Étude historique de la quadrature du cercle

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Sommaire.

Introduction……………………………………………………………………………...…......4I) L’Antiquité…………………………………………………………………………………..5

A) Le problème posé par les Babyloniens et les Egyptiens……………………………51) Une toute première approximation de ……………………………………..5

2) Les Egyptiens posent le problème de la quadrature du cercle………………6B) Le début de la recherche grecque…………………………………………………...9

1) Anaxagore et Antiphon……………………………………………………...92) Aristophane rend le problème célèbre……………………………………...10

C) La seconde partie de la recherche grecque………………………………………...121) Les lunules d’Hippocrate de Chios………………………………………...12

2) Dinostrate et la quadratrice d’Hippias……………………………………...133) Les travaux d’Archimède…………………………………………………..14

II) Du moyen Âge au XIIIème siècle…………………………………………………………..16A) Le XVème siècle…………….....……………………………………………………16

B) Les XVIème et XVIIème siècle………………………………………………………21C) Le XVIIIème siècle ou siècle des Lumières………………………………………...28

III) Du XIXème siècle à nos jours……………………………………………………………..32A) Les tentatives de construction……………………………………………………..32

1) Quadrature du cercle par rectification de la circonférence………………...32a) Principe……………………………………………………………..32

b) Rectification de la circonférence du cercle………………………...332) Quadrature par détermination d’un côté du carré équivalent……………....34

B) L’impossibilité de la quadrature du cercle………………………………………...35C) Résolution dans la géométrie non-euclidienne…………………………………….39

1) Géométries non euclidiennes………………………………………………392) Résolution de la quadrature du cercle dans la géométrie hyperbolique……45

IV) Annexes…………………………………………………………………………………..441) La détermination babylonienne de ……………………………………………….44

2) La quadrature égyptienne…………………………………………………………..463) La démonstration de Dinostrate……………………………………………………48

4) Proposition I d’Archimède…………………………………………………………495) Proposition III d’Archimède……………………………………………………….50

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6) Proposition II d’Archimède………………………………………………………..54

7) Les démonstrations de Nicolas de Cues……………………………………………558) La démonstration de Grégoire de Saint Vincent…………………………………...60

9) La construction de Basselin………………………………………………………..6210) La construction d’Ancelot………………………………………………………...64

11) L’irrationalité de ……………………………………………………………….6512) Les tentatives de construction aux XIXème et XXème siècles……………………...66

13) e et : deux nombres transcendants……………………………………………...75Conclusion……………………………………………………………………………………78

Bibliographie………………………………………………………………………………….79Résumés personnels du travail………………………………………………………………..80

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Introduction.

La quadrature du cercle est l’un des trois grands problèmes mathématiques posés parles grecs, à savoir la duplication du cube, la trisection de l’angle et bien sûr la quadrature ducercle. Les origines de ces problèmes sont souvent peu claires, par exemple, pour laduplication du cube, la légende raconte que l’oracle de Delphes avait prédit à Athènes, alorsfrappée par la peste, que le fléau cesserait si elle doublait l’autel d’Apollon (autel qui n’étaitalors autre qu’un cube). Dans le cas de la trisection de l’angle, aucune légende n’est àl’origine du problème mathématique et tout porte à croire que la recherche scientifique fut lacause initiale du problème. Quant au problème de la quadrature du cercle, on sait de sourcesûre que les babyloniens s’interrogeaient déjà sur la question, ce qui peut laisser penser qu’ilsy associaient peut-être une application concrète (par exemple dans l’agriculture ou encoredans l’artisanat).

Lorsque l’on parle du problème de la quadrature du cercle, on englobe généralementdeux problèmes très voisins ; le premier est celui de la quadrature proprement dite : il s’agitde construire, à partir d’un cercle donné, un carré ayant la même aire que ce cercle, et ce avecla seule aide d’une règle et d’un compas. Le second problème, dit de la rectification de lacirconférence du cercle consiste en la construction – ou le calcul – d’un segment ayant lamême longueur que le périmètre d’un cercle donné.

Ces deux problèmes réunis sous le même nom sont donc depuis l’époquebabylonienne à l’origine de nombreuses recherches mathématiques, et parfois même degrandes avancées dans ce domaine, depuis l’antiquité jusqu’à une époque plus récente.

Mais pour aboutir à de tel résultats, il a fallu que bien des scientifiques,mathématiciens ou non, proposent de nombreuses tentatives de constructions qui essaieraientde résoudre ce problème de la quadrature du cercle, et ce tout d’abord au cours de l’Antiquité,puis du Moyen Âge jusqu’au XVIIIème siècle et enfin tout au long du XIXème siècle quisemble marquer un point final au problème même et de nombreuses ouvertures apparaissentaux yeux des savants.

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I) L’Antiquité.

A) Le problème posé par les Babyloniens et les Egyptiens.

1) Une toute première approximation de .

Babylone, du mot babylonien Bab-ilim ou Babil qui signifie « porte du dieu » étaitl’une des plus grandes villes de l’Antiquité dont il ne reste aujourd’hui qu’un vaste champ deruines à l’est de l’Euphrate, à 90 km au Sud de Bagdad en Irak. Babylone fut la capitale de laBabylonie aux IIe et Ie millénaires avant J.C. Les connaissances des Babyloniens nousproviennent de nombreuses tablettes d’argile gravées en écriture cunéiforme (en forme decoins ou de clous) relatant leur vie sociale, commerciale, religieuse, culturelle et scientifique.Les Babyloniens étaient de brillants astronomes et de grands calculateurs. Ce sont lespremiers à avoir étudié le cercle, trouvant ainsi une valeur approchée de .

Pendant de nombreuses années, on a cru que les Babyloniens prenaient une valeur de égale à 3. Mais, en 1936, des archéologues on trouvé une tablette cunéiforme vieille de 4000ans, celle-ci donnant la preuve que les Babyloniens avaient trouvé une valeur plus précise de

: = 3 + 18 (La méthode utilisée par les Babyloniens est exposée en ANNEXE 1).

Tablette babylonienne cunéiforme trouvée en 1936

Les babyloniens, connus comme la civilisation fondatrice des bases desmathématiques, nous permettent ainsi une connaissance de la circonférence du cercle même sicelle-ci est approximative. Ils ont fait avancer les recherches et les égyptiens reprennent unepartie de leurs résultats et cherchent une plus grande précision.

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2) Les Egyptiens posent le problème de la quadrature du cercle.

La civilisation égyptienne s’est développée dans la vallée creusée par le Nil il y a plusde 4000 ans, et ne fut que très tardivement découverte par l’occident. Nos connaissancesproviennent essentiellement des inscriptions en hiéroglyphes gravées sur les monuments. Cesinscriptions relatent leur vie sociale et leur culture. De nombreux monument, comme lestemples d’Abu Simbel, Karnak, Philae, Louxor, ou encore les trois pyramides de Gizehconstruites par Kheops, Khephren et Mykérinos, témoignent de la grandeur de l’Egypteancienne.

Légende d'une scène de chasse Temple de Karnak dédié au dieu Amon.en hiéroglyphes dans la tombed'Amenemhat à Thèbes.

Le Papyrus Rhind, véritable mine des connaissances mathématiques des égyptiens, aété découvert en 1855 à Thèbes, qui fut durant plusieurs siècles capitale de l’Egypte antique etsituée sur les deux rives du Nil à environ 720 km au Sud du Caire. Actuellement conservé auBritish Museum de Londres, il contient sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large, 87problèmes. Il traite entre autres de la décomposition des fractions en fractions unitaires, del’arithmétique, de la résolution d’équation et de la géométrie. C’est dans cette partiegéométrie que pour la première fois le problème de la quadrature du cercle est posé.

Le papyrus Rhind a été rédigé par le scribe Ahmes vers 1650 avant J.C. De cepersonnage, qui est un des rares mathématiciens de l’Ancienne Egypte et le seul dont il nousreste des traces, on ne sait que très peu de choses. Il était le scribe du pharaon Apophis Ier dela dynastie Hyksos. Les Hyksos, terme signifiant « chefs d’un pays étranger », sont desenvahisseurs qui ont dominé l’Egypte de 1730 avant J.-C. à 1580 avant J.-C. fondant lesXVème et XVIème dynasties. Le papyrus Rhind est le document le plus important nousinformant sur les connaissances mathématiques des anciens égyptiens, son contenu étantextrêmement riche et varié. Il n’est pas le seul, il y a aussi le papyrus dit de « Golenischev »

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conservé au musée des Beaux Arts de Moscou qui contient 25 problèmes d’arithmétique et degéométrie.

Photo du papyrus Rhind.

La méthode énoncée par Ahmes consiste en deux opérations :- Enlever un neuvième au diamètre.- Multiplier le résultat par lui-même.

(Cette méthode est exposée en ANNEXE 2.)

Ainsi il obtient un résultat approximatif de la quadrature du cercle :

O

A

O

A

NM

EB

CD

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MN = 89 AM

On trace la droite ME puis la droite parallèle à ME passant par N. D’après le théorèmede Thalès dans le triangle AME on a :

ANAM = AB

AE = 89

Il suffit donc de tracer le carré ABCD dont le coté AB représente les 89 du diamètre

AE.

Les égyptiens ont dont été les premiers à se poser le problème de la quadrature ducercle. Ils ont trouvé une approximation de la solution mais nous ne savons pas si ils enétaient conscients ou s’ils pensaient avoir trouvé une solution exacte. Néanmoins, cettesolution est d’une grande ingéniosité et nous apporte une valeur plus précise de que celletrouvée par les Babyloniens.

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B) Le début de la recherche grecque.

1) Anaxagore et Antiphon.

Dans la Grèce Antique, les recherches sur la quadrature du cercle sont très importantesmais elles n’aboutissent pas à une résolution du problème. En revanche, les grecs prennentconscience de la grande difficulté de ce problème et trouvent des méthodes permettant detrouver des approximations de la solution, méthodes utilisées jusqu’à dix siècles après pourrendre ces approximations toujours plus précises.

Anaxagore de Clazomènes est le premier grec à poser le problème. Anaxagore fut lepremier philosophe à s’établir à Athènes en 480 avant J.C., ville qui deviendra un centre trèsimportant de philosophie. Ses idées étaient, curieusement, un mélange de conceptionsrévolutionnaires et de notions dépassées. Par exemple, il pensait que la Terre était plate maisavait compris le mécanisme des éclipses de soleil. Pour lui, la Lune n’était qu’une grossepierre lancée dans le ciel. Mettre des pierres dans le ciel était inacceptable pour les Athénienset Anaxagore est arrêté et parait devant le tribunal. En vain il fit allusion à la météoritetombée du ciel à Aégos Potamos, essayant de justifier ses idées. Mais tout le monde ne voulaity voir qu’un acte divin et Anaxagore fut condamné à mort malgré le soutient de son amiPériclès. Il réussit à s’évader mais il est contraint à l’exil, ce qui était un châtiment presquepire que la mort pour un athénien.

Anaxagore était un grand philosophe présocratique, qui eut d’ailleurs comme élèvesPériclès, Euripide et sans doute Socrate. Il expose sa philosophie dans Péri physeos (De lanature) dont seuls subsistent quelques fragments. Il est l’auteur de la phrase reprise deuxsiècles plus tard par Lavoisier : « Rien ne se détruit, rien ne se crée … il n’y a que destransformations ». Pour Anaxagore, la Création est le passage d’un état où les choses sontmélangées et indiscernables à un état où elles se distinguent sous l’action d’une« Intelligence », le « Noûs », cause simple existant en soi, extérieure et supérieure auxéléments.

C’est dans sa prison qu’il travaille à la quadrature du cercle. Malheureusement nous nedisposons que de très peu d’élément sur ses travaux et nous ne savons pas si il croyait avoirréussit ou s’il informait seulement les mathématiciens des difficultés de ce problème,difficultés qui s’étaient présentées à lui dans sa recherche. La deuxième option est tout demême plus probable si l’on croit les éloges que Platon lui donnait sur sa grande habileté engéométrie.

Après Anaxagore, Antiphon d’Athènes, sophiste du Vème siècle avant J.-C. propose dequarrer le cercle en construisant des polygones ayant un nombre de côtés de plus en plusgrand : on appelle cette méthode le principe d’exhaustion. En prenant un nombre de côtésassez grand on construit un polygone qui se confond avec le cercle et on a doncexhaustivement recouvert le cercle. Le cercle est ainsi confondu avec un polygone d’unnombre infini de côtés. Mais cette idée n’est pas acceptée par les anciens car il est trop tôtpour envisager l’idée de l’infini.

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2) Aristophane rend le problème célèbre.

Aristophane, qui vécu au IVème siècle avant J.-C., était un auteur dramatique athénienreconnu comme le fondateur de la comédie et comme l’un des plus grands auteurs comiquesde la littérature. Il écrivit quarante-quatre pièces de théâtre dont onze seulement nous sontparvenues.

Il défendait toujours des idées philosophiques et théologiques traditionnelles telles quela paix, la franchise, la sagesse. Il critiqua de nombreuses personnes, les tournant en dérisiondans ses pièces. Par exemple dans Les nuées en 423 avant J.-C. il s’attaque à Socrate dont iljugeait l’attitude contraire aux intérêts de l’Etat.

Le théâtre avait une très grande importance dans la Grèce Antique. Socrate accuserad’ailleurs Aristophane d’avoir aidé à sa condamnation avec sa pièce. Les pièces étaient jouéesdans de très grands théâtres pouvant accueillir un nombre impressionnant de personnes.

Théâtre d’Epidaure pouvant contenir jusqu’à 14 000 personnes.

Aristophane rend le problème de la quadrature du cercle célèbre en se moquant desgéomètres qui l’ont essayé sans aboutir à une solution. Pour cela il met en scène le géomètreMéton dans Les oiseaux (414 avant J.-C.) :

Méton : Me voici venu à vous. […] Je veux procéder au métrage de votre air, et le diviser enarpents.Ralliecopain : (citoyen d’Athènes) Pour l’amour du ciel, qui es-tu donc ?Méton : Qui je suis ? Moi ? Méton, bien connu dans la Grèce et dans mon quartier.Ralliecopain : Dis-moi, qu’est-ce que c’est que cet attirail que tu as ?

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Méton : Des équerres aérométriques. Pars de l’idée que l’air, dans la globalité de son contour,offre à peu près l’image d’un éteignoir. Adonc, moi en y appliquant par en haut l’équerrecourbe que voici, après insertion d’un compas…Ralliecopain : Non, je n’y suis pas !Méton : … je ferai mes mensurations, par application d’une équerre droite, en sorte que, tuvois, le cercle devienne quadrangulaire, et qu’au centre il y ait un rond-point, où aboutiraientdes rues rectilignes, exactement centripètes, et de l’exacte circularité duquel, comment d’uneétoile, irradieront dans tous les azimuts des rayons rectilignes.Ralliecopain : Quel puits de science, ce type là ! Dis, Méton …Méton : Quoi ?Ralliecopain : Je t’aime bien tu peux te le dire ! Alors, crois-moi : tire-toi du chemin endouce !

Extrait de la pièce Les oiseaux d’Aristophane

Les traducteurs ne sont pas tous d’accord pour ce passage et particulièrement pour laphrase : « je ferai mes mensurations, par application d’une équerre droite, en sorte que, tuvois, le cercle devienne quadrangulaire ». Dans son ouvrage sur la quadrature du cercle,Montucla mentionne une autre formule : « Je vais, la règle et l’équerre en main, vous faire uncercle carré ». Cette traduction accentue le ridicule de la scène par l’opposition entre les deuxtermes cercle et carré. Mais nous pouvons faire la même remarque à l’expression ci-dessus :en effet le géomètre veut que le cercle devienne quadrangulaire, c’est-à-dire qu’il possèdequatre angles, ce qui parait ridicule.

Ainsi, par un maniement très habile de l’expression, Aristophane tourne en dérision lesgéomètres qui ont « osé » s’attaquer à ce problème très complexe de la quadrature du cercle.En faisant ceci il rend le problème célèbre et on le mentionne dans les écoles philosophiques.De grands philosophes et mathématiciens grecs s’y essayent et ils vont permettre une grandeavancée dans les connaissances non seulement du cercle mais de bien d’autres notionsmathématiques comme celle de l’infini qui leur apparaît de plus en plus.

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C) La seconde partie de la recherche grecque.

1) Les lunules d’Hippocrate de Chios.

Hippocrate de Chios enseignait à Athènes.De sa vie on sait très peu de choses et leshistoriens ont des avis différents. Mais si on encroit Aristote, il était excellent géomètre.

Par contre, dans sa vie quotidienne il seserait révélé particulièrement « naïf ». Seloncertains historiens il était un négociant qui auraitperdu toute sa fortune à la suite d’une attaque deson bateau par des pirates. Se rendant à Athènespour faire engager des poursuites contre eux, ilprofita de son séjour dans la ville pour donner des

« conférences » qui prouvèrent ses compétences, en particulier dans le domaine de laGéométrie. Ceci l’aurait amené à s’intéresser au problème de la quadrature du cercle.

Ses recherches sur la quadrature du cercle le conduisirent à une découverte qu’iln’imaginait même pas faire : il réussit la quadrature des lunules, figures limitées par des arcsde cercle :

L’aire des deux lunules est égale à l’aire du triangle rectangle sur cette figure.

En effet il est possible de quarrer ces portions de cercle. Hippocrate essaya d’appliquerles mêmes considérations au cercle mais constata que celles-ci ne lui permettaient pas dequarrer le cercle. Malgré cet échec Hippocrate fut d’une grande ingéniosité et les lunulesfascinèrent bien d’autres géomètres comme Léonard de Vinci qui en construisit plus d’unecentaine.

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2) Dinostrate et la quadratrice d’Hippias.

Dinostrate vécu au IVème siècle avant J.-C. et, avec son frère et un des disciples dePlaton, il décida de perfectionner la géométrie. Dinostrate s'intéressa plus particulièrement àla quadrature du cercle en proposant une solution approchée d'une grande subtilité, basée surdes calculs de proportions et de moyennes proportionnelles, conduisant à la construction d'unecourbe, point par point, appelée aujourd'hui « quadratrice » de Dinostrate mais empruntée enfait à Hippias d'Élis qui l’aurait définie et utilisée pour résoudre le problème de la trisection del’angle.

Figure représentant la quadratrice d’Hippias

Sur la figure ci-dessus, la quadratrice (en rouge) permettrait, selon Dinostrate, unerésolution exacte de la quadrature du cercle. Mais Dinostrate fait une erreur liée à la notion del’infini alors très obscure : (Les détails du raisonnement de Dinostrate sont présentés enANNEXE 3).

Selon lui on a : ABOQ =

Or ceci est faux car ce serait seulement vrai quand le point M tend vers Q, le point Qn’étant pas constructible à la règle et au compas en un nombre fini d’étapes.

Cette approche du problème, bien que très ingénieuse, ne permet pas sa résolution.

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3) Les travaux d’Archimède.

Le grand Archimède de Syracuse, fondateur de l’hydrostatique, auteur de travaux enmécanique et géométrie, fut sans aucune doute le grec qui fit le plus avancer les recherchessur la quadrature.

Archimède menacé par un soldat romain. Mosaïque d'Herculanum, ancienne ville romaine,proche de Naples qui fut ensevelie, ainsi que Pompéi, lors d'une éruption du Vésuve en 79 après J.-C.

Il démontra deux propositions très importantes dans sont texte intitulé De la mesure ducercle. Ses calculs sont très impressionnants car aucune notation algébrique n’étaitdisponible ; sa méthode géométrique fait appel à de purs calculs abstraits, elle repose donc surla seule hypothèse que notre monde est Euclidien. C’est la première méthode jamais proposéepermettant le calcul de avec une précision aussi grande qu’on le souhaite.

Extrait de l’ouvrage De la mesure du cercle d’Archimède

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Dans sa première proposition il démontre l’équivalence du problème de la quadraturedu cercle et de la mesure du cercle (c’est-à-dire sa mesure).

En effet, grâce à une démonstration par l’absurde (exposée en ANNEXE 4) il montrequ’un cercle est équivalent à un triangle dont l’un des côté de l’angle droit équivaut à sonrayon et l’autre à sa circonférence :

Triangle dont l’aire est équivalente à un cercle de rayon r.

Après cette démonstration les recherches se tourneront vers la rectification du cerclepour résoudre la quadrature de celui-ci.

La deuxième proposition d’Archimède est sans doute sa plus brillante démonstration.En considérant des polygones inscrits et circonscrits il parvient à donner un encadrement de qui restera le plus précis pendant plus de seize siècles. Sa méthode (exposée en ANNEXE 5)sera réutilisée car elle permet une approximation de aussi précise qu’on le souhaite.

Archimède, dernier mathématicien à s’intéresser à la quadrature du cercle dansl’antiquité, nous donne une méthode d’une grande ingéniosité : la preuve en est que sestravaux serviront et servent toujours.

Ainsi les recherches de l’antiquité sont très importantes ; elles mettent en place lesbases pour la résolution de ce problème. Les géomètres grecs ont pris conscience de ladifficulté de ce problème et ont trouvé des solutions, approximatives certes, mais tout demême d’une précision relativement grande au regard des instruments et des notions dont ilsdisposaient. Archimède est un des précurseurs des recherches futures car un grand nombre demathématiciens prendront exemple sur ses travaux.

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II) Du Moyen Âge au XIIIème siècle.

A) Le XVème siècle.

Le problème de la quadrature du cercle n’a pas été réétudié en Europe avant le XVème

siècle. On a cependant retrouvé des traces de recherche sur le sujet chez les Chinois et lesArabes. On peut par exemple citer Liu Hui, qui comme Archimède présente uneapproximation de la quadrature du cercle. Il présente la figure suivante :

Liu Hui considère que chaque partie du cercle dont l’aire qui n’est pas recouverte par lepolygone, peut être elle-même recouverte par un rectangle, ce qui permet de majorer l’aireglobale restante. On peut même évaluer le rapport existant entre le diamètre et l’aire restante,avec la relation suivante :Si l’on appelle A l’aire restante, d le diamètre et C une circonférence, on a :

A = d x C

Cependant le problème dans le rapport donné par Liu Hui est le fait que cette circonférencesoit donnée et considérée comme approchant celle du cercle. Le problème de la quadraturereste alors entier puisqu’il faut trouver cette circonférence.

Comme nous l’avons dit, ce n’est qu’au XVème siècle que les recherches reprennent enEurope : en effet, les romains, d’une manière générale se sont peu intéressés aux sciences etencore moins aux mathématiques. Puis, l’Europe a connu une période d’instabilité politiquetrès peu favorable à la recherche mathématique.

C’est Nicolas de Cues qui réintroduisit le problèmemathématique en Europe. Né en 1401 à Cusa, ville située sur lesbords de la Moselle en Allemagne, Nicolas de Cues suit toutd’abord des études de droit canonique. En 1434, après avoirperdu un procès, il se tourne vers le pape et débute une carrièrereligieuse. Après quelques missions Nicolas de Cusa commenceà écrire des uvres mathématiques : son uvre De Conjecturis,traite déjà des conjectures et propose quelques applicationspratiques de ces conjectures, en particulier celle de la « figure P »qui traduit l’unité et l’altérité de Dieu et du monde.

Nicolas de Cues (1401-1464)

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Nicolas de Cues remplira de nombreuses fonctions au sein de l’Eglise ; il aura parexemple pour tâche de rallier les électeurs de Frankfurt et d’Aschaffenburg au parti du pape,ce qui lui vaudra de nombreuses faveurs. C’est en 1445 qu’il débute ses recherches àproprement parler sur la quadrature du cercle et en l’espace de quatorze ans, il publie douzetraités sur le sujet. Les sources utilisées par Nicolas de Cues sont peu claires : il semblepourtant qu’elles soient toutes latines – on ne retrouve aucune trace arabe –, et qu’elles secomposent principalement de quatre mathématiciens : Euclide, Campanus de Novare, ThomasBradwardine, Jean de Murs.

Nicolas de Cues se serait cependant peu inspiré d’Euclide, puisque des références àl’ uvre maîtresse du mathématicien, ses Eléments, n’apparaissent qu’au cours d’une secondeétude portant sur la quadrature, datée de 1450. D’autre part, il apparaît comme certain que leCusain se serait plus aidé de la nouvelle traduction d’Archimède que de l’ uvre d’Euclide.

L’influence de Campanus de Novare apparaît aussi modeste que celle d’Euclide ; celapeut cependant s’expliquer par la proximité existant entre l’ uvre de Campanus de Novare etcelle de Bradwardine. Le texte de ce dernier étant cependant plus complet que celle deCampanus de Novare, tout laisse à penser que Nicolas de Cues a porté un intérêt plus grand àce texte plus récent. On peut tout d’abord noter la parenté lexicale existant entre le texte deBradwardine et celui de Nicolas de Cusa : la question de l’irrationalité de π est évoquée dansles mêmes termes chez les deux auteurs. Le Cusain rapproche le problème de l’irrationalité deπ de celui de l’incommensurabilité de la diagonale et du carré. On peut également noter que leterme de « diamètre », qu’utilise Nicolas de Cues pour désigner la diagonale, est lui aussiemprunté à Bradwardine qui avait écrit : « Il est évident qu’une ligne moyenne en proportionentre le côté et le diamètre leur est incommensurable à la fois en longueur et en puissance ».

Lorsque Nicolas de Cusa tentera de donner une solution à la quadrature du cercle parla méthode de la moyenne proportionnelle, cette démonstration sera également issue d’uneétude de l’ uvre de Bradwardine. Il apparaît donc que Thomas Bradwardine est une sourcemajeure pour Nicolas de Cues.

Le dernier mathématicien qui a grandement influencé le Cusain est Jean de Murs,professeur à la Sorbonne au XIVème siècle. Il semblerait que ce soit sa principale uvre, Dearte mesurandi, que Nicolas de Cues utilise lors de ses recherches. C’est par la lecture de cetexte qu’il aurait découvert les grands principes du raisonnement archimédien et sesprincipales propositions sur la mesure du cercle.

C’est à partir de toutes ces recherches que Nicolas de Cues propose deux manières derésoudre la quadrature du cercle, en construisant un cercle et un carré de même aire :- la première est celle de la moyenne proportionnelle, empruntée à Bradwardine- la seconde est celle des isopérimètres, sur la base des recherches d’Archimède et de Jean

de Murs.(Le travail de Nicolas de Cues est présenté en ANNEXE 1)

Avec la méthode de la moyenne proportionnelle, Nicolas de Cues présente la figuresuivante :

q

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u

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Cependant cette démonstration présente une faille qui est de taille et qui, rend« inachevée » la démonstration de Nicolas de Cusa ; en effet, le Cusain suppose alors que lacirconférence du cercle initial est donnée, or c’est ici que se trouve le principal problème posépar la construction de la quadrature du cercle.

Pour la méthode des isopérimètres, Nicolas présente dans un traité de 1450 laconstruction suivante :

Mais Nicolas de Cues ne prend en compte qu’un seul type de proportion entre lesdifférents rayons qu’il présente : la proportion droite, c’est-à-dire qu’il considère que lesrayons croissent de manière proportionnelle tout au long de son étude, alors qu’en réalité,cette croissance progresse selon une fonction asymptotique qui tend vers l’infini (et parconséquent la différence entre les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone donnéne diminue pas de manière proportionnelle).

Cette erreur est détectée par un ami de Nicolas de Cues, le florentin Paolo Toscanelli,en 1453, qui lui écrit dans une lettre : « Mais s’il n’est pas vrai que la droite passe ainsi, maisque, d’aventure, une courbe de quelque courbure passe de la première du triangle par lespremières de tous les polygones jusqu’à la première du cercle, alors cette invention n’est passuffisante ». Cependant Nicolas de Cues ne considérera pas cette remarque comme importanteet croira que cette méthode permet la construction d’un carré ayant la même aire qu’un cercledonné.

Même si l’étude mathématique que présente Nicolas de Cues est relativement peuintéressante puisque ne présentant que des méthodes fausses, le Cusain propose tout de mêmeune interprétation très intéressante du problème de la quadrature du cercle. On suppose queNicolas de Cues s’est très largement basé sur l’étude de Proclus, mathématicien grec qui voitdans le cercle, la première, la plus simple et la plus parfaite des formes géométriques. Lecercle correspond au fini, à l’unité – en particulier grâce au caractère extrêmement régulier desa forme – . C’est pourquoi Proclus l’attribue au ciel, alors que les formes géométriques plus« rectilignes » sont attribuées à la génération. Même si Nicolas de Cues ne voit pas dans lecercle, comme Proclus, l’image du fini, il le considère néanmoins comme celui de l’éternité.Au Moyen Âge, le cercle est à l’origine du changement de considération de l’infini, quijusqu’alors était perçu de manière négative : en effet, la ligne circulaire devient l’image del’être parfait, l’image de Dieu. Cela va être très important pour Nicolas de Cues qui essaied’appliquer cela à la quadrature du cercle. Si l’on se rapporte au contexte historique, on peutremarquer que vers 1450, Nicolas de Cues commence une lutte acharnée contre les religieux

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qui se servent du pouvoir qu’ils exercent sur leurs fidèles pour en tirer un profit financier oupour mener une vie de repos. C’est à cause de cela qu’en 1452, Nicolas de Cues entre engrave conflit avec les religieuses de Sonnenburg – dont l’abbesse est Verena de Stuben – lesaccusant de mener une vie des plus libres, sous le couvert de l’austérité religieuse. Ce conflits’intensifie très largement et aboutit rapidement à un procès devant le pape, procès qui nuitfortement à la « popularité » de Nicolas de Cues. C’est pourquoi il se sert de ses recherchesmathématiques pour souligner le bien fondé de ses dires et l’importance de son jugement faceà celui de l’abbesse Verena de Stuben. En 1453 il propose donc dans un écrit, ComplementemTheologicum, une interprétation religieuse du problème de la quadrature du cercle. Si l’onreconsidère la figure que nous présente Nicolas de Cues avec la méthode des isopérimètres,on peut constater que le point q représente le point de jonction entre le rayon du cercle inscritet le rayon du cercle circonscrit. Le Cusain parle de « coïncidence du minimum et dumaximum ». La ligne ne serait pour Nicolas de Cues que le prolongement du point,prolongement continu et régulier que l’on pourrait qualifier de « parfait ». D’autre part,Nicolas considère que la coïncidence entre ce maximum et ce minimum correspond à Dieu etque par conséquent, le point q, point de jonction, n’est autre que Dieu. La résolution de laquadrature du cercle, construction de ce point q, serait donc l’accès à Dieu – d’après Nicolasde Cues – et par-là même au Paradis. Cette interprétation paraît d’autant plus vraie aux yeuxde Nicolas de Cues qu’il la seconde d’une autre forme d’interprétation aboutissant au mêmerésultat. Le cercle représenterait le ciel et le carré, la terre. La quadrature du cercle est donc lepassage de la terre au ciel, et donc la montée au Paradis. C’est en partie pour cette raison queNicolas de Cues n’accepte pas l’erreur que Toscanelli lui pointe du doigt, puisqu’elle remettotalement en question cette démonstration des isopérimètres (démonstration qui apparaîtcomme la plus proche du résultat et la plus fiable) et donc la montée au Paradis.

Ainsi, Nicolas de Cues présente une recherche tout à fait nouvelle tant par son côtémathématique, qui même s’il n’aboutit à aucun résultat, présente une nouvelle approche desmathématiques (pour la première fois, un mathématicien s’intéresse au comportement decourbes et de fonctions lorsqu’elles tendent vers l’infini), que par son côté théologiquepuisque Nicolas de Cues tente de donner une explication à ce problème mathématique. C’estpour cette raison que d’autres religieux, tels que Grégoire de Saint-Vincent, chercheront à leurtour à résoudre le problème de la quadrature du cercle, dans le but de prouver l’existence deDieu.

Il est également intéressant de noter qu’à la fin du XVème siècle, début du XVIème,Oronce Fine (1494 – 1555) présente dans son uvre De quadratura circuli une constructionde la quadrature du cercle, assez fidèle à la « réalité », à l’aide de ce qu’il appelle « ladimension parfaite ». Cette « dimension parfaite » n’est en réalité qu’une extension dunombre d’or, définit de la sorte :

Si l’on suppose que x et y sont deux grandeurs (avec x < y ), on a :

Pour trouver la proportion reliant x à y il suffit de donner à x une valeur particulière (parexemple 1) et de résoudre l’équation qui en découle :

xy

yx + y

=

1y

y1 + y

=

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20

soit :

dont la seule solution est y = , qui est le nombre d’or.

Dans sa démonstration, Oronce Fine considère un rectangle ABCD construit selon laproportion du nombre d’or. On construit dans ce rectangle un carré ABEF. A côté de ce carréreste un rectangle CDEF, ayant les mêmes proportions que le rectangle initial. On réitère cettedémarche une infinité de fois, en obtenant toujours des rectangles qui sont alors ditssemblables. D’où la figure :

A partir de ce principe, Oronce Fine définit le carré « parfait » et le cercle « parfait » eten déduit que les deux figures présentent des aires proportionnelles (à partir desquelles onpeut construire le carré et le cercle ayant la même aire).

La construction présentée se révèlera toutefois n’être qu’une approximation des valeursexactes, et les autres mathématiciens du XVIème siècle chercheront à résoudre ce problèmede la quadrature du cercle, pour lequel on n’avait jusqu’alors trouvé qu’une approximation(qui même si elle était très précise n’était pas la valeur exacte).

y² - y - 1 = 0

√5 + 12

D F A

B

IGJ

C H E

KL

√5 + 12

1

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B) Les XVI & XVIIème siècle.

Au XVIème siècle, l’Europe connaît un total renouveau ; en effet on voit apparaîtreun courant d’idées tout à fait nouveau: on parle alors d’Humanisme. Ce courant préconise leretour aux valeurs anciennes, en particulier à celles de l’Antiquité. Cela s’exprime sousdifférentes formes : art, architecture, littérature (on peut par exemple constater un retour auxgrandes tragédies sur le modèle grec). Le domaine des mathématiques est touché autant queles autres. C’est pourquoi les scientifiques perçoivent le problème de la quadrature du cerclesous un angle différent de celui présenté par Nicolas le Cusain. On s’attache de nouveau auxdémonstrations grecques (alors que certaines avaient été jusqu’à présent remises en cause auXVème siècle) et en particulier à celle d’Archimède. Ainsi, en 1586, Ludolph à l’aide d’unedémonstration très proche de celle du Syracusain présente un encadrement des valeurs durapport entre le cercle et le carré qui permettrait la résolution de la quadrature du cercle. Lerapport devait être supérieur à 3,141557587 et inférieur à 3,141662746. Il ne s’agissait enréalité que d’un encadrement de la valeur de π. Cependant ses recherches aboutiront à uneplus grande précision du rapport de la circonférence au diamètre qui sera de 34 chiffresexacts.

Les premières valeurs trouvées par Ludolph seront reprises peu de temps après parAdriaan Anthonitz qui, sûrement à l’aide de l’algorithme d’Euclide, en déduisit unencadrement rationnel :

Si l’on nomme R ce rapport entre la circonférence et le diamètre, on a :

3 + < R < 3 +

Il déduisit de cet encadrement une valeur moyenne, sans dévoiler sa démarche pour arriver aurésultat suivant :

R= 3 + 15+17120+106

Soit R = 355113

Cette approximation fut désormais appelée approximation de Metius, qui proposeune approximation de la valeur exacte à 10-6 près, présentée par Adrien Métius, dans saGéométrie Pratique (1611) ; il écrit : « ad suam diametrum esse minorem quam 3(17/120)hoc est (377/120), vero quam 3(15/106) hoc est (333/106), quarum proportionum intermediaexistit 3(16/113) sive (355/113). Quae quidem intermedia proportio aliquantulum existitmajor, quam ea, quam inventit M Ludolph a Collen, cujus tamen differentia est minor quam(1/1000000) ». Dans ce texte latin, Metius ne fait que rappeler la démarche ci-dessus enminorant et majorant le rapport.

Puis, en 1593, partant d’une figure d’Euclide, Viète donne le premier algorithme infiniconnu, établissant le rapport du carré au cercle circonscrit qui correspond au produit suivant :

15

106

17

120

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Où chaque facteur fn est déduit du précédent par la récurrence :

Les autres mathématiciens du XVIème siècle s’inspirent – tout comme Ludolph – del’ uvre d’Archimède mais n’obtiennent aucun résultat. Ils arrivent cependant à la déductionque tout le problème est basé sur la valeur de π : si l’on arrive à trouver cette valeur (on nesait pas encore que π est irrationnel), le problème de la quadrature du cercle sera résolu.

A la fin du XVIème siècle (début du XVIIème), Grégoire de Saint-Vincent propose unerésolution de la quadrature du cercle.

Né le 8 septembre 1584 à Bruges, il fait ses premièresétudes à Douai (entre 1601 et1605) puis entre au noviciat deRome le 21 octobre 1605, où il deviendra en 1607, l’élève deClavius. Grégoire de Saint-Vincent ne cessera pas, tout au longde sa vie, de voyager à travers l’Europe ; ainsi, entre 1608 et1613, il enseigne les mathématiques à Louvain, puis en 1613,le grec à Bruxelles, il devient surveillant au Collège de Bois leDuc au cours de l’année 1614 et arrive enfin à Anvers le 15avril 1615 où il enseigne les mathématiques. En 1617, annéede la mort du Père François d’Aguillon – grand professeur demathématiques et architecte – Grégoire de Saint-Vincent leremplace en tant que professeur et même en tant qu’architecte.

Grégoire de Saint-Vincent

Il ne reste cependant pas longtemps à Anvers puisque de 1621 à 1624, il est professeurde mathématiques à Louvain, où il fait défendre plusieurs thèses de mathématiques ; à lamême époque, il commence à se consacrer à ce qui sera son uvre maîtresse, l’Opusgeometricum. C’est d’ailleurs au sujet de cette uvre qu’il effectue un voyage à Rome en1625, pour en discuter avec un autre mathématicien, Grienberger, où il restera jusqu’en 1628,date à laquelle il part pour Prague. A Prague, Grégoire de Saint-Vincent enseigne lesmathématiques au Collège Saint-Clément jusqu’en 1631. Cependant son uvre en tantqu’architecte crée de nombreuses discussions, et, en 1632, il quitte Prague pour Gand où ilrestera jusqu’à la fin de sa vie.

Quant au problème de la quadrature du cercle, il expose des résultats très détaillés dès1625, en s’aidant beaucoup des recherches antiques. Malheureusement, il perd de nombreuxdocuments lors de l’incendie qui ravagea Prague. Ce n’est donc qu’en 1647 qu’il présente laplupart de ses recherches, dans une uvre intitulée Opus geometricum quadraturae circuli et

12

12

12

12

+

12

12

+ fn-1fn =

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sectionum coni. Grégoire de Saint-Vincent démontre tout d’abord la quadrature del’hyperbole et essaie ensuite d’appliquer ses résultats au problème de la quadrature du cercle.(La démonstration de Grégoire de Saint-Vincent est en ANNEXE 2).

Malgré une erreur dans sa démonstration, Grégoire de Saint-Vincent marquerabeaucoup les esprits des mathématiciens du XVIIème siècle qui n’hésiteront pas à reprendreses recherches. Il est d’ailleurs intéressant de noter qu’à partir de 1650, Grégoire de Saint-Vincent entretient une importante correspondance avec Huygens, ce qui peut laisser supposerun échange de démonstrations entre les deux mathématiciens

C’est sur ces dernières découvertes que débutent les recherches du XVIIème siècle. La plupartdes mathématiciens chercheront, comme nous l’avons dit, une valeur de plus en plus prochede la valeur de π – puisqu’ils considéraient que π était rationnel – mais pas de constructionsparticulières liées au problème en lui-même. Ce n’est qu’en 1645 que Roberval propose uneapproche différente, en présentant une nouvelle quadratrice. Cette découverte établit un lienfondamental entre la détermination des tangentes et le calcul des aires. On a la figuresuivante :

Ainsi, on peut obtenir une bonne approximation de la quadrature du cercle, si l’on construitun carré dont l’aire soit égale à la partie hachurée en rouge et un cercle dont l’aire soit lamême que celle de la partie hachurée en bleu, soit comme la figure suivante :

Roberval présente sa proposition le 1er janvier 1646 à Torricelli qui en trouveimmédiatement une démonstration, qui facilite la réalisation des quadratures d’hyperboles.

Γ

Tx’ A m x

N M C

Roberval écrit: « Soit une courbe convexe AC, et un axe x’Ax. En un point courant Mon mène une tangente MT qui rencontre l’axe en T. La perpendiculaire à l ’axe en T etsa parallèle issue de M se coupent en N. Soit AΓ la courbe lieu de N: les airescomprises entre la courbe AC, l’ordonnée Mm, et la portion Am de l’axe d ’une part lacourbe AC, la parallèle NM à l’axe et la courbe AΓ d’autre part sont équivalentes. »

Γ

Tx’ A m x

N M C

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Cette « quadratrice de Roberval » est utilisée plus tard par James Gregory, puis reprise parLeibniz qui en déduit la relation suivante :

Quelques années plus tard, en 1655, John Wallis propose un autre produit infini dansArithmetica Infinitorum, qui restera célèbre :

Il applique sa formule au problème de la quadrature du cercle sous la forme suivante :En appelant R le rapport de l’aire du carré circonscrit à celle du cercle (qui est

équivalent au rapport 4 ), il écrit :

On peut expliquer cette formule de la manière suivante :Si, pour calculer le rapport R on décide de s’arrêter lorsque les deux derniers facteurs

du produit seront :

en multipliant le résultat par :

on aura une valeur majorant le nombre recherché, car chez Wallis, les rapports s’identifient

aux nombres, et en multipliant ce même résultat par :

on aura au contraire une valeur minorant le nombre cherché.On peut déceler ici une volonté d’encadrer la valeur cherchée le plus précisément

possible, proche de celle d’Archimède. Si l’on nomme P2n le produit tel qu’il est à la valeuron a donc :

π4 1 - 1

3+ 1

5= …

π2

89

87

67

65

45

43

21

23

. . . . . . .= …

3 x3 x5 x5 x7 x7 x9 x9 x11 x11 x13 x 13

2 x4 x4 x6 x6 x8 x8 x10 x10 x12 x12 x 14x 1 1

113

3 x3 x5 x5 x7 x7 x9 x9 x11 x11 x13 x 13

2 x4 x4 x6 x6 x8 x8 x10 x10 x12 x12 x 14x 1 1

14

minor quam

major quam{R

2n - 12n - 2

2n - 1 2n

et

12n - 11 + 2n

2n - 1soit par

1 2n1 + 2n + 1

2nsoit par

2n - 12n - 2

2n2n - 1

2n + 1 2n < RP2n x P2n x

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On obtient ici une marge d’erreur inférieure à la différence de deux bornes, soit à :

Ainsi, le produit infini de Wallis ne tend vers sa limite que d’une manière très lente.L’exactitude de cette formule sera cependant très souvent contestée par les contemporains deWallis, c’est pourquoi, un ami de Wallis, Lord Brouncker décide de prouver la justesse ducalcul. Il constate tout d’abord que cette méthode permet de donner une approximation durapport de la circonférence sur le diamètre telle qu’il soit :

- majoré par 3.141592653569…- minoré par 3.141592653696…

un résultat présentant une valeur approchée de π très satisfaisante.On peut déduire de ce résultat la figure suivante, présentant une construction approchée de laquadrature du cercle :

en prenant C = 1 u.a. (unité arbitraire) on a d = 0,31830988618 u.a.et A = 0,0795774711545 u.a., d ’où a, longueur d ’un côté du carré ABCD :

a = A= 0,2820947917722 u.a.(la figure ci-dessus a été agrandie en respectant les proportions, afin de paraître plus claire)

A côté de cette approximation, Lord Brouncker trouva une expression infinie de R, à savoir :

P2n

2n (2n - 1)~_ R

2n

}

a

d

ΓA B

D C

Si l’on prend une valeur moyenne du rapport présenté par Lord Brouncker (rapport entre lacirconférence C du cercle Γ et son diamètre d, ) , 3,1415926536275, on obtient :

= 3,1415926536275.

Cd

Cd

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soit cet encadrement de R :

D’autres mathématiciens tentèrent de trouver une approximation de π, parmi lesquelsMercator, Newton et Leibniz : la plupart de leurs recherches utilisent les propriétés du sinus etde la tangente, et aboutissent au résultat suivant :

4 = 1- 13 + 1

5 - 17 + … = Arc tan 1

2 + Arc tan 13

Huygens est le dernier mathématicien à obtenir des résultats basés uniquement sur lesprocédés des grecs. Son premier ouvrage, publié en 1651, Theoremata de quadraturahyperboles, ellipseos et circuli ex data portionum gravitatis centro, reflète beaucoupl’influence de sa correspondance avec Grégoire de Saint-Vincent (puisqu’il avait lui-mêmeproposé un résultat pour la quadrature des hyperboles). Mais c’est en 1654, lors de la parutionde son petit traité, De circuli magnitudine inventa, qu’est très fortement mise en avant del’importance accordée aux grecs au XVIIème siècle : ce traité est l’une des meilleuresillustrations de l’influence des mathématiques grecques sur la science moderne.

Enfin, en 1685, le jésuite polonais Kochansky – ou Koskansky – propose uneconstruction de la quadrature du cercle qui est la suivante :

Pour laquelle il propose : AB = AC = 1

R =1

2 + 92 + 25

2 + 492 + 81

2 + …

1 +

1

2 + 92 + 25

2 + 49

1 +

9

25

1

2 + 92 +

1 +

7

< R <

3C E

DB

A

30°

BAD = 30°

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CE = 3

Son erreur est faible puisque l’on aboutit à une approximation à 1,8 x 10-5

Telles sont les principales études faites au XVIIème siècle. D’autre part, on peutsouligner le fait qu’en 1667, James Gregory pressent l’impossibilité de la quadrature ducercle, en essayant de démontrer que π est un nombre transcendant (que l’on ne peut pasconstruire), mais cette éventualité est très vite écartée par les mathématiciens du XVIIIème

siècle car aucun ne continuera – ni même envisagera – des recherches dans ce sens.

BC² + (CE - BD)²

4 + (3 - 1/√3 )²

40/3- 6/√3

ED =

=

=

= 3,141533 ≈ π

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C) Le XVIIIème siècle ou siècle des Lumières.

Au XVIIIème siècle, le problème de la quadrature du cercle n’est toujours pas résolu etce siècle voit s’attaquer au problème, bon nombre de personnages, plus ou moinsmathématiciens voire scientifiques. Ce siècle présente de nouveau un tournant dans laperception de ce problème ; il n’est plus désormais considéré comme la continuation duproblème posé par les Grecs, mais seulement comme un défi : réussir là où lesmathématiciens, pendant plus de trois millénaires ont échoué. C’est pourquoi ce problème dela quadrature envahit tant les esprits – même s’il ne s’agit que d’un nombre restreintd’« initiés » – comme le souligne Jean Etienne Montucla dans un livre publié en 1754,Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, dans lequel il présente d’une manièreparticulièrement critique ses contemporains.

Le XVIIIème siècle présente plusieurs innovations par rapport aux siècles précédents :on peut tout d’abord noter l’élargissement du nombre de personnes intéressées par leproblème de la quadrature du cercle : il ne s’agit plus seulement de mathématiciens mais ausside nobles, voire de valets de chambre ou de simples commis. Il est fort probable que cechangement soit dû à la publication de plus en plus fréquente des tentatives de quadrature :alors qu’avant seuls les mathématiciens particulièrement sûrs de leurs constructionss’aventuraient à les publier, et le plus souvent les accompagnaient d’autres recherchesmathématiques, désormais, quiconque a une idée de construction dévoile celle-ci aux yeuxd’un public plus large (n’incluant pas que des mathématiciens), cherchant parfois plus sonapprobation que celle de l’Académie des Sciences. Ces innovations sont l’expression mêmedes principes des Lumières : apporter le savoir à une plus grande catégorie de personnes(l’Encyclopédie en est la preuve) grâce à l’impression de petits journaux scientifiques. Il esttout de même important de souligner que lorsque l’on parle d’une ouverture des sciences,celle-ci reste cependant très relative : la majorité de la population n’y a pas accès. On peutenfin noter une importance grandissante de l’argent dans les recherches : beaucoupdemandent des subventions pour financer leurs recherches qu’ils considèrent commeimportantes, d’autres mettent de l’argent en jeu pour que l’on trouve l’erreur – inexistanteselon eux – qui anéantirait leur démonstration (on peut reconnaître encore une fois unemarque du XVIIIème siècle, siècle décadent au cours duquel la France se ruine dans lesguerres d’Amérique et dans un luxe impressionnant).

C’est pour toutes ces raisons que l’on compte au XVIIIème siècle plus de 150 fauxquadrateurs (on entend par faux quadrateurs tous ceux qui ont présenté une tentative deconstruction, le plus souvent en passant outre les règles mathématiques). Nous étudierons lescas de quelques-uns de ces faux quadrateurs, en particulier les plus représentatifs de l’étatd’esprit de cette époque.

Le premier faux quadrateur auquel nous allons nous intéresser est Jacques Mathulon,médecin, qui publie en 1726 deux brochures présentant des démonstrations de la quadraturedu cercle, à savoir Essai de géométrie et de physique et Réponses aux objections faites surdivers endroits d’une brochure qui a pour titre « Explications nouvelles » (la brochure dont ilest question est une uvre de ce même Mathulon, publiée en 1624, présentant une théorie surla circulation du sang chez les animaux ou autres phénomènes biologiques et physiques). Cesdeux brochures ont très peu d’écho à leur publication, c’est pourquoi Mathulon propose lasomme de 3125 louis d’or à quiconque démontrera que ses démonstrations sont fausses. Ce« défi » produit, comme l’espérait le médecin, une forte réaction dans les lecteurs du Mercurede France (petit journal dans lequel fut publiée cette proposition de Mathulon), et en 1727François Nicole démontre dans le Journal des Savants que les démonstrations de Mathulonsont fausses ; cependant le médecin ne reconnaît pas immédiatement l’article de Nicolecomme valable puisque ce dernier de souligne pas de manière précise l’erreur commise ; il en

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résulte que la somme est versée aux pauvres. Cependant ce « défi » marque la début d’uneperception de la quadrature du cercle tout à fait nouvelle : en effet, la publication estdésormais chose courante et l’argent devient la plus grande motivation de bon nombre desquadrateurs. Mathulon, malgré son premier échec, n’abandonne pas pour autant sesrecherches sur la quadrature : il envoie un troisième mémoire à l’Académie Royale desSciences en 1732, et refuse de reconnaître ses erreurs ; le mathématicien nommé parl’Académie est l’abbé Camus, qui écrit à ce sujet : « Nous avons premièrement examiné sesprétendues démonstrations où nous n’avons rien trouvé de solide ni de suivi, nous n’y avonstrouvé que des contradictions manifestes dont il n’a point voulu convenir, et qui plus est, il aprétendu que toutes ses démonstrations subsisteraient toujours à moins qu’on ne lui donna lavaleur de sa ligne et qu’on lui fit voir qu’elle est plus grande ou plus petite que l’arc de 45° »

Lorsque plus tard, l’abbé Camus prouve que la ligne en question (censée être égale auquart de cercle) conduit à une valeur de π = 3,1579959 – valeur très éloignée de celle trouvéepar Archimède – Mathulon acceptera son erreur et cessera toute recherche à ce propos. Mêmesi au point de vue mathématique, ses recherches furent peu fructueuses, Mathulon de par lasomme considérable mise en jeu instaure une nouvelle conception de la science, illustrationdu contexte historique où l’argent joue un rôle fondamental dans une société cupide etdépensière outre mesure. Les recherches de Robert Basselin sont également extrêmement intéressantes. Ceprofesseur de philosophie à la Sorbonne contestera pendant près de dix ans le jugement donnépar l’Académie des Sciences au sujet de sa quadrature publiée en 1735. Sa démarche est lasuivante : à partir d’hexagones inscrits et circonscrits au cercle initial, il définit différentesfigures rectilignes ou mixtilignes, ainsi que des lunules dont il tente dévaluer les aires. Mêmesi elle peut paraître fort intéressante, sa démonstration n’en reste pas moins complexe etl’académicien Clairaut, chargé de l’étude, le souligne en ces termes : « Il serait extrêmementdifficile de rendre compte du chemin de la solution parce qu’elle est fort enveloppée, quel’auteur emploie un langage tout particulier qui ne nous est pas assez familier pour en fairepart à la compagnie »

D’autre part, il apparaît que Basselin aurait considéré à tort comme la valeurexacte de 17. Mais cette erreur est considérée par Basselin comme marginale et ce derniercontinue ses recherches dans ce sens. Ainsi selon lui, quatre surfaces sont en progressionarithmétique – alors qu’en réalité trois seulement vérifient cette progression – à partir delaquelle on peut trouver un rapport entre ces surfaces. De plus la valeur de π trouvée parBasselin reste plausible (π = 3,1416), c’est pourquoi celui-ci proteste lourdement contre lesdécisions de l’Académie, à un point tel que celle-ci décide de porter l’affaire sur la placepublique. Cette affaire est analysée par Grante dont la conclusion se rapproche beaucoup decelle de Clairaut. Cependant Basselin poursuit dans son erreur et envoie de nouveau un texte àl’Académie en 1742, mais celle-ci, lassée ne répondra pas. (La figure de Robert Basselin esten ANNEXE 3). Peu de temps après, Ancelot, curé du Laonnais et maître ès arts à l’Université de Pariscommence lui aussi à s’intéresser au problème de la quadrature du cercle. Il enverra plus dedix mémoires à l’Académie des Sciences entre le 10 janvier 1742 et le 3 juillet 1745. Lesdifférents rapports de l’Académie au sujet de ses recherches dénotent clairement son erreur.Cependant Ancelot continue à croire que sa méthode est la bonne et assaille l’Académie demémoires, c’est pourquoi en 1743, celle-ci décide de ne plus étudier les rapports d’Ancelot,mais elle continuera cependant à répondre au maître ès arts. Après de nombreux essais,Ancelot arrête toute étude du problème en 1745, lassé de la réponse toujours négative del’Académie des Sciences. (La construction d’Ancelot est présentée en ANNEXE 4)

194 +

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Puis, en 1743, alors que l’Académie refuse les travaux d’Ancelot, Pierre Liger, commisau bureau de la guerre, se lance dans l’étude du problème mathématique. Pierre Liger contestedès le début de son étude les recherches grecques, en particulier celles d’Euclide. D’unemanière générale, Pierre Liger aura peu de relations avec l’Académie – sans doute car safortune trop modeste ne lui permet pas de publier toutes ses recherches – . Liger affirme toutd’abord que « la diagonale, une fois reconnue pour être commensurable avec le côté, lechapitre tout entier de l’incommensurabilité n’est que vanité et illusion » (référence aureproche que lui a fait Nicole, académicien chargé de l’étude du premier mémoire de Liger,publié en 1743). En fait Pierre Liger considère que si l’on utilise deux sortes d’unités, alors onpeut en déduire que dans ce cas – et dans ce seul cas – la diagonale est commensurable aucôté du carré. Pierre Liger ne s’intéressera pas à la quadrature du cercle par goût particulierpour le problème, mais parce qu’étant au fait de tous les problèmes de son époque, il a parconséquent connaissance des recherches de Basselin et de la polémique qui s’est dégagée deson étude. C’est pourquoi pendant dix ans Pierre Liger tentera de trouver une construction quipourrait résoudre le problème, sans toutefois obtenir de résultat satisfaisant. Montucla dira delui qu’il « a rempli de Mercure de France de folies semblables sur la quadrature du cercle » (leMercure de France est alors le journal scientifique de l’époque).

Les différentes publications ne paraîtront pas seulement en France, puisqu’en 1745, lesuisse Jean Defauré, prétendant être « docteur enseignant les mathématiques », débute desrecherches sur la quadrature du cercle qui dureront pendant près de vingt ans. Alors qu’il estâgé d’environ cinquante ans, Jean Defauré grâce à l’ uvre d’Euclide, envoie une premièrequadrature à l’Académie. N’obtenant pas de réponse, il en présente une seconde, dans laquelleil suppose que « pour trouver la quadrature de tout cercle donné, il faut savoir partager untriangle inconnu en deux parties égales ». L’Académie ne réagissant toujours pas, Defauré serésigne alors à publier deux fascicules proposant ses démonstrations. Dans ces fascicules,

J. Defauré propose également une application « pratique » de la quadrature du cerclepuisque selon lui elle permettrait de trouver les longitudes. Mais ses publications ne vont pasplus loin, faute d’argent ; c’est pourquoi il s’adresse de nouveau à l’Académie, demandantune subvention pour faciliter ses recherches qui prennent désormais une seconde proportion.Peu de temps après J. Defauré pense démontrer qu’Archimède a commis une erreur dans sadémonstration, de la manière suivante : en partageant le diamètre en 7 parties égales, il porteensuite 22 fois cette division sur la circonférence du cercle en définissant 22 cordes sur lepourtour du cercle. Il pense établir ainsi que le rapport du cercle au carré du rayon estsupérieur à 22/7 et qu’Archimède s’est trompé. Mais tous ses mémoires restent ignorés parl’Académie, c’est pourquoi, en novembre 1757, il fait appel à des personnes qui seraientprêtes à verser la somme de deux mille Louis neufs d’argent de France pour financer sesrecherches, en échange de quoi, il s’engage à publier toutes ses recherches ; d’autre part, sil’Académie prouve que son résultat est correct, elle devra lui verser cette même somme.L’Académie désigne Bezout pour répondre négativement à le demande de Defauré. Ladernière uvre publiée par Defauré est une nouvelle épreuve de son ouvrage d’origine : Lecercle primitif, en 1768, en présentant le rapport du diamètre au cercle comme étant (7/22) +(10/81). Pendant que Defauré tente de se faire entendre de l’Académie, le Chevalier de Causans,dont la noblesse remonte au XIème siècle, lieutenant du Roi, commence à s’intéresser à laquadrature alors qu’il faisait couper une pièce circulaire de gazon. Dès 1753 et pendant septans, jusqu’à son mariage en 1760, il inondera l’Académie de mémoires et publiera bonnombre de prospectus pour « forcer » l’Académie à regarder ses documents.

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Lors de la première publication, le Chevalier de Causans propose 4000 souscriptionsde 1000 livres chacune pour le soutenir dans sa démonstration et s’engage à restituer 1500livres à chaque souscripteur de 1000 livres, en cas de réfutation de sa démonstration. Nerecevant aucune réponse de l’Académie – qui refuse de se prononcer sans autorisation royale– il envoie de nombreuses lettres demandant l’examen des ses mémoires. En 1754, deCausans publie sa première quadrature, puis une seconde qui conduit à π = 4. Aucun savantne s’intéressant au travail du chevalier de Causans, celui-ci fait poser des affiches dans Parisannonçant qu’il offrait mille livres à tout savant qui pointerait du doigt l’erreur – si erreur il yavait – qui empêcherait la résolution du problème. Cette fois, les réactions sont nombreuses :on peut citer parmi les mathématiciens Pierre Estève, et même Louise Angélique Lemire.L’erreur est rapidement trouvée et le chevalier ne pouvant payer la somme fait appel au Roi,qui déclare que les actions en justice à ce propos sont annulées et les paris déclarés nuls. Maisnon content de cette première « défaite », le chevalier assaille de nouveau l’Académie en1755 ; toutes ses recherches sont de nouveau déclarées non valables, c’est pourquoi il cesseratoute recherche pendant deux ans. Mais en 1757, il présente une nouvelle valeur de π (π =3,125). Cette succession d’erreurs fait comprendre au Chevalier de Causans qu’il a besoind’un professionnel, c’est pourquoi il s’adresse à Vaussenville, qui fait apparaître l’intérêtfinancier de ces recherches. La dernière trace écrite du Chevalier de Causans est datée du 17mai 1760 où il demande encore une fois à l’Académie de se prononcer à propos d’unenouvelle quadrature. Son mariage avec Marie-Madeleine de Villeneuve-Martignan marque unterme définitif dans ses recherches mathématiques.

Le dernier faux quadrateur que nous allons étudier est Dufe Delafrenaye, valet dechambre du Duc d’Orléans, dont les textes seront présentés à l’Académie entre 1772 et 1775.Il part d’une nouvelle définition de la racine carrée, puisqu’il la présente comme la huitièmepartie d’un nombre quelconque : ainsi la racine carrée de huit est un, celle de 16 est 2. Il s’agitalors de trouver un carré dont la surface soit la même que celle d’un cercle. Il suppose commeadmis le fait que le rectangle dont la largeur est le quart du périmètre d’un cercle et dont lalongueur est le diamètre a la même aire que ce cercle. Il arrive ainsi à une valeur de π = 3,16.Malgré cette erreur il présente une autre quadrature à l’Académie des Sciences en 1775, àl’occasion de laquelle celle-ci décide de ne plus étudier de mémoire se rapportant au problèmede la quadrature du cercle.

Ainsi ce siècle des Lumières voit un nouveau jour dans la recherche scientifique quiest désormais bien plus ouverte (même si l’exemple du Chevalier de Causans soulignel’avantage de la noblesse sur les autres « chercheurs »). Malgré le peu de résultats cetteépoque est fertile en échanges d’opinions et même en recherche mathématiques puisqu’en1761, Lambert démontre l’irrationalité de π (démonstration présentée en ANNEXE 5), ce quimet un terme à bien des recherches en ce sens, c’est pourquoi, au XIXème siècle, lesmathématiciens chercheront des constructions directes de la quadrature du cercle (car π n’enest pas pour autant non constructible) ou à partir d’approximations de π.

Illustration issue du mémoire du Chevalier de Causans

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III) Du XIXème siècle à nos jours.

A) Les tentatives de construction.

Au XIXème siècle, la plupart des constructions proposées se fondent sur les valeursapprochées de Pi. A cette époque, on ne se proposait plus de trouver une quadrature« exacte » du cercle, mais on exigeait une construction aussi précise que possible.

Plusieurs géomètres ont présenté des constructions pour la rectification approchée dela circonférence, et la quadrature du cercle. Nous allons présenter ici les constructions les pluscélèbres et relativement simples.

1. Quadrature du cercle par rectification de la circonférence :

a) Principe :

Soit (O) le cercle à quarrer. AB étant son diamètre. Supposons que AD est égale à lacirconférence du cercle. On a : AD= 2AD’.Ainsi, AD’ est égale à la demi-circonférence du cercle.

La perpendiculaire à AD’ passant par O coupe le cercle de diamètre AD’ en F. AF estdonc un côté du carré AFGH de même aire que le cercle (O).

En effet : AD’= π.RD’après les relations métriques dans un triangle rectangle, on a :

AF²=AO.AD’ ainsi AF²=π.R² c’est à dire l’aire du cercle (O)D’où la rectification de la circonférence permet de quarrer le cercle.

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b) Rectification de la circonférence du cercle:

• Construction de Specht : indiquée dans le Journal de Crelle (T.III,p.83-1836)

Construction: (O,R) : AO=RAB=2R

BC= 15 R

CD= 25 R

AE= OC

(EF)//(OD)

Conclusion: AF≈ 2πR

Démonstration: OC = 1+

11

5² alors AE = 146

5

Or AFAE = AD

AO d’où AF = AE.135

AF2 = 3,1415919

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2. Quadrature par détermination d’un côté du carré équivalent :

• Construction de Ramanujan

RAMANUJAN, Srinivasa (1887-1920)Grand mathématicien indien, génie du 20ème siècle. Ramanujan amontré de grandes aptitudes pour les maths durant sa scolarité. Ilest également un passionné de π. Il est l’auteur des nombreusesformules, fractions continues de π (dont il ne donne pas dedémonstrations) et denombreuses quadratures approchées du cercle.On va proposer ici la construction considérée comme « la plus

simple » fondée sur une valeur approchée de π : π= 355113

Construction: (O) de diamètre ABAB = 2

AM =12 ; BT = 1

3PT ⊥ AB ; P∈ (O)BQ=PT; Q∈ (O)(OS)//(BQ) ; (TS)//(BQ)(AC)⊥(AB) et AC= RSAD=AS ; D∈(O)BE=BM; (EX)//(CD)Conclusion: BX ≈ πDémonstration:

PT= 53 (d’après les relations

métriques dans un triangle rectangle :∆APB rectangle en P)

AQ= 313 ; AS= 31

6 et SR= 319

AD= 316 et AC= 31

9

BC= 3559 et BD= 113

6 ; BE= 32

BX = BC.BEBD

BX= 355113 = 1.772453926

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35

B) L’impossibilité de la quadrature du cercle.

Pourquoi un problème qui paraît simple : construire un carré dont la surface est égale àcelle d’un cercle donné, a présenté autant de difficultés aux mathématiciens durant plus de2000 ans ?

La réponse est simple : une telle construction est impossible à la règle et au compas.L’idée de l’incommensurabilité du nombre π a été soupçonnée depuis très longtemps,

mais elle n’est démontrée qu’en 1882. Nous allons retracer le chemin qui mène àl’impossibilité de la quadrature du cercle, histoire de retracer les progrès mathématiquesdepuis le 17ème siècle concernant le nombre π et l’arithmétique en général.

• GREGORY, James (1638-1675)

Astronome et mathématicien écossais, professeur à St. Andrews etEdimbourg, l’inventeur du télescope à réflexion qui portera sonnom. On lui doit d’importantes contributions portant sur le calculintégral et les développements en série des fonctions (notammentcelui de la fonction arc tangente).L’impossibilité de la quadrature du cercle a été ressentie parJames Gregory, qui avait tenté de la démontrer géométriquementdans Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura. D’abord, ildémontre que le rapport de la surface d’un secteur quelconque àcelle du polygone inscrit ou circonscrit ne peut être exprimé parun nombre fini de termes algébriques pour ensuite, en déduire que

la quadrature du cercle est impossible. Cette démonstration est conçue comme valable pourMontucla (auteur de Histoire des recherches sur la quadrature du cercle), mais elle n’estcertainement pas concluante. En effet, il est possible de former un carré dont la surface soitégale à celle d’un certain secteur particulier, et ce secteur particulier peut être le cercle entier.

• LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

Philosophe, savant, juriste et diplomate allemand, fondateur, en1700, de l’Académie des sciences de Berlin. Il s’agit d’un despremiers mathématiciens qui inventent le calcul différentiel etintégral (cf. Nova methodus pro maximis et minimis, 1684-1686). Il se consacrera également au développement en série desfonctions, notamment celui des fonctions trigonométriques. Ilobtient la relation suivante (1683):

sinx = x – x3

3! +x5

5! –x7

7!......

Ainsi, l’équation naturelle sinx = 0 dont π est racine est de degréinfini. Leibniz se convaincra de l’impossibilité de la quadrature

du cercle en en déduisant qu’il est impossible de représenter par une équation de degrédéterminé la relation entre un arc et le sinus.

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• LAMBERT, Johann (1728-1777)

Mathématicien allemand. Ses principales contributionsmathématiques se portent sur l’irrationalité du nombre π et lesfonctions hyperboliques. Dans son livre Die Theorie derParallellinen (1786), il prévoit la découverte des géométries non-euclidiennes. Quand Frederick II lui demanda dans quelle scienceil était le plus compétent, Lambert répondit modestement «Tout ».

La démonstration de l’irrationalité de π ne permet pas dedémontrer l’impossibilité de la quadrature du cercle, car il estpossible de construire certains nombres irrationnels à l’aide d’unerègle et d’un compas ( 2 par exemple).

• WANTZEL, Pierre-Laurent (1814-1848)

Mathématicien français, professeur à l’Ecole Polytechnique. Il s’est particulièrementintéressé aux problèmes de constructibilité au sens d’Euclide.

En s’appuyant sur les résultats d’Abel relatifs aux équations algébriques, Wantzel réussit àprouver (1837) dans un mémoire intitulé Recherche sur les moyens de reconnaître si unproblème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas, le théorème suivant :

Tout nombre constructible x est racine d’un polynôme à coefficients entiers et ledegré du polynôme minimal admettant x comme zéro est une puissance de 2.

Ainsi, tout nombre constructible est algébrique. Une conséquence du théorème deWantzel est que, si π n’est pas algébrique (dit transcendant par Liouville), la quadrature ducercle sera impossible. En effet, la rectification de la circonférence et la construction du côtédu carré équivalent sont impossibles car π et π ne sont pas algébriques.

Par contre, le théorème de Wantzel n’énonce qu’une condition nécessaire pour qu’unnombre soit constructible. Cette condition n’est pas suffisante.

• LIOUVILLE, Joseph (1809-1882)

Mathématicien français, Liouville est le premier qui a explicitél’existence des nombres non algébriques (dits transcendants).Un nombre est algébrique s’il est racine d’un polynôme non nulà coefficients entiers et qu’il est dit transcendant dans le cascontraire.

Il a également prouvé que la somme :

était transcendante pour n, réel et plus grand que 1. Pour n=10,la somme obtenue est appelée « constante de Liouville ».

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• HERMITE, Charles (1822-1901)

Grand mathématicien français, polytechnicien, professeur àl’Ecole polytechnique et à la faculté des sciences de Paris. Sestravaux portent sur la théorie des nombres et la théorie desfonctions elliptiques. En 1858, Hermite propose une méthode derésolution de l’équation du 5e degré. Il précise également lesméthodes de réduction des formes quadratiques lorsque le corpsde scalaires est C.En 1873, dans un mémoire intitulé Sur la fonction exponentielle,Hermite prouve la transcendance du nombre e. La transcendancede π, prouvée une décennie plus tard, sera étroitement liée à celledu nombre e.

• LINDEMANN Ferdinand (1852-1939)

Mathématicien allemand, professeur à l’université de Freiburgpuis de Königsberg, après les études à Göttingen, haut lieu desmathématiques allemandes.C’est en tant que professeur à l’université de Freiburg qu’ilpropose en 1882 la démonstration de la transcendance de π dansun article des Annales Mathématiques.Une conséquence immédiate de la transcendance de π estl’impossibilité de la quadrature du cercle.

Lindemann va consacrer tout le reste de sa vie à démontrer legrand théorème de Fermat, sans trouver de solution.

Transcendance de π

La démonstration de la transcendance de π est étroitement liée à celle du nombre e.Lindemann raisonne par l’absurde en supposant π algébrique.D’après la relation d’Euler : eiπ + 1= 0, et les propriétés symétriques des racines d’un

polynôme, il aboutit à la relation suivante :q+eα1+...+eαn= 0

α1, ...,αn, sont des nombres algébriques, q est supérieur ou égal à 1.Cette égalité conduit à une contradiction.Ainsi, π n’est pas algébrique, donc il est transcendant.La démonstration complète de la transcendance de π ainsi que celle du nombre e

seront présentées dans la partie Annexe.

L’impossibilité de la quadrature du cercle

La quadrature du cercle, comme on a dit précédemment, revient à construire à la règleet au compas un segment de longueur π ou π.

Si π était constructible, d’après le théorème de Wantzel, π serait algébrique, ce quicontredit la transcendance de π prouvée par Lindemann. Ainsi, π n’est pas constructible.

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De même, π n’est pas constructible. Il est impossible de déterminer à la règle et aucompas un carré dont la surface est égal à celle d’un cercle donné.

Le fameux problème qui hante les esprits mathématiques depuis plus de 2000 ans a étéenfin résolu.

Aujourd’hui, l’expression « réaliser la quadrature du cercle » est passée dans lelangage courant pour désigner quelque chose qu’on n’a aucune chance de réussir.

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C) Résolution dans la géométrie non-euclidienne.

1) Géométries non-euclidiennes :

Les géométries non-euclidiennes sont des théories géométriques remettant en cause lesaxiomes postulés par Euclide dans les Eléments, en particulier le 5e postulat, connu sous lenom de « l’axiome d’Euclide » :

Par un point il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Le 5e postulat d'Euclide

Depuis l’antiquité, on a essayé de démontrer cepostulat. Certains ont cru y être parvenus, mais en fait,ils proposaient des démonstrations qui tournaient enrond (c’est à dire qu’ils se servaient de l’axiome

d’Euclide pour le démontrer).C’est également en cherchant la preuve du 5e postulat que certains mathématiciens tels

que Saccheri, Lambert et Legendre ont obtenu des résultats intéressants qui pourraient aboutirà la construction de la géométrie non-euclidienne. A cette époque, ils ne distinguaient pas lagéométrie physique de la géométrie mathématique. Saccheri même disait que ses résultatsétaient « bizarres » parce qu’ils ne correspondaient pas à la réalité.... De même, Lambert avaitdu mal à croire à l’existence des géométries non-euclidiennes.

Gauss (1777 - 1855)

C’est au début du 19ème siècle (entre 1831-1834) que Gauss,Bolyai et Lobatchevsky ont commencé indépendamment laconstruction d’une nouvelle géométrie, dite «non-euclidienne ».Contrairement à Gauss (qui n’a rien publié et qui n’en parle que dans sacorrespondance) et à Bolyai (qui n’a publié qu’une petite partie de sestravaux en latin), Lobatchevsky a beaucoup publié en russe, enallemand et en français, afin de convaincre ses contemporains, et ceciavec beaucoup de difficulté.

Bolyai (1802 – 1862)

En effet, la naissance des premières géométries non-euclidiennesa provoqué certains acharnements venant des mathématiciens tels queDuring, Frege... Ils affirmaient qu’une telle géométrie ne pouvait exister,car non conforme au réel.

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Lobatchevsky (1793-1856)

Pourtant, le « réel » est plus conforme aux géométries non-euclidiennes qu’à la géométrie euclidienne. Gauss a mesuré sur leterrain les angles d’un triangle formé par trois sommets de montagneet a trouvé la somme de 180 degrés 14,86 secondes..., ce qui contreditle caractère euclidien de l’espace physique.

Plus tard (1854), Riemann propose une autre géométrie non-euclidienne : la géométrie elliptique.

Riemann (1826 - 1866)

La géométrie dans laquelle les axiomes d’Euclide s’appliquent estappelée Géométrie parabolique ou Géométrie Euclidienne.

Les autres géométries sont dites « non-euclidiennes ». Ondistingue deux sortes de géométries non-euclidiennes : la géométriehyperbolique (celle de Lobachevsky-Bolyai-Gauss) et la géométrieelliptique (celle de Riemann).

Dans lagéométriehyperbolique, parun point donné ilpasse plusieursdroites parallèles àune droite donnée.

A gauche : la géométrie hyperbolique

A droite : les droites dans la géométrie elliptique

Au contraire, dans la géométrie elliptique de Riemann, par un point extérieur à une droiteon ne peut mener aucune parallèle.

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On peut représenter un rectangle dans les trois géométries :

et montrer comment l’espace est conçu dans ces trois géométries :

La courbure de l’espace est nulle dans la géométrie euclidienne, négative chezLobatchevsky et positive chez Riemann.

Dans la géométrie hyperbolique, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° etsupérieure à 180° dans la géométrie elliptique.

Maintenant, les géométries euclidiennes sont unifiées à travers la géométrie projective (cf.les travaux des Klein sur ce sujet). Klein en déduit que les géométries non-euclidiennes nenient pas celle d’Euclide, mais la généralisent.

En 1916, Einstein a construit la théorie de la relativité en s’appuyant sur la conceptionnon-euclidienne de l’espace : un rayon lumineux suit le plus court chemin, mais, si l’espaceest courbe, celui-ci n’est plus nécessairement une droite.

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2) Résolution de la quadrature du cercle dans la géométriehyperbolique.

50 ans avant que Lindemann ne prouve l’impossibilité de la quadrature du cercle (dans lagéométrie euclidienne), Bolyai propose dans son Appendice Scientiam, une solution de laquadrature du cercle dans la géométrie hyperbolique. Voici la solution de Bolyai présentéedans La géométrie non-euclidienne de BarbarinIl remarque, en effet, que l’aire du cercle plan de rayon r :

A=4πsh²r2

peut aussi s’exprimer par la formule: A=πtan²zz étant un certain angle construit de la façon suivante :Soient AB=r, sa médiatrice Ox, puis AA’ et BB’ parallèles à OxOn tire AB perpendiculaire sur BB’ et AD perpendiculaire sur AB. L’angle A’AO

représente z.

En particulier, quand z égale demi-droit, l’aire du cercle qui vaut π est égale à celle dutrilatère formé par trois lignes deux à deux parallèles (triangle maximum) ou à celle ducarré d’angle égal à demi-droit. (...)

Bolyai suppose que z est donné par la figure pour en déduire le moyen de construire r,de sorte que sa solution consiste, et dans ce cas particulier seulement, à tracer un cercleéquivalent à un certain carré »

La quadrature en Géométrie générale

« En Métagéométrie, le problème se présente de la façon suivante :

Appelons ω= µm+µ

π l’angle du carré mesuré en radian, ρ sa demi-diagonale ou rayon

du cercle circonscrit et r le rayon du cercle équivalent.Sur le plan de Riemann, µ et m étant entiers, µ < m, et l’on a :

cosρ = tan µm+µ

π2

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cosr = 2mm+µ

tandis que sur celui de Lobatschevsky-Bolyai, il faut mettre chρ et chr en supposant µsupérieur à m (...)

a. Tout carré dont l’angle ω a la forme 2mm+µ

d’angle droit peut être transformé en

cercle équivalentb. Si de plus m+µ est un des nombres de Gauss pour l’inscription des polygones

réguliers, tout cercle dont l’aire égale ± 2πm-µm+µ

peut être transformé en carré,

car dans ce cas on sait construire ρ et r »

Barbarin montre ensuite que si on peut quarrer un cercle particulier, on pourra faire demême avec un cercle de rayon quelconque. Il souligne ensuite que, hors l’espace euclidien, laquadrature du cercle et la rectification de la circonférence diffèrent en général.

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IV) Annexes.

ANNEXE 1 : LA DETERMINATION BABYLONIENNE DE .

La valeur de donnée par la tablette cunéïforme semble avoir été trouvée de lamanière suivante : tout d’abord les babylonniens savaient que le périmètre d’un hexagonevaut trois fois la diamètre de ce même hexagone, comme le montre la figure ce dessous :

Hexagone inscrit de périmètre P dans un cercle de diamètre d :

OM1

OM1

M6 M5

M4

M3M2

Un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux. Ainsi, dans le triangle OM1M2,on a l’égalité : OM1 = OM2 = M1M2. On retrouve le même résultat dans les 6 triangleséquilatéraux ce qui nous permet d’écrire :

P = 3 x M1M4 P = 3 x d

Ensuite, ils estimaient le rapport entre le périmètre d’un cercle de rayon 1 et celui de

l’hexagone inscrit à 5760 + 36

(60)² . Cette valeur fut sans doute obtenue par une mesure

approchée, exprimée dans le système de numération en base 60 alors en usage. En effet lesbabyloniens étaient adeptes de puissants calculs fractionnaires et l’usage d’une telle base leur

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permettat d’exprimer simplement de nombreuses fractions usuelles grâce à ses nombreuxdiviseurs : 60 = 2² x 31 x 51. De ceci on en déduit que :

3xd = 3x2 = 3 = 5760 + 36

(60)²

= 3/

57

60 + 363600

= 3 + 18 3.125

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ANNEXE 2 : LA QUADRATURE EGYPTIENNE.

La méthode énoncée par Ahmes consiste, comme nous l’avons dit, en deuxopérations :

- Enlever un neuvième au diamètre.- Multiplier le résultat par lui-même.

La formule proposée est donc : (S est la surface du cercle et d son diamètre)

S =

d - d

9²

S =

8d

9²

S =

d

2 x 169

²

S =

d

2² x

16

9²

La formule exacte de l’aire d’un cercle est : S =

d

2²

On en déduit que les égyptiens considéraient implicitement : =

16

9²= 3.16049…

La formule de l’aire d’un carré vaut (c étant le coté du carré) : A = c²

Comme l’aire du carré doit être égale à l’aire du cercle on a :

A =

8d

9²

Ceci revient à construire un carré dont le coté vaut les 89 du diamètre. Nous pouvons

évaluer la précision de ce résultat, en regardant si 89 était le meilleur rapport :

c² = x d²4

Ce qui équivaut à :cd = 1

2

Aujourd’hui on sait que : = 1.77245…

D’où :cd = 0.88623…

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On calcule divers rapport cd :

1 - 17 = 6

7 = 0.857 …

1 - 18 = 7

8 = 0.875

1 - 19 = 8

9 = 0.8888…

1- 110 = 9

10 = 0.9

De toutes ces valeurs la meilleure est celle choisie par Ahmes : cd = 8

9.

Comment ont-ils trouvé cette valeur 89 plus précise que toutes les autres envisagées

plus haut ? Nous ne le saurons sans doute jamais avec certitude mais un autre problème dupapyrus Rhind suggère une piste.

On considère un octogone irrégulier construit dans un carré de 9 unités de coté (voirfigure ci-dessous). L’aire de cet octogone, que l’on trouve en comptant le nombre de carrés etde demi carrés de coté 3, vaut 63. L’aire du disque, qui apparaît très proche de celle del’octogone, quoique un peu plus grande est égale à :

S =

9

2²

On remplace l’aire de l’octogone, 63, par 64 ce qui simplifie les calculs et compensel’aire qui semble manquer à l’octogone. Ceci nous donne :

9

2²

= 64

= 8² x

9

2²

=

16

9²

Octogone inscrit sans un carré de 9 unités de coté.

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48

ANNEXE 3 : LA DEMONSTRATION DE DINOSTRATE.

On imagine un point L parcourant à vitesse constante l’arc de cercle AP, tandis qu’unedroite d perpendiculaire à AB se déplace dans le même temps, à vitesse constance de A en O.Le lieu de l’intersection du rayon OL avec d (l’ensemble des points M) est la quadratriced’Hippias. Le point Q, à l’intersection de la quadratrice et de OP, n’est pas constructible maisil est obtenu comme limite lorsque L tend vers P.

Dinostrate montra le rapport ABOQ comme égale à .

Par définition on a, r étant le rayon du cerle, AL’

2 - qui est un rapport constant ; il vaut r

2

ou 2r .

On a également : AL’ = r – OMsin =2r

2 -

r - OM sin = 2r

2 - 2r

OM sin = 2r

OM

sin = 2r

Or : lim→0

sin =1

Donc : lim→0

2r/OQ =

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49

ANNEXE 4 : PROPOSITION I D’ARCHIMEDE.

Un cercle quelconque est équivalent à un triangle rectangle dont l’un des côtés del’angle droit est égal au rayon du cercle et l’autre côté la circonférence du cercle.

On désigne par AT l’aire de ce triangle, par AC l’aire du cercle C, par c lacirconférence du cercle et par r son rayon.

Dans un premier temps on suppose que : AC > AT :

On pose : AC – AT = AOn inscrit dans le cercle un polygone régulier d’apothème m’ (l’apothème est la distance ducentre du polygone au milieu d’un des côté), de périmètre p’ et d’aire AP’ tel que l’on ait :AC – AP’ < A ce qui est toujours possible d’après Les Eléments d’Euclide.

On a alors AP’ > AT ou p’m’2 > cr

2 ce qui est absurde car p’< c (principe admis par

Archimède) et m’ < r.

Puisque l’on obtient une contradiction l’aire du triangle ne peut être plus petite quecelle du cercle.

On suppose maintenant que : AC < AT :

On pose AT – AC = A .On circonscrit au cercle un polygone régulier d’apothème r, de périmètre p et d’aire AP tel quel’on ait : AP – AC < A.

On a alors AP < AT ou pr2 < cr

2 ce qui est absurde puis p >c.

Puisque l’on obtient une contradiction l’aire du triangle ne peut être plus grande quecelle du cercle.

On en déduit nécessairement AC = AT .

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50

ANNEXE 5 : PROPOSITION II D’ARCHIMEDE.

La circonférence d’un cercle est égale au triple du diamètre réuni à une certaine

portion du diamètre qui est plus petite que les 17 de ce diamètre et plus grande que les 10

71 de

ce même diamètre.

Autrement dit on doit avoir :

3 + 10

71 d < c <

3 + 1

7 d

1ère partie : c <

3 + 1

7 d

Soient un cercle de centre E et de rayonCE, et le triangle ECB rectangle en C où αCEBvaut 30°. On mène successivement lesbissectrices ED de αCEB, EH de αCED, EK de αCEH,EL de αECK. En désignant par an le demi côté dupolygone régulier circonscrit de n côtés, on a :CB = a6

CD = a12CH = a24

CK = a48CL = a96

Archimède donne sans le justifier l’égalité : CECB > 265

153 ou r a6

> 265153

En effet dans triangle ECB : BCBE = sin 30° = sin 6 = 1

2 donc BE = 2.BC

Dans le triangle rectangle ECB : CE²

CB² =BE² - BC²

CB² =BE² -

1

4 BE²

1

4BE² = 3

265²153² =

70 225153 = 3 – 2

153² d’où : CE²

CB² >

265

153² et donc CE

CB > 265153

La bissectrice ED de αCEB donne ensuite : BEBD = CE

CDBE + EC

BC =

1

BC ( )BE + EC = 1BC

BD.EC

CD + EC = ECBC

BD + CD

CD = ECBC x BC

CD = CECD

On a : EBCB = 2 = 306

153 et CECB > 265

153

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51

BE + ECBC =

1

BC ( )BE + EC

BE + ECBC > 1

BC

306

153 x BC + 265153 x BC

BE + ECBC > 306

153 + 265153

donc BE + ECBC > 571

153 ce qui équivaut à CECD > 571

153 ou r a12

> 571153

En considérant le triangle rectangle CED et en utilisant l’inégalité précédente, on peut écrire :

DE²

CD² =CE² + CD²

CD² = CE²

CD² + 1

CE²

CD² + 1 > 571²153² + 1

CE²

CD² + 1 > 349 450153²

En prenant la racine carré par défaut de 349 450 au moyen de la méthode d’Héron (Le carré le

plus proche de 349 450 est 591² et 349 450 est à peut près égal à

591 + 1

8² on obtient :

DECD >

591 + 1

8153

Les propriétés de la bissectrice EH de αCED nous permettent alors d’écrire : DEDH = CE

CH

et DE+CEDH+CH ou DE

CD + CECD qui est égale à CE

CH .

On remplace DECD et CE

CD par les valeurs trouvées avant et on obtient :

CECH >

1162 + 1

8153 ou r

a24 >

1162 + 1

8153

De la même manière on obtient :

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52

CECK >

2334 + 1

4153 ou r

a48 >

2334 + 1

4153

CECL >

4673 + 1

2153 ou r

a96 >

4673 + 1

2153

On déduit de cette dernière inégalité :

rp96

>

4673 + 1

2153 x (96 x 2) et

p96

d < 14 688

4673 + 1

2

= 3 + 1

7 + 51335

Donc : cd < 3 + 1

7

2ème partie : c >

3 + 10

71 d

Soient une demi circonférence dediamètre AC, le triangle inscrit CBA rectangle en B et où

αCAB = 30°. On mène successivement les bissectrices AD deαCAB, AH de αCAD, AK de αCAH et AL de αCAK. En désignant

par a’n le coté du polygone régulier inscrit de n cotés, on a :CB = a’6, CD = a’12, CH = a’24,

CK = a’48 CL = a’96

Archimède pose l’inégalité : ABCB < 1351

780

Le triangle rectangle CBA permet en effet d’écrire : AB²CB² =

CE² - CB²CB² = 3.

Or

1351

780²= 3 + 1

780 on en déduit donc : AB²CB² <

1351

780² et par la suite la relation du début.

On a d’ailleurs : CACB = 1560

780 ou da’6

= 2.

D’autre part si l’on désigne par F le point de rencontre de AD et de CB, les trianglesrectangles CDA et FDC sont semblables, car αBAD = αDCB = αDAC.

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53

Donc : ADDC = CD

FD = CACF

Mais la bissectrice AF donne : CACF = AB

BF = CA + ABCF + BF = CA + AB

CB

Donc ADCD = CA + AB

CB = CACB + AB

CB < 2911780

Il en résulte AD²CD² <

8 473 921780²

AD² + CD²CD² = CA²

CD² <9 082 321

780²

et CACD <

3013 + 3

4780 ou d

a’12 <

3013 + 3

4780

On trouverait de même :

da’24

<

1838 + 9

11240

da’48

<

1009 + 1

666

da’96

<

2017 +1

466

On déduit de cette dernière inégalité :

dp’96

<

2017 + 1

4( )66 x 96

etp’96

d > 25 3448 069 = 3 + 10

71 – 371137

> 3 + 1071

Donc cd > 3 + 10

71

Si on prend le rayon comme égale à 1 on obtient un encadrement de :

3 + 1071 < < 3 + 1

7

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54

ANNEXE 6 : PROPOSITION II D’ARCHIMEDE.

Un cercle est au carré construit sur le diamètre à très peu de choses près comme 11est à 14.

C’est une conséquence de la proposition précédente et de le suivante.

On a d’après I : AC = cr2

D’après III on a approximativement : c = 227 d

En remplaçant on obtient : AC = d² x 1114

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55

ANNEXE 7 : LES DEMONSTRATIONS DE NICOLAS DE CUES

• La méthode de la moyenne proportionnelle

Dans son uvre De Arithmeticis complementis (achevé en 1445), Nicolas de Cues chercheà déterminer une approximation de π : le terme d’arithmétique désigne ici le nombre – uneconstante – permettant de calculer le rapport du diamètre à la circonférence du cercle.D’après lui, quel que soit le polygone, on obtient toujours le même rapport deproportionnalité entre les cordes et les arcs, et donc une valeur précise du rayon du cercleisopérimétrique (ayant le même périmètre) aux polygones.

Pour comparer les rayons des cercles inscrits et circonscrits à des polygones réguliers,Nicolas de Cues invente un instrument visuel : il s’agit d’un quadrant qui permet demesurer les proportions entre les polygones. On appellera cet instrument « tableau deproportions » qui se représente de cette façon :

d

On peut interpréter cette figure de cette façon : on reporte sur le côté vertical les différentsrayons :

- dg est le rayon du cercle circonscrit au triangle- ge est le rayon du cercle inscrit au triangle- ef est le demi-côté du triangle- cf est le rayon du cercle circonscrit à l’hexagone- ef est le rayon du cercle inscrit à l’hexagone

et : ce = cf – ef

A partir de ce tableau, on peut tracer d’autres lignes permettant d’établir des proportions.

g

f e ec

f

e

c

g

d

k

l h

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56

C’est grâce à ces tableaux de proportions que Nicolas de Cues présente dans le DeMathematicis complementis la moyenne proportionnelle entre deux segments de droite pourobtenir un carré isopérimétrique à un cercle donné, à l’aide d’un demi cercle.

Nicolas de Cues présente la figure suivante :

Sa démarche est la suivante : il part d’un cercle donné et construit le rectangle dont lalongueur est la même que celle du demi périmètre du cercle. Puis à l’aide du demi cercle ilcherche le moyenne proportionnelle, et obtient la longueur du côté du carré ayant le mêmepérimètre que le cercle initial.

Pour aboutir à un tel résultat, Nicolas de Cues s’est servi des textes d’Archimède et deBradwardine. Chez Archimède, la proposition est la suivante : « tout cercle est équivalent àun triangle rectangle dans lequel un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle etla base égale au périmètre du cercle ». D’où le schéma :

avec a = rayon du cercle b = circonférence du cercle

A partir de cette proposition, Nicolas de Cues fait un rapprochement avec le problème de laquadrature du cercle en considérant, à la place d’un triangle rectangle, un rectangle ayant unelongueur égale à celle du demi périmètre du cercle de départ, soit la figure suivante :

h

p q b

a

b

a

b

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57

Il écrit lui-même dans son uvre De Mathematicis complementis : « La surface d’un cercleest égale à celle du rectangle formé par le demi diamètre du cercle et la demi circonférence ».

Le problème ne résiderait plus que dans la manière de trouver la longueur du côté c ducarré ayant la même aire que le rectangle donné, et par-là même celle du cercle d’origine.C’est pour résoudre ce problème que Nicolas de Cues se sert des écrits de Bradwardine ; ilécrit qu’il s’agit de « trouver comment entre deux lignes droites se tiennent deus moyennes enproportion continue ». Il propose alors la construction suivante :

Si l’on considère un demi cercle sur le diamètre duquel passe une demi-corde à angle droit(représentée ici par la longueur b). On a la relation suivante qui relie la demi-corde, la grandepartie du diamètre (a) et la petite partie du diamètre (c) :

ab = b

cCela permet de construire le carré de même aire qu’un rectangle donné, et ce en introduisantson côté dans une proportion continue entre la largeur et la longueur du rectangle.

Cette succession de démarches est résumée par cette figure :

On retrouve bien ici la figure de départ, que l’on peut expliquer de cette façon :- rq est le demi diamètre du cercle d’origine- rs la demi circonférence de ce cercle- qrst le rectangle ayant le même périmètre que le cercle de départ- sx vérifiant sx = rq- y est le milieu de sx et le centre du demi cercle ryx- su la moyenne proportionnelle entre rs et sx- suzw le carré de même aire que le rectangle qrst et par-là même que le cercle initial, soit

la relation : (su)² = rq*rs, en construisant su à l’aide de la propriété de Bradwardineénoncée ci-dessus, établissant la proportion continue entre rs et sx.

b

ca

q

ry s

u

t

x w

z

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58

Telle est la démonstration que présente Nicolas de Cues dans son écrit de 1450, DeQuadratura Circuli, pour construire, à partir d’un cercle donné, un carré dont l’aire est lamême que celle du cercle initial.

Cependant cette démonstration présente une faille qui est de taille et qui, rend« inachevée » la démonstration de Nicolas de Cusa ; en effet, le cusain suppose alors que lacirconférence du cercle initial est donnée, or c’est ici que se trouve le principal problème posépar la construction de la quadrature du cercle.

• La méthode des isopérimètres

La seconde démonstration présentée par Nicolas de Cues est basée sur une influencemathématique plus tardive, celle de Jean de Murs. Il s’agit de la méthode la plus proche durésultat espéré et celle qui pourrait être considérée comme la plus fiable. La démarche deNicolas de Cues est la suivante : il part d’un triangle équilatéral, considéré à juste titre commele polygone régulier le plus simple. Puis, en augmentant le nombre de côtés, il traceprogressivement les autres polygones réguliers suivants, ayant tous le même périmètre, et cejusqu’au cercle –dont on peut obtenir une approximation – pour en déterminer le rayon.Pour chacun des polygones, il trace leur cercle inscrit et leur cercle circonscrit. Nicolas deCues fait le raisonnement que, même si pour le triangle, la différence entre le cercle inscrit etle cercle circonscrit est grande, elle de cesse que diminuer au fur et à mesure que le nombre decôtés que polygone augmente ; pour le cercle, défini alors comme le polygone ayant unnombre infini de côtés, cette différence est nulle. Le Cusain fait l’hypothèse qu’endéterminant la proportion entre ces deux cercles – inscrit et circonscrit – à l’aide de leursrayons, il serait possible d’en déduire le rapport entre l’aire d’un cercle et celle d’un carré. Lesdémonstrations de Nicolas de Cues ne sont basées que sur les connaissances qu’il a desmathématiques antiques – puisque d’une manière générale, on compte peu de mathématiciensentre l’Antiquité et le XIVème siècle – et se sert le plus souvent de rapports proportionnelsentre certaines longueurs. La méthode des isopérimètres se réduit surtout à établir uneproportion entre les différents rayons. Nicolas présente dans un traité de 1450 la constructionsuivante :

Il explique cette figure par le texte ci-dessous :

Faciemus autem hanc partem tibi hoc modo clariorem.Nous allons te rendre cette partie plus claire de la façon suivante.

Ex ab linea in tres partes divisa, cde triangulus designetur.A partir de la ligne ab divisée en trois parties, on dessine le triangle cde.

In ejus latere cd signetur pars quarta ab quae fit ik, quae quadretur, et fit iklmSur son côté cd, on reporte un quart de la droite ab en traçant ik et on construit iklm

a bh

ic k dg

f

me

l

h t sopg

faa

bb

n r

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59

Describantur inscripti et circumscripti circuli ;On dessine les cercles inscrits et circonscrits ;

Et fit inscripti trigono semidiameter fg, et circumscripti fh,Soit fg le demi-diamètre du cercle inscrit au triangle, fh celui du cercle circonscrit

et inscripti tetragono ng, circumscripti no.soit ng celui du cercle inscrit dans le carré et no celui du cercle circonscrit.

Signetur deinde linea fh et in ejus mejo g.Puis on trace la ligne fh et on place en son milieu le point g.

Lineis de f,g,h tractis quantumlibet,On trace à partir de f,g,h de lignes de longueur quelconque,

trahatur ad fh aequidistans tn, cujus medium fit aa,puis on tire fh à équidistance de tn, dont le milieu est aa,

et signetur semidiameter inscripti alicujus polygoniae isoperimetrae,et on marque le demi-diamètre du cercle inscrit à un polygone isopérimètrique,

puta tetragonae, np– un carré par exemple – que l’on appellera np

et semidiameter circumscripti, quae fit no,et le demi-diamètre du cercle circonscrit que l’on appellera no,

et trahe de g per p in infinitum, et similiter de h per o lineam in infinitumpuis on tire de g passant par p une ligne à l’infini, et de même de h passant par p

et ubi ille concurrunt signa q, ,et on note q le point où elles concourent,

trahe per q aeaquidistantem ad fh, quae fit sr in cujus medio signa bb.puis on tire par q à équidistance de fh la ligne sr, dont la milieu est bb.

Dicimus rq esse semidiametrum circuli quaesiti,Nous affirmons que rq est le demi-diamètre du cercle cherché,

et ejus circumferentiam aequalem ab linea rectae.Dont la circonférence est égale à la droite ab.

De Quadratura Circuli, 1450.

Mais Nicolas de Cues ne prend en compte qu’un seul type de proportion entre les différentsrayons qu’il présente : la proportion droite, c’est-à-dire qu’il considère que les rayonscroissent de manière proportionnelle tout au long de son étude, alors qu’en réalité, cettecroissance progresse selon une fonction asymptotique qui tend vers l’infini (et par conséquentla différence entre les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone donné ne diminuepas de manière proportionnelle).Cette erreur est détectée par un ami de Nicolas de Cues, le florentin Paolo Toscanelli, en1453, qui lui écrit dans une lettre : « Mais s’il n’est pas vrai que la droite passe ainsi, maisque, d’aventure, une courbe de quelque courbure passe de la première du triangle par lespremières de tous les polygones jusqu’à la première du cercle, alors cette invention n’est passuffisante ». Cependant Nicolas de Cues ne considérera pas cette remarque comme importanteet croira que cette méthode permet la construction d’un carré ayant la même aire qu’un cercledonné.

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60

ANNEXE 8 : LA DEMONSTRATION DE GREGOIRE DE SAINT-VINCENT

Grégoire de Saint-Vincent démontre tout d’abord la quadrature de l’hyperbole etessaie ensuite d’appliquer ses résultats au problème de la quadrature du cercle.

Ainsi il apparaît intéressant d’étudier tout d’abord ses travaux à propos de laquadrature de l’hyperbole ; il considère une hyperbole d’équation : xy = 1

Soit L(x) l’aire sous l’hyperbole limitée par l’axe Ox ; on trace les droites verticalespassant pas les point de coordonnées (1, 0) et (x, 0). On a alors la relation pour deux réels a etb :

L(ab) = L(a) + L(b)

Soit sur la représentation suivante :

Le travail de Grégoire de Saint-Vincent est en réalité très voisin de celui de PierreFermat qui en 1636 étudia la quadrature de la parabole : selon Grégoire de Saint-Vincent,l’hyperbole n’est autre qu’une parabole ayant un exposant négatif. Pour un exposant négatif,on a une courbe d’équation

avec m positif distinct de 1. Si l’on appelle A l’aire située sous l’hyperbole et limitée par lesverticales passant par les points d’abscisse x, on notera Sn et Tn la somme des aires desrectangles situés respectivement sous l’hyperbole et au dessus d’elle .

En prenant par exemple, m = 2 on obtient l’hyperbole d’équation

00,20,40,60,8

11,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

L(x)

1xmy =

1x2y =

S1

S2

x

y

O

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61

On obtient alors l’encadrement : Sn < An < Tn

Dans le cas général, pour calculer Sn, on la formule suivante, on a (pour les abscissesvariant de x à qnx) :

soit

De même pour S2, on a :

soit :

En réitérant ce calcul pour toutes les valeurs on obtient :

Avec

De la même manière, on obtient pour Tn la relation suivante :

et donc le rapport :

Si l’on effectue le rapport on peut remarquer que pour obtenir la limite de Sn

( ou Tn) on a une suite géométrique de raison R = et de premier terme (oupour Tn, le premier terme est q).

Lorsque n tend vers l’infini, Sn a pour limite l :

S1 =( q - 1)x

(qx)m

q - 1qmxm - 1= =

q -m × (q - 1)xm- 1

S1 =q[(1 - m ) × 0 - m ] × (q - 1)

xm - 1

S2 =qx( q - 1)

(qx)m =q(q - 1)qmxm - 1 =

q 1 - 2m × (q - 1)xm- 1

S2 =q[(1 - m ) × 1 - m ] × (q - 1)

xm - 1

Sn = S1 + S2 + S3 + … + Sn - 1

Sn = Σk = 0

n -1 q[(1 - m) × k - m] × (q - 1)xm - 1

Tn = Σk = 0

n -1 q[(1 - m) × k] × (q - 1)xm - 1

Sn =Tn

qm

Sn

Sn - 11q( )

m - 1 1qm - 1

q - 1

qm - 1 × (1 - R)xm - 1=

q - 1

(qm - 1 - 1)xm - 1=

(qm - 2 + … + q + 1)xm - 1

1l=

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62

et Tn a pour limitel‘ :

En faisant tendre q vers 1 on obtient une valeur commune à Sn et Tn à savoir A :

En considérant la primitive de f(x) = x-m, à savoir on a

Ainsi on retrouve avec la méthode des intégrales les résultats précédents, ce quitermine la quadrature de l’hyperbole, puisque l’on obtient une valeur de l’aire située entrel’axe Ox et la courbe. Il ne s’agit plus alors que de tracer le carré ayant la même aire. Telle estla démonstration de Grégoire de Saint-Vincent qui à partir de ce résultat, considère le cerclecomme un ensemble d’hyperboles (dont on peut déterminer l’aire), et construit un carré ayantla même aire que ces hyperboles : cependant ce raisonnement ne peut convenir car cetensemble d’hyperboles n’apporte qu’une approximation de la valeur du cercle.

(qm - 2 + … + q + 1)xm - 1

qm

l

(m - 1)xm - 1

1A =

x -m + 1

1 - m

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63

ANNEXE 9 : LA CONSTRUCTION DE BASSELIN

Basselin considère que la partie située entre l’hexagone inscrit et le cercle peut êtreassimilée à un fragment de lunule. A partir de cette considération et grâce à l’ uvred’Hippocrate de Chios (qui démontra la quadrature des lunules) Robert Basselin propose laconstruction suivante :

On retrouve ici la même aire hachurée en rouge qui représente la différence entre l’hexagoneet le cercle. Comme la méthode d’Hippocrate de Chios permet de déterminer l’aire de cettelunule, Basselin suppose qu’il est également possible de déterminer celle d’un fragment delunule.

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64

ANNEXE 10 : LA CONSTRUCTION D’ANCELOT

Ancelot se sert également des études d’Hippocrate de Chios et de ses lunules. Il propose leraisonnement suivant :

Si a + b = c + d alors a = c et b = d et ce en supposant que a, b, c, d vérifient la

relation suivante : ac = b

d ce qui assurerait la véracité de la relation précédente.

Malheureusement, ce rapport n’est pas vérifié par Ancelot qui présente l’étude à l’aide decette figure :

Soit par cette figure :

Que l’on peut expliquer de la manière suivante : si BK + DGE = BD + KHL, alors BK= KHL et BD = DGE. Ancelot propose ici une sorte de tableau de proportionnalité qui pourlui apparaît comme une démonstration suffisante, ce qui, malheureusement ne sera pas le casde l’Académie Royale des Sciences.

BK

B

DEG

KHL

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65

ANNEXE 11 : L’IRRATIONALITE DE π

L’irrationalité de π a été démontrée par Lambert en 1761. Cette démonstrations’inspire grandement de celle d’Euler (en 1744) pour démontrer que e (fonction exponentielle,dont la valeur approchée est 2,171828) est irrationnel.

Un nombre est dit irrationnel s’il ne peut pas s’écrire sous la forme p/q (avec p et qdeux nombres entiers). Pour démontrer que π ne peut s’écrire sous cette forme, Lambertutilise un raisonnement par l’absurde.

En se servant des résultats déjà établis par Lord Brouncker, Lambert considère quetout nombre pouvant s’écrire sous la forme de la fraction continue suivante :

pour laquelle les suites ai et bi vérifient certaines conditions, alors ce nombre est irrationnel.

Puis Lambert utilise le fait que pour tout x tel que tan(x) est défini, tan(x) peut s’écrire sous laforme suivante :

Il termine son raisonnement en considérant que si p est rationnel, alors, à partir d’un certainrang j, x² = (π/4)² est inférieur à bj = 2j + 1 ; donc tan(π/4) serait irrationnel, ce qui est absurdecar tan(π/4) = 1. Lambert en déduit donc que c’est π lui-même qui est irrationnel.

a0

b0 +a1

…b1 +

… +an

bn + …

x²

1 - x²x²

x²…

3 -5 -

7 -

tan(x) =

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66

ANNEXE 12 : LES TENTATIVES DE CONSTRUCTIONS AUXXIXème ET XXème SIECLES.

1. Rectification de la circonférence :

• Construction de Terquem : indiquée dans Manuel d’applicationsmathématiques

Construction : OA diamètre du (O). On trace la tangente indéfinie en B.RS = R = 1. La droite (OS) coupe la tangente en B en T.TD= 3R

Conclusion : DA≈ π.R

Démonstration : TB= tan30°.BO = 13 3 (le triangle RSO est équilatéral)

BD= 3 - 13 3 alors AD= 4+BD²

AD= 3,141533339

• Construction de D’Ocagne :

Construction : (O) de diamètre AA’. L’angle A’OB est égal à45°(BC)//(AA’). C appartient à la tangente indéfinie en A.La bissectrice de l’angle COA coupe cette tangente en D.

Conclusion : A’D ≈ π

Démonstration: A’D = - tan

π

4 + α2

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67

tanα = tanA’OC = 22

tan

π

4 + α2 = -1

tan α2

or2tan α

2

1 – tan²

α

2

= 22

tanα2 = - 2 + 3 ( car tanα

2 > 0) d’où tan

π

4 + α2 = - 3 – 2

3 - 2 = - ( 2 + 3)

Alors A’D = 3,14626437

• Construction deJacob de Gelder(1849) :

Construction: (O,R) ; OA=OB=R=1

OE =78 ; AF= 1

2 ; (FG)//(OB) ; (FH)//(EG)

Conclusion: AH= π - 3

Démonstration: AHAG= AF

AE

AH = AF.AGAE = AF²

AE²

(AG = AFAE car AO = 1)

Ainsi AH=

12²

1 +

7

8²

= 4²8² + 7²

AH= 0,14159292 ≈ π - 3

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68

• Construction de Bioche :

Construction : AO= 2 BO= 3Conclusion : CD ≈ πDémonstration : CD= 2 + 3 (d’après le théorème de Pythagore)CD= 3.14616437

• Construction de Longchamps :

Construction: (O) de diamètre AB ; AB= 10 ; AC=11 ; AD= 13(OE)⊥(AB), deux tangentes indéfinies en A et en E du cercle se coupent en M.(M, MC) coupe (AM) en R. On construit le rectangle MAFDConclusion : MS = 10π (la construction de π à partir de MS ne pose aucun problème. On peututiliser le théorème de Thalès)

Démonstration : MRMA = MS

MF d’où 11² + 5²5 = MS

MF = MS13

d’où MS = 135 11² + 5²

MS = 31.41591953 ≈ 10π

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69

• Construction de Hobbes

Construction : (O) de rayon AOAB = 2R = 1

AH= 35

CH = 65 et (CH)⊥(AB)

Conclusion: AC + AH + CH ≈ πDémonstration:AC² = AH² + CH²

AC=

3

5² +

6

5² = 3 5

5

AC + AH + CH = 95 + 3 5

5AC + AH + CH = 3.141640787 ≈ π

• Construction deGoodhue (1974) :

Construction: OA = OB = 12 ; OD= 3

10;

BOC = 30°DE= ECConclusion: ED = π - 3

Démonstration: ED = 12

3

4 – 310

² + 1

16ED= 0,1415912 ≈ π - 3

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70

• Construction dont l’auteur est inconnu :

Construction : AB est un côté d’un triangle équilatéral inscrit au cercle (O) de diamètre AC.AB= 2BMMD = 2ABDP= 2RPP’= 2PB

Conclusion: PP’≈ π

Démonstration: MB = 12 3 ; DM= 2AM = 2 3

DB = MB² + DM² = 34 +12 = 1

2 51

PB= DB – 2PP’ = 3,141428429

• Une autre rectification :

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71

Construction: OA = OE = R = 1

BD’ = 1 + 110 AE

Conclusion : AD’ ≈ π ; AD= 2AD’ = 2πOn peut facilement construire le côté du carré AFGH à partir de AD’.Démonstration: AE = 2 ; AD’ = AB + BD’AD’ = 3.141421356 ≈ π

2. Détermination d’un côté du carré équivalent

• Construction Willich: (cf. Nouvelles Annales Tome XV, p.224)

Construction : (O) de rayon R ; R= 1AB= R ; C milieu de l’arc BA ; E milieu de la corde ABA partir de C on porte deux fois le rayon de C en D.(DE) coupe (O) en F.Conclusion : DF ≈ πDémonstration : On abaisse la perpendiculaire AH sur BD

AH= 12 AD

DB= 32 AD + 1

2 AD = 3+12 AD

AOD = π2 d’où AD= 2 et BD = 3+1

2 2

DE est une médiane du triangle ADB, alors :

DE² = AD² + BD²2 – AB²

4

DE² = 1 + 1 + 32 – 1

4 = 74 + 3

2 ainsi on pourra calculer DE

Or la puissance du point E au cercle (O) est égale à:

DE.EF = AE² = 14 (car AE=EB) ainsi, on pourra calculer EF connaissant DE

Alors DF= DE + EFDF = 1.771980984

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72

• Constructions dites de Sonnet :

1ère construction : (O) de rayon R. AB étant le diamètre.

OC =16 R

CD= 4R; D se trouve sur la tangente indéfinie en A.(DB) coupe (O) en E.

Conclusion : AE représente approximativement le côté ducarré cherché.

Démonstration : AC=7/6R AD= 16 – 4936

AD.AB= AE.BDBD= AD²+AB²

AE = AD.ABBD

AE= 1.7724502 au lieu de 1,7724538

2ème

construction : OA = 54 R ; OB = 5

4 R ; OC = 54 R OD = 5

4 R

Conclusion : SABCD ≈ S(O)

Démonstration: AB = 54 2 = 1,7677 au lieu de 1,7724

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73

• Construction de Périgal : (cf. The Messenger of mathematics, vol.IV, 1875, p.71)Périgal (1801-1898)

Construction: AB un côté de l’hexagone régulierinscrit dans le cercle O de rayon R.(CE) ⊥ (AB); Le cercle de centre A de rayon égal aucôté du carré inscrit coupe [OE) en D. Le cercle decentre D de rayon DA coupe [OE] en G.Conclusion: CG ≈ π

Démonstration: OE = 12

3 ; ED = 12

7

CG = 1 + 12

( 3 + 7 – 2 2)

CG = 1.774687497 ≈ π

• Construction de Hobson(1913):

Construction: OD = 35

R; OF = 32 R; E milieu de [OB]

On construit (O’,DE2

) et (O”,AF2

).

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74

Le diamètre du cercle de centre O, élevé perpendiculairement à AB, coupe ces demi-circonférences des cercles (O’) et (O’’) en G et H.Conclusion: GH ≈ π

Démonstration: OE= 12

; OG² = OE.OD = 310

OG = 310

; OH² = OA.OF = 32

OH = 32

GH= 30 + 15010

GH = 1.772467429 ≈ π

• Construction de Lelong Bonnaric (1999):

Construction: (O, OL) ; OL= 1; OK= 2OKML rectangleH: projeté orthogonal de K sur MOMJ= MHKQJ triangle équilatéralKN= NJ; NQ=NPConclusion: QP= πDémonstration: MO = 5 (théorème de Pythagore)MH = 1

5 en effet: KH.MO= KM.KO= KH. 5 = 2 d’où KH= 2

5D’après le théorème de Pythagore: MH= 1

5

KJ= 1 + 15; NQ= NP =

1+ 1

53

2 (KQJ triangle équilatéral)

QP =

1+ 1

53

22

QP = 1.772467429 ≈ π

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75

ANNEXE 13 : e ET π DEUX NOMBRES TRANSCENDANTS.

Les démonstrations de la transcendance du nombre e et de π, proposées par Hermite etLindemann sont très longues et compliquées. Elles ont été simplifiées par Weierstrass en1885, puis par Hilbert, Hurwitz et Gordan en 1893 et enfin par Klein en 1955.

Nous allons présenter ici les deux démonstrations de la transcendance de π et de e à laméthode de ceux-ci.

La transcendance du nombre e :

Si f(x) est un polynôme à coefficients réels de degré m, et si :I(t) = ⌡⌠0

tet-u f(u)du (t est un nombre complexe quelconque)Par intégration par parties successives, on a :

I(t) = et ∑j=0

mf(j)(0) - ∑

j=0

mf(j)(t)

En effet : I(t) = ⌡⌠0tet-u f(u)du = [ ]- et-uf(u)

j0 + ⌡⌠0

tet-uf’(u)du (intégration par parties)

I(t) = -f(t) + etf(0) + ⌡⌠0tet-uf’(u)du = -f(t) + etf(0) + [ ]-et-uf’(u)

j0 + ⌡⌠0

tet-uf’’(u)du

I(t) = -f(t) +-etf(0) – f’(t) + etf’’(0) + ⌡⌠0tet-uf’’(u)du

I(t)= - ∑j=0

m-1f(j)(t) + et ∑

j=0

m-1f(j)(0) + ⌡⌠0

tet-uf(m)(u)du

I(t)= - ∑j=0

m-1f(j)(t) + et ∑

j=0

m-1f(j)(0) +[ ]-et-uf(m)(u)du

j0 + ⌡⌠0

tet-uf(m+1)(u)du

I(t)= - ∑j=0

m-1f(j)(t) + et ∑

j=0

m-1f(j)(0) - f (m)(t) +et f(m)(0) + 0

I(t)= et ∑j=0

mf(j)(0) - ∑

j=0

mf(j)(t) (i)

Si f (x) indique le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient de f par sa valeurabsolue, on a :| |I(t) ≤ ⌡⌠0

t | |et-uf(u) du ≤ e|t|⌡⌠0

t |f(u)|du ≤ e|t|⌡⌠0

t f (u)du ≤ |t|e|t| f (|t|) (ii)

Supposons que e est algébrique, c’est à dire qu’il existe des entiers n>0, q0 ≠ 0 et q1, ...qn telsque : q0+q1e +...+qne = 0 (iii)Posons : J = q0I(0) + q1I(1) +...+qnI(n) avec f(x)=xp-1(x-1)p...(x-n)p

où p est un nombre premier suffisamment grandDeg(f)= p – 1 + np = n(p+1) – 1 = m

De (i) et (iii), on peut déduire que : J = – ∑j=0

m. ∑k=0

mqkf(j)(k)

Si j<p, k>0, on a f(j)(k) = 0Si j<p – 1, k=0, on a aussi f(j)(k) = 0Ainsi pour tout j, k autres que j=p-1, k=0, f(j)(k) est un entier divisible par p !

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De plus, nous avons f(x) = xp-1(x-1)p...(x-n)p

F(p-1)(0)= (p-1)!(-1)np(n!)p d’où, si p>n, f(p-1)(0) est un entier divisible par (p-1)! Mais pas parp !Ceci implique que, si p> |q0| alors J est un entier non nul divisible par (p-1) !d’où |J| ≥ (p-1) !Or f (k) ≤ (2n)m et (ii) impliquent:

|J| ≤ |q1|e f (t) +...+|qn|nen f (n) ≤ cp ( c est une constante indépendante de p)Les deux inégalités obtenues sont incompatibles si p choisi est assez grand. Ainsi, on amontré la transcendance de e.

Transcendance de π

Démonstration par l’absurde :On suppose que π est algébrique. Alors θ = iπ est aussi algébrique.En effet, i est algébrique puisqu’il est racine de l’équation : x²=1On suppose que l’équation dont θ est la solution est de degré d.Notons θ2,....,θd les autres solutions de l’équation θ = θ1

Notons aussi L le coefficient du terme de plus haut degré du polynôme minimal θ (polynômenon décomposable en facteurs, et dont les coefficients sont premiers entre eux).L’équation d’Euler permet d’écrire : eiπ = –1Ainsi, on obtient : (1+eiθ1) (1+eiθ2) (1+eiθ3).... (1+eiθd)= 0Si on développe cette dernière expression, on obtient la somme de 2d termes ex, où x est unensemble de valeurs: x= ε1θ1 + ε2θ2 + ... +εdθd

Avec εi = 0 ou 1Supposons que n des nombres x sont nuls, et notons-les α1,... αn, on aura :q+eα1+...+eαn= 0 (i)où q = 2d – nJ = I(α1) +....Iαn

Avec I(t) = ⌡⌠0tet-u f(u)du

Par intégration par parties successives, on a :

I(t) = et ∑j=0

mf(j)(0) – ∑

j=0

mf(j)(t) (ii)

m est le degré de f(x) définie par :f(x)= Lnpxp-1(x-α1)p...(x-αn)p

m= (n+1)p - 1p est un nombre premier suffisamment grand.Si f (x) désigne le polynôme f dans lequel on a remplacé chaque coefficient par sa valeurabsolue, alors :| |I(t) ≤ ⌡⌠0

t | |et-uf(u) du ≤ e|t|⌡⌠0

t |f(u)|du ≤ e|t|⌡⌠0

t f (u)du ≤ |t|e|t| f (|t|) (iii)

De (i) et (ii) on a :

J= –q ∑j=0

mf(j)(0) - ∑

j=0

m. ∑k=1

mf(j)(αk)

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77

La somme sur k est un polynôme symétrique en Lα1,....Lαn à coefficients entiers.Il résulte alors du théorème d’algèbre sur les polynômes symétriques que la somme sur k estun nombre entier.En outre, puisque f(j)(αk)= 0 quand j<p, ce nombre est divisible par p!On remarque que f(j)(0) est aussi un rationnel divisible par p! quand j ≠ p-1 et quef(p-1)(0) = (p-1)!(-Lnp)(α1....αk)p est divisible par (p-1)! mais pas par p!Si on prend un p assez grand, il en résulte que si p>q, |J| ≥ (p-1)!Or de (iii), on a :|J| ≤ |α1|e|α1| f (|αn|) +...+|αn|ne|αn| f (|αn|) ≤ cp ( c est une constante indépendante de p)Les deux inégalités sont incompatibles quand p choisi est assez grand, alors π est transcendant

La transcendance de π peut être prouvée d’une autre manière, utilisant le théorème de Baker :

Si un nombre complexe z est tel que z et ex sont algébriques, alors z=0, c’est à dire que si z≠0,alors z et ex ne peuvent être tous deux algébriques.

Posons z = iπ ≠ 0, on a ex = eiπ = – 1, qui est algébrique. Ainsi, z est transcendant (d’après lethéorème de Baker), c’est à dire que iπ est transcendant.

Si π était algébrique, iπ serait également algébrique (car i, étant la racine du polynôme x²+1=0, est algébrique). On aboutit ainsi à une contradiction.

De ce fait, π est transcendant.

Théorème d’Hermite-Lindemann :

Si α1, ...., αn sont des nombres algébriques non nuls, et A1,...,An des nombres algébriquesdistincts alors l’égalité : α1eA1+ α2eA2 +...+αneAn = 0 ne peut avoir lieu.

Cette formule généralise celle qu’avait prouvée Hermite en 1872, limitée à des coefficientsentiers.

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78

Conclusion.

Ainsi, après plus de 4000 ans de recherches, le problème de la quadrature du cercle estenfin résolu : il est impossible de construire dans la géométrie euclidienne avec une règle etun compas, un carré ayant la même aire qu’un cercle donné. On peut penser que cela met finaux recherches des mathématiciens, mais au contraire ils sont nombreux à essayer de réfuterles travaux de Lindemann car ils refusent l’impossibilité de ce problème. En effet ce problèmefascine depuis très longtemps, et ceci sûrement à cause de son aspect philosophique etreligieux : le carré représentant dans toutes les religions la Terre et le cercle le Ciel, larésolution du problème symboliserait que le Ciel est accessible à l’homme.

Ce problème nous montre ainsi l’évolution des mathématiques, la découverte denouvelles notions. Il reflète aussi les contextes historiques car les courants d’idées serépandant à diverses époques se retrouvent dans les travaux mathématiques.

Le problème de la quadrature du cercle, tout de même possible dans la géométrie non-euclidienne, n’arrêtera pas de fasciner les scientifiques. Beaucoup au XXIème siècle s’yessayent en se servant même d’aspects physiques, jusqu’ici encore inexplorés. On peutimaginer que dans quelques années, voir quelques siècles, on trouvera une autre solution à laquadrature du cercle, mais ceci est très improbable dans la géométrie euclidienne, car depuis122 ans personne n’a réussit à réfuter la démonstration de Lindemann.

Enfin, un problème peut paraître simple en l’énonçant, mais il ne faut pas perdre devue que 4000 ans ont été nécessaire pour montrer l’impossibilité de la quadrature du cercle etmême après tant d’années, les mathématiciens n’ont pas encore exploré toutes les ouverturesdes solutions proposées. Ce problème, d’une très grande difficulté, peut être considéré commecelui qui, de toute l’histoire des mathématiques, a intéressé le plus de mathématiciens.

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79

Bibliographie.

Aristophane, Théâtre complet II, Edition de Victor-henry Debidour, Folio 1987.

Ball, Walter William Rouse, Récréation mathématiques et problèmes des temps anciens etmodernes, traduction de Mathematical recreations and problems of past and present times,Sceaux : J. Gabay, 1992 Reprod. En fac-sim. De l’éd. De Paris : A. Hermann, 1907-1909.

Barbarin, Paul, La géométrie non euclidienne, Paris : J. Gabay, 1990, reprod. En fac-sim. Del’éd. de Paris : Gauthier-Villars, 1928, Coll. Les Grands Classiques Gauthiers-Villars, ISSN0989-0602.

Carrega, Jean-Claude, Théorie des corps : la règle et le compas, Nouvelle édition en richied’exercices, Paris : Hermann, 1989, Coll. Formation des enseignants et formation continue,1402.

Delahaye, Jean Paul, Le fascinant nombre Pi, Paris : « Pour la science » : diff. Belin, 1997,Coll Bibliothèque pour la science, ISSN 0224-5159.

Fourrey, Emile, Curiosités Géométriques, éditions Vuibert.

Thèse de Marie Jacob : De la quadrature du cercle au siècle des Lumières

Montucla, Jean-Etienne, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris, Institutde recherche sur l’enseignement des mathématiques de l’Université de Paris VII, 1986.Reproduction des textes anciens, nouvelle série, 1.

Rouché, Eugène, Traité de géométrie élémentaire, Paris : gauthier-Villars, 1929-1931.

Ozanam, Jacques, Récréations mathématiques et physiques, Num. BNF de l’éd. de aris : C.A. Jombert 1778.

Adresses Internet :http://perso.wanadoo.fr/jm.nicolle/cusahttp://www.apmep-aix-mrs.org/bulletin/num07/bonnet.htmlhttp://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/PiHistor.htmhttp://www.sciences-en-ligne.comhttp://www.nombrepi.comhttp://coll-ferry-montlucon.pays-allier.com/gdscient.htm

Encyclopédie encarta 2002

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http://perso.wanadoo.fr/jm.nicolle/cusa

http://www.apmep-aix-mrs.org/bulletin/num07/bonnet.html

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/PiHistor.htm

http://www.sciences-en-ligne.com

http://www.nombrepi.com

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80

Résumés personnels du travail.

Florence BOVET :

Le sujet nous a interpellé presque tout de suite. En effet nous voulions traiter del’évolution des mathématiques dans l’histoire et le reflet des contextes historiques dans lestravaux des mathématiciens. La quadrature du cercle semblait être le sujet parfait car ilremplissait toutes nos attentes.

Le travail s’est bien passé. Dans un premier temps nous avons fait des recherches encommun, celles-ci nous permettant une vue d’ensemble assez complète du sujet. Dans unsecond temps nous nous sommes partagées le travail. Ce partage ne nous a pas empêché detravailler sur les autres parties car les aspects mathématiques n’étaient pas toujours trèssimples et beaucoup de mathématiciens reprenaient des travaux d’autres époques.

Marie-Anne Lafon :

Notre travail s’est divisé en deux étapes : une première qui consistait en une rechercheglobale pour nous imprégner du sujet, une seconde qui était plus individuelle puisqu’ils’agissait d’une recherche plus approfondie sur une époque, dans le but de préparer cetteépoque. La première étape était très agréable puisque chacune a essayer de connaître d’unemanière générale les principaux événements se rapportant au sujet, et ce pour chaque époque,ce qui nous a permis une vue d’ensemble assez complète. La seconde étape étant plusindividuelle nous nous sommes plus penchées sur la présentation du document lorsque noustravaillons ensemble, tout en restant prêtes à aider celle qui en aurait besoin (et donc tout enrestant proche de chaque époque).

Dieu Anh LE VU :

Je pense que le sujet a été bien choisi, il n'est ni trop difficile ni trop familier, du pointde vue mathématique ainsi qu'au point de vue historique.

Le partage du travail et l'élaboration du plan étaient précis et rapides.Cela dit, il s'agit bien d'un travail en équipe puisque la recherche de la quadrature

exacte du cercle se fait de siècles en siècles et il arrive que certains mathématiciens se serventdes résultats des mathématiciens d'autres époques (notamment ceux d'Archimède).

La recherche des documents concernant la quadrature du cercle a été simplifiée par lapermission d'accès à la bibliothèque scientifique d'Henri-Poincaré et les livres consultables àla bibliothèque Sainte-Geneviève.

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Documents

Étude historique de la quadrature du cercle