Dérivation - Chapitre 5

DérivationChapitre 5

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal

11 novembre 2009

M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 1 / 119

Plan

1 Fonctions différentiables ou dérivables

2 Opérations sur les fonctions dérivables

3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat

4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy

5 Règle de l’Hôpital

6 Formule de Taylor

7 Extrema d’une fonction

8 Méthode de Newton

9 Références


DérivéesLe calcul différentiel et la notion de dérivée

Le calcul différentiel a été créé au XVIIe siècle.La première idée du calcul différentiel et de la règle pour le calcul des extrema 1

remontent à Pierre Fermat 2 (1637).La notion de dérivée a vu le jour dans les écrits de Leibniz 3 (1684 4) et de Newton 5

(1691) qui la nomme fluxion et qui la définit comme « le quotient ultime de deuxaccroissements évanescents ».

La condition obtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est doncen même temps généralisée par Leibniz sous la forme f ′(x) = 0 en 1684.

Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration du Théorème de Rolle 6

qui mène et à la règle de L’Hôpital en 1696 7.

1. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.2. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.3. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.4. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.

5. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.6. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).7. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 3 / 119

DérivéesGottfried Wilhelm von Leibniz

F IGURE: Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme deloi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.

ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu’en 1676 et yrencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il seconsacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadraturearithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Ilconçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d’effectuer les quatre opérations, etqui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar,Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’IsaacNewton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel en 1684 (Novamethodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas necirrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus).

◮ Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662).M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 4 / 119

DérivéesSir Isaac Newton

F IGURE: Sir Isaac Newton (1643-1727)

Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figureemblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sa théorie de la gravitationuniverselle et, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, du calculinfinitésimal en 1691 (Leibniz, 1684). Il nomme fluxion ce qui deviendra la notion dedérivée et la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Il est aussi connu pour la généralisation du théorème du binôme et l’invention dite dela méthode de Newton permettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine)d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.


DérivéesFonctions différentiables ou dérivables

La notion intuitive de dérivée est celle de droite tangente à une courbe régulière enun point donné. Comme il faut approcher ce point, elle n’a de sens qu’en un pointd’accumulation du domaine de définition de la fonction et fait appel à la notion de limitedu chapitre précédent.

Définition (Notion classique)

Soient f : D → R une fonction et x0 ∈ int D un point intérieur. La fonction f est dérivableau point x0 si la limite du quotient différentiel

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0existe.

On l’appelle dérivée et on la notera par

f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

Lorsque x0 ∈ int D, il existe un voisinage V (x0, ε) de x0 contenu dans D et la dérivéene dépend que du point x0 et de f , mais pas du domaine D. Si D = [a, b], on parle dedérivée aux points de (a, b) en excluant les bords a et b qui ne peuvent être approchésqu’en venant de la droite ou de la gauche.



Définition (Notion classique)

Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ int D un point intérieur. La fonction f est dérivableau point x0 si la limite du quotient différentiel

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

Exemple

La fonction x 7→ x : R → R est différentiable et f ′(x) = 1. La fonctionx 7→ 1/x : R \{0} → R est différentiable et f ′(x) = −1/x2.La fonction x 7→ |x | : R → Rest différentiable sauf en 0 et f ′(x) = −1, si x < 0 et +1 si x > 0. En effet, les suites{1/n} et {−1/n} tendent toutes deux vers 0, mais les quotients différentiels(1/n − 0)/(1/n − 0) = 1 et (−1/n − 0)/(1/n − 0) = −1 ne convergent pas vers lamême limite.



Bien que ce ne soit pas une notion vraiment naturelle pour le calcul différentiel,Labelle et Mercier introduisent une généralisation de la notion de dérivées des pointsintérieurs aux points d’accumulation.

Il faut se souvenir que int D ⊂ D′

∀x0 ∈ int D, ∃δ0 > 0 tel que V (x0, δ0) ⊂ D

∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ D ⊃ V ′(x0, min{δ, δ0}) 6= ∅.

Comme D ⊂ D = int D ∪ ∂D, en généralisant à des points de D ∩ D′, on incluera despoints frontières, c’est-à-dire les points de D ∩ ∂D.

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation. La fonction f estdérivable au point x0 si la limite

limx→x0

x∈D

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).





limx→x0

x∈D

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

Lorsque x0 n’est pas un point intérieur, alors c’est un point frontière. Pour l’exempleD = [a, b], les dérivées en ∂D = {a, b} correspondront à ce que l’on appelle plutôt ladérivée à droite f ′(a+) et la dérivée à gauche f ′(b−) :

f ′(a+) = limx→a+

f (x) − f (a)

x − a

f ′(b−) = limx→b−

f (x) − f (b)

x − b.

Ici, le domaine D = [a, b] ne permet d’approcher a ou b que d’un côté.





limx→x0

x∈D

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

Cette définition peut aussi être utilisée pour des fonctions définies sur des domainesdu type D = {1/n : ∀n ∈ N} ∪ {0}, où 0 est le seul point d’accumulation et toutes lessuites qui convergent vers 0 sont des sous-suites de {1/n}. Par exemple,x 7→ x2 : D → R, dont la dérivée en 0 est

f ′(0) = limn→∞

(1/n)2 − 02

1/n − 0= lim

n→∞1/n = 0.





limx→x0

x∈D

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas dela continuité.Théorème

• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.

f est dérivable au point x0

⇐⇒

∃L ∈ R, ∀{xn} ⊂ D tel que xn 6= x0 et xn → x0, limn→∞

f (xn) − f (x0)

xn − x0= L.





limx→x0

x∈D

f (x) − f (x0)

x − x0existe.


f ′(x0),ddx

f (x)

˛

˛

˛

˛

x=x0

oudfdx

(x0).

En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas dela continuité.

Théorème

• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.◮ f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0.



Théorème

• Soit f : D → R une fonction et x0 ∈ D ∩ D′ un point d’accumulation.◮ f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0.

Démonstration.

Pour tout x ∈ D, x 6= x0,

f (x) − f (x0) =f (x) − f (x0)

x − x0(x − x0)

=

»

f (x) − f (x0)

x − x0− f ′(x0)

–

(x − x0) + f ′(x0) (x − x0)

⇒ |f (x) − f (x0)| ≤„

˛

˛

˛

˛

f (x) − f (x0)

x − x0− f ′(x0)

˛

˛

˛

˛

+ |f ′(x0)|«

|x − x0|.

Pour tout ε > 0, il existe δ, 0 < δ ≤ ε/(ε + |f ′(x0)|), tel que

∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < δ,

»

f (x) − f (x0)

x − x0− f ′(x0)

–

< ε

⇒ |f (x) − f (x0)| <`

ε + |f ′(x0)|´

δ< ε

et f est continue en x0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 13 / 119

Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables

On retrouve les 4 opérations de base.

Théorème

• Soit f , g : D → R deux fonctions dérivables en un point d’accumulation x0 ∈ D ∩ D′.

(i) f + g est dérivable en x0 et (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

(ii) f g est dérivable en x0 et (f g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f (x0) g′(x0).

(iii) Si, pour tout x ∈ D, g(x) 6= 0, f/g est dérivable en x0 et„

fg

«′

(x0) =f ′(x0) g(x0) − f (x0) g′(x0)

g(x0)2

Théorème

• f : Df → R et g : Dg → R tel que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).

◮ La composition g ◦ f de f et g, (g ◦ f )(x)déf= g(f (x)) : Df → R est dérivable en x0 et

(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).



Théorème


(i) f + g est dérivable en x0 et (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).


(iii) Si, pour tout x ∈ D, g(x) 6= 0, f/g est dérivable en x0 et„

fg

«′

(x0) =f ′(x0) g(x0) − f (x0) g′(x0)

g(x0)2

Démonstration.

On passe par les suites. (i) est évident. On démontre (ii) et on laisse (iii) commeexercice.



Théorème



Démonstration.

(ii) On passe par les suites : f est dérivable au point x0 si et seulement si

∃L ∈ R, ∀{xn} ⊂ D tel que xn 6= x0 et xn → x0, limn→∞

f (xn) − f (x0)

xn − x0= L.

On a le quotient différentiel

(f g)(xn) − (f g)(x0)

xn − x0=

f (xn) g(xn) − f (x0) g(x0)

xn − x0

= f (xn)g(xn) − g(x0)

xn − x0+ g(x0)

f (xn) − f (x0)

xn − x0

Par dérivabilité, les quotients différentiels convergent vers f ′(x0) et g′(x0) et, parcontinuité, f (xn) → f (x0).



Exemple

On a vu que pour f (x) = x , f ′(x) = 1. Par application directe de la partie (ii) duthéorème

x2 = f (x) f (x), ⇒ ddx

x2 = f ′(x) f (x) + f (x) f ′(x) = 2x .

Par induction, on suppose que

ddx

xn = nxn−1

d’où

xn+1 = x xn ⇒ ddx

xn+1 = 1 xn + xddx

xn = xn + x nxn−1 = (n + 1)xn.

◮ Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivéed’un polynôme d’ordre n

p(x)déf= anxn + · · · + a1x + a0, p′(x) = n anxn−1 + · · · + a1.

◮ On peut, bien sûr, continuer à dériver...



Exemple

On a vu que pour f (x) = x , f ′(x) = 1. Par application directe de la partie (ii) duthéorème

x2 = f (x) f (x), ⇒ ddx

x2 = f ′(x) f (x) + f (x) f ′(x) = 2x .

Par induction, on suppose que

ddx

xn = nxn−1

d’où

xn+1 = x xn ⇒ ddx

xn+1 = 1 xn + xddx

xn = xn + x nxn−1 = (n + 1)xn.

◮ Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivéed’un polynôme d’ordre n

p(x)déf= anxn + · · · + a1x + a0, p′(x) = n anxn−1 + · · · + a1.




Exemple (polynômes)

Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’unpolynôme d’ordre n

p(x)déf= an xn + · · · + a1 x + a0, p′(x) = n an xn−1 + · · · + a1.


p(2)(x)déf=

ddx

„

ddx

p(x)

«

et p(k+1)(x)déf=

ddx

„

dk

dxkp(x)

«

.

On obtient ainsi en adoptant la convention 0! = 1

p(k)(x) =n!

(n − k)!anxn−k +

(n − 1)!

(n − k − 1)!an−1xn−k−1 + · · · + k !

0!ak ,

⇒ p(k)(0) =k !

0!ak= k ! ak ⇒ p(x) =

nX

k=0

1k !

p(k)(0) xk ,

en posant par convention p(0)(x) = p(x).



Exemple (polynômes)

Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’unpolynôme d’ordre n

p(x)déf= an xn + · · · + a1 x + a0, p′(x) = n an xn−1 + · · · + a1.


p(2)(x)déf=

ddx

„

ddx

p(x)

«

et p(k+1)(x)déf=

ddx

„

dk

dxkp(x)

«

.

On obtient ainsi en adoptant la convention 0! = 1

p(k)(x) =n!

(n − k)!anxn−k +

(n − 1)!

(n − k − 1)!an−1xn−k−1 + · · · + k !

0!ak ,

⇒ p(k)(0) =k !

0!ak= k ! ak ⇒ p(x) =

nX

k=0

1k !

p(k)(0) xk ,

en posant par convention p(0)(x) = p(x).


DérivéesParamétrisation des polynômes

La formule

p(x) =nX

k=0

1k !

p(k)(0) xk

est une paramétrisation des polynômes d’ordre k en terme de p et de ses dérivées en0. Cependant, il y en a d’autres. Par exemple, les polynômes d’ordre un peuvents’écrire en terme de leurs valeurs aux points 0 et 1

p(x) = p(0)(1 − x) + p(1) x ,

où (1 − x) et x sont les polynômes de base en 0 et 1. De façon générale, un polynômed’ordre k peut être paramétrisé à l’aide de ses valeurs en k + 1 points distincts.



Théorème

• f : Df → R et g : Dg → R telles que f (Df ) ⊂ Dg .• f dérivable en x0 et g dérivable en f (x0).


(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).

Démonstration.

Soit une suite {xn} ⊂ D, xn 6= x0, qui converge vers x0. On a le quotient

(g ◦ f )(xn) − (g ◦ f )(x0)

xn − x0=

g(f (xn)) − g(f (x0))

xn − x0

Si f (xn) 6= f (x0), → =

„

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)

«„

f (xn) − f (x0)

xn − x0

«

Si f (xn) = f (x0), → = 0 = g′(f (x0))

„

f (xn) − f (x0)

xn − x0

«

Par dérivabilité, le quotient différentiel de f tend vers f ′(x0) et la suite {f (xn)} tendvers f (x0) . Il reste l’autre terme qui doit tendre vers g′(f (x0)).



Démonstration (suite).

On voudrait donc que la suite suivante tende vers g′(f (x0))

sndéf=

8

<

:

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0), si f (xn) 6= f (x0) et xn 6= x0

g′(f (x0)), si f (xn) = f (x0) et xn 6= x0

9

=

;

.

Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, comme g′(f (x0)) existe,

∀{yn} ⊂ Dg, yn 6= f (x0), yn → f (x0), limn→∞

g(yn) − g(f (x0))

yn − f (x0)= g′(f (x0))

et nécessairement, pour la suite convergente {f (xn) : n ∈ I+}, puisque n ∈ I+,f (xn) 6= f (x0) et f (xn) → f (x0) par continuité de f . Donc, on a

limn→∞, n∈I+

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))

⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,

˛

˛

˛

˛

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))

˛

˛

˛

˛

< ε.





sndéf=

8

<

:

g(f (xn)) − g(f (x0))



9

=

;

.

Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, comme g′(f (x0)) existe,

∀{yn} ⊂ Dg, yn 6= f (x0), yn → f (x0), limn→∞

g(yn) − g(f (x0))

yn − f (x0)= g′(f (x0))

et nécessairement, pour la suite convergente {f (xn) : n ∈ I+}, puisque n ∈ I+,f (xn) 6= f (x0) et f (xn) → f (x0) par continuité de f . Donc, on a

limn→∞, n∈I+

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))

⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,

˛

˛

˛

˛

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))

˛

˛

˛

˛

< ε.





sndéf=

8

<

:

g(f (xn)) − g(f (x0))



9

=

;

.

Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, on a vu que

limn→∞, n∈I+

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))

⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,

˛

˛

˛

˛

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))

˛

˛

˛

˛

< ε.

◮ Mais pour les n /∈ I+, sn = g′(f (x0)). On a finalement

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N,˛

˛sn − g′(f (x0))˛

˛ < ε

et la limite de la suite {sn} est bien g′(f (x0)).





sndéf=

8

<

:

g(f (xn)) − g(f (x0))



9

=

;

.

Soit I+ = {n ∈ N : f (xn) 6= f (x0)}. Il y a deux cas : ou bien I+ est fini et la suite estconstante et égale à g′(f (x0)) à partir d’un certain rang ; ou bien I+ est infini. Dans cedernier cas, on a vu que

limn→∞, n∈I+

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)= g′(f (x0))

⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N et n ∈ I+,

˛

˛

˛

˛

g(f (xn)) − g(f (x0))

f (xn) − f (x0)− g′(f (x0))

˛

˛

˛

˛

< ε.

◮ Mais pour les n /∈ I+, sn = g′(f (x0)). On a finalement

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N,˛

˛sn − g′(f (x0))˛

˛ < ε

et la limite de la suite {sn} est bien g′(f (x0)).



Théorème



(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).

Remarque

(g ◦ f )′(x0) peut exister sans que les hypothèses du théorème soient vérifiées.On prend f (y) = |y | pour laquelle f ′(0) n’existe pas et g(x) = x4 ce qui donnef (g(x)) = |x4| = x4 pour laquelle (g ◦ f )′(0) = 0.


DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : exemples

Exemple

Soit la fonction

f (x)déf=

(

x cos(1/x), si x 6= 0

0, si x = 0.

Aux points x0 6= 0, les opérations sur les fonctions dérivables donnent

f ′(x) = cos„

1x

«

+1x

sin„

1x

«

.

Au point x0 = 0, on revient à la définition de la dérivée : pour x 6= 0

f (x) − f (0)

x − 0= cos(1/x)

qui n’a pas de limite lorsque x → 0.



Exemple

Soit la fonction

f (x)déf=

(

x cos(1/x), si x 6= 0

0, si x = 0.


f ′(x) = cos„

1x

«

+1x

sin„

1x

«

.


f (x) − f (0)

x − 0= cos(1/x)




Exemple

Soit la fonction

f (x)déf=

(

x cos(1/x), si x 6= 0

0, si x = 0.


f ′(x) = cos„

1x

«

+1x

sin„

1x

«

.


f (x) − f (0)

x − 0= cos(1/x)




Exemple

La fonction log(x) pour x > 0 est dérivable et

ddx

log(x) =1x

.

La fonction log(−x) pour x < 0 est dérivable et

ddx

log(−x) =1−x

(−1) =1x

.

On a donc pour x 6= 0

ddx

log |x | =1x

.

Si f est dérivable et non-nulle, il vient par la dérivée de la composition

ddx

log |f (x)| =f ′(x)

f (x), f (x) 6= 0.



Exemple

On a donc pour x 6= 0

ddx

log |x | =1x

.

Si f est dérivable et non-nulle, il vient

ddx

log |f (x)| =f ′(x)

f (x), f (x) 6= 0.

ddx

log |f (x)| =f ′(x)

f (x), f (x) 6= 0.

◮ On applique ce résultat à la dérivée de f (x) = xa, a ∈ R et x > 0. On a

log f (x) = log xa = a log x ⇒ f ′(x)

f (x)=

ax

⇒ f ′(x) =ax

xa = a xa−1.


DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque

Théorème



(g ◦ f )′(x0) = g′(f (x0)) f ′(x0).

Corollaire

• f : Df → R une fonction bijective.• f dérivable en x0.◮ Si f ′(x0) 6= 0, la fonction réciproque f−1 est dérivable en f (x0) et

(f−1)′(f (x0)) =1

f ′(x0)ou (f−1)′(y0) =

1f ′(f−1(y0))

.

Démonstration.

On applique le théorème avec g = f−1 en notant que (f−1 ◦ f )(x) = x ce qui donne1 = (f−1)′(f (x0)) f ′(x0).


DérivéesOpérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque

Corollaire

• f : Df → R une fonction bijective.• f dérivable en x0.◮ Si f ′(x0) 6= 0, la fonction réciproque f−1 est dérivable en f (x0) et

(f−1)′(f (x0)) =1

f ′(x0)ou (f−1)′(y) =

1f ′(f−1(y))

.

Exemple

On a vu que f (x) = xn, n ∈ N, est bijective de [0,∞) à [0,∞) et f−1(y) = n√

y . Commef ′(x) = n xn−1, il vient

(f−1)′(f (x0)) =1

n xn−10

ouddy

n√

y =1

n ( n√

y)n−1=

1n

y1n −1.


DérivéesFormule de Leibniz

Théorème

• f , g : D → R sont n-fois dérivables en un point d’accumulation x ∈ D ∩ D′.

◮dn

dxn(f (x) g(x)) =

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x)g(n−k)(x).

en posant f (0)(x) = f (x) et g(0)(x) = g(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultatest vrai pour n = 1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n + 1 :

dn+1

dxn+1(f (x) g(x)) =

ddx

„

dn

dxn(f (x) g(x))

«

=ddx

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n−k)(x)

!

=nX

k=0

„

nk

«

f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)



Théorème


◮dn

dxn(f (x) g(x)) =

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x)g(n−k)(x).


Démonstration.


dn+1

dxn+1(f (x) g(x)) =

ddx

„

dn

dxn(f (x) g(x))

«

=ddx

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n−k)(x)

!

=nX

k=0

„

nk

«

f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)



Théorème


◮dn

dxn(f (x) g(x)) =

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x)g(n−k)(x).


Démonstration.


dn+1

dxn+1(f (x) g(x)) =

ddx

„

dn

dxn(f (x) g(x))

«

=ddx

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n−k)(x)

!

=nX

k=0

„

nk

«

f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)



Théorème


◮dn

dxn(f (x) g(x)) =

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x)g(n−k)(x).


Démonstration.


dn+1

dxn+1(f (x) g(x)) =

ddx

„

dn

dxn(f (x) g(x))

«

=ddx

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n−k)(x)

!

=nX

k=0

„

nk

«

f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)



Théorème


◮dn

dxn(f (x) g(x)) =

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x)g(n−k)(x).


Démonstration.


dn+1

dxn+1(f (x) g(x)) =

ddx

„

dn

dxn(f (x) g(x))

«

=ddx

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n−k)(x)

!

=nX

k=0

„

nk

«

f (k+1)(x) g(n−k)(x) +nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)



Démonstration.

dn+1

dxn+1(f (x) g(x))

=

n+1X

k=1

„

nk − 1

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x) +

nX

k=0

„

nk

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

=

nX

k=1

»„

nk − 1

«

+

„

nk

«–

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

+

„

nn

«

f (n+1)(x) g(0)(x) +

„

n0

«

f (0)(x) g(n+1)(x)

=

nX

k=1

»„

nk − 1

«

+

„

nk

«–

f (k)(x) g(n+1−k)(x)

+

„

n + 1n + 1

«

f (n+1)(x) g(0)(x) +

„

n + 10

«

f (0)(x) g(n+1)(x)

=n+1X

k=0

„

n + 1k

«

f (k)(x) g(n+1−k)(x).



Exemple

Soit la fonction f (x) = x ex . On sait que

dk

dxkx =

(

1, k = 1

0. k > 1

)

dk

dxkex = ex .

dn

dxnx ex =

1X

k=0

„

nk

«

dk xdxk

ex = x ex|{z}

k=0

+ n 1 ex| {z }

k=1

.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesExtrema d’une fonction et règle de Fermat

Définition

• f : Df → R et x0 ∈ Df .

(i) f possède un minimum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que

∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≥ f (x0).

(ii) f possède un maximum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que

∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≤ f (x0).

(iii) On appelle extremum local de f en x0 un minimum local ou un maximum local de fen x0 .

Théorème (Règle de Fermat)

• f : [a, b] → R ;• x0 ∈ (a, b) un extremum local de f en x0 ;• f dérivable en x0.Alors f ′(x0) = 0.


DérivéesPierre de Fermat (1601-1665)

F IGURE: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)

La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema 8

remontent à Pierre de Fermat dont les découvertes en théorie des nombres ont éclipséses contributions aux autres domaines des mathématiques.

On doit le concept de dérivée à Leibniz (1684 9) et à Newton (1691). La conditionobtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est généralisée parLeibniz sous la forme f ′(x) = 0. Pendant trois siècles, la règle de Fermat seraappliquée, justifiée, adaptée, et généralisée dans le contexte de la théorie del’optimisation, du calcul des variations, et de la théorie du contrôle optimal. Il fautsignaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè), Lagrange et Jacobi (XIXè), et dePoincaré et Hilbert (début du XXè).

8. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.9. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.



minimum local : f ′(x0) = 0

maximum local : f ′(x0) = 0

maximum global : f ′(b−) ≤ 0sup f ([a, b])

minimum global : f ′(a+) ≥ 0inf f ([a, b])

a b

Exemple d’extrema locaux et globaux





Il suffit de démontrer le résultat pour un minimum car un maximum de f est unminimum de −f .

Démonstration.

Par définition d’un minimum local, il existe V (x0, δ), 0 < δ ≤ min{x0 − a, b − x0} tel que

∀x ∈ V (x0, δ) = V (x0, δ) ∩ [a, b], f (x) ≥ f (x0).

En particulier,

∀x , x0 − δ < x < x0, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)

x − x0≤ 0 ⇒ f ′(x0) ≤ 0,

∀x , x0 < x < x0 + δ, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0 ⇒ f ′(x0) ≥ 0,

puisque f ′(x0) existe. D’où f ′(x0) = 0.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesMichel Rolle (1652-1719)

F IGURE: Michel Rolle né à Ambert le 21 avril 1652 et mort à Paris le 8 novembre 1719

Michel Rolle est un mathématicien français principalement connu pour avoir établi etpublié en 1691, dans le cas particulier des polynômes réels à une variable, unepremière version du théorème qui porte maintenant son nom. En 1689, il écrit unarticle en algèbre, qui contient le théorème sur la position des zéros d’une équation.En 1675, il se relocalise à Paris où il travaille en tant que spécialiste de l’arithmétique.Rolle œuvra surtout dans l’analyse, l’algèbre, et la géométrie Diophantine. En 1685, ilest élu à l’Académie Royale des Sciences.

Rolle gagna aussi quelque notoriété en résolvant un problème posé par JacquesOzanam en 1682. Impressionné par la réalisation de Rolle, Jean-Baptiste Colbert,contrôleur général des finances sous le roi Louis XIV de France, lui fit verser unepension pour le recompenser de son travail consciencieux.

Il adopta aussi, pour désigner la racine n-ième d’un réel x , la notation normalisée :n√

x .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 39 / 119

DérivéesMichel Rolle (1652-1719)


DérivéesThéorème de Rolle (1652-1719)

Théorème (de Rolle)

• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.

◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Démonstration.

Si f est constante sur [a, b], f ′(x) = 0 pour tout x ∈ (a, b). Si f n’est pas constante,alors l’image de [a, b] par la fonction continue f est

f ([a, b]) = [m, M], m déf= inf f ([a, b]) et M déf

= sup f ([a, b])

avec m < M. Dans ce cas, ou bien m < f (a) ou f (a) < M.Supposons f (a) < M. D’après le Théorème 4.28 du Chapitre 4 (puisque f (a) = f (b)),

∃c ∈ (a, b) tel que f (c) = sup f ([a, b]) = M (appliquer la règle de Fermat)

∀c < x < b,f (x) − f (c)

x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0

∀a < x < c,f (x) − f (c)

x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.





◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Démonstration.



= sup f ([a, b])



∀c < x < b,f (x) − f (c)

x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0

∀a < x < c,f (x) − f (c)

x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.





◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Démonstration.



= sup f ([a, b])



∀c < x < b,f (x) − f (c)

x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0

∀a < x < c,f (x) − f (c)

x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.





◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Démonstration.



= sup f ([a, b])



∀c < x < b,f (x) − f (c)

x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0

∀a < x < c,f (x) − f (c)

x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.





◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Démonstration.



= sup f ([a, b])



∀c < x < b,f (x) − f (c)

x − c≤ 0 ⇒ f ′(c) ≤ 0

∀a < x < c,f (x) − f (c)

x − c≥ 0 ⇒ f ′(c) ≥ 0.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.



Exemple

Soit la fonction f (x)déf= 2x4 − 3x2 + k . Montrer ∄k ∈ R pour lequel ∃ z1 et z2,

0 < z1 < z2 <√

3/2, tel que f (z1) = 0 = f (z2).Supposons le contraire, alors il existe x ∈ (0,

√3/2) tel que f ′(x) = 0, mais ceci est

impossible car

f ′(x) = 8x3 − 6x = 2x (4x2 − 3)) = 0 ⇒ x = 0 ou x = ±√

3/2

et f ′(x) n’a pas de racines dans (0,√

3/2).

-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

F IGURE: f (x) = 2x4 − 3x2 + 0.5M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 42 / 119


Exemple

Il existe une et une seule racine dans l’intervalle (1, 2) à l’équation

f (x)déf= x5 + 3x4 − 3x − 7 = 0.

Il y a existence dans (1, 2) par le théorème des valeurs intermédiaires, car f estcontinue, f (1) = −6 et f (2) = 67. S’il n’y avait pas unicité, on aurait f ′(x) = 0 pour unpoint x ∈ (1, 2), mais ceci est impossible carf ′(x) = 5x4 + 12x3 − 3 ≥ 5 + 12 − 3 = 14 > 0 pour x ≥ 1.

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

1 2

F IGURE: f (x) = x5 + 3x4 − 3x − 7M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 43 / 119


Corollaire (localisation des zéros d’une fonction dérivable)

• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe• ∃a < x1 < x2 < b consécutifs tels que f ′(x1) = 0 = f ′(x2).

=⇒ ∃ au plus un c ∈ (x1, x2) tel que f (c) = 0.

f (x)

x1 x2

f (x)

x1 x2

F IGURE: au plus un zéro entre (x1, x2), f ′(x1) = 0 = f ′(x2)





◮ ∃c ∈ (a, b) tel que f ′(c) = 0.

Corollaire (localisation des zéros d’une fonction dérivable)

• f : [a, b] → R continue et f (a) = f (b)• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe• ∃a < x1 < x2 < b consécutifs tels que f ′(x1) = 0 = f ′(x2).

=⇒ ∃ au plus un c ∈ (x1, x2) tel que f (c) = 0.

Démonstration.

Soient x1 < z1 < z2 < x2 tels que f (z1) = 0 = f (z2). Par le théorème, il existex1 < z1 < x < z2 < x2 tel que f ′(x) = 0 ce qui contredit notre hypothèse que x1 et x2

sont des zéros consécutiifs de f ′.


DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) et Théorème de la moyenne

Théorème

• f , g : [a, b] → R continues• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent.

◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que [f (b) − f (a)] g′(c) = f ′(c) [g(b) − g(a)].

Corollaire (Formule de Cauchy)

• f , g : [a, b] → R continues,• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) et g′(x) existent et ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0.

◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c).

Corollaire (Théorème de la moyenne)

• f : [a, b] → R continue• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.

◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).


DérivéesThéorème de la moyenne ou des accroissements finis

Remarque

Le second corollaire est connu sous le nom de théorème de la moyenne lorsqu’il estprésenté sous la forme

◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

b − a= f ′(c).

Il est connu sous le nom de théorème des accroissement finis sous la seconde forme

◮ ∃ c ∈ (a, b) tel que f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).

En effet si l’on accroît a par h, on a l’accroissement correspondant de f :

∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (a + h) − f (a) = f ′(a + θ h) h.


DérivéesThéorème des accroissements finis

Corollaire (Théorème des accroissements finis)

• f : [a, b] → R continue

• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.

Alors, pour tout x0 ∈ (a, b) et tout x ∈ [a, b], x 6= x0,

∃ θ ∈ (0, 1) tel que f (x) − f (x0) = f ′(x0 + θ(x − x0)) (x − x0)

∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).

Démonstration.

On applique d’abord le corollaire dans (x , x0) pour x ∈ [a, x0) :

∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)

x − x0=

f (x0) − f (x)

x0 − x= f ′(c−) et θ− =

x0 − c−

x0 − x∈ (0, 1)

De là, c− = x0 + θ−(x − x0). On applique le corollaire dans (x0, x) pour x ∈ (x0, b) :

∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(c+) θ+ =

c+ − x0

x − x0∈ (0, 1).

De là, c+ = x0 + θ+(x − x0). Dans les deux cas, nous avons la même forme.





• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.



∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).

Démonstration.


∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)

x − x0=

f (x0) − f (x)

x0 − x= f ′(c−) et θ− =

x0 − c−

x0 − x∈ (0, 1)


∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(c+) θ+ =

c+ − x0

x − x0∈ (0, 1).






• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.



∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).

Démonstration.


∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)

x − x0=

f (x0) − f (x)

x0 − x= f ′(c−) et θ− =

x0 − c−

x0 − x∈ (0, 1)


∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(c+) θ+ =

c+ − x0

x − x0∈ (0, 1).






• ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.



∃ θ ∈ (0, 1) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(x0 + θ(x − x0)).

Démonstration.


∃c− ∈ (x , x0) tel quef (x) − f (x0)

x − x0=

f (x0) − f (x)

x0 − x= f ′(c−) et θ− =

x0 − c−

x0 − x∈ (0, 1)


∃c+ ∈ (x0, x) tel quef (x) − f (x0)

x − x0= f ′(c+) θ+ =

c+ − x0

x − x0∈ (0, 1).




Exemple

(démonstration détaillée) On peut maintenant démontrer que | sin x | ≤ |x |. Par lethéorème de la moyenne,

(i) Si x > 0,

∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0

x − 0= cos c+ et θ+ déf

=c+

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ+x ;

(ii) si x < 0,

∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0

x − 0= cos c− et θ− déf

=c−

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ−x .

Les deux cas se résument donc en un seul, il existe θ, 0 < θ < 1, tel que

sin x − sin 0x − 0

= cos θx ⇒ | sin x | = | sin x − sin 0| ≤ |x − 0| | cos θx |≤ |x |.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 49 / 119


Exemple


(i) Si x > 0,

∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0


=c+

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ+x ;

(ii) si x < 0,

∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0


=c−

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ−x .





Exemple


(i) Si x > 0,

∃c+, 0 < c+ < x ,sin x − sin 0


=c+

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ+ ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ+x ;

(ii) si x < 0,

∃c−, x < c− < 0,sin x − sin 0


=c−

x∈ (0, 1)

⇒ ∃ θ− ∈ (0, 1) tel quesin x − sin 0

x − 0= cos θ−x .





Exemple

Calcul de√

24 à partir de√

25 = 5. Soit f (x) =√

x et sa dérivée f ′(x) = 1/(2√

x). Duthéorème de la moyenne, il existe c ∈ (24, 25) tel que

f (24) − f (25) =f (24) − f (25)

24 − 25(24 − 25) = f ′(c) (24 − 25)

√24 − 5 =

√24 −

√25

24 − 25= − 1

2√

c⇒

√24 = 5 − 1

2√

c, 24 < c < 25

16 < 24 < c < 25, − 116

< −1c

< − 125

⇒ − 1

2√

16< − 1

2√

c< − 1

2√

25

⇒ 5 − 18

= 5 − 1

2√

16<

√24 < 5 − 1

2√

25= 5 − 1

10

⇒ 4.87 <√

24 < 4.90



Corollaire (Théorème de la moyenne ou des accroissements finis)

• f : [a, b] → R continue et ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.


Théorème

• f : [a, b] → R continue et dérivable dans (a, b).

(i) f ′(x) = 0 dans (a, b) =⇒ f constante dans [a, b].

(ii) f ′(x) ≥ 0 dans (a, b) =⇒ f croissante dans [a, b].

(ii’) f ′(x) > 0 dans (a, b) =⇒ f strictement croissante dans [a, b].

(iii) f ′(x) ≤ 0 dans (a, b) =⇒ f décroissante dans [a, b].

(iii’) f ′(x) < 0 dans (a, b) =⇒ f strictement décroissante dans [a, b].

Démonstration.

(i) a < x ≤ b ⇒ ∃c ∈ (a, x) tel que f (x) − f (a) = f ′(c) (x − a) = 0 et f (x) = f (a)dans [a, b].

(ii) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)≥ 0.

(ii’) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)> 0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 51 / 119



• f : [a, b] → R continue et ∀x ∈ (a, b), f ′(x) existe.


Théorème



(ii) f ′(x) ≥ 0 dans (a, b) =⇒ f croissante dans [a, b].

(ii’) f ′(x) > 0 dans (a, b) =⇒ f strictement croissante dans [a, b].


(iii’) f ′(x) < 0 dans (a, b) =⇒ f strictement décroissante dans [a, b].

Démonstration.

(i) a < x ≤ b ⇒ ∃c ∈ (a, x) tel que f (x) − f (a) = f ′(c) (x − a) = 0 et f (x) = f (a)dans [a, b].

(ii) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)≥ 0.

(ii’) a ≤ x < y ≤ b ⇒ ∃c ∈ (x , y) tel que f (y) − f (x) = f ′(c) (y − x)> 0.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 51 / 119


Théorème



Remarque

Le théorème est vrai dans un intervalle, mais pas dans un ouvert arbitraire.

◮ Le théorème n’est pas vrai pour la fonction x/|x | pour laquelle f ′(x) = 0 dans(−∞, 0) ∪ (0, +∞) mais qui n’est pas continue en x = 0.

◮ En effet si f ′(x) = 0 dans

n[

i=0

(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,

alors f (x) = ci dans [a2i , a2i+1] avec des constantes possiblement différentes pourchaque i.

Attention, dans cet exemple il y a un espace entre chaque intervalle pour assurer lacontinuité sur ∪n

i=0[a2i , a2i+1].



Théorème



Remarque




n[

i=0

(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,



i=0[a2i , a2i+1].



Théorème



Remarque




n[

i=0

(a2i , a2i+1), a0 < a1 < · · · < a2n < a2n+1,



i=0[a2i , a2i+1].



Exemple

Trouver les fonctions dérivables f : (0, +∞) → R tel que

∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).

Pour y = 1 on a f (x) = f (x) + f (1) et donc f (1) = 0. On peut dériver cette identité parrapport à y :

∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)

⇒ f ′(x) =f ′(1)

x⇒

˛

˛

˛

˛

˛

˛

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0,+∞)

f (1) − f ′(1) log 1 = 0.

◮ Pour tout a > 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [1, a] et dérivable dans (1, a).Donc on peut appliquer le théorème précédent

∀a > 1, ∀x ∈ [1, a], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0

⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[

a>1

[1, a], f (x) = f ′(1) log x .



Exemple


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).


∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)

⇒ f ′(x) =f ′(1)

x⇒

˛

˛

˛

˛

˛

˛

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0,+∞)

f (1) − f ′(1) log 1 = 0.



⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[

a>1

[1, a], f (x) = f ′(1) log x .



Exemple


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).


∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)

⇒ f ′(x) =f ′(1)

x⇒

˛

˛

˛

˛

˛

˛

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0,+∞)

f (1) − f ′(1) log 1 = 0.



⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[

a>1

[1, a], f (x) = f ′(1) log x .



Exemple


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).


∀y ∈ (0,+∞), ∀x ∈ (0, +∞), x f ′(xy) = f ′(y)

⇒ f ′(x) =f ′(1)

x⇒

˛

˛

˛

˛

˛

˛

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0,+∞)

f (1) − f ′(1) log 1 = 0.



⇒ ∀x ∈ [1, +∞) =[

a>1

[1, a], f (x) = f ′(1) log x .



Exemple (suite)


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).

On a f (1) = 0 et

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0, +∞).

◮ Pour tout a > 1,

∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .

◮ Pour tout 0 < a < 1, f (x) − f ′(1) log x est continue sur [a, 1] et dérivable dans (a, 1).Donc

∀0 < a < 1, ∀x ∈ [a, 1], f (x) − f ′(1) log x = f (1) − f ′(1) log 1 = 0

⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[

0<a<1

[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .

On a donc la famille de fonctions f (x) = c log x pour toute constante c ∈ R (et doncc = f ′(1)).



Exemple (suite)


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).

On a f (1) = 0 et

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0, +∞).


∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .



⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[

0<a<1

[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .




Exemple (suite)


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).

On a f (1) = 0 et

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0, +∞).


∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .



⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[

0<a<1

[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .




Exemple (suite)


∀x , y ∈ (0,+∞), f (xy) = f (x) + f (y).

On a f (1) = 0 et

ddx

ˆ

f (x) − f ′(1) log x˜

= 0 dans (0, +∞).


∀x ∈ [1, +∞), f (x) = f ′(1) log x .



⇒ ∀x ∈ (0, 1] =[

0<a<1

[a, 1], f (x) = f ′(1) log x .




Théorème



Exemple

On veut démontrer la double inégalité

∀x ≥ 0, x − x3

6≤ sin x ≤ x .

On sait déjà que | sin x | ≤ |x | ⇒ sin x ≤ x pour x ≥ 0. Pour la seconde, soit

f (x)déf= x − x3

6− sin x

⇒ f (0) = 0 et f ′(x) = 1 − x2

2− cos x

⇒ f ′(0) = 0 et f ′′(x) = −x + sin x ≤ 0

⇒ f ′(x) décroissante dans [0,∞) et f ′(x) ≤ f ′(0) = 0

⇒ f (x) décroissante dans [0,∞) et f (x) ≤ f (0) = 0.

D’où la seconde inégalité.



Théorème



Exemple

On veut démontrer la double inégalité

∀x ≥ 0, x − x3

6≤ sin x ≤ x .

On sait déjà que | sin x | ≤ |x | ⇒ sin x ≤ x pour x ≥ 0. Pour la seconde, soit

f (x)déf= x − x3

6− sin x

⇒ f (0) = 0 et f ′(x) = 1 − x2

2− cos x

⇒ f ′(0) = 0 et f ′′(x) = −x + sin x ≤ 0

⇒ f ′(x) décroissante dans [0,∞) et f ′(x) ≤ f ′(0) = 0

⇒ f (x) décroissante dans [0,∞) et f (x) ≤ f (0) = 0.

D’où la seconde inégalité.


DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée

Théorème



Démonstration.

On applique le théorème de Rolle à la fonction

F (x)déf= [f (b) − f (a)] g(x) − f (x) [g(b) − g(a)].

En effet cette fonction est continue dans [a, b] et dérivable dans (a, b). De plus

F (a) = [f (b) − f (a)] g(a) − f (a) [g(b) − g(a)] = f (b) g(a) − f (a) g(b)

F (b) = [f (b) − f (a)] g(b) − f (b) [g(b) − g(a)] = −f (a) g(b) + f (b) g(a).

Comme F (a) = F (b), il existe c ∈ (a, b) tel que F ′(c) = 0 ce qui donne

0 =F ′(c) = [f (b) − f (a)] g′(c) − f ′(c) [g(b) − g(a)].


DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée

Théorème



Démonstration.

On applique le théorème de Rolle à la fonction

F (x)déf= [f (b) − f (a)] g(x) − f (x) [g(b) − g(a)].

En effet cette fonction est continue dans [a, b] et dérivable dans (a, b). De plus

F (a) = [f (b) − f (a)] g(a) − f (a) [g(b) − g(a)] = f (b) g(a) − f (a) g(b)

F (b) = [f (b) − f (a)] g(b) − f (b) [g(b) − g(a)] = −f (a) g(b) + f (b) g(a).

Comme F (a) = F (b), il existe c ∈ (a, b) tel que F ′(c) = 0 ce qui donne

0 =F ′(c) = [f (b) − f (a)] g′(c) − f ′(c) [g(b) − g(a)].


DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857) généralisée et Théorème de la moyenne

Théorème





◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).

Démonstration.

On fait g(x) = x et g′(x) = 1 dans le théorème.


DérivéesFormule de Cauchy généralisée, Théorème de la moyenne, et formule de Cauchy (1789-1857)



◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

b − a= f ′(c) ou f (b) − f (a) = f ′(c) (b − a).



◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c).

Démonstration.

Par le théorème. Il suffit de vérifier que le dénominateur g(b) − g(a) n’est pas nul. Parle corollaire précédent, il existe c ∈ (a, b) tel que g(b) − g(a) = g′(c) (b − a) 6= 0 parhypothèse.


DérivéesFormule de Cauchy (1789-1857)



◮ ∃ c ∈ (a, b) tel quef (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f ′(c)

g′(c).

C’est un résultat préliminaire à la règle de l’Hôpital.

Exemple

On veut démontrer que

limx→0

sin xx

= 1.

◮ Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,

∃θ ∈ (0, 1) tel quesin x

x=


= cos(θ x).



Exemple (suite)


limx→0

sin xx

= 1.

Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,


x=


= cos(θ (x − 0))

⇒ sin xx

= cos(θ x).

◮ Mais |θ x | ≤ |x | → 0 lorsque x → 0 et donc

limx→0

cos(θ x) = 1

On obtient alors

limx→0

sin xx

= limx→0

cos(θ x) = 1.



Exemple (suite)


limx→0

sin xx

= 1.

Par la formule de Cauchy, pour tout x 6= 0,


x=


= cos(θ (x − 0))

⇒ sin xx

= cos(θ x).

◮ Mais |θ x | ≤ |x | → 0 lorsque x → 0 et donc

limx→0

cos(θ x) = 1

On obtient alors

limx→0

sin xx

= limx→0

cos(θ x) = 1.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704)

F IGURE: Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)

Guillaume François Antoine de l’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comted’Entremont, seigneur d’Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux, était unmathématicien français. Il est sûrement le plus connu pour la règle qui porte son nom :la règle de l’Hôpital qui permet de calculer la valeur d’une limite pour une fraction où lenumérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro.

Il se lia avec Christian Huygens, Leibniz, et les frères Bernoulli. Il invita JeanBernoulli dans sa résidence d’Oucques pour qu’il lui enseigne le calcul différentiel alorsnaissant. Il est aussi l’auteur du premier livre connu sur le calcul infinitésimaldifférentiel : « L’Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes »,qui connut plusieurs éditions au XVIIIe siècle. Il a joué un rôle important en Francedans la vulgarisation de cette technique. Publiés en 1696, ses textes comportent desconférences de son professeur Jean Bernoulli où Bernoulli discute de la formeindéterminée « 0/0 ». On rapporte que L’Hôpital signa avec Bernoulli un contrat qui luidonnait le droit d’utiliser les découvertes de ce dernier comme il le voulait.


DérivéesGuillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704)


Guillaume de L’Hôpital devint membre de l’Académie des sciences en 1693. Son Traitéanalytique des sections coniques, pensé comme un développement de la « Géométrie» de Descartes, était presque fini, lorsqu’au commencement de 1704 il fut pris d’unefièvre qui ne paraissait d’abord aucunement dangereuse, mais qui détermina uneattaque d’apoplexie dont il mourut le lendemain 2 février.

Ses proches ont attribué sa mort à une pratique excessive des mathématiques.


DérivéesGuillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704)


Guillaume de L’Hôpital devint membre de l’Académie des sciences en 1693. Son Traitéanalytique des sections coniques, pensé comme un développement de la « Géométrie» de Descartes, était presque fini, lorsqu’au commencement de 1704 il fut pris d’unefièvre qui ne paraissait d’abord aucunement dangereuse, mais qui détermina uneattaque d’apoplexie dont il mourut le lendemain 2 février.

Ses proches ont attribué sa mort à une pratique excessive des mathématiques.



Théorème (cas au centre en a)

Soient les hypothèses suivantes :

(1) −∞ < a < +∞ et f , g : V ′(a, ε) → R pour un ε > 0

(2) f , g dérivables dans V ′(a, ε)

(3) g′(x) 6= 0 dans V ′(a, ε)

(4) L déf= limx→a

f ′(x)g′(x)

∈ [−∞, +∞]

(5) (a1) ou bien limx→a f (x) = 0 et limx→a g(x) = 0(a2) ou bien limx→a g(x) = ±∞.

Alors

limx→a

f (x)

g(x)= L.

On peut itérer sur f ′(x)/g′(x). Par exemple, si

ou bien

(

limx→a

f ′(x) = 0

et limx→a

g′(x) = 0

)

ou bien limx→a

g′(x) = ±∞

⇒ limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f ′′(x)

g′′(x).



Théorème (version à droite en a+)


(1) −∞ ≤ a < b ≤ +∞(2) f , g : (a, b) → R dérivables dans (a, b)

(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)

(4) L déf= limx→a+

f ′(x)g′(x)

∈ [−∞, +∞]

(5) (a1) ou bien limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0(a2) ou bien limx→a+ g(x) = ±∞.

Alors

limx→a+

f (x)

g(x)= L.



Théorème (version à gauche en b−)



(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)

(4) L déf= limx→b−

f ′(x)g′(x)

∈ [−∞, +∞]

(5) (b1) ou bien limx→b− f (x) = 0 et limx→b− g(x) = 0(b2) ou bien limx→b− g(x) = ±∞.

Alors

limx→b−

f (x)

g(x)= L.



On démontre le cas à droite.

Théorème (version à droite en a+)



(3) g′(x) 6= 0 dans (a, b)

(4) L déf= limx→a+

f ′(x)g′(x)

∈ [−∞, +∞]

(5) (a1) ou bien limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0(a2) ou bien limx→a+ g(x) = ±∞.

Alors

limx→a+

f (x)

g(x)= L.

Démonstration.

(i) On établit d’abord une identité pour les cas (a) −∞ ≤ L < +∞, et (b)−∞ < L ≤ +∞.



Démonstration.

(a) −∞ ≤ L < +∞. On montre que

∀q ∈ R, L < q, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c,f (x)

g(x)< q.

Soit r tel que L < r < q. Alors il existe c ∈ (a, b) tel que

∀x , a < x < c,f ′(x)

g′(x)< r < q, L déf

= limx→a+

f ′(x)

g′(x).

Par la formule de Cauchy, pour a < x < y < c, il existe t ∈ (x , y) tel que

(∗) f (y) − f (x)

g(y) − g(x)=

f ′(t)g′(t)

< r .

Dans le cas (a1), limx→a+ f (x) = 0 et limx→a+ g(x) = 0. Comme, en plus g′(x) 6= 0, ona g(x) 6= 0 dans (a, b] et ∀ y 6= x ⇒ g(y) 6= g(x). De là

∀y , a < y < c,f (y)

g(y)= lim

x→a+

f (y) − f (x)

g(y) − g(x)≤ r < q.



Démonstration.



g(x)< q.


∀x , a < x < c,f ′(x)


= limx→a+

f ′(x)

g′(x).


(∗) f (y) − f (x)

g(y) − g(x)=

f ′(t)g′(t)

< r .


∀y , a < y < c,f (y)

g(y)= lim

x→a+

f (y) − f (x)

g(y) − g(x)≤ r < q.



Démonstration.



g(x)< q.


∀x , a < x < c,f ′(x)


= limx→a+

f ′(x)

g′(x).


(∗) f (y) − f (x)

g(y) − g(x)=

f ′(t)g′(t)

< r .


∀y , a < y < c,f (y)

g(y)= lim

x→a+

f (y) − f (x)

g(y) − g(x)≤ r < q.



Démonstration.

(suite) (a) −∞ ≤ L < +∞. Soit r tel que L < r < q. On montre que


g(x)< q.

◮ Dans le cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. Alors, il existe c1 ∈ (a, y) tel que pour tout x ,a < x < c1 < y < c,

8

<

:

g(x) > 0 et g(x) > g(y), si limx→a+

g(x) = +∞

g(x) < 0 et g(x) < g(y), si limx→a+

g(x) = −∞.

Dans les deux cas (g(x) − g(y))/g(x) > 0 pour a < x < c1 < y et par (∗)

f (x) − f (y)

g(x)=

g(x) − g(y)

g(x)

f (x) − f (y)

g(x) − g(y)≤ g(x) − g(y)

g(x)r = r − r

g(y)

g(x)



Démonstration.



g(x)< q.

Cas (a2), limx→a+ g(x) = ±∞. On a montré que pour a < x < c1 < y < c

f (x) − f (y)

g(x)≤ r − r

g(y)

g(x)⇒ f (x)

g(x)≤ r +

f (y) − r g(y)

g(x).

Comme r < q et limx→a+ g(x) = ±∞, il existe c2, a < c2 < c1 tel que

∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)

g(x)< q

∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)

g(x)< q.

(b) −∞ < L ≤ +∞. Par la même technique que dans (a), on montre que

∀q′ ∈ R, q′ < L, ∃c > a tel que ∀x , a < x < c, q′ <f (x)

g(x).



Démonstration.



g(x)< q.


f (x) − f (y)

g(x)≤ r − r

g(y)

g(x)⇒ f (x)

g(x)≤ r +

f (y) − r g(y)

g(x).


∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)

g(x)< q

∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)

g(x)< q.



g(x).



Démonstration.



g(x)< q.


f (x) − f (y)

g(x)≤ r − r

g(y)

g(x)⇒ f (x)

g(x)≤ r +

f (y) − r g(y)

g(x).


∀x , a < x < c2, r +f (y) − r g(y)

g(x)< q

∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2,f (x)

g(x)< q.



g(x).



Démonstration.

(suite) (ii) Si L = −∞, alors de (a) on prend la suite qn = −n, n ∈ N,

∀n ∈ N, ∃c(n) > a tel que ∀x , a < x < c(n),f (x)

g(x)< −n

⇒ limx→a+

f (x)

g(x)= −∞.

Si L = +∞, alors de (b) on prend la suite q′n = n, n ∈ N,

∀n ∈ N, ∃c(n) > a tel que ∀x , a < x < c(n), n <f (x)

g(x)

⇒ limx→a+

f (x)

g(x)= +∞.

Si −∞ < L < +∞, alors pour tout ε > 0, on prend de (a) on prend la suite q = L + ε,et de (b) on prend la suite q′ = L − ε. Il existe

∃c1 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c1,f (x)

g(x)< L + ε

∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2, L − ε <f (x)

g(x).



Démonstration.

(suite) (ii) Si −∞ < L < +∞, alors pour tout ε > 0, on prend de (a) on prend la suiteq = L + ε, et de (b) on prend la suite q′ = L − ε. Il existe

∃c1 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c1,f (x)

g(x)< L + ε

∃c2 ∈ (a, b), ∀x , a < x < c2, L − ε <f (x)

g(x).

◮ Donc en prenant c = min{c1, c2},

∀ε > 0, ∃c ∈ (a, b), ∀x ∈ (a, c),

˛

˛

˛

˛

f (x)

g(x)− L

˛

˛

˛

˛

< ε

limx→a+

f (x)

g(x)= L.



Démonstration.

(cas à gauche x → b−) Ce cas s’obtient directement du cas à droite en posant

f (x)déf= f (−x), −b < x < −a

g(x)déf= g(−x), −b < x < −a

et en remarquant que

limx→b−

f ′(x)

g′(x)= lim

y→(−b)+

f′(y)

g′(y)

(cas au centre où f , g : V ′(a, ε) → R) On applique les résultats précédents sur(a − ε, a) et (a, a + ε) en tenant compte que l’hypothèse

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L

est équivalente à

limx→a−

f ′(x)

g′(x)= L et lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)= L.



Démonstration.

(cas à gauche x → b−) Ce cas s’obtient directement du cas à droite en posant

f (x)déf= f (−x), −b < x < −a

g(x)déf= g(−x), −b < x < −a

et en remarquant que

limx→b−

f ′(x)

g′(x)= lim

y→(−b)+

f′(y)

g′(y)

(cas au centre où f , g : V ′(a, ε) → R) On applique les résultats précédents sur(a − ε, a) et (a, a + ε) en tenant compte que l’hypothèse

limx→a

f ′(x)

g′(x)= L

est équivalente à

limx→a−

f ′(x)

g′(x)= L et lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)= L.


DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : exemples

Exemple (x → 0+)

1) Soient f (x) = tan x et g(x) = x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a8

<

:

limx→0

tan x = 0

limx→0

x = 0

9

=

;

et limx→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

1cos2(x)

= 1.

Par la règle de L’Hôpital

limx→0

tan(x)

x= lim

x→0

f (x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= 1.

2) Soient f (x) = log(1 + x) et g(x) = x dans (0,∞). On a8

<

:

limx→0+

log(1 + x) = 0

limx→0+

x = 0

9

=

;

et limx→0+

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0+

11 + x

= 1


limx→0+

log(1 + x)

x= lim

x→0+

f (x)

g(x)= lim

x→0+

f ′(x)

g′(x)= 1.



Exemple (x → 0+)

1) Soient f (x) = tan x et g(x) = x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a8

<

:

limx→0

tan x = 0

limx→0

x = 0

9

=

;

et limx→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

1cos2(x)

= 1.


limx→0

tan(x)

x= lim

x→0

f (x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= 1.

2) Soient f (x) = log(1 + x) et g(x) = x dans (0,∞). On a8

<

:

limx→0+

log(1 + x) = 0

limx→0+

x = 0

9

=

;

et limx→0+

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0+

11 + x

= 1


limx→0+

log(1 + x)

x= lim

x→0+

f (x)

g(x)= lim

x→0+

f ′(x)

g′(x)= 1.



Exemple (x → 0+)

3) Soient f (x) = tan x − x et g(x) = x − sin x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a

8

<

:

limx→0

tan x − x = 0

limx→0

x − sin x = 0

9

=

;

et

8

>

<

>

:

limx→0

f ′(x) = limx→0

1cos2(x)

− 1 = 0

limx→0

g′(x) = limx→0

1 − cos x = 0

9

>

=

>

;

Mais8

<

:

f ′′(x) = 2sin x

cos3(x)

g′′(x) = sin x

9

=

;

et limx→0+

f ′′(x)

g′′(x)= lim

x→0+

2cos3(x)

= 2

Par une double application de la règle de L’Hôpital

limx→0

tan(x) − xx − sin x

= limx→0

f (x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

f ′′(x)

g′′(x)= 2.

4) Changement de variable. Soit√

x/(1 − e2√

x ) pour x → 0+. On peut poseru =

√x → 0+ et étudier u/(1 − e2 u) lorsque u → 0+. On a alors limu→0+

1−2e2 u = − 1

2 .



Exemple (x → 0+)

3) Soient f (x) = tan x − x et g(x) = x − sin x dans un voisinage V (0, π/2) de 0. On a

8

<

:

limx→0

tan x − x = 0

limx→0

x − sin x = 0

9

=

;

et

8

>

<

>

:

limx→0

f ′(x) = limx→0

1cos2(x)

− 1 = 0

limx→0

g′(x) = limx→0

1 − cos x = 0

9

>

=

>

;

Mais8

<

:

f ′′(x) = 2sin x

cos3(x)

g′′(x) = sin x

9

=

;

et limx→0+

f ′′(x)

g′′(x)= lim

x→0+

2cos3(x)

= 2

Par une double application de la règle de L’Hôpital

limx→0

tan(x) − xx − sin x

= limx→0

f (x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

f ′′(x)

g′′(x)= 2.

4) Changement de variable. Soit√

x/(1 − e2√

x ) pour x → 0+. On peut poseru =

√x → 0+ et étudier u/(1 − e2 u) lorsque u → 0+. On a alors limu→0+

1−2e2 u = − 1

2 .



Exemple (x → +∞)

1) Soient f (x) = xn pour n ∈ N et g(x) = ex dans R. On a

8

<

:

limx→+∞

xn = +∞

limx→+∞

ex = +∞et

8

>

>

<

>

>

:

limx→+∞

f ′(x) = limx→+∞

n xn−1 =

(

1, si n = 1

+ ∞, si n > 1

limx→+∞

g′(x) = limx→+∞

ex = +∞

9

>

>

=

>

>

;

Il faut donc aller jusqu’à la n-ème dérivée

f (n)(x) = n! et g(n)(x) = ex .

Par la règle de L’Hôpital appliquée n fois,

limx→+∞

xn

ex= lim

x→+∞

f (n)(x)

g(n)(x)= lim

x→+∞

n!

ex= 0.

2) Soient f (x) = log x et g(x) = xa pour a > 0 dans (0,+∞). On a8

<

:

limx→+∞

log x = +∞

limx→+∞

xa = +∞

9

=

;

et limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= lim

x→+∞

1a xa

= 0.



Exemple (x → +∞)

1) Soient f (x) = xn pour n ∈ N et g(x) = ex dans R. On a

8

<

:

limx→+∞

xn = +∞

limx→+∞

ex = +∞et

8

>

>

<

>

>

:

limx→+∞

f ′(x) = limx→+∞

n xn−1 =

(

1, si n = 1

+ ∞, si n > 1

limx→+∞

g′(x) = limx→+∞

ex = +∞

9

>

>

=

>

>

;

Il faut donc aller jusqu’à la n-ème dérivée

f (n)(x) = n! et g(n)(x) = ex .

Par la règle de L’Hôpital appliquée n fois,

limx→+∞

xn

ex= lim

x→+∞

f (n)(x)

g(n)(x)= lim

x→+∞

n!

ex= 0.

2) Soient f (x) = log x et g(x) = xa pour a > 0 dans (0,+∞). On a8

<

:

limx→+∞

log x = +∞

limx→+∞

xa = +∞

9

=

;

et limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= lim

x→+∞

1a xa

= 0.


DérivéesRègle de L’Hôpital (1661-1704) : autres formes indéterminées

Les formes indéterminées suivantes se ramènent aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.1) f (x) − g(x) avec lim

x→af (x) = +∞ et lim

x→ag(x) = +∞

1g(x)

− 1f (x)

1g(x)

1f (x)

avec limx→a

1f (x)

= 0 et limx→a

1g(x)

= 0.

2) f (x) g(x) avec limx→a

f (x) = 0 et limx→a

g(x) = ±∞

f (x)1

g(x)

avec limx→a


1g(x)

= 0.

3) f (x)g(x) avec f (x) > 0 dans (a, b), limx→a+

f (x) = 0 et limx→a+

g(x) = 0.

Ici, on va utiliser l’identité

f (x)g(x) = eg(x) log f (x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

et limx→a+

f (x) = 0 ⇐⇒ limx→a+

log f (x) = −∞.

On obtient alors la forme 0/0 dans l’exposant g(x)/(1/ log f (x)) :

f (x)g(x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

avec limx→a+

1log f (x)

= 0 et limx→a+

g(x) = 0.



Les formes indéterminées suivantes se ramènent aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.1) f (x) − g(x) avec lim

x→af (x) = +∞ et lim

x→ag(x) = +∞

1g(x)

− 1f (x)

1g(x)

1f (x)

avec limx→a

1f (x)

= 0 et limx→a

1g(x)

= 0.

2) f (x) g(x) avec limx→a


g(x) = ±∞

f (x)1

g(x)

avec limx→a


1g(x)

= 0.



g(x) = 0.

Ici, on va utiliser l’identité

f (x)g(x) = eg(x) log f (x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

et limx→a+

f (x) = 0 ⇐⇒ limx→a+

log f (x) = −∞.

On obtient alors la forme 0/0 dans l’exposant g(x)/(1/ log f (x)) :

f (x)g(x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

avec limx→a+

1log f (x)

= 0 et limx→a+

g(x) = 0.



Les formes indéterminées suivantes se ramène aux cas précédents 0/0 ou ∞/∞.



g(x) = 0

f (x)g(x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

avec limx→a+

1log f (x)

= 0 et limx→a+

g(x) = 0.


f (x) = +∞ et limx→a+

g(x) = 0

f (x)g(x) = e

g(x)„

1log f (x)

«

avec limx→a+

1log f (x)

= 0 et limx→a+

g(x) = 0.



g(x) = ±∞

f (x)g(x) = e

log f (x)„

1g(x)

«

avec limx→a+

log f (x) = 0 et limx→a+

1g(x)

= 0.



Exemple

1) Soit xx lorsque x → 0+. Alors

log xx = x log x =log x

1x

et le dénominateur tend vers +∞. De plus,

ddx

log x =1x

etddx

1x

= − 1x2

⇒ (log x)′

(1/x)′=

1x

(−x2) = −x → 0

lorsque x → 0+. Il vient donc

limx→0+

xx = e0 = 1.



Exemple

2) On considère (1 + a/x)x pour a ∈ R lorsque x → +∞. On pose

f (x)déf= 1 +

ax

et g(x)déf= x ⇒

“

1 +ax

”x= f (x)g(x).

limx→+∞

log f (x) = limx→+∞

log“

1 +ax

”

= log 1 = 0 et limx→+∞

1g(x)

= limx→+∞

1x

= 0.

On prend alors la forme

f (x)g(x) = e

log f (x)„

1g(x)

«

⇒ (log f (x))′“

1g(x)

”′ =

11+ a

x

`

− ax2

´

− 1x2

=a

1 + ax

→ a lorsque x → +∞.

On a donc finalement

limx→+∞

(1 + a/x)x = e

0

B

B

@

limx→+∞

(log f (x))′„

1g(x)

«

′

1

C

C

A

= ea.



Exemple


f (x)déf= 1 +

ax

et g(x)déf= x ⇒

“

1 +ax

”x= f (x)g(x).

limx→+∞


log“

1 +ax

”


1g(x)

= limx→+∞

1x

= 0.


f (x)g(x) = e

log f (x)„

1g(x)

«

⇒ (log f (x))′“

1g(x)

”′ =

11+ a

x

`

− ax2

´

− 1x2

=a

1 + ax



limx→+∞

(1 + a/x)x = e

0

B

B

@

limx→+∞

(log f (x))′„

1g(x)

«

′

1

C

C

A

= ea.



Exemple


f (x)déf= 1 +

ax

et g(x)déf= x ⇒

“

1 +ax

”x= f (x)g(x).

limx→+∞


log“

1 +ax

”


1g(x)

= limx→+∞

1x

= 0.


f (x)g(x) = e

log f (x)„

1g(x)

«

⇒ (log f (x))′“

1g(x)

”′ =

11+ a

x

`

− ax2

´

− 1x2

=a

1 + ax



limx→+∞

(1 + a/x)x = e

0

B

B

@

limx→+∞

(log f (x))′„

1g(x)

«

′

1

C

C

A

= ea.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesFormule de Taylor (1685-1731)

F IGURE: Brook Taylor (1685-1731) est un éclectique homme de sciences anglais.

Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée « calcul de différencesfinies », inventa l’intégration par partie, et découvrit les séries appelées «développement de Taylor ». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715,Methodus incrementorum directa and reversed. En fait, la première mention par Taylorde ce qui est appelé aujourd’hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que cedernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairementd’où lui est venue cette idée, c’est-à-dire d’un commentaire que fît Machin au Child’sCoffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problèmede Kepler et également « les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines »d’équations polynomiales. En fait, il y a deux versions du théorème de Taylor donnéessur le papier de 1715.


DérivéesFormule de Taylor (1685-1731)

La formule de Taylor est une généralisation du théorème de la moyenne.Théorème (version Labelle et Mercier)

• Soient une fonction f : [a, b] → R et un entier n ≥ 1,

• f est continue dans [a, b] et continûment dérivable dans [a, b] jusqu’à l’ordre n − 1,c-à-d. chaque dérivée existe et est continue dans [a, b],

• la dérivée f (n)(x) existe en tout point x de (a, b).

Alors, pour tout x ∈ (a, b], il existe c ∈ (a, x) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(a+)

k !(x − a)k

| {z }

polynôme d’ordre n−1

+ f (n)(c)(x − a)n

n!| {z }

reste de Lagrange

avec la convention f (0)(x)déf= f (x) et f (0)(a+)

déf= f (a).

1) Pour n = 1, on retrouve le théorème de la moyenne.2) Lorsque a = 0, on obtient la formule de MacLaurin : pour tout x > 0, il existe

c ∈ (0, x) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(0+)

k !xk + f (n)(c)

xn

n!.


DérivéesFormule de Taylor

On peut aussi écrire la formule de Taylor sous la forme des accroissements finis enun point x . En effet, pour h on a : il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x + h) =

n−1X

k=0

f (k)(x)

k !hk + f (n)(x + θ h)

hn

n!.

Démonstration.

On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :

F (y)déf= f (x) −

n−1X

k=0

f (k)(y)

k !(x − y)k et G(y)

déf=

(x − y)n

n!.

Comme f est dérivable et continue dans [a, b] jusqu’à l’ordre (n − 1), F est continuedans [a, b] ; comme f (k), 1 ≤ k ≤ n − 1, est dérivable dans (a, b), F est dérivable dans(a, b). G est continu et dérivable dans [a, b]. Il existe donc c ∈ (a, x) tel que

[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].



Démonstration.

(suite) On fixe d’abord un point x ∈ (a, b]. On introduit deux fonctions auxquelles nousappliquerons la formule de Cauchy généralisée :


n−1X

k=0

f (k)(y)


déf=

(x − y)n

n!.

Il existe c ∈ (a, x) tel que

[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].

◮ Par définition F (x) = 0 = G(x). On calcule les dérivées :

F ′(y) =

n−1X

k=1

f (k)(y)

(k)!k (x − y)k−1 −

n−1X

k=0

f (k+1)(y)

k !(x − y)k

=n−1X

k=1

f (k)(y)

(k − 1)!(x − y)k−1 −

nX

k=1

f (k)(y)

(k − 1)!(x − y)k−1 = − f (n)(y)

(n − 1)!(x − y)n−1



Démonstration.



n−1X

k=0

f (k)(y)


déf=

(x − y)n

n!.


[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].


F ′(y) =

n−1X

k=1

f (k)(y)

(k)!k (x − y)k−1 −

n−1X

k=0

f (k+1)(y)

k !(x − y)k

=n−1X

k=1

f (k)(y)

(k − 1)!(x − y)k−1 −

nX

k=1

f (k)(y)

(k − 1)!(x − y)k−1 = − f (n)(y)

(n − 1)!(x − y)n−1



Démonstration.



n−1X

k=0

f (k)(y)


déf=

(x − y)n

n!.


[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].


F ′(y) = − f (n)(y)

(n − 1)!(x − y)n−1

G′(y) = − (x − y)n−1

(n − 1)!

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

⇒ F ′(c)

G′(c)= f (n)(c), car a < c < x

F (a) =F ′(c)

G′(c)G(a) ⇒ f (x) −

n−1X

k=0

f (k)(a+)

k !(x − a)k = f (n)(c)

(x − a)n

n!.



Démonstration.



n−1X

k=0

f (k)(y)


déf=

(x − y)n

n!.


[F (x) − F (a)] G′(c) = F ′(c) [G(x) − G(a)].


F ′(y) = − f (n)(y)

(n − 1)!(x − y)n−1

G′(y) = − (x − y)n−1

(n − 1)!

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

⇒ F ′(c)

G′(c)= f (n)(c), car a < c < x

F (a) =F ′(c)

G′(c)G(a) ⇒ f (x) −

n−1X

k=0

f (k)(a+)

k !(x − a)k = f (n)(c)

(x − a)n

n!.


DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique ou formule des accroissements finis généralisée

La version de la formule de Taylor donnée par Labelle et Mercier est basée sur leurnotion généralisée de dérivée. Les dérivées au point a sont des dérivées à droite et laformule est valable pour les x > a. On donne plus bas une version plus classique quirépond mieux aux situations rencontrées dans les problèmes.

Théorème (formule des accroissements finis généralisée)

• Soient une fonction f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et un entier n ≥ 1,

• les dérivées f (k)(x) existent en tout point x de (a, b) jusqu’à l’ordre n.

Alors, pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k

| {z }

polynôme d’ordre n−1

+ f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!| {z }

reste de Lagrange

.

Dans ce cas, la formule des accroissements finis s’écrit de la même façon pour desh positifs ou négatifs

f (x0 + h) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !hk + f (n)(x0 + θh)

hn

n!.


DérivéesFormule de Taylor (1685-1731) : version classique

Démonstration.

On considère d’abord un point x ∈ (x0, b) et on applique le théorème sur l’intervalle[x0, x], où les hypothèses sont vérifiées : il existe c1 ∈ (x0, x) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(c1)(x − x0)

n

n!.

On pose θ1 = (c1 − x0)/(x − x0) ∈ (0, 1). Pour tout x ∈ (x0, b), il existe donc θ1 ∈ (0, 1)tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ1(x − x0))(x − x0)

n

n!.

◮ Pour x ∈ (a, x0), on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x)déf= f (−x) : [−b,−a] et on

applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−x0,−a), il existedonc θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(y) =

n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(y − (−x0))

k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))

n

n!.



Démonstration.

On considère d’abord un point x ∈ (x0, b) et on applique le théorème sur l’intervalle[x0, x], où les hypothèses sont vérifiées : il existe c1 ∈ (x0, x) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(c1)(x − x0)

n

n!.

On pose θ1 = (c1 − x0)/(x − x0) ∈ (0, 1). Pour tout x ∈ (x0, b), il existe donc θ1 ∈ (0, 1)tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ1(x − x0))(x − x0)

n

n!.

◮ Pour x ∈ (a, x0), on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x)déf= f (−x) : [−b,−a] et on

applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−x0,−a), il existedonc θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(y) =

n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(y − (−x0))

k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))

n

n!.



Démonstration.

(suite) Pour a < x < x0, on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x) = f (−x) : [−x0,−a]et on applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−b,−a), ilexiste donc θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(y) =

n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(y − (−x0))

k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))

n

n!.

◮ En particulier en faisant y = −x pour x ∈ (a, x0), il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(−x) =n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(−x − (−x0))

k

+ g(n)(−x0 + θ2(−x − (−x0)))(−x − (−x0))

n

n!.

En substituant f (x) = g(−x), g(k)(−x0) = (−1)k f (k)(x0) et(−x − (−x0))

k = (−1)k(x − x0)k , il vient : il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que

f (x) =n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ2(x − x0))(x − x0)

n

n!.



Démonstration.

(suite) Pour a < x < x0, on introduit la nouvelle fonction x 7→ g(x) = f (−x) : [−x0,−a]et on applique la première partie de la démonstration à g : pour tout y ∈ (−b,−a), ilexiste donc θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(y) =

n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(y − (−x0))

k + g(n)(−x0 + θ2(y − (−x0)))(y − (−x0))

n

n!.

◮ En particulier en faisant y = −x pour x ∈ (a, x0), il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que

g(−x) =n−1X

k=0

g(k)(−x0)

k !(−x − (−x0))

k

+ g(n)(−x0 + θ2(−x − (−x0)))(−x − (−x0))

n

n!.

En substituant f (x) = g(−x), g(k)(−x0) = (−1)k f (k)(x0) et(−x − (−x0))

k = (−1)k(x − x0)k , il vient : il existe θ2 ∈ (0, 1) tel que

f (x) =n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ2(x − x0))(x − x0)

n

n!.



Exemple

1) Approximation de f (x) = ex . Pour x ∈ R, il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(0)

k !xk + f (n)(θx)

xn

n!

ex =n−1X

k=0

e0

k !xk + e(θx) xn

n!=

n−1X

k=0

1k !

xk + e(θx) xn

n!

Pour x = 1, il existe θ ∈ (0, 1) tel que

e =n−1X

k=0

1k !

+ eθ 1n!

.

De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel.


DérivéesFormule de Taylor : exemples

Exemple

1) (suite) Approximation de f (x) = ex . Pour x > 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que

e =n−1X

k=0

1k !

+ eθ 1n!

.

De là, on peut montrer que e ∈ R \Q, c’est-à-dire e est irrationnel. En effet,

(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈N

+eθ

n.

Si e est rationnel, alors e = p/q où (p, q) = 1 et donc pour n − 1 > q, (n − 1)! e ∈ N et

(n − 1)!pq− (n − 1)!

n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈Z

=eθ

n.

Enfin, pour n ≥ 4, 0 < eθ/n < 1, ce qui contredit le fait que ce nombre soit un entier.



Exemple


e =n−1X

k=0

1k !

+ eθ 1n!

.


(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈N

+eθ

n.


(n − 1)!pq− (n − 1)!

n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈Z

=eθ

n.




Exemple


e =n−1X

k=0

1k !

+ eθ 1n!

.


(n − 1)! e = (n − 1)!n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈N

+eθ

n.


(n − 1)!pq− (n − 1)!

n−1X

k=0

1k !

| {z }

∈Z

=eθ

n.




Exemple

2) Développement de sin x par la formule de Taylor. Comme la fonction f (x) = sin x estinfiniment dérivable, on trouve d’abord la formule de la k -ième dérivée :

f ′(x) = cos x = sin(x + π/2), f ′′(x) = cos(x + π/2) = sin(x + 2(π/2))

f (k)(x) = sin(x + k(π/2)) ⇒ f (k)(0) = sin(k(π/2)) =

(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.

Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))

k !xk + sin(θx + n(π/2))

xn

n!.

◮ On a une sommation par rapport à des termes ak qui sont nuls pour k pair :

n−1X

k=0

ak =

[n/2]−1X

ℓ=0

a2ℓ+1

On notera que pour n = 2m et n = 2m + 1, la partie entière est [n/2] = m.



Exemple




(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.


sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))


xn

n!.


n−1X

k=0

ak =

[n/2]−1X

ℓ=0

a2ℓ+1




Exemple




(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.


sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))


xn

n!.


n−1X

k=0

ak =

[n/2]−1X

ℓ=0

a2ℓ+1




Exemple




(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.


sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))


xn

n!.


n−1X

k=0

ak =

[n/2]−1X

ℓ=0

a2ℓ+1




Exemple




(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))


xn

n!.

◮ Cependant, comme les termes pairs sont nuls, on ne garde que les impairs. Pourn = 2m + 1, m ≥ 1, et pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =

m−1X

ℓ=0

(−1)ℓ

(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))

x2m+1

(2m + 1)!.

L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] = m dans les deux cas.



Exemple




(

0, si k = 2ℓ

(−1)ℓ, si k = 2ℓ + 1.Pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =n−1X

k=0

sin(k(π/2))


xn

n!.

◮ Cependant, comme les termes pairs sont nuls, on ne garde que les impairs. Pourn = 2m + 1, m ≥ 1, et pour tout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =

m−1X

ℓ=0

(−1)ℓ

(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))

x2m+1

(2m + 1)!.

L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] = m dans les deux cas.



Exemple

2) Développement de sin x par la formule de Taylor autour de 0. Cependant, commeles termes pairs sont nuls, on considère les n = 2m + 1 pour un entier m ≥ 1 : pourtout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =

m−1X

ℓ=0

(−1)ℓ

(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))

x2m+1

(2m + 1)!.

◮ L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] − 1 = m − 1 dans les deux cas.Pour m = 3, n = 7, il vient

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ sin(θx + 7(π/2))

x7

7!

Pour m = 2, n = 5, il vient

sin x = x − x3

3!+ sin(θx + 5(π/2))

x5

5!= x − x3

3!+ cos(θx))

x5

5!

et pour x 6= 0

sin x = x − x3

3!+ cos(θx))

x5

5!≤ x − x3

3!+

|x |55!

.



Exemple

2) Développement de sin x par la formule de Taylor autour de 0. Cependant, commeles termes pairs sont nuls, on considère les n = 2m + 1 pour un entier m ≥ 1 : pourtout x , il existe θ ∈ (0, 1) tel que

sin(x) =

m−1X

ℓ=0

(−1)ℓ

(2ℓ + 1)!x2ℓ+1 + sin(θx + (2m + 1)(π/2))

x2m+1

(2m + 1)!.

◮ L’erreur est donc d’au plus |x |2m+1/(2m + 1)! et non |x |2m/(2m)! si l’on avait choisitn = 2m, car la sommation va de ℓ = 0 à [n/2] − 1 = m − 1 dans les deux cas.Pour m = 3, n = 7, il vient

sin x = x − x3

3!+

x5

5!+ sin(θx + 7(π/2))

x7

7!

Pour m = 2, n = 5, il vient

sin x = x − x3

3!+ sin(θx + 5(π/2))

x5

5!= x − x3

3!+ cos(θx))

x5

5!

et pour x 6= 0

sin x = x − x3

3!+ cos(θx))

x5

5!≤ x − x3

3!+

|x |55!

.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesExtrema d’une fonction

Définition

• f : Df → R et x0 ∈ Df .

(i) f possède un minimum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que

∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≥ f (x0).

(ii) f possède un maximum local en x0 s’il existe un voisinage V (x0, δ) de x0 tel que

∀x ∈ V (x0, δ) ∩ Df , f (x) ≤ f (x0).

(iii) On appelle extremum local de f en x0 un minimum local ou un maximum local de fen x0 .




DérivéesPierre de Fermat (1601-1665)

F IGURE: Pierre de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, (1601-1665)

La première idée du calcul différentiel et la règle pour le calcul des extrema 10

remontent à Pierre de Fermat dont les découvertes en théorie des nombres ont éclipséses contributions aux autres domaines des mathématiques.

On doit le concept de dérivée à Leibniz (1684 11) et à Newton (1691). La conditionobtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est généralisée parLeibniz sous la forme f ′(x) = 0. Pendant trois siècles, la règle de Fermat seraappliquée, justifiée, adaptée, et généralisée dans le contexte de la théorie del’optimisation, du calcul des variations, et de la théorie du contrôle optimal. Il fautsignaler les travaux intensifs de Euler (XVIIIè), Lagrange et Jacobi (XIXè), et dePoincaré et Hilbert (début du XXè).

10. Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.11. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates

moratur, et singulare pro illis calculi genus (Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que lestangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de decalcul pour celles-ci), dans Acta Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.



minimum local : f ′(x0) = 0

maximum local : f ′(x0) = 0

maximum global : f ′(b−) ≤ 0sup f ([a, b])

minimum global : f ′(a+) ≥ 0inf f ([a, b])

a b

Exemple d’extrema locaux et globaux





Il suffit de démontrer le résultat pour un minimum car un maximum de f est unminimum de −f .

Démonstration.

Par définition d’un minimum local, il existe V (x0, δ), 0 < δ ≤ min{x0 − a, b − x0} tel que

∀x ∈ V (x0, δ) ∩ [a, b], f (x) ≥ f (x0).

En particulier,

∀x , a < x < x0, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)

x − x0≤ 0 ⇒ f ′(x0) ≤ 0,

∀x , x0 < x < b, f (x) ≥ f (x0) ⇒ f (x) − f (x0)

x − x0≥ 0 ⇒ f ′(x0) ≥ 0,

puisque f ′(x0) existe. D’où f ′(x0) = 0.



Remarque

1) f ′(x0) = 0 6=⇒ x0 minimum local de f . On prend f (x) = x3 et x0 = 0 où f ′(0) = 0mais ∀δ > 0, ∃x ∈ V (0, δ) et x3 < 0 en posant x(δ) = δ/2. On peut aussi observer quela fonction est strictement croissante.2) f (x) = |x | a un minimum en x0 = 0, mais f ′(0) ∄.

Remarque

En fait, la démonstration du théorème permet aussi de dire quelque chose lorsque lepoint minimisant ou maximisant est x0 = a ou x0 = b :

(

a minimum local f ′(a+) ≥ 0

a maximum local f ′(a+) ≤ 0

(

b minimum local f ′(b−) ≤ 0

b maximum local f ′(b+) ≥ 0



Théorème

• f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et n ≥ 2 un entier

• les dérivées f (k)(x) existent en tout point de (a, b) jusqu’à l’ordre n et

f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0.

Alors(i) S’il existe un voisinage V (x0, δ) ⊂ (a, b) dans lequel f (n)(x) ≥ 0, alors

a) n pair ⇒ x0 minimum localb) n impair ⇒ f est croissante dans V (x0, δ) .

(ii) S’il existe un voisinage V (x0, δ) ⊂ (a, b) dans lequel f (n)(x) ≤ 0, alorsa) n pair ⇒ x0 maximum localb) n impair ⇒ f est décroissante dans V (x0, δ) .


DérivéesNature des extrema d’une fonction

Démonstration.

Il suffit de démontrer la partie (i) . La partie (ii) s’obtient de (i) appliqué à la fonction −f .La formule de Taylor donne : pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!.

Par hypothèse, il ne reste que le premier et le dernier terme et

f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!.

Si x ∈ V (x0, δ), alors |(x0 + θ(x − x0)) − x0| = |θ(x − x0)| ≤ |x − x0| < δ, ce quiimplique par hypothèse que f (n)(x0 + θ(x − x0)) ≥ 0.Si n est pair, (x − x0)

n ≥ 0 pour tout x ∈ [a, b] et

∀x ∈ V (x0, δ), f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!≥ 0

et x0 est un minimum local de f .Si n est impair, . . .



Démonstration.

La formule de Taylor donne : pour tout x ∈ (a, b), il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) =

n−1X

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k + f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!.

Par hypothèse, il ne reste que le premier et le dernier terme et

f (x) − f (x0) = f (n)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)

n

n!.

Si x ∈ V (x0, δ), alors |(x0 + θ(x − x0)) − x0| = |θ(x − x0)| ≤ |x − x0| < δ, ce quiimplique par hypothèse que f (n)(x0 + θ(x − x0)) ≥ 0.◮ Si n est impair, alors pour tout x0 − δ < x < y < x0 + δ, on a (y − x)n ≥ 0 et

f (y) − f (x) = f (n)(x + θ(y − x))(y − x)n

n!≥ 0

et f est croissante.



Corollaire

• f : [a, b] → R, x0 ∈ (a, b), et n ≥ 2 un entier,

• les dérivées f (k)(x) existent en tous points de (a, b) jusqu’à l’ordre n et

f ′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0,

• f (n)(x) est continue en x0.

Alors(i) Si f (n)(x0) > 0, alors

a) n pair ⇒ x0 minimum localb) n impair ⇒ f est strictement croissante dans un voisinage V (x0, δ).

(ii) Si f (n)x0) < 0, alorsa) n pair ⇒ x0 maximum localb) n impair ⇒ f est strictement décroissante dans un voisinage V (x0, δ).

Exemple

La fonction f (x) = x4 possède un minimum en x = 0 tel quef ′(0) = f (2)(0) = f (3)(0) = 0, et f (4)(0) = 24 > 0.



Exemple

Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombres réelspositifs a1, a2, . . . , an

n√

a1a2 . . . an ≤ a1 + a2 + · · · + an

n

et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On pose f (x) = ex − 1 − x . Alors f (0) = 0, f ′(x) = ex − 1, f ′(0) = 0, etf ′′(x) = ex > 0. Donc, pour tout x ≥ 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2

2f ′′(θx),

x2

2f ′′(θx) =

x2

2eθx

(

> 0, si x 6= 0

= 0, si x = 0

⇒ ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0 .

On pose A = (a1 + · · · + an)/n et G = n√

a1 . . . an.◮ Si A = 0, alors tous les ai = 0 et A = G.



Exemple


n√

a1a2 . . . an ≤ a1 + a2 + · · · + an

n

et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On pose f (x) = ex − 1 − x . Alors f (0) = 0, f ′(x) = ex − 1, f ′(0) = 0, etf ′′(x) = ex > 0. Donc, pour tout x ≥ 0, il existe θ ∈ (0, 1) tel que

f (x) = f (0) + x f ′(0) +x2

2f ′′(θx),

x2

2f ′′(θx) =

x2

2eθx

(

> 0, si x 6= 0

= 0, si x = 0

⇒ ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0 .

On pose A = (a1 + · · · + an)/n et G = n√

a1 . . . an.◮ Si A = 0, alors tous les ai = 0 et A = G.



Exemple


G déf= n

√a1a2 . . . an ≤ A déf

=a1 + a2 + · · · + an

n

et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux.On a montré que

ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x ⇐⇒ x = 0

◮ Pour A > 0, on prend des x de la forme ak/A − 1 :

∀k , eakA −1 ≥ 1 +

“ak

A− 1”

=ak

A

1 = e

»

Pnk=1 ak

A− n–

= e

"

nX

k=1

“ak

A− 1”

#

≥nY

k=1

ak

A=

Gn

An⇒ G ≤ A.



Exemple

(suite) Montrer que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x . En déduire que pour tous nombresréels positifs a1, a2, . . . , an

G déf= n

√a1a2 . . . an ≤ A déf

=a1 + a2 + · · · + an

n

et que l’égalité n’est vraie que si tous les ai sont tous égaux. On a montré que

ex > 1 + x ⇐⇒ x 6= 0 et ex = 1 + x = 0 ⇐⇒ x = 0 .

◮ De plus comme

∀k , eakA −1 ≥ 1 +

“ak

A− 1”

=ak

A

la seule façon dont les produits puissent être égaux est que chaque terme de droitesoit égal à chaque terme de gauche

A = G ⇐⇒ ∀k , eakA −1 = 1 +

“ak

A− 1”

⇐⇒ ∀k ,ak

A− 1 = 0.

On en conclut que A = G si et seulement si ak = A pour tout k = 1, . . . n.


Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


DérivéesMéthode de Newton

f (x)

xa

x3 x2 x1 b

F IGURE: Méthode de Newton



On se donne une fonction continue f : [a, b] → R pour laquelle f ′ et f ′′ existent dans(a, b). On cherche le ou les zéros x0 ∈ [a, b] def : [a, b] → R par une méthodeitérative : f (x0) = 0. C’est un algorithme qui converge de façon quadratique lorsqueque l’on se trouve suffisamment près d’un zéro de f .

On fait les hypothèses suivantes :(a) f (a) f (b) < 0 ce qui garantit qu’il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0(b) f ′(x) 6= 0 dans [a, b] (⇒ le zéro x0 de f est unique dans [a, b])(c) f ′′(x) conserve son signe dans (a, b)

Les étapes sont les suivantes :(1) x1 ∈ [a, b] est le premier estimé (par exemple a ou b)(2) soit x2 ∈ [a, b] tel que la droite tangente en x1 intersecte l’axe des x

f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n

f (xn+1) + (xn+1 − xn) f ′(xn) = 0 ⇒ xn+1 = xn − f (xn)

f ′(xn)

(4) Pour assurer la convergence, il faut partir avec x1 égal à a ou b tel quef (x1) f ′′(x1) > 0.






f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)







f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)







f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)







f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)







f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)







f (x1) + (x2 − x1) f ′(x1) = 0 ⇒ x2 = x1 −f (x1)

f ′(x1)

(3) À l’étape n


f ′(xn)




f (x)

xa

x3 x2 x1 b

F IGURE: Méthode de Newton



a

bx2x1

(a) f ′′(x) ≥ 0

b

a

(b) f ′′(x) ≤ 0

F IGURE: signes de f et f ′′.



Exemple (Calcul de√

5)

On cherche les zéros de la fonction f (x) = x2 − 5 qui a pour dérivées f ′(x) = 2x etf ′′(x) = 2 > 0. L’algorithme pour calculer une racine carrée de a > 0 est donc de laforme

xn+1 = xn − x2n − a2xn

=12

„

xn +axn

«

.

Par encadrement, on vérifie que f (2) = −1 et f (3) = 4. Par le théorème des valeursintermédiaires, il existe donc un zéro de f dans (2, 3). On vérifie aussi que f ′(x) > 4dans (2, 3).Comme f (3) f ′′(3) > 0, on part avec x1 = 3 ce qui donne

x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333

x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067




5)



=12

„

xn +axn

«

.


x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333

x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067




5)



=12

„

xn +axn

«

.


x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333

x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067




5)



=12

„

xn +axn

«

.


x2 = 3 − f (3)/f ′′(3) = 3 − 4/6 = 2.333

x3 = 2.238, x4 = 2.23606, x5 = 2.236067



Théorème

• f : [a, b] → R , f ′(x) existe dans [a, b], et f ′′(x) existe dans (a, b)

• f (a) f (b) < 0

• ∃m, M tels que |f ′(x)| ≥ m > 0 et |f ′′(x)| ≤ M dans (a, b).

Alors

(i) il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0

(ii) il existe un intervalle [a∗, b∗] ⊂ [a, b] tel que x0 ∈ [a∗, b∗] et pour tout point initialx1 ∈ [a∗, b∗] les points de l’algorithme

xn+1 = xn − f (xn)

f ′(xn), n ≥ 1,

possèdent les propriétés suivantes : ∀n ≥ 1

xn ∈ [a∗, b∗], |xn+1 − x0| ≤M2m

|xn − x0|2 , et xn → x0.



Démonstration.

(i) Puisque f (a) f (b) < 0, il existe x0 ∈ (a, b) tel que f (x0) = 0 par le théorème desvaleurs intermédiaires.(ii) Soit la suite {xn} construite par l’algorithme. Par le théorème de Taylor, il existeθn ∈ (0, 1) tel que

0 = f (x0) = f (xn) + f ′(xn) (x0 − xn) +f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2

xn+1 − x0 = xn −f (xn)

f ′(xn)− x0 =

1f ′(xn)

f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2

en divisant tous les termes de la première identité par f ′(xn).

⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|

|f ′(xn)||xn − x0|2

2≤ M

m|xn − x0|2

2.

On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et [a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ].Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et

|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].



Démonstration.



2!(x0 − xn)

2

xn+1 − x0 = xn −f (xn)

f ′(xn)− x0 =

1f ′(xn)

f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2


⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|

|f ′(xn)||xn − x0|2

2≤ M

m|xn − x0|2

2.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].



Démonstration.



2!(x0 − xn)

2

xn+1 − x0 = xn −f (xn)

f ′(xn)− x0 =

1f ′(xn)

f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2


⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|

|f ′(xn)||xn − x0|2

2≤ M

m|xn − x0|2

2.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].



Démonstration.



2!(x0 − xn)

2

xn+1 − x0 = xn −f (xn)

f ′(xn)− x0 =

1f ′(xn)

f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2


⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|

|f ′(xn)||xn − x0|2

2≤ M

m|xn − x0|2

2.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].



Démonstration.



2!(x0 − xn)

2

xn+1 − x0 = xn −f (xn)

f ′(xn)− x0 =

1f ′(xn)

f ′′(x0 + θn(xn − x0))

2!(x0 − xn)

2


⇒ |xn+1 − x0| ≤|f ′′(x0 + θn(xn − x0))|

|f ′(xn)||xn − x0|2

2≤ M

m|xn − x0|2

2.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < 1 · δ = δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].



Démonstration.

(suite) On choisit δ, 0 < δ < 2m/M, tel que [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ [a, b] et[a∗, b∗] = [x0 − δ, x0 + δ]. Donc pour le premier point x1 ∈ [a∗, b∗], on a |x1 − x0| < δ et

|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].

◮ De la même façon

|xn+1 − x0| ≤M2m

|xn − x0|2 <

„

Mδ

2m

«n

|x1 − x0|.

Comme Mδ/(2m) < 1, |Mδ/(2m)|n < 1, xn+1 ∈ [a∗, b∗], et xn → x0.



Démonstration.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].


|xn+1 − x0| ≤M2m

|xn − x0|2 <

„

Mδ

2m

«n

|x1 − x0|.




Démonstration.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].


|xn+1 − x0| ≤M2m

|xn − x0|2 <

„

Mδ

2m

«n

|x1 − x0|.




Démonstration.


|x2 − x0| ≤M2m

|x0 − xn|2 <Mδ

2m|x1 − x0| < δ ⇒ x2 ∈ [a∗, b∗].


|xn+1 − x0| ≤M2m

|xn − x0|2 <

„

Mδ

2m

«n

|x1 − x0|.




Exemple

Soit la fonction f (x) = x3 − 4x + 2 qui possède 3 solutions réelles distinctes. On af ′(x) = 3x2 − 4 et f ′′(x) = 6x . L’algorithme est

xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.

Comme la dérivée a deux zéros distincts, ±2/√

3 = ±1.154700538, les trois zérosx1 < x2 < x3 de f se trouve intercalés entre elles : x1 < −2/

√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On

peut ensuite identifier les intervalles appropriés pour chaque racine :f (−3) = −13,f (−2) = 2,f (−2/

√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,

f (1.5) = −0.625f (2) = 2.On choisit donc [−3,−2], [0, 1], et [1.5, 2] pour éviter les points où f ′(x) s’annule. Danscet exemple on peut aussi identifier les constantes m et M dans chaque intervalle etcalculer le δ associé.



Exemple


xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.



√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On


√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,




Exemple


xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.



√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On


√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,




Exemple


xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.



√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On


√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,




Exemple


xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.



√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On


√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,




Exemple


xn+1 = xn − x3n − 4xn + 2

3x2n − 4

.



√3 < x2 < 2/

√3 < x3. On


√3) = 5.079201436, f (−1) = 5,

f (0) = 2,f (1) = −1,f (2/

√3) = −1.079201436,



Plan






6 Formule de Taylor



9 Références


Références

[1] J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,Mont-Royal, Canada, 1993.

[2] Notes sur Fermat : http : //fr .wikipedia.org/wiki/Fermat

[3] Notes sur Leibniz : http : //fr .wikipedia.org/wiki/Leibniz.

[4] Notes sur L’Hôpital :http : //fr .wikipedia.org/wiki/GuillaumeFrançoisAntoine,m arquisdeL’Hôpital

[5] Notes sur Newton : http : //fr .wikipedia.org/wiki/IsaacNewton

[6] Notes sur Rolle : http : //fr .wikipedia.org/wiki/MichelRolle,http : //www .gap − system.org/ history/Biographies/Rolle.html ,


Documents

Dérivation - Chapitre 5