Physique – Chimie

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Lycée Paul Eluard

DEVOIR SURVEILLE n°5 samedi 12 janvier 2013

Durée : 4 heures

L’usage de la calculatrice est autorisé. Il sera tenu compte de la présentation et de l’orthographe qui pourra

être sanctionnée par une pénalité pouvant atteindre 2 points sur 20.

Barème indicatif : Problème I : 12 pts Problème II : 8 pts

2012-2013

Problème I

Thermodynamique dans les centrales nucléaires de 4ème génération Les centrales nucléaires de la génération 4 prévues vers les années 2030 devront être sûres et présenter un rendement important. Une option étudiée parmi 6 grands choix est le réacteur à très haute température refroidi à l’hélium. Ce type de réacteur offrirait l’avantage d’améliorer l’efficacité de la conversion énergétique, compte tenu de la température élevée de la source chaude et de permettre en sus la production d’hydrogène. Dans ces installations de forte puissance, on utilise le cycle de Brayton (ou cycle de Joule) pour extraire le travail et, en fin de compte, produire de l’électricité. Ce problème comporte deux parties indépendantes. La première partie concerne le cycle moteur de Brayton ainsi qu’une amélioration possible pour augmenter l’efficacité. La deuxième partie est relative aux transferts thermiques dans le cœur de la centrale. Le gaz utilisé dans la centrale est l’hélium, dont les caractéristiques sont :

Cvm = R2

3 , Cpm = R

2

5 avec R = 8,314 J.K-1.mol-1

MHe = 4,00.10-3 kg.mol-1 Dans l’ensemble du problème, le gaz est supposé parfait. 1 Cycle de Brayton

Figure 1 Un gaz parfait circule dans une installation. Il échange du travail avec l’extérieur dans le compresseur et la turbine. Le travail fourni par le passage du gaz dans la turbine sert d’une part à faire fonctionner le compresseur (turbine et compresseur montés sur le même axe) et d’autre part à fabriquer de l’électricité. Les transferts thermiques ont lieu dans des échangeurs. Le fluide, ici un gaz d’hélium, décrit le cycle de Brayton. Ce cycle est constitué de deux isobares et de deux isentropiques : - compression adiabatique réversible du point 1 avec une température T1 = 300 K et une pression p1 = 20.105 Pa vers le point 2 à la pression p2 = 80.105 Pa, - détente isobare du point 2 vers le point 3 à la température T3 = 1300 K, - détente adiabatique réversible de 3 vers 4 (de p3 = p2 à p4 = p1), - compression isobare de 4 vers 1.

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1.1 Pour une transformation isentropique, justifier que la relation entre T et p peut se mettre sous la forme

=βp

TConstante.

Exprimer β en fonction de γ (avec vm

pm

C

C=γ )

1.2 Déterminer les températures T2 et T4. Effectuer l’application numérique. 1.3 Tracer le cycle de Brayton sur un diagramme p = f (Vm) où Vm est la volume molaire. 1.4 Calculer les travaux W12 et W34 échangés avec l’extérieur (travaux utiles reçus) lors des transformations isentropiques 12 et 34. Rappel : pour les systèmes ouverts, on a : dHm = δWutile,m + δQm par mole de fluide avec δWutile,m = Vm.dp . Effectuer l’application numérique pour une mole d’hélium. 1.5 Exprimer les transferts thermiques reçus Q23 et Q41. Effectuer l’application numérique pour une mole d’hélium. 1.6 Montrer que l’efficacité se met sous la forme :

( )βpr

e1

1−= avec 1

2

p

prp =

1.7 Calculer numériquement cette efficacité et comparer à l’efficacité de Carnot obtenue en utilisant les deux températures extrêmes du cycle. 1.8 Exprimer le travail reçu au cours d’un cycle à partir des températures extrêmes T3 et T1, de R (ou Cp), de β et du rapport des pressions rp. 1.9 Montrer que la valeur absolue du travail passe par une valeur maximale en fonction du rapport des pressions rp pour :

β.2

1

1

3

=

T

Trpm

Calculer numériquement rpm et l’efficacité dans ce cas. 2 Cycle de Brayton avec régénérateur L’utilisation d’un régénérateur (ou récupérateur de chaleur) pendant les deux transformations isobares peut se révéler judicieux dans certaines conditions que nous allons déterminer. Si la température à la sortie de la turbine est plus élevée que la température du gaz comprimé à la sortie du compresseur, une partie de l’énergie du gaz sortant de la turbine peut être cédée (en recourant à un régénérateur) au gaz allant vers l’échangeur chaud et ainsi améliorer l’efficacité du cycle de Brayton. On suppose que les transferts thermiques associés au régénérateur sont internes.

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Figure 2 Dans le cycle, nous rajoutons deux lettres x et y afin d’isoler la partie échangée dans le régénérateur. Le cycle est donc composé comme indiqué sur la figure n° 2 : - compression adiabatique réversible du point 1 vers le point 2, - détente isobare du point 2 vers le point x dans le régénérateur puis du point x au point 3 en contact avec le thermostat chaud, - détente adiabatique réversible du point 3 vers le point 4, - compression isobare du point 4 vers le point y dans le régénérateur puis du point y au point 1 en contact avec le thermostat froid. En supposant un régénérateur parfait, on a Tx = T4 et Ty = T2. 2.1 Calculer algébriquement les transferts thermiques molaires Qx3 et Qy1 provenant des thermostats. L’application numérique n’est pas demandée.

2.2 En déduire l’efficacité et la mettre sous la forme : ( )βpr

T

Te

−=

3

11

Effectuer l’application numérique avec p1 = 20.105 Pa et p2 = 80.105 Pa. 2.3 Pour quelle valeur de rp l’efficacité avec régénérateur est égale à l’efficacité sans régénérateur ? Vérifier alors que T2 = T4 , ce qui veut dire que le régénérateur ne joue plus aucun rôle. 2.4 Calculer numériquement rp dans ce cas et expliquer vers quelle valeur devrait tendre rp pour atteindre l’efficacité de Carnot. Pour y parvenir, on utilise un étagement de la compression et de la détente conduisant au cycle d’Ericsson. 3 Coeur et dimensionnement de la centrale nucléaire 3.1 Les particules de combustible nucléaire Le combustible est constitué de petites sphères multicouches appelées particules TRISO (voir figure n° 3). Le cœur de matériau fissile est entouré de plusieurs couches successives ayant pour rôles d’assurer la protection du noyau et le confinement des produits de fission. Nous prendrons comme matériau pour le cœur et la couche de céramique non pas un oxyde d’uranium UO2 et un carbure de silicium SiC comme déjà utilisé dans des centrales nucléaires mais un carbure d’uranium UC et un carbure de zirconium ZrC pour leurs propriétés physiques plus intéressantes.

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Figure 3

Dans cette partie, on considèrera que les propriétés physiques sont isotropes dans l’espace. Couche Position Rayon extérieur (m) Conductivité thermique

λ (W.m-1.K-1) Carbure d’uranium (UC) r < r1 r1 = 250.10-6 12 Carbone poreux r1 < r < r2 r2 = 345.10-6 0.5 Carbone pyrolytique (PyC) dense r2 < r < r3 r3 = 385.10-6 4 Carbure de zirconium (ZrC) r3 < r < r4 r4 = 420.10-6 20 Carbone pyrolytique (PyC) dense r4 < r < r5 r5 = 460.10-6 4

Tableau 1 : caractéristiques de couches composant la particule TRISO La puissance par unité de volume produite sous forme d’énergie thermique dans le matériau fissile UC sera notée σQ. La conductivité thermique de la couche numérotée i sera notée λi. 3.1.1 Donner la loi de Fourier en indiquant les unités des différentes grandeurs. 3.1.2 L’équation de la chaleur pour le cœur en tenant compte du terme de production s’écrit

( ) QQjdivdt

du σ+−=

Justifier cette équation. 3.1.3 En régime stationnaire, à quoi se réduit cette équation ? 3.1.4 Sachant que le laplacien en coordonnées sphériques d’un champ scalaire f(r,θ,ϕ)

2

2

2222

2

f.

sin.r

1f.sin.

sin.r

1

r

f.r

r.

r

1f

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂θ

θ∂∂

θ+

∂∂

∂∂=∆

Déterminer T(r) pour r ≤ r1. On notera T0 la température en r = 0 m. 3.1.5 Calculer numériquement la variation de température entre les abscisses r = 0 et r = r 1. La puissance volumique σQ vaut 5,0.109 W.m-3.

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Afin de calculer la température dans les différentes couches de la particule TRISO, nous allons utiliser le concept de résistance thermique. 3.1.6 Donner la définition de la résistance thermique Rth d’un matériau soumis à un écart de température T1 −T2 (T1 > T2) impliquant un flux thermique φth (φth > 0 selon l’axe décroissant des températures). 3.1.7 Calculer le flux thermique en coordonnées sphériques et le mettre sous la forme :

=Φ

rd

dTBth 1

.

où la constante B est à exprimer en fonction des données du problème. On rappelle que le gradient d’un champ scalaire f(r,θ,ϕ) s’écrit en coordonnées sphériques :

ϕθ ϕθθu

f

ru

f

ru

r

ffgrad r ..

sin.

1..

1.

∂∂+

∂∂+

∂∂=

3.1.8 Calculer la résistance thermique Rth,12 d’une coque comprise entre un rayon r1 et r2 (r1 < r 2). 3.1.9 Calculer numériquement les résistances thermiques des 4 coques, Rth,12 , Rth,23 , Rth,34 et Rth,45 . 3.10 En déduire les températures aux interfaces T1, T2, T3 et T4 si la température extérieure T5 vaut 1300 K. 3.2 Dimensionnement de la centrale La centrale nucléaire a une puissance thermique de Pth = 600 MW et une puissance électrique de Pe = 300 MW. 3.2.1 À partir de la puissance volumique σQ = 5,0.109 W.m-3 du combustible nucléaire, déterminer le nombre de particules TRISO nécessaires au fonctionnement du réacteur. Quel volume en m3 cela représente-t-il (voir caractéristiques du cœur et de la particule TRISO dans le tableau n° 1) ? On considèrera un empilement cubique simple des particules TRISO (particules aux sommets du cube). 3.2.2 Que vaut l’efficacité du cycle thermodynamique de la centrale en considérant l’absence de perte lors de la conversion du travail moteur en énergie électrique ? Pour estimer le débit d’hélium D, nécessaire au fonctionnement de l’installation, on suppose une installation idéale fonctionnant sur le cycle d’Ericsson (fin question 2.4), avec des échanges externes uniquement sur les étagements correspondants à des pseudo-transformations isothermes. 3.2.3 Déterminer le transfert thermique QC nécessaire pour faire passer une mole d’hélium dans un système ouvert de la pression p2 = 80.105 Pa à la pression p1 = 20.105 Pa sachant que la température constante du gaz est imposée par le contact avec le thermostat TC = 1300 K (voir fin de la question 1.4). 3.2.4 En déduire le débit d’hélium D, en kg.s-1, permettant le fonctionnement de l’installation.

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Problème II Vitrage d’un habitacle d’automobile

A – Echanges thermiques à travers les vitres

1 – Vitrage simple Une vitre plane, d’épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique λv isole l’intérieur de l’extérieur d’une automobile (figure 1). Tous les transferts thermiques s’effectuent de

manière unidimensionnelle, dans la direction de xe , et les

effets de bords sont négligés. Le régime est stationnaire. La température de la force interne x = 0+ de la vitre est notée T(x=0+) = T0 ; celle de la face externe x = e- est notée : T(x=e-) = Te. Dans un premier temps, seuls les transferts par conduction thermique sont pris en compte. La température sur la face intérieure de la vitre est supposée égale à la température TINT dans l’habitacle : T0 = TINT. De même, il est supposé que Te = TEXT. La puissance thermique P traversant la vitre, de l’intérieur vers l’extérieur du véhicule, s’exprime alors comme P = Gc.(TINT – TEXT) = (TINT – TEXT) / Rc , où Gc est la conductance thermique de la vitre et Rc sa résistance thermique. A.1.a Donner les équivalents, en électricité de P et de (TINT – TEXT). Rappeler l’expression de Gc, en fonction de S, e et λv et donner son unité (dans le système international). T0 n’est en réalité pas exactement égale à TINT , si bien que la vitre reçoit, par conducto-convection de la part de l’air intérieur, un flux d’énergie thermique par unité de surface hINT(TINT – Te). Ce flux est orienté de l’intérieur vers l’extérieur du véhicule. De même, les échange par conducto-convection avec l’air extérieur, au niveau de la face x = e, se traduisent par un flux d’énergie thermique par unité de surface hEXT(Te – TEXT), toujours orienté de l’intérieur vers l’extérieur du véhicule. A.1.b Montrer que ce phénomène peut-être pris en compte à l’aide de conductances thermiques supplémentaire cv

INTG et cvEXTG , placée en série avec Gc, dont les expressions seront à préciser.

Prise en compte des échanges par rayonnement thermique : le verre est opaque pour les rayonnements électromagnétiques du domaine infrarouge (noté I.R. par la suite). Il se comporte donc comme un corps noir idéal vis-à-vis du rayonnement thermique émis à température ambiante. A l’intérieur comme à l’extérieur de la voiture règne un rayonnement d’équilibre thermique correspondant respectivement aux températures TINT = 293 K et TEXT = 308 K. A.1.c Rappeler la loi de Stefan relative à la puissance surfacique, notée ϕ, rayonnée par un corps noir de température T (la constante de Stefan-Boltzmann est notée σ). A.1.d Exprimer la puissance thermique totale R

INTP échangée par rayonnement a niveau de la face x = 0,

en fonction de TINT , T0 , S et σ. La puissance thermique RINTP est orientée de l’intérieur vers l’extérieur

du véhicule et prend en compte aussi bien la puissance reçue par cette face de vitre que celle qu’elle rayonne.

A.1.e Justifier, vu les valeurs de TINT et TEXT que 0

0INT

T

TT −est petit devant 1.

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En effectuant un développement limité de ( ) 4

INT

0INT

4

INT

0

T

TT1

T

T

−−=

, déduire l’expression approchée :

RINTP = R

INTG (T0-TINT), où RINTG est une constante à déterminer en fonction de σ , TINT et S.

La puissance échangée par rayonnement au niveau de la face d’abscisse x = e , toujours orientée de l’intérieur vers l’extérieur du véhicule, est notée R

EXTP . A.1.f Exprimer R

EXTP , puis donner son expression approchée en fonction de TEXT , Te , et d’une

conductance REXTG

A.1.g Représenter le schéma électrique équivalent de la vitre. Y faire figurer les températures et conductances associées à tous les phénomènes de transfert thermique étudiés précédemment. 2 – Vitrage feuilleté La majorité des pare-brise de voiture sont constitués de deux vitres d’épaisseur e, collées par une couche de polyvinylbutyral (PVB), d’épaisseur ePVB et de conductivité thermique λPVB (figure 2). Ces vitrages feuilletés sont moins cassants et bien adaptés à l’ajout de colorants ou de matériaux électro- ou photochromiques. A.2.a Représenter le schéma électrique équivalent d’un tel vitrage feuilleté. Y faire figurer les températures TINT , TEXT , ainsi que les conductances associées à l’ensemble des phénomènes de transfert thermique impliqués.

(La conductance de la couche de PVB est notée cPVBG )

A.2.b Déterminer l’expression de la conductance thermique totale GTOT de la vitre en fonction de Gc ,

cvINTG , cv

EXTG , RINTG , R

EXTG et cPVBG .

Données numériques (pour le pare-brise uniquement, et pour un véhicule à l’arrêt) : S = 1,5 m² hINT = 3,6 W.m-2.K-1 hEXT = 19 W.m-2.K-1 e = 2,1 mm ePVB = 0,78 mm TEXT = 308 K (été) λv = 1,0 W.m-2.K-1 λPVB = 0,20 W.m-2.K-1 TINT = 293 K σ = 5,67.10-8 W.m-2.K-4. A.2.c Calculer la valeur de chacune des sept conductances thermiques listées question A.2.b. En déduire la valeur de la puissance totale P échangée à travers le pare-brise. Au niveau de la face intérieure, la puissance échangée par rayonnement thermique représente une fraction

P

Pf

RINT= de la puissance totale P échangée au niveau de cette face.

A2.d Exprimer f en fonction de cv

INTG et RINTG puis calculer sa valeur.

Vitrages à isolation thermique renforcée Un revêtement réfléchissant les rayonnements I.R. est maintenant déposé sur l’une des faces du vitrage. Il permet de supprimer presque totalement les échanges par rayonnement au niveau de cette face.

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A.2.e Calculer numériquement la conductance totale du vitrage dans le cas d’un dépôt sur la face interne de la vitre, puis dans celui d’un dépôt sur la face externe. Préciser le cas à choisir en pratique. Interpréter brièvement ce résultat au vu des valeurs de cv

INTG et cvEXTG .

B – Limitation de l’effet de serre grâce à un vitrage teinté

Le toit de certaines automobiles est ajouré et comporte une vitre. L’été, celle-ci peut-être masquée par un rideau de contrôle amovible situé au ras du vitrage. Ce rideau noir bloque le rayonnement solaire direct, mais, en conséquence, s’échauffe. Le but de cette section est de déterminer si un vitrage teinte (par exemple par effet photochromique) permet de réduire cet échauffement. La vitre (figure 3) reçoit de l’extérieur un flux d’énergie par unité de surface noté ϕS ; ce flux correspond principalement au rayonnement solaire constitué de longueurs d’onde du domaine visible. La vitre teintée est partiellement transparente pour les longueurs d’onde du domaine visible : une fraction (1 – A) de ϕS est transmise par la vitre, et une fraction A y est absorbée (le coefficient de réflexion de la vitre est supposé nul).

Elle est en revanche entièrement opaque et assimilable à un corps noir dans le domaine infrarouge. Le flux d’énergie émis par unité de surface par chaque face de la vitre est noté ϕv. Le rideau est assimilé à un corps noir idéal pour toutes les longueurs d’ondes. Sa température est notée TR. Le flux d’énergie émis par unité de surface par chaque face du rideau est noté ϕR. Il reçoit de la voiture un flux d’énergie par unité de surface ϕa. Les échanges thermiques par convection et conduction sont négligeables devant les échanges radiatifs. Le régime stationnaire. B.1 Préciser le domaine de longueurs d’onde (infrarouge ou visible) correspondant au rayonnement émis par le rideau. Reproduire sommairement la figure 3 et y représenter les différents flux rayonnés. En exploitant la stationnarité du régime pour la vitre, puis pour le rideau, établir deux équations reliant ϕR , ϕv , A , ϕs et ϕa. B.2 En déduire les expressions de ϕR et ϕv en fonction de A , ϕs et ϕa. Vérifier que ϕR + ϕv = ϕs + ϕa et l’interpréter simplement. Déterminer si la puissance rayonné par le rideau vers l’intérieur de la voiture est augmentée ou diminuée par l’utilisation d’un vitrage teinté. B.3 Déterminer l’expression de TR et calculer sa valeur pour A = 0,00 et A = 0,60. Données : ϕs = 900 W.m-2 , ϕa = 400 W.m-2 ,σ = 5,67.10-8 W.m-2.K-4. B.4 En s’inspirant des questions précédentes, déterminer l’expression du flux ϕ0 qui pénètre à l’intérieur de la voiture en l’absence de rideau, en fonction de ϕs , ϕa et A. Vérifier littéralement ou numériquement que ϕ0 > ϕR.

Conclure sur les avantages et inconvénients du rideau.

ϕs

ϕa