Économie Publique - Travaux pratiques · Un consommateur dont l’utilité et la dotation sont : Nous savons que notre revenu initial, c’est Ici, nous pouvons remplacer avec la

: Thomas Jeegers Auteur Juin 2010

Économie publique – Travaux pratiques – Notes de cours Page 1

Travaux pratiques – É conomie Publique

Table des matières Informations pratiques : ............................................................................................................. 2

Première séance de travaux pratiques : ..................................................................................... 3

Chapitre 1 : ..................................................... 3

Exercice 1.1 ......................................................................................................................... 3

Exercices supplémentaires ................................................................................................. 3

Chapitre 2 : .............................................................................. 4

Exercice 2.1 : True-false ...................................................................................................... 4

Exercice 2.2 ......................................................................................................................... 5

Exercice 2.3 ......................................................................................................................... 7

Exercice 2.4 ......................................................................................................................... 7

Exercice 2.5 ......................................................................................................................... 9

Exercice 2.6 ....................................................................................................................... 10

Exercices supplémentaires ............................................................................................... 10

Deuxième séance de travaux pratiques : ................................................................................. 12

Chapitre 4 : .................................................................. 12

Exercice 4.1 ....................................................................................................................... 12

Exercice 4.2 ....................................................................................................................... 15

Exercice 4.3 ....................................................................................................................... 16

Exercice 4.4 ....................................................................................................................... 17

Exercice 4.5 ....................................................................................................................... 18

Chapitre 5 : ................................................................................................. 20

Exercice 5.1 ....................................................................................................................... 20

Exercice 5.2 ....................................................................................................................... 20

Exercice 5.3 ....................................................................................................................... 22

Troisième séance de travaux pratiques : .................................................................................. 23

Chapitre 5, suite (exercices supplémentaires) ..................................................................... 23

Exercice 5.5 ....................................................................................................................... 23

Exercice 5.6 ....................................................................................................................... 23

Chapitre 7 : ................................................................................................ 24

Exercice 7.1 ....................................................................................................................... 24

Exercice 7.2 ....................................................................................................................... 25

Exercice 7.3 ....................................................................................................................... 27

Quatrième séance de travaux pratiques : ................................................................................ 30



Chapitre 8 : ............................................................................. 30

Exercice 8.1 : True – False................................................................................................. 30

Exercice 8.2 ....................................................................................................................... 32

Exercice 8.3 ....................................................................................................................... 34

Exercice 8.4 ....................................................................................................................... 35

Exercice 8.5 ....................................................................................................................... 35

Cinquième séance de travaux pratiques : ................................................................................ 37

Article de Jean Hindriks : L’école de la chance ..................................................................... 37

A. Efficacité ................................................................................................................ 37

B. Définition et mesure .............................................................................................. 38

C. La ségrégation ....................................................................................................... 40

Sixième séance de travaux pratiques ....................................................................................... 43

Chapitre 16 : ............................................................................................ 43

Exercice 16.1 ..................................................................................................................... 43

Exercice 16.2 ..................................................................................................................... 44

Exercice 16.3 ..................................................................................................................... 45

Chapitre 17 : ..................................................................................... 46

Exercice 17.1 ..................................................................................................................... 46

Astuces et tuyaux pour l’examen ............................................................................................. 47

Informations pratiques :

Assistant : Alexandre Simons Horaire : Mardi, 14h – 16h. Dans ce document, certaines formules ou même parties de formules sont mises en gras. C’est

simplement pour insister sur les parties plus difficiles ou sur les erreurs classiques.



Première séance de travaux pratiques :

Chapitre 1 :

Exercice 1.1

“What restricts the policies that a government can choose? Are there any arguments for imposing additional restrictions?”

Le gouvernement est limité en information, donc il va taxer sur les revenus de l’emploi et pas

sur la richesse. Le gouvernement souhaite garder un budget à l’équilibre, même chose avec sa balance commerciale. Il peut vouloir éviter trop d’émigration ou trop d’immigration. Sa politique va donc être restreinte par les objectifs politiques qu’il veut réaliser.

Solution proposée par l’assistant : There are numerous issues that can be raised in answering this question. One response that

may not be obvious is to introduce the role of information. Limited information makes some policies infeasible. For example, income from employment can be observed with a reasonable degree of accuracy. In contrast wealth is much harder to observe and measure. Therefore income is taxed in many countries whereas wealth is not (the exception to this are estate duties levied after death).

The ranges of other issues that can be introduced include: the need to maintain budget balance; the need to maintain trade balance; avoidance of inflation; prevention of excessive emigration or immigration. Additional restrictions may also be needed to limit the incentives for evasion that are introduced or to ensure that corruption is not permitted to become endemic.

Exercices supplémentaires

Exercice 1.2

“If individual welfare levels cannot be compared, how can it be possible to make social judgments?”

Par le mécanisme de vote, on peut savoir si une situation est préférée à une autre, mais aussi

(l’argument suivant n’a pas été relevé par l’assistant) à travers le mécanisme des prix, les individus révèlent eux-mêmes leurs préférences pour tel ou tel bien.

Solution proposée par l’assistant : A social judgment must assess the allocation of welfare across the members of a society. It

would seem natural that such judgments require comparisons of individual welfare levels. Problems in making social judgments arise when some members of society prefer situation A while others prefer situation B. Any social judgment on whether A is better or worse than B must involve some comparison of the individual welfare levels. This is a theme which features at several places in the text. There is one special situation in which such problems do not arise. Assume the welfare levels of all consumers are higher (or some are higher and none are any lower) in situation A than in situation B. Then a natural social judgment is to select A as preferred to B. In this circumstance there is unanimity in favor of A over B. In other cases some aggregate measure is employed (for example the degree of inequality in A and B or the level of national income) to make social judgments. But these aggregate measures simply hide the problem of welfare comparisons.

Exercice 1.3

“Can an economic model be acceptable if it assumes that consumers solve computationally-complex maximization problems? Does your answer imply that Tiger Woods can derive the law of motion for a golf ball?”



(La justification n’est pas conforme avec la solution proposée par l’assistant) Oui, le modèle

peut être acceptable, puisque c’est l’ensemble de la population qui est visée et pas un individu particulier. Ainsi, d’une manière générale, l’optimal sera atteint. À l’inverse, Tiger Woods étant un individu particulier, rien n’est supposé à son sujet.

Solution proposée par l’assistant : Many activities involve the solution of complex problems. The calculation of the force

necessary to propel a golf ball the length of a fairway to within a few paces of the hole requires an understanding of the trajectory of the ball when influenced by gravity and air resistance. It is equally complex to determine the speed at which the club must be travelling at the point it hits the ball in order to impart the force (taking into account the deformation of the ball on impact). Despite these difficulties, people do succeed in making successful golf shots. The explanation for this is that repetition gives an intuitive understanding of the solution. Experience shows what has worked in the past and gives a guide to what will work in the present. The same argument can be applied to many economic decisions. Those that we make frequently we tend to get right since experience has revealed the solution. The allocation of a weekly budget across the thousands of products on offer in a large store is a maximization problem in a choice space with many dimensions. By shopping each week and occasionally sampling alternative products an optimal solution (or at least close to optimal) is achieved. We can therefore model consumers acting as if they solve complex problems for the same reasons we can observe Tiger Woods playing golf as if he can solve complex problems in mechanics.

Exercice 1.4

“To analyze the effect of a subsidy to rice production, would you employ a partial equilibrium or a general equilibrium model?”

(Bonne intuition, mais pas parfaitement exacte (par rapport à la solution proposée par

l’assistant)) Il faudrait utiliser un modèle d’équilibre général pour être complet, car ce genre de subside aurait également un impact sur les autres marchés. Cependant, prendre en compte tous les marchés affectés par cet impact serait un travail immense et n’apporterait pas beaucoup d’information supplémentaire par rapport à un modèle d’équilibre partiel. Un modèle d’équilibre partiel semble donc pertinent.

Solution proposée par l’assistant : The answer must depend upon context. For example, if asked by a development agency to

determine the effect of the subsidy on rice farmers and local consumers then a partial equilibrium model would be sufficient. If instead the question was the effect upon the growth rate of a rice-producing country then general equilibrium would be more appropriate – the repercussions of the subsidy on the markets for related commodities, on diet and its effect upon health, and on trade would all need to be modeled. Successful modeling is the choice of the appropriate level of detail.

Chapitre 2 :

Exercice 2.1 : True-false

Questions:

(a) If one consumer gains from a trade, the consumer they trade with must lose. (b) The gains from trade are based on comparative advantage, not absolute advantage. (c) The person who can produce the good with less input has an absolute advantage in

producing this good.



(d) The person who has the smaller opportunity cost of producing the good has a comparative advantage in producing this good.

(e) The competitive equilibrium is the only allocation where the gains from trade are exhausted.

Réponses :

(a) Faux. a. Intuitivement : nous n’allons faire du commerce que si après avoir commercé,

nous sommes strictement mieux. b. Théorie des avantages comparatifs ; dans une certaine fourchette de prix, nous

aurons un gain qui profitent aux deux parties. (b) Vrai.

a. C’est la définition des gains du commerce. Grâce à l’avantage comparatif, on va bénéficier du commerce.

(c) Vrai. a. C’est la définition d’un avantage absolu (l’avantage comparatif se compare à

l’autre bien). (d) Vrai.

a. C’est la définition d’un avantage comparatif. (e) Faux

a. Un équilibre concurrentiel est Pareto-efficient s’il épuise tous les gains potentiels du commerce. Par contre, ce n’est pas la seule allocation Pareto-efficiente.

Exercice 2.2

Données

Un consommateur dont l’utilité et la dotation sont :

Nous savons que notre revenu initial, c’est Ici, nous pouvons remplacer avec la dotation initiale, ce qui nous donne la contrainte de

budget :



A. Quel est l’effet sur la droite de budget d’une augmentation du prix du bien 1 ?

Donc si x1 = 0, x2

Contrainte de budget Si le prix du bien 1 augmente, la droite devient plus pentue.

B. Déterminez la demande du consommateur, en maximisant son utilité

Quand, à l’examen, on nous demande ça, on doit tout simplement maximiser l’utilité, sous la contrainte. Soit, on utilise un Lagrange, soit on substitue la contrainte de budget dans notre utilité.

Nous préférons un bien à l’autre. Étant donné que l’on préfère l’un des biens, on va

maximiser notre utilité en trouvant la demande pour ce bien.

Remplacer , dans la fonction à maximiser, par sa valeur par rapport à , pour avoir

une équation avec une seule inconnue.

Donc,

First Order Condition (FOC)1 :

(

)

1 Condition de Premier Ordre



&

Conseil : Remplaçons toujours au dernier moment, ça nous fera gagner du temps (car

souvent, la question suivante sera « en changeant la dotation, … », donc si on a remplacé au dernier moment, on ne doit pas refaire tous les calculs).

C : L’effet d’une augmentation de la dotation du bien 1 sur la demande du bien 2

Si 1 ↑, cela agit sur :

Donc si ↑, ↑ Pourquoi ? Parce que nous sommes plus riches, donc nous allons pouvoir demander plus de

bien 2. C’est donc un effet revenu. À l’examen ; on peut tout calculer algébriquement en 1 et on remplace par les valeurs à la

fin. Ça nous permet, quand on a des questions en cascade, de ne pas se tromper et de ne pas devoir refaire tous les calculs quand on nous demande l’effet d’un paramètre.

Quand, à l’inverse, on nous demande de calculer l’offre, on doit simplement calculer notre profit sous la contrainte de la fonction de production et l’on trouve l’offre.

Pour l’équilibre, on fait simplement ; demande = offre.

Exercice 2.3

Homogène de degré zéro dans les prix. La demande du bien i pour les prix (p1, p2), elle est égale à la demande du bien i pour les prix

( ).

&

Or,

Nous voulions démontrer ces égalités, c’est fait. Nous avons bien un modèle qui est

homogène de degré zéro.

On peut montrer que

, c’est bien égal à

Le graphe n’est donc pas affecté. CQFD.

Exercice 2.4

Nous avons deux consommateurs, que l’on appelle A et B. Nous avons deux biens ; 1 et 2. Notre fonction d’utilité est :

( ) (

)

(a) Quelles sont les demandes de bien 1 et 2 pour A et pour B ?

De , on tire :



( )

(

) (

)

pit

En isolant , on obtient :

(

)

(

)

Donc, avec les dotations initiales :

(

)

(

)

(

)

(b) Tracez le graphe de la demande excédentaire du bien 1 en fonction de son prix, en choisissant le bien 2 comme numéraire.

Excès de demande :

Dans cette économie ci on ne produit rien. Donc (après avoir remplacé) :

La courbe est l’excès de demande en fonction du prix.

(c) Calculez l’allocation à l’équilibre compétitif

La notation d’équilibre, on sait qu’on l’a lorsque l’excès de demande égale zéro. Nous

sommes à l’équilibre lorsque . C'est-à-dire lorsque

En d’autres termes, lorsque

Nous avons donc :



(

)

(d) Montrez que le prix d’équilibre du bien 12 est affecté par une modification de ou de

(

)

Si augmente, le prix du bien 1 diminue.

Si augmente, le prix du bien 1 augmente. Pourquoi ? Si gamma est très élevé, toute notre utilité vient de la consommation du bien 1.

Au plus gamma est élevé, au plus on préfère consommer le bien 1.

Exercice 2.5

Nous avons deux consommateurs, dont la fonction d’utilité est :

( ) (

)

(a) Calculez le taux marginal de substitution pour chacun des biens en termes de niveau de consommation

Taux marginal de substitution :

(b) En égalant le TMS de chaque consommateur, caractérisez une allocation Pareto-efficiente

↓

Les ratios de consommation pour chacun des consommateurs doivent être égaux.

(c) En partant de cette solution, construisez les courbes de contrat pour une économie avec deux unités de bien 1 et trois unités de bien 2

Donc :

Sur notre courbe des contrats ;

→

Notre boite d’Edgeworth, elle va passer par l’origine et elle va avoir un gradient de 3/2.

2 Attention, il y a une erreur dans l’énoncé posté sur iCampus.



Exercice 2.6

( ) (

)

Quand a-t-on ? Quand

et

Dotation totale : On nous demande quel sera le ratio de prix d’équilibre pour cette allocation. Pour le ratio de

prix d’équilibre, on doit avoir :

Or

Donc, le ratio de prix d’équilibre :

On nous dit que

À ce ratio de prix d’équilibre là,

Si , alors

On veut arriver, pour A et pour B :

Aux prix ci-dessus, ce que A aura, après transfert sera :

Ce que A possède actuellement est :

Dans la résolution, on parle d’un transfert de 2 vers 1 d’un montant de

.

Comment obtenir ce résultat ?

Exercices supplémentaires

Exercice 2.7

"Distinguish between partial equilibrium analysis and general equilibrium analysis. Briefly describe a model of each kind."

Selon le livre de référence : Si un seul marché est analysé, nous parlons d’équilibre partiel. Dans le cas où plusieurs

marchés sont analysés simultanément, nous parlons d’équilibre général.3 Solution proposée par l’assistant : Partial equilibrium analysis is the study of a single market, or a small number of markets,

taking as given the prices on other markets. For example, the analysis of the equilibrium of the labor market (supply from consumers, demand from firms) is partial equilibrium if it takes output prices as given.

3 Source : p. 12 du livre de référence.



General equilibrium analysis is the simultaneous study of all the markets that comprise the economy. General equilibrium determines the prices of all traded goods and does not take any price as given. For example, assume an economy has one consumption good and one form of labor supply. A general equilibrium analysis would analyze both the goods market (supply from firms, demand from consumers) and the labor market (supply from consumers, demand from firms). The equilibrium price of the consumption good and the wage paid for labor are found when demand is equal to supply on both markets.

Exercice 2.8

"You are requested to construct a model to predict the effect upon the economy of the discovery of new oil reserves. How would you model the discovery? Discuss the number of goods that should be included in the model."

(À vérifier) Cette découverte augmenterait la dotation initiale de biens dans l’économie. Le prix des biens considérés diminuerait alors probablement.

Solution proposée par l’assistant : The modeling of a stock of resources is represented by the initial endowments in a general

equilibrium model. The discovery of new oil reserves should be modeled by an increase in the endowment of oil. The simplest way to represent this is to interpret the two consumers in an Edgeworth box as two countries. One of these countries owns the oil reserves. The effect of the new discovery is to enlarge one axis of the box and to shift the endowment point. Preferences remain unchanged but a new equilibrium is reached. How this compares to the old equilibrium is dependent upon the structure of preferences. One point is clear. One country must gain through the new discovery but there is no guarantee that both will. It is even possible that the country owning oil may be made worse off. Why? Both countries must gain through trade. The country that does not own oil has the same indifference curve through the endowment point before and after the discovery. The country that owns the oil moves onto a higher indifference curve through the endowment. But when we compare welfare levels before and after the discovery we are concerned with the equilibrium point. By suitably drawing indifference curves we can move this in favor of one or both countries. The increase in the endowment of oil must reduce its price in equilibrium relative to the other good and this price reduction may be sufficient to actually make the oil-owning country worse off.

Exercice 2.9

Nous avons désormais de la production. On nous dit qu’on a une économie avec deux biens,

H consommateurs (h = 1, …, H), m firmes (j = 1, …, m),

La firme est caractérisée par une fonction de production : (

)

Thêta est la part des profits des entreprises redistribuées aux consommateurs.

A. Les firmes

→ FOC :

(

)

→ (

)



B. Les ménages (

)

( (

))

FOC :

→

Toutes les firmes ont le même profit, puisqu’elles ont la même fonction de production.

C. Équilibre L’équilibre est atteint lorsque l’offre égale la demande.

∑

∑

↓

↓

( )

Et

↓

↓

(

)

Deuxième séance de travaux pratiques :

Chapitre 4 :

Exercice 4.1

Nous avons deux consommateurs, qui ont le choix entre voler et produire :

Temps passé à produire

Temps passé à voler

Notre fonction de richesse (sans le vol) est :

Ce que le voisin nous vole, quand on produit :



Ce que nous on lui vole, quand il produit :

On sait aussi que tous le temps que l’on a on le passe entre la production et le vole

(

) (

)

→

En d’autres mots, le temps que l’on passe à produire, c’est le temps total que l’on a, moins le temps que l’on passe à voler.

Nous devons maximiser cette fonction :

* (

)

+

(

)

Chacun des deux consommateurs se dit la même chose. FOC :

*

( )

+

Nous avons une symétrie ; le temps que le consommateur passe à produire est le même

que le temps que le consommateur B passe à produire :

Simplifions cette équation :

(

)

Multiplions tout par :

Mettons en évidence certains termes :

On voudrait savoir quel est le temps optimal à passer à produire. Pour cela, il suffit de

résoudre l’équation

.

Pour trouver l’effet d’une variable sur une autre, on fait la dérivée totale et on s’arrange

pour avoir, par exemple

.

Rappel de la formule de la différenciation totale (à connaitre) :

Cette formule va nous aider à déterminer quel est l’effet d’une variable sur un équilibre.



[ (

)] [ [ ]]

Réarrangeons l’équation, pour qu’elle nous donne :

Nous n’avons pas quelque chose d’assez simple pour pouvoir l’interpréter. Donc, de la

condition d’équilibre, on tire ;

On obtient alors :

Si alpha augmente, le vol devient plus intéressant et on s’attend donc à moins produire. C’est bien ce qu’on a ici : si alpha augmente, le temps que l’on va passer à produire diminue. La fraction que l’on va voler à l’autre consommateur va augmenter avec alpha ; si on reprend

ce qu’on avait au départ, ça correspond bien :

Alpha est un coefficient de succès de vol, en quelques sortes. Quel serait le succès dans l’économie, s’il n’y avait pas de vol ? Cela implique que le temps que l’on va produire est le temps total : Et donc que chaque consommateur va produire : On sait ce qu’on gagne sans vol, on sait ce qu’on gagne avec le vol. On peut donc en déduire

ce qu’on est prêt à payer pour qu’il n’y ait pas de vol. On va être prêt à payer jusqu’au moment où la richesse quand il n’y a pas de vol et celle que

l’on a quand il y a du vol sont égales. Mathématiquement :

[

]

Richesse sans vol Richesse avec vol

On a une symétrie, donc on peut simplifier, jusqu’à avoir :

Pour rappel des opérations sur les logarithmes, nous avons :

On nous demande ce qu’on est prêt à payer pour éviter le vol ; on doit simplement faire la

différence entre l’équilibre avec ou sans vol. C’est-à-dire :

(

)



Exercice 4.2

Il y a une demande de bien public au temps t : [ ]

Où est le revenu national au temps t. a) Quelle est l’élasticité-revenu de la demande ?

En remplaçant par notre fonction de demande, nous avons :

(Pour la simplification, le « -1 » part avec le ) b) La loi de Wagner nous dit que lorsque le revenu augmente, la part de dépenses

publiques augmente aussi, mais plus que proportionnellement. En d’autres mots, dans une économie qui croit, la fraction des dépenses publiques augmente et la fraction des dépenses publiques croit plus que l’économie.

Mathématiquement, la loi de Wagner :

(

)

Vu que c’est une dérivée ; si elle est positive, alors la fonction est croissante ; c’est précisément ce que l’on veut montrer.

Pour quelle valeur d’alpha a-t-on ceci ?

→

Donc :

Donc, si alpha est plus grand que 1, on a la loi de Wagner qui tient ; la part des dépenses gouvernementales augmente lorsque le revenu augmente.

c) Supposons que le revenu national croisse de cette manière :

Donc, si alpha est plus grand que 1, quel est l’effet des dépenses publiques sur le revenu

l’année suivante ? Donc

?

Or, on sait que :

→

Donc :

(

)

Lorsque , nous pouvons dire que l’on a un lien entre les dépenses et le revenu l’année

suivante et il doit certainement y avoir un coût en termes de revenu de financer les dépenses publiques.

Mais on ne sait rien dire sur le signe de cet effet.



Exercice 4.3

Nous avons une fonction de production :

Donc deux inputs pour produire ; le capital et le travail et est la productivité du travail. Quand la productivité double, que se passe-t-il sur la demande de travail ? Pour résoudre cet exercice, voici la procédure à suivre : 1. On nous parle de « demande de travail », il faut donc trouver son équation. 2. Étant donné qu’on a une fonction (que l’on minimise (la demande de travail)) et une

contrainte, on fait un Lagrangien. 3. On remplace le résultat du Lagrangien dans la fonction initiale.

4. Puisqu’on veut connaitre l’effet d’une variable sur une autre (

, on fait une

différenciation totale.

5. On résout l’équation, de façon à isoler la fraction que l’on veut connaitre :

La demande de travail, elle provient des firmes et pour une certaine quantité produite, elle

minimise ses coûts. Firme :

Sous contrainte (s.c.) :

Donc elle minimise ses coûts sous contrainte de sa fonction de production. On résout ça par le Lagrangien :

Faisons donc notre lagrangien :

→ (1)

→ (2)

On sait donc qu’à l’optimum, on va avoir :

→

→

Ma fonction de production devient donc :

(

)

Maintenant, on veut voir du et du :→

Or, nous sommes à l’optimum, donc

→

Lorsque la productivité augmente, la demande de travail de la firme diminue.



b) Que va-t-il se passer sur le taux de salaire si l’économie a plusieurs firmes dans cette

position ? S’il y a beaucoup de firmes avec cette fonction, comme l’offre de travail est constante, les

salaires vont diminuer (on le voit par l’inéquation

).

c) Cette analyse converge-t-elle avec la loi de Baumol ? Loi de Baumol : Si le rapport entre la production du secteur public et celle du secteur privée

reste la même, alors les dépenses du secteur publique augmentent dans la même proportion que les dépenses totales.

Comme il y a inadéquation entre le secteur privé et le secteur public la loi de Baumol ne tient

pas. Mais à quoi voit-on qu’il y a inadéquation entre le secteur privé et le secteur public ?

Exercice 4.4

a) Le modèle de bureaucratie nous dit qu’un bureaucrate, ce qui l’intéresse, c’est la taille de son

bureau. Il va donc essayer d’avoir un bureau avec un budget le plus élevé possible. Le bureau est une fonction de la taille du bureau. On nous dit aussi que le coût pour arriver à ce résultat, c’est son carré. Formellement :

→

→

Le bureaucrate, il veut maximiser la taille de son bureau, donc il va choisir

→ Nous voyons donc bien que , donc que le résultat va sortir un résultat plus grand que

ce qui est optimal. b) Nous allons essayer de donner des incitants pour agir de manière à ce que les deux

soient égales et donc à ce que le résultat soit optimal.

→

Finalement, ça revient à maximiser par rapport à y.

→

√

On voit donc que si b est positif, le choix sera altéré. c) Y a-t-il un lien entre y et M qui permet au bureaucrate de choisir la valeur y* ?

On veut donc



→

√

→

√

Attention, le pdf avec les corrections est faux à propos de cette dernière réponse.

Exercice 4.5

A. Des individus ont une habilité à générer du revenu . L’habilité médiane est plus petite que

l’habilité moyenne . Le revenu de chaque individu i est [ ] . Nous pouvons voir ça comme l’offre de

travail. Le revenu des taxes est redistribué avec une subvention qui est la même pour tout le monde ; Nous savons que le gouvernement va redistribuer une subvention g à chaque individu ; elle sera égale au revenu du gouvernement, c’est-à-dire la taxe multipliée par le revenu moyen :

Nous trouvons le taux de taxation qui maximise le subside est :

B. Nous devons utiliser le fait que le revenu après taxe, c’est .

L’égalité de revenu après taxe implique que

→

Le plus pauvre a et est mieux avec un taux de taxe. Son revenu après taxe est On voit que ce dernier terme est positif si t est positif. Donc si t est nul, xi est nul et si t est

égal à 1, xi également. Donc ce consommateur est strictement mieux si la taxe est positive (mais inférieure à 1).

En fait, comme on l’a montré en a, le plus pauvre verra son revenu maximisé si

C. On dit que :

La théorie du vote à la majorité nous dit que si nous avons deux parties avec des taux de taxation différents, si on cible le voteur médian et que quelqu’un d’autre cible le voteur à droite, celui du milieu aura tous ceux de gauche et la moitié de ce qu’il y a entre lui et l’autre.

On va utiliser la théorie du voteur médian, et cette théorie nécessite la condition de single-

crossing. Si on trie nos individus par ordre de capacité croissante, alors le TMS doit être classé dans



le même ordre. Preuve de cette exercice ; on voit que c’est le cas, puisque le résultat est croissant en ai.

Ce théorème ne vaut que s’il n’existe qu’une seule utilité maximum. Nous savons que lorsque

nous avons l’espace suivant : Nous pouvons garantir que les courbes d’indifférences ne se croisent qu’une seule fois.

Nous voulons connaitre le taux marginal de substitution. Nous voulons

, nous allons alors

faire la différentiation totale de ceci

Nous avons notre TMS. Étant donné que c’est croissant en ai, si nous croisons nos individus en habilité, nous voyons que pour n’importe quelle taxe, le TMS va garder le même ordre. Tout ça, c’est juste pour pouvoir dire que l’on peut adopter la théorie du voteur médian. Une fois que l’on sait ça, on maximise l’utilité du voteur médian. Qu’est-ce que le gouvernement fait ? Il choisit le taux de taxation qui maximise l’utilité du voteur médian.

Intuitivement, le parti politique va cibler le voteur médian car il sait qu’en faisant cela il aura le maximum de votes.

→

Personnellement, j’obtiens :

D. Montrez que cette taxe augmente avec la différence entre le revenu moyen et le revenu médian.

Lorsque ↑ ↑



Finalement, si on ne tient pas compte de la démonstration pour montrer que le théorème du

voteur médian était juste, c’est facile ; il suffit de maximiser l’utilité du voteur médian et de montrer que lorsque le taux de taxation augmente, son utilité augmente aussi.

Chapitre 5 :

Un bien public est un bien qui a deux caractéristiques : 1. Il y a non-exclusion au bien. 2. Il y a non-rivalité (si un consommateur consomme ce bien, ça n’exclue pas la

consommation de ce bien à un autre consommateur).

Exercice 5.1

Which of the following are public goods? Explain why. (a) Snowplowing services during the winter.

Non-exclusif, non-rival : Bien public (b) A bicycle race around France during the summer.

Exclusion et rivalité : Bien privé (c) Foreign aid to Africa to feed its famine-stricken people.

Ça va être rival (puisqu’une seule personne peut consommer le sac de riz), par contre pour l’exclusion, ça dépend de si l’on met un prix ou pas à ce sac de riz.

(d) Cable television programs. Non-rival Peut être exclusif (programmes cryptés)

(e) Radio programs. Bien public

(f) Back roads in the country. Bien public

(g) Waste collection services. Exclusif et rival dans une certaine mesure (car il y a une limite d’extraction), mais c’est négligeable : Bien public

(h) Public schools. Il y a un caractère rival. Par contre, c’est censé être gratuit.

Exercice 5.2

Nous avons deux consommateurs, un bien public et un bien privé. Chaque consommateur a un revenu M. Le prix de chacun des biens est égal à 1.

Fonction d’utilité des consommateurs :

( )

Puisque notre revenu, c’est M, ce qu’on consomme en bien privé, c’est ce qu’on ne

consomme pas en bien public :

(

) (

)

→



On nous demande de trouver le locus des points pour les courbes qui sont parallèles à A : On a donc le locus des points en rouge. Nous avons l’utilité de A. On nous demande de la maximiser selon notre provision.

c) Nous avons une symétrie, donc :

Le niveau optimal de provision de bien public est :

Chacun contribue au niveau

et donc, dans toute l’économie, nous aurons

d) Le bien-être est calculé comme la somme des utilités de chacun des consommateurs.

(

)

FOC :

Quelle est la valeur de G ? G = M



On observe qu’il y a une différence entre l’optimal et l’équilibre de Nash et l’on voit que la provision à l’équilibre de Nash est en-dessous de la provision optimale. On constate que l’on contribue moins lorsque chacun contribue à son utilité que lorsqu’on essaye de maximiser l’utilité totale.

Exercice 5.3

a) Nous avons deux consommateurs, chacun avec un revenu M, à allouer entre deux biens. Le

bien 1 donne une unité de consommation à celui qui l’achète et alpha unités de consommation à l’autre.

( )

Que mesure alpha ? Alpha mesure le caractère public du bien, son « degré de publicité ». S’il est égal à zéro on a

un bien complètement privé, s’il est égal à 1, on a un bien complètement public. b) Quel est l’équilibre de Nash si chacun des biens coutent 1 ? On sait que :

(Avec

)

On va devoir maximiser cette utilité. Nous avons une contrainte de budget :

→

FOC :

Il s’agit de la valeur de bien 1 que nous allons acheter. Symétrie :

Donc :

c) En maximisant la somme des utilités, montrons que l’équilibre est Pareto-efficient. On a le niveau de bien-être total dans l’économie qui est :

[ ] [ ]

d) Quel est l’équilibre de Nash pour notre nouvelle fonction ?

Nous tombons sur

, pour les deux.

Pourquoi a-t-on cette égalité ? Parce qu’on ne peut pas free-rider sur les deux biens.



e) Expliquer les conclusions tirées en d. Nous distinguons 3 cas : Dans le point b, il y a deux cas : lorsque alpha = 0 Lorsque alpha ≠ 0

Dans le premier, nous avons l’équilibre de Nash = l’équilibre optimal Dans le second, on a l’équilibre de Nash ≠ l’équilibre optimal.

Pour le consommateur, étant donné que l’autre contribue, lui va contribuer un peu moins.

Dans le point d, on conclue que quand il s’agit de deux biens privés, comme quand il s’agit de deux biens publics, il n’y a pas de Pareto-inefficience, tandis que quand on a un bien public et un bien privé, bien.

L’équilibre de Nash n’est pas Pareto-efficient uniquement quand on a un bien public et un

bien privé.

Troisième séance de travaux pratiques :

Chapitre 5, suite (exercices supplémentaires)

Exercice 5.5

Nous avons deux consommateurs identiques. Quel devrait être la part que chacun paye pour un bien public pour un équilibre de Lindahl ?

Un équilibre de Lindahl est atteint lorsque les consommateurs ont des préférences différentes pour le bien public et qu’ils y contribuent donc différemment.

Si le prix est PG, chacun paye la moitié :

(

)

Montrez qu’il pourrait y avoir un subside au prix du bien public qui fait que l’achat privé du bien public pourrait être efficient. On nous dit qu’il devrait y avoir un subside qui permet d’arriver à ceci (l’équilibre ci-dessus).

Pour une provision privée, nous allons mettre la provision jusqu’à ce que le bénéfice marginal que nous avons soit égal au coût marginal :

La différence, c’est qu’ici nous ignorons l’effet que l’autre a sur nous. Or nous savons que le choix optimal, c’est le bénéfice marginal social qui doit être égal au coût marginal social. Ici, le bénéfice marginal social, c’est la même chose que le coût marginal social :

Comme nous ne savons pas l’effet que nous avons sur l’autre, le prix pour nous va être

Il faut que nous arrivions à payer un prix qui soit

Exercice 5.6

Mécanisme Groves-Clarke. Nous avons une décision collective entre trois individus de produire ou non un bien public.

S’il est produit, le coût est réparti équitablement entre les trois individus.



A B C

Coût 50$ 50$ 50$

Bénéfice 20$ 40$ 100$

Bénéfice net ( ) -30$ -10$ 50$

On met en place un mécanisme de Groves-Clarke pour connaitre les bénéfices nets des gens. Le bénéfice annoncé est

Ce mécanisme nous dit que =

si si On remarque qu’annoncer la vérité est une stratégie dominante.

On nous demande maintenant de montrer que ce mécanisme n’est pas robuste à la collusion

entre deux agents. On avait -30, -10 et 50 ; il suffit de montrer que si A annonce -27 et B -8, en s’étant mis d’accord pour monter vers le haut leur utilité annoncée. A gagnera alors 2 (-30-8+50), B gagne 3 (-27-10+50). Lorsque nous pouvons faire collusion, nous avons donc clairement intérêt à mentir.

Finalement, on nous demande quelle serait la provision au bien public si les décisions étaient

prises par un vote à la majorité. Le résultat aurait été négatif, puisque deux personnes ne le veulent pas et l’un le veut.

Chapitre 7 :

Exercice 7.1

Are the following statements true or false? Explain why. (a) If your consumption of cigarettes produces negative externalities for your

partner (which you ignore), then you are consuming more cigarettes than is Pareto-efficient. Vrai.

(b) It is generally efficient to set an emission standard allowing zero pollution. Faux ; on peut avoir une industrie qui pollue, la valeur qu’elle crée est souvent supérieure à la quantité qu’elle pollue.

(c) A tax on cigarettes induces the market for cigarettes to perform more efficiently. Vrai ; avec une taxe, on consomme moins de cigarette.

(d) A ban on smoking is necessarily efficient. Faux ; en interdisant de fumer, on diminue l’utilité des consommateurs de cigarette, en plus on diminue les profits des vendeurs de cigarette. En contrepartie, on augmente l’utilité des personnes qui souffrent de la consommation de cigarette, en plus au augmente le profit des firmes qui vendent des biens substituts de cigarette. L’interdiction de fumer va dépendre de l’effet qui domine.

(e) A competitive market with a negative externality produces more output than is efficient. Vrai ; en général, c’est cas.

(Nous n’allons pas être confrontés souvent au « snob effect », donc on oublie le point f (la

réponse est vraie)).



Exercice 7.2

Nous avons deux consommateurs, qui ont des fonctions d’utilité

Chaque consommateur a un revenu M. Le prix de chaque bien est 1. a. Quel est l’équilibre de marché ?

On sait que

→

On doit maximiser l’utilité de A.

On a donc :

b. Quel est l’optimum social ? Quand on nous demande de maximiser l’optimum social, on maximise l’utilité de A et celle

de B, par rapport aux choix de A et de B (que l’on trouve en maximisant leur utilité à chacun). Pour passer de l’optimum de chacun à l’optimum social, on peut le faire par exemple avec une taxe. Une fois que l’on a incorporé cette taxe dans l’équilibre de marché, l’équilibre dans le marché avant optimum social et dans celui après doivent être les mêmes.

Quand on nous demande de calculer la perte sèche, c’est simplement la différence entre le surplus total de chaque situation.

En faisant simplement

Et en maximisant W, on obtient

Au TP, on l’a fait avec un lagrangien ; ce qui est plus compliqué, inutilement :

Sous contrainte :

On sait que la dérivée du Lagrangien par rapport à

→



Lorsque l’on optimise individuellement, notre consommation de bien 1 est plus élevée que

lorsqu’on prend le choix optimal. c. L’optimum peut être atteint en plaçant une taxe sur le bien 1. Le revenu de la taxe, on le

distribue de manière équitable à chaque consommateur. Quel est le montant de cette taxe ?

Ce qui change, c’est que maintenant, on a une contrainte de budget qui est :

Le T est ce que le gouvernement nous redistribue, c’est-à-dire une partie de notre revenu.

Notre utilité ne change pas. Dans notre optimisation, la seule chose qui change, c’est que dans notre contrainte de

budget, qui devient :

Nous devons donc maximiser :

Dans les revenus, nous obtenons :

À l’optimum, On l’obtient en égalant l’équilibre social à l’équilibre avec taxe. d. Supposons maintenant que les préférences soient données par

Et idem pour B. Quelle est la taxe nécessaire pour décentraliser l’optimum ? La nouvelle contrainte de budget est :

On calcule la valeur de x1 de la même manière que précédemment :



(

)

(

)

La valeur socialement optimale est toujours la même :

Pour connaitre la valeur de t, il suffit d’égaler nos deux valeurs de x1 :

En conclusion, les a, b et c de cet exercice sont des cas particuliers de d.

e. Avec un revenu M = 20, calculez la taxe, Il y a trois cas.

Sans taxe Taxe différenciée Taxe non-différenciée

Le premier, c’est l’équilibre de marché lorsqu’il n’y a pas de taxe. Dans le point (d), on

remplace par la valeur. Avec ces nouvelles valeurs, on peut obtenir la suite (mais ce n’est qu’un cas). On aura 37.9, 38.13 et 38.15.

Lorsque le marché tient compte des externalités, on va trouver 38.4. On a ici deux taux de

taxation différents ; un pour A et un pour B. Finalement, on nous dit qu’il est parfois difficile de différencier la taxe de chaque consommateur. Si la taxe est de ¾ pour chacun, alors le bien-être dans notre économie est de 38.13.

Exercice 7.3

Nous avons une firme qui pollue. La demande inverse est 20-q :

En plus de ça, nous avons un coût marginal externe qui est de . Nous avons donc notre coût marginal social qui est :

En A, on nous demande quel est l’équilibre prix quantité quand il n’y a pas de correction de

l’externalité.

Combien de cette production devrait-être offerte à l’optimum social ?



Quelle est la perte sèche provenant de l’externalité ? La perte sèche est la différence entre le bien-être de l’économie dans le premier cas et

l’équilibre de marché dans le deuxième.

Le surplus du producteur, à l’optimum est plus petit.

(Représentation de la perte sèche à vérifier !) Pour calculer la surface de la perte sèche, on fait :

∫ ( )

∫ ( )



∫

Quel doit être t pour qu’on produise ce qui est socialement efficient ?

Donc l’offre doit être égale à la demande On doit trouver t tel que , on a donc



Quatrième séance de travaux pratiques :

Chapitre 8 :

En général, nous aurons un type de concurrence contre un autre type de concurrence. Il suffit de calculer l’équilibre dans chacun des équilibres. Pour connaitre la valeur du subside, il suffit de faire l’un moins l’autre.

Exercice 8.1 : True – False

Sur notre graphique :

Nous allons avoir une recette marginale qui est toujours inférieure à la demande. En monopole, le monopoleur choisi la quantité telle que le coût marginal égal le prix marginal. Pour cette quantité, il prend la correspondance du prix. Il maximise alors son profit :

FOC :

→

Grâce à ça, on peut trouver le prix d’équilibre :

(

)

Le prix du monopoleur sera le même peu importe la pente de la droite de demande.

(a) If both face different linear demand curves that are parallel, the monopolist

which will have the higher markup is the one whose demand curve is further from the origin. Étant donné que la courbe de demande de l’un est plus haute que celle de l’autre, le mark-up du premier sera plus grand que celui du deuxième.



On voit que le prix du monopoleur qui opère sur le marché 2, et dont la courbe de demande est plus loin de l’origine, a un mark-up plus élevé

Vrai

(b) If both face linear demand curves with identical vertical intercepts but different slopes, the monopolist with the higher markup is the one with the steeper demand curve. Les deux pentes ont des interceptes verticaux. Lequel des deux monopoleurs

va avoir le mark-up le plus élevé ? On a vu que le prix dépend uniquement de l’intercepte, le prix du monopoleur sera identique pour chacun des deux monopoleurs.

On voit en effet sur le graphique que le graphique que les prix sont identiques Faux (c) If both face linear demand curves with identical horizontal intercepts but

different slopes, the monopolist with the higher markup is the one with the steeper demand curve.



Vrai

Exercice 8.2

Économie avec un bien. Demande inverse linéaire. Une seule firme dans le marché (monopole). Elle fait face à une fonction de coût linéaire. Le coût marginal, c’est c.

a. Quelles sont les quantités d’équilibre ?

FOC :

Nous avons nos quantités d’équilibres offertes par le monopoleur et le prix d’équilibre offert

par le monopoleur.

(

)

Si nous avions une concurrence parfaite, le prix serait égal au coût marginal. La différence

avec le monopole est qu’en concurrence parfaite, il n’y a pas de mark-up. b.

→ → →

→

(

)

Nous voyons que les quantités offertes par le monopoleur sont toujours inférieures aux quantités offertes par l’équilibre concurrentiel.

c. Quel est le profit du monopoleur et la perte sèche liée au monopole ?

(

) (

)

(

)

La perte sèche est égale à la moitié du profit du monopoleur ; faisons ça graphiquement :



Surplus du consom. Perte sèche Surplus du producteur Le surplus total lorsqu’on a un monopole est les aires bleue et . En concurrence orange

parfaite, il n’y a pas de surplus du producteur, mais le surplus du consommateur est l’aire incluse dans le triangle rouge.

La perte sèche est le triangle mauve. On a bien (même si ça ne se voit pas sur ce graphique, puisqu’il n’est pas dessiné proportionnellement), que la perte sèche est égale à la moitié du surplus du producteur (on sait que c’est la moitié, car )

d. Si on donne un subside à la production à un monopoleur, pour quelle valeur du subside

va-t-on avoir un monopoleur qui produit la quantité efficiente ? La fonction de coût est désormais égale au coût marginal, moins ce subside :

( )

FOC :

Le subside est égal à a-c et la quantité fournie par le monopoleur avec ce subside est la

même que celle fournie en concurrence parfaite. e. Quel est le profit du monopoleur si le gouvernement impose un prix égal au coût

marginal ?

→

On le voit graphiquement ; nous serions dans la même situation qu’en concurrence parfaite ; il n’y aurait pas de profit.



Exercice 8.3

Nous avons un monopoleur qui peut intégrer deux marchés distincts.

→

→

Pour plus de facilité, on va considérer qu’il n’y a pas de coût de production ; a.

→

FOC :

→ →

→ →

Pour calculer le surplus du consommateur, il faut d’abord calculer la demande inverse :

À la place de

Ensuite, le surplus est donné par :



Si le monopoleur ne peut appliquer qu’un prix, quel est-il ?

FOC :

→ →

Avec un prix uniforme, le consommateur dans le marché 1 est mieux, parce que son surplus

est plus élevé. Alors que le consommateur dans le marché 2 est moins bien. Le prix uniforme est entre celui du marché 1 et celui du marché 2. Globalement, dans l’économie, les consommateurs sont mieux avec un prix uniforme qu’avec

une discrimination en prix. Quand on impose au monopoleur d’avoir un prix unique, on impose une contrainte. Si c’était mieux pour le monopoleur d’imposer un prix unique, sa maximisation de profit, elle nous aurait donné un prix uniforme. De manière agrégée, les consommateurs sont mieux.

Exercice 8.4

Voir les solutions d’iCampus.

Exercice 8.5

Nous avons deux firmes qui produisent des biens différenciés.

; Si d est plus petit que 0, le prix de bien 1 augmente avec la quantité produite de bien 2 ; les

biens sont compléments. Si d est supérieur à 0, on a des biens qui sont substituts. Nous avons un coût marginal constant, égal à c. a. Quelles sont les fonctions de meilleure réponse de chacune des firmes.

FOC :



b. Graphiquement c. Les fonctions de réaction sont les suivantes

On trouve soit

(

)

Soit

On en déduit donc que :

→

d. Comparer les cas lorsque les biens sont compléments ou substituts. Lorsque les biens sont compléments (d < 0), les quantités offertes sont plus élevées et idem

pour les prix. e. Si nous avions un monopole à la place d’un duopole, quelles seraient les quantités

d’équilibre ?



FOC :

Ce sont donc les résultats que l’on aurait avec un monopoleur. Comparons-les avec les quantités et prix avec un duopole.

Monopole d < 0 d > 0 Cournot

> <

< >

Pour la dernière ligne du tableau, prenons le cas où c = 0

Cinquième séance de travaux pratiques :

La question ouverte sera normalement sur ce chapitre (pas sûr, mais probable). Il faut pouvoir définir les concepts, pouvoir les mesurer, puis parler d’économétrie et de causalité.

Article de Jean Hindriks : L’école de la chance

On essaye de savoir quelle est l’efficacité des écoles.

A. Efficacité

On nous dit dans l’article qu’il y a une série de variables explicatives qui permettent d’expliquer l’efficacité. À notre avis, si l’on devait faire une étude comme celle-là, quelles seraient les variables explicatives de l’efficacité dans les écoles ?

Milieu social Le nombre de professeur/étudiant Le taux de réussite La localisation Le statut d’immigré La langue Le sexe



B. Définition et mesure

Deuxième démarche, il faut définir et mesurer l’efficacité. Comment la définir ? Dans l’article, on utilise le test PISA (le nombre de points que les étudiants ont obtenu à ce test, dans différentes matières). Comment la mesurer ? Nous avons un graphique avec :

L’efficacité et la variable explicative : B D A C E

Le point B est plus efficace que le point A, puisque avec moins d’input, on obtient plus d’output.

Si on trouve beaucoup de points dans la zone au dessus, à gauche de nous, c’est que nous

sommes clairement inefficaces. Pour le calculer, c’est :



Une autre possibilité, c’est de tracer la frontière des meilleures pratiques.

Entre deux points l’un au dessus de l’autre, celui du dessous est une « inefficacité résultat »,

puisqu’avec un même nombre d’input, on pourrait faire mieux. Entre deux points l’un à gauche de l’autre, celui de droite est une « inefficacité coût »,

puisqu’avec moins d’input, on peut obtenir la même chose. Dans le cas des écoles, on va s’intéresser aux inefficacités résultat. On va essayer de passer

du point en dessous au point au dessus. Est-ce qu’on peut considérer que le résultat est une fonction des inputs de ce type ?

(

)

Il faut que l’on puisse trouver une mesure de notre variable quantitative, pour chaque

variable. Pour celles que l’on a évoqué ci-dessus, c’est le cas, sauf pour le milieu social. Ce dernier, on peut l’estimer par exemple par le revenu des parents. En faisant une régression, nous allons voir quelle est l’influence d’une variable sur le résultat. On va pouvoir conclure quelles sont les variables qui sont pertinentes (significatives) et lesquelles pas.

On a défini et mesuré nos variables explicatives. Ce qu’on aura toujours comme problème,

c’est de savoir si l’on ne peut pas encore trouver d’autres variables explicatives. On a l’effet d’une variable sur une autre ; on doit trouver dans quel sens ça va. Pour définir

dans quel sens va la causalité, on utilise notre bon sens et la théorie économique. Par exemple, c’est le nombre de professeurs par étudiant qui va faire l’efficacité et non pas le contraire.

Imaginons que l’on veuille mesurer l’efficacité d’une école. Nous avons notre test PISA pour

déterminer le niveau des élèves. Ce qui serait pas mal d’avoir, pour pouvoir comparer, c’est :



D B C A

C. La ségrégation

Comment mesurer la ségrégation ? Si, par exemple, on mesure une école qui a une distribution d’un différent type. Par exemple, on est dans la population des noirs et des blancs et que dans la population, nous avons 40% de noirs et 60 % de blancs. La différence entre les noirs et les blancs, c’est grâce à ça que l’on pourrait calculer la ségrégation.

Quelles sont les potentielles variables explicatives ? La localisation La filière (Général, Technique, Professionnel)

En ce qui concerne l’équité, on pourrait le voir de cette façon ; prenons deux individus, de

familles différentes, avec des inputs différents et en les échangeant, ils produisent les mêmes résultats aux tests.



Passons à l’inégalité des chances ; comment la mesurer ? Souvent, lorsque nous avons des comparaisons de pays, par exemple, et qu’on veut comparer quelle est l’inégalité de revenu, nous avons :

Courbe de Laurens Le premier point dit que 40% de la population a 20% des richesses. Nous aurions une distribution parfaitement égalitaire si on avait une droite (20% a 20%, 50%

a 50%, etc.). Si on prend un coefficient du type

Nous avons alors un coefficient dit de Ginny. Au plus la courbe est plate, au plus notre population est égalitaire. Ça, c’est une mesure de

l’inégalité.



Dans le même ordre d’idée, on va pouvoir calculer d’une certaine manière l’inégalité des chances. Comment va-t-on le calculer ?

Nous avons deux groupes ; les pauvres et les riches. 50% de la population est dans chaque groupe. Imaginons que nous ayons :

Nous aurons « la probabilité de faire le résultat x, si nous sommes pauvres », par exemple. L’inégalité des chances, c’est l’aire entre les deux courbes. Il y a beaucoup de chance pour que nous ayons une question de réflexion là-dessus à

l’examen.



Sixième séance de travaux pratiques

Chapitre 16 :

Exercice 16.1

Nous avons un utilisateur :

Nous devons calculer son revenu :

a.

La dérivée seconde :

Nous avons donc :

→

( )

b. Dans ce jeu, l’espérance de l’utilité, c’est cette probabilité p :

On nous demande de montrer que pour une certaine valeur de revenu Y, le consommateur est indifférent entre jouer ce jeu et obtenir une valeur Y d’office. Quel est cette valeur Y* ?

La première chose que l’on peut faire, c’est noter que si l’on a un revenu = 1, alors l’espérance de U est bien la première partie de l’équation :

Alors que si l’on reçoit U avec certitude, avec un revenu de 1, on :

Si l’on fait la même chose avec Y = 10 :

Lorsqu’on a un revenu =1, on préfère avoir un revenu sûr. Tandis que quand le revenu =10,

l’utilité est plus forte lorsque l’on joue à ce jeu. Pour un certain niveau de Y,

→ → ( )

Ça nous dit que l’on va trouver cette valeur critique :

→



Si l’on met chaque terme au carré, nous aurons :

Ça nous donne :

Nous avons alors :

→

Pour ce Y* là, l’espérance de jouer le jeu est la même que d’avoir un revenu sûr. Pour les valeurs plus petites, on préfère avoir un revenu sûr, pour les valeurs plus grandes, on

préfère le jeu. Ici, les deux possibilités, c’est soit de ne pas faire de fraude fiscale, dans le cas où l’on a un

revenu sûr. Soit on fait de la fraude fiscale dans quel cas on a le jeu où il y a la possibilité de se faire contrôler.

Exercice 16.2

a.

Il s’agit du coefficient d’aversion au risque ; on voit par là qu’il est constant.

→ (

)

b. Pour prouver que la portion du revenu que nous ne déclarons pas est indépendante de Y, calculons l’espérance :

( )

F est le montant de l’amende et est proportionnel au montant que l’on a essayé de gagner en

ne payant pas. Nous faisons face à cette espérance de l’utilité et nous allons maximiser cette utilité par

rapport à X :

FOC :



On nous demande de montrer que ce que nous allons annoncer ne dépend pas du revenu. Dans un certain sens,

Si, dans notre solution, alpha ne dépend pas de Y, ça veut dire que alpha ne varie pas quand

Y varie.

→

Donc, en simplifiant ça :

Nous posons :

On veut voir si cette proportion change si Y change. Nous allons donc typiquement devoir trouver alpha.

Étant donné que alpha ne dépend pas de Y dans l’équation, peu importe la valeur de Y, celle

de alpha restera inchangée. C.Q.F.D.

Exercice 16.3

Nous avons un jeu avec une personne qui paye des taxes et un collecteur.

Audit No Audit

Honest 100, -10 100, 10

Evade Y, 5 150, T

a. Pour quelle valeur de T (fraude fiscale ; ne pas contrôler) est un équilibre de Nash ? Nous avons un équilibre de Nash quand aucune des deux parties n’a intérêt à dévier. Lorsque

l’on décide de ne pas nous contrôler, alors nous allons décider de frauder. Mais lorsqu’on fraude, on ne va pas nous contrôler si .

b. Frauder-Contrôler peut être un équilibre de Nash ? C’est un équilibre de Nash si nous n’avons pas intérêt à dévier. C’est le cas si . Si

nous fraudons, nous allons y rester si . b.bis. Qu’est-ce que ça implique sur la structure de l’amende ? C’est donc un équilibre si le montant de l’amende sera moins élevé que ce que l’on gagne en

fraudant. c. Est-ce que ce jeu représente la réalité ? Oui, parce qu’il y a une incertitude sur le contrôle. Cela représente aussi le coût de l’audit. Ce n’est pas représentatif, parce qu’en général, le contrôle a lieu après notre déclaration de

revenu. Si c’est un jeu simultané, tout le monde agit en même temps. Nous n’avons pas d’effet temporel. C’est-à-dire qu’au fil du temps, si l’on se fait prendre 10 fois d’affilées, on peut être sûr que la 11ème fois on va venir nous contrôler. Il n’y a donc pas, ici cette information à travers le temps.



Chapitre 17 :

Exercice 17.1

Nous pouvons fournir un bien public soit localement, soit de manière centralisée. Calculons la quantité si on le fait localement ou de manière centrale, puis calculons la perte.

[ ]

a. Ici, nous avons clairement quelque chose qui est la même chose, que nous ayons A ou B.

Nous allons maximiser l’utilité de notre région.

FOC :

[ ]

→

b. Si le bien public est fourni par l’autorité centrale, on a :

Quelle est la quantité qui maximise

[ ] [ ]

FOC :

[ ]

[ ] [ ]

c. Calculer la perte qui découle d’une provision uniforme. Nous devons simplement voir

(

)

Les deux premiers termes sont la réponse au point A et les deux suivants la réponse au point B.

En A, si →

→ *

+

Idem (en switchant A et B) pour B.

(

) *

+

*

+

Au plus thêta A est proche de thêta B, au plus la perte est faible. Au plus ils sont différent, au plus la perte est grande.



Astuces et tuyaux pour l’examen

QCM théorie : 30% Exercice TP : 40% Question ouverte (sur la séance 5) : 30%.

Une question ouverte du type de [Cinquième séance, partie C] Les questions seront en Anglais. On peut répondre en Français ou en Anglais. Les TPS SONT AMPLEMENT SUFFISANTS ; il n’est pas du tout nécessaire de faire les exercices

supplémentaires. Tuyaux :

o Exercice 2.2 (particulièrement les notes à la fin) o Exercice 2.9 (A) o Exercice 4.1 o Exercice 7.2 (B)

Documents

Économie Publique - Travaux pratiques · Un consommateur dont l’utilité et la dotation sont : Nous savons que notre revenu initial, c’est Ici, nous pouvons remplacer avec la