DS1 électrocinétique

1 DS1 [DS1.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008

Devoir surveille de Sciences Physiques n 1 du 22-09-2007 Duree : 4 heures

Proble`me no 1 Variome`tre a` affichage electronique Centrale PC 2006

Ce proble`me etudie un variome`tre, instrument de mesure de la vitesse verticale dun engin volant. Cet appareilest indispensable aux pilotes des aeronefs sans moteur (planeurs, deltaplanes et parapentes) puisquil leur serta` detecter les courants dair ascendants qui permettent a` ces aeronefs de se maintenir en lair ou de gagner delaltitude.Lorsquun aeronef posse`de une vitesse verticale Vz, un piston se deplace dune quantite x proportionnelle a` cettevitesse. On a x = Vz ou` est une constante positive. Un capteur comportant 4 condensateurs C1a, C2a, C1bet C2b assimilables a` des condensateurs plans permet de mesurer le deplacement x du piston et ainsi daccedera` la vitesse Vz. Voir la figure 1.Au repos, defini par x = 0, les armatures des condensateurs sont toutes distantes de e0, on considerera toujoursque le deplacement du piston est petit devant la distance inter-armature : x e0. Les armatures ont unesurface en regard S et baignent dans un liquide dielectrique de permittivite . Lorsque la distance separant deuxarmatures metalliques est e, la capacite du condensateur est C = S/e.

z

0b

x

C1a C2a

C1b C2barmature

fixe

armature

mobile

Fig. 1 Structure du capteur

A. Etude du syste`me de capacites differentielles

1. Determiner les expressions des capacites variables : C1a, C2a, C1b et C2b en fonction de , S, e0 et x.

2. Application numerique : = 1, 6 108 F m1, S = 9 cm2 et e0 = 3 mm. Determiner la valeur communedes capacites lorsque x = 0.

B. Oscillateur a` pont de Wien

Dans toute cette parie, on supposera les amplificateurs operationnels ideaux, fonctionnant en regime lineaire.

3. On conside`re le quadrupole de la figure 2. Preciser le mode`le de lamplificateur ideal en regime lineaire.Determiner la fonction de transfert F = S/E en fonction de R1 et R2 quand lamplificateur operationnel esten regime lineaire. Preciser les limitations pratiques que lon peut rencontrer. Tracer la caracteristique s(e),cest-a`-dire le graphe representant s en ordonnee en fonction de e en abscisse.

b

e

bb

R1

b b

R2

b

b

b

-

+

s

Fig. 2 Amplification

4. Determiner la fonction de transfert G = S/E du filtre de Wien de la figure 3. Preciser les parame`trescaracteristiques du filtre (gain maximum, facteur de qualite, pulsation particulie`re).

5. Tracer les diagramme de Bode (gain et phase) associe a` G. On fera apparatre sur chacun des graphes letrace asymptotique et le trace reel. Quelle est la fonction de ce quadrupole ?

JR Seigne Fauriel St Etienne

Sciences Physiques MP 2007-2008 DS1 [DS1.tex] 2

b

b b

Rb b

C

bb

bb

e sC R

Fig. 3 Filtre de Wien

6. On couple le filtre de Wien avec le montage amplificateur, voir la figure 4. On suppose le regime lineairetoujours etabli. A` partir des expressions de F et G, montrer quil peut theoriquement exister un signal sinusodalsans generateur basse frequence pour une valeur r = R2/R1 et une frequence f a` determiner.

bbb

bbb bb b

b

b

b

+

-b b

b b

e

sRC

R

C

R2

R1

b

Fig. 4 Oscillateur

7. En utilisant la relation imposee par lamplificateur et lequation differentielle du filtre de Wien, etablirlequation differentielle verifiee par s. Montrer quil peut exister un signal sinusodal sans generateur bassefrequence. Retrouver les conditions de la question precedente. Calculer numeriquement f si R = 10 k etC = 4, 8 nF.

8. En pratique, on ne sait pas realiser exactement la condition r = R2/R1. A` partir de lequation differentielleprecedente, montrer quune condition dapparition des oscillations est r = R2/R1 = n (n entier a` definir). Sion choisit R2 = 10 k, les valeurs disponibles dans les catalogues etant 4, 7 k, 5, 6 k et 10 k, quelle valeurdoit-on prendre pour R1 ?

9. On donne la caracteristique dune diode Zener ideale sur la figure 5 (a` gauche). Pour ameliorer le compor-tement du montage, on remplace la resistance R2 par le dipole AB de la figure 5 (a` droite) qui comporte deuxresistances R2 et R3 et deux diodes Zener tete beche.

b b

i

v

v

i

b bb

0

vZvD

b b

R2

b b

A Bi

b b b b

R3b b

v

Fig. 5 Amelioration du montage

Tracer la caracteristique v(i) du dipole AB, cest-a`-dire le graphe representant la tension v en ordonnee enfonction du courant i en abscisse. Precisez en fonction de R2, R3, vD, vZ les differentes pentes et les coordonneesdes points particuliers de cette caracteristique.

10. En quoi lintroduction du dipole AB ameliore la qualite de loscillateur ?



C. Etude globale du capteur

Le capteur complet se compose du syste`me de condensateurs C1a et C1b de capacite C1 et du syste`me decondensateurs C2a et C2b de capacite C2. Ces condensateurs sont utilises dans deux oscillateurs sinusodaux a`pont de Wien qui oscillent respectivement aux pulsations 1 = 1/RC1 et 2 = 1/RC2. Soit v1(t) = A cos1tle signal issu du premier oscillateur et v2(t) = A cos2t le signal issu du second oscillateur. Ces signaux sonttraites par un montage electronique comportant un multiplieur qui fournit la tension vm(t) = kmv1(t)v2(t) etune cellule de filtrage RC , avec km une constante multiplicative. La tension vC aux bornes du condensateurde la cellule RC est alors analysee par un frequenceme`tre qui delivre une tension continue VS proportionnellea` la frequence f de vC . On posera VS = f . Voir la figure 6.

v2

v1

multiplieur

b b

bb

b

R

C frequenceme`tre

VS

Fig. 6 Capteur

11. Comment faut-il choisir le produit = RC pour obtenir une tension VS proportionnelle a` x ?

12. Determiner alors la relation entre VS et la vitesse verticale de laeronef.

Proble`me no 2 Analyseur de Fourier simplifie Capes 2006

A. Generalites

1. Soit un syste`me physique qui a` une grandeur dentree fonction du temps e(t) fait correspondre une grandeur

de sortie fonction du temps s(t). A` quelle condition ce syste`me peut-il etre dit lineaire ?

2. On etudie experimentalement plusieurs syste`mes (1, 2 et 3) a` laide dun analyseur numerique. Pour celaon applique a` leur entree le meme signal e(t). On donne a` la figure 7 les spectres de Fourier du signal e(t) etceux des signaux obtenus en sortie des trois syste`mes. Le syste`me 1 est-il lineaire ? Quel est son role ?

f( kHz)

amplitude

Spectre de e(t)

1 2 3 4 5 f( kHz)

amplitude

Spectre de s1(t)

1 2 3 4 5 f( kHz)

amplitude

Spectre de s2(t)

1 2 3 4 5 f( kHz)

amplitude

Spectre de s3(t)

1 2 3 4 5Fig. 7 Etude des syste`mes 1, 2 et 3

3. Quen est-il des syste`mes 2 et 3 ?

On utilise des dipoles lineaires en regime sinusodal. On note u(t) = U2 cos(t + u) la tension aux bornes

dun dipole et i(t) = I2 cos(t + i) lintensite du courant qui traverse le dipole, u(t) et i(t) sont definis en

convention recepteur.

4. Donner lexpression des amplitudes complexes associees a` la tension et a` lintensite. Etablir lexpression delimpedance Z complexe associee a` chacun des dipoles suivant : resistance pure, capacite pure, inductance pure.

5. On mesure pour un dipole lineaire particulier : Z = A + jB avec A = B = 1 k. Calculer i(t) siu(t) = 10

2 cost avec u(t) en volts.

6. On conside`re le montage de la figure 8. Demontrer lexpression de lamplitude complexe V A du potentiel aunud A en fonction des admittances Y i = 1/Zi et des amplitudes complexes V i des potentiels des extremitesdes branches. Ceci constitue le theore`me de Millman.

B. Filtre selectif

On etudie le montage de la figure 9. Lamplificateur est ideal et fonctionne en regime lineaire. On impose a`lentree une tension sinusodale e(t) de pulsation . On etudie la fonction de transfert du montage T = s/e.

7. Pourquoi se contente-t-on detudier le transfert dune grandeur sinusodale ?

8. Etablir le syste`me dequations verifiees par V A, V B , s en fonction de e et des elements du montage.



b bb b

bb

V 3

Z3

V 2Z2

V 1

Z1

V A

Fig. 8 Theore`me de Millman

b

e

b b

R1

bb

R2

bb

C1

b b

C1

bb

2R1

b

b

b

+

-

s

A B

Fig. 9 Filtre selectif

9. Montrer que lon peut mettre T () sous la forme :

T () =1

1 + j

(R1C1 1

ReC1

) = 11 + jQ

(

0 0

)

avec Re =2R1R2R1 +R2

. Identifier Q et 0 = 2f0 en fonction de R1, R2 et C1.

10. Calculer les valeurs a` donner a` R1 et C1 pour avoir 0 = 36 103 rad s1, le facteur de qualite etantQ = 2 et la resistance R2 = 1 k.

11. Tracer lallure du gain en decibel T dB() = |T ()|. Definir et calculer numeriquement la bande passante.C. Analyseur de Fourier

On met a` lentree du circuit de la figure 9 le signal e(t) represente sur la figure 10 avec f = 1/T = 3 kHz etE = 10 V.

t

e(t)b

b

0

E

Fig. 10 Signal creneau

On montre quon peut decomposer le signal e(t) en une combinaison lineaire de sinusodes sous la forme :

e(t) =E

2+

2E

sin 2ft+

2E

3sin 23ft+

2E

5sin 25ft+ . . .

12. Comment sappellent les divers termes et les diverses frequences qui apparaissent dans lexpression dee(t) ?

13. Tracer lallure du signal de sortie s(t) si le circuit de la figure 9 est regle pour f0 = 1 kHz et Q = 20.

14. Comment pourrait-on utiliser ce circuit pour determiner le spectre en frequence de e(t) ?



Proble`me no 3 Ondes dans un plasma CCP MP 2005

On donne : 1/40 9 109 SI, m = 9, 1 1031 kg, qe = 1, 6 1019 C.Pour un champ electrique radial a` symetrie spherique de la forme E = Er(r)er, on rappelle lexpression de la

divergence : divE =1

r2(r2Er)

r.

A. Mode`le de Thomson de latome dhydroge`ne

1. Dans un mode`le classique de latome dhydroge`ne, du a` J.J. Thomson en , le noyau positif de chargetotale qe est modelise par une sphe`re uniformement chargee de rayon a0 = 50 1012 m = 50 pm. Quelle est ladensite volumique de charge correspondante (expression litterale et valeur numerique) ?

2. Montrer que le champ electrique cree par cette distribution de charge en un point M situe a` la distance rdu centre de la sphe`re, est donne par :

Eat,ra0 =qe

40

r

a30er et Eat,ra0 =

qe40

1

r2er

3. Un electron de masse m et de charge qe, suppose ponctuel, est place au centre de cette distribution.Montrer que, si lon ecarte lelectron de cette position dune quantite r a0, il est soumis a` une force de rappelFate que lon explicitera. Quelle est lintensite de cette force pour r = 25 pm?

4. Quel sera le mouvement ulterieur de lelectron sil est lache, sans vitesse initiale, a` partir dun pointcaracterise, dans un repe`re cartesien centre sur le noyau, par r0 = (x0, 0, 0), 0 x0 a0 ?5. On superpose au champ cree par le noyau, un champ uniforme Ea = Eaex. Montrer que si ce champ est

suffisamment faible, lelectron prend une nouvelle position dequilibre r0 tout en restant lie au noyau. Pourquelle valeur numerique maximum de Ea cette position existe-t-elle ?

6. Quelle est, dans cette position, le moment dipolaire p de la distribution de charge ? On rappelle la definitiondu moment dipolaire de deux charges opposees (+q,q) situees respectivement en B et A : p = qAB.7. On pose p = 0Ea ou` est la polarisabilite electronique. Quelle est la dimension physique de ? A` quelle

caracteristique physique de latome peut-on la comparer ? Quelle est sa valeur numerique pour le mode`le deThomson ?

8. Le champ applique est maintenant variable dans le temps avec une pulsation : Ea = Ea costex. Ennegligeant tout autre effet eventuel et en supposant que le champ Ea(t) est damplitude suffisamment faible(inferieure a` la valeur trouvee a` la question 5), ecrire lequation du mouvement de lelectron sous lactioncombinee des champs Eat et Ea.

9. Donner sa solution en regime sinusodal permanent ; En deduire lexpression de la polarisabilite en fonctionde la pulsation . Representer sommairement le graphe de la fonction ().

B. Etude du champ electrique dans un plasma

Un plasma est constitue de deux types de particules chargees. On notera respectivement n+ et n la densiteparticulaire des charges positives et negatives. Dans le cadre dune modelisation analogue a` celle du mode`lede Thomson, la distribution de charges positives est supposee uniforme dans lespace. Les charges negatives(electrons) sont libres de se deplacer. A` lequilibre, la charge volumique = (n+n)qe, le champ et le potentielsont nuls en tout point. On suppose desormais que le deplacement des charges negatives se fait uniquementsuivant la direction ex et que les charges positives sont fixes dans le referentiel detude.Sous leffet dune perturbation, les electrons contenus initialement dans une tranche cylindrique de base S dansle plan dabscisse x et depaisseur dx se retrouvent x+ (x, t) et depaisseur dx+d(x, t) avec |d(x, t)| |dx|,voir la figure 11.

x

xx

x

+ d

x+ dx

x+ dx

Fig. 11 Perturbation dans le plasma

10. En ecrivant la conservation du nombre des electrons contenus initialement dans la tranche cylindrique debase S et depaisseur dx, etablir lexpression de la variation dn(x, t) de la densite particulaire delectrons enfonction de n(x, t) et de d/dx.

11. Exprimer la charge volumique (x, t) et le moment dipolaire volumique P (moment dipolaire par m3)resultant de ce deplacement en fonction de n, qe et .



12. En utilisant lequation de Maxwell Gauss, donner lexpression en fonction de n, qe et du champelectrique EP cree dans le plasma par cette distribution de charge.

13. Quelle est alors la relation entre le champ EP cree par la matie`re polarisee et le moment dipolaire volumiqueP ?

14. Ecrire lequation du mouvement pour un electron soumis a` ce seul champ et dont le deplacement parrapport a` lequilibre est .

15. Montrer que le plasma peut etre le sie`ge doscillations spontanees de la charge volumique electroniqueet expliciter leur pulsation p en fonction des constantes qe, m, 0 et de n

. Quelle est la valeur de p pourn = 1029 m3 ?

16. Le plasma est soumis a` un champ applique Ea(t) = Ea costex variant dans le temps avec une pulsation

. Ecrire lequation du mouvement dun electron sous laction combinee du champ electrique applique et duchamp EP cree par le plasma polarise. Etablir la relation entre le moment dipolaire volumique P et le champapplique en fonction de et p. En deduire la relation entre le moment dipolaire volumique P et le champ localE = Ea +EP en fonction de et p. On posera P = 0()E et on explicitera ().

C. Onde electromagnetique dans un plasma

La perturbation evoquee ci-dessus est une onde electromagnetique plane polarisee rectilignement selon Ox depulsation dont le champ electrique secrit Ea(x, t) = Ea expi(t kx)ey. La vitesse des particules chargeesrestant faible par rapport a` celle de la lumie`re, on neglige dans la suite leffet du champ magnetique sur leurmouvement. On neglige egalement toute dissipation denergie. Dans ces conditions, la propagation dune ondede pulsation obeit a` lequation de DAlembert ou` lon a simplement remplace la permittivite du vide 0 par

la valeur = 0

(1

2p

2

).

17. Ecrire lequation de DAlembert pour une onde plane polarisee du type donne et en deduire la relationde dispersion k().

18. Expliciter pour une telle onde, les vitesses de phase et de groupe.

19. Montrer que ne peuvent se propager que des ondes dont la frequence est superieure a` une certaine valeurc que lon explicitera.

20. Le plasma ionospherique correspond a` une densite electronique n = 1012 m3. Calculer la frequence decoupure en dessous de laquelle les ondes ne peuvent le traverser. Dans quel domaine du spectre electromagnetiquese situe cette frequence ?

21. En tenant compte du mode`le propose, expliquer ce que deviennent les ondes qui ne peuvent se propagerdans ce plasma.


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