · 4,07 ≈ ……… · ……….. = …….. 730,18 : 6,3 ≈ ……… : ……….. = …….. 1,696 : 0,323 ≈ ……… : ……….. = …….. 32) Compléter

a) ....222222 =⋅⋅⋅⋅ c) 35....

.

.

.

.

.

.

.

.

=⋅⋅

b) ......3,23,23,23,2 =⋅⋅ d) 2·2· ………….. ·2·2 = 27


30

33) a) Quelle fraction de chaque carré a-t-on ombrée ? b) Quelle est la fraction non ombrée de chaque carré ?

34) Dans quel cas a-t-on hachuré le quart de la figure :

35) Ecrire sous forme décimale :

100

210

13 ++ 423

100

73

100

1345

83

11

5

36) Dessiner une droite numérique (entre 0 et 2) et y placer le plus précisément possible les fractions suivantes.

32a=

10

7b= 94c=

57d=

45e=

810

f=

37) Ecrire sous forme d’une fraction : 0,75 ; 0,8 ; 0,077 ; 29,8 ; 5 38) Lorsque c’est possible rendre la fraction irréductible.

36

27

; 75

25

; 45

16

; 72

12

; 420

300

39) Encadrer par deux entiers consécutifs :

a) ……< 411

<…….. b) …..< 8141

<……


31

40) Albert et Alfred ont reçu chacun une plaque de chocolat. Albert a mangé les 65

de sa

plaque et Alfred les 87

de la sienne. Qui a mangé le plus de chocolat ?

41) Plus grand ou plus petit ?

a) 69

ou 1,4 ? b) 31

ou 0,333 ? c) 0,6251

ou 85

?

42) Plus grand ou plus petit ? Répondre sans passer par l’écriture décimale.

a) 33

11

ou 33

12

? c) 12

11

ou 65

? e) 76

ou 87

?

b) 12

11

ou 13

11

? d) 813

ou 58

?

43) Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible

a) =+18

794

c) =+57

35

e) =+111

3

b) =−94

12

7 d) =−

473 f) =−

11

31

44) Calculer :

a) 43

de 24 km b) 75

de 35 fr. c) 94

de 4500 m2

45) Robert a 120 fr. Il en dépense 52

pour s’acheter un CD et 12

5 pour s’acheter un sweat-

shirt. Combien lui reste-t-il ? 46) Compléter les phrases suivantes et vérifie chaque résultat :

a) les 32

de …… fr. valent 24 fr.

b) les 75

de …….. km font 25 km

c) le quinzième de ……… kg pèse 20 kg


32

47) Calculer : a) 12 % de 700 fr. c) 20 % de 82 kg b) 30 % de 120 fr. d) 28 % de 20000 m 48) Le loyer de Claude représente 30 % de son salaire. A combien s'élève son loyer si Claude gagne 2500 fr. par mois ? 49) Rendre les fractions ci-dessous irréductibles


33

50) Parmi les fractions suivantes, lesquelles sont équivalentes à 9

3?

1) 6

2 2)

21

8 3)

18

6 4)

25

5 5)

24

8 6)

36

12

51) Recopier et compléter pour obtenir des fractions équivalentes:

1) 153

2 = 3) 3

12

9 = 5) 14412

5 = 7) 618

3 =

2) 124

3 = 4) 208

6 = 6) 10

6

4 = 8) 10

9

6 =

52) Pierre dépense 360 fr. par mois pour ses achats de nourriture. Il dépense un huitième de cette somme à la boulangerie, un tiers à la boucherie, un quart à la laiterie et le reste à l'épicerie. Quelle somme dépense-t-il chaque mois dans chacun des magasins ? 53) Marianne doit parcourir 720 m pour se rendre à l'école. Le tiers du chemin est en montée, le quart à plat et le reste en descente. Quelle est la longueur de la descente ? 54) Effectue les additions suivantes


34

55) Effectue les soustractions suivantes


35

2. Proportionnalité – compétences à maîtriser

• reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles o en vérifiant l'existence du coefficient de proportionnalité dans un tableau de

valeurs o en vérifiant que le tableau des valeurs répond aux propriétés de la linéarité

• établir un tableau de valeurs à partir d'un énoncé • trouver la « quatrième proportionnelle »:

o en utilisant un tableau de valeurs et les propriétés de la linéarité o par la méthode du retour à l'unité o en utilisant le coefficient de proportionnalité

2. Proportionnalité – éléments de théorie Proportionnalité de deux suites de nombres. On peut exprimer le nombre et le prix de timbres postaux de même valeur à l’aide d’un tableau de correspondance : Tableau 1 : On peut aussi exprimer l’âge et la taille d’une enfant à l’aide d’un tableau de correspondance : Tableau 2 : On obtient dans chaque tableau deux suites de nombres. Définition : Calculer le rapport de deux grandeurs revient à calculer le quotient de deux

valeurs correspondantes. Exemple : La vitesse exprimée en km/h est le rapport entre le nombre de km effectué et le

temps écoulé pour parcourir cette distance.

Si on parcourt 15 km en 30 min (= 0,5 heures), la vitesse est de : 15km0,5h

= 30 km/h.

Remarque : Une fraction est donc l’expression d’un rapport entre deux nombres.

La fraction 34

est le rapport de 3 par rapport à 4…

Nombre 1 2 3 4 5 Prix (Frs.) 0,90 1,80 2,70 3,60 4,50

L’âge (mois) 1 2 3 4 5 Taille (cm) 52 53 55 58 64


36

Définition : Deux suites de nombres sont proportionnelles si le rapport de deux éléments correspondants est constant. On parle alors d’un tableau de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, en multipliant chaque nombre de la première suite par un même facteur, on obtient le nombre correspondant dans la deuxième suite. Ce facteur est appelé le coefficient de proportionnalité.

Attention : Pour montrer que deux suites sont proportionnelles, il faut que l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre (coefficient de proportionnalité) ; si pour un seul nombre de la suite, ce n’est pas vrai, les suites ne sont pas proportionnelles.

Exemples : 1) Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité. On passe de nombre timbres au prix en multipliant par 0,90.

Le coefficient de proportionnalité est 0,90.

2) Le tableau 2 n’est pas un tableau de proportionnalité. Il n’existe pas un nombre constant correspondant au coefficient de proportionnalité.

3) Le côté et le périmètre d’un carré sont deux grandeurs proportionnelles.

Dans chaque colonne, on multiplie le nombre de la première ligne par 4 pour obtenir le nombre de la seconde ligne.

Le coefficient de proportionnalité du tableau est donc le facteur 4.

4) Le côté et l’aire d’un carré ne sont pas des grandeurs proportionnelles.

Côté d’un carré (cm) 1 2 3 4 5 Périmètre du carré (cm) 4 8 12 16 20

Côté d’un carré (cm) 1 2 3 4 5 Aire du carré (cm2) 1 4 9 16 25


37

Coefficient de la proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité d’un tableau se calcule en divisant, dans une colonne, le nombre de la seconde ligne par le nombre de la première ligne.

Si le coefficient est le même pour chaque colonne, on peut dire que c’est un tableau de proportionnalité.

Exemple : Le tableau ci-dessous est-t-il un tableau de proportionnalité ?

Calculs : 11,54,6 = 2,5 5,25

2,1 = 2,5 7,53

= 2,5 etc.

Le coefficient de proportionnalité est 2,5.

Ces deux suites sont donc proportionnelles. On passe de la suite 1 à la suite 2 en multipliant par 2,5.

Méthodes pour compléter un tableau de proportionnalité Méthode 1 En utilisant le coefficient de proportionnalité:

Calcul du coefficient a : Comme 3 • a = 10,50 le coefficient a = 10,50 ÷ 3 = 3,5 Calcul de y : y = 4 • a = 4 • 3,5 = 14 Calcul de x : Comme on sait que x • a = x • 3,5 = 8,75

x = 8,75a

= 8,75 ÷ 3,5 = 2,5

Méthode 2 Par retour à l’unité :

On sait que 3 kg coûtent 10,50 CHF, 1 kg coûte 10,50 ÷ 3 = 3,50 CHF. Donc 2,7 kg coûtent 2,7 • 3,50 CHF. 0,6 kg coûtent 0,6 • 3,50 CHF. etc.

Suite 1 4,6 2,1 3 0,4 15 Suite 2 11,5 5,25 7,5 1 37,5

suite 1 3 4 x

suite 2 10,50 y 8,75

kg 3 1 2,7 0,6

CHF 10,50

• a

÷ 3

÷ 3

• 2,7

• 2,7

• 0,6

• 0,6


38

Méthode 3 En utilisant les propriétés de la linéarité :

• Propriété additive

Comme 8 = 5 + 3, y = 27,5 + 16,5 = 44

• Propriété multiplicative

Comme 50 = 5 • 10 y = 27,5 • 10 = 275

Consommation d’essence (litre) 5 3 8 Distance parcourue (km) 27,5 16,5 y

Consommation d’essence (litre) 5 3 50 Distance parcourue (km) 27,5 16,5 y

+

+

• 10

• 10


39

Exercices sur le domaine Proportionnalité


40


41


42

3. Algèbre – compétences à maîtriser

• traduire une phrase en langage algébrique • substituer un nombre à une variable • prouver qu'une égalité n'est pas une identité • réduire des expressions algébriques simples (à coefficients entiers ou décimaux) • appliquer la distributivité • résoudre des équations du type ax + b = c par tâtonnement ou opérations inverses • appliquer la hiérarchie des opérations lors de substitutions numériques

3. Algèbre – éléments de théorie

1. Résumer une série de calculs répétitifs par une expression littérale.

Le professeur a écrit au tableau l’exercice ci-dessous. Un camarade est absent. Comment noter, dans un message le plus court possible, le travail à effectuer : Calculer : 23 ⋅ 12 + 3 23 ⋅ 13 + 3 23 ⋅ 14 + 3 23 ⋅ 15 + 3 23 ⋅ 16 + 3 23 ⋅ 17 + 3 23 ⋅ 18 + 3 23 ⋅ 19 + 3 23 ⋅ 20 + 3 23 ⋅ 21 + 3 23 ⋅ 22 + 3 23 ⋅ 23 + 3 On voit que l’expression à calculer est chaque fois la même à l’exception du nombre qui multiplie 23. Ce nombre varie et nous allons le désigner par la lettre a. On peut alors résumer le travail à faire en utilisant une expression littérale. Cela donne : calculer ⋅23 a + 3 pour toutes les valeurs entières de a de 12 à 23 2. Expression numérique, expression littérale et calcul littéral.

En mathématique, on utilise non seulement des nombres pour calculer mais aussi des lettres pour symboliser des grandeurs. Par exemple : a pour l’accélération, v pour la vitesse, T pour la température, I pour l'intensité d'un courant électrique etc. On distingue donc deux types d’expressions mathématiques :

Numérique

2 • 3 + 5

Une expression numérique qui ne contient que des nombres.

Littérale

2 • a + 5

Une expression littérale qui contient au moins une lettre, appelée variable, qui représente un nombre indéterminé.

variable

Expression

La valeur d’une expression numérique est unique :

2 • 3 + 5 = 11

La valeur d’une expression littérale est multiple, elle dépend de la valeur substituée à la variable :

Si a = 2 alors 2 • a + 5 = 2 • 2 + 5 = 9

Si a = 3 alors 2 • a + 5 = 2 • 3 + 5 = 11

Si a = 4 alors 2 • a + 5 = 2 • 4 + 5 = 13


43

Définition : Le calcul littéral est l’ensemble des règles qui permettent de calculer avec des expressions contenant des lettres.

Ecrire un résultat « en fonction d’une variable », c’est trouver une expression mathématique où figure cette variable. On appelle aussi cette expression une expression littérale. On peut le faire en traduisant une phrase en langage mathématique.

Exemple 1 : J’ai choisi un nombre x. Je l’ai triplé puis j’ai ajouté 5. L’expression du résultat en fonction de x est

3•x + 5 Exemple 2 : Pour un carré, l‘ expression de son périmètre noté p, en fonction de la longueur du

côté noté c, est p = c + c + c + c ou p = 4•c.

Dans les deux exemples ci-dessus, pour obtenir une valeur numérique de l’expression, on substitue un nombre à une variable, c’est-à-dire, on remplace la variable par un nombre. Ainsi on peut effectuer des calculs. Dans l’exemple 1 : pour x = 0, le résultat est 3 • 0 + 5 = 0 + 5 = 5 pour x = 7,2 le résultat est 3 • 7,2 + 5 = 21,6 + 5 = 26,6 pour x = 45 le résultat est 3 • 45 + 5 = 135 + 5 = 140 etc. Dans l’exemple 2 : pour c = 1 le périmètre est p = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 pour c = 1,7 le périmètre est p = 1,7 + 1,7 + 1,7 + 1,7 = 4 • 1,7 = 6,8 pour c = 76 le périmètre est p = 76 + 76 + 76 + 76 = 4 • 76 = 304 etc.

x 5

c


44

Egalité et identité Le signe « = » se lit « est égal à ». Deux expressions numériques sont dites égales si, lorsqu’on les calcule, on obtient le même résultat. Deux expressions littérales sont dites égales si elles donnent le même résultat, quel que soit le nombre mis à la place de la variable. Attention : Une égalité peut être toujours vraie, parfois vraie et parfois fausse, ou toujours

fausse. Une égalité qui est toujours vraie s’appelle une identité. Exemples :

1) L’égalité 5 + 3 = 8 est toujours vraie

C’est une identité.

2) L’égalité 2y – 3 = 5 est vraie pour y = 4, sinon elle est fausse.

C’est une égalité qui peut être vraie ou fausse selon la valeur de y. Ce n’est pas une identité

3) L’égalité 3 + 5 = 18 est toujours fausse. C’est une fausse égalité.

Attention : Dans l’exemple 2, vérifier que l’égalité est vraie pour quelques valeurs de la

variable ne suffit pas pour affirmer que l’égalité est une identité. En revanche, trouver un contre-exemple (une valeur pour laquelle l’égalité n’est pas vraie) suffit pour prouver qu’une égalité n’est pas une identité.

Exemple 1 : 2 + 3 • x = 7 • x

l’égalité est vraie pour x = 0,5, car 2 + 3 • 0,5 = 7 = 7 • 0,5 mais elle est fausse pour x = 2. car 2 + 3 • 2 = 8 ≠ 7 • 2 = 14 Cette égalité n’est donc pas une identité.

Exemple 2 : 2 • (x + 3) = 2 • x + 2 • 3

l’égalité est toujours vraie, car la multiplication est distributive sur l’addition. Cette égalité est donc une identité.

Ecriture d’une expression littérale

Dans l’expression 3ab 3 est le coefficient numérique ab est la partie littérale. Conventions d’écriture : - On écrit le coefficient numérique avant la partie littérale et on écrit les lettres par ordre

alphabétique. Exemple : On n’écrit pas ab3 mais 3ab.


45

- On peut supprimer le signe de la multiplication 1) entre deux lettres. 2) entre un nombre et une lettre, Exemples : a • b = ab a • a = a2

5 • a = 5a 4,5 • x = 4,5x c • 2a = = c2a = 2ac Attention: Comme multiplier un nombre par 1 ne change pas ce nombre, on écrira :

1 • a = a Comme multiplier un nombre par zéro donne zéro, on écrira :

0 • a = 0 Propriétés

1 • a = a 0 • a = 0 a1 = a

a + a + ………..….. + a = n • a

Exemple : a + a + a + a + a = 5 • a = 5a

a • a • ………..….. • a = an

Exemple : a • a • a • a • a = a5

La commutativité de l’addition et de la multiplication permet d’intervertir la place des termes ou des facteurs :

a + b = b + a a • b = b • a

L’associativité de l’addition et de la multiplication permet de regrouper différemment les termes ou les facteurs :

( a + b ) + c = a + ( b + c )

( a • b ) • c = a • ( b • c )

n termes

n facteurs


46

Réduire une expression littérale On utilise les propriétés précédentes pour réduire des expressions littérales. Exemples : x + y + x + y + x = x + x + x + y + y = 3x + 2y 0,4x • 3y • 2x = 0,4 • x • 3 • y • 2 • x = 0,4 • 3 • 2 • x • x • y = 2,4 x2 y 3 • 2 • x • x • y = ( 3 • 2 ) • ( x • x • y ) = 6x2y Distributivité de la multiplication sur l’addition

5 • ( a + 3 ) = 5 • a + 5 • 3

Développer

Lorsque l'on passe de l'expression 5 • ( a + 3) à l'expression 5 • a + 5 • 3, on a transformé un produit en une somme. On dit que l'expression a été développée. On appelle ce procédé la distributivité. Exemples : 5•(x+4) = 5•x + 5•4 = 5x + 20

6•(x-3) = 6•x - 6•3 = 6x - 18

Méthode: Pour développer une expression littérale en distribuant une multiplication sur une

addition, on multiplie tous les termes de la parenthèse par l’expression qui la multiplie.

Exemple: 7 • ( 6 y + x ) = 7 • 6y + 7 • x

= 42y + 7x Remarque: Dans le calcul littéral, la réduction d’une somme de termes semblables

repose sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

Exemples : ( )g g g3 a + 5 a = 3 + 5 a = 8a ( )g g g7 a - 9 a = 7 - 9 a = -2a

distributivité


47

Exercices sur le domaine Algèbre


48


49


50

4. Grandeurs et mesures – compétences à maîtriser

• choisir des unités ou sous-unités pertinentes • utiliser les sous-unités standard : kilo, hecto, déca, déci, centi, milli • transformer des unités de longueur et d'aire • transformer des unités de masse, de capacité et de temps • utiliser des unités cohérentes dans les calculs • estimer l'ordre de grandeur d'une mesure • choisir les grandeurs nécessaires et calculer au moyen des formules usuelles le périmètre

et l'aire du triangle, du carré, du rectangle, du losange, du parallélogramme et du trapèze • décomposer une figure en figures élémentaires et calculer son périmètre ou son aire

4. Grandeurs et mesures – éléments de théorie Périmètre d’une figure Définition : on appelle « périmètre d’une figure fermée » la longueur de son contour.

Pour un polygone, c’est la somme des longueurs de tous ses cotés.

Exemple :

p = 1 + 3 + 2 + 5,5 + 6 + 4,5 + 2,5 + 4 p = 28,5 cm

Remarque : un périmètre s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité de longueur (m, cm, km...).

4 cm

1 cm 2 cm

3 cm

5,5 cm

6 cm

4,5 cm 2,5 cm


51

Aire d’une figure Définition : on appelle « aire d’une figure fermée » le nombre de carrés (de côté 1 unité de

longueur) nécessaires pour la remplir complètement. Exemple : chaque petit carré mesure 1 cm de coté, on dit que son aire est 1 centimètre

carré (noté 1 cm²). La figure est composée de 9 carrés de ce type, on dit que son aire est 9 cm². Attention : Il n’y a pas d’instrument de mesure pour l’aire.

Pour mesurer l’aire d’une figure, on peut quadriller et compter le nombre de carrés qu’elle contient.

Exemple : Ce rectangle est composé de 4 carrés + 4 demis carrés de ce type, son aire est de

6 cm². On peut aussi calculer l’aire d’une figure à partir des dimensions de la figure. Pour ce rectangle on a

Aire = 4 · 1,5 = 6 cm2 Selon la figure concernée, ces dimensions peuvent être les côtés ou les diagonales, ou la base, ou la hauteur. Remarque : une aire s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité d’aire ( une unités de

longueur au carré : m², cm², km²... ).

1

4

1,5


52

Quelques formules de calculs d’aires Quadrilatères

RECTANGLE

A = L · ℓ

CARRE

A = c·c = c2

PARALLELOGRAMME

A = b · h

L’aire d’un parallélogramme est égale à celle du rectangle correspondant

LOSANGE

A = (d1 · d2) : 2 2dd 21 ⋅=

L’aire du losange est la moitié de celle du rectangle construit sur ses diagonales

TRAPEZE

A =[(b1 + b2) : 2] · h = h2

bb 21 ⋅+

L’aire d’un trapèze est celle du rectangle ayant pour longueur la moyenne des bases du trapèze et pour largeur la hauteur du trapèze

L

ℓ

c

h

b

d1

d2

b1

b2

h


53

Quelques formules de calculs d’aires Triangles

TRIANGLE RECTANGLE

A = (L · ℓ) : 2 = 2

L λ⋅

L’aire d’un triangle rectangle est la moitié de celle du rectangle correspondant

TRIANGLE QUELCONQUE

A = (b · h) : 2 = 2hb ⋅

L’aire du traingle quelconque est la moitié de celle du parallélogramme correspondant

TRIANGLE QUELCONQUE

A = (b · h) : 2 = 2hb ⋅

L’aire du traingle quelconque est la moitié de celle du parallélogramme correspondant

Les transformations d’unités de longueur Pour les unités de mesure de longueur, l’unité de base est le mètre. Toutes les autres unités de mesure de longueur sont basées sur le mètre. Elles sont formées d’un préfixe et du mot « mètre ». Préfixes :

nom sens abréviation

kilo 1000 fois k hecto 100 fois h déca 10 fois da 1 fois déci 0,1 fois d centi 0,01 fois c milli 0,001 fois m

ℓ

L

b2

h2

b1

h1


54

Cela donne par exemple : le kilomètre , qui mesure 1000 m, 1 hm = 1 hectomètre = 100m, le centimètre, qui mesure 0,1 m, 1 mm = 1 millimètre = 0,001 m, etc. Ces unités peuvent être organisées dans un tableau qui permet de trouver les correspondances :

km hm dam m dm cm mm

Exemple :

km hm dam m dm cm mm 1 3 8 On lit 13800 mm = 1380 cm = 138 dm = 13,8 m = 1,38 dam = 0,138 hm = 0,0138 km Les transformations d’autres unités D’autres unités sont construites sur le même modèle :

• les unités de masse dont l’unité de base est le gramme, abrégé [g]

kg hg dag g dg cg mg

• les unités de capacité dont l’unité de base est le litre, abrégé [ℓ]

kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ


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Unités d’aire

km2 hm2 = ha dam2 = a m2 dm2 cm2 mm2

1 hm2 = 1 hectare = 1 ha 1 dam2 = 1 are = 1 a Exemple :

km2 hm2 = ha dam2 = a m2 dm2 cm2 mm2

4 5 0 7 3

On lit : 4507300000 mm2 = 45 07 30 00 cm2

= 45 07 30 dm2 = 45 07,3 m2 = 45,07 3 dam2

= 0, 45 07 3 hm2 = 0, 00 45 07 3 km2


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Unités de temps Les unités de temps ne sont pas construites sur une base décimale car

1 heure ≠ 10 minutes et 1 minute ≠ 10 secondes. Les unités de temps sont construites sur la base 60. Cette base nous a été transmise par les Babyloniens, qui vivaient plus de 1000 ans avant JC. Dans cette base :

1 heure = 60 minutes

et 1 minute = 60 secondes

Ensuite on a :

1 jour = 24 heures

1 semaine = 7 jours

1 année = 365 jours (mais tous les 4 ans, l’année est bissextile et dure 366 j.) Les mois ont un nombre de jours variable, entre 28 jours et 31 jours. Remarque : pour simplifier les calculs, le monde de la finance a adopté un système de 12 mois

de 30 jours pour faire une année… ( mais où passent alors les 5 jours restants ? ) Pour faire des conversions d’unités de temps, on ne peut pas utiliser un tableau de conversion décimal. On doit calculer : • On multiplie par 60 pour passer des heures (h) aux minutes (min) et des minutes aux

secondes (s). Exemples : 3 h = 3 · 60 min = 180 minutes 2h 45 min 8 s = 9908 secondes car 2 · 60 min = 120 min

120 min + 45 min = 165 min 165 · 60 s = 9900 s 9900 s + 8 s = 9908 secondes

• On divise par 60 pour passer des secondes aux minutes et des minutes aux heures Exemples : 90 min = 1h 30 min car 90 min : 60 min = 1,5 h

1,5 h = 1 h + 0,5 h = 1 h + ½ h

1228 s = 20 min 28 s car 1228 s : 60 s = 20 min reste 28 s 15 minutes = ¼ h car 15 min : 60 min = 0,25 h = ¼ h


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Exercices sur le domaine Algèbre Exercice 1. Calcule le périmètre de chacun des polygones suivants, après avoir pris les mesures nécessaires.

Exercice 2. Trouve l'unité qui donne une mesure entre 1 et 10 et transforme: 1) 0,27 km 5) 73,1 dm 2) 0,0382 m 6) 0,034 dam 3) 0,0001 hm 7) 5,83 km 4) 48 dam 8) 720 m

Exercice 3. Trouve l'unité qui manque:

1) 20 m = 0,2 … 5) 0,07 dam = 70 … 2) 4700 m = 4,7 … 6) 15 m = 1500 … 3) 7,6 dm = 0,076 … 7) 220 dm = 2,2 …

Exercice 4. Transforme en litres, mètres ou en grammes 1) 6000 dl 4) 0,004 km 7) 0,05 kg 2) 500 cg 5) 0,0035 kg 8) 0,6 dal 3) 800000 mm 6) 0,037 hg 9) 0,05 hm

Exercice 5. Transforme dans l’unité demandée 1) 550 m2 en hm2 4) 4500 mm2 en dm2

2) 7830 m2 en hm2 5) 160000 cm2 en m2

3) 600 dm2 en m2 6) 150 hm2 en km2

Exercice 6. Calcule l'aire d'un parallélogramme qui a

1) 87,2 mm de base et 1,3 dm de hauteur correspondante 2) 500 m de base et 472 m de hauteur correspondante 3) 43 dm de base et 170 mm de hauteur correspondante 4) 0,08 km de base et 0,012 km de hauteur correspondante


58

Exercice 7. Calcule l'aire d'un trapèze qui a 1) 10 m et 13 m de bases et 8 m de hauteur 2) 4,5 dm et 3,5 dm de bases et 0,5 dm de hauteur 3) 1,2 m et 52 cm de bases et 95 mm de hauteur 4) 1,03 km et 500 m de bases et 2,3 hm de hauteur

Exercice 8. Choisis la bonne réponse.

1) La hauteur de la tour Eifel est de 320,75 dam ; 320,75 hm ; 320,75 m ? 2) La longueur du pied de votre professeur est de 25dm ; 25 cm ; 25 m ? 3) La longueur d’une bactérie est d’environ 1/1000 km ; 1/ 1000 m ; 1/1000 mm ? 4) La hauteur de l’Everest est de 8848 km ; 8848 hm ; 8848 m ? 5) L’épaisseur de la croûte terrestre mesure 40 km ; 40 m ; 40 cm ? 6) La longueur totale des routes de France est d’environ de 900000 km; 900000 dam; 900000 m ?

Exercice 9. Détermine si possible l’aire des figures ci-dessous.




59

Exercice 12. Calcule l’aire de la figure suivante. (Inscris la figure dans un rectangle.)

Exercice 13. Détermine le périmètre et l’aire de la figure suivante.

Exercice 14. Calcule l’aire de la figure suivante. (Explique ta méthode.)

Exercice 15. Cherchez l’erreur ! Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

a) un carré de 4 cm2 est un carré de 4 cm de côté. b) Un dam2 est un carré de 10 m de côté. c) Il n’existe qu’un seul carré de 1 cm2. d) 1 m2 = 10 dm2

e) Le mm2 est dix fois plus petit que le cm2. f) 3 ha = 3 km2.

Exercice 16. Calcule si possible les aires suivantes :

a) Aire d’un carré de 6 cm de côté. b) Aire d’un carré de 6 cm de diagonale. c) Aire d’un losange de 6 cm de côté. d) Aire d’un rectangle de 6 cm de diagonale.


60

Exercice 17. ABCD est un rectangle tel que A = 4cm et AD = 9 cm. EFGH est un rectangle tel que EF = 12 cm et EH = 3 cm.

a) ABCD et EFGH ont-ils la même aire ? b) ABCD et EFGH ont-ils même périmètre ?

Exercice 18. a) Un carré de 2,8 m de périmètre a-t-il une aire plus grande que celle d’un carré dont la diagonale mesure 1 m ? b) Un rectangle de 2 m de périmètre a-t-il une aire plus grande que celle d’un rectangle de 1 m de périmètre ? Exercice 19. Calcule l’aire de la figure ci-dessous (cotes en m)


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5. Organisation et traitement de données – compétences à maîtriser

• Lire une graduation sur un axe • Lire des informations à partir d’un tableau de données d’une courbe dans un repère, d’un histogramme, d’un diagramme circulaire • Choisir une échelle convenable • Graduer un axe • Construire une courbe dans repère ou un histogramme à partir d’un tableau de données

5. Organisation et traitement de données – éléments de théorie

Construire une courbe Construire une courbe à partir du tableau suivant :

Heure 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Température

(en°C) 2 2 1,5 1 1 0,5 1 2 4 5 8 10 11

- Tracer deux axes perpendiculaires. - Inscrire les deux légendes. - Graduer régulièrement les deux axes

en choisissant l’unité judicieusement : les nombres proposés doivent tenir sur la feuille.

Placer les points correspondant aux données du tableau. Pour mieux voir les variations de température, on peut relier les points. Conseil : Lorsque le graphique est fini, pour savoir s’il est bien réussi, il faut vérifier :

- si les deux légendes sont inscrites ; - si les axes sont gradués régulièrement ; - si les points ou les rectangles sont placés correctement.


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Les différentes représentations


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64

Exercices sur le domaine Gestion, organisation et

traitements de données 1) a) Laquelle des représentations suivantes est un diagramme circulaire ? Un diagramme en barres ? Une courbe ? Un diagramme en bâtons ?

b) Y a-t-il des représentations qui utilisent les mêmes données ? Lesquelles ?

c) Qu’est-ce qui différencie ces représentations les une des autres ?


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2) Quelles mesures peut-on lire sur les graduations ci-dessous?

3) D'après le graphique ci-contre…

a) Qui a gagné la course? b) Décris en mots comment le lièvre

a fait cette course. c) Décris en mots comment la tortue

a fait cette course. d) A quelle distance de la ligne de

départ se sont-ils rencontrés la première fois?

4) Voici un diagramme en bâtons qui représente la hauteur moyenne de pluie tombée à Genève chaque mois. Cette moyenne a été établie en faisant des relevés sur 30 ans.

règle éprouvette thermomètre pipette

cm 15 10 5

cl 150 100 50

°C 20 10 0 -10

mL

3 2 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100pluie(en mm de hauteur)


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5) Et voici les quantités de pluie relevées pendant l'année 1995 : Durant quels mois y a-t-il eu plus de précipitations que la moyenne? Et quels mois y a-t-il eu moins de pluie que d'habitude? 6) Dans une classe de 26 élèves, 13 élèves ont 11 ans, un seul a 10 ans, 8 ont 12 ans, et 4 ont 13 ans. Lequel de ces diagrammes circulaires correspond à la répartition des âges de la classe? 7) Le tableau suivant indique la consommation moyenne d'énergie par habitant (moyenne calculée sur la consommation mondiale):

Année énergie (en MJ) 1950 29 1955 38 1960 41 1965 53 1970 69 1975 70 1980 63 1985 57

a) Faire le graphique de la consommation d'énergie selon l'année. Représenter les années sur l'axe des abscisses (horizontal) et l'énergie sur l'axe des ordonnées (vertical). b) Durant quelle période l'augmentation a-t-elle été la plus forte? c) Estimer combien de mégaJoules (MJ) un habitant consommait en 1967. 8) Recopier et compléter la graduation des axes ci-dessous.

Janvier 184 mm Juillet 38 mm

Février 139 mm Août 62 mm

Mars 76 mm Septembre 151 mm

Avril 23 mm Octobre 49 mm

Mai 114 mm Novembre 38 mm

Juin 52 mm Décembre 104 mm

a) 1990 …… …… …… …… 2015

b) –3 …… …… …… …… +2

c) 0 1 …… …… ……


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9) Le tableau suivant donne, pour 1995, le nombre de conducteurs et de conductrices impliqués dans des accidents de la circulation à Genève selon l'âge du conducteur ou de la conductrice.

Construire l'histogramme correspondant.

âge nb.d'accidents âge nb.d'accidents âge nb.d'accidents 15-19 422 35-39 894 55-59 384 20-24 842 40-44 719 60-64 258 25-30 1047 45-49 631 65-69 152 30-34 973 50-54 538 70-74 132

10) Ce diagramme circulaire représente la répartition des dépenses de Sandrine pour un mois. Elle reçoit 60 francs d'argent de poche par mois. Calculer combien elle dépense pour chaque type d'achat.

11) Ce graphique représente le prix d'une course en taxi en fonction de la longueur du trajet.

a) Quelle somme paiera-t-on pour une course de 5 km ?


68

b) Quelle distance a-t-on parcourue si l'on a payé la course 15,50 fr. ?

c) D'après le graphique, déterminer le montant de la "prise en charge"; c'est la somme qu'indique le compteur du taxi au moment où l'on monte dans la voiture.

d) D'après le graphique, déterminer le prix du kilomètre.

e) Combien paiera-t-on pour une course de 3,5 km ?

f) Quelle distance peut-on parcourir pour 10 fr. ?

12) Voici le graphique de l’évolution de la population du canton de Genève entre 1900 et 1980.

1900 1920 1940 1960 1980

0

100 000

200 000

300 000

400 000

Population totale

Genevois

Confédérés

Etrangers

En quelle année la population était-elle constituée à parts égales de Genevois, de confédérés et d’étrangers ? En quelle année le nombre de confédérés a-t-il dépassé 100 000 ? Et le nombre d’étrangers ? Et le nombre de Genevois ? En 1960, quelle était la population de Genevois ? De confédérés ? D’étrangers ? Et en 1980 ?


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6. Géométrie – compétences à maîtriser

• Faire la distinction entre croquis et dessin • Comprendre le codage d'une figure sur un croquis • Faire un croquis à main levée d'une figure ou d'une situation simple, et y indiquer les

données du problème • Décrire une figure ou une construction en utilisant le vocabulaire connu • Reconnaître et construire la parallèle ou la perpendiculaire à une droite donnée passant

par un point donné avec la règle et l'équerre • Mesurer et construire un angle avec le rapporteur et reconnaître des angles opposés par

le sommet, supplémentaires, correspondants, alternes-internes, alternes-externes • Calculer un angle dans un triangle quelconque ou particulier, connaissant l'un ou les deux

autres angles du triangle • Utiliser le compas pour construire des points à une distance donnée d'un point • Construire la médiatrice d'un segment, la bissectrice d'un angle • Construire le cercle circonscrit à un triangle • Reconnaître des triangles et des quadrilatères particuliers, même dans une figure

complexe • Construire un triangle connaissant :

o trois côtés o un angle et les deux côtés adjacents o un côté et les deux angles adjacents

• Construire un carré connaissant son côté, un rectangle connaissant sa longueur et sa largeur, un losange connaissant ses deux diagonales, un parallélogramme connaissant un angle et les côtés adjacents

• Reconnaître les hauteurs d'un triangle, d'un quadrilatère particulier • Construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou une translation • Reconnaître un axe de symétrie ; construire les axes de symétrie pour les triangles et

quadrilatères particuliers

6. Géométrie – éléments de théorie La géométrie étudiée ici se situe dans le plan : on parle de géométrie plane. Le plan est symbolisé par la feuille de papier. Le plan est une surface infinie. La feuille que l'on utilise est bien sûr limitée à ses bords. Points Un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Il existe partout des points, qui ne sont pas nécessairement marqués ou encore moins nommés. Pour les utiliser, on les marque au moyen de deux traits qui se croisent. On utilise : Mais pas : Pour pouvoir en parler, on les nomme au moyen de lettres majuscules d'imprimerie.

A B

M N


70

Droites Si l'on a marqué et nommé A et B deux points du plan, on peut tracer une seule (ligne) droite passant par ces deux points. Pour la représenter, on en dessine une partie à l’aide d’une règle. Comme pour le plan, la droite géométrique est infinie, alors que toutes les représentations qu’on peut en faire sont finies. La droite passant par les points A et B est appelée la droite AB notée (AB). Pour nommer une droite sur laquelle il n’y a pas de points marqués et nommés, on peut aussi utiliser une lettre, par exemple d. Ici la lettre d ne désigne pas un point mais est le nom de la droite. Positions relatives de deux droites • Droites sécantes

Les droites d et d’ se coupent (se croisent) en I : On dit qu’elles sont sécantes. I est leur point d’intersection (c’est le seul point appartenant aux 2 droites).

• Droites parallèles

Deux droites parallèles sont deux droites qui n’ont aucun point commun ou qui sont confondues.

Les droites d et d’ n’ont pas de point d’intersection. On dit qu’elles sont parallèles. On note : d // d’

Si on imagine que deux droites peuvent être placées n’importe où dans le plan, il se peut qu’elles se superposent. On dit alors qu’elles sont confondues.

On note : d = (AB) d

d’ d

A

B

A B

d

I

d

d’


71

• Droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. On note : d ⊥ d’ On dit : la droite d est perpendiculaire à la droite d’

Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, on peut utiliser : - l’équerre, - le rapporteur, en mesurant l’angle formé par les deux droites ( 90°).

Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires

Si d1 et d2 sont parallèles et que d1 est parallèle à d3, alors d2 est parallèle à d3. Un droite d’ , perpendiculaire à une droite d, est perpendiculaire à toutes les parallèles de d et parallèle à toutes les perpendiculaires de d.

Segments

Définition : Le segment AB noté [AB] est l’ensemble des points de la droite (AB) situés entre A et B. Les points A et B s'appellent les extrémités du segment.

Attention : Quand on représente un segment, on s’arrête aux extrémités du segment, alors que quand on représente une droite (infinie) on dessine la droite au-delà des points.

Notation : la mesure du segment [AB], sa longueur, se note AB.

Exemple : AB = 5 cm

d d’

A B

d’ d


72

Médiatrice d’un segment

Définition : La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.

Dire qu’une droite (d) est la médiatrice de [AB] signifie que :

• (d) ⊥ [AB]

• d passe par le point I milieu de [AB] ( IA = IB)

Remarque : Tous les points de la médiatrice d’un segment sont à égale distance des

extrémités du segment : si M est un point de la médiatrice de [AB] alors MA = MB. On dit qu’ils sont équidistants des extrémités du segment [AB].

Construction de la médiatrice : voir Aide-mémoire p. 51-52 Cercle O est un point donné et r un nombre donné. On appelle cercle de centre O et de rayon r l'ensemble de tous les points du plan situés à la distance r de O. On le note C (O, r) ou bien C(O, OA) où A est un point quelconque du cercle. Pour tracer un cercle ou un arc de cercle, on précisera toujours son centre et son rayon.

O est le centre du cercle. Ce n'est pas un point du cercle. A, B, M et N sont des points du cercle. Les segments [OA], [OB], [OM], [ON] sont des rayons du cercle. Le segment [AB] est un diamètre du cercle. Le segment [MN] est une corde du cercle. Le segment [AB] est aussi une corde du cercle.

L’ensemble des points du cercle situés entre M à N s’appelle l’arc de cercle ¼MN . L’angle BÔN est un angle au centre, son sommet est le centre du cercle. L’angle ˆONM est un angle inscrit, son sommet est un point du cercle.

A

B

(d)

M

I


73

Demi-droites Si on place un point sur une droite, il apparaît alors deux parties de cette droite, de part et d’autre du point. Ces deux parties de la droite sont nommées demi-droites. Le point est l’origine des demi-droites. On note les demi-droites à l’aide d’un crochet " [ " qui entoure l’origine . Si plusieurs points sont nommés sur une droite : on utilise ces points pour nommer les demi-droites : [BM) est la demi-droite d'origine B, passant par M. [BA) est la demi-droite d'origine B, passant par A. Le dessin en géométrie • Codage d'une figure : longueurs égales , angles égaux

Sur les figures que l'on dessine, on marque des indications pour que la figure soit "parlante". En particulier, on marque le fait que deux longueurs sont égales au moyen de signes particuliers sur les segments qui ont les mêmes longueurs.

On dit alors que l'on code la figure.

Ici, on a marqué des longueurs égales au moyen :

• d'un trait • des deux traits • d'un petit cercle

M B A

M B A

M B A


74

O x

y

xOy^

On peut utiliser d'autres signes, autant qu'il en faut.

Ici on a marqué les angles égaux par le même symbole. On utilisera ces codages pour marquer les côtés égaux d’un parallélogramme, ou les angles égaux d’un triangle isocèle par exemple. • Croquis Un croquis est un dessin qui va servir à réfléchir. C'est un dessin qui est fait sans instruments, qui doit donner une idée de la situation, sans en respecter nécessairement les données exactes. Il est codé selon les indications données pour utiliser les propriétés des figures. Angles On a tracé les deux demi-droites [Ox) et [Oy) de même origine O.

La portie du plan limitée par ces deux demi-droites est un angle que l’on note xOy^ ou yOx^ . O est le sommet de l’angle. [Ox) et [Oy) sont les cotés de l’angle. On mesure les angles en degrés, notés °. On utilise pour cela un rapporteur. Voir Aide-mémoire p. 10 Angles particuliers

xOy^ est un angle nul = 0° tOz^ est un angle plat = 180°

uOv^ est un angle droit = 90°

rOs^ est un angle plein = 360° s O r

O x y

O

v

u

O z t


75

Angles aigus, angles obtus

uÔt est « plus pointu » qu’un angle droit. uOz^ est « moins pointu » qu’un angle droit. On dit que c’est un angle aigu. On dit que c’est un angle obtus. uÔt < 90° uÔz > 90° voir Aide-mémoire p.10 Angles adjacents Si deux angles ont le même sommet et un côté en commun et qu’ils sont situés de part et d'autre du côté commun, on dit qu'ils sont adjacents.

Les angles yÔz et zÔx ont comme sommet commun 0. Ils ont comme côté commun (Oz). Ils sont donc adjacents.

yÂz et zÔx n’ont pas le même sommet. Ils ne sont pas adjacents.

O

v

u O

v

u

t z

O

x

y

z

O

x

y

z

A


76

Angles particuliers isométriques

Angles opposés par le sommet

Les angles 1 et 2 sont opposés par le sommet. De même que les angles 3 et 4. Des angles opposés par le sommet sont égaux.

Angles alternes internes Angles alternes externes

Les angles 4 et 5 sont alternes- internes. Les angles 3 et 6 aussi. Les angles 2 et 7 sont alternes-externes. Les angles 1 et 8 aussi. Des angles alternes-internes et deux angles alternes-externes sont égaux.

Angles correspondants

Les angles 2 et 6 sont correspondants. Des angles correspondants sont égaux.

Voir Aide-mémoire p. 9 Bissectrice d’un angle La bissectrice d’un angle est la droite (ou demi-droite) qui partage un angle en 2 angles égaux. Dire que [Oy) est la bissectrice de l’angle xÔz signifie que :

• xOy^ = yOz

Remarque : Tous les points de la bissectrice d’un angle sont à égale distance des deux demi-

droites qui forment l’angle. Construction : voir Aide-mémoire p. 13

O z

y

x

(d')

(d)

1 2 3 4

5 6 7 8

(d')

(d)

1 2 3 4

5 6 7 8

3 2

4 1


77

Polygones

Les polygones sont des figures planes fermées, dont les côtés sont des segments de droites. (« poly » signifie plusieurs et « gone » angle).

On ne peut pas former un polygone avec un ou deux segments de droite.

Le premier polygone a trois côtés et a trois sommets.

Le nombre de sommets (ou de côtés ou d'angles) indique la nature du polygone.

Nombre de sommets Nature du polygone 3 Triangle 4 Quadrilatère 5 Pentagone 6 Hexagone 7 Heptagone 8 Octogone 9 Ennéagone 10 Décagone 11 Endécagone 12 Dodécagone

Etc.

Exemples :

Pentagone

Hexagone

Octogone

Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les angles et tous les côtés sont égaux.

Quadrilatère régulier = carré Hexagone régulier

Voir Aide-mémoire p. 74


78

Triangles Un triangle est un polygone qui possède trois côtés. Dans le triangle ABC, les points A, B et C s’appellent les sommets, les segments [AB], [BC] et [AC] s’appellent les côtés. Définition : [BC] est le côté opposé au sommet A. Vocabulaire : Somme des angles d’un triangle La somme des angles d’un triangle mesure 180°. Preuve par les propriétés des angles alternes-internes. Les triangles particuliers

Triangle isocèle Triangle rectangle Triangle équilatéral

Un triangle ABC isocèle en A est un triangle qui a deux côtés égaux : AC = AB. Propriété Il possède deux angles égaux: BCACBA =

Un triangle ABC rectangle en C est un triangle possédant un angle droit : BCA = 90°

Un triangle ABC équilatéral est un triangle qui a trois côtés égaux.

Propriété Les trois angles du triangle sont égaux. Ils mesurent 60°.

Remarque : Un triangle peut à la fois être rectangle et isocèle, mais il ne peut pas être

rectangle et équilatéral.

A

B C

sommets

côtés

B C α β

A d

α’ β’

A

B

C

A

B C

A

B

C


79

Quadrilatères Un quadrilatère est un polygone qui possède 4 côtés. Dans le quadrilatère ABCD, les points A, B, C et D sont les sommets et les segments AB, BC, CD et AD les côtés. Les segments qui joignent deux sommets opposés sont les diagonales. Vocabulaire :

Quadrilatères particuliers

Le parallélogramme Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et de même longueur. Ses diagonales se coupent en leur milieu.

Le losange

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Le rectangle

Un rectangle est un quadrilatère possédant quatre angles droits. Les côtés opposés du rectangle sont parallèles et de même longueur. Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.

Le carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits. Les côtés opposés du carré sont parallèles. Ses diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont de même longueur.

A B

D

C

diagonales

côtés consécutifs côtés

sommets

A B

C D

A B

C D

A B

C D

B

C

D

A


80

Autre quadrilatère particulier : Le trapèze Un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles. [AB]//[CD]

Classification des quadrilatères

On peut classer les quadrilatères selon la longueur de leurs côtés :

- 4 côtés isométriques : carré, losange - 2 paires de côtés opposés isométriques 2 à 2 : parallélogramme, rectangle - 2 paires de côtés consécutifs isométriques 2 à 2 : fer de lance, cerf-volant (rhomboïdes) - 1 paire de côtés opposés isométriques : trapèze isocèle

On peut classer les quadrilatères selon le parallélisme de leurs côtés

- 2 paires de côtés parallèles: carré, rectangle, losange, parallélogramme - 1 paire de côtés parallèles : trapèze

On peut classer les quadrilatères selon leurs angles

- 4 angles isométriques : le carré et le rectangle - 2 angles opposés isométriques 2 à 2 : losange, parallélogramme - 2 angles consécutifs isométriques 2 à 2 : trapèze isocèle

On peut classer les quadrilatères selon leurs axes de symétrie

- 4 axes de symétrie : carré - 2 axes de symétrie, les médiatrices des côtés : rectangle - 2 axes de symétrie, les diagonales : losange - 1 axe de symétrie, la médiatrice des côtés parallèles : trapèze isocèle - 1 axe de symétrie, une diagonale : fer de lance, cerf-volant

A B

C D


81

Symétrie axiale

Symétrique d'un point

M' est le symétrique du point M par la symétrie d'axe d, si d est la médiatrice de [MM']. d s’appelle l’axe de symétrie du segment [MM’].

Remarque : Si A est un point de la droite d, alors son symétrique est lui-même. Symétrique d’une figure

La figure A’B’C’ est la figure symétrique de ABC par la symétrie d’axe d. Les figures A’B’C’ se superposent en pliant la feuille suivant la droite d. Les longueurs AB et A’B’ sont les mêmes. Les angles CBA et 'C'B'A sont égaux. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs et conserve les mesures des angles. Elle conserve aussi l’alignement.

� La figure symétrique d’une droite par rapport à d est une droite.

� La figure symétrique d’un segment par rapport à d est un segment de même longueur.

� La figure symétrique d’un cercle par rapport à d est un cercle de même rayon.

M

M’

d

I

A

D

C

B

A’

D’ C’

B’

(d)


82

Axe de symétrie d’une figure Une figure admet un axe de symétrie si elle se superpose à elle-même par la symétrie de cet axe. Autrement dit : Une figure admet un axe de symétrie s’il existe une droite le long de laquelle on peut « plier » la figure de manière à ce que les deux parties se superposent.

� L’axe de symétrie d’un segment est la médiatrice de ce segment.

� L’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice

Axes de symétrie des figures usuelles

Le triangle isocèle Le rectangle Le losange Le carré 1 axe de symétrie : la bissectrice de l’angle au sommet et la médiatrice de sa base.

2 axes de symétrie : les médiatrices des côtés.

2 axes de symétrie : ses diagonales

4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés

Remarque : Le cercle possède une infinité d’axes de symétrie : tous ses diamètres.


83

Translation

Translaté d’un point

En faisant glisser une figure d’une distance fixée et dans une direction indiquée par une flèche on obtient l’image par une translation de la figure. Soient A et B deux points distincts. M’ est l’image d’un point M par la translation AB si

MM’ = AB (MM’) // (AB)

Translaté d’une figure

Une figure F' est l'image d’une figure F par la translation qui transforme A en B. Ceci signifie que la figure F' est obtenue en faisant glisser la figure F parallèlement à la droite (AB):

selon la direction de la droite (AB). dans le sens de A vers B. d'une longueur égale à AB.

� L'image d'une droite par une translation, est une droite parallèle.

� L'image d'un segment par une translation, est un segment de même longueur.

� L'image d'un cercle par une translation, est un cercle de même rayon.

� L'image d'un angle par une translation, est un angle isométrique.

A

B

M

M'

B F

F’ N

N’

A


84

Exercices sur le domaine Géométrie 1) Construis trois points A , B et C et deux droites m et n tel que A∈m et A∈n , B∈n et B∉m, C∉m et C∉n. 2) Construis trois points A, B et C non alignés et cherche par le dessin le nombre de droites passant par deux de ces points. Procède de la même façon avec 4 points, puis 5. Cherche à généraliser le raisonnement. 3) Construis un segment [AB] et une demi-droite ayant tous deux pour origine B. 4) Que représente la notation [EF] ? 5) Construis un angle aigu et un angle obtus ayant tous deux le même sommet. 6) Construis un segment de droite de 5 [cm] de longueur ayant pour extrémités les points A et B. Puis construis un point C situé à 3 [cm] de A. Puis construis un point D situé à 3 [cm] de A et à 6 [cm] de B. 7) Construis une droite m et deux points F et G appartenant à m tel que δ(F ; G) = 7 cm

Puis un point H tel que δ(F ; H) = 2 cm.

Puis un point J tel que δ(F ; J) + δ(J ; G) > δ(F ; G)

Puis un point K tel que δ(F ; K) + δ(K ; G) < δ(F ; G) 8) Construis un angle α d'amplitude 40°, un angle β d'amplitude 230° et un angle γ d’amplitude 168° n'ayant pas la même origine. 9) Construis un angle nul, un angle plat et un angle plein. 10) Mesure les angles suivants :


85

11) Calculer la mesure de β, sachant que α = 82°.

12) Trace une droite a et place un point B qui n’est pas sur cette droite. Trace ensuite la droite b qui passe par le point B et qui est parallèle à la droite a. 13) Trace une droite a et place un point B sur cette droite. Place un point C qui n’est pas sur cette droite. Trace ensuite la droite b qui passe par le point B et qui est perpendiculaire à la droite a. Trace pour finir la droite c qui passe par le point C et qui est perpendiculaire à la droite a. 14) (Ne pas faire de figure). a, b et c sont trois droites telles que a//b et b//c. Que peut-on dire de la droite a par rapport à la droite c ? 15) (Ne pas faire de figure). a, b et c sont trois droites telles que a ┴ b et b ┴ c. Que peut-on dire de la droite a par rapport à la droite c ? 16) Recopie approximativement ce triangle puis construis :

1) la parallèle c à la droite ]AB[, qui passe par le point C ; A

2) la perpendiculaire b à la droite ]AB[, qui passe par le point B ; b coupe c en D ;

3) la perpendiculaire d à la droite ]BC[, qui passe par le point D. C

B

17) Construis un segment de 4,7 cm et un segment de 11,5 cm. Construis la médiatrice de ces deux segments. 18) Construis un angle de 42°, un angle de 117° et un angle de 169°. Construis la bissectrice de ces trois angles. 18) Place deux points A et B. Construis l’ensemble des points situés à la même distance de A et de B.


86

19) Place trois points A, B et C. Construis l’ensemble des points situés à la même distance de A, de B et de C. 20) Reporter ce triangle dans le cahier.

21) Construire un triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 6 cm, et 5 cm. 22) 1) Si α = 30° et β = 70°, calculer γ

2) Si α = 47° et β = 36°, calculer γ 3) Si β = 48° et γ = 120°, calculer α 4) Si β = 112° et γ = 83°, calculer α

23) 1) Si α = 40° et β = 70°, calculer γ , α ’, β’, γ ’

2) Si α = 70° et γ = 50°, calculer β ' 3) Si α ’= 130° et β ' = 109°, calculer γ


87

24) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. 25) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. 26) Construire un triangle ABC tel que : ·BAC= 50°, AB = 5 cm et AC = 6 cm. 27) Construire un triangle ABC tel que : AB = 6 cm, ·BAC = 50° et ·ABC = 30°. 28) Construire un triangle ABC tel que : ·BAC = 110°, ·BCA = 40° et AC = 4 cm. 29) Construire un triangle ABC tel que : AB = 5 cm, ·BAC =100° et BC = 7 cm. 30) Construis un triangle ABC tel que : AB = 3 cm, BC = 9 cm et AC = 7cm Construis les trois hauteurs de ce triangle. 31) La demi-droite [AD) est la bissectrice de l'angle BAC. Calculer l'angle γ . 32) La demi-droite [AD) est la bissectrice de l'ange a. Sachant que α = 70° et β = 50°, calculer l'angle δ.


88

33) On considère un triangle ABC isocèle en A.

Sachant que l'angle ·CAB vaut 40°.. Que valent les autres angles ?

34) Aide-toi des codages de la figure suivante pour déterminer l’angle ·CDE..

Information : ·ABC = 156°.

35) Calcule la mesure de l’angle α de la figure ci-contre. Indique toutes les étapes de ton raisonnement. 36) Voici des polygones.

1) Enumérer tous les trapèzes :

2) Enumérer tous les parallélogrammes :

3) Enumérer tous les losanges :

4) Enumérer tous les carrés :


89

37) Peut-on construire...? 1) un rectangle non carré dont les diagonales ont la même longueur

2) un parallélogramme non rectangle dont les diagonales ont la même longueur 3) un trapèze non parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur 4) un quadrilatère non trapèze dont les diagonales ont la même longueur

Si c'est possible, construire une telle figure. Si c'est impossible, expliquer pourquoi. 38) Peut-on construire... ?

1) un trapèze non parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur et se coupent à angle droit 2) un quadrilatère non trapèze dont les diagonales ont la même longueur et se coupent à angle droit

Si c'est possible, construire une telle figure. Si c'est impossible, expliquer pourquoi. 39)

40) Lesquelles de ces figures admettent au moins un axe de symétrie ?

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Dossier d’été pour l’entrée en 8 ème - edu.ge.ch · • 2 est le seul nombre pair qui est premier (en effet tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et par eux-mêmes)