Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des

Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) en laboratoire

Mémoire

Michaël Landry

Maîtrise en sciences géomatiques

Maître ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Michaël Landry, 2017

Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) en laboratoire

Mémoire

Michaël Landry

Sous la direction de :

Christian Larouche, directeur de recherche

Marc Cocard, codirecteur de recherche

iii

Résumé

Le scanner LiDAR est une technologie de plus en plus populaire auprès des ingénieurs,

arpenteurs-géomètres, architectes et autres professionnels qui ont recours à la

modélisation 3D dans le cadre de leur travail. L'intégration de ce capteur à un système de

navigation (IMU + GNSS) permet de former un Système LiDAR Mobile (SLM). Les SLM

ont été initialement développés pour des véhicules aéroportés, mais ont été plus

récemment adaptés aux véhicules terrestres. Toutes les observations du SLM sont

combinées pour former un nuage de points par géoréférencement direct. De manière à

limiter la propagation des erreurs systématiques dues à l'assemblage de ces capteurs, un

calibrage du système est nécessaire.

Le calibrage d'un SLM implique la détermination des bras de levier et des angles de visée

qui correspondent sommairement à la distance et à l'orientation entre le LiDAR et l'IMU.

Le fabricant fournit habituellement des valeurs pour ces éléments, mais il est nécessaire

de peaufiner ces valeurs qui sont propres à chaque système. Étant donné qu'il est

impossible de déterminer précisément les angles de visée avec des mesures manuelles,

les observations sur le terrain sont utilisées afin de les estimer (calibrage in situ). Un

problème avec le calibrage in situ est que les observations GNSS introduisent des erreurs

de plusieurs centimètres dans la solution, ce qui nuit au calibrage. Pour éliminer le recours

aux observations GNSS, des méthodes alternatives de calibrage s'imposent.

Le but de ce travail de recherche est d'instaurer une procédure de cueillette et de

traitement des données acquises par un SLM en laboratoire de façon à développer une

méthode de calibrage libre d'erreurs de positionnement GNSS. Cette méthode de

calibrage doit permettre d'estimer les angles de visée et les bras de levier d'un SLM à

partir des instruments et des infrastructures présentes au laboratoire de métrologie de

l’Université Laval.

iv

Abstract

The LiDAR scanner is an increasingly popular technology for engineers, land surveyors,

architects and other professionals who use 3D modeling as part of their work. The

integration of this sensor with a navigation system (IMU + GNSS) makes it possible to form

a Mobile LiDAR System (MLS). MLSs were originally developed for airborne vehicles, but

were more recently adapted to land vehicles. All MLS observations are combined to form a

point cloud by direct georeferencing. In order to limit the propagation of systematic errors

due to the assembly of these sensors, it is necessary to properly calibrate the system.

The calibration of an MLS involves the determination of the lever arms and boresight

angles that correspond to the distance and orientation between the LiDAR and the IMU.

The manufacturer usually provides values for these elements, but it is necessary to fine-

tune these values that are unique to each system. Since it is impossible to accurately

determine boresight angles with manual measurements, field observations are used to

estimate them (in situ calibration). A problem with in situ calibration is that GNSS

observations introduce errors of several centimeters into the solution, which is harmful for

a proper calibration. In order to eliminate the need for GNSS observations, alternative

methods of calibration are required.

The aim of this research is to set up a procedure for the collection and processing of data

acquired by an MLS in a laboratory in order to develop a calibration method free of GNSS

positioning errors. This calibration method should allow estimation of the boresight angles

and the lever arms of an MLS with the instruments and infrastructures inside the metrology

laboratory of Laval University.

v

Table des matières

Résumé ............................................ ..................................................................... iii

Abstract .......................................... ....................................................................... iv

Table des matières ................................ ................................................................ v

Liste des tableaux ................................ .............................................................. viii

Liste des figures ................................. .................................................................. xi

Remerciements ..................................... .............................................................. xiii

Chapitre 1 : Introduction ...................................... .............................................. 1

1.1. Mise en contexte....................................................................................................... 1 1.2. Problématique .......................................................................................................... 4 1.3. Solution proposée ..................................................................................................... 8 1.4. Objectifs ................................................................................................................... 9

Chapitre 2 : Revue de littérature .............................. ........................................ 12

2.1. Les méthodes de calibrage non rigoureuses ........................................................... 12 2.2. Les méthodes de calibrage semi-rigoureuses in situ ............................................... 15 2.3. Les méthodes rigoureuses de calibrage in lab ........................................................ 22

Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie ................... ............................. 27

3.1. Description sommaire de la méthode ...................................................................... 27 3.2. La localisation par intersection spatiale ................................................................... 29 3.3. La transformation de coordonnées ......................................................................... 39 3.4. Le rattachement des distances interférométriques au système de coordonnées de

référence ................................................................................................................ 43 3.5. La localisation des cibles ........................................................................................ 56 3.6. L'incertitude des cibles ............................................................................................ 61 3.7. Détermination des coordonnés des cibles par scanner LiDAR terrestre .................. 67 3.8. Acquisition de données avec le SLM pour le calibrage ........................................... 70

Chapitre 4 : Traitement des données ............................ .................................. 76

4.1. Retour sur les observations à traiter ....................................................................... 76 4.2. Enregistrement des nuages de points LiDAR terrestre ........................................... 79 4.3. Géoréférencement des nuages de points LiDAR terrestre ...................................... 81 4.4. Formation du nuage de points à partir des données LiDAR mobile ......................... 88 4.5. Nettoyage des points erratiques ............................................................................. 95

Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage ................... ........................... 99

vi

5.1. Définition des équations.......................................................................................... 99 5.2. Pondération des observations............................................................................... 103 5.3. Linéarisation des équations .................................................................................. 104 5.4. Formation des matrices par une approche de construction séquentielle ............... 107 5.5. Estimation des paramètres et de leur incertitude .................................................. 108

Chapitre 6 : Présentation des résultats ........................ ................................. 112

6.1. Résultats de la collecte du 16 mai 2016 ................................................................ 112 6.2. Résultats de la collecte du 22 décembre 2017 ...................................................... 123

Chapitre 7 : Analyse des résultats.............................. ................................... 127

7.1. Différence entre les paramètres par rapport à leur écart-type estimé .................... 127 7.2. Tests statistiques sur le facteur de variance ......................................................... 128 7.3. Installation du MX2 sur le banc de calibrage ......................................................... 132 7.4. Fidélité et justesse des mesures de portée LiDAR ................................................ 136 7.5. Fidélité et justesse des observations de l'IMU....................................................... 139 7.6. Impact des paramètres de calibrage sur les observations ..................................... 143

Chapitre 8 : Conclusion ........................................ .......................................... 150

8.1. Retour sur les objectifs ......................................................................................... 150 8.2. Recommandations pour des travaux futurs ........................................................... 152

Bibliographie ..................................... ................................................................ 156

Annexe A : Fonctions Matlab permettant de traiter l es données recueillies par les stations totales et l'interféromètre .......... ................................................... 159

A.1. F_BacksideCorrection .......................................................................................... 159 A.2. F_AngleCalculator ................................................................................................ 159 A.3. F_CoordCalculator ................................................................................................ 160 A.4. F_ScaleDist .......................................................................................................... 160 A.5. F_Alignment ......................................................................................................... 161 A.6. F_PointToLine ...................................................................................................... 161 A.7. F_RotationTranslation .......................................................................................... 161 A.8. F_det_param6 ...................................................................................................... 162 A.9. F_apply_param6 ................................................................................................... 162 A.10. F_UTMmerid ......................................................................................................... 163 A.11. F_UTMproj ............................................................................................................ 163 A.12. F_UTMproj_inv ..................................................................................................... 163 A.13. F_VarCovMatrix .................................................................................................... 164 A.14. F_Local2GlobalUTM ............................................................................................. 164

Annexe B : Fonctions Matlab permettant d'éliminer l es points erratiques .. 165

B.1. F_SphereCenterExtractor ..................................................................................... 165 B.2. F_SphereFitFixedRadius ...................................................................................... 165

vii

Annexe C : Fonctions Matlab permettant d'appliquer la nouvelle méthode de calibrage.......................................... ................................................................... 166

C.1. F_Calibration ........................................................................................................ 166 C.2. F_ComputeXYZPoint_1Line ................................................................................. 166 C.3. F_RecomputeXYZ ................................................................................................ 167

viii

Liste des tableaux

Tableau 2.1 : Résultats de l’application de la méthode de Le Scouarnec et al. (2014) ..... 25 Tableau 3.1 : Fiche technique des stations totales utilisées ............................................. 29 Tableau 3.2 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette directe ............................... 31 Tableau 3.3 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette renversée .......................... 31 Tableau 3.4 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette directe ............................... 31 Tableau 3.5 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette renversée .......................... 31 Tableau 3.6 : Correction à apporter à toutes les observations ......................................... 32 Tableau 3.7 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires graduées ..... 38 Tableau 3.8 : Correction de la distance entre les stations avec un facteur échelle ........... 38 Tableau 3.9 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires après la

correction de la distance entre les stations ................................................ 39 Tableau 3.10 : Coordonnées mesurées des pointés d'orientation sur le banc de calibrage

.................................................................................................................. 41 Tableau 3.11 : Coordonnées du point moyen .................................................................. 41 Tableau 3.12 : Définition du paramètre de translation à appliquer.................................... 42 Tableau 3.13 : Définition du paramètre de rotation à appliquer ........................................ 42 Tableau 3.14 : Coordonnées transformées des pointés d'orientation sur le banc de

calibrage ................................................................................................... 43 Tableau 3.15 : Coordonnées des trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU ......... 48 Tableau 3.16: Coordonnées mesurées des quatre trous au site numéro 2 ...................... 51 Tableau 3.17 : Coordonnées du centre de l'IMU dans le système de coordonnées global 52 Tableau 3.18 : Coordonnées de la pointe dans le système de coordonnées global ......... 52 Tableau 3.19 : Valeur des constantes initiales à chaque site ........................................... 53 Tableau 3.20 : Lacet mesuré à chacun des trois sites...................................................... 54 Tableau 3.21 : Comparaison entre les deux collectes de données................................... 54 Tableau 3.22 : Constantes initiales et lacet en direction inverse ...................................... 55 Tableau 3.23 : Hauteur totale de l'ensemble formé par la pointe de jalon et l'adaptateur

d'embase .................................................................................................. 58 Tableau 3.24 : Coordonnées ellipsoïdales de la pointe d'origine ...................................... 60 Tableau 3.25 : Coordonnées UTM de la pointe d'origine .................................................. 60 Tableau 3.26 : Coordonnées UTM des sphères déterminées par intersection spatiale .... 61 Tableau 3.27 : Écart-type des mesures de directions horizontales et verticales calculé à

partir des observations par rapport à l'erreur de fidélité théorique de l’instrument ............................................................................................... 62

Tableau 3.28 : Écart-type associé à chaque type d'observation ....................................... 63 Tableau 3.29 : Écart-type des coordonnées des sphères dans le système de référence

global ........................................................................................................ 64 Tableau 3.30 : Paramètres d'acquisition du FARO Focus 3D X330 ................................. 69 Tableau 4.1 : Description sommaire des programmes permettant de traiter les données

recueillies par les stations totales et l'interféromètre ................................. 78 Tableau 4.2 : Résiduelles de l'enregistrement des deux nuages de points ...................... 80 Tableau 4.3 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence ............ 81 Tableau 4.4 : Écart-type des observations des sphères de référence par rapport à l'écart-

type de toutes les observations ................................................................. 82 Tableau 4.5 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence pour

chaque scan.............................................................................................. 85

ix

Tableau 4.6 : Résiduelles de la transformation des trois sphères de référence pour chaque scan .......................................................................................................... 85

Tableau 4.7 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence ............ 86 Tableau 4.8 : Caractéristiques et coordonnées des 18 sphères extraites du nuage de

points ........................................................................................................ 87 Tableau 4.9 : Les cinq grandes étapes permettant de modifier le fichier de navigation .gps

.................................................................................................................. 90 Tableau 4.10 : Liste des observations contenues dans le fichier de navigation devant faire

l'objet de modifications .............................................................................. 91 Tableau 4.11 : Observations de tous les capteurs permettant de localiser un point à la

surface d'une sphère ................................................................................. 95 Tableau 4.12 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'éliminer

les points erratiques .................................................................................. 96 Tableau 4.13 : Comparaison des nuages de points avant et après le nettoyage .............. 97 Tableau 5.1 : Valeur des bras de levier et des angles de visée a priori .......................... 101 Tableau 5.2 : Dérivées partielles formant la matrice B ................................................... 104 Tableau 5.3 : Dérivées partielles formant la première matrice �1 .................................. 105 Tableau 5.4 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �2 ................................. 105 Tableau 5.5 : Dérivées partielles formant la matrice A ................................................... 105 Tableau 5.6 : Dérivées partielles formant la première matrice �1 .................................. 106 Tableau 5.7 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �2 ................................. 106 Tableau 5.8 : Dimensions des matrices ......................................................................... 107 Tableau 5.9 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'appliquer

la nouvelle méthode de calibrage ............................................................ 111 Tableau 6.1 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage ............... 113 Tableau 6.2 : Estimation de l'erreur de portée du laser du MX2 ..................................... 116 Tableau 6.3 : Coordonnées des sites d'échantillonnage ................................................ 117 Tableau 6.4 : Largeur mesurée entre les murs par les deux instruments ....................... 118 Tableau 6.5 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type 120 Tableau 6.6 : Valeurs des paramètres avant et après le calibrage ................................. 120 Tableau 6.7 : Écarts par rapport aux sphères de référence après le calibrage pour la

solution à sept paramètres ...................................................................... 121 Tableau 6.8 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage sans

considérer l'erreur de portée du laser ...................................................... 122 Tableau 6.9 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction et de leur écart-type

................................................................................................................ 122 Tableau 6.10 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à quatre

paramètres .............................................................................................. 123 Tableau 6.11 : Paramètres estimés dans les 2 directions .............................................. 124 Tableau 6.12 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à sept

paramètres dans les deux directions ....................................................... 124 Tableau 6.13 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type

pour la solution dans les deux directions ................................................. 125 Tableau 6.14 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution complète à

sept paramètres ...................................................................................... 125 Tableau 6.15 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction pour toutes les

collectes de données .............................................................................. 126 Tableau 7.1 : Comparaison du facteur de variance entre les 2 collectes de données .... 130

x

Tableau 7.2 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés le 16 mai 2016 sur le centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre 2016................................................................................................................ 145

Tableau 7.3 : Différence entre les paramètres de correction entre les deux collectes en direction avant ......................................................................................... 146

Tableau 7.4 : Différence entre les paramètres de calibrage entre les deux directions pour la collecte du 22 décembre 2016 ............................................................. 146

Tableau 7.5 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés en direction avant sur le centre des sphères mesurées par le MX2 en direction arrière pour la collecte du 22 décembre 2016..................................................... 147

Tableau 7.6 : Différence entre les paramètres de correction après l'ajout d'une constante sur la coordonnée Y du centre de l'IMU en direction arrière .................... 149

xi

Liste des figures

Figure 1.1 : Balayage de la scène avec un scanner LiDAR 2D par le déplacement d'un véhicule (Cahalane et al., 2014) .................................................................. 2

Figure 1.2 : Exemple d'un SLM monté sur une camionnette (Position Partners, 2010) ...... 2 Figure 1.3 : Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (roll), de

tangage (pitch) et de lacet (heading) (Oxford Technical Solutions Ltd., 2014).................................................................................................................... 3

Figure 1.4 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la localisation des murs et du toit d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al., 2010) .................................................................................... 5

Figure 1.5 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la localisation des détails d'une toiture d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al., 2010) .................................................................... 6

Figure 1.6 : Interféromètre laser et banc de calibrage du Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval .................... 8

Figure 1.7 : Drone LiDAR AL3-16 de la marque Phoenix Aerial (Phoenix Aerial Systems, 2014)......................................................................................................... 10

Figure 1.8 : Système LiDAR mobile personnalisé à l'UQAR (Didier et al., 2015) .............. 10 Figure 2.1 : Méthode d'ajustement proposée par Kilian, Haala et Englich (1993) ............. 13 Figure 2.2 : Montage LiDAR-IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec

et al., 2014) ............................................................................................... 23 Figure 2.3 : Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,

2014)......................................................................................................... 23 Figure 3.1: Pièce immobile (origine du système de coordonnées) ................................... 28 Figure 3.2 : Pièce mobile (orientation du système de coordonnées) ................................ 28 Figure 3.3: Triangle formé par la méthode de l'intersection spatiale ................................. 30 Figure 3.4 : Position des mires et des stations totales dans le laboratoire ........................ 36 Figure 3.5 : Type de cible utilisée aux extrémités de chaque mire ................................... 37 Figure 3.6: Les trois axes du système de coordonnées global ......................................... 40 Figure 3.7 : Localisation de la pièce mobile pour les mesures d'orientation du banc de

calibrage ................................................................................................... 40 Figure 3.8 : Le SLM fixé au charriot mobile sur le banc de calibrage ............................... 44 Figure 3.9 : Les différentes versions du MX2 (Trimble, 2014) .......................................... 44 Figure 3.10 : Les trois composantes interférométriques ................................................... 45 Figure 3.11 : Position de l'IMU sur le banc de calibrage ................................................... 46 Figure 3.12 : Plan de conception du fabricant (Trimble, 2013a) ....................................... 48 Figure 3.13 : Vue du dessus du MX2 ............................................................................... 49 Figure 3.14 : Trous faits sur mesure sur la plateforme fixée au charriot mobile ................ 50 Figure 3.15 : Éléments mesurés aux trois sites sur le banc de calibrage ......................... 51 Figure 3.16 : Sphère fixée à une embase ........................................................................ 57 Figure 3.17 : Pointe de jalon fixée à une embase ............................................................ 57 Figure 3.18 : Trois pointes de jalon (à gauche) et grande sphère (à droite) ..................... 57 Figure 3.19 : Modèle de vernier électronique utilisé ......................................................... 58 Figure 3.20 : Impact de la position d’une sphère sur la géométrie du triangle d’observation

.................................................................................................................. 65 Figure 3.21 : Répartition des damiers dans le laboratoire ................................................ 66 Figure 3.22 : Répartition des sphères dans le laboratoire ................................................ 67 Figure 3.23 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 1 ........................... 68

xii

Figure 3.24 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 2 ........................... 68 Figure 3.25 : Démonstration de la couverture d’une sphère avec des lignes de scan ...... 74 Figure 4.1 : Plan de localisation du scanner par rapport aux sphères dans le laboratoire 84 Figure 4.2 : Nuage de points capté par un scanner LiDAR mobile ................................... 93 Figure 4.3 : Sélection manuelle des points sur la sphère 12 ............................................ 94 Figure 4.4 : Sélection manuelle des points sur la sphère 16 ............................................ 94 Figure 6.1 : Écart sur la sphère numéro 11 .................................................................... 114 Figure 6.2 : Écart sur la sphère numéro 16 .................................................................... 114 Figure 7.1 : Estimation de l'angle de visée associé au lacet (Ψ) .................................... 127 Figure 7.2 : Estimation de l'angle de visée associé au roulis (φ) .................................... 127 Figure 7.3 : Estimation de l'angle de visée associé au tangage (θ) ................................ 128 Figure 7.4 : Estimation de l'erreur de portée du laser (ρ) ............................................... 128 Figure 7.5 : Espace entre la vis et le trou de fixation ...................................................... 132 Figure 7.6 : Plan du fabricant montrant l’axe central du MX2 (Trimble, 2013a) .............. 136 Figure 7.7 : Émetteur et récepteur du pulse laser du MX2 ............................................. 137 Figure 7.8 : Nuage de points de la sphère 12 (vue en angle) ......................................... 138 Figure 7.9 : Ligne de scan de la sphère 5 (vue en coupe) .............................................. 138 Figure 7.10 : Écart-type du lacet, du roulis et du tangage en fonction du temps ............. 140 Figure 7.11 : Roulis et tangage en fonction du temps .................................................... 140 Figure 7.12 : Roulis en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système de

coordonnées global ................................................................................. 141 Figure 7.13 : Tangage en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système

de coordonnées global ............................................................................ 142

xiii

Remerciements

Deux années, ça passe vite. À pareille date, il y a deux ans, je terminais mon baccalauréat

et je pensais seulement à réussir les examens d'admission à l'Ordre des arpenteurs-

géomètres du Québec. La possibilité de poursuivre mes études à la maîtrise ne prenait

pas encore beaucoup de place dans mon esprit. Pourtant, me voilà déjà tout près d'avoir

un deuxième diplôme universitaire en poche. Ce parcours aurait toutefois été plus difficile

sans plusieurs personnes sur lesquelles j'ai pu compter.

Je voudrais profiter de ce moment pour tout d'abord remercier Christian Larouche, mon

directeur de recherche. Nos nombreux échanges et rencontres m'ont permis d'avancer

dans ce projet et d'atteindre mes objectifs. J'ai aussi beaucoup apprécié son aide pour la

cueillette, le traitement et l'analyse des données. En gros, je veux le remercier pour sa

grande disponibilité!

Je veux aussi remercier Marc Cocard, mon codirecteur de recherche, pour ses conseils et

ses enseignements sur la théorie de la méthode des moindres carrés qui ont été très utiles

dans ce travail. Merci aussi d'avoir pris le temps de répondre à toutes mes questions et de

m'avoir éclairé sur le cheminement à suivre pour la poursuite d'études au deuxième cycle.

J'aimerais aussi remercier Guy Montreuil qui a fabriqué des pièces sur mesure pour mon

projet et qui a été d'une précieuse aide lors de mes journées passées au laboratoire. Merci

aussi à Sylvie Daniel pour le prêt d'un scanner LiDAR terrestre et de ses accessoires qui

ont été indispensables pour mon travail de recherche. Je tiens également à remercier les

gens du Département des sciences géomatiques avec qui c'est toujours plaisant

d'échanger sur des sujets qui peuvent être plus ou moins sérieux.

Je tiens aussi à remercier la Faculté de foresterie, de géographie et de géomatique via le

Fonds de démarrage aux nouveaux chercheurs : mesure et captage haute précision

obtenu par mon directeur de recherche pour le soutien financier constant reçu tout au long

de cette maîtrise. Je remercie également le Fonds Joncas de l'Ordre des arpenteurs-

géomètres du Québec pour la bourse d'études qu'ils m'ont décernée. Un coup de pouce

financier est toujours apprécié!

xiv

Un grand merci à Trimble Geospatial pour le prêt du MX2 et à Yves Thériault du Service

de la géodésie et des levés géospatiaux du Ministère de l'Énergie et des Ressources

naturelles pour le prêt d'un câble GPS qui ont permis de rendre possible l'acquisition de

données dans le cadre de ce projet.

Merci à Robert, mon patron, et à tous mes collègues chez Ecce Terra arpenteurs-

géomètres avec qui je travaille depuis cinq ans. Merci de m'avoir encouragé dans mes

études et d'avoir été compréhensifs face à mon horaire qui n'était pas toujours facile ces

deux dernières années! Merci également pour le prêt d'un scanner LiDAR terrestre et de

ses accessoires qui m'ont été utiles à quelques occasions lors de cette maîtrise.

Je veux aussi remercier ma famille et mes amis. Avec le travail et les études, on n'a pas

toujours le temps d'être présent pour ceux qu'on aime. Je tiens spécialement à remercier

mes parents qui ont toujours été fiers de moi et qui m'ont toujours appuyé dans ce que

j'entreprends. Je tiens aussi à remercier Laurence, ma belle-sœur, qui a pris la peine de

lire ce mémoire en entier et de me faire part de ses commentaires.

Finalement, je tiens à remercier ma copine Gabrielle qui partage ma vie depuis maintenant

cinq ans. Les dernières années n'ont pas toujours été faciles avec mon horaire très

chargé. Heureusement qu'elle ne chôme pas non plus de son côté, car elle aurait trouvé le

temps long à m'attendre! On va enfin pouvoir relaxer un peu cet été et profiter de notre

nouvelle maison.

Encore une fois merci à tous!

Michaël

Chapitre 1 : Introduction

1


1.1. Mise en contexte

L'effervescence de la géomatique au cours des 20 dernières années est principalement

liée à l'émergence des nouvelles technologies. Une des technologies récentes qui

révolutionne la collecte de données géospatiales est le LiDAR. De l'acronyme anglais

Light Detection And Ranging, le LiDAR est un système de captage de données qui utilise

la technologie laser pour effectuer la modélisation d'éléments sous la forme d'un nuage de

points.

Le principe sur lequel repose la localisation d'un point par un scanner LiDAR est la mesure

par réflexion directe, c'est-à-dire la mesure de portée par onde électromagnétique sans

l'utilisation d'une cible ou d'un prisme. Pour localiser un point à l'aide de cette technique, le

scanner LiDAR émet une impulsion laser et démarre un chronomètre. Le faisceau laser

est dévié par un miroir rotatif. La position angulaire du miroir est connue en tout temps et il

est donc possible de connaître la direction initiale du faisceau laser. Cette impulsion est

réfléchie lorsqu'elle entre en contact avec un objet et elle retourne en direction de

l'instrument qui arrête le chronomètre au retour de l'onde (Daniel, 2015).

Le temps inscrit sur le chronomètre renseigne sur le temps de parcours de l'onde dans le

milieu. Puisqu’une onde électromagnétique voyage dans le vide à la vitesse de la lumière,

on peut calculer la distance entre l'objet mesuré et l'origine du capteur LiDAR avec

l'Équation 1.1.

� = � × 2 (1.1)

où � ∶ mesure de portée laser;

� ∶ temps de parcours de l'onde dans le milieu; et

∶ vitesse de la lumière.

En mode statique, un scanner LiDAR 2D émet des pulses laser selon un arc de cercle

bien défini. Lorsque le miroir rotatif effectue un tour complet, une nouvelle série de

faisceaux laser sera réémise dans la même direction qu'à la révolution précédente.


2

Cependant, lorsqu'il est mis en mouvement, ce capteur permet d'effectuer un balayage de

la scène et de capter des données sur une plus grande étendue, tel qu’illustré à la Figure

1.1.

Figure 1.1 : Balayage de la scène avec un scanner LiDAR 2D par le déplacement d'un

véhicule (Cahalane et al., 2014)

La possibilité d'acquérir des données en déplaçant le capteur LiDAR a mené au

développement des premiers Systèmes LiDAR Mobile (SLM). Ces systèmes ont tout

d'abord été développés pour les plateformes aéroportées pour ensuite être adaptés aux

véhicules terrestres tels des voitures, des véhicules tout terrain, etc. Un exemple de SLM

monté sur une plateforme terrestre est présenté à la Figure 1.2.

Figure 1.2 : Exemple d'un SLM monté sur une camionnette (Position Partners, 2010)


Les SLM possèdent trois composantes principales : un capteur actif, soit le

cas présent, une centrale inertielle communément

positionnement GNSS. L'apport de la première composante étant le

décrit ci-haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux

autres composantes.

Un IMU (Inertial Measurement Unit

et de gyroscopes qui permet de déterminer l'ori

d'une plateforme peut être décrite par trois angles mesurés par rapport aux trois axes

orthogonaux d'un système de coordonnées : le roulis, le tangage et le lacet, tel que montré

à la Figure 1.3.

Figure 1.3 : Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (

tangage (pitch) et de lacet

Le système de positionnement GNSS (Global Navigation Satellite System) est en fait le

regroupement des différente

(GLONASS), européenne (Galileo) et chinoise (

positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui

souvent complété par un autre capteur appelé DMI (

composé d’un encodeur optique installé sur une des roues du véhicule. Ce capteur produit

des mesures de déplacement

navigation et permettent d’assurer une

situations de dégradation ou de perte du signal GNSS. Il est également possible d'ajouter

une composante supplémentaire aux SLM comme des caméras numériques qui vont

permettre la prise d'images en même temps

3

Les SLM possèdent trois composantes principales : un capteur actif, soit le LiDAR

cas présent, une centrale inertielle communément nommée IMU et un système de

positionnement GNSS. L'apport de la première composante étant le LiDAR

haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux

Inertial Measurement Unit) est un instrument électronique muni d'accéléromètres

et de gyroscopes qui permet de déterminer l'orientation d'une plateforme. L'orientation



: Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (

) et de lacet (heading) (Oxford Technical Solutions Ltd., 2014)


regroupement des différentes constellations de satellites américaine

(GLONASS), européenne (Galileo) et chinoise (BeiDou/Compass). Le système de

positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui

souvent complété par un autre capteur appelé DMI (Distance Measurement Instru


de déplacement du véhicule, lesquelles sont intégrées à la solution de

navigation et permettent d’assurer une qualité de positionnement optimale dans



permettre la prise d'images en même temps que la capture des nuages de points.

LiDAR dans le

et un système de

LiDAR a déjà été

haut. Des précisions supplémentaires doivent cependant être apportées aux deux

) est un instrument électronique muni d'accéléromètres

entation d'une plateforme. L'orientation



: Exemple d'une plateforme aérienne illustrant le mouvement de roulis (roll), de

(Oxford Technical Solutions Ltd., 2014)


américaine (GPS), russe

Compass). Le système de

positionnement GNSS et l'IMU forment le système de navigation d'un véhicule. Celui-ci est

Distance Measurement Instrument)


du véhicule, lesquelles sont intégrées à la solution de

optimale dans les



de points.


4

Les trois composantes principales d'un SLM effectuent des observations selon une

fréquence propre à chacun de ces instruments de mesure. La haute stabilité de l'horloge

interne du récepteur GNSS permet toutefois de synchroniser ces capteurs de façon à

combiner leurs observations selon la même référence temporelle. La combinaison de ces

instruments de mesure permet de capter des centaines de milliers de points par seconde

avec une incertitude de quelques centimètres. Cependant, tel que discuté à la section

suivante, la fidélité de mesure d'un instrument ne garantie pas sa justesse.

1.2. Problématique

Deux types d'erreurs affectent la qualité des mesures d'un SLM, soit les erreurs aléatoires

et les erreurs systématiques. Les erreurs aléatoires sont liées à la fidélité des observations

mesurées par les différents instruments tandis que les erreurs systématiques ont un lien

avec la justesse des mesures. La fidélité d'un instrument est sa capacité à être constant

dans sa prise de mesure tandis que la justesse d'un instrument est sa capacité à mesurer

le plus près possible d'une valeur de référence (JCGM, 2012). Le concept d'écart-type est

rattaché à la fidélité tandis que l'erreur moyenne quadratique est rattachée à la justesse.

En géomatique, les instruments de captage de données doivent être fidèles et justes,

c'est-à-dire qu'ils doivent non seulement toujours fournir des valeurs près les unes des

autres, mais ils doivent aussi fournir des valeurs les plus proches possible de la réalité. La

meilleure façon d'assurer la justesse des mesures est d'effectuer un calibrage des

instruments.

Le principe du calibrage consiste à ajuster les instruments de mesure de façon à éliminer

les erreurs systématiques, soit les biais présents dans les observations. Le terme

calibrage s'apparente au terme ajustage d'un système de mesure (JCGM, 2012). Ce

procédé diffère de l'étalonnage qui consiste à déterminer une relation entre les valeurs

mesurées par un instrument et les valeurs réelles fournies par un étalon. Deux séries de

paramètres jouent un rôle clé dans le géoréférencement d'un nuage de points capté par

un SLM. Ces paramètres modélisent la géométrie interne entre les capteurs. La première

série de paramètres correspond aux bras de levier entre le LiDAR et l'IMU, soit la distance

entre l'origine du LiDAR et le centre de gravité de l'IMU décomposée dans un système

d'axes orthogonaux en trois dimensions étant le système de coordonnées de l'IMU. Les

bras de levier forment le vecteur � �� contenu dans l'Équation 2.1 présentée au chapitre

suivant. L'orientation relative entre les systèmes d'axes du LiDAR et de l'IMU, exprimée


5

par trois angles étant les angles de visée, correspond à la deuxième série de paramètres

à déterminer par calibrage. Ces trois angles forment la matrice de changement de repère � �� contenue dans l'Équation 2.1. Des valeurs pour les bras de levier et les angles de

visée sont généralement fournies par le fabricant. Le calibrage sert donc à peaufiner les

valeurs de ces paramètres de manière à minimiser l'impact des erreurs systématiques. Un

troisième paramètre doit aussi être estimé lors du calibrage d'un SLM. Ce paramètre est la

latence qui correspond à l'erreur de synchronisation entre deux systèmes de mesure

causée par le délai requis pour la transmission des données. Étant donné qu'un SLM de

qualité commerciale a été utilisé dans le cadre de ce travail de maîtrise, ce paramètre

n'est pas traité dans ce mémoire.

Tel que mentionné précédemment, les SLM effectuent la collecte de données sous la

forme d'un nuage de points. Advenant le cas où un SLM effectuerait deux passages au

même endroit, les nuages de points propres à ces deux passages devraient

théoriquement se superposer parfaitement. De ce fait, les seuls écarts qu'il serait possible

de distinguer entre les nuages de points seraient dus aux erreurs aléatoires des mesures.

Lorsque les angles de visée et les bras de levier sont mal modélisés, il est possible de

constater des écarts plus ou moins grands entre les nuages de points. Par exemple, les

représentations des murs et du toit d'un bâtiment présent dans plusieurs nuages de points

seraient décalées les unes par rapport aux autres, tel qu'illustré à la Figure 1.4.

Figure 1.4 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la

localisation des murs et du toit d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger et al.,

2010)


6

Le comportement des surfaces planes permet de bien distinguer les biais présents dans

les nuages de points mesurés par un SLM non calibré. Des points pris séparément ne

bénéficient pas de l'effet de groupe d'un plan. La Figure 1.5 fournit un plan rapproché de la

Figure 1.4 montrant la différence entre les nuages de points pour la toiture du même

bâtiment avant et après le calibrage.

Figure 1.5 : Impact d'un SLM non calibré (à gauche) vs un SLM calibré (à droite) sur la

localisation des détails d'une toiture d'un bâtiment à partir de plusieurs passages (Rieger

et al., 2010)

La détermination des angles de visée et des bras de levier par calibrage est donc

nécessaire pour assurer que les données acquises par ce système soient exemptes

d'erreurs systématiques. L'impact des erreurs de calibrage est directement observable

dans le nuage de points. C'est pour cette raison que la plupart des méthodes de calibrage

utilisent les observations elles-mêmes de manière à détecter les erreurs systématiques et

à les modéliser. Étant donné que les observations sont utilisées, il est certain que la

fidélité et la justesse de celles-ci influencent la qualité du calibrage. Ces éléments sont

directement liés au capteur utilisé.

La plupart des scanners LiDAR permettent de mesurer des portées avec une erreur de

fidélité et de justesse de 1 centimètre ou moins à une distance pouvant aller jusqu'à 50

mètres. Par exemple, le modèle MX8 de Trimble avec une configuration VQ-450 permet

d'enregistrer des mesures de portée avec une erreur de justesse de 8 millimètres et une

erreur de fidélité de 5 millimètres à une distance de 50 mètres (Trimble, 2013c). Une

erreur exprimée en fonction d'une distance de 50 mètres dans un contexte d'acquisition

avec un SLM est très représentative puisqu'en milieu urbain, les façades des bâtiments et


7

les éléments à mesurer sont souvent situés à une distance inférieure à cette valeur qui

devient en quelque sorte l'erreur maximale.

Les angles mesurés par l'IMU contribuent aussi aux erreurs aléatoires présentes dans le

nuage de points. La plupart des usagers des SLM n'utilisent pas directement les valeurs

mesurées de ces angles, mais optent plutôt pour une solution en post-traitement. Pour le

modèle VMX-1HA de Riegl, les valeurs pour le roulis et le tangage obtenues après post-

traitement ont une erreur de justesse estimée de 0,005° contre une valeur de 0,015° pour

le lacet (Riegl, 2016). Les valeurs estimées dans ces conditions sont les mêmes pour le

modèle MX8 de Trimble énoncé précédemment.

Le dernier type d'observations utilisées correspond aux observations provenant du

récepteur GNSS. Pour optimiser la fidélité et la justesse de la position calculée par GNSS,

le mode de positionnement relatif avec une station de base et les mesures de phase avec

ambiguïtés fixées doivent être utilisés. La qualité du positionnement GNSS dans un

contexte de captage de données mobiles en territoire urbain peut être dégradée étant

donné que plusieurs obstacles peuvent nuire à l'acquisition des signaux GNSS. La hauteur

des bâtiments et des structures de béton peut couper le signal de certains satellites et

ainsi empêcher la résolution des ambiguïtés de phase. De ce fait, le calcul des

coordonnées en est affecté. C'est pour cette raison qu'il est grandement recommandé de

procéder au post-traitement des données GNSS en intégrant les données de l'IMU de

manière à obtenir une solution de navigation complète. Le taux d'échantillonnage

supérieur de l'IMU et le fait qu'il ne soit pas sensible aux obstacles environnants en font un

allié de taille au récepteur GNSS. Selon la fiche technique du modèle MX8 de Trimble,

une solution de positionnement après post-traitement peut être obtenue avec une erreur

de justesse de 2 centimètres en planimétrie (X,Y) et de 5 centimètres en altimétrie (Z)

(Trimble, 2013c). Lors d'une perte de signaux GNSS, la solution se dégrade et l'incertitude

des coordonnées après post-traitement est de 10 centimètres en planimétrie contre 7

centimètres en altimétrie.

Les erreurs de justesse et de fidélité de toutes les observations se propagent sur les

coordonnées du nuage de points. On constate toutefois que la solution de positionnement

obtenue par le récepteur GNSS contribue pour la majorité du budget total d'erreur des

observations pour le géoréférencement du nuage de points. Puisque les paramètres de

calibrage sont directement estimés à partir des observations, il est certain que les erreurs


8

liées aux observations GNSS se propagent directement dans la solution de calibrage.

Cette affirmation est surtout vraie dans un contexte d'acquisition de données au sol où les

distances mesurées sont beaucoup plus courtes que dans un contexte d'acquisition de

données à partir d'un véhicule aéroporté où les distances peuvent atteindre plusieurs

centaines voire même quelques milliers de mètres. Il devient donc nécessaire de trouver

une façon d'estimer les bras de levier et les angles de visée du SLM en minimisant

l'impact de l'erreur de positionnement GNSS.

1.3. Solution proposée

La nouvelle méthode de calibrage développée dans le cadre de cette maîtrise est réalisée

en laboratoire. Le Département des sciences géomatiques de l’Université Laval dispose

d’un laboratoire de métrologie unique au Canada. Il est notamment équipé d’un

interféromètre laser et d’un banc de calibrage. Ces deux instruments sont normalement

utilisés pour calibrer des mires, des rubans et des distancemètres, tel qu'illustré à la Figure

1.6.

Figure 1.6 : Interféromètre laser et banc de calibrage du Laboratoire de métrologie du

Département des sciences géomatiques de l’Université Laval

Ce banc de calibrage d'une longueur totale de 35 mètres est presque parfaitement aligné.

En théorie, seulement des dixièmes de millimètre d’erreur empêcheraient cette structure

d’être parfaitement droite sur toute sa longueur. L’interféromètre permet d’effectuer des

mesures de distance avec un haut degré de justesse et de fidélité sur ce banc de


9

calibrage. La résolution d’une mesure de distance avec cet instrument est de 1 micromètre

(0,001 millimètre). Le banc de calibrage et l’interféromètre sont exploités afin d'assembler

une infrastructure adaptée au calibrage des SLM en laboratoire.

L’hypothèse générale de ce travail de recherche est qu’il est possible d’utiliser des

mesures interférométriques pour déterminer la position d’un SLM sur le banc de calibrage.

La variation de la position du SLM sur le banc de calibrage peut permettre de simuler le

déplacement du véhicule. Il devient donc possible de remplacer la trace du véhicule

normalement déterminée par des mesures de positionnement GNSS par des mesures

prises par l’interféromètre. De ce fait, étant donné la grande fidélité des mesures

interférométriques (de l’ordre du micromètre), cette nouvelle méthode de calibrage est

libre d'erreurs de positionnement. La justesse de l'interféromètre peut quant à elle être

assurée par un étalonnage périodique.

Considérant que les angles de visée et les bras de levier sont propres à chaque

instrument et qu'ils sont stables dans le temps, ces paramètres peuvent être déterminés et

revérifiés périodiquement en laboratoire. Il ne devient donc plus nécessaire de les estimer

à partir de collectes de données sur le terrain qui peuvent être très onéreuses considérant

la mobilisation des équipements et du personnel.

1.4. Objectifs

Le développement de nouvelles méthodes de calibrage efficaces est un besoin réel dans

la communauté des utilisateurs des SLM qui sont de plus en plus nombreux. Avec la

miniaturisation des composantes de ces systèmes, on anticipe une multiplication des SLM

sur le marché. Cette période en est encore à son début et en pleine émergence. Au cours

des cinq dernières années, plusieurs drones aéroportés sont apparus sur le marché.

Parmi ces drones, on retrouvait des modèles à ailes fixes et des modèles à hélices. Ces

aéronefs sans pilote, communément appelé UAV (Unmanned Aerial Vehicule), étaient

d'abord munis d'un récepteur GNSS et d'un capteur passif (caméra numérique). Il était au

départ impensable de pouvoir installer un capteur LiDAR sur ces systèmes compte tenu

de leur poids et de leurs dimensions. Grâce au progrès technologique récent, les scanners

LiDAR peuvent maintenant être installés sur des multicoptères. La Figure 1.7 montre un

nuage de points que peut livrer un UAV LiDAR de la marque Phoenix Aerial modèle AL3-

16.


10

Figure 1.7 : Drone LiDAR AL3-16 de la marque Phoenix Aerial (Phoenix Aerial Systems,

2014)

Pour ce qui est des plateformes terrestres, il a été vu que les premiers SLM avaient été

installés sur des véhicules tels des mini fourgonnettes et des camions. Les secteurs à

mesurer ne sont toutefois pas toujours situés en bordure des chemins publics. Les

utilisateurs ont donc voulu intégrer les SLM à des véhicules qui peuvent accéder à des

endroits plus difficiles. Un groupe de chercheurs de l'Université du Québec à Rimouski

(UQAR) a intégré les composantes d'un SLM à un véhicule tout terrain (VTT) dans le

cadre de la collecte de données pour certains projets de recherche. L'utilisation d'un VTT,

montré à la Figure 1.8, leur permet d'accéder aux zones côtières du fleuve Saint-Laurent

pour mesurer les berges de façon à notamment quantifier les phénomènes d'érosion et de

submersion.

Figure 1.8 : Système LiDAR mobile personnalisé à l'UQAR (Didier et al., 2015)


11

Plusieurs utilisateurs, que ce soit dans un contexte de travail, de recherche ou même de

loisir, ont recours à l'utilisation des SLM. Il est vrai que ces systèmes permettent

d'effectuer la collecte de centaines de milliers de points en un temps très court. Les

données recueillies peuvent être utilisées dans plusieurs champs d'application.

Les utilisateurs des SLM ont certainement une expertise dans leur domaine, mais ils ne

sont pas tous aptes à juger de la justesse des données qu'ils recueillent. Il devient

nécessaire de calibrer les systèmes de mesure de manière à ce que les données

recueillies soient le plus près possible de la réalité. L'utilisation et l'interprétation d'un jeu

de données de mauvaise qualité mèneront à des constats erronés. Le calibrage, qui fait

partie d'une des branches de la métrologie, est un champ d'expertise à part entière.

Ce travail de recherche permet d'implanter une nouvelle procédure de calibrage au sein

des infrastructures existantes au Laboratoire de Métrologie de l'Université Laval de

manière à développer une expertise à l'interne qui peut être utile aux divers utilisateurs

des SLM (Larouche, 2016). Pour parvenir à estimer des valeurs pour les angles de visée

et les bras de levier, une série de manipulations et de traitements est nécessaire. La

plupart des étapes du traitement de données ont été automatisées par des programmes

Matlab de manière à augmenter l'efficacité de la procédure. Le livrable final de ce travail

de recherche est non seulement une description des grandes étapes menant à la

réalisation de cette nouvelle méthode de calibrage en laboratoire, mais aussi une série de

programmes qui permettent de la mettre en œuvre.

Le présent mémoire suit la chronologie de la réalisation de cette méthode de calibrage. Le

Chapitre 2 traite des différentes méthodes de calibrage développées avec le temps, dont

celles sur lesquelles la présente méthode de calibrage s'appuie. Le Chapitre 3 concerne la

préparation du laboratoire et toutes les manipulations nécessaires pour recueillir des

données LiDAR mobiles à l'intérieur alors que le Chapitre 4 présente les diverses étapes

du traitement des données menant, entre autres, à l'assemblage des nuages de points

LiDAR. Le Chapitre 5 jette les bases mathématiques de la nouvelle approche de calibrage

et le Chapitre 6 présente les résultats du calibrage obtenus à partir de cette méthode. Une

analyse plus approfondie des résultats et du travail en général est présentée au Chapitre

7. Finalement, le Chapitre 8 permet de faire un retour et une conclusion sur les éléments

développés au cours de ce présent travail de recherche et propose quelques

recommandations pour orienter la poursuite de la recherche dans cet axe.

Chapitre 2 : Revue de littérature

12


Le premier chapitre a permis d'introduire les SLM et la nature des différents capteurs qui

les composent. Ces outils technologiques jouent un rôle de premier plan dans le domaine

de la collecte de données géospatiales. La nécessité de connaître précisément la position

et l'orientation relative entre les capteurs a fait l'objet de plusieurs travaux de recherche.

Plusieurs méthodes de calibrage, plus ou moins rigoureuses, ont été développées avec le

temps. Certaines méthodes fournissent de bons résultats, mais à ce jour, aucune méthode

de calibrage n'est parfaite. Ce sujet de recherche est donc toujours pertinent et doit être

approfondi. Le présent chapitre présentera plusieurs méthodes de calibrage qui ont permis

de construire les bases de la nouvelle méthode de calibrage développée au cours de ce

travail de maîtrise.

2.1. Les méthodes de calibrage non rigoureuses

Les premières méthodes de calibrage de données LiDAR ont été développées pour les

véhicules aéroportés. Au courant des années 1990, le LiDAR aéroporté a gagné du terrain

en termes de popularité pour l'acquisition de données d'élévation pour la production de

modèles numériques de surface. Peu avant, la photogrammétrie aérienne, analytique ou

numérique, était l'outil préconisé pour ce type d'applications. Le LiDAR offrait un avantage

certain par rapport à la photogrammétrie étant donné qu'il permettait de pénétrer le

couvert forestier pour atteindre la surface du sol (Vosselman and Maas, 2001). Il fut

cependant rapidement remarqué que des erreurs systématiques se propageaient dans les

coordonnées des points au sol et que le recouvrement des surfaces ne coïncidait pas

(Kilian, Haala and Englich, 1993).

De façon à diminuer les écarts entre les nuages de points provenant de différentes lignes

de vol ou de différents passages, certaines méthodes de calibrage ont été développées.

Ces méthodes non rigoureuses permettent de diminuer l'impact des erreurs systématiques

sans toutefois effectuer un calibrage du système. Ces méthodes sont dites non

rigoureuses, car elles s'appuient sur les coordonnées des nuages de points au lieu de

traiter les observations brutes provenant des différents capteurs. Le principe qui unit ces

méthodes consiste à déterminer le vecteur de translation et la matrice de rotation à


13

appliquer aux coordonnées des points au sol qui permettent de minimiser l'écart entre les

différents nuages de points qui se superposent.

Une des premières méthodes de calibrage développées pour le LiDAR aéroporté utilisait

la notion de surfaces de liaison et de surfaces de contrôle (Kilian, Haala and Englich,

1993). Les surfaces de liaison correspondent aux surfaces planes perceptibles dans des

nuages de points provenant de lignes de vol adjacentes alors que les surfaces de contrôle

correspondent à des surfaces dont on connait la position dans un système de

coordonnées planimétriques donné. Ces surfaces de contrôle peuvent correspondent à

certains toits de bâtiments dont les quatre coins auraient été préalablement localisés avec

un récepteur GNSS, par exemple. Les surfaces de liaison permettent donc de créer un

lien entre les lignes de vol et la surface de contrôle permet de valider la position

géodésique du modèle numérique de terrain. Cette méthode reprend plusieurs principes

de l'aérotriangulation utilisée en photogrammétrie aérienne, telle que montrée à la Figure

2.1.

Figure 2.1 : Méthode d'ajustement proposée par Kilian, Haala et Englich (1993)

Cette méthode d'ajustement du nuage de points LiDAR avec le recouvrement des lignes

de vol et le rattachement au réseau géodésique avec des points de contrôle a été reprise

par Pfeifer (2005) qui mettait l'emphase sur l'extraction automatique de surfaces planaires

dans la zone de recouvrement. Selon une approche semblable, Bash (2000) utilisait des

surfaces planes modélisées par deux lignes de vol pour déterminer une erreur verticale en

plus d'une erreur d'alignement longitudinale et perpendiculaire à la ligne de vol. Une autre


14

approche par Vosselman et Maas (2001) cherchait à former deux grilles matricielles

semblables en interpolant les nuages de points dans une zone de recouvrement pour

ensuite déterminer une transformation de coordonnées qui permettraient de superposer

les grilles en minimisant l'écart entre les points. Ces méthodes, quoique variante dans leur

approche, ont la particularité d'être très semblables quant à leur finalité. Elles permettent

de réduire l'impact des erreurs systématiques sur le nuage de points, sans toutefois

chercher à modéliser les paramètres en cause. C'est pour cette raison qu'il faut ici parler

d'ajustement au lieu de calibrage.

Il faut comprendre que les bras de levier et les angles de visée sont des concepts

mécaniques qui interviennent dans le montage des capteurs. Les erreurs systématiques

dans les nuages de points sont attribuées aux différences d'orientation et de position entre

les différents capteurs qui composent les SLM. Dans l'optique de vouloir éliminer les

erreurs systématiques, il faut correctement modéliser les paramètres en cause. Ces

méthodes restent tout de même très populaires pour la principale raison qu'elles sont

faciles à appliquer. Le fait de ne pas recourir aux observations brutes provenant du

système GNSS, de l'IMU et du scanner LiDAR peut être certainement vu comme étant un

avantage. Il s'agit pourtant d'une des raisons pour laquelle ces méthodes sont dites non

rigoureuses.

D'autres faiblesses de ces méthodes sont liées à leur application. La sélection des points

de contrôle entre les nuages de points demande beaucoup de temps de traitement pour

l'opérateur lorsqu'elle n'est pas automatisée. Comme l'opérateur est grandement impliqué

dans l'ajustement, la qualité de l'ajustement est totalement dépendante de la personne.

Cela implique que les résultats sont non répétables et qu'ils seront donc différents d'un

opérateur à l'autre. Cette approche étant manuelle et ardue, l’opérateur a tendance à

travailler sur une ou quelques zones bien définies où il est plus simple d’apparier les

nuages de points. Or, il arrive souvent que la solution pour l'ajustement fonctionne

parfaitement dans cette zone, mais pas ailleurs. On est alors en présence d’un minimum

local où l’erreur est minimisée qu’à cet endroit. Étant donné que l'on cherche à modéliser

les paramètres de calibrage de façon précise et répétable, la procédure de calibrage

développée dans le cadre de ce travail de maîtrise ne reprend pas les principes des

méthodes d'ajustement non rigoureuses.


15

2.2. Les méthodes de calibrage semi-rigoureuses in situ

La présence des erreurs systématiques dans les nuages de points LiDAR et leur impact

sur l'assemblage des lignes de vol ont été présentés à la dernière section. La plupart des

méthodes de calibrage proposées précédemment mettent l'emphase sur l'ajustement des

nuages de points sans toutefois s'intéresser à la cause des erreurs systématiques dans

les données. Les SLM sont composés de plusieurs capteurs et le géoréférencement des

nuages de points LiDAR nécessite une modélisation complexe de toutes les observations

ainsi que de la position et de l'orientation relative entre ces capteurs. L'orientation relative

entre l'IMU et le LiDAR est la source d'erreur qui a le plus grand impact sur le

positionnement d'un point (Hebel and Stilla, 2012). Il est donc fortement recommandé de

fixer solidement ces deux capteurs au montage de manière à ce que leur orientation

relative ne change pas pendant leur utilisation. Pour toute installation subséquente, les

angles de visée doivent être déterminés à nouveau, sauf dans un cas où l'IMU fait partie

intégrante du scanner LiDAR comme il est assez courant avec les SLM terrestres. Au

total, six groupes potentiels d'erreurs pourraient permettre d'expliquer la cause des biais

systématiques dans les nuages de points selon Schenk (2001).

Liste des groupes potentiels d'erreurs

1. Les erreurs de portée du laser;

2. Les erreurs angulaires du laser;

3. Les erreurs liées au montage correspondant à l'orientation et à la position relative

entre les capteurs;

4. Les erreurs liées aux mesures de l'IMU;

5. Les erreurs de positionnement GPS;

6. Les erreurs de synchronisation entre les capteurs.

Il est possible d'intégrer et de modéliser toutes les observations pour former l'équation de

géoréférencement d'un point LiDAR, telle que présentée à l'Équation 2.1.

� �� = �� + �� ∙ (� �� + �� ∙ � �� ) (2.1)

où � �� ∶ coordonnées d'un point LiDAR exprimées dans le système de coordonnées

de projection;


16

�� : coordonnées du centre de l'IMU mesurées par le récepteur GNSS

exprimées dans le système de coordonnées de projection;

�� : matrice de changement de repère formée par les observations angulaires de

l'IMU pour passer du système de coordonnées de l'IMU au système de coordonnées

de projection;

� �� : bras de levier entre le LiDAR et l’IMU exprimés dans le système de

coordonnées de l'IMU;

� �� : matrice de changement de repère formée par les angles de visée entre le

LiDAR et l'IMU exprimés dans le système de coordonnées de l'IMU; et

� �� : coordonnées mesurées par le scanner LiDAR exprimées dans le système

de coordonnées du LiDAR.

Dans cette équation, on tient compte du troisième groupe d'erreurs de Schenk (2001) en

lien avec le montage puisque les bras de levier et les angles de visée y sont présents. Les

bras de levier et les angles de visée peuvent être décomposés en deux parties, soient une

partie déterminée par des mesurages manuels et une partie estimée à partir des

observations faites sur le terrain. Il est plus facile de mesurer directement les

composantes des bras de levier que celles des angles de visée. Contrairement à la

position relative entre les capteurs, l'orientation relative ne peut pas être déterminée

directement avec suffisamment de justesse (Hebel and Stilla, 2012). C'est pour cette

raison que l'on doit utiliser l'équation de géoréférencement direct pour modéliser leur

impact dans le nuage de points.

L'utilisation de surfaces planes, qu'elles soient naturelles ou artificielles, est un outil de

choix pour l'estimation des angles de visée et des bras de levier directement à partir des

observations au sol (Filin, 2001, 2003; Friess, 2006; Skaloud and Lichti, 2006). Les

approches décrites dans ces travaux de recherche sont très similaires et impliquent toutes

l'extraction de surfaces planes dans le nuage de points, la détermination du vecteur

normal de chacun de ces plans et l'utilisation de ces vecteurs normaux pour déterminer les

erreurs d'alignement et de positionnement relatif entre l'IMU et le LiDAR. L'approche

préconisée par Skaloud et Litchi (2006) est celle qui est présentée en détail dans le cadre

de ce travail.

Cette approche de calibrage est dite in situ puisqu'elle s'effectue directement à partir des

observations sur le terrain. Cette méthode estime les angles de visée en utilisant des


17

surfaces planes communes décrites par des groupes de points. Ce type d'approche

permet une estimation complète des paramètres de calibrage, c'est-à-dire que tous les

paramètres sont estimés en même temps. Ceci est tout le contraire du patch-test en

bathymétrie, par exemple, qui estime les angles de visée un à la fois (Seube, Levilly and

De Jong, 2016). Cette méthode est toutefois qualifiée de semi-rigoureuse puisqu'elle est

simplement basée sur l'ajustement de surfaces.

Cette méthode de calibrage nécessite l'utilisation de l'équation de géoréférencement d'un

point LiDAR. Certains termes de l'Équation 2.1 doivent donc être développés plus

explicitement. La matrice de changement de repère � �� qui contient les angles de visée

permet de faire la transition du système de référence du LiDAR au système de référence

de l’IMU. Il est possible de décomposer cette matrice en deux matrices distinctes.

Une première matrice � ��∗ contient les angles a priori déterminés par le fabricant ou par

l'utilisateur à partir de mesures mécaniques. Les angles sont normalement déterminés au

degré près, ce qui permet de disposer de valeurs approchées suffisantes pour le calibrage

du système.

Une deuxième matrice ��∗�� contient les angles de visée qui sont nécessairement de plus

petites valeurs compte tenu de la qualité des valeurs approchées. Comme ces angles sont

très petits, il est impossible de les déterminer par mesure directe. La meilleure façon de

procéder se fait au moyen d'une détermination par moindres carrés à partir des

observations, d'où l'utilisation d'une approche in situ. Étant donné que les angles sont très

petits, on peut approximer la matrice ��∗�� de la façon suivante.

��∗�� = # 1 −% &% 1 −'−& ' 1 ( (2.2)

où %, ' et & : angle de visée du lacet (%), du roulis (') et du tangage (&) (en radians).

La dernière matrice ��∗�� contient donc les angles de visée à déterminer par calibrage. Le

produit de ces deux matrices de changement de repère permet d'obtenir la matrice

complète � �� .


18

� �� = ��∗�� × � ��∗ (2.3)

Le vecteur � �� de l’Équation 2.1 contient les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU. En

réalité, il existe deux séries de bras de levier dans un SLM. Une première concerne les

bras de levier entre le LiDAR et l'IMU et une deuxième les bras de levier entre l'IMU et

l'antenne GNSS. Les bras de levier entre le centre de l’IMU et l’antenne GNSS sont plus

faciles à modéliser par mesures mécaniques. Lors des calculs de post-traitement de la

trace du véhicule, il est possible de déterminer les coordonnées tridimensionnelles de

l’IMU à partir des observations GNSS et des bras de levier mesurés mécaniquement. Le

vecteur des bras de levier entre l'antenne GNSS et le centre de l'IMU est habituellement

exprimé dans le système de coordonnées du véhicule. Il représente donc une simple

translation pour le rattachement géodésique du nuage de points. Puisqu’il est possible

d’obtenir des valeurs justes pour ce vecteur, il n’apparaît pas directement dans l’équation

de positionnement d’un point LiDAR.

En exprimant les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU dans le système de référence de

l'IMU, il est possible de déterminer leur position relative au repos avec des mesures prises

à la station totale, par exemple. Cette façon de procéder permet de disposer de très

bonnes valeurs approchées pour les bras de levier entre le LiDAR et l’IMU. Il est toutefois

intéressant d'intégrer un vecteur supplémentaire de corrections à appliquer aux bras de

levier qu'on peut déterminer par calibrage. La somme de ces deux vecteurs permet donc

d'obtenir des valeurs corrigées pour les bras de levier telles que présentées à l’Équation

2.4.

� = �, + �∗ → .�/�0�12 = 3�/,�0,�1,

4 + 3�/∗�0∗�1∗ 4 (2.4)

où �/ , �0 et �1 : valeurs corrigées des bras de levier entre l'IMU et le LiDAR;

�/,, �0, et �1, : valeurs approchées des bras de levier entre l'IMU et le LiDAR; et

�/∗ , �0∗ et �1∗ : valeurs des corrections à apporter aux valeurs approchées des bras de

levier entre l'IMU et le LiDAR.


19

Les paramètres à estimer par moindres carrés étant présentés, il est possible de se

tourner vers les observations qui permettront de déterminer ces paramètres. Certaines

méthodes non rigoureuses nécessitent la sélection de points communs dans les nuages

de points. L'approche de Skaloud et Lichti (2006) est différente à cet égard puisqu'elle

remplace les points pris individuellement par des surfaces planes sur lesquelles reposent

ces points. Ces surfaces planes correspondent principalement aux toits des bâtiments

présents sur la scène dans un contexte de relevé aéroporté. L'utilisation de plans ayant

différentes orientations et inclinaisons permet d'optimiser la qualité du calibrage.

Il a été discuté qu'il est difficile de sélectionner des points communs dans des nuages de

points différents. L'exercice se simplifie lorsqu'il est question d'identifier des plans

représentant une même surface plane provenant de lignes de vol ou de passages

différents. Il est possible de paramétrer un plan avec l'équation suivante.

5667 = 89: 9; 9< 9=>? (2.5)

où 9:, 9; et 9< : valeur des cosinus directeurs du vecteur normal à un plan; et

9= : distance orthogonale entre le plan et l'origine du système de coordonnées.

Pour chaque surface planaire extraite du nuage de points, tous les points appartenant à

cette surface, dont les coordonnées peuvent être exprimées par @�, A� et B�, devraient

respecter l’Équation 2.6.

9:@� + 9;A� + 9<B� + 9= = 0 (2.6)

Les paramètres (9:, 9;, 9< et 9=) de chaque plan présent dans le nuage de points sont

déterminés par moindres carrés lors de la compensation. En raison de la présence des

erreurs aléatoires, les points qui forment la surface plane ne sont pas parfaitement situés

sur le plan. Il est possible de calculer la distance orthogonale d'un point par rapport à un

plan, soit la résiduelle après la compensation, à partir de l’Équation 2.7.

DéFGHIJKKJ = 9:@� + 9;A� + 9<B� + 9= (2.7)


20

Il est ensuite possible de vérifier si la valeur de la résiduelle de chaque point demeure à

l'intérieur d'une certaine tolérance qui peut être de 2 centimètres, par exemple. Si certains

points ne respectent pas ce critère, on peut les éliminer de la compensation et ré-estimer

les paramètres du plan à partir des observations restantes. De cette façon, par itérations

successives, il est possible de déterminer l'équation d'un plan avec le moins de bruit

possible sur les points qui le composent.

L'approche de Skaloud et Lichti (2006) consiste à déterminer les valeurs optimales pour

les angles de visée qui forment la matrice � �� qui vont permettre d'aligner le mieux

possible les vecteurs normaux entre les plans provenant des différents nuages de points.

Cette approche converge normalement en 3 ou 4 itérations successives, dépendamment

de l’éloignement des valeurs a priori par rapport aux valeurs estimées. Cette approche ne

cherche toutefois pas à déterminer les valeurs optimales pour les bras de levier qui

forment le vecteur � �� puisqu'elle considère que les bras de levier sont préalablement

déterminés par une approche indépendante.

Cette méthode est donc relativement performante en termes de temps de traitement. La

qualité des observations et des valeurs approchées pour les paramètres permet une

convergence en quelques itérations seulement. Aussi, des progrès en termes d'efficacité

pour l'extraction des plans ont permis de diminuer massivement le temps de traitement

pour l'opérateur. Une méthode a été développée en 2007 pour extraire automatiquement

des groupes de points appartenant à un même plan (Skaloud and Schaer, 2007).

Un avantage important de l'utilisation de cette méthode est lié à l'utilisation des moindres

carrés pour l'estimation des paramètres. Une approche par moindres carrés permet non

seulement d'estimer des valeurs pour les paramètres, mais permet aussi d'évaluer leur

incertitude par l'estimation de leur écart-type. Il est donc possible d'anticiper l'impact des

erreurs aléatoires des observations sur l'incertitude des paramètres estimés.

Ce type de méthodes de calibrage semi-rigoureuses a été initialement développé pour les

plateformes aéroportées. Elle a par la suite été adaptée aux véhicules terrestres (Rieger et

al., 2010). Le cadre mathématique est sensiblement le même. L'application de la méthode

diverge légèrement en ce sens que les toits sont peu ou pas visibles à partir d'un véhicule

terrestre. Les surfaces planes utilisées correspondent normalement aux façades des

bâtiments en échange des toits. Au lieu d'extraire des plans communs observés par deux


21

lignes de vol différentes dans le nuage de points, les plans extraits sont observés par deux

passages distincts en voiture.

Une des faiblesses de l'utilisation de plans dans un contexte de calibrage des SLM

terrestres est qu'il est beaucoup plus difficile de trouver des plans avec des orientations

différentes que dans un contexte aéroporté, les plans étant presque tous verticaux et

horizontaux (Le Scouarnec et al., 2014). De plus, la plupart des façades de bâtiments sont

parallèles à la rue, ce qui nuit à la variabilité de l'orientation des plans. Il a d'ailleurs été

démontré que l'utilisation de plans avec des orientations et des pentes différentes permet

de minimiser la corrélation entre les paramètres estimés, ce qui favorise de meilleurs

résultats de calibrage (Filin, 2003).

Étant donné que les surfaces planes ne permettent pas toujours de former un

environnement de calibrage optimal, d'autres éléments peuvent être utilisés. Des travaux

ont permis de montrer qu'il est possible de calibrer un SLM en utilisant des panneaux de

circulation et des lignes de transmission électriques en plus des autres surfaces planaires

habituelles tels des façades de bâtiment et des viaducs (Chan, Lichti and Glennie, 2013).

L'utilisation de points de contrôle répartis sur des surfaces horizontales et verticales a

aussi été envisagée (Leslar, Hu and Wang, 2016). Cependant, la matérialisation et le

géoréférencement des points de contrôle dans une approche de calibrage in situ exigent

beaucoup plus de ressources qu'une approche de calibrage par recoupement des

données. Déterminer le nombre minimal de points de contrôle nécessaires et la manière

de les positionner pour correctement estimer les bras de levier et les angles de visée était

donc au cœur de ces travaux.

Ces méthodes de calibrage in situ présentent toutefois une limite importante reliée à

l’utilisation des observations GNSS, lesquelles peuvent être affectées d’erreurs plus

grandes qu’anticipées notamment en raison de problèmes de multi-trajets ou de faible

géométrie des satellites visibles. Les erreurs de positionnement sont plus fréquentes pour

les véhicules terrestres en raison de leur proximité du sol et de nombreux obstacles en

hauteur qui longent les voies de circulation. On peut obtenir une bonne solution de

positionnement cinématique avec le GNSS lorsqu'on utilise un positionnement différentiel,

des mesures de phase, de courtes lignes de base et des récepteurs bi-fréquence. Même

selon une configuration de levé optimale, l'incertitude d'un positionnement cinématique par

observations GNSS sera de l'ordre de 2 centimètres en planimétrie contre 5 centimètres


22

en altimétrie. Les erreurs de positionnement GNSS ont donc un impact plus important sur

la détermination des angles de visée dans un contexte de LiDAR terrestre que dans un

contexte de LiDAR aéroporté étant donné que les distances mesurées sont plus courtes et

que le risque de multi-trajets est plus grand (Le Scouarnec et al., 2014). Bref, le recours

aux observations GNSS constitue une véritable faiblesse de ces méthodes de calibrage.

Le bruit présent dans ces observations se propage directement sur la valeur des angles

de visée et des bras de levier déterminés par moindres carrés.

2.3. Les méthodes rigoureuses de calibrage in lab

De façon à éliminer le recours aux observations bruitées de positionnement GNSS, une

méthode de calibrage en laboratoire (in lab) a été développée par Le Scouarnec et al.

(2014). Cette méthode est libre d'erreurs de positionnement puisqu’elle utilise un mode de

positionnement statique. Il a été prouvé que cette méthode est efficace pour déterminer

les angles de visée entre le LiDAR et l’IMU.

Dans le contexte d’un levé avec un SLM terrestre, la contribution des erreurs sur les

angles de visée devrait être sous la barre de 1 centimètre, de manière à être inférieure

aux erreurs de positionnement GNSS. Il est possible d’estimer grossièrement l’impact de

l’erreur des angles de visée sur la position d’un point par une simple équation.

LMNOPQR SQ T�RéQ = U × &MNOPQR SQ T�RéQ (2.8)

où LMNOPQR SQ T�RéQ : contribution de l'erreur des angles de visée;

U : distance mesurée par le laser; et

&MNOPQR SQ T�RéQ : erreurs angulaires sur les angles de visée.

Considérant que les éléments à mesurer en bordure des routes dans le cas d’un levé

terrestre sont à une distance normalement inférieure à 50 mètres, cela signifie que les

angles de visée doivent être déterminés avec une erreur maximale de l’ordre de 0,01

degré. Pour ainsi parvenir à déterminer les angles de visée, les deux capteurs (IMU et

LiDAR) sont installés sur une table tournante. La mise en rotation de cette table tournante

de haute précision permet de stimuler l’IMU et d’effectuer le balayage de la pièce par

mesures LiDAR. La Figure 2.2 permet de visualiser ce montage.


Figure 2.2 : Montage LiDAR-

Tout comme la méthode proposée par Skaloud et Lichti

réutilise la paramétrisation des surfaces planes à partir des observations. Les

observations des points appartenant à un même p

haut. Une variante est toutefois introduite dans l’approche.

Le mouvement rotatif du système induit par la table tournante

de mesurer les murs de la pièce avec une variété d'incidences par ra

formés par ces murs. Les points mesurés par le

plusieurs lignes de balayage sur les murs de la pièce. Il est possible d’extraire l’orientation

de ces lignes sur le plan tel qu’on peut le voir sur la

Figure 2.3 : Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,

Revue de littérature

23

-IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec

et al., 2014)

mme la méthode proposée par Skaloud et Lichti (2006), cette approche


observations des points appartenant à un même plan devront respecter l’Équation 2.

haut. Une variante est toutefois introduite dans l’approche.

Le mouvement rotatif du système induit par la table tournante permet au scanner LiDAR

de mesurer les murs de la pièce avec une variété d'incidences par rapport aux plans

es points mesurés par le LiDAR sont présentés sous la forme de


de ces lignes sur le plan tel qu’on peut le voir sur la Figure 2.3.

: Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,

2014)

IMU sur la table tournante de haute précision (Le Scouarnec

, cette approche in lab


lan devront respecter l’Équation 2.6 ci-

permet au scanner LiDAR

pport aux plans

sous la forme de


: Extraction des lignes formées par des points sur un plan (Le Scouarnec et al.,


24

On peut décrire l’orientation de ces lignes de balayage par un vecteur (IV6667). Puisque toutes

ces lignes font partie d’un même plan, cela signifie qu’elles forment un angle de 90 degrés

avec la normale de ce plan. À partir de cette condition, on peut exiger que le produit

scalaire entre les lignes de balayage et le plan respecte l’Équation 2.9.

5667 ∙ IV6667 = 0 (2.9)

où N667 : vecteur normal à un plan; et

uY6667 : vecteur d'orientation d'une ligne de balayage.

Un algorithme a été développé de manière à estimer les angles de visée entre le LiDAR et

l'IMU. Tout comme pour les méthodes de calibrage rigoureuses in situ, cette approche

nécessite l'utilisation des observations et des paramètres de calibrage a priori pour former

l'Équation 2.1 de géoréférencement d'un point LiDAR. Un élément majeur est cependant

exclu de cette équation puisque les coordonnées du centre de l'IMU, habituellement

déterminées par positionnement GNSS, ne sont pas observées. Seulement les

observations de l'IMU et du LiDAR et des paramètres de calibrage à déterminer, soit les

angles de visée et les bras de levier, sont utilisés pour former l'Équation 2.10.

� �� Z[MP = �� Z[MP × (� �� + �� × � �� ) (2.10)

où � �� : coordonnées des points mesurés par le LiDAR;

� �� : matrice de changement de repère contenant les angles de visée entre le

LiDAR et l'IMU;

� �� ∶ bras de levier entre le LiDAR et l'IMU;

�� Z[MP ∶ matrice de changement de repère contenant les angles observés par l'IMU

(roulis, tangage et lacet); et

� �� Z[MP : coordonnées des points sur le mur formant une ligne de balayage dans le

système de coordonnées local du laboratoire.

Cette méthode de calibrage a été testée sur un jeu de données de simulation et sur deux

séries d’observations en laboratoire. Les observations en laboratoire ont été effectuées

pour deux plans seulement, soit un mur et le plancher. Les résultats obtenus sont montrés

dans le Tableau 2.1.


25

Tableau 2.1 : Résultats de l’application de la méthode de Le Scouarnec et al. (2014)

Jeux de données Angles de visée Valeur estimée (°) Écart-type (°)

Simulation

Roulis --- 0,0010

Tangage --- 0,0027

Lacet --- 0,0004

Test #1

Roulis 0,0588 0,0104

Tangage -0,0076 0,0305

Lacet -0,2754 0,0323

Test #2

Roulis 0,0469 0,0098

Tangage -0,0055 0,0233

Lacet -0,2965 0,0304

Les résultats obtenus d’après les tests #1 et #2 montrent des valeurs cohérentes en

fonction des écarts-types estimés. Les valeurs des écarts-types estimés d’après les

données expérimentales sont cependant de loin supérieures à celles estimées à partir des

données de simulation. De plus, les écarts entre les angles de visée obtenus lors des

deux tests sont plus grands que 0,01°, sauf pour le tangage. Le critère de fidélité de 0,01°

pour l’estimation des angles de visée n’est pas respecté. Considérant une erreur

expérimentale de l’ordre de 0,03° selon l'écart-type estimé des angles de visée, on peut

prédire une erreur de l’ordre de 3 centimètres sur les coordonnées d’un point mesuré à

une distance de 50 mètres pour ce SLM (voir l'Équation 2.8). En plus de permettre

d'estimer les angles de visée d'un SLM, la table tournante de haute précision permet aussi

d'estimer la latence totale entre l'IMU et le scanner LiDAR (Seube, Picard and Rondeau,

2012).

Néanmoins, cette méthode rigoureuse de calibrage est assez récente et fournit de

meilleurs résultats que les méthodes in situ. On peut émettre l’hypothèse que l’utilisation

d’un plus grand nombre de plans ayant différentes valeurs d’orientation et d’inclinaison

aurait permis d’estimer les angles de visée avec plus de fidélité. Également, avoir à

disposition des surfaces planes de plus grandes étendues permettrait d’augmenter la

longueur des lignes de balayage observées et ainsi de déterminer les paramètres formant

ces orientations avec plus de certitude.


26

Cette méthode de calibrage est si prometteuse qu’une demande de brevet européen a été

déposée pour l’ensemble de la méthode intégrant le couplage des systèmes LiDAR-IMU

sur une table tournante de haute précision (Le Scouarnec et al., 2015). Il va sans dire que

toute nouvelle méthode orientée vers un montage plus ou moins similaire ne pourrait

aboutir en raison des droits d’auteurs protégés pour cette technique qui sera brevetée

dans un avenir proche.

Une des raisons qui fait que cette méthode est innovante est l’utilisation d’une table

tournante de haute précision. Ce type d’instrument de mesure n’est cependant pas ouvert

au grand public puisqu’il s’adresse à des utilisateurs très spécialisés. Le prix pour

l’acquisition d’une de ces tables est assez variable compte tenu des différents fabricants et

modèles disponibles sur le marché. On doit toutefois s’attendre à devoir dépenser

quelques dizaines de milliers de dollars pour mettre la main sur un de ces instruments de

haute technologie.

Il existe cependant des points communs entre cette méthode de calibrage et celle

développée dans le cadre du présent travail de recherche. En effet, les deux méthodes

sont effectuées en laboratoire et ne requièrent pas d’observations GNSS. Du côté de

l'approche de Le Scouarnec et al. (2014), la solution est statique et n'a recours à aucune

mesure de positionnement tandis que l'approche du présent travail de recherche utilise

des observations de positionnement libre d'erreurs puisqu’elles sont déterminées par un

interféromètre laser dont l'erreur de mesure est bien en deçà du millimètre. Le prochain

chapitre traitera de l'implantation de la nouvelle méthode de calibrage in lab au sein du

Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université

Laval.

Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie

27


Les deux premiers chapitres ont permis de présenter l'importance du calibrage dans le

contrôle de la qualité des données recueillies par un SLM. Diverses approches ont été

présentées. Les premières approches peuvent être considérées comme des méthodes

d'ajustement des nuages de points au lieu d'approches de calibrage robustes étant donné

qu'elles cherchent à minimiser les écarts entre les nuages de points de diverses lignes de

vol ou passages. Les approches de calibrage rigoureuses permettent quant à elles

d'estimer les paramètres de calibrage et leur incertitude par la méthode des moindres

carrés. Dans le cadre de ce travail de recherche, une approche rigoureuse est préconisée

et cette approche utilise des sphères comme points de contrôle. La pierre angulaire de ce

travail est l'établissement d'un site de calibrage dont les coordonnées finales des points de

contrôle sont connues avec une incertitude de l'ordre du millimètre. Les différentes étapes

permettant la mise en œuvre de cette procédure de calibrage sont décrites au présent

chapitre.

3.1. Description sommaire de la méthode

La nouvelle méthode de calibrage à développer nécessite la définition et la réalisation d'un

système de coordonnées de haute précision à l'intérieur des murs du Laboratoire de

métrologie du Département des sciences géomatiques de l'Université Laval, ci-après

désigné par « le laboratoire ». Tel que décrit précédemment, un banc de calibrage d'une

longueur totale de 35 mètres ainsi qu'un interféromètre laser sont présents dans ce

laboratoire. Le principe fondamental de cette méthode de calibrage est de localiser, avec

le SLM fixé au banc de calibrage, des cibles dont les coordonnées sont connues de

manière à déterminer les erreurs d'orientation et de position internes dudit système.

Avant de positionner des cibles par rapport à un système de coordonnées de référence, il

faut définir et mettre en place ce système. Puisque le banc de calibrage est au niveau par

rapport à la verticale sur toute sa longueur, sa partie supérieure pourra être utilisée

comme surface de référence. De plus, il est judicieux de définir un axe du système de

coordonnées dans sa direction, car le banc de calibrage est presque parfaitement droit

dans le plan horizontal,. De cette façon, une mesure de distance obtenue par

l'interféromètre influencera seulement un axe du système de coordonnées de référence.


28

En plus de définir l'orientation des trois axes orthogonaux du système de référence, il faut

définir son origine. L'origine du système est définie et matérialisée par une pièce

métallique usinée sur mesure par un machiniste du laboratoire. Cette pièce mesure

précisément 1,75 pouce (4,45 centimètres) de hauteur avec une pointe parfaitement

concentrique pour un pointé de haute précision. Le diamètre de cette pièce possède

exactement la même largeur que la surface du banc de calibrage. Cette pièce est

correctement fixée au banc de calibrage avec une serre en C, le tout tel que présenté à la

Figure 3.1. Il est très important que cette pièce ne soit pas déplacée du début jusqu'à la fin

de la procédure. Cette pièce permettra notamment de faire un lien entre les mesures

interférométriques et les coordonnées du SLM lors de la cueillette de données.

Figure 3.1: Pièce immobile (origine du

système de coordonnées)

Figure 3.2 : Pièce mobile (orientation du

système de coordonnées)

Une copie parfaitement identique de cette pièce a été fabriquée. Cette deuxième pièce,

présentée à la Figure 3.2, est quant à elle mobile et servira, entre autres, à mesurer

précisément l'orientation du banc de calibrage. Cette deuxième pièce est dite mobile étant

donné que plusieurs mesures d'orientation du banc de calibrage seront effectuées à des

endroits différents. Ces pièces ont été précisément usinées pour qu'elles soient

précisément localisées. La prochaine section traitera de la méthode choisie pour la

localisation des divers éléments composant le système de coordonnées de référence.

Pointe fine au centre de

la pièce Pièce fixée solidement avec une

serre en C

Diamètre de la pièce égal à la largeur du banc de calibrage

Copie conforme de la première pièce

Pièce mobile pouvant être déplacée sur le banc de calibrage


29

3.2. La localisation par intersection spatiale

Pour la localisation d'objets à courte distance, l'intersection spatiale est une méthode qui a

fait ses preuves. Cette méthode implique l'utilisation de plusieurs instruments du domaine

de l'arpentage, soit deux stations totales, un ruban à mesurer, deux trépieds et quatre

mires graduées. Le Tableau 3.1 présente les spécifications techniques des stations totales

utilisées. Chaque mire comprend deux cibles près des extrémités dont la distance entre

ces deux cibles est connue avec justesse . Deux mires sont positionnées à l'horizontale et

les deux autres à la verticale.

Tableau 3.1 : Fiche technique des stations totales utilisées

Modèle Fidélité d'une mesure de

distance

Fidélité d'une mesure

angulaire

Leica FlexLine TS06 1,5 mm + 2 ppm 2''

Leica FlexLine TS06 1,5 mm + 2 ppm 5''

La localisation d'une cible par intersection spatiale est différente de la localisation d'une

cible par les méthodes traditionnelles d'arpentage. Les méthodes traditionnelles utilisent

les observations d'angles et de distances mesurées par la station totale pour calculer les

coordonnées d'une cible. Contrairement aux méthodes d'arpentage traditionnelles, la

méthode par intersection spatiale ne nécessite pas l'utilisation d'un prisme réflecteur

puisque la distance entre une cible et une station totale n'est pas mesurée physiquement,

mais est plutôt calculée indirectement par la Loi des sinus. De ce fait, aucun contact avec

la cible n'est nécessaire. La seule distance mesurée à incorporer à cette méthode est la

distance entre les deux stations, préalablement mesurée avec un ruban à mesurer. Cette

technique est inspirée de celle enseignée dans le cours Métrologie et microgéodésie

(GMT-3000) offert au programme de baccalauréat en sciences géomatiques de

l'Université Laval.

Avant de procéder à la prise de mesures, il faut définir un système de coordonnées local.

Habituellement, la station totale numéro 1 (Inst1) est définie comme étant l'origine du

système (X = 0; Y = 0; Z = 0) et un gisement de 90 degrés est imposé vers la station totale

numéro 2 (Inst2). Les coordonnées de la station totale numéro 2 sont fixées à (X = UGF�\9J�NR]:^�NR];; Y = 0; Z = 0) et un gisement réciproque de 270 degrés est imposé vers

la station totale numéro 1. Lors de la prise de données, la station totale avec la fidélité


30

angulaire de 2'' était installée sur la station numéro 1 (Inst1) tandis que la station totale

avec la fidélité angulaire de 5'' remplissait le rôle de station numéro 2 (Inst2). Il est certain

que l'altitude entre les deux stations totales n'est pas identique, alors l'altitude de la station

totale numéro 2 devra être ajustée suite aux observations. Lorsque les deux stations

totales effectuent un pointé vers une même cible (D1), un triangle est formé tel que montré

à la Figure 3.3.

Figure 3.3: Triangle formé par la méthode de l'intersection spatiale

Puisque deux angles et une distance de ce triangle sont mesurés et donc connus, il est

possible de le solutionner en entier avec la Loi des sinus. Les coordonnées de la cible

dans le système local peuvent donc être déterminées à partir des coordonnées des

instruments sans avoir recours à la distance mesurée par le laser des deux stations

totales. Évidemment, plus la distance entre les deux stations est déterminée avec

justesse, moins l'erreur de justesse sur les coordonnées de la cible est importante.

Dans le cadre de ce projet de recherche, des données ont été recueillies trois fois avec la

méthode de l'intersection spatiale. Une première cueillette expérimentale a été réalisée le

6 mai 2016, une deuxième en date du 16 mai 2016 et une dernière plus récente a été

effectuée le 22 décembre 2016. Les données recueillies lors de la dernière séance seront

utilisées de manière à présenter les différentes étapes de réalisation de la méthode avec

des résultats numériques.

La première étape d'une cueillette de données par intersection spatiale est la mise en

station des instruments. Il faut donc orienter les instruments dans le plan avec une visée


31

arrière. Chaque pointé a été effectué avec la lunette en visée directe et en lunette

renversée. Pour la mise en station de l'instrument 1, les observations de directions

horizontales (Hℎ) en lunette directe et en lunette renversée sont présentées dans le

Tableau 3.2 et le Tableau 3.3. Pour la mise en station de l'instrument 2, les observations

de directions horizontales (Hℎ) en lunette directe et en lunette renversée sont présentées

dans le Tableau 3.4 et le Tableau 3.5. Il est à noter que trois mesures angulaires en visée

directe et renversée ont été effectuées pour la visée arrière, ce qui signifie que six

observations de directions horizontales sont disponibles à chaque station.

Tableau 3.2 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette directe

De À Hℎ:P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ;P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ<P`NQ]]Q S�aQ[]Q

Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')

1 2 90°00'00'' 90°00'03'' 90°00'00''

Tableau 3.3 : Visée arrière de la station numéro 1 en lunette renversée

De À Hℎ:P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ;P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ<P`NQ]]Q aQNTQaRéQ

Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')

1 2 270°00'14'' 270°00'14'' 270°00'14''

Tableau 3.4 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette directe

De À Hℎ:P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ;P`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ<P`NQ]]Q S�aQ[]Q

Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')

2 1 270°00'00'' 270°00'05'' 269°59'57''

Tableau 3.5 : Visée arrière de la station numéro 2 en lunette renversée

De À Hℎ:P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ;P`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ<P`NQ]]Q aQNTQaRéQ

Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '')

2 1 90°00'29'' 90°00'30'' 90°00'31''

Il est possible de constater que les trois pointés de chacune des visées sont très

semblables à quelques secondes près, mais qu'il existe une erreur systématique de

lecture en visée renversée. Il est donc impératif de calculer une correction à appliquer à

toutes les observations selon les écarts constatés en fonction du sens de la visée. Pour

calculer la correction à appliquer, il faut tout d'abord calculer la moyenne des trois


32

observations pour chaque type de visée. La correction correspondra à cette valeur

calculée, mais de signe opposé, le tout tel que présenté au Tableau 3.6.

Tableau 3.6 : Correction à apporter à toutes les observations

De À HℎbZcQNNQP`NQ]]Q S�aQ[]Q HℎbZcQNNQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ Hℎ[ZaaQ[]�ZNP`NQ]]Q S�aQ[]Q Hℎ[ZaaQ[]�ZNP`NQ]]Q aQNTQaRéQ

Inst Inst (° ' '') (° ' '') (° ' '') (° ' '')

1 2 90°00'01.0'' 270°00'14.0'' -0°00'01.0'' -0°00'14.0''

2 1 270°00'00.7'' 90°00'30.0'' -0°00'00.7'' -0°00'30.0''

Le Tableau 3.6 permet de constater que les corrections à apporter en visée directe sont

presque nulles. Cela est normal étant donné que seules l'incertitude angulaire de

l'instrument et l'incertitude du pointé de l'observateur contribuent à l'écart entre les

mesures. Cependant, l'erreur en visée renversée est très importante et mérite d'être

corrigée. Une erreur d'observation angulaire de 30 secondes d'arc provoquera une erreur

de positionnement de l'ordre de 1,5 millimètre sur une cible située à une distance de 10

mètres. Cet ordre de grandeur concorde avec la fidélité d'une mesure de distance obtenue

directement par le laser d'une station totale telle que présentée au Tableau 3.1. Étant

donné que l'incertitude finale recherchée sur les coordonnées des cibles localisées par

intersection spatiale est submillimétrique, ces erreurs sont non négligeables.

Une fois toutes les observations en lunette directe et renversée de chaque station

corrigée, il est possible de faire la moyenne des observations pour chaque station.

Chaque cible a été localisée deux fois en visée directe et en visée renversée par le même

instrument, ce qui signifie que quatre observations de directions horizontales et verticales

sont disponibles à chaque station. Une première moyenne des directions horizontales et

verticales en lunette directe ou renversée a été calculée pour chaque station. Par la suite,

il fut possible de calculer la moyenne des directions horizontales et verticales en lunette

directe et renversée avec les Équations 3.1 et 3.2.

HℎbZcQNNQ d�NMPQ = HℎbZcQNNQ [Zaa�OéQP`NQ]]Q S�aQ[]Q + (HℎbZcQNNQ [Zaa�OéQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ ± 180°)2 (3.1)

HgbZcQNNQ d�NMPQ = HgbZcQNNQP`NQ]]Q S�aQ[]Q + ( 360° − HgbZcQNNQP`NQ]]Q aQNTQaRéQ)2 (3.2)


33

Disposant maintenant de valeurs moyennées plus fidèles pour les directions horizontales

et verticales, il est possible d'exprimer les coordonnées d'une cible en fonction des

observations de la station numéro 1 à partir des Équations 3.3, 3.4 et 3.5.

��jPQ = ��NR]: + U�NR]:^��jPQ × sin(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.3)

n��jPQ = n�NR]: + U�NR]:^��jPQ × cos(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.4)

q��jPQ = q�NR]: + U�NR]:^��jPQ × cotan(Hg�NR]:^��jPQ) (3.5)

où ��jPQ , n��jPQ , q��jPQ ∶ coordonnées 3D de la cible;

��NR]:, n�NR]:, q�NR]: ∶ coordonnées 3D de la station numéro 1;

U�NR]:^��jPQ ∶ distance entre la station numéro 1 et la cible;

Hℎ�NR]:^��jPQ ∶ direction horizontale de la station numéro 1 vers la cible; et

Hg�NR]:^��jPQ ∶ direction verticale de la station numéro 1 vers la cible.

La distance entre l'instrument et la cible n'est pas mesurée directement, mais est calculée

à partir de la Loi des sinus. Puisque la Loi des sinus fait intervenir des angles et non des

directions horizontales, il faut transformer les directions horizontales en angles. Les angles

correspondent aux angles intérieurs du triangle formé par la différence entre la direction

horizontale vers la cible et la direction horizontale vers la station servant de visée arrière.

La distance entre l'instrument et la cible en fonction des observations est exprimée par

l'Équation 3.6.

U�NR]:^��jPQ = U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];) (3.6)

où U�NR]:^��jPQ ∶ distance entre la station numéro 1 et la cible;

U�NR]:^�NR]; ∶ distance entre la station numéro 1 et la station numéro 2;

∆�NR]:∶ angle intérieur du triangle à la station numéro 1; et

∆�NR];∶ angle intérieur du triangle à la station numéro 2.


34

On peut par la suite insérer l'Équation 3.6 dans les Équations 3.3, 3.4 et 3.5 pour obtenir

des équations complètes de calcul des coordonnées d'une cible à partir des observations

mesurées à chaque station.

��jPQ = ��NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)

× sin(Hℎ�NR]:^��jPQ) (3.7)

n��jPQ = n�NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)

× cos(Hℎ�NR�:^��jPQ) (3.8)

q��jPQ�NR]: = q�NR]: + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR];)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)

× cotan(Hg�NR]:^��jPQ) (3.9)

Il est inutile de calculer les coordonnées planimétriques de la cible à partir de la station

numéro 2 puisque le résultat sera le même. En effet, puisque les observations de la

station numéro 2 sont utilisées pour calculer la distance entre la station numéro 1 et la

cible, les équations de géoréférencement sont directement dépendantes. Cependant, les

observations de directions verticales ne sont pas utilisées dans les équations précédentes.

Il n'existe aucune dépendance entre les observations altimétriques de la station numéro 1

et de la station numéro 2. Il est donc utile de calculer la coordonnée altimétrique de la

cible à partir de la station numéro 2 avec l'équation suivante.

q��jPQ�NR]; = q�NR]; + U�NR]:^�NR]; × sin (∆�NR]:)sin (180° − ∆�NR]: − ∆�NR];)

× cotan(Hg�NR];^��jPQ) (3.10)

Puisque deux valeurs d'altitude pour une même cible sont calculées, la valeur finale

conservée sera une moyenne de ces deux valeurs.


35

q��jPQ = q��jPQ�NR]: + q��jPQ�NR];2 (3.11)

L'écart entre ces deux valeurs est majoritairement dû au fait que l'altitude des deux

stations n'est pas identique. Tel que défini plus tôt, l'origine du système (X = 0; Y = 0; Z =

0) est située à la station numéro 1. L'ajustement en Z doit donc être appliqué seulement à

la station numéro 2. La différence d’altitude entre les deux stations peut être approximée

de la manière suivante.

∆q�NR]; = q��jPQ�NR]; − q��jPQ�NR]: 2 (3.12)

Après seulement une ou deux itérations successives, il est possible de calculer la

différence d'altitude entre la station numéro 1 et la station numéro 2. Lors de la collecte de

données du 22 décembre, cette différence d'altitude était de 0,0121 mètre. Puisque la

distance entre les stations prise au ruban à mesurer était de 4,548 mètres, les

coordonnées initiales de la station numéro 2 étaient (X = 4,548; Y = 0; Z = 0,0121).

L'intersection spatiale est une méthode qui offre très peu d'avantages si la distance entre

les deux stations n'est pas connue avec suffisamment de justesse. Par expérience, il est

possible d'affirmer que l'erreur de justesse d'une distance de l'ordre de 4 mètres mesurée

au ruban ne sera jamais meilleure que quelques millimètres. Il n'y aurait donc peu ou pas

de gain à utiliser cette méthode par rapport aux méthodes d'arpentage conventionnelles si

ce n'est qu'il n'y a aucun contact avec l'objet. Le fait d'éviter les contacts avec les objets à

mesurer permet de minimiser les risques d'erreurs causés par un déplacement. Pour que

cette méthode soit efficace, il faut améliorer substantiellement la qualité de la mesure de

distance entre les stations. Pour y parvenir, on utilise des mires graduées munies de

cibles aux deux extrémités dont la distance est connue à quelques micromètres près. De

cette façon, il devient possible de localiser des cibles avec une incertitude inférieure au

millimètre.

La raison pour laquelle une incertitude submillimétrique est recherchée pour la localisation

des cibles dans le laboratoire est liée à l'Équation 2.8. Le laboratoire est un endroit

restreint. La largeur entre les murs est légèrement inférieure à 10 mètres. Puisque les


36

points de contrôle observés par le SLM sur le banc de calibrage devraient être situés à 5

mètres de distance en moyenne, les coordonnées de ces points de contrôle doivent être

connues avec une marge d'erreur de 1 millimètre ou moins étant donné que l'on cherche

toujours à estimer les angles de visée avec une erreur maximale de 0,01 degré. Toutes

les étapes menant à la détermination de ces coordonnées doivent donc respecter ce

critère d'incertitude sur le positionnement.

Une expertise développée depuis quelques dizaines d'années au Laboratoire de

métrologie du Département des sciences géomatiques de l'Université Laval est

l'étalonnage de mires graduées utilisées à des fins de nivellement de haute précision. Des

cibles permanentes ont été fixées aux extrémités de certaines de ces mires et la distance

entre ces cibles a été déterminée avec des mesures prises à l'interféromètre. La

méthodologie employée permet de garantir que la longueur des mires est connue avec

une erreur de justesse de 10 micromètres (0,01 mm) ou mieux.

Lors de la collecte du 22 décembre, quatre mires ont été utilisées. Ces mires sont

identifiées par les lettres A, B, C et D apparaissant à la Figure 3.4. Les mires ont été

positionnées près du banc de calibrage de deux façons différentes. Les mires A et B sont

retenues à la verticale par des serres coulissantes fixées à des piliers alors que les mires

C et D sont déposées horizontalement sur une table et sur le banc de calibrage. La Figure

3.4 montre la disposition des stations totales et des mires dans le laboratoire et le type de

cible utilisée aux extrémités de chaque mire est montré à la Figure 3.5.

Figure 3.4 : Position des mires et des stations totales dans le laboratoire

Mire A Mire B

Mire C

Mire D Inst1

Inst2


37

Figure 3.5 : Type de cible utilisée aux extrémités de chaque mire

Il est possible de calculer la distance euclidienne entre les deux cibles d'une même mire à

partir de leurs coordonnées en trois dimensions, tel que montré à l'Équation 3.13.

U��jPQ :^��jPQ ;= t(��jPQ ; − ��jPQ :); + (n��jPQ ; − n��jPQ :); + (q��jPQ ; − q��jPQ :); (3.13)

Dans le cas d'une mire horizontale, les termes ��jPQ ; − ��jPQ : et n��jPQ ; − n��jPQ :

contribueront presque en totalité à la mesure de distance. L'opposé est aussi vrai pour une

mire verticale où la contribution du terme q��jPQ ; − q��jPQ : sera beaucoup plus importante

que celle des deux autres termes. Au niveau des observations brutes, la variation de

l'angle horizontal entre deux cibles influence les composantes planimétriques (X et Y)

alors qu'une variation de l'angle vertical entre deux cibles influence la composante

altimétrique (Z). Le Tableau 3.7 présente la longueur des mires mesurées par rapport à

leur longueur théorique déterminée par interférométrie.

Cible au haut et au bas de la mire

Cible de 40 mm par 40 mm permettant d'effectuer des pointés de haute précision


38

Tableau 3.7 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires graduées

Mires Verticales Horizontales A B C D

Longueur mesurée (m) 2,778225 2,778584 2,852083 2,896220

Longueur théorique (m) 2,780932 2,781192 2,854571 2,898870

Écart (mm) -2,707 -2,608 -2,488 -2,650

Le Tableau 3.7 permet de constater que la longueur des mires mesurées est toujours trop

courte de l'ordre de 2,6 millimètres. Cette différence est directement causée par une erreur

sur la distance mesurée au ruban entre les deux stations totales. La distance mesurée est

erronée de 2 à 3 millimètres, ce qui concorde avec l'ordre de grandeur anticipée pour une

mesure de plus de 4 mètres effectuée avec un simple ruban à mesurer.

Puisque la magnitude de l'erreur est connue, il est possible de la corriger en appliquant

une correction à la mesure de distance entre les deux stations. Cette correction a été

appliquée sous la forme d'un facteur échelle tel que montré à l'Équation 3.14.

u\�JID éℎJKKJ = vw9xIJID yJFIDéJvw9xIJID �ℎéwDGzIJ (3.14)

Seules les mires horizontales ont été utilisées dans le calcul de la correction. Les mires

verticales servent quant à elles de vérifications. Le Tableau 3.8 présente la valeur obtenue

pour le facteur échelle et la valeur de la distance corrigée entre les deux stations.

Tableau 3.8 : Correction de la distance entre les stations avec un facteur échelle

Mires Facteur

échelle

Facteur échelle

moyen

Distance brute

(m)

Distance corrigée

(m)

C 0,99913 0,99911 4,548 4,5521

D 0,99909

Une fois qu'une valeur plus juste a été déterminée pour la distance entre les stations, il est

possible de recalculer les coordonnées des cibles aux extrémités des mires. L'impact de la

qualité de la mesure de distance entre les deux stations est directement observable sur

l'écart entre la longueur mesurée et théorique des mires, tel que présenté au Tableau 3.9.


39

Tableau 3.9 : Différence entre la longueur mesurée et théorique des mires après la

correction de la distance entre les stations

Mires Verticales Horizontales

A B C D

Longueur mesurée (m) 2,780708 2,781067 2,854632 2,898808

Longueur théorique (m) 2,780932 2,781192 2,854571 2,898870

Écart (mm) -0,224 -0,125 0,061 -0,062

Le Tableau 3.9 indique que l'erreur résiduelle est également répartie sur les mires

horizontales C et D et que cette erreur est inférieure au dixième de millimètres. L'erreur

résiduelle est 2 à 4 fois plus grande sur les mires verticales, mais celles-ci n'ont pas servi

aux calculs de la correction à appliquer contrairement aux mires horizontales. Néanmoins,

elles servent à valider que la localisation d'objet par intersection spatiale permet de

déterminer les coordonnées de cibles avec une incertitude de l'ordre de quelques

dixièmes de millimètres tout en minimisant les risques d'erreurs, puisqu'aucun contact

n'est fait avec l'objet à mesurer. Maintenant que l'efficacité de cette méthode est prouvée,

le reste de la procédure menant à la réalisation d'un système de coordonnées de haute

précision peut être présenté.

3.3. La transformation de coordonnées

Pour parvenir à réaliser la matérialisation d'un système de coordonnées, il faut d'abord

définir son origine et l'orientation de ses axes. L'origine concorde avec le centre de la

pièce usinée montrée à la Figure 3.1. L'axe choisit matérialisé par l'orientation du banc de

calibrage est l'axe Y et les valeurs sont croissantes lorsqu'on s'éloigne de l'interféromètre.

Cela signifie que plus la distance mesurée par l'interféromètre est grande, plus la

coordonnée Y est grande. À la surface du banc de calibrage, l'altitude est nulle et les

valeurs croissantes de l'axe Z sont définies vers le haut. Pour compléter ce système de la

main droite, l'axe X est défini en direction du mur le plus près du banc de calibrage, c'est-

à-dire le mur droit. Les axes du système de coordonnées ainsi défini sont présentés à la

Figure 3.6.


40

Figure 3.6: Les trois axes du système de coordonnées global

En plus de localiser l'origine du système par intersection spatiale, quatre autres mesures

ont été effectuées à des endroits prédéfinis sur le banc de calibrage. Ces mesures ont été

effectuées à l'aide de la pièce mobile montrée à la Figure 3.2. Une distance de l'ordre de

12 mètres sépare la dernière mesure et la première mesure correspondant à l'origine. La

distance entre chacune des mesures est très semblable et celle-ci correspond à la

distance entre chaque pilier supportant le banc de calibrage, le tout tel que présenté à la

Figure 3.7.

Figure 3.7 : Localisation de la pièce mobile pour les mesures d'orientation du banc de

calibrage

X

Y Z

Origine Orientation numéro 1

Orientation numéro 2



Origine (X = 0, Y = 0, Z = 0)


41

La partie centrale supérieure de la pièce usinée, ci-après nommée « la pointe », a été

mesurée par les deux stations totales à chaque endroit sur le banc de calibrage. Étant

donné que l'altitude du banc de calibrage est recherchée et non celle de la pointe, une

correction de 1,75 pouce en altitude a été appliquée à chacun de ces cinq pointés. La

pièce fixée au banc de calibrage permet donc d'imposer une origine au système tandis

que la pièce mobile déplacée aux quatre endroits stratégiques permet de calculer

l'orientation du banc de calibrage et de vérifier si celui-ci est réellement de niveau. Les

coordonnées des quatre mesures d'orientation et de la mesure de l'origine dans le

système de coordonnées local des stations totales sont montrées dans le Tableau 3.10.

Tableau 3.10 : Coordonnées mesurées des pointés d'orientation sur le banc de calibrage

Pointés �PZ[MP nPZ[MP qPZ[MP (m) (m) (m)

Origine 8,0097 3,6637 -0.4786

Orientation no 1 5,6120 3,6534 -0.4795

Orientation no 2 2,5508 3,6405 -0.4791

Orientation no 3 -0,5065 3,6279 -0.4789

Orientation no 4 -3,7830 3,6150 -0.4792

Pour calculer l'orientation du banc de calibrage, un point moyen a été calculé à partir des

coordonnées de tous les points d'orientation.

Tableau 3.11 : Coordonnées du point moyen

�bZcQN nbZcQN qbZcQN

(m) (m) (m)

Point moyen 0,9683 3,6342 -0,4792

L'orientation du banc de calibrage, soit le gisement entre l'origine et le point moyen, est

calculée à partir de l'Équation 3.15.

{DGJ9�\�Gw9 yJFIDéJ = arctan (�bZcQN − �Za�O�NQnbZcQN − nZa�O�NQ ) (3.15)


42

L'orientation mesurée du banc de calibrage dans le système de coordonnées local des

stations totales est de -90°14'24''. Pour effectuer le passage du système de coordonnées

local au système de coordonnées global de référence à établir, une transformation de

coordonnées s'impose. Cette transformation implique une translation en trois dimensions

ainsi qu'une rotation des axes du système de coordonnées dans le plan. Les paramètres

de cette transformation sont présentés dans le Tableau 3.12 et le Tableau 3.13.

Tableau 3.12 : Définition du paramètre de translation à appliquer

X (m) Y (m) Z (m)

Coordonnées de l'origine mesurée du banc de calibrage 8,0097 3,6637 -0,4786

Coordonnées de l'origine imposée du banc de calibrage 0,0000 0,0000 0,0000

Translation à appliquer (}) -8,0097 -3,6637 0,4786

Tableau 3.13 : Définition du paramètre de rotation à appliquer

Gisement (° ' '')

Orientation mesurée du banc de calibrage -90°14'24''

Orientation imposée du banc de calibrage 0°0'0''

Rotation à appliquer dans le sens antihoraire (~) 90°14'24''

À partir des paramètres de rotation et de translation, l'équation de transformation des

coordonnées peut être définie à partir de l'Équation 3.16.

3�OPZjMPnOPZjMPqOPZjMP 4 = # cos (~) sin (~) 0−sin (~) cos (~) 00 0 1( × 3�PZ[MP + }�nPZ[MP + }cqPZ[MP + }� 4 (3.16)

où �OPZjMP , nOPZjMP , qOPZjMP ∶ coordonnées d'un point dans le système de coordonnées

global;

�PZ[MP , nPZ[MP , qPZ[MP ∶ coordonnées d'un point dans le système de coordonnées local;

~ ∶ angle de rotation; et

}/, }0, }1 ∶ paramètres de translation.

De manière à vérifier la qualité de la transformation du système de coordonnées local vers

le système de coordonnées global, la transformation a été appliquée aux coordonnées des

mesures d'orientation et d'origine du banc de calibrage.


43

Tableau 3.14 : Coordonnées transformées des pointés d'orientation sur le banc de

calibrage

Pointés �OPZjMP nOPZjMP qOPZjMP

(m) (m) (m)

Origine 0,0000 0,0000 0,0000

Orientation no 1 -0,0002 2,3978 -0,0009

Orientation no 2 -0,0003 5,4590 -0,0004

Orientation no 3 -0,0001 8,5163 -0,0002

Orientation no 4 0,0007 11,7929 -0,0005

Le Tableau 3.14 fournit beaucoup de renseignements sur la qualité des mesures et de la

transformation de coordonnées appliquée, mais également sur l'alignement et l'élévation

du banc de calibrage. La colonne �OPZjMP permet de constater qu'à quelques dixièmes de

millimètres près, le banc de calibrage est presque parfaitement aligné. La colonne qOPZjMP, quant à elle, indique que le banc de calibrage est presque parfaitement au niveau sur

toute la longueur de 12 mètres mesurée. On peut même constater que le point d'origine a

toujours une altitude supérieure aux points d'orientation. Cette différence peut être causée

par le fait que le banc de calibrage soit réellement surélevé à cet endroit ou que la pointe

fixée au banc n'ait pas tout à fait la même élévation que la pointe mobile à quelques

dixièmes de millimètres près. Peu importe la cause de ce phénomène, les données

permettent de constater que pour une erreur de justesse sous la barre du millimètre, le

déplacement d'un SLM sur le banc de calibrage influencera seulement la coordonnée Y et

que les coordonnées X et Z seront constantes tout au long de ce déplacement. La

réalisation du système de coordonnées est donc conforme à sa définition.

3.4. Le rattachement des distances interférométriqu es au

système de coordonnées de référence

Pour effectuer une collecte de données avec le SLM en déplacement sur le banc de

calibrage, il faut que le SLM soit installé sur une plateforme mobile. Un charriot mobile

était déjà disponible au laboratoire. Un microscope est habituellement fixé à ce charriot

pour effectuer des pointés sur des mires et des rubans d'arpentage en vue de leur

étalonnage. Le microscope a été enlevé et une plateforme a été usinée sur mesure pour

fixer le SLM à ce charriot. Le résultat de ce montage est présenté à la Figure 3.8.


44

Figure 3.8 : Le SLM fixé au charriot mobile sur le banc de calibrage

Le SLM utilisé lors de ce laboratoire est un MX2 généreusement prêté par le fabricant

Trimble. Le modèle « Single Head » mis à disposition est celui disposant d'un seul

scanner laser. Toute la procédure de calibrage est donc faite sur mesure pour le MX2 de

modèle « Single Head ». Certaines adaptations au niveau de la programmation seraient

nécessaires pour que les divers programmes développés pour le traitement des données

soient compatibles avec d'autres SLM. Néanmoins, la procédure développée est générale

et pourrait s'appliquer à tous les types de SLM sur le marché. Les différentes versions du

MX2 sont montrées à la Figure 3.9.

Figure 3.9 : Les différentes versions du MX2 (Trimble, 2014)


45

Une caractéristique innovante de cette approche est que le déplacement du SLM sur le

banc de calibrage est déterminé par des mesures de distances prises par un

interféromètre. Trois composantes interviennent principalement dans les prises de

mesures interférométriques, le tout tel que présenté à la Figure 3.10. La première

composante est un laser de modèle XL-80 de Renishaw (Renishaw, 2016). Il s'agit d'une

nouvelle acquisition par le Laboratoire de métrologie faite à l'automne 2016. Ce laser a

d'ailleurs été utilisé lors de la cueillette du 22 décembre 2016. La deuxième composante

est une optique linéaire fixée sur le banc de calibrage tandis que la troisième composante

est une optique linéaire fixée au charriot mobile qui se déplace sur le banc de calibrage.

Figure 3.10 : Les trois composantes interférométriques

Lorsque cet interféromètre est utilisé avec le compensateur environnemental XC-10, le

fabricant garantit une fidélité de 0,5 particule par million (ppm) sur les mesures de distance

(Renishaw, 2016) . Cela signifie que pour une mesure de distance avoisinant les 10

mètres, la fidélité de la distance fournie par cet instrument est de l'ordre de 5 micromètres.

Cependant, ce compensateur environnemental n'était pas disponible lors de la prise de

mesures. Selon le fabricant, la fidélité d'une mesure de distance non compensée peut

Laser XL-80 de Renishaw

Optique linéaire

fixe

Optique linéaire mobile


46

avoisiner les 20 ppm dans des conditions environnementales normales. Pour un

déplacement maximal de 12 mètres sur le banc de calibrage, une erreur de 20 ppm

signifie une erreur de l'ordre de 0,2 millimètre. Quoique non optimale, une erreur de

quelques dixièmes de millimètre sur les mesures interférométriques est nettement

suffisante étant donné que la contribution des autres erreurs de positionnement est plus

importante. La justesse des mesures de cet interféromètre est garantie par un étalonnage

périodique de l'instrument.

Un interféromètre permet d’effectuer des mesures de distance relative entre deux objets.

Pour obtenir la mesure d’un déplacement absolu, il faut définir une valeur zéro. Pour

assurer un rattachement physique à la valeur zéro définie, l’origine du système de

coordonnées matérialisée par la pièce usinée a été utilisée. Lorsque le charriot mobile est

adossé à cette pièce métallique, la mesure de distance affichée par l’interféromètre est

nulle. Cependant, la valeur de la coordonnée Y recherchée ne correspond pas à la

distance entre le bord du charriot mobile et la pièce usinée, mais à la position de l’IMU sur

le banc de calibrage. Tel que montré à la Figure 3.11, lorsque la distance mesurée par

l’interféromètre est nulle, la coordonnée Y représentant la position de l’IMU sur le banc de

calibrage correspond au déplacement initial.

Figure 3.11 : Position de l'IMU sur le banc de calibrage

Coordonnée Y de l’IMU = distance + déplacement initial

Charriot adossé à la pièce (distance = 0)

Coordonnée Z de l’IMU = constante


47

Ce déplacement initial est constant partout sur le banc de calibrage et toute mesure de

distance effectuée par l’interféromètre peut être transformée en coordonnées à partir des

équations suivantes.

�� = �/ (3.17)

n�� = U�N] + �0 (3.18)

q�� = �1 (3.19)

où �� , n�� , q�� ∶ coordonnées du centre de l'IMU;

�/, �0, �1 ∶ constantes initiales; et

U�N] ∶ distance mesurée par l'interféromètre.

Il est difficile, voire impossible, de localiser directement le centre de l’IMU étant donné que

celui-ci est installé dans un boîtier fermé. De plus, même si l’IMU était accessible, il

faudrait être en mesure de connaître précisément l’endroit où est situé son centre de

manière à le mesurer. Bref, en raison de ces difficultés, seul le plan de conception du

fabricant (Figure 3.12) permet de déterminer la position du centre de l’IMU.


48

Figure 3.12 : Plan de conception du fabricant (Trimble, 2013a)

Sur ce plan, il est possible de constater que le centre de gravité de l’IMU (IMU C.O.G) est

positionné par rapport aux quatre trous de fixation de la plateforme du MX2. Dans un

système de coordonnées arbitraire, il est possible d’exprimer les coordonnées des quatre

trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU, le tout tel que présenté dans le Tableau

3.15.

Tableau 3.15 : Coordonnées des trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU

Élément �Maj�]aM�aQ nMaj�]aM�aQ qMaj�]aM�aQ

(mm) (mm) (mm)

Trou A 152 0 0

Trou B -152 0 0

Trou C -152 330 0

Trou D 152 330 0

IMU C.O.G. 0 143 52

Trou C

Trou D

Trou B

Trou A

Centre de l'IMU


49

Une des raisons pour laquelle les trous de fixation ont été utilisés est le fait que ceux-ci

sont accessibles et clairement définis, contrairement au centre du laser et au centre de

phase de l’antenne GPS. De plus, étant donné que quatre trous sont présents, si une

erreur se glisse dans la prise de mesure, il est facile de la détecter. Habituellement, ces

trous de fixation servent à assembler le MX2 sur une plateforme elle-même ancrée au toit

d’un véhicule. Dans la situation présente, le MX2 est fixé au charriot mobile par quatre vis

insérées dans leur trou respectif.

Figure 3.13 : Vue du dessus du MX2

La localisation des trous de fixation n’est pas effectuée directement, mais bien

indirectement. Puisque le MX2 lui-même nuit à la prise de mesures, les quatre trous ne

sont pas localisés sur le MX2, mais sur la plateforme du charriot servant à le supporter.

Des trous ont été percés précisément à partir des mesures théoriques montrées sur le

plan d’installation du fabricant. Puisque le dessous du MX2 s’appuie directement sur la

plateforme, le dessus de la surface métallique de la plateforme du charriot a la même

élévation que la partie inférieure de la plateforme du MX2.

Trou C

Trou D Trou A

Trou B

X

Y IMU


50

Figure 3.14 : Trous faits sur mesure sur la plateforme fixée au charriot mobile

Puisque les trous sont sensiblement à la même hauteur que les stations totales, il est ardu

de bien voir leur centre au travers de la lunette. Des vis ont donc été insérées dans ces

trous pour servir de cibles pour la localisation de la partie centrale, le tout tel que montré à

la Figure 3.15. Des pointés à partir de chaque station totale ont donc été effectués au

centre de chaque vis, directement à la surface de la plateforme métallique. Un pointé

supplémentaire a également été effectué sur la pièce mobile à laquelle le charriot est

adossé. En connaissant la différence de coordonnées entre les quatre trous et la pièce

mobile, il est possible de déterminer les constantes initiales recherchées.

De manière à minimiser les risques d'erreur et à s'assurer que les constantes initiales

recherchées demeurent réellement constantes sur toute la longueur de la section

d’environ 12 mètres utilisée sur le banc de calibrage, les mesurages ont été effectués à

plus d'un endroit. Ces endroits correspondent aux mêmes sites où ont été prises les

mesures d'orientation numéro 1, 2, et 3, tels qu'illustrés à la Figure 3.7. Ces endroits ont

été privilégiés puisqu'ils sont assez bien répartis sur cette section du banc de calibrage,

mais aussi puisqu'ils sont situés plus près des stations totales, ce qui favorise la qualité

des pointés. C'est pour cette raison qu'un mesurage n'a tout simplement pas été effectué

à la position de l'origine vraie du système ni au site numéro 4. De toute façon, puisque la

pièce mobile est une copie conforme de la pièce fixe, les résultats sont compatibles avec

une différence sous la barre du millimètre.


51

Figure 3.15 : Éléments mesurés aux trois sites sur le banc de calibrage

Pour chaque site, on dispose des coordonnées des quatre trous et de la pointe adossée

au charriot. De manière à bien illustrer tous les calculs qui permettent de déterminer les

valeurs des constantes initiales, les observations mesurées au site numéro 2 sont

présentées. Les coordonnées mesurées sont exprimées dans le système de coordonnées

global après la transformation.

Tableau 3.16: Coordonnées mesurées des quatre trous au site numéro 2

Site Trou X (m) Y (m) Z (m)

2

A 0,1576 2,4447 0,1277

B -0,1465 2,4440 0,1295

C -0,1499 2,7743 0,1294

D 0,1535 2,7753 0,1285

Puisque l'on dispose des coordonnées théoriques des quatre trous exprimées dans un

système de coordonnées arbitraire et des coordonnées mesurées de ces quatre mêmes

trous exprimées dans le système de coordonnées de référence global, il est possible

d'appliquer une transformation à quatre paramètres aux coordonnées des trous théoriques

pour les amener sur les trous mesurés. Cette transformation est aussi appliquée aux

coordonnées théoriques du centre de gravité de l'IMU. Le paramètre de rotation et les

trois paramètres de translation de cette transformation ont été déterminés par moindres

Trou A

Trou B

Trou C

Trou D

Centre de la pointe abaissé à l'altitude du banc de calibrage (hauteur de la pointe = 1,75 pouce)


52

carrés à chacun des trois sites. Une fois la transformation appliquée, on obtient les

coordonnées théoriques du centre de l'IMU exprimées dans le système de coordonnées

de référence global, le tout tel que présenté dans le Tableau 3.17.

Tableau 3.17 : Coordonnées du centre de l'IMU dans le système de coordonnées global

Site X (m) Y (m) Z (m)

2 0,0041 2,5875 0,1807

3 0,0042 5,6487 0,1813

4 0,0044 8,7062 0,1814

Étant donné que les sites de mesure sont disposés à différents endroits sur le banc de

calibrage, il faut connaître les coordonnées mesurées de la pointe adossée au charriot à

chacun des sites pour calculer les constantes initiales (voir Tableau 3.18).

Tableau 3.18 : Coordonnées de la pointe dans le système de coordonnées global

Site X (m) Y (m) Z (m)

2 -0,0002 2,3978 -0,0009

3 -0,0003 5,4590 -0,0004

4 -0,0001 8,5163 -0,0002

Les coordonnées X et Z de la pointe correspondent aux écarts d'alignement et de hauteur

du banc de calibrage. Ces valeurs sont équivalentes à celles inscrites dans le Tableau

3.14, car les mêmes pointés ont été utilisés pour déterminer l'orientation et la hauteur du

banc de calibrage, ce qui limite le nombre de mesures nécessaires. La valeur Y, quant à

elle, est directement liée à la mesure de déplacement le long du banc de calibrage par

rapport à l'origine. À chacun des sites, on doit soustraire les coordonnées de la pointe aux

coordonnées du centre de gravité de l'IMU pour déterminer les constantes initiales. La

valeur finale utilisée correspond à la moyenne des trois sites.


53

Tableau 3.19 : Valeur des constantes initiales à chaque site

Site �/ (y) �0 (y) �1 (y)

2 0,0043 0,1897 0,1816

3 0,0045 0,1898 0,1818

4 0,0045 0,1899 0,1816

Moyenne 0,0044 0,1898 0,1817

Écart-type 0,0001 0,0001 0,0001

En plus d'être utilisés pour déterminer les constantes initiales, les trous de fixation peuvent

aussi servir à déterminer la différence d'alignement entre le MX2 et le banc de calibrage.

Dans un monde idéal, il n'existerait aucune erreur d'orientation entre l'axe du MX2 et l'axe

du banc de calibrage correspondant à l'axe Y du système de coordonnées de référence.

Cependant, en pratique, il est fort possible que l'alignement des trous de fixation de

chaque côté du banc de calibrage ne soit pas parallèle à l'orientation de celui-ci. On peut

exprimer cette erreur d'alignement par l'Équation 3.20.

�DDJID H′\KGx9JyJ9� = \D�\9 (�?aZ` � − �?aZ` �n?aZ` � − n?aZ` � ) (3.20)

Les coordonnées utilisées pour le calcul de l'alignement sont les coordonnées théoriques

des trous de fixation exprimées dans le système de coordonnées global. De cette façon,

l'erreur d'alignement mesuré à partir des trous B et C situés à l'ouest et à partir des trous A

et D situés à l'est du banc de calibrage est identique puisque l'orientation des trous est

parallèle selon le plan du fabricant. Puisque la direction du banc de calibrage dans le

système de coordonnées global est de 0°, toute direction mesurée dans ce système

correspond à une orientation par rapport au nord conventionnel du système global. Cette

erreur d'alignement renseigne sur la direction horizontale du SLM et il correspond à la

valeur du lacet, une des trois composantes habituellement mesurées par l'IMU.


54

Tableau 3.20 : Lacet mesuré à chacun des trois sites

Site Lacet (° ' '') Lacet (°)

2 -0°25'02'' -0,4173

3 -0°24'21'' -0,4057

4 -0°26'02'' -0,4339

Moyenne -0°25'08'' -0,4190

Écart-type 0°00'51'' 0,0141

On peut constater que les valeurs pour le lacet diffèrent de quelques centièmes de degrés

pour chaque site. Selon le fabricant, il y a une distance de 33 centimètres entre les trous B

et C. Pour une si courte ligne de base, une erreur de 0,1 millimètre sur la position d'un des

trous entraîne une erreur légèrement inférieure à 2 centièmes de degrés sur l'orientation

calculée. Étant donné que l'écart-type des constantes initiales respecte cet ordre de

grandeur, il est normal de s'attendre à ce que l'écart-type du lacet soit autour de 0,02

degré. Bref, même en utilisant une méthodologie qui permet de déterminer la position

d'éléments avec une incertitude inférieure au millimètre, la valeur du lacet mesurée pour

un système aussi compact que le MX2 ne pourra être guère mieux que quelques

centièmes de degrés. Cette erreur est cependant tolérable dans le budget d'erreur prévu

puisque l'estimation de l'angle de visée du lacet est toujours plus difficile que celui du

roulis et du tangage. Néanmoins, la procédure établie cherche à déterminer les angles de

visée du roulis et du tangage avec une erreur maximale de l’ordre de 1 centième de

degrés. L'erreur associée à l'angle de visée du lacet ne pourra quant à elle jamais être

meilleure que 1,5 centième de degrés.

Puisque des valeurs pour les constantes initiales et le lacet ont été déterminées à deux

dates différentes, il est intéressant de comparer les résultats obtenus à partir de ces deux

cueillettes de données distinctes.

Tableau 3.21 : Comparaison entre les deux collectes de données

Date �/ (y) �0 (y) �1 (y) Lacet (°)

6 mai 2016 0,0045 0,1897 0,1822 -0,3988

22 décembre 2016 0,0044 0,1898 0,1817 -0,4190

Différence 0,0001 0,0001 0,0005 -0,0202


55

On constate que les résultats sont semblables pour les deux cueillettes de données. Dans

les deux cas, la procédure utilisée était la même, mais puisque le montage a entièrement

été démonté et refait entre les deux séances d'observation, les solutions finales ne sont

pas dépendantes. Les valeurs des constantes initiales sont identiques à quelques

dixièmes de millimètres près, ce qui correspond à des écarts tolérables et raisonnables.

Le faible écart de 2 centièmes de degrés sur le lacet est impressionnant étant donné qu'un

très léger déplacement du charriot peut causer une erreur d'alignement importante.

Bref, la procédure utilisée mène à des résultats compatibles entre eux. Pour ce qui est des

constantes initiales, les mêmes valeurs pourraient toujours être utilisées pour chaque

calibration d'un même SLM, ce qui permettrait d'économiser quelques heures sur la

cueillette et le traitement des données menant à la réalisation du système de coordonnées

de référence et à leur détermination. Dans le cas du lacet dont la valeur est très sensible à

tout déplacement du charriot, il serait préférable de répéter la procédure plusieurs fois en

enlevant complètement le charriot du banc de calibrage entre chaque séance de

mesurage. De cette façon, il serait possible de vérifier si les résultats se répètent et

prendre une décision à savoir si une valeur moyenne pour le lacet serait suffisante. Étant

donné que les trous de fixation et le centre de gravité de l’IMU sont situés au même

endroit pour les trois modèles de MX2, la valeur des constantes initiales et du lacet est la

même dans les trois cas. Cependant, pour d’autres types de SLM, la valeur des

constantes initiales et du lacet serait à déterminer avant leur calibrage.

Les valeurs des constantes initiales et du lacet déterminées précédemment sont valables

lorsque le MX2 est fixé au charriot avec une direction pointant vers le nord conventionnel.

Lors de la collecte de données du 22 décembre, des observations ont été recueillies par le

MX2 en direction nord (aller) et en direction sud (retour). Des valeurs pour les constantes

initiales et pour le lacet ont donc dû être déterminées dans les deux directions. Ces

valeurs moyennes déterminées en direction inverse (retour) sont montrées dans le

Tableau 3.22.

Tableau 3.22 : Constantes initiales et lacet en direction inverse

Date �/ (y) �0 (y) �1 (y) Lacet (°)

22 décembre 2016 0,0041 0,2338 0,1817 179,5810


56

La valeur pour la constante �1 est identique dans les deux directions étant donné que

l'orientation du MX2 ne contribue pas à la modification de l'élévation de l'IMU. La

constante �/ est elle aussi très semblable étant donné que le centre de l'IMU est toujours

situé à l'est du banc de calibrage. La principale différence se situe au niveau de la

constante �0. Cette différence de 4,4 centimètres est montrée sur le plan du fabricant

(Figure 3.12) et s'explique par le fait que la position de l'IMU sur la ligne centrale n'est pas

située exactement au milieu des trous de fixation (0,187 contre 0,143 mètre). Il est

primordial de déterminer les constantes initiales dans les deux directions puisque l'erreur

sur la position du centre de l'IMU se propage directement dans les paramètres de

calibrage. Pour ce qui est du lacet, on peut calculer sa valeur en direction inverse

seulement par l'ajout ou le retrait de 180 degrés.

3.5. La localisation des cibles

Pour mettre en œuvre la procédure de calibrage du MX2, les cibles choisies sont des

sphères blanches. Deux modèles ont été utilisés, soit des sphères de moyen et de grand

formats. Le diamètre nominal des sphères de grand format est de 198,8 millimètres (ATS,

2013) tandis que celui des sphères de moyen format est de 139 millimètres (ATS, 2012).

Un total de 18 sphères, 8 grandes et 10 moyennes, étaient disponibles et ont été bien

réparties dans le laboratoire à l’intérieur de la section sélectionnée de 12 mètres du banc

de calibrage. Le principe est de déterminer les coordonnées du centre de chacune de ces

sphères dans le système de coordonnées de référence global. Cependant, localiser

l'ensemble de ces sphères par intersection spatiale est une tâche ardue et longue. De

manière à contourner ce problème, un scanner LiDAR terrestre a été utilisé. Avec cet

instrument, l'acquisition est plus rapide et le centre de toutes les sphères peut être extrait

facilement du nuage de points. Cependant, il est nécessaire de connaître les coordonnées

du centre de certaines de ces sphères pour pouvoir géoréférencer le nuage de points

dans le système de coordonnées de référence global. Minimalement, deux sphères sont

nécessaires pour orienter un scan LiDAR. Dans le cadre de la collecte du 22 décembre

2016, quatre sphères ont été préalablement géoréférencées par la méthode de

l'intersection spatiale.

Il est impossible de localiser précisément le centre d'une sphère avec une station totale.

Pour contourner cette difficulté, la sphère a été retirée et remplacée par un autre objet qui

s'insère dans l'embase fixée sur un trépied d'arpentage. L'objet choisi pour remplacer la


57

sphère est une pointe de jalon. La sphère et la pointe de jalon sont présentées à la Figure

3.16 et la Figure 3.17 respectivement.

Figure 3.16 : Sphère fixée à une embase

Figure 3.17 : Pointe de jalon fixée à une

embase

Des filets sont présents à la base de la pointe de jalon, ce qui permet de visser celle-ci sur

la plupart des embases utilisées dans le domaine de l'arpentage. L'avantage de ces

pointes est qu’elles sont pointues en leur centre, favorisant ainsi la qualité du pointé. Les

coordonnées planimétriques de la pointe localisée par intersection spatiale concordent

donc avec les coordonnées planimétriques du centre de la sphère. Il reste cependant un

ajustement à faire en hauteur pour déterminer les coordonnées en trois dimensions du

centre de chacune des quatre sphères à localiser. Lors de la cueillette de données du 22

décembre, trois pointes de jalon différentes ont été utilisées afin de remplacer les sphères

ayant un plus grand rayon. L'une de ces pointes a été utilisée à deux reprises pour

localiser la position d'une quatrième sphère.

Figure 3.18 : Trois pointes de jalon (à gauche) et grande sphère (à droite)


58

À première vue, la hauteur totale des trois pointes de jalon et de leur adaptateur d'embase

semble très similaire. La hauteur totale (�) de chacun des trois ensembles a toutefois été

mesurée à des fins de vérifications à l'aide d'un vernier électronique qui possède une

résolution d'un centième de millimètre.

Figure 3.19 : Modèle de vernier électronique utilisé

Il était difficile de bien mesurer la hauteur avec le vernier électronique étant donné que les

mesures du bout de la pointe jusqu'à la partie inférieure de l'adaptateur ne sont pas prises

à la verticale. La qualité de chaque mesure prise individuellement n'est donc pas

constante. Puisque les trois ensembles ont des hauteurs mesurées assez semblables,

une moyenne de toutes les mesures a été calculée. Le Tableau 3.23 montre que trois

mesures ont été observées (H1, H2 et H3) pour chaque pointe A, B et C et la valeur

moyenne des neuf observations est retenue.

Tableau 3.23 : Hauteur totale de l'ensemble formé par la pointe de jalon et l'adaptateur

d'embase

Pointe �: (mm) �; (mm) �< (mm) �bZcQNNQ (mm)

A 108,53 108,57 108,72

108,1 B 107,74 107,50 107,29

C 108,18 108,04 108,49

Pour rattacher la hauteur de la pointe à la hauteur du centre de la sphère, il faut connaître

l'élévation du centre de la sphère jusqu'à la base de l'adaptateur d'embase. D'après la

fiche technique du fabricant, cette hauteur est de 196 millimètres (ATS, 2013). Bref, il est

possible de calculer l'altitude en mètres du centre de trois des quatre sphères à partir de la

hauteur de la pointe mesurée avec l'Équation 3.21.


59

q�QN]aQ SQ PM R��èaQ = q�Z`] SQ PM �Z�N]Q − 0,1081 + 0,196 (3.21)

Pour l'altitude de la quatrième sphère portant le numéro 9 dans le Tableau 3.26, la

procédure est quelque peu différente. Seulement trois adaptateurs d'embase conçus par

le fabricant étaient disponibles lors de la cueillette de données alors un quatrième

adaptateur d'embase a simplement été remplacé par un anneau métallique usiné sur

mesure d'une épaisseur de 20 millimètres. Cet anneau est vissé sur un plateau d'embase

d'une épaisseur de 31,5 millimètres mesurée avec le vernier électronique. La hauteur du

centre de la sphère jusqu'à la surface du plateau est de 152 millimètres, toujours mesurée

avec le vernier électronique. La hauteur de 152 millimètres était plus difficile à mesurer,

car il a fallu localiser le centre apparent de la sphère. Néanmoins, cette valeur était

constante pour tous les mesurages effectués. L'altitude finale en mètres de cette dernière

sphère est calculée avec l'Équation 3.22.

q�QN]aQ SQ PM R��èaQ = q�Z`] SQ PM �Z�N]Q − 0,1081 + 0,0315 + 0,152 (3.22)

Puisqu'il est très difficile de déterminer la position exacte du centre d'une sphère par de

simples mesures manuelles, il est possible que l'altitude calculée de cette quatrième

sphère soit erronée d'environ 2 millimètres. Le fabricant garantit quant à lui une erreur de

justesse de 1 millimètre sur les mesures inscrites à la fiche des spécifications. Néanmoins,

même si l'altitude de cette quatrième sphère a un degré d'incertitude plus élevé, les

coordonnées planimétriques du centre de cette sphère ont le même degré d'incertitude

que les trois autres.

Pour compléter le géoréférencement des sphères, une étape supplémentaire est

nécessaire. Une contrainte liée à l'utilisation d'un SLM quant aux systèmes de

coordonnées à utiliser est le fait qu'un SLM utilise les observations GNSS pour calculer sa

position sur l'ellipsoïde en latitude, en longitude et en hauteur. Lorsqu'on veut remplacer

la position du SLM, il faut que les coordonnées de remplacement soient dans le même

format. Bref, il faut convertir la distance mesurée par l'interféromètre en latitude, en

longitude et en hauteur. Les détails de cette transformation sont présentés au Chapitre 4

portant sur le traitement de données. Dans le même ordre d'idée, les logiciels de

cartographie de données LiDAR mobile utilisent des projections cartographiques pour


60

visualiser les nuages de points. L'ellipsoïde WGS84 et le système de projection UTM sont

définis en prévision de la visualisation et du traitement du nuage de points dans le logiciel

de cartographie de données LiDAR mobile. L'idée est de faire un lien entre le système de

coordonnées global, le système de coordonnées ellipsoïdal (latitude et longitude) et le

système de coordonnées de projection UTM. Encore une fois, la pointe d'origine sera la

pièce maîtresse de cette transformation de coordonnées. Les coordonnées ellipsoïdales

définies pour cette pièce sont présentées dans le Tableau 3.24.

Tableau 3.24 : Coordonnées ellipsoïdales de la pointe d'origine

Point Latitude Longitude Hauteur

Origine 45°00'00'' -69°00'00'' 0,0000 m

La latitude choisie de 45 degrés est tout simplement arbitraire. La longitude de 69 degrés

ouest correspond à la longitude du méridien central de la zone 19 de la projection UTM.

Le long du méridien central d'une projection de type UTM, la convergence des méridiens

est nulle. Cette paire de coordonnées place donc le banc de calibrage directement sur le

méridien central de la projection UTM et son orientation est de 0 degré par rapport au nord

géographique. De plus, en imposant une ondulation du géoïde nulle, la hauteur sur

l'ellipsoïde devient identique à la hauteur orthométrique. De ce fait, il est possible de

calculer les coordonnées UTM de la pointe d'origine.

Tableau 3.25 : Coordonnées UTM de la pointe d'origine

Point ��?� (m) n�?� (m) q�?� (m)

Origine 500000,0000 4982950,4002 0,0000

Étant donné que l'orientation des axes des trois systèmes est la même, aucune rotation

n'est nécessaire. Pour passer du système de coordonnées global défini précédemment

aux coordonnées de projection UTM, une simple translation est nécessaire.

��?� = �OPZjMP + 500000 (3.23)

n�?� = nOPZjMP + 4982950,4002 (3.24)


61

q�?� = qOPZjMP (3.25)

Les coordonnées 3D finales du centre des sphères dans le système de coordonnées de

projection UTM sont montrées dans le Tableau 3.26.

Tableau 3.26 : Coordonnées UTM des sphères déterminées par intersection spatiale

Sphère ��?� (y) n�?� (y) q�?� (y)

18 499997,2116 4982961,5010 0,5098

8 499992,9365 4982956,3403 -0,0106

1 499997,1623 4982951,4215 0,8159

9 499998,1082 4982955,5731 0,5860

Pour parvenir à localiser les sphères et à réaliser toutes les étapes menant à leur

localisation, il faut prévoir 3 à 4 heures de relevés pour un seul opérateur. Il est certain

que le temps d'acquisition peut être diminué si une deuxième personne opère la deuxième

station totale pour effectuer les pointés. Cependant, il est préférable qu'un seul opérateur

effectue la prise de mesures de manière à ne pas introduire d'erreur sur l'interprétation

des éléments à mesurer. Il est donc possible que les données collectées par une même

personne soient biaisées, mais si cette erreur est constante tout au long de la prise de

mesures, celle-ci n'apparaitra pas dans les données recueillies.

3.6. L'incertitude des cibles

En plus de connaître les coordonnées de ces sphères, il est important de connaître leur

incertitude. Il est possible d'estimer l'écart-type des coordonnées des cibles à partir des

observations d'angle et de distance. Dans le calcul des coordonnées, les observations

provenant des deux stations totales sont nécessaires, tel que présenté aux Équations 3.7

à 3.11. Pour la distance entre les deux stations, un écart-type de 0,2 millimètre a été

déterminé comme étant une valeur assez représentative étant donné que celle-ci

correspond à l'ordre de grandeur des résiduelles sur les mires verticales. Pour l’écart-type

des mesures de directions horizontales et verticales, il ne faut pas se limiter à l'erreur de

fidélité fournie par le fabricant. En effet, la qualité de la vision de l’opérateur influence

d'une manière assez importante les lectures angulaires.


62

Pour déterminer l’erreur totale des mesures angulaires, les observations elles-mêmes ont

été utilisées. Chaque élément mesuré a été localisé à quatre reprises étant donné que

deux mesures en visée directe et deux autres en visée renversée ont été effectuées. Les

valeurs finales, soient HℎbZcQNNQ d�NMPQ et HgbZcQNNQ d�NMPQ, sont en fait une moyenne des

quatre valeurs corrigées calculées en lunette directe et renversée. Il est donc intéressant

de connaître l’écart à la moyenne de toutes les observations pour chaque élément

localisé. Ces valeurs ont été compilées et l’écart-type a été jugé comme étant une valeur

déterminante pour exprimer l'erreur de fidélité observée des mesures angulaires.

Tableau 3.27 : Écart-type des mesures de directions horizontales et verticales calculé à

partir des observations par rapport à l'erreur de fidélité théorique de l’instrument

Écart-type déterminé à partir des

observations

Erreur de fidélité théorique de

l'instrument

Directions

horizontales ('')

Directions

verticales ('')

Directions

horizontales ('')

Directions

verticales ('')

Station 1 3 4 2 2

Station 2 8 14 5 5

On constate que la qualité du pointé de l’observateur influence directement la qualité des

observations en plus de l'erreur de fidélité angulaire de base de l'instrument. Cette erreur

est de l’ordre de 2 secondes autant en direction horizontale qu’en direction verticale, le

tout tel qu’on peut le voir dans le Tableau 3.27. On constate aussi qu’il semble y avoir une

erreur importante sur les lectures de directions verticales pour la station numéro 2. Une

analyse des observations a mis en évidence qu’il existe une erreur systématique entre les

observations en lunette directe et en lunette renversée. Cette erreur a été corrigée pour

les directions horizontales, mais n’a pas été considérée pour les directions verticales étant

donné qu’une moyenne des observations des deux stations est faite pour calculer l’altitude

des éléments mesurés. Cette erreur est toutefois habituellement beaucoup moins

importante lorsque la station totale est proprement calibrée. Néanmoins, à partir des

observations, il possible de démontrer que l’impact de cette erreur sur les mesures est de

l’ordre de 0,1 millimètre seulement sur l’altitude des éléments mesurés. Bref, l’écart-type

de toutes les observations est présenté dans le Tableau 3.28.


63

Tableau 3.28 : Écart-type associé à chaque type d'observation

Observation Écart-type U�NR]:^�NR]; 0,2 yy

Hℎ�NR]:^��jPQ 3′′√9

Hg�NR]:^��jPQ 4′′√9

Hℎ�NR];^��jPQ 8′′√9

Hg�NR];^��jPQ 14′′√9

∆�NR]: √2 × 3′′√9

∆�NR]; √2 × 8′′√9

La lettre 9 désigne le nombre d'observations. Étant donné que les mesures d'angle ont été

observées à deux reprises en lunette directe et en lunette renversée, la valeur de 9 est de

4 pour chaque mesure d'angle et de direction. De plus, la matrice de variance et de

covariance des observations (∑PP) est une matrice diagonale, car les observations sont

considérées indépendantes.

∑PP = ��; 0�S��; �ST��; �S��; �ST��; �∆��;0 �∆��; ��

�� (3.26)

Disposant des Équations 3.7 à 3.11, qui sont les équations permettant de calculer les

coordonnées des cibles localisées par intersection spatiale, il est possible de former la

matrice jacobienne des dérivées partielles (¡) des coordonnées en fonction des

observations.


64

¡ = ��

¢�¢U�NR]:^�NR];¢�Hℎ�NR]:^��jPQ

¢�Hg�NR]:^��jPQ¢�Hℎ�NR];^��jPQ

¢�Hg�NR];^��jPQ¢�∆�NR]:

¢�∆�NR];¢n¢U�NR]:^�NR];¢nHℎ�NR]:^��jPQ

¢nHg�NR]:^��jPQ¢nHℎ�NR];^��jPQ

¢nHg�NR];^��jPQ¢n∆�NR]:

¢n∆�NR];¢q¢U�NR]:^�NR];¢qHℎ�NR]:^��jPQ

¢qHg�NR]:^��jPQ¢qHℎ�NR];^��jPQ

¢qHg�NR];^��jPQ¢q∆�NR]:

¢q∆�NR];�� (3.27)

Il est donc possible de déterminer l'écart-type des coordonnées du centre des sphères à

partir de l'équation de propagation de la variance.

∑�� = ¡ × ∑PP × ¡? (3.28)

Les coordonnées des sphères étant exprimées dans le système de coordonnées UTM, on

doit aussi exprimer leur incertitude dans ce système. Il faut donc tenir compte de la

rotation des axes du système de coordonnées. La translation n'est pas considérée étant

donné que la dérivée d'une constante est nulle.

Tableau 3.29 : Écart-type des coordonnées des sphères dans le système de référence

global

Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm)

18 0,4 1,3 0,1

8 0,2 0,1 0,1

1 0,1 0,6 0,1

9 0,1 0,1 0,0

Les écart-types calculées des sphères 8 et 9 concordent relativement bien avec l'ordre de

grandeur des résiduelles sur la longueur des mires. On constate aussi que l'écart-type de

la coordonnée Z est assez semblable pour toutes les sphères. Cela s'explique par le fait

que toutes les sphères sont relativement à la même hauteur et que cette hauteur

correspond sensiblement à la hauteur de la lunette des stations totales. De ce fait, les

directions verticales observées sont toutes près de 90°. Pour ce qui est des coordonnées

planimétriques, on peut constater que l'écart-type de la coordonnée Y des sphères 18 et 1

est respectivement environ 10 et 5 fois plus grande que les autres coordonnées

planimétriques. Cela s'explique par la position de ces sphères par rapport aux stations

totales. Ces sphères sont situées aux extrémités de la partie couverte par le banc de


65

calibrage et dans la même orientation que les stations totales. De ce fait, lorsqu'un pointé

est effectué sur l'une de ces sphères, l'angle intérieur à la première station est très obtus

tandis que celui à la deuxième station est très aigu et vice-versa. L'erreur se propage donc

dans la direction de l'aplatissement du triangle formé par cette sphère et les stations

totales, ce qui correspond à l'axe Y du système de coordonnées global. Ce phénomène

est présenté à la Figure 3.20.

Figure 3.20 : Impact de la position d’une sphère sur la géométrie du triangle d’observation

Pour améliorer la géométrie du triangle d’observation et ainsi minimiser l'écart-type des

coordonnées des sphères 1 et 18, il faudrait repositionner les sphères de référence selon

une nouvelle configuration. Il faut toutefois s’assurer que les sphères couvrent le

laboratoire en largeur et en longueur. De plus, une analyse des données recueillies par le

MX2 a montré une dégradation des mesures de portée du LiDAR lorsque les sphères sont

situées trop près du banc de calibrage. Bref, plusieurs tests resteraient à faire de manière

à déterminer une configuration idéale entre les sphères de référence et les stations

totales. Ainsi, il serait possible de déterminer une configuration permettant de localiser le

centre des sphères avec une incertitude inférieure au millimètre.


66

En plus des sphères, des damiers ont été localisés lors de la cueillette de données du 16

mai 2016 (voir Figure 3.21). Ces damiers offrent l'avantage d'être peu coûteux et d'être

simples à installer étant donné que ceux-ci ne sont que des motifs de couleur noir et blanc

imprimés sur une feuille de papier standard.

Figure 3.21 : Répartition des damiers dans le laboratoire

Le centre des damiers est facilement localisable avec une station totale. Ces éléments

peuvent aussi être extraits dans un nuage de points. Des tests ont toutefois permis de

constater que le centre des sphères pouvait être estimé avec plus de fidélité que le centre

des damiers à partir d'un nuage de point LiDAR. C'est pour cette raison que ce type

d'éléments n'a pas été réutilisé lors de la deuxième collecte du 22 décembre.

L'utilisation de surfaces planes a aussi été envisagée. Lors de la collecte du 16 mai, des

tables avaient été positionnées avec différentes orientations dans le laboratoire, le tout tel

que présenté à la Figure 3.21. Il a été présenté au Chapitre 2 qu'il est possible d'estimer

les angles de visée et les bras de levier à partir de plans. Dans le cadre des approches

habituelles, il faut extraire des plans communs dans le nuage de points qui ont été

observés par deux passages différents. Il est ensuite possible d'ajuster les angles de visée

et les bras de levier pour tenter de faire coïncider le vecteur normal de chacun de ces

plans. Dans le cadre du présent travail de recherche, le fait d'effectuer plusieurs passages

aurait eu peu ou aucun impact étant donné que les plans auraient toujours été observés

exactement à partir des mêmes endroits sur le banc de calibrage. Le but était de

déterminer la normale de chaque plan avec le scanner LiDAR terrestre afin que celle-ci

serve de référence au relevé des plans par le scanner LiDAR mobile. Cependant, par

manque de temps, cette approche n'a pas été retenue et seulement l'approche avec les


67

sphères a été utilisée. Il aurait toutefois été intéressant de comparer les paramètres de

calibrage déterminés par les deux approches pour vérifier s'ils avaient été compatibles.

3.7. Détermination des coordonnés des cibles par s canner

LiDAR terrestre

Maintenant que les coordonnées des quatre sphères de référence sont connues, il est

possible d'ajouter d'autres sphères dans le laboratoire. Quatorze sphères de moyen et de

grand rayon ont été réparties dans le laboratoire en plus des quatre sphères de référence

reposant sur des trépieds d'arpentage. Ces sphères ont été positionnées de manière à ce

qu'elles couvrent toute la portion d'une longueur de 12 mètres utilisée sur le banc de

calibrage en plus de couvrir le laboratoire du plancher au plafond et du mur gauche au

mur droit (voir Figure 3.22).

Figure 3.22 : Répartition des sphères dans le laboratoire

Le scanner utilisé lors de la collecte du 22 décembre est le modèle Focus X330 de Faro.

Selon la fiche technique du fabricant, ce scanner effectue des mesures de distance avec

une fidélité de 0,3 millimètre pour des portées de 10 mètres (FARO, 2013). Étant donné

que la distance maximale entre le scanner et une sphère est inférieure à 10 mètres, on

peut s'attendre à ce qu'il soit possible que l'incertitude du géoréférencement des sphères

de référence soit sous la barre du millimètre.

Scanner LiDAR terrestre

Sphère 18 Sphère 9

Sphère 1

Sphère 8

Banc de calibrage


68

Deux scans ont été effectués à partir de deux stations d'enregistrement différentes. La

Figure 3.23 et la Figure 3.24 illustrent les nuages de points observés de chaque station.

Ces stations sont assez éloignées et ont été choisies de manière à ce que les sphères

puissent être observées selon des points de vue complémentaires. De cette façon, une

plus grande surface de chaque sphère est couverte permettant ainsi d'améliorer la qualité

de la détermination des coordonnées de son centre.

Figure 3.23 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 1

Figure 3.24 : Position des sphères vue de la station de scan numéro 2

Le captage de données LiDAR terrestre est plutôt simple comparativement au captage de

données LiDAR mobile. En fonction de la densité et de la qualité du nuage de points qui

sont désirées, on peut personnaliser les paramètres d'acquisition du scanner. Étant donné

que les sphères utilisées sont relativement petites et qu'au moins une centaine de points à


69

la surface de ces sphères est jugée satisfaisante pour bien modéliser leur centre, il est

important de considérer une résolution adéquate du scan. Le Tableau 3.30 indique la

quantité de points et l’espacement entre chaque point qu’il est possible de générer en

fonction de certains paramètres d’acquisition (ex. : résolution et qualité) pour un scan.

Tableau 3.30 : Paramètres d'acquisition du FARO Focus 3D X330

Résolution Qualité Temps d'acquisition

en minutes

Nombre de

millions de

points

Distance entre chaque

point en mm à une

distance de 10 m

1/32 4x 2:03 0,7 49,1

1/20 4x 2:14 1,7 30,7

1/16 4x 2:23 2,7 24,5

1/10 4x 3:05 7,0 15,3

1/8 4x 3:44 10,9 12,3

1/5 4x 6:31 28,0 7,7

1/4 4x 9:06 43,7 6,1

1/2 4x 30:34 174,8 3,1

1/1 2x 30:34 699,1 1,5

Puisque la mesure de portée maximale de chaque scan est de l'ordre de 10 mètres, la

valeur de la distance d'échantillonnage entre les points montrée à la cinquième colonne du

Tableau 3.30 donne une bonne indication de la distance maximale entre deux points sur

une même sphère. Étant donné qu'on cherche à géoréférencer le centre des sphères de

référence avec une incertitude de 1 millimètre ou moins, la distance d'échantillonnage

choisie doit être le plus près possible de cet ordre de grandeur. Néanmoins, il faut aussi

prendre en considération le temps d'acquisition total des deux scans et le temps de

traitement qui sont grandement influencés par la résolution et la qualité du nuage de

points.

Les paramètres d'acquisition choisis sont ceux montrés à la septième ligne du Tableau

3.30, soit une résolution de 1/4 et une qualité de 4x. La qualité n'influence en rien la

résolution du nuage de points, mais influence la présence du bruit sur les mesures.

Lorsqu'on augmente la qualité d'un scan, le temps d'acquisition est plus long étant donné

que la vitesse de rotation du miroir est ralentie. De ce fait, plus d'observations d'un même

point peuvent être faites de manière à effectuer une moyenne et à réduire ainsi le bruit sur


70

les mesures de portée. La qualité de 4x est en fait la qualité maximale du scanner. Le

niveau de résolution a quant à lui été défini en fonction du temps d'acquisition et de la

distance d'échantillonnage entre les points. Étant donné qu'il faut 30 minutes pour

compléter un scan avec une résolution de 1/2 contre seulement 9 minutes pour un scan

avec une résolution de 1/4, le choix s'est arrêté sur ce deuxième. De plus, pour un temps

d'acquisition assez rapide et une qualité maximale, la distance d'échantillonnage entre les

points est de 6 millimètres à 10 mètres, ce qui est plus qu'acceptable puisque la plupart

des sphères sont situées à une distance entre 3 et 7 mètres.

Pour compléter cette étape de la collecte de données, il faut compter de 45 à 60 minutes à

un opérateur pour le positionnement des 14 sphères supplémentaires dans le laboratoire

et environ 30 minutes pour le temps d'effectuer les deux scans et de déplacer l'instrument

entre les scans. Bref, il faut prévoir de 4 à 6 heures au total pour effectuer toutes les

observations à la station totale et au scanner LiDAR terrestre par la suite. Dans un

contexte ou plusieurs SLM devraient être calibrés, il serait judicieux de laisser en place

certains des éléments (sphères et damiers) géoréférencés dans le laboratoire. De cette

manière, toutes les étapes de la localisation d'objets dans le système de coordonnées de

référence avec la méthode de l'intersection spatiale ne seraient plus nécessaires. Lors

d'une éventuelle collecte de données, il ne resterait qu'à positionner les sphères

additionnelles dans le laboratoire et à effectuer les deux scans avec le scanner LiDAR

terrestre. On estime qu’une économie de plus de 60% du temps d'acquisition serait ainsi

réalisée. Cependant, la pointe servant d'origine sur le banc de calibrage, laquelle constitue

la pierre angulaire de ce système de coordonnées de référence, doit rester fixée de

manière permanente. Le montage du système de référence et des points de contrôle

servant au calibrage du système LiDAR mobile étant bien en place, on peut maintenant

procéder à l’acquisition des données LiDAR mobiles qui serviront à son calibrage.

3.8. Acquisition de données avec le SLM pour le cal ibrage

L’acquisition des données LiDAR mobiles à l’intérieur du laboratoire peut maintenant être

effectuée avec le SLM de modèle MX2. On doit d’abord brancher une série de câbles au

MX2 dont un câble pour l'alimentation électrique à une batterie à décharge lente de 12

volts, un câble réseau pour le transfert de données vers un ordinateur portable et un câble

GNSS permettant d’acquérir les données de l'IMU et du scanner laser malgré le fait que


71

les données de positionnement GNSS seront remplacées par des mesures prises par

l’interféromètre.

Pour combler ce besoin, une antenne GNSS a été positionnée temporairement sur un

trépied d'arpentage à l'extérieur du laboratoire de métrologie. Un câble coaxial d'une

longueur de 60 mètres a été branché au port de sortie de cette antenne pour amener le

signal GNSS jusqu'au port d'entrée du MX2 dans le laboratoire. Le récepteur interne du

MX2 permet ensuite de convertir le signal GNSS en PPS. Le PPS, ou pulse per second,

est un signal avec une cadence juste et fidèle qui provient de l'horloge interne d'un

récepteur GNSS qui se synchronise avec les horloges atomiques à bord des satellites. Ce

signal est nécessaire pour la synchronisation de l'IMU et du scanner LiDAR du MX2 et de

tout SLM en général.

L'IMU est un instrument capable d'effectuer plusieurs dizaines ou centaines de mesures

par seconde. Par exemple, l'IMU faisant partie intégrante du MX2 utilisé lors de la collecte

de données est le modèle AP20 IMU-42 de Trimble qui permet d'enregistrer des mesures

d'orientation du système à une fréquence allant jusqu'à 200 hertz. Cependant, l'acquisition

de données sur le banc de calibrage qui est droit et au niveau n'implique pas de

changement important sur l'orientation du MX2. Pour cette raison, une fréquence de 20

hertz a été choisie, ce qui correspond à la fréquence minimale. Étant donné que plusieurs

manipulations sont nécessaires sur les données brutes en vue du calibrage, éviter une

surabondance excessive de données est nécessaire de manière à diminuer le temps de

traitement.

Pour l'acquisition des données LiDAR, la fréquence d'impulsion laser est fixée à 36 000

points par seconde pour le MX2. Le seul paramètre variable est la fréquence de balayage

du système, qui peut être ajustée de 5 à 20 hertz. La fréquence de balayage correspond

au nombre de rotations effectuées par la tête du laser en une seconde. Lorsque la

fréquence de balayage est fixée à 20 hertz, la rotation du système est tellement rapide

que des vibrations se font sentir sur le banc de calibrage. De manière à ne pas fausser les

données par ce genre de perturbations, la fréquence minimale de 5 hertz a été choisie,

puisqu’à cette fréquence, aucune vibration n’est perceptible.

Une fois les paramètres d'acquisition définis, il faut mettre en place une procédure de

collecte de données LiDAR mobiles en laboratoire (in lab). La première approche anticipée

était de procéder à une collecte de données dynamique sur le banc de calibrage. Le


72

charriot mobile serait déplacé sur le banc de calibrage et ce déplacement serait mesuré en

temps réel par l'interféromètre. Tout au long de ce déplacement, un scan LiDAR du

laboratoire serait effectué en continu. Pour y parvenir, il faudrait que les mesures prises

par le MX2, c'est-à-dire les mesures de l'IMU et du laser, soient parfaitement

synchronisées aux mesures prises par l'interféromètre. On disposerait alors de la mesure

de distance sur le banc de calibrage fournie par l'interféromètre, des mesures des angles

du système fournies par l'IMU et des mesures angulaires et de portée du laser fournies

par le scanner pour chaque époque d'observation. De ce fait, des allers-retours pourraient

être effectués sur le banc de calibrage et la collecte de données serait très rapide.

Cependant, pour mettre en œuvre cette approche, il faudrait que le MX2 et l'interféromètre

soient tous les deux synchronisés sur le signal GNSS provenant de l'antenne temporaire

située à l'extérieur du laboratoire. Du matériel supplémentaire et plusieurs heures de

travail additionnelles auraient été nécessaires pour assurer une synchronisation parfaite

entre les instruments. De plus, il aurait fallu développer des méthodes permettant de

quantifier la justesse et la fidélité de la synchronisation temporelle et de détecter si des

traces de latence résiduelle sont toujours présentes dans les observations. Un autre

problème à contrer serait de développer un moyen mécanique de déplacement uniforme

du MX2 sur le banc de calibrage. Si une personne se charge de pousser ou de tirer le

charriot pour le déplacer, cela augmente le risque que des mouvements brusques nuisent

à la qualité des mesures. Une solution serait de développer un montage impliquant un

moteur électrique qui permettrait de déplacer le charriot mobile sur le banc de calibrage

avec une vitesse constante. Bref, cette approche de collecte de données dynamique n'a

pas pu être possible au cours de cette maîtrise étant donné un manque de temps et de

ressources (humaines et financières).

L'approche qui a été retenue est beaucoup plus simple à appliquer, malgré qu’elle

nécessite plus de temps pour parvenir à collecter des données. Cette approche consiste à

arrêter le MX2 entre chaque déplacement, à démarrer une session d'enregistrement des

données LiDAR mobiles et à noter la distance mesurée par l'interféromètre. On peut

décortiquer cette approche de calibrage statique en une séquence d’étapes.

1. Déplacement du MX2 sur le banc de calibrage vis-à-vis une des sphères;

2. Immobilisation du MX2 sur le banc de calibrage;


73

3. Démarrage de la saisie de données par le MX2 d’une durée approximative de 3

secondes;

4. Enregistrement du nuage de points sur le disque dur de l’ordinateur;

5. Observation et enregistrement de la distance mesurée par l'interféromètre;

6. Répétition des étapes 1 à 5.

Il est nécessaire d'effectuer la mise à zéro de l'interféromètre lorsque le charriot mobile est

adossé à la pièce d'origine, le tout tel que présenté à la Section 3.4. Par la suite, le

charriot est déplacé jusqu'au premier endroit permettant de localiser une sphère. Cette

approche ne nécessite pas que des observations soient effectuées sur toute la longueur

de la section de 12 mètres du banc de calibrage, mais seulement aux endroits où une

sphère peut être mesurée. À partir de certains tests, il a été déterminé qu'il faut un

minimum de quatre lignes de balayage pour déterminer le centre d'une sphère

adéquatement. Étant donné que la plus petite des deux sphères utilisées possède un

diamètre d'environ 14 centimètres, il faut s'assurer que la distance entre les lignes de

balayage pourra permettre que cette sphère soit mesurée minimalement par quatre scans

consécutifs. Puisque le scanner LiDAR balaie la scène avec un angle de près de 90° avec

le banc de calibrage, la distance mesurée entre chaque déplacement du charriot mobile

correspond presque parfaitement à la distance mesurée entre les lignes de balayage. De

ce fait, pour assurer une couverture minimale des sphères à localiser, une distance de 2,5

centimètres a été jugée suffisante telle qu’illustrée à la Figure 3.25.


74

Figure 3.25 : Démonstration de la couverture d’une sphère avec des lignes de scan

Avec une distance de 2,5 centimètres entre chaque balayage, on assure que 5 à 6 lignes

de scan couvrent les moyennes sphères et que 7 à 8 lignes de scan couvrent les grandes

sphères. Pour chaque balayage effectué, un fichier contenant les valeurs de position du

récepteur GNSS et d'orientation de l'IMU est stocké dans un format .gps, un fichier

contenant les valeurs d'angles et de portées du laser est stocké dans un format .las et une

ligne est ajoutée dans un fichier de format .xls contenant les distances mesurées par

l'interféromètre. Par ailleurs, une durée de 2 à 4 secondes par position est accordée pour

la saisie de données par le MX2. Même si cette période de temps fournit beaucoup plus

de données qu'il est nécessaire, elle assure une bonne saisie de l'information. En réalité,

un simple balayage du laser est nécessaire pour mesurer une ligne de scan en entier et

comme la fréquence de balayage est de 5 hertz, seulement 0,2 seconde de temps

d'acquisition serait suffisante. Il est néanmoins plus prudent de s'assurer que le logiciel ait

le temps de procéder à l'enregistrement, d'où le temps alloué minimal de 2 secondes.

De manière à être efficace lors de l'acquisition de données LiDAR mobile, il est préférable

que deux personnes y participent. Une première personne est simplement attitrée à


75

l'enregistrement des mesures de distance prises par l'interféromètre tandis que la

deuxième est en charge de l'enregistrement des données LiDAR en plus du déplacement

du charriot sur le banc de calibrage. Lors de la toute première collecte de données du 16

mai 2016, un total de 365 lignes de scan a été effectué pour localiser l'ensemble des 18

sphères. Suite au traitement de cet ensemble de données, on a réalisé que plusieurs

lignes de scan n’étaient pas nécessaires. Ce nombre a donc été diminué

considérablement lors de la deuxième collecte du 22 décembre 2016, passant à 221

lignes pour le même passage. De plus, lors de la collecte du 22 décembre, deux

passages, un aller et un retour, ont été réalisés en inversant le MX2 de 180° sur le charriot

mobile pour une deuxième collecte lors du retour. Cette procédure qui avait été omise lors

du premier relevé du 16 mai 2016 permettait de valider que les résultats du calibrage

peuvent fournir des valeurs équivalentes en direction avant comme en direction arrière. La

collecte de retour (en direction arrière) a quant à elle nécessité 226 lignes de scan.

Le temps d'acquisition est principalement influencé par deux éléments : l'expérience de

l'opérateur du SLM et la localisation des sphères dans le laboratoire. Lors du

positionnement des sphères, il est possible de placer plusieurs sphères sensiblement

dans le même plan perpendiculaire à l'axe du banc de calibrage. De cette façon, une

même ligne de scan peut couvrir plus d'une sphère, ce qui aide à diminuer le nombre total

de lignes de scan nécessaire pour la couverture en entier des 18 sphères. De plus,

l'expérience de l'opérateur favorise une acquisition efficace permettant d'enregistrer le

moins de lignes possibles ne contenant aucune sphère. Il faut cependant rester prudent

en observant une ou deux lignes de scan supplémentaires avant et après une sphère à

mesurer de manière à être certain de couvrir ladite sphère avec le plus de lignes de scan

possible. Par contre, un opérateur trop prudent pourrait enregistrer 40% de lignes de scan

non utilisables, ce qui augmente inutilement le temps d'acquisition et de traitement. Il faut

prévoir entre 80 et 120 minutes par passage pour balayer les 18 sphères présentes dans

le laboratoire qui sont réparties sur une longueur d'environ 12 mètres. Bref, environ 3

heures sont nécessaires pour effectuer une collecte de données LiDAR mobiles complète

à l’aller en direction avant et au retour en direction arrière.

Chapitre 4 : Traitement des données

76


Le chapitre précédent portait sur les différentes étapes de la réalisation d'un site de

calibrage de haute précision. Une cueillette de données complète a permis de recueillir les

observations de deux stations totales, d'un scanner LiDAR terrestre et d'un scanner LiDAR

mobile. Plusieurs étapes de calcul du traitement des observations recueillies à la station

totale ont été présentées au chapitre précédent. Le traitement des données provenant des

deux scanners LiDAR, terrestre et mobile, n'a toutefois pas encore été abordé. Le présent

chapitre présente la séquence d'opérations nécessaires pour la détermination des

coordonnées des sphères de référence mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Ce

chapitre présente aussi l'approche utilisée pour modifier les fichiers d'observations

mesurées par le LiDAR mobile de manière à assembler le nuage de points par ligne de

scan.

4.1. Retour sur les observations à traiter

Différents instruments ont été utilisés pour recueillir les données nécessaires au

développement de cette nouvelle méthode de calibrage d'un SLM en laboratoire. Parmi

ces observations, on retrouve d’abord des mesures angulaires effectuées à la station

totale, lesquelles ont été présentées au Chapitre 3 portant sur la méthodologie. On

retrouve également des nuages de points et indirectement des mesures de portées et

d’angles obtenus à partir de scanners LiDAR 3D terrestre et LiDAR 2D mobile. Des

logiciels commerciaux comme Trimble Realworks et Trimble Trident ont été utilisés pour

visionner, analyser et extraire les informations les plus pertinentes au calibrage du SLM.

Cependant, la majeure partie du développement de la nouvelle méthode de calibrage in

lab au cœur de ce projet de maîtrise a nécessité la création de plusieurs outils logiciels

dans le langage de programmation Matlab. Une librairie de fonctions a donc été mise en

place afin d’accéder aux différentes données observées en laboratoire, de les reformater

pour les rendre compatibles aux logiciels commerciaux et de les traiter pour obtenir les

paramètres de calibrage recherchés. L’objectif visé par le développement de ces fonctions

était d’automatiser et de réduire autant que possible le temps de traitement menant à

l’estimation des paramètres de calibrage. Au total, huit programmes ont été développés

pour réaliser toutes les étapes de cette procédure de calibrage allant du traitement des

données de base jusqu'à la production de tableaux et de graphiques montrant les résultats


77

du calibrage. Ces programmes doivent être opérés par étape de manière à respecter

l'ordre de réalisation de la procédure proposée. Les quatre premiers programmes sont

dédiés au traitement des données observées par les stations totales et par

l'interféromètre. Le Tableau 4.1 présente ces quatre premiers programmes ainsi qu'une

brève description de leur contenu. Le nom des programmes principaux commence par

‘M_’ (M pour Main). Au sein même de ces programmes, plusieurs fonctions dont le nom

commence par ‘F_’ (F pour Function) ont aussi été développées. Plus de détails sur ces

diverses fonctions développées sont disponibles à l'Annexe A.


78

Tableau 4.1 : Description sommaire des programmes permettant de traiter les données

recueillies par les stations totales et l'interféromètre

No Nom du programme

(M_nom.m) Description sommaire

Nom des fonctions

associées (F_nom.m)

1 M_Base3D

Ce programme permet de calculer

les coordonnées des trous de

fixation et de la pointe mobile

dans le système de coordonnées

de référence global à partir des

observations angulaires

provenant des deux stations

totales et de la méthode

d'intersection spatiale.

F_BacksideCorrection

F_AngleCalculator

F_CoordCalculator

F_ScaleDist

F_Alignment

F_PointToLine

F_RotationTranslation

2 M_COGDetermination

Ce programme permet de

déterminer les constantes initiales

et l'erreur d'alignement (lacet) du

MX2.

F_det_param6

F_apply_param7

3 M_ReferenceSpatiale


les coordonnées UTM de la pointe

d'origine et de transformer les

distances mesurées par

l'interféromètre sur le banc de

calibrage en coordonnées sur

l'ellipsoïde (latitude, longitude,

hauteur).

F_UTMmerid

F_UTMproj

F_UTMproj_inv

4 M_IntersectionSpatiale


les coordonnées des sphères de

référence et leurs écarts-types

dans le système de coordonnées

UTM à partir des observations

angulaires provenant des deux

stations totales et de la méthode

d'intersection spatiale.

F_BacksideCorrection

F_AngleCalculator

F_CoordCalculator

F_Alignment

F_PointToLine

F_VarCovMatrix

F_Local2GlobalUTM


79

Les programmes présentés au Tableau 4.1 permettent d'interagir avec l'utilisateur et de

générer des rapports sur les résultats du traitement des données. Le contenu de ces

rapports a été présenté dans les différents tableaux du Chapitre 3. Le traitement des

données acquises par le scanner LiDAR terrestre est présenté à la section suivante.

4.2. Enregistrement des nuages de points LiDAR terr estre

Le traitement des fichiers contenant les mesures recueillies par le scanner LiDAR terrestre

s'est fait à partir du logiciel Realworks de Trimble. La cueillette et le traitement des

données LiDAR terrestre sont des étapes simples et conviviales étant donné que tout le

processus requiert peu d'interventions par l'utilisateur. Les deux fichiers de format .fls ont

été importés dans le logiciel pour une prévisualisation du nuage de points. Par la suite, il a

été possible d'extraire automatiquement des éléments de forme sphérique dans le nuage

de points en fonction du diamètre de ces sphères. L'algorithme a donc été appliqué une

première fois sur les deux jeux de données avec un diamètre imposé de 139 millimètres et

une deuxième fois avec un diamètre imposé de 198,8 millimètres. Par la suite,

l'assemblage ou l'enregistrement automatisé des deux nuages de points à partir des

sphères communes a été fait avec l'outil d'appariement automatique du logiciel. De 30 à

60 minutes de traitement sont nécessaires à la réalisation de toutes ces étapes, mais

seulement quelques minutes requièrent l'attention de l'opérateur. Le temps de traitement

dépend du nombre de scans effectués et de la densité de ces scans en termes de quantité

de points. Une fois l'assemblage complété, le logiciel permet une visualisation des

résultats et la possibilité de faire certaines modifications avant de procéder à

l'enregistrement final. Les résiduelles de l'assemblage des deux nuages de points sont

présentées dans le Tableau 4.2.


80

Tableau 4.2 : Résiduelles de l'enregistrement des deux nuages de points

Numéro de la sphère Écart-type du centre de la sphère (mm)

Résiduelles (mm) Scan 001 Scan 002

1 0,4 0,2 1,0

2 0,2 0,2 0,6

3 0,1 0,2 1,4

4 0,2 0,2 1,6

5 0,2 0,1 1,0

6 0,2 0,2 0,6

7 0,2 0,2 0,4

8 0,3 0,2 0,4

9 0,1 0,2 0,6

10 0,2 0,3 0,5

11 0,2 0,2 1,2

12 0,2 0,2 0,7

13 0,2 0,2 1,1

14 0,2 0,2 1,6

15 0,2 0,3 1,5

16 0,2 0,2 0,9

17 0,1 0,2 0,5

18 0,5 0,2 1,9

Moyenne 0,2 0,2 1,0

À partir du Tableau 4.2, on peut constater que l'écart-type de l'extraction du centre des

sphères est très semblable pour chaque scan. Cela signifie qu'il est possible de

déterminer le centre d'une sphère avec une grande fidélité (0,2 mm) à partir de mesures

LiDAR effectuées à sa surface. Les résiduelles associées à l'enregistrement des deux

scans sont quant à elles de l’ordre de 1,0 millimètre, ce qui correspond à l'erreur maximale

attendue pour les coordonnées du centre des sphères de référence. Le LiDAR terrestre

semble donc répondre aux besoins exigés pour la procédure de calibrage en termes de

fidélité des mesures, mais surtout en termes d'efficacité et de rapidité au niveau de la

collecte et du traitement des données.


81

4.3. Géoréférencement des nuages de points LiDAR te rrestre

Après l'étape de l'enregistrement des nuages de points, on peut procéder au

géoréférencement. Un outil pratique du logiciel Realworks permet d'entrer les

coordonnées théoriques du centre des sphères et de procéder à la transformation du

nuage de points. Cet outil permet aussi de visualiser les résiduelles de la transformation et

de retirer certaines sphères dont les résiduelles seraient trop grandes. Les résiduelles de

la transformation pour chaque sphère de référence sont présentées dans le Tableau 4.3.

Tableau 4.3 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence

Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm) 3D (mm)

18 0,2 0,8 -1,7 1,9

8 0,1 -1,9 0,5 2,0

1 0,0 0,2 -1,7 1,7

9 -0,9 0,2 2,4 2,6

On constate des écarts plus importants qu'anticipés pour le géoréférencement des

sphères. Considérant que les étapes antérieures ont permis de contrôler les erreurs de

manière à ce que le centre des sphères soit connu avec une incertitude de l'ordre du

millimètre ou moins, des écarts de l'ordre de 2 millimètres ou plus deviennent donc

inacceptables.

En altimétrie, l'écart sur la sphère numéro 9 est le plus grand avec 2,4 millimètres. Cet

écart pourrait être justifié par le fait que l'altitude de cette sphère de référence soit erronée

d'environ 2 millimètres, le tout tel que discuté à la Section 3.5. Cette erreur aurait pu être

évitée si des adaptateurs d'embase avaient été disponibles pour chacune des quatre

sphères de référence.

Concernant l'analyse des résiduelles sur les composantes planimétriques, contrairement à

ce qui était anticipé, la sphère numéro 18 n'est pas celle dont les résiduelles sont les plus

importantes. Les résiduelles en planimétrie de la sphère numéro 8 sont anormalement

élevées considérant que la géométrie d'acquisition est excellente pour cette sphère. On

peut anticiper trois causes possibles d'erreur qui pourraient expliquer le fait que les

résiduelles soient plus importantes que prévu.


82

La première cause envisagée est un mauvais pointé par l'opérateur. Les observations

elles-mêmes peuvent permettre de déterminer la qualité d'un pointé. Tel que vu au

chapitre portant sur la méthodologie, pour chaque point mesuré, un total de quatre

mesures de directions horizontales et verticales sont observées. Pour chaque série

d'observations angulaires provenant des deux stations totales, l'écart-type a été calculé.

La valeur obtenue est comparée à l'écart-type de l'erreur de pointé déterminée pour toutes

les observations (sphères 1 à 18), le tout tel que vu au Tableau 4.4.

Tableau 4.4 : Écart-type des observations des sphères de référence par rapport à l'écart-

type de toutes les observations

Numéro

de la

sphère de

référence

Station 1 Station 2

Directions

horizontales ('')

Directions

verticales ('')

Directions

horizontales ('')

Directions

verticales ('')

18 3 3 9 16

8 1 4 8 15

1 1 1 9 20

9 2 4 7 24

1 à 18 3 4 8 14

Le Tableau 4.4 permet de constater qu'il n'existe pas une variabilité marquante sur les

observations des sphères de référence par rapport aux observations faites sur les autres

sphères, mis à part l'écart-type des directions verticales de la station 2 pour les sphères 1

et 9. Ces sphères correspondent également à celle dont les résiduelles sur la coordonnée

Z sont les plus élevées à -1,7 et 2,4 millimètres respectivement. Il est donc possible que la

qualité intrinsèque des observations soit en partie en cause, notamment la qualité des

observations de la station numéro 2 qui reflète l'utilisation d'une station totale avec une

fidélité angulaire de 5'' au lieu de 2''. Pour des travaux futurs, il est recommandé d'utiliser

deux stations totales avec une fidélité angulaire de 2'' ou mieux et de s'assurer que celles-

ci soient proprement calibrées et étalonnées avant la prise de mesures.

La deuxième cause de cette erreur pourrait être due aux pointes de jalon utilisées pour

faire le pointé. Il est possible que ces pointes ne soient pas parfaitement concentriques, ce

qui signifie que les coordonnées planimétriques calculées ne concorderaient pas tout à fait

avec le centre réel des sphères. De manière à contourner ce problème, une rotation de la


83

pointe et de l'adaptateur d'embase sur l'embase aurait pu être faite entre chaque mesure.

Étant donné que trois pattes de l'adaptateur d'embase s'insèrent dans l'embase, trois

rotations successives auraient permis de couvrir toutes les positions possibles pour le

centre d'une pointe. Par la suite, une moyenne des trois observations aurait permis de

calculer une valeur finale pour le centre de la pointe en éliminant le fait qu'elle ne soit pas

parfaitement droite et concentrique. De manière à éradiquer l'impact de cette erreur sur

toutes les sphères servant au géoréférencement, cette méthode devrait être appliquée aux

quatre sphères de référence. Cette façon de faire devrait fournir de bons résultats, mais

serait plus coûteuse en termes de temps d'acquisition. Une façon plus simple de régler ce

problème serait de tout simplement fabriquer des pièces parfaitement concentriques avec

les outils d'usinage du laboratoire. Ces pièces se visseraient aux adaptateurs d'embase et

leur hauteur totale pourrait concorder parfaitement avec la hauteur du centre des sphères

de grand format, soit 196 millimètres. De cette façon, localiser le bout de la pointe de ces

pièces judicieusement usinées serait équivalent à localiser directement et parfaitement le

centre réel des sphères.

La troisième cause de cette erreur pourrait être liée à l'assemblage entre les deux nuages

de points. Par exemple, la sphère numéro 18 est celle dont la résiduelle de

l'enregistrement des scans est la plus grande à 1,9 millimètre, ce qui est près du double

de la moyenne globale des 18 sphères qui est de 1,0 millimètre. Les résiduelles des

sphères 1, 8 et 9 sont respectivement de 1,0 millimètre, 0,4 millimètre et 0,6 millimètre.

L'assemblage des scans joue donc aussi un rôle crucial sur l'incertitude finale des cibles

suite au géoréférencement. On peut visualiser la position de toutes les sphères par

rapport aux positions du scanner sur la Figure 4.1.


84

Figure 4.1 : Plan de localisation du scanner par rapport aux sphères dans le laboratoire

La Figure 4.1 illustre que la sphère 18 est très près de la position du Scan 002. Cette

sphère est aussi sensiblement vue d'un seul et même côté, c'est-à-dire que l'angle entre

les deux positions du scanner est relativement faible en comparaison avec les autres

sphères de référence. Concrètement, cela implique qu'une plus petite portion de la surface

de cette sphère est observée. Encore une fois, la géométrie d'acquisition n'est pas

optimale. De plus, étant donné que seulement la face sud selon le système de

coordonnées global de cette sphère est observée, l'erreur se propage majoritairement en

direction nord-sud, ce qui correspond toujours à l'axe Y. Pour s'assurer d'optimiser

l'acquisition des données LiDAR, les deux scans auraient dû être situés en retrait des

sphères de chaque côté du laboratoire pour assurer une couverture plus importante de la

surface de toutes les sphères. Une autre solution serait d'effectuer des scans

supplémentaires, mais cela influencerait encore le temps d'acquisition et de traitement à la

hausse.


85

Étant donné que les résiduelles sur l'assemblage entre les deux scans sont relativement

importantes, il peut être intéressant de vérifier quels seraient les résultats du

géoréférencement des scans s'ils étaient traités individuellement. Les nuages de points

ont donc été traités de façon totalement indépendante et les résiduelles du

géoréférencement pour chacun des scans sont montrées au Tableau 4.5.

Tableau 4.5 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence pour

chaque scan

Résiduelles 3D (mm)

Sphère Scan 001 Scan 002

18 2,4 1,9

8 2,1 1,4

1 1,7 2,0

9 2,5 2,7

Erreur moyenne 2,2 2,0

Le Tableau 4.5 permet de valider que les résiduelles sont toujours assez élevées même

lorsque les scans sont traités séparément. Toutefois, dans les deux cas, les résiduelles

sur la sphère numéro 9 sont les plus importantes. Étant donné qu'il est fort possible que

l'altitude de la sphère numéro 9 soit réellement erronée d'environ 2 millimètres, il est donc

intéressant de vérifier s'il est possible d'effectuer le géoréférencement avec de meilleurs

résultats en écartant cette sphère.

Tableau 4.6 : Résiduelles de la transformation des trois sphères de référence pour chaque

scan

Résiduelles 3D (mm)

Sphère Scan 001 Scan 002

18 1,9 1,3

8 2,1 1,2

1 0,9 0,6

Erreur moyenne 1,6 1,0

Le Tableau 4.6 permet de constater que la solution de géoréférencement s'améliore

lorsque la sphère numéro 9 est mise de côté. Les résiduelles pour le Scan 002 sont même


86

très intéressantes et leur ordre de grandeur correspond à l'erreur maximale tolérée pour le

géoréférencement. L'utilisation d'un seul nuage de points n'est cependant pas optimale

pour la détermination du centre de toutes les sphères étant donné que certaines sphères

en périphérie du laboratoire ont très peu de points à leur surface. De manière à s'assurer

d'une plus grande couverture de la surface des sphères, deux scans ou une densité de

points plus importante sont nécessaires. Il aurait donc été intéressant d'effectuer un scan

à une position plus centrale dans le laboratoire avec une résolution de 0,3 millimètre à 10

mètres au lieu de 0,6 millimètre à 10 mètres. Compte tenu qu'un seul scan au lieu de deux

aurait été effectué, le temps d'acquisition aurait été très semblable.

L'exercice de procéder au géoréférencement de ces trois mêmes sphères en utilisant les

deux nuages de points assemblés a été effectué. Les différences entre les coordonnées

transformées des quatre sphères de référence et leurs coordonnées théoriques

déterminées par intersection spatiale sont présentées dans le Tableau 4.7.

Tableau 4.7 : Résiduelles de la transformation des quatre sphères de référence

Sphère X (mm) Y (mm) Z (mm) 3D (mm)

18 0,6 1,2 -1,6 2,1

8 0,1 -2,1 0,6 2,2

1 -0,9 0,3 -0,7 1,2

9 -1,7 -0,4 3,4 3,8

Le Tableau 4.7 permet de confirmer que l'altitude mesurée de la sphère numéro 9 par

rapport à son altitude de référence n'est réellement pas compatible. Une erreur s'est donc

glissée lors de la détermination de l'altitude de cette sphère par la méthode de

l'intersection spatiale et plus précisément lors des mesurages avec le vernier électronique.

Une erreur de 3,4 millimètres semble toutefois extrême considérant que l'erreur anticipée

était de 2 millimètres. On constate aussi qu'il n'y a pas vraiment de gain substantiel sur les

résiduelles des trois autres sphères de référence par rapport au Tableau 4.3. L'erreur

moyenne du géoréférencement pour ces trois sphères est toujours de l'ordre de 1,5 à 2,0

millimètres, peu importe la solution. L'utilisation de cette quatrième sphère permet aussi un

meilleur contrôle en planimétrie sans toutefois dégrader l'erreur moyenne du

géoréférencement sur les trois autres sphères de référence. Pour ces raisons, la décision

finale pour le géoréférencement du nuage de points est d'utiliser les quatre sphères et de

se contenter d'une erreur entre 1,6 et 2,6 millimètres sur les coordonnées des sphères de


87

référence. Cela ne respecte pas l'ordre de grandeur de l'erreur maximale anticipée, mais il

est tout de même possible de poursuivre la procédure. Il reste à voir quel sera l'impact

d'une plus ou moins grande erreur de justesse au niveau des coordonnées des sphères

de référence sur la détermination des paramètres de calibrage. Les coordonnées du

centre des 18 sphères ont donc pu être extraites du nuage de points.

Tableau 4.8 : Caractéristiques et coordonnées des 18 sphères extraites du nuage de

points

Numéro

de la

sphère

Diamètre

(mm)

Nombre

de points

Écart-

type

(mm)

X (m) Y (m) Z (m)

1 198,8 561 1,0 499997,1620 4982951,4218 0,8140

2 198,8 548 0,2 499992,2412 4982952,4995 0,8768

3 139 110 0,8 500000,8628 4982952,1546 1,2062

4 139 92 0,9 500000,1980 4982952,4410 3,4618

5 139 325 0,9 499995,4097 4982952,7258 -0,9379

6 139 438 0,3 499994,7462 4982953,5208 2,9544

7 198,8 400 0,2 499992,3317 4982954,8618 0,8770

8 198,8 720 0,5 499992,9366 4982956,3384 -0,0101

9 198,8 560 0,7 499998,1073 4982955,5733 0,5884

10 139 168 0,4 500000,6459 4982957,1398 0,3808

11 139 216 0,4 500000,1775 4982957,2949 3,4416

12 198,8 544 0,3 499997,1967 4982957,4806 -0,9319

13 139 365 0,5 499994,8994 4982956,8995 2,9629

14 139 618 0,5 499995,5354 4982959,8569 -0,9294

15 139 234 0,9 499992,9900 4982959,4461 3,3201

16 198,8 415 0,8 499992,3269 4982959,4142 0,8725

17 139 472 0,6 500000,8754 4982959,9365 1,2008

18 198,8 546 0,3 499997,2118 4982961,5018 0,5081

Le Tableau 4.8 montre qu'il est possible de connaître les coordonnées du centre d'une

sphère avec un écart-type inférieur à 1 millimètre. Cette valeur est impressionnante, tout

comme le nombre de points présents à la surface des sphères servant au calcul. À ce

sujet, les sphères numéro 3, 4 et 10 se distinguent du lot avec un nombre de points


88

nettement inférieur à celui des autres sphères. Par exemple, la sphère numéro 4 compte

seulement 92 points à sa surface, ce qui correspond à environ huit fois moins de points

que la sphère numéro 8 qui en compte 720. La position des sphères y joue pour beaucoup

dans ce cas alors que la sphère numéro 3 est isolée au plafond tandis que la sphère

numéro 8 est au centre du laboratoire à la même hauteur que les scanners LiDAR. Un

autre paramètre qui influence le nombre de points est nécessairement le diamètre des

sphères. Les sphères 3, 4 et 10 ont toutes un diamètre de 139 millimètres. Néanmoins,

même si leur nombre de points est inférieur au reste du groupe, il n'en reste pas moins

qu'il est amplement suffisant pour déterminer avec fidélité le centre de ces sphères, tel

que montré par la valeur de leur écart-type.

4.4. Formation du nuage de points à partir des donn ées LiDAR

mobile

Le dernier segment du traitement de données concerne les observations collectées par le

SLM. Tel que vu précédemment, chaque endroit où est effectué un scan avec le MX2

permet de générer un fichier .gps contenant les données de navigation de l'antenne GNSS

et de l'IMU, un fichier .las contenant les observations faites par le laser et une ligne

s'ajoute au fichier .xls contenant les mesures de distance prises par l'interféromètre. Pour

l'acquisition des données LiDAR avec le MX2, le logiciel Trident Capture de Trimble a été

utilisé. Pour la visualisation et le traitement des données laser et de navigation, le logiciel

Trident Imaging Hub de Trimble a ensuite été utilisé. Avant d’effectuer le transfert des

données entre ces deux logiciels, il a fallu remplacer les positions observées par le

l'antenne GPS par les mesures de l’interféromètre sur le banc de calibrage en

coordonnées de latitude et de longitude. Pour y arriver, plusieurs programmes et fonctions

en langage Matlab ont été développés. Il est important d’indiquer que les algorithmes ont

été adaptés à la collecte de données par le MX2. Des modifications seraient nécessaires

pour qu'ils soient compatibles à tous les SLM. Néanmoins, l'approche reste applicable aux

autres SLM dans sa forme générale.

Pour transformer les distances mesurées par l'interféromètre sur le banc de calibrage en

coordonnées ellipsoïdales (latitude, longitude et hauteur), le programme

M_ReferenceSpatiale et plusieurs fonctions sont utilisés, tel que présenté dans le Tableau

4.1. En disposant des coordonnées UTM de la pièce d'origine, il est possible de calculer


89

les coordonnées UTM de toutes les positions de l'IMU sur le banc de calibrage à partir des

équations suivantes.

��?� = ��?�, + �/ (4.1)

n�?� = n�?�, + �0 + U�N] (4.2)

q�?� = �1 (4.3)

où ��?� , n�?� , q�?� ∶ coordonnées UTM du centre de l'IMU;

��?�, , ��?�, , ��?�, ∶ coordonnées UTM de la pièce d'origine;

�/, �0, �1 ∶ constantes initiales; et

U�N] ∶ distance mesurée par l'interféromètre.

Une transformation inverse est ensuite utilisée pour convertir les coordonnées UTM

calculées en coordonnées sur l'ellipsoïde (latitude, longitude et hauteur). Étant donné que

les coordonnées ��?� et q�?� dépendent seulement des coordonnées de l'origine et des

constantes initiales, la longitude et la hauteur des coordonnées sur l'ellipsoïde ne varient

pas. Seulement la latitude varie en fonction du déplacement sur le banc de calibrage.

Par la suite, il faut remplacer les données de navigation contenues dans le fichier brut de

format .gps par les valeurs calculées sur le banc de calibrage. Le programme

M_TraceMod a été développé pour réaliser les cinq grandes étapes requises pour la

transformation du fichier de navigation, lesquelles sont présentées au Tableau 4.9.


90

Tableau 4.9 : Les cinq grandes étapes permettant de modifier le fichier de navigation .gps

No Fonction ou

programme utilisé Brève description de l'étape

Fichiers

d'entrée

Fichiers de

sortie

1 T3D GPS

(gps2shp.exe)

Appel du fichier exécutable

gps2shp.exe dans le logiciel

Matlab pour générer des fichiers

de format .dbf, .shp et .shx à

partir du fichier de format .gps.

record(X).gps

record(X).dbf

record(X).shp

record(X).shx

2 dbfread.m

Utilisation de la fonction

dbfread.m dans le logiciel

Matlab pour lire les fichiers de

format .dbf et modifier les

données de navigation

contenues dans ces fichiers et

les exporter dans des fichiers de

format .csv.

record(X).dbf record(X).csv

3 M_TraceMod.m

Génération de fichiers vidéo de

format .avi dans le logiciel

Matlab avec le même nom que

les fichiers de format .csv

contenant les données de

navigation modifiées.

record(X).csv record(X).avi

4

Advanced CSV

Converter

(csvcnv.exe)

Appel du fichier exécutable

csvcnv.exe dans le logiciel

Matlab pour générer des fichiers

de format .dbf à partir des

fichiers de format .csv contenant

les données de navigation

modifiées.

record(X).csv record(X).dbf

5 Trident Imaging

Hub

Génération de fichiers de format

.gps avec le logiciel Trident à

partir des fichiers de format .dbf

et .avi.

record(X).dbf

record(X).avi record(X).gps


91

Les étapes de calculs énoncées précédemment sont techniques et dépendantes des

instruments et des logiciels utilisés lors de la collecte et lors d'une partie du traitement des

données. Il est important de comprendre qu’elles ont été nécessaires pour s’adapter aux

formats de données propriétaires des logiciels commerciaux utilisés pour réaliser certaines

étapes de la procédure. Par conséquent, on a intentionnellement laissé de côté les détails

de ces opérations dans ce mémoire afin d’alléger son contenu et focaliser plutôt sur les

nouvelles contributions de la recherche.

L'étape 2 du Tableau 4.9 qui consiste à modifier des observations contenues dans le

fichier de navigation est une étape avec une portée plus générale, laquelle est directement

liée à la nouvelle procédure de calibrage. Les observations contenues dans le fichier de

navigation devant faire l'objet de modifications sont présentées dans le Tableau 4.10.

Tableau 4.10 : Liste des observations contenues dans le fichier de navigation devant faire

l'objet de modifications

Colonnes

du fichier Éléments Description

5, 6 et 7 Latitude, longitude et

hauteur

Coordonnées sur l'ellipsoïde du centre de l'IMU

déterminée avec les distances mesurées par

l'interféromètre et les constantes initiales.

18 Lacet Valeur du lacet (heading) déterminée à partir de

l'erreur d'alignement des trous de fixation.

27, 28 et 29

Incertitude des

coordonnées 3D (X,Y,Z)

du centre de l'MU

Écart-type final estimé des coordonnées 3D

(X,Y,Z) du centre de l'MU.

32 Incertitude du lacet

Écart-type de la valeur du lacet (heading)

déterminé à partir de l'erreur d'alignement des

trous de fixation.

37 Ondulation du géoïde Ondulation du géoïde nulle selon la définition du

système de coordonnées.

Pour les coordonnées ellipsoïdales du centre de l'IMU, on retrouve autant de valeurs que

de positions sur le banc de calibrage déterminées par les mesures prises par

l'interféromètre. Dans le cadre de la collecte du 22 décembre 2016 en direction de l'aller,

221 valeurs différentes de latitude ont été calculées, ce qui correspond aux 221 lignes de


92

scan effectuées. La valeur du lacet correspond aux valeurs déterminées à la Section 3.4

et contenues dans le Tableau 3.21 et le Tableau 3.22. Cette valeur varie de 180° si la

collecte est effectuée à l’aller en direction avant ou au retour en direction arrière. Son

incertitude correspond à la valeur de l'écart-type des trois mesures d'orientation calculées

sur le banc de calibrage, soit 0,0141°, tel que montré au Tableau 3.20.

Pour la détermination de l'incertitude des coordonnées 3D (X, Y, Z) du centre de l'MU,

plusieurs facteurs ont été pris en considérations. Le premier facteur est la qualité de la

mesure de distance prise par l'interféromètre. La fidélité d'une mesure prise par cet

interféromètre dépend de la longueur de la portée et peut être de l'ordre de 0,2 millimètre

sans compensateur pour une distance de 10 mètres selon les spécifications du fabricant

(Renishaw, 2016). Le deuxième facteur est la fidélité des constantes initiales qui ont été

déterminées avec un écart-type de 0,1 millimètre chacune tel que montré au Tableau 3.19.

Le troisième facteur correspond à l'incertitude du plan de conception fournie par le

fabricant du MX2 contenant les distances entre les trous de fixation et le centre de l'IMU.

L'incertitude garantie par le fabricant dans ce cas est de 1 millimètre (Trimble, 2013a).

Bref, même si les deux premiers facteurs laissent présager qu'une incertitude de 0,2 à 0,3

millimètre pour les coordonnées du centre de l'IMU est raisonnable, celle-ci est trop

optimiste. En raison du troisième facteur, un écart-type de 1 millimètre a été attribuée aux

3 coordonnées du centre de l'IMU.

La valeur de l'ondulation du géoïde choisie est nulle de manière à ce que l'altitude sur

l'ellipsoïde contenue dans le fichier de navigation soit la même que l'altitude orthométrique

affichée dans le logiciel de visualisation des données LiDAR mobile. Pour ce qui est des

valeurs des autres angles mesurés par l'IMU, soit le roulis et le tangage, les valeurs

observées ainsi que leur écart-type estimé ont été conservées. La qualité de ces valeurs

et de leur écart-type estimé sera discutée au Chapitre 7.

Une fois les fichiers modifiés, il est possible de les importer dans le logiciel Trident pour

visualiser le nuage de points. Habituellement, une collecte de données LiDAR mobile est

effectuée en mouvement, alors la scène est complètement balayée et le nuage de points

est plutôt homogène. Dans le cas d'une collecte de données LiDAR selon la présente

procédure, le nuage de points est entièrement composé de lignes de scan parallèles les

unes aux autres. La Figure 4.2 présente un aperçu du nuage de points assemblé à partir

des données collectées le 22 décembre 2016.


93

Figure 4.2 : Nuage de points capté par un scanner LiDAR mobile

À partir de ce nuage de points, on peut extraire les points localisés à la surface des 18

sphères de référence. Le logiciel Trident ne permet pas d'extraire automatiquement ces

points, alors plusieurs manipulations manuelles ont été nécessaires. Étant donné que

cette problématique est propre au logiciel utilisé, la façon de la résoudre n'est pas

présentée dans le cadre de ce mémoire. La sélection manuelle des sphères est l'étape qui

nécessite le plus de temps dans le processus entier du traitement de données. Il faut

prévoir de deux à quatre heures pour compléter cette étape avec les 18 sphères

contenues dans le nuage de points mesurées dans les deux directions. Il est donc clair

qu'un processus d'extraction automatisé des sphères dans un nuage de points permettrait

de diminuer grandement le temps de traitement. La Figure 4.3 et la Figure 4.4 montrent la

sélection manuelle des points localisés à la surface des sphères numéro 12 et 16.


Figure 4.3 : Sélection manuelle des

points sur la sphère 12

Pour contourner le problème d'extraction manuelle des sphères, il faudrait complètement

éliminer le recours à un logiciel de visualisation des données

dispose des coordonnées des sphères de référence, il serait possible d'extraire tous les

points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite,

pourrait détecter l'ensemble des points qui appa

nuage de points. Non seulement cette méthode serait plus efficace, mais elle permettrait

de rendre la procédure plus générale et celle

le type de SLM utilisé. Bref, une

les observations suivantes pour chaque point situé à la surface d'une sphère tel que

présenté dans le Tableau 4.11

Traitement des données

94

: Sélection manuelle des


Figure 4.4 : Sélection manuelle des



éliminer le recours à un logiciel de visualisation des données LiDAR. Compte tenu


points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite,

détecter l'ensemble des points qui appartiennent à une sphère pour les extraire du


de rendre la procédure plus générale et celle-ci deviendrait donc applicable, peu importe

le type de SLM utilisé. Bref, une fois cette procédure appliquée, il est possible d'extraire


11.

: Sélection manuelle des



Compte tenu que l'on


points situés à proximité de ces sphères avec un algorithme de recherche. Par la suite, on

rtiennent à une sphère pour les extraire du


ci deviendrait donc applicable, peu importe

fois cette procédure appliquée, il est possible d'extraire



95

Tableau 4.11 : Observations de tous les capteurs permettant de localiser un point à la

surface d'une sphère

Colonnes du fichier Éléments Description

1, 2 et 3 X¤¥¦§¨, Y¤¥¦§¨ et Z¤¥¦§¨ Coordonnées 3D (X, Y et Z)

du point à la surface de la

sphère

4, 5 et 6 α, β et ρ Mesures d'angles (α et β) et

de portée (ρ) du laser

7, 8 et 9 X«¬, Y«¬ et Z«¬ Coordonnées 3D (X, Y et Z)

du centre de l'IMU

10, 11 et 12 l, r et t Lacet (l), roulis (r) et tangage

(t)

14, 15 et 16 σ®¯°± ,σ²¯°± et σ³¯°± Écart-type des coordonnées

3D (X, Y et Z) du centre de

l'IMU

17, 18 et 19 σ´,σµ et σ¨ Écart-type du lacet (σ´), du

roulis (σµ) et du tangage (σ¨)

Peu importe le type de SLM utilisé, il est nécessaire de disposer de toutes les

observations présentées dans le Tableau 4.11 pour correctement modéliser l'équation de

projection d'un point LiDAR correspondant à l'Équation 2.1. Le cadre mathématique de

l'approche de calibrage est présenté au Chapitre 5.

4.5. Nettoyage des points erratiques

Avant de procéder au calibrage, il est nécessaire d'effectuer un nettoyage du nuage de

points de manière à éliminer les données aberrantes. Un programme et plusieurs

fonctions dans le langage Matlab ont été développés pour éliminer les points à la surface

de la sphère qui sont manifestement à part des autres. Plus de détails sur les fonctions

sont disponibles à l'Annexe B.


96

Tableau 4.12 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'éliminer

les points erratiques

No Nom du programme

(M_nom.m) Brève description

Fonctions associées

(F_nom.m)

7 M_MX2SphereCleaner


calculer les coordonnées du

centre des sphères mesurées

par le MX2 et d'éliminer les

points erratiques.

F_SphereCenterExtractor

F_SphereFitFixedRadius

La première étape de ce programme est de calculer les coordonnées du centre de toutes

les sphères en fonction du rayon à partir de tous les points contenus dans le fichier. La

deuxième étape consiste à calculer les écarts (¢) de tous les points par rapport à la

surface de la sphère. La troisième étape est de conserver seulement les points dont les

écarts par rapport à la surface de la sphère sont les plus faibles. Pour y parvenir, une

discrimination en fonction de l'écart-type est utilisée. Tous les points qui satisfont

l'Équation 4.4 sont conservés.

¢� < · × ¸¹ (¢�);9 − 1N�º: (4.4)

où 9 ∶ nombre total de points sur la sphère;

G ∶ numéro d'indice du point;

· ∶ constante de multiplication; et ¢� ∶ écart par rapport à la surface de la sphère.

La valeur retenue pour la constante de multiplication (·) est 2. Cela signifie que tous les

points dont l'écart est inférieur au double de l'écart-type sont conservés. Cet algorithme

est itératif et nécessite d'estimer à nouveau le centre de la sphère à chaque fois qu'un

groupe de points est rejeté. L'itération cesse lorsque tous les points dont l'écart est

supérieur au double de l'écart-type sont éliminés. Cette discrimination en fonction de

l'écart-type permet d'éliminer les points aberrants sans toutefois imposer une contrainte

numérique en lien avec le degré de fidélité recherché. De ce fait, si le nuage de points

d'une sphère est plus bruité par rapport aux autres, il est possible de conserver une plus


97

grande quantité de points au lieu d'éliminer systématiquement la majorité des points et de

conserver un certain groupe local qui permet de respecter la contrainte numérique.

Néanmoins, cette étape préliminaire est nécessaire pour faciliter la convergence de la

solution de calibrage et empêcher les erreurs de se propager dans la solution. Il est

possible de comparer les caractéristiques des nuages de points avant et après le

nettoyage des points erratiques à partir du Tableau 4.13. L'aller correspond à la collecte

en direction avant alors que le retour correspond à la collecte en direction arrière.

Tableau 4.13 : Comparaison des nuages de points avant et après le nettoyage

Numéro de

la sphère

Nombre de points Écart-type (mm) Écart maximal (mm)

Aller Retour Aller Retour Aller Retour

Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr. Av. Apr.

1 457 383 403 313 12 7 10 5 48 13 47 10

2 351 304 406 317 5 4 5 3 23 8 18 6

3 201 162 298 238 7 5 7 4 21 9 21 8

4 250 175 200 162 6 3 6 4 22 7 17 8

5 255 204 248 181 6 3 6 3 22 6 19 6

6 252 228 244 192 6 4 6 3 16 9 19 7

7 402 331 360 298 4 3 6 4 16 6 29 7

8 418 403 358 307 5 5 5 4 17 9 16 7

9 456 320 403 300 13 5 11 5 42 10 75 9

10 302 199 306 175 7 3 6 2 22 6 22 4

11 252 179 252 217 6 3 6 4 18 7 17 9

12 402 286 403 313 6 3 6 3 22 6 24 6

13 249 220 247 206 5 4 5 3 25 8 20 6

14 299 228 253 205 6 3 5 3 23 5 16 7

15 290 249 295 273 6 4 5 4 19 8 17 8

16 397 345 352 329 5 4 5 4 24 8 16 8

17 298 248 254 227 6 4 6 5 17 7 21 10

18 403 308 402 317 11 5 11 6 41 10 53 11

Moyenne 330 265 316 254 7 4 6 4 24 8 26 8

Le Tableau 4.13 permet de constater que de procéder à un nettoyage avant le calibrage

est primordial. Avant le nettoyage, certains points erratiques avaient un écart de plus de 4


98

centimètres par rapport à la surface de la sphère. Une fois ces points enlevés, la moyenne

de l'écart maximal est passée d'environ 25 à 8 millimètres autant à l'aller qu'au retour. Ce

nettoyage a permis d'éliminer, en moyenne, environ 20% des points formant le nuage de

points de chaque sphère pour conserver seulement ceux dont l'écart-type est le plus

faible. De ce fait, l'écart-type s'est amélioré de près d'un facteur 2 en moyenne. Les étapes

du traitement des données étant complétées, l'approche mathématique de la nouvelle

procédure de calibrage peut être présentée.

Chapitre 5 : Cadre mathématique du calibrage

99


Les deux derniers chapitres ont décrit les étapes d'acquisition et de traitement des

données pour la réalisation de la présente méthode de calibrage. Ces étapes ont

notamment permis de déterminer les coordonnées des sphères de référence en plus

d'extraire les nuages de points des sphères mesurées par le MX2. Les observations

brutes du MX2 sont utilisées pour calculer les coordonnées des points à la surface des

sphères. En résumé, l'approche de cette nouvelle procédure de calibrage consiste à

déterminer les angles de visée et des bras de levier qui permettent de diminuer l'écart

entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le centre des sphères de référence

mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Le modèle mathématique complet de cette

méthode de calibrage dite rigoureuse est présenté dans ce chapitre.

5.1. Définition des équations

Les méthodes rigoureuses de calibrage utilisent des formes géométriques pour intégrer

des contraintes aux équations de projection d'un point LiDAR. L'approche retenue

implique l'utilisation de sphères dont on connait précisément les coordonnées. Ces

sphères, au nombre de 18, agissent à titre de sphères de référence. Tout point localisé à

la surface d'une de ces sphères doit satisfaire l'Équation 5.1.

(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); = »; (5.1)

où ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N] ∶ coordonnées d'un point à la surface de la sphère;

�[QN]aQ , n[QN]aQ , q[QN]aQ ∶ coordonnées du centre de la sphère; et

» ∶ rayon de la sphère.

Les coordonnées du centre des sphères de référence ont été déterminées par un scanner

LiDAR terrestre et sont connues à quelques millimètres près, le tout tel que présenté à la

Section 4. 3. L'Équation 5.1 peut être reformulée pour former l'équation suivante.

(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − »; = 0 (5.2)


100

Les sphères localisées par le MX2 sont les mêmes que celles localisées par le scanner

LiDAR terrestre. Cependant, en raison des erreurs aléatoires et des erreurs systématiques

au niveau de la géométrie interne entre l'IMU et le scanner LiDAR, le centre des sphères

localisées par LiDAR mobile est décalé par rapport à celui des sphères de référence. De

ce fait, si on intègre les coordonnées des points localisés par le SLM dans l'Équation 5.2,

l'équation n'est plus valable. On doit intégrer une variable supplémentaire à l'Équation 5.2

qui correspond à une erreur de fermeture (L) pour formuler l'Équation 5.3.

(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − »; = L (5.3)

On est donc en présence de l'équation de base de cette nouvelle méthode de calibrage.

Le principe de cette méthode est de faire coïncider le nuage de points des sphères

mesurées par le SLM avec le nuage de points des sphères de référence mesurées par le

scanner LiDAR terrestre en ajustant les bras de levier et les angles de visée pour

minimiser les écarts entre les deux nuages de points. De manière à faciliter la

convergence du système d'équations, l'Équation 5.3 est réécrite de la manière suivante où

W correspond au vecteur de fermeture.

¼ = ½(��Z�N] − �[QN]aQ); + (n�Z�N] − n[QN]aQ); + (q�Z�N] − q[QN]aQ); − » = √L (5.4)

La raison pour laquelle la présente méthode de calibrage est dite rigoureuse est parce les

observations brutes de navigation et de laser du SLM sont utilisées pour calculer les

coordonnées des points à la surface des sphères (��Z�N], n�Z�N] J� q�Z�N]). De plus,

l'ajustement est fait à partir de tous les points à la surface des sphères mesurées par le

SLM et non simplement avec le centre estimé de ces sphères, tel qu'il est habituellement

fait avec les approches semi-rigoureuses traditionnelles. L'équation complète qui permet

de calculer les coordonnées des points à partir des observations, des bras de levier et des

angles de visée est la suivante.


101

3��Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4� = #��n��q��(� + ��?�(K, D, �)∙ 3�� (%, ', &) ∙ 3�¾ ∙ wF(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(¿) 4� + #��/�0�1(�4� (5.5)

où ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N] ∶ coordonnées d'un point à la surface de la sphère;

�� , n�� , q�� : coordonnées du centre de l'IMU; ��?�(K, D, �) ∶ matrice de changement de repère entre l'IMU et le système de

coordonnées UTM;

K, D J� � ∶ angles mesurés par l'IMU (lacet, roulis et tangage);

� �� (%, ', &) ∶ matrice de changement de repère entre le LiDAR et l'IMU;

%, ' J� & ∶ angles de visée entre le LiDAR et l'IMU (lacet, roulis et tangage);

¾, ~ J� ¿ ∶ portée et angles mesurés par le laser; et

�/, �0J� �1 ∶ bras de levier entre le LiDAR et l'IMU.

Les valeurs fournies par le fabricant pour les bras de levier (�/,, �0,J� �1,) ainsi que les

angles de visée (%,, ', J� &,) entre le scanner LiDAR et l'IMU sont présentées dans le

Tableau 5.1.

Tableau 5.1 : Valeur des bras de levier et des angles de visée a priori

Bras de levier (m) Angles de visée (°) �/, �0, �1, %, (lacet) ', (roulis) &, (tangage)

0,000 -0,244 0,052 180 0 0

Les valeurs fournies par le fabricant sont représentatives de la géométrie interne entre les

capteurs. Néanmoins, ces valeurs varient d'un SLM à l'autre et ne sont donc pas

parfaitement adaptées au SLM utilisé. Ces valeurs permettent de former le vecteur des

valeurs approchées �,.

On doit donc ajouter un paramètre de correction supplémentaire pour les trois

composantes des bras de levier (�/∗ , �0∗ , �1∗) et les trois composantes des angles de visée (%∗, '∗, &∗) de manière à représenter plus finement la géométrie interne entre les capteurs.

Ce paramètre de correction est l'élément qu'on cherche à déterminer lors du calibrage.


102

�/ = �/, + �/∗ (5.6)

�0 = �0, + �0∗ (5.7)

�1 = �1, + �1∗ (5.8)

% = %, + %∗ (5.9)

' = ', + '∗ (5.10)

& = &, + &∗ (5.11)

Les valeurs �/ , �0 �1 , % , ' et & correspondent aux valeurs finales des bras de levier et

des angles de visée déterminées par calibrage. L'Équation 5.5 peut donc être réécrite en

remplaçant les valeurs finales des paramètres par les valeurs approchées et les

corrections à appliquer aux valeurs approchées.

3��Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4� = #��n��q��(� + »��?�(K, D, �)∙ 3�» �� (%, + %∗, ', + '∗, &, + &∗) ∙ 3�¾ ∙ wF(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)¾ ∙ FG9(¿) 4�+ 3��/, + �/∗�0, + �0∗�1, + �1∗ 4�4�

(5.12)

Il est possible d'insérer l'Équation 5.12 dans l'Équation 5.4. Cependant, de manière à

alléger la notation et à favoriser l’efficacité des calculs, les équations sont traitées

séparément.


103

5.2. Pondération des observations

L'approche préconisée pour la détermination des paramètres de calibrage est une

approche par moindres carrés. L'avantage de ce type d'approche est qu'elle permet

d'attribuer un poids aux observations en fonction de leur incertitude a priori. Parmi les

observations dont on estime l'incertitude par l'écart-type, on retrouve les coordonnées 3D

du centre de l'IMU et les angles d'attitude de l'IMU. L'incertitude des coordonnées 3D du

centre de l'IMU et l'incertitude du lacet ont été déterminées en fonction de la fidélité des

observations faites avec la méthode de l'intersection spatiale. L'incertitude du roulis et du

tangage est estimée par le MX2 lors de la collecte de données. Un autre type

d'observation peut être ajoutée, soit l'incertitude de la mesure de portée laser du MX2 qui

est de plus ou moins 1 centimètre selon le fabricant (Trimble, 2014). Il est donc possible

de former la matrice de variance et de covariance des observations.

∑PP =

��

�

�À; 0�/�ÁÂ; �0�ÁÂ; �1�ÁÂ; �P; �a; �];�/Ã��Ä�; �0Ã��Ä�;0 �1Ã��Ä�; ��

� (5.13)

où ∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations;

�À ∶ écart-type d'une mesure de portée laser;

�/�ÁÂ , �0�ÁÂ J� �1�ÁÂ ∶ écart-type des coordonnées 3D du centre de l'IMU;

�P , �a J� �] ∶ écart-type des angles mesurés par l'IMU (lacet, roulis et tangage); et

�/Ã��Ä� , �0Ã��Ä�J� �1Ã��Ä� : écart-type des coordonnées 3D des sphères de référence.

Étant donné que les observations sont présumées indépendantes, la matrice ∑PP est

diagonale. Les coordonnées du centre des sphères de référence sont traitées comme

étant des observations et leur incertitude correspond à l'écart-type de la détermination de


104

leur centre. À partir de la matrice de variance et de covariance des observations, on peut

déterminer la matrice des cofacteurs.

ÅPP = 1�,; ∙ ∑PP (5.14)

où ÅPP ∶ matrice des cofacteurs des observations;

�,; ∶ facteur de variance a priori; et

∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations.

La valeur du facteur de variance a priori choisie est de 1 de sorte que la matrice des

cofacteurs soit identique à la matrice de variance et de covariance des observations. La

fidélité des observations est souvent variable, alors cette matrice doit être calculée pour

chaque point formant le nuage de points.

5.3. Linéarisation des équations

L'Équation 5.4 et l'Équation 5.12 se prêtent bien à une approche de compensation

générale qui nécessite l'implication des paramètres recherchés et des observations dans

un même système d'équations. Pour parvenir à estimer les paramètres par moindres

carrés, il est nécessaire de linéariser les équations. Deux matrices contenant les dérivées

partielles doivent être formées. La première matrice � contient les dérivées partielles des

équations par rapport aux observations. On doit donc dériver les équations du modèle

fonctionnel par rapport à chacune des 10 observations dont on estime l'écart-type.

Tableau 5.2 : Dérivées partielles formant la matrice B � ¾ �� n�� q�� K D � �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ

¼ Æ¼Æ¾

Æ¼Æ�� Æ¼Æn��

Æ¼Æq�� Æ¼ÆK

Æ¼ÆD Æ¼Æ�

Æ¼Æ�[QN]aQ Æ¼Æn[QN]aQ

Æ¼Æq[QN]aQ

Tel que vu à l'Équation 5.4, la fonction ¼ n'est pas directement exprimée en fonction des

10 observations. Elle est toutefois exprimée en fonction des variables ��Z�N] , n�Z�N] , q�Z�N]

et �[QN]aQ , n[QN]aQ , q[QN]aQ. Il n'est donc pas possible de former directement la matrice �. Pour y parvenir, il faut procéder à une dérivation de fonction composée. On peut donc

former une première matrice des dérivées partielles �:.


105

Tableau 5.3 : Dérivées partielles formant la première matrice �: �: ��Z�N] n�Z�N] q�Z�N] �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ

¼ Æ¼Æ��Z�N]

Æ¼Æn�Z�N] Æ¼Æq�Z�N] Æ¼Æ�[QN]aQ

Æ¼Æn[QN]aQ Æ¼Æq[QN]aQ

À partir de l'Équation 5.12, on peut former la deuxième matrice des dérivées partielles �;.

Tableau 5.4 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �; �; ¾ �� n�� q�� K D � �[QN]aQ n[QN]aQ q[QN]aQ

��Z�N] Æ��Z�N]Æ¾ Æ��Z�N]Æ��

Æ��Z�N]Æn�� Æ��Z�N]Æq��

Æ��Z�N]ÆK Æ��Z�N]ÆD

Æ��Z�N]Æ� 0 0 0

n�Z�N] Æn�Z�N]Æ¾ Æn�Z�N]Æ��

Æn�Z�N]Æn�� Æn�Z�N]Æq��

Æn�Z�N]ÆK Æn�Z�N]ÆD

Æn�Z�N]Æ� 0 0 0

q�Z�N] Æq�Z�N]Æ¾ Æq�Z�N]Æ��

Æq�Z�N]Æn�� Æq�Z�N]Æq��

Æq�Z�N]ÆK Æq�Z�N]ÆD

Æq�Z�N]Æ� 0 0 0

�[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 n[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 q[QN]aQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Une fois les deux matrices de dérivées partielles calculées, il est possible de les multiplier

pour calculer la matrice des dérivées partielles totale �.

� = �: ∙ �; (5.15)

La matrice � contient les dérivées partielles des équations par rapport aux paramètres

recherchés. Les 6 paramètres recherchés sont les trois composantes des bras de levier (�/∗ , �0∗ , �1∗) et les trois composantes des angles de visée (%∗, '∗, &∗).

Tableau 5.5 : Dérivées partielles formant la matrice A

� %∗

(lacet)

'∗

(roulis)

&∗ (tangage)

�/∗ �0∗ �1∗

¼ Æ¼Æ%∗ Æ¼Æ'∗

Æ¼Æ&∗ Æ¼Æ�/∗ Æ¼Æ�0∗

Æ¼Æ�1∗


106

Pour la formation de la matrice �, le même constat est fait que pour la formation de la

matrice �. La fonction ¼ est seulement exprimée en fonction des variables ��Z�N] , n�Z�N] et q�Z�N]. On doit donc encore procéder à une dérivation de fonction

composée.

Tableau 5.6 : Dérivées partielles formant la première matrice �: �: ��Z�N] n�Z�N] q�Z�N] ¼

Æ¼Æ��Z�N] Æ¼Æn�Z�N]

Æ¼Æq�Z�N] On peut ensuite former la deuxième matrice des dérivées partielles par rapport aux

paramètres recherchés �;.

Tableau 5.7 : Dérivées partielles formant la deuxième matrice �;

�; %∗

lacet

'∗

roulis

&∗ tangage

�/∗ �0∗ �1∗

��Z�N] Æ��Z�N]Æ%∗ Æ��Z�N]Æ'∗

Æ��Z�N]Æ&∗ Æ��Z�N]Æ�/∗

Æ��Z�N]Æ�0∗ Æ��Z�N]Æ�1∗

n�Z�N] Æn�Z�N]Æ%∗ Æn�Z�N]Æ'∗

Æn�Z�N]Æ&∗ Æn�Z�N]Æ�/∗

Æn�Z�N]Æ�0∗ Æn�Z�N]Æ�1∗

q�Z�N] Æq�Z�N]Æ%∗ Æq�Z�N]Æ'∗

Æq�Z�N]Æ&∗ Æq�Z�N]Æ�/∗

Æq�Z�N]Æ�0∗ Æq�Z�N]Æ�1∗

Une fois les deux matrices des dérivées partielles formées, il est possible de les multiplier

pour calculer la matrice des dérivées partielles totale �.

� = �: ∙ �; (5.16)

Pour chaque point à la surface d'une sphère, il est possible de calculer le vecteur de

fermeture ¼, la matrice des cofacteurs ÅPP et les matrices des dérivées partielles � et �.

Un total de 5682 points sont présents sur les 18 sphères observées en direction avant lors

de la collecte du 22 décembre 2016. Les dimensions des matrices pour chaque point et

pour l'ensemble des points sont présentées dans le Tableau 5.8.


107

Tableau 5.8 : Dimensions des matrices

Matrice

Pour chaque point Pour l'ensemble des points

Nombre de

lignes

Nombre de

colonnes

Nombre de

lignes

Nombre de

colonnes ¼ 1 1 5682 1 ÅPP 10 10 56820 56820 � 1 10 5682 56820 � 1 6 5682 6

La prochaine section traite de la formation des matrices normales È, 5 et du vecteur 9.

Les matrices étant assez volumineuses, une approche de construction séquentielle a été

favorisée.

5.4. Formation des matrices par une approche de con struction

séquentielle

La première matrice normale à former contient de l'information sur la pondération des

observations puisqu'elle intègre la matrice des dérivées partielles � et la matrice des cofacteurs ÅPP. Dans une approche de construction séquentielle, cette

matrice désignée par la lettre È doit être formée pour chaque point de la manière

suivante.

È = � ∙ ÅPP ∙ �? (5.17)

Pour chaque point, la matrice È est une matrice unitaire (1 x 1) selon le présent modèle

fonctionnel. Cette matrice se prête bien à une inversion.

È^: = (� ∙ ÅPP ∙ �?)^: (5.18)

Si une approche séquentielle n'était pas utilisée, la matrice È aurait été de dimensions

(5682 x 5682) étant donné que celle-ci aurait été formée à partir des 5682 équations de

projection d'un point LiDAR. L'inversion de cette matrice aurait requis plus de temps et de

ressources informatiques, notamment dans le cas où plusieurs itérations sont nécessaires


108

pour la convergence de la solution. La matrice È^: peut ensuite être utilisée pour la

formation de la deuxième matrice normale 5∗. 5∗ = �? ∙ È^: ∙ � (5.19)

La matrice 5∗ est une matrice de dimensions (6 x 6). Les dimensions de cette matrice sont

en lien avec le nombre de paramètres à estimer qui est de 6 selon le présent modèle

fonctionnel. En plus des matrices normales à former pour chaque point, on doit aussi

former le vecteur 9 de dimensions (6 x 1).

9∗ = −�? ∙ È^: ∙ ¼ (5.20)

Une approche de construction séquentielle implique l'ajout de la contribution de la matrice 5∗ et du vecteur 9∗ de chaque point à la matrice 5 et au vecteur 9 de tous les points.

5 = ¹ 5∗ÉÊË;�º: (5.21)

9 = ¹ 9∗ÉÊË;�º: (5.22)

La matrice 5 doit elle aussi être inversée pour devenir la matrice 5^:. Il n'y a pas

réellement de gain à utiliser une approche de construction séquentielle pour l'inversion de

cette matrice étant donné que la matrice 5 a les mêmes dimensions que la matrice 5∗. 5.5. Estimation des paramètres et de leur incertitu de

Il est possible de calculer le vecteur des paramètres recherchés � à partir de la matrice 5^: et du vecteur 9.


109

� = 5^: ∙ 9 (5.23)

Le vecteur � est un vecteur de dimensions (6 x 1). Ce vecteur contient les corrections à

apporter aux valeurs approchées des paramètres de calibrage recherchés étant les trois

composantes des angles de visée et les trois composantes des bras de levier.

� = ��%∗'∗&∗�/∗�0∗�1∗ ��

�� (5.24)

Étant donné que le modèle fonctionnel n'est pas linéaire, la détermination de ces

paramètres par moindres carrés est un processus itératif. Les corrections peuvent donc

être appliquées aux valeurs approchées de manière à obtenir des valeurs approchées de

meilleure qualité pour la prochaine itération.

�, = �, + � (5.25)

Le processus itératif peut être arrêté lorsque les valeurs des corrections atteignent un

certain seuil. Dans le cadre de la présente procédure de calibrage, on cherche à

déterminer les angles de visée avec une erreur maximale de 0,01 degré et les bras de

levier avec une erreur maximale de 1 millimètre. Bref, lorsque les corrections estimées

pour ces paramètres seront inférieures à ces valeurs, il sera possible de mettre fin au

processus itératif.

L'avantage de l'utilisation d'une méthode de détermination par moindres carrés est qu'il est

possible d'estimer l'incertitude des paramètres par leur écart-type. La matrice 5^: est

équivalente à la matrice des cofacteurs des paramètres recherchés Å//. Cette relation

permet de calculer la matrice de variance et de covariance des paramètres inconnus ∑//.

∑// = F,; ∙ Å// (5.26)


110

La variable F,; correspond au facteur de variance a posteriori. Sa valeur peut être

déterminée à partir de l'Équation 5.27.

F,; = g? ∙ Ì ∙ g9, − I, (5.27)

où g ∶ résiduelles des observations après compensation;

Ì ∶ matrice de poids des observations;

9, ∶ nombre d'équations; et

I, ∶ nombre d'inconnus.

Puisqu'il n'est pas nécessaire de former le vecteur des résiduelles g et la matrice Ì pour

déterminer une solution par moindres carrés avec une approche générale, ce vecteur et

cette matrice n'ont pas été explicitement formés. Le terme g? ∙ Ì ∙ g peut toutefois être

estimé à partir de l'Équation 5.28.

g? ∙ Ì ∙ g = ¼? ∙ È^: ∙ ¼ − �? ∙ 9 (5.28)

Les termes ¼, È^:, � et 9 ont tous été calculés dans le processus de détermination des

paramètres par moindres carrés. L'Équation 5.27 peut être réécrite de la manière suivante.

F,; = ¼? ∙ È^: ∙ ¼ − �? ∙ 99, − I, (5.29)

Une fois la valeur du terme F,; déterminée, il est possible de calculer la matrice de

variance et de covariance des paramètres inconnus ∑// à partir de l'Équation 5.26. Un

programme et des fonctions ont été développés pour appliquer la nouvelle approche de

calibrage aux jeux de données recueillis le 16 mai et le 22 décembre 2016. Plus de détails

sur les fonctions sont présentés à l'Annexe C.


111

Tableau 5.9 : Description sommaire du programme et des fonctions permettant d'appliquer

la nouvelle méthode de calibrage

No Nom du programme

(M_nom.m) Brève description

Fonctions associées

(F_nom.m)

8 M_BoresightCalib


mettre en œuvre la procédure

de calibrage pour l'estimation

des angles de visée et des

bras de levier.

F_Calibration

F_ComputeXYZPoint_1Line

F_RecomputeXYZ

Ce chapitre a donc permis de présenter l'approche mathématique de la nouvelle méthode

de calibrage. Cette méthode de calibrage peut être qualifiée de rigoureuse puisque

chaque point du nuage de points LiDAR à la surface d'une sphère mesurée par le MX2 est

considéré individuellement dans l'ajustement. Le chapitre suivant présentera les valeurs

déterminées pour les angles de visée et les bras de levier avec cette approche à partir des

deux collectes de données réalisées en laboratoire.

Chapitre 6 : Présentation des résultats

112


Le dernier chapitre a permis de présenter le modèle mathématique de cette nouvelle

approche de calibrage. Deux cueillettes de données ont été réalisées avec le même SLM

à plus de six mois d'intervalle en 2016. Des valeurs pour les angles de visée et les bras de

levier ont pu être déterminées pour ces deux séances d'acquisition. Le présent chapitre

permet de présenter les résultats du calibrage suite à ces collectes de données.

6.1. Résultats de la collecte du 16 mai 2016

La première collecte de données LiDAR mobile sur le banc de calibrage a été réalisée le

16 mai 2016. Cette première collecte de données a permis de valider le bon

fonctionnement et l’efficacité des divers programmes en langage Matlab développés pour

la nouvelle procédure de calibrage in lab. De plus, cette cueillette de données servait de

vérification à la méthodologie envisagée, de manière à savoir si l’intégration des divers

instruments de mesure était faite adéquatement. Cette première collecte a été réalisée en

direction avant (aller) seulement. Les centres des sphères mesurées par le MX2 ont pu

être extraits du nuage de points pour les comparer aux centres des sphères de référence

mesurées par le scanner LiDAR terrestre. Le Tableau 6.1 montre les écarts entre les

coordonnées des sphères obtenues par LiDAR terrestre (référence) et LiDAR mobile

avant le calibrage de ce dernier.


113

Tableau 6.1 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage

No de la sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

1 -0,0494 -0,0175 0,0387 0,0652

2 -0,0199 0,0014 0,0206 0,0287

3 -0,0368 -0,0031 -0,0035 0,0371

4 -0,0611 -0,0146 0,0294 0,0693

5 -0,0567 -0,0164 0,0407 0,0717

6 -0,0336 0,0046 0,0296 0,0451

7 -0,0534 -0,0126 0,0420 0,0691

8 -0,0659 -0,0121 0,0129 0,0683

9 -0,0461 0,0018 -0,0119 0,0477

10 0,0402 0,0085 0,0205 0,0460

11 0,0515 0,0090 0,0059 0,0526

12 0,0457 -0,0032 0,0050 0,0461

13 0,0355 0,0048 0,0132 0,0382

14 0,0169 0,0068 0,0429 0,0466

15 0,0161 0,0095 0,0481 0,0516

16 -0,0211 -0,0002 0,0680 0,0712

17 -0,0364 -0,0052 0,0464 0,0592

18 -0,0367 -0,0048 0,0518 0,0637

Moyenne -0,0173 -0,0024 0,0278 0,0543

Écart-type 0,0402 0,0091 0,0214 0,0133

À première vue, on constate que les écarts sur la coordonnée Y sont assez faibles avec

une moyenne de -2 millimètres. Cette valeur est encourageante puisqu’elle signifie que le

positionnement du centre de l’IMU sur le banc de calibrage, fortement corrélé avec la

coordonnée Y, ne semble pas erroné. Les écarts sur les coordonnées X et Z sont plus

importants. Théoriquement, ces écarts peuvent être majoritairement causés par une erreur

sur la valeur de l’angle de visée du roulis '∗, étant donné que le plan XZ est

perpendiculaire à l’axe Y du système de coordonnées géographiques qui pointe vers

l'avant du SLM.

Ce jeu de données a donc été introduit dans la routine de calibrage pour en extraire les

valeurs des six paramètres à estimer, soit les trois angles de visée et les trois bras de


114

levier. Étonnamment, suite un premier traitement de ce jeu de données, la solution de

calibrage divergeait. Une visualisation des données avec le logiciel Trident a donc été

nécessaire. En analysant la position du centre des sphères mesurées par le MX2 par

rapport au centre des sphères de référence, un phénomène a pu être observé. Les

vecteurs de la différence entre les deux centres pointent toujours en direction du MX2 sur

le banc de calibrage, c’est-à-dire que la distance mesurée par le MX2 est toujours trop

courte par rapport à la distance mesurée par le scanner terrestre. Bref, lorsque la sphère

est positionnée à la même hauteur que le MX2, mais éloignée du banc de calibrage,

l’écart est principalement observé sur la coordonnée X tandis que lorsque la sphère est

directement au-dessus du MX2, l’écart est principalement observé sur la coordonnée Z.

On peut observer ce phénomène sur la Figure 6.1 et la Figure 6.2 où les points verts

correspondent au centre de la sphère de référence tandis que les points rouges

correspondent au centre de la sphère mesurée par le MX2.

Figure 6.1 : Écart sur la sphère numéro

11

Figure 6.2 : Écart sur la sphère numéro

16

La Figure 6.1 et la Figure 6.2 montrent qu'il semble y avoir une erreur sur les mesures de

portée fournies par le laser qui sont trop courtes pour chaque sphère. Pour déterminer

l’ordre de grandeur de cette erreur, il est possible de comparer la longueur des vecteurs

partant du centre de l'IMU jusqu'au centre de la sphère de référence Ív��édéaQN[QÎ avec la

longueur des vecteurs partant du centre de l'IMU jusqu'au centre de la sphère mesurée

par le MX2 (v��/;). Pour chacune des sphères, les coordonnées du centre de l'IMU


115

utilisées correspondent à la moyenne des coordonnées du centre de l'IMU pour chaque

ligne de scan couvrant la sphère.

��bZcQN = ¹ ��9N�º: (6.1)

n��bZcQN = ¹ n��9N�º:

(6.2)

q��bZcQN = ¹ q��9N�º:

(6.3)

où ��bZcQN, n��bZcQN, q��bZcQN ∶ Coordonnées moyennes du centre de l'IMU; �� , n�� , q�� ∶ Coordonnées du centre de l'IMU pour chaque ligne de scan; et 9 ∶ nombre de lignes de scan associées à une sphère. Par la suite, il est possible de calculer la longueur des vecteurs par une simple norme

euclidienne. La différence entre la longueur de ces vecteurs fournit une bonne

approximation de la valeur de l'erreur de portée du laser (¾∗) mesurée par le MX2.


116

Tableau 6.2 : Estimation de l'erreur de portée du laser du MX2

Numéro de la sphère v��/;(y) v��édéaQN[Q(y) ¾∗(y)

1 7,7289 7,7789 -0,0500

2 3,0356 3,0542 -0,0186

3 2,0860 2,1192 -0,0331

4 7,2669 7,3204 -0,0535

5 8,1336 8,1846 -0,0509

6 8,6426 8,6594 -0,0168

7 8,9697 9,0113 -0,0416

8 5,2288 5,2914 -0,0625

9 4,8298 4,8482 -0,0184

10 2,8147 2,8414 -0,0267

11 0,6325 0,6815 -0,0490

12 3,2567 3,2688 -0,0121

13 5,1515 5,1552 -0,0037

14 6,9765 6,9906 -0,0141

15 4,3139 4,3434 -0,0295

16 6,1116 6,1629 -0,0513

17 9,9147 9,9502 -0,0355

18 5,8846 5,9411 -0,0565

Moyenne 5,6446 5,6099 -0,0347

Écart-type - - 0,0179

Le Tableau 6.2 permet de confirmer qu'il existe une erreur systématique sur la mesure de

portée du laser fournie par le MX2. La mesure indiquée est toujours trop courte et l'ordre

de grandeur de cette erreur est de 3,5 centimètres. Cette valeur reste toutefois

approximative étant donné que le système n'est pas encore calibré pour les bras de levier

et les angles de visée.

Pour s'assurer que cette erreur est bel et bien due à une erreur sur la mesure de portée et

non à une erreur de positionnement du système, une vérification externe a été utilisée.

Deux nuages de points ont été acquis à partir de deux instruments de mesure

complètement indépendants, soit le LiDAR terrestre et le LiDAR mobile. Ces nuages de

points permettent de bien modéliser le laboratoire, notamment les murs latéraux de


117

chaque côté du banc de calibrage. L'idée est de vérifier si la largeur du laboratoire entre

les deux murs mesurée par le MX2 sera plus courte que celle mesurée par le LiDAR

terrestre qui correspond à la largeur réelle. Pour y parvenir, un échantillonnage de 12 sites

couvrant la portion du laboratoire mesurée a été utilisé. Les coordonnées globales de ces

sites sont présentées dans le Tableau 6.3.

Tableau 6.3 : Coordonnées des sites d'échantillonnage

Numéro

du site

Mur à l'est (à droite et plus rapproché)

du banc de calibrage

Mur à l'ouest (à gauche et plus

éloigné) du banc de calibrage

X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)

1 500001,00 4982961,75 2,00 499992,00 4982961,75 2,00

2 500001,00 4982961,25 2,00 499992,00 4982961,25 2,00

3 500001,00 4982956,75 2,00 499992,00 4982956,75 2,00

4 500001,00 4982956,25 2,00 499992,00 4982956,25 2,00

5 500001,00 4982954,25 2,00 499992,00 4982954,25 2,00

6 500001,00 4982952,75 2,00 499992,00 4982952,75 2,00

7 500001,00 4982961,75 3,25 499992,00 4982961,75 3,25

8 500001,00 4982961,25 3,25 499992,00 4982961,25 3,25

9 500001,00 4982956,75 3,25 499992,00 4982956,75 3,25

10 500001,00 4982956,25 3,25 499992,00 4982956,25 3,25

11 500001,00 4982954,25 3,25 499992,00 4982954,25 3,25

12 500001,00 4982952,75 3,25 499992,00 4982952,75 3,25

Les coordonnées de ces sites ont été importées dans les logiciels Realworks et Trident.

Les outils de mesure intégrés dans ces logiciels ont été utilisés pour calculer la distance

entre les murs à chacun des sites. Les sites 7 à 12 ont les mêmes coordonnées

planimétriques que les sites 1 à 6, mais ils sont situés à une élévation supérieure de 1,25

mètre des premiers. La distance mesurée entre les murs pour chaque site est présentée

dans le Tableau 6.4.


118

Tableau 6.4 : Largeur mesurée entre les murs par les deux instruments

Numéro du

site

Largeur mesurée par le

LiDAR mobile (m)

Largeur mesurée par le

LiDAR terrestre (m) Écart (m)

1 8,9193 9,0044 -0,0850

2 8,9202 9,0033 -0,0831

3 8,8981 8,9876 -0,0895

4 8,8985 8,9882 -0,0896

5 8,9100 8,9938 -0,0838

6 8,9251 8,9963 -0,0712

7 9,0063 9,0782 -0,0719

8 9,0063 9,0615 -0,0552

9 8,9925 9,0621 -0,0695

10 8,9965 9,0699 -0,0734

11 9,0033 9,0744 -0,0711

12 9,0190 9,0827 -0,0637

Moyenne - - -0,0756

Écart-type - - 0,0107

Le Tableau 6.4 permet de confirmer que les distances mesurées par le MX2 sont toujours

trop courtes. L'écart entre les deux murs est aussi assez constant avec un écart-type de 1

centimètre, ce qui correspond à la fidélité d'une mesure laser effectuée par le MX2 selon

le fabricant (Trimble, 2014). Pour obtenir une deuxième estimation de l'erreur de portée du

laser du MX2, on peut diviser la moyenne des écarts par un facteur 2. La valeur estimée

est de -3,78 centimètres, ce qui concorde assez bien avec la valeur de -3,47 centimètres

estimée précédemment.

L'hypothèse est que l'erreur de portée du laser est réellement une valeur constante. Selon

cette hypothèse, il est possible d'apporter une correction aux mesures qui est elle aussi

une constante. Il se peut qu'une partie de cette erreur soit en fonction de la longueur de la

portée mesurée. Il devient toutefois très dangereux d'estimer un paramètre de correction

en fonction de la distance étant donné que les distances mesurées dans le laboratoire

sont relativement courtes. Le laboratoire a une largeur maximale de 9 mètres et les

sphères sont situées à une distance moyenne de 5 mètres de l'IMU, tel que vu dans le

Tableau 6.2 et le Tableau 6.4. Dans cette situation, l'utilisation d'un paramètre de


119

correction en fonction de la distance déterminée à partir de courts vecteurs pourrait être

catastrophique si appliqué lors d'une collecte de données à l'extérieur où les vecteurs

peuvent atteindre plus de 50 mètres. Pour cette raison, la correction à appliquer aux

mesures de portée du laser effectuées par le MX2 (¾∗) doit être une constante. Un

septième paramètre à estimer doit être ajouté au modèle mathématique fonctionnel établi

au Chapitre 5. Ceci implique notamment l'ajout de ce septième paramètre à l'équation de

base du géoréférencement d'un point LiDAR, mais aussi l'ajout d'une colonne à la matrice

A représentant la matrice des dérivées partielles par rapport aux paramètres inconnus à

estimer.

3��Z�N]n�Z�N]q�Z�N]4�= #��n��q��(� + »��?�(K, D, �)∙ 3�» �� (%, + %∗, ', + '∗, &, + &∗) ∙ 3�(¾ + ¾∗) ∙ wF(~) ∙ wF(¿)(¾ + ¾∗) ∙ FG9(~) ∙ wF(¿)(¾ + ¾∗) ∙ FG9(¿) 4� + 3��/, + �/∗�0, + �0∗�1, + �1∗ 4�4�

(6.4)

Une fois ces changements faits, un nouveau traitement de calibrage a été réalisé. Cette

fois-ci, la solution de calibrage a convergé et seulement trois itérations ont été nécessaires

pour obtenir une solution avec les seuils (ou conditions d’arrêt) déterminés

précédemment. Les sept paramètres estimés et leur écart-type sont présentés dans le

Tableau 6.5, soit les trois angles de visée (lacet, roulis et tangage), les trois bras de levier

(X, Y et Z) et l'erreur de portée du laser.


120

Tableau 6.5 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type

Paramètres de correction Valeur Écart-type

Angle de visée

%∗ (lacet) -0,153° 0,003° '∗ (roulis) -0,289° 0,005° &∗ (tangage) 0,078° 0,006°

Bras de levier

�/∗ -0,0003 m 0,0003 m �0∗ 0,0054 m 0,0002 m �1∗ 0,0021 m 0,0004 m

Portée ¾∗ 0,0478 m 0,0003 m

À partir des valeurs approchées fournies par le fabricant, qui sont présentées au Tableau

5.1, il est possible de déterminer les valeurs finales obtenues par calibrage des angles de

visée, des bras de levier et de l'erreur de portée du MX2.

Tableau 6.6 : Valeurs des paramètres avant et après le calibrage

Paramètres Valeur initiale Valeur finale

Angle de visée

% (lacet) 180° 179,847° ' (roulis) 0° -0,289° & (tangage) 0° 0,078°

Bras de levier

�/ 0,000 m -0,0003 m �0 -0,244 m -0,2386 m �1 0,052 m 0,0541 m

Portée ¾ 0 m 0,0478 m

On peut maintenant calculer la position du centre des sphères mesurées par le MX2 une

fois le calibrage complété. Par la suite, le centre de ces sphères peut être comparé au

centre des sphères de référence. Le Tableau 6.7 montre les écarts entre les coordonnées

des sphères obtenues par LiDAR terrestre (référence) et LiDAR mobile après le calibrage

de ce dernier.


121

Tableau 6.7 : Écarts par rapport aux sphères de référence après le calibrage pour la

solution à sept paramètres

No de la

sphère ∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

1 0,0049 0,0030 0,0058 0,0082

2 -0,0235 -0,0019 0,0041 0,0240

3 -0,0086 0,0019 -0,0116 0,0146

4 0,0123 0,0008 0,0062 0,0138

5 0,0122 0,0018 0,0037 0,0129

6 -0,0100 -0,0058 -0,0044 0,0124

7 0,0088 -0,0017 0,0022 0,0093

8 0,0134 0,0018 0,0041 0,0142

9 0,0027 -0,0022 -0,0079 0,0086

10 -0,0049 0,0007 0,0130 0,0139

11 -0,0052 -0,0013 0,0026 0,0059

12 0,0003 0,0106 0,0052 0,0118

13 -0,0007 0,0045 0,0210 0,0215

14 -0,0012 0,0033 0,0067 0,0076

15 -0,0024 -0,0001 0,0021 0,0032

16 0,0096 0,0027 -0,0139 0,0171

17 0,0075 0,0005 0,0034 0,0083

18 0,0079 0,0001 -0,0022 0,0082

Moyenne 0,0013 0,0010 0,0022 0,0120

Écart-type 0,0096 0,0034 0,0082 0,0053

En analysant le Tableau 6.7 on constatee que le calibrage permet une diminution

importante des écarts par rapport aux sphères de référence, la moyenne des écarts

passant de 0,0543 mètre (Tableau 6.1) à 0,0120 mètre (Tableau 6.7). Il est certain que

l'erreur de portée du MX2 a un impact qui empêche de quantifier l'impact des bras de

levier et des angles de visée sur les écarts avant le calibrage. Il devient maintenant

intéressant de recalculer les écarts avant le calibrage en utilisant la valeur estimée de

l'erreur de portée du laser qui est de 0,0478 mètre.


122

Tableau 6.8 : Écarts par rapport aux sphères de référence avant le calibrage sans

considérer l'erreur de portée du laser

∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

Moyenne -0,0032 0,0023 -0,0149 0,0264

Écart-type 0,0117 0,0089 0,0191 0,0097

Le Tableau 6.8 confirme qu'il y a réellement un gain à procéder au calibrage du SLM et

que ce gain est observable sur l'écart des sphères mesurées par le MX2 par rapport aux

sphères de référence. La détermination des angles de visée et des bras de levier permet

d'améliorer la moyenne des écarts d'un facteur de l'ordre de 2,5. Cependant, la moyenne

des écarts après le calibrage reste tout de même assez élevée avec une valeur supérieure

à 10 millimètres. Cette valeur coïncide toujours avec l'ordre de grandeur de la fidélité

d'une mesure laser selon le fabricant. Étant donné que les écarts sont plus importants que

le degré d'incertitude avec laquelle on veut estimer les bras de levier, il est possible que

l'estimation des bras de levier soit biaisée. Il devient donc intéressant de refaire la

procédure de calibrage en n'estimant pas les bras de levier. Les valeurs estimées des

quatre paramètres, soit les trois angles de visée et l'erreur de portée du laser, sont

présentées au Tableau 6.9.

Tableau 6.9 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction et de leur écart-type

Paramètres de correction Valeur Écart-type

Angle de visée

%∗ (lacet) -0,104° 0,003° '∗ (roulis) -0,308° 0,003° &∗ (tangage) 0,132° 0,007°

Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0003 m

On constate certaines ressemblances entre la solution de calibrage à sept paramètres

(Tableau 6.5) et celle à quatre paramètres (Tableau 6.9). Les angles de visées associés

au lacet et au tangage (%∗ et &∗) sont différents de l'ordre de cinq centièmes de degré

alors que l'angle de visée associé au roulis ('∗) est presque identique avec une valeur

qui diffère de seulement deux centièmes de degré. L'erreur de portée du laser (¾∗) est la

même à quelques dixièmes de millimètre près. On peut aussi vérifier cet impact sur les

écarts par rapport aux sphères de référence.


123

Tableau 6.10 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à quatre

paramètres

∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

Moyenne 0,0017 -0,0009 0,0012 0,0120

Écart-type 0,0096 0,0042 0,0082 0,0054

Le Tableau 6.10 est semblable au Tableau 6.7 à quelques dixièmes de millimètres près.

On peut conclure rapidement que les paramètres déterminés permettent d'améliorer la

justesse de la collecte de données par le MX2. Cependant, certaines questions restent

sans réponse. Est-ce que les angles déterminés correspondent réellement aux angles de

visée du MX2 ou s'agit-il d'une erreur d'orientation autre du système? Est-ce que les

résultats seraient répétables avec une autre configuration de sphères dans le laboratoire?

Est-ce que les paramètres déterminés en direction de l'aller seraient les mêmes que ceux

déterminés en direction du retour? De manière à trouver des réponses à ces questions et

à valider les résultats obtenus, une deuxième collecte de données s'imposait.

6.2. Résultats de la collecte du 22 décembre 2017

La deuxième séance d'expérimentation avait comme but principal de vérifier si une

collecte de données en direction avant permettrait d'extraire les mêmes angles qu'une

collecte de données en direction arrière. Théoriquement, peu importe la direction du SLM,

les mêmes angles de visée devraient être observés et cette affirmation est aussi vraie

pour les bras de levier. Si les résultats sont identiques, ou équivalents statistiquement,

cela signifie que la procédure de calibrage est adéquate et que tous les éléments ont bien

été modélisés. Lors de cette deuxième collecte, les sphères ont été positionnées à des

endroits différents de la première collecte, mais toujours bien dispersées dans le

laboratoire de façon à optimiser la géométrie d'acquisition et à minimiser le couplage entre

les paramètres. Les paramètres estimés pour la collecte en direction avant et la collecte

en direction arrière sont présentés dans le Tableau 6.11.


124

Tableau 6.11 : Paramètres estimés dans les 2 directions

Paramètres Direction avant Direction arrière

Valeur Écart-type Valeur Écart-type

Angle de

visée

%∗ (lacet) -0,066° 0,004° 0,069° 0,005° '∗ (roulis) -0,359° 0,006° -0,255° 0,006° &∗ (tangage) 0,106° 0,009° 0,045° 0,011°

Bras de levier

�/∗ -0,0037 m 0,0003 m 0,0040 m 0,0003 m �0∗ 0,0008 m 0,0002 m 0,0034 m 0,0003 m �1∗ -0,0034 m 0,0004 m -0.0105 m 0,0004 m

Portée ¾∗ 0,0505 m 0,0003 m 0,0497 m 0,0004 m

À première vue, le Tableau 6.11 indique que les paramètres estimés semblent

incompatibles. Les paramètres %∗ et �/∗ ont la même valeur entre les deux directions, mais

avec un signe opposé. Pour les autres paramètres, ceux-ci ont des écarts supérieurs au

niveau d'incertitude avec lequel on cherche à les estimer. Le seul paramètre équivalent en

direction avant comme en direction arrière est l'erreur de portée du laser. On peut aussi

calculer les écarts entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le centre des

sphères de référence après le calibrage. La moyenne des écarts et leur écart-type sont

présentés dans le Tableau 6.12.

Tableau 6.12 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution à sept

paramètres dans les deux directions

∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

Direction

avant

Moyenne 0,0007 0,0009 0,0032 0,0101

Écart-type 0,0080 0,0022 0,0062 0,0036

Direction

arrière

Moyenne 0,0017 -0,0014 -0,0026 0,0101

Écart-type 0,0085 0,0031 0,0054 0,0039

On peut constater que même si les paramètres estimés ne concordent pas tout à fait entre

les directions, les écarts entre les sphères sont très semblables. Il est aussi possible

d'estimer les paramètres de la solution complète qui combine les observations en direction

avant et en direction arrière. Cette solution utilise donc un total de 36 sphères étant donné

que les 18 mêmes sphères sont observées dans les deux directions.


125

Tableau 6.13 : Valeurs estimées des sept paramètres de correction et de leur écart-type

pour la solution dans les deux directions

Paramètres de correction Direction avant et arrière

Valeur Écart-type

Angle de visée

%∗ (lacet) 0,036° 0,003° '∗ (roulis) -0,343° 0,004° &∗ (tangage) 0,072° 0,009°

Bras de levier

�/∗ -0,0002 m 0,0002 m �0∗ -0,0050 m 0,0001 m �1∗ -0,0059 m 0,0002 m

Portée ¾∗ 0,0532 m 0,0002 m

Après la détermination des sept paramètres de calibrage, pour la solution complète en

direction avant et arrière, les écarts entre le centre des sphères mesurées par le MX2 et le

centre des sphères de référence peuvent être calculés. La moyenne des écarts et leur

écart-type sont présentés dans le Tableau 6.14.

Tableau 6.14 : Écarts par rapport aux sphères de référence pour la solution complète à

sept paramètres

∆X (m) ∆Y (m) ∆Z (m) ∆3D (m)

Moyenne 0,0039 -0,0021 -0,0011 0,0126

Écart-type 0,0080 0,0059 0,0078 0,0040

Le Tableau 6.14 indique qu'en moyenne, les écarts de la solution complète sont

légèrement supérieurs aux écarts de chaque solution prise séparément. Toutefois, cette

différence est de quelques millimètres seulement. Dans le cas où il serait inopportun

d'estimer les bras de levier avec la présente procédure de calibrage, une solution à quatre

paramètres pour l'estimation des trois angles de visée et de l'erreur de portée du laser a

aussi été déterminée dans les deux directions. En n'estimant pas les bras de levier au

même moment que les angles de visée, on prévient les risques de transfert d'erreur entre

ces paramètres causé par la possible corrélation entre ceux-ci. En raison du couplage

entre les bras de levier et les angles de visée, une erreur angulaire pourrait être

faussement interprétée comme une erreur de translation et vice-versa. Avec un nombre

élevé de sphères et une répartition uniforme de celles-ci dans le laboratoire, on peut


126

minimiser la corrélation entre les bras de levier et les angles de visée. Néanmoins, étant

donné que le banc de calibrage n'est pas centré dans le laboratoire et qu'il est situé près

d'un mur, la géométrie d'acquisition n'est pas optimale. La probabilité qu'il existe une

corrélation plus ou moins importante entre les bras de levier et les angles de visée est plus

grande. C'est pour cette raison que les bras de levier ont été retirés de la liste des

paramètres à estimer et que seulement les valeurs estimées des angles de visée et de

l'erreur de portée du laser ont été retenues à des fins de comparaison. Les résultats pour

les collectes de données du mois de mai et du mois de décembre pour la solution à quatre

paramètres sont compilés dans le Tableau 6.15.

Tableau 6.15 : Valeurs estimées des quatre paramètres de correction pour toutes les

collectes de données

Paramètres de correction

16 mai 2016 22 décembre 2016

Direction

avant

Direction

avant

Direction

arrière

Direction

avant et

arrière

Angle de

visée

%∗ (lacet) -0,104° -0,075° 0,100° 0,024° '∗ (roulis) -0,308° -0,318° -0,368° -0,341° &∗ (tangage) 0,132° 0,099° -0,034° -0,023°

Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0521 m 0,0493 m 0,0522 m

Le Tableau 6.15 permet de bien visualiser tous les résultats de manière à mieux les

comparer entre chaque collecte de données. On remarque que l'angle de visée associé au

roulis ('∗) et l'erreur de portée du laser (¾∗) sont les deux seuls paramètres dont les

valeurs estimées sont plutôt cohérentes d'une collecte à l'autre, même si le critère de

l'estimation avec une erreur maximale de 1 centième de degré n'est pas respecté. Une

analyse plus approfondie des résultats sera présentée au Chapitre 7.

Chapitre 7 : Analyse des résultats

127


Le chapitre précédent a permis de présenter divers tableaux de résultats montrant les

paramètres de calibrage estimés pour les cueillettes de données du 16 mai et du 22

décembre 2016. Il n'a cependant pas été question de la compatibilité entre les solutions de

calibrage ni de la qualité réelle des paramètres obtenus. Le présent chapitre fournit une

analyse plus étoffée des résultats de calibrage obtenus lors des différentes séances

d’acquisition de données réalisées avec le même SLM, le MX2 de la compagnie Trimble.

7.1. Différence entre les paramètres par rapport à leur écart-type

estimé

Le Tableau 6.15 montre que les collectes de données effectuées en direction avant en

date du 16 mai et du 22 décembre 2016 produisent des résultats comparables. Les

différences entre les paramètres estimés sont plus marquantes lorsque la direction de la

collecte est inversée. Il a été mentionné à plusieurs reprises que l'incertitude maximale

recherchée pour le calibrage des angles de visée est de 1 centième de degré de manière

à ce que la contribution de l'erreur engendrée par ces angles soit inférieure à 1 centimètre

pour une cible localisée à 50 mètres de distance. La différence entre les paramètres est

cependant plus importante que le degré d'incertitude escompté, même si les valeurs

estimées pour l'écart-type des paramètres sont très faibles.

Figure 7.1 : Estimation de l'angle de

visée associé au lacet (Ψ)


visée associé au roulis (φ)

-0,104 ± 0,003 degré

-0,075 ± 0,003 degré

-0.11 -0.09 -0.07

Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016-0,318 ± 0,003 degré

-0,308 ± 0,004 degré

-0.33 -0.32 -0.31 -0.3

Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016


128


visée associé au tangage (θ)

Figure 7.4 : Estimation de l'erreur de

portée du laser (ρ)

Selon l'écart-type des paramètres estimés, les solutions du calibrage semblent

complètement incompatibles. Pourtant, selon l'hypothèse initiale, les angles de visée sont

constants et propres à chaque instrument. Cela signifie que leurs valeurs, une fois

déterminées, ne changent pas avec le temps. Étant donné que la même procédure et le

même SLM ont été utilisés lors des deux collectes, les écarts entre les paramètres

estimés devraient être plus faibles. Il semble donc plus probable que l'écart-type des

paramètres soit surestimé (valeur trop petite). La surestimation de l'écart-type des

paramètres pourrait être causée par la surestimation de la fidélité des observations. Il

existe toutefois une façon de vérifier statistiquement si la fidélité des observations a été

surestimée. Cette façon implique l'utilisation du facteur de variance a priori et a posteriori.

7.2. Tests statistiques sur le facteur de variance

Le facteur de variance a posteriori se calcule à partir des résiduelles des observations

après la compensation, de la fidélité a priori des observations et de la redondance du

système d'équations, le tout tel que présenté à la l'Équation 5.27. Le vecteur des

résiduelles g est lié aux observations.

g = K× − K (7.1)

où g ∶ vecteur des résiduelles;

K× ∶ vecteur des observations compensées; et

K ∶ vecteur des observations brutes.

0,132 ±0.007 degré0,099 ±0,009 degré

0.08 0.1 0.12 0.14

Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 20160,0482

±0,0003 mètre0,0521

±0,0003 mètre0.047 0.049 0.051 0.053

Collecte du 16 mai 2016Collecte du 22 décembre 2016


129

Ceci implique que plus les observations doivent être modifiées pour ajuster le modèle

mathématique de détermination par moindres carrés, plus les résiduelles sont grandes.

Une modification importante des observations peut signifier que le modèle mathématique

est inadéquat et que certains éléments ne sont pas ou sont mal modélisés. Il est aussi

possible qu'une modification importante des observations soit justifiée lorsque les

observations sont très peu précises. C'est pour cette raison qu'une matrice de pondération

des observations est utilisée dans le calcul du facteur de variance a posteriori.

Ì = 1ÅPP = �,;∑PP (7.2)

où Ì ∶ matrice de poids des observations;

ÅPP ∶ matrice des cofacteurs des observations;

�,; ∶ facteur de variance a priori; et

∑PP ∶ matrice de variance et de covariance des observations.

La matrice Ì peut permettre de justifier la grandeur des résiduelles. Si la valeur d'une

résiduelle est élevée, mais que la faible fidélité de cette observation est connue, la valeur

de l'écart-type de cette observation est aussi élevée. Étant donné que la pondération de

l'élément par la matrice Ì est inversement proportionnelle à la fidélité de l'observation, la

contribution de cette résiduelle sur le facteur de variance a posteriori est donc peu

importante. En revanche, si la fidélité d'une observation est surestimée, la pondération par

la matrice Ì devient plus importante. Bref, lorsque les résiduelles sont assez importantes,

en raison d'une mauvaise modélisation ou d'une qualité réelle des observations plus faible

que la qualité anticipée, la surestimation de la fidélité des observations peut faire exploser

le terme g? ∙ Ì ∙ g, surtout lorsque le nombre d'observations est important. Heureusement,

un grand nombre d'observations peut aussi influencer la redondance du modèle

mathématique.

Le terme 9, − I, de l'Équation 5.27 est associé à la redondance, ci-après dénommée Ø.

Dans le cadre de la collecte en direction avant du 22 décembre 2016, le nombre total

d'équations du modèle mathématique, qui correspond au nombre total de points LiDAR

utilisés, était de 5682 contre 7 paramètres à estimer. La redondance du système

d'équations était donc de 5675. Puisque la présente procédure de calibrage implique 18

sphères qui sont touchées en moyenne par 6 lignes de scan comportant une quarantaine


130

de points, la redondance du système d'équations selon la présente procédure est toujours

un nombre très élevé. Le facteur de variance a priori défini lors des 2 collectes de données

est 1.

Tableau 7.1 : Comparaison du facteur de variance entre les 2 collectes de données

Date de la

collecte

Direction Redondance (Ø)

Facteur de variance

a priori (�,;)

Facteur de variance a

posteriori (F,;) 16 mai 2016 Avant 5130 1 2,86

22 décembre

2016

Avant 5675 1 2,45

Arrière 5470 1 2,81

Il existe un moyen de valider statistiquement les résultats d'une solution déterminée par

moindres carrés avec le facteur de variance a posteriori, soit par un test du khi deux (Ù;).

Le ratio des facteurs de variance suit une distribution khi deux réduite (Ù̅;).

F,;�,; ∼ Ù̅; = Ù;Ø (7.3)

Cette distribution dépend du degré de liberté qui correspond à la valeur de la redondance

exprimée par le terme Ø. Comme la redondance est très grande pour les deux collectes de

données, il est impossible d'effectuer un réel test du khi deux puisqu'aucune table de

statistique ne couvre ce degré de liberté. Néanmoins, en vertu du théorème central limite,

l'espérance et la variance de la distribution réduite khi deux peuvent s'exprimer selon les

Équations 7.4 et 7.5 (Cocard, 2012).

�(Ù̅;) = 1 (7.4)

Ü(Ù̅;) = 2 Ø (7.5)

Ces équations signifient que plus le degré de liberté augmente, plus la distribution Ù̅; tend

vers une distribution normale avec une valeur centrale égale à 1 et une variance de 0, soit 5(1,0). Bref, la distribution Ù̅; tend vers la constante 1.


131

limÝ→Þ Ù̅Ý; = 1 (7.6)

Cette propriété de la distribution Ù̅; permet de confirmer qu'autant pour la collecte du 16

mai 2016 et du 22 décembre 2016, les solutions de calibrage sont statistiquement

inacceptables et doivent être rejetées. Il était de possible d'anticiper cette conclusion étant

donné la grande variabilité des résultats entre les solutions.

Entre la collecte 16 mai et du 22 décembre, certains éléments peuvent contribuer à la

différence entre les solutions de calibrage. Un de ces éléments est la localisation des

sphères dans le laboratoire. Il a été remarqué en analysant les données LiDAR mobiles de

la collecte du 16 mai que les sphères situées très près du banc de calibrage (à moins de 2

mètres de distance) étaient plus bruitées que les autres. Il semblait que les mesures de

portée laser soient moins précises à une très courte distance. Pour cette raison, lors de la

deuxième collecte, les sphères ont été positionnées à une plus grande distance du banc

de calibrage, tout en respectant une distribution tout autant variée dans le laboratoire. Un

autre élément est en lien avec le traitement des données. Le traitement des données de la

deuxième collecte a été plus rapide et plus efficace étant donné que certains algorithmes

ont été perfectionnés entre les deux collectes.

Il est plus étonnant que les résultats diffèrent entre la collecte en direction avant et la

collecte en direction arrière du 22 décembre. Les mêmes sphères ont été localisées dans

les deux directions avec un nombre de points très semblable. Pourtant, les écarts entre les

paramètres de calibrage déterminés sont importants, d'autant plus que certains sont de

signes opposés. Pour cette raison, l'équation de projection d'un point LiDAR et le modèle

mathématique de calibrage ont été décortiqués rigoureusement de manière à trouver des

failles. Les coordonnées calculées d'un point LiDAR à partir des observations et des

fonctions Matlab développées dans le cadre de cette maîtrise ont été comparées avec les

coordonnées calculées par le logiciel Trident pour différents angles de visées et les

résultats étaient toujours identiques. Ces mêmes équations ont été linéarisées avec les

outils de dérivation partielle dont fait partie la fonction jacobian intégrée dans le logiciel

Matlab. Étant donné qu'on peut conclure qu'il n'existe pas d'erreur au niveau des calculs

et de la programmation, on peut faire l'hypothèse que l'erreur découle de la qualité des

observations qui serait plus bruitée qu'on ne l'estime. Une autre hypothèse est que

certains paramètres ne seraient pas modélisés et causeraient des erreurs qui se


132

propageraient directement dans la solution. Ces points sont traités dans les prochaines

sections qui traitent de l'impact de la qualité des différents types d'observations.

7.3. Installation du MX2 sur le banc de calibrage

Une panoplie d'observations est utilisée dans le calcul du géoréférencement d'un point

LiDAR. Parmi ces observations, on retrouve les trois coordonnées du centre de l'IMU, les

trois angles mesurés par l'IMU ainsi que la mesure de portée et les deux mesures

angulaires du laser. On dénombre cinq observations qui sont directement observées par le

SLM alors que les quatre autres ont été observées avec les stations totales et la méthode

de l'intersection spatiale. Ces quatre dernières observations concernent l'installation du

SLM sur le banc de calibrage.

Les coordonnées 3D du centre de l'IMU ont pu être estimées précisément à l'aide de la

méthode de l'intersection spatiale. L'incertitude de 1 millimètre estimée pour les

coordonnées a été jugée raisonnable compte tenu que les distances montrées sur le plan

du fabricant sont données avec cet ordre de grandeur. Il faut toutefois prendre en

considération que ce sont les trous de la plateforme qui ont été mesurés et non les trous

de fixation du MX2 directement. Or, ceci peut avoir un impact plus ou moins considérable

étant donné que le diamètre des vis insérées dans les trous de fixation du MX2 est

inférieur au diamètre de ces trous. Le diamètre des vis est de 6,0 millimètres alors que

celui des trous est de 8,3 millimètres. Il existe donc un petit espace vide autour de chaque

vis, ce qui permet de petits déplacements lors de la fixation du MX2 sur la plateforme.

Figure 7.5 : Espace entre la vis et le trou de fixation

On peut quantifier la valeur de cet espace à 2,3 millimètres. Ce petit jeu facilite

l'installation du MX2 sur la plateforme, mais peut influencer négativement la solution du


133

calibrage. Une erreur maximale de 2,3 millimètres sur les coordonnées du centre de l'IMU

influence la valeur des angles de visées déterminée par moindres carrés en plus

d'introduire une erreur directe sur la détection des bras de levier.

Une autre contribution directe de cette erreur concerne l'erreur d'alignement de la

plateforme correspondant à la valeur de l'angle du lacet. La valeur déterminée pour le

lacet entre la collecte du 16 mai et du 22 décembre était presque identique à 2 centièmes

de degrés près. Cette valeur correspond toutefois à l'alignement des trous de la

plateforme et non à celui des trous de fixation. De légers déplacements lors de

l'installation du MX2 peuvent instaurer une erreur d'une fraction de degré sur la valeur

réelle du lacet, ce qui n'est pas négligeable. Par exemple, une erreur de 2,3 millimètres

sur une longueur de 33 centimètres entre les trous de fixation peut causer une erreur

maximale de 0,4 degré, ce qui est de loin l'erreur la plus importante qui peut se propager

dans la solution de l'angle de visée du lacet. L'angle de visée associé au lacet estimé lors

des deux collectes permet de confirmer que si cette erreur a contribué aux diverses

solutions, sa valeur était beaucoup moins importante. Cette erreur pourrait toutefois

expliquer l'inversion du signe entre la collecte en direction avant et la collecte en direction

arrière qui diffère de 0,175 degré.

Des tests ont été menés sur le modèle mathématique de l'approche de calibrage pour

intégrer un paramètre de correction supplémentaire pour l'erreur du lacet causée par

l'installation dans les deux directions. Cependant, cette erreur a démontré une trop grande

corrélation avec l'angle de visée associé au lacet pour que les trois paramètres soient

estimés dans une même solution par moindres carrés. Dans le même ordre d'idée, trois

paramètres de correction supplémentaires pour tenter de modaliser l'erreur sur les

coordonnées du centre de l'IMU ont aussi été ajoutés pour effectuer divers tests. Ces trois

paramètres de correction étaient aussi directement corrélés avec les trois bras de levier

qu'on cherche initialement à déterminer. Bref, puisque l'erreur d'installation du MX2 sur la

plateforme ne peut pas être estimée en ajoutant des paramètres dans la solution de

calibrage par moindres carrés, on doit trouver un autre moyen de la déterminer pour

l'éliminer.

La solution qui offre le plus grand potentiel de réussite est tout simplement d'éliminer cette

erreur à la source. De cette façon, nul besoin de tenter de la mesurer ou de l'estimer.

Cette solution consiste à remplacer la plateforme existante par une plateforme dont les


134

trous sont exactement de la même grosseur que ceux du MX2. Pour y parvenir, les trous

devraient être percés précisément sur la table de perçage disponible au laboratoire. De

cette façon, les coordonnées mesurées des trous de la plateforme correspondraient

parfaitement aux trous de fixation du MX2 et il n'y aurait aucune erreur de positionnement

ou d'alignement lors de l'installation. Cette solution est pratique et abordable puisque tout

est en place à l'Université Laval pour la mettre en œuvre.

Une des raisons pour laquelle tout paramètre supplémentaire serait fortement corrélé avec

les paramètres de calibrage recherchés actuellement est directement liée à la procédure

de calibrage utilisée. L'utilisation du banc de calibrage et de l'interféromètre implique que

le déplacement du SLM est unidirectionnel. Deux collectes de données consécutives en

direction avant avec des arrêts situés aux mêmes endroits créeraient des nuages de

points qui se superposeraient parfaitement si on exclut la variabilité causée par les erreurs

aléatoires. La géométrie d'acquisition de la procédure serait trop dépendante d'une

collecte de données à l'autre. C'est pour cette raison qu'une méthode de calibrage telle

celle de Rieger et al. (2010) qui implique le recoupement des données suite à plusieurs

passages ne pourrait être envisageable. La seule façon qui permet d'estimer les angles de

visée nécessite l'utilisation de points de contrôle.

Une autre raison qui explique la forte corrélation de tout paramètre supplémentaire est liée

au SLM utilisé. Le MX2 de type « Single Head » est presque parfaitement aligné avec le

banc de calibrage, ce qui implique que le centre de l'IMU et le centre de la tête rotative

sont tous situés sur une même ligne qui correspond à l'axe Y du système de coordonnées

global. Tout au long de la collecte, cette relation ne change pas. Cela signifie que

l'orientation des axes du système de coordonnées global et celui du système de

coordonnées de l'IMU sont très semblables. Si une erreur systématique est présente au

niveau d'une des coordonnées des sphères de référence, cette erreur se répercute

directement sur le bras de levier correspondant. Toute erreur de positionnement est donc

fortement corrélée avec les bras de levier. C'est pour cela que ceux-ci ont finalement été

mis de côté dans cette procédure de calibrage. Le même impact est aussi observé au

niveau des angles de visée. Les données sont captées par le scanner LiDAR qui est

presque parfaitement perpendiculaire au banc de calibrage. Toute erreur de portée

mesurée par le scanner influence seulement la coordonnée X et la coordonnée Z du

nuage de points. La géométrie d'acquisition rend aussi très difficile l'estimation de l'angle

de visée associé au tangage. L'écart-type estimé de ce paramètre est d'ailleurs toujours


135

de deux à trois fois supérieur à celui des deux autres angles de visée. De manière à

augmenter la variabilité de la géométrie d'acquisition et à favoriser la décorrélation des

paramètres à estimer, l'utilisation d'un autre type de SLM tel le MX2 en version « Dual

Head » ou Tilted Head » montré à la Figure 3.9 pourrait être envisagée. L'inclinaison de la

tête rotative du laser devrait permettre d'améliorer l'estimation de l'angle de visée associé

au tangage en plus d'aider à estimer les bras de levier. Il serait donc intéressant

d'appliquer la procédure de calibrage in lab à un de ces SLM ou à tout autre SLM dont le

laser et l'IMU ne sont pas situés dans le plan sur une même ligne tel que le SLM utilisé

dans le cadre de cette maîtrise.

Une autre source d'erreur qui affecte directement la position et l'orientation du MX2 est

liée à l'incertitude réelle des coordonnées des 18 sphères positionnées dans le laboratoire.

Les résiduelles sur les quatre sphères de référence lors du géoréférencement sont de

l'ordre de 2 millimètres. L'origine du système de coordonnées, l'alignement des axes de ce

système, les constantes initiales et les sphères de référence sont tous solidement ancrés

dans un même système de coordonnées avec une incertitude de l'ordre de 1 millimètre ou

mieux. Si la localisation du centre des sphères avec le scanner LiDAR terrestre n'est pas

mieux que 2 millimètres, cela implique que tous les éléments ne partagent pas exactement

le même système de coordonnées. L'erreur de 2 millimètres peut être sur les coordonnées

du centre de l'IMU ou sur les coordonnées des sphères de référence. Il n'en reste pas

moins que cette erreur se propage directement sur les valeurs estimées des angles de

visée et des bras de levier.

L'étroitesse du laboratoire importe aussi dans la procédure de calibrage. Si

l'environnement était plus vaste, les sphères seraient plus distantes et l'impact de l'erreur

sur la détermination de leurs coordonnées serait moins important. Puisque la distance

moyenne des sphères par rapport au centre de l'IMU est de 5,6 mètres seulement, une

erreur de l'ordre de 2 millimètres sur les sphères de référence induit systématiquement

une erreur de 2 centièmes de degrés, ce qui dépasse l'erreur maximale tolérée pour la

détermination des angles de visée. Cette erreur, quoiqu'elle ne soit pas la plus importante,

doit obligatoirement être minimisée. Pour y parvenir, il faut trouver une façon d'améliorer le

géoréférencement du scan LiDAR terrestre. Une augmentation de la résolution et de la

densité sont des avenues à analyser, tout comme un meilleur positionnement des stations

dans le laboratoire. Il faut aussi s'assurer que la localisation du centre des sphères avec la

méthode de l'intersection spatiale n'introduise aucune erreur supplémentaire. De plus, il


136

serait intéressant de varier la position en planimétrie des sphères de référence, mais

surtout la position en altimétrie. Lors des deux collectes de données, les sphères de

référence étaient sensiblement positionnées entre 1 et 2 mètres du sol. Il est possible que

cette similitude sur l'altitude des sphères de référence introduise une erreur sur les

sphères situées au plafond ou complètement au sol. Bref, déterminer une procédure qui

minimise les résiduelles lors du géoréférencement du scan LiDAR terrestre devrait faire

l'objet de travaux supplémentaires pour permettre de minimiser l'erreur de justesse des

coordonnées du centre des sphères de référence dans le système de référence global.

7.4. Fidélité et justesse des mesures de portée LiD AR

Le traitement des données LiDAR mobiles a permis de détecter une erreur systématique

sur les mesures de portée laser effectuées par le MX2. L’ordre de grandeur estimée à

partir des données recueillies est de près de 5 centimètres à quelques millimètres près. Il

a aussi été discuté qu’il y ait une possibilité que cette erreur comporte une portion qui est

proportionnelle à la distance mesurée. Néanmoins, vu l’étroitesse du laboratoire et la

faible longueur des distances mesurées par le MX2, cette partie a été mise de côté au

profit d’une erreur constante. Une hypothèse est formée pour la provenance de cette

erreur constante sur les mesures du laser. Le centre de la tête rotative du laser est aligné

sur l’axe central du MX2. Selon le plan du fabricant, le diamètre de la tête rotative est de

148 millimètres tel que montré à la Figure 7.6.

Figure 7.6 : Plan du fabricant montrant l’axe central du MX2 (Trimble, 2013a)


137

Situées côte à côte à la surface de la tête rotative sont deux ouvertures. L’une de ces

ouvertures sert à l’émission alors que l’autre sert à la réception du pulse laser.

Figure 7.7 : Émetteur et récepteur du pulse laser du MX2

Selon la présentation du système, il semble peu probable que l’origine de l’émetteur et du

récepteur soit située en plein centre du laser, soit sur l’axe central du MX2. L’écart entre

cette origine et la partie centrale de la tête rotative serait la cause de l’erreur d’environ 5

centimètres sur les mesures de distance effectuées par le MX2. Les mesures laser

enregistrées par le système correspondraient aux mesures brutes qui sont toujours trop

courtes par rapport aux mesures réelles.

Puisque les bras de levier et les angles de visées sont calculés du centre de l’IMU

jusqu’au centre de la tête rotative du laser, le fait que la distance brute soit utilisée et non

la distance ramenée sur l’axe central de la tête rotative implique que les nuages de points

capturés par le MX2 sont toujours trop près de l’instrument. Cette erreur est bien sûr

indétectable sans points de contrôle ou sans recoupement des données. Même avec

ceux-ci, dans un contexte d’acquisition de données sur le terrain, cette erreur pourrait être

attribuée maladroitement à une déficience au niveau du système de positionnement

GNSS. Néanmoins, puisque cette erreur s’est glissée lors de la confection et de

l’intégration des différents capteurs sur le système, il est du ressort du fabricant de la

modéliser et de l’éliminer. La distance réelle entre l’origine du laser et l’axe central de la

tête rotative doit être précisément mesurée lors de l’assemblage du laser et cette valeur,


propre à chaque système, doit être appliquée automatiquement à la donnée brute lors de

l’enregistrement des mesures de portée.

En plus de l’erreur systématique sur les mesures de portée laser, il semble que les erreurs

aléatoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des

spécifications du MX2, l’écart-

distance de 50 mètres, et ce, dans des conditions de calibrage à 1 sigma

Le bruit observé sur les mesures de portée laser est plutôt de l’ordre de plus ou moins 2

centimètres selon les nuages de points recueillis lors des deux collectes. Cette erreur est

facilement détectable dans le nuage de points étant donné que la surface des éléments

mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de

précision, on s’attend que les points

superposent presque parfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte

d’acquisition où la surface des sphères mesurées peut atteindre jusqu’à 4 centimètres

d’épaisseur.

Figure 7.8 : Nuage de points de la sphère

12 (vue en angle)

L’impact du bruit sur la portée du laser peut causer une

centre des sphères. L’étape de nettoyage des données

erratiques, mais il est possible que

du laser était en cause. De plus, p

direction du laser, il est probable

Analyse des résultats

138


l’enregistrement des mesures de portée.


atoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des

-type d’une mesure de portée laser est de 1 centimètre à une

distance de 50 mètres, et ce, dans des conditions de calibrage à 1 sigma (Trimble, 2014)



ns le nuage de points étant donné que la surface des éléments

mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de

que les points LiDAR à la surface d’une sphère ou d’un mur se

rfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte


: Nuage de points de la sphère

(vue en angle)

Figure 7.9 : Ligne de scan de la sphère 5

(vue en coupe)

L’impact du bruit sur la portée du laser peut causer une erreur lors de la détection du

centre des sphères. L’étape de nettoyage des données LiDAR permet d’éliminer les points

erratiques, mais il est possible que pour la plupart des points éliminés, seulem

De plus, puisque le bruit se propage toujours entièrement en

probable que la solution déterminée par moindres carrés soit plus

Épaisseur maximale surface de la sphère



atoires soient plus importantes que ce qui est garanti par le fabricant. Sur la fiche des

type d’une mesure de portée laser est de 1 centimètre à une

(Trimble, 2014).



ns le nuage de points étant donné que la surface des éléments

mesurés semble plus « épaisse ». Dans un contexte d’acquisition avec un laser de haute

à la surface d’une sphère ou d’un mur se

rfaitement. Ce n’est pas le cas dans le présent contexte


: Ligne de scan de la sphère 5

(vue en coupe)

de la détection du

permet d’éliminer les points

la plupart des points éliminés, seulement l’erreur

uisque le bruit se propage toujours entièrement en

que la solution déterminée par moindres carrés soit plus

Épaisseur maximale de la surface de la sphère de 4 cm


139

faible en cette direction. Pour cette raison, il est essentiel de bien répartir les sphères de

haut en bas du laboratoire de manière à ce que la géométrie d’acquisition permette de

minimiser l’impact du bruit sur les mesures de portées.

De manière à mieux documenter la qualité du laser du MX2, il serait intéressant d’analyser

le nuage de points d’une collecte de données traditionnelle à l’extérieur. Pour les murs

plats des bâtiments localisés par un passage seulement, il serait pertinent de mesurer

l’épaisseur de ces murs, de manière à confirmer si l’écart-type d’une mesure de portée est

réellement de 2 centimètres au lieu de 1 centimètre, tel qu’estimé par le fabricant. Il est

aussi possible que la qualité des mesures du laser du MX2 soit déficiente à de courtes

distances. Néanmoins, aucune mise en garde n’est émise par le fabricant à cet égard.

Bref, il serait intéressant d’effectuer une collecte de données supplémentaire en

laboratoire avec un autre MX2 et un autre modèle de SLM de manière à confirmer si le

laser du MX2 utilisé fait défaut, si l’ensemble des MX2 a une erreur de portée laser

importante ou si cette erreur est attribuée à la procédure de calibrage elle-même.

7.5. Fidélité et justesse des observations de l'IMU

Un autre instrument est incertain quant à la fidélité et la justesse de ses mesures. Cet

instrument est l’IMU qui est utilisé dans un contexte d’acquisition particulier.

Habituellement, les observations de l’IMU sont combinées aux observations du récepteur

GNSS pour former la solution de navigation complète du véhicule. Une initialisation de

l’IMU par des mouvements du véhicule est toujours nécessaire de manière à stimuler les

angles de l’IMU, notamment le lacet. Dans le cadre de la procédure de calibrage, le lacet

observé par le MX2 a été éliminé de la solution, mais les observations du roulis et du

tangage ont été conservées. Lors de l’acquisition, la fidélité des angles est estimée et

enregistrée dans le fichier de capture. Il est possible d’observer la variation de la fidélité de

ces angles en fonction du temps pour la collecte du 22 décembre 2016. Les valeurs des

angles observés ont aussi été compilées de manière à vérifier que les données fournies

par l’IMU ne dérivent pas avec le temps.


140

Figure 7.10 : Écart-type du lacet, du

roulis et du tangage en fonction du temps

Figure 7.11 : Roulis et tangage en

fonction du temps

Le graphique à la Figure 7.11 permet de constater que les angles fournis par l’IMU ne

dérivent pas en fonction du temps. Les variations du roulis sont beaucoup plus

importantes que celles du tangage sur la portion du banc de calibrage étudiée. Sur le

graphique à la Figure 7.10, les courbes de l'écart-type du roulis et du tangage se

superposent parfaitement. Le système estime que la fidélité de ces deux angles est la

même. Pour ce qui est de la fidélité du lacet, la valeur utilisée est constante et elle

correspond à l’écart-type des trois mesures d’alignement déterminées avec la méthode de

l’intersection spatiale.

L'écart-type estimé des angles se situe entre 8 et 10 centièmes de degrés et il se stabilise

légèrement avec le temps. Dans le cadre d’une acquisition de données standard avec un

véhicule à l’extérieur, la fidélité du roulis et du tangage fournie par l’IMU est de 2

centièmes de degrés selon le fabricant (Trimble, 2013b) lorsque le récepteur GNSS est

utilisé en mode relatif avec une station de référence. Après une perte de signal GNSS

d’une durée de 60 secondes, la fidélité des angles reste inchangée. Cependant, dans le

cadre de la présente procédure de calibrage, le positionnement par satellites GNSS n’a

pas été interrompu, mais est plutôt complètement absent de la collecte. Il est possible que

la fidélité estimée des angles soit représentative, tout comme il est possible que

l’estimation soit inadéquate. Étant donné qu’aucune vérification externe ne permet

actuellement de valider la justesse et la fidélité des angles fournis par l’IMU, les données

recueillies elles-mêmes ont été utilisées à cet effet. Pour vérifier la justesse des données

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.00 1000.00 2000.00 3000.00

Écar

t-ty

pe

des

an

gles

(d

egré

s)

Temps écoulé (secondes)

Lacet

Roulis

Tangage

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.00 1000.00 2000.00 3000.00

An

gles

(d

egré

s)

Temps écoulé (secondes)

Roulis

Tangage


141

mesurées par l'IMU, l'utilisation d'un deuxième IMU ancré solidement au SLM aurait pu

permettre de comparer les résultats. Idéalement, ce deuxième IMU devrait être de qualité

équivalente ou supérieure à l'IMU intégré au MX2. Malheureusement, cette vérification n'a

pas été faite dans le cadre de ce travail de recherche.

Lors de la collecte du 22 décembre, une première séance d’acquisition a été réalisée en

direction avant et une deuxième en direction arrière. Lors de l’enregistrement des

données, le MX2 était immobile sur le banc de calibrage. Étant donné que le MX2 a été

retourné de 180° entre les deux séances et que la même procédure d’acquisition a été

appliquée dans les deux directions, les angles mesurés par l’IMU devraient être de même

magnitude, mais de signes opposés lorsque le MX2 était au même endroit sur le banc de

calibrage. Les angles d’attitude observés dans les 2 directions ont été comparés en

fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU.

Figure 7.12 : Roulis en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système de

coordonnées global

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10 12

Ro

uli

s (d

eg

rés)

Coordonnée Y (mètres)

Direction avant

Direction arrière


142

En observant la Figure 7.12 on constate qu'il existe certaines similitudes entre les valeurs

du roulis mesurées dans les deux directions. On constate toutefois que la courbe semble

décalée par rapport à la coordonnée Y, c'est-à-dire que la valeur de la coordonnée Y pour

une courbe semblable est toujours plus petite en direction arrière qu'en direction avant. Au

niveau de la magnitude du roulis, on retrouve beaucoup de ressemblance entre les deux

courbes. Le comportement des deux courbes est donc plutôt semblable, mais de sens

opposés. Néanmoins, il semble aussi y avoir un décalage constant au niveau de la

magnitude du roulis étant donné que les deux courbes ne sont pas centrées sur la valeur

0. Le même exercice a pu être fait pour le tangage dans les deux directions.

Figure 7.13 : Tangage en fonction de la coordonnée Y du centre de l'IMU dans le système

de coordonnées global

Les courbes associées au tangage ne sont pas opposées l'une à l'autre contrairement à

celles du roulis. Il semble que les deux courbes ont des comportements complètement

distincts. Néanmoins, l'amplitude de ces courbes est plutôt faible et est toujours comprise

à l'intérieur de dix centièmes de degrés.

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0 2 4 6 8 10 12

Ta

ng

ag

e (

de

gré

s)

Coordonnée Y (mètres)

Direction avant

Direction arrière


143

Dans le cas du roulis et du tangage, la différence entre l'amplitude des courbes semble

respecter l'ordre de grandeur de l'écart-type estimé pour ces angles d'attitude qui est tout

juste sous la barre de 1 dixième de degré. Si la fidélité réelle des observations de l'IMU est

de 8 ou 9 centièmes de degré, il semble peu probable qu'il soit possible d'estimer les

angles de visée avec une incertitude de 0,01 degré à partir des observations brutes.

L'étude du comportement des IMU dans un environnement sans signal GNSS et sans

initialisation est un projet très intéressant qui permettrait certainement d'améliorer les

résultats de la présente procédure de calibrage en laboratoire.

7.6. Impact des paramètres de calibrage sur les obs ervations

Tout au long de la procédure, les erreurs ont été minimisées et, dans plusieurs cas, elles

ont été modélisées pour être éliminées de manière à pouvoir estimer les paramètres de

calibrage avec une certaine marge d'erreur préétablie. L'erreur maximale tolérée est de 1

millimètre pour les bras de levier et de 1 centième de degré pour les angles de visée. Un

écart total de 5 millimètres sur les trois bras de levier se traduit directement par un

déplacement de même valeur sur un point situé à une certaine distance. La raison pour

laquelle on cherche à estimer les corrections à apporter aux bras de levier avec une

incertitude de l'ordre du millimètre est que les valeurs du fabricant sont fournies avec cet

ordre de grandeur.

Dans le cas des angles de visée, la règle triviale du budget d'erreur de 1 centimètre sur les

coordonnées d'un point exige une erreur maximale de 0,01 degré sur les angles de visées

pour une distance de 50 mètres. Dans le cas d'une collecte de données LiDAR mobiles, la

largeur du corridor à couvrir est très variable. En ville, il est plus rare que les distances

mesurées atteignent le plateau des 50 mètres. La distance du milieu de la chaussée

jusqu'à la façade des bâtiments est plutôt de l'ordre de 10 à 25 mètres. Cependant, sur de

longs corridors routiers tels les autoroutes, la modélisation complète de la chaussée

incluant les fossés de drainage et les terre-pleins centraux peut nécessiter des distances

de 100 mètres et plus. Il est certain que plus les distances sont grandes, plus l'incertitude

finale des points est grande. Néanmoins, pour ce type d'application, le budget d'erreur est

toujours plus large. La partie nécessitant des mesurages plus fidèles et plus justes, surtout

en altimétrie, est la voie carrossable et les éléments à proximité tels les viaducs.


144

La présente procédure de calibrage est orchestrée dans un environnement assez

restreint. Toutes les sphères sont situées à une distance inférieure à 10 mètres du MX2.

Pour une sphère située à cette distance, l'estimation des angles de visée avec une erreur

maximale de 0,01 degré nécessite que le budget d'erreur global associé au

positionnement du montage incluant la position des sphères de référence et du centre de

l'IMU soit exactement inférieur à 1,7 millimètre. Ce budget d'erreur devant être réduit d'un

facteur 2 puisque la distance moyenne des sphères jusqu'au MX2 est de l'ordre de 5

mètres. L'incertitude totale de toutes les manipulations permet d'estimer le budget d'erreur

total réel à environ 3 millimètres pour l'incertitude des coordonnées du centre des sphères

de référence, une majorité de cette erreur causée par le géoréférencement des sphères

dans le système de coordonnées global. Si les observations du MX2 étaient exemptes

d'erreur, la procédure de calibrage ne serait pas à point, mais tout de même assez près du

but en termes du respect des objectifs sur le degré d'incertitude pour le montage. Avec

une erreur de 3 millimètres sur les coordonnées des sphères de référence, on pourrait

espérer déterminer les angles de visée avec une incertitude de 0,03 degré, ce qui signifie

une erreur de 3 centimètres sur une cible située à une distance de 50 mètres. Bref, cette

erreur concorde avec l'ordre de grandeur de la fidélité des observations GNSS.

Cependant, avec une variation pouvant atteindre 4 centimètres sur les mesures de portée

laser et 1 dixième de degrés sur les angles d'attitude mesurés par le MX2, le budget total

d'erreur est largement dépassé pour cet instrument. On peut toutefois se questionner sur

l'impact réel de la variation des paramètres de calibrage sur les observations recueillies en

laboratoire.

Une façon de vérifier la compatibilité des paramètres de calibrage entre les solutions est

d'appliquer les paramètres déterminés par la collecte du 16 mai aux observations de la

collecte du 22 décembre. Le seul paramètre propre à la collecte du 22 décembre qui a été

conservé est l'erreur de portée du laser qui diffère de près de 4 millimètres entre les deux

collectes. De cette façon, seulement les angles de visée influencent les écarts entre les

solutions. Les coordonnées du centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre

peuvent être calculées selon les deux séries de paramètres pour être comparées par la

suite.


145

Tableau 7.2 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés le 16 mai

2016 sur le centre des sphères mesurées par le MX2 le 22 décembre 2016


1 0,0001 0,0011 0,0004 0,0012

2 0,0001 0,0036 0,0013 0,0038

3 0,0002 -0,0010 -0,0001 0,0010

4 0,0006 -0,0019 0,0000 0,0020

5 -0,0003 0,0030 0,0008 0,0031

6 0,0004 0,0010 0,0009 0,0014

7 0,0000 0,0035 0,0013 0,0037

8 -0,0001 0,0037 0,0012 0,0039

9 0,0000 0,0007 0,0003 0,0008

10 0,0001 -0,0004 -0,0001 0,0004

11 0,0006 -0,0019 0,0001 0,0020

12 -0,0002 0,0021 0,0005 0,0021

13 0,0004 0,0010 0,0009 0,0014

14 -0,0002 0,0029 0,0007 0,0030

15 0,0005 0,0017 0,0013 0,0022

16 0,0000 0,0035 0,0012 0,0037

17 0,0003 -0,0010 -0,0001 0,0010

18 0,0000 0,0012 0,0005 0,0013

Moyenne 0,0001 0,0013 0,0006 0,0021

Écart-type 0,0003 0,0019 0,0005 0,0011

Le Tableau 7.2 permet de constater que les angles de visée estimés lors des deux

collectes sont équivalents dans le contexte d'acquisition présent et que l'utilisation de l'une

ou l'autre des solutions engendrent un déplacement du centre des sphères de 2

millimètres en moyenne avec un faible écart-type de 1 millimètre. Ce constat est valable

seulement pour les courtes distances mesurées dans le laboratoire. Par une simple règle

de trois, on peut estimer que les écarts entre les deux solutions à une distance dix fois

plus grande, soit 50 mètres, seraient de l'ordre de 2 centimètres en moyenne. Ces écarts

ne concordent toutefois pas avec l'ordre de grandeur des écarts avec les sphères de

référence qui sont beaucoup plus importants. La différence entre les paramètres de

calibrage déterminés lors de ces deux collectes est présentée au Tableau 7.3.


146

Tableau 7.3 : Différence entre les paramètres de correction entre les deux collectes en

direction avant

Paramètres de correction Direction avant

16 mai 2016 22 décembre 2016 Différence

Angle de

visée

%∗ (lacet) -0,104° -0,075° 0,029° '∗ (roulis) -0,308° -0,318° -0,010° &∗ (tangage) 0,132° 0,099° 0,033°

Portée ¾∗ 0,0482 m 0,0521 m 0,0039 m

Les paramètres déterminés lors des deux collectes sont tout de même assez semblables

compte tenu de toutes les erreurs qui se propagent dans la solution. Le processus

d'acquisition était lui aussi très semblable si on exclut le fait que les sphères n'étaient pas

situées exactement aux mêmes endroits entre les collectes. De manière à vérifier si la

procédure de calibrage produit réellement des résultats avec le degré d'incertitude

attendu, la rotation de 180° du MX2 sur le banc de calibrage et une collecte en direction

renversée était nécessaire.

Une rotation de 180° du MX2 sur le banc de calibrage implique des modifications au

niveau du calcul des coordonnées du centre de l'IMU avec les constantes initiales et du

calcul du lacet auquel on ajoute 180°. Cependant, le calcul des bras de levier et des

angles de visée reste le même étant donné que ceux-ci sont exprimés dans le système de

coordonnées de l'IMU. Les valeurs déterminées dans les deux directions devraient donc

être statistiquement équivalentes. Cependant, la solution de calibrage en direction arrière

diffère de celle en direction avant tel qu'on peut le voir dans le Tableau 7.4.

Tableau 7.4 : Différence entre les paramètres de calibrage entre les deux directions pour

la collecte du 22 décembre 2016

Paramètres Collecte du 22 décembre 2016

Direction avant Direction arrière Différence %∗ (lacet) -0,075° 0,100° -0,175° '∗ (roulis) -0,318° -0,368° -0,050° &∗ (tangage) 0,099° -0,034° -0,133° ¾∗(portée) 0,0521 m 0,0493 m -0,0028 m


147

La différence entre les paramètres estimés dans les deux directions en date du 22

décembre est beaucoup plus importante que la différence entre les paramètres estimés en

direction avant pour chaque date d'acquisition. On peut toutefois encore se questionner

sur l'impact réel de la différence des paramètres sur les observations. Le même exercice

qu'au Tableau 7.2 a été réalisé avec l'impact du calcul des coordonnées de la solution en

direction arrière avec les paramètres estimés pour la direction avant. Encore une fois, seul

le paramètre de l'erreur de portée du laser a été conservé pour la collecte en direction

arrière de manière à seulement quantifier l'impact des angles de visée sur la solution.

Tableau 7.5 : Impact de l'utilisation des paramètres de calibrage déterminés en direction

avant sur le centre des sphères mesurées par le MX2 en direction arrière pour la collecte

du 22 décembre 2016


1 -0,0006 0,0100 -0,0024 0,0103

2 -0,0007 0,0251 -0,0068 0,0260

3 -0,0009 -0,0004 0,0007 0,0012

4 -0,0029 0,0069 0,0001 0,0075

5 0,0009 0,0112 -0,0039 0,0119

6 -0,0025 0,0223 -0,0046 0,0229

7 -0,0007 0,0249 -0,0066 0,0258

8 0,0001 0,0209 -0,0061 0,0218

9 -0,0004 0,0065 -0,0017 0,0067

10 -0,0001 -0,0016 0,0006 0,0017

11 -0,0029 0,0069 0,0002 0,0075

12 0,0009 0,0058 -0,0024 0,0063

13 -0,0025 0,0218 -0,0044 0,0224

14 0,0010 0,0109 -0,0039 0,0116

15 -0,0028 0,0286 -0,0061 0,0294

16 -0,0007 0,0247 -0,0066 0,0256

17 -0,0009 -0,0004 0,0008 0,0012

18 -0,0003 0,0091 -0,0025 0,0094

Moyenne -0,0009 0,0130 -0,0031 0,0138

Écart-type 0,0013 0,0099 0,0028 0,0097


148

Puisque la différence entre les paramètres est plus importante, il est normal de constater

que la différence entre les coordonnées l'est aussi. On constate que l'écart en trois

dimensions est de 1,4 centimètre en moyenne avec un écart-type de 1,0 centimètre. Les

écarts sur la coordonnée Y contribuent pour presque la totalité des écarts globaux dans

les trois dimensions. Le seul angle n'ayant aucune incidence sur la coordonnée Y du

système de coordonnées global est le roulis. L'angle de visée associé au roulis est aussi

celui dont la différence avec la solution en direction avant est la plus faible.

Étant donné que le seul élément qui diffère entre la collecte en direction avant et la

collecte en direction arrière est la position et l'alignement du centre de l'IMU, le facteur qui

contribue à l'incompatibilité entre les solutions doit être lié à la rotation du MX2 sur le banc

de calibrage. Cette rotation implique une variation de la position de l'IMU sur le banc de

calibrage puisque celui-ci n'est pas parfaitement centré par rapport aux trous de fixation.

Cependant, ce facteur a déjà été traité, car les constantes initiales ont été déterminées

dans les deux directions à la Section 3.4. La seule constate initiale qui est réellement

affectée par la rotation du MX2 sur le banc de calibrage est la constante �0. La différence

entre la constante �0 en direction avant et en direction arrière est exactement de 44

millimètres. Il est possible d'observer directement cet écart sur le plan du fabricant

présenté à la Figure 3.12. Il est possible que le centre de l'IMU par rapport aux trous de

fixation ne soit pas réellement à l'endroit indiqué sur le plan du fabricant. Aucun mesurage

n'a été effectué pour confirmer la position physique du centre de la boîte contenant l'IMU.

Cependant, il est très peu probable que la différence réelle soit plus importante que

quelques millimètres tout au plus étant donné que le fabricant indique que les distances

entre les composantes présentes sur son plan sont données avec un millimètre

d'incertitude . Un autre élément pouvant contribuer à ces écarts est le fait que le diamètre

des vis utilisées pour fixer le MX2 sur la plateforme mobile est inférieur à celui des trous

de fixation. Néanmoins, la contribution de cette erreur est de loin inférieure aux écarts

observés entre les angles de visée déterminés dans les deux directions.

À ce stade-ci, la raison pour laquelle la solution de calibrage en direction avant diffère de

celle en direction arrière est inconnue. Toutefois, puisque l'écart observé entre les deux

solutions semble dépendre entièrement d'une différence sur la coordonnée Y, on peut

faire l'hypothèse qu'une erreur s'est glissée lors du calcul de la coordonnée Y du centre de

l'IMU sur le banc de calibrage. Plusieurs tests ont été effectués en ajoutant une constante

sur la coordonnée Y de toutes les positions du centre de l'IMU pour la collecte en direction


149

arrière. En additionnant une valeur de 13 millimètres, ce qui correspond à l'erreur

moyenne sur la coordonnée Y entre les deux solutions telles que vues au Tableau 7.5, les

angles de visée se rapprochent de ceux déterminés lors de la collecte en direction avant.

Tableau 7.6 : Différence entre les paramètres de correction après l'ajout d'une constante

sur la coordonnée Y du centre de l'IMU en direction arrière

Paramètres de correction Collecte du 22 décembre 2016

Direction avant Direction arrière Différence

Angle de

visée

%∗ (lacet) -0,075° -0,027° 0,048° '∗ (roulis) -0,318° -0,370° -0,052° &∗ (tangage) 0,099° 0,168° 0,069°

Portée ¾∗ 0,0521 m 0,0508 m -0,0013 m

L'ajout de cette constante permet de diminuer les écarts entre les paramètres déterminés

dans les deux directions, mais ceux-ci restent toujours incompatibles. Il est donc fort

probable qu'une erreur non modélisée se propage dans la solution de calibrage. Cette

erreur peut aussi affecter la solution en direction avant en causant un biais qui serait

indétectable entre les deux collectes dans cette direction. Tant que cette erreur ne sera

pas éliminée, la solution complète utilisant l'aller-retour sur le banc de calibrage n'est pas

exploitable.

Il est tentant d'essayer de modéliser cette erreur en ajoutant un paramètre supplémentaire

à déterminer par moindres carrés. Cependant, plus le nombre de paramètres à estimer

devient élevé, moins la solution est rigide. Ceci est causé par la forte dépendance entre

les paramètres à estimer. Si un angle supplémentaire est introduit comme paramètre

inconnu, celui-ci aura probablement une forte corrélation avec un ou des angles de visée.

On observe le même phénomène avec l'ajout d'une translation de coordonnées à

appliquer qui serait directement corrélée avec les bras de levier. Bref, s'il est possible de

déterminer la cause de cette erreur, celle-ci devrait être modélisée et éliminée à la source.

On pourrait par la suite la traiter comme une observation supplémentaire auquel on

attribue un poids dans la solution par moindres carrés. De cette façon, cette erreur ne

contribuerait pas à augmenter la corrélation entre les paramètres, mais permettrait une

certaine flexibilité sur sa valeur en fonction de son incertitude.

Chapitre 8 : Conclusion

150


8.1. Retour sur les objectifs

La démocratisation des scanners LiDAR dans le domaine de l'acquisition et de la

modélisation en trois dimensions permet à plusieurs nouveaux utilisateurs d'avoir recours

à cette technologie. Les données LiDAR sont utilisées pour représenter la réalité sous la

forme d'un nuage de points que ce soit dans un contexte de modélisation architecturale,

de planification forestière, de volumétrie des matériaux, etc. Les utilisateurs, qu'ils soient

des professionnels, étudiants ou autres, utilisent les données LiDAR pour toutes sortes

d'applications propres à leur champ d'expertise. Cependant, ces gens ne sont pas tous

aptes à juger de la fidélité et de la justesse des coordonnées de chaque point formant le

nuage de points mis à leur disposition. Il importe donc que ces gens aient accès à des

méthodes ou à des ressources qui leur permettent de calibrer leur système.

L'Université Laval est en processus de modernisation de son laboratoire de métrologie

incluant le renouvellement d’une partie de ses équipements, dont un nouvel interféromètre

laser de modèle XL-80 (Renishaw, 2016) qui a été ajouté au laboratoire à l'automne 2016.

Ce nouvel instrument a permis de remplacer l'ancien interféromètre laser de modèle

5518A (Keysight Technologies, 2010) qui datait des années 1980. Cet outil moderne

permettra de mettre à jour les procédures d'étalonnage existantes des mires,

distancemètres, rubans d'arpentage et autres, en plus de développer de nouveaux

moyens pour calibrer et améliorer les performances des SLM au sein des installations

existantes du Laboratoire de métrologie du Département des sciences géomatiques de

l’Université Laval (Larouche, 2016).

Le présent projet de recherche est donc un premier pas dans le développement d'une

nouvelle méthode de calibrage rigoureuse des SLM in lab. Le but de ce travail était de

mettre sur pied une procédure pour l'acquisition et le traitement des données menant au

calibrage propre du système. L'utilisation de la méthode d'intersection spatiale pour

l'établissement d'une infrastructure géodésique de haute précision en plus du

géoréférencement des sphères de référence est un incontournable étant donné les

instruments et les outils présents au laboratoire. Le recours au scanner LiDAR terrestre

pour la modélisation de l'intérieur du laboratoire et la localisation de sphères permet


151

d'économiser beaucoup de temps sur l'acquisition des données. Bref, l'idée d'immobiliser

le SLM sur le banc de calibrage à des endroits précisément localisés par des distances

interférométriques et de faire des balayages de la scène pour former un nuage de points

ligne de scan par ligne de scan a permis d'exploiter le LiDAR mobile à l'intérieur même si

celui-ci est conçu pour des collectes de données à l’extérieur. La procédure décrite pour

l'acquisition et le traitement des données LiDAR mobiles est innovante. Elle permet en

plus d'éliminer le recours aux observations de positionnement GNSS pour la détermination

des bras de levier et des angles de visée, ce qui constitue une des raisons principales

pour laquelle une approche en laboratoire a été préconisée.

Le cadre mathématique développé pour cette approche de calibrage est rigoureux.

L'utilisation de l'équation complète de géoréférencement d'un point LiDAR a permis

d'intégrer les paramètres de calibrage pour les estimer avec une approche par moindres

carrés. Cette approche est flexible en ce sens qu'il est possible d'ajouter ou de soustraire

des paramètres de la solution. Il faut toutefois ne pas négliger l'impact de la corrélation

entre les paramètres à estimer. Étant donné que les angles de visée et les bras de levier

peuvent être assimilés à trois rotations et trois translations, il est probable que tout

paramètre additionnel soit plus ou moins corrélé avec ceux-ci. De plus, l'intégration de la

fidélité des observations pour former la matrice de variance et de covariance des

observations permet d'ajuster la contribution de l'erreur associée à chaque observation sur

les paramètres estimés.

L'approche de calibrage développée dans le cadre de cette maîtrise a été testée sur un

SLM avec lequel deux jeux de données collectés à près de six mois d'intervalle ont été

observés. Il a été montré que la méthode produit des résultats comparables pour les

angles de visée déterminés en direction avant lors de ces deux collectes. Il existe toutefois

certaines différences assez importantes entre les angles de visée déterminés en direction

avant et en direction arrière lors de la collecte du 22 décembre 2016. Comme l'inversion

du SLM sur le banc de calibrage n'a pas été faite lors de la collecte du 16 mai 2016, on ne

dispose pas d’une série de valeurs estimées pour les paramètres en direction arrière à

cette date. Cependant, il aurait été intéressant de vérifier si les paramètres estimés en

direction arrière le 22 décembre avaient été comparables à ceux qui auraient été estimés

le 16 mai. Si les valeurs pour ces paramètres avaient été semblables, cela aurait permis

de confirmer qu'il existe réellement une erreur non modélisée introduite par l'inversion du

SLM sur le banc de calibrage, le tout tel qu'avancé au Chapitre 7. Il aurait aussi été


152

intéressant de refaire quelques collectes de données supplémentaires de manière à

comparer les résultats et à pousser l'analyse encore plus loin. De plus, pour valider la

justesse des valeurs des bras de levier et des angles de visée déterminés en laboratoire,

une collecte de données à l'extérieur avec le MX2 fixé sur le toit du véhicule aurait pu être

envisagée. Il aurait été possible de vérifier la qualité des paramètres de calibrage en

analysant les écarts entre des surfaces planes localisées par des passages différents en

voiture à la manière de Rieger et al. (2010). Malheureusement, un manque de temps et de

disponibilité des équipements a empêché la réalisation de cueillettes de données

supplémentaires.

Malgré le fait que les résultats obtenus avec la nouvelle méthode de calibrage ne soient

pas satisfaisants à 100%, on peut conclure que les objectifs du présent travail de

recherche ont été atteints. Le but de ce travail était de mettre sur pied les bases d'une

nouvelle approche de calibrage in lab à partir des installations présentes au Laboratoire de

métrologie du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Toutes les

étapes de la procédure mise en place incluant la localisation d'objets par intersection

spatiale et par scanners LiDAR terrestre et mobile forment une base solide pour les

travaux futurs à être réalisés dans ce domaine. De plus, tous les programmes Matlab

développés dans le cadre de ce projet pourront être adaptés et réutilisés par d'autres

étudiants et chercheurs qui pourront poursuivre l'avancement de cet axe de recherche

dans le but d'améliorer les performances des SLM.

8.2. Recommandations pour des travaux futurs

Étant donné que le présent ouvrage consiste en un premier travail de recherche pour le

développement de nouvelles techniques de calibrage des SLM en laboratoire à l'Université

Laval, des recommandations sont à faire pour tous ceux qui voudraient poursuivre dans

cette voie. Tout au long de ce travail, plusieurs pistes de solution ont été soulevées pour

éliminer des difficultés rencontrées lors des étapes de collecte et de traitement de

données. L'élimination de ces éléments nuisibles peut certainement améliorer les

performances de cette approche de calibrage.

Un premier problème est survenu lors du géoréférencement des quatre sphères localisées

par le scanner LiDAR par rapport à leur localisation par intersection spatiale. Des écarts

de 2 à 3 millimètres, plus importants que l'erreur maximale tolérée de 1 millimètre pour le


153

géoréférencement des sphères, ont été constatés. Pour parvenir à améliorer la qualité de

la transformation, on doit chercher à diminuer l'incertitude sur les coordonnées des

sphères de référence. Améliorer la géométrie d'acquisition des sphères de référence en

positionnant les stations totales à des endroits stratégiquement déterminés permettrait de

minimiser les erreurs de fidélité et de justesse sur les coordonnées du centre des sphères.

Il faut éviter les configurations défavorables comme celle présentée à la Figure 3.20. De

plus, pour assurer que le centre de la sphère soit localisé plus précisément, la pointe de

jalon montrée à la Figure 3.17 devrait être remplacée par une pièce usinée sur mesure qui

serait parfaitement concentrique et dont la pointe à son extrémité aurait la même hauteur

que le centre de la sphère. Quant au scanner LiDAR terrestre, l'augmentation de la

densité du scan devrait permettre d'améliorer la qualité de l'assemblage entre les scans et

du géoréférencement sur les sphères de référence. Plusieurs tests seraient aussi à faire

quant à la position relative des scans par rapport aux sphères de référence, dont l'ajout de

scans supplémentaires ou l'utilisation d'un seul scan de très haute densité. Bref, les

manières de minimiser les erreurs sur les coordonnées des sphères de référence

nécessitent d'être approfondies.

Un autre aspect de l'amélioration de la technique de calibrage est l'élaboration d'un site

permanent de calibrage au sein du laboratoire. Pour y parvenir, certains éléments

devraient toujours être maintenus à leur position une fois qu'ils sont localisés précisément

dans le système de coordonnées de référence global. Parmi ces éléments, on retrouve la

pièce matérialisant l'origine du système de coordonnées montrée à la Figure 3.1. En plus

de cette pièce, des cibles permanentes comme des sphères, des damiers ou autres

éléments localisables précisément dans un nuage de points LiDAR pourraient être

réparties uniformément dans le laboratoire. Dans le but de vérifier la fidélité et la justesse

des coordonnées des cibles permanentes, la localisation à plusieurs reprises de ces

éléments en variant la position du scanner LiDAR devrait être faite pour comparer les

écarts sur le géoréférencement. Pour parvenir à implanter correctement ce site de

calibrage permanent, il faudrait que les écarts entre les sphères localisées par le scanner

LiDAR terrestre et les sphères théoriques localisées par intersection spatiale soient

toujours inférieurs à 1 millimètre. De plus, le calcul des constantes initiales et de l'erreur

d'alignement devrait être refait à quelques reprises en démontant le charriot mobile du rail

entre chaque prise de mesures. Si les différentes valeurs sont statistiquement

équivalentes, celles-ci pourraient toujours être réutilisées lors du calibrage d'un SLM de


154

même modèle. Un registre des constantes initiales et de l'erreur d'alignement en fonction

du SLM utilisé pourrait donc être mis sur pied. Bref, avec un registre et un site permanent

de calibrage, le recours aux relevés avec les stations totales ne serait plus nécessaire.

Lors de calibrages futurs, il resterait simplement à ajouter des sphères additionnelles dans

le laboratoire pour les géoréférencer avec le scanner LiDAR terrestre et d'effectuer la

collecte LiDAR mobile sur le banc de calibrage. Le temps total pour la collecte de données

en laboratoire serait facilement diminué de moitié. De plus, si plusieurs systèmes sont à

calibrer, seule l'étape de la collecte de données LiDAR mobiles sur le banc de calibrage

serait à faire pour chacun d'entre eux. Des économies substantielles de temps seraient

réalisées.

Une autre façon d'accélérer la procédure de calibrage serait d'automatiser tous les

traitements de données. Plusieurs programmes Matlab ont été développés à cette fin,

mais certaines manipulations doivent toujours être faites par l'utilisateur, dont la sélection

manuelle des points à la surface des sphères dans le logiciel Trident de Trimble. De

manière à éliminer le recours à un logiciel de visualisation de points LiDAR, qui est

totalement dépendant du fabricant du SLM, un algorithme d'extraction automatisée des

points formant une sphère devrait être développé. Cet algorithme devrait facilement

s'implanter dans un programme Matlab ou autre, étant donné que les coordonnées

approchées pour les sphères sont disponibles avec les relevés du LiDAR terrestre. Cet

algorithme pourrait aussi prendre en charge la modification des fichiers bruts des

observations du SLM contenant les données de navigation et du laser pour intégrer les

mesures de distance prises à l'interféromètre. De cette façon, le programme développé

serait compatible avec tous les types de SLM et le temps de traitement serait amplement

réduit. Le temps consacré au traitement des données est actuellement un frein pour

l'efficacité de la méthode de calibrage. Plus le traitement est rapide et plus il devient

possible de faire des collectes de données et d'obtenir des résultats rapidement. De ce

fait, plus de jeux de données seraient disponibles pour vérifier et comparer les différentes

solutions de calibrage obtenues. Il deviendrait donc possible de peaufiner la méthode de

calibrage et de déterminer la cause de la discordance entre les valeurs des angles de

visée obtenues en direction avant et en direction arrière lors de la collecte du 22

décembre. Une fois que toutes ces étapes seraient réalisées et que la procédure serait

mise au point, la prochaine étape qui pourrait être mise de l'avant serait la collecte de

données dynamique sur le banc de calibrage.


155

La collecte dynamique de données sur le banc de calibrage implique les mêmes étapes

préparatoires que la collecte statique actuelle. La différence majeure est qu'au lieu

d'immobiliser le SLM sur le banc de calibrage pour enregistrer des données pour chaque

ligne de scan, le SLM serait déplacé en continu sur le banc de calibrage et

l'enregistrement des données ne serait pas interrompu. La section de 12 mètres sur le

banc de calibrage pourrait être parcourue en une dizaine de secondes au lieu de 80 à 120

minutes comme il a été nécessaire lors de la dernière collecte du 22 décembre 2016. Des

allers-retours sur le banc de calibrage pourraient être faits, ce qui augmenterait

substantiellement le nombre de points disponibles pour le calibrage. Il serait aussi

intéressant d'analyser les observations angulaires de l'IMU lorsque soumis à un

mouvement comparativement aux observations angulaires de l'IMU qui était immobile lors

de chaque enregistrement pendant la dernière collecte. En favorisant cette méthode

dynamique d'acquisition de données, en privilégiant l'établissement d'un site de calibrage

permanent et en priorisant un traitement de données automatisé indépendant du type de

SLM utilisé, l'Université Laval pourrait se démarquer dans le domaine du calibrage des

systèmes LiDAR en laboratoire.

Pour parvenir à mettre au point une collecte de données dynamique sur le banc de

calibrage, il est nécessaire de synchroniser l'acquisition de données entre le SLM et

l'interféromètre. Le laser et l'IMU sont synchronisés avec le PPS provenant du signal

GNSS pour permettre que les observations soient observées selon la même référence

temporelle, soit l'horloge interne du récepteur elle-même synchronisée avec les horloges

atomiques à bord des satellites. Il faudrait donc déterminer un moyen de synchroniser

l'acquisition de données par l'interféromètre avec ce même PPS. Plusieurs tests seraient à

faire pour déterminer si des traces de latence résiduelle sont présentes dans les jeux de

données après la synchronisation des systèmes. Ce paramètre de latence pourrait être

ajouté au modèle mathématique du calibrage et être déterminé avec les bras de levier et

les angles de visée. Bref, il reste beaucoup de travail à faire pour mettre sur pied une

installation complète et permanente de calibrage des SLM au Laboratoire de métrologie

du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Le présent projet de

recherche est toutefois un premier pas dans la bonne direction et permet de tracer le

chemin pour les travaux futurs qui seront réalisés dans cet axe de recherche.

156

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159

Annexe A : Fonctions Matlab permettant de traiter

les données recueillies par les stations totales et

l'interféromètre

A.1. F_BacksideCorrection

Cette fonction permet de calculer la correction à a ppliquer aux directions horizontales en visée directe et en visé e renversée de manière à rétablir la visée arrière à 90 ou 270 degrés. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée observations : matrice des observations brutes de la station totale Paramètres de sortie corr_d : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée directe corr_r : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée renversée function [corr_d, corr_r] = F_BacksideCorrection(ob servations)

A.2. F_AngleCalculator

Cette fonction permet de calculer la moyenne des di rections horizontales et verticales de chaque station en plus de calculer l'angle intérieur du triangle formé par la visée arrière, la station d'o bservation et le point visé. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée observations : matrice des observations brutes de la station totale corr_d : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée directe corr_r : correction à appliquer aux directions hor izontales en visée renversée Paramètres de sortie dir_h : directions horizontales moyennes dir_v : directions verticales moyennes angle_h : angles horizontaux function [dir_h, dir_v, angle_h] = F_AngleCalculato r(observations, corr_d, corr_r)

160

A.3. F_CoordCalculator

Cette fonction permet de calculer la distance entre la station et un point visé à partir des angles intérieurs et de la distance entre les 2 stations en utilisant la loi des sinus. Par la suit e, cette fonction permet de calculer les coordonnées en 3 dimensions d'un point en disposant de la distance, de la direction horizonta le et de la direction verticale entre la station et ce point. La coordonn ée Z est calculée à partir des 2 stations, ce qui permet de calculer un e moyenne et une approximation de la différence de hauteur entre les 2 stations. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée angle_h_st1 : angles horizontaux de la station 1 angle_h_st2 : angles horizontaux de la station 2 dir_v_st1 : directions verticales de la station 1 dir_v_st2 : directions verticales de la station 2 dz_st2 : différence d'altitude entre la station 1 et 2 dist : distance planimétrique entre les 2 stations Paramètres de sortie x, y : coordonnées 2d d'un point z_st1 : z d'un point mesuré à partir de la station 1 z_st2 : z d'un point mesuré à partir de la station 2 z_moy : z moyen d'un point function [x, y, z_st1, z_st2, z_moy] = F_CoordCalcu lator(angle_h_st1, angle_h_st2, dir_v_st1, dir_v_st2, dz_st2, distance )

A.4. F_ScaleDist

Cette fonction permet de calculer le facteur échell e à appliquer à la distance mesurée à la chaîne entre les deux station s à partir de la longueur mesurée et théorique des mires graduées. U n facteur échelle moyen est ensuite appliqué à la distance entre les 2 stations. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_left, y_left, z_left_moy : coordonnées de l'ext rémité gauche des mires étalonnées x_right, y_right, z_right_moy : coordonnées de l' extrémité droite des mires étalonnées dist_ch : distance mesurée à la chaîne entre les deux stations dist_in_hor : distance entre les deux extrémités d es mires mesurées à l'interféromètre Paramètres de sortie dist_corr_mean : distance entre les 2 stations cor rigée par le facteur échelle function [dist_corr_mean, scale, d_mes] = F_ScaleDi st(x_left, y_left, z_left_moy, x_right, y_right, z_right_moy, dist_ch, dist_in_hor)

161

A.5. F_Alignment

Cette fonction permet de calculer une ligne moyenne à partir de plusieurs points et d'un point dont les coordonnées sont fixé es. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_ori, y_ori : coordonnées de l'origine (point fix e) x_dir, y_dir : coordonnées de points le long de la ligne moyenne à établir Paramètres de sortie mean_direction : direction de la ligne moyenne function [mean_direction] = F_Alignment(x_ori, y_or i, x_dir, y_dir)

A.6. F_PointToLine

Cette fonction permet de calculer la distance ortho gonale entre une ligne et un point. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_ori, y_ori, z_ori : coordonnées de l'origine (po int fixe) direction : direction de la ligne x_p, y_p, z_p : coordonnées d'un point le long de la ligne moyenne Paramètres de sortie d_ortho : distance orthogonale entre la ligne et l e point delta_z : écart en z par rapport au banc de calibr age function [d_ortho, delta_z] = F_PointToLine(x_ori, y_ori, z_ori, direction, x_p, y_p, z_p)

A.7. F_RotationTranslation

Cette fonction permet d'appliquer une translation e t une rotation à un jeu de coordonnées à partir des paramètres de trans lation et de l'angle de rotation pour passer dans le système de coordonn ées global. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_local, y_local, z_local : coordonnées des points dans le système local T : vecteur de translation alpha : angle de rotation

162

Paramètres de sortie x_global, y_global, z_global : coordonnées des poi nts dans le système global function [x_global, y_global, z_global] = F_Rotatio nTranslation(x_local, y_local, z_local, T, alpha)

A.8. F_det_param6

Cette fonction permet de déterminer les 6 paramètre s de la transformation par moindres carrés entre 2 jeux de coordonnées (3 rotations et 3 translations). Cette fonction permet aussi d'ajoute r des contraintes sur les paramètres de manière à les fixer. La transform ation doit permettre d'amener les coordonnées théoriques des trous de fi xation du MX2 sur les coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2013) Paramètres d'entrée xyz1 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 xyz2 : coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2 Paramètres de sortie param : vecteur des 6 paramètres recherchés (Tx, T y, Tz, Ex, Ey, Ez) Tx,Ty et Tz : paramètres de translation Ex, Ey et Ez : paramètres de rotation function [param] = F_det_param6(xyz1, xyz2)

A.9. F_apply_param6

Cette fonction permet d'appliquer une transformatio n à 6 paramètres à un jeu de coordonnées (3 rotations et 3 translations). La transformation permet d'amener les coordonnées théoriques des trou s de fixation du MX2 sur les coordonnées mesurées des trous de fixation du MX2. Auteur : Michael Landry Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2013) Paramètres d'entrée param : vecteur des 6 paramètres de la transformat ion (Tx, Ty, Tz, Ex, Ey, Ez) Tx,Ty et Tz : paramètres de translation Ex, Ey et Ez : paramètres de rotation xyz1 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 Paramètres de sortie xyz2 : coordonnées théoriques des trous de fixatio n du MX2 amenées sur les coordonnées mesurées des trous de fixati on du MX2 function [xyz2] = F_apply_param6(param, xyz1)

163

A.10. F_UTMmerid

Cette fonction permet de calculer le méridien centr al d'une zone de projection UTM en fonction de son numéro. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie lon_mc : longitude du méridien central corresponda nt function [lon_mc] = F_UTMmerid(zone)

A.11. F_UTMproj

Cette fonction permet de déterminer les coordonnées de projection UTM d'un point à partir de sa zone, de sa latitude et d e sa longitude. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée a : demi-grand axe de l’ellipsoïde e2 : excentricité au carré de l’ellipsoïde lat, lon : latitude et longitude zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie xp,yp = coordonnées planimétriques UTM function [xp, yp] = F_UTMproj(a, e2, zone, lat, lon )

A.12. F_UTMproj_inv

Cette fonction permet de calculer la longitude et l a latitude d'un point en fonction de ses coordonnées et de sa zone UTM. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Dany Gaboury et Michael Landry (2012) Paramètre d'entrée a : demi-grand axe de l’ellipsoïde e2 : excentricité au carré de l’ellipsoïde xp, yp : coordonnées planimétriques UTM zone : numéro de la zone UTM Paramètres de sortie lat, lon – latitude et longitude

164

function [lat, lon] = F_UTMproj_inv(a, e2, zone, xp , yp)

A.13. F_VarCovMatrix

Cette fonction permet de former la matrice de varia nce et de covariance des observations en fonction du nombre d'observatio ns. Les observations de la station 1 et de la station 2 sont utilisées. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètre d'entrée nb_obs_1 : nombre d'observations de la station 1 nb_obs_2 : nombre d'observations de la station 2 prec_dir_h_st1 : écart-type d'une mesure de direct ion horizontale (station 1) prec_dir_v_st1 : écart-type d'une mesure de direct ion verticale (station 1) prec_dir_h_st2 : écart-type d'une mesure de direct ion horizontale (station 2) prec_dir_v_st2 : écart-type d'une mesure de direct ion verticale (station 2) prec_dist_ch : écart-type de la mesure de distance entre les stations function [sigma_xx] = F_VarCovMatrix(nb_obs_1, nb_o bs_2, prec_dir_h_st1, prec_dir_v_st1, prec_dir_h_st2, prec_dir_v_st2, pre c_dist_ch)

A.14. F_Local2GlobalUTM

Cette fonction permet d'appliquer une transformatio n à 5 paramètres à un jeu de coordonnées (rotation en z, translation en x , en y et en z et facteur échelle). Une rotation dans le plan et une translation sont tout d'abord appliquées en fonction des coordonnées du p oint d'origine (0,0,0) et de l'orientation du banc de calibrage (0°). Une deuxième translation est ensuite appliquée en fonction des coordonnées U TM du point d'origine. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée x_local, y_local, z_local : coordonnées des points dans le système local T : vecteur de translation alpha : angle de rotation coord_ori_utm : coordonnées du point d'origine en UTM scale : facteur échelle de projection UTM Paramètres de sortie x_global, y_global, z_global : coordonnées des poin ts dans le système global function [x_global, y_global, z_global] = F_Local2G lobalUTM(x_local, y_local, z_local, T, alpha, coord_ori_utm)

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Annexe B : Fonctions Matlab permettant

d'éliminer les points erratiques

B.1. F_SphereCenterExtractor

Cette fonction permet de calculer le centre d'une s phère et son écart-type à partir d'un nuage de points. La fonction éli mine les points dont les résiduelles sont les plus importantes en foncti on de l'écart-type. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée SphereData : matrice contenant les coordonnées des nuages de points des sphères Paramètres de sortie : SphereHits : nombre de points sur la sphère Center : centre déterminé de la sphère CenterStdDev : écart-type du centre déterminé de l a sphère CleanDataIndex : index des points à conserver ResidualsNearClean : vecteur des résiduelles function [SphereHits, Center, CenterStdDev, CleanDa taIndex, ResidualsNearClean] = F_SphereCenterExtractor(Spher eData)

B.2. F_SphereFitFixedRadius

Cette fonction permet de calculer le centre d'une s phère en imposant son rayon théorique. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Levente Hunyadi (2010) Paramètres d'entrée xyz : matrice des coordonnées des points sur la sp hère r : rayon connu de la sphère Paramètres de sortie : center : coordonnées du centre de la sphère residuals : vecteur des résiduelles function [center,residuals] = SphereFitFixedRadius( xyz,r)

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Annexe C : Fonctions Matlab permettant

d'appliquer la nouvelle méthode de calibrage

C.1. F_Calibration

Cette fonction permet de former les matrices des dé rivés partielles, le vecteur de fermeture et la matrice de variance et d e covariance des observations de manière à estimer les paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée FAROSphereCenter : coordonnées 3D du centre des sp hères de référence mesurées par le scanner LiDAR terrestre FAROSphereCenterStdDev : écart-type de l'estimatio n de la position du centre des sphères mesurées par le scanner LiDA R terrestre FAROSphereRadius : rayon théorique des sphères de référence mesurées par le FARO param0 : vecteur des valeurs approchées pour les p aramètres de calibrage Paramètres de sortie param : vecteur contenant les valeurs estimées des 7 paramètres de calibrage dans l'ordre suivant (roll, pitch, headi ng, dx, dy, dz et beamdistcorr) param_var : vecteur contenant l'écart-type estimé des 7 paramètres de calibrage dans l'ordre suivant (roll, pitch, he ading, dx, dy, dz et beamdistcorr) s02 : facteur de variance a posteriori function [param, param_var, s02] = F_Calibration(FA ROSphereCenter, FAROSphereCenterStd, FAROSphereRadius, param0)

C.2. F_ComputeXYZPoint_1Line

Cette fonction permet de calculer les coordonnées d 'un point LiDAR mobile à partir des observations de tous les capteurs et d es paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Paramètres d'entrée LaserID : numéro d'identifiant du laser ANGLE1 et ANGLE2 : angles mesurés par le laser BEAMDIST : distances mesurées par le laser ORI_X, ORI_Y et ORI_Z : coordonnées du centre de l 'IMU IMU_H, IMU_R et IMU_P : angles mesurés par l'IMU ( heading, roll et pitch)

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Paramètres de sortie X_Terrain, Y_Terrain et Z_Terrain : Coordonnées 3D d'un point function [X_Terrain, Y_Terrain, Z_Terrain] = F_ComputeXYZPoint_1Line(LaserID,ANGLE1,ANGLE2,BEAMD IST,ORI_X,ORI_Y,ORI_Z,IMU_H,IMU_R,IMU_P,CoM)

C.3. F_RecomputeXYZ

Cette fonction chapeaute la fonction F_ComputeXYZPo int_1Line et permet de calculer les coordonnées de tous les points LiDAR m obiles sur une ligne de scan à partir des observations de tous les capte urs et des paramètres de calibrage. Auteur : Michael Landry (2016) Fonction adaptée de Christian Larouche Paramètres d'entrée pathstr : chemin complet des fichiers contenant le s points d'une sphère namelist : liste des noms des fichiers contenant l es points d'une sphère ext : extension du fichier MaxHitSize : nombre maximal de points sur une lign e de scan param : vecteur contenant les paramètres de calibr age Paramètres de sortie XYZ_Terrain : coordonnées 3D de tous les points su r une ligne de scan function [XYZ_Terrain] s= F_RecomputeXYZ(pathstr, n amelist, ext, MaxHitSize, param)

Documents

Développement d'une nouvelle méthode de calibrage des