Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg ...icube-avr.unistra.fr/fr/img_auth.php/5/5f/Chapitre1-2.pdf · • Commande CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier) •

Commande Robuste

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg

Option ISAV

Master ISTI, spécialité PARI, parcours AV

Professeur Michel de Mathelin

Cours intégré : 15 h+10 h

Programme du cours de commande robuste (1)

• Chapitre I: Introduction

– Objectifs

– Différentes approches

• Chapitre II: Robustesse et performance

– Fonctions de sensibilité

– Critères de robustesse

– Critères de performance

– Gabarits fréquentiels

• Chapitre III: Synthèse H∞ standard

– Algorithme de Glover-Doyle

– Synthèse H∞– Correcteurs à deux degrés de liberté

– Modelage de la boucle ouverte

• Chapitre IV: Mise en oeuvre

– Réduction de modèle

– Discrétisation

Programme du cours de commande robuste (2)

• Chapitre V: µ-analyse et µ-synthèse

– µ-analyse

– µ-synthèse

• Chapitre VI: Etude de cas

• J. Bernussou, coordinateur, Commande robuste: développements et

applications.

Hermès, Paris, 1996.

• G. Duc et S. Font, Commande H∞ et µ-analyse.


• A. Oustaloup, coordinateur, La robustesse: analyse et synthèse de

commandes robustes.


• A. Oustaloup, La commande CRONE.


Bibliographie – ouvrages en français

• S. Bhattacharyya, H. Chapellat, & L. Keel, Robust control : the parametricapproach.

Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, & V. Balakrishnan, Linear matriuxinequalities in system and control theory.

SIAM Studies in Applied Mathematics, vol. 15, SIAM, Philadelphie, 1994.

• M. Green and D. J. Limebeer, Linear robust control.

Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995.

• I. Horowitz, Quantitative feedback design.

QFT Publications, Boulder, 1993.

• J. M. Maciejowski, Multivariable feedback control.

Addison Wesley, Wokingham, 1989.

• D. C. McFarlane and K. Glover, Robust controller design.

Lecture Notes in control and information sciences, Springer, Berlin, 1989.

Bibliographie – ouvrages en anglais (1)

• M. Morari and E. Zafiriou, Robust process control.

Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.

• S. Skogestad and I. Postlethwaite, Multivariable feedback control.

Wiley, Chichester, 1996.

• K. Zhou, J. C. Doyle, & K. Glover, Robust and optimal control.


• K. Zhou with J. C. Doyle, Essentials of robust control.


Bibliographie – ouvrages en anglais (2)

I.1 Objectifs (1)

• Méthodes classiques

Objectifs:

– Suivre les variations de la consigne

– Rejeter les perturbations et le bruit

Méthode:

– Synthèse à partir d’un modèle nominal du système

sur base de critères de stabilité et de performance

– Analyse a posteriori de la robustesse

I. INTRODUCTION

I.1 Objectifs (2)

• Méthodes de commande robuste

Objectifs:

– Suivre les variations de la consigne

– Rejeter les perturbations et le bruit

– Garantir des marges de robustesse

Méthode:

– Synthèse à partir d’un modèle nominal du système sur base de critères de stabilité et de performance

– Prise en compte dans la synthèse de critères explicites de robustesse vis à vis des incertitudes

I. INTRODUCTION

I.2 Différentes approches

• Commande avec modèle interne

• Commande LQG/LTR (Linéaire Quadratique Gaussienne avec

Recouvrement de transfert de boucle)

• Commande prédictive (GPC, MPC)

• Approche QFT (Quantitative Feedback Theory)

• Placement de pôle robuste

• Approche paramétrique (Théorème de Kharitonov)

• Commande CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier)

• Commande H∞

• µ-analyse et µ-synthèse

• Approches basées sur des LMI (Inégalités Linéaires Matricielles)

Les 3 dernières approches sont multivariables et font l’objet de ce cours

I. INTRODUCTION

II. ROBUSTESSE ET PERFORMANCE

– Fonctions de sensibilité

– Critères de robustesse

– Marges de stabilité

– Robustesse vis-à-vis des dynamiques négligées

– Critères de performance

– Gabarits fréquentiels sur les fonctions de sensibilité

II.1 Fonctions de sensibilité (1)

G(s) Fonction de transfert du système

K(s) Fonction de transfert du correcteur

r Signal de consigne ou de référence

u Signal de commande

y Signal de sortie (grandeur à réguler)

ym Mesure de la sortie


δu Perturbation d’entrée

δy Perturbation de sortie

b Bruit de mesure

e Erreur d’asservissement

ε Erreur de suivi

(non mesurable)

K(s) G(s)r

b

e uy

ym

δδδδu δδδδy

εεεε

-

-



2.11 Cas monovariable (SISO)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]bruyy

byruyeuyy

byryre m

−++=⇒

−−++=++=+−=−=

TGSS

KGGKGG

)(

δδ

δδδδ

)(S1)KG(1

)KG()T(

)KG(1

1)S(

ss

ss

ss

−=+

=

+= Fonction de sensibilité

Fonction de sensibilité complémentaire

(1)



2.11 Cas monovariable (suite)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]ubyryr

byruu

ubyr

byryre m

δδε

δδ

δδ

GSTSS

KST

GSSSS

)(

−+−=−=

−−+−=⇒

−−−=+−=−=

(2)

(3)

(4)



2.12 Cas multivariable (MIMO)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]bruyy

byruyeuyy

byryre m

−++=⇒

−−++=++=+−=−=

sss TGSS

GKGGKG

δδ

δδδδ)(

s

1

s

1

s

SIGKGK)(IT

GK)(IS

−=+=

+=

−

−

)(

)(

s

s Fonction de sensibilité en sortie

Fonction de sensibilité

complémentaire en sortie

(5)



2.12 Cas multivariable (suite)

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]byruu

uubyru

ubyryr

ubyr

eubyrbyre

−−+−=⇒

−−−−=

−+−=−=−−−=

−−−−=+−=

δδδδ

δδεδδ

δδ

KST

KGKGK

GSTS

GSS

GKG

ee

sss

ss

)(

(6)

(7)

(8)

e

1

e

1

e

SIKGKG)(I(s)T

KG)(I(s)S

−=+=

+=−

− Fonction de sensibilité en entrée

Fonction de sensibilité

complémentaire en entrée



2.12 Cas multivariable (suite)

s

1

e

1

s

1

e

1

s

TKGKG)(ITGGK)K(IGKS

KKG)(IKSGKIKKS

≠+==+=

+==+=

−−

−−)(

II.2 Critères de robustesse (1)

2.21 Marges de stabilité (cas monovariable)

•

•

KG(jω)

1-1•

cωϕ

δg

1−

g ′−1

•

Diagramme de Nyquist (monovariable)


Critère de Nyquist:

Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi KG(jω)encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre

de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte



2° Marge de retard ττττ

= retard qui entraîne l’instabilité

{ } ( )( )

ci

i

i

cii

cici

jKG

jKG

ωϕτ

ωπϕωω

min

argsoit

1que tellespulsations lessoit

=⇒

−==


1° Marge de phase ϕϕϕϕ

= déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)



4° Marge de module δδδδ

= distance minimale entre KG(jω) et -1

{ }∞

∈

∈=⇒

+

=+=S

jKG

jKG1

)(1

1sup

1)(1inf δ

ω

ωδ

ω

ω

R

R

∞∞∞= LH ou norme


3° Marges de gain g et g’ < 1

= gain qui entraîne l’instabilité



)(sup

: à égaleest de norme la ), transfertdefonction uneSoit

ωjGG

G(s)LG(sω R∈∞

∞

=*

Remarque : La norme d’une fonction de transfert correspond

à son amplitude maximale dans un diagramme de Bode∞H


Définition 2.1

Définition 2.2

)(sup

: à égaleest de norme la ), stable transfertdefonction uneSoit

ωjGG

G(s)HG(sω R∈∞

∞

=*


2.21 Marges de stabilité (cas multivariable)

{ }

{ } { } { }( )

{ } { }( ){ }∑

∏∏+=+=>

+=+=+

+=

i

i

i

i

i

i

jj

sss

s

)(1arg)(detarg

)(1)()(det

det zérosfermée boucle la de pôles

ωλω

λλ

KGKGI

KGKGIKGI

)KG(I

Critère de Nyquist généralisé

Le système asservi est stable ssi :

les lieux caractéristiques pris tous ensembles

encerclent le point –1 dans le sens anti-horlogique un nombre

de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte

{ })( ωλ ji KG




2° Marge de retard ττττ= retard appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne

l’instabilité de la boucle


1° Marge de phase ϕϕϕϕ= déphasage appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne


= déphasage minimum entraînant l’instabilité d’un des lieux

caractéristiques

3° Marges de gain g et g’ < 1

= gain appliqué identiquement sur chaque sortie qui entraîne




4° Marge de module δδδδ= distance minimale entre les lieux caractéristiques

et le point -1

{ }

{ }{ }

( ){ } ( ){ }

∞

−

∈

−−

∈

∈

∈

∈

=⇒

+=+=

+=

+=

+=

S

KGIKGI

KGI

KGI

KG

R

R

R

R

R

1

)(sup

1)(inf

)(inf

)(inf

)(1mininf

1

11

max

min

min

δ

ωσωσ

ωσ

ωλ

ωλδ

ω

ω

ω

ω

ω

jj

j

j

jii


{ })( ωλ ji KG




{ })(sup

: à égaleest de norme la ), transfertde matrice uneSoit

ωσ j

(s)L(sω GG

GG

R∈∞

∞

=*

Définition 2.3

{ })(sup

: à égaleest de norme laet

RH)( ), stable transfertde matrice uneSoit

ωσ j

(s)H

s(s

ω GG

G

GG

R∈∞

∞

∞

=

∈*

Définition 2.4


2.22 Robustesse vis à vis des dynamiques négligées

2.221 Erreur de modèle multiplicative

)()()()(

)()()()(

)()(

)1(

1

1

ωωωωωωωω

ωωω

jWjKGjKGjKG

jjKGjKGjKG

jWj

GG

M

M

M

M

<−⇒

∆+=⇒

∈∀<∆∃⇒

∆∆+=

∆

∆

∆

R

Cas monovariable (SISO)


où est une fonction de transfert inconnue

une fonction de transfert stable telle que:1W


2.221 Erreur de modèle multiplicative

1

1)(1

)()()()()(1

1

1

1

GGTW

jKG

jWjKGjWjKGjKG

∆∞<⇔

∀<+

⇔∀>+ ωω

ωωωωωω


Condition de stabilité

•

•-1

1+KG(jω)

KG(jω))()( 1 ωω jWjKG

•

•

••

••


si et ont le même nombre de pôles à partie réelle < 0



2.222 Erreur de modèle additive

)()()()(

)()()()(

)()(

2

2

ωωωωωωωω

ωωω

jWjKjKGjKG

jjKjKGjKG

jWj

GG

A

A

A

A

<−⇒

∆+=⇒

∈∀<∆∃⇒

∆∆+=

∆

∆

∆

R



où est une fonction de transfert inconnue

une fonction de transfert stable telle que:2W


2.222 Erreur de modèle additive

1

1)(1

)()()()()(1

2

2

2

GGKSW

jKG

jWjKjWjKjKG

∆∞<⇔

∀<+

⇔∀>+ ωω

ωωωωωω



•

•-1

1+KG(jω)

KG(jω))()( 2 ωω jWjK

•

•

••

••


+ et ont le même nombre de pôles à partie réelle < 0


2.223 Schéma standard

Exemple

-K

∆

+ +G

2We u

z w

−−=

GI

I0P

2W

Le système nominal + dynamiques

négligées est mis sous une forme standard

∆

z

eu

wP(s)

K(s)

P = système augmenté

=

=

2221

1211

euew

zuzw

PP

PP

PP

PPP




La fonction de transfert w → z

∆

zw

= transformation linéaire

fractionnaire inférieure

( )( ) 21

1

221211 PKPIKPP

KPT

−−+=

= ,lwz F

( )KP,lF

La fonction de transfert u → e

= transformation linéaire

fractionnaire supérieure( )

( ) 12

1

112122 P∆PI∆PP

∆PT

−−+=

= ,uue F



eu

K

( )∆P,uF


Théorème des petits gains

( ) ( )( )

( ) γε

ε

=<

<∆∈∀

∞

∞∞

1ssi

que telstabilise alors

stable)est que tel(cad, 0,tstabilisansoit

KP,

HR∆∆P,K

KP,PK

l

u

lu

F

F

FF

∆

zw ( )KP,lF

∞RH

est l’espace des fonctions

de transfert réelles stables

où




Théorème des petits gains

( )

( )( )

1

1

1

avec1

2

2

2

<⇔

<+⇔

<−+⇔

−−=<

∞

∞

−

∞

−

∞

W

W

WFl

s

1

21

1

221211

KS

GKIK

PKPIKPP

GI

I0PKP,

Exemple 1: incertitudes additives en sortie

( ){ }( ) ( ){ } ( )

A

A

jW

j

jWj

j

∆+=

<

∆

∆⇔

<∆⇔∀<∆

∆

∞

GG

ω

ω

ωωσ

ωωσ

22

11

44 344 21

Stable ssi

-K

∆

+ +G

2We u

z w



11 <∞

WsT


-K(s) G(s)

∆

+ +

( )( )( ) ( ) 1 avec11 ≤∆∆=∆⇔∈∀<∆

+=

∞WjWj MM

M

R

G∆IG∆

ωωωσ


Exemple 2: incertitudes multiplicatives en sortie

e u

z1W

w

1

1

1

)( WFW

l

−+−=⇒

−−=⇒ GK)GK(IKP,

GI

G0P

11 WW s

1 TGKGK)(I −=+−= −

(théorème des petits gains)

II.3 Critères de performance (1)

•Suivi de consigne

•Rejet de perturbation

•Atténuation du bruit de mesure

•Modération de la commande

∃ des critères contradictoires => compromis nécessaires

Synthèse => transformation en critères fréquentiels∞H


[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]byruu

ubyr

ubyre

ubryy

−−+−=−+−=

−−−=+−+=

δδδδε

δδδδ

KST

GSTS

GSS

GSTS

ee

sss

ss

sss(5)

(6)

(7)

(8)


2.31 Suivi de consigne

2.311 Précision statique [ ]rsS=ε1° erreur de position

( ) ( ) psst

p essstUtrte ===⇔==→→∞→

)0()(limlim)()(oùlim00

ss SSI εε

{ }{ })(

0)0(

ωσσ

js

s

S

S

⇒

=⇔erreur de position = 0

a une pente 20dB/décade à l’origine


≥

•Précision statique

•Temps de réponse

•Dépassement ou facteur d’amortissement



2.311 Précision statique

{ })(

0)(1

lim0

ωσ

ωω

σω

j

jj

s

s

S

S

⇒

=

⇔→

erreur de vitesse = 0

a une pente 40dB/décade à l’origine

2° erreur de vitesse

( ) vst

v ess

ttUtrte =⇔==→∞→

)(1

lim)()(oùlim0

sSIε

3° erreur d’accélération

( ) ast

a ess

tUt

trte =⇔==→∞→

)(1

lim)(2

)(oùlim20

2

sSIε


≥



2.312 Temps de réponse

1° système du premier ordresτ+1

1

2° système du deuxième ordre

Le temps de réponse est corrélé à la bande passante en B.F. : ( )ωjsT

Pulsation de coupureτ

ω 1=C

Temps de montée τ2,2%90%10 == −ttm

22

2

2 nn

n

ss ωζωω

++Pulsation naturelle

nω = pulsation de coupure diagramme de Bode asymptotique

Temps premier maximum )1(1 2

1 <−

= ζζω

π

n

t

Temps d’établissement (temps de réponse) à x % )1(100

1ln

12

% <

−−= ζζζω

xt

n

x




Bande passante ⇔fréquences où le gain de la boucle fermée ≥ -3dB

( ){ }( ){ } C

C

j

j

ωωωσωωωσ

≤∀≤⇐≤∀≥⇒

293,0

707,0

s

s

S

T


2.312 Temps de réponse

Temps de montée )1(8,1 <≈ ζ

ωn

mt

2° système du deuxième ordre (suite)

⇒le temps de réponse est inversement proportionnel

à la bande passante en boucle fermée

Si est la pulsation de coupure :cω



2.313 Facteur d’amortissement

Système du deuxième ordre

∞

−−

=

=

S

eD

1 à liéest

10021/

%

δζ

ζπζ

∞S

0,3

0,5

0,7

0,9

2 (6dB)

1,5

1,3 (3dB)

1,2

=> L’amortissement peut être spécifié par

( ){ } dB 4ou 3sup ≤=∞

ωσω

jss SS


Typiquement:

ζ

∞S


2.32 Rejet de perturbations

Supposons que soit une perturbation basse-fréquence

⇒ Il faut proche de zéro dans les basses fréquences

⇒ Définir une fonction de transfert telle que

le rejet de perturbation est correctement effectué si

2.321 Rejet de la perturbation de sortie ][ yy δsS=

yδ)( ωjsS

Par exemple

( ) γωγω ≤⇔∀≤∞ss SS 11 WjW

1W

)(1 ωjW = fonction de

pondération

fréquentielle

{ } 0)0(

11

=⇒

=

sSσωj

wW

⇒ rejet de perturbation constante



2.32 Rejet de perturbations

⇒Il faut proche de zéro dans les fréquences où

la perturbation est significative

⇒ Définir une fonction de transfert telle que

le rejet de perturbation est correctement effectué si

2.321 Rejet de la perturbation d’entrée ][ uy δGSs=

uδ)( ωjGSs

( ) γωγω ≤⇔∀≤∞

GSGS ss 33 WjW

3W

)(3 ωjW = fonction de pondération fréquentielle proportionnelle

à la perturbation



2.33 Atténuation du bruit de mesure

A. ⇔ dans la plage de fréquence du bruit

⇔ Définir tel que l’effet du bruit est atténué

sur la sortie si

( ){ } 0≈ωσ jsT

2W

γ≤∞sT2W

B. ⇔ Définir tel que l’effet du bruit est atténué

sur la commande si4W

γ≤∞

KSe4W

Exemple ( ) ωγω

ω ∀≤⇒= 2

2

2

wj

w

sW sT


][by sT−= et ][bu KSe−=

roll-off de –20dB/décade


2.34 Modération de la commande

⇒ Limiter dans la bande passante

⇒

( ){ }ωσ jKSe

[ ]ru KSe=

( ){ } bas-passe filtre2

constante1

<°

<°∞

ωσ jKS

KS

e

e


⇔ Définir tel que4W γ≤∞

KSe4W

II.4 Gabarits fréquentiels (1)

2.41 Gabarit sur

γ<∞1WsS

sS

•

( )ωγjW1

( ){ }ωσ jsS

ω1

1K=

δ

pE

sω

( )ωjW1grand dans les basses-fréquences => précision statique

( borne supérieure de l’erreur de position)pE

sω ≅ bande passante minimalecs ωω >

1

1

−= Kδ = limite supérieure de la marge de module

S = transfert consigne → erreur

= transfert perturbation de sortie → sortie

Exemple : γωωδ

Sp

S

Es

ssW

++=)(1



2.42 Gabarit sur sT

•

( )ωγjW2

ωcω

( )ωjW2grand dans les hautes-fréquences ⇒ atténuation du bruit

-3dB

rω•γ<⇔

∞2WsT

( ){ } cj ωωωσ ≥∀≥ 707,0sT bande passante

Exemple : ( ) cr

r

ssW ωω

ωγ>=2

1! ω∀−= ss SIT

⇒ les 2 gabarits ne sont pas indépendants!


( ){ }ωσ jsT


2.43 Gabarit sur γ<∞3WGSs

GSs

( )ωγjW3

( ){ }ωσ jGSs

ω

3W constant

3Wvariable

3W permet d’ajuster le rejet de perturbation d’entrée

sur la sortie



2.45 Gabarit sur ousKS

( )ωγjW4

( ){ }ωσ jsKS

ω

2k

KSe

1k

• •cω uωPermet d’éviter d’exciter

Les commandes au-delà de la

bande passante choisie

⇒ petit2k

4W ≅ bande passante commande

Exemple: cu

u

u

sk

sk

ksW ωω

ωω

γ>

++=

2

1

1

4

1)(

1

ou bien1

4

1)(

1

ksW =

γ


γ<∞4WsKS


2.44 Gabarit sur eTGKSs =

( )ωγjW5

( ){ }ωσ jGKSs

ω

4W permet d’ajuster le rejet de perturbation d’entrée sur

la commande mais aussi le « roll-of » et le bruit de

mesure par rapport à la sortie


γ<∞5WGKSs

II.5 Récapitulatif

Stabilité robuste

Marge de module δIncertitudes additives en sortie

Incertitudes multiplicatives en sortie

Incertitudes multiplicatives en entrée γ

γ

γ

δ

≤

≤

≤

≤

∞

∞

∞

∞

e

s

s

s

T

T

KS

S

W

W

W

1


II.5 Récapitulatif (suite)

Performance robuste

γ

γ

γ

γ

γ

≤

≤

≤

≤

≤

∞

∞

∞

∞

∞

KS

T

T

GS

S

e

e

s

s

s

W

W

W

W

W

Erreur de position

Erreur de vitesse

Erreur d’accélération

Bande passante

Amortissement

Rejet perturbation de sortie (en sortie)

Rejet perturbation d’entrée (en sortie)

Atténuation du bruit de mesure (en sortie)

Rejet perturbations d’entrée (en entrée)

Modération de la commande

pe

ve

ae

cω7,0>ζ

)(1

lim

)(1

lim

)(lim

20

0

0

ss

e

ss

e

se

sa

sv

sp

s

s

s

S

S

S

→

→

→

=

=

=

( ){ } cj ωωωσ ≤∀< 293,0sS

dB3≤∞sS


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