GRGS

Groupe de Recherches de Géodésie Spatiale

Ecole d’ été du GRGS« Détermination du champ de gravité terrestrepar les nouvelles missions spatiales »

Forcalquier, 2-6 Septembre 2002

Equations pour les mesuresgradiométriques (GOCE)

G. Balmino , CNES-GRGS

1

CE QUE MESURE UN GRADIOMETRE

Rappel (cf. cours de P. Touboul)

Psat

electext

P

electSP

RRR

mM

fF

m

PfUU

)SPω(ωSP)ω(SPωSPSP

.. )(

2 .... .

= 0 = 0

R

. Scentre de masse

P

Q

)( SPSPUUw SPP

wP

0

0

0

12

13

23

Un accéléromètre en P donne accès à :

2P U . SP . SP . SP .

De même, en Q :

*

*

wQ2

Q U . SQ . SQ . SQ .= _ _

= _ _.

.

Satellite

2

Fext (non gravi.)

force électrostatique exercée par le satellite sur la masse d'épreuve mP

On calcule et soustrait le "mode commun"

wQ - wP = [ 2S U - ( + 2) ] . [PQ]

U2

22

212313

3221

2312

312123

22

2

: sym.

: sym.

: anti-sym.

.

.

22)(2

1 UT

)(2

1 T

t

t

T d0

)(2/10

3

+ autres données d'attitude (senseurs stellaires)

LES DIFFERENTES CONTRIBUTIONS A 2U

- POTENTIEL DU CORPS CENTRAL (TERRE)

Partie statique (« moyenne ») Variations temporelles : 1. marées terrestres 2. marées océaniques

3. pression atmospérique 4. humidité des sols,

enneigement, ...

- POTENTIELS «  3.ème - CORPS  »Satellite(s) naturel(s) : LuneSoleilPlanètes

4

),,(

),(

ruK

YKr

R

r

GMU

lmm

lm

mlmlm

l

l

CORPS CENTRAL

x1

x2

x3

X2

X3

X1

S.

(R)(r)

(R )

()

(r) = {xi } : fixe/corps(R)= {Xi} : repère du gradiomètre

X1 : ~ vecteur vitesse X2 : ~ normal , X3 : ~ radial

En S

0

0l

lUUU

rGMU /0

• Les mesures sont faites dans (R) : U ”ij = 2U / Xi Xj

• On ne mesure pas (bien) tout le tenseur 2U = (U ”ij ) !Pour GOCE : U ”11 , U ”22 , U ”33 (et peut-être U ”13 )

Autres termes pas assez précis(erreurs sur , , ...)

.

(r,,) / (r)

5

Klm ,Ylmnorm.

Les signatures du potentiel gravitationnel terrestre dans U”ij

= X1= X2 = X3

Si mesures parfaites : une seule composante suffit En présence d ’erreurs de mesures : plusieurs composantes nécessaires

Par rapport aux W ”ij d ’un ellipsoide de référence dynamique

U”ij -W ”ij (Eötvös)

6

(cf. planche 5 )

Si X = M x , avec M T = M -1

on a : ( U )(R) = M ( U )(r)

( 2U )(R) = M ( 2U )(r) M T

il faut écrire l ’équation d ’observation dans ( R )

Dans ( R ) : U”ij(obs) - U”ij(calc) = lm (U”ij / Klm)(R) Klm

= lm [ kn Mik (U”kn / Klm)(r) Mjn ] Klm

2 ulm

xk xn

=

7

Principe du calcul des 2 ulm / xk xn

Formalisme : non singulier aux pôles (et aussi précis)stable (précis) , (l,m) ; (l,m : grands, ~300 à 1000)rapide récurrences

Bases : Ylm (,) = Plm(sin ) e i m

k = xk / r , = 1 , = 2

+ i = cos e i

récurrences pour m , m et dérivées /

Relations de récurrence sur les polynômes d ’Helmholtz

Hlm et leurs dérivées,

avec : Plm(sin ) = cosm . Hlm (sin )

(sous forme normalisée) cf. cours de J.C. Marty , R. Biancale

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N.B. 1. ( 2U0 )(R) peut être traité à part

On a directement 2U0, ij = GM ( 3 xij / r 2 - ij ) / r 3

2. 2U est symétrique

3. U est harmonique à l ’extérieur des masses

vérifie l ’équation de Laplace

4. U”ij est (également) calculé dans les équations aux variations

0'' i

iiU

5 composantes indépendantes

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VARIATIONS TEMPORELLES

1. Marées terrestres

Modèle de Terre

Elastique : sphérique kl

: ellipsoidale klm(0,)

Anélastique ellipsoidale klm(0,) C

nombres de Love

Corrections aux Klm statiques :

*

**1

*

*0

1 ),(~

12 lm

l

T

lmlm Y

r

R

GM

GM

l

kK

+ termes indirects sur K4m : f (k+2m ) …………..( ellipticité)

(i)

(ii) termes correctifs dépendant de la fréquence (temporelle)

lmK2 : cf. ”Standards” IERS ; Cours de J.C. Marty Cours de J.M. Lemoine, G. Ramilien

.

conj.

dans (r)

lmlmlm KKK 21

10

VARIATIONS TEMPORELLES (suite)

Autres effets

masse en surface

masse volumique

h , , ... = densitéde surface

2. marées océaniques pour chaque onde :

h = {hlm} lm = océan . hlm

3. pression atmosphérique

p = {plm} lm = plm / g

Terre sphérique

pesanteur

moyenne g

= {lm}

4. humidité des sols, enneigement, ...

= {lm} : hauteur de matériau

equiv. eau= {lm} lm = eau . lm ~ ~

ll

mllmlm

l

UYlr

RR

r

GU

,

2 ),(12

14

Attention !déformation

ll Uk '...nombres de Love de charge

11

VARIATIONS TEMPORELLES (fin)

Donc, si l ’on écrit :

mllmlm

l

YKr

R

r

GMU

,

),(

alors :

lml

lm l

k

M

RK

12

'14 2

G

gRM

2

lml

lm l

k

g

GK

12

'14

déterminables(éventuellement)

12

CONTRIBUTIONS DE TYPE 3.ème CORPS

P*

LuneSoleilPlanètes

.

.S

P*

O

r

r*

*

*

).1

(3*

*

***

PS

r

rrGMU

Dans le repère lié au corps, ou tout autre repère :

)( ixr )( **

ixr

ijjjiiij xxxxGM

U

2***3*

*''* /)()(3

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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES

Problème : la précision des mesures de gradients de gravité par micro-accélérométrie différentielle, dépend de la fréquence

(cf. Cours de P. Touboul)

(i) Espérer étendre la précision à toutes les fréquences nécessaires par paramétrisation supplémentaire (en particulier à basse fréquence, en faisant confiance au SST-GPS , et/ou à l'aide d'un "très bon" modèle de

référence à grandes longueurs d'ondes - par ex. issude GRACE ...)

ou (ii) Filtrer les mesures (... et aussi les équations d ’observation) pour ne garder l ’information que

dans la bande de fréquence ad ’hoc

Pour GOCE , la précision est max. (et ~ constante) entre 0.005 et 0.1 Hz

1500 km - 75 km

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Spécificationinitiale :

3 mE/Hz entre0.005 et 0.1 Hz(pour L = 0.5 m)

Performancesprédites (à partird ’analyses et de tests)

(200 s) (10 s)

GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre

gg=2 g / L

~1/ f

PSD : Power Spectral Density = densité spectrale de puissance du bruit ()= {f.a.c.( ) }

transformée de Fourier

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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES(aperçu et fin)

Equations d'observation initiales Ax = bcov ( b) = = cov ()

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Soit F : filtre (opérateur linéaire) appliqué aux observations, et aux quantités théoriques et vecteurs colonnes de A

b = F bA= F A

Ax = bcov ( b) = = E( b bT) = F FT

:= -1{PSD ()} : ses éléments sont fonction de l' intervalle de temps

entre deux mesures, et de

Soit R le facteur de Cholesky de , i.e. = RT R

si l'on prend F = (R -1)T alors : = Id .

voir cours de G. Métris

F I N

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