Driss BOUTAT

D. Boutat1 ENSI de Bourges


1) La stabilité des systèmes linéaires classiques

2) La complexité de la stabilité des dynamiques mixtes

3) Les conditions suffisantes de la stabilité asymptotique indépendante des commutations.

4) Les conditions suffisantes dépendantes des commutations pour une classe de systèmes hybrides

5) Application aux observateurs hybrides


L’asymptotique stabilité des dynamique linéaires est complètement connue grâce à la connaissance du spectre de

Si les parties réelles des valeurs propres de sont strictement négative alors (l’unique singularité).

Pour toutes matrices définie positive il existe définie positive telles que :

Asymptotiquement

On dit que V ou P est une Lyapunov

4

042 qp

042 qp

042 qp

Centre stable

Spirale asymp stable

Spirale instable

Nœuds

Nœuds

Nœud impropre instable

Nœud impropre asymp stable

Point selle instable p= trace (M)

q=det (M)

Diagramme de stabilité en dimension 2


Que peut on dire de la stabilité des dynamiques mixtes?


Systèmes hybrides avec sauts


Les systèmes hybrides considérés ici sont :

Où est un ensemble de paramètres et est une loi de commutation constante par morceaux.

Pour une loi de commutation donnée on lui associe la dynamique hybride :

écriture


-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x2

Asymptotiquement Stables instable

commutations


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 1018

-5

0

5

10

15

20x 10

17

x1

x2

Simulation


-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Dépendance de la commutation :


-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Phénomène du barrage

Instables stable


-15 -10 -5 0 5 10 15-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

D’autres phénomènes


Définition d’une Lyapunov commune

La condition n’est pas suffisante. En effet,

Cependant

Remarque :

n’est pas compact

pour et

et non bornée


La commutativité : K.S. Narendra & J Balakrishman : 1994Théorème :

Si alors le système SH a une Lyapunov commune.

L’idée :

Donc uniformément asymptotiquement stable.

On suppose que sont les asymptotiquement stables.


Construction de la Lyapunov commune

On fixe et on calcule

On obtient

On montre que est une Lyapunov commune. En effet pour N=2 on a :


La commutativité n’est pas nécessaire. En effet, est une Lyapunov commune pour

Cependant,


Co-triangulaires dans « la solvabilité » : D. Liberzon J.P. Hespanha A.S. Morse . R.N. Shorten 1999.

L’idée

Lyapunov commune.


ThéorèmeS’il existe une matrice inversible complexe telle que

Alors une Lyapunov commune.

réelle


Résumé

HypothèseLes matrices sont Hurwitz : c’est-à-dire les parties réelles de leur spectres sont strictement négatives

i) La commutativité des deux à deux Asymptotiquement stable du SH

ii) La co-triangularisation complexe des

Asymptotiquement stable du SH

iii) La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les

Asymptotiquement stable du SH

Lie XVIII siècle


La solvabilité de l’algèbre de Lie engendrée par les .

Les sont triangulaires dans un même repère.

IL est difficile de trouver une tel repère!!!

?

Comment les choisir pour stabiliser et rendre l’algèbre solvable??

Compliquer!!!!!!


Le principe d’invariance de LaSalle.

« observable »

« observable »

est asymptotiquement attractive. En particulier si alors est asymptotiquement stable.


Théorème :

On considère .

Si alors le système hybride est globalement uniformément stable (GUS).

Et si en plus, sont observables et la commutation a un « comportement sympa » alors il est globalement uniformément asymptotiquement stable (GUAS)

Comportement sympa : il existe


Démonstration

est observable alors par LaSalle 0 est asymptotiquement attractive pour chaque p.

comme


un temps d’attardement une période de persistance


IL écrit comme suit :

Le reste de la démonstration est dû a J.P. Hespanha 2004

sympa et

F.M. Pait & A.S. Morse 1994

Squashing Lemma : « lemme de pression »


-1.25 -1.2 -1.15 -1.1 -1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85-0.5

0

0.5

1

1.5

0

Le temps d’attardement

0 1 2 3 4 5 6 7 80.5

1

1.5

2

2.5

non sympa


0 5 10 15 20

0

0.5

1

1.5

2

Time [s]

Ran

dom

sig

nal

Signal aléatoire en amplitude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Time [s]

Sw

itchi

ng s

igna

l

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 5 10 15 20 25

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Time [s]

Sw

itchi

ng s

igna

l

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Time[s]

Sw

itchi

ng s

igna

l

Un générateur de signaux de commutations


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Time [s]

Sw

itchi

ng s

igna

l

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

0 5 10 15 20 25

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Time [s]

Sw

itchi

ng s

igna

l


Corollaire :

1) Si les sont A stables alors les admettent une Lyapunov commune (on plus besoin de la condition sympa)

2) Si l’algèbre de Lie engendrée par est solvable alors sont A stable (on plus besoin de la condition sympa)

Exemple :

n’est pas solvable


Théorème :

observable

1) Si est stable sur alors il existe des gains qui stabilise

2) Si est asymptotiquement stable sur alors il existe des gains qui rendent asymptotiquement stable


Justification :

sur Ok par le premier théorème.


Exemple :

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 1018

-5

0

5

10

15

20x 10

17

x1

x2

sur

sur

33


Application à un bio-système : Kwang-Hyun Cho et all

(Journal of biosystems )


0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

10

15

20

25

30

35e1e2e3

05

1015

2025

30

0

5

10

15

20-2

0

2

4

6

8

10

e1e2

e3


Dans le reste du support je donne en vrac quelques éléments sur les signaux de commutation avec des traductions de la terminologie utilisée par les chercheurs américains.

J’ai sélectionné deux théorèmes que je considère important pour la théorie de la stabilité des systèmes hybrides. Cependant il en existe d’autres!!!.

Pour tout commentaire je vous serais reconnaissant de me contacter soit :

au : 02 48 48 40 77(*) ou par email [email protected]

(*) coût d’appel par seconde


Les signaux de commutations

Nonchattering « non oscillant » : les signaux pour lesquels on a :

Dwell time « le temps d’attardement » : un signal a un temps d’attardement si le temps d’évolution de chaque sous système est au moins . On note leurs ensemble par :

Dans ce cas si on a :

le nombre de discontinuités (de passages d’un sous système à l’autre) dans l’intervalle


Le temps d’attardement moyen

La borne d’oscillation

La période de persistance entre les intervalles de longueur et sur lesquels est constante


Un signal de type : satisfait l’hypothèse pour

En effet, s’il existe et tels que pour tout

Donc

Impossible pour :


Démonstration :


Ici je donne deux résultats importants de la théorie de stabilité des systèmes hybrides : le premier est fait pour le cas linéaire avec un Lyapunov commune et le second fait pour les systèmes non linéaire (a fortiori linéaire) et qui utilise la notion de Lyaponuv multiple et le principe d’invariance de LaSalle.

Théorème 1 : (A.A. Agrachev & D. Liberzon 2001)1) Si compacte alors le système hybride admet une Lyapunov commune.

2) Si n’est pas compacte alors il existe une famille qui engendre et qui n’admet pas de Lyapunov commune comme il existe une autre qui admet une LC.

On considère l’algèbre de Lie engendrée par les et :

On considère sa décomposition de Levi

L’idéal maximal solvable


Théorème 2 : Hespanha, Liberzon & Angeli 2005

Pour deux commutation avec on a :

1) 2)

3)

4) alors le système est globalement asymptotiquement stable

Commentaires i) Les points (1) et (2) du théorème c’est la définition de Lyapunov multiples.

ii) Le point (3) système est borné par la sortie (fictive)

iii) Le point (4) c’est la persistance du temps d’attardement : on l’impose si le système admet une infinité de commutation.

où

Si les conditions suivantes sont satisfaites :

tels que :


Lemme de Barbalat

Si considère une fonction réelle uniformément continue et telle que

alors

Démonstration :

Supposons que ce n’est pas le cas, donc tels que :

Par continuité uniforme pour ce même

Donc …….


sur

Cependant Car n’est pas uniformément continue

Pour assurer la continuité uniforme, on assume que et sont bornées et ceci grâce au théorème des accroissement fini (mais ça demande un peu de régularité sur ).

Ce n’est pas cette version du lemme de Barbalat qui est utilisée pour montrer que la sortie « fictive »

On voit déjà que la sortie n’est pas continue. Elle l’est par morceaux. Elle est bornée ainsi que sa dérivée si l’est et est compact.


Hypothèse :

S’il le nombre de commutation est infini alors il existe tel que pour tout on peut trouver tel que :

Voici la version du lemme de Barbalat utilisée pour les systèmes hybrides.

Lemme : Barbalat Hybride


Sinon il existe une famille infinie tels que :

si

sinon

….

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