Topographie

S Millesds3.doc23/03/99

Topographie

contrle

Niveau: TSGT 1ere anne.

Objectif: Rduction de distances, transformation de coordonnes.

Dure: 4 heures.

nonc

1) Calculez la valeur exacte de la mesure suivante effectue en mode suspendu en terrain horizontal, avec un ruban en acier de classe I, de 2,6 mm2 de section, de longueur 30 m:

- Lmesure = 185,122 m.

- La temprature du ruban est mesure 25 C et reste constante pendant toute la mesure.

- La tension constante est de 10 DaN. La mesure est faite en 6 portes de 30 m et une porte dappoint (toutes les portes sont considres parfaitement alignes).

Le ruban a t talonn au pralable dans les conditions suivantes: (To = 4,5DaN), (te = 20 C). On a mesur lindication du ruban sur une base connue de 30 m: il indique 29,996 m.Lcart type sur une mesure est de ( 1,9 mm (classe I), quelle est lincertitude finale sur la distance ?.2) Calculez la longueur reporter sur le sol pour implanter une distance horizontale de 28,414 m avec le ruban suivant: ruban en acier de 20 m talonn sous une tension de 15 DaN et 20 C, la mesure dune base de 20 m ayant donn un rsultat de 20,001 m. La temprature au moment de limplantation est de 27,6 C. Le terrain dimplantation est horizontal, loprateur dispose dun dynamomtre lui permettant de tendre le ruban 15 DaN.

3) On mesure entre 2 points A et B situs en zone Lambert III une distance incline de 2 342,142 m. La vise est unilatrale. Langle znithal lu est de 95,4776 gon (ht = hv = 1,62 m). Le point de station A est connu dans le systme Lambert: A (982 058,965 m ; 155 944,160 m). Son altitude NGF est de 130,850 m (par rapport au gode).- O est situ ce point ?.

- Quelle est la distance AB reporter dans les calculs ?.

- Sachant qu cet endroit le Gode est 8,5 m au dessus de lellipsode Clarke-80, donner les modifications apporter au calcul prcdent pour tenir compte de cet cart et valuez lerreur commise si on ne tient pas compte de cet cart Gode-ellipsode.

- Quelle est la correction en ppm entrer dans la station totale pour obtenir directement la distance rduite ?.

4) Vous devez calculer les coordonnes Lambert dun canevas de points mesurs par GPS.

Le programme dexploitation des donnes GPS vous donne comme rsultat brut les coordonnes gographiques (latitude , longitude et hauteur h) du point cherch par rapport lellipsode Clarke 80. Vous devez transformer ces coordonnes gographiques en coordonnes planes Lambert.

4.1) Donnes: ( 43,604525276 ,7,072177133 , h = 185,588 m). Lorigine des longitudes est Greenwich.

- calcul de la latitude isomtrique :L= ln[tan(/4 + /2)]-E/2.ln[(1+E.sin())/(1-E.sin()]

(ln reprsente le logarithme nprien).

- Latitude isomtrique sur le parallle origine: Lo est la valeur de L pour ( = o).Constantes Lambert:

ZoneLatitude du parallle origineModule daltration linaire Constantes Cx; Cy (km)

Io = 55 gon

mL = 1-12,266.10-5

600 ; 200IIo = 52 gon

mL = 1-12,258.10-5

600 ; 200IIIo = 49 gon

mL = 1-12,250.10-5

600 ; 200IVo = 46,85 gon

mL = 1-5,5290.10-5

234,358 ; 185,861669Constantes de lellipsode Clarke-80:a = 6378249,200 m et b = 6356515,00 m

E2 = (a2 - b2 ) / a2 (Excentricit).

- Convergence des mridiens ():

= (.sin(o)

o = 2,337229167 degrs (longitude du mridien de Paris par rapport Greenwich).

- Rayon du parallle origine aprs rduction dchelle: (Ro = mL . Ro)

avec ( Ro = No / tan(o)) et ( No2 = a2 / (1-E2.sin2(o)) ).

- Rayon du parallle passant par le point cherch:R = mL.Ro.exp[-sin(o).(L-Lo)]

exp reprsente la fonction exponentielle (ln (e) = 1).

- Coordonnes dans le repre associ au mridien de Paris et au parallle origine:

X1 = R.sin()

Y1 = mL.Ro-R+X1.tan()

- Coordonnes dfinitives en Lambert:

X = X1 + Cx

Y = Y1 + Cy

- altitude NGF (au dessus du Gode): dans cette zone, lellipsode de Clarke est situ environ 46 m au dessus de WGS84 et le gode est situ environ 8,5 m en dessus de lellipsode Clarke-80. En dduire laltitude NGF du point lev. Que peut-on dire de la prcision de cette dernire ?.

4.2) Vous devez rpter ce calcul pour une dizaine de points levs par GPS. Quelle est votre avis la dernire tape de calcul obligatoire pour pouvoir comparer les points ainsi dtermins dautres points du canevas Lambert existants ?.

Si votre logiciel de calcul donne des rsultats en coordonnes gographiques sur lellipsode IAGRS80, quel calcul supplmentaire faut-il faire et quel moment?.

4.3) Vous devez calculer la valeur exacte du coefficient daltration linaire en un point donn de coordonnes (982 156,435 ; 3 155 922,336). Vous avez aussi besoin des coordonnes gographiques de ce point pour prparer une campagne GPS, il faut donc faire le calcul inverse du prcdent ( 4.1).Formules appliquer:

- Coordonnes du point dans le repre li au mridien de Paris et au parallle origine :

X1 = X - CxY1 = Y - Cy

- Rayon du parallle origine aprs changement dchelle : mL . Ro (voir donnes du 4.1)

- Convergence des mridiens (): tan() = X1 / (mL.Ro - Y1 )

- Longitude du point cherch par rapport au mridien de Greenwich : = o+ / sin(o)

- Rayon du parallle passant par le point cherch : R = (mL.Ro-Y1) / cos()- Latitude isomtrique:L= ln[tan(/4 + /2)]-E/2.ln[(1+E.sin())/(1-E.sin()] (ln : log nprien)

Lo: valeur de L pour ( = o)

Autre expression de la latitude isomtrique:L = Lo + ln(mL.Ro / R) / sin(o)

- calcul de la latitude du point cherch par rsolution de lquation suivante:

L = Lo + ln(mL.Ro / R) / sin(o) = ln[tan(/4 + /2)]-E/2.ln[(1+E.sin())/(1-E.sin()]

- calcul de (kr): (kr = mr - 1) et (module de rduction la projection mr = R.sin(o) / N.cos() )

avec: N2 = a2 / (1-E2.sin2())

Donner (kr) en cm/km avec son signe et avec 1 chiffre aprs la virgule.

Barme:- 1) 4 points

- 2) 3 points

- 3) 4 points

- 4.1) 3 points

- 4.2) 2 points

- 4.3) 4 points

Correction

Correction informatique

Tableau Excel:

ds3_3.xls; ds3_4.xls

Correction manuelle

1) On calcule pour chaque porte:

correction dtalonnage: Lcorrige = 30.(1+(30-29,996)/29.996) = 30,004 m.

correction de temprature: Lcorrige = 30,004.(1+1,08.10-5.(25-20)) = 30,006 m.

correction de tension: Lcorrige = 30,006.(1+(10-4,5)/(21000.2,6)) = 30,009 m.

correction de chanette: Lcorrige est solution de lquation suivante

x = 30,009.(1-(20.10-3)2 . x3 / 24 / 102 / 30,009

soit aprs rsolution par approximation successive x = 30,005 m.

La longueur exacte mesure sur les six premires portes est donc de 180,03 m.

Pour viter de refaire le calcul complet pour la porte dappoint, on effectue une rgle de trois par rapport une porte de 30 m et on obtient: Lappoint = 30,005 / 30 * 5,122 = 5,123 m.

Soit finalement une longueur totale mesure de 185,153.

Lcart type sur cette mesure est de: 1,9 . 7 = 5 mm. On peut donc conclure: L = 185,153 m ( 5 mm.

2) 20 C, la longueur implanter sous une tension de 15 DaN est 28,414/(1+(20-20,001)/20,001) = 28,415 m.

27,6 , la longueur implanter devient 28,415.(1+1,08.10-5.(27,6-20)) = 28,417 m. Ceci est effectu sous tension de 15 DaN par report dune porte de 20 m et dune porte dappoint de 8,417 m parfaitement aligne la prcdente.

3) Le point A est situ au LTGC dAntibes.

Si lon ne tient pas compte des ondulations du gode, la distance rduite la projection reporter dans les calculs est de 2335,931 m (voir les dtails du calcul dans le tableau DS3_3.XLS).

Si lon tient compte du dcalage de 8,5 m entre gode et ellipsode, on obtient 2335,928 m soit un cart de 3 mm que lon aurait pu valuer ainsi:

La distance rduite lellipsode se calcule par

Si lon commet une erreur H sur laltitude, on obtient

Lerreur relative est donc: .

Cela donne numriquement une erreur de 1,3 mm / km (H = 8,5 m et R = 6380 km).

La correction en ppm apporter pour une chantier est de C = -120,5 mm / km.

4.1) Les coordonnes Lambert du point donn sont: 978 028,886 m; 3 155 713,360 m. Les dtails du calcul sont donns dans le tableau DS3_4.XLS. Laltitude NGF est de 185,588 - 8.5 = 177,088 m. La prcision de cette altitude est mdiocre car lcart gode-ellipsode nest connu quau mtre prs.

4.2) Il faudra faire une adaptation de canevas du type adaptation de Helmert 2D.

4.3) Les coordonnes gographiques sont: (7,073366897 ; 43,604278717 ; h = 185,588 m). Le coefficient daltration linaire est de 8,5 cm/km. Voir les dtails du calcul dans le tableau DS3_4.XLS.

INCORPORER AutoCAD-LT

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