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1 DS3 [DS3.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008

Devoir surveille de Sciences Physiques n 3 du 10-11-2007 Duree : 4 heures

Probleme no 1 Franges de Pohl CCP PC 2004

A. Generalites

On considere deux ondes de meme amplitude s0 emises par deux sources ponctuelles monochromatiques delongueur donde situees dans le vide, S1 et S2, distantes de la longueur a, ces deux sources etant coherenteset en phase. On negligera la variation des amplitudes en fonction des parcours r1 et r2.

1. On considere un plan dobservation parallele a la droite des sources et situe a une distance D de celles-ci,le point courant P decrivant laxe Ox. On suppose D a et D x. Voir la figure 1.

zb

b

b

bP (x)

x

aO

D

S1

S2

r1

r2

Fig. 1 Ecran parallele a la droite des sources

Exprimer lintensite I en fonction de x, position du point P de lecran.

2. Definir et exprimer linterfrange.

3. On considere maintenant un plan dobservation perpendiculaire a la droite des sources et situe a une distanceD de leur point milieu. On suppose que D a et D . Voir la figure 2.

zb b b

b

b

P ()

a

O

DS1

S2

r2r1

r

Fig. 2 Ecran perpendiculaire a la droite des sources

Exprimer la difference de marche en fonction de a et de .

4. Decrire et justifier la figure dinterferences observee a lecran.

5. Exprimer lintensite I au point P de lecran.

B. Franges de Pohl

Lutilisation dune lame mince en verre ou en mica a faces paralleles dindice n permet dobserver un phenomenedinterferences connu sous le nom de franges degale inclinaison. La figure 3 presente le dispositif experimentalpour une source ponctuelle monochromatique de longueur donde dans le vide. Lecran est situe parallelementa la lame a une distance D de celle-ci, la source S etant situee a une distance d de la lame avec d D. Deuxrayons issus de S interferent en P situe a la distance de O. Le premier se reflechit sur la face avant de la lame,ce qui rajoute un dephasage supplementaire de . Le second se reflechit sur la face arriere sans introduire dedephasage.

zb b b b

bP ()

O

DS1

S2 S

e

n

d

Fig. 3 Franges de Pohl

JR Seigne Fauriel St Etienne

Sciences Physiques MP 2007-2008 DS3 [DS3.tex] 2

6. Decrire la figure dinterferences observee a proximite de O.

7. Exprimer le chemin optique S1P parcouru par le rayon issu de S et se reflechissant sur la face avant de lalame, en fonction de d, D, et /2. Donner lexpression approchee de S1P pour D + d.8. Le chemin optique S2P parcouru par le rayon issu de S et se reflechissant sur la face arriere de la lame

est donne par lexpression approchee : S2P = D + d+ 2ne+2

2(D + d) e

2

n(D + d)2. Justifier rapidement cette

expression lorsque = 0. Calculer ensuite la difference de marche ainsi que lordre p dinterference entre lesdeux rayons pour une valeur de quelconque.

9. En supposant que les deux ondes interferant en P sont damplitude semblable, exprimer lintensite lumineuseen I().

On realise experimentalement le dispositif des franges de Pohl en utilisant une source ponctuelle monochro-matique de longueur donde = 0, 58 m (dans le vide) situee a une distance d = 2, 5 cm dune lame de micadindice n = 1, 617 et depaisseur e = 130 m. Lecran est situe a une distance D = 1 m de la lame.

10. Calculer lordre dinterference p0 au point O de lecran. Conclure.

11. On note p1 lordre dinterference du premier anneau brillant. Donner la valeur de p1. En deduire la valeurde son rayon 1.

12. On considere le meme anneau brillant dordre dinterference pm et de rayon m. Exprimer m en fonctionde 1 et m. Calculer le rayon 2 du second anneau brillant.

13. Comment caracterise-t-on un anneau sombre ? Calculer le rayon 1 du premier anneau sombre.

14. Que constate-t-on si on deplace la source S, parallelement a lecran, dune distance L ?

15. On substitue a S une source large (sa largeur etant consideree parallelement a lecran). Est-il toujourspossible dobtenir une figure dinterference sur lecran ? Quelle est la largeur maximale de la source permettantdobserver distinctement les deux premiers anneaux lumineux ?

16. Si lecran est place a grande distance de la lame, que se passe-t-il ? Que peut-on en deduire sur lutilisationdune source large ?

17. Proposer un dispositif pratique permettant dobserver le phenomene dinterferences a linfini. Justifier lefait quon observe alors des franges degale inclinaison.

Probleme no 2 Le bain de bebe Mines PSI 2007

Le bain est une activite quotidienne tres appreciee du jeune enfant. Son bien-etre lors du bain est, selon toutevraisemblance, lie au caractere aquatique de sa vie intra-uterine. Les jeux quil y pratique sont tres differents deceux quil effectue durant le reste de la journee. A lage de un an, le bebe peut utiliser, sans risques, la baignoirede ses parents. Le probleme propose etudiera le thermometre utilise pour controler la temperature.Ce thermometre est un plastique en forme de poisson qui possede une bande rectangulaire contenant des zones acristaux liquides. Celles-ci dessinent les temperatures comme par exemple 34 C, 36 C, 40 C ou bien le termeOKBaby pour la temperature de 37 C. Le principe de fonctionnement est le suivant : si leau est a 36 C, seulelinscription 36 C apparat visible sur la bande rectangulaire sensible du thermometre, les autres napparaissentpas. Voir les photographies de la figure 4.

Fig. 4 Thermometre a cristaux liquides

Ainsi, il est possible de controler rapidement la temperature du bain. Ce probleme a pour but de comprendrele principe de fonctionnement de ce thermometre.

A. Generalites

On considere un miroir de longueur e, place dans lair assimile au vide, eclaire par une onde lumineuse planemonochromatique de longueur donde dans le vide . La lumiere incidente fait un angle avec le plan du miroiret on etudie la diffraction a linfini dans langle demergence i defini par rapport au plan du miroir commeindique sur la figure 5. Le miroir possede une largeur e. Sa longueur est suffisamment grande pour quon puissenegliger ses consequences en terme de diffraction.



e

i

Fig. 5 Diffraction par un miroir

1. Etablir, a partir des expressions des amplitudes complexes des ondes lumineuses, que lintensite lumineusediffractee est donnee par :

I1 = I0sinc2

[e

(cos cos i)

]

2. Tracer lallure de lintensite diffractee en fonction de langle i dans les cas suivants : Cas (a) : la longueur e du miroir est legerement superieure a la longueur donde (e > , e ) Cas (b) : e est tres grand devant .On ne manquera pas de commenter ces resultats.

On etudie maintenant les interferences entre les ondes diffractees a linfini par deux miroirs identiques a celuides questions precedentes. Letude seffectue pour un angle demergence i. Ces deux miroirs, toujours disposesdans lair, sont separes par la distance d. Ils sont eclaires de facon coherente par la meme source. La figure6 decrit les conditions de letude. On ne se preoccupera pas dune eventuelle interception du rayon (2) par lemiroir (1) comme cela apparat sur le schema.

e

i

Miroir 2

e

i

Miroir 1

d

Fig. 6 Deux miroirs identiques. . . et transparents

3. Montrer que la difference de marche entre les deux ondes passant par P1 et P2 est : = d(sin + sin i).

4. En deduire lexpression suivante de lintensite lumineuse resultant des interferences et de la diffraction deces deux ondes damplitude identique :

I1,2 =1

2Imaxsinc

2C(, i) (1 + cosS(, i))

avec C(, i) =e

(cos cos i) et S(, i) = 2d

(sin + sin i).

5. Verifier que la fonction de diffraction par un miroir est maximale dans le cas ou = i. Comment alorschoisir d pour que la fonction dinterference entre les deux miroirs soit elle aussi maximale ? Reciproquement,i = etant lun et lautre fixes, donner lallure de lintensite lumineuse I1,2 en fonction de d.

6. La relation = i etant toujours satisfaite, on utilise maintenant un nombre N (grand devant 2) de miroirsidentiques tous disposes a la distance d les uns des autres. Indiquer, par une representation graphique ou parune phrase claire, comment evolue la courbe donnant lintensite lumineuse en fonction de d.

B. Le thermometre a cristaux liquides

La bande sensible du thermometre utilise pour le controle de la temperature du bain est composee de cristauxliquides presentant une structure helicodale stable, dite cholesterique. Les molecules constituant les cristauxliquides sont des molecules allongees, representees par des ellipsodes sur la figure 7, et qui sont disposees dansdes plans perpendiculaires a un axe Oz. Chaque molecule fait un angle fixe par rapport a la precedente, les



extremites forment donc une double structure helicodale, de periode L. Cette periode depend de la temperatureT du milieu (et bien sur de la molecule constituant le cristal liquide). Lorsque lon utilise comme cristal liquideun melange binaire de deux cristaux liquides, la periode L de lhelice depend de la composition du binaire.

z

b

b

b

b

b

b

b

L nh d

Fig. 7 Representation imagee du cristal et modele optique

On admet que le comportement optique du cristal liquide est identique a celui des deux miroirs etudies dans lapartie precedente, ces miroirs etant alors plonges dans un milieu dindice nh de lordre de 1,50.

7. Montrer que lentree dans le milieu dindice nh de deux rayons lumineux paralleles nintroduit pas dedifference de marche entre ces deux rayons, voir la figure 8. Expliquer pourquoi il en est de meme lorsque lesrayons emergent en sortie.

8. En deduire que la difference de marche calculee entre les deux rayons frappant les miroirs 1 et 2 de la figure

6 est : = 2nhd sin ou langle est defini par sin =

1 cos2

n2het dans le cas particulier ou i = .

Fig. 8 Entree dans le milieu dindice nh

9. Leclairage incident est desormais normal ( = /2) et monochromatique de longueur donde . Exprimerles valeurs possibles de d pour lesquelles on obtient un maximum de lumiere reflechie. Meme question pour unminimum de lumiere reflechie.

10. Rappeler letendue du spectre visible ainsi que les couleurs associees aux limites du spectre, puis justifierle choix de la longueur donde = 555 nm. On convient desormais que d = L, avec 260 nm L 500 nm etnh = 1, 50. Calculer les valeurs de L correspondant respectivement a un maximum ou a un minimum de lumierereflechie. On les notera L1 (pour un maximum), 1 et 2 (pour les minima) et lon verifiera 1 L1 2.

Il sagit maintenant de determiner la nature du materiau utilise pour lindicateur 40 C et pour lindicateurOKBaby (37 C). Lindicateur 40 C doit apparatre a 40 C sans que lautre soit visible et reciproquement. Pource but, on dispose de deux melanges binaires ab et ab des molecules (a, b) pour le premier et (a, b) pour lesecond. Pour chacun des deux melanges binaires, la periode spatiale L de lhelice verifie : Compose ab : L40 C = 0, 68L37 C Compose ab : L40 C = 0, 74L37 C

11. La figure 9 montre comment, a 37 C, L evolue en fonction du pourcentage molaire de a ou de a dans ledomaine des melanges realisables (tous les pourcentages ne sont pas representes). Pour lindicateur a 37 C (parexemple), on doit avoir un maximum de lumiere reflechie correspondant a 37 C et un minimum correspondanta 40 C. Quel melange utiliser pour ce but, en quelle proportion ? Quel est le meilleur choix pour lindicateur40 C?

12. La loi devolution de la periode de lhelice en fonction de la temperature T au voisinage de T1 = 310 K(37 C) est : L(T ) = L0 expT , ou L0 est une constante ; calculer ab et ab . La valeur de est extremementvariable dun materiau a lautre et elle peut atteindre jusqua 100 C1 ! Pour quel(s) genre(s) dapplication(s)une telle sensibilite peut-elle etre utile ?



L( nm)

%a%a25 30 35 40 45 50260

300

340

380

420

460

500

abab

37 C

Fig. 9 Periode de lhelice en fonction de la concentration en a ou en a

Probleme no 3 Mesure de luminance spectrale Mines PC 1994

La figure 10 represente un interferometre de Michelson regle pour donner des anneaux. La lame separatriceS et la compensatrice associee C sont inclinees a 45 par rapport aux normales (Ox) et (Oy) aux deux miroirs.Lindice optique de lair sera pris egal a 1. Lappareil est eclaire par une lampe a vapeurs de Mercure S0, quelon considerera comme une source ponctuelle placee au foyer dune lentille L1.

x

y

b

b

S0

PM

CS

M2

M1L1

L2

Fig. 10 Interferometre de Michelson

Le faisceau sortant de linterferometre est focalise au foyer dune lentille L2 sur un detecteur PM (photomulti-plicateur) qui delivre un courant electrique i(t) proportionnel a lintensite du flux lumineux recu.Le miroir M1 est mobile parallelement a lui-meme, par deplacement le long de laxe (Ox). Dans sa positioninitiale son abscisse x(0) = 0 est telle que lordre dinterference au foyer de L2 est nul. Le deplacement de cemiroir est represente sur la figure 11.

A. Source monochromatique

La source S0 est monochromatique, de longueur donde .

1. Donner lexpression du courant electrique i(t) delivre par le photomultiplicateur. On notera i0 = i(t = 0)et on distinguera plusieurs phases.

2. On donne v0 = 8 mm s1 et = 546, 1 nm. On suppose aussi que v0 = x0 . Donner les expressions etvaleurs numeriques de la periode T0() du signal i(t) et du contraste des franges, defini par =

imax iminimax + imin

.



t

x(t)

v0

2

Fig. 11 Deplacement du miroir mobile de linterferometre

B. Source bichromatique

La source S0 emet en fait deux radiations de longueurs donde 1 et 2 > 1, voisines et de meme intensite.

3. Exprimer le courant electrique sous la forme i(t) = i1 + i2(x) cos4x

, ou on pourra prendre 1 2.

4. Quelle est la signification physique de la grandeur (x) = i2(x)/i1 ?

5. Donner lallure de i(x) pour 0 < t < .

C. Source a profil gaussien

En fait, la lampe a vapeur de Mercure presente une luminance energetique a profil gaussien ; lintensite lumineuseL quelle delivre (L se mesure en watt par steradian, par unite de surface et par unite de nombre donde = 1/)

se met sous la forme L() = L0 exp(

( 0)2

a2

)

pour > 0, avec 0 > 0, a > 0 et L0 > 0.

6. Soient 1 et 2 > 1 les valeurs de pour lesquelles L =L02. Donner lexpression de la largeur spectrale

= 2 1 de la source.7. On suppose 0 et on definit T tel que 2av0T = 1. Determiner lunite de T . Determiner aussi le

rapport r = T0()/T en fonction de 0 = 1/0 et de , ainsi que la valeur numerique de r ; on donne la largeurspectrale relative de la source /0 = 1, 28 106 pour 0 = 546, 1 nm.8. Montrer que le signal electrique obtenu en sortie du photomultiplicateur est decrit par une loi du type

i(t) =i02

[

1 +

(

t

T

)

cos

(

2t

T0(0)

)]

et determiner lexpression de (u). On donne

exp(

u2)

du =

et

0

cos (2u) exp

(

(u u0)2

2

)

du = cos (2u0) exp

(

222)

si u0.

9. Donner lallure du signal delivre, en fonction du temps, par le photomultiplicateur ; on distinguera plusieursphases. Determiner le contraste .


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