Dt0023-Eff Tr en Fc Elu

7/31/2019 Dt0023-Eff Tr en Fc Elu

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Henry Thonier24mai 2012

EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE ET COMPOSEEEN ETAT-LIMITE ULTIME

DE SECTION RECTANGULAIRE, EN T, EN I OU CIRCULAIRE

Constat. Tous les rglements de calcul utilisent directement on non la notion de bras de levier z pourdterminer les contraintes de cisaillement ou les efforts tranchants rsistants.

1 Rappel de rsistance des matriaux - Section rectangulaire - Cisai llement

On considre un comportement lastique des matriaux bton et acier.Soit deux sections droites rectangulaires aux abscisses x et x+dx soumises respectivement auxmoments M et M + dM = M + V.dx (Fig. 1).

Iz.dx.VIz.dMd

Iz.M

)z(.I

dx.Vd.).(b.I

dx.Vd.I

.dx.V).(bd).(d).(bdx).z(b.dF

z

0

z

0

z

0

)z(b.I

)z(.V

dx).z(b

)z(.I

dx.V

est le cisaillement moyen de la section horizontale b(z).dx.

As1d1 s1

b

cdg

axe neutre

y

dx

maxi

z

d2

FF+dF

As2

d

s2

MM+dM

Fig. 1 Cisaillement en domaine lastique

Avecb(z)largeur de la section la cote z

(z)moment statique de la partie de la section situe au-dessus de la cote zpar rapport au centrede gravit de la section totale homognise (l'axe neutre en flexion simple).Imoment d'inertie de la section totaleVeffort tranchant

Bien que la dmonstration de cette formule ait t tablie dans le domaine lastique pour la flexionsimple et faute d'une reprsentation plus rigoureuse, elleest souvent utilise l'ELU.C'tait la solution qu'avait retenue le BPEL en son article 7.2.1.

En ELU, les contraintes du bton peuvent tre considres comme quasi-linaires lorsque la section debton est surabondante, c'est--dire pour de faibles dformations du bton (de l'ordre de 1 ).De mme, les contraintes des armatures peuvent tre considres comme linaires pour des

dformations infrieures ss

yk

E.

f

(2,17 ).Pour l'effort tranchant sur un appui de rive, les sections btonet armatures sont en gnral peusollicites. On peut considrer que l'quation (1) peut s'appliquer.


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Pour des efforts tranchants aux nus des appuis intermdiaires, zones o les sections sont plusfortementsollicites, l'quation (1) n'est pas reprsentative du comportement des sections.

Le cisaillement maximal, en domaine lastique,est obtenu pour un moment statique maximal, c'est--dire l'axe neutre en flexion simple, sinon au centre de gravit de la section de bton comprim et desarmatures en flexion compose.

En flexion simple on peut remplacer I/par z, bras de levier,pour obtenir le cisaillement maximal.

Le fait que l'EC2 utilise la notion de bras de levier z dans l'quation (6.9) montre l'vidence qu'ils'inspire d'un modle lastique pour le comportement des matriaux. Nous verrons ci-aprs que cetteapproximation peut tre largement non scuritaire.

Pour cela, il nous fait dterminer les valeurs des contraintes de compression du bton dans uncomportement non-linaire. Nous retiendrons le diagramme de Sargin pour la relation contraintes-dformations du bton suivant l'quation (3.14) de l'EC2.

2 Dtermination des dformations et des contraintes pour des soll icitations donnes

Sous des sollicitations ELU, les dformations et les contraintes prennent en compte le comportementlasto-plastique des matriaux bton et acier de tellefaon que lemomentMRdet l'effort normal NRdrsistants quilibrent lemoment MEdet l'effort normal NEdagissants.

La recherche des dformationsc,hauten fibre suprieure etc,basen fibre infrieure ncessitent l'usaged'un programme de calcul (N 126 par exemplepour les sections rectangulaires, en T ou en H, oubien le programme N 114 pour les sections circulaires).

Pour cela, on utilisera le diagramme de Sargin de l'quation (3.14) de l'EC2.Le diagramme parabole-rectangle n'tant qu'une simplification que nous ne retiendrons pas.

As1

As2

d1

d2

b

axe neutre

x

c

s1

s2

NEdMEd

Fig. 2-Section rectangulaire Dformations et contraintes en flexion composesous sollicitations ultimes

Exemple 1. F lexion s imple. Section rectangulaire 0,30 x 0,60 m en flexion simple, armede 3 HA14 40mm de la fibre suprieure et de 6 HA25 540 mm de la fibre suprieure.Effort tranchant VEd= 0,33 MN.

Le diagramme dinteraction des efforts normauxet momentsrsistantsest donn en Fig. 3o lon voitque le moment rsistant maximal en flexion simple est de 0,56 MNm.


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Moment/mi-hauteur

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-2-1012345

Effort normal (MN)

Moment(M

Nm)

MR

M-N

ET-PT-EC

Fig. 3Courbe dinteraction M-N(Programme N 126)

Une fois trouv l'quilibre entre sollicitations agissantes (MEd, NEd,) et sollicitations rsistantes (MRd,

NRd) pour une dformationc,hauten fibre suprieure etc,basen fibre infrieure, on peut pour chaquecot z de la section dterminer la contrainte de compressionc(z) du bton et pour chaque armaturei,la contraintes(i). On procde de mme l'abscisse x + dx avec unmoment M + dM = M + V.dx pourobtenir les contraintes du btonc(z) + d(z).

D'aprs le thorme de Cauchy, le cisaillement vertical est gal au cisaillement horizontal (glissementde la figure 4). L'quilibre du bloc de bton situ au dessus de la cote y permet d'crire :

y

0

dz).z(d).z(bdFdx.b.

A dfaut de pouvoir intgrer algbriquement, on procdera une intgration numrique par Simpson.

abscisse xcontrainte(z)abscissex + dxcontrainte

(z) + d(z)

contrainted(z)forcedF = somme(b.d(z))

y

b

F+dF

F

dx

b

x

Fig. 4Section rectangulaire Cisaillement

Ainsipour diffrentes valeurs du moment en flexion simple, on obtient les schmas de la Fig. 5.

MEd = 0 ,55 MNm

37,0f.d.b

M

cd2Ed

c,haut= 2,313c,bas= -2,635x = 0,2805m

MEd = 0 ,3 MNm

206,0f.d.b

M

cd2

Ed

c,haut= 0,904 c,bas= -1,34 x = 0,2417 m

MEd = 0, 1 MNm

069,0f.d.b

M

cd2

Ed

c,haut= 0,248 c,bas= -0,431x = 0,2194 m


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0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

acierdformationscontraintes

On a une courbe de contraintesde Sarginpresque complte

Courbe de Sargin partielleCourbe voisine dune droite

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-10123

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

01230

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0123

vEd,max= 2,859MPa+26 %1

vEd,max= 2,523MPa+12 %

vEd,max= 2,403MPa+6 %

Fig. 5-Flexion simple Variation du cisaillementen fonction du taux de sollicitation pour VEd= 0,33 MN(Programme N 139)

On constate que pour de faibles sollicitations, le cisaillement varie de faon parabolique (momentstatique d'une section rectangulaire), pour des sollicitations moyennes, il varie pratiquementlinairement et pour de fortes sollicitations, la courbe ressemble une parabole inverse.

Plus la section est sollicite en flexion, plus la contrainte de cisaillement dpasse la valeurconventionnelle de l'Eurocode 2 (jusqu' + 26% dans notre exemple).

3 - Exemple 2.Flexion compose. Section en double T avec MEd= 0,509 MNm, un effort normal NEd= 0,5 MN appliqu mi-hauteur, effort tranchant VEd= 0,12 MN. Utilisation du programme N 139.

1Par rapport au cisaillement conventionnel EC2qui vaut VEd/(0,9bw.d) = 0,33 / (0,900,30,54) = 2,263 MPa


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139 - C isa i l lement de section en doub le T en fl exion compose H. Thonier

(diagramme de Sargin) 10 mai 2012

Donnes L'auteur n'est pas

b10,45mlargeur du rectangle suprieur responsable de

h10,1mhauteur du rectangle suprieur l'utilisation faite

b20,2mlargeur du rectangle central de ce programme

h20,35mhauteur du rectangle central

b30,3mlargeur du rectangle infrieur

h30,15mhauteur du rectangle infrieur

MEd0,509MNmmoment

NEd0,5MNe f f o r t n o r m a l c e n t r s u r l a m i - h a u t e u r d e l a s e c t i o n

VEd0,12MNeffort tranchant

cot 1inclinaison des bielles

H0,6mhauteur totale de la section

bw0,2mlargeur de l'me

Bton

fck25MParsistance du bton

C1,5coefficient bton Acier

fcd16,6667MParsistance de calcul fyk500MPalimite lastique de l'acier

k3,41775coefficient de l'Eq. 3.14S1,15coefficient acierEcm31GPamodule d'Young instantan Dclasse acier

c12,1raccourcissement au sommetfyd434,8MPacontrainte de calcul

cu13,5raccourcissement limite k1coeficient

fctm2,6MParsistance moyenne de tractionuk75allongement

Aire 0,16m2aire bton

Armatures 12 2srie de barres

n36 nombre

1425 diamtre (mm)

d0,040,54 d i s t a n c e l a f i b r e s u p r i e u r e ( m )

As4,6229,45 aire cm2

As=34,07

% d'armatures2,129%AcRsultats OKsolution ? hauteur utile d0,54m

y0,32087mhauteur de bton comprim en ELU (Sargin)

c,h2,27221dformation en haut cp3,125MPac,b-1,9767dformation en bas cp/fcd0,1875

vEd,max1,543MPacisaillement maximal (28,9% de vRd,max) cw1,1875

vRd,max5,344MPacisaillement rsistant = 0,6(1-fck/250)/(cot+tan)vEd1,235MPa= VEd/ (bw0,9d) pour info

rapport1,25 vEd,max/ vEd

VEd0,12008MN= VEd?OK 0 % prs (par intgration du cisaillement)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,3-0,2-0,100,10,20,3

Fig. 6Donnes et rsultats du programme N 139

Le cisaillement suivant l'Eurocode 2 : 235,1)54,09,0(2,012,0z.bVvwEd

MPa est comparer

vEd,max= 1,543 MPa (+25% !).


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D iff rence de con tr ai ntes de compression Con trai nte de c isai l lement e t c is ai ll emen t conventi onne l EC2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,500,511,52

tau

EC2

d0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,0200,020,040,06

Fig. 7Variations de la diffrentielle de contrainte de compressionet de la contrainte de cisaillementsur la hauteur de la section(Programme N 139)

Remarque 1. On peut voir le positionnement du couple (MEd, NEd) par rapport la courbe d'interaction(MRd, NRd)donne par le programme N 126. La section est fortement sollicite.

Moment/mi-hauteur

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-2-1012345

Effort normal (MN)

Moment(MNm)

MR

M-N

ET-PT-EC

Fig. 8Diagramme d'interaction(Programme N 126)

Remarque 2. On vrifie bien:dz).z(.)z(bVh

0

Conclusion. En flexion compose avec section partiellement tendue, la contrainte maximale de

cisaillement peut tre plus importante que la valeur donnes pour la flexion simple)d9,0.(b

VvEdEd (FS)

ou pour une section entirement comprimeh.bV5,1vEdEd (EC).


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4 Section ci rcu la ire

On procde suivant le mme raisonnement, l'aide d'une feuille de calcul Excel.

Du fait que la largeur b varie avec la cote z, qu'elle est maximale au milieu du cercle et qu'elle diminueensuite, la contrainte maximale de cisaillement n'est que rarementau niveau du centre de gravit. Ilfaut faire une tude de toutes les positions de calcul de z = 0 z = D.

Exemple 3. Flexion compose

Poteau de 0,6 m de diamtre arm de 6HA16 avec un enrobage de 40 mm l'axe.

Solicitations ELU : NEd= 2MN , MEd= 0,3MNm, VEd= 0,34 MN

Calculavec le programme N 114 pour s'assurer que la section bton et les sections d'armatures sontsuffisantes. Ce que l'on constate sur le diagramme d'interaction de la fig. 9.

11 4 - Calcul des dformes et des contraintes bton et acier H. Thonier

pour une section circulaire et un ferraillage donn 30 avril 2012

en flexion simple ou compose, section entirement tendue L'auteur n'est pas

partiellement tendue ou entirement comprime responsable

avec au choix un diagramme parabole-rectangle ou Sargin de l'utilisation faite

de ce programme

Gomtrie

D0,6mdiamtre poteau (ou pieu)

Sollicitations

NEd2MNeffort normal centr

MEd0,3MNmmoment

Bton


C1,5coefficient btonPRS21 = p a r a b o l e - r e c t a n g l e , 2 = S a r g i n , 3 = l i n a i r e

Acier D i a g r a m m e d e S a r g i n c h o i s i

clasDclasse des aciers (A, B, C ou D)

fyk500MPalimite lastique des aciers

S1,15coefficient sur l'acier

na6nombre de barres20

14mmdiamtre des barres

c40mmenrobage l'axe

0dcalage d'un demi-angle =1, sinon =0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,4-0,200,20,4


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0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,5 0 0,5 1 1,5 2

bton

dformations

contraintes

Diagramme d'interaction

Moment/centre

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

-10123456

Effort normal (MN)

Moment(MNm)

MR

M-N donns

ET-PT-EC

Fig. 9Programme N 114 Position du couple (MEd, NEd) par rapport lacourbe d'interaction dessollicitations rsistantes

Le programme N 140 (Fig. 11) conduit un cisaillement maximal vEd,max= 2,34 MPa ce qui correspond

sensiblement, dans cet exemple, 40,22827,0

34,02

4/D

V22

Ed

MPa ou 48,236,0

34,05,2

D

V5,22

Ed

MPa !

cwen fonction dec

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-505101520

Fig. 10Coefficientcw


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140 - C isai l lement de section c i rculai re en flexion compose H. Thonier

(diagramme de Sargin) 8 mai 2012

L'auteur n'est pas

Donnes responsable de

D0,6mdiamtre poteau (ou pieu) l'utilisation faite

de ce programme

Soll icitations ELU

NEd2MNeffort normal centr sur la mi-hauteur de la section

MEd0,3MNmmoment

VEd0,33MNeffort tranchant

cot 1inclinaison des bielles

Bton


C1,5coefficient bton Acier

fcd16,6667MParsistance de calcul fyk500MPalimite lastique de l'acier

k3,41775coefficient de l'Eq. 3.14 S1,15coefficient acierEcm31GPamodule d'Young instantan Dclasse acier

c12,1raccourcissement au sommetfyd434,8MPa

cu13,5raccourcissement limite k1coefficient

fctm2,6MParsistance la traction uk75allongement

Aire 0,28274m2aire bton

Armatures

na6nombre de barres20 As9,24cm2aire totale des armatures

14mmdiamtre des barres s0,327%Ac% d'armaturesc40mmenrobage l'axe d0,56mhauteur utile

deca0 d c a l a g e d ' u n d e m i - a n g l e = 1 , s i n o n = 0

Rsultats OK

x0,34934mhauteur de bton comprim en ELU (Sargin)

c,h2,03381dformation en haut cp7,0736MPa

c,b-1,4593dformation en bas cp/fcd0,4244

vEd,max2,340MPacisaillement maximal (41,6%) cw1,25

vRd,max5,625MPacisaillement rsistant

vEd1,091MPa= VEd/ (D0,9d) pour info

rapport2,14vEd,max/ vEd

VEd0,32483MN= VEd?OK -1,6 % prs

Diffrence de contraintes de compression d Contrainte de c isai l lement et c isai l lement conventionnel EC2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-10123

tau

EC2

fibre neutre

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,6-0,4-0,200,2

Fig. 11Cisaillement d'une section circulaire


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5 - De l 'ambigit des quations (6.9) et (6.14) de l 'EC2

)tan/(cotf..z.b.V cd1wcwmax,Rd ...........................................................(6.9)

)cot1/()cot.(cotf..z.b.V 2cd1wcwmax,Rd ..........................................(6.14)

L'quation (6.9) est l'application de l'quation (6.14) au cas de cadres verticaux avec= 90.

5.1 - Biel le ABCD voisine de la b iel le d 'appui(rose)de forme parallpipdique(Fig. 12)

La rsultante des forces transmises par la bielle de pentevaut :

sin

VF.

La largeur perpendiculairement cette rsultante vaut :

sin

cot.z.

La contrainte de compression moyenne dans la bielle vaut :

)cot.(cotz.b

)cot1.(V

sin/)cot.(cotz.b

sin/V

w

2

wc

Si l'on crit que cette contrainte est gale la contrainte rsistanted'une bielle de type 2 ( 5.5.2(2) de

l'EC2), 0,6'.fcd, on obtient : cdw

2

wc f'.6,0

)cot.(cotz.b

)cot1.(V

)sin/)cot.(cotz.b

sin/V

qui est bien

l'quation 6.14 avec V = VRd,maxet' =1.

Autrement dit, la vrification de l'effort tranchant limite reprsente la condition denon-crasement de labiellede bton.

a z.cot z.cot z.cot

A

B

C

D

F

E

z

G

H

Fig. 12Bielles d'appui et voisine d'appui

Problme 1. L'effort tranchant V ci-dessus est celui du point B et non du nu de l'appuicomme pourl'EC2. On remarquera que l'effort tranchant agissant VEdn'est pas dfini dans l'EC2.

5.2 - Biel le d 'appui ABEF(verte)de forme trapzodale(Fig.12)

Si la longueur d'appuiaest plus petite que la longueur z.cot, la compression maximale de la bielle a

lieu en G et vaut : cdw

2A

Aw

Ac f'.6,0

a.b

)cot1'.(V

sin/a.b

sin/'V

o V' reprsente la valeur de l'effort

tranchant au nu de l'appuietAl'inclinaison de la bielle moyenne d'appui qui est telle que

z

a5,0cot5,0

z

2/)acot.z(cotA

.

Problme 2. Cette inclinaison est identique l'inclinaisondes bielles courantes seulement si a = z,cas qui est rarement rencontr.

Ceci conduit dfinir un effort tranchant rsistant au nu de l'appui gal :2

cd1wcwmax,Rd )cot1/(.f..a.b.'V au lieu de l'quation (6.13).


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5.3 Effort de g l issement ancrer en A(Fig.12)

L'effort de traction ancrer sur appui est donn par l'quation (9.3) de l'EC2, corrige par l'Annexe

nationale franaise :z

M

2

Nz/a.VF EdEdlEdEd .........................................(9.3)

Cette quation fait rfrence au dcalage aldfini par l'quation (9.2) :

2/)cot.(cotzal ........................................................................(9.2)

Ce qui conduit :z

M

2

N

2

)cot(cot.VF EdEdEdEd .

Pour un appui de rive, sans effort normal, on trouve :2

)cot(cot.VFEdEd

Dans le cas d'un modle en treillis simple de Ritter-Mrsch, l'quilibre du nud d'appui conduit ;

z

M

2

Ncot.VF EdEdEdEd et pour le cas particulier d'un appui de rive en flexion simple armatures

verticales : cot.VFEdEd , soit le double de la valeur prescrite par l'EC2.

Dans le cas d'une superposition de m treillis, on dmontre2que le dcalage alvaut :

m

11.2

cot.z

m

11.2

cot.zal

.

On constate que le dcalage donn par l'EC2 correspond au cas d'unnombre infini de treillissuperposs.

Remarque. On retrouve galement la formule de l'Eurocode en faisant a= 0 dans l'quation vue plus

haut :

cot5,0z

a5,0cot5,0

z

2/)acot.z(cotA .

C'est--dire en supposant que toutes les bielles convergent en un point qui est au nu de l'appui;

Problme 3. On ne peut pas avoir un nombre infini de treillis superposs. Ce nombre est donn par le

rapports

)cot.(cotzpour un espacement s des cadres. Or ce nombre est fini. Tout au plus il peut

valoir 4 ou 5. Ce qui, pour m = 5, donne un dcalage z).cot4,0cot6,0(

En consquence, pour 5 treillis, l'effort FEdvaut :z

M

2

N)cot4,0cot6,0.(VF EdEdEdEd

Pour un appui de rive en flexion simpleet armatures droites :

Un treillis unique : ...........................................................................EdEdVF

Un treillis double : )cot75,0.(VFEdEd

Un treillis triple : )cot67,0.(VFEdEd

Un treillis quadruple :....................................................... )cot625,0.(VFEdEd

...

Problme 4. Quel valeur donner z de l'quation (6.14) dans le cas de flexion compose decompression avec section entirement comprime ? Quelle valeur donner au produit bw.z pour unesection circulaire en flexion simple ? A fortiori, pour une section entirement comprime ?

Problme 5. L'quation (6.14) ne doit tre utilise que pour des sections rectangulaires en flexionsimple. Pour des sections en T, en I, circulaires et en flexion simple ou compose, elle n'est passcuritaire. Une tude spcifique doit tre faite chaque fois.

2THONIER H. (2009) L'Eurocode 2 pratique Presses des Ponts p. 338


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1

0123456789101112131415

z.cotqz.cota

Fig. 13Coefficients multiplicateurs de cotet coten fonction du nombre de treillis superposs

Remarque. Le BAEL avait retenu un seul treillis(dcalage z). Le CCBA68 avait retenu un seul treillispour le 1erlit et un nombre infini detreillis pour les lits suivants (dcalage z/2)

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