ECE1 - normale supmainguy/enseignement/ECE1/polymaths.pdfiv Table des matières 4.2 Prolongementparcontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.3 Continuitésurunintervalle

2019-2020

Cours de mathématiques

ECE1

T. Mainguy

Table des matières

I Introduction 1

1 Le language des mathématiques 31 Énoncés, symboles et ensembles de bases . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Symboles courants et énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Les ensembles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Symboles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fonctions et Applications 91 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Opérations sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Applications particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Injections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Fonctions usuelles et polynômes 151 Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1 Fonction racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Deux dernières fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i

ii Table des matières

4.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Trinômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1 Factorisation des trinômes du second degré et résolution des

systèmes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Signe d’un trinôme du second degré, résolution d’inéquations

du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.4 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Fonctions x 7→ xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Récurrence, somme et produits 291 Le principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Exemple de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Formules de calcul élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II Suites 37

5 Introduction aux suites 391 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2 Bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 43

6 Convergence des suites 451 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Comportement asymptotique des suites usuelles . . . . . . . . . . . 472.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Table des matières iii

3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III Probabilités finies 51

7 Dénombrement 531 Cardinal et partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1 p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Applications diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Probabilités sur un univers fini 591 Les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.1 Le language des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.2 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3 Correspondance entre le langage des ensembles et le langage

des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 Probabilités dans un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2 Formules du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3 Exemple fondamental : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . 612.4 Probabilités non uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1 Indépendance deux à deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IV Limites et continuité 67

9 Limites et continuités de fonctions 691 Intervalles et voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3 Méthode pour lever les formes indéterminées . . . . . . . . . 722.4 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Asymptotes et branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

iv Table des matières

4.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 Théorème des Valeurs Intermédiaires . . . . . . . . . . . . . 77

V Matrices 79

10 Systèmes linéaires 811 Définitions et premières études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.2 Systèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2 Opérations sur les lignes d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . 822.1 Opérations élémentaires sur les lignes . . . . . . . . . . . . . 822.2 Résolution par méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . 832.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 Matrices 851 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 882.2 Puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Représentation matricielle d’un système, calcul de l’inverse . 903.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4 Polynôme annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

VI Dérivabilité et intégration 93

12 Dérivabilité 951 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.2 Développement limité à l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . 97

2 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2 Dérivées usuelles et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.3 Dérivation et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4 Dérivation et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.5 Inégalités des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 Convexité, concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Points d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Table des matières v

13 Primitives et intégration sur un segment 1031 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2 Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.2 Fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 104

3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1 Intégration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VII Probabilités sur un univers dénombrable, variablesaléatoires 111

14 Introduction aux séries 1131 Définitions et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.3 Série des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.4 Opérations sur les séries convergentes . . . . . . . . . . . . . 114

2 Séries usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.1 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.2 La série harmonique alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.4 Série exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

15 Probabilités sur un ensemble dénombrable 1171 Tribus et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.2 Rappels d’opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . 119

2 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.1 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.2 Quasi-certitude, quasi-impossibilité . . . . . . . . . . . . . . 1202.3 Systèmes complets d’événements . . . . . . . . . . . . . . . 1202.4 Théorèmes de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . 120

3 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1 Indépendance deux à deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

16 Variables aléatoires discrètes 1231 Variables aléatoires, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

vi Table des matières

2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.2 Loi d’une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3 Lien avec la fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . 1252.4 Transformation d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3 Moments d’une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.3 Moments d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4 Moments et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

17 Lois usuelles de variables aléatoires discrètes 1291 Lois usuelles finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2 Lois usuelles discrètes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.1 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

VIII Espaces vectoriels et applications linéaires 135

18 Espaces vectoriels 1371 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.1 Généralités théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381.4 Familles libres, liées, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.2 Image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.3 Noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.4 Applications linéaires bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 142

IX Introduction aux variables aléatoires continues 143

19 Introduction aux intégrales généralisées 1451 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2 Calcul d’intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.1 Méthodes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Table des matières vii

3 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.1 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.2 Intégrales exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

20 Variables aléatoires à densités 1491 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501.3 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2 Lois usuelles à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Première partie

Introduction

1

Chapitre 1

Le language des mathématiques

1 Énoncés, symboles et ensembles de bases

1.1 Symboles courants et énoncésLes mathématiques peuvent être vues comme une nouvelle “langue vivante”,

avec son vocabulaire, ses règles grammaticales, etc. Cette “langue” a été construitepour éviter toute ambiguïté, et faciliter les raisonnements abstraits, mais il est pos-sible de tirer des parallèles entre le langage mathématique et les langues naturelles.Définition 1.1

Les “phrases” mathématiques sont les énoncés, des affirmations qui peuventêtre soit vraies, soit fausses. Ils sont composés de divers symboles mathéma-tiques (“mots”), dont l’agencement est régit par des règles de syntaxe particu-lières :— Des symboles de constantes (≈ noms propres), (R, e, π, +∞, ...), subdi-

visés en plusieurs catégories (ensembles, nombres, opérateurs, etc.).— Des variables (≈ pronoms) (x, a, etc.) qui servent à référencer des objets

particuliers.— Des symboles de relations (≈ verbes), comme 6, >, ∈, =, etc., qui relient

un ou plusieurs objets de catégories précises pour en faire un énoncé.— Des connecteurs logiques entre formules (≈ conjonctions de coordina-

tions), qui relient deux énoncés pour en faire un nouveau :et ou implique est équivalent à non∧ ∨ =⇒ ⇐⇒ ¬

— Deux quantificateurs, qui introduisent (“lient”) les variables :pour tout il existe∀ ∃

Toute variable doit être introduite, soit par un de ces quantificateurs,soit par une phrase préliminaire, comme « Soit n un entier naturel », ou« Posons f la fonction x 7→ x2 ».

Ces énoncés sont ensuite utilisés dans des raisonnements, qui consistent en unesuccession d’énoncés reliés par des liens logiques.

3

4 Chapitre 1. Le language des mathématiques

Remarque. Il est important de bien faire la différence entre l’équivalence ⇐⇒ ,l’implication =⇒ , et le mot “donc”. Par exemple, ∀x, y ∈ R (x = y) ⇐⇒ (x2 =y2) est un énoncé faux, alors que ∀x, y ∈ R (x = y) =⇒ (x2 = y2) est vrai.Enfin, le raisonnement « pour tous réels x et y, x = y donc x2 = y2 » n’est pas unraisonnement correct.

En revanche, l’affirmation « pour tous réels x et y, si x = y alors x2 = y2 » estcorrecte, et dit exactement la même chose que l’affirmation de l’énoncé précédent« ∀x, y ∈ R (x = y) =⇒ (x2 = y2) (est vrai) ∗ ».Définition 1.2

Si P est une propriété (càd que P (x) est un énoncé pour tout objet x), l’énoncé(∃x ∈ E P (x)

)∧(∀x ∈ E ∀x′ ∈ E

((P (x) ∧ P (x′)

)=⇒ x = x′

))

signifie qu’il existe un unique élément de E qui vérifie P . Il est noté

∃!x ∈ E P (x).

1.2 Les ensembles de baseDéfinition 1.3 (ensembles numériques)

Les nombres existants en mathématiques sont regroupés en une hiérarchied’ensembles, dont :— l’ensemble N des entiers naturels, 0, 1, 2, 3, 4, . . .,— l’ensemble Z des entiers relatifs, 0, 1, −1, 2, −2, . . .,— l’ensemble Q des entiers rationnels, ou fractions,— l’ensemble R des tous les réels.

Ces ensembles peuvent être modifiés par des signes divers, comme par exempleN∗ désignant l’ensemble des entiers naturels non nuls, ou R+ l’ensemble des réelspositifs ou nuls. On définit aussi les intervalles réels et entiers :Définition 1.4

— Si a, b sont deux réels, avec a < b,]a, b[ = {x ∈ R, a < x < b},− ]−∞, b[ = {x ∈ R, x < b},−

]a, b] = {x ∈ R, a < x 6 b},− ]a,+∞[ = {x ∈ R, a < x},−

[a, b] = {x ∈ R, a 6 x 6 b},− ]−∞, b] = {x ∈ R, x 6 b},−

[a, b[ = {x ∈ R, a 6 x < b},− [a,+∞[ = {x ∈ R, a 6 x},−— Si a, b sont deux entiers, avec a < b, Ja, bK = {n ∈ N, a 6 n 6 b}.

∗. Par convention, tout énoncé écrit dans un exposé mathématique est vrai. Il n’est pasnécessaire de le préciser !

1. Énoncés, symboles et ensembles de bases 5

1.3 Raisonnements mathématiquesDéfinition 1.5

Un raisonnement (ou démonstration) mathématique est une succession d’énon-cés reliés par des liens logiques valides, partant d’énoncés vrais (“prémisses”)et aboutissant à un énoncé (“conclusion”), qui doit, de part la validité du rai-sonnement, être lui aussi vrai. Les énoncés sont en général écrits au moyendu formalisme mathématique, mais peuvent aussi être (au moins en partie)paraphrasés en langue naturelle.

Par exemple, le raisonnement suivant constitue une démonstration de l’énoncé∀x ∈ N ∃y ∈ N x < y :Démonstration. Soit x ∈ N.

Puisque 0 < 1,on a donc x+ 0 < x+ 1 ∗,ce qui revient, en posant y = x+ 1, à x < y.De plus, comme la somme de deux entiers est encore un entier, y = x+ 1 ∈ N.On a donc bien montré que, quelque soit l’entier naturel x, il existe un entier

naturel y (par exemple x+ 1) tel que x < y :L’énoncé

∀x ∈ N ∃y ∈ N x < y

« Pour tout entier naturel, il en existe un plus grand » est donc vrai.D’autres modes de raisonnements sont possibles. Le raisonnement précédent

est un raisonnement par inférence. Un autre mode de raisonnement, par exemple,est le raisonnement par équivalence, où l’on montre que deux énoncés (dont lavéracité n’est pas forcément établie) sont équivalents, c’est-à-dire qu’ils auront lamême valeur logique : si l’un est vrai, l’autre aussi, et réciproquement.

Le raisonnement suivant constitue une preuve (par équivalence, évidemment)que ∀x ∈ R (x3 + x > 0) ⇐⇒ (x > 0) :Démonstration. Soit x ∈ R. Les énoncés suivants sont équivalents :

x3 + x > 0 ⇐⇒ x(x2 + 1) > 0 (puisque x3 + x = x(x2 + 1))⇐⇒ x > 0 (puisque x2 + 1 > 0).

Remarque. On peut souvent être tenté d’utiliser un raisonnement par équivalencepour montrer des résultats où une démonstration par inférence suffit. Par exemple,le raisonnement précédent constitue aussi une preuve que ∀x ∈ R+ x3 + x > 0(puisque le dernier énoncé, x > 0, est vrai, le premier doit nécessairement l’êtreaussi).

Mais une preuve directe est souvent plus simple : si x ∈ R+, x3 et x sontpositifs, donc leur somme aussi... et il n’est aucunement nécessaire de montrer deplus que le résultat est faux pour d’autres valeurs de x (ce qui est inclut dansl’équivalence).

∗. conséquence de la propriété de l’addition : ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀x ∈ R (a < b) =⇒ (a + x <b + x)


Les raisonnements par équivalence sont bien plus complexes que les raisonne-ments par inférence, puisqu’il s’agit en quelque sorte de deux raisonnements enun (un qui “descend”, et un qui “remonte”). Il importera bien de les utiliser avecparcimonie, et à bon escient.

Un autre exemple de raisonnement est le raisonnement par l’absurde, commeillustré dans cette démonstration que l’énoncé ∀x ∈ N, ∃y ∈ N, y < x est faux :Démonstration. Prenons l’entier naturel x = 0.

Supposons qu’il existe un entier naturel y tel que y < x.On a donc que y < 0. Or y est un entier naturel, donc y > 0.Ces deux conclusions sont incompatibles, il y a donc une partie du raisonnement

fausse. Ce ne peut être que la supposition qu’il existe un entier naturel y tel quey < x, qui est donc fausse.

Nous avons donc trouvé un entier pour lequel il n’existe pas d’entiers stricte-ment inférieurs, ce qui contredit l’énoncé ∀x ∈ N,∃y ∈ N, y < x.

En revanche, nous avons démontré le contraire de cet énoncé, à savoir

∃x ∈ N,∀y ∈ N, y > x.

Remarques.— Un raisonnement mathématique ne doit affirmer que des énoncés vrais et

justifiés comme tels, (car évidents ou conséquences des énoncés précédents).Les énoncés dont la véracité est inconnue doivent être introduits comme tels(en les supposant, comme dans le cas précédent par exemple), et ce unique-ment dans des types de raisonnements particulier, comme le raisonnementpar l’absurde.

— Un raisonnement par équivalence, même si l’on ne connaît par la véracité desénoncés impliqués, respecte toujours cette règle : dans l’exemple précédent,ce qui est affirmé comme vrai n’est pas l’énoncé x3+x > 0, mais l’équivalencex3 + x > 0 ⇐⇒ x(x2 + 1) > 0 (qui est aussi un énoncé, et qui est vraie etjustifiée).

Exercice 1.1.Parmis ces énoncés, lesquels sont vrais, lesquels sont faux, et pourquoi ?

1. ∀x ∈ Z,∃y ∈ Z, y < x,2. ∀x ∈ Z,∀y ∈ Z,∃z ∈ Z, x < z < y,3. ∀x ∈ R,∀y ∈ R,∃z ∈ R, x < z < y,4. ∃x ∈ Q, x2 = 2, ∗

5. ∃x ∈ R, x2 = 2, †

6. ∀x ∈ R, (∃y ∈ R, x = y2) =⇒ (x > 0).

∗. Cet énoncé est faux, mais saurez-vous trouver pourquoi ? Nous en ferons une preuve enclasse !

†. Celui-ci est vrai, en revanche, et vous devriez pouvoir le démontrer d’ici la fin de l’année !

2. Ensembles 7

2 Ensembles

2.1 Symboles particuliersDéfinition 2.1

Soit E un ensemble, et a un objet.— a ∈ E signifie que « a est un élément de E », ou « a appartient à E ».— a /∈ E signifie que « a n’appartient pas à E ». C’est la négation de a ∈ E.

Soit F un second ensemble. On dit que « F est inclu dans E », noté F ⊂ E,lorsque tout élément de F est aussi un élément de E. On dit aussi que F estune partie, ou un sous-ensemble, de E.

Remarque. Pour tous ensembles E et F , on a l’équivalence

(F ⊂ E et E ⊂ F ) ⇐⇒ E = F.

Définition 2.2On note ∅ l’ensemble vide, l’unique ensemble qui ne contient aucun élément.

Si x1, x2, . . . , xn sont des objets, on note {x1, x2, . . . , xn} l’ensemble forméd’exactement ces éléments.

Soit E un ensemble, et P une propriété définie sur E. On note {x ∈ E,P (x)}le sous-ensemble des éléments de E qui vérifient la propriété P .

Remarques.— Pour tout ensemble E, ∅ ⊂ E,— on a ∅ = {},— si x ∈ E, alors {x} ⊂ E.

Exercice 1.2.Soit E = {x ∈ R, ∃q ∈ N∗, qx ∈ Z}. Montrer que E = Q :

1. Montrer que E ⊂ Q.2. Montrer que Q ⊂ E.3. Conclure.

2.2 Opérations sur les ensemblesSoit E un ensemble.

Définition 2.3 (réunions, intersections, complémentaires d’ensembles)Soient A et B deux parties de E. On note— A ∪B = {x ∈ E, x ∈ A ou x ∈ B} leur réunion,— A ∩B = {x ∈ E, x ∈ A et x ∈ B} leur intersection,— A \B = {x ∈ E, x ∈ A et x /∈ B} l’ensemble « A privé de B »,— A = E \ A le complémentaire de A (aussi noté {EA).

Si A ∩B = ∅, on dit que A et B sont disjoints.


Remarque. On généralise aisément la réunion et l’intersection à une collectiond’ensembles A1, A2, . . . , An, et on note

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =n⋃i=1

Ai et A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An =n⋂i=1

Ai.

Cette notation s’étend même à une collection quelconque d’ensembles : si I estune collection d’indices, et si pour tout i ∈ I, Ai est un ensemble, on note leurréunion

⋃i∈IAi et leur intersection

⋂i∈IAi.

Proposition 2.1Soient A et B deux parties de E. On a alors

— A ∪ A = E,— A ∩ A = ∅,— (A \B) ∪ (A ∩B) = A,— (A \B) ∩ (A ∩B) = ∅,

— A ∪B = A ∩B,— A ∩B = A ∪B,— (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪

(B \ A).

Définition 2.4 (ensemble des parties)On note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est-à-dire l’ensemble des en-sembles inclus dans E. On a ainsi l’équivalence, vraie pour tout ensemble F ,F ∈P(E) ⇐⇒ F ⊂ E.

Proposition 2.2Pour tout ensemble E, ∅ ∈P(E) et E ∈P(E).

Exercice 1.3.Prouvez cette affirmation !Définition 2.5

Soient A et B ensembles. On définit leur produit cartésien A×B comme étantl’ensemble des couples (x, y), x ∈ A, y ∈ B.

On note E2 = E × E, et plus généralement En = E × E × . . .× E︸︷︷︸n fois

.

Chapitre 2

Fonctions et Applications

Dans tout ce qui suit, on considère deux ensembles E et F . En pratique, onprendra E = F = R.

1 FonctionsDéfinition 1.1 (fonctions)

Une fonction f d’un ensemble E dans un ensemble F est un procédé qui, àtout élément de E, associe au plus un élément de F , appelé son image.

Pour tous les éléments x ∈ E ayant une image par f , on note cette imagef(x). x est alors un antécédent de cette image.

L’ensemble E est appelé ensemble de départ de f , F , son ensemble d’arrivée.L’ensemble des éléments de E qui possèdent une image est appelé domaine

de définition de f , noté Df . L’ensemble des éléments de F qui possèdent (aumoins) un antécédent est l’ensemble image de f .

Si f(x) est une formule donnant l’image d’un objet x par la fonction f , onnote f : x 7→ f(x) (x pouvant être remplacé par n’importe quelle autre lettre).

L’ensemble des fonctions de E dans F est noté F (E,F ).

Remarque. Un élément y de F peut avoir un, plusieurs, ou aucun antécédents.Définition 1.2

Le graphe d’une fonction f est le sous-ensemble {(x, f(x)), x ∈ Df} ⊂ E × F .

Exercice 2.1.Considérons la fonction f : x 7→

√1− x2.

1. Quel est le domaine de définition de f ?

2. Déterminer l’image de 0, −1 et 1.

3. Déterminer les antécédents de 0, 12 et 1.

4. Déterminer l’ensemble image de f .

5. Saurez-vous reconnaître le graphe de f ?

9

10 Chapitre 2. Fonctions et Applications

2 ApplicationsDéfinition 2.1 (applications)

Une application f d’un ensemble E dans F est la donnée de deux ensemblesE et F , et d’une fonction de E dans F telle que chaque élément de E a uneimage (Df = E).

L’ensemble des applications de E dans F est noté A (E,F ).

Remarque. Une simple formule ne suffit pas pour définir une application, il fautaussi donner son ensemble de départ et son ensemble d’arrivée. On peut utiliserpar exemple la notation

f : E −→ Fx 7−→ f(x).

Définition 2.2Soit f une application de E dans F , et E ′ ⊂ E. On appelle la restriction de fà E ′, notée f|E′ , l’application

f|E′ : E ′ −→ Fx 7−→ f(x).

2.1 CompositionDéfinition 2.3 (composition d’applications)

Soient f une application de E dans F , et g une application de F dans G. Ondéfinit la composée de f et de g par :

g ◦ f : E −→ Gx 7−→ g(f(x)).

Remarque. Il est bien sûr possible de composer deux fonctions f et g entre elles(définissant ainsi g ◦ f), mais le domaine de définition n’est alors pas forcément ledomaine de définition de la première, mais

Dg◦f = g−1(Df ) = {x ∈ Dg, g(x) ∈ Df},appelé image réciproque de Df par g, qu’il faudra souvent déterminer...Propriété 2.1

La composition est associative, c’est-à-dire que (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).

3 Fonctions numériquesRemarque. Dans cette section, on parlera en terme de fonctions. Le même exposéest possible en terme d’applications, les quelques différences étant laissées à lasagacité du lecteur.

3. Fonctions numériques 11

Définition 3.1Un appelle fonction numérique toute fonction de R dans R.

3.1 Opérations sur les applicationsDéfinition 3.2

Soient f et g deux fonctions numériques, et α ∈ R. On définit les fonctionssuivantes :

f + g : x 7→ f(x) + g(x),− αf : x 7→ αf(x),−

fg : x 7→ f(x)g(x),− 1f

: x 7→ 1f(x) ·−

3.2 BornesDéfinition 3.3 (fonctions bornées)

Une fonction f définie sur une partie A de R est dite :— majorée sur A lorsqu’il existe un réel M tel que ∀x ∈ A f(x) 6 M , le

réel M est alors un majorant de f ,— minorée sur A lorsqu’il existe un réel m tel que ∀x ∈ A f(x) > m, le réel

m est alors un minorant de f ,— bornée si elle est majorée et minorée.

Un majorant qui est atteint est un maximum, un minorant atteint, un mini-mum, et un extrémum est un maximum ou un minimum.

3.3 Sens de variationDéfinition 3.4 (variations des fonctions)

Une fonction f définie sur une partie A de R est dite :— constante sur A lorsqu’il existe un réel c tel que ∀x ∈ A f(x) = c,— croissante sur A si ∀(x, x′) ∈ A2 x 6 x′ =⇒ f(x) 6 f(x′),— strictement croissante sur A si ∀(x, x′)2 ∈ A x < x′ =⇒ f(x) < f(x′),— décroissante sur A si ∀(x, x′) ∈ A2 x 6 x′ =⇒ f(x) > f(x′),— strictement décroissante sur A si ∀(x, x′) ∈ A2 x < x′ =⇒ f(x) > f(x′),— (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou (stric-

tement) décroissante.

Propriété 3.1La composée de deux fonctions monotones est monotone. Si les deux fonctionsont même sens de variation, la composée est croissante, sinon, elle est décrois-sante.


3.4 Fonctions paires et impairesDéfinition 3.5 (parité)

Soit f une fonction numérique dont le domaine de définition est centré en 0(∀x ∈ Df ,−x ∈ Df ).— On dit que f est paire si ∀x ∈ Df f(−x) = f(x).— On dit que f est impaire si ∀x ∈ Df f(−x) = −f(x).

Propriété 3.2Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe (Oy. Celuid’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Exercice 2.2.On considère la fonction f : x 7→ 11+x2 .

1. Montrer que f est définie et paire sur R,2. Montrer que f est bornée par 0 et 1, mais que seul 1 est un extrémum.3. Montrer que f est croissante sur R− et décroissante sur R+.

4 Applications particulièresDéfinition 4.1

On appelle application identité sur un ensemble E, notée IdE, l’application

IdE : E −→ Ex 7−→ x.

4.1 SurjectionsDéfinition 4.2 (surjections)

Une application de E dans F est surjective si tout élément de F a au moinsun antécédent.

Remarque. Une application f : E → F est une surjection ssi

∀y ∈ F ∃x ∈ E f(x) = y.

4.2 InjectionsDéfinition 4.3 (injections)

Une application de E dans F est injective si tout élément de F a au plus unantécédent.

Remarque. Une application f : E → F est une injection ssi

∀(x, x′) ∈ E (f(x) = f(x′)) =⇒ (x = x′).

4. Applications particulières 13

4.3 BijectionsDéfinition 4.4 (bijections)

Une application de E dans F est bijective si elle est injective et surjective.

Remarque. Une application f : E → F est une bijection ssi

∀y ∈ F ∃!x ∈ E f(x) = y.

Théorème 4.1Une application f : E → F est une bijection si, et seulement si, il existe uneapplication g : F → E telle que

f ◦ g = IdE et g ◦ f = IdF .

Cette fonction est unique, et est appelée la réciproque de f , notée f−1.

Théorème 4.2Si f : E → F et g : F → G sont deux bijections, alors f ◦ g est une bijectionde E dans G, et

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Théorème 4.3 (de la bijection monotone)Soit f une application définie sur un intervalle I de R. Si f est continue etstrictement monotone sur I, alors f est une bijection de I sur l’intervalle imagede I.

Propriété 4.4Si f est une bijection strictement monotone d’un intervalle réel I dans l’inter-valle réel J , alors sa réciproque f−1 est aussi strictement monotone, de mêmevariation que f .

Exercice 2.3 (fonctions trigonométriques hyperboliques).On définit les fonctions

sh : x 7→ ex − e−x

2 et ch : x 7→ex + e−x

2 ·

1. (a) Montrer que sh est définie sur R, et donner sa parité.(b) Montrer que sh est croissante sur R, et en déduire qu’elle définit une

bijection de R sur son intervalle image (on suppose qu’elle est continue,le cours correspondant viendra plus tard).

(c) Déterminer l’intervalle image de sh, et montrer que sh est une surjectionde R sur R.

(d) Montrer que sh est injective sur R.(e) En déduire que sh est une bijection de R dans R.


2. (a) Montrer que ch est définie sur R, et donner sa parité.(b) Montrer que ch est croissante sur R+, décroissante sur R−, et en déduire

qu’elle définit une bijection de R+ sur son intervalle image.(c) Déterminer l’intervalle image de ch, et montrer que ch est une surjection

de R sur [1,+∞[.(d) ch est-elle injective sur R ?

Chapitre 3

Fonctions usuelles et polynômes

1 Fonctions exponentielles et logarithmes

1.1 Fonction inverseDéfinition 1.1 (fonction inverse)

On appelle la fonction inverse la fonction

f : R∗ −→ Rx 7−→ 1

x·

Propriétés 1.1La fonction inverse est dérivable sur R∗, de dérivée f ′ : x 7→ − 1

x2·

Elle est impaire sur R∗, strictement décroissante sur R∗− et sur R∗+.

x

y

0 1

1

Figure 3.1 – Graphe de la fonction inverse

15

16 Chapitre 3. Fonctions usuelles et polynômes

1.2 Logarithme népérienDéfinition 1.2 (fonction logarithme)

On appelle la fonction logarithme népérien la fonction ln définie commel’unique fonction définie et dérivable sur R∗+ telle queln(1) = 0∀x ∈ R∗+, ln′(x) = 1x ·C’est donc l’unique primitive de la fonction inverse valant 0 en 1 (plus à cesujet au chapitre 13).

Propriétés 1.2La fonction logarithme est, par définition, dérivable sur R∗+, et sa dérivée est

ln′ : R∗+ −→ Rx 7−→ 1

x·

La fonction logarithme est strictement croissante sur R∗+, et définit unebijection de R∗+ sur R.

x

y

0 1

Figure 3.2 – Graphe de la fonction logarithme

Propriétés 1.3Pour tous réels a et b strictement positifs, n entier rationnel, on a

ln(ab) = ln(a) + ln(b)· ln(an) = n ln(a)·

ln(

1a

)= − ln(a)· ln

(ab

)= ln(a)− ln(b)·

1. Fonctions exponentielles et logarithmes 17

1.3 ExponentielleDéfinition 1.3 (fonction exponentielle)

On appelle la fonction exponentielle la fonction réciproque de ln, c’est-à-direl’unique fonction exp telle que, pour tout y ∈ R, x ∈ R∗+,

y = ln(x) ⇐⇒ exp(y) = x.

On note souvent, pour x ∈ R, exp(x) = ex.

Propriétés 1.4La fonction exponentielle est dérivable sur R, et est sa propre dérivée.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R, et définit unebijection de R sur R∗+.

x

y

0

1

y = exp(x)

y = ln(x)

y = x

Figure 3.3 – Graphe de la fonction exponentielle (avec celui de x 7→ x et ln)

Propriété 1.5Pour tout réel x, pour tout réel y strictement positif,on a

ln(exp(x)) = x et exp(ln(y)) = y.

Propriétés 1.6Pour tous réels a et b strictement positifs, et n un entier rationnel, on a

ea+b = eaeb· (ea)n = ena·e−a = 1ea· e

a−b = eaeb·


2 Fonctions puissances

2.1 Fonction racineDéfinition 2.1 (fonction racine)

On appelle la fonction racine carrée la réciproque de la fonction carrée x 7→ x2sur R+, on note

√x l’image d’un réel positif x par cette fonction.

Propriétés 2.1La fonction racine carrée est définie sur R+ mais seulement dérivable sur R∗+,de dérivée x 7→ 12√x ·

Elle est strictement croissante sur R+, et définit une bijection de R+ surR+.

x

y

0

1

1

y =√x

y = x2

y = x

Figure 3.4 – Graphe de la fonction racine (avec celui de x 7→ x et x 7→ x2)

2.2 Cas généralDéfinition 2.2

Soit α un réel. On appelle la fonction puissance α la fonction

f : R∗+ −→ Rx 7−→ xα (def)= exp(α ln(x)).

2. Fonctions puissances 19

Propriétés 2.2La fonction puissance α est dérivable sur R∗+, de dérivée x 7→ αxα−1.

Elle est strictement croissante sur R∗+ si α > 0, strictement décroissante siα < 0, et constante, égale à 1 si α = 0.

La fonction puissance α définit donc, pour tout α non nul, une bijection deR∗+ sur lui-même. Sa réciproque est la fonction puissance 1α ·

x

y

0

1

1α < 0

α = 0

0 < α < 1

α = 1

α > 1

Figure 3.5 – Graphe de fonctions puissances α pour diverses valeurs de α

Propriété 2.3On a pour tout x réel strictement positif, ln(xα) = α ln(x).

Propriétés 2.4Soient α, β deux réels. Pour tous réels a et b strictement positifs, et n un entierrationnel, on a

(xy)α = xαyα· xα+β = xαxβ· x−α = 1xα

·(xy

)α= xα

yα· (xα)β = xαβ· xα−β = xα

yβ·

Remarque. Sur R∗+, la fonction racine carrée est la fonction puissance 12 ·


3 Deux dernières fonctions

3.1 Valeur absolueDéfinition 3.1 (valeur absolue)

On appelle la fonction valeur absolue la fonction f qui à tout réel x associe

f(x) = |x| =x si x > 0−x si x < 0

Propriétés 3.1La fonction valeur absolue est paire sur R, d’intervalle image R+, strictementdécroissante sur R∗− et strictement croissante sur R∗+.

x

y

0

1

1

y = |x|

Figure 3.6 – Graphe de la fonction valeur absolue

Propriétés 3.2Soient x, y deux réels.

|xy| = |x||y|·∣∣∣xy

∣∣∣ = |x||y| si y non nul,· |x+ y| 6 |x|+ |y|(inégalité triangulaire)

·

Propriété 3.3La valeur absolue d’un réel peut être vue comme la distance à 0 de ce réel, ouplus généralement, si x et y sont deux réels, |x− y| représente la distance entrex et y.

3. Deux dernières fonctions 21

3.2 Partie entièreDéfinition 3.2 (partie entière)

On appelle la fonction partie entière la fonction f qui à tout réel x associel’unique entier relatif, noté bxc, qui vérifie

bxc 6 x < bxc+ 1.

La partie entière d’un réel est le plus grand entier (relatif) qui lui est inférieur.

x

y

0

1

1

Figure 3.7 – Graphe de la fonction partie entière

Propriétés 3.4La fonction partie entière est constante sur tous les intervalles [n, n+1[, n ∈ Z,où elle vaut n.

Pour tout réel x, on a x− 1 < bxc 6 x.

Remarque. Cette fonction est la seule de la liste précédente qui n’est pas continuesur ses intervalles de définition.


4 Fonctions polynomiales

4.1 GénéralitésDéfinition 4.1 (polynômes)

On appelle fonction polynomiale (ou simplement polynôme) toute fonction Pdéfinie sur R de la forme

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . . anxn =n∑i=0

aixi, x ∈ R, n ∈ N,

où a0, a1, . . . , an sont des réels fixés.Si i ∈ J1, nK, ai est le ie coefficient de P .Si an 6= 0, an est appelé le coefficient dominant de P .Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est appelé le polynôme nul.

Notation.Il est de coutume d’utiliser la variable majuscule X pour désigner des polynômes.Cette variable est dite formelle, et ne demande pas l’emploi de la notation X 7→.

Ainsi, plutôt que d’écrire P : x 7→ x3−2x+1, on peut écrire P = X3−2X+1.Utilisant cette notation, on note R[X] l’ensemble des polynômes à coefficients

réels.Proposition 4.1

Soient P et Q deux polynômes, λ un réel. Alors λP ,P +Q, PQ sont encore despolynômes.

Proposition 4.2Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, leurs coefficients sont égaux.

4.2 Degré d’un polynômeDéfinition 4.2 (degré d’un polynôme)

Le degré d’un polynôme est la plus haute puissance pour laquelle le coefficientassocié est non nul : si n un entier, tout polynôme P =

n∑k=0

aiXi avec an 6= 0,

est dit de degré n. On note deg(P ) le degré du polynôme P .Par convention, le polynôme nul à un degré égal à −∞.Le terme akXk, pour k 6 deg(P ), est appelé monôme de degré k de P .On note Rn[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur à n.

Proposition 4.3Soient P et Q deux polynômes, et λ un réel non nul. Alors— deg(λP ) = deg(P ),— deg(P +Q) 6 max(deg(P ), deg(Q)),— deg(PQ) = deg(P ) + deg(Q).

4. Fonctions polynomiales 23

4.3 Racines d’un polynômeDéfinition 4.3 (racines d’un polynôme)

Soit P un polynôme. On dit qu’un réel α est racine de P si P (α) = 0.

Théorème 4.4 (factorisation des polynômes)Soit P un polynôme de degré entier, et α ∈ R une racine de P . Alors il existeun polynôme Q tel que

P = (X − α)Q.

Exemple.Prenons P = X3 + X2 − 5X + 3, et remarquons que P (1) = 0, donc 1 est uneracine de P . On en déduit qu’il existe un polynôme Q tel que P = (X − 1)Q.Trouvons ce polynôme. Deux méthodes sont possibles :

i) Observons d’abord que deg((X − 1)Q) = deg(X − 1) + deg(Q) = deg(P )donc deg(Q) = deg(P )− 1. Le polynôme P étant de degré 3, deg(Q) = 2, etil existe trois réels a, b, c tels que Q = aX2 + bX + c, qui doivent vérifier

(X − 1)(aX2 + bX + c) = X3 +X2 − 5X + 3⇐⇒ aX3 + bX2 + cX − aX2 − bX − c = X3 +X2 − 5X + 3⇐⇒ aX3 + (b− a)X2 + (c− b)X − c = X3 +X2 − 5X + 3

Ces deux polynôme sont égaux, leurs coefficients sont donc les mêmes, eta = 1

b− a = 1c− b = −5−c = 3

⇐⇒

a = 1b = 1 + 1

c− b = −5c = −3

⇐⇒

a = 1b = 2

−3− 2 = −5c = −3

Le polynôme Q cherché est donc Q = X2 + 2X − 3ii) Division euclidienne des polynômes : Il est possible, en s’inspirant de

la méthode classique de division “à la main” des entiers, d’appliquer unalgorithme similaire sur les polynômes :

X3 +X2 −5X +3 X − 1−( X3 −X2 ) X2+2X−3 = Q

2X2 −5X +3−( 2X2 −2X )

−3X +3−( −3X +3 )

0

Quoi qu’il en soit, on a bien factorisé P = (X − 1)(X2 + 2X − 3).


Remarque. La factorisation d’un polynôme ne s’arrête bien évidemment pas àune seule factorisation. Une fois une première racine trouvée, et la factorisationcorrespondante effectuée, on peut (et doit !) continuer à essayer de factoriser lepolynôme Q obtenu, pour continuer la factorisation. Dans l’exemple précédent, oncontinue à chercher de factoriser Q = X2 + 2X − 3. Remarquant que Q(1) = 0, Qs’écrit Q = (X − 1)R. On cherche R :

X2 +2X −3 X − 1−( X2 −X ) X + 3

3X −3−( 3X −3 )

0

ce qui donne finalement que Q = (X − 1)(X + 3) et donc la factorisation finaleP = (X−1)(X−1)(X+3) = (X−1)2(X+3) (on dit que 1 est une racine double).

Factoriser un polynôme revient à l’écrire sous la forme d’un produit de poly-nômes, chaque terme étant soit un polynôme de degré 1, ou un polynôme sansracine. Par exemple, une factorisation complète de P = X5 + 2X4 − 2X − 2 estP = (X − 1)(X + 1)(X + 2)(X2 + 1).Proposition 4.5

Soit P un polynôme de degré inférieur à n, n ∈ N. Si P admet strictement plusde n racines, alors P est le polynôme nul.

5 Trinômes du second degréDans toute cette section, on considère P = aX2 +bX+c un trinôme du second

degré, avec a, b, c réels (a 6= 0).

5.1 Factorisation des trinômes du second degré et résolu-tion des systèmes du second degré

Menons le calcul suivant, pour x ∈ R :

ax2 + bx+ c = a[x2 + b

ax︸︷︷︸

(x+ b2a)2

+ ca

]

= a[x2 + 2 b2ax+

(b

2a

)2︸︷︷︸

=(x+ b2a)2

−(b

2a

)2+ ca

]

= a(x+ b2a

)2−(b

2a

)2+ ca

= a

(x+ b2a)2− b

2 − 4ac4a2

·

5. Trinômes du second degré 25

Posons alors∆ = b2 − 4ac,

ce qui nous amène à considérer 3 possibilités :

1. si ∆ < 0, alors pour tout x ∈ R

ax2 + bx+ c = a(x+ b2a

)2− ∆4a2

︸︷︷︸

>0

,

2. si ∆ = 0, on a alors

ax2 + bx+ c = a(x+ b2a

)2,

3. si ∆ > 0, on alors

ax2 + bx+ c = ax+ b2a +

√∆

4a2

x+ b2a −√

∆4a2

= a

(x+ b+

√∆

2a

)(x+ b−

√∆

2a

)·

Ce qui nous conduit au théorème suivant :Théorème 5.1 (factorisation des trinômes du second degré)

Soit P = aX2 + bX + c un polynôme. On a les cas suivants :1. Si a = 0, P = bX + c est un polynôme de degré inférieur à 1. Si b 6= 0,

son unique racine est − cb, si b = 0, c’est le polynôme constant c.

2. Si a 6= 0, posons ∆ = b2 − 4ac.(a) si ∆ < 0, alors P n’a pas de racine,(b) si ∆ = 0, P a une racine double, − b2a , et se met sous la forme

factorisée

P = a(X + b2a

)2,

(c) si ∆ > 0, P a deux racines, −b±√

∆2a , et se factorise sous la forme

P = a(X + b+

√∆

2a

)(X + b−

√∆

2a

)·

Exercice 3.1.Résoudre l’équation x5 − 5x3 + 6 = x4 − 5x2 + 6.


5.2 Signe d’un trinôme du second degré, résolution d’in-équations du second degré

La forme factorisée d’un polynôme permet de facilement discuter de son signe :soit à nouveau P : x 7→ ax2 + bx + c un polynôme du second degré. Notons∆ = b2 − 4ac son discriminant. On a vu que l’on pouvait distinguer trois cas :

1. si ∆ < 0, P ne peut pas se factoriser, et pour tout x ∈ R(x+ b2a)2− ∆4a2

> 0,ainsi P (x) est du signe de a.

∆ < 0 x −∞ +∞P (x) signe de a

2. si ∆ = 0, P admet une racine double α = − b2a , et on a pour tout x ∈ R

ax2 + bx+ c = a (x− α)2 ,

et donc

∆ = 0 x −∞ α +∞P (x) signe de a 0 signe de a

3. si ∆ > 0, P admet deux racines distinctes α1 = −b−√

∆2a et α2 =

−b+√

∆2a .

Supposant que α1 < α2 (a > 0, l’inverse si a < 0), on alors pour tout x ∈ R

ax2 + bx+ c = a (x− α1) (x− α2)

et donc

∆ > 0

x −∞ α1 α2 +∞(x− α1) − 0 + +(x− α2) − − 0 +P (x) signe de a 0 signe de − a 0 signe de a

Exercice 3.2.La forme factorisée d’un polynôme permet, entre autre, de faire une étude quasi-complète de celui-ci : prenons par exemple P = X3 −X2 −X + 1.

1. Factoriser P et en déduire son signe,2. Dériver P et factoriser P ′, en déduire les variations de P ,3. Dériver P ′ et factoriser P ′′, en déduire la convexité de P ,4. Tracer le graphe de P .

5. Trinômes du second degré 27

5.3 Fonction carréDéfinition 5.1

On appelle la fonction carrée la fonction f qui à tout réel x associe x2.

Propriétés 5.2La fonction carrée est dérivable sur R, et sa dérivée est la fonction x 7→ 2x. Elleest paire, strictement décroissante sur R− et strictement croissante sur R+.

5.4 Fonction cubeDéfinition 5.2

On appelle la fonction cube la fonction f qui à tout réel x associe x3.

Propriétés 5.3La fonction cube est dérivable sur R, et sa dérivée est la fonction x 7→ 3x2. Elleest impaire, strictement croissante sur R.

5.5 Fonctions x 7→ xnPropriétés 5.4

Pour tout entier n, on a— x 7→ xn est paire si n l’est, impaire sinon,— sa dérivée est x 7→ nxn−1,— x 7→ xn est strictement croissante sur R si n impair, strictement décrois-

sante sur R− et strictement croissante sur R+ si n est pair.

x

y

01

1

y = x2ny = x2n+1

Figure 3.8 – Graphe des polynômes puissances

Chapitre 4

Récurrence, somme et produits

1 Le principe de récurrence

1.1 ÉnoncéThéorème 1.1 (démonstration par récurrence)

Soit P une propriété définie sur N. Si— P (0) (est vrai),— ∀n ∈ N

(P (n) =⇒ P (n+ 1)

)(est vrai),

alors ∀n ∈ N P (n) (est vrai).

Exercice 4.1 (pour les curieux).Comment démontrer ce résultat ? De quelle propriété de N a-t-on besoin ?

1.2 Exemple de démonstration

Rédaction-type

Montrons par récurrence que

∀n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .︸︷︷︸P (n)

·

• Initialisation : Montrons P (0) :Démonstration...

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P (n).Montrons P (n+ 1) :Démonstration...

• Conclusion : D’après le principe de récurrence, on a donc montré que

∀n ∈ N, P (n).

29

30 Chapitre 4. Récurrence, somme et produits

Exemple

Montrons par récurrence que, pour tout x ∈ R+,

∀n ∈ N (1 + x)n > 1 + nx︸︷︷︸P (n)

·

• Initialisation : Montrons P (0) :

(1 + x)0 = 1 > 1 + 0x.

• Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P (n).Montrons P (n+ 1) :

(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n

> (1 + x)(1 + nx) d’après l’hypothèse de récurrence> 1 + nx+ x+ nx2

> 1 + (n+ 1)x.

• Conclusion : D’après le principe de récurrence, on a donc montré que

∀x ∈ R+,∀n ∈ N, (1 + x)n > 1 + nx.

Remarque. On peut aussi, à la place de « Soit n un entier naturel tel que P (n). »,écrire « Soit n un entier naturel quelconque fixé, et supposons P (n). ». Les deuxrédactions sont possibles, et signifient évidemment la même chose... À vous dechoisir celle que vous préférez !

Exercice 4.2.Soit x ∈ R. Montrer que, pour tout n ∈ N, bx+ nc = bxc+ n.

1.3 VariantesRécurrence qui part à N ∈ NProposition 1.2

Soit P une propriété définie sur les entiers plus grands qu’un certain nombre N .Si— P (N),— ∀n > N,

(P (n) =⇒ P (n+ 1)

),

alors ∀n > NP (n).

Exercice 4.3.Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur à 2 est strictement supérieurau nombre d’origine.

1. Le principe de récurrence 31

Récurrence doubleProposition 1.3

Soit P une propriété définie sur N. Si— P (0) et P (1),— ∀n ∈ N (P (n) et P (n+ 1)) =⇒ P (n+ 2) ,

alors ∀n ∈ N P (n).

Exercice 4.4.Soit (un)n∈N la suite définie par

u0 = 1,u1 = 3,

∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 3un.

Montrer par récurrence double que ∀n ∈ N, un = 3n︸︷︷︸P (n)

.

Récurrence forte (Hors Programme)Proposition 1.4

Soit P une propriété définie sur N. Si— P (0),— ∀n ∈ N (∀k ∈ N, k 6 n =⇒ P (k)) =⇒ P (n+ 1),

alors ∀n ∈ N P (n).

Exercice 4.5.Une tablette de chocolat possède des rainures qui la décomposent en n carrés.On veut séparer les carrés de la tablette, et pour ce faire, on la casse selon unerainure, et on recommence avec les 2 tablettes ainsi formées. Montrer que, quelquesoit l’ordre dans lequel on casse les rainures, on finira toujours en exactement n−1coups.Exercice 4.6 (Pour les plus curieux...).Montrer par récurrence le théorème suivant : Tout entier naturel est divisible parau moins un nombre premier.


2 Sommation

2.1 NotationDéfinition 2.1 (sommes)

Soit n un entier, et a1, a2, . . . , an des réels. On note la quantité

a1 + . . .+ an =n∑k=1

ak.

On pourra aussi noter cette quantité∑

k∈J1,nKak ou encore

∑16k6n

ak.

Remarque. Dans ces notations, la variable k est une variable muette (c’est-à-direnon liée), que l’on peut remplacer par n’importe quelle autre variable. De plus,c’est une très mauvaise pratique d’utiliser un symbole déjà utilisé auparavant pourdésigner la variable de sommation.

Il est possible de généraliser cette notation de la manière suivante : Si I est unensemble fini quelconque, et (ai)i∈I est une famille de réels indexés par I, on écrit∑

i∈Iai

pour désigner la somme de tous les éléments de cette famille. Cette définition n’estpossible que grâce à la commutativité et l’associativité de l’addition.

En particulier, on peut définir la notationn∑k=p

ak pour tous entiers relatifs p 6 n.

2.2 Sommes classiquesProposition 2.1

Soit n un entier non nul quelconque, et x un réel différent de 1.n∑k=0

1 = n+ 1,a)n∑k=0

k = n(n+ 1)2 ,b)

n∑k=0

k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6 ,c)n∑k=0

k3 =(n(n+ 1)

2

)2,d)

n∑k=0

xk = 1− xn+1

1− x · si x 6= 1e)

Remarque. On obtient des nouvelles factorisations, si x ∈ R \ {1} :

xn − 1 = (x− 1)(1 + x+ . . .+ xn−1).

On vérifiera que cette formule est encore valable pour x = 1.On en déduit (démontrez-le !) que si x et y sont deux réels, on a aussi

xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + . . .+ xyn−2 + yn−1).

2. Sommation 33

Exercice 4.7 (Pour aller plus loin...).En considérant un arrangement intelligent de “carrés” d’aire 1, retrouver la formulepour ∑nk=0 k. Saurez-vous trouver un arrangement similaire pour ∑nk=0 k3 ?Exercice 4.8 (factorisation des polynômes cyclotomiques).On appelle, pour N ∈ N, PN = XN − 1 le N e polynôme cyclotomique.

1. Déterminer, pour N pair et N impair, les racines de PN .2. Établir la factorisation suivante des polynômes cyclotomiques :

X2n − 1 = (X − 1)(X + 1)(n−1∑k=0

X2k),

X2n+1 − 1 = (X − 1)( 2n∑k=0

Xk).

3. Montrer que cette factorisation est maximale, c’est-à dire que les polynômesn−1∑k=0

X2k et2n∑k=0

Xk

n’ont pas de racine.

2.3 Formules de calcul élémentairesRemarque. Dans tout ce qui suit, les formules sont énoncées pour des sommes entre0 et n. Elles se généralisent aisément à toutes sommes finies, bien sûr.Propriété 2.2

Soit n un entier non nul, (ai)06i6n et (bi)06i6n deux familles de réels. Alorsn∑k=0

(ak + bk) =n∑k=0

ak +n∑k=0

bk.

Soit λ un réel, alorsn∑k=0

(λak) = λn∑k=0

ak.

Soit enfin m un entier, 0 6 m < n, alorsn∑k=0

ak =m∑k=0

ak +n∑

k=m+1ak.

Propriété 2.3 (changement d’indice)Soient p et n deux entiers relatifs non nul, p 6 n,m un entier relatif quelconque,et (ai)i∈Z une famille de réels. Alors

n∑k=p

ak+m =n+m∑i=p+m

ai, etn∑k=p

am−k =m−p∑i=m−n

ai.

On dit qu’on a effectué le changement d’indice i = k +m (resp. i = m− k).


Exercice 4.9.Soit n un entier naturel, calculer (d’un maximum de façons différentes) les quan-tités suivantes :

n∑k=1

xk (x ∈ R),a)b∑

k=a1 (a < b),b)

n∑k=1

(k + 1)3 (et retrouver par la même occasion la formule pourn∑k=1

k).c)

2.4 Sommes doublesDéfinition 2.2 (sommes doubles)

Soient m et n deux entiers, et (ai,j) 06i6n06j6m

une famille de mn réels. Le produit

de tous les nombres de cette famille est noté∑

06i6n06j6m

ai,j.

Propriété 2.4Soient m et n deux entiers, et (ai,j) 06i6n

06j6mune famille de mn réels. On a alors

n∑i=0

m∑j=0

ai,j =m∑j=0

n∑i=0

ai,j =∑

06i6n06j6m

ai,j.

Propriété 2.5 (somme double à indices dépendants)On peut généraliser intuitivement les notations à∑

06i6j6nai,j,

∑06i

2. Sommation 35

2.5 ProduitsDéfinition 2.3 (produits)

Soit n un entier, et a1, a2, . . . , an des réels. On note la quantité

a0 × a1 × . . .× an =n∏k=1

ak.

Toutes les variantes et généralisations de notation de la somme s’appliquentau produit.

Définition 2.4 (factorielle)Pour tout entier naturel n, on définit

n! =

1 si n = 0,n∏k=1

k sinon.

Propriété 2.6Soit n un entier non nul, (ai)16i6n et (bi)16i6n deux familles de réels. Alors

n∏k=1

(λak) = λnn∏k=1

ak.

Soit λ un réel, alorsn∏k=1

(akbk) =(

n∏k=1

ak

)(n∏k=1

bk

).

Soit m un entier, 0 6 m < n, alors

n∏k=1

ak =(

m∏k=1

ak

) n∏k=m+1

ak

.Si, enfin, aucun des bi n’est nul, pour 1 6 i 6 n,

n∏k=1

akbk

=

n∏k=1

ak

n∏k=1

bk

·

Exercice 4.11.Calculer le produit des n premiers entier pairs (non nuls !), et en déduire le produitdes n premiers entiers impairs.

Deuxième partie

Suites

37

Chapitre 5

Introduction aux suites

1 Généralités sur les suites

1.1 DéfinitionsDéfinition 1.1 (suites)

On appelle suite réelle toute application u d’une partie A ∗ de N dans R :

u : A −→ Rn 7−→ un

En pratique, on note l’application u par (un)n∈A, u, ou (quand A est implicite),(un).

Pour n entier, un est le terme d’indice n de la suite u. un est aussi appeléterme général de la suite.

Exemples.Il existe trois manières principales de définir une suite :— explicitement en donnant une formule pour son terme général :

∀n ∈ N un =1− n1 + n ·

— par récurrence, en donnant ses premiers termes et une relation de récurrenceentre ses termes de différents indices :v0 = 0∀n ∈ N, vn+1 = 2vn.

— implicitement comme la solution d’une équation dépendant d’un paramètreentier :

La suite w est telle que, pour tout entier n, wn est l’unique réelpositif solution de l’équation xn + ln(x) = 0.

Dans ce cas, l’existence d’une telle solution est évidemment à établir enamont, et fait bien souvent l’objet d’une question préliminaire.

∗. En pratique N ou N∗, parfois {n ∈ N, n > p}, p ∈ N.

39

40 Chapitre 5. Introduction aux suites

Définition 1.2On dit qu’une suite (un) vérifie la propriété P à partir d’un certain rang lorsqu’ilexiste un entier N tel que

∀n ∈ N (n > N) =⇒ P (un).

Définition 1.3

— Deux suites u et v sont égales si ∀n ∈ N un = vn,— la somme u+v de deux suites u et v est la suite de terme général un+vn,— le produit uv de deux suites u et v est la suite de terme général unvn,— pour λ réel, on appelle le produit de la suite u par λ la suite λu de terme

général λun.

1.2 BornesDéfinition 1.4 (suites bornées)

Une suite (un) est dite :— majorée lorsqu’il existe un réel M tel que ∀n ∈ N un 6 M , M est alors

un majorant de la suite,— minorée lorsqu’il existe un réel m tel que ∀n ∈ N un > m, m est alors un

minorant de la suite,— bornée si elle est majorée et minorée.

Exercice 5.1.Montrer qu’une suite croissante est minorée, et qu’une suite décroissante est ma-jorée.Exercice 5.2.Montrer qu’une suite croissante est minorée, et qu’une suite décroissante est ma-jorée.

1.3 Sens de variationDéfinition 1.5 (suites monotones)

Une suite (un) est dite :— constante lorsqu’il existe un réel C tel que ∀n ∈ N un = C,— stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang,— croissante si ∀n ∈ N un+1 > un,— décroissante si ∀n ∈ N un+1 6 un,— monotone si elle est croissante ou décroissante.

(Définitions similaires pour les suites strictement croissantes, etc.)

2. Suites usuelles 41

Méthode.Pour déterminer les variations d’une suite (un), on peut étudier, pour tout entiern, le signe de un+1 − un ou le rapport un+1un ·

2 Suites usuelles

2.1 Suites arithmétiquesDéfinition 2.1 (suites arithmétiques)

Une suite u est dite arithmétique s’il existe un réel r tel que

∀n ∈ N, un+1 = un + r.

Le réel r est alors appelé la raison de la suite.

Exemple.Si vous recevez un salaire mensuel constant, et dépensez tous les mois la mêmesomme, l’argent de votre compte en banque suivra une suite arithmétique. Quellesera sa raison ?Proposition 2.1

Soit u une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tout entier n,

un = u0 + nr.

De plus, on a, pour tout entier p,

un = up + (n− p)r.

Proposition 2.2Soit u une suite arithmétique de raison r. alors, pour tout entier n,

n∑k=0

uk = (n+ 1)u0 + un

2 ·

Exercice 5.3.Quelques propriétés des suites arithmétiques :

1. Montrer qu’une suite arithmétique est toujours monotone, croissante si saraison est positive, décroissante sa raison est négative.

2. Montrer qu’une suite arithmétique n’est bornée que si sa raison est nulle.

2.2 Suites géométriquesDéfinition 2.2 (suites géométriques)

Une suite u est dite géométrique s’il existe un réel q tel que∀n ∈ N, un+1 = qun.


Le réel q est alors appelé la raison de la suite.

Exemple.Si vous placez une certaine somme dans un compte épargne à un taux r%, lasomme sur ce compte suivra une suite géométrique. De quelle raison ?Proposition 2.3

Soit u une suite géométrique de raison q. Alors, pour tout entier n,

un = u0qn.

De plus, on a, pour tout entier p,

un = upqn−p.

Proposition 2.4Soit u une suite géométrique de raison q. alors, pour tout entier n,

n∑k=0

uk =

u01− qn+1

1− q si q 6= 1

u0(n+ 1) si q = 1.

Exercice 5.4.Quelques propriétés des suites géométriques :

1. Montrer qu’une suite géométrique de raison positive est toujours monotone,et relier sa monotonie à sa raison et son premier terme. Que peut-on dire sila raison est négative ?

2. Montrer qu’une suite géométrique est bornée si sa raison est comprise entre−1 et 1. Est-ce la seule possibilité ?

3. Montrer que le logarithme d’une suite géométrique (positive, évidemment)est une suite arithmétique. Quelle est sa raison ?

4. Existe-il des suites à la fois arithmétiques et géométriques ?

2.3 Suites arithmético-géométriquesDéfinition 2.3 (suites arithmético-géométriques)

Une suite u est dite arithmético-géométrique s’il existe deux réels a et b telsque

∀n ∈ N, un+1 = aun + b.Les réels a et b sont les paramètres de la suite, le réel a est parfois appelé laraison de la suite.

Exemple.Le contenu du compte en banque d’un rentier n’ayant aucun salaire, mais vivant

2. Suites usuelles 43

des intérêts de son compte, dépensant tous les ans la même somme, suit une suiteartimético-géométrique. De quels paramètres ?Méthode.Pour déterminer le terme général d’une suite arithmético-géométrique, pour a 6= 1 :

1. On détermine le point fixe de l’équation de récurrence, c’est-à-dire le réel ctel que

c = ac+ b.

2. On montre que la suite v = u− c est une suite géométrique de raison a.3. On en déduit le terme général de la suite v :

vn = (u0 − c)an.

4. On en déduit le terme général de la suite u :

un = (u0 − c)an + c.

Exercice 5.5.Quelques propriétés des suites arithmético-géométriques :

1. Existe-t-il des suites arithmético-géométriques qui sont arithmétiques ? géo-métriques ? Dans quels cas ?

2. À quelle condition une suite arithmético-géométrique est-elle bornée ? crois-sante ? décroissante ?

3. Montrer que la somme des n premiers termes d’une suite géométrique formeune suite arithmético-géométrique.

2.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2Définition 2.4 (suites récurrentes linéaires d’ordre 2)

Une suite u est récurrente linéaire d’ordre 2 s’il existe deux réels a et b telsque

∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun.

Théorème 2.5 (terme général des suites récurrentes linéaires d’ordre 2)Pour déterminer l’expression de son terme général, on étudie son équationassociée :

(E) : X2 = aX + b.— Si (E) possède deux solutions réelles r1 et r2, il existe deux réels λ et µ

tels que∀n ∈N N un = λrn1 + µrn2 .

— Si (E) possède une seule solution réelle r, il existe deux réels λ et µ telsque

∀n ∈N N un = (λ+ nµ)rn.

... Tiens... ne manque-t-il pas un cas de figure ?

Chapitre 6

Convergence des suites

1 Convergence

1.1 DéfinitionsDéfinition 1.1 (suites convergentes)

Soit u une suite réelle. On dit que la suite converge vers la limite ` ∈ R lorsquetous les termes de la suite sont aussi proches de ` que l’on veut à partir d’uncertain rang.

un −→n→+∞

` ⇐⇒[∀ε ∈ R∗+ ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N) =⇒ (|un − `| 6 ε)

].

Ceci revient à demander que tout intervalle ouvert contenant ` (tout voisinagede `, nous y reviendrons), contient les termes un pour tous les indices n, hormisun nombre fini d’entre eux.

On note aussiu −→

+∞` et lim

n→+∞un = `.

On dit alors que ` est la limite de la suite u.Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Remarque. La seconde lecture de la définition indique bien que la limite d’une suitene dépend d’aucun de ses premiers termes.Proposition 1.1

Une suite convergente est bornée.

Exercice 6.1 (pour les curieux).Prouver cette proposition. On pourra par exemple commencer par montrer qu’unesuite convergente est bornée à partir d’un certain rang.Exercice 6.2.La réciproque de cette proposition est fausse : une suite bornée n’est pas forcémentconvergente. Pouvez-vous trouver une telle suite (à la fois divergente et bornée) ?Exercice 6.3.Montrer que 1

n−→n→+∞

0.

45

46 Chapitre 6. Convergence des suites

Définition 1.2 (limites infinies des suites)Soit u une suite réelle. On dit que la suite tend vers +∞ lorsque tous lestermes de la suite sont aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang.

un −→n→+∞

+∞ ⇐⇒[∀A ∈ R ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N) =⇒ (un > A)

].

On dit similairement que la suite tend vers −∞ lorsque tous les termes de lasuite sont aussi petits que l’on veut à partir d’un certain rang.

un −→n→+∞

−∞ ⇐⇒[∀A ∈ R ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N) =⇒ (un 6 A)

].

On a alors les mêmes notations que pour les limites finies.

Remarque. Une suite qui tend vers ±∞ n’est pas convergente. Elle diverge, et n’estpas bornée. Ainsi, une suite divergente peut avoir une limite, qui sera donc infinie.Propriété 1.2

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Exercice 6.4 (pour les curieux...).Démontrer cette propriété. On pourra effectuer un raisonnement par l’absurde.

1.2 Opérations sur les limitesPropriété 1.3

Soient u et v deux suites possédant une limite (finie ou non). Alors, sauf dansles cas marqués F.I., la somme, le produit et l’inverse de ces suites ont unelimite, indiquées dans les tableaux suivants :— Limite de la somme u+ v :

lim ulim v −∞ `′ ∈ R +∞

−∞ −∞ −∞ F.I.` ∈ R −∞ `+ `′ +∞

+∞ F.I. +∞ +∞— Limite du produit uv :

lim ulim v −∞ `′ ∈ R∗− 0 `′ ∈ R∗+ +∞

−∞ +∞ +∞ F.I. −∞ −∞` ∈ R∗− +∞ ``′ 0 ``′ −∞

0 F.I. 0 0 0 F.I.` ∈ R∗+ −∞ ``′ 0 ``′ +∞

+∞ −∞ −∞ F.I. +∞ +∞— Limite de l’inverse 1

u:

lim u −∞ ` ∈ R∗ 0− 0 0+ +∞lim 1

f0 1

`−∞ F.I. +∞ 0

2. Comportement asymptotique des suites usuelles 47

Remarque. Le symbole F.I. signifie “forme indéterminée” : il signifie que, souscette forme, il n’est pas possible de déterminer la limite de la suite. Il faut doncalors modifier la formule étudiée pour “lever la forme indéterminée”.

La plupart du temps, on détermine la limite d’une suite à partir de limitesde suites usuelles, couplées aux formules précédentes. Nul besoin de montrer leslimites “à la main” au moyen de la définition du 1.1.Proposition 1.4

Si u est une suite et f une fonction continue de R→ R, si u −→+∞

a et f −→a`,

alors f(u) −→+∞

`.

Proposition 1.5Si u est une suite et ` un réel quelconque. Alors

u −→∞

l ⇐⇒ |un − `| −→n→∞

0.

2 Comportement asymptotique des suites usuelles

2.1 Suites arithmétiquesProposition 2.1

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.— Si r > 0, la suite (un) est croissante, et tend vers +∞.— Si r < 0, la suite (un) est décroissante, et tend vers −∞.— Si r = 0, la suite (un) est constante, et tend vers u0.

2.2 Suites géométriquesProposition 2.2

Soit (un) une suite géométrique de raison q, de premier terme positif.— Si q > 1, la suite (un) est croissante, et tend vers +∞.— Si q = 1, la suite (un) est constante, et tend vers u0.— Si 0 < q < 1, la suite (un) est décroissante, et tend vers 0.— Si q = 0, la suite (un) est constante à partir du rang 1, et tend vers 0.— Si −1 < q < 0, la suite (un) tend vers 0.— Si q < −1, la suite (un) n’a pas de limite.

Exercice 6.5.Que peut-on dire si le premier terme de la suite géométrique est négatif ? Quepeut-on dire de la limite d’une suite arithmético-géométrique ?


2.3 Croissances comparéesProposition 2.3

Pour tous réels strictement positifs a, b, pour tout réel q > 1, on a les croissancescomparées suivantes :

na

ln(n)b −→n→+∞ +∞,qn

na−→n→+∞

+∞ et qn

ln(n)b −→n→+∞ +∞.

Remarque. On en déduit évidemment que pour tout réels négatifs a, b et tout réel1 < q,

ln(n)bna

−→n→+∞

0, na

qn−→n→+∞

0 et ln(n)b

qn−→n→+∞

0,

ainsi que des limites similaires pour −1 < q < 1.

3 Propriétés des limites

3.1 Limites et inégalitésProposition 3.1

Soient deux suites u et v, telles que ∀n ∈ N un 6 vn. Si u converge vers `1 etv converge vers `2, alors `1 6 `2.

Corollaire 3.2Si u est une suite qui converge vers `, et qu’il existe un réel M tel que pourtout n ∈ N, un 6 M , alors ` 6 M . De même, si pour tout n ∈ N, un > M ,alors ` >M .

Théorème 3.3 (des gendarmes)Soient u, v et w trois suites, telles que pour tout entier n on aie un 6 vn 6 wn.Si u et w ont la même limite `, alors v converge aussi vers `.

Théorème 3.4Soient u, v deux suites, telles que pour tout entier n on aie un 6 vn.— Si u −→

+∞+∞, alors v −→

+∞+∞,

— si v −→+∞−∞, alors u −→

+∞−∞.

Théorème 3.5 (limite monotone – suites)Toute suite u croissante admet une limite. Si u est majorée, cette limite estfinie, sinon, u −→

+∞+∞.

Toute suite u décroissante admet une limite. Si u est minorée, cette limiteest finie, sinon, u −→

+∞−∞.

3. Propriétés des limites 49

3.2 Suites adjacentesDéfinition 3.1 (suites adjacentes)

Deux suites u et v sont dites adjacentes si— u est croissante,— v décroissante,— u− v −→

+∞0.

Théorème 3.6 (suites adjacentes)Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

Troisième partie

Probabilités finies

51

Chapitre 7

Dénombrement

1 Cardinal et partitionsDéfinition 1.1 (ensembles dénombrables)

Un ensemble E est dit (infini) dénombrable s’il existe une bijection de E dansN. Un ensemble dénombrable (tout court) est un ensemble tel qu’il existe uneinjection de E dans N.

Définition 1.2Un ensemble E est dit fini s’il est vide, ou s’il existe un entier non nul n telque E et J1, nK sont en bijection. Cet entier (0 dans le cas de l’ensemble vide)est appelé le cardinal de E, noté Card(E).

Un ensemble de cardinal 1 est appelé singleton, un ensemble de cardinal 2,une paire.

Proposition 1.1 (formules du crible)Soient A, B et C trois ensembles finis, alors

Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B)− Card(A ∩B),Card(A ∪B ∪ C) = Card(A) + Card(B) + Card(C)

− Card(B ∩ C)− Card(A ∩ C)− Card(A ∩B)+ Card(A ∩B ∩ C).

Définition 1.3 (partitions)On dit que la collection d’ensembles (Ai)i∈I (I un ensemble d’indices quel-conque) forme une partition d’un ensemble E si— aucun des Ai n’est vide ∗ .— les Ai sont distincts deux à deux, ∀(i, j) ∈ I2 i 6= j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅,—

⋃i∈IAi = E.

∗. Cette condition n’est nécessaire que dans certaines applications, il faudra user de bon sens.

53

54 Chapitre 7. Dénombrement

Propriété 1.2Soit (Ai)i∈I une partition de E, et B une partie de E. Alors (B ∩Ai)i∈I formeune partition de B (à condition d’ôter les intersections vides).

Propriété 1.3Si (Ai)i∈I est une partition finie d’un ensemble fini E, alors

Card(E) =∑i∈I

Card(Ai).

2 Dénombrement

2.1 p-listesDéfinition 2.1 (p-listes)

Pour p ∈ N, une p-liste d’éléments d’une ensemble E est un élément de Ep.

Propriété 2.1

Card(E1 × E2 × . . . Ep) = Card(E1)× Card(E2)× . . .Card(Ep).En particulier, le nombre de p-listes d’un ensemble à n éléments est np.

Exercice 7.1.Vous voici à l’entrée de la tour en ruine d’un puissant magicien, remplie de trésorsinestimables. L’allée menant à la porte est gardée par s = 6 statues de sphinxgardant cette tour, prêtes à bondir sur le premier intru. Vous remarquez que lespattes avant droites des sphinx sont articulées, et peuvent être levées ou baissées.Sans doute une configuration particulière de pattes levées et baissées désactive-t-elle ces terribles gardiens... Combien de configurations sont-elles possibles ?

2.2 PermutationsDéfinition 2.2 (permutations)

Pour n ∈ N, on définit l’ensemble des permutations sur n éléments, noté Sn,comme l’ensemble des bijections de J1, nK sur lui-même.

Propriété 2.2Pour tout n ∈ N,

Card(Sn) = n!

Exercice 7.2.Heureusement, vous trouvez dans une alcôve près de la porte un plan donnantla bonne configuration des pattes de sphinx... ainsi que sept clefs, qui semblentcorrespondrent aux s = 7 serrures de la porte... mais vous ignorez quelle clef ouvrequelle serrure. Combien (au pire) d’essais devrez-vous faire pour ouvrir la porte ?

2. Dénombrement 55

2.3 ArrangementsDéfinition 2.3 (arrangements)

Pour p ∈ N, on appelle arrangement de p éléments d’un ensemble E toutep-liste d’éléments distincts de E.

Propriété 2.3Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments vaut, si0 6 p 6 n :

Apn =n!

(n− p)! = n× (n− 1)× . . . (n− p+ 1).

Exercice 7.3.La porte est ouverte ! Mais l’épreuve n’est pas finie : alors que vous franchissezle seuil, le sol se dérobe sous vos pieds, et vous atterissez dans une pièce au soljonché de petites statuettes (vous en comptez rien de moins que s = 37). Aumur se trouvent a = 4 alcôves (une dans chaque mur), et vous réalisez qu’il fautplacer 4 des statuettes dans chaque alcôve... mais lesquelles ? Combien y-a-t-il depossibilités ?

2.4 CombinaisonsDéfinition 2.4 (combinaisons)

Pour p ∈ N, on appelle combinaison de p éléments d’un ensemble E toutepartie à p éléments de E.

Propriété 2.4Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments vaut, si0 6 p 6 n :

Cpn =(n

p

)= n!p!(n− p)! =

n× (n− 1)× . . . (n− p+ 1)p! ·

Remarque.(np

)est le nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments,

ou encore le nombre de façon de choisir p éléments parmis n. On dit « p parmi n ».

Exercice 7.4.Heureusement, vous avez remarqué assez vite les discrets glyphes indiquant quellestatuette placer à quel endroit, et vous vous échappez facilement. Vous voici enfindans une salle circulaire, au centre de laquelle trône un piédestal au sommet duquelse trouve un magnifique rubis. t = 9 torches magiques se trouvent au mur, et vousreconnaissez l’enchantement : chaque triangle formé par les torches constitue unsortilège d’alarme. Heureusement, vous êtes capable de désamorcer ces enchante-ments, mais il faut les traiter les uns après les autres. Combien de contresorts vousfaudra-t-il ?


Théorème 2.5 (relation de Pascal)Pour tous entiers 0 < p < n,(

n

p

)=(n− 1p

)+(n− 1p− 1

).

Définition 2.5 (triangle de Pascal)

Les combinaisons(np

)sont souvent présentées dans le tableau de Pascal :

np 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 1... ... . . .

Théorème 2.6 (formule du binôme)Pour tout entier n, pour tous réels x, y,

(x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk =

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k.

Exercice 7.5.Montrer que

n∑k=0

(n

k

)= 2n, et retrouver ce résultat en calculant de deux façons le

cardinal de P(E).

2.5 Applications diversesExercice 7.6.Dans ces différentes situations, trouver le nombre demandé.

1. Un attaché de commerce doit visiter 50 villes, et choisir le trajet le plus court.Parmi combien de trajets possibles peut-il choisir ?

2. Une compagnie de gardiennage doit surveiller 100 sites, mais ne possède que50 gardiens. Parmi combien de répartition des tâches doit-elle choisir ?

3. Dans ma garde-robe, j’ai 5 pantalons, 10 chemises, et 3 paires de chaussures.Combien de tenues différentes ai-je ?

4. Combien de routes aériennes y a-t-il reliant 300 aéroports ?

2. Dénombrement 57

5. Une compagnie aérienne possède une flotte de 150 avions, à répartir entretoutes ces routes aériennes. Combien de répartitions différentes peut-on avoir ?

6. Même question, mais, pour augmenter le trafic, la compagnie s’autorise plu-sieurs avions sur une même route aérienne.

7. Lors d’une compétition de relais à 4, combien y-a-t-il d’ordres de relais pos-sibles ?

8. Même question avec 2 remplaçants supplémentaires.9. Lors d’une lotterie, on tire simultanément 5 numéros entre 1 et 10. Combien

de tirages sont possibles ?10. Je peux choisir n numéros (n entre 1 et 5), et je gagne si tous les numéros

que j’ai choisi sont tirés. Combien de combinaisons sont-elles possibles enfonction de n ? Combien de combinaisons gagnantes dans ce cas ? Quel nchoisir pour maximiser mes chances ?

Chapitre 8

Probabilités sur un univers fini

1 Les événements

1.1 Le language des événementsDéfinition 1.1

On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prédire lerésultat avant de l’avoir effectuée.

Un événement est une affirmation sur le résultat d’une expérience aléatoire.

Définition 1.2Un événement qui ne se réalisera jamais est appelé événement impossible, unévénement qui se réalise toujours est appelé événement certain.

Pour un résultat précis de l’expérience, l’événement « C’est ce résultat quiest arrivé » est un événement élémentaire.

1.2 Modélisation mathématiqueDéfinition 1.3 (modélisation d’une expérience aléatoire)

L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, noté Ω,est appelé univers de l’expérience.

Un résultat de l’expérience est ainsi un élément ω de l’ensemble Ω. Seul l’und’entre eux est observé à l’issue de l’expérience.

Un événement est ainsi une partie de Ω, A ∈P(Ω).

Exercice 8.1.Vous voici toujours dans la tour du Magicien, en possession d’un magnifique rubis.La pièce dans laquelle vous vous trouvez comporte, en plus de la porte par laquellevous êtes rentré, p = 8 portes. Vous décidez de prendre une porte au hasard. Quelest l’univers de cette expérience ?

Cinq de ces portes sont en réalité des illusions, à quoi correspond l’événement« vous vous cassez le nez sur un mur. » ?

59

60 Chapitre 8. Probabilités sur un univers fini

1.3 Correspondance entre le langage des ensembles et lelangage des événements

— Un résultat ω réalise l’événement A ssi ω ∈ A.— L’événement A implique l’événement B ssi A ⊂ B.— L’événement contraire à A est Ω \ A = Ā.— L’événement « l’un des deux événements A ou B est réalisé » est modélisé

par A ∪B.— L’événement « les événements A et B sont tous deux réalisés » est modélisé

par A ∩B.— Si A ∩B = ∅, A et B ne peuvent arriver en même temps, ils sont incompa-

tibles.Définition 1.4 (systèmes complets d’événements)

La famille A1, . . . , An est un système complet d’événemen

Documents

ECE1 - normale supmainguy/enseignement/ECE1/polymaths.pdfiv Table des matières 4.2 Prolongementparcontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.3 Continuitésurunintervalle