Détermination des contraintes résiduelles par les méthodes de …naylvis.free.fr/astelab2010/doc/s_extensometrie/buisson.pdf · 2010-05-19 · Détermination des contraintes résiduelles

Détermination des contraintes résiduelles par les méthodes de relaxation

Measurement of residual stresses by relaxation methods

Stéphane AUGER * - Raymond BUISSON **

* CETIM **Consultant Résumé Ce document présente un tour d’horizon sur l’ensemble des méthodes permettant de déterminer, par relaxation, les contraintes résiduelles existant à l’intérieur des pièces industrielles. Il fait le point sur les derniers développements effectués sur ce sujet et met en évidence les domaines spécifiques d’application de chacune des méthodes présentées. Il donne également un exemple d’application industrielle de l’une de ces méthodes (la méthode de la flèche). Il comporte les parties suivantes : • Les contraintes en service, les contraintes résiduelles, l’analyse expérimentale des contraintes. Cette première partie est une

introduction qui montre pourquoi il est utile de déterminer les contraintes résiduelles, • La méthode du trou, • La méthode du trou incrémentale, • La méthode du trépan ou du trépannage, quelquefois aussi appelée « méthode de Gunnert », • La méthode de Sachs, • La méthode de la flèche, • La méthode de la flèche modifiée, • Exemple d’utilisation de la détermination des contraintes résiduelles par la méthode de la flèche. Abstract This paper is an overview of the various methods used in order to determine residual stresses by relaxation methods in industrial mechanical parts. It shows the actual achievement of each of them and point out their specific field of application. There is also an industrial example of the use of one of them to get the residual stresses in a very large flat machined part. The method used in this case is the deflection method. The main parts of this paper are: • In service stresses, residual stresses, experimental stress analysis. This part is an introduction showing why it is useful to

measure residual stresses, • The hole drilling method, • The incremental hole drilling method, • The trepan method sometimes also called “Gunnert methode”, • Sachs method, • The deflection method, • The modified deflection method, • An example of determination of residual stresses by deflection method.

1. LES CONTRAINTES EN SERVICE, LES CONTRAINTES RESI-DUELLES, L’ANALYSE EXPERIMENTALE DES CONTRAINTES Pour le mécanicien, les contraintes restent toujours une préoccupation quotidienne. Mais il y a contraintes et contraintes. Depuis le temps qu’on parle de contraintes on a l’impression d’avoir fait le tour du sujet. En fait, ce n’est pas si sûr que cela. Il reste toujours, par ci par là, des points particuliers, qui n’ont pas été traités avec suffisamment de rigueur et la réalité du terrain sait les faire ressortir, bien souvent au plus mauvais moment : pièces qui cassent en service, pièces qui se déforment anormalement et qui entraînent pannes, difficultés de montage, etc…. Un point sur lequel il y encore à dire est le point relatif aux contraintes résiduelles. Les contraintes résiduelles, qu’est ce que c’est ? et comment les détermine t’on ? Quand on parle de contraintes, ce qui vient immédiatement à l’esprit : ce sont les contraintes couramment appelées « contraintes en service ».

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Ce sont celles qui, au bureau d’étude, interviennent dans le dimensionnement des machines. Il s’agit des contraintes dues au poids propre, des contraintes normales d’utilisation, des contraintes dues aux surcharges, des contraintes statiques, des contraintes dynamiques, etc…. Pour une pièce ou une structure donnée, ce sont les contraintes qui apparaissent lorsque des actions mécaniques (forces, moments, couples, pressions, etc…) lui sont appliquées. Ce sont ces contraintes qui sont calculées à l’aide de la résistance des matériaux ou des méthodes de calculs numériques (éléments finis, équations intégrales, etc…). Ce sont aussi ces contraintes qui sont déterminées expérimentalement par les diverses techniques d’analyse expérimentale des contraintes (extensométrie par jauges de déformations collées, méthodes de champs de types : revêtements photo élastiques, holographie, speckle, corrélation numérique d’images, etc…). Revenons quelques instants sur la détermination des contraintes à l’aide de la technique de l’extensométrie par jauges collées. Pour déterminer l’état de contraintes en un point d’une pièce donnée, il faut coller des jauges de déformations en ce point puis solliciter mécaniquement cette pièce et relever les indications fournies par les jauges. Dans leur principe de fonctionnement, les jauges de déformations sont des dispositifs dont la variation relative de résistance électrique est proportionnelle à la déformation mécanique qu’ils subissent. En réalité, pour être rigoureux, il faudrait dire : des dispositifs dont les variations relatives de résistance électrique sont proportionnelles aux variations de déformations mécaniques. En effet, pour utiliser des jauges il faut les coller sur une pièce ou une structure, les raccorder aux appareils de mesures puis régler ceux-ci pour qu’ils fournissent des indications nulles (opération couramment appelée : équilibrage des ponts de jauges) et ensuite, pour terminer, appliquer des sollicitations mécaniques sur la pièce ou la structure en relevant les indications des jauges. Celles-ci sont donc les variations de déformations mécaniques du matériau de la pièce ou de la structure qui correspondent aux sollicitations mécaniques qui viennent de lui être appliquées. Ces variations de déformations mécaniques sont ensuite converties en contraintes en utilisant les relations de Lamé qui relient les déformations mécaniques aux contraintes mécaniques dans les matériaux élastiques. Maintenant, ceci étant dit, quelle réponse peut-on faire à la question : qu’y avait-t-il comme contraintes dans la pièce ou la structure au moment où les mesures avec les jauges ont été faites ? Les contraintes qui ont été déterminées à l’aide des déformations mécaniques mesurées, SI il n’y avait pas d’autres contraintes auparavant. Dans la pratique, quand on fait de l’extensométrie, on donne toujours les contraintes qu’on a déterminées à partir des mesures faites à l’aide des jauges, mais on oublie toujours de dire « si il n’y avait pas de contrainte dans la pièce ou la structure sur laquelle on a placé les jauges au moment où celles-ci ont été collées». Pour bien faire comprendre cela, il faut utiliser un terme impropre et dire que les jauges de déformations ne permettent pas de déterminer les valeurs absolues de contraintes qu’il y a dans des pièces ou des structures, mais seulement des variations de contraintes qui correspondent à une ou des sollicitations volontairement appliquées. Le terme impropre est « valeur absolue de contrainte ». C’est impropre car la notion de contrainte absolue n’existe pas en physique. Il ne faut donc jamais utiliser ce terme. Pour parler de ce type de contraintes, il vaut mieux parler de « contraintes totales » ou « contraintes globales ». Mais, peut-il y avoir des contraintes mécaniques dans une pièce « au repos » ou « à vide » ou « sans charge » ? En théorie : NON. C’est pour cela qu’on oublie d’indiquer la restriction mentionnée ci-avant (« Si il n’y avait pas d’autres contraintes auparavant »). Malgré tout, lorsqu’on annonce de telles valeurs de contraintes, il serait bon de préciser qu’il s’agit de contraintes en service. Mais, en pratique, ce n’est pas si simple, et il arrive qu’il y ait déjà des contraintes dans les pièces avant que celles-ci soient sollicitées. Ce sont ces contraintes qui sont appelées les contraintes résiduelles.


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En effet, les pièces ou les structures sur lesquelles des jauges sont collées sont dans un état qui résulte d’un processus industriel quelquefois long et compliqué (processus de fabrication) au cours duquel il y a eu de nombreuses opérations thermomécaniques. Au cours de ces opérations, des contraintes mécaniques sont apparues dans le matériau et auraient normalement dues disparaître ensuite. En réalité, il n’est jamais certain qu’elles aient disparu complètement. Il est maintenant connu que des pièces ayant été obtenues par des procédés de moulage, de forgeage, de laminage, de meulage, de rectification, de traitements thermiques, de soudage sont susceptibles d’avoir conservé, dans leur volume, des contraintes mécaniques quelquefois de niveaux élevés. Une fois la fabrication terminée, il est possible d’éliminer ou de réduire ces contraintes à l’aide de traitements spéciaux. Les plus efficaces sont les traitements thermiques de détentionnement. Comme ils sont coûteux, ils ne sont pas toujours mis en œuvre. Dans les pièces industrielles, il est fréquent que de telles contraintes subsistent. Ce sont tous ces phénomènes qui sont à l’origine des contraintes résiduelles, appelées aussi contraintes propres, ou encore contraintes internes. Quand ces contraintes existent, le matériau des pièces est alors soumis, non seulement aux contraintes qui sont déterminées à partir des déformations mécaniques indiquées par les jauges, mais au cumul des contraintes ainsi déterminées avec les contraintes existant dans les pièces avant le collage des jauges. Il peut alors se faire que le matériau soit sollicité au delà de ses limites acceptables. Les pièces vont alors casser ou se fissurer alors que les résultats de mesures indiquaient qu’il n’y avait aucun risque d’avoir de telles anomalies. Comme, maintenant, la tendance est à la réduction des coefficients de sécurité au moment du dimensionnement, les risques de fissuration et de ruptures en service à cause des contraintes résiduelles sont de plus en plus importants. Il est donc nécessaire de déterminer ces contraintes résiduelles. Il existe plusieurs méthodes de mesures qui permettent de faire cela. Ce sont les méthodes dites de « détermination ou de mesures des contraintes résiduelles » L’ensemble de ces méthodes peut être scindé en deux catégories :

• les méthodes basées sur l’exploitation d’un principe consistant à mesurer une caractéristique physique du matériau influencée par les contraintes mécaniques et en déduire ces contraintes ; les caractéristiques physiques en question étant la taille de la maille cristalline, la vitesse de propagation des ondes ultrasonores,

les propriétés magnétiques, etc…, • les méthodes de relaxations.

Dans la première catégorie, à part celle basée sur la mesure de la taille de la maille cristalline, les méthodes n’en sont encore qu’au stade de la mise au point en laboratoire. Elles ne sont pas réellement utilisées industriellement. La méthode basée sur la mesure de la taille de la maille cristalline est la méthode de détermination des contraintes résiduelles par diffraction X. C’est une méthode qui est maintenant éprouvée, mais qui présente certaines limitations. Elle ne fonctionne pas sur les matériaux amorphes. Dans les autres cas, les structures cristallines de certains matériaux ne se prêtent pas très bien à la détermination des contraintes internes. Par ailleurs, bien qu’il existe maintenant des équipements de mesure relativement compacts (goniomètres transportables), dans certains cas, elle reste difficile à mettre en œuvre in situ sur des pièces ou des structures industrielles. Elle est par contre très utilisée en laboratoire et dans les ateliers. Elle présente aussi des limitations dans la détermination des profils de contraintes résiduelles en profondeur. Il est donc important de ne pas négliger les possibilités offertes par les méthodes de relaxations. Les méthodes de relaxations consistent à faire disparaître progressivement les contraintes résiduelles existantes, en général à l’aide d’opérations mécaniques, et à faire des mesures au cours de ces opérations afin de quantifier l’amplitude des contraintes qui ont disparu.


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Les mesures sont souvent faites avec des jauges de déformations. Plusieurs de ces méthodes sont dites destructives, car à l’issue de l’opération, la pièce dans laquelle il y avait les contraintes résiduelles recherchées n’est plus utilisable. Ces méthodes sont cependant très utiles pour déterminer les contraintes résiduelles qu’il y a dans les pièces fabriquées en série. Une pièce de la série est sacrifiée, mais les contraintes résiduelles qu’il y a dans les autres sont déterminées avec une bonne exactitude. D’autres sont dites semi-destructives, car il reste des traces de la mise en œuvre de la méthode sur les pièces, mais celles-ci ne sont pas inutilisables. Les principales méthodes de détermination des contraintes résiduelles par relaxation sont présentées ci-après. Ces méthodes sont :

• la méthode du trou,

• la méthode du trou incrémentale,

• la méthode du trépan ou du trépannage, appelée aussi la méthode de Gunnert,

• la méthode de Sacks,

• la méthode de la flèche,

• la méthode de la flèche modifiée. 2. LA METHODE DU TROU

Il est aisé de comprendre intuitivement le principe de la détermination des contraintes résiduelles dans le cas de la méthode du trou en analysant qualitativement ce qui se passe lorsqu’un trou est percé dans une barre en fer plat soumise à un effort de traction longitudinale. La barre en question est schématisée sur la figure 1 ci-après. Les schémas des figures ci-après indiquent comment se répartissent les contraintes dans une telle barre avant et après qu’un trou soit percé.

Jauges mesurant les déformations longitudinales de la barre

F

Section droite d’aire S

F

SF

=σRépartition des contraintes dans la

section droite médiane F

Figure 1 : Barre de grande longueur soumise à un effort de traction


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Lorsqu’une barre en fer plat de grande longueur est sollicitée par un effort de traction longitudinal à chacune de ses extrémités, elle est soumise à des contraintes unidirectionnelles de traction. La répartition de ces contraintes est une répartition uniforme dans les sections droites de la partie centrale de la barre (section représentée en bas de la figure), ainsi que dans toutes les sections voisines avec en particulier la section passant par la jauge la plus à droite sur la partie haute de la figure. Il en est de même pour les déformations mécaniques pouvant être mesurées avec des jauges collées dans la direction longitudinale de la barre comme indiqué sur la vue de la barre se trouvant en haut de la figure. Cette répartition uniforme se transforme de la manière indiquée sur le croquis de la figure 2 dans le cas où un trou est percé au milieu de la longueur de la barre.

F F

Section droite d’aire S

F

Répercussion de la présence du trou sur la répartition des contraintes longitudinales

dans la section droite médiane

Répercussion de la présence du trou sur la répartition des contraintes longitudinales dans la

section droite passant par la jauge la plus à droite sur la figure précédente

F

Point où la contrainte longitudinale et le cisaillement

ne peuvent avoir que des valeurs nulles ou très faibles, en effet dans le trou, il n’y a

plus de matière pour transmettre cette contrainte ou

ce cisaillement.

A

Figure 2 : Schémas montrant les modifications des répartitions de contraintes consécutives au perçage d’un trou

dans une barre de grande longueur soumise à un effort de traction


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La matière qui se trouve sur la surface du perçage à l’intérieur du trou est uniquement en contact avec l’air ambiant. Elle n’est donc soumise à aucune contrainte mécanique mis à part la pression atmosphérique. La valeur standard de la pression atmosphérique est de 1013 hPa, soit 0,1 MPa. La contrainte normale à la surface du trou est donc de 0,1 MPa. De tels niveaux de contraintes mécaniques sont toujours négligés et il est considéré que les contraintes normales et les cisaillements à la surface du trou sont nuls. Ceci est vrai en particulier au point A sur la vue agrandie de la partie centrale de la barre.

Donc en ce point la contrainte longitudinale est nulle, alors qu’elle était de SF

=σ avant le perçage du trou.

L’effet du perçage du trou est donc très important. Au voisinage de ce point, le perçage du trou fait également que les contraintes sont très faibles. Mais, malgré tout, au fur et à mesure que la distance au trou augmente, les contraintes qui subsistent dans la barre augmentent aussi

progressivement (voir figure 2), alors qu’elles étaient toutes égales à SF

=σ avant le perçage du trou.

Par contre, sur les parties de la section droite passant par l’axe du trou, les contraintes longitudinales sont plus élevées

que ce qu’elles étaient avant le perçage du trou ( SF

>σ ). Ceci est logique car il faut que l’intégrale des contraintes

longitudinales sur toute la surface de la section droite équilibre l’effort de traction de la barre, qui, lui, est toujours le même. Toutes ces modifications de répartition des contraintes dans les sections droites successives de la barre se propagent en s’atténuant au fur et à mesure que la distance au trou augmente. Ainsi, la répartition des contraintes longitudinales dans la section droite passant par la jauge de déformation apparaissant sur la figure précédente est aussi modifiée. L’allure de la nouvelle répartition de contraintes est représentée sur le schéma du bas la figure 2. Il apparaît que la valeur des contraintes aux points situés sous la jauge est beaucoup plus faible que la valeur

SF

=σ qu’il y avait avant le perçage du trou.

Donc, si cette jauge est collée sur la barre en traction avant le perçage du trou et que le conditionneur est réglé pour indiquer zéro à ce moment là, alors après le perçage du trou, le conditionneur indiquera une valeur de déformation

négative qui correspondra au passage de la valeur de la contrainte de SF

=σ à une valeur beaucoup plus faible.

Pour un point à une distance donnée par rapport au trou, cette diminution de déformation est proportionnelle à la contrainte qu’il y avait dans la barre avant de percer le trou. Connaissant le coefficient de proportionnalité qui relie cette diminution de déformation à la contrainte, il est possible de déterminer la contrainte qu’il y avait dans la barre avant le perçage du trou à partir de la variation de déformation indiquée par la jauge avant et après ce perçage. Ceci est la base de la détermination des contraintes résiduelles par la méthode du trou. Les coefficients de proportionnalité permettant d’obtenir ces contraintes résiduelles peuvent être calculés en utilisant la théorie de l’élasticité comme ceci est présenté dans l’annexe 1 intitulée « Etude par la théorie de l’élasticité de la modification la répartition des contraintes dans une plaque en tension uniforme au moment du perçage d’un trou ». Ainsi, les expressions qui donnent les composantes du tenseur des contraintes dans une plaque sollicitée en traction unidirectionnelle percée d’un trou comme celle représentée sur la figure 3 sont :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= θσθσ 2cos3411

2, 4

4

2

2

2

2

rr

rr

rrr iii

r


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( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= θσθσ 2cos311

2, 4

4

2

2

rr

rrr ii

t

( ) ( )θσ

θτ 2sin3212

, 4

4

2

2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+⋅−=rr

rrr ii

rt

σt

θ

τrt σr

ri

σ σ

Figure 3 : Plaque sollicitée par une traction unidirectionnelle percée d’un trou

Dans le cas de l’utilisation de la méthode du trou pour déterminer les contraintes résiduelles, ce ne sont pas les déformations mécaniques qui correspondent à ces contraintes qui sont mesurées par les jauges, mais les variations de déformations qui correspondent au passage de l’état de contrainte de traction unidirectionnelle uniforme existant dans la plaque avant le perçage du trou à l’état de contrainte non uniforme dont les composantes sont

( )θσ ,rr , ( )θσ ,rt et ( )θτ ,rrt qui viennent d’être définies. Les indications des jauges seront donc les variations de déformations mécaniques qui correspondent aux variations de contraintes suivantes :

( ) ( ) ( )[ ]θσ

θσ

θσ ⋅+⋅−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= 2cos1

22cos3411

2, 4

4

2

2

2

2

rr

rr

rrr iii

pr∆

( ) ( ) ( )[ ]θσ

θσ

θσ ⋅−⋅−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= 2cos1

22cos311

2, 4

4

2

2

rr

rrr ii

pt∆

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+⋅−= θ

σθ

σθτ 2sin

22sin321

2, 4

4

2

2

rr

rrr ii

prt∆, qui, après

simplification et regroupement des termes semblables deviennent :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= θσθσ 2cos34

2, 4

4

2

2

2

2

rr

rr

rrr iii

pr∆


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( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−⋅= θσθσ 2cos3

2, 4

4

2

2

rr

rrr ii

pt∆

( ) ( )θσθτ 2sin322

, 4

4

2

2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅⋅−=rr

rrr ii

prt∆

Les variations de déformations mécaniques engendrées par une telle variation d’état de contraintes sur une jauge comme celle se trouvant près du trou sur la figure 3 se calculent en utilisant les équations de Lamé ci-après :

( ) ( ) ( )[ ]ptprpr rrE

r θσµθσθε ,,1, ∆∆ ⋅−⋅= ,

( ) ( ) ( )[ ]prptpt rrE

r θσµθσθε ,,1, ∆∆ ⋅−⋅= ,

( ) ( )prtprt rE

r θτµ

θγ ,1, ⋅+

=.

En réalité, dans le cas de jauges de déformations mécaniques orientées suivant la direction des rayons du trou, comme c’est le cas de la jauge de la figure 3, c’est seulement la première de ces trois relations qui doit être utilisée. Les autres relations ne sont jamais utilisées pour déterminer les contraintes résiduelles par la méthode du trou. L’indication fournie par une jauge de déformations mécaniques placée au bord d’un trou, une fois que celui-ci est percé est donc :

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−⋅⋅−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅= θ

σµθ

σθε 2cos3

22cos34

21, 4

4

2

2

4

4

2

2

2

2

rr

rr

rr

rr

rr

Er iiiii

pr∆

qui après simplification prend la forme :

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

++⋅

⋅+

⋅−= θθµ

µσθε 2cos32cos

14

21, 4

4

2

2

2

2

rr

rr

rr

Er iii

pr∆

Cette relation montre que, pour un point donné de la plaque, l’indication ( )pr r θε ,∆ de la jauge est proportionnelle à la contrainte qu’il y avait dans la plaque avant de percer le trou. Le coefficient de proportionnalité se calcule aisément lorsque r et θ , coordonnées du centre de la jauge dans un système d’axes en coordonnées cylindriques, sont connues.

En posant ( ) 2

2

211

rr

EA i⋅

⋅+

⋅−=µ

et ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅

+⋅

⋅+

⋅−= 4

4

2

2

31

4211

rr

rr

EB ii

µµ

,

la relation qui relie la contrainte résiduelle σ dans la plaque à l’indication de la jauge prend la

forme: ( ) ( )[ ] σθθε ⋅⋅⋅+= 2cos, BAr pr∆ .

Ce qui vient d’être vu correspond au cas simple d’une plaque soumise à une tension unidirectionnelle. Cela permet de comprendre le fonctionnement de la méthode.


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Dans le cas général, l’état de contraintes résiduelles inconnues qu’il peut y avoir dans une pièce est souvent un état bidirectionnel de directions principales inconnues.

Dans ce cas, il est facile de démontrer que la relation qui va relier l’indication donnée par une jauge de déformations

mécaniques au moment du perçage d’un trou est une fonction linéaire des deux contraintes principales Iσ et IIσ qui

a la forme : ( ) ( ) ( ) ( )θσσσσθε ⋅⋅−⋅++⋅= 2cos, IIIIIIpr BAr∆ . Cette relation montre que pour déterminer l’état de contraintes résiduelles inconnu, il faut placer trois jauges sur la périphérie du trou, relever leurs indications après le perçage du trou et, dans le cas où les trois jauges font entre elles un angle de 45° comme indiqué sur la figure 4, remonter aux contraintes résiduelles à l’aide des relations suivantes :

( ) ( )BA

bcacacaI ⋅

⋅−++−+

⋅+

=4

24

22 εεεεεεεσ

( ) ( )BA

bcacacaII ⋅

⋅−++−−

⋅+

=4

24

22 εεεεεεεσ

( )ca

cbatgεε

εεεθ

−+⋅−

=⋅2

2

(voir l’annexe2 sur l’obtention de ces relations par la théorie de la mécanique des milieux continus)

Figure 4 : Croquis montrant le positionnement des jauges de déformations autour du trou à percer

σII

ri

r

εc

εb

εa

45°

45°

θ

σI


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Il apparaît donc que les contraintes résiduelles se calculent directement à partir des déformations indiquées par les jauges, à condition de connaître les coefficients de sensibilité A et B. Comme ceci a été vu précédemment, ces coefficients peuvent se calculer à l’aide des relations obtenues par la théorie de la mécanique des milieux continus. Ces calculs qui dans le principe sont simples se compliquent un peu car, pour ne pas faire d’erreur par la suite, ils doivent prendre en compte les dimensions des jauges. Aussi, en pratique, ils sont plutôt déterminés expérimentalement par les fournisseurs de jauges. Les coefficients A et B se trouvent donc dans les documents distribués par ces fournisseurs de jauges. Jusqu’à présent, tous les développements sont faits en considérant que les variations de contraintes prises en compte sont celles qui résultent du perçage d’un trou qui traverse la plaque dans laquelle il y a les contraintes à déterminer. Il est aussi considéré que la répartition dans l’épaisseur de ces contraintes est uniforme. Dans le cas du perçage d’un trou dans une plaque de forte épaisseur également soumise à des contraintes réparties uniformément dans l’épaisseur, des essais ont montré que les indications d’une jauge placée à proximité du trou évoluent en fonction de la profondeur p du trou de la manière indiquée sur le graphique de la figure 5 ci-après..


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ri

r

p

eσII

σI

Indication de la jauge en fonction de la profondeur de perçage p

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 2 4 6 8 10 12

p ( mm)

Figure 5 : Evolution de l’indication d’une jauge de déformations mécaniques placée au bord d’un trou, au fur et à mesure du perçage de ce dernier


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Il apparaît que lorsque la profondeur p du trou dépasse 1,2 fois le diamètre, les indications de la jauge restent approximativement constantes. Il n’est donc pas nécessaire de faire des trous qui traversent les pièces épaisses. Et si le diamètre du trou est faible (2 mm par exemple), alors les contraintes résiduelles peuvent être déterminées dans une couche superficielle de quelques millimètres sans faire un perçage très profond (guère plus de 2 mm). Si, en plus, la pièce n’est pas très petite, comme c’est souvent le cas dans l’industrie, alors les traces laissées par la mise en œuvre de la méthode sont très ténues et ne sont, bien souvent, pas gênantes pour envisager une utilisation ultérieure de la pièce. C’est pour cela que cette méthode de détermination des contraintes résiduelles est dite « semi destructive ». Les résultats obtenus sont de bonne qualité s’ il y a une bonne uniformité de répartition des contraintes résiduelles dans l’épaisseur et si la précision des perçages est correcte. En prenant un certain nombre de précautions, il est possible de minimiser l’effet de tout cela. En ce qui concerne l’uniformité de répartition, dans bon nombre de cas, il est possible de s’affranchir, en partie au moins, de ce type de perturbation des résultats de mesure pour la raison suivante. Généralement, les contraintes résiduelles qui sont gênantes dans les pièces, sont les contraintes résiduelles en surface. S’il est suspecté que la répartition n’est pas uniforme, il faut choisir un diamètre de perçage très petit. Dans ces conditions, les contraintes résiduelles qui seront déterminées sont les moyennes de répartitions des contraintes résiduelles dans l’épaisseur correspondant à la profondeur percée, c'est-à-dire 1 à 2 mm. Il y a beaucoup de cas où, dans une telle épaisseur, les variations de contraintes ne sont pas très importantes et l’erreur correspondante sur le résultat de la détermination est faible. En ce qui concerne la précision des perçages, il faut se rappeler que les coefficients de sensibilité sont des fonctions du rayon du trou et de la distance du centre de la jauge à l’axe du trou. Les rosettes de jauges de déformations mécaniques distribuées par les fournisseurs de jauges ont des dispositions du type de celles indiquées sur la figure 6.

Figure 6 : Vue de rosettes tri directionnelles de jauges de déformations pour la méthode du trou (document Vishay MicroMesures)

Le trou est percé une fois que les rosettes sont collées sur la pièce dans laquelle les contraintes résiduelles doivent être déterminées. Comme ceci se devine sur la figure, le perçage doit être centré le mieux possible par rapport aux jauges. Pour avoir de bons résultats, il faut que le diamètre de perçage pris en compte dans les coefficients de sensibilité soit respecté à mieux qu’au 1/10ème de millimètre et que l’erreur de centrage soit inférieure au 1/10ème de millimètre. En fait pour être certain de respecter ces impératifs, il faut utiliser des dispositifs de perçage spécifiquement conçus pour la détermination des contraintes résiduelles par la méthode du trou. Ces dispositifs se fixent à la surface de la pièce et possèdent un petit bâti dans lequel se monte d’abord une lunette de visée qui permet de faire un centrage précis par rapport à la rosette. Ensuite, la lunette est déposée et remplacée par une petite broche de perçage. Du fait que le système vient d’être centré sur la rosette, il n’y aura que très peu d’erreur de positionnement du trou. Par contre, pour éviter les déviations de foret au début ou au cours du perçage, il ne faut pas utiliser des forets classiques. Il faut prendre des forets spéciaux qui ressemblent plutôt à de toutes petites fraises.


Astelab 2010 13

Une fois que le trou est percé, il faut remonter la lunette pour relever la valeur exacte du diamètre du trou qui a été percé. Les coefficients de sensibilité doivent alors être corrigés en tenant compte de la valeur exacte du diamètre du trou. Ainsi, si le centrage est bon et si le diamètre du trou est mesuré à quelques centièmes de millimètre près, alors il est possible d’obtenir des valeurs de contraintes résiduelles avec une incertitude relative inférieure ou égale à 5 % lorsque les contraintes résiduelles à déterminer sont supérieures à 100 à 150 MPa. Lorsque les erreurs de centrage et de relevé du diamètre du trou se rapprochent du 1/10ème de millimètres, cette incertitude atteint voire dépasse 10 %. Il apparaît donc que les effets des erreurs sur les mesures des déformations mécaniques indiquées par les jauges restent faibles par rapport aux effets des erreurs liées au processus de perçage. Les incertitudes sur les résultats proviennent essentiellement du perçage. 3. LA METHODE DU TROU INCREMENTALE

Tout ce qui a été présenté dans les paragraphes précédents correspond au cas où la répartition des contraintes résiduelles dans les pièces est uniforme dans toutes les directions de l’espace (répartition uniforme à la surface des pièces et répartition uniforme dans l’épaisseur). Par contre, compte-tenu de leurs modes de génération, les contraintes résiduelles peuvent présenter des non uniformités de répartition importantes, en particulier dans l’épaisseur des pièces. Comment ceci se répercute-t-il sur la détermination des contraintes résiduelles par la méthode du trou qui vient d’être présentée ? Pour se faire une première idée approximative de l’effet que peut avoir cette non uniformité de répartition des contraintes résiduelles dans l’épaisseur, il est bon d’examiner la courbe donnant les indications des jauges de déformations mécaniques en fonction de la profondeur p de perçage du trou présentée au paragraphe précédant. Si par exemple, il y a une répartition de contraintes résiduelles non uniforme qui est telle que celle qui est présentée sur la figure 7 (contraintes résiduelles faibles ou nulles en surface, puis contraintes résiduelles qui augmentent rapidement pour passer à un niveau élevé dans le reste de l’épaisseur des pièces), alors la courbe d’évolution des indications des jauges de déformations mécaniques est modifiée comme indiquée sur le graphe de cette figure.


Astelab 2010 14

ri

r

p

ε σII

σI

Indication de la jauge en fonction de la profondeur de perçage p

-95

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 2 4 6 8 10 12

p ( mm)

Figure 7 : Evolution de l’indication d’une jauge au cours du perçage du trou dans le cas d’une pièce présentant une variation de la répartition des contraintes résiduelles dans l’épaisseur


Astelab 2010 15

Dans le cas d’une telle répartition de contraintes résiduelles, contrairement à ce qui se passe avec une répartition uniforme dans l’épaisseur, les variations d’indication de la jauge sont très faibles pendant le premier ou les deux premiers millimètres du perçage. Ensuite, elles augmentent assez rapidement mais ne rattrapent jamais les valeurs obtenues dans le cas d’une répartition uniforme. Finalement, lorsque le perçage est terminé, la variation d’indication totale obtenue est beaucoup plus faible que celle qui aurait été obtenue dans le cas d’une répartition uniforme de contraintes résiduelles. Elle ne permet donc de remonter ni aux contraintes résiduelles qu’il y a en surface des pièces ni à celles qui se trouvent au fond du trou. Elles ne correspondent pas non plus à la moyenne des contraintes résiduelles qu’il y avait dans une épaisseur de pièce égale à la profondeur du trou avant le perçage du trou. La détermination des contraintes résiduelles par la méthode du trou classique ne permet donc pas de déterminer des contraintes résiduelles quand la répartition de celles-ci dans l’épaisseur des pièces n’est pas uniforme. Lorsqu’il y a des gradients de contraintes résiduelles dans l’épaisseur des pièces, leur détermination par la méthode du trou ne peut se faire qu’en utilisant une méthode améliorée dite « méthode du trou incrémentale » qui est présentée ci-après. Cette méthode permet de déterminer les gradients de contraintes résiduelles dans l’épaisseur des pièces. Elle va être présentée ci-après en commençant par l’examen des phénomènes mis à profit pour perfectionner la méthode du trou classique afin de remonter à la répartition dans l’épaisseur des contraintes résiduelles, puis en donnant le principe de la méthode ainsi que la manière de la mettre en œuvre et pour terminer en donnant des indications sur la qualité des résultats obtenus. 3. 1. Phénomènes mis à profit pour perfectionner la méthode du trou classique afin de pouvoir déterminer les contraintes résiduelles lorsque leur répartition dans l’épaisseur n’est pas uniforme Pour comprendre ce qu’il faut faire quand la répartition dans l’épaisseur des contraintes résiduelles n’est pas uniforme, il faut d’abord revenir sur ce qui se passe au cours du perçage d’un trou dans le cas d’une répartition uniforme. Pour déterminer des contraintes résiduelles dans des pièces dont la répartition dans l’épaisseur est uniforme, il faut : coller des rosettes tri directionnelles de jauges de déformations sur ces pièces, percer des trous à des profondeurs égales ou supérieures à environ 1,3 fois leurs diamètres puis relever les indications fournies par les jauges de la rosette. Ensuite, il faut déduire de ces indications les contraintes qu’il y avait dans les pièces avant le perçage des trous en faisant les calculs adéquats. Si les trous, au lieu d’être percés d’un seul coup jusqu’à une profondeur d’environ 1,3 fois leur diamètre, sont percés par petits incréments de profondeurs successives de quelques dixièmes de millimètre et qu’entre chacun de ces incréments les indications des jauges sont relevées, alors il apparaît des accroissements d’indications des jauges. Avec des incréments de profondeurs constants, les accroissements d’indications des jauges relatifs à chaque incrément de profondeur successif ne sont pas constants. Ils diminuent au fur et à mesure que la profondeur totale des trous augmente pour finalement devenir nuls lorsque la profondeur atteint 1,2 à 1,3 fois le diamètre du trou. La forme de la courbe d’évolution des variations d’indications des jauges en fonction de la profondeur du trou (forme de courbe donnée ci-avant dans la présentation de la méthode du trou) est caractéristique d’une répartition uniforme des contraintes résiduelles dans l’épaisseur des pièces. Si la répartition des contraintes résiduelles n’est pas uniforme dans l’épaisseur des pièces, alors en faisant, comme dans le cas de la répartition uniforme des contraintes résiduelles, le perçage du trou incrément de profondeur par incrément de profondeur et en relevant les indications des jauges entre chaque incrément de profondeur, il est possible d’obtenir une nouvelle courbe d’évolution des variations d’indications des jauges en fonction de la profondeur. Cette nouvelle courbe n’a pas la même forme que dans le cas d’une répartition uniforme des contraintes résiduelles. Il est possible de déduire la forme de la répartition des contraintes dans l’épaisseur des pièces de cette différence de forme de courbes d’évolution des variations d’indications des jauges en fonction de la profondeur du trou.


Astelab 2010 16

3.2. Principe de la méthode et manière de la mettre en œuvre Le principe de fonctionnement de la méthode repose sur l’hypothèse de base présentée ci-après. Au cours du perçage, incrément par incrément, d’un trou dans une pièce à l’intérieur de laquelle il y a des contraintes résiduelles, la variation d’indication d’une jauge de déformation collée dans une direction radiale au bord du trou, au

moment d’un nouvel incrément de perçage, est une fonction linéaire des contraintes résiduelles principales XXzσ

et YYzσ qui existent dans l’élément de volume de matière retirée (voir figure 8).

XXzσXXzσ

O x

y

zxxε∆

YYzσ

YYzσ

Figure 8 : Variation de l’indication d’une jauge collée au bord d’un trou au moment d’un incrément de perçage

EC

EC YY

y

XX

xz

zz

zzXX

σµ

σε ⋅⋅−⋅=∆

xzC et sont des constantes qui dépendent : yzC

• du diamètre du trou,

• du type de la jauge,

• de la profondeur du trou,

• de l’épaisseur de la pièce, si elle est inférieure à 4 à 5 fois le diamètre du trou. Pour pouvoir appliquer la méthode à tout type de configuration de répartition dans l’épaisseur de contraintes résiduelles, il faut généraliser l’expression de l’hypothèse de base qui vient d’être présentée. Si les directions principales du tenseur des contraintes résiduelles sont connues, alors, en faisant des mesures avec deux jauges respectivement placées sur les axes Ox et Oy de la figure 8 dans des directions radiales par rapport au trou, il est

possible de déterminer les valeurs des contraintes XXzσ et YYzσ à partir des indications zXXε∆

et zYYε∆ fournies par les jauges.


Astelab 2010 17

XXzσXXzσ

YYzσ

YYzσ

y

O zxxε∆

zYYε∆

x

Figure 9 : Variation de l’indication de deux jauges collées au bord d’un trou au moment d’un incrément de perçage

EC

EC YY

y

XX

xz

zz

zzXX

σµ

σε ⋅⋅−⋅=∆

EC

EC XX

y

YY

xz

zz

zzYY

σµ

σε ⋅⋅−⋅=∆

( )zyzx

yx

XX YYzXXzzz

z CCCC

Eεµε

µσ ∆∆ ⋅⋅+⋅⋅

⋅−= 222

( )zyzx

yx

YY XXzYYzzz

z CCCC

Eεµε

µσ ∆∆ ⋅⋅+⋅⋅

⋅−= 222

Si les directions principales du tenseur des contraintes résiduelles ne sont pas connues, alors il faut utiliser une rosette

tri directionnelle de jauges de déformations pour pouvoir déterminer XXzσ et YYzσ .


Astelab 2010 18

Ainsi, si une jauge est collée dans une direction faisant un angle θ avec la direction principale majoritaire d’un état de contraintes résiduelles unidirectionnel tel que celui de la figure 10, alors la variation d’indication de la jauge est une

fonction de cet angle θ de la forme : ( ) ( ) zCrIz zzr ∆∆ ⋅⋅= σθθε ,

y

O

zrrε∆

II

θ

r

I

x

Figure 10 : Variation de l’indication d’une jauge collée au bord d’un trou, dans une direction quelconque par

rapport aux directions principales du tenseur des contraintes résiduelles, au moment d’un incrément de perçage Par analogie avec les relations données dans le cas de la méthode du trou classique, cette fonction peut aussi se mettre

sous la forme ( ) ( ) ( ) ( )[ ] zzBzArIz zr ∆∆ ⋅⋅⋅⋅+= σθθε 2cos,

Si l’état de contraintes résiduelles unidirectionnel est orienté dans la direction II, alors l’expression précédente prend la

forme ( ) ( ) ( ) ( )[ ] zzBzArIIz zr ∆∆ ⋅⋅+⋅⋅+= σπθθε 2cos,

Dans le cas général d’un état de contraintes résiduelles bidirectionnel dont les contraintes résiduelles principales sont

Izσ et IIzσ , l’expression donnant la variation d’indication d’une jauge de déformation collée au bord du trou dans une direction faisant un angle θ avec la direction des normales aux facettes sur lesquelles s’appliquent les

contraintes Izσ peut se mettre sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] zzBzArIIIIIIz zzzzr ∆∆ ⋅⋅⋅−⋅++⋅= θσσσσθε 2cos,

A(z) et B(z) sont des coefficients en fonction de z qui sont propres à chaque configuration de détermination de contraintes résiduelles. C'est-à-dire que, en plus de z, ils dépendent du diamètre du trou, de la position de la jauge et des paramètres caractéristiques du matériau (E, µ). Par contre, une fois que ces paramètres sont fixés, ce sont des fonctions de z qui peuvent être définies une fois pour toutes.

Ainsi, si l’état de contraintes résiduelles recherché est complètement inconnu, c’est-à-dire que si Izσ , IIzσ ainsi que l’angle d’orientation des directions principales du tenseur des contraintes résiduelles sont inconnus, alors il faut faire

des mesures de variations de déformations ( )θε ,rzr∆ dans trois directions θ différentes. Ceci est réalisé en collant

une rosette tri directionnelle de jauges de déformations.


Astelab 2010 19

Dans le cas où la rosette tri directionnelle utilisée est une rosette à 45 ° et si les variations de déformations indiquées par

les 3 jauges de la rosette sont respectivement notées azε∆ , bzε∆ et czε∆ , alors les composantes du tenseur des contraintes résiduelles à la profondeur z ainsi que l’angle d’orientation des directions principales peuvent être calculés par l’une des trois séries de relations ci-après.

La première série concerne les relations donnant Izσet IIzσ

en fonction de θ avec uniquement ( )θ⋅2cos au dénominateur. Ces relations sont :

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+=

2cos42cos2cos

zzBzAzBzAzBzA

ca

I

zzz ∆

∆∆

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+=

2cos42cos2cos

zzBzAzBzAzBzA

ac

II

zzz ∆

∆∆

( )ca

cba

zz

zzztgεε

εεεθ

∆∆

∆∆∆

−

+⋅−=⋅

22

La deuxième série concerne les relations donnant Izσet IIzσ

en fonction de θ avec ( )θ⋅2sin et

( )θ⋅2cos au dénominateur. Ces relations sont :

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+=

2cos2sin22cos2sin

zzBzAzBzAzBzA

ba

I

zzz ∆

∆∆

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+=

2cos2sin22sin2cos

zzBzAzBzAzBzA

ab

II

zzz ∆

∆∆

( )ca

cba

zz

zzztgεε

εεεθ

−

+⋅−=⋅

∆∆ 22

La troisième série concerne les relations donnant Izσet IIzσ

directement en fonction des indications des jauges

sans faire intervenir l’angle θ .

( )( ) ( )

( ) zzBzzAbcacaca

I

zzzzzzzz ∆

∆∆∆∆∆

∆

∆∆

⋅⋅

⋅−++−+

⋅⋅

+=

4

2

4

22 εεεεεεεσ


Astelab 2010 20

( )( ) ( )

( ) zzBzzAbcacaca

II

zzzzzzzz ∆

∆∆∆∆∆

∆

∆∆

⋅⋅

⋅−++−−

⋅⋅

+=

4

2

4

22 εεεεεεεσ

( )ca

cba

zz

zzztgεε

εεεθ

∆∆

∆∆∆

−

+⋅−=⋅

22

Ainsi, il est possible de calculer les composantes du tenseur des contraintes à chaque incrément de profondeur de perçage, à condition de connaître les coefficients A(z) et B(z) qui sont des fonctions de z. Ces coefficients A(z) et B(z) qui permettent de déterminer le tenseur des contraintes résiduelles à la profondeur z dans une pièce, à partir des mesures des variations d’indications des 3 jauges d’une rosette tri directionnelle à 45 °, peuvent être déterminés de deux manières différentes. La première manière est expérimentale. La deuxième consiste à déterminer A(z) et B(z) au moyen d’une modélisation par calculs numériques du comportement de la pièce au cours du perçage du trou. Ces deux techniques sont présentées l’une après l’autre ci-après. 3.2.1. Technique de détermination expérimentale des coefficients A(z) et B(z) Au préalable, il est nécessaire de rappeler une particularité relative aux modifications de répartition des contraintes au moment du perçage de trous dans des pièces soumises à des contraintes résiduelles. Dans des pièces où il y a des contraintes résiduelles, les coefficients A(z) et B(z) ne dépendent, de manière significative, du diamètre du trou, du type de rosette et des paramètres caractéristiques du matériau (E, µ), que si leur épaisseur est supérieure à 4 à 5 fois le diamètre du trou qui sera percé pour relaxer ces contraintes résiduelles. Ainsi, lorsque la configuration de mise en œuvre d’une détermination de contraintes résiduelles dans une pièce donnée est définie, à savoir : lorsque le type de matériau, le type de rosette et le diamètre des trous à percer pour relaxer les contraintes sont définis, alors les coefficients A(z) et B(z) sont déterminés en collant une rosette sur une éprouvette de matériau identique au matériau de la pièce et en soumettant cette éprouvette à un état unidirectionnel de contrainte ayant une répartition uniforme dans son épaisseur (voir figure 11).


Astelab 2010 21

Effort de traction

Rosette tri directionnelle

incrément par incrément

donnant des accroissements de déformations au fur et à mesure du perçage du trou

Jauges donnant la contrainte résiduelle réelle

Jauges donnant la contrainte résiduelle réelle

Figure 11 : Eprouvette soumise à un état unidirectionnel de contrainte de traction longitudinale permettant de

déterminer les coefficients A(z) et B(z) Les variations d’indications de déformations mécaniques données à chaque incrément de profondeur de perçage du trou permettent de déterminer les valeurs de A(z) et de B(z) en utilisant les relations suivantes :

( )z

zAI

ca

z

zz

∆

∆∆

⋅⋅

+=

σεε

2 et ( )( ) ( )

zzB

I

bcaca

z

zzzzz

∆

∆∆∆∆∆

⋅⋅

⋅−++−=

σ

εεεεε

2

2 22

Les incréments de profondeur de perçage doivent être les mêmes que ceux qui seront utilisés par la suite au cours des perçages sur la ou les pièces dans lesquelles les contraintes résiduelles doivent être déterminées. Il n’est pas nécessaire que les incréments de profondeur de perçage soient les mêmes tout au long du perçage. Il est même préférable qu’ils soient faibles au début puis de plus en plus importants au fur et à mesure de la pénétration du foret. En effet, il est inutile d’avoir des incréments de faibles valeurs à la fin du perçage car, pour un même niveau de contraintes résiduelles qu’au début du perçage, les variations d’indications des jauges sont beaucoup plus faibles et donc difficiles à mesurer avec une bonne exactitude. En augmentant la valeur des incréments de profondeur de perçage, les variations d’indications des jauges restent mesurables. 3.2.2. Technique de détermination des coefficients A(z) et B(z) par modélisation numérique du comportement de la pièce. Pour comprendre cette technique, il faut commencer par revenir sur une particularité des phénomènes de relaxation de contraintes.


Astelab 2010 22

Lorsque la répartition des contraintes résiduelles dans une pièce n’est pas uniforme, il est possible de considérer, sans faire d’erreur notoire, que dans la pièce, il y a une succession de couches de matière de faibles épaisseurs dans lesquelles les contraintes résiduelles ont des valeurs constantes. Par contre, les valeurs de contraintes résiduelles varient en passant d’une couche à l’autre (voir figure 12).

Figure 12 : Succession de couches avec répartitions de contraintes résiduelles uniformes équivalente à une

répartition non uniforme Soit maintenant une pièce telle que celle représentée sur la figure 13, avec une répartition de contraintes résiduelles uniforme sur une faible épaisseur et des contraintes résiduelles nulles de part et d’autre dans l’épaisseur. En utilisant l’approche des couches présentée ci-avant, il y a trois couches qui sont toutes soumises au même niveau de contraintes résiduelles.

Figure 13 : Détermination par la méthode du perçage incrémental des contraintes résiduelles dans une pièce où

la répartition des contraintes est uniforme sur une faible épaisseur puis nulle par la suite Les états de contraintes dans chaque couche peuvent être déterminés à partir des variations d’indications de déformations mécaniques fournies par les jauges d’une rosette placées sur les bords du trou qui sera percé incrément par incrément. La particularité de la méthode de détermination des contraintes résiduelles par la méthode du perçage incrémental peut être mise en évidence en considérant deux pièces identiques à celle de la figure 13 mais avec des profondeurs z différentes des couches dans lesquelles il y a des contraintes résiduelles. Dans le cas de la première pièce de la figure 14, dont la profondeur z est égale à z1, les variations de déformations telles

que 1zrε∆ indiquées par les jauges placées au bord du trou auront une certaine valeur. Dans le cas de la deuxième pièce, pour laquelle la profondeur z égale à z2 est plus grande, pour des contraintes identiques dans la couche retirée par

le perçage, les variations de déformations 2zrε∆ seront beaucoup plus faibles. Dans le cas des représentations faites sur la figure 14, il est considéré que, du point de vue du calcul, c’est la même chose de déterminer ce qui se passe au niveau des jauges de mesure de déformations à la surface de la pièce quand l’incrément de profondeur du trou est percé dans la pièce soumise aux contraintes résiduelles que de déterminer ce qui se passe quand des contraintes équivalentes à l’inverse des contraintes résiduelles sont appliquées sur la périphérie du trou d’une pièce identique mais sans contrainte, au niveau de la couche considérée.

z

Exemple de répartition par couches des contraintes résiduelles dans une pièce

Répartition équivalente par couches des contraintes

résiduelles dans une pièce Répartition réelle des contraintes

résiduelles dans une pièce


Astelab 2010 23

1zrε∆2zrε∆

z 1

z 2

2zrε∆1zrε∆

Figure 14 : Pour un même niveau de contraintes résiduelles, les variations d’indications des jauges sont

différentes si les couches retirées par perçage ne sont pas à la même profondeur Les coefficients de sensibilité aux contraintes résiduelles par couche des jauges sont donc fonction de la profondeur des couches. C’est pour cela que la détermination de ces coefficients de sensibilité à l’aide de calculs numériques présente de l’intérêt. Cette particularité sur les phénomènes de relaxation de contraintes étant prise en compte, le principe de la méthode de calcul par éléments finis des coefficients de sensibilité peut maintenant être présentée. Soit une pièce telle que celle de la figure 15, dans laquelle il y a une répartition non uniforme de contraintes résiduelles.

Pièce avec répartition non uniforme de contraintes résiduelles

Répartition équivalente des contraintes résiduelles sous forme de

couches successives

Figure 15 : Pièces avec répartition non uniforme des contraintes résiduelles

Les variations de déformations mécaniques indiquées par des jauges placées au bord d’un trou au moment des incréments de perçage sont identiques à celles qui seraient indiquées par les mêmes jauges placées sur le bord d’un trou déjà percé dans la même pièce sans contraintes résiduelles lorsqu’on applique successivement des contraintes identiques à celles de la pièce réelle mais de sens inverse sur la périphérie du trou dans chaque couche de la pièce (voir figure 16).


Astelab 2010 24

Figure 16 : Application de contraintes provoquant les mêmes variations de déformations au bord d’un trou

percé dans une pièce sans contraintes résiduelles autres que celles obtenues au moment d’un perçage dans une pièce soumise à des contraintes résiduelles

Le principe qui est à la base de l’utilisation des éléments finis pour déterminer les coefficients reliant les variations de déformations indiquées par des jauges placées sur les bords d’un trou au cours du perçage par incréments de profondeurs consiste à calculer par la méthode des éléments finis les variations de déformations mécaniques qui résultent de l’application couche par couche, à une pièce déjà percée sans contrainte résiduelle, des contraintes inverses à celles qui existent dans la pièce réelle. Pour chaque couche, à partir des résultats de ces calculs, il est possible de déterminer les coefficients qui relient les contraintes dans chaque couche et les variations correspondantes des déformations des jauges. Ces coefficients sont ensuite utilisés au cours du perçage du trou dans la pièce réelle pour déterminer les contraintes à partir des déformations. L’utilisation de la méthode des éléments finis commence par le calcul des variations d’états de contraintes qui apparaissent à la surface de la pièce au moment de l’application des contraintes dans chaque couche. Pour un point tel que celui où est placée la jauge sur la figure 16, ces variations de contraintes sont reliées aux contraintes dans les couches par les relations données ci-après. Ces relations sont établies dans le cas de la couche courante de rang i. Les variations d’états de contraintes à la surface de la pièce, à l’endroit de la jauge représentée sur la figure 16, sont

définies par les variations des trois composantes du tenseur ( ( )θσ ,rir∆ , ( )θσ ,r

it∆ , ( )θτ ,rirt∆ )

de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( )θσσσσ

θσ ⋅⋅−⋅

++⋅

= 2cos22

, 21 IIZiIZiZiIIZiIZiZir

CCri

∆

( ) ( ) ( ) ( )θσσσσ

θσ ⋅⋅−⋅

−+⋅

= 2cos22

, 43 IIZiIZiZiIIZiIZiZit

CCri

∆

( ) ( ) ( ) ( )θσσσσ

θτ ⋅⋅−⋅

−+⋅

= 2cos22

, 65 IIZiIZiZiIIZiIZiZirt

CCri

∆

C1Zi, C2Zi, C3Zi, C4Zi, C5Zi, C6Zi sont des constantes obtenues à partir des résultats du calcul numérique qui dépendent de la distance des jauges au centre du trou, du diamètre du trou, de Zi et de l’angle θ.

Z 1

Y σII

εr(r,θ)

Z i

∆Z1

∆Z1

σΙΙZi

σΙZ1

θ X

σI

Z


Astelab 2010 25

Après le calcul des variations de contraintes, il y a la détermination des variations de déformations mécaniques qui correspondent à ces variations de contraintes et qui seront indiquées par les jauges. Ces variations de déformations mécaniques sont calculées en utilisant les relations de Lamé. Ainsi, par exemple, lors de l’application des contraintes dans la couche i, la jauge représentée sur la figure 16 sera

soumise à une variation de déformation ( ) ( ) ( )[ ]θσµθσθε ,,1, rr

Er

iii trr ∆∆∆ ⋅−⋅=, E et

µ étant respectivement le module d’élasticité et le coefficient de Poisson du matériau.

En remplaçant ( )θσ ,rir∆ et ( )θσ ,r

it∆ par leurs valeurs en fonction de IZiσ et IIZiσ , il en résulte une relation de la forme :

( ) ( ) ( ) ( )θσσσσθε ⋅⋅−⋅++⋅= 2cos, IIZiIZiZiIIZiIZiZir BAri

∆ dans laquelle AZi et BZi sont des constantes calculées à partir de C1Zi, C2Zi, C3Zi et C4Zi. Pour terminer, dans le cas de chaque couche, connaissant ces coefficients pour les trois jauges de la rosette, il est possible de calculer σI, σII et l’angle d’orientation des directions principales du tenseur des déformations et des contraintes mécaniques lorsque les variations de déformations mécaniques sont données par les jauges. La séquence de calcul qui vient d’être présentée est répétée pour chaque couche correspondant à chaque incrément de profondeur de perçage. En général, les épaisseurs de couches, qui correspondent aux incréments de profondeurs de perçage successifs, ne sont pas constantes car l’ajout d’un même niveau de contraintes sur des couches superficielles et sur des couches profondes de mêmes épaisseurs ne produit pas les mêmes niveaux d’indications sur les jauges de déformations. Ces dernières sont beaucoup plus faibles dans le cas des couches profondes. Rapidement, les niveaux deviennent inférieurs au seuil du minimum exploitable des indications des jauges de déformations. Pour éviter cet inconvénient, les épaisseurs des couches profondes sont plus importantes. Il en résulte une finesse moindre dans la courbe de répartition des contraintes résiduelles. Les variations rapides de répartitions de contraintes résiduelles disparaissent. Une fois que les coefficients A(zi) et B(zi) sont déterminés par l’une des deux méthodes qui viennent d’être présentées, le perçage du trou est réalisé, incrément par incrément en prenant soin de faire en en sorte que les incréments réalisés soient les mêmes que ceux pris en compte au moment de la détermination des coefficients. Après chaque incrément de perçage il faut relever les indications des jauges de la rosette au centre de laquelle le trou est percé. Si on dispose d’un système automatique intégrant le pilotage du perçage et l’acquisition en numérique des mesures, les contraintes résiduelles qui existaient dans chaque couche peuvent être déterminées en temps réel au fur et à mesure de la réalisation des incréments de perçage en utilisant les relations présentées précédemment. Pour cela, les relations en question doivent être programmées dans le logiciel du système et les calculs correspondant se font automatiquement à la fin de chaque incrément de perçage. Ainsi, dès que le perçage du trou est terminé, il est possible de tracer les courbes de répartition des contraintes résiduelles dans l’épaisseur de la pièce. 3.3. Nature et qualité des résultats obtenus avec la méthode du trou incrémentale pour déterminer les gradients de contraintes résiduelles La méthode du trou incrémentale permet de déterminer les gradients de contraintes résiduelles sur une épaisseur de quelques millimètres à la surface des pièces. L’ordre de grandeur de cette épaisseur est compris entre 0,5 et une fois le diamètre du trou qui est percé.


Astelab 2010 26

Le diamètre maximum du trou qui est percé dépend entre autre des dimensions de la pièce. Sur une petite pièce (largeur inférieure ou égale à 20 mm), il n’est pas conseillé de percer des trous de diamètres supérieurs à 2 ou 3 mm. Les gradients de contraintes peuvent donc être déterminés sur une épaisseur de l’ordre de 1,5 mm. Sur les grosses pièces, sans que cela soit une obligation, les diamètres maxi des trous qui sont percés sont fréquemment de l’ordre de 5 mm. Les gradients de contraintes sont donc déterminés sur des épaisseurs de l’ordre de 2,5 à 3 mm. Pour mettre en œuvre la technique de détermination des gradients de contraintes résiduelles, il faut disposer d’un jeu de coefficients de sensibilité des jauges aux contraintes résiduelles présentes dans chaque couche de matière retirée lors des incréments de profondeurs de perçage successifs (coefficients A(z) et B(z)). Il y a deux méthodes pour déterminer ces coefficients (la méthode expérimentale et la méthode faisant appel à une modélisation par élément fini du processus de perçage incrémental). Du point de vue des résultats obtenus en matière de courbes de répartition des contraintes résiduelles dans l’épaisseur, ces deux méthodes sont sensiblement équivalentes. Par contre, en comparaison avec la détermination des contraintes résiduelles dans des pièces soumises à une répartition uniforme dans l’épaisseur, les incertitudes sur les valeurs annoncées sont plus importantes. De plus, les incertitudes sont de plus en plus élevées au fur et à mesure que la profondeur dans la pièce augmente. Dans le cas de pièces avec une répartition uniforme de contraintes résiduelles dans l’épaisseur, il a été vu, qu’en prenant un certain nombre de précautions, il était possible d’avoir un niveau d’incertitudes relatives inférieur ou égal à 5 %. Dans le cas de gradients de contraintes, le niveau des incertitudes relatives serait plutôt proche de 10 % près de la surface des pièces et plutôt plus élevé lorsque la profondeur augmente. 4. LA METHODE DU TREPAN OU DU TREPANNAGE, QUELQUEFOIS APPELEE AUSSI « METHODE DE GUNNERT » A l’origine, c’est une méthode de détermination des contraintes résiduelles par relaxation totale. Dans le cas d’une pièce soumise à un état de contraintes résiduelles uniformément réparties dans l’épaisseur, un îlot de matière est isolé du reste par trépannage ou carottage (voir figure 17).

Coupe A_A

A

p

A

Figure 17 : Schéma de principe d’une méthode de détermination des contraintes par relaxation totale


Astelab 2010 27

Lorsque la profondeur p du trépannage atteint une certaine valeur, il n’y a plus du tout de contrainte à la surface de l’îlot. Si une rosette tri directionnelle de jauges de déformations est collée, comme indiquée sur la figure 18, au centre de l’îlot avant de procéder au trépannage, il est possible de déduire les contraintes résiduelles des indications que fourniront les jauges une fois l’opération de trépannage terminée.

A

φD

Coupe A_A p

A

Figure 18 : Rosette de jauges de déformations permettant de déterminer les contraintes résiduelles

existant dans la pièce Pour que les contraintes résiduelles disparaissent complètement à la surface de l’îlot, il faut que la profondeur du trépannage soit au moins égale à 1,2 fois le diamètre de l’îlot (p = 1,2 . D). Pour pouvoir coller une rosette de jauges de déformations sur l’îlot, il faut que celui-ci ait un diamètre au moins égal à 10 mm. La profondeur minimum du trépannage est donc de 12 mm. Les dimensions de cet usinage sont souvent jugées exagérément élevées. Pour obtenir les indications de déformations mécaniques fournies par les jauges, il faut que, d’une part les jauges soient raccordées aux appareils de mesure et d’autre part que les trois voies de mesure de déformations mécaniques soient réglées à zéro, tout ceci avant le trépannage. Ensuite, lors de l’opération d’usinage par trépannage, il est souvent nécessaire de débrancher les jauges. Il faut alors les rebrancher dès que l’usinage est terminé afin de relever les indications des jauges qui vont permettre de calculer les contraintes résiduelles recherchées. La déconnexion et la reconnexion des jauges avant et après l’usinage sont des opérations supplémentaires qui prennent du temps et qui risquent de provoquer des erreurs de mesure. Dans certains cas, il est possible d’utiliser des outils spéciaux de forme tubulaire ou des électrodes creuses d’électroérosion pour usiner la rainure entourant l’îlot. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de débrancher les jauges de déformations. Malgré tout la mise en place des câbles reste délicate car il faut les faire cheminer à l’intérieur de la broche ou de l’électrode de la machine.


Astelab 2010 28

De plus des précautions doivent être prises lors de l’usinage (choix judicieux des outils, des paramètres de coupe, etc…) de manière à ce que les contraintes générées par l’arrachement des copeaux restent négligeables par rapport aux contraintes résiduelles à déterminer. Par contre, l’obtention des contraintes résiduelles par calcul à partir des indications des jauges se fait très simplement. Il suffit de faire le simple dépouillement de rosette classique en analyse de contraintes puis de changer de signe des résultats obtenus.

Ainsi, si aε , bε et cε sont les indications de déformations mécaniques fournies, en fin de trépannage, par les trois jauges d’une rosette tri directionnelle à 45 ° (voir figure 19), alors l’état de contraintes résiduelles existant initialement

dans la pièce est défini par les grandeurs Iσ , IIσ et l’angle ϕ présentées par la suite.

Coupe A_A

Figure 19 : Repérage des jauges de la rosette et indications obtenues en fin de trépannage

Pour obtenir ces grandeurs à partir des indications fournies par les jauges de la rosette, il faut simplement faire le dépouillement de cette rosette puis en déduire les contraintes correspondantes et les changer de signe. Les expressions mathématiques permettant de faire cela sont :

• ( ) ( )222

21

2 cacabca

I εεεεεεε

ε −+−−⋅⋅++

=

• ( ) ( )222

21

2 cacabca

II εεεεεεε

ε −+−−⋅⋅−+

=

• ( )IIII

Eεµε

µσ ⋅+⋅

−−= 21

A A

φD

εcεb

εa

p


Astelab 2010 29

• ( )IIIII

Eεµε

µσ ⋅+⋅

−−= 21

• π

εεεεε

ϕ ⋅±⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅

−⋅= kArctg

cab

ac

221

Iε , IIε , Iσ , IIσ et ϕ sont respectivement les déformations principales résultant des mesures, les contraintes résiduelles principales et l’angle que fait la direction de la normale aux facettes sur lesquelles s’appliquent les

contraintes Iσ avec la direction de la jauge b (jauge donnant la déformations mécanique bε ).

E et µ sont respectivement le module d’élasticité et le coefficient de poisson du matériau. est un coefficient réel entier qui, la plupart du temps, prend les valeurs 0, +1 ou -1.

k La méthode du trépan donne de bons résultats sur des pièces moyennes à grosses dans lesquelles il y a des contraintes résiduelles dont la répartition dans l’épaisseur est uniforme sur les 5 à 10 premiers millimètres. Par contre, si la distribution en surface des contraintes résiduelles n’est pas uniforme, alors elle ne permet pas de déterminer les gradients dans le cas où ils sont importants. En effet, un premier trépannage donnera l’état de contraintes résiduelles au point où il est fait. Mais si un deuxième trépannage est fait à coté du premier, les contraintes résiduelles qui seront déduites des variations d’indications de la rosette de jauges de déformations ne seront pas les contraintes résiduelles réelles qu’il y avait à l’origine dans la pièce, une partie de ces contraintes résiduelles ayant disparu au moment du premier trépannage. Si les contraintes résiduelles doivent être déterminées en différents points à la surface d’une même pièce, il faut qu’ils soient suffisamment éloignés les uns des autres. La règle à respecter est de ne pas faire de nouveaux trépannages à une distance des précédents de moins de 5 à 10 fois le diamètre extérieur du trépan. La méthode est donc utilisable si les variations en surface des contraintes résiduelles sont faibles et progressives. Par contre, elle n’est pas applicable dans le cas de brusques variations de contraintes résiduelles (pièces avec de forts gradients de contraintes en surface), tout du moins dans sa forme élémentaire. Dans le cas de pièces avec des variations rapides de contraintes résiduelles en surface (par exemple, pièces pour lesquelles les contraintes résiduelles doublent sur une distance égale à deux fois et demie le diamètre du trépan, il est possible d’envisager une technique dérivée de la technique élémentaire de détermination des contraintes résiduelles par trépannage. Cette technique consiste à commencer à coller sur la pièce des rosettes de jauges de déformations en tous les points où vont être faits des trépannages. Ensuite, chaque fois qu’un nouveau trépannage est réalisé, il faut déterminer d’une part les contraintes résiduelles relaxées au centre de l’îlot qui vient d’être obtenu par le trépannage et d’autre part les relaxations partielles de contraintes résiduelles provoquées par ce trépannage au niveau de toutes les autres rosettes. Ceci se fait en relevant les indications des jauges de toutes les rosettes et en faisant des calculs de relaxations de contraintes à l’aide de coefficients d’influence. Une fois que l’ensemble des trépannages est réalisé, il faut cumuler les relaxations de contraintes au niveau de chaque îlot. Dans le principe, cette méthode est satisfaisante, par contre, elle reste à développer. Malgré tout, compte-tenu des différentes difficultés évoquées auparavant (dimensions importantes de l’usinage, raccordement et cheminement des câbles, précautions d’usinage) et même si actuellement il existe des conditionneurs de jauges de déformations qui permettent des déconnections et des reconnections de jauges sans risque d’erreur de mesure (montage 4 fils suivant le brevet Kreutzer), cette technique de détermination des contraintes résiduelles n’est pratiquement plus utilisée. Dans les années 70, des travaux ont été faits pour évaluer une évolution de la technique qui consiste à ne faire qu’une relaxation partielle des contraintes résiduelles en trépannant à des profondeurs p plus faibles. En théorie, moyennant l’utilisation de coefficients d’influence, il est possible de déterminer les contraintes résiduelles à partir d’une profondeur de trépannage de 0,2 à 0,3 fois le diamètre de l’îlot. Seulement de très faibles erreurs sur la profondeur de l’usinage et sur la position de la rosette de jauges de déformations conduisent à des erreurs très importantes sur les valeurs de contraintes résiduelles.


Astelab 2010 30

5. LA METHODE DE SACHS Les contraintes résiduelles dans les pièces cylindriques peuvent être déterminées à en relevant les indications de jauges de déformations collées sur leur surface extérieure pendant qu’elles sont usinée par alésage interne (voir figure 20).

Couches retirées les unes après les autres par alésage

Jauges de déformations collées sur la surface extérieure de la pièce

Nota : Il est préférable de placer des jauges en des points diamétralement opposés ou mieux encore en trois points à 120° sur une même section droite de la pièce.

Figure 20 : Croquis montant le principe de la détermination des contraintes résiduelles sur les pièces cylindriques

Pour obtenir des résultats corrects, il faut cependant que la répartition des contraintes résiduelles dans les pièces présente une symétrie de révolution. Si cette condition est satisfaite, le principe de la méthode se comprend facilement en examinant ce qui se passe sur une pièce dans laquelle les contraintes résiduelles doivent être déterminées pendant son alésage. Celui-ci se fait par couches successives de faibles épaisseurs. Chaque fois qu’une couche est retirée, les indications des

jauges de déformations varient. Soient Ldε la variation de déformation mécanique indiquée par la jauge orientée dans

la direction longitudinale de la pièce et tdε la variation de déformation mécanique indiquée par la jauge orientée dans la direction tangentielle aux sections droites (jauge collée dans la direction circonférentielle des sections droites de la

pièce). Les indications des jauges sont aussi relevées juste avant l’usinage de chacune des couches. Soient Lε et

tε ces indications. Ces deux indications sont nulles, juste avant le début des opérations d’alésage. Ces valeurs nulles sont obtenues en réglant à zéro les appareils de mesure.

Soit maintenant une pièce cylindrique de diamètre extérieur eR⋅2 en cours d’alésage. La séquence des alésages a déjà été réalisée jusqu’à la (n-1)ème couche et l’opérateur s’apprête à aléser la nème couche (voir figure 21).


Astelab 2010 31

εL(Re) εt(Re)

dr

Re

r

Figure 21 : Pièce en cours d’alésage juste avant le retrait de la nième couche

Il relève d’abord les indications des jauges et obtient : ( )Re1−nLε sur la jauge longitudinale et ( )et R

n 1−ε sur la

jauge circonférentielle. Les désignations de déformations mécaniques sont complétées de Re entre parenthèses car les déformations et les contraintes mécaniques dans une pièce axisymétrique sont des fonctions du rayon de la pièce à l’endroit où elles sont données. De plus, dans l’exposé qui va suivre il va être question de déformations et de contraintes sur d’autres rayons de la pièce. Ensuite, il procède à l’alésage de la nième couche et relève à nouveau les indications des jauges pour déterminer les

variations de déformations mécaniques ( )RenLdε et ( )et Rd

nε engendrées par cet usinage. Le rayon extérieur

de cette couche est r. A ce moment de l’opération, pour déterminer les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la couche qui vient d’être retirée par alésage, il faut d’abord prendre en compte les contraintes qui ont été rajoutées dans cette couche par l’enlèvement des n – 1 couches précédentes. Il faut ensuite déterminer les contraintes qu’il y avait dans la matière qui a été retirée. Les premières (contraintes rajoutées dans la couche par l’enlèvement des couches précédentes) se déterminent à l’aide

des indications ( )Re1−nLε et ( )et R

n 1−ε des jauges relevées juste avant de procéder au retrait de la couche.

Les secondes (contraintes qu’il y avait dans la matière de la couche retirée) se déterminent à l’aide des variations

d’indications ( )RenLdε et ( )et Rd

nε des mêmes jauges.

Les relations qui permettent de déterminer les contraintes rajoutées dans une couche à retirer par le retrait des couches précédentes à partir des déformations mécaniques mesurées sur la surface extérieure de la pièce sont :

• ( ) ( ) ( )[ ]eLet

eR RR

SSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

−=21 2 ,

• ( ) ( ) ( )[ ]eLet

et RR

SSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅+

⋅−

=21 2 et

• ( ) ( ) ( )[ ]eteLL RREr εµεµ

σ ⋅+⋅−

= 21

Avec : Se = surface du cercle de rayon Re (surface de la section droite de la pièce), S = surface du cercle de rayon r (surface de la section de l’alésage).


Astelab 2010 32

Ces relations sont obtenues à partir de la théorie du comportement des tubes élastiques en pression intérieure et extérieure (voir Annexe 3 sur l’établissement de relations donnant les contraintes rajoutées dans un tube par des alésages internes). Les relations qui permettent de déterminer les contraintes qui restaient dans la couche qui a été retirée à partir des variations de déformations mécaniques mesurées sur la surface extérieure de la pièce sont :

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1 2 Ltt dddS

SSeErr εµεµ

σ ⋅+⋅−

⋅−

≅,

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1 2 tLL dddS

SSeErr εµεµ

σ ⋅+⋅−

⋅−

=

Avec : Se = surface du cercle de rayon Re (surface de la section droite de la pièce), S = surface du cercle de rayon r (surface de la section de l’alésage) Ces relations sont obtenues en étudiant le ré équilibrage des contraintes dans le reste de la pièce après le retrait de la couche (voir Annexe 4 sur le ré équilibrage des contraintes dans une pièce axisymétrique à la suite du retrait par alésage d’une couche mince interne dans laquelle se trouvaient des contraintes résiduelles). Les contraintes résiduelles qu’il y avait initialement dans la pièce résultent donc de la combinaison des deux états de contraintes qui viennent d’être définis, ce qui donne :

( ) ( ) ( )[ ]eLete

rés RRSSSEr

Rεµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

=21 2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅+⋅⋅

+−⋅+⋅

−⋅

−≅ eLet

eLtrés RR

SSSdd

dSSSeEr

tεµεεµε

µσ

2ReRe

1 2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅+−⋅+⋅

−⋅

−= ReReReRe

1 2 tLtLrés dddS

SSeErL

εµεεµεµ

σ

Toujours avec : Se = surface du cercle de rayon Re (surface de la section droite de la pièce), S = surface du cercle de rayon r (surface de la section de l’alésage) Grâce à ces relations, il est simple de déterminer les contraintes résiduelles qui existent dans une pièce de révolution. Une simple feuille de calcul EXCEL du type de celle indiquée figure 22 permet de faire cela.


Astelab 2010 33

Détermination des contraintes résiduelles par la méthode de Sachs dans une pièce cyclindrique

Données d'entrée:

E (Mpa) = 200000 µ = 0,3 Re (mm) = 35

Données calculées communes à toutes les couches:

E/(1-µ²) (Mpa) 219780,22 Se (mm²) = 3848,451

Calcul des contraintes dans les couches:

Indice de la couche

ri (mm) = dri (mm) = S(i-1) (mm²) = dSi (mm²) = d t(Re) = (µm/m)

d L(Re) = (µm/m)

t(Re) = (µm/m)

L(Re) = (µm/m)

résr(ri) = (Mpa)

rést(ri) = (Mpa)

résL(ri) = (Mpa)

1 5 5 100,0000 157,0796 30 -2 0 0 121,1 154,2 36,72 9 4 78,5398 226,1947 19 15 30 -2 124,0 -75,5 74,33 12,5 3,5 254,4690 274,8894 24 24 49 13 48,4 -4,1 83,64 16 3,5 490,8739 351,8584 32 36 73 37 32,2 8,1 82,75 19 3 804,2477 358,1416 39 21 105 73 18,8 4,0 38,16 22 3 1134,1149 414,6902 67 9 144 94 18,3 17,1 11,77 24,5 2,5 1520,5308 384,8451 83 -18 211 103 13,1 9,3 -27,48 27 2,5 1885,7410 424,1150 114 -36 294 85 11,8 -1,8 -39,99 29 2 2290,2210 364,4247 153 -59 408 49 10,1 2,6 -50,0

10 31 2 2642,0794 389,5575 161 -74 561 -10 7,0 -56,2 -52,311 33 2 3019,0705 414,6902 -118 -47 722 -84 -4,0 -232,2 -65,412 3421,1944 0,0000 604 -131 0,0 #DIV/0! #DIV/0!

Vérification de l'équilibre des répartitions de contraintes:

Dans la direction circonférentielle ( rést(ri): -6

Dans la direction longitudinale ( résL(ri): 0

εL(Re) εt(Re)

rn

Re

drn

Evolution des contraintes résiduelles le long du rayon de la pièce

-300,0

-250,0

-200,0

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

0 5 10 15 20 25 30 3

Rayon (mm)

Con

trai

ntes

(MPa

)

5

Contr. radialeContr.Circonf .Contr. Longi.

Figure 22 : Feuille de calcul EXCEL de saisie des mesures et de calcul des contraintes résiduelles avec présentation des résultats sous forme de courbes

La feuille de calcul comprend aussi un test d’équilibre des contraintes circonférentielles et longitudinales

( ( )rréstσ , ( )rrésLσ ). En effet, dans une pièce cylindrique, les contraintes circonférentielles, par exemple, ne peuvent pas être toutes en traction ou toutes en compression tout le long des rayons. Il en est de même pour les


Astelab 2010 34

contraintes longitudinales. Le long d’un rayon, il faut que les contraintes de traction équilibrent les contraintes de compression. Les tests d’équilibre consistent à calculer les intégrales suivantes le long d’un rayon :

• pour les contraintes circonférentielles, ( )∫ ⋅eR

rrést dr0

σ

• pour les contraintes longitudinales. ( )∫ ⋅⋅⋅⋅eR

rrésL drr0

2 πσ

Les valeurs de ces intégrales doivent être nulles ou proche de zéro. En pratique, il faut que les valeurs absolues de ces intégrales soient inférieures à 100. Ceci constitue les critères d’équilibre des contraintes. Si ces critères ne sont pas satisfaits, ceci signifie qu’il y a probablement eu des anomalies dans les mesures relevées au cours des usinages par alésage ou qu’il y a eu des défauts de mise en œuvre de la méthode (par exemple, introduction de nouvelles contraintes résiduelles pendant les usinages). Il existe une autre configuration de mise en œuvre de la méthode de Sachs. Elle peut être utilisée pour déterminer les contraintes résiduelles dans des tubes épais de diamètre intérieur supérieur à un à deux centimètres. Elle se différentie de la configuration conventionnelle par le fait que les jauges de déformations sont collées à l’intérieur du tube et les couches de matière enlevée sont prises sur la surface extérieure. Le principe de fonctionnement de la méthode est le même, seules les relations qui permettent de déterminer les contraintes résiduelles à partir des indications des jauges sont légèrement différentes. Ces nouvelles relations sont :

( ) ( ) ( )[ ]eLeti

rés RRSSSEr

Rεµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

=21 2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅+⋅

⋅+

+⋅+⋅−

⋅−

−≅ eLeti

Lti

rés RRSSSdd

dSSSEr

tεµεεµε

µσ

2ReRe

1 2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅++⋅+⋅

−⋅

−−= ReReReRe

1 2 tLtLi

rés dddS

SSErL

εµεεµεµ

σ

Avec : Si = surface du cercle de rayon Ri (surface de la section droite intérieure du tube), S = surface du cercle de rayon r (surface de la section de la pièce qui vient d’être usinée) La méthode de Sachs est une méthode qui donne de bons résultats avec des pièces cylindriques dans lesquelles, il y a des états de contraintes résiduelles axisymétriques. Son principal inconvénient est d’être une méthode destructive. Elle est cependant utilisée pour étudier le comportement de séries de pièces qui présentent des déformations anormales pendant l’usinage ou des fissurations en fin d’usinage ou au début de leur utilisation. Dans ce cas, une pièce de la série est sacrifiée pour faire la détermination des contraintes résiduelles.


Astelab 2010 35

6. LA METHODE DE LA FLECHE La méthode de la flèche s’applique aux pièces planes ou approximativement planes en forme de plaques dans lesquelles les contraintes résiduelles ont une répartition uniforme en surface. C'est-à-dire qu’à une profondeur donnée dans l’épaisseur de la plaque, les tenseurs des contraintes résiduelles sont identiques. Par contre, ils évoluent avec la profondeur. Cette technique consiste à retirer, par un procédé d’usinage donné (usinage électrochimique ou usinage conventionnel par outil coupant ou etc…) des couches successives d’épaisseurs constantes de faibles valeurs. Chaque fois qu’une couche est retirée, en général la forme de la plaque varie légèrement. Elle se cambre un peu. La technique de mesure qui va permettre de remonter aux contraintes résiduelles qu’il y avait dans la pièce initiale consiste à mesurer les variations de flèches qui apparaissent après le retrait de chaque couche. Soit une plaque parallélépipédique en matériau de module d’élasticité E, de longueur L, de largeur b et d’épaisseur H comme celle qui est représentée sur la figure 23.

H

de

e

L

z x

b y

Figure 23 : Plaque dans laquelle il y a des contraintes résiduelles

Lorsqu’une couche d’épaisseur de, dans laquelle il y a, par exemple, des contraintes résiduelles de traction ( )eσ , est retirée, il apparaît, pour commencer, une variation de flèche dfe comme indiquée sur la figure 24.

x

de

e

dfe

H

y

Figure 24 : Forme de la pièce après le retrait d’une couche d’épaisseur de

Comme ceci est démontré dans l’Annexe 5 sur la théorie du fonctionnement de la méthode de la flèche, la contrainte

( )eσ qu’il y avait dans cette couche peut se déduire de la variation de flèche dfe par la relation :

( ) ( ) dedf

deeLeEeσ e⋅

+⋅⋅⋅−≅ 2

3

34

.

Mais, en plus de la variation de flèche, le retrait d’une couche provoque une légère modification des contraintes résiduelles dans le reste de la pièce.


Astelab 2010 36

Toujours dans le cas du retrait d’une couche avec des contraintes résiduelles de traction, cette modification se caractérise par la modification de la répartition des contraintes existant dans le reste de la plaque représentée sur la figure 25.

Portion de plaque délimitée par une section droite transversale

y

x

−σ’m

σ’m

e

Figure 25 : Variation de la répartition des contraintes dans les sections droites de la plaque suite au retrait d’une

couche dans laquelle il y a des contraintes de traction C’est une répartition linéaire équilibrée sur la hauteur de la section en traction du coté de la couche retirée et en compression d’amplitude égale de l’autre coté.

L’amplitude maximum de cette répartition de contrainte s’exprime à nouveau en fonction de la flèche à l’aide de la relation :

'mσ

em dfLeEσ ⋅⋅⋅−= 24' (voir les justifications de cette expression dans l’Annexe 5).

Les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la première couche se déduisent directement de la mesure de la variation de la flèche dfe comme ceci a été vu précédemment. Par contre, dans les autres couches, il faut tenir compte des modifications de contraintes provoquées par le retrait des couches précédentes. Ainsi les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la pème couche peuvent être déterminées après le retrait de cette couche en utilisant la relation :

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

24

34

2212

12

3

i

ippi

iieie

i

p

peep

pp

pp

e

eedfdf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee

−⋅−⋅⋅⋅+

−⋅

+⋅⋅⋅−≅

∑=

=−−

−σ

(voir les justifications de cette expression dans l’Annexe 5). Si la mesure de flèche est faite sur la face opposée à la face usinée de la plaque, alors la relation permettant de déterminer les contraintes résiduelles dans la couche retirée est :

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

24

34

2212

12

3

i

ippi

iieie

i

p

peep

pp

pp

e

eedfdf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee

−⋅−⋅⋅⋅−

−⋅

+⋅⋅⋅≅

∑=

=−−

−σ


Astelab 2010 37

A l’aide de cette expression, il est facile de déterminer les contraintes résiduelles dans les différentes couches de la plaque au fur et à mesure de leur retrait. Une simple feuille de calcul EXCEL suffit à cela comme indiqué dans l’exemple d’utilisation de cette méthode à la détermination des contraintes résiduelles dans une éprouvette tirée de l’ébauche d’un panneau usiné de grandes dimensions présenté par la suite. Cette méthode permet de tracer la courbe de répartition dans l’épaisseur des contraintes résiduelles existant à l’intérieur des plaques. Elle donne de bons résultats. Par contre, il est nécessaire de prendre un certain nombre de précautions lors de sa mise en œuvre. Les trois principales sont :

• le choix de techniques d’usinage qui ne provoquent pas de nouvelles contraintes résiduelles (l’usinage à l’outil coupant est possible à condition, d’une part d’utiliser des outils parfaitement adaptée au matériau, affûtés de manière à limiter au maximum les efforts de couche et d’autre part de choisir des conditions de coupe avec des avances et des profondeurs de passes faibles),

• la mesure des variations de flèches avec une technique présentant une grande résolution et une grande

exactitude (la résolution doit, en général, être au moins de l’ordre du micron),

• la libération parfaite des sollicitations mécaniques appliquées à la plaque au moment des relevés des variations de flèches.

En réalité, ces précautions ne sont, en général, pas très difficiles à prendre, l’essentiel étant surtout de ne pas les oublier. Une fois que toutes les couches sont retirées et que la répartition des contraintes résiduelles dans toute l’épaisseur de la pièce est obtenue, il est conseillé de faire un test d’équilibre de la répartition des contraintes. En effet une pièce non sollicitée dans laquelle il y a des contraintes résiduelles est en équilibre. L’intégrale des contraintes résiduelles sur l’aire complète d’une section droite doit donc être égale à zéro. En pratique, il faut que la valeur absolue de ce critère soit inférieure à quelques % de la contrainte résiduelle maximale multipliée par l’aire de la section droite. 7. LA METHODE DE LA FLECHE MODIFIEE Il existe une variante de cette méthode qui se différentie de la méthode de base par le fait que les grandeurs qui sont mesurées pendant le retrait par usinage des couches ne sont pas les variations de flèches, mais les variations de déformations mécaniques apparaissant sur la face opposée à la face usinée (voir figure 26) .


Astelab 2010 38

z

b y

x H

de

e

Forme de l’éprouvette avant le retrait de matière

L

x

z

εL

εT

Forme de l’éprouvette après le retrait de matière

Types de mesures de déformations à faire pendant le retrait des couches.

Nota : il est préférable de placer plusieurs couples de jauges sur la face non usinée de la pièce (par

exemple 3 sur chaque axes)

x

de

e

fe

H

y

Figure 26 : Modification de forme de la plaque lors du retrait de la première couche de matière et mode d’instrumentation

Pour cela, des jauges mesurant les déformations mécaniques longitudinales et transversales sont collées sur la face opposée à la face usinée de la plaque. Leur variations d’indications sont relevées après le retrait par usinage de chaque couche. Comme ceci a été vu précédemment lors de la présentation de la méthode de base, retirer une couche de matière revient à appliquer sur le haut des sections droites d’extrémités un effort de traction égal à σ(e) . de . b tel qu’indiqué sur la figure 27.


( ) bdeeσF ⋅⋅=

x

de

e

F F

H

y

Figure 27 : Action mécanique équiv Cet effort produit le moment fléchissau niveau des jauges (déformations de

Soit ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=

22deeFMf ce m

Sur la face opposée à la face usinée moment de flexion est :

( ) ( ) ⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−= 2

2

3e

dee

deeej σσ

Dans le cas d’un état de contraintes plaque opposée à la face usinée sont :

( ) ( ) ⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−= 3

ede

edeee LLj

σσ

( ) ( ) ⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−= 3

ede

edeee TT j

σσ

Ces contraintes sont reliées aux déform

( ) ( )⋅+⋅−

= 21Ee TLLj

εµεµ

σ

( ) ( )⋅−⋅−

= 21Ee LTT j

εµεµ

σ

Les contraintes résiduelles qu’il y avades jauges de déformations par les rela

( ) ( ) ( )LEe

µσ ⋅

−⋅⋅−= 213

1

( ) ( ) ( )TEe

µσ

−⋅⋅−= 213

1

Astelab 2010

Avec :

alente au retrait d’une couche de matière à la surface de la plaque

ant constant sur toute la longueur de l’éprouvette qui provoque des déformations contractions longitudinales et allongement transversaux).

oment de flexion.

(face où se trouvent les jauges), la contrainte de compression qui résulte de ce

⎟⎟⎠

⎞.

résiduelles bidirectionnel, alors les contraintes qui apparaissent sur la face de la

⎟⎟⎠

⎞2

2

⎟⎟⎠

⎞2

2

ations mécaniques indiquées par les jauges à l’aide des relations :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−= 2

2

3e

dee

deeLσ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−= 2

2

3e

dee

deeTσ .

it dans la couche qui a été retirée par usinage se déduisent donc des indications tions :

( )TLdedeee

εµε ⋅+⋅+⋅ 2

2

( )LTdedeee εµε ⋅+⋅

+⋅⋅ 2

2

39


Astelab 2010 40

Le fait de retirer une couche d’épaisseur de, provoque non seulement l’apparition des déformations Lε et Tε sur la face opposée de la plaque, mais aussi la modification de la répartition des contraintes résiduelles dans la pièce ayant la nouvelle épaisseur. Dans le cas considéré au début (suppression d’une couche avec des contraintes résiduelles de traction), cela provoque des contraintes de traction supplémentaires σ’(e) au niveau de la surface qui vient d’être usinée.

y

x

−σ’m

σ’m

e

Figure 28 : Variation de la répartition des contraintes dans l’épaisseur de la pièce

due au retrait d’une couche en surface La répartition de ces contraintes dans l’épaisseur de la pièce est une répartition linéaire comme indiquée sur la figure 28 avec une contrainte de traction maximale sur la face supérieure et une contrainte de compression maximale d’égale amplitude sur la face inférieure. Soit σ’m cette valeur maximale. Il est nécessaire de tenir compte de cette contrainte pour déterminer les contraintes résiduelles qui se trouvent dans la couche suivante à usiner.

( ) ( )TLmE

Lεµε

µσ ⋅+⋅

−⋅−= 2

'

11

( ) ( )LTmE

Tεµε

µσ ⋅+⋅

−⋅−= 2

'

11

Les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la deuxième couche enlevée ne seront pas

( ) ( ) ( ) ( )222

222

22

22 131 TLL dd

dedeeeEe εµε

µσ ⋅+⋅

+⋅⋅

−⋅⋅−=

et ( ) ( ) ( ) ( )222

222

22

22 131 LTT dd

dedeeeEe εµε

µσ ⋅+⋅

+⋅⋅

−⋅⋅−=

Mais :

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅

+⋅⋅−⋅+⋅

−=

2211 2222

22

22 31

1 TLTLL dddedee

eddEe εµεεµεµ

σ

et

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅

+⋅⋅−⋅+⋅

−=

2211 222

22

22 31

1 LTLTT dddedee

eddEe εµεεµεµ

σ


Astelab 2010 41

Pour obtenir les contraintes résiduelles qu’il y avait à l’origine dans la matière de la pièce qui est enlevée au cours des passes successives, il faut donc utiliser des relations récurrentes déduites de ces relations de base. En utilisant les relations indicées suivantes :

• ep : l’épaisseur au centre de l’éprouvette après le retrait de la (p-1ième couche, • dep : la profondeur de la pème couche de matière retirée par usinage, • dεLp et dεTp: les déformations mécaniques mesurées par les jauges après le retrait de la pème couche, • σL(ep) et σT(ep) : les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la pème couche de matière retirée,

ces relations sont :

( )( ) ( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅

⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅+

⋅−

=∑=

=−−

pp

ii

TLppp

p

pi

i i

pTL

pL

dddedee

e

ee

ddEe

εµε

εµε

µσ

2

2

2

2

31

12

1

11

( )( ) ( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅

⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅+

⋅−

=∑=

=−−

pp

ii

LTppp

p

pi

i i

pLT

pT

dddedee

e

ee

ddEe

εµε

εµε

µσ

2

2

2

2

31

12

1

11

Avec ces relations il est facile de déterminer les contraintes résiduelles qu’il y a dans une pièce au fur et à mesure du retrait par usinage des différentes couches de matière. Il suffit pour cela de préparer une feuille de calcul EXCEL qui permet d’une part de saisir les caractéristiques dimensionnelles de chaque couche retirée ainsi que les variations de déformations correspondantes indiquées par les jauges et d’autre part de faire automatiquement les calculs donnant les contraintes résiduelles relatives à chacune des couches. 8. EXEMPLE D’UTILISATION DE LA DETERMINATION DES CONTRAINTES RESIDUELLES PAR LA METHODE DE LA FLECHE Un atelier de fabrication réalise par enlèvement de copeaux des pièces de grandes dimensions (longueur de plus de 5 mètres et largeur de 3 mètres environ) à partir de tôles en aluminium de forte épaisseur (100mm). Les pièces sont très ouvragées. Elles présentent une face plane d’un côté, et un réseau de raidisseurs de l’autre côté. Ces raidisseurs sont constitués de voiles minces, de raidisseurs en « Té », et d’un cadre périphérique. La hauteur des raidisseurs est proche de l’épaisseur du brut de départ (100mm) et diminue sur les bords. Les sections longitudinales et transversales ne présentent pas d’axe de symétrie. Elles sont même complètement dissymétriques car le voile constitue un bord de la section et le cadre et les nervures s’élèvent de 7 à 8 cm au dessus de ce voile. Les formes, très ajourées de ces pièces, sont entièrement obtenues par enlèvement de matière à l’outil coupant. Bref, l’essentiel de la matière des ébauches part en copeaux (90 à 95 % du volume initial).


Astelab 2010 42

Les pièces sont usinées en trois opérations : • Surfaçage de la face arrière (elle ne sera plus reprise ensuite) • Retournement sur la face arrière avec bridage par dépression, • Usinage final côté face avant.

La difficulté rencontrée par l’atelier fabricant ces pièces est l’apparition, en fin d’usinage, et lors du débridage des pièces, de déformations hors tolérances des pièces. Il en résulte des flèches qui dépassent 15 mm (17 mm au maximum). Ceci n’est pas acceptable compte-tenu des contraintes d’assemblage ultérieur. Par contre, il semble que ce défaut soit plus ou moins accentué selon la provenance de la matière brute (2 fournisseurs possibles). Les ébauches sont obtenues par laminage à chaud d’alliage léger se présentant sous forme de plateaux très épais (300 mm ou plus), de quelques mètres de long et de large, obtenus par coulée. Un certain nombre d’investigations ont été menées afin de rechercher les causes possibles de ce phénomène de déformée en fin d’usinage. Il ressort de ces investigations que ces flèches anormalement élevées ne peuvent provenir que de la libération ou de l’introduction de contraintes résiduelles dans les pièces. La cause qui parait la plus probable est la présence de contraintes résiduelles dans l’ébauche avant de commencer l’usinage. Il a aussi été envisagé la possibilité d’introduction de contraintes résiduelles au cours de l’usinage. Cette deuxième éventualité semble tout de même beaucoup moins probable que la première car l’usinage n’introduit des contraintes superficielles que sur de très faibles épaisseurs. Il a alors été jugé nécessaire d’une part de confirmer la présence de contraintes résiduelles dans les bruts de pièces et d’autre part de chercher un moyen permettant de connaître le niveau de ces contraintes afin de prendre des dispositions permettant de limiter leurs effets en fin d’usinage. Il a donc été décidé de les déterminer en utilisant la méthode de la flèche. En réalité, suite à l’inventaire des méthodes envisageables (méthodes présentées par ailleurs dans ce document), il apparaît que c’est la seule méthode qui permette d’obtenir la répartition des contraintes résiduelles dans des pièces d’aussi forte épaisseur. Pour cela, deux échantillons de tôle forte épaisseur sont prélevés. Il s’agit de pièces parallélépipédiques dont les dimensions sont données sur la figure 29. L’une est tirée de la tôle dans le sens de laminage, l’autre dans le sens perpendiculaire. Le sens de laminage est repéré sur chaque échantillon.

Echantillon de plateaux d’ébauches pour déterminer les contraintes résiduelles

450

100

150

Figure 29 : Dimensions d’un échantillon de plateau d’ébauche utilisé pour déterminer les contraintes résiduelles


Astelab 2010 43

Un tel échantillon doit avoir des dimensions telles que lors de son découpage les contraintes résiduelles auxquelles sa matière est soumise ne soient pas relaxées. Il faut pour cela que ses dimensions dans les directions des normales aux facettes sur lesquelles il est supposé qu’il y a des contraintes résiduelles soient au moins de 4 à 5 fois l’épaisseur. Pour s’assurer que les dimensions retenues sont acceptables, l’idéal est d’ailleurs de coller des rosettes de jauges de déformations sur le plateau dans lequel l’échantillon doit être tiré à l’endroit où celui-ci va être découpé, avant la réalisation du prélèvement. Il faut mettre au moins une rosette au centre de l’échantillon sur chaque face du plateau. Si c’est possible, il est encore mieux d’en rajouter 4 ou 8 autres, deux à deux en vis-à-vis sur les faces du plateau, à une distance des bords de l’échantillon d’environ une fois l’épaisseur. Ces rosettes doivent être collées puis raccordées aux appareils de mesure, et ceux-ci doivent être réglés à zéro avant de commencer le découpage de l’échantillon. Les indications des jauges sont ensuite relevées une fois le découpage réalisé. Si elles sont toutes restées à des valeurs égales ou proches de zéro, alors aucune contrainte résiduelle n’a été relaxée. S’il n’en est pas ainsi, les indications des jauges permettent de quantifier approximativement l’erreur qui sera faite au cours de la détermination des contraintes. Pour des raisons matérielles d’organisation, ceci n’a pas pu être réalisé dans le cas de l’exemple présenté ici. Par ailleurs, compte tenu des dimensions des échantillons, s’il y avait des contraintes résiduelles sur des facettes dont les normales sont orientées dans la direction transversale alors il y a de grandes chances qu’elles aient été relaxées en grande partie. Chaque échantillon est successivement bridé sur un centre d’usinage en prenant soin de ne pas le déformer dans le sens de sa hauteur (figure 30).

Figure 30 : Vue de l’échantillon bridé sur la table de la machine

Pour commencer, un côté est blanchi de façon à obtenir une face plane avec un très bon état de surface. Cette face ne sera plus jamais usinée par la suite : ce sera notre face de référence. Elle sera utilisée d’une part pour repositionner, toujours de la même manière, l’échantillon sur la machine après l’usinage de chaque couche de relaxation de contraintes et d’autre part pour faire les mesures des variations de flèches à partir desquelles les contraintes résiduelles seront déterminées.


Astelab 2010 44

La face blanchie est passée en métrologie afin de relever très finement sa géométrie. La technique de mesure utilisée est la même que celle qui est utilisée par la suite pour relever les variations de flèches. Cette technique est présentée plus loin. Ensuite, l’échantillon est retourné et le processus consistant à retirer les couches successives et à mesurer les variations de flèches qui en résultent commence. A chaque nouvelle couche, l’échantillon est bridé sur la table de la machine toujours exactement dans la même position. Une couche d’épaisseur 5 mm est alors retirée en faisant plusieurs passes. L’outil utilisé est un outil coupant pour l’aluminium à géométrie très positive et la profondeur de passe ainsi que l’avance sont faibles de manière à ne pas engendrer de nouvelles contraintes résiduelles dans la pièce. Une fois l’usinage de la couche terminée, l’échantillon est démonté du centre d’usinage pour être placé sur la machine à mesurer qui permet de relever les variations de flèches. Il repose sur le plan de pose de cette machine par la face qui vient d’être usinée. La machine en question est un profilomètre à laser qui fournit la cartographie du relief de la surface qui vient d’être usinée. Les informations fournies sont les altitudes en nanomètres des points d’un maillage au micron de la surface. Le profilomètre est couplé à un micro ordinateur qui pilote son fonctionnement et récupère les résultats des mesures. Les altitudes sont donc enregistrées dans un fichier informatique sur le disque dur du micro ordinateur (fichiers de plusieurs millions d’altitudes). Les altitudes ne sont pas relevées sur toute la face qui vient d’être usinée. Elles ne le sont que sur une longueur de 200 mm au centre de la face sur toute la largeur de l’échantillon. Les visualisations 3D en couleurs du contenu des fichiers mettent clairement en évidence les évolutions de formes de l’échantillon au fur et à mesure du retrait des couches successives de 5 mm. Ceci apparaît sur les vues 3D des figures 31 à 34. .

Figure 31 : Vue 3D de la surface usinée de l’échantillon après le blanchissage de la face opposée


Astelab 2010 45

Figure 32 : Vue 3D de la surface usinée de l’échantillon après le retrait de la première couche

Figure 33 : Vue 3D de la surface usinée de l’échantillon après le retrait de la deuxième couche ------------------ ------------------ ------------------


Astelab 2010 46

Figure 34 : Vue 3D de la surface usinée de l’échantillon tiré perpendiculairement par rapport au sens de laminage après le retrait de la dernière couche :

la surface finale est convexe dans le sens longitudinal et concave dans le sens travers. En réalité, ce ne sont pas directement les informations contenues dans les fichiers de mesures brutes qui sont utilisées pour déterminer les flèches de l’échantillon. Le logiciel de pilotage du profilomètre possède de nombreuses possibilités de post-traitement des données mesurées et dans ce cas trois d’entre-elles sont utilisées. Ce sont :

• le moyennage spatial qui permet d’obtenir une cartographie progressive des altitudes,

• la coupe de la surface en 3D par un plan de direction définie : ici il s’agit de la coupe par le plan vertical longi-tudinal situé au milieu de la largeur de l’échantillon,

• la rotation d’ensemble de la surface ou des coupes. Les coupes de la surface 3D permettent d’obtenir les profils médians de la surface dans le sens longitudinal. Du fait que l’échantillon repose sur le projecteur de profil par la face qui vient d’être usinée, il n’est pas certain que l’orientation générale de l’échantillon soit toujours le même à la suite de chaque couche retirée. En effet, du fait que, à cause des relaxations de contraintes résiduelles, la surface usinée n’est pas obligatoirement parfaitement plane, il n’est pas certain que l’échantillon se repositionne toujours de la même manière. Tout ceci fait que les différents profils obtenus ont des inclinaisons d’ensembles variables, ce qui rend difficile les relevés de flèches. Cette difficulté est surmontée en utilisant l’outil de rotation d’ensemble du logiciel de manière à ramener à la même valeur les altitudes des deux extrémités des profils. Les profils ainsi obtenus ont alors l’allure indiquée sur la figure 35.


Astelab 2010 47

Figure 35 : Exemple d’un résultat de détermination d’un profil longitudinal de l’échantillon après le retrait d’une couche de 5 mm

Ce sont les profils ainsi obtenus qui permettent de déterminer les flèches de l’échantillon apparaissant à la suite du retrait des couches successives de 5 mm, pour une corde de 200 mm dans le sens longitudinal. Cette technique de détermination des flèches fait que la condition de libération de toutes les sollicitations mécaniques appliquées sur l’échantillon au moment du relevé de ces flèches est systématiquement parfaitement satisfaite, condition nécessaire pour avoir de bons résultats avec cette méthode de détermination de contraintes résiduelles. Les flèches ainsi déterminées sont données dans les tableaux des figures 36 et 37.


Astelab 2010 48

Relevé des épaisseurs et des flèches au cours du retrait par usinage des couches successives

Relevé des flèches

!!! Attention les flêches doivent avoir un signe + ou - !!!

Nota: le séparateur décimal est la v irgule, pas le point

Date HeureEtat de

l'éprouvette

Epaisseur au point 1

(mm)


(mm)


(mm)


(mm)

Epaisseurmoyenne

(mm)

Epaisseurcoucheretirée(mm)

Longueurde base pourdéterminerla flèche

Flèche(µm)

Observations de l'opérateur(flèche corrigée)

(µm)

Rel. 1 Rel. 1 Rel. 1 Rel. 1 (mm)11-févr 16 H 30 Après passe

b lanch issage 96,015 1,35012-fevr 13 H 40 91,044 91,067 91,025 91,079 91,054 4,961 200,000 -5,210 -6,5612-fevr 16 H 30 86,557 86,577 86,577 86,548 86,565 4,489 200,000 -7,900 -9,8513-fevr 9 H 40 81,556 81,55 81,568 81,523 81,549 5,016 200,000 -9,080 -10,4313-fevr 13 H 45 76,557 76,582 76,589 76,541 76,567 4,982 200,000 -6,730 -8,0814-fevr 9 H 00 71,534 71,573 71,577 71,547 71,558 5,010 200,000 -2,350 -3,714-fevr 11 H 00 66,551 66,567 66,597 66,565 66,570 4,988 200,000 5,880 4,5314-fevr 15 H 15 61,556 61,542 61,591 61,568 61,564 5,006 200,000 9,750 8,415-fevr 10 H 00 56,525 56,518 56,585 56,553 56,545 5,019 200,000 13,300 11,9515-fevr 14 H 20 51,520 51,49 51,586 51,550 51,537 5,009 200,000 12,400 11,0519-fevr 9 H 00 46,503 46,546 46,579 46,570 46,550 4,987 200,000 8,240 6,8925-fevr 11 H 20 41,541 41,598 41,606 41,590 41,584 4,966 200,000 4,370 3,0225-fevr 14 H 00 36,579 36,567 36,593 36,570 36,577 5,007 200,000 -15,600 -16,95625-fevr 16 H 15 31,601 31,622 31,607 31,569 31,600 4,978 200,000 -35,100 -36,4526-fevr 9 H 30 26,690 26,644 26,586 26,573 26,623 4,977 200,000 -63,700 -65,0526-fevr 13 H 30 21,671 21,708 21,573 21,510 21,616 5,008 200,000 -95,500 -96,8527-fevr 9 H 30 16,700 16,801 16,545 16,482 16,632 4,984 200,000 -126,000 -127,35

Af fecter une ligne à chaque couche retirée de 5 mm d'épaisSur chaque l igne renseigner toutes les colonnes qui ne comportent pas de formule mathématique et, si nécessaire la colonne observations de l'opérateurEn particul ier, dans la colonne état de l'éprouvette, bien préciser le numéro de la couche retiréeIndiquer au moins une fois dans le tableau s'il s'agit d'une éprouvette sens longitudinal ou d'une éprouvette sens transversalPour passer à une deux ième éprouvette, il faut faire un nouveau tableau. Il y en a déjà un de prêt sur la feuil le 2. Si il y en a besoin d'autres, il faut recopier un ou plusieurs tableaux v ierges sur de nouvelles feuil les dans le classeur.

dfep

y

x

dep

ep

L

Figure 36 : Relevé des épaisseurs et des flèches dans le sens longitudinal pendant le retrait des couches


Astelab 2010 49

Relevé des épaisseurs et des flèches au cours du retrait par usinage des couches successives

Relevé des flèches

!!! Attention les flêches doivent avoir un signe + ou - !!!

Nota: le séparateur décimal est la v irgule, pas le point

Date HeureEtat de

l'éprouvette


(mm)

E paisseur au point 2

(mm)


(mm)


(mm)

Epaisseurmoyenne

(mm)

Epaisseurcoucheretirée(mm)

Longueurde base pour

déterm inerla flèche

Flèche(µm)

Observations de l'opérateur(flèche corrigée)

(µm)

Rel. 1 Rel. 1 Rel. 1 Rel. 1 (mm)11-févr 16 H 30 Ap rès passe

b lanch issage 96,015 1,35012-fevr 13 H 40 91,044 91,067 91,025 91,079 91,054 4,961 200,000 -5,210 -6,5612-fevr 16 H 30 86,557 86,577 86,577 86,548 86,565 4,489 200,000 -7,900 -9,8513-fevr 9 H 40 81,556 81,55 81,568 81,523 81,549 5,016 200,000 -9,080 -10,4313-fevr 13 H 45 76,557 76,582 76,589 76,541 76,567 4,982 200,000 -6,730 -8,0814-fevr 9 H 00 71,534 71,573 71,577 71,547 71,558 5,010 200,000 -2,350 -3,714-fevr 11 H 00 66,551 66,567 66,597 66,565 66,570 4,988 200,000 5,880 4,5314-fevr 15 H 15 61,556 61,542 61,591 61,568 61,564 5,006 200,000 9,750 8,415-fevr 10 H 00 56,525 56,518 56,585 56,553 56,545 5,019 200,000 13,300 11,9515-fevr 14 H 20 51,520 51,49 51,586 51,550 51,537 5,009 200,000 12,400 11,0519-fevr 9 H 00 46,503 46,546 46,579 46,570 46,550 4,987 200,000 8,240 6,8925-fevr 11 H 20 41,541 41,598 41,606 41,590 41,584 4,966 200,000 4,370 3,0225-fevr 14 H 00 36,579 36,567 36,593 36,570 36,577 5,007 200,000 -15,600 -16,95625-fevr 16 H 15 31,601 31,622 31,607 31,569 31,600 4,978 200,000 -35,100 -36,4526-fevr 9 H 30 26,690 26,644 26,586 26,573 26,623 4,977 200,000 -63,700 -65,0526-fevr 13 H 30 21,671 21,708 21,573 21,510 21,616 5,008 200,000 -95,500 -96,8527-fevr 9 H 30 16,700 16,801 16,545 16,482 16,632 4,984 200,000 -126,000 -127,35

Af fecter une ligne à chaque couche retirée de 5 mm d'épaisSur chaque l igne renseigner toutes les colonnes qui ne comportent pas de formule mathématique et, si nécessaire la colonne observations de l'opérateurEn particul ier, dans la colonne état de l'éprouvette, bien préciser le numéro de la couche retiréeIndiquer au moins une fois dans le tableau s'il s'agit d 'une éprouvette sens longi tudinal ou d'une éprouv ette sens transv ersalPour passer à une deux ième éprouvette, il faut faire un nouveau tableau. Il y en a déjà un de prêt sur la feuil le 2. Si il y en a besoin d'autres, il faut recopier un ou plusieurs tableaux v ierges sur de nouv elles feuil les dans le classeur.

dfep

y

x

dep

ep

L

Figure 37 : Relevé des épaisseurs et des flèches dans le sens transversal pendant le retrait des couches


Astelab 2010 50

Les courbes d’évolutions des flèches en fonction de l’épaisseur restante sont données sur les figures 38 et 39.

Eprouvette sens long(µm)

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

020406080100120

Epaisseur restante de l'éprouvette

Flèc

he e

n µm

Figure 38 : Evolution des flèches en fonction de l’épaisseur restante dans le sens long

Eprouvette sens travers(µm)

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0102030405060708090100

Epaisseur restante de l'éprouvette

Flèc

he e

n µm

Figure 39 : Evolution des flèches en fonction de l’épaisseur restante dans le sens transversal


Astelab 2010 51

Les flèches corrigées des tableaux de relevés sont reportées dans les feuilles de calculs EXCEL. Les contraintes résiduelles sont alors déterminées en utilisant la relation récurrente suivante.

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

24

34

2212

12

3

i

ippi

iieie

i

p

peep

pp

pp

e

eedfdf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee

−⋅−⋅⋅⋅−

−⋅

+⋅⋅⋅≅

∑=

=−−

−σ

Cette relation est programmée dans les cellules de la feuille de calcul EXCEL. La répartition dans l’épaisseur de l’échantillon des contraintes résiduelles ainsi déterminées est présentée sous forme de graphiques (voir figures 40 et 41).


Astelab 2010 52

Les flêches sont comptées en positif quand la courbure de la pièce est vers le bas comme indiqué sur les schémas

L en mm = 200 E en Mpa = 200000

e1 en mm = 96,015 de1 en mm = 4,961 dfe1 en mm = -0,00656 ⎠ (e1) en Mpa = -77,28e2 en mm = 91,054 de2 en mm = 4,489 dfe2 en mm = -0,00925 ⎠ (e2) en Mpa = -19,62e3 en mm = 86,565 de3 en mm = 5,016 dfe3 en mm = -0,01043 ⎠ (e3) en Mpa = 20,33e4 en mm = 81,549 de4 en mm = 4,982 dfe4 en mm = -0,00808 ⎠ (e4) en Mpa = 52,21e5 en mm = 76,567 de5 en mm = 5,01 dfe5 en mm = -0,0033 ⎠ (e5) en Mpa = 57,19e6 en mm = 71,558 de6 en mm = 7,988 dfe6 en mm = 0,00453 ⎠ (e6) en Mpa = 36,18e7 en mm = 66,57 de7 en mm = 5,006 dfe7 en mm = 0,0084 ⎠ (e7) en Mpa = 5,48e8 en mm = 61,564 de8 en mm = 5,019 dfe8 en mm = 0,01195 ⎠ (e8) en Mpa = -7,40e9 en mm = 56,545 de9 en mm = 5,009 dfe9 en mm = 0,01105 ⎠ (e9) en Mpa = -32,94e10 en mm = 51,537 de10 en mm = 4,987 dfe10 en mm = 0,00689 ⎠ (e10) en Mpa = -37,45e11 en mm = 46,55 de11 en mm = 4,966 dfe11 en mm = 0,00302 ⎠ (e11) en Mpa = -23,10e12 en mm = 41,584 de12 en mm = 5,007 dfe1é en mm = -0,016956 ⎠ (e12) en Mpa = -45,49e13 en mm = 36,577 de13 en mm = 4,978 dfe13 en mm = -0,03645 ⎠ (e13) en Mpa = -5,05e14 en mm = 31,6 de14 en mm = 4,977 dfe14 en mm = -0,06505 ⎠ (e14) en Mpa = 12,22e15 en mm = 26,623 de15 en mm = 5,008 dfe15 en mm = -0,09685 ⎠ (e15) en Mpa = 39,59e16 en mm = 21,616 de16 en mm = 4,984 dfe16 en mm = -0,12735 ⎠ (e16) en Mpa = 57,31e17 en mm = de17 en mm = dfe17 en mm = ⎠ (e17) en Mpa =e18 en mm = de18 en mm = dfe18 en mm = ⎠ (e18) en Mpa =e19 en mm = de19 en mm = dfe19 en mm = ⎠ (e19) en Mpa =e20 en mm = de20 en mm = dfe20 en mm = ⎠ (e20) en Mpa =

0,00Déséqui libre contrainte en Mpa 2,97

Détermination des contraintes résiduelleslongitudinales à partir des mesures de flèches

relevées sur la face usinée

dfep

y

x

dep

ep

L

Répartition des contraintes longitudinales dans la section droite

- 10 0 ,0 0 - 8 0 ,0 0 - 6 0 ,0 0 - 4 0 ,0 0 - 2 0 ,0 0 0 ,0 0 2 0 ,0 0 4 0 ,0 0 6 0 ,0 0 8 0 ,0 0

9 6 ,0 15

9 1,0 54

8 6 ,56 5

8 1,54 9

76 ,56 7

71,558

6 6 ,57

6 1,56 4

56 ,54 5

51,53 7

4 6 ,55

4 1,58 4

3 6 ,577

3 1,6

2 6 ,6 2 3

2 1,6 16

Posi

tions

dan

s l'é

pais

seur

(mm

)

Contraintes (MPa)

Contraintes longitudinale

Figure 40 : Contraintes résiduelles dans le sens longitudinal


Astelab 2010 53

Les flêches sont comptées en positif quand la courbure de la pièce est vers le bas comme indiqué sur les schémas

L en mm = 200 E en Mpa = 200000

e1 en mm = 91,522 de1 en mm = 5 dfe1 en mm = 0,0025 ∠(e1) en Mpa = 26,47e2 en mm = 86,522 de2 en mm = 4,992 dfe2 en mm = 0,00422 ∠(e2) en Mpa = 11,93e3 en mm = 81,53 de3 en mm = 5,004 dfe3 en mm = 0,00674 ∠(e3) en Mpa = 7,51e4 en mm = 76,526 de4 en mm = 4,992 dfe4 en mm = 0,00741 ∠(e4) en Mpa = -15,04e5 en mm = 71,534 de5 en mm = 5,002 dfe5 en mm = 0,0095 ∠(e5) en Mpa = -6,54e6 en mm = 66,532 de6 en mm = 5,009 dfe6 en mm = 0,00792 ∠(e6) en Mpa = -31,85e7 en mm = 61,523 de7 en mm = 5,004 dfe7 en mm = 0,0108 ∠(e7) en Mpa = -3,02e8 en mm = 56,519 de8 en mm = 4,98 dfe8 en mm = 0,0111 ∠(e8) en Mpa = -19,41e9 en mm = 51,539 de9 en mm = 5,024 dfe9 en mm = 0,0173 ∠(e9) en Mpa = 1,94e10 en mm = 46,515 de10 en mm = 5,022 dfe10 en mm = 0,0236 ∠(e10) en Mpa = -9,84e11 en mm = 41,492 de11 en mm = 4,938 dfe11 en mm = 0,0274 ∠(e11) en Mpa = -23,52e12 en mm = 36,554 de12 en mm = 5,015 dfe1é en mm = 0,0348 ∠(e12) en Mpa = -18,41e13 en mm = 31,539 de13 en mm = 4,991 dfe13 en mm = 0,0367 ∠(e13) en Mpa = -28,88e14 en mm = 26,546 de14 en mm = 5,028 dfe14 en mm = 0,0385 ∠(e14) en Mpa = -21,24e15 en mm = 21,521 de15 en mm = 5,028 dfe15 en mm = 0,034 ∠(e15) en Mpa = -15,38e16 en mm = de16 en mm = dfe16 en mm = ∠(e16) en Mpa =e17 en mm = de17 en mm = dfe17 en mm = ∠(e17) en Mpa =e18 en mm = de18 en mm = dfe18 en mm = ∠(e18) en Mpa =e19 en mm = de19 en mm = dfe19 en mm = ∠(e19) en Mpa =e20 en mm = de20 en mm = dfe20 en mm = ∠(e20) en Mpa =

0,00Déséqui libre contrainte en Mpa -0,84496953

Détermination des contraintes résiduellestransversales à partir des mesures de flèches

relevées sur la face usinée

dfep

y

x

dep

ep

L

Répartition des contraintes Transversales dans la section droite

- 10 0 ,0 0 - 8 0 ,0 0 - 6 0 ,0 0 - 4 0 ,0 0 - 2 0 ,0 0 0 ,0 0 2 0 ,0 0 4 0 ,0 0 6 0 ,0 0 8 0 ,0 0

9 1,52 2

8 6 ,52 2

8 1,53

76 ,52 6

71,53 4

6 6 ,53 2

6 1,52 3

56 ,519

51,53 9

4 6 ,515

4 1,4 9 2

3 6 ,554

3 1,53 9

2 6 ,54 6

2 1,52 1

Posi

tions

dan

s l'é

pais

seur

(mm

)

Contraintes (MPa)

Contraintes transversales

Figure 41 : Contraintes résiduelles dans le sens transversal


Astelab 2010 54

Il est à remarquer qu’à la fin de la détermination des contraintes résiduelles, il y a un test d’équilibre des contraintes résiduelles sur une section droite de l’échantillon. Ce test vérifie que l’intégrale de la répartition des contraintes résiduelles étendue à toute l’épaisseur de la pièce est bien égale à zéro. Le résultat est donné sous la forme d’une valeur de contrainte qui caractérise le déséquilibre. Cette valeur de déséquilibre de contrainte est de 2,97 MPa dans le sens longitudinal et de -0,85 MPa dans le sens transversal. Pour des contraintes résiduelles, ces valeurs sont négligeables par rapport aux contraintes déterminées. Ces déséquilibres de contraintes résiduelles proviennent d’une part des erreurs de mesures de flèches ainsi que d’épaisseurs de couches retirées et d’autre part des erreurs propres à la méthode de relaxation des contraintes du type contraintes résiduelles rajoutées par l’usinage, contraintes de bridage sur la machine pendant l’usinage, etc…. Les valeurs faibles obtenues démontrent la validité de la méthode. Dans le sens transversal les contraintes résiduelles sont très faibles. Elles ne dépassent guère le seuil minimum de détection par cette technique. Ceci est logique car il était plus ou moins connu qu’il n’y avait pas de contraintes résiduelles significatives dans le sens transversal par rapport au sens de laminage. Elles ne sont, par contre, pas négligeables dans le sens longitudinal. Elles atteignent environ 100 MPa. Il y a des contraintes de compression sur une face et des contraintes de traction sur l’autre face de l’échantillon. Dans l’épaisseur, il y a aussi des changements de sens de contraintes. Ceci confirme bien que l’hypothèse de l’existence de contraintes résiduelles internes aux ébauches des pièces comme étant à l’origine des flèches anormales constatées en fin d’usinage est la bonne. Les signes de ces contraintes sont, d’ailleurs, cohérents avec les sens de flèches relevées sur les pièces réelles usinées. Grâce aux valeurs de niveaux ainsi qu’à la topologie des contraintes résiduelles fournies par cette détermination, l’origine des déformations rencontrées sur la pièce lors du débridage a été démontrée.

* * * * *

Annexe 1 : Etude par la théorie de l’élasticité de la modification de la répartition des contraintes dans une plaque en tension uniforme au moment du perçage d’un trou

Annexe 2 : Etablissement des relations permettant de calculer les contraintes résiduelles à partir des indications des trois jauges de déformations mécaniques d’une rosette à 45 °

Annexe 3 : Relations donnant les contraintes rajoutées dans une pièce cylindrique par les alésages internes Annexe 4 : Ré-équilibrage des contraintes dans une pièce axisymétrique à la suite du retrait par alésage d’une couche mince interne dans laquelle se trouvaient des contraintes résiduelles Annexe 5 : Théorie du fonctionnement de la méthode de la flèche


Astelab 2010 55

Annexe 1

Etude par la théorie de l’élasticité de la modification de la répartition des contraintes dans une plaque en tension uniforme au moment du

perçage d’un trou

1. DEFINITION DES NOTATIONS

σt

θ

τrt σr

ri

σ σ

2. REPARTITION DES CONTRAINTES

2.1. Les équations d’équilibre dans le système d’axe Oxy L’état de contrainte est supposé être un état plan de contraintes. En négligeant les effets des forces de volume (la pesanteur en particulier), les équations d’équilibre dans le système d’axes Oxy sont :

0

0

=∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

yx

yx

yyxy

xyxx

στ

τσ

La répartition des contraintes dans la plaque est déterminée en intégrant ce système d’équations différentielles. Avec des équations de cette forme et une pièce telle qu’une plaque plane, l’intégration peut se faire de manière un peu simplifiée en utilisant une fonction d’Airy.

2.2. La fonction d’Airy quand il n’y a pas de trou S’il n’y a pas de trou, alors la fonction d’Airy permettant de résoudre ce système d’équations différentielles est de la

forme : ( ) 2

2, yyx ⋅=

σφ


Astelab 2010 56

( )2

2 ,y

yxxx ∂

∂=

φσ ,

( )2

2 ,x

yxyy ∂

∂=

φσ , ( )

yxyx

xy ∂⋅∂∂

−=,2φτ

. Le calcul des dérivées

partielles de ces fonctions montre bien que le système d’équations différentiel est satisfait avec ces formes de fonctions de x et de y exprimant les composantes du tenseur des contraintes à la surface de la plaque.

2.3. La fonction d’Airy dans le système d’axes des coordonnées cylindriques Si la fonction d’Airy est exprimée dans le système des axes polaires, elle prend une autre forme qui se détermine en remplaçant x et y par :

θcos⋅= rx

θsin⋅= ry , ce qui donne :

( ) θσθφ 22 sin2

, ⋅⋅= rr qui, en passant à l’arc double, se met aussi sous la forme :

( ) ( )θσθφ ⋅−⋅⋅

= 2cos14

,2rr

2.4. Les équations d’équilibre dans le système d’axes des coordonnées cylindriques Avec un système d’axes en coordonnées polaires, les équations d’équilibre ne s’expriment pas non plus de la même manière que dans le système d’axes cartésiens Oxy. Leur forme est :

021

01

=⋅+∂

∂⋅+

∂∂

=−

+∂

∂⋅+

∂∂

rrr

rrrrttrt

trrtr

τθ

στ

σσθ

τσ

, avec :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅+∂∂

⋅=2

211,θ

φφθσrrr

rr

( ) 2

2

,r

rt ∂∂

=φθσ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∂∂

−=θφ

θτrr

rrt1, , φ étant la fonction d’Airy exprimée sous la forme de la fonction de r et de θ

suivante : ( )θφ ,r .

Les calculs par dérivations partielles de ( )θσ ,rr , ( )θσ ,rt et ( )θτ ,rrt par rapport à r et à θ et le report de ces valeurs dans équations différentielles ci-avant montrent bien que celles-ci sont vérifiées.


Astelab 2010 57

Les relations ci-avant donnant ( )θσ ,rr , ( )θσ ,rt et ( )θτ ,rrt sont donc bien les expressions qui permettent de déterminer les composantes du tenseur des contraintes à la surface de la plaque.

2.5. Expressions des contraintes dans le système d’axes des coordonnées cylindriques pour la plaque sans trou

En partant de la fonction d’Airy ( ) ( )θσθφ ⋅−⋅

⋅= 2cos1

4,

2rret en utilisant les expressions des

composantes du tenseur des contraintes données ci-avant, il vient :

( ) ( )θσθσ ⋅+⋅= 2cos12

,rr

( ) ( )θσθσ ⋅−⋅= 2cos12

,rt

( )θτ σ ⋅⋅−= 2sin2rt . En utilisant les relations d’expression de l’angle double en fonction de l’angle θ de départ, ces composantes de tenseur peuvent aussi se mettre sous la forme :

( ) θσθσ 2cos, ⋅=rr

( ) θσθσ 2cos, ⋅=rr

θθστ cossin ⋅⋅−=rt

3. FONCTION D’AIRY DE LA PLAQUE TROUEE

3.1. Propriétés de la fonction d’Airy Les équations d’équilibre des contraintes dans la plaque exprimées dans le système d’axes des coordonnées cylindriques est :

021

01

=⋅+∂

∂⋅+

∂∂

=−

+∂

∂⋅+

∂∂

rrr

rrrrttrt

trrtr

τθ

στ

σσθ

τσ

Les composantes du tenseur des contraintes s’expriment de la manière suivante en utilisant une fonction d’Airy de la

forme ( )θφ ,r :


Astelab 2010 58

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅+∂∂

⋅=2

211,θ

φφθσrrr

rr ,

( ) 2

2

,r

rt ∂∂

=φθσ

,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅∂∂

−=θφτ

rrrt1

.

Les équations différentielles d’équilibre données ci-avant ont une forme telle que pour que le système puisse avoir une solution, il faut que la fonction d’Airy soit bi harmonique, donc :

( ) 0, =∆∆ θφ r

3.2. Forme de la fonction d’Airy et relations remarquables En partant de la forme de la fonction d’Airy de la plaque sans trou, il est vraisemblable de supposer que, lorsqu’il y aura un trou dans la plaque, la fonction d’Airy prendra la forme :

( ) ( ) ( ) ( )θθφ ⋅⋅+= 2cos, rgrfr . Cette fonction doit être bi harmonique. Il faut donc que :

( ) 0, =∆∆ θφ r , donc :

( ) ( ) ( )[ ] ( )θθ ,02cos rrgrf ∀=⋅⋅+∆∆

Mais : ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]θθ ⋅⋅∆∆+∆∆=⋅⋅+∆∆ 2cos2cos rgrfrgrf

Donc pour que ( ) ( ) ( )[ ] ( )θθ ,02cos rrgrf ∀=⋅⋅+∆∆ , il faut que :

( )[ ] ( )θ,0 rrf ∀=∆∆ et ( ) ( )[ ] ( )θθ ,02cos rrg ∀=⋅⋅∆∆

3.2.1. Cas de la fonction f(r)

( )[ ] ( )θ,0 rrf ∀=∆∆ ⇒ ( ) 011=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅⋅

drrdfr

drd

rdrdr

drd

r

lorsqu’on développe les calculs des Laplaciens (voir A2 plus loin).

Cette relation signifie que, en posant ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅=

drrdfr

drd

rdrdry 1

1 il vient : 01 1 =⋅drdy

r ,

d’où, si , , ce qui conduit à : 0≠r 11 Cy =


Astelab 2010 59

( )1

1 Cdr

rdfrdrd

rdrdr =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅ , en posant à nouveau

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅=

drrdfr

drd

ry 1

2 , il vient :

12 C

drdyr =⋅ ou r

Cdr

dy 12 = , donc :

212 ln CrCy +⋅=

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅=

drrdfr

drd

ry 1

2 ⇒ ( )21 ln1 CrC

drrdfr

drd

r+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅

.

En posant

( )dr

rdfry ⋅=3 , il vient : 213 ln1 CrC

drdy

r+⋅=⋅

,

ou rCrrC

drdy

⋅+⋅⋅= 213 ln

.

drrCdrrrCy ⋅⋅+⋅⋅⋅= ∫∫ 213 ln

Avec et qui donne ru ln= drrdv ⋅=2

2rv = , il vient :

∫∫∫ ⋅−⋅=⋅=⋅⋅ duvvudvudrrr ln ,

soit ∫∫ ⋅−⋅

=⋅⋅r

drrrrdrrr22

lnln22

, soit :

42lnln

22 rrrdrrr −⋅

=⋅⋅∫ ,

donc 3

2

2

2

1

2

13 242ln CrCrCrrCy +⋅+⋅−

⋅⋅=

( )dr

rdfry ⋅=3 donc :

( )3

2

2

2

1

2

1 242ln CrCrCrrC

drrdfr +⋅+⋅−

⋅⋅=⋅


Astelab 2010 60

( )r

CrCrCrrCdr

rdf 3211 242

ln+⋅+⋅−

⋅⋅=

( )r

drCdrrCdrrCdrrrCrdf ⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= 3211

24ln

2 , ce qui fait que :

( ) ∫∫∫∫ ⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅=r

drCdrrCdrrCdrrrCrf 3211

24ln

2 .

Ce qui, après calcul des intégrales et simplifications, donne :

( ) 4ln4

ln4 3

22121 CrCrCCrrCrf +⋅+⋅−

−⋅⋅=, ce qui signifie que,

en redéfinissant les constantes d’intégration, ( )rf peut se mettre sous la forme :

( ) 4lnln 32

22

1 CrCrCrrCrf +⋅+⋅+⋅⋅=

3.2.2. Cas de la fonction g(r)

( ) ( )[ ] ( )θθ ,02cos rrg ∀=⋅⋅∆∆ ⇒( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 02cos12cos1

2

2

2 =∂

⋅⋅∂⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂⋅⋅∂

⋅∂∂

⋅∆θ

θθ rgrr

rgrrr

lorsqu’on développe les calculs des Laplaciens (voir A2 plus loin). Après avoir fait tous les calculs de dérivées partielles et divers regroupements de termes cette relation se met sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02cos42cos2cos122

2

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅∆ θθθ rg

rdrrgd

drrdg

r

Cette expression est le Laplacien d’une somme de fonctions. C’est donc la somme des Laplaciens de chaque fonction.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02cos42cos2cos122

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∆−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅∆+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∆ θθθ rg

rdrrgd

drrdg

r Les 3 Laplaciens sont à nouveau calculés de la manière suivante :


Astelab 2010 61

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

2cos41

2cos41

2cos1

2cos1

2cos11

2cos11

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

=∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∂

⋅−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∂

⋅∂∂

⋅−

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅∂

⋅+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅∂

⋅∂∂

⋅+

∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∂

⋅+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅∂

⋅∂∂

⋅

θ

θθ

θ

θθ

θ

θθ

rgr

rr

rgrr

rr

drrgd

rrdr

rgd

rrr

drrdg

rrr

drrdg

rrrr

Une fois que toutes les dérivées partielles sont calculées et que les termes semblables sont regroupés entre eux, il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02cos99232

2

23

3

4

4

=⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−⋅+ θ

drrdg

rdrrgd

rdrrgd

rdrrgd

Si ( ) 02cos ≠θ , alors :

( ) ( ) ( ) ( ) 099232

2

23

3

4

4

=⋅+⋅−⋅+dr

rdgrdr

rgdrdr

rgdrdr

rgd

Cette équation différentielle a pour solution une fonction de la forme

( )28

72

64

5 rC

CrCrCrg ++⋅+⋅=

En effet :

( )38

63

5 224rCrCrC

drrdg

⋅−⋅⋅+⋅⋅=

( )48

62

52

2

6212rCCrC

drrgd

⋅+⋅+⋅⋅=

( )58

53

3

2424rCrC

drrgd

⋅−⋅⋅=


Astelab 2010 62

( )68

54

4

12024rCC

drrgd

⋅+⋅=

En reportant ces valeurs dans le premier membre de l’équation ci-avant, il apparaît que le résultat est égal à zéro. Cette forme de fonction est donc bien une solution de l’équation différentielle.

La solution de l’équation différentielle est donc : ( ) 28

72

64

5 rCCrCrCrg ++⋅+⋅= , lorsque

( )θ⋅2cos est différent de zéro. Les constantes C5, C6, C7 et C8 sont des constantes d’intégration qui doivent être définies avec les conditions aux limites.

3.2.3. Fonction Φ(r,θ)

( ) ( ) ( ) ( )θθφ ⋅⋅+= 2cos, rgrfr prend donc la forme :

( ) ( )θθφ ⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= 2cos4lnln, 2

87

26

453

22

21 r

CCrCrCCrCrCrrCr

Les constantes d’intégration doivent être déterminées à partir des conditions aux limites et des contraintes en certains points remarquables de la plaque.

4. EXPRESSIONS DES CONTRAINTES EN FONCTION DES CONSTAN-TES D’INTEGRATION

Les composantes du tenseur des contraintes à la surface de la plaque, exprimées en fonction des constantes d’intégration, sont obtenues en reportant la fonction d’Airy écrite sous la forme qui vient d’être déterminée dans les expressions définissant les composantes du tenseur des contraintes. Les expressions des 3 composantes du tenseur des contraintes ainsi obtenues sont données dans les 3 sous paragraphes ci-après.

4.1. Contraintes σr(r,θ)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅= 2

211,θ

φφθσrrr

rr , qui, en remplaçant φ par sa valeur donne :

( )

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅∂

⋅+

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅∂

⋅=

2

28

72

64

532

22

12

28

72

64

532

22

1

2cos4lnln1

2cos4lnln

1,

θ

θ

θ

θσ

rCCrCrCCrCrCrrC

r

rrCCrCrCCrCrCrrC

rrr

Après calcul des dérivées partielles et regroupement des termes semblables, cette expression devient :


Astelab 2010 63

( ) ( ) ( )θθσ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+= 2cos6422ln21, 4

827

623

21 rC

rCC

rCCrCrr

4.2. Contrainte σ t(r,θ) :

( )2

2

,r

rt ∂∂

=φθσ , qui, en remplaçant φ par sa valeur donne :

( )( )

2

28

72

64

532

22

12 2cos4lnln

,r

rCCrCrCCrCrCrrC

rt ∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅∂=

θθσ


( ) ( ) ( )θθσ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅+⋅= 2cos62122ln23, 4

86

252

321 r

CCrCrCCrCrt

4.3. Contraintes de cisaillement τt(r,θ) :

θφ

θφτ

∂⋅∂∂

⋅−∂∂

⋅=rrrrt

2

211

, qui, en remplaçant φ par sa valeur donne :

( )

( )

θ

θ

θ

θτ

∂⋅∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅∂

⋅−

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅∂

⋅=

rrCCrCrCCrCrCrrC

r

rCCrCrCCrCrCrrC

rrt

2cos4lnln1

2cos4lnln1

28

72

64

532

22

12

28

72

64

532

22

1

2


( )θτ 2sin6226 48

27

62

5 ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅=rC

rCCrCrt

4.4. Récapitulation des expressions des contraintes

( ) ( ) ( )θθσ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+= 2cos6422ln21, 4

827

623

21 rC

rCC

rCCrCrr


Astelab 2010 64

( ) ( ) ( )θθσ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅+⋅= 2cos62122ln23, 4

86

252

321 r

CCrCrCCrCrt

( )θτ 2sin6226 48

27

62

5 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅=

rC

rCCrCrt

5. DETERMINATION DES CONSTANTES D’INTEGRATION

5.1. Contraintes très loin du trou Lorsque r est très grand, c'est-à-dire lorsque r tend vers l’infini, les contraintes dans la plaque avec le trou sont égales aux contraintes dans la plaque sans trou. Les contraintes dans la plaque sans trou, exprimées dans le système d’axes des coordonnées cylindriques, sont :

( ) ( )θσθσ ⋅+⋅= 2cos12

,rr

( ) ( )θσθσ ⋅−⋅= 2cos12

,rt

( )θτ σ ⋅⋅−= 2sin2rt

Donc, lorsque : ∞→r( ) ( ) ( )θ

σθ ⋅+⋅=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+ 2cos1

22cos6422ln21 4

827

623

21 rC

rCC

rCCrC

( ) ( ) ( )θσθ ⋅−⋅=⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅+⋅ 2cos1

22cos62122ln23 4

86

252

321 r

CCrCrCCrC

( ) ( )θθ σ ⋅⋅−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅ 2sin2sin6226 24

827

62

5 rC

rCCrC

Ce qui donne en remplaçant r par sa valeur infinie :

( ) ( ) θσσθ ⋅⋅+=⋅⋅⋅−⋅+⋅+ 2cos22

2cos22ln21 621 CCrC

( ) ( ) ( ) θσσθ ⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅ 2cos22

2cos2122ln23 62

521 CrCCrC


Astelab 2010 65

( ) ( ) ( )θθ σ ⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅ 2sin2sin26 262

5 CrC qui, après regroupement des termes semblables et remplacement de r par l’infini, donne :

( ) ( ) θσσθ ⋅⋅+=⋅⋅⋅−⋅+⋅+ 2cos22

2cos22ln21 621 CCrC

( ) ( ) ( ) θσσθ ⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅ 2cos22

2cos2122ln23 62

521 CrCCrC

( ) ( ) ( )θθ σ ⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅ 2sin2sin26 262

5 CrC Ces relations doivent être vérifiées quelle que soit la valeur de l’angle θ, donc :

( )2

2ln21 21σ

=⋅+⋅+ CrC

22 6

σ=⋅− C

( )2

2ln23 21σ

=⋅+⋅+⋅ CrC

2212 6

25

σ−=⋅+⋅⋅ CrC

262

5 26 σ−=⋅+⋅⋅ CrC De toutes ces relations, il est possible de tirer :

01 =C

22 2

σ=⋅C

05 =C

22 6

σ−=⋅C

5.2. Contraintes autour du trou

Lorsque r = ri ( ) 0, =θσ rr , 0=rtτ θ∀ , donc, premièrement :

( ) ( ) 02cos6422ln21 48

27

623

21 =⋅⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅−+⋅+⋅+ θrC

rCC

rCCrC θ∀


Astelab 2010 66

qui donne, en remplaçant r par ri et les coefficients C déjà déterminés par leurs valeurs :

( ) 02cos6422 4

827

23 =⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅+−−+ θσσ

iii rC

rC

rC

θ∀

Pour qu’il en soit ainsi, il faut :

02 2

3 =+ir

Cσet

0642 4

827 =⋅+⋅+−

ii rC

rCσ

donc :

223 σ

−=ir

C

264 4

827 σ

=⋅+⋅ii r

CrC

Deuxièmement : ( ) 02sin6226 4

827

62

5 =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅ θ

rC

rCCrC θ∀

donc : 06226 4

827

62

5 =⋅−⋅−⋅+⋅⋅rC

rCCrC

qui donne, en remplaçant r par ri et les

C déjà déterminés par leurs valeurs :

0622 4

827 =⋅−⋅−−

ii rC

rCσ

soit : 262 4

827 σ

=⋅−⋅−ii r

CrC

en faisant les sommes membre à membre des deux équations :

264 4

827 σ

=⋅+⋅ii r

CrC

et

262 4

827 σ

=⋅−⋅−ii r

CrC

, il vient : σ=⋅ 2

72ir

C

Donc 2

7 2 irC ⋅=σ

264 4

827 σ

=⋅+⋅ii r

CrC

donne en remplaçant 27

irC

par sa valeur :


Astelab 2010 67

26

24 4

8 σσ=⋅+⋅

irC

donc : 236 4

8 σ⋅−=⋅

irC

221

48 σ

⋅−=ir

C

48 22

1irC ⋅⋅−=

σ

5.3. Récapitulation des valeurs de toutes les constantes

01 =C

22 2

σ=⋅C

23 2 irC ⋅−=

σ

05 =C

22 6

σ−=⋅C

27 2 irC ⋅=

σ

48 22

1irC ⋅⋅−=

σ

4C n’a pas été déterminée, mais elle n’intervient pas dans les expressions de ( )θσ ,rr , ( )θσ ,rt ,

( )θτ ,rrt

6. EXPRESSIONS DEFINITIVES DES CONTRAINTES En remplaçant les constantes d’intégration par leurs valeurs dans les expressions des contraintes et en regroupant les termes semblables, il vient :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= θσθσ 2cos3411

2, 4

4

2

2

2

2

rr

rr

rrr iii

r


Astelab 2010 68

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= θσθσ 2cos311

2, 4

4

2

2

rr

rrr ii

t

( )θστ 2sin3212 4

4

2

2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅+⋅−=rr

rr ii

rt

A.1. Laplacien d’une fonction f(x,y,z) en coordonnées cartésiennes

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2

2

2

2

2

2 ,,,,,,,z

zyxfy

zyxfx

zyxfyxf∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∆

A.2. Laplacien d’une fonction f(r,θ,z) en coordonnées cylindriques

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2

2

2

2

2

,,,,1,,1,z

zrfzrfrr

zrfrrr

rf∂

∂+

∂∂

⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

⋅∂∂

⋅=θ

θθθ

θ∆


Astelab 2010 69

Annexe 2

Etablissement des relations permettant de calculer les contraintes résiduelles à partir des indications des trois jauges de déformations

mécaniques d’une rosette à 45 ° Dans le cas général d’une plaque métallique sollicitée par un chargement quelconque, l’état de contrainte est un état bidirectionnel de contraintes, qui, s’il est défini dans le système d’axe des directions principales, se caractérise par les

deux contraintes principales Iσ et IIσ .

Dans la direction faisant l’angle θ par rapport à la direction principale , la variation de déformation radiale due au perçage d’un trou de rayon r

Ii est la somme de la variation de déformation radiale due au perçage d’un trou dans une

plaque soumise à un effort de traction uniformément réparti sur les extrémités de la plaque dans la

direction correspondant à la contrainte principaleI Iσ et de la variation de déformation radiale due au perçage d’un trou dans une plaque soumise à un effort de traction uniformément réparti sur les extrémités de la plaque dans la

direction correspondant à la contrainte principaleII IIσ .

La variation de la déformation radiale dans la direction faisant un angle θ avec la direction principale due à la

contrainte principale

I

Iσ est : ( ) ( )[ ] Ipr BArI

σθθεσ

⋅⋅⋅+= 2cos,∆ .

La variation de la déformation radiale dans la direction faisant un angle θ avec la direction principale due à la

contrainte principale

I

IIσ : ( ) IIpr BAr

IIσθ

πθε

σ⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+=

22cos,∆

.

D’après les propriétés de la fonction cosinus : ( ) ( )απα coscos −=+ , donc :

( ) ( )[ ] IIpr BArII

σθθεσ

⋅⋅⋅−= 2cos,∆ La variation de déformation radiale due au perçage d’un trou de diamètre ri dans une plaque soumise à un état de

contraintes bidirectionnel dont les contraintes principales sont Iσ et IIσ , dans la direction faisant un angle θ avec la

direction de la normale aux facettes sur lesquelles la contrainte vaut Iσ est donc :

( ) ( )[ ] ( ){ } IIIpr BABAr σθσθθε ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+= 2cos2cos,∆ , soit :

( ) ( ) ( ) ( )θσσσσθε ⋅⋅−⋅++⋅= 2cos, IIIIIIpr BAr∆ . Les variations de déformations du type de celles qui viennent d’être déterminées par le calcul ci-avant peuvent être mesurées avec des jauges de déformations mécaniques. En plaçant un nombre suffisant de jauges au voisinage du trou à percer, puis en relevant les variations de déformations mécaniques que ces jauges indiquent au moment du perçage du trou, il est possible d’en déduire les contraintes mécaniques qui existaient dans la plaque avant de percer le trou. Il faut pour cela utiliser les relations qui viennent d’être présentées à l’envers.


Astelab 2010 70

Les indications des jauges donnent les valeurs des variations de déformations dans les directions où sont collées les

jauges. Il faut en déduire les contraintes Iσ et IIσ . Pour déterminer entièrement l’état de contrainte en un point où va être percé un trou, il faut déterminer trois

grandeurs : Iσ , IIσ et un angle donnant la direction des normales aux facettes sur lesquelles s’appliquent Iσ et IIσ . Pour déterminer ces trois grandeurs, il faut donc disposer de trois valeurs de variations de déformations. A cet effet, en pratique, 3 jauges sont collées dans trois directions radiales différentes autour du trou à percer, toutes à la même distance du centre de celui-ci.

σII

ri

r

εc

εb

εa

45°

45°

θ

σI

Croquis montrant le positionnement des jauges de déformations autour du trou à percer ri est le rayon du trou à percer, r est le rayon sur lequel sont placées les jauges,

θ est l’angle que fait la direction de la jauge aε avec la direction principale de contrainte maximale (direction de la

normale aux facettes sur lesquelles s’appliquent les contraintes Iσ ). Cet angle θ est inconnu. Il doit être déterminé à partir des déformations mécaniques indiquées par les jauges. En utilisant la relation établie au paragraphe précédant il est possible d’exprimer chacune des

déformations aε , bε et cε en fonction des contraintes principales Iσ et IIσ recherchées ainsi que de l’angle θ. Les coefficients A et B de cette relation ne dépendent que des caractéristiques E et µ du matériau ainsi que de ri et r. Comme tous ces facteurs sont constants, A et B sont les mêmes dans les relations relatives à chaque jauge de déformations. Dans le cas des rosettes tri directionnelles à 45°, qui sont, pratiquement, les seules rosettes utilisées pour déterminer des contraintes résiduelles, ces trois relations sont :

( ) ( ) ( )θσσσσε ⋅⋅−⋅++⋅= 2cosIIIIIIa BA


Astelab 2010 71

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−⋅++⋅=

42cos π

θσσσσε IIIIIIb BA

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−⋅++⋅=

22cos π

θσσσσε IIIIIIc BA

En utilisant les relations caractéristiques de la trigonométrie, ces relations peuvent se mettre sous la forme :


( ) ( ) ( )θσσσσε ⋅⋅−⋅−+⋅= 2sinIIIIIIb BA

( ) ( ) ( )θσσσσε ⋅⋅−⋅−+⋅= 2cosIIIIIIc BA

A partir de ces relations de base il est possible d’exprimer Iσ , IIσ etθ de trois manières qui peuvent être utilisées indifféremment. La première manière consiste à exprimer les contraintes à l’aide de relations dans lesquelles il y a uniquement cos(2.θ) au dénominateur.

Il est recommandé de ne pas utiliser cette relation dans le cas général, mais seulement quand la valeur deθ est

supposée être faible ou égale à 0. Dans ces conditions, l’exactitude des valeurs de Iσ et IIσ obtenues est meilleure qu’en utilisant les autres relations. En faisant la somme de la première et de la troisième des relations indiquées ci-avant, puis la différence entre ces relations, il vient :

( )IIIca A σσεε +⋅⋅=+ 2

( ) ( )θσσεε ⋅⋅−⋅⋅=− 2cos2 IIIca B , d’où :

Aca

III ⋅+

=+2

εεσσ

( )θεε

σσ⋅⋅⋅

−=−

2cos2 Bca

III , en faisant à nouveau la somme de ces deux relations, il vient :

( )θεεεε

σ⋅⋅⋅

−+

⋅+

=⋅2cos22

2BA

cacaI , soit :


Astelab 2010 72

( )[ ] ( )[ ]( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos4

2cos2cosBA

BABA caI

En faisant à nouveau la différence entre les relations sur les contraintes Iσ et IIσ , il vient :

( )θεεεε

σ⋅⋅⋅

−−

⋅+

=⋅2cos22

2BA

cacaII

( )[ ] ( )[ ]( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos4

2cos2cosBA

BABA acII

En faisant des combinaisons linéaires des 3 relations donnant aε , bε et cε en fonction de Iσ et IIσ , il vient :

( ) ( )θσσεεε ⋅⋅−⋅⋅=⋅−+ 2sin22 IIIbca B

( ) ( )θσσεε ⋅⋅−⋅⋅=− 2cos2 IIIca B

( )ca

cbatgεε

εεεθ

−+⋅−

=⋅2

2

Donc :

( )[ ] ( )[ ]( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos4

2cos2cosBA

BABA caI

( )[ ] ( )[ ]( )θ

εθεθσ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos4

2cos2cosBA

BABA acII

( )ca

cbatgεε

εεεθ

−+⋅−

=⋅2

2

La deuxième manière consiste à exprimer les contraintes à l’aide de relations dans lesquelles il y a sin(2.θ) et cos(2.θ) au dénominateur. Ces relations sont obtenues en utilisant une technique de résolution du système de 3 équations différente de la précédente :


Astelab 2010 73

En réordonnant leurs termes, les relations de base :



( ) ( ) ( )θσσσσε ⋅⋅−⋅−+⋅= 2cosIIIIIIc BA peuvent se mettre sous la forme :

( )[ ] ( )[ ] IIIa BABA σθσθε ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+= 2cos2cos

( )[ ] ( )[ ] IIIb BABA σθσθε ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−= 2sin2sin

( )[ ] ( )[ ] IIIc BABA σθσθε ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−= 2cos2cos ,

IIσ est éliminé en faisant les combinaisons linéaires et les différences d’équations indiquées ci-après :

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] IIIa BABABABABA σθθσθθεθ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+ 2sin2cos2sin2cos2sin

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] IIIb BABABABABA σθθσθθεθ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅− 2cos2sin2cos2sin2cos

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] IIba BABABABABABA σθθσθθεθεθ ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+ 2cos2sin2sin2cos2cos2sin qui après calculs et simplifications donnent :

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos2sin2

2cos2sinBA

BABA baI .

De la même manière :

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos2sin2

2sin2cosBA

BABA abII

Donc :

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos2sin2

2cos2sinBA

BABA baI

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]θθ

εθεθσ

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

=2cos2sin2

2sin2cosBA

BABA abII


Astelab 2010 74

( )ca

cbatgεε

εεεθ

−+⋅−

=⋅2

2

La troisième manière consiste à exprimer les contraintes à l’aide de relations dans lesquelles l’angle θ n'intervient pas. En repartant des relations de base :



( ) ( ) ( )θσσσσε ⋅⋅−⋅−+⋅= 2cosIIIIIIc BA et en faisant la somme de la première et de la troisième, puis leur différence, il vient :

( )IIIca A σσεε +⋅⋅=+ 2

( ) ( )θσσεε ⋅⋅−⋅⋅=− 2cos2 IIIca B .

En reportant la valeur de ( )IIIA σσ +⋅ ainsi obtenue dans la relation de bε , il vient :

( ) ( )θσσεε

ε ⋅⋅−⋅−+

= 2sin2 III

cab B

, qui se met sous la forme :

( ) ( )θσσεεε ⋅⋅−⋅⋅=⋅−+ 2sin22 IIIbca B . En élevant au carré, les relations ainsi obtenues et en les ajoutant pour éliminer l’angle θ, il vient :

( ) ( ) ( )θσσεεε ⋅⋅−⋅⋅=⋅−+ 2sin42 2222IIIbca B

( ) ( ) ( )θσσεε ⋅⋅−⋅⋅=− 2cos4 2222IIIca B , ce qui donne :

( ) ( ) ( )2222 42 IIIbcaca B σσεεεεε −⋅⋅=⋅−++−

( ) ( )22 22

1bcacaIII B

εεεεεσσ ⋅−++−⋅⋅

=−

Aca

III ⋅+

=+2

εεσσ

, donc :


Astelab 2010 75

( ) ( )BA

bcacacaI ⋅

⋅−++−+

⋅+

=4

24

22 εεεεεεεσ

( ) ( )BA

bcacacaII ⋅

⋅−++−−

⋅+

=4

24

22 εεεεεεεσ

( )ca

cbatgεε

εεεθ

−+⋅−

=⋅2

2


Astelab 2010 76

Annexe 3

Relations donnant les contraintes rajoutées dans une pièce cylindrique par les alésages internes

Re

r dr

Se : surface du cercle de rayon Re, S : surface du cercle de rayon r, dS : surface de l’anneau de rayon extérieur r et de largeur dr. Nota : Les couches de matière de rayon inférieur à r ont déjà été enlevées par alésage.

Pièce cylindrique en cours d’usinage par enlèvement de couches internes successives par alésage

Chaque fois qu’une couche est retirée, les indications des jauges collées sur la surface extérieure du tube augmentent

respectivement de ( )Retdε et de ( )ReLdε . Au moment où la couche de rayon extérieur r va être retirée, les déformations mécaniques indiquées par les jauges sont

respectivement de : ( )Retε et ( )ReLε . Ces déformations résultent du retrait d’un cylindre intérieur de rayon r qui appliquait une pression radiale

( )rRσ− à l’intérieur du cylindre restant (voir figure ci-après).


Astelab 2010 77

Re

r −σR(r)−σR(r)

Se : surface du cercle de rayon Re, S : surface du cercle de rayon r, Nota : Les couches de matière de rayon allant de Ri à r ont été enlevées par alésage.

Schéma montrant les actions mécaniques retirées par l’enlèvement des premières couches internes du cylindre

Les relations qui relient la contrainte radiale interne au tube aux déformations mécaniques apparaissant sur la surface externe de ce dernier sont établies en utilisant les relations générales régissant le comportement de tubes élastiques en pressions internes et externes. Ces relations générales sont présentées sur la figure ci-après. Il est considéré pour cela un tube de longueur infini de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2, soumis respectivement aux pressions intérieures et extérieures P1 et P2.


Astelab 2010 78

Coupe A_A

z

t

2.R1

2.R2

P1 P2

Le tenseur des contraintes en un point situé sur un rayon r est défini par les deux contraintes principales

( )rRσ et ( )rtσ données par les relations :

• ( )( )

22

21

221

22

11

2111211

RR

PPrR

PR

PrR

−

−⋅−⋅−⋅=σ

• ( )( )

22

21

221

22

11

2111211

RR

PPrR

PR

Prt

−

−⋅+⋅−⋅=σ

R

Contraintes dans un tube élastique soumis à des pressions internes et externes

Dans le cas des variations de contraintes apparaissant après le retrait par alésage de plusieurs couches correspondant au cas de la détermination des contraintes résiduelles par la méthode de Sachs

( )[ ] ( )rrP RR σσ =−−=1 , 02 =P , rR =1 et eRR =2 . Les contraintes à la surface extérieure de la pièce sont obtenues en remplaçant R1, R2, r, P1 et P2 des expressions de la

figure ci-avant, respectivement par : , , , r eR eR ( )rRσ et . Ce qui donne : 0


Astelab 2010 79

• ( ) 0=eR Rσ

• ( ) ( ) 22

22rR

rrRe

Ret −⋅

⋅= σσ

En multipliant le numérateur et le dénominateur de ( )et Rσ par π, ces expressions de contraintes se mettent sous la forme :

• ( ) 0=eR Rσ

• ( ) ( )

SSSrR

eRet −

⋅⋅=

2σσ

Par ailleurs, les contraintes à l’extérieur du tube sont reliées aux déformations mécaniques par les équations de Lamé, si

bien que ( )eR Rσ , ( )et Rσ et ( )eL Rσ sont reliées aux déformations mesurées par les relations :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }eLeteReR RRRER εεµεµµµ

σ +⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }eReLetet RRRER εεµεµµµ

σ +⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }eteReLeL RRRER εεµεµµµ

σ +⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

( ) 0=eR Rσ , donc : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 01 =+⋅+⋅− eLeteR RRR εεµεµ et

( ) ( ) ( ) ( )[ ]eLeteR RRR εεµ

µε +⋅

−−=

1

En reportant la valeur de ( )eR Rε dans les expressions de ( )et Rε et de ( )eL Rε , il vient :

• ( ) ( ) ( )[ ]eLetet RRER εµεµ

σ ⋅+⋅−

= 21 ,

• ( ) ( ) ( )[ ]eteLeL RRER εµεµ

σ ⋅+⋅−

= 21

Mais ( ) ( )

SSSrR

eRet −

⋅⋅=

2σσ

, donc : ( ) ( )SSSRr e

etR ⋅−

⋅=2

σσ

( )rRσ peut donc être déterminé à partir des indications des jauges par la relation :


Astelab 2010 80

( ) ( ) ( )[ ]eLete

R RRSSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

=21 2

En utilisant à nouveau les relations générales qui régissent le comportement élastique des tubes soumis à des pressions

internes et externes, il est possible de calculer les deux autres contraintes principales ( )rtσ et ( )rLσ qu’il y a à l’intérieur du tube. Il faut pour cela, remplacer R1, R2, r, P1 et P2 des expressions de la figure ci-avant, respectivement

par : , , ,r eR r ( )rRσ et . Ce qui donne comme contraintes principales : 0

• ( )rRσ

• ( ) ( ) 22

2

22

2

rRRrrr Rt −

+⋅= σσ

• ( ) ( )eLL Rr σσ =

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la relation donnant ( )rtσ par π, il vient :

• ( )rRσ

• ( ) ( )

SSSSrr

e

eRt −

+⋅= σσ

• ( ) ( )eLL Rr σσ =

En remplaçant ( )rRσ et ( )rLσ par leurs valeurs en fonction de ( )et Rε et de ( eL R )ε , il vient maintenant :

• ( ) ( ) ( )[ ]eLet

eR RR

SSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

=21 2

• ( ) ( ) ( )[ ]eLete

t RRSSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅+

⋅−

=21 2

• ( ) ( )eLL Rr σσ = Dans la direction longitudinale du tube les contraintes amenées dans la couche de rayon extérieur r par le retrait des couches intérieures sont égales aux contraintes qui sont apparues à l’extérieur du tube pendant le même temps, donc :

( )rLσ est bien égal à ( )eL Rσ , soit, d’après les équations de Lamé :

( ) ( ) ( )[ ]eteLL RREr εµεµ

σ ⋅+⋅−

= 21 .

En résumé, les composantes principales du tenseur des contraintes introduit dans la couche de rayon extérieur r, par le retrait des couches internes sont :


Astelab 2010 81

• ( ) ( ) ( )[ ]eLet

eR RR

SSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅−

⋅−

−=21 2 ,

• ( ) ( ) ( )[ ]eLet

et RR

SSSEr εµε

µσ ⋅+⋅

⋅+

⋅−

=21 2 et

• ( ) ( ) ( )[ ]eteLL RREr εµεµ

σ ⋅+⋅−

= 21


Astelab 2010 82

Annexe 4

Ré-équilibrage des contraintes dans une pièce axisymétrique à la suite du retrait par alésage d’une couche mince interne dans laquelle

se trouvaient des contraintes résiduelles Soit une pièce cylindrique dans laquelle il y a des contraintes résiduelles qui sont en cours de détermination par l’intermédiaire de la méthode de Sachs. Plusieurs couches de matière ont déjà été retirées par alésage. Le retrait de toutes ces couches a modifié les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la couche suivante à retirer. Lorsque cette couche, de rayon extérieur r est retirée, les contraintes résiduelles qui restent vont disparaître et il va en résulter des variations de déformations mécaniques à la surface extérieure du tube.

Soient : ( )rrtσ et ( )rrLσ ces restes de contraintes résiduelles et ( )Retdε et ( )ReLdε les variations de déformations mécaniques indiquées par les jauges placées sur la surface extérieure du tube qui apparaissent au moment du retrait de la couche. Ces variations de déformations mécaniques correspondent aux

variations de contraintes ( )Retdσ et ( )ReLdσ Un nouvel état d’équilibre du reste de tube s’établit. Il est tel que les variations de contraintes dans le reste du tube équilibrent les contraintes qu’il y avait dans la matière qui a été retirée comme indiqué sur les croquis ci-après.

Re

r dr

Se : surface du cercle de rayon Re, S : surface du cercle de rayon r, dS : surface de l’anneau de rayon extérieur r et de largeur dr

Vue du tube avant l’enlèvement par alésage de la couche de rayon extérieur r


Astelab 2010 83

Reste de contraintes résiduelles éliminées lors de l’alésage de la couche de rayon extérieur r

Les équations qui traduisent l’équilibre de la couche retirée par alésage sont :

• dans le sens circonférentiel : ( ) rpdrrrt ⋅⋅=⋅⋅ 22σ ,

• dans le sens longitudinal : ( ) hrfdrrrrL ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ππσ 22

Variation des contraintes internes équilibrant les contraintes retirées lors de l’alésage de la couche

de rayon extérieur r Les équations qui traduisent le fait que les variations de contraintes dans le reste du tube compensent le déséquilibre engendré par le retrait par alésage de la couche de rayon extérieur r sont :

• dans le sens circonférentiel : ( ) ( ) rprd t ⋅⋅=−⋅⋅ 2Re2Reσ

• dans le sens longitudinal : ( ) ( ) hrfSSed L ⋅⋅⋅⋅=−⋅ πσ 2Re Cet ensemble de 4 équations se ramène aux deux équations d’équilibre suivantes qui permettent de relier le reste des contraintes résiduelles qui se trouvaient dans la couche retirée aux variations de contraintes apparaissant à la surface extérieure du tube.

• ( ) ( ) ( )rddrrr tt −⋅⋅=⋅⋅ Re2Re2 σσ ,

• ( ) ( ) ( )SSeddrrrr LL −⋅=⋅⋅⋅⋅ Re2 σπσ

r p

dσL(Re)

dσL(Re)

f

f

dσt(R

e)

dσt(R

e)

Re

σrt(r)

r dr

p

f

f

σrL(r)

σrL(r)

σrt(r)


Astelab 2010 84

dSdrr =⋅⋅⋅π2 et ( ) SSrr e −≅−⋅⋅⋅ Re2 π Les équations d’équilibre des contraintes ré écrites en faisant intervenir ces surfaces ou éléments de surface sont :

• ( ) ( ) ( )SSeddSrr tt −⋅⋅≅⋅ 2Reσσ ,

• ( ) ( ) ( )SSeddSrr LL −⋅=⋅ Reσσ , donc :

• ( ) ( )Ret

et d

dSSSrr σσ ⋅

−=

• ( ) ( )ReLL d

dSSSerr σσ ⋅

−= .

Mais ( )Retdσ et ( )ReLdσ sont reliés aux variations de déformations

( )Retdε et ( )ReLdε des jauges par les équations de Lamé de la manière suivante :

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1Re 2 Ltt ddEd εµε

µσ ⋅+⋅

−=

,

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1Re 2 tLL ddEd εµε

µσ ⋅+⋅

−=

Le reste des contraintes résiduelles qui se trouvaient dans la couche de rayon extérieur r s’exprime donc de la manière suivante en fonction des variations d’indication des jauges de déformations :

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1 2 Ltt dddS

SSeErr εµεµ

σ ⋅+⋅−

⋅−

≅,

• ( ) ( ) ( )[ ]ReRe

1 2 tLL dddS

SSeErr εµεµ

σ ⋅+⋅−

⋅−

=


Astelab 2010

Annexe 5

Théorie du fonctionnement de la méthode de la flèche Une plaque dans laquelle il y a des contraintes résiduelles change légèrement de forme lorsqu’une couche superficielle est retirée par usinage. Les croquis ci-après visualisent ce qui se passe lors du retrait d’une couche de matière d’épaisseur de dans laquelle se trouvent des contraintes uniformes de traction σ(e) : Forme de l’éprouvette avant le retrait de matière

z

b

x

deL

eH

y


x

de

e

fe

H

y

Il apparaît donc que le retrait d’une couche de matière sur le dessus d’une plaque, revient à appliquer un effort de traction égal à σ(e) . de . b, sur le haut des sections droites de chacune des extrémités de cette plaque. Dans ce cas, par convention, la flèche est négative. En adoptant les habitudes de la résistance des matériaux, ceci se schématise de la manière suivante :

( ) bdeeσF ⋅⋅=

x

de

e

F F

H

y

Cet effort produit un moment fléchisflèche.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=

22deeFMf

Avec :

85

sant constant sur toute la longueur de l’éprouvette qui est à l’origine de la fM


Astelab 2010 86

La forme déformée de la poutre est caractérisée par son rayon de courbure local r qui est relié au moment fléchissant par

la relation : zz

f

IE

deeF

IEM

r ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−

=⋅

= 221.

Comme le moment fléchissant est constant sur toute la longueur de l’éprouvette, le rayon de courbure est constant et l’allure déformée de l’éprouvette est un arc de cercle de rayon r. La flèche de l’éprouvette est donc donnée, en fonction de la longueur de l’éprouvette et de son rayon de courbure, par la relation :

4

22 Lrrdfe −−= Le rayon de courbure est très grand par rapport à la longueur de l’éprouvette (plusieurs

dizaines voire plusieurs centaines de mètres dans le cas, par exemple d’une éprouvette de longueur 500 mm). La relation donnant dfe en fonction de r et L peut donc se mettre sous une forme approchée plus simple de la manière suivante :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−⋅−≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅−=

22

2211

21

rLrr

rLrrdfe , qui se réduit à :

rLdfe ⋅

≅8

2

ze IE

deeFL

rLdf

⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−

⋅=⋅≅ 228

18

22

avec : ( )12

3ebIetdebeσF z⋅

=⋅⋅=

et après diverses simplifications, cette expressions devient :

( ) ( )3

2

1612

eEdedeeLeσdfe ⋅

⋅+⋅⋅⋅−≅ , d’où :

( ) ( ) dedf

deeLeEeσ e⋅

+⋅⋅⋅−≅ 2

3

34

Le fait de retirer une couche d’épaisseur de, non seulement provoque l’apparition de la flèche dfe, mais modifie la répartition des contraintes résiduelles dans ce qu’il reste de la pièce. Dans le cas considéré au début (suppression d’une couche avec des contraintes résiduelles de traction), cela provoque des contraintes de traction supplémentaires σ’(e) au niveau de la surface qui vient d’être usinée.

y

x

−σ’m

σ’m

e


Astelab 2010 87

La répartition de ces contraintes dans l’épaisseur de la pièce est une répartition linéaire comme indiquée sur le croquis ci-dessus avec une contrainte de traction maximale sur la face supérieure et une contrainte de compression maximale d’égale amplitude sur la face inférieure. Soit σ’m cette valeur maximale. Le moment fléchissant correspondant est Mf’ tel que :

∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=2

0

2

'2'

e

m dybyeσyMf

∫ ⋅⋅⋅⋅=2

0

2'4'

e

m dyybe

Mf σ

2

0

3

3'4'

e

m ybeσMf ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=

mσebMf '61' 2 ⋅⋅⋅= mais, Mf’ est relié au rayon de courbure de l’éprouvette par la relation :

z

f

IEM

r ⋅−=

1,

et à la flèche par la relation : rLLrrdfe

184

222 ⋅≅−−= , ce qui fait que:

mz σebIEr

'611 2 ⋅⋅⋅=⋅⋅− qui, avec : edf

Lr⋅=

2

81 donne :

mze σebIEdfL

'618 2

2 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅− et finalement que :

em dfLeEσ ⋅⋅⋅−= 24'

Les contraintes résiduelles qu’il y avait dans la deuxième couche enlevée une fois qu’elle aura été enlevée ne seront

pas : ( ) ( ) 2

2

222

32

2 34

dedf

deeLeEeσ e⋅

+⋅⋅⋅−≅ , mais

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅−−⋅+⋅

⋅⋅−≅

2

2434

2

2

122

2

2

222

32

2 e

e

dfLeE

dedf

deeLeEe e

eσ , soit :


Astelab 2010 88

( ) ( ) 218

34 2

122

2

222

32

2edf

LE

dedf

deeLeEe e

e ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅−≅σ

Pour obtenir les contraintes résiduelles qu’il y avait à l’origine dans la matière de la pièce qui est enlevée au cours des passes successives, il faut donc utiliser une relation récurrente. Pour cela, il faut utiliser des variables indicées pour les épaisseurs successives de la pièce, les épaisseurs des couches successives de matière enlevée et pour les valeurs des contraintes résiduelles. Soit :

• e1 : l’épaisseur initiale de l’éprouvette, • de1 : la profondeur de la première couche de matière retirée par usinage, • dfe1 : la flèche mesurée après le retrait de la première couche, • σ(e1) : la contrainte résiduelle qu’il y avait dans la première couche de matière retirée. •

( ) ( ) 1

1

112

31

1 34

dedf

deeLeEe e⋅

+⋅⋅⋅−≅σ

• e2 : l’épaisseur au centre de l’éprouvette après le retrait de la première couche, • de2 : la profondeur de la deuxième couche de matière retirée par usinage, • dfe2 : la flèche mesurée après le retrait de la deuxième couche, • σ(e2) : la contrainte résiduelle qu’il y avait dans la deuxième couche de matière retirée.

( ) ( )2

2434

2

2

122

2

12

222

32

2 e

e

dfLeE

dedfdf

deeLeEe e

ee ⋅⋅⋅⋅+−

⋅+⋅

⋅⋅−≅σ

• e3 : l’épaisseur au centre de l’éprouvette après le retrait de la deuxième couche, • de3 : la profondeur de la troisième couche de matière retirée par usinage, • dfe3 : la flèche mesurée après le retrait de la troisième couche, • σ(e3) : la contrainte résiduelle qu’il y avait dans la troisième couche de matière retirée. •

( ) ( ) ( )

2

24

2

2434

3

3

1223

2

23

122

3

23

332

33

3 e

e

dfdfLeEe

eedf

LeE

dedfdf

deeLeEe eee

ee ⋅−⋅⋅⋅+−

⋅⋅⋅⋅+−

⋅+⋅

⋅⋅−≅σ

• e4 : l’épaisseur au centre de l’éprouvette après le retrait de la troisième couche, • de4 : la profondeur de la quatrième couche de matière retirée par usinage, • dfe4 : la flèche mesurée après le retrait de la quatrième couche, • σ(e4) : la contrainte résiduelle qu’il y avait dans la quatrième couche de matière retirée.


Astelab 2010 89

( )( )

( ) ( )

2

24

2

24

2

2434

4

4

2324

3

34

1223

2

24

122

4

34

442

34

4

e

e

dfdfLeE

e

ee

dfdfLe

E

e

eedf

LeE

dedfdf

deeLeEe

eeee

eee

⋅−⋅⋅⋅+−

⋅−⋅⋅⋅+

−⋅⋅⋅⋅+

−⋅

+⋅⋅⋅−≅σ

• ………………………………… • ………………………………… • …………………………………. • …………………………………

• ep : l’épaisseur au centre de l’éprouvette après le retrait de la (p-1)ième couche, • dep : la profondeur de la pième couche de matière retirée par usinage, • dfep : la flèche mesurée après le retrait de la pième couche, • σ(ep) : la contrainte résiduelle qu’il y avait dans la pième couche de matière retirée.

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

24

34

2212

12

3

i

ippi

iieie

i

p

peep

pp

pp

e

eedfdf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee

−⋅−⋅⋅⋅+

−⋅

+⋅⋅⋅−≅

∑=

=−−

−σ

La flèche peut aussi être mesurée sur la face opposée à la face usinée. C’est ce qui est fait dans le cas de l’exemple d’application de la méthode présentée dans ce document.


y

x

de

e

fe

H

Si la flèche est mesurée sur la face opposée à la face usinée et que, dans le cas du retrait d’une couche de matière en traction, elle est comptée positivement, alors les expressions précédentes donnant les contraintes résiduelles avant enlèvement de matière deviennent :


Astelab 2010 90

• contrainte dans la première couche retirée :

( ) ( ) 1

1

112

31

1 34

dedf

deeLeEe e⋅

+⋅⋅⋅≅σ

• contrainte dans la deuxième couche retirée :

( ) ( )2

2434

2

2

122

2

12

222

32

2 e

e

dfLeE

dedfdf

deeLeEe e

ee ⋅⋅⋅⋅−−

⋅+⋅

⋅⋅≅σ

• contrainte dans la troisième couche retirée :

( ) ( ) ( )

2

24

2

2434

3

3

1223

2

23

122

3

23

332

33

3 e

e

dfdfLe

Ee

eedf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee eeeee ⋅−⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−

−⋅

+⋅⋅⋅≅σ

• contrainte dans la quatrième couche retirée :

( ) ( )

( ) ( )

2

24

2

24

2

2434

4

4

2324

3

34

1223

2

24

122

4

34

442

34

4

e

e

dfdfLeEe

eedfdf

LeE

e

eedf

LeE

dedfdf

deeLeEe

eeee

eee

⋅−⋅⋅⋅−−

⋅−⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅−

−⋅

+⋅⋅⋅≅σ

• …………………………………………………………

• Contrainte dans la pième couche retirée :

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

24

34

2212

12

3

i

ippi

iieie

i

p

peep

pp

pp

e

eedfdf

LeE

dedfdf

deeLe

Ee

−⋅−⋅⋅⋅−

−⋅

+⋅⋅⋅≅

∑=

=−−

−σ

Documents

Détermination des contraintes résiduelles par les méthodes de …naylvis.free.fr/astelab2010/doc/s_extensometrie/buisson.pdf · 2010-05-19 · Détermination des contraintes résiduelles