Drap brownien fractionnaire

$Page 1: Drap brownien fractionnaire$
Potential Analysis 17: 31–43, 2002.© 2002 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

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Drap brownien fractionnaire

ANTOINE AYACHE1, STÉPHANIE LEGER2 and MONIQUE PONTIER1

1U.M.R. CNRS C 5583, Laboratoire Statistique et Probabilités, Université Paul Sabatier, 118 routede Narbonne, 31 062 Toulouse cedex 04, France (e-mail: {ayache,pontier}@cict.fr)2U.R.A. CNRS 1803, Bâtiment de Mathématiques, Université d’Orléans, B.P. 6759, 45067 Orleanscedex 02, France (e-mail: [email protected])

(Received: 8 February 2000; accepted: 26 February 2001)

Résumé. On définit un processus à deux indices α et β par intégration fractionnaire d’un bruitblanc. On démontre qu’il est auto-similaire et à accroissements stationnaires, les accroissementsétant rectangulaires. On donne quelques propriétés de régularité des trajectoires et la continuité duprocessus par rapport aux deux paramètres. On obtient un champ aléatoire gaussien de même loique celui proposé par Anna Kamont, mais notre définition permet de montrer d’autres propriétés, enparticulier trajectorielles, et conduit plus aisément à des algorithmes de simulation de tels champs.

Abstract. A random field depending on two parameters α and β is defined by a fractional integrationwith respect to the white noise field. Such a process is autosimilar with stationary rectangular incre-ments. The paths have some regular properties, and the process has a sort of regularity with respectof the parameters. The process has the same law as that of Anna Kamont. However, our definitionallows to prove some others properties, particularly paths properties, and gives easily simulationalgorithms of such of fields.

Mathematics Subject Classifications (2000): 60G15, 60G17, 60G60, 60G18.

Key words: Gaussian random fields, anisotropic fields, sample path regularity.

1. Introduction

Ce papier est le développement d’une note aux CRAS [8] dont l’objet est unegénéralisation du mouvement brownien fractionnaire défini par Mandelbrot et VanNess (1968) [10] aux champs aléatoires définis comme double intégrale fraction-naire d’un bruit blanc [9] et indexé par deux paramètres α et β. Contrairementau champ brownien fractionnaire [9] ou encore au champ brownien fractionnairede Lévy [3], le drap brownien fractionnaire que nous avons défini (Section 1) estanisotropique. Comme le mouvement brownien fractionnaire, le drap brownienfractionnaire est un processus gaussien, centré, auto-similaire, dont les accroisse-ments sont stationnaires (Section 2). De plus, un lemme de Feyel et de La Pradelle[5] nous permet de montrer que ses trajectoires sont continues, ∀α, β ∈ ]0, 1[, avecprobabilité 1 (Section 3). Enfin, dans la dernière section, nous exposerons un ré-sultat de régularité uniforme du processus W par rapport aux paramètres α et β.

32 ANTOINE AYACHE ET AL.

Pour toute fonction ϕ ∈ L2(R2), on définit l’application de L2(R

2, dx dy)

à valeurs dans un espace hilbertien de variables aléatoires gaussiennes centrées,d’image notée HG ⊂ L2( ,A,P)

B : ϕ �→ B(φ) notée par la suite∫

R2ϕ(x, y) dBx,y,

où B(φ) est de loi gaussienne centrée de variance ‖φ‖22.

Cette application linéaire est clairement une isométrie surjective sur son im-age. Nous utiliserons essentiellement la propriété d’orthogonalité et d’isométriesuivante:

E

([∫R2f (x, y)1A(x, y) dBx,y

] [∫R2g(x, y)1B(x, y) dBx,y

])

=∫

R2(fg)(x, y)1A∩B(x, y) dx dy.

En particulier, lorsque A ∩ B = ∅,

E

([∫R2f (x, y)1A(x, y) dBx,y

] [∫R2g(x, y)1B(x, y) dBx,y

])= 0,

et comme il s’agit de variables gaussiennes centrées,∫

R2 f (x, y)1A(x, y) dBx,y et∫R2 g(x, y)1B(x, y) dBx,y sont indépendantes dans ce cas.

2. Définition et existence du drap brownien fractionnaire

Définissons sur (R+)2 le drap brownien fractionnaire par une moyenne mobile non

anticipative:

Wα,βs,t = B(fα · fβ) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞fα(s, u)fβ(t, v) dBu,v, (s, t) ∈ (R

+)2, (1)

où fα(s, u) = (s − u)α−1/2+ − (−u)

α−1/2+ , fβ(t, v) = (t − v)

β−1/2+ − (−v)

β−1/2+

et (α, β) sont deux paramètres réels à valeurs dans ]0, 1[ pour que, pour tout(s, t) ∈ (R

+)2, fα(s, ·)fβ(t, ·) ∈ L2(R

2). Feyel et de La Pradelle [5] donnent

une définition avec une intégration seulement sur le compact [0, s] × [0, t] ; laforme choisie se justifie pour obtenir la propriété de stationnarité comme dans lecas à simple indice.

On peut remarquer que fα et fβ sont les intégrands d’un mouvement brownienfractionnaire classique (aux constantes près) de paramètres respectifs α et β.

PROPOSITION 1. Le champ Wα,β est un champ aléatoire gaussien centré nul surles axes. La fonction de covariance est donnée par

E(Wα,βs,t W

α,βs1,t1

)

= Cα

2

{|s|2α + |s1|2α − |s − s1|2α}Cβ

2

{|t|2β + |t1|2β − |t − t1|2β}

(2)

DRAP BROWNIEN FRACTIONNAIRE 33

où

Cα =∫

R

f 2α (1, u) du, Cβ =

∫R

f 2β (1, v) dv.

Preuve. Soit α, β ∈ ]0, 1[, Wα,β est un processus gaussien par construction,puisque HG est un espace vectoriel de variables aléatoires gaussiennes. Notonsque

Var(Wα,βs,t ) =

(∫R

f 2α (s, u) du

) (∫R

f 2β (t, v) dv

)= Cαs

2αCβt2β . (3)

Donc,

Wα,βs,t ∼ N(0, CαCβs

2αt2β). (4)

On calcule aussi la matrice des covariances de Wα,β :

E(Wα,βs,t W

α,βs1,t1

) =(∫

R

fα(s, u)fα(s1, u) du

) (∫R

fβ(t, v)fβ(t1, v) dv

).

On obtient le produit de deux covariances de mouvement brownien fractionnaireclassique de paramètres respectifs α et β.

Donc,

E(Wα,βs,t W

α,βs1,t1

)

= Cα

2

{|s|2α + |s1|2α − |s − s1|2α}Cβ

2

{|t|2β + |t1|2β − |t − t1|2β}.

Pour terminer la démonstration, il suffit de remarquer que: Wα,β

s,0 = Wα,β

0,t =W

α,β

0,0 = 0. ✷REMARQUE 1. On vient de montrer que

E(Wα,βs,t W

α,βs1,t1

)

= Cα

2

{|s|2α + |s1|2α − |s − s1|2α}Cβ

2

{|t|2β + |t1|2β − |t − t1|2β}

c’est à dire exactement la covariance du champ brownien anisotropique de para-mètres multiples (α, β). Le processus que nous avons défini a donc la même loique celui défini par A. Kamont [6]. Mais notre définition sous forme intégraleva nous permettre de montrer d’autres propriétés en particulier trajectorielles etconduit plus aisément à des algorithmes de simulation de tels champs.

REMARQUE 2. On obtient sans peine des équations (2) et (3) une expression dela norme au carré d’un accroissement standard de Wα,β :

2‖Wα,βs,t − W

α,βs1,t1

‖22

= CαCβ(|s|2α − |s1|2α)(|t|2β − |t1|2β)++ (s − s1)

2α(t2β + t2β1 ) + (t − t1)

2β(s2α + s2α1 ) − (s − s1)

2α(t − t1)2β.


3. Stationnarité et auto-similarité de Wα,β

On définit, comme il est classique pour les processus à double indice, les accroisse-ments rectangulaires du processus Wα,β :

�2s,tW

α,β

h,k = Wα,β

s+h,t+k − Wα,β

s+h,t − Wα,β

s,t+k + Wα,βs,t .

DÉFINITION 1. Un processus X = (Xs,t , (s, t) ∈ T ), T ⊂ R2 est stationnaire si,

∀n ∈ N!, ∀((s1, t1), (s2, t2), . . . , (sn, tn)) ∈ T n, la loi de (Xs+s1,t+t1, Xs+s2,t+t2, . . . ,

Xs+sn,t+tn) ne dépend pas de (s, t).

PROPOSITION 2. Le processus Wα,βs,t est à accroissements stationnaires.

Preuve. Il faut montrer que, pour tout (s, t) ∈ (R+)2, les lois de dimension

finie du processus accroissements (h, k) �→ �2s,tW

α,β

h,k ne dépendent pas de (s, t),

c’est à dire que ∀n ∈ N!, ∀((h1, k1), (h2, k2), . . . , (hn, kn)) ∈ (R

+2)n, le vecteur

(�2s,tW

α,β

h1,k1,�2

s,tWα,β

h2,k2, . . . ,�2

s,tWα,β

hn,kn) est de même loi que le vecteur (�2

0,0Wα,β

h1,k1,

�20,0W

α,β

h2,k2, . . . ,�2

0,0Wα,β

hn,kn).

Or, �2s,tW

α,β est gaussien. Donc sa loi est entièrement déterminée par sa

moyenne et sa fonction de covariance. Donc, il suffit de montrer que E(�2s,tW

α,β

hi ,ki),

Var(�2s,tW

α,β

hi ,ki) et E(�2

s,tWα,β

hi ,ki�2

s,tWα,β

hj ,kj) ne dépendent pas de s et de t , ∀hi, ki et

∀hj, kj .Ces trois résultats découlent directement de la définition sous forme intégrale

de �2s,tW

α,β

h,k .

�2s,tW

α,β

h,k =∫

R2

[fα(s + h, u)fβ(t + k, v) − fα(s, u)fβ(t + k, v) −

− fα(s + h, u)fβ(t, v) + fα(s, u)fβ(t, v)]

dBu,v

=∫

R2

[fα(s + h, u) − fα(s, u)

] [fβ(t + k, v) − fβ(t, v)

]dBu,v

=∫

R2

[(s + h − u)

α−1/2+ − (s − u)

α−1/2+

] ×× [

(t + k − v)β−1/2+ − (t − v)

β−1/2+

]dBu,v. ✷

On notera désormais �2Wα,β l’accroissement �2s,tW

α,β qui définit un processusindépendant de (s, t) et qui vérifie le corollaire suivant:

COROLLAIRE 3. Le processus “accroissement” �2Wα,β est un champ aléatoiregaussien centré de matrice de covariance 1

4CαCβ(|hi|2α + |hj |2α −2|hi − hj |2α)(|ki|2β + |kj |2β − 2|ki − kj |2β).Nous allons maintenant montrer que le champ Wα,β est statistiquement auto-simi-laire de la même façon que le champ brownien fractionnaire défini par T. Lind-strom [9].


PROPOSITION 4. Le processus Wα,β est statistiquement auto-similaire dans lesens où: si ∀h, k ∈ R

+∗ , le processus Wα,β défini par

Wα,βs,t = hαkβWα,β

(s

h,t

k

),

est de même loi que Wα,β .Preuve. Il est évident que Wα,β est un champ gaussien. Donc, pour montrer que

les deux champs aléatoires ont la même loi, il suffit de montrer qu’ils ont la mêmemoyenne et la même fonction de covariance. Pour obtenir ces résultats, il suffitd’appliquer les formules (2) et (4) au champ Wα,β . ✷

4. Continuité de Wα,β sur (R+)2 pour α, β ∈ ]0; 1[

Pour montrer la continuité des trajectoires, nous allons utiliser le lemme suivant[5]:

LEMME 1. Soit Xs,t , un processus à deux paramètres, nul sur les axes, tel qu’ilexiste p > 1, x, y ∈ ]1/p,∞[ vérifiant

‖Xs+h,t+k − Xs+h,t − Xs,t+k + Xs,t‖p � C|h|x|k|y.Alors, ce processus admet une modification X dont les trajectoires sont continues.De plus les trajectoires de X sont höldériennes d’exposant (x′, y′),∀x′ ∈ ]0, x − 1/p[, ∀y′ ∈ ]0, y − 1/p[ au sens suivant:

∀ω ∈ , ∃Cω > 0 telle que ∀s, s1, t, t1,

|Xs,t (ω)− Xs,t1(ω)− Xs1,t (ω) + Xs1,t1(ω)| � Cω|s − s1|x ′ |t − t1|y ′. (5)

PROPOSITION 5. Si α et β ∈ ]0, 1[, Wα,β admet une modification Wα,β dontles trajectoires sont continues sur (R

+)2. De plus, les trajectoires de Wα,β sont

höldériennes d’exposants (α′, β ′), ∀α′ ∈ ]0, α[, β ′ ∈ ]0, β[ au sens de (5).Preuve. Nous allons montrer que ∀r > 0, E(|�2W

α,β

h,k |r )1/r = Chαkβ . Or,d’après le corollaire 3, �2Wα,β suit une loi gaussienne N(0, CαCβh

2αk2β). Lesmoments des lois gaussiennes sont liés par la relation:

E(|X|r) = 2r/2((r+12 )

(( 12)

‖X‖r2. (6)

Donc,

E(|�2Wα,β

h,k |r )1/r =(

2r/2((r+12 )

(( 12 )

)1/r√CαCβh

αkβ = Cα,β,rhαkβ.


où Cα,β,r = √CαCβ(

2r/2(( r+12 )

(( 12 )

)1/r . En choisissant r > sup(1/α, 1/β), puisque

α, β ∈ ]0; 1[, on a montré la proposition. ✷

5. Régularité de W par rapport aux paramètres α et β

Dans beaucoup d’applications il est important d’estimer les paramètres α et βdu drap brownien fractionnaire et de simuler ce champ en vue de la validationd’estimateurs proposés. Il est donc utile d’étudier la régularité de W par rapportà α et β. Dans toute cette section K, L, a, b, c d seront des réels fixés vérifiantK,L > 0, 0 < a < b < 1 et 0 < c < d < 1. Notre objectif sera d’établir lethéorème suivant.

THÉORÈME 6. Soit Wα,β , le champ (1) et pour tout h∈ ]0, 1] soit Th le compactde R

6

Th = [0, L] × [0,K] × {(α, α′, β, β ′) ∈ [a, b]2 × [c, d]2/|α − α′| + |β − β ′| � h}.Posons

Ah = sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈Th

|Wα,βs,t − W

α′,β ′s,t |.

Alors, Ah converge presque sûrement et dans L1 vers 0 lorsque h tend vers 0. Plusprécisément, il existe une variable aléatoire C > 0 intégrable et un événement !

de probabilité 1 telle que ∀ω ∈ !, Ah(ω) � C(ω)h.

Pour établir le Théorème 6, il est commode d’utiliser la représentation harmonis-able du drap brownien fractionnaire. Cette représentation a été introduite dans [2].Nous allons commencer par la rappeler. L’intégrale stochastique

∫∫R2(·) dB(ξ, η),

sera définie par la relation∫∫R2f (ξ, η) dBξ,η =

∫∫R2f (x, y) dBx,y .

Ainsi, le champ gaussien W = {Wα,βs,t , (s, t, α, β) ∈ [0, L] × [0,K] × [a, b] ×

[c, d]} défini par

Wα,βs,t =

∫∫R2

(eisξ − 1

iξ |ξ |α−1/2

)(eitη − 1

iη|η|β−1/2

)dBξ,η,

est une modification du champ W = {Wα,βs,t , (s, t, α, β) ∈ [0, L]×[0,K]×[a, b]×

[c, d]} (défini en (1)) à une fonction déterministe multiplicative près c(α, β) declasse C∞. Les champs W et W sont donc identifiés (y compris dans l’énoncé duThéorème 6).


PROPOSITION 7. Le champ W admet une modification à trajectoires continuespar rapport à (s, t, α, β). Cette modification est identifiée avec ce champ lui même(y compris dans l’énoncé du Théorème 6).

Preuve. Nous allons utiliser le critère de Kolmogorov [7]. Pour cela, comme lesmoments des lois gaussiennes sont liées par la relation (6), il suffit de montrer qu’ilexiste γ,C > 0 tels que pour tout (s, t, α, β), (s′, t ′, α′, β ′) ∈ [0, L] × [0,K] ×[a, b] × [c, d] vérifiant ‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖ � 1, on a

E(|Wα,βs,t − W

α′,β ′s ′,t ′ |2) � C‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖γ .

Or le calcul de ce moment d’ordre 2 est:

E(|Wα,βs,t − W

α′,β ′s ′,t ′ |2)

=∫∫

R2

∣∣∣∣ eisξ − 1

iξ |ξ |α−1/2

eitη − 1

iη|η|β−1/2− eis

′ξ − 1

iξ |ξ |α′−1/2

eit′η − 1

iη|η|β ′−1/2

∣∣∣∣2

dξ dη

� 2∫∫

R2

∣∣∣∣ eisξ − 1

iξ |ξ |α−1/2− eis

′ξ − 1

iξ |ξ |α′−1/2

∣∣∣∣2∣∣∣∣ eitη − 1

iη|η|β−1/2

∣∣∣∣2

dξ dη+

+ 2∫∫

R2

∣∣∣∣ eis′ξ − 1

iξ |ξ |α′−1/2

∣∣∣∣2∣∣∣∣ eitη − 1

iη|η|β−1/2− eit

′η − 1

iη|η|β ′−1/2

∣∣∣∣2

dξ dη.

Les deux intégrales dans le membre de droite de l’inégalité précédente (qu’onnotera respectivement I1 et I2), se majorent de la même façon. Nous n’étudierons

donc que le premier terme I1 = ∫R

| eisξ−1iξ |ξ |α−1/2 − eis

′ξ−1iξ |ξ |α′−1/2 |2 dξ

∫R

|eitη−1|2|η|2β+1 dη.

Le deuxième facteur de I1 se majore de la façon suivante:

∫R

|eitη − 1|2|η|2β+1

dη � 2t2∫ 1

0

dη

η2β−1+ 8

∫ +∞

1

dη

η2β+1

� 2K2∫ 1

0

dη

η2d−1+ 8

∫ +∞

1

dη

η2c+1= C(K, c, d).

Quant au premier facteur de I1:

∫R

∣∣∣∣ eisξ − 1

iξ |ξ |α−1/2− eis

′ξ − 1

iξ |ξ |α′−1/2

∣∣∣∣2

dξ

� 2∫

R

|ei(s−s ′)ξ − 1|2|ξ |2α+1

dξ + 2∫

R

|eis ′ξ − 1|2∣∣∣∣ 1

|ξ |α+1/2− 1

|ξ |α′+1/2

∣∣∣∣2

dξ.

En posant x = (s − s′)ξ on trouve que

∫R

|ei(s−s ′)ξ − 1|2|ξ |2α+1

dξ = |s − s′|2α∫

R

|eix − 1|2|x|2α+1

dx � c(a, b)|s − s′|2α

� c(a, b)‖(s′, t ′, α′, β ′) − (s, t, α, β)‖2 min(a,c). (7)


En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction u �→ 1/|u|u+1/2

sur l’intervalle (α, α′), on obtient∫

R

|eis ′ξ − 1|2∣∣∣∣ 1

|ξ |α+1/2− 1

|ξ |α′+1/2

∣∣∣∣2

dξ

� 4|α′ − α|2(∫ −1

−∞(log |ξ |)2

|ξ |2a+1dξ +

∫ 1

−1

sin2(s ′ξ2 )(log |ξ |)2

|ξ |2b+1dξ +

+∫ +∞

1

(log |ξ |)2

|ξ |2a+1dξ

)

� C ′(a, b, L)‖(s′, t ′, α′, β ′) − (s, t, α, β)‖2,

où

C ′(a, b, L)

= 4

(∫ −1

−∞(log |ξ |)2

|ξ |2a+1dξ + L2

4

∫ 1

−1

(log |ξ |)2

|ξ |2b−1dξ +

∫ +∞

1

(log |ξ |)2

|ξ |2a+1dξ

).

De (6) et tout ceci, il résulte que pour tout r > 0, il existe C > 0 telle que pourtout (s, t, α, β) et (s′, t ′, α′, β ′) vérifiant ‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖ � 1 on a

E(|Wα,βs,t − W

α′,β ′s ′,t ′ |r ) � C‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖r min(a,c).

En choisissant r tel que r min(a, c) > 4, on peut appliquer le critère de Kol-mogorov et on obtient la proposition. ✷LEMME 2. Les champs gaussiens Y = {Y α,β

s,t , (s, t, α, β) ∈ [0, L] × [0,K] ×[a, b]×[c, d]} et Z = {Zα,β

s,t , (s, t, α, β) ∈ [0, L]×[0,K]×[a, b]×[c, d]} définispar

Yα,βs,t = −

∫R2

(eisξ − 1)(log |ξ |)iξ |ξ |α−1/2

× (eitη − 1)

iη|η|β−1/2dBξ,η, (8)

et

Zα,βs,t = −

∫R2

(eisξ − 1)

iξ |ξ |α−1/2× (eitη − 1)(log |η|)

iη|η|β−1/2dBξ,η, (9)

admettent des modifications à trajectoires continues par rapport à (s, t, α, β). Cesmodifications seront identifiées avec les champs Y et Z eux mêmes.

Preuve. Nous allons utiliser le critère de Kolmogorov tout comme dans la dé-monstration de la Proposition 7. Montrons qu’il existe γ,C > 0 tels que pour tout(s, t, α, β), (s′, t ′, α′, β ′) ∈ [0, L]×[0,K]×[a, b]×[c, d] vérifiant ‖(s, t, α, β)−(s′, t ′, α′, β ′)‖ � 1, on a

E(|Y α,βs,t − Y

α′,β ′s ′,t ′ |2) � C‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖γ .


En effet

E(|Y α,βs,t − Y

α′,β ′s ′,t ′ |2) � C{E(|Y α,β

s,t − Yα,β

s ′,t |2) + E(|Y α,β

s ′,t − Yα,β

s ′,t ′ |2) ++E(|Y α,β

s ′,t ′ − Yα′,βs ′,t ′ |2) + E(|Y α′,β

s ′,t ′ − Yα′,β ′s ′,t ′ |2)}. (10)

Pour ce calcul, on introduit les notations suivantes: posons Is = [2a, 2b] et It =[2c, 2d] et pour u ∈ {s, t} et x ∈ Iu, φu(x) = ∫

R

|eiuv−1|2|v|x+1 dv. L’intégrand est

dérivable de dérivée − log(|v|) |eiuv−1|2|v|x+1 qui est uniformément majorée en valeur

absolue lorsque x est dans un intervalle borné contenu dans ]0, 2[ par une fonctionintégrable. Le théorème de dérivation sous le signe somme permet alors de montrerque la fonction φu est dérivable.

REMARQUE 3. Si l’on itère de proche en proche le raisonnement ci-dessus, onobtient que φu est de classe C∞ sur Iu et plus précisément φ(k)

u (x)=(−1)k

∫R(log(|v|))k |eiuv−1|2

|v|x+1 dv.

Le premier terme de la majoration est

E(|Y α,βs,t − Y

α,β

s ′,t |2) =∫

R

|ei(s−s ′)ξ − 1|2(log |ξ |)2

|ξ |2α+1dξ ×

∫R

|eitη − 1|2|η|2β+1

dη

� 2|s − s′|2α(∫

R

|eiu − 1|2(log |u|)2

|u|2α+1du

)+

+ (log |s − s′|)2∫

R

|eiu − 1|2|u|2α+1

du) × C(K, c, d)

� C1|s − s′|2 min(a,c)(log |s − s′|)2

� C2‖(s, t, α, β) − (s′, t ′, α′, β ′)‖2 min(a,c)−ε,

où les constantes C1 et C2 ne dépendent que de a, b, c, d.Le second terme est

E(|Y α,β

s ′,t − Yα,β

s ′,t ′ |2)

=(∫

R

|eis ′ξ − 1|2(log |ξ |)2

|ξ |2α+1dξ

)(∫R

∣∣∣∣ eitη − 1

|η|β+1/2− eit

′η − 1

|η|β+1/2

∣∣∣∣2

dη

)

dont le premier facteur est φ′′s ′(2α) uniformément bornée sur tout compact de ]0, 2[;

par ailleurs, d’après (7), il existe c(c, d) > 0 telle que

∫R

∣∣∣∣ eitη − 1

|η|β+1/2− eit

′η − 1

|η|β+1/2

∣∣∣∣2

dη � c(c, d)|t − t ′|2 min(a,c).

Finalement, E(|Y α,β

s ′,t − Yα,β

s ′,t ′ |2) � C|t − t ′|2(min(a,c)−ε).


Ensuite, étudions

E(|Y α,β

s ′,t ′ − Yα′,βs ′,t ′ |2)

= φt ′(2β)∫

R

|eis ′ξ − 1|2(

1

|ξ |α+1/2− 1

|ξ |α′+1/2

)2

(log |ξ |)2 dξ.

Le premier facteur est borné sur tout compact de ]0, 2[ et dans le deuxième facteur,on reconnait φ′′

s ′(2α) − 2φ′′s ′(α + α′) + φ′′

s ′(2α′). Il existe donc α′′ entre α et α′ tel

que

φ′′s ′(2α) − 2φ′′

s ′(α + α′) + φ′′s ′(2α

′) = |α − α′|2φ(4)s ′ (2α

′′).

On obtient donc l’existence d’une constante C ′ (les dérivées des fonctions φ

sont bornées sur tout compact de ]0, 2[) telle que

E(|Y α,β

s ′,t − Yα′,βs ′,t |2) � C ′|α′ − α|2(min(a,c)−ε). (11)

Nous allons terminer par E(|Y α′,βs ′,t ′ −Y

α′,β ′s ′,t ′ |2) qui n’est autre que φ′′

s ′(2α′)[φt ′(2β)−

φt ′(2β ′)]. Il vient donc l’existence d’une constante C1 telle que

E(|Y α′,βs ′,t ′ − Y

α′,β ′s ′,t ′ |2) � C1|β ′ − β|.

On a donc montré qu’il existe D > 0 et µ = min(a, c, 1/2) − ε > 0 telles que

E(|Y α,βs,t − Y

α1,β1s1,t1

|2) � D‖(s, t, α, α′, β, β ′) − (s1, t1, α1, α′1, β1, β

′1)‖2µ. ✷

Le théorème suivant jouera un rôle fondamental par la suite.

THÉORÈME 8. Lorsque la fonction de covariance d’un champ gaussien, définisur P un pavé compact de Rn, est de classe C∞ (c’est à dire qu’elle admet entout point de P des dérivées partielles de tout ordre), alors ce champ admet unemodification dont les trajectoires sont de classe C∞.

Preuve. Ce théorème est un raffinement du critère de Kolmogorov. Il peut sedéduire aisément de résultats donnés dans [4] (pages 69 et sq.). En effet, il estdonné là que, si un champ gaussien continu X admet une fonction de covariance ρde classe C2, alors X est différentiable et sa différentielle Y admet pour fonctionde covariance D2

s,tρ(s, t). Une simple itération permet de conclure. ✷COROLLAIRE 9. Pour tout (s, t) ∈ [0, L] × [0,K], il existe un événement deprobabilité 1, ∗

s,t tel que ∀ ω ∈ ∗s,t la fonction (α, β) �→ W

α,βs,t (ω) est de classe

C∞ sur [a, b] × [c, d]. De plus, pour tout (α0, β0) ∈ [a, b] × [c, d]∂W

α0,β0s,t

∂α(ω) = Y

α0,β0s,t (ω) et

∂Wα0,β0s,t

∂β(ω) = Z

α0,β0s,t (ω), (12)

les champs Y et Z ayant été définis dans le Lemme 2.


Preuve. Etape 1. On montre que pour tout (s, t) ∈ [0, L] × [0,K], la fonctionde covariance du champ gaussien Ws,t = {Wα,β

s,t }α∈[a,b], β∈[c,d] est de classe C∞.Comme les trajectoires du champ W sont continues sur [0, L] × [0,K] × [a, b] ×[c, d] avec une probabilité égale à 1 (Proposition 7), a fortiori le champ Ws,t estcontinu pour tout (s, t) ∈ [0, L] × [0,K] et il résulte du Théorème 8 qu’il existeun événement de probabilité 1, s,t tel que pour tout ω ∈ s,t , (α, β) �→ W

α,βs,t (ω)

est une fonction de classe C∞ sur [a, b] × [c, d]. En effet, pour tout α, α′ ∈ [a, b]et β, β ′ ∈ [c, d]

cov(Wα,βs,t ,W

α′,β ′s,t ) = φs(α + α′)φt (β + β ′).

La Remarque 3 dit alors que la fonction de covariance (α, α′, β, β ′) �→cov(Wα,β

s,t ,Wα′,β ′s,t ) est de classe C∞ sur [a, b]2 × [c, d]2.

Etape 2. Fixons (s, t) ∈ [0, L]×[0,K] et soit (hn) une suite de réels strictementpositifs tendant vers 0. Si l’on montre que pour tout (α0, β0) ∈ [a, b] × [c, d],

limn→∞E

(∣∣∣∣Wα0+hn,β0s,t − W

α0,β0s,t

hn− Y

α0,β0s,t

∣∣∣∣2)

= 0, (13)

il existe un événement de probabilité 1, ∗s,t,α0,β0

⊂ s,t et une sous-suite k �→ nkvérifiant ∀ ω ∈ ∗

s,t,α0,β0:

∂Wα0,β0s,t

∂α(ω) = lim

k→∞W

α0+hnk ,β0s,t (ω)− W

α0,β0s,t (ω)

hnk= Y

α0,β0s,t (ω).

Or, la fonction (α, β) �→ ∂Wα,βs,t

∂α(ω) est continue, lorsque ω appartient à l’événement

s,t , d’après l’étape 1, et la fonction (α, β) �→ Yα,βs,t (ω) est continue d’après le

Lemme 2 pour tout ω. Ainsi, en posant ∗s,t = ⋂

α,β∈Q ∗s,t,α,β , on a pour tout

(α0, β0) ∈ [a, b] × [c, d] et ω ∈ ∗s,t ,

∂Wα0 ,β0s,t

∂α(ω) = Y

α0,β0s,t (ω).

On établit (13) en montrant que

limn→∞E

(∣∣∣∣Wα0+hn,β0s,t − W

α0,β0s,t

hn

∣∣∣∣2)

= E(|Y α0,β0s,t |2) (14)

et

limn→∞E

(W

α0+hn,β0s,t − W

α0,β0s,t

hn× Y

α0,β0s,t

)= E(|Y α0,β0

s,t |2), (15)

qui sont de simples conséquences des calculs suivants:

E

(∣∣∣∣Wα0+hn,β0s,t − W

α0,β0s,t

hn

∣∣∣∣2)

= 1

|hn|2(∫

R

|eisξ − 1|2|ξ |2α0+1

(1

|ξ |hn − 1

)2

dξ

)(∫R

|eitη − 1|2|η|2β0+1

dη

)

= φs(2α0 + 2hn) − 2φs(2α0 + hn) + φs(2α0)

h2n

× φt (2β0).


Ainsi

limn→∞E

(∣∣∣∣Wα0+hn,β0s,t − W

α0,β0s,t

hn

∣∣∣∣2)

= φ′′s (2α0)φt(2β0)

=∫∫

R2

|eisξ − 1|2(log |ξ |)2

|ξ |2α0+1× |eitη − 1|2

|η|2β0+1dξ dη

= E[|Y α0,β0s,t |2].

De même, l’espérance en (15) est φ′s (2α0+hn)−φ′

s (2α0)

hnφt (2β0) dont la limite est encore

φ′′s (2α0)φt (2β0), ce qui conclut la preuve. ✷

On est maintenant en mesure de montrer le Théorème 6:

Preuve. Pour tout s ∈ [0, L] et t ∈ [0,K], soit ∗s,t l’événement de probabilité

1 introduit dans le Corollaire 9. Posons S = [0, L] ∩ Q, T = [0,K] ∩ Q, ∗ =⋂(s,t)∈S×T

∗s,t et

T ∗h = S × T × {(α, α′, β, β ′) ∈ [a, b]2 × [c, d]2, |α − α′| + |β − β ′| � h}.

Clairement ∗ est un événement de probabilité 1 et T ∗h est dense dans Th.

Prenons ω ∈ ∗. Comme la fonction (s, t, α, α′, β, β ′) �→ |Wα,βs,t (ω) − W

α′,β ′s,t (ω)|

est continue sur Th on a

Ah(ω) = sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈T ∗

h

|Wα,βs,t (ω) − W

α′,β ′s,t (ω)|

� sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈T ∗

h

|Wα,βs,t (ω) − W

α′,βs,t (ω)| +

+ sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈T ∗

h

|Wα′,βs,t (ω)− W

α′,β ′s,t (ω)|.

Ensuite, en utilisant le Corollaire 9 et en posant

C1(ω) = sup{|Y α,βs,t (ω)|, (s, t, α, β) ∈ [0, L] × [0,K] × [a, b] × [c, d]}

et

C2(ω) = sup{|Zα,βs,t (ω)|, (s, t, α, β) ∈ [0, L] × [0,K] × [a, b] × [c, d]}

on obtient

sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈T ∗

h

|Wα,βs,t (ω)− W

α′,βs,t (ω)| � C1(ω)h,

et

sup(s,t,α,α′,β,β ′)∈T ∗

h

|Wα′,βs,t (ω) − W

α′,β ′s,t (ω)| � C2(ω)h.


Le Lemme 2 montre que ces deux suprema sont finis puisque (s, t, α, β) �→ Yα,βs,t (ω)

et (s, t, α, β) �→ Zα,βs,t (ω) sont des fonctions continues sur [0, L]×[0,K]×[a, b]×

[c, d]). Ceci montre la convergence presque sûre de Ah vers 0.Enfin, on déduit la convergence dans L1 du fait de l’intégrabilité des variables

aléatoires C1 et C2, conséquence du théorème de Borell [1]:

THÉORÈME DE BORELL. Soit k ∈ N∗, T compact de R

k et {(Xt)t∈T }, un processusgaussien centré, séparable dont les trajectoires sont bornées presque sûrement surT et tel que t �→ E(X2

t ) est continue. Soit ‖X‖T = supt∈T Xt et σ 2T = supt∈T E(X2

t ).Alors E(‖X‖T ) < ∞.

En effet, les champs Y et Z satisfont à toutes ces hypothèses sur le compact K =[0, L]×[0,K]×[a, b]×[c, d], d’après le Lemme 2 et la continuité des applicationssur K : (s, t, α, β) �→ E[(Y α,β

s,t (ω))2], E[(Zα,β

s,t (ω))2], égales respectivement à

φ′′s (2α)φt (2β) et φs(2α)φ′′

t (2β). ✷

References

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Acta Sci. Math. 60 (1995), 99–118.4. Cramer, H. and Leadbetter, M.R.: Stationary and Related Stochastic Processes, Wiley, New

York, 1967.5. Feyel, D. and De La Pradelle, A.: ‘Fractional integrals and Brownian processes’, Potential Anal.

10(3) (1999), 273–288.6. Kamont, A.: ‘On the fractionnal anisotropic Wiener field’, Probab. Math. Statist. 16(1) (1996),

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(1999), 893–898.9. Lindstrom, T.: ‘Fractional Brownian fields as integrals of white noise’, Bull. London Math. Soc.

25 (1993), 83–88.10. Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W.: ‘Fractional Brownian motion, fractional noises and

applications’, SIAM Rev. 10 (1968), 422–437.11. Walsh, J.B.: ‘An introduction to stochastic partial differential equations’, in Ecole d’été de

probabilités de Saint Flour 1984, Lecture Note 1180, Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. 265–437.

12. Wong, E. and Zakai, M.: ‘Martingales and stochastics integrals for processes with a multi-dimensional parameter’, Zeit. Wahrsch. 29 (1974), 109–122.

Documents

Drap brownien fractionnaire