Duplication du cube, trisection de l angle, quadrature du cercle : rien dimpossible ! Stage « Grands problèmes » 11 avril 2006

Duplication du cube,Duplication du cube,trisection de l’angle,trisection de l’angle,

quadrature du cerclequadrature du cercle : :

rien d’impossible !rien d’impossible !

Stage « Grands problèmes »Stage « Grands problèmes »11 avril 200611 avril 2006

Felix KleinFelix Klein18951895

Eutocius d’AscalonEutocius d’Ascalon

(Palestine)(Palestine)480-540480-540

Commentaires sur le traité Commentaires sur le traité d’Archimèded’Archimède

« De la sphère et du cylindre »« De la sphère et du cylindre »

(manuscrit latin de 1270)(manuscrit latin de 1270)

« Ce problème résolu, nous pourrons, d’une façon générale, changer en cube « Ce problème résolu, nous pourrons, d’une façon générale, changer en cube

toute figure solide donnée limitée par des parallélogrammes, ou la faire passer toute figure solide donnée limitée par des parallélogrammes, ou la faire passer

d’une forme à une autre et la rendre semblable à une figure donnée, et d’une forme à une autre et la rendre semblable à une figure donnée, et

l’amplifier en respectant la similitude, et cela, même quand il s’agit d’autels et de l’amplifier en respectant la similitude, et cela, même quand il s’agit d’autels et de

temples ; nous pourrons aussi convertir en cube les volumes des corps liquides et temples ; nous pourrons aussi convertir en cube les volumes des corps liquides et

secs, tels le métrète et la médimne, et exprimer par l’arête de ce cube la secs, tels le métrète et la médimne, et exprimer par l’arête de ce cube la

capacité des récipients de ces corps. Mais mon invention sera utile aussi à ceux capacité des récipients de ces corps. Mais mon invention sera utile aussi à ceux

qui voudront augmenter les dimensions des catapultes et d’autres machines qui voudront augmenter les dimensions des catapultes et d’autres machines

balistiques, où tout doit être augmenté en proportion, épaisseurs, longueurs, balistiques, où tout doit être augmenté en proportion, épaisseurs, longueurs,

forages, trous des moyeux et cordes engagées dans ceux-ci, si nous voulons que forages, trous des moyeux et cordes engagées dans ceux-ci, si nous voulons que

la portée du tir soit augmentée en proportion ; or cela n’est pas réalisable sans la portée du tir soit augmentée en proportion ; or cela n’est pas réalisable sans

que les moyennes soient trouvées. »que les moyennes soient trouvées. »

Insertion d’une moyenne proportionnelleInsertion d’une moyenne proportionnelle

Insertion de deux moyennes proportionnellesInsertion de deux moyennes proportionnelles

aa

xx

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bb

Treize solutions rapportées par Eutocius pour Treize solutions rapportées par Eutocius pour le problème des deux moyennes :le problème des deux moyennes :

• Archytas de Tarente Archytas de Tarente (428 - 350)(428 - 350)

• Platon Platon (427 - 347)(427 - 347)

• Eudoxe de Cnide Eudoxe de Cnide (408 - 355)(408 - 355)

• Ménechme (deux solutions) Ménechme (deux solutions) (380 - 320)(380 - 320)

• Nicomède Nicomède (280 - 210)(280 - 210)

• Philon de Byzance Philon de Byzance (280 - 220)(280 - 220)

• Érastosthène de Cyrène Érastosthène de Cyrène (276 - 194)(276 - 194)

• Apollonius de Pergé Apollonius de Pergé (262 - 190)(262 - 190)

• Dioclès Dioclès (240 - 180)(240 - 180)

• Héron d’Alexandrie Héron d’Alexandrie (10 - 75)(10 - 75)

• Sporus de Nicée Sporus de Nicée (240 - 300)(240 - 300)

• Pappus d’Alexandrie Pappus d’Alexandrie (290 - 350)(290 - 350)

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L’appareil de PlatonL’appareil de Platon

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Albrecht DAlbrecht Dürerürer 15251525

http://www.museo.unimo.it/



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Le mésolabe Le mésolabe d’d’ÉratosthèneÉratosthène

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Les coniques de MénechmeLes coniques de Ménechme

Le compas parfait ?Le compas parfait ?

• Ibrāhīm ibn Sinān (908 - 946)

• Wayjan al-Qūhī (940 - 1000)

• Abū al-Sijzī (945 - 1020)

< : ellipse

= : parabole

> : hyperbole

Le trisecteur Le trisecteur d’Archimèded’Archimède

La conchoLa conchoïde de Nicomèdeïde de Nicomède

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AB=AC =1

E ′ E = 2

M ′ M = 2

La quadratrice d’Hippias-DinostrateLa quadratrice d’Hippias-Dinostrate

L’appareil de Giambatista SuardiL’appareil de Giambatista Suardi17521752

Les constructions dans les mathématiques arabesLes constructions dans les mathématiques arabes

Abū Nasr al-Fārābi (875 - 950) : Le livre des procédés ingénieux et des mystères de la nature sur la subtilité des figures géométriques

Abū al-Wafā’ (940 - 998) : Le livre des constructions géométriques nécessaires à l’artisan

Approfondissement des procédés grecs pour l’insertion de deux moyennes et la trisection de l’angle

Construction de l’énnéagone régulier

Douze constructions (au moins) de l’heptagone régulier

Nombreuses constructions des sections coniques (par points, avec des fils, avec le compas parfait...)

Umar al-Khayyām (1048 - 1122) : théorie complète de la construction des équations cubiques

Utilisation systématique des constructions utilisant droites, cercles et coniques





François VièteFrançois Viète15931593



Cas d’une seule racine réelle : insertion de deux moyennes

Cas de trois racines réelles : trisection de l’angle

Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurais comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques, plutôt que géométriques. Car de dire que ç’ait été à cause qu’il est besoin de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudrait rejeter par même raison les cercles et les lignes droites, vu qu’on ne les décrit sur le papier qu’avec un compas et une règle, qu’on peut aussi nommer des machines.

Descartes Descartes 16371637

Classification de Descartes Classification de Descartes 16371637

• • courbes géométriquescourbes géométriques : courbes : courbes ayant une équation algébrique ou ayant une équation algébrique ou courbes engendrées par un courbes engendrées par un « mouvement continu unique »« mouvement continu unique »

• • courbes mécaniquescourbes mécaniques : autres : autres courbes (quadratrice, spirale, courbes (quadratrice, spirale, cycloïde, courbe logarithmique…)cycloïde, courbe logarithmique…)



René DescartesRené Descartes16371637

Frans van Frans van SchootenSchooten

16461646



GuillaumeGuillaume

de L’Hospitalde L’Hospital17201720



Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss 18011801

Carlos VidelaCarlos Videla 19971997

Le polygone régulier à Le polygone régulier à nn c côtés estôtés est constructible constructible

avec des droites et des cercles si et seulement si avec des droites et des cercles si et seulement si

nn = 2 = 2nnpp11pp22 ... ... ppk k , où les , où les ppii sont des nombres sont des nombres

premiers distincts de la forme 2premiers distincts de la forme 2aa + 1 + 1

Le polygone régulier à Le polygone régulier à nn c côtés estôtés est constructible avec constructible avec

des droites, des cercles et des coniques si et des droites, des cercles et des coniques si et

seulement si seulement si nn = 2 = 2nn33mmpp11pp22 ... ... ppk k , où les , où les ppii sont des sont des

nombres premiers distincts de la forme 2nombres premiers distincts de la forme 2aa33bb + 1 + 1

3 4 5 6 3 4 5 6 77 8 8 99 10 10 1111 12 12

1313 1414 15 16 17 15 16 17 1818 1919 20 20

Construction des polygones réguliers à 7 et 9 cConstruction des polygones réguliers à 7 et 9 côtés avec Cabriôtés avec CabriÉric Bainville et Bernard Genevès Éric Bainville et Bernard Genevès 19981998

Construction des polygones réguliers à 13 et 19 cConstruction des polygones réguliers à 13 et 19 côtés avec Cabriôtés avec CabriÉric Bainville et Bernard Genevès Éric Bainville et Bernard Genevès 19981998

Alfred Bray KempeAlfred Bray Kempe1849 - 19221849 - 1922



Watt Watt 17841784 RobertsRoberts

KempeKempePeaucellier Peaucellier 18641864

ChebyshevChebyshev

Le trisecteur de KempeLe trisecteur de Kempe

Alfred Bray Kempe Alfred Bray Kempe 18761876

Les courbes planes algébriques sont exactement celles qui Les courbes planes algébriques sont exactement celles qui peuvent être tracées à l’aide d’un système articulépeuvent être tracées à l’aide d’un système articulé

Toute équation algébrique peut Toute équation algébrique peut être résolue de manière exacte être résolue de manière exacte au moyen d’un système articuléau moyen d’un système articulé

Gabriel Koenigs Gabriel Koenigs 18951895

Toute relation algébrique entre points d’un plan peut Toute relation algébrique entre points d’un plan peut être être réalisée par un système articulé planréalisée par un système articulé plan

Toute relation algébrique entre points de l’espace peut Toute relation algébrique entre points de l’espace peut être être réalisée par un système articulé dans l’espaceréalisée par un système articulé dans l’espace

Certains problèmes ne sont ni plans, ni Certains problèmes ne sont ni plans, ni solides, ni sur-solides, ni d’aucun degré solides, ni sur-solides, ni d’aucun degré déterminé, mais surpassent toute déterminé, mais surpassent toute équation algébrique. Il n’empêche que équation algébrique. Il n’empêche que de tels problèmes peuvent réellement de tels problèmes peuvent réellement se poser en Géométrie : il est donc se poser en Géométrie : il est donc indispensable d’admettre les seules indispensable d’admettre les seules courbes permettant de les construire ; courbes permettant de les construire ; or ces courbes peuvent être tracées or ces courbes peuvent être tracées d’un mouvement continu, il ne faut donc d’un mouvement continu, il ne faut donc pas les juger mécaniques, mais pas les juger mécaniques, mais géométriques. C’est pourquoi l’erreur géométriques. C’est pourquoi l’erreur qu’a commise Descartes en les excluant qu’a commise Descartes en les excluant de la Géométrie fut aussi grave que de la Géométrie fut aussi grave que celle des Anciens qui rejetaient comme celle des Anciens qui rejetaient comme non géométriques certains lieux solides non géométriques certains lieux solides ou linéaires.ou linéaires.

Il existe néanmoins d’autres façons de Il existe néanmoins d’autres façons de construire les courbes, comportant construire les courbes, comportant l’adjonction d’un élément physique.l’adjonction d’un élément physique.



Gottfried WilhelmGottfried WilhelmLeibnizLeibniz

16931693

Giovanni PoleniGiovanni Poleni17291729

Giambatista SuardiGiambatista Suardi17521752

Construction exacte de la Construction exacte de la courbe logarithmique et courbe logarithmique et

du nombre edu nombre e

L’intégraphe d’Abdank-AbakanowiczL’intégraphe d’Abdank-Abakanowicz

L’appareil de PlatonL’appareil de Platon

Musée des arts et métiers, Paris

Quadrature du cercle avec l’intégrapheQuadrature du cercle avec l’intégraphe

Felix KleinFelix Klein

18951895Voilà donc une construction géométrique Voilà donc une construction géométrique

qui permet la quadrature du cercle. On qui permet la quadrature du cercle. On

voit de plus qu’elle la réalise dans l’ordre voit de plus qu’elle la réalise dans l’ordre

d’idées où s’étaient engagés les d’idées où s’étaient engagés les

géomètres anciens ; notre courbe géomètres anciens ; notre courbe

intégrale n’est qu’une modification des intégrale n’est qu’une modification des

quadratrices considérées par eux.quadratrices considérées par eux.

1882 : Lindemann démontre que la quadrature du cercle est 1882 : Lindemann démontre que la quadrature du cercle est impossible à la règle et au compasimpossible à la règle et au compas

1886 : L’intégraphe d’Abdank-Abakanowicz permet de résoudre 1886 : L’intégraphe d’Abdank-Abakanowicz permet de résoudre de manière exacte la quadrature du cerclede manière exacte la quadrature du cercle

Artobolevski Artobolevski 1975-19781975-1978 : Mécanismes algébriques: Mécanismes algébriques

Artobolevski Artobolevski 1975-19781975-1978 : Mécanismes transcendants: Mécanismes transcendants

Un analyseur différentielUn analyseur différentiel

Science Museum, Londres

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Duplication du cube, trisection de l angle, quadrature du cercle : rien dimpossible ! Stage « Grands problèmes » 11 avril 2006