Transformée en ondelettes discrète DWT

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1. Généralités

La transformée en ondelettes discrète DWT est un algorithme

rapide. Le mécanisme de décomposition DWT consiste à séparer

par filtrage un signal en deux composantes : approximation et

détails. L’approximation qui renseigne sur l’allure générale du

signal caractérise le contenu basses fréquences (grandes échelles)

et les détails qui renseignent sur les nuances caractérisent le

contenu hautes fréquences (petites échelles).

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La procédure de décomposition est comme suit : Le signal initial

considéré comme l’approximation du niveau 0 est convolué par

la réponse impulsionnelle des filtres passe bas et passe haut. Les

coefficients d’approximation et de détail du niveau 1 sont

obtenus par sous échantillonnage (changement d’échelle). La

décomposition pour un niveau supérieur (approximation et

détail) est obtenue en réitérant la même procédure de filtrage et

de sous échantillonnage.

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Bandes passantes

La bande passante des filtres lors de la décomposition d’un

signal contenant par exemple des fréquences entre 0 et 1000Hz

est comme suit

Bandes passantes des filtres passe bas et passe haut

= 0 0 1000A =

1 0 500A = 2 0 250A =

3 0 125A

= 1 500 1000D =

2 250 500D = 3 125 250D

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2. Analyse DWT

La DWT permet de décomposer un signal (résolution ou level

j=0) en une approximation et un détail à la résolution j=1. La

décomposition nécessite une fonction génératrice appelée

fonction d’échelle φ(x) qui génère une fonction ondelette ψ(x).

La fonction échelle détermine l’approximation alors que la

fonction ondelette détermine les détails.

2.1. Concept du produit scalaire

Les coefficients d’approximation à la résolution j=1 sont définis

par

[ ] =< φ >1

1,, na n f − −φ = φ −1/ 2 1

1, ( ) 2 (2 )n x x n

Le signal approximation à la résolution j=1 est défini par

[ ]= φ∑ 1

1 1,. nn

A f a n

Les coefficients de détail à la résolution j=1 sont définis par

[ ] =< ψ >1

1,, nd n f − −ψ = ψ −1/ 2 1

1, ( ) 2 (2 )n x x n

Le signal détail à la résolution j=1 est défini par = ψ∑ 1

1 1,[ ]. nn

D f d n

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2.2. Concept de filtrage

La fonction échelle est associée à réponse impulsionnelle du filtre

passe bas alors que la fonction ondelette est associée à réponse

impulsionnelle du filtre passe haut. La fonction échelle (fonction

génératrice) détermine les coefficients du filtre passe bas à partir

desquels on détermine les coefficients du filtre passe haut.

Les coefficients filtre passe bas sont donnés par =< φ φ − >[ ] ( ), (2 )h n x x n

La fonction échelle peut être écrite sous la forme φ = φ −∑( ) 2 [ ] (2 )

n

x h n x n

Les coefficients filtre passe haut sont donnés par

= − −[ ] ( 1) [1 ]ng n h n

Le filtre passe haut est conjugué miroir (miroir en quadrature)

du filtre passe bas. La conjugaison est représentée par le terme (-

1)n et l’effet miroir est représenté par terme (-n).

La fonction ondelette peut être écrite sous la forme ψ = φ −∑( ) 2 [ ] (2 )

n

x g n x n

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2.3. Exemples

Fonction génératrice Haar

Fonction échelle Haar

Présentation de la fonction Haar φ = ≤ ≤( ) 1 0 1x si x

Coefficients filtre passe bas

=[0] 1/ 2h =[1] 1/ 2h

Coefficients filtre passe haut

=[0] 1/ 2g = −[1] 1/ 2g

Fonction ondelette Haar

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Fonction génératrice Daubechies

Coefficients filtre passe bas

= +[0] (1 3) / 4 2h = +[1] (3 3) / 4 2h

= −[2] (3 3) / 4 2h = −[3] (1 3) / 4 2h

Réponse impulsionnelle du filtre passe bas, ondelette Daubechies

Coefficients filtre passe haut =[0] [3]g h [ ]= −[1] 2g h [ ] =2 [1]g h [ ] = −3 [0]g h

= −[0] (1 3) / 4 2g = − +[1] ( 3 3) / 4 2g

[ ] = +2 (3 3) / 4 2g [ ] = − −3 ( 1 3) / 4 2g

Réponse impulsionnelle du filtre passe haut, ondelette Daubechies

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3. Algorithme de Mallat

3.1. Analyse DWT

Les coefficients d’approximation du signal à la résolution j=1,

sont obtenus par la convolution du signal initial (approximation

résolution j=0) par la séquence retournée du filtre passe bas h[n]

suivi d’un sous échantillonnage (décimation) par un facteur 2.

= ∗ ↓%1 0[ ] ( [ ] [ ]) 2a n a n h n

= −%[ ] [ ]h n h n

Les coefficients de détails à la résolution j=1, sont obtenus par la

convolution du signal initial par la séquence retournée du filtre

passe haut g[n] suivi d’un sous échantillonnage.

= ∗ ↓%1 0[ ] ( [ ] [ ]) 2d n a n g n

= −%[ ] [ ]g n g n

3.2. Synthèse DWT

La procédure de synthèse est l’inverse de la procédure d’analyse.

Les filtres d'analyse et de synthèse sont identiques. Lors de la

reconstruction (synthèse) on détermine les approximations des

niveaux inférieurs jusqu’au signal original niveau 0.

L’approximation d’un niveau j-1 est obtenue en additionnant

après avoir convolué par les filtres passe bas et passe haut les

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coefficients d’approximation et de détail au niveau j sur-

échantillonnés. − = ↑ ∗ + ↑ ∗1[ ] ( [ ] 2) [ ] ( [ ] 2) [ ]j j ja n a n h n d n g n

− = ↑ − + ↑ −∑ ∑1 ( 2). [ ] ( 2). [ ]j j jn k k

k k

a a h n k d g n k

La reconstruction finale du signal est

= ↑ ∗ + ↑ ∗0 1 1[ ] ( [ ] 2) [ ] ( [ ] 2) [ ]a n a n h n d n g n

= ↑ − + ↑ −∑ ∑0 1 1( 2). [ ] ( 2). [ ]n k kk k

a a h n k d g n k

= 0[ ]f a n