8/14/2019 DS 03
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Partie analyseExercice 1 :Soient :f de classe sur et a2C .
1 Calculer 20
( ) 2 ( ) (
limh
)f a h f a f a h
h
+ + .
2 Calculer0
( ) (0)( )
limx
f x ff x
x
x
.
3 Soit
{ }: \
( ) ( )
a
f x f ax
x a
. Montrer quon peut prolongeren une fonction de
classe sur1C
4 On suppose que tels que,m M , ( ) et ( )x f x m f x M .
A Montrer que2
0, , ( )2
m hMh x f x
h > + . En dduire quef est borne.
B Application : Montrer que lim ( ) 0 lim ( ) 0x x
f x f x+ +
= = .
5 On suppose maintenant que f est de classe sur .3C
A Calculer30
( 3 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) (limh
)f a h f a h f a h f a
h
+ + + + .
B Montrer que ] [, ,x y c x < y tel que :
( )2
(3)( ) ( ) ( ) ( )
2 24
y xx yf y f x y x f f c
+ = + +
.
Exercice 2 :Soit [ ]: , ( )a b a b .
I - On suppose que ( ) ( ) 0f a f b= = .
1 Montrer que [ ] ] [1
, , , , ( ) ( )( ) ( )2
x xx a b c a b f x x a x b f c =
2 En dduire que [ ], , ( ) ( )( )2
Mx a b f x x a b x , ( ) ( )
2
Mf a b a et
( ) ( )2
M
f b b a .
3 Montrer que si ] [0 0 0, tel que ( ) ( )( )2
M0
x a b f x x a x b = alors [ ],x a b on a
( ) ( )( )2
Mx x a x= b .
4 Montrer quil en est de mme si ( ) ( )2
Mf a b a= .
II On suppose plus que ( ) ( ) 0f a f b= = .
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1 Montrer lexistence de deux fonctions polynmes du second degr
Pet Qvrifiant
, ,( ) ( ) ( )P a Q a f a= = ( ) ( ) ( )P b Q b f b= =[ , ] [ ,
]
sup ( ) sup ( )x a b x a b
P x Q x M
= = et [ ],x a b on a
.( ) ( ) ( )P x f x Q x
2 Montrer que [ ],x a b on a( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (2 2
f b f a M f b f a Mb a f x b a
b a b a
+
) et que les ingalits sont strictes
pour ] [,x a b .Exercice 3 :Soit : convexe.
1 Montrer que lim ( )x
f x+
.
2 Montrer que( )
limx
f x
x+ .
3 On suppose que ( )limx
f x lx+
= , montrer que ( )lim ( )x
f x lx+
.
4 En dduire les types de branches infinies que peut avoir une
fonction convexe.
5 On suppose que fadmet une asymptote (D) dquation y mx p= + au
voisinage de .+
A Soit hune fonction convexe telle que lim ( ) 0x
h x+
= .Montrer que hest dcroissante et
que .0h
B En dduire la position relative entre ( )fC et (D).
C On suppose de plus que fest drivable. Montrer que lim ( )x
f x m+
= et
( )lim ( ) ( )x
f x xf x p+
= .
Bonne chance
